RETI IN REGIME SINUSOIDALE Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai Tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici A. A. 2005/ 2006 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari (ultimo aggiornamento 14/11/2009)
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Introduzione: definizioni Funzioni periodiche Grandezza alternata e sinusoidale Metodo simbolico per lo studio dei circuiti in regime sinusoidale Bipoli e circuiti semplici Funzionamento dei bipoli clettrici R, L, C in corrente continua Funzionamento dei bipoli elettrici r, l, c in regime sinusoidale permanente Bipolo resistivo Bipolo induttivo Bipolo capacitivo Equazioni costitutive dei componenti elementari: resistore, induttore e capacitore. Componenti elementari: trasformatore e generatori dipendenti Trasformatore ideale: potenza istantanea Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in tensione) Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in tensione) Bipoli RLC Ammettenza: conduttanza, suscettanza Triangolo delle ammettenze Impedenze in serie e in parallelo Potenza istantanea in un bipolo Potenza attiva, reattiva, apparente e complessa Triangolo delle potenze Potenza in un bipolo puramente resistivo Potenza in un bipolo puramente induttivo Potenza in un bipolo puramente capacitivo Generatori reali di tensione e di corrente Condizioni di massimo trasferimento di potenza: rendimento. Teorema di Tellegen e di Boucherot Applicazione del teorema di Boucherot Analogie fra i metodi di risoluzione delle reti in regime continuo e sinusoidale Metodi di risoluzione delle reti in regime sinusoidale Metodo delle correnti maglia Metodo dei potenziali di modo Rifasamento Modalità di rifasamento di un impianto Risoluzione delle reti lineari in presenza di generatori con frequenza diversa Risonanza Risonanza serie Risonanza parallelo Reti due porte o bi-porta Bi-porta attivo: teorema generalizzato di Thevenin Definizione del bi-porta attraverso la matrice Z Definizione del bi-porta attraverso la matrice Y Definizione del bi-porta attraverso la matrice T Definizione del bi-porta attraverso la matrice inversa Ti Potenza assorbita da un bi-porta Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
pag. 3 pag. 5 pag. 6 pag. 13 pag. 19 pag. 20 pag. 21 pag. 21 pag. 23 pag. 25 pag. 27 pag. 29 pag. 30 pag. 31 pag. 32 pag. 33 pag. 34 pag. 35 pag. 36 pag. 38 pag. 39 pag. 41 pag. 42 pag. 42 pag. 43 pag. 45 pag. 46 pag. 48 pag. 48 pag. 50 pag. 51 pag. 51 pag. 54 pag. 58 pag. 59 pag. 63 pag. 66 pag. 68 pag. 79 pag. 88 pag. 90 pag. 94 pag. 95 pag. 96 pag. 97 pag. 99 2
RETI IN REGIME SINUSOIDALE INTRODUZIONE Sono delle reti nelle quali le grandezze in gioco variano al variare del tempo con legge sinusoidale. Le reti elettriche in alta potenza sono alimentate con tensione sinusoidale con frequenza di: 9 50 Hz in Europa 9 60 Hz in USA. Le tensioni sinusoidali sono molto importanti nelle applicazioni.
DEFINIZIONI Funzione periodica nel tempo t, u(t): è una funzione che rappresenta una grandezza che assume valori uguali ad intervalli di tempo pari al suo periodo T
u( t ) = u( t + nT )
∀n ∈ Interi
(1)
u1(t)
t T
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3
Si definiscono: 9 Valore medio u(t) nel periodo T: T
UmT =
∫
1 u( t )dt T
(2)
0
9 Valore medio u(t) in un qualunque intervallo di tempo τ:
Umτ =
τ
u( t )dt ∫ τ 1
(3)
0
9 Valore efficace o valore quadratico medio: T
U=
∫
1 u 2 ( t )dt T
(4)
0
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FUNZIONI PERIODICHE Una qualsiasi funzione tale che soddisfi la relazione (1) e cioè: u( t ) = u( t + nT ) ∀n ∈ Interi può essere espressa mediante la serie di Fourier a condizione che siano verificate le condizioni di Dirichelet: 1. se è discontinua presenti un numero finito di discontinuità nel periodo T 2. abbia un valor medio finito nel periodo T : T
∫
1 UmT = u( t )dt < ∞ T 0
3. presenti un numero finito di massimi positivi e negativi. Lo sviluppo di u(t) nella serie di Fourier in forma reale è: ∞ ∞ a0 u( t ) = + an cos( nωt ) + bn sin( nωt ) (5) 2 n=1 n=1
∑
∑
con:
an =
bn =
2 T
2 T
T 2
∫ u( t ) cos( nωt )dt
n=0,1,2,3…..
(6)
∫ u( t ) sin( nωt )dt
n=0,1,2,3…..
(7)
−T 2 T 2
−T 2
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5
Si definisce: • Alternata o alternativa una grandezza periodica il cui valor medio nel periodo è uguale a zero: T
U mT =
∫
1 u( t )dt = 0 T
(8)
0
• Fattore di forma Kf di una grandezza alternativa il rapporto fra il suo valore efficace e il suo valore medio U (9) nel semiperiodo: K f = U mT 2
u
t Una grandezza alternativa è sinusoidale se varia nel tempo con legge sinusoidale: (10) u( t ) = U M sin( ωt + α ) Essa è caratterizzata da tre parametri, ossia per definirla in maniera univoca sono necessari tre parametri: 1. AM ampiezza o valore massimo di picco di a(t) con le stesse dimensioni di a(t); cioè se a(t) è una corrente AM si misurerà in Ampere, se a(t) è una tensione AM si misurerà in Volt, e così via. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
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2π ⎡ rad ⎤ pulsazione, legata alla frequenza ⎢ ⎥ T ⎣ s ⎦ 1⎡ 1 ⎤ f e al periodo T = ⎢ ⎥ = [s ] f ⎣ Hz ⎦ ⎡ ⎤ α ⎢ rad ⎥ = [s ] 3. α [rad ] fase iniziale e tα = ⎢ ⎥ ω ⎢ rad ⎥ ⎣ s ⎦ intervallo di tempo corrispondente alla fase α. 2. ω = 2πf =
N.B. (ωt+α) [rad ] rappresenta la fase istantanea della grandezza sinusoidale. Per t=0 risulterà (ωt+α) = α. Si definisce: 9 Periodo T l’intervallo di tempo che intercorre fra due istanti successivi aventi la stessa fase istantanea
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7
Osservazione
tα =
α ; in funzione del valore dell’angolo α avremo i ω
seguenti casi: 9 α=0 9
la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per 0 tα = = 0 u(0)=UMsin(ωt+α)=0
ω
U
Sinusoide con fase iniziale nulla 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 Tempo
9 α<0
la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per −α −α ⎞ tα = <0 u(0)=UMsin ⎜⎛ ⎟ <0 ω ⎝ ω ⎠
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8
tα =
α [sec ondi ] ω
9 α>0
la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per: α α tα = > 0 u(0)=UMsin ⎜⎛ ⎞⎟ >0 ω ⎝ω ⎠
tα =
α [sec ondi ] ω
Se la fase iniziale è positiva la sinusoide è in anticipo, in caso contrario la fase iniziale è negativa e la sinusoide risulta in ritardo.
