II appello 17 febbraio 2015 nome:
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- Scrivete in modo CHIARO. Elaborati illegibili non saranno considerati. - NON si contano le BRUTTE copie. - Ricordatevi di ETICHETTARE LE DERIVAZIONI CON LE REGOLE USATE (se non lo fate perdete punti!) - Specificate le eventuali regole derivate che usate e che non sono menzionate nel foglio allegato al compito. • Derivare in LJ: –
4 punti ` ¬¬( A → C ∨ ¬C )
–
3 punti ¬¬A → ¬¬B ` A → ¬¬B
–
6 punti ` ∀y C(y) → ∀w ( ¬( ¬C(w)&¬B(w) ) )
–
6 punti ∀x ¬C(x) ` ∃w C(y) → ∃w ( C(w) ∨ B(w) )
–
7 punti ∀x C(x, x) & ∃x C(x, z) ` ∀z ∃w ( C(z, w) ∨ C(w, z) )
• Formalizzare le seguenti asserzioni e derivare i sequenti ottenuti nella logica indicata - (6 punti) in LJ Le stelle nane sono piccole e fredde. Non tutte le stelle sono piccole e fredde. Non tutte le stelle sono stelle nane. si consiglia di usare: S(x) = “x `e una stella” F(x) = “x `e fredda” P(x) = “x `e piccola” P(x) = “x `e nana” - (+ 4 punti con il precedente- 8 punti da solo ) in LJ Le stelle nane sono piccole e fredde. Non tutte le stelle sono piccole e fredde. Non tutte le stelle sono nane.
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si consiglia di usare: S(x) = “x `e una stella” F(x) = “x `e fredda” P(x) = “x `e piccola” P(x) = “x `e nana” - (6 punti) in LJ Nessun uomo `e immortale. Gli esseri divini sono immortali. Nessun essere divino `e un uomo e nessun uomo `e un essere divino. si consiglia di usare: I(x)= x `e immortale D(x)=x `e un essere divino U(x)=x `e un uomo
i c • (37 punti) Siano Tcroc e Tcroc le teorie ottenute estendendo rispettivamente LJ e LK con composizioni e con la formalizzazione dei seguenti assiomi:
- Solo se Ottavia va in crociera `e estate. - Se Ottavia va in crociera allora tutti vanno in crociera. - Piero o Anna vanno in crociera se Nora va in crociera. - Non si d` a il caso che Nora non vada in crociera. - Piero va in crociera solo se Anna e Nora non vanno in crociera. - Piero `e un maschio. - Nora, Ottavia e Anna sono femmine. Si consiglia di usare: ` estate E=E C(x)= x va in crociera o=Ottavia, n=Nora, a=Anna, p=Piero. F(x)=x `e femmina M(x)= x `e maschio
Dopo aver formalizzato le frase seguenti mostrarne una derivazione nella teoria indicata: c - Nora va in crociera. (in Tcroc ) i - Piero non va in crociera. (in Tcroc ) i - Ottavia non va in crociera. (in Tcroc ) i - Se Piero va in crociera allora Nora non va in crociera. (in Tcroc ) i - Non `e estate. (in Tcroc ) c - Anna va in crociera. (in Tcroc ) c - Qualche femmina va in crociera e qualche femmina non ci va. (in Tcroc )
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i ) - Un maschio non va in crociera. (in Tcroc
