Teoria dei giochi Teoria che analizza in modo formale l’interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico
Situazione strategica Sette persone si recano insieme al ristorante a) Si paga alla romana semplice problema di scelta (Max U s.t. VdB) Ciascuno è in grado di controllare autonomamente il risultato delle sue scelte b) Si paga dividendo il conto per 7 problema strategico Non riesco a controllare la mia spesa Il risultato delle mie azioni dipende anche dalle scelte degli altri
Gioco
insieme astratto di regole
che vincolano il comportamento dei giocatori
definiscono i risultati sulla base delle azioni che essi intraprendono
Il gioco è le regole
In un gioco vi sono tre elementi caratteristici
Rappresentazione di un gioco • Forma normale: matrice delle vincite • Forma estesa: albero del gioco
Esempio Giocatori
Strategie B
B
A Alto Basso
Sinistra
Destra
1,2
0,1
2,1
1, 0
Payoff A
Strategie A
Uno dei 4 esiti del gioco
Payoff B
Forma estesa Rami
Nodi
A Sx
Dx
B
B Dx
2,3 Uno dei 4 esiti del gioco
Non Sx
Dx
1,2
2,0
Sx
Payoff A
0,1 Payoff B
Classificazione dei giochi Cooperativi NON Cooperativi Informazione completa Informazione incompleta
i giocatori possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE
i giocatori NON possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE Tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori NON tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori
Classificazione dei giochi Giochi a somma zero
il guadagno di un giocatore CORRISPONDE sempre alla perdita di un altro giocatore
La somma delle vincite (o delle perdite) dei giocatori NON È COSTANTE
Giochi statici I giocatori fanno le loro mosse SEQUENZIALMENTE
Giochi one-shot Vengono giocati PIÙ VOLTE fra gli stessi giocatori
Giochi NON a somma
zero I giocatori fanno le loro mosse SIMULTANEAMENTE
Giochi dinamici Vengono giocati UNA SOLA volta
Giochi ripetuti
Soluzione dei giochi Equilibrio per un gioco: situazione in cui nessun giocatore desidera modificare il suo comportamento unilateralmente dato il comportamento degli altri giocatori
Equilibrio di Nash Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore per lui, quando anche gli altri giocatori giochino la loro strategia di equilibrio
L’equilibrio di Nash si definisce strategicamente stabile o autovincolante perché nessun giocatore, singolarmente preso, desidera deviare dalla propria strategia di equilibrio ferme restando le strategie adottate dagli altri giocatori
Equilibrio di Nash La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore
B
A
b1
b2
b3
a1
0,3
2,2
1,3
a2
2,1
3,2
2,3
a3
5,1
1,4
1,0
Se B cambiasse otterrebbe 1 giocando b1 e 2 giocando b2
Se A cambiasse otterrebbe 1 giocando a1 e 1 giocando a3
Equilibrio di Nash La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore A preferirebbe il 5 di (a3,b1)
B
A
b1
b2
b3
a1
0,3
2,2
1,3
a2
2,1
3,2
2,3
ma (a3,b1) non è un equilibrio perché B cambierebbe la sua scelta in b2
ma allora A si sposterebbe in a2 infine B si sposterebbe in b3
a3
5,1
1,4
1,0
da qui NON ci si muove più
L’equilibrio non produce né per A né per B necessariamente il payoff più alto
Equilibrio di Nash * * * * * * * ˆ i (s1 , s 2 ,...si ,.., s n ) i (s1 , s 2 ,...si ,.., s n ) * si
* si
è la soluzione del problema * * * Max i (s1 , s 2 ,...si ,.., s n ) s.t.si Si si Può essere vista come la ottima risposta del giocatore i-esimo alle mosse degli altri giocatori
Possiamo definire una risposta ottima per ogni strategia degli altri giocatori costruendo una funzione di risposta ottima BRF funzione di risposta ottima
L’equilibrio di Nash sarà caratterizzato dal fatto che per tutti i giocatori è una risposta ottima alle scelte degli altri
Come si trova l’equilibrio di Nash Strategia DOMINANTE Se esiste una strategia dominante un giocatore razionale giocherà QUELLA Se esiste una strategia dominata un giocatore razionale non la giocherà MAI Strategia DOMINATA
strategia che risulta migliore (garantisce più alti payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori
strategia che risulta inferiore (garantisce più bassi payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori
Definzione Strategia (debolmente) DOMINANTE
Strategia (debolmente) DOMINATA
strategia che risulta non peggiore (garantisce payoffs non inferiori) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori
strategia che risulta non superiore (garantisce payoffs non più alti) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori