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9
DETERMINAZIONE DEL VALORE EFFICACE DI UNA GRANDEZZA SINUSOIDALE u(t) 9 Definizione di valore efficace T
∫
1 2 U= U M sin 2 ( ωt )dt T
(11.a)
0
Dalle formule trigonometriche per la duplicazione degli archi: cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x da cui sin 2 x =
1 − cos 2 x 2
T
U=
1 2 ⎛ 1 − cos 2ωt ⎞ UM ⎜ ⎟dt T 2 ⎝ ⎠
∫
(11.b)
0
Inoltre: 1 − cos 2ωt 2π ⎡ t sin 2ωt ⎤ = − dt e ricordando che ω = si π f 2 = ∫ ⎢⎣ 2 0 2 4ω ⎥⎦ 0 T
T
T
ha che la soluzione del precedente integrale risulta essere: 2π 2π ⎤ ⎡ T sin 2 sin 2 ⎢T T −0+ T ⎥ =T − ⎢2 2π 2π ⎥ 2 2 ⎥ ⎢ 4 4 ⎣ T T ⎦ Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 10 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
La (11.b) diventerà:
U=
1 2 T UM UM = 2 T 2
(12)
Il valore medio UT di una grandezza sinusoidale u(t) nel semiperiodo sarà: T 2
U mT = 2
∫
2 U M sin( ωt + α )dt T
(13)
0
Operando un cambiamento di riferimento: T 2
U mT = 2
2 2 ⎡ U M sin( ωt )dt = U M ⎢ − T T ⎣
∫ 0
T cos ωt ⎤ 2
ω ⎥⎦ 0
T ⎡ ⎞⎤ ⎛ ω cos ⎟⎥ ⎜ cos 0 ω 2⎢ 2+ ⎟⎥ = U m T = ⎢U M ⎜ − ω ω ⎟⎥ T⎢ ⎜⎜ 2 ⎟ ⎠⎦ ⎝ ⎣ 2π T ⎡ ⎛ ⎞⎤ cos ⎜ ⎟⎥ 2 2⎢ 1 T 2 + ⎟ = U ⎡ cos π + 1 ⎤ = U mT = ⎢U M ⎜ − ⎥ M⎢ T T ω ω ω ω ⎥⎦ ⎣ ⎜ ⎟ 2 ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎦ ⎣ 2 ⎡1 1⎤ = UM ⎢ + ⎥ = T ⎣ω ω ⎦ Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 11 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
=
2 2 2 2 2 UM = UM = U M = 0.636U M 2π π T ω T T
Il fattore di forma di una grandezza sinusoidale sarà:
UM U 2 = 1.11 Kf = = 2 U mT UM 2
(14)
π
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METODO SIMBOLICO PER LO STUDIO DEI CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE Se una rete lineare è alimentata da un generatore sinusoidale e(t)=EM sin(ωt+α), risulteranno sinusoidali tutte le tensioni e tutte le correnti che si stabiliranno nei diversi rami del circuito. L’importanza delle eccitazioni di tipo sinusoidale è legata al fatto che: • qualsiasi funzione periodica nel tempo o alternativa è sviluppabile in una serie di funzioni del tipo: 2π con pulsazione ei(t)=EMisin(ωit+αi) con ω i = 2πf i = Ti ωi=iω per i=0, 1 ,2 ,….(sviluppo in serie di Fourier) e che
• per circuiti lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Per tali motivi lo studio di questi circuiti si riconduce allo studio di circuiti alimentati da un solo segnale sinusoidale (tanti circuiti quante sono le componenti dello sviluppo di Fourier), per poi applicare il principio di sovrapposizione degli effetti per tutti i contributi delle cause, o eccitazioni, alle diverse frequenze.
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In base delle considerazioni già fatte, poiché una funzione sinusoidale e(t)=EM sin(ωt+α) è definita da tre parametri (ampiezza EM, pulsazione ω, fase α) è possibile semplificare notevolmente i calcoli trasformando: l’insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme di funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca.
Insieme delle funzioni sinusoidali S u(t)=UMsin(ωt+α)
(15)
Insieme delle funzioni complesse C U(jωt)=UM e j(ωt+α)
(16)
Le operazioni tra grandezze sinusoidali, che richiedono l’applicazione di tutte le formule relative alla trigonometria, vengono così semplificate in operazioni più semplici da eseguire fra grandezze simboliche complesse. La corrispondenza risulta anche isomorfa, cioè conserva le operazioni fondamentali.
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Relazioni tra le grandezze sinusoidali, i corrispondenti vettori rotanti nella rappresentazione complessa e i fasori della rappresentazione fasoriale Rappresentazione sinusoidale Rappresentazione complessa
e( t ) = E M cos( ωt + α ) j ( ωt +α ) E ( jω t ) = E M e
e jα + e − jα Ricordando che cos α = avremo: 2
e( t ) = E M cos( ωt + α ) = E M
e j ( ωt +α ) + e − j ( ωt +α ) = 2
e j ω t e jα + e − j ω t e − j α = EM = 2 ( E M e jα )e jωt + ( E M e − jα )e − jωt = 2 __
Ponendo: E = E M e e
e( t ) = E M
jα
__ *
E
= E M e − jα , si ricava:
⎡ __ jωt ⎤ E e jω t + E * e − jω t cos( ωt + α ) = = Re ⎢ E e ⎥ 2 ⎣ ⎦
(17) __
Ricordando che se I = I R + jI I si ha: 9 I + I = I R + jI I + I R − jI I = 2 I R = 2 Re ⎡ I ⎤ (18) ⎢⎣ ⎥⎦ __ __ __ * ⎡ 9 I − I = I R + jI I − I R + jI I = 2 jI I = 2 j Im I ⎤ (19) ⎢⎣ ⎥⎦ __
__ *
__
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⎡ __⎤
__ *
__
Quindi: Re ⎢ I ⎥ = I + I 2 ⎣ ⎦ ⎡ __⎤
Im ⎢ I ⎥ = ⎣ ⎦
__
(20)
__ *
(21)
I−I 2j
Dall’espressione della rappresentazione complessa si ottengono le seguenti relazioni: __
e( t ) = E M
__
⎡ __jωt ⎤ E jω t E − j ω t = Re ⎢ Ee ⎥ cos( ωt + α ) = e + e 2 2 ⎢⎣ ⎥⎦ __
e' ( t ) = E M
(22)
__
⎡ __jωt ⎤ E jω t E − jω t = Im ⎢ Ee ⎥ sin( ωt + α ) = e − e 2j 2j ⎥⎦ ⎣⎢
che possono essere visualizzate attraverso la seguente rappresentazione grafica: __
e(t)’= EMsin(ωt+α)
E e j ωt
__
E jωt e 2
(ωt+α)
__
E − j ωt e 2 e(t)=EMcos(ωt+α)
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Si vede come e(t) risulta essere: 9 la proiezione sull’asse reale del vettore rotante e 9 uguale in ogni istante alla somma di due vettori rotanti con velocità angolare opposta jωt e E -jωt, di modulo M pari alla metà dell’ampiezza del 2 vettore rotante associato E ( jωt ) . Più grandezze sinusoidali di uguale frequenza possono essere rappresentate con i fasori, ossia considerando i vettori rotanti associati alla rappresentazione complessa relativi all’istante t=0. Ciò è possibile perché grandezze complesse della stessa frequenza ruotano mantenendo fra loro lo stesso sfasamento al variare del tempo. Quindi: 1. Rappresentazione sinusoidale e( t ) = E M sin( ωt + α ) 2. Rappresentazione complessa j ( ωt +α ) E ( jω t ) = E M e
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3. Rappresentazione fasoriale __
E = E M e jα
In questo modo ad ogni grandezza sinusoidale corrisponde una grandezza complessa con modulo pari al valore massimo (o efficace) e fase pari alla fase iniziale. • Con la rappresentazione fasoriale non viene espresso il terzo parametro ω, perché è definito a priori per tutte le grandezze aventi la stessa pulsazione e quindi rappresentabili sullo stesso piano complesso. • Grandezze di pulsazioni diverse non possono essere rappresentate sullo stesso piano perché in ogni istante varia lo sfasamento relativo fra loro.
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BIPOLI E CIRCUITI SEMPLICI Ipotesi: circuito in regime sinusoidale permanente. Se ad un bipolo si applica una tensione sinusoidale u(t), esso assorbirà una corrente sinusoidale i(t) sfasata di un certo angolo che dipende dalla natura stessa del bipolo. i(t)
u(t)
⎧u( t ) = U M sin( ωt + αV ) ⎨ ⎩i ( t ) = I M sin( ωt + α I ) U = U∠αV I = I∠ α I
UM 2 I I= M 2
U=
Lo sfasamento fra le due grandezze può essere positivo o negativo ed è espresso dalla relazione ϕ=αV-αI ossia dalla differenza fra le fasi.
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FUNZIONAMENTO DEI BIPOLI ELETTRICI R, L, C IN CORRENTE CONTINUA
U
Resistore o resistenza ideale U=RI (1) Vale la legge di Ohm Capacitore o condensatore ideale
U
U
R=∞⎯ ⎯→ I =
U =0 R
(2)
Induttore o induttanza ideale
U
U
R=0⎯ ⎯→ U = 0 ; I = 0 (3)
Il condensatore ideale in corrente continua equivale ad un interruttore aperto; non circola corrente (funzionamento a vuoto). L’induttore ideale in corrente continua equivale ad un interruttore chiuso privo di resistenza; la tensione ai capi del bipolo è nulla (funzionamento in corto circuito). Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 20 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
FUNZIONAMENTO DEI BIPOLI ELETTRICI R, L, C IN REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE 9 Bipolo resistivo
i(t) u(t) R(Ω)= Resistenza
i ( t ) = 2 I sin ωt = I M sin ωt u( t ) = Ri ( t ) = RI M sin ωt = U M sin ωt U M = RI M U M = 2U ⎯ ⎯→ u( t ) = 2U sin ωt
(1)
(2)
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Utilizzando la rappresentazione fasoriale: _
_
U = U ∠0 (Volt) _
_
I = I ∠0 (Ampere) _
_
U = RI
con U =
I
U (3)
UM I ;I = M ; 2 2
Le due grandezze risultano in fase pur avendo dimensioni e ampiezze diverse.
