RECUPERO IN... Collana diretta da Dario Ianes e Carlo Scataglini
Nicoletta Santoni e Beatrice Pontalti
RECUPERO IN... Matematica 1 Dal concetto di numero alle addizioni e sottrazioni entro il 1000
Erickson
Indice
7 Prefazione Un approcio inclusivo al recupero alle difficoltà di apprendimento (di Dario Ianes e Carlo Scataglini)
17 Introduzione
Il programma Recupero in... Matematica 1 (di Nicoletta Santoni)
31 Cap. 1 – Numeri e cifre
Schede 1-60
97 Cap. 2 – L’addizione
Schede 1-105
209 Cap. 3 – La sottrazione
Schede 1-95
Introduzione Il programma Recupero in... Matematica 1
«Apprendimento significa esperienza. Qualsiasi altra cosa è solo informazione» (A. Einstein)
«Non c’è apprendimento senza divertimento e non c’è divertimento senza apprendimento» (M. McLuhan)
Insegnare per apprendere, apprendere per insegnare: una sfida o una realtà? Recupero in… Matematica 1: un titolo stimolante che suscita molte aspettative e provoca alcune riflessioni. Le aspettative nascono dal desiderio di portare tutti gli alunni ad acquisire le abilità di base nell’apprendimento del concetto di numero, di addizione e di sottrazione, nonostante le difficoltà che l’insegnante incontra giorno dopo giorno. Le classi della scuola primaria presentano un’eterogeneità che diventa una sfida per la didattica quotidiana: molti bambini hanno bisogno di tempi più distesi e di spazi in cui manipolare materiali concreti per scoprire cos’è un numero, perché si scrive così, con una, due o tre cifre che possono essere rappresentate dallo stesso simbolo ma che non hanno lo stesso valore. Spesso la matematica viene vissuta come un’attività da fare a scuola, che non ha nulla da spartire con la vita reale. Si rileva invece una presenza sempre più massiccia dei numeri e delle operazioni nella nostra vita quotidiana: anche i bambini molto piccoli percepiscono i numeri nelle azioni più consuete, per esempio il numero che appare sullo schermo televisivo dei loro programmi preferiti, il numero del giocatore più amato, il numero civico, il numero di telefono di casa o del cellulare dei genitori. I bambini confrontano queste stringhe di cifre e ne sanno cogliere somiglianze e differenze.
Pure nel mondo degli adulti la presenza dei numeri si fa sempre più marcata: è sufficiente scorrere i giornali con il loro elenco di dati statistici, percentuali, sconti, numeri di lotterie per avere la conferma che la matematica non è qualcosa di avulso dalla quotidianità. Perché, allora, questa materia risulta ostica per molti, come dimostrano i risultati dei test OCSE-PISA, addirittura uno spauracchio, o un elemento di cui aver paura? Paura di sbagliare (Zan e Di Martino, 2004), di non capire, di sentirsi inadeguati a sostenere la difficoltà del compito. Alcuni insegnanti per evitare situazioni di frustrazione agli alunni riducono le occasioni di un possibile errore, proponendo attività non sfidanti. La mancanza di sbagli, intesi come conflitto cognitivo, toglie agli alunni la possibilità di riflessione; gli errori possono essere il risultato di conoscenze precedenti che non sono più adeguate a gestire la situazione attuale, oppure gli errori possono essere una errata applicazione di procedure o una generalizzazione di concetti che non vanno generalizzati. Nessuno può evitare di fare errori. La cosa più grande è imparare da essi. (Popper, 2002) Ma la matematica può offrire aspetti divertenti e stimolanti: attraverso il gioco possono nascere numerose occasioni di apprendimento. Giochi spontanei come il lancio del dado danno modo di provare, tentare, fare ipotesi, confermarle, smentirle colorando di creatività la matematica, avvicinandola a noi, togliendole quell’aspetto austero, severo che suggeriva preoccupazione e paura. Nella quotidiana gestione del gruppo–classe, l’insegnante si sofferma spesso nell’individuare strategie per aiutare un determinato bambino a superare le difficoltà che incontra nel proprio percorso scolastico. Insieme ai colleghi, ci si interroga sul senso dell’errore che ha rilevato nella correzione dell’ultima verifica e sulle modalità per recuperarlo. L’insegnante si trova a dover attuare una trasposizione didattica dal contenuto disciplinare – che Bruno D’Amore (2001) definisce sapere matematico – a ciò che esegue in aula, il sapere insegnato, in modo da rendere il primo intelligibile e agganciabile alle conoscenze del bambino. Per sapere matematico si intende il sapere ufficiale, universitario, specifico della disciplina, lo si potrebbe scrivere con l’iniziale maiuscola. Con il termine sapere insegnato invece, si fa riferimento a tutte le attività che l’insegnante, e in senso più ampio la situazione, offre come occasione per avvicinarsi al sapere in sé. In questo senso ha luogo un percorso con una serie di passaggi che possiamo chiamare trasposizione didattica. Non è pensabile una semplice consegna del sapere o di una sua parte, occorre adattare, tradurre, trasferire i contenuti tenendo presente l’età, la situazione cognitiva, la realtà dello studente e la condizione in cui si opera la trasposizione, ovvero la realtà della classe. L’apprendimento, infatti, avviene in un contesto di relazioni e all’interno di un sistema. È in questo senso che si parla di processi di insegnamento-apprendimento: l’insegnante conosce il sapere da insegnare e lo scolaro si pone come soggetto attivo nella realizzazione del proprio percorso formativo. Nella declinazione di sapere da insegnare, sapere insegnato e sapere appreso il docente deve mettere in atto una serie di strategie, di mediazioni, di immagini e di modelli che permettano all’allievo di avvicinarsi al saper matematico. 18 ◆ Recupero in… Matematica 1
