OPGAVER
1
Opgaver til
Uge 5 – Store Dag Opgave 1
Løsning af ligningssystemer
Disse første opgaver er introducerer til løsning af lineære ligningssystemer. De løses alle ved h˚andregning. a) Find den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem: x1 + 2x2 − 4x3 = 2 x2 − 2x3 = −1
(1)
x3 = 2 b) Find den fuldstændige løsning til det lineære ligningssystem: x1 − x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 1
(2)
4x1 + 4x2 + 4x3 + 3x4 = 5 c) Find den fuldstændige løsning til det komplekse lineære ligningssystem: i x1 − 2x2 = −i x1 + (1 + i ) x2 = 1
(3)
d) Find den fuldstændige løsningsmængde til det lineære ligningssystem: x1 + 2x2 + 2x3 = 2 x2 + 3x3 = 3 x1 + 4x2 + 8x3 = 9
(4)
OPGAVER
Opgave 2
2
Introduktion til Maple
Matematikprogrammet Maple er e´ t blandt flere matematikprogrammer som bruges i undervisningen og til forskning p˚a DTU . Her er en kort introduktion til de vigtigste aspekter. Det er vigtigt, at du bruger noget tid til at sætte dig ind i Maple, fordi du skal bruge det rigtig meget i Matematik 1. Hvor f˚ar jeg fat p˚a Maple? Du henter Maple til din computer p˚a http://gbar.dtu.dk/software. Log ind med din DTU-bruger, tryk p˚a: Maple → 2015, og vælg den installationsfil, som passer til dit styresystem. Noter installationsnøglen (Activation key Stand alone), den skal du bruge, n˚ar du installerer programmet. Opsætning af Maple N˚ar du skal i gang med Maple, er der to options du skal tage stilling til: 1) Ønsker jeg at arbejde i worksheet-mode eller i document-mode, og 2) Ønsker jeg at skrive kommandolinjer med MapleNotation eller 2D-Math Notation. I undervisningen p˚a DTU benyttes kombinationen worksheet-mode og MapleNotation. Hvis du indtiller din Maple til denne kombination, der fx benyttes i kursets MapleDemo’er, skal du følge denne opskrift: Første gang du starter Maple: 1. G˚a til Tools → Options → Interface → Default format for new worksheets og skift til Worksheet. Afslut med Apply Globally. 2. G˚a til Tools → Options → Display → Input display og skift til Maple Notation. Afslut med Apply Globally. 3. Start Maple p˚a ny – nu er vi klar! Blandt de gymnasier som er begyndt at bruge Maple, er der mange der anbefaler 2DMath Notation. En af fordelene er, at man s˚a bedre kan benytte sig af paletter og højrekliksmenuer. P˚a DTU anses den r˚a tekstkode, dvs. Maple Notation, for at være mere videnskabelig, idet dokumentationen for hvad der foreg˚ar, er mere klar. I er naturligvis velkomne til selv at eksperimentere med jeres Maple-opsætning. Tutorial i Maple og opgaver Start Maple. Maple fungerer efter princippet med spørgsm˚al (input) og svar (output): Du stiller spørgsm˚al p˚a en kommandolinje (til højre for det røde > tegn) som input til Maple, og Maple svarer med et output, centreret og i bl˚a s˚aledes, at svar tydeligt kan kendes fra spørgsm˚al. Hvis du vil have Maple til at acceptere et input, men uden at vise svaret, skal du skrive kolon efter kommandoen. Som det allerførste input i ethvert Maple-ark skriver du
OPGAVER
3