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9 Bipolo induttivo
i(t)
u(t)
L(Henry) = Induttanza
Per la legge di Lenz: u L ( t ) = L
di dt
(4)
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Poiché i ( t ) = I M sin ωt , avremo:
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ uL ( t ) = ωLI M cos ωt = ωLI M sin⎜ ωt + ⎟ = U M sin⎜ ωt + ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ (5) con U M = ωLI M (6) Si definiscono: Reattanza induttiva: Suscettanza induttiva:
X L = ωL = 2πfL (Ω) 1 1 (S) BL = = ωL 2πfL
(7) (8)
Utilizzando la rappresentazione fasoriale: _
U = U∠
π 2
(Volt)
U
_
I = I∠0 (Ampere) I
UM IM UL = ;I = 2 2 _
Inoltre:U L = (ωLI ) ∠
π 2
_
= jω L I
(9)
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Bipolo capacitivo
i(t)
u(t) C (Farad) = Capacità o capacitore
La relazione che lega tensione e corrente in un bipolo capacitivo è duale a quella trovata per il bipolo induttivo: du (10) i( t ) = C dt Quindi se u( t ) = U M sin ωt Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 25 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
π⎞ ⎛ i ( t ) = ωCU M cos ωt = (ωCU M ) sin⎜ ωt + ⎟ = 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ = I M sin⎜ ωt + ⎟ 2⎠ ⎝ con I M = ωCU M UM =
(11)
(12)
1 IM ωC
(13)
Si definiscono:
1 (Ω) ωC Suscettanza capacitiva: BC = ωC (S) Reattanza capacitiva:
XC =
(14) (15)
1 I = XC I Con i valori efficaci: U = ωC utilizzando la rappresentazione fasoriale: _
_
U = U ∠0 (Volt) _
_
I = I∠
π
(16)
I
(Ampere)
2
U _
_
I = jω C U _ 1 _ I U =−j ωC
(17) (18)
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EQUAZIONI COSTITUTIVE DEI COMPONENTI ELEMENTARI
1. Resistore: 9 equazione costitutiva in c.a.: u( t ) = Ri ( t ) 9 equazione costitutiva in c.c. : U = RI i(t) u(t)
2. Induttore
di ( t ) dΦ ( t ) = dt dt 9 equazione costitutiva in c.c. La corrente I non varia e la tensione U=0. L’induttore equivale ad un interruttore chiuso o ad una resistenza di valore nullo. 9 equazione costitutiva in c.a. u( t ) = L
i(t) u(t) N.B. Φ=LI (Weber)
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3. Capacitore du( t ) dq( t ) = dt dt 9 equazione costitutiva in c.c.: La tensione non varia nel tempo e la corrente è sempre nulla. Il capacitore equivale ad un interruttore aperto o ad una resistenza di valore infinito. 9 equazione costitutiva in c.a.: i ( t ) = C
i(t) u(t) N.B. Q=CV:quantità di carica (Coulomb)
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Fra i componenti elementari principali esistono altre tre categorie: 1. Trasformatore ideale 2. Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in tensione) 3. Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in tensione)
Trasformatore ideale
U1
⎧u1 = nu2 ⎪ ⎨ 1 i = ⎪⎩ 1 n i 2
U2
(4) 1-1’ = morsetti primari; 2-2’ = morsetti secondari
n = rapporto di trasformazione (è un numero reale) Questo doppio bipolo è descritto dalle relazioni (4) utilizzando: • la convenzione degli utilizzatori per la coppia di morsetti di ingresso (1-1’) e • la convenzione dei generatori per la coppia di morsetti in uscita (2-2’). Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 29 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
La potenza istantanea è data dalla seguente relazione: 1 p1 ( t ) = u1 i1 = nu2 i 2 = u2 i 2 = p2 ( t ) (5) n La relazione (5) indica che: 9 il trasformatore è trasparente alle potenze (potenza in ingresso pari alla potenza in uscita), mentre 9 variano tensioni e correnti, che hanno valori in ingresso e in uscita in proporzione mutuamente inversa. Se n > 1 ⎯ ⎯→ u1 > u2 : trasformat ore − abbassatore
⎯→ u1 < u2 : trasformat ore − elevatore Se n < 1 ⎯ ⎯→ u1 = u2 : trasformat ore di isolamento Se n = 1 ⎯ Il trasformatore di isolamento viene utilizzato per separare una parte del circuito da un’altra per motivi principalmente dovuti alla sicurezza elettrica. Essendo p1 ( t ) = u1 i1 = u2 i 2 = p2 ( t ) la potenza assorbita dal doppio bipolo è p( t ) = u1 i1 + u2 i 2 = 0 , ossia la potenza entrante è uguale a quella uscente. In base a queste considerazioni risulta che: il trasformatore ideale è un elemento passivo e non dissipativo, non è dotato di stato, in quanto sia le tensioni che le correnti primarie e secondarie sono legate da relazioni algebriche e non differenziali (non ci sono derivate temporali, quindi non si può parlare né di condizioni iniziali, né di variabili di stato). La base di definizione è mista: (u1;i2) o (u2;i1). Questo quadripolo ideale è utile per modellare componenti reali. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 30 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Generatore ideale di tensione controllato 9 Generatore di tensione pilotato in corrente (CCVS: Current Controlled Voltage Source) k [Ω ]
I
transimpedenza
kI
9 Generatore di tensione pilotato in tensione (VCVS: Voltage Controlled Voltage Source) β [ad ]
βU
U
Altro simbolo previsto dalle norme: + -
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Generatore ideale di corrente controllato 9 Generatore di corrente pilotato in corrente (CCCS:Current Controlled Current Source) α [ad ]
I
αI
9 Generatore di corrente pilotato in tensione (VCCS: Voltage Controlled Current Source) g [Siemens
]
transammettenza
U
gU
Altro simbolo previsto dalle norme:
Questi ultimi quattro componenti sono attivi. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 32 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
BIPOLO RLC
UR
UL
UC
U U AB = U R + U L + U C
(1)
U AB = R I + jX L I − jX C I = [R + j ( X L − X C )] I Introducendo il concetto di impedenza avremo:
(2)
U AB = Z& I (N.B. Z& è un operatore complesso) (3) 2 Z& = Z∠ϕ ⎯ ⎯→ Z = R 2 + ( X L − X C ) modulo di Z& (4) X − XC ϕ Z = arctan L argomento di Z& (5) R R = Z cosϕz
(6)
X = Z sinϕz= R tanϕz (7)
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 33 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
• Se XL-XC >0 prevale il fenomeno induttivo e la corrente è in ritardo rispetto alla tensione • Se XL-XC <0 prevale il fenomeno capacitivo e la corrente è in anticipo rispetto alla tensione
U
Ammettenza 1 Y& = = G + jB ; (8) Z& Y& = Y∠ϕ Y
G = conduttanza (Siemens)
B = suscettanza (Siemens) (con notazione fasoriale)
ATTENZIONE:
Y& =
Y=
1 R − jX R X j = 2 = − ≠ 2 R + jX R + X 2 Z 2 Z
R2 Z
4
+
X2 Z
4
=
Z2 Z
4
=
1 Z
2
=
1 1 +j R X
1 Z
(9)
(10)
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 34 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
X 2 X X Z ϕY = arctan = arctan− = − arctan = −ϕ R R R + 2 Z −
Quindi:
Y=
1 ; Z
ϕY = − ϕ Z
(11)
(12)
Analogamente a quanto fatto per le impedenze, si definisce un triangolo delle ammettenze:
In regime sinusoidale due bipoli si dicono equivalenti se presentano ai loro morsetti la stessa impedenza equivalente, ossia il rapporto fra il fasore della tensione e quello della corrente é lo stesso. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 35 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
_
U1 Z& 1 = _ I1
U1
U2
_
U2 Z& 2 = _ I2 _
_
_
_
_
_
⎯→ I 1 = I 2 = I ⎯ ⎯→ Z& 1 = Z& 2 Se U 1 = U 2 = U ⎯
IMPEDENZE IN SERIE E IN PARALLELO
Come in corrente continua, valgono relazioni analoghe a quelle viste per il partitore di tensione e di corrente realizzati in regime permanente con i resistori. •
•
•
•
•
9 Serie: Z eq = Z 1 + Z 2 + Z 3 + .... + Z n =
n
•
∑Z
i
(1)
i =1
U1
U2
_
Ui =
U3
•
_
Zi n
U
•
∑Z
Un
(2)
i
i =1
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 36 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
9 Parallelo:
1 1 1 1 1 = + + + ... + Z& eq Z& 1 Z& 2 Z& 3 Z& n
(3)
Y&eq = Y&1 + Y&2 + Y&3 + ... + Y&n
(4)
_
_
_
_
_
I = I 1 + I 2 + I 3 + ... + I n Y&i
_
Ii =
(5)
_
∑ Y&
(6)
I
n
i
i =1
Nel caso particolare di due sole impedenze in parallelo avremo: (7) • _
I1 =
• _
Z2 •
•
Z1 + Z 2
I=
•
U
•
Z eq =
•
•
•
•
Z1 * Z 2 Z1 + Z 2
I2 =
I
• _
Z1 •
•
Y1 + Y2
• _
_
Y1
•
Z1 + Z 2
I=
_
Y2 •
•
Y1 + Y2
I
(8)
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 37 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
POTENZA ISTANTANEA IN UN BIPOLO
Se si alimenta un bipolo passivo in regime sinusoidale le tensioni e le correnti relative saranno: u( t ) = U M sin ωt i ( t ) = I M sin(ωt − ϕ )
i(t)
u(t)
I
ϕ
U
Si definisce potenza istantanea p(t): p( t ) = u( t )i ( t ) = U M I M sin ωt sin(ωt − ϕ )
essendo sinα sin β = − =
(1)
1 [cos(α + β ) − cos(α − β )] 2
1 [cos(α − β ) − cos(α + β )] 2
UM IM U I cos ϕ − M M cos(2ωt − ϕ ) = 2 2 U I U I = M M cos ϕ − M M cos(2ωt − ϕ ) = 2 2 2 2 π⎞ ⎛ = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ 2⎠ ⎝ π⎞ ⎛ essendo; − cos α = sin⎜ α − ⎟ 2⎠ ⎝
(2)
p( t ) =
(3) (4)
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 38 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
•
UI cos ϕ : é costante e coincide con il valor medio
della potenza istantanea p(t) nel semiperiodo, essa é la potenza attiva o reale e cos ϕ è il fattore di potenza. La potenza attiva si indica con P. Si ha: P ≥ 0 per P < 0 per
•
−
π
π
2
2
≤ϕ ≤
<ϕ <
π
2
3π 2
π⎞ ⎛ UI sin⎜ 2πt − ϕ − ⎟ è la potenza fluttuante di 2⎠ ⎝ pulsazione doppia 2ω rispetto alla potenza attiva. Questo termine non da contributo di potenza attiva.