Comprendere un concetto in matematica è in relazione a un suo utilizzo nella quotidianità: un esempio può meglio chiarire cosa intendo. Il concetto sotteso all’addizione o alla sottrazione non implica solamente l’aggiungere o il togliere una quantità, ma si esplica anche in situazioni in cui si chiede allo studente di individuare «quanti ne mancano ancora per arrivare a …», oppure «quanti erano all’inizio, prima di una certa azione». Queste realtà presentano non solo una distanza fra significato formale dei calcoli matematici e significato intuitivo, ma chiamano in campo una certa difficoltà di gestione linguistico-narrativa. Anche nelle situazioni in cui si applica la sottrazione come calcolo risolutivo si trovano occasioni con diverso significato intuitivo rispetto a un unico significato formale. Basti pensare a «testi–problema» del tipo: «Ho 4 Euro, ma me ne servono 10 per acquistare le figurine. Quanti ne devo aggiungere per avere il denaro sufficiente?». Pensiamo quando l’insegnante deve tradurre ciò che linguisticamente fa pensare a un’addizione (significato intuitivo) in calcolo aritmetico che richiede invece una sottrazione (significato formale). La distanza tra il calcolo spontaneo che viene agli studenti è 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 con il risultato di 6 mentre 10 – 4 è l’operazione che si esegue formalmente. L’insegnante deve quindi aver presente questo aspetto quando propone le attività in classe e deve porre attenzione a non fissare immagini in modo che diventino modelli. Egli conosce il sapere e al suo interno sa come muoversi, mentre lo studente sta apprendendo e a volte non sa o è indeciso su quale scelta operare. Se le immagini che l’allievo incontra nel suo percorso vengono validate e confermate, diventano modelli dai quali è poi difficile allontanarsi, modificarli quando non sono più validi come strategie risolutive del problema. Questo aspetto, che alcuni Autori definiscono misconcezioni (Martini Sbaragli, 2005; D’Amore, 2001; Fandiño Pinilla, 2005), è più facilmente comprensibile nell’ambito della geometria: se i quadrati vengono presentati sempre in una determinata posizione nello spazio, nel momento in cui vengono proposti diversamente - ad esempio ruotati di 45° - vengono letti come rombi. Nei processi di insegnamento-apprendimento, quindi, entrano in gioco tre punti focali in stretto rapporto tra loro: lo studente, l’insegnante e la disciplina. Lo studente è nella fase di apprendere, imparare, non sa ancora cosa trattenere come modello e cosa considerare immagine soggetta a modifiche; spetta all’insegnante evitare le misconcezioni evitabili agendo direttamente sulla attività in classe, sulla trasposizione didattica. L’insegnante può e deve fare questo perché conosce il sapere da insegnare e conosce la realtà nella quale lavora. Si delineano così con più chiarezza i punti del processo di insegnamento–apprendimento, la specificità degli stessi e la relazione tra loro. Se il sapere insegnato utilizza un linguaggio troppo tecnico diventa incomprensibile per i bambini, ma se si banalizza la complessità dei contenuti, si rischia che il sapere matematico risulti scontato o non stimolante per un successivo apprendimento. L’azione di mediazione dell’insegnante in campo matematico ha come primo passo la sua personale riflessione sull’errore compiuto dallo studente: diventa allora fondamentale scoprire la causa dell’errore, indagare le strade che ha percorso il pensiero dello studente, individuare qual è il punto nodale della disciplina nel contesto proposto. Introduzione ◆ 19
La riflessione diventa un punto importante anche per lo studente, che non si deve accontentare di accettare l’errore come un qualcosa di sbagliato, ma deve coglierne la potenzialità verso un nuovo assestamento delle conoscenze. Come accompagnare lo scolaro sulla strada della metacognizione? Può sembrare che i processi di metacognizione siano più facilitati in situazione di problemi, ma un’accezione più ampia di problema porta a considerare anche l’adozione di calcoli matematici come situazione di problem solving. Incoraggiare la riflessione in relazione alle cause di successo o di insuccesso, considerare le modalità di lavoro individuale o di gruppo, esaminare i processi cognitivi che sono stati messi in atto sono processi di mediazione che l’insegnante può attuare con gli studenti. Chiedere agli alunni «Come hai fatto? Perché hai fatto in questo modo?» sono domande che portano a pensare al proprio pensiero. Definire e collocare le conoscenze proprie di un intervento in uno specifico contesto, verificare le preconoscenze in relazione a un contenuto («Oggi impareremo…», «Cosa sapete in relazione a …?», «A cosa servirà sapere … ?»), aiuta i bambini a cogliere il senso del loro fare. Incoraggiare un’analisi del contesto proposto, favorire atteggiamenti di esplorazione, verbalizzando ciò che propone e richiede il lavoro, sono comportamenti