MODULO
D
PROBLEMA 1
Una barra d’acciaio di lunghezza l = 2 m e sezione trasversale di area A = 250 mm2, è sottoposta a una sollecitazione di trazione F = 3900 daN. Sapendo che l’allungamento assoluto della barra è ∆l = 1,5 mm, determinare il valore del modulo di elasticità longitudinale E.
Soluzione Per la legge di Hooke si ha:
σ = Eε dove la tensione interna normale vale:
σ=
F 39 000 N = = 156 A 250 mm 2
e l’allungamento relativo vale:
ε=
∆l 1, 5 = = 0, 00075 l 2000
Pertanto, il valore del modulo di elasticità longitudinale E assume il valore: E=
Sollecitazioni dei materiali
σ 156 N = = 208 000 ε 0, 00075 mm 2
MODULO D
MODULO
D
PROBLEMA 2
Calcolare la forza necessaria per allungare di un millimetro un filo di rame avente le seguenti caratteristiche: — lunghezza l = 2 m; — diametro d = 4 mm; — modulo di elasticità longitudinale E = 122 600 N/mm2.
Soluzione
L’espressione della tensione interna normale σ è:
σ=
F A
in cui A rappresenta l’area della sezione del filo, che vale: A=
π d2 π 42 = = 12, 57 mm 2 4 4
L’espressione dell’allungamento relativo ε è:
ε=
∆l l
Per la legge di Hooke deve essere: e sostituendo le espressioni di σ e ε si ottiene:
σ = Eε F ∆l =E A l
da cui si ricava l’intensità della forza F: F=
Sollecitazioni dei materiali
E A ∆l 122 600 × 12, 57 ×1 = = 770, 5 N l 2000
MODULO D
MODULO
D
PROBLEMA 3
Una lamiera in acciaio di larghezza l = 1 m, spessore s = 10 mm e tensione di snervamento ReL = 235 N/mm2, presenta una fila di 12 fori di diametro d = 22 mm ed è soggetta a una forza di trazione F = 70 000 daN. Verificarne la resistenza.
Soluzione L’area della sezione resistente vale:
(
)
A = 1000 −12 × 22 10 = 7360 mm 2 Si osservi che la presenza dei fori è causa di concentrazione di tensioni, ma i materiali metallici duttili, in caso di sollecitazioni statiche, non risentono di tale fenomeno, per cui la tensione massima è uguale alla tensione nominale e assume il seguente valore:
σ max =
700 000 N = 95 7360 mm 2
Il valore della tensione ammissibile è:
σ ams =
ReL 235 N = = 130, 5 gS 1, 8 mm 2
Confrontando la tensione massima con quella ammissibile, ossia secondo l’equazione di stabilità, si ha:
σ max < σ ams
per cui la lamiera è in condizioni di sicurezza.
Sollecitazioni dei materiali
MODULO D
MODULO
D
PROBLEMA 4
Un corpo cilindrico di alluminio, di diametro d = 15 mm, è sottoposto a una forza di trazione N = 5500 N (Fig. D4 ). Sapendo che il modulo di elasticità longitudinale vale E = 68 700 N/mm2 , il coefficiente di Poisson è v = 0,37, determinare il valore della contrazione trasversale subita dal corpo.
Fig. D4
Rappresentazione dell’allungamento ∆l e della deformazione trasversale εt di un corpo cilindrico soggetto a sollecitazione assiale di trazione.
Soluzione
La tensione interna normale σ, che nasce nella sezione trasversale del corpo, vale:
σ=
N 5500 N = ≅ 31 2 A π 15 mm 2 4
Dall’espressione della legge di Hooke:
σ = Eε
si ricava il valore della deformazione relativa ε:
ε=
31 = 0, 00045 68 700
La deformazione trasversale εt assume il seguente valore:
ε t = −υ ε = −0, 37 × 0, 00045 = −0, 00017
per cui il valore assoluto della contrazione trasversale ∆d del diametro è: ∆d = ε t d = 0, 00017 ×15 = 0, 0025 mm = 2, 5 µm
Sollecitazioni dei materiali
MODULO D
MODULO
D
PROBLEMA 5
Una trave in acciaio è rigidamente inserita in una struttura che subisce uno sbalzo termico ∆t = 25 °C. Poiché la trave, di lunghezza l = 3,2 m, può subire una variazione di lunghezza ∆l = 0,5 mm, considerando per l’acciaio il coefficiente di dilatazione lineare α = 12 × 10−6 1/°C e il modulo di Young E = 206 000 N/mm2, determinare il conseguente stato di tensione.