Esempio: strategia dominata B
A
b1
b2
b3
a1
0,3
2,2
1,3
a2
2,1
3,2
2,3
a3
5,1
1,4
1,0
Strategia Dominata
Confrontiamo a1 con a2 qualunque sia la scelta di B (b1,b2,b3) a1 permette di ottenere un payoff più basso
Nessun giocatore razionale sceglierebbe a1 se esiste a2
Per definire una strategia come dominata è sufficiente che esista una sola altra strategia che permetta di avere un payoff più altro qualunque sia la scelta dell’altro giocatore
Esempio: strategia dominante B
A
Strategia Dominante
b1
b2
b3
a1
1,3
2,4
1,3
a2
2,1
3,2
1,1
a3
5,1
4,4
2,0
Confrontiamo b2 con b1 e b3 qualunque sia la scelta di A (a1,a2,a3) b2 permette di ottenere un payoff più alto
Ogni giocatore razionale sceglierebbe b2
Per definire una strategia come dominante è necessario che permetta di ottenere un payoff qualunque sia la strategia scelta dall’altro giocatore
Strategie dominanti e dominate sono collegate Per definizione: se esiste una strategia dominante tutte le altre (dello stesso giocatore sono dominate
B b1
b2
b3
b1 e b3 sono dominate
a1 1,3 2,4 1,3
A
a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,0
Ma non è vero che se la strategia b1 è dominata dalla strategia b2 questa sia necessariamente dominante.
Strategie dominanti e dominate sono collegate Nota è cambiato solo il payoff in rosso (5 al posto di 0)
Strategia Dominata
B b1
b2
b2 non è più una strategia dominate
b3
a1 1,3 2,4 1,3
A
a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,5
La strategia b1 è dominata da b2 ma b2 non è una strategia dominante perché se A giocasse a3 sarebbe meglio per B scegliere b3
Esempio: prendiamo questi altri due giochi Gli unici valori differenti sono i payoffs segnati in rosso
Strategia debolmente Dominante
B b1
b2
B b3
b1
a1 0,3 3,2 1,3 A
a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0
Strategia debolmente Dominata
b2
b3
a1 1,3 2,4 1,3 A
a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,4
Come si trova l’equilibrio di Nash se esiste una strategia dominante B
a1 A
Il giocatore B sceglie b2 e A lo sa
b1
b2
b3
1,3
2,4
1,3
Ora se A sceglie a1 ottiene 2 a2 ottiene 3 a3 ottiene 4
a2
2,1
3,2
1,1
a3
5,1
4,4
2,0
A sceglie a3 (a3,b3) Equilibrio di Nash
Come si trova l’equilibrio di Nash
A
a1 a2 a3
B1
B b2
B3
0,3 2,1 5,1
4,2 3,2 1,4
1,3 2,3 1,0
Non ci sono né strategie dominate né strategie dominanti Per trovare la soluzione occorre utilizzare la funzione di risposta ottima (BRF) risposta ottima Funzione di risposta ottima
La migliore strategia che un giocatore può effettuare DATA la strategia scelta dagli ALTRI GIOCATORI L’insieme delle risposte ottime di un giocatore
Trovare l’ E.d.N. utilizzando la BRF
A
a1 a2 a3
b1
B b2
b3
0,3 2,1 5,1
4,2 3,2 1,4
1,3 2,3 1,0
E.d.N deve essere la coppia di strategie che è la risposta ottima di entrambi i giocatori
Se il giocatore B sceglie b1 la migliore risposta di A è a3 Se il giocatore B sceglie b2 la migliore risposta di A è a1 Se il giocatore B sceglie b3 la migliore risposta di A è a2 Se il giocatore A sceglie a1 la migliore risposta di B è b1 o b3 Se il giocatore A sceglie a2 la migliore risposta di B è b3 Se il giocatore A sceglie a3 la migliore risposta di B è b2
Gioco della mano invisibile figura 4.2 del libro Anil e Bala sono due agricoltori • i payoff sono i profitti che ottengono dalla coltivazione • possono piantare solo R o M (due strategie) • il terreno di A è più produttivo se si pianta M • il terreno di B è più produttivo se si pianta R • se entrambi piantano la stessa cosa il prezzo diminuisce così come il loro profitto
(M,R) Il giocatore di linea che sceglie M e il giocatore di colonna che sceglie R è Equilibrio in strategie dominanti
l’equilibrio di Nash
Gioco della mano invisibile In questo caso la natura strategica della interazione fra i soggetti non preclude la possibilità che le decisione individuali vengano coordinate e si raggiunga un risultato socialmente desiderabile
Ma non è sempre così
Mano invisibile
Limiti della definizione di equilibrio di Nash
P
Gioco del calcio di rigore
A cerchiamo l’equilibrio con il metodo della risposta ottima
dx
cx
sx
dx
0,2
2,0
2,0
cx
2,0
0,2
2,0
sx
2,0
2,0
0,2
E’ evidente che non esiste un equilibrio di Nash per questo gioco
equilibrio di Nash Consideriamo questo gioco classico
La guerra dei sessi Lui Esiste una molteplicità (due) di equilibri di Nash
Opera Stadio
Opera
1,2
0,0
Stadio
0,0
2,1
Lei
Quale selezionare ?