> restart; Maple udfører kommandoen, n˚ar du trykker Enter. Denne kommando vil nulstille hukommelsen i arket, og da det er tit, du udfører alle kommandoerne i arket efter hinanden flere gange, er det nødvendigt at nulstille i toppen. Læg mærke til, at der ikke kommer noget svar fra Maple uanset om du slutter kommandoen med kolon eller ej. Prøv nu følgende regnestykke: > 2 + 2; Maple kan naturligvis fungere som lommeregner! Men programmets mere interessante egenskaber ligger i dets evne til at foretage symbolske matematiske operationer. For eksempel bliver sin x differentieret med hensyn til x med kommandoen > diff(sin(x) , x) ; Prøv det. I dette tilfælde bruger man kommandoen diff. Til kommandoen hører to argumenter: sin(x) og x, som er adskilt med komma. Maple kan ogs˚a plotte funktioner. Den simpleste plot-kommandoen er plot. Kommandoen har minimum to argumenter: Det, der skal plottes, og grænserne af den uafhængige variable. Hvis man eksempelvis ønsker at se funktionen sin x i intervallet mellem 0 og 5, benyttes kommandoen > plot(sin(x), x=0..5); Intervaller angives altid med to punktummer efter hinanden. For at f˚a samme enheder p˚a akserne skrives desuden scaling=constrained som tredje argument, alts˚a: > plot(sin(x), x=0..5, scaling=constrained); Kan du se forskellen? Der er et hav af valgfri argumenter og kombinationsmuligheder til plot-kommandoen. Til at finde den, som passer bedst til dine behov, kan du enten bruge Maples hjælpefunktion i menulinjen eller ogs˚a kan du skrive > ?plot; At skrive et spørgsm˚alstegn foran virker med alle kommandoer. Her er endnu et eksempel p˚a et plot, nu med flere funktioner og flere argumenter. Prøv at gætte hvad de gør eller sl˚a op i Maples hjælpefunktion under plot-kommandoen. > plot([sin(x),x^2],x=0..5,y=-2..2,color=[red,blue],scaling=constrained); Du kan lave potenser ved at trykke p˚a ∧ tasten. I dag har du lært lidt om lineær algebra, og det er derfor her, vi tager udgangspunkt for det, du i det følgende skal lære om Maple. Maple kan selvfølgelig regne med matricer, men før man kan gøre det, skal man inkludere en pakke i Maple, som vil lukke op for en række kommandoer, der har med lineær algebra at gøre. Pakken hedder LinearAlgebra og den inkluderes ved denne kommando:
OPGAVER
4
> with(LinearAlgebra): Læg mærke til, at kommandoen denne gang er skrevet med kolon til sidst. Prøv først at skrive kommandoen uden, og se derefter forskellen. Outputtet fra Maple er alle de kommandoer, som pakken inkluderer. Det er imidlertid overflødig information, og derfor kan det være en ide at afslutte kommandoen med kolon for at undg˚a outputtet. Læg ogs˚a mærke til at LinearAlgebra indeholder et stort L og A. Maple skelner mellem sm˚a og store bogstaver, og derfor er det vigtigt at du skriver LinearAlgebra som det st˚ar her. Ellers f˚ar du en fejlmelding fra Maple. Det lille lineære ligningssystem 3x − 7y = 1
−2x − y = 4 har koefficientmatricen
3 −7 −2 −1
(5)
(6)
I Maple ønsker vi at kalde denne matrix for A. Man tildeler en variabel i Maple en værdi ved hjælp af det dynamiske lighedstegn := (kolon lighedstegn). Det virker alts˚a ikke, hvis man kun bruger et lighedstegn. S˚a tolker Maple nemlig inputtet som en ligning (som man eventuelt senere har lyst til at løse). Man kan i Maple skrive matricer ved hjælp af de fire tegn <>, | p˚a denne m˚ade > A := < <3 | -7> , <-2 | -1> >; eller > A := < <3,-2> | <-7,-1> >; Den sidste og nemmeste mulighed er dog at bruge Matrix-paletten til venstre for kommandovinduet: Tryk p˚a Matrix-paletten angiv hvor mange rækker og søjler matricen skal have, og tryk derefter Insert Matrix. Udfyld det første felt som er highlighted og brug tabulatortasten til at komme videre til næste felt. S˚adan kan du fortsætte. Prøv at se, hvad nogen af de andre paletter kan. Definer nu ogs˚a højresiden b ved > b := <1,4>; eller med paletten. Man kan løse det lineære ligningssystem med kommandoen LinearSolve (husk igen forskellen p˚a store og sm˚a bogstaver): > LinearSolve( A , b ); Vi kan ogs˚a betragte de to ligninger med to ubekendte som et spørgsm˚al om skæring mellem to linjer i en plan. Hvis vi ønsker at illustrere det, skal vi bruge en anden pakke, skriv:
OPGAVER
5
> with(plots): Læg igen mærke til brugen af kolon til sidst. plots-pakken indeholder mere avancerede former for plots end kommandoen plot kan klare. Nu prøver vi at plotte de to linjer sammen: > linje1 := implicitplot( 3*x - 7*y = 1 , x = -3 .. 3 , y = -3 .. 3): > linje2 := implicitplot( -2*x - y = 4 , x = -5 .. 3 , y = -3 .. 3): Plottene kan herefter flettes sammen og vises med denne kommando (og scaling = constrained er ogs˚a inkluderet som argument): > display([linje1 , linje2] , scaling=constrained); Gangetegnet skriver du med * (asterisk). Det er vigtigt, at du altid skriver gangetegnet og ikke udelader det som man ofte ellers vil gøre, n˚ar man skriver matematik. Hvis du i stedet for at skrive 3 · x − 7 · y prøvede at skrive x3 − y7 uden gangetegnene havde du f˚aet en fejlmelding i Maple. Prøv! S˚a: Husk altid at skrive gangetegnene! Sammenlign skæringspunktets koordinater med den tidligere fundne løsning til de to ligninger for linjerne. Du kan aflæse koordinaterne ved at klikke p˚a plottet og derefter p˚a plotsymbolet i menulinjen. Vælg en af de tre nederste muligheder, og hold cursoren over plottet. Afprøv alle tre muligheder for aflæsning. Stemmer det overens (nogenlunde) med resultatet fra udregningen? Nu skal vi prøve at løse opgave 1b) i Maple. Skriv (og forst˚a!) følgende kommandoer: > restart: with(LinearAlgebra) : Der er givet ligningerne: > lign1 := x1 - x3 + x4 = 0 : > lign2 := x1 + x2 + x3 + x4 = 1: > lign3 := 4*x1 + 4*x2 + 4*x3 + 3*x4 = 5: Vi danner (genererer) ligningssystemets totalmatrix: > T :=<< 1, 1, 4 > | < 0, 1, 4 > | < −1, 1, 4 > | < 1, 1, 3 > | < 0, 1, 5 >>; Skriv de følgende kommandoer og se, om det bliver det samme, som da du regnede opgaven i h˚anden. > T1 := RowOperation(T , [2,1] , -1); > T2 := RowOperation(T1 , [3,1] , -4); > T3 := RowOperation(T2 , [3,2] , -4); > T4 := RowOperation(T3 , 3 , -1); > trapT := RowOperation(T4 , [1,3] , -1);
OPGAVER
6
Prøve nu at opskrive det tilhørende fuldstændigt reducerede lineære ligningssystem. Man kan komme frem til trappeformen af en matrix straks ved hjælp af kommandoen > trapT2 := ReducedRowEchelonForm(T); Opskriv løsningsmængden p˚a standardparameterform og sammenlign den med det følgende (som er den hurtigste løsningsmetode – LinearSolve bliver din ven!): Først skal du definere koefficientmatricen > A:= og højresiden > b:=. Derefter forsøger du med: > LinearSolve(A,b,free=t); Giver alle løsningsmetoderne det samme? Tips, tricks og faldgruber (Genvejene er kun til Windows-versionen) • Man kan indsætte en kommandolinje lige over den aktive kommandolinje ved at trykke Ctrl + K. For at indsætte en nedenunder bruges Ctrl + J. eller bruge Insert → • Man kan lave et felt til tekst ved at trykke p˚a knappen Text. P˚a samme m˚ade kan man lave kommandolinjer til udregning ved at bruge eller Insert → Maple Input / Insert → 2-D Math alt efter hvilken input-typen man plejer at bruge. (Genvejene er Ctrl + T, Ctrl + M og Ctrl + R). • I et tekstfelt (Insert → Text) kan man skifte mellem at skrive normal tekst og “pæn” matematik (2-D Math) ved at bruge knapperne
eller F5.