dell’insegnante attento alle funzioni cognitive degli studenti. Prevedere alcune delle loro difficoltà pone l’insegnante in un atteggiamento di ricerca sia sulla disciplina, sia sui processi che gli alunni attivano, sia sui processi che egli stesso mette in atto quando realizza interventi educativo-didattici. La ricerca sulla disciplina mette il docente in un atteggiamento di personale partecipazione al percorso di crescita formativa dello studente e da questo ne consegue anche un’attenzione al funzionamento del pensiero dello studente stesso, agli impedimenti che lo ostacolano, agli errori nei quali può incorrere. Parlare di recupero e fare riferimento agli errori che il bambino fa nel gestire il compito è un’associazione che spesso l’insegnante mette in atto. Abbiamo visto come l’errore solitamente è inteso come allontanamento dal vero: errare non significa solo sbagliare, ma anche vagare, andare senza una giusta meta. Si evidenzia la necessità di riportare il percorso in una corretta direzione. Ma lo studente, proprio perché in fase di apprendimento, non conosce e non sa qual è la distanza che lo separa dal sapere e in questo si genera il bisogno di aiuto. Elaborare le informazioni, riflettere sui propri processi di pensiero, avere consapevolezza dei compiti assegnati, colloca lo studente in uno stato emotivo più cosciente. L’insegnante che si pone nel ruolo di mediatore abitua l’allievo ad attribuire significato ai fatti, a dare attenzione ai meccanismi del pensiero. L’attività del docente, secondo la visione di Vygotskij (cfr. Psicologia pedagogica, 2006), è quella di offrire occasioni di apprendimento che tengano presente la zona di sviluppo prossimale dei bambini. In questa azione l’educatore osserva le modalità di pensiero, le strategie adottate sia a livello individuale sia in un contesto di relazione nel gruppo, tutto questo per predisporre attività adeguate alle capacità del bambino. Una situazione di apprendimento serena contribuisce alla realizzazione di un’immagine positiva di sé, di persona capace di porsi attivamente e in modo costruttivo di fronte a un compito. Quando l’alunno vive un successo per il suo impegno, sperimenta una forte motivazione all’apprendimento, realizza ciò che 20 ◆ Recupero in… Matematica 1
Abraham Maslow definisce bisogno di realizzazione, bisogno di autostima (Maslow, 1954). Nella tassonomia dei bisogni di Abraham Maslow, è presente il bisogno di stima interna data dalla padronanza delle competenze e di stima esterna data dalle opinioni altrui che si manifestano anche con i risultati delle attività svolte e con le valutazioni ad esse collegate. Maslow mette in evidenza come l’esigenza di apprendere, la curiosità e la ricerca appaiono in maniera naturale già nei primi anni di vita. La teoria dei bisogni dà indicazioni per favorire un percorso di apprendimento che sostenga il naturale articolarsi della personalità. Imparare cose nuove rinforza non solo l’aspetto cognitivo dello scolaro, ma dà anche una importante attivazione della sicurezza e rinforza l’autonomia. È importante quindi che l’azione educativa sia attenta a non distruggere questa curiosità con forme oppressive: muoversi verso la crescita rinforza il proprio naturale istinto alla autorealizzazione. L’apprendimento quindi comporta una partecipazione globale della persona, che investe anche il piano relazionale ed emozionale, oltre al piano cognitivo. Questo aspetto, importante in qualunque percorso formativo, assume un carattere particolare con bambini in difficoltà, con bisogno di recupero e consolidamento di abilità, con bambini che con l’errore hanno un rapporto «speciale». La eterogeneità delle classi pone l’insegnante a confrontarsi quotidianamente con diverse modalità di pensiero, a «leggere», per capire, gli errori che i bambini fanno: ci sono scolari con disturbi specifici dell’apprendimento, con disturbi dell’attenzione, disturbi legati alla comprensione del testo, o semplicemente bambini con un apprendimento «rallentato». Per questo l’insegnante deve considerare la metacognizione come aiuto per lo studente a prendere coscienza dei propri processi e della propria attività mentale, riconsiderando lo sbaglio come occasione di riflessione. È necessario rivisitare il termine errore intendendolo come malessere cognitivo (D’Amore, 2001), ovvero come conflitto tra modello intuitivo, modello algoritmico e modello formale (Fischbein, 1985 in D’Amore 2001). Per modello intuitivo si intende uno schema che risponde pienamente agli stimoli e quindi viene accettato subito e in modo forte perché appare evidente. Un esempio di questo può essere sperimentare che la moltiplicazione dà come risultato un numero maggiore dei fattori. Talvolta gli insegnanti riflettono sul termine moltiplicare inteso come prendere molte volte con la pacifica conclusione che il risultato debba per forza dare un numero maggiore. Ma se moltiplichiamo un numero – ad esempio 6 – per 0, 25 otteniamo un numero razionale, con la virgola – 1,5 – minore di un fattore. Quando si conferma e valida che una moltiplicazione dà sempre come risultato un numero maggiore si gettano le basi per una misconcezione. Occorre quindi non solo non dare queste informazioni, ma evitare che si formino autonomamente; conviene lasciare immagini ancora instabili in attesa di creare modelli significativi e vicini al sapere matematico che si vuole raggiungere. Un altro esempio è il valore dello zero nelle operazioni: esperienze, osservazioni e riflessioni sullo zero nelle diverse operazioni e la diversa posizione dello zero nei calcoli contribuisce a saper cogliere il significato dello zero stesso. Introduzione ◆ 21