POTENZA ATTIVA, REATTIVA, APPARENTE E COMPLESSA
Potenza attiva
P = UI cos ϕ
[Watt ] [W ]
(1)
Potenza reattiva Q = UI sin ϕ [VAR] o [VoltAmpereReattivi]
(2)
Potenza apparente S = UI [VoltAmpere] [VA]
(3)
_ _∗
Potenza complessa S& = P + jQ = U I
[VA]
(4)
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 39 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Dimostrazione: i(t)
Z& = R + jX = Z& e jϕ _∗
_
Se I = Ie jϕ I ⎯ ⎯→ I = Ie − jϕ
u(t)
_
_
Allora U = Z& I = ( ZI )e jϕ e jϕ I S& = P + jQ = UI ∗ = ( Ue jϕ e jϕ I )Ie − jϕ = UIe jϕ =UI cos ϕ + jUI sin ϕ Altre relazioni utili: S = P 2 + Q 2 = U 2 I 2 cos 2 ϕ + U 2 I 2 sin 2 ϕ = UI P P = UI cos ϕ = S cos ϕ ⎯ ⎯→ S = cos ϕ Q ⎯→ S = Q = UI sin ϕ = S sin ϕ ⎯ sin ϕ Q = P tan ϕ _
(5) (6) (7) (8)
_
I cos ϕ
U
ϕ _ _
I sin ϕ
I
Il grafico si riferisce alla ipotesi di carico ohmico-induttivo
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 40 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
La potenza attiva P = VI cos ϕ sarà il prodotto della tensione per la componente della corrente nella direzione _
della tensione: I cos ϕ La potenza reattiva Q = VI sin ϕ sarà il prodotto della tensione per la componente della corrente nella direzione _
perpendicolare (o in quadratura) alla tensione: I sin ϕ Analogamente a quanto fatto per impedenze e ammettenze si definisce un triangolo delle potenze:
S
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 41 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Potenze istantanea, attiva, reattiva e apparente nel caso si bipoli puramente resistivi, induttivi o capacitivi. 1. Potenze in un bipolo puramente resistivo
Se il bipolo è resistivo non c’è sfasamento fra tensione e (9) corrente:ϕ=0 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ p( t ) = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ = UI + UI sin⎜ 2ωt − ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ T
P=
∫ 0
U2 p( t )dt = UI cos ϕ = RI = R 2
Q = UI sin ϕ = UI sin 0 = 0 ⎯ ⎯→ S = P
(10) (11)
2. Potenze in un bipolo puramente induttivo
Se il bipolo è induttivo lo sfasamento fra tensione e corrente: ϕ =
π
(12)
2
π⎞ ⎛ p( t ) = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ = UI ⋅ 0 + UI sin(2ωt − π ) 2⎠ ⎝ T
P=
∫ p( t )dt = UI cos ϕ = 0
(13)
0
π
U2 → S = Q L (14) Q = UI sin ϕ = UI sin = UI = ωLI = ωL 2 2
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 42 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
3. Potenze in un bipolo puramente capacitivo Se il bipolo è capacitivo lo sfasamento fra tensione e corrente: ϕ = −
π
(15)
2
π⎞ ⎛ p( t ) = UI cos ϕ + UI sin⎜ 2ωt − ϕ − ⎟ = UI ⋅ 0 + UI sin(2ωt ) 2⎠ ⎝ T
P=
∫ p( t )dt = UI cos ϕ = 0 0
Q = UI sin ϕ = UI sin−
π 2
= −UI = −
(16) 1 2 I = ωCU 2 → S = QC ωC
(17)
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 43 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 44 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
GENERATORI REALI
Generatore reale di tensione. Può essere simulato con un generatore ideale di tensione con in serie l’impedenza interna.
Generatore reale di corrente. Può essere simulato con un generatore ideale di corrente con in parallelo l’ammettenza interna.
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 45 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
_ _
_
•
J = E Yi =
E •
Zi
è la relazione che consente di passare da un generatore di tensione a un generatore di corrente equivalente o viceversa, in base ai teoremi di Thevenin e Norton.
CONDIZIONI DI MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA
U
•
Z i = Ri + jX i
(1)
Z = R + jX
(2)
•
_
_
I=
E •
•
(3)
Zi + Z Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 46 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
La potenza trasferita dalla resistenza al carico sarà: E2 2 Pu = RI = R ( R + Ri )2 + ( X + X i )2 (4) Tale potenza sarà massima per:
•
•
∗
R = Ri e per X = − X i ossia per Z = Z i Per dimostrarlo basta esprimere Pu in funzione di R considerando costante X, e poi in funzione di X considerando costante R, derivare le due espressioni e quindi uguagliarle a zero. dPu con X = cost =0⎯ ⎯→ R = Ri dR dPu =0⎯ ⎯→ X = − X i con R = cost dX
Il rendimento complessivo η sarà ridotto del 50%: potenza utilizzata Pu RI 2 = = η= potenza erogata Pe 2 RI 2
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 47 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
TEOREMA DI TELLEGEN •
_ _
S = P + jQ = U I* è la potenza complessa. Per una rete lineare in regime sinusoidale vale il teorema di Tellegen secondo il quale: l
_ _∗
l
l
_
∑ U I =∑ (P + jQ ) = 0 ⎯⎯→ ∑ S i
i =1
i
i =1
i
=0
(1)
i =1
Poiché deve essere valida la (1) sarà: l
∑P =0 i
i =1
l
∑Q
i
=0
(2)
i =1
Le relazioni (2) esprimono il teorema di conservazione della potenza attiva e reattiva, chiamato Teorema di Boucherot. Separando i generatori dagli altri bipoli elementari passivi, il teorema di Tellegen può essere così enunciato: la somma delle potenze attive (o reattive) generate deve essere uguale alla somma delle potenze attive (o reattive) assorbite. Con l sono stati indicati i lati della rete a cui è associato un grafo con l lati orientati. In altre parole il teorema mostra come il vettore delle tensioni e delle correnti sono fra loro ortogonali, infatti se _ _
_
_
U I * = 0 , allora i vettori U e I* sono ortogonali. Il teorema di Tellegen è una delle espressioni del principio di conservazione dell’energia, da esso discende che la somma delle potenze attive (reattive) erogate è uguale alla somma delle potenze attive (reattive) assorbite. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 48 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Applicazione del TEOREMA DI BOUCHEROT
U1
U2
U 1 = tensione ai morsetti dell’alimentazione U 2 = tensione ai morsetti dell’utilizzatore P1 = potenza attiva erogata Q1= potenza reattiva erogata P2 = potenza attiva assorbita dall’utilizzatore Q2= potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore PR = potenza attiva assorbita dalla linea QX= potenza reattiva assorbita dalla linea P1 = PR + P2 = RI 2 + P2 Q1 = Q X + Q2 = X L I 2 + Q2
(1) (2)
S2 =I U2 S 2 2 Da cui S 1 = P1 + Q1 = U 1 I 1 ⎯ ⎯→ U 1 = 1 I Lo sfasamento fra U1 e I1 è dato da :
(3)
⎯→ I 2 = Poiché S 2 = P2 + Q2 = U 2 I 2 ⎯ 2
2
(4)
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 49 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
ϕ 1 = arctan
Q1 P1
(5)
ANALOGIE FRA I METODI DI RISOLUZIONE DELLE RETI IN REGIME CONTINUO E SINUSOIDALE
La risoluzione delle reti sinusoidali è basata sui teoremi visti per le reti in corrente continua, valgono quindi: 9 La legge di Ohm 9 Il principio di sovrapposizione degli effetti 9 I teoremi di Thevenin e Norton 9 Il metodo di risoluzione delle correnti di maglia 9 Il metodo di risoluzione dei potenziali di nodo 9 Il teorema di Millman.
