Le Condizioni per l’Equilibrio • La ’’Statica’’ studia le condizioni di equilibrio dei corpi ovvero le
leggi cui azioni e reazioni devono soddisfare affinché alla struttura sia garantita l’inamovibilità .
• Le strutture, soggette a carichi statici, devono rimanere immobili. • Le condizioni di equilibrio devono riguardare la struttura sia nella sua globalità, equilibrio esterno, sia nelle singole parti, equilibrio
interno.
• Nella prima parte del corso si è affrontato la statica dei corpi
rigidi e delle travi deformabili. Si sono valutate per le travi elastiche:
– condizioni di equilibrio, – compatibilità tra spostamenti e deformazioni, – legame elastico tra deformazioni e sollecitazioni.
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Le Condizioni per l’Equilibrio • Il primo obiettivo di un progettista è di determinare le condizioni di equilibrio senza il quale la struttura non può chiamarsi tale. • Si ricorda però che la funzionalità della struttura dipende anche dall’entità delle deformazioni, • Il calcolo delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazioni sono state valutate nell’ipotesi che gli spostamenti e le deformazioni della struttura siano piccolissimi rispetto alle sue dimensioni, cioè nel caso di spostamenti infinitesimi. • E’ di fondamentale importanza che la condizione di equilibrio sia Stabile • La stabilità di uno o più corpi rigidi riguarda il pericolo di spostamenti o di rotazione inammissibili dei corpi o dell’intera struttura.
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Equilibrio instabile per vincoli mal disposti Gli elementi sono mal disposti (inefficaci) per cui la struttura sotto particolari condizioni di carico può risultare labile
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Instabilità aerodinamica di strutture flessibili Nel caso di strutture civili il pericolo di instabilità può essere legato ai carichi eccezionali o alle caratteristiche del terreno su cui poggia Può essere in equilibrio instabile sotto carichi eccezionali
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Equilibrio instabile per cedimenti del terreno disuniformi Ad esempio un edificio fondato su un terreno con resistenza non uniforme o in forte pendenza può essere in equilibrio instabile: E’ argomento della GEOTECNICA
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Stabilità di Pendii e Muri di Sostegno È un argomento di Geotecnica
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Stabilità di Costruzioni Murarie
È un argomento di Statica delle Costruzioni Murarie 7
I requisiti delle strutture - Stabilità : Una struttura deve essere in equilibrio stabile, cioè non deve sussistere il pericolo di spostamenti inammissibili che ne comprometterebbero l’equilibrio.
A
B
C
C B A) Equilibrio Stabile ; B) Equilibrio Instabile ; C) Equilibrio Indifferente A
Una struttura è detta in equilibrio stabile se le forze conservative su essa agenti (gravità, elastica di richiamo) tendono a riportare la struttura nella posizione primitiva se ad essa è applicata una forza perturbatrice che la sposti. Da un punto di vista matematico si può affermare che una struttura soggetta a forze conservative è in equilibrio stabile quando è minima l’energia potenziale totale.
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Principio di minimo Energia Potenziale Totale: “Tra tutte le configurazioni cinematicamente ammissibili quella di equilibrio stabile si ha in corrispondenza del minimo relativo dell’energia potenziale totale”
P o sizio n e eq u ilib rio in stab ile: ∂V ( x ) ∂ 2V (x ) =0; <0. ∂x ∂x 2 M assim o en erg ia p o n en ziale
E n e rg ia p o te n z ia le ≡ c o n q u e lla to ta le V (x) ≡ Π
(x )=P
y(x)
P o sizio n e eq u ilib rio stab ile: ∂V ( x ) ∂ 2V (x ) =0; >0. ∂x ∂x 2 M in im o en erg ia p o n en ziale
P o s iz io n e e q u ilib rio in d iffe re n te : ∂V ( x ) ∂ 2V (x ) =0; =0. ∂x ∂x 2
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Stabilità di corpi rigidi con elasticità concentrate
Criterio o metodo energetico
per semplicità si sottintende δ
1 1 2 2 2 2 1 Π ( x ) =Ψ ( x ) +V( x)= ( K x A u x A + KϕB ϕB ) +(-P u yA ) = ( K x A l + KϕB ) ϕB - PlϕB2 Π (ϕ B ) 2 2 2 ∂ 2 Π (ϕ B ) 1 2 2 = K l K -P l 0 P K l Pcr carico critico + = ⇒ = + K ϕB ) . ( ) ( ϕ x cr x 2 A B A l ∂ϕ B Se il carico reale P
Pcr l'equilibrio è instabile; se P=Pcr l'equilibrio è indifferente.