Con modello algoritmico si fa riferimento alle procedure che si mettono in atto per risolvere situazioni–problema. Possono verificarsi in aula situazioni simili fra loro e l’insegnante tende talvolta a richiamare esperienze analoghe piuttosto che favorire la riflessione sull’operazione da adottare come risolutiva. Se pensiamo alla didattica quotidiana, vediamo che talvolta gli insegnanti si impegnano a trovare schemi ed esempi applicativi per facilitare la scelta delle operazioni relativamente alla soluzione di una «situazione-problema». Ma tali aiuti favoriscono la formazione di modelli significativi, ritenuti corretti da parte degli studenti, mentre in realtà questi modelli non si possono applicare sempre e quindi generano conflitto quando non sono più di aiuto per affrontare e risolvere nuove situazioni. La difficoltà si presenta quando un’idea, efficace per affrontare problemi precedenti, risulta senza effetto per una nuova situazione. Il modello formale, infine, corrisponde al sapere costituito, all’insieme di conoscenze riconosciute come valide a livello sociale e sistematizzate in modo convenzionale. Se l’alunno sperimenta un malessere cognitivo derivante da un errore e viene posto nella condizione di approfondirlo, può costruire una nuova conoscenza. Il riconoscimento dell’errore, infatti, e l’individuazione dei singoli passaggi che hanno portato all’errore stesso, diventano un’occasione fondamentale di crescita e di approfondimento dei contenuti non solo per il singolo alunno ma per tutto il contesto educativo. È necessario, allora, predisporre un ambiente che accolga e stimoli la curiosità verso nuove e vecchie esperienze: di fronte a un’emozione che funziona come rinforzo si genera un impulso che fa superare le frustrazioni legate a fallimenti momentanei. Imparare una cosa nuova rinforza l’aspetto cognitivo del pensiero e anche il senso di autonomia e in questi termini si impone la necessità di mettere in atto misure che tengano conto delle diverse caratteristiche di ognuno. Un ambiente educativo tiene conto non solo della disciplina, ma anche del contesto in cui si lavora. Le peculiarità di ogni studente, le relazioni che si instaurano nel gruppo-classe, il lavoro dei pari assumono un ruolo importante: offrono occasione di confronto, di messa in discussione dei saperi personali, di condivisione degli stessi. L’importanza di portare i bambini a scoprire i concetti, ad agganciarli con ciò che già sanno, ad avere flessibilità in modo da modificare e ampliare le loro conoscenze passa anche nelle modalità di lavoro, in gruppo o a coppie. Nel sapere nulla è definitivo e il processo di apprendimento non si arresta mai. Lo studente impara all’interno di un ambiente, in un contesto di relazioni dove trovano spazio contraddizioni, confronti, prospettive diverse rispetto alla soluzione di un problema. In questa relazione – tra studente e concetto della disciplina – l’insegnante può operare a livelli diversi. Brousseau ha realizzato un filone di ricerca che ha avuto come oggetto la teoria delle situazioni (Brousseau,1986). La teoria delle situazioni, di impronta costruttivista, sostiene l’apprendimento attraverso la soluzione di situazioni-problema. Il docente assume il ruolo di un regista che mette in atto situazioni didattiche e situazioni a-didattiche. Per situazione didattica si intende un contesto in cui l’insegnante esplicita agli alunni ciò che si propone di insegnare: egli dichiara il compito, predispone l’ambiente e gli strumenti in modo funzionale all’obiettivo che si è posto e lo studente sa che deve in un certo qual modo rispondere alle attese dell’insegnante. 22 ◆ Recupero in… Matematica 1
Si attua in questo contesto il contratto didattico: lo scolaro deve agire secondo le aspettative dell’insegnante, dicendo e facendo ciò che il docente si aspetta che lui dica o faccia. Eventuali dubbi non trovano spazio: l’attenzione dell’alunno non è sul concetto ma sul contenuto. Egli è teso a riprodurre ciò che ha detto l’insegnante. Nella situazione a–didattica, invece, si chiede che lo studente si attivi in prima persona, indipendentemente dalle richieste del docente. In essa si delineano sei momenti attraverso i quali si costruisce una nuova conoscenza. I sei momenti sono:
1. Devoluzione: in essa l’insegnante consegna l’obiettivo cognitivo agli studenti (D’Amore, 2001), responsabilizzandoli. 2. Implicazione: lo studente si impegna ad affrontare e a gestire l’attività cognitiva, al fine di trovare una soluzione al problema. 3. Costruzione di una conoscenza privata, propria dello studente e collegata alla soluzione del problema stesso. 4. Validazione: l’alunno difende la propria ipotesi di soluzione. 5. Socializzazione: la conoscenza del singolo viene comunicata al gruppo, condivisa e «patteggiata» con esso. 6. Istituzionalizzazione: l’insegnante richiama l’attenzione di tutto il gruppo sulla validità della soluzione individuata dal singolo e la ufficializza. Attuare una mediazione tra situazioni didattiche e a–didattiche in modo consapevole, permette all’insegnante di cogliere e di accogliere le peculiarità di ogni alunno, nell’ottica di un rispetto delle diverse intelligenze e delle modalità di funzionamento dei singoli. L’insegnante possiede i concetti e li presenta allo scolaro il quale si approccia a una conoscenza fino ad ora sconosciuta; l’insegnante attua un’azione didattica in cui lo studente costruisce l’apprendimento concettuale. In Recupero in… Matematica 1 vengono proposti dei materiali per quegli alunni che, per svariati motivi, necessitano di riprendere o di consolidare alcune abilità. Le schede di lavoro hanno lo scopo di evitare la creazione di misconcezioni e, al contrario, vogliono favorire la flessibilità di approccio ai singoli contenuti. Per questo motivo si sono individuate modalità diverse per stimolare i bambini a esercitarsi: attività da svolgere a livello individuale o in coppia per allenare una specifica abilità, oppure giochi da eseguire al computer per stimolare il consolidamento di alcune conoscenze, oppure proposte per favorire una riflessione sistematica sui passaggi che caratterizzano il concetto di numero, l’acquisizione della tecnica dell’addizione e della sottrazione. Grazie all’azione dell’insegnante l’errore diventa occasione di riflessione a livello metacognitivo e si affianca al ragionamento che viene richiesto agli alunni sulle modalità individuate per risolvere uno specifico compito. Attivare modalità diverse facilita una flessibilità di pensiero che aiuta a comprendere meglio il contenuto a cui ci si approccia. Il colmare le lacune diventa allora un’attenzione ai bisogni degli alunni più fragili. La costruzione dei concetti matematici è strettamente correlata alla capacità di utilizzare più registri di rappresentazioni, ovvero modalità diverse di costruire concetti. Introduzione ◆ 23
Si vuole porre l’attenzione alle situazioni che si creano in aula, dove le interazioni tra insegnante, alunni e contenuti disciplinari si intrecciano costantemente alle varie modalità del sapere: il sapere conosciuto, il sapere da insegnare e il sapere insegnato. In questo volume l’attenzione è sul concetto di numero, sulle addizioni e sulle sottrazioni entro il mille: tutti questi aspetti implicano l’abilità del contare. Gelman e Gallister individuano cinque principi fondamentali nell’abilità del contare (Gelman e Gallister, 1978) che riassumo brevemente per chiarire le basi sulle quali sono state organizzate alcune schede di questo libro. Il primo principio è il principio uno – uno, cioè ogni singolo oggetto di una serie viene segnato con etichette distinte. Per dimostrare di possedere questo principio il bambino deve saper coordinare due processi: separare, anche mentalmente, gli oggetti contati da quelli da contare e definire con una etichetta verbale-numerica gli oggetti che conta. Quali sono i possibili errori? Etichettare un elemento più di una volta o saltarne uno, usare la stessa etichetta più di una volta oppure non mettere in relazione i due processi. Il secondo principio è il principio dell’ordine stabile per cui le etichette numeriche che si usano devono essere adottate e utilizzate sempre in un determinato ordine ripetibile. Per facilitare la memorizzazione, i numeri comunemente usati hanno una regola generativa-linguistica: diventa automatico ricordare nella sequenza numerica che dopo venti viene vent-uno poi venti-due, dopo trenta viene trent-uno, trenta-due, ecc. I numeri da dieci a venti non seguono questa facilitazione linguistica, per questo sono più difficili da memorizzare: undici = uno e dieci, dodici = due e dieci, tredici = tre e dieci… ma poi diciassette = dieci e sette e così via. La parola venti non richiama il numero due da dieci, per dire due decine parrebbe più conforme la parola dodici che può far venire in mente due dieci. Il terzo principio è il principio della cardinalità: l’etichetta ultima di una serie dà il nome, decide la proprietà numerica dell’insieme, il nome formale è il cardinale dell’insieme. Secondo Gelman e Gallister un bambino che conta e, alla fine della conta, ripete l’ultimo numero (ad esempio se dice: uno due tre… tre), possiede questo principio, perché la ripetizione dell’ultimo numero è un indice del fatto che a quel numero viene attribuito un ruolo diverso. Il quarto principio è il principio di astrazione e sostiene che i principi precedenti possono essere utilizzati a ogni serie o collezione di unità. Questo vuol dire che tutto ciò che si può in qualche modo scomporre, può essere contato. Il quinto principio è il principio di irrilevanza dell’ordine, ossia il risultato non cambia qualunque sia l’elemento da cui parte la conta. Il bambino deve prenderne consapevolezza nella procedura di conteggio, ma per bambini molto piccoli questo non è affatto scontato. Karen Fuson, nella teoria dei contesti diversi (Fuson, 1988) è convinta che siano indispensabili ripetuti momenti di apprendimento e quindi molto tempo, prima che principi del calcolo vengano utilizzati in modo corretto e competente. I momenti di apprendimento con i bambini piccoli vanno intesi come occasioni che la quotidianità offre: dall’apparecchiare la tavola (quante persone a tavola - quanti piatti, bicchieri, posate occorrono?), al proprio numero di scarpe o al numero di telefono o di casa. Opportunità di fare esperienza numerica per far emergere risposte, 24 ◆ Recupero in… Matematica 1