Quindi le espressioni analitiche delle leggi, teoremi e principi sono generalmente analoghe a quelle valide per il regime permanente, basta far corrispondere le grandezze corrispondenti secondo il seguente schema: grandezze in corrente continua corrente alternata U tensione I corrente R resistenza G conduttanza
U tensione I corrente •
Z impedenza •
Y ammettenza
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 50 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
3.METODI DI RISOLUZIONE DELLE RETI IN REGIME SINUSOIDALE 3.1 Metodo delle correnti di maglia
Il metodo discende dalle equazioni di Maxwell, quindi dalla solenoidità delle correnti. Per applicarlo si introducono delle correnti fittizie che siano di per sé solenoidali. Procedimento 1. Si sceglie un albero sul grafo 2. Si assumono come variabili ausiliarie le correnti di maglia che corrispondono alle correnti nei rami di co-albero, con le rispettive orientazioni l-(n-1)si scrive il sistema risolvente determinando la matrice dei coefficienti (complessi) e il vettore dei termini noti nel modo seguente: •
n
Z ii = •
•
∑Z
i
> 0 sempre
i =1
con Z ii = impedenza della maglia i-esima o autoimpedenza n = numero delle impedenze della maglia i-esima •
m
Z ij = Zji =
•
∑Zj j =1
•
con Z ij = impedenza del ramo comune alle maglie i e j o mutua impedenza m = numero delle impedenze della maglia i-esima
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 51 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
_
_
_
_
Z& ij > 0 se I i e I j percorrono il ramo ij con verso concorde Z& ij < 0 se I i e I j percorrono il ramo ij con verso discorde _
Ui =
ri
_
∑E
dove gli Ei sono i generatori di presenti nel
i
i =1
ramo i e ri é il numero di generatori di tensione presenti nel ramo i-esimo. Il segno delle tensioni imposte dai generatori è positivo se il generatore, considerato da solo, fa fluire una corrente concorde con il verso di percorrenza della maglia, negativo in caso contrario. Z& 11 Z& 21 . Z& n1
Z& 12 Z& 22 . Z& n2
... Z& 1n ... Z& 2n ... . ... Z& nn
_
_
_
I1
U1
I2 U2 = . :
In Un In presenza di generatori di corrente, bisognerà considerare non solo il contributo dei generatori di tensione, ma anche quello dei generatori di corrente, per cui in generale si ha: U j = U jU + U jI
dove:
_
U jU dovuta ai generatori di tensione presenti nella maglia; _
U _
jI
dovuta ai generatori di corrente presenti nella maglia
(U jI =
∑
_
Ij ) & Y
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 52 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
_
N.B. E j =
_
Ij •
Y
j
•
e Zj =
1 •
Y
j
Questa convenzione è sempre possibile se i generatori sono reali. In presenza di generatori ideali di corrente, la tensione ai loro capi è incognita: per non aumentare il numero delle incognite con la conseguente necessità di introdurre una nuova equazione per ciascun generatore ideale, si deve far in modo di scegliere la corrente di maglia coincidente con la corrente imposta dal generatore.
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 53 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Metodo dei potenziali di nodo
Tale metodo è derivabile da quello su base maglie utilizzando la dualità e sostituendo le ammettenze Y&ij alle impedenze Z& ij , le correnti impresse dai generatori di _
corrente I i alle tensioni impresse dai generatori di tensione _
_
E i , le tensioni ai nodi U i (rispetto ad un nodo preso come _
riferimento) alle correnti di maglia I i . Infatti, per ogni generico ramo, applicando la legge di Ohm generalizzata avremo:
_
_
_
E ij U i − U j ⎯→ I ij = • + • U i − U j = E ij − Z& ij I ij ⎯ Z ij Z ij _
_
_
_
_
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 54 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Procedimento 1. Si sceglie su un albero il grafo orientato 2. Si assumono come variabili ausiliarie i potenziali ai nodi dell’albero (escluso il nodo che verrà preso come riferimento), quindi avremo n*=n-1 variabili, indicando con n il numero di nodi della rete 3. Si scrive il sistema risolvente costituito da equazioni delle correnti per i tagli fondamentali associati all’albero scelto, ossia si scrive il sistema risolvente determinando la matrice dei coefficienti nel seguente modo: Y&11 Y&12 Y&21 Y&22 . . Y&n* 1 Y&n* 2
... Y&1n* ... Y&2 n* ... . Y&n* n*
U1
I1
U2 I2 = . . U n*
I n*
Y&ii è l’ammettenza propria, pari alla sommatoria delle singole ammettenze dei rami i e j che fanno capo al nodo i-esimo. Y&ij < 0 sempre, é l’ammettenza equivalente del ramo ij che è connesso al nodo i.
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 55 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
_
I i è il componente i-esimo del vettore dei termini noti, pari alla somma algebrica delle correnti imposte dai generatori di corrente e, se ce ne fossero, di tensione, che fanno capo al nodo i. Si usa la seguente convenzione: _
I i > 0 se la corrente imposta dal generatore è entrante nel nodo i-esimo _
I i < 0 se la corrente imposta dal generatore è uscente dal nodo i-esimo 4. Risolvere il sistema calcolando le tensioni dei nodi rispetto al nodo assunto come riferimento. 5. Determinare la tensione ai capi degli altri rami del circuito come differenza fra i potenziali dei nodi ai quali tali rami sono connessi.
In presenza di generatori di tensione, bisognerà considerare non solo il contributo dei generatori di corrente, ma anche quello dei generatori di tensione. _
_
_
I j = I jV + I jI
dove:
_
I jV è il contributo dei generatori di tensione presenti nella maglia _
I jI è il contributo dei generatori di corrente presenti nella maglia
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 56 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
_
_
Ij 1 e Z& j = Y& j Y& j Questa convenzione è sempre possibile se i generatori sono reali. Nel caso ci fossero generatori ideali di tensione, la corrente da loro erogata è incognita: per non aumentare il numero delle incognite con la conseguente necessità di introdurre una nuova equazione per ciascun generatore ideale, si deve far in modo di scegliere uno dei potenziali nodali coincidente con la tensione imposta dal generatore. Se non è possibile occorre scrivere una nuova equazione in modo da poter risolvere con unicità il problema.
N.B. E j =
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 57 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
RIFASAMENTO 4.1 GENERALITA’
U1
∆U
U2
•
Z L = R + jX L
(1)
Z U = R + jX = ZU ∠ϕ con ZU = R 2 + X 2
(2)
•
_
_
∆ U = Z& L I caduta di tensione nella linea PJL = RI 2
potenza dissipata nella linea
_
(3) (4)
_
I cos ϕ
U
ϕ _ _
I
I sin ϕ
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 58 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
All’aumentare della corrente I aumentano sia la caduta di tensione sia la potenza dissipata in linea.
L’ente erogatore dell’energia elettrica dovrebbe spendere ulteriormente, per produrre una aliquota di energia che viene dissipata lungo la linea per effetto Joule, o aumentare la sezione dei conduttori per realizzare linee con resistenza più bassa in modo da ridurre le perdite, come dimostrato dalla relazione (4). Per tali motivi l’ente erogatore ha fissato dei limiti per il fattore di potenza degli impianti utilizzatori, al di sotto dei quali l’utente viene costretto a pagare una penale o, nei casi più gravosi, a rifasare. 9 cosϕ ≥ 0.9 : nessuna penale 9 0.7 ≤ cosϕ ≤ 0.9:pagamento di una penale Qdt con T che proporzionale a T Pdt
∫ ∫
T
rappresenta il periodo di fatturazione 9 cosϕ ≤ 0.7 : obbligo di rifasamento dell’impianto. MODALITA’ DI RIFASAMENTO DI UN IMPIANTO
Per rifasare una linea si inserisce in parallelo al carico una batteria di condensatori. Inserendo la batteria di condensatori il carico sarà alimentato con la stessa corrente richiesta I, mentre nella linea circolerà una corrente: _
_
_
I = I+ IC. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 59 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
U1
∆U
U2
U2 Triangolo delle potenze
Si nota che ϕ' < ϕ Q ϕ = arctan P
Q − Qc mentre ϕ' = arctan P
(1)
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 60 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Per determinare il valore della capacità della batteria di condensatori C e il valore della potenza reattiva capacitiva Qc necessari per rifasare ad un certo fattore di potenza si utilizzano le seguenti relazioni: 9 Potenza reattiva della batteria di condensatori Qc = Q' −Q = P (tan ϕ − tan ϕ' ) (2)
Dimostrazione: Q − Qc tan ϕ' = da cui P tan ϕ' = Q − Qc ; P inoltre dal triangolo delle potenze si ha P tan ϕ' = Q ; quindi si risale alla (2) con semplici passaggi matematici. 9 Capacità della batteria di condensatori
Q' −Q P (tan ϕ − tan ϕ' ) C= = = 2 2 ωU ωU ωU 2 Qc
(3)
I carichi che richiedono un rifasamento sono in genere: 9 Motori asincroni 9 Lampade a scarica 9 Saldatrici con trasformatore 9 Forni ad induzione
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 61 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Il rifasamento può essere: 9 R. centralizzato, se si usa un’unica batteria di condensatori posta a monte dei vari carichi inseriti in una rete 9 R. distribuito, se si rifasa ogni singolo carico che lo richieda.