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Stabilità di corpi rigidi con elasticità concentrate Criterio statico per determinare carico critico: = K xA l sin ( δϕB )
(x)=M (x) M in st (x) momento forze esterne M in (momento instabilizzante); (x) reazione elastica interna M st (momento stabilizzante).
(x)>M (x) l'equilibrio è stabile, se M (x)
in
(x)=P δ u = ( K δ u ) l cos (δϕ ) + K δϕ =M (x) ⇒ P = 1 ( K l 2 + K ) . M in yA xA xA B ϕB B st cr xA ϕB l 11
Equilibrio instabile di travi elastiche •
Per materiali ad elevata resistenza a compressione, come l’acciaio, si potrebbero realizzare colonne molto più sottili di quelle in calcestruzzo. La loro snellezza comporta però il pericolo di Instabilità per carico di punta.
•
Si definisce carico critico (di punta) quel valore del carico di compressione che anziché provocare un accorciamento del materiale , ne provoca una brusca inflessione laterale.
• Il fenomeno è studiato nell’ambito de: LA STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO ELASTICO 12
Equilibrio instabile di travi elastiche •
(x) = P u (x); M in z (x) = κ (x) k . M st
ϕ
– –
– –
Per determinare il carico critico (di punta) detto anche Euleriano di travi elastiche occorre: dare una deformata virtuale alla trave, valutare il momento stabilizzante dovuto alla reazione elastica degli infiniti vincoli interni elastici, valutare il momento instabilizzante indotto dal carico esterno, determinare la condizione di equilibrio indifferente:
(x)=M (x) M st in ( x ) = κ (x) k ; M st ϕ
( x ) = P [ δ-u (x) ] . M in z
d 2u z ( x ) kϕ = EI ; κ (x)=dx 2
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Equilibrio instabile di travi elastiche Dalla condizione di equilibrio indifferente per il primo caso:
d 2u z ( x ) P 2 2 u x 0; = . + α = α z( ) 2 dx EI Soluzione : C1 sin (α l ) = 0, ⇒ α l = nπ Si ottiene dunque :
l
n 2π 2 EI P= l2
⎧ n 2π 2 EI ⎫ π 2 EI Pcr = min ⎨ ⎬ ⇒ Pcr = 2 2 l ⎩ l ⎭ 14
Equilibrio instabile di travi elastiche
x Pcr =
π 2 EI l
l
l π 2EA Pc r = ; λ= 2 λ ρ m in ρ m in =
I m in A .
ρ ra g g io d 'in e rz ia ;
A , λ a re a se z io n e tra s v e rsa le e s n e lle z z a .
y
2
l
Pcr =
π 2 EI mim l
2
;
I mim ≡ I y
x
y
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Equilibrio instabile di travi elastiche La lunghezza libera d’inflessione rappresenta la distanza tra due punti di flesso successivi della deformata della trave.
l0 = 2l
l0 = l
l0 = 0.7l
l0 = 0.5l l0 = 0.5l
l
leq =0.5l
l 0 lu n g h e z z a lib e ra d 'in fle s s io n e F o r m u la d i E U L E R O :
Pc r =
π 2EI l 02
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Verifica di travi elastiche a sforzo normale σ s tensione di snervam ento del m ateriale; σ = σ s ; σ tensione ammissibile del materiale; am am γ am σ R tensione di ro ttura del m ateriale. γ am coefficiente di sicurezza del materiale.