osservazioni, riflessioni sulla conoscenza dei numeri, sul mondo della geometria, della misura che portano in primo piano il concetto di uno e il suo seguente. Le ricerche condotte da Karen Wynn (Wynn, 1992) sostengono come la sensibilità dei bambini nei confronti del numero e della numerosità superi la percezione degli oggetti come unità numerabili e coinvolga anche le azioni; una mediazione fra i due pensieri comporta l’importanza sia di un apprendimento strumentale sia di un apprendimento sul campo perché entrambi necessari alla conoscenza numerica. L’apprendimento raggiunge la massima efficacia quando è ancorato all’esperienza, di questo ogni insegnante è consapevole e in quest’ottica si adopera per creare situazioni di insegnamento-apprendimento. Per quanto riguarda gli errori maggiormente commessi dai bambini nella lettura dei numeri, si possono individuare errori di lettura a base sintattica, quelli cioè dovuti a difficoltà nel riconoscimento delle posizioni delle cifre all’interno del numero, legati pertanto alla sintassi interna del numero stesso; ad esempio 574 che viene letto «cinquesettequattro», oppure 20057 che viene letto «duecentocinquantasette». I processi sintattici organizzano le conoscenze semantiche. Nello specifico, tali processi riguardano le relazioni spaziali tra le cifre che compongono il numero, sono i meccanismi che ci consentono di definire le decine, le unità, le centinaia, presenti in un numero. La grammatica del numero quindi è determinata dalla posizione che le cifre occupano all’interno del numero stesso e tali cifre acquisiscono un certo valore proprio in base alla posizione occupata. L’errore appare segnato sul compito e per parafrasare il detto «La matematica non è un’opinione» si fa strada l’idea che «o si esegue il lavoro in un certo modo o si commettono sbagli». Si fa largo la visione di rigidità nelle richieste, l’importanza del mandare a memoria, la natura dicotomica dell’errore, e così via: tutto ciò concorre a realizzare un basso indice di popolarità della matematica. Diventa quasi una necessità la riflessione sui tre vertici del processo di insegnamento-apprendimento (studente-insegnante-disciplina). In riferimento al recupero delle conoscenze, Reuven Feuerstein offre un importante spunto di riflessione introducendo il concetto di Modificabilità Cognitiva. Contrapponendosi alla teoria innatista di intelligenza, egli sostiene che le facoltà intellettive di ognuno di noi possono essere modificate e accresciute durante tutto l’arco della vita. In questo processo continuo, riveste un ruolo fondamentale la mediazione sociale, perché l’apprendimento ha luogo all’interno di una relazione e non in seguito a un’esposizione agli stimoli. L’obiettivo finale non è l’accrescimento di conoscenze, anche se di fatto questo si verifica, ma lo sviluppo degli strumenti conoscitivi e il consolidamento delle abitudini cognitive superiori: non sono importanti i contenuti di per sé, ma i processi che vengono attivati. Un’attenta declinazione delle attività, la gradualità delle proposte, il suggerimento delle modalità di lavoro sottintendono non solo la sequenzialità degli apprendimenti, ma anche la successione dei processi messi in atto dagli allievi. In quest’ottica il recupero assume un duplice ruolo: il docente ha modo di rivedere la disciplina, il sapere e i suoi nodi concettuali. Può porsi una serie di domande per comprendere meglio la situazione: ciò che è causa di sbaglio per lo scolaro è un punto nodale della materia? come affrontarlo, quali strategie porre in atto? occorrono tempi più lunghi? come capire le radici di eventuali misconcetti? Introduzione ◆ 25
come capire il modo di procedere dell’alunno? come può l’alunno accogliere l’errore, farlo diventare occasione di riflessione sul proprio lavoro vivendosi come soggetto in formazione e attore del proprio percorso? I bambini costruiscono le loro competenze organizzando e verificando ciò che hanno imparato, creando collegamenti tra ciò che sapevano prima e ciò che stanno acquisendo. In ogni processo di insegnamento-apprendimento risulta importante promuovere uno scambio comunicativo, in cui lo scolaro entra in sintonia con la disciplina, e la disciplina ha qualcosa da dire allo scolaro. Divertirsi con la matematica è possibile ed è cruciale che i bambini vivano esperienze di successo, anche sperimentando l’errore: far convivere queste due affermazioni significa attivare processi di pensiero liberi dalla paura di sbagliare. Il bambino ‘oserà’ fare domande, esplicitare una difficoltà, esprimere strategie non espresse da altri, adottare modalità proprie, seguire le proprie intelligenze e i propri stili di pensiero. L’apprendimento del concetto di numero e della tecnica di addizioni e sottrazioni costituisce un tassello fondamentale nel percorso di alfabetizzazione ai concetti aritmetici di base: attraverso il consolidamento di alcuni passaggi cruciali il bambino potrà usare i numeri in modo sempre più consapevole e accrescere le proprie competenze nella lettura della realtà che lo circonda, anche da un punto di vista matematico.