Soluzione Se la trave fosse libera, a causa dello sbalzo termico subirebbe l’allungamento assoluto: ∆l ' = α ∆t l = 12 ×10−6 × 25 × 3200 = 0, 96 mm Poiché la trave è vincolata e può subire l’allungamento ∆l = 0,5, la parte di deformazione ∆l* impedita vale: ∆l* = ∆l '− ∆l = 0, 96 − 0, 5 = 0, 46 mm corrispondente all’allungamento relativo:
ε=
∆l* 0, 46 = = 0, 00014 l 3200
La tensione interna normale σ, conseguente a tale allungamento, per la legge di Hooke, vale:
σ = E ε = 206 000 × 0, 00014 = 28, 8
Sollecitazioni dei materiali
N mm 2
MODULO D
MODULO
D
PROBLEMA 6
Un albero di trasmissione di diametro d = 45 mm e lunghezza l = 2,4 m, gira alla frequenza di rotazione n = 600 giri/min. Sapendo che l’angolo di torsione è ϑ = 5° e il modulo di elasticità tangenziale dell’acciaio vale G = 79 500 N/mm2, determinare la potenza trasmessa.
Soluzione L’espressione della potenza è: P = M t ω = Mt
2π n 60
Il momento torcente vale: Mt =
ϑ G Ip l
=
0, 087 × 79 500 × 402 578 = 1160 179 N mm = 1160 N m 2400
in cui il valore del momento quadratico polare Ip della sezione circolare piena è: Ip =
π 4 π d = 454 = 402 578 mm 4 32 32
e l’angolo di torsione, espresso in radianti, vale:
ϑ=
5π = 0, 087 rad 180
Pertanto il valore della potenza trasmessa è: P = 1160
Sollecitazioni dei materiali
2 π 600 = 72 885 W 60
MODULO D
MODULO
D
PROBLEMA 7
Una trave a sezione rettangolare appoggiata alle estremità, di lunghezza l = 1200 mm e spessore s = 20 mm, è soggetta al carico complessivo, distribuito su tutta la sua lunghezza, Q = 600 daN. Considerando che la tensione ammissibile del materiale è σams = 140 N/mm2, determinare il valore della larghezza della trave necessaria per resistere in sicurezza.
Soluzione Agli appoggi, la forza di taglio T è uguale al valore delle reazioni vincolari: R − Q + R = 0 B A 1 Q − RB l = 0 2
R = 6000 − 3000 = 3000 N A Q RB = = 3000 N 2 T=
Q = 3000 N 2
Al centro della trave il momento flettente Mf è massimo e vale: Mf =
Ql = 900 000 N mm 8
La larghezza b della trave si determina dall’espressione del modulo di resistenza a flessione, considerando la sola sollecitazione di flessione, ossia mediante l’equazione di stabilità a flessione: Mf Wf
≤ σ ams
Dall’equazione di stabilità si ricava il valore minimo del modulo di resistenza: Wf =
Mf
σ ams
=
900 000 = 6428, 6 mm 3 140
e dall’espressione del modulo di resistenza si ottiene la larghezza della trave: Wf = b=
1 2 bs 6
6 × 6428, 6 20 2
= 96, 42 mm
tale valore è arrotondato a 97 mm. In corrispondenza degli appoggi viene eseguita la verifica a taglio con: τ max ≤ τ ams
Sollecitazioni dei materiali
MODULO D
e:
τ ams =
σ ams 3
=
140 3
= 80, 8
N mm 2
poiché:
τ max =
N 3 T 3 3000 = = 2, 3 2 A 2 20 × 97 mm 2
la trave è ampiamente verificata alla sollecitazione di taglio: 2, 3 ≤ 80, 8
Sollecitazioni dei materiali
MODULO D
MODULO
D
PROBLEMA 8