In genere si usa il rifasamento centralizzato quando i carichi si inseriscono tutti contemporaneamente; quello distribuito quando i carichi non vengono inseriti contemporaneamente. Per quanto riguarda i costi, chiaramente il rifasamento distribuito è il più costoso, ma garantisce un risultato migliore. La soluzione che si usa sovente è il rifasamento “a gradini”, che consente di ottenere una potenza reattiva variabile (a gradini) in funzione della richiesta della rete collegata a valle della batteria di condensatori. Per evitare dimensionamenti errati è bene conoscere il diagramma di carico della rete da rifasare. Il massimo tornaconto economico si ottiene quando è massima la differenza fra il vantaggio per le minori perdite che si ottengono dopo il rifasamento e l’onere relativo alla installazione della batteria di condensatori.
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 62 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
RISOLUZIONE DELLE RETI LINEARI IN PRESENZA DI GENERATORI CON FREQUENZA DIVERSA
Se una rete lineare è alimentata da: 9 più generatori con diversa frequenza o 9 un generatore di segnale periodico esprimibile mediante una serie di Fourier
si può applicare il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI. Si risolve una rete per ciascun generatore, prestando attenzione al fatto che al variare della frequenza variano anche le reattanze XL e XC: i loro rispettivi valori andranno quindi valutati volta per volta per ciascun valore della frequenza. Per ciascun valore di fi le corrispondenti reattanze saranno: 9 X Li = 2πf i L 1 9 X Ci = 2πf i C
(1) (2)
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Le potenze istantanee in ciascun ramo saranno:
n
9
p(t) = U o I o + con ui (t) =
∑i
u (t) ⋅ ii (t)
i =1 2 U i sin wt + ϕ Ui
(
)e
(
ii (t) = 2 I i sin wt + ϕ
Ii
)
(3) n= numero di generatori sinusoidali a frequenza diversa La potenza istantanea è quindi data dalla somma di due termini: 9 U 0 I 0 rappresenta la potenza fornita dal generatore equivalente in corrente continua n 9 ui (t) ⋅ ii (t) rappresenta la potenza fornita dai i =1 generatori che erogano energia con frequenze diverse
∑
Il valore medio della potenza istantanea o la potenza attiva sarà: n
9 P = U0 I0 +
∑ U I cos ϕ i i
i
(4)
i =1
La potenza reattiva sarà: n
9Q =
∑U I
i i
sin ϕ i
(5)
i =1
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Ui e Ii sono i valori efficaci di tensione e corrente.
Si nota che per la potenza reattiva manca il termine a frequenza nulla (per f=0), infatti a frequenza nulla: XL=0 XC= ∞
cortocircuito circuito aperto
U=0 I=0
La potenza apparente sarà: 9 S = P 2 + Q2
(6)
con: n
P = U0 I0 +
∑U I
i i
cos ϕ i
i =1
n
Q=
∑U I
i i
sin ϕ i
i =1
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Inoltre il valore efficace della corrente e della tensione saranno: n
I = I 0 + ∑ i I i2 2
i =1 n
U = U 0 + ∑ i U i2 2
i =1
Essendo Ii e Ui valori efficaci della corrente e della tensione relativi al contributo del generatore di frequenza iesima.
RISONANZA Il concetto di risonanza risale alla diffusione dei primi sistemi a corrente alternata. Sin da allora si iniziarono ad osservare fenomeni strani nei circuiti con comportamento elettrico prevalentemente induttivo o capacitivo. Si possono verificare due tipi di risonanza: • risonanza serie e • risonanza parallelo. In condizioni di risonanza serie può accade che la tensione fra gli estremi di un bi-polo, pur attraversato da corrente, risulti praticamente nulla, mentre la tensione ai capi del condensatore o dell’induttore sia uguale o addirittura più elevata della tensione applicata alla serie degli elementi. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 66 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Analogamente in condizioni di risonanza parallelo può accadere che la corrente assorbita dal bi-polo sia praticamente nulla, mentre la corrente che attraversa l’induttore o il capacitore può assumere lo stesso valore o addirittura superare quello della corrente erogata dal generatore cui sono collegati gli elementi. Risulta dunque importante studiare tale fenomeno perché in impianti con correnti forti, tale condizione può rappresentare una condizione di funzionamento anomala di un circuito ed arrecare danni non solo agli impianti (nel caso della conversione statica dell’energia può dar luogo a pericolose sovratensioni o sovracorrenti), ma anche alle persone. In alcune applicazioni, al contrario, è proprio tale condizione a rappresentare il funzionamento desiderato del circuito, si tratta di circuiti in bassa potenza dove le correnti in gioco sono correnti deboli.
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RISONANZA SERIE
Si consideri un circuito R, L, C serie, in serie ad un generatore di tensione a frequenza variabile.
UR
UL
UC
E
Si supponga di far variare la frequenza f da zero ad infinito. Poiché le reattanze variano al variare della frequenza, avremo un circuito che potrà avere sia un comportamento elettrico prevalentemente induttivo, che capacitivo secondo il valore della frequenza imposta dal generatore di tensione: _
I = I∠ ϕ i •
Z = Z∠ϕ _
U = Z∠ϕ ⋅ I∠ϕ i = ZI∠( ϕ i + ϕ ) = U∠ϕ U
(1)
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Ci saranno tre casi possibili: 9 ϕ > 0, la tensione è in anticipo rispetto alla corrente CARICO PREVALENTEMENTE INDUTTIVO
U
9 ϕ < 0, cioè tensione in ritardo rispetto alla corrente
CARICO PREVALENTEMENTE CAPACITIVO
U
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9 ϕ = 0, cioè tensione e corrente sono in fase fra loro
CARICO PREVALENTEMENTE RESISTIVO Se si studia la variazione dell’impedenza Z& al variare della frequenza f si ha: 1 ⎞ ⎛ Z& = R + j ( X L − X C ) = R + j ⎜ ωL − (2) ⎟ ωC ⎠ ⎝ X L = ωL rappresenta l’equazione di una retta passante per l’origine degli assi (y=mx) 1 rappresenta l’equazione di una iperbole XC = ωC equilatera (y=a/x) R si può ritenere praticamente costante al variare della frequenza
1 ⎞ ⎛ Z& = R 2 + ⎜ ωL − ⎟ ωC ⎠ ⎝
ϕ = arctan
1 ωC R
2
(3)
ωL −
(4)
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Graficamente:
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A sinistra della pulsazione di risonanza ω0, il carico è prevalentemente capacitivo, in corrispondenza di ω0 il carico é puramente ohmico, mentre a destra di ω0 il carico é prevalentemente induttivo. Alla pulsazione di risonanza ω0 si ha l’uguaglianza fra reattanza induttiva e capacitiva:
⎯→ 2πf 0 L = X L = XC ⎯
1 1 ⎯ ⎯→ f 0 = 2π LC 2πf 0 C
(5)
f0 = frequenza di risonanza
ω0 = 2π f0 = pulsazione di risonanza In condizioni di risonanza la corrente sarà massima in quanto si annulla la reattanza del circuito; l’impedenza coincide con la resistenza, quindi tensione e corrente sono in fase.
I=
U U = = I MAX Z R
(6)
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Valori della resistenza e della reattanza al variare della frequenza f
0
ω0
∞
R
R
R
1 ωC X L = ωL
∞
0
1 ω0C ω0 L
R 0
Z&
∞
R
−
0
XC =
I
ϕ
−
π 2
∞ ∞
0 0
π 2
Di seguito è rappresentata la curva di risonanza, che risulta essere tanto più acuta quanto minore è il valore di resistenza rispetto alla reattanza alla frequenza di risonanza 1 1 ⎯→ 2πf 0 L = ⎯ ⎯→ f 0 = X L = XC ⎯ 2π LC 2πf 0 C
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ω0 L
1 1 L = (7) R ω0CR R C viene chiamato fattore di merito del circuito alla frequenza di risonanza..