• (43 punti) Siano Tpi e Tpc le teorie ottenute estendendo rispettivamente LJ e LK con composizioni e con la formalizzazione dei seguenti assiomi: - Non si d` a il caso che Camilla non prepari nulla. - Se qualcuno prepara qualcosa, allora Valerio gli porta un regalo. - Chi porta un regalo a qualcuno non prepara nulla. - Nessuno porta un regalo a se stesso. Si consiglia di usare: P(x,y)= “x prepara y” R(x,y)=“x porta un regalo a y” v=“Valerio” c=“Camilla” Dopo aver formalizzato le frase seguenti mostrarne una derivazione nella teoria indicata: c ) - Camilla prepara qualcosa. (in Tpr i - Se qualcuno prepara qualcosa allora c’e’ qualcuno che gli porta un regalo. (in Tpr ) c ) - Valerio porta un regalo ad Camilla. (in Tpr i ) - Valerio non porta un regalo a tutti. (in Tpr i ) - Camilla non porta un regalo a nessuno. (in Tpr i - Valerio non prepara nulla. (in Tpr ) i ) - Se Valerio prepara qualcosa Camilla non gli porta un regalo. (in Tpr
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Logica intuizionistica LJ ax-id A`A
ax-⊥ ⊥`
Γ ` ∆ in Γ, C ` ∆ sx
Γ ` in Γ ` C dx
Γ, C, C ` ∆ cnsx Γ, C ` ∆ Γ, A ` ∆ &− re1 Γ, A&B ` ∆
Γ`A Γ`B &− f Γ ` A&B Γ, A ` ∆ Γ, B ` ∆ ∨− f Γ, A ∨ B ` ∆
Γ, B ` ∆ &− re2 Γ, A&B ` ∆
Γ ` A ∨− re 1 Γ`A∨B
Γ ` B ∨− re 2 Γ`A∨B
Γ ` A B, Γ0 ` ∆ → − re Γ, A → B, Γ0 ` ∆
Γ, A ` B → −f Γ`A→B
Γ ` A(z) ∀− f (Γ, ∀x A(x) non dipendono da z) Γ ` ∀xA(x)
Γ, A(t) ` ∆ ∀− re Γ, ∀x A(x) ` ∆ Γ ` A(t) ∃− re Γ ` ∃x A(x)
Γ, A(z) ` ∆ ∃− f (Γ, ∃x A(x), ∆ non dipendono da z) Γ, ∃x A(x) ` ∆
Logica classica predicativa LK ax-id A`A
ax-⊥ ⊥`
Γ ` ∆ in Γ, C ` ∆ sx
Γ ` ∆ in Γ ` C, ∆ dx
Γ, C, C ` ∆ cnsx Γ, C ` ∆ Γ ` A, ∆ Γ ` B, ∆ &− f Γ ` A&B, ∆ Γ, A ` ∆ Γ, B ` ∆ ∨− f Γ, A ∨ B ` ∆
Γ ` C, C, ∆ cndx Γ ` C, ∆ Γ, A ` ∆ &− re1 Γ, A&B ` ∆
Γ ` A, ∆ ∨− re1 Γ ` A ∨ B, ∆
Γ, B ` ∆ &− re2 Γ, A&B ` ∆ Γ ` B, ∆ ∨− re2 Γ ` A ∨ B, ∆
Γ ` A, ∆ B, Γ0 ` ∆0 → − re Γ, A → B, Γ0 ` ∆, ∆0
Γ, A ` B, ∆ → −f Γ ` A → B, ∆
Γ ` A(z), ∆ ∀− f (Γ, ∀xA(x), ∆ non dipendono da z) Γ ` ∀xA(x), ∆ Γ, A(z) ` ∆ ∃− f (Γ, ∃x A(x), ∆ non dipendono da z) Γ, ∃x A(x) ` ∆ 4
Γ, A(t) ` ∆ ∀− re Γ, ∀x A(x) ` ∆ Γ ` A(t), ∆ ∃− re Γ ` ∃x A(x), ∆
Regole di composizione (ovvero cut) in LJ:
Γ ` A A, Γ0 ` ∆ cut Γ, Γ0 ` ∆
in LK:
Γ ` A, ∆ A, Γ0 ` ∆0 cut Γ, Γ0 ` ∆, ∆0
Si ricorda che sia in LJ che in LK la negazione `e definita in tal modo ¬C ≡ C →⊥
Regole ammissibili in LJ ax-id Γ, A, Γ0 ` A Γ, A ` ¬−f Γ ` ¬A
Γ ` A ¬−re Γ, ¬A ` B
Σ, Γ, Θ, Γ0 , ∆ ` Σ scsx Σ, Γ0 , Θ, Γ, ∆ ` Σ
Regole ammissibili in LK ax-id Γ, A, Γ0 ` A Γ ` A, ∆ ¬−re Γ, ¬A ` ∆
Γ, A ` ∆ ¬−f Γ ` ¬A, ∆
Σ, Γ, Θ, Γ0 , ∆ ` Σ scsx Σ, Γ0 , Θ, Γ, ∆ ` Σ
Γ ` Σ, ∆, Θ, ∆0 , ∇ scdx Γ ` Σ, ∆0 , Θ, ∆, ∇
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