L’albero porta elica di una nave, di diametro d = 600 mm, trasmette una potenza P = 33 100 kW alla frequenza di rotazione n = 175 giri/min. Sapendo che la spinta propulsiva dell’elica è N = 1500 kN e che il carico di rottura del materiale vale Rm = 650 N/mm2, verificare le condizioni di sicurezza dell’albero. Sollecitazioni composte: forza assiale e momento torcente Questo tipo di sollecitazione composta si verifica negli alberi di trasmissione, ai quali sono applicate due coppie di uguale intensità e verso opposto su due piani ortogonali all’asse geometrico dell’albero, e una spinta assiale di trazione o compressione. Un tipico esempio è il caso degli alberi propulsori delle eliche delle navi, sottoposti all’azione dei momenti torcenti della coppia motrice del motore e della coppia resistente dell’elica, applicati alle estremità, oltre alla spinta assiale di compressione rappresentata dalla spinta propulsiva dell’elica. Una qualsiasi sezione circolare trasversale dell’albero, presenta una distribuzione uniforme delle tensioni σ dovute alla forza assiale e una distribuzione delle tensioni τ dovute al momento torcente, variabile lungo il diametro della sezione, assumendo valori massimi sul contorno. Indicando con d e A, rispettivamente, il diametro e l’area della sezione, con N la forza normale e con Mt il momento torcente, le tensioni indotte dalle singole sollecitazioni nel piano della sezione assumono le seguenti espressioni:
σ=
N N = A π d2 4
τ=
Mt Mt = Wt π d 3 16
Poiché le due tensioni sono di tipo diverso, costituiscono un sistema di tensioni biassiale, riducibile a un sistema monoassiale equivalente, caratterizzato dalla tensione ideale σid di tipo normale, la cui espressione è:
σ id = σ 2 + 3 τ 2 Ai fini della verifica della resistenza dell’albero, nei punti più sollecitati della sezione, il valore della tensione ideale non deve superare quello della tensione ammissibile del materiale:
σ id = σ 2 + 3 τ 2 ≤ σ ams
Soluzione
Calcolata l’area A della sezione dell’albero, si determina la tensione interna normale σ generata dalla spinta propulsiva dell’elica: A=
π d 2 π 6002 = = 282 743 mm 2 4 4
σ=
Sollecitazioni dei materiali
N N 1 500 000 = = 5, 3 A 282 743 mm 2
MODULO D
Dall’espressione della potenza di una coppia: P = M t ω = Mt
2π n 60
si ricava il valore del momento torcente che sollecita l’albero: Mt =
60 P = 1 806 181 N m = 1806 × 106 N mm 2π n
Determinato il valore del modulo di resistenza a flessione della sezione: Wt =
π d 3 π 6003 = = 42 411 501 mm 3 16 16
si ricava il valore della tensione interna tangenziale τ indotta dalla sollecitazione di torsione:
τ=
Mt 1 806 181 000 N = = 42, 59 42 411 501 Wt mm 2
Pertanto, la tensione ideale σid vale:
σ id = σ 2 + 3 τ 2 = 5, 32 + 3 × 42, 59 2 = 74
N mm 2
Il valore della tensione ammissibile statica σams, per un grado di scurezza gR = 2,7, è:
σ ams =
650 N = 241 2, 7 mm 2
Tale valore è riferito a condizioni di sollecitazione statica, mentre l’albero è sollecitato a fatica, per cui occorre considerare la tensione ammissibile a fatica σamf, che in prima approssimazione si può ritenere uguale a 1/3 di quella statica:
σ amf = con tale valore si ha:
σ ams N = 80, 3 3 mm 2 σ id ≤ σ amf
ossia: 74 ≤ 80, 3 la resistenza dell’albero è dunque garantita.
Sollecitazioni dei materiali
MODULO D