Il rapporto Q0 =
Se Q0>1
=
1 ω L = >R 0 ossia : ω0 C
in condizioni di
risonanza la tensione ai capi di L e C risulta maggiore della tensione totale applicata ai capi di R. ************************************************ Il fattore di merito di un circuito risonante alla frequenza f, Q0 è definito come il rapporto tra l’energia immagazzinata nel circuito e quella dissipata in un ciclo di oscillazione alla frequenza f0 di risonanza. Un’altra definizione è la seguente : Q0 è il rapporto tra la differenza di potenziale ai capi dell’induttore o ai capi del capacitore e la differenza di potenziala ai capi della resistenza in condizioni di risonanza: 1 Io UL jω 0 L I o Uc jω 0 C 1 1 L f = fo Q0 = = = = = = ω0CR R C RI o UR RI o UR f = fo
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Il fattore di merito consente di calcolare il valore della tensione che si stabilisce in condizioni di risonanza serie ai capi dei singoli bipoli L e C in funzione della tensione applicata U =U R: f = fo
UL
f = fo
=UC
f = fo
= Qo * U
f = fo
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R→∞
ϕ
R→0
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UR
UL
UC
E Il bipolo può essere usato come un filtro selettivo per Q elevato (bassi valori di R)
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In tale filtro passa banda reale f1 ed f2 sono i valori delle due frequenze di taglio di un filtro passa banda reale e rappresentano quei valori di frequenza per le quali il segnale di uscita si riduce a circa il 70% di quello in ingresso, con una attenuazione di 3 dB.
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RISONANZA PARALLELO
U AB
E Il generatore di tensione E ha frequenza variabile. Relazioni in termini di ammettenze _
_
I = Y& E
(8)
1 Y&L = − j ωL Y&C = jωC 1 Y&R = R
(9) (10) (11)
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1 1 + jω C Y&L = − j R ωL
(12)
Andamento dei moduli della resistenza e delle reattanze
La corrente sarà minima per la pulsazione ω=ω0.
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Inoltre, se R=0, la corrente, per ω=ω0, sarà nulla.
Il bipolo può essere utilizzato per filtrare segnali con frequenza f0. Andamento delle fasi.
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ϕ = arctan (13)
ωC −
1 ωL
R
Infatti se:
9 f=0
9 f= ∞
9 f=f0
ϕ = arctan
ϕ = arctan
ϕ = arctan
1 0L = 0 − ∞ = −π R R 2
0C −
1 ∞L = ∞ − 0 = π R R 2
∞C −
ω0C − R
1
ω0 L
= arctan
0 =0 R
Sia per quanto riguarda la risonanza serie, che la risonanza parallelo, diminuendo la resistenza R, si rendono i filtri passa banda ed elimina banda più selettivi. U e, all’aumentare di R, Per la risonanza serie: I MAX = Ri diminuisce IMAX U = G i U , quindi Per la risonanza parallelo: I min = Ri all’aumentare di R diminuisce Imin Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 82 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Risonanza parallelo Chiaramente la frequenza di taglio f0 si può variare, variando L o C essendo: 1 f0 = (14) 2π LC
1 > G la corrente sull’induttanza e sulla Se ω 0 C = ω0 L
capacità puo essere superiore alla corrente che attraversa la resistenza R. Un aumento di L o di C farà diminuire la frequenza di taglio, viceversa una riduzione di L o C la farà aumentare. Il fattore di merito Q0 di un circuito risonante alla frequenza fo, è definito come il rapporto tra l’energia immagazzinata nel circuito e quella dissipata nel ciclo alla frequenza f0 di risonanza. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 83 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
U2 1 2 PR = U ; Qc = ωC U 2 ; QL = R ωL Q C 1 =R oppure Q0 = L = PR L ω0 LR Q0 =
Q c ω0C C = =R PR R L
In condizioni di risonanza Q0 coincide con il rapporto tra il modulo della corrente nell'induttore (o nel condensatore) il modulo della corrente e la corrente nel resistore ⎫ ⎪ IL R ⎪ → = = Q0 ⎬ I R ω0 L U U ⎪ = = jωL ωL ⎪⎭
IR = IL
U U = R R
→ I L = Q0 ⋅ I
f = fo
⎛ C⎞ ⎟⎟ ⋅ I I L = ⎜⎜ R L⎠ ⎝
IL
f = fo
= IC
f = fo
= Q0 ⋅ I
f = fo
⎛ R ⎞ ⎟⎟ I = ⎜⎜ L ω ⎝ 0 ⎠
f = fo
=
f = fo
1 LC Se Q0 > 1, il modulo della corrente nell'induttore (o nel condensatore) essendo ω0 =
é maggiore del modulo della corrente nel resistore, che in condizioni di risonanza coincide con la corrente totale assorbita. Quindi in condizioni di risonanza il modulo della corrente nell'induttore (o nel condensatore) é maggiore della corrente totalmente assorbita dal bipolo. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 84 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
La corrente I MAX =
U per la risonanza serie e la corrente Ri
U = G i U per la risonanza parallelo, non varieranno Ri al variare di L e C in quanto dipendono solo dalla resistenza R I min =
Risonanza parallelo.
Risonanza serie Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 85 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Per studiare la selettività di un circuito risonante serie occorre definire: 9 la larghezza di banda B = f2 – f1 9 le frequenze di taglio f2 ed f1
Per esempio in condizioni di risonanza serie: I MAX = U
In condizioni ordinarie: I =
Ricordando che C = I=
1
ω0 L 2
U R
1 ⎞ ⎛ R 2 + ⎜ ωL − ⎟ ωC ⎠ ⎝
avremo:
U
ω 0 2 L2 ⎛ ω ω 0 ⎞ ⎜ ⎟⎟ − R 1+ 2 ⎜ω R ⎝ 0 ω ⎠
2
=
U
ω ⎞ 2⎛ ω − 0 ⎟⎟ R 1 + Q0 ⎜⎜ ⎝ ω0 ω ⎠
2
(15) Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 86 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Le frequenze di taglio si determinano imponendo: 1 1 I 1 = da cui = 2 2 I MAX 2 ω0 ⎞ 2⎛ ω ⎟⎟ − 1 + Q0 ⎜⎜ ⎝ ω0 ω ⎠ 2
ω ⎞ I MAX 2⎛ ω − 0 ⎟⎟ = 2 = 1 + Q0 ⎜⎜ I ⎝ ω0 ω ⎠ Elevando al quadrato 1° e 2° membro dell’equazione: ω − ω0 ω ω0 ⎞ 2⎛ ⎟⎟ = 1 + Q0 ⎜ − 2 = 1 + Q0 ⎜⎜ ⎜ ωω 0 ⎝ ω0 ω ⎠ ⎝ 2
2⎛
2
2
2
⎞ ⎟ ≅ ⎟ ⎠
2 ⎛ 2 (ω − ω 0 ) ⎞ ⎟⎟ ≅ 1 + Q0 ⎜⎜ ω0 ⎝ ⎠ N.B. L’approssimazione è valida per f ≅ f 0 2
2⎛ ⎜ω
2 ⎞2
− ω0 ⎟ 2 − 1 = Q0 da cui risulta: ⎟ ⎜ ωω 0 ⎝ ⎠ ⎛ ω 2 − ω0 2 ⎞ ⎟. ± 1 = Q0 ⎜ (16) ⎟ ⎜ ωω 0 ⎝ ⎠ Risolvendo l’equazione si ottengono 4 soluzioni, 2 positive e 2 negative; ovviamente non hanno significato fisico le soluzioni negative. 2
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Attraverso passaggi matematici si ottengono le seguenti soluzioni:
ω 12 = ω 0 ± f 12
ω0
in termini di pulsazione
2Q0 f = f 0 ± 0 in termini di frequenza 2Q0
(17) (18)
Per un determinato valore di ω0, all’aumentare di Q0 l’ampiezza di banda diminuisce. In generale per un bipolo passivo costituito da resistenze, induttanze e capacità diversamente collegate, si possono definire: • le condizioni di risonanza serie, ossia di reattanza nulla (con picchi della corrente che si possono verificare per più valori della frequenza) dallo studio del comportamento elettrico della impedenza equivalente serie RLC o • le condizioni di risonanza parallelo, ossia con suscettanza nulla (con attenuazioni della corrente complessiva che si possono verificare per più valori della frequenza) dallo studio del comportamento elettrico della ammettenza equivalente parallelo Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 88 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
RETI DUE PORTE Definizione generale Una rete due porte è un circuito accessibile da due porte privo o no di eccitazioni nel suo interno.