• Er du træt af at skrive lange kommando-navne? Prøv at skriv noget af navnet (for eksempel LinearA) og tryk derefter Esc eller Ctrl + Mellemrum. Nu f˚ar du nogle valgmuligheder, som du kan vælge imellem ved hjælp af piletasterne. P˚a den samme m˚ade kan du for eksempel ogs˚a lave Pi om til π i 2-D Math mode (Maple skelner ikke mellem Pi og π, men det sidste ser pænere ud). • Tallet π (3,141592654...) skrives i Maple med stort P! Alts˚a Pi og ikke pi. Hvis man skriver det med lille associerer Maple ikke egenskaberne med π. Tilsvarende findes grundtallet e kun i form af funktionen exp i Maple! • Hvis du vil skrive flere kommandoer i e´ n kommandolinje, skal du adskille kommandoerne enten med kolon eller semikolon. Du kan g˚a en linje ned ved at bruge Shift + Enter. • Du kan slette en hel kommandolinje ved at trykke Ctrl + Del. • Brug Maples hjælpefunktion. Den er kanon!
OPGAVER
7
Opgave 3
Lineært ligningssystem med Maple
Givet ligningssystemet x1 + 2x2 + 2x3 = 6 x2 + 3x3 = 3
(7)
x1 + 4x2 + 8x3 = 12 a) Defin´er i Maple ligningssystemets koefficientmatrix A, højreside b og totalmatrix T. b) Afprøv de tre Maple-metoder: RowOperation, ReducedRowEchelonform og LinearSolve. c) Opskriv ligningssystemets løsningsmængde p˚a standard parameterform Opgave 4
Introduktion til Maple med komplekse tal
Download og gennemg˚a MapleDemo’en om komplekse tal. Heri introduceres de relevante maplekommandoer for denne opgave. Det er i denne opgave meningen at du skal bruge Maple til at løse følgende opgaver. Du har tidligere løst tilsvarende opgaver med papir og blyant, tænk over hvad det er Maple giver som svar og omsæt det en løsning p˚a opgaven. a) Hvad er i2 , i3 , i4 , i5 , (−i )2 , (−i )3 , (−i )4 og (−i )−5 ? b) Bestem realdelen og imaginær værdien af
−2 + 3i i og skriv tallet p˚a rektangulær form. c) Givet w = 1 − i . 1. Bestem | w | og arg(w) . 2. Bestem | ew | og arg(ew ) . d) Skriv følgende komplekse tal p˚a rektangulær form: π
1. ei 2
2. 3e1+πi
√ √ √ √ e) Givet tallene z0 = 1 + i 3 , z1 = − 3 + i , z2 = −1 − i 3 og z3 = 3 − i .
OPGAVER
8
1. Angiv de fire tal p˚a eksponentiel form. 2. Vis at der findes en binom ligning z4 = w hvori alle fire tal er en løsning. f) Løs de binome ligninger z2 = −4 , z2 = i og z2 = 1 − i . Skits´er løsningerne i den komplekse talplan. g) Løs de binome ligninger 1. z3 = 1 2. z3 = i 3. z3 = 1 + i og skits´er løsningerne i den komplekse talplan. h) Find løsningerne for ligningen z2 − (1 + 5i )z = 0 . i) Find løsningerne for ligningen z2 + (2 + 2i )z − 2i = 0 . j) Vis at x0 = 1 er rod i polynomiet P( x ) = x3 − x2 + x − 1 og bestem et andengradspolynomium Q s˚aledes at P ( x ) = ( x − 1) · Q ( x ) . k) Bestem samtlige komplekse rødder for 7. gradspolynomiet P(z) = (z6 − z5 + z4 − z3 )(z − 1) og angiv røddernes multipliciteter, faktoriser herefter polynomiet. l) Find for enhvert t ∈ R differentialkvotienterne af følgende funktioner: f 1 (t) = t2 + i sin(t) f 2 (t) = 1 + it5 f 3 ( t ) = t5 − i f 4 (t) = 3 eit f 5 (t) = i e2t+3it