σ
σ σE ≅σR
σs
l
+ N=P>0
σ am
σR
e
ε
Acciaio a basso tenore di carbonio (materiale duttile)
σ amσ
s
"mat.fragile" "mat.duttile" γ am > γ am
σR
σ am
εεRR ≅ ε E ⇒ µ ≅ε 0
Ghisa (materiale fragile)
N di verifica valida solo per σ m ax = ≤ σ a m ⇒ N ≤ σ a m A Condizione sforzo normale di trazione A 17
Verifica di travi elastiche a sforzo normale Se la trave inflessa è sottoposta a compressione, essendo il carico critico, e di conseguenza la tensione critica, inversamente proporzionale al quadrato della snellezza del materiale bisogna distinguere due casi:
tensione
a) pericolo di crisi per schiacciamento l0 se la snellezza della trave λ = ≤λ
ρ min
σs
λ ≤λ
N σ max = ≤ σ am ⇒ N ≤ σ am A; A b) pericolo di crisi per instabilità l0 se la snellezza della trave λ = >λ
λ >λ λ2
ρ min
σ max
σ cr Pcr = ≤ γ am A γ am
Pcr π 2 E σ cr = = 2 A λ
Crisi per schiacciamento
λ2
snellezza al quadrato
Crisi per instabilità 18
Verifica di travi elastiche a sforzo normale (metodo omega)
Verifica valida solo per sforzo normale di compressione. Nel calcolo di verifica è assegnata la struttura; sono dunque noti: -la forma geometrica; -la disposizione dei vincoli; -il materiale di cui è costituita; -il sistema di carichi cui è soggetta. Nel caso di materiale a comportamento elastico indefinito si adotta il “metodo ω ”. Si deve verificare, nei punti maggiormente sollecitati delle sezioni più sollecitate, che è soddisfatta la seguente relazione:
σ max =
ω (λ ) P A
≤ σ am ; λ =
ESEMPIO : acciaio Fe360, σ am = 160 N / mm 2 ; l = 4.40m; P = -200kN, profilo HEA 140; λ =
σ max =2.20
l
ρ min
=
440 =125, 3.52
200000 = 140,13 N / mm 2 < σ am = 160 N / mm 2 . 3140
l
l0
ρ min
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Progetto di travi elastiche a sforzo normale Condizione di progetto valida per sforzo normale di trazione (o di compressione se λ ≤ λ ) Nel calcolo di progetto è nota la ESEMPIO: acciaio Fe 360; P =800kN, σ am =160 N 2 mm funzione statica che la struttura 800000 deve assolvere per cui sono A≥ = 5000mm2 ⇒ profilo metallico HEA 200, A = 53.8cm2 160 dati del problema: -i carichi cui essa è destinata; -la forma della struttura; -il materiale con cui si vuole realizzarla. HE A Obiettivo:
determinare le dimensioni delle sezioni trasversali dei vari elementi strutturali.
σ m ax =
N N ≤ σ am ⇒ A ≤ σ am A 20
Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione Esempio. Si consideri un pilastro di altezza h=15 m, composta da un nucleo interno in conglomerato ed un rivestimento in marmo. Il problema, pur in forma drasticamente semplificata, è rappresentativo di quello dei piloni del Duomo di Milano, restaurati negli anni ’80.
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Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione Si vuole inizialmente valutare lo stato di tensione nel pilastro ed il suo accorciamento per un carico assiale di compressione N=40000 kN. Il nucleo in conglomerato (c) ed il rivestimento in marmo (m) sono elementi elastici in parallelo, per cui sono uguali le deformazioni: εc=εm. σc σm Em ε = ε ⇒ = ⇒ σ = σc Utilizzando il legame elastico lineare: c m m Ec Em Ec Per l’equilibrio la somma delle azioni assiali eguaglia il carico applicato: σc Ac + σm Am = N Da cui: σc Ac +
Em σc Am = N Ec
⇒ σc =
N E Ac + m Am Ec
Si trovano i seguenti valori per le tensioni nei due materiali: 40000 kN 11 σc = = 11.55 MPa ; σm = × 11.55 MPa = 42.35 MPa 11 ⎛ ⎞ 3 ⎜⎜1.131 + × 0.636⎟⎟ m 2 ⎝ ⎠ 3 22
Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione Per la congruenza, le deformazioni assiali sono uguali:
εc =
11.55 MPa 42.35 MPa = 0.00077 = = εm 15000 MPa 55000 MPa
L’accorciamento risulta: ∆h = εc h = 1.16 cm. Gli sforzi normali sono: Nc = Ac σc = 13070 kN ; Nm = Am σm = 26930 kN. Malgrado l’area del conglomerato sia circa doppia rispetto a quella del marmo, l’elevata rigidezza di quest’ultimo fa sì che il rivestimento assorba circa i 2/3 del carico applicato, svolgendo una primaria azione portante. Si vuole adesso vedere come si modifica lo stato tensionale facendo variare il modulo di elasticità del conglomerato Ec da zero (pilastro cavo) ad Em (pilastro omogeneo) . Dalla figura si evince che la tensione nel conglomerato σc aumenta, mentre la tensione nel marmo σm contemporaneamente diminuisce. 23