Consideriamo un altro gioco
Sempre Anil e Bala Payoff differenti In questo caso immaginiamo che nel caso A e B producano lo stesso bene i prezzi diminuiscano in modo molto forte
Ci sono due equilibri di Nash
Quale selezionare ?
Le due programmatrici
Di nuovo Due equilibri di Nash
Come risolviamo il problema della ambiguità della molteplicità degli equilibri Prendiamo un altro gioco Gioco dell’incrocio
Due auto (S e D) arrivano contemporaneamente all’incrocio Possono Fermarsi o Passare
S
D
P
F
P
-2, -2
2,0
F
0,2
0,0
Molteplicità equilibri di Nash: giochi sequenziali Consideriamo il gioco dell’incrocio, immaginando che l’auto A si presenti per prima all’incrocio Il gioco non è più simultaneo ma sequenziale, l’auto A effettuerà la prima mossa e successivamente muoverà l’auto B Auto A
La rappresentazione del gioco a forma estesa è preferibile
P
F
Auto B
F
0,0
Auto B P
F
0,2
2,0
P
-2 , -2
Giochi sequenziali in forma estesa: induzione a ritroso Induzione a ritroso Si parte dai nodi finali del gioco e si analizzano le scelte dei giocatori fino a risalire all’inizio del gioco B sceglierà P che gli da 2 al posto di 0 A lo sa e sa che se sceglierà F prenderà 0
Auto B
F
0,0
Auto A P
F
A sceglierà P che gli garantisce 2 mentre se scegliesse F F P avrebbe 0
0,2
2,0
B sceglierà F che gli da 0 al posto di -2 A lo sa e sa che se sceglierà P prenderà 2
Auto B P
-2 , -2
Giochi sequenziali in forma estesa: induzione a ritroso Induzione a ritroso Si parte dai nodi finali del gioco e si analizzano le scelte dei giocatori fino a risalire all’inizio del gioco B sceglierà P che gli da 2 al posto di 0 A lo sa e sa che se sceglierà F prenderà 0
Auto B
F
0,0
Auto A P
F
A sceglierà P che gli garantisce 2 mentre se scegliesse F F P avrebbe 0
0,2
2,0
B sceglierà F che gli da 0 al posto di -2 A lo sa e sa che se sceglierà P prenderà 2
Auto B P
-2 , -2
Gioco delle due programmatrici Se c’è una sequenza temporale l’ambiguità sparisce
Ipotesi Astrid sceglie per prima
Astrid
Java
C++
M
Bettina Java
4,3
C++
Java C++
2,2
0,0
3,6
Molteplicità equilibri di Nash: meccanismi istituzionali Quando non esistono altri sistemi per eliminare la molteplicità degli equilibri possono intervenire dei meccanismi istituzionali che regolamentano il comportamento individuale e risolvono l’ambiguità
Gioco dell’incrocio il semaforo, regola codice della strada Guerra dei sessi Se il rapporto dura nel tempo, la coppia cerca una regola di buona convivenza Gioco programmatrici Se sono inserite in un’impresa ci può essere una struttura gerarchica (la superiore decide per prima) Risolvere questo tipo di ambiguità è una delle spiegazioni della nascita delle istituzioni
Criterio Paretiano (da W. Pareto) Abbiamo visto che l’individuo ordina i panieri alternativi secondo le sue preferenze e scegli il paniere che massimizza il suo benessere dati i vincoli cui è soggetto
Come possiamo confrontare allocazioni che coinvolgano più di un soggetto
Problema
L’utilità non è misurabile Non possiamo semplicemente sommare la soddisfazione individuale
Esiste un punto di vista sociale per valutare le allocazioni? Ci sono o no criteri che ci consentano di dire se l’allocazione A è superiore all’allocazione B, oppure se è vero il contrario? Allocazione = distribuzione di beni, benessere o quant’altro fra più soggetti
Criterio Paretiano
Criterio Paretiano
Il “criterio di Pareto ” afferma quanto segue: Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B, se almeno un soggetto preferisce A a B e nessuno preferisce B ad A (e viceversa).
