Associazione Italiana per l’Analisi delle Sollecitazioni (AIAS) XXXV Convegno Nazionale – 13-16 Settembre 2006, Università Politecnica delle Marche
PROGETTAZIONE ED ANALISI DINAMICA DI UNA MACCHINA A CINEMATICA PARALLELA M. Callegari*, M.-C. Palpacelli, M. Scarponi Dipartimento di Meccanica, Università Politecnica delle Marche Via Brecce Bianche – 60131 Ancona
Sommario
In questa memoria viene descritto il progetto meccanico di un manipolatore parallelo per moti di pura traslazione, la cui analisi cinematica ha mostrato ottime prestazioni in termini di spazio di lavoro, destrezza ed ingombro della piattaforma mobile; in particolare, la struttura “cartesiana” della macchina consente di ottenere prestazioni cinematiche ed accuratezza costanti in tutto il volume operativo. La progettazione strutturale, basata anche sull’utilizzo di codici agli elementi finiti, ha consentito di minimizzare la massa degli organi in movimento e, tramite l’uso combinato di un simulatore multibody, è stato possibile tenere conto delle sollecitazioni derivanti dalle forze inerziali e valutare apriori le prestazioni dinamiche risultanti. La disponibilità di un prototipo fisico della macchina, appena realizzato, consentirà a breve di validare i modelli utilizzati e di valutare le effettive prestazioni del robot in esercizio. Abstract
The paper describes the mechanical design of a parallel manipulator for motions of pure translations, whose kinematic analysis has shown very good performances such as a large workspace and small overall dimensions of the mobile platform; in particular, the “Cartesian” structure of the machine allowed to obtain constant accuracy and kinematic properties throughout the workspace. The structural design has minimised the mass of the moving links and, by the combined use of FEM and multibody codes, allowed to take into consideration the high stresses coming from inertial forces and to evaluate a-priori the resulting dynamic properties. A physical prototype has just been realised in order to validate the developed models and assess the actual robot performances in real operating conditions. Parole chiave: macchine a cinematica parallela, robot, progettazione, analisi dinamica, analisi FEM
1. INTRODUZIONE
È noto che le macchine a cinematica parallela possiedono molti vantaggi rispetto alle strutture seriali: innanzitutto l’elevata capacità di carico, che deriva dalla possibilità di suddividere le forze esterne tra tutte le gambe che supportano la piattaforma, ma per lo stesso motivo si può anche parlare di elevate rigidezze e frequenze naturali. Inoltre la possibilità di posizionare tutti i motori sul telaio contribuisce decisamente ad alleggerire la struttura della macchina e ad avere basse masse in movimento, che porta alla possibilità di ottenere elevate accelerazioni per il dispositivo terminale. L’accuratezza ottenibile è molto elevata, sia per la elevata rigidezza sopra commentata, sia perché gli errori sui vari assi non si sommano tra loro come per le strutture seriali ma in modo più “mediato”. D’altro canto, va anche osservato che lo spazio di lavoro di queste macchine risulta solitamente limitato in estensione, caratterizzato da bassa destrezza e da una geometria molto complessa, che rende poi difficile la programmazione dei compiti, spesso anche a causa della presenza di punti singolari
* Corresponding author: Tel.: +39 071 2204444; Fax.: +39 071 2204801; E-mail:
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all’interno dello spazio stesso. Queste caratteristiche rendono piuttosto complessa la progettazione meccanica, che deve cercare, ad esempio tramite ottimizzazione, di limitare i menzionati svantaggi in presenza di relazioni cinematiche di notevole complessità e spesso note solo in forma implicita [1-2]. La presente memoria descrive la progettazione di un robot caratterizzato da una cinematica parallela innovativa, destinato ad applicazioni in cui le forze scambiate con l’esterno non siano trascurabili, quali ad esempio le operazioni di assemblaggio: come mostrato nello schema funzionale di Fig. 1, si tratta di una macchina a tre assi, che consente di ottenere al terminale tre gradi di libertà di pura traslazione. Nel confronto tra varie architetture caratterizzate da topologia similare [3-4] è emerso che il meccanismo 3-CPU, la cui cinematica e statica sono state descritte in maniera dettagliata in [5], presenta le migliori prestazioni cinematiche in termini di ampiezza dello spazio di lavoro congiuntamente a destrezza e ridotto ingombro della piattaforma mobile. È scopo di questa memoria descrivere i criteri e le scelte seguite nello sviluppo del progetto meccanico, utilizzato poi per la costruzione di un prototipo.
(a) Figura 1: schema cinematico del robot 3-CPU di pura traslazione (a) e spazio di lavoro cubico (b)
(b)
2. DESCRIZIONE DELL’ARCHITETTURA
Il robot in oggetto è caratterizzato da due piattaforme, una fissa ed una mobile, collegate tra loro da tre gambe identiche, vedi Fig. 1; ogni gamba, composta da due membri collegati da una coppia prismatica (P), è connessa alla piattaforma fissa da una coppia cilindrica (C) ed alla piattaforma mobile da una coppia universale (U): per tale motivo lo schema cinematico risultante viene chiamato 3-CPU. Tale macchina possiede 3 gradi di libertà ed è in grado di sviluppare moti di pura traslazione nel caso, qui considerato, in cui siano verificate le 2 condizioni seguenti: i. gli assi del giunto rotoidale e di quello cilindrico dell’i-esima gamba sono paralleli allo stesso versore tˆ i , per i=1, 2 e 3; le gambe sono disposte in modo tale che tˆ i ≠ tˆ j per i≠j (i, j = 1, 2 e 3). In particolare nel seguito della memoria si fa riferimento al caso notevole di disposizione simmetrica delle gambe, il che viene pertanto a determinare una piattaforma mobile di forma triangolare equilatera, di altezza indicata con t. L’analisi cinematica di posizione [5] fornisce agevolmente un’unica soluzione sia per il problema diretto sia per quello inverso: ii.