Il libro I materiali del testo Recupero in… matematica 1 si suddividono in oltre 200 schede su supporto cartaceo e in 13 attività su CD-ROM. Ogni capitolo è introdotto da una tabella con la sintesi delle caratteristiche dei materiali in esso contenuti: per ciascuna area tematica sono indicate le schede di riferimento, il contenuto affrontato e le indicazioni metodologiche con cui è possibile eseguire il lavoro (attività individuali, a coppie, di metacognizione, con il supporto della Lavagna Interattiva Multimediale e delle risorse contenute all’interno del software). Queste ultime indicazioni sono state anche riportate all’interno delle singole schede, utilizzando quattro diversi simboli che richiamano la modalità di esecuzione dell’esercizio. L’attività individuale ha lo scopo di aiutare l’alunno a rielaborare i contenuti in modo autonomo, mentre l’attività in coppia è pensata per stimolare i bambini a svolgere insieme l’esercizio, alternandosi nell’esecuzione e confrontandosi sulle modalità e sulle strategie adottate per completare il compito. Agire e verbalizzare i processi seguiti, pensare al proprio pensiero, spiegare come è stato svolto un lavoro porta a riflettere sui processi e, grazie al confronto con i compagni, a sperimentare nuove strategie. Le schede si articolano in tre sezioni: Numeri e cifre, L’addizione, La sottrazione. Il campo numerico considerato nelle tre sezioni spazia da zero a mille: con gradualità crescente e attraverso rappresentazioni grafiche diverse, gli alunni sono stimolati ad avvicinarsi ai concetti di numero, di addizione e di sottrazione, ad approfondirli e a consolidarli colmando eventuali lacune. 26 ◆ Recupero in… Matematica 1
Legenda dei simboli utilizzati
Attività individuale
Attività in coppia
Spunti di riflessione sui processi metacognitivi attivati
Attività da svolgere con il supporto della LIM
Nella prima sezione si affronta la conoscenza numerica: se il numero è inteso come simbolo che accompagna la quantità, diventa fondamentale saper leggere e scrivere questi simboli, saperli confrontare e ordinare secondo la quantità che rappresentano. Le schede propongono la lettura e la scrittura dei numeri attraverso molteplici rappresentazioni grafiche: gli alunni sperimentano l’individuazione della quantità, l’associazione al numero corrispondente, il confronto tra quantità diverse, l’uso dei simboli > = <, l’ordinamento sulla linea dei numeri, la loro composizione e scomposizione. Si è prestata attenzione alla disposizione degli elementi negli insiemi, perché essa può diventare un aiuto nella memorizzazione della quantità stessa. Gli elementi sono stati organizzati spazialmente con collocazioni diversificate per incentivare la flessibilità nel contare. I simboli numerici sono proposti in modo non sequenziale per agevolare l’apprendimento dell’abbinamento quantità-numero, e per evitare di dover ripetere tutta la successione fino al simbolo necessario soprattutto per i numeri oltre il 20. Nei numeri entro il 10 per la corrispondenza quantità-numero sono state inserite anche delle lettere dell’alfabeto in stampato maiuscolo in modo che il bambino presti attenzione ai simboli numerici e al loro orientamento spaziale anche quando si tratta di una sola cifra. Le lettere diventano così dei distrattori, che impegnano lo scolaro a non eseguire il lavoro in modo meccanico, ma a prestare attenzione e a riflettere su quanto sta facendo. Un numero di due o più cifre richiede una lettura che va oltre la dizione delle cifre stesse: subentra il significato profondo della conoscenza del loro valore posizionale. Riconoscere le relazioni spaziali che intercorrono tra i simboli numerici accompagnati da u, da, h è un’abilità che viene incrementata attraverso la Introduzione ◆ 27
visualizzazione di materiali e rappresentazioni grafiche complementari. I blocchi aritmetici multibase (B.A.M.), l’abaco, i regoli concorrono a far sperimentare e a consolidare la conoscenza del valore posizionale ai fini di una padronanza più consapevole dei numeri. Conoscere i numeri e il loro valore permette di avvicinarsi al mondo delle operazioni aritmetiche. Nella prima sezione sono inserite molte schede che accompagnano l’alunno a passare da un gruppo di unità a una decina, da un gruppo di decine a un centinaio, da un gruppo di centinaia al migliaio. La visualizzazione della quantità permette al bambino di toccare con mano la trasformazione di singole parti in pezzi più grandi e di vedere come la formazione di alcuni numeri utilizza le stesse cifre che occupano, però, posizioni diverse. Per esempio, il 10 è formato da alcune coppie amiche di unità: 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7 e così via. Anche il 100 può essere composto da coppie amiche formate da decine: 1 decina e 9 decine, 2 decine e 8 decine, ecc. Lo stesso dicasi per il 1000 e per le coppie amiche di centinaia chiamate a comporlo. L’acquisire dimestichezza con la formazione del numero è un’abilità che è necessario consolidare per procedere nella conoscenza dell’aritmetica e dei suoi processi: essa si costruisce passando gradualmente dalla visualizzazione delle ‘coppie amiche’di sole unità, decine o centinaia, alla padronanza di numeri complementari che comprendono tutti e tre i valori. Muoversi con sicurezza nella gestione dei simboli numerici facilita il passaggio a operare con i numeri: contare per contare non ha significato in sé, assume valore nel momento in cui viene utilizzato in una interazione con l’ambiente. Il calcolo implica il riconoscimento del segno e l’attivazione di procedure specifiche: nella seconda e nella terza sezione si approfondiscono i passaggi che portano all’acquisizione della tecnica dell’addizione e della sottrazione, attraverso una progressiva automatizzazione della conoscenza procedurale. Le schede partono dalla rappresentazione grafica di elementi in insiemi che vengono uniti o disgiunti, per poi passare all’uso dei numeri. L’abaco viene privilegiato quale strumento fondamentale per visualizzare il valore posizionale delle cifre, in quanto facilita la comprensione del sistema di numerazione in base dieci. Anche le «casette» sono state pensate per aiutare l’incolonnamento dei numeri in base al loro valore e per aiutare a comprendere il concetto di cambio nell’addizione e nella sottrazione. Le schede propongono in successione tutti i casi possibili: dalle addizioni e sottrazioni senza cambio, alle stesse operazioni con uno o più cambi, sequenziali o alternati, fino al livello più articolato in cui vengono presentate operazioni in cui l’alunno deve individuare le cifre mancanti tenendo presente contemporaneamente la gestione del cambio.