oppure Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B, se in A tutti stanno altrettanto bene che in B e almeno uno sta meglio in A che in B Non tutte le allocazioni sono Pareto Ordinabili
A = (10, 3, 7) B = (10, 2, 7)
C = (9, 5, 16)
Criterio Paretiano (da W. Pareto)
Un'allocazione è efficiente nel senso di Pareto se non ne esiste un'altra che sia migliore sulla base del principio di Pareto; cioè, se non è possibile migliorare il benessere di qualcuno senza peggiorare quello di qualcun altro
Criterio di efficienza distributiva e non di equità
Dilemma del prigioniero • Thelma e Louise sono complici in un grave delitto e sono detenute in celle separate (non possono comunicare). • Ci sono le prove solo per accusarle di un reato minore la cui pena è 1 anno di reclusione
• Ogni prigioniera può confessare il delitto grave o negare. • Se confessa uscirà subito di prigione, mentre la complice avrà una pena di 10 anni di reclusione.
• Se entrambe confessano saranno condannate a una pena intermedia di 2 anni. • Se nessuna delle due confessa la pena sarà di 1 anno.
Dilemma del prigioniero L’EQUILIBRIO DI NASH È SOTT'OTTIMALE (in senso Paretiano) rispetto ad un altro esito del gioco che sarebbe preferito da entrambi i giocatori ma che non è ottenibile Nota: essendo anni di prigione si tende a minimizzare i payoffs
Risultato paradossale Un comportamento teso a massimizzare il benessere individuale produce un risultato non ottimo da un punto di vista individuale
Thelma Nega
Confessa
O.P
Nega
1,1
Louise
10 , 0 Nash
Confessa
0 , 10
5,5
Dilemma del prigioniero
Confessa è la strategia dominante per entrambe Louise Nega
Confessa
Nega
1,1
10 , 0
Confessa
0 , 10
2,2
Thelma
Dilemma del prigioniero Gioco del controllo dei parassiti (par. 4.3) Ipotesi a) Ci sono due contadini Anil e Bala (sempre quelli) cha hanno due campi identici e adiacenti b) Per distruggere i parassiti che rovinano il raccolto hanno 2 strategie a)
Usare un potente antiparassitario (Terminator) che distrugge qualsiasi tipo di insetto ma inquina la falda acquifera costa poco
b)
usare la lotta integrata che non ha effetti sulla falda costa di più
c) Se entrambi scelgono il T il danno alla falda sarà elevato e si renderà necessario acquistare un costoso sistema di filtraggio; d) Se solo uno sceglie di usare il T il danno sarà limitato e il filtraggio non sarà necessario
Dilemma del prigioniero framework generale Gioco del controllo dei parassiti
Beatrix
Ana
IPC T
Payoff Monetari
IPC 3, 3 4, 1
T 1,4 2,2
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni
Soluzione A Intervento dall’esterno Ruolo delle istituzioni si vieta l’uso del Terminator
Meccanismi istituzionali
Mafia, malavita organizzata dilemma del prigioniero
Modificano dall’esterno la struttura degli incentivi
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni
Soluzione B Reputazione e giochi ripetuti Nella realtà il gioco è spesso ripetuto Possono emergere dei meccanismi endogeni di punizione di comportamenti devianti
Meccanismo punitivo
Se uno dei due contadini utilizzasse il Terminator lo farebbe anche l’altro
Ogni volta che sono chiamate a collaborare, Anil e Bala devono decidere se collaborare (IPC) o «fregarsi» a vicenda
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione B Reputazione e giochi ripetuti
Immaginiamo che il gioco venga giocato per tre periodi Al tempo t1 Anil deve decidere se usare il terminator Se lo usa oggi sa che dal prossimo periodo in poi lo userà anche Bala
πTA
=4+2+2=8
πIPCA
=3+3+3=9
Payoff di Anil se decide di «fregare» Bala e passare al Terminator
Payoff di Anil se preferisce continuare ad usare l’IPC
Questo calcolo è troppo semplificato valore attuale = al valore futuro
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione B Reputazione e giochi ripetuti Immaginiamo che il gioco venga giocato per più periodi Vantaggio immediato
π
Perdita futura
4
3 2
1
2
3
4
tempo
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione B Reputazione e giochi ripetuti Se i giocatori sono sufficientemente pazienti (attribuiscono un peso adeguato ai guadagni futuri)
Nota Il gioco deve durare all’infinito o avere una durata finita ma incerta
Il risultato pareto ottimale può essere raggiunto Reputazione -- Credibilità
Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash (DP) possibili soluzioni Soluzione C Altruismo
Prossima lezione