Si ricorda che la porta è costituita semplicemente da una coppia di morsetti connessi in modo qualsiasi al circuito d’interesse ed usati in modo che la corrente entrante nell’uno sia uguale a quella uscente dall’altro. La rete due porte può essere: 9 Attiva 9 Passiva Per verificare se una rete due porte è attiva o passiva, basterà scollegare la rete da eventuali collegamenti esterni e: 1. Misurare con un voltmetro la tensione che si stabilisce fra i morsetti 1-1’ e 2-2’
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Se U1 ≠ 0 oppure U2 ≠ 0 la rete è attiva Altrimenti: 2. Misurare con un amperometro la corrente che si stabilizza in un corto-circuito fra i morsetti primari e secondari
Se I1 ≠ 0 oppure I2 ≠ 0 la rete è attiva Queste operazioni sono consentite quando si conosce l’entità delle tensioni e delle correnti e si dispone della strumentazione idonea. La caratterizzazione di una rete due porte attiva può essere ricondotta a quella di una rete due porte passiva, applicando il teorema generalizzato di Thevenin. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 90 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Teorema generalizzato di Thevenin
Un sistema accessibile da due porte può essere caratterizzato mediante i due seguenti gruppi di parametri: 1. Parametri che rappresentano la rete due porte ottenuta dal circuito disattivando le eccitazioni (rendendo passivo il circuito, aprendo i rami dove sono presenti i generatori di corrente e cortocircuitando i generatori di tensione) 2. Le tensioni che si manifestano ai morsetti delle due porte quando sono lasciati aperti.
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Quindi al circuito equivalente che consegue da questa caratterizzazione si perviene nel seguente modo:
I1 U1
I2 Bi-porta attivo
U2
Con i morsetti 1-1’ e 2-2’ aperti si avrebbe:
⇓ I1 U 10
I2 Bi-porta attivo
U 20
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Infine applicando il Teorema generalizzato di Thevenin si ottiene: I1 U1
U 10
U 20
+
+
U *1
Bi-porta passivo
U *2
I2 U2
_ _ ⎧ _ ⎪U 1 = U 1' + U 10 ⎨ _ _ con: ⎪ _ ⎩U 2 = U 2' + U 20
essendo U 10 e U 20 le tensioni che si stabiliscono tra i morsetti 1 1’ e 2 2’ nel funzionamento a vuoto del bipolo attivo. Caratterizzazione di una rete due porte priva di eccitazioni al suo interno La caratterizzazione di una rete due-porte passiva richiede quattro parametri. Se 9 l è il numero di rami del circuito 9 n è il numero di nodi del circuito
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considerando al posto del due-porte due bipoli indeterminati caratterizzati da quattro grandezze elettriche (U1; U2; I1; I2) e scegliendo un albero nel circuito risultante, si possono scrivere 9 le equazioni di equilibrio per le maglie [l − (n − 1)] 9 le equazioni di equilibrio per i tagli fondamentali (n − 1) Risultano [l − (n − 1)] + (n − 1) = l equazioni complessive. Si scrivono le equazioni costitutive per tutti i rami, fatta eccezione per i due bipoli indeterminati connessi alla porte, (l -2) equazioni. Risultano [2 l − 2 ] equazioni con 2 l variabili. Questo sistema, eliminando tutte le variabili, ad esclusione di quelle che si riferiscono ai due bipoli indeterminati, può essere ridotto ad un sistema in due sole equazioni lineari omogenee nelle quattro grandezze elettriche dei bipoli indeterminati.
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Per cui si può affermare che la rete due-porte è caratterizzata da due equazioni omogenee nelle quattro grandezze elettriche di porta. U1
U2
U1 +U 2
U2
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Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice Z&
⎧ _ ⎪U 1 = ⎪ ⎨ _ ⎪U = ⎪ 2 ⎩
⎛ _ _⎞ f ⎜⎜ I 1 ; I 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎛ _ _⎞ f ⎜⎜ I 1 ; I 2 ⎟⎟ ⎠ ⎝
I 1 e I 2 sono le variabili indipendenti U 1 e U 2 sono le variabili dipendenti _
•
_
•
_
_
•
_
•
_
U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2
U 2 = Z 21 I 1 + Z 22 I 2
da cui •
Z 11 =
_
U1
;
_
I1
I 2 =0
•
Z 12 =
_
U1
;
_
I2
I 1=0
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•
Z 21 =
_
U2
;
_
I1
•
Z 22 =
_
U2
I 2 =0
_
I2
I 1=0
Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice Y& ⎧_ ⎛ _ _ ⎞ ⎪ I 1 = f ⎜⎜ U 1 ; U 2 ⎟⎟ ⎪ ⎠ ⎝ ⎨_ _ _ ⎪ I = f ⎛⎜ U ; U ⎞⎟ ⎜ 1 2⎟ ⎪ 2 ⎠ ⎝ ⎩ I 1 e I 2 sono le variabili dipendenti U 1 e U 2 sono le variabili indipendenti Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 97 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
_
•
_
•
_
_
•
_
•
_
I 1 = Y 11 U 1 + Y 12 U 2 I 2 = Y 21 U 1 + Y 22 U 2
da cui: _
•
Y 11 =
I1
•
Y 12 =
;
_
Y 21 =
_
I2 _
U 1 U 2 =0
I1
;
_
U 2 U 1=0
U 1 U 2 =0 •
_
;
•
Z 22 =
_
I2 _
U2
U 1=0
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Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice di trasmissione T& _
Se si vogliono relazionare le grandezze in ingresso U 1 ; I 1 _
con le grandezze in uscita U 2 ; I 2 si utilizza la matrice di trasmissione T& ⎧ _ ⎛ _ _⎞ _ _ ⎧ _ ⎪U 1 = h1 ⎜⎜ U 2 ; I 2 ⎟⎟ & ⎝ ⎠ ⎪ ⎪U 1 = A U 2 + B& I 2 ⎨_ ⎨_ _ _ _ _ ⎪ I = C& U 2 + D& I 2 ⎪ I = h ⎛⎜ U ; I ⎞⎟ ⎩ 1 2⎜ 2 2⎟ ⎪ 1 ⎝ ⎠ ⎩ I 1 e U 1 sono le variabili dipendenti I 2 e U 2 sono le variabili indipendenti _
A=
U2
guadagno di tensione
_
U1
I 2 =0
_
B=
U1
transimpedenza diretta
_
I2
U 2 =0
_
C=
I1
transammettenza diretta
_
U2
I 2 =0
_
B=
I1
guadagno di corrente
_
I2
U 2 =0
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Le espressioni dei parametri suggeriscono prove che possono essere simulate utilizzando il modello circuitale del nullore, infatti si dovrebbe alimentare da entrambi i lati e avere I2=0, oppure alimentare il primario e cortocircuitare il secondario U2=0. Questa matrice descrittiva è utilizzata quando si hanno più quadripoli in cascata. Infatti è facilmente dimostrabile che essi equivalgono a un quadripolo equivalente definito con una matrice di trasmissione Te: n
Te = ∏ Ti n = numero dei blocchi in cascata i =1
I1 U1
I2
T1
T2
Tn
U2
Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 100 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice di trasmissione inversaT&i = T& - 1 _
Se si vogliono relazionare le grandezze in uscita U 2 ; I 2 _
con le grandezze in ingresso U 1 ; I 1 si utilizza la matrice di trasmissione inversa T&i = T& - 1 ⎧ _ ⎛ _ _⎞ ⎪U 2 = i 1 ⎜⎜ U 1 ; I 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎨ _ _ _ ⎪ I = i ⎛⎜ U ; I ⎞⎟ 2⎜ 1 1⎟ ⎪ 2 ⎝ ⎠ ⎩
_
_
U 2 = T −1 U 1 I2 I2
dove T&i = T& - 1 è facilmente determinabile in base delle proprietà del calcolo matriciale. POTENZA ASSORBITA DA UN DUE PORTE
La potenza totale assorbita da un due porte è :
[
]
[
1 1 P = P1 + P2 = Re U 1 I1* + Re U 2 I 2 * 2 2
]
La sua espressione è legata alle relazioni della matrice di definizione scelta. P può essere espressa in funzione delle sole correnti se si è scelta la matrice delle impedenze Z , o in funzione delle sole tensioni se si è scelta la matrice delle ammettenze Y o in funzione di corrente e tensione con la matrice T e così via. Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici 101 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
Nello studio dei quadripoli è importante definire il rapporto tra le grandezze fisiche in uscita e quelle corrispondenti in ingresso come tensioni, correnti e potenze. Il rapporto uscita/ingresso può essere maggiore , uguale o minore di 1. Nel primo caso si ha una amplificazione della grandezza in esame e il quadripolo deve essere necessariamente attivo, ossia contenere dei generatori di tensione o di corrente. Nel secondo caso il quadripolo è passivo e la grandezza in esame risulta attenuata. Nella valutazione e nella misurazione sperimentale di attenuazioni si usano generalmente unità logaritmiche . La scelta di queste unità consente di semplificare i calcoli nei quadripoli in cascata dove gli effetti della attenuazione o amplificazione si moltiplicano tra di loro e in particolare, se i quadripoli sono uguali, l’attenuazione o amplificazione residua risulta essere la potenza ennesima della attenuazione del singolo quadripolo. Si definiscono rispettivamente il rapporto di potenze, di tensioni e di correnti come:
AP =
P1 P2
V1 AV = V2 AI =
I1 I2
in decibel →
(A P )db = 10log
P1 P2
V1 = 20log V2
in decibel →
(A P )db
in decibel →
(A P )db = 20log
I1 I2
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