Il software Accanto alle schede l’insegnante può utilizzare le attività inserite nel CD-ROM allegato, organizzato in quattro sezioni che ripercorrono i contenuti proposti nel 1
Per una spiegazione più approfondita relativa all’utilizzo del software si rimanda alla guida allegata al Cd-Rom.
28 ◆ Recupero in… Matematica 1
libro. Le sezioni sono: Numeri e cifre, Composizione e scomposizione del numero, Addizioni, Sottrazioni. Un personaggio-guida accompagna i bambini nel percorso di costruzione della padronanza dei contenuti e nell’acquisizione di alcuni automatismi: attraverso una serie di giochi i bambini sono invitati a esercitarsi sui passaggi cruciali che caratterizzano ogni argomento, quali la scrittura del numero, il riordino delle quantità, o la composizione di decine, centinaia e migliaia. Le proposte sono declinate lasciando possibilità di scelta sul grado di difficoltà che si intende affrontare: la gradualità non è articolata in livelli dipendenti l’uno dall’altro e ogni attività è liberamente navigabile. Nel CD-ROM è contenuta anche una cartella con alcune risorse utilizzabili sulla Lavagna Interattiva Multimediale (LIM). Questo strumento si sta diffondendo sempre di più nelle scuole italiane e senza dubbio la modalità di lavoro con la LIM attira i bambini: poter scrivere su una simile lavagna incuriosisce e stimola il piacere di «provare». Con gli strumenti grafici proposti nella cartella Materiali LIM l’insegnante può predisporre numerose attività per il gruppo-classe: per esempio può inserire sulla pagina di lavoro della lavagna una certa quantità di elementi e invitare i bambini ad organizzarli spazialmente, a raggrupparli in insiemi e a etichettarli con un numero, oppure a rappresentare l’utilizzo di alcuni materiali che i compagni manipolano contemporaneamente sul loro banco. Le risorse a disposizione sono le seguenti: – numeri sulle dita delle mani (da 1 dito a 10 dita); – regoli e maschera per la composizione delle coppie amiche; – B.A.M. (unità, decina, centinaio, migliaio); – abaco con 2 posizioni o con 3 posizioni; – casetta per la registrazione dei numeri; – tabella con i numeri da 1 a 100; – tabelle vuote da completare; – sfondo quadrettato.
Recupero in… Matematica 1 non dà una soluzione immediata alle difficoltà che gli alunni incontrano a scuola, ma offre situazioni-stimolo in cui essi possono ripercorrere gli aspetti salienti relativi ai concetti di numero, di addizione e di sottrazione e acquisire la strumentalità di base necessaria all’apprendimento dell’aritmetica.
BIBLIOGRAFIA Brousseau G. (1986), Fondamentes et Méthodes de la Didactique des Mathématiques, «Recherches en didactique des mathématiques», vol. 7.2, pp. 33-115, Grenoble, Le pensée sauvage. D’Amore B. (2001), Didattica della matematica, Bologna, Pitagora Editrice. Fischbein E. (1985a), Ostacoli intuitivi nella risoluzione di problemi aritmetici elementari, In Chini Artusi L. (ed.) (1985). Numeri e operazioni nella scuola di base. Bologna, Zanichelli-UMI, pp. 122-132. Introduzione ◆ 29
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scheda
LETTURA E SCRITTURA DEI NUMERI conta gli elementi degli insiemi e cerchia il numero che indica la quantità.
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ORDINAMENTO QUANTITÀ/NUMERO scrivete il numero degli elementi di ogni insieme; poi riordinateli iniziando dal maggiore, in ordine decrescente.
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ADDIZIONI ENTRO IL 100 SENZA CAMBIO spezza gli addendi in decine e unità ed esegui a mente, poi scrivi solo il risultato finale.
esempio: 45 + 32 = (40 + 30) + (5 + 2) = 70 + 7 = 77 esegui questa parte a mente, o a voce all’insegnante o a un compagno
15 + 64 =
14 + 72 =
26 + 43 =
72 + 12 =
77 + 22 =
35 + 61 =
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ADDIZIONI ENTRO IL 1000 con 3 addendi SENZA CAMBIO esegui in colonna le seguenti addizioni scrivendole nelle casette; poi riporta il risultato vicino al segno =.
313 + 31 + 145 = ..............
213 + 31 + 145 = ..............
514 + 434 + 21 = ..............
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SOTTRAZIONI ENTRO IL 10 scrivi il numero degli elementi, registra con i numeri il lavoro e scrivi il risultato.
..... - ..... = .....
..... - ..... = .....
..... - ..... = .....
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scheda
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SOTTRAZIONI ENTRO IL 100 SENZA CAMBIO usa la linea dei numeri per eseguire i calcoli e, a lavoro concluso, rispondi alle domande.
76 – 13 = ………. 89 – 17 = ………. 83 – 21 = ………. 95 – 32 = ………. 78 – 23 = ……….
hai utilizzato qualche stategia per eseguire il lavoro?
sì
no
se sì, quale? scrivi le parole-chiave che meglio la raccontano. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................
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scheda
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SOTTRAZIONI entro il 20 CON IL CAMBIO eseguite le seguenti sottrazioni con l’uso dell’abaco e registrate il passaggio di decina.
12 – 5 = ............
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