px = py = pz =
2a1 − a 2 − a 3 6
a 2 − a3
2 a1 + a 2 + a 3 − 3t 3
a1 = t + 2 p x + 1 p z 3 3 a2 = t − 1 p x + 1 p y + 1 p z 6 2 3 1 1 1 a3 = t − p − p + p 6 x 2 y 3 z
(1-2)
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Nelle relazioni (1-2) si sono chiamate ai le variabili di giunto attuate, e cioè le escursioni dei pattini lungo le guide prismatiche di base, mentre px, py, pz indicano la posizione della piattaforma mobile. La cinematica di velocità viene espressa in forma matriciale, nella forma usuale per le macchine parallele: ⎡ 2 ⎢ ⎡ a&1 ⎤ ⎢a& ⎥ = 3 ⎢− 2 ⎢ 2⎥ 2 3 ⎢ ⎢ 2 ⎢⎣ a& 3 ⎥⎦ ⎢⎣− 2
1⎤⎥ p& ⎡ x⎤ ⎥ ⎢& ⎥ 1 1⎥ ⋅ ⎢ p y ⎥ ⎥ ⎢& ⎥ − 1 1⎥ ⎣ p z ⎦ ⎦ 0
(3)
Si noti la costanza della matrice Jacobiana, che riconduce l’architettura qui considerata alla famiglia delle cosiddette macchine parallele “cartesiane”. 3. PROGETTO FUNZIONALE 3.1. Specifiche di progetto
Le caratteristiche desiderate, e cioè una macchina con elevate prestazioni statiche e dinamiche e con un ampio volume di lavoro, risultano in antitesi tra loro perciò le specifiche di progetto che sono state imposte rappresentano una soluzione di compromesso che tiene anche in considerazione le ovvie limitazioni di carattere economico che caratterizzano una realizzazione di ricerca. Con tale spirito si sono definite le seguenti specifiche iniziali: - Forza massima (statica) esercitabile in direzione verticale (z) di 300 N - Velocità massima di almeno 1 m/s - Coppia massima applicabile al terminale di 30 Nm - Volume di lavoro maggiore di 0,2 m3 - Ingombro esterno della macchina minore di 2x2x2 m3 - Potenza richiesta ai motori di circa 0,5 kW 3.2. Sintesi cinematica
È stata preliminarmente svolta una ottimizzazione cinematica della struttura [4] volta contemporaneamente a massimizzare lo spazio di lavoro e la destrezza del robot ed a minimizzare l’ingombro della piattaforma mobile, ponendo come limitazione l’escursione delle variabili di giunto attuate ai ≤ 1 (ottimizzazione adimensionale). In questo modo si è ottenuta una lunghezza delle gambe d i = 2 ed una piattaforma di dimensione t = 0 (che per ovvi motivi di ingombro è stata successivamente scelta di dimensione non nulla); inoltre si è anche determinato un valore di α = 35,26° per l’angolo tra il piano orizzontale di base e le guide azionate (che risultano così ortogonali tra di loro), condizione in realtà già considerata nelle relazioni (1-3) qui riportate. Determinate in questo modo le proporzioni relative tra le dimensioni dei vari organi, si sono ipotizzate le dimensioni effettive di primo tentativo del robot in riferimento alle specifiche di progetto disponibili. Si sono ottenute le seguenti dimensioni reali: ai = 750 mm, di = 1060 mm, t = 100 mm, dove per t è stato scelto un valore indicativo per il collegamento con un possibile terminale ed i valori di ai e di così determinati sono da intendere come valori massimi; i corrispondenti valori minimi sono più complessi da determinare, in quanto dipendono dall’effettiva modalità costruttiva e da ulteriori vincoli geometrici che devono essere rispettati (es. deve essere sempre ai>t). Tramite simulazione, si sono infine determinati i seguenti campi di variabilità dei parametri geometrici: 150 mm ≤ ai ≤ 750 mm 71 mm ≤ di ≤ 1060 mm -40,6° ≤ θi ≤ 40,6°
(4)
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con θi angolo di rotazione della generica gamba sulla coppia rotoidale di base (il valore nullo corrisponde alla posizione di riposo del robot). Attraverso un software CAD è stato determinato lo spazio di lavoro del robot, che risulta di forma cubica con lato 0,6 m e quindi volume V=0,216 m3 (vedi Fig. 1b). 3.3. Sistema di azionamento
Le possibilità di attuazione del robot erano diverse, quali ad esempio azionare direttamente l’allungamento telescopico delle gambe, con il vantaggio di ottenere sulle gambe stesse esclusivamente carichi assiali; tuttavia la scelta è ricaduta facilmente sull’azionamento del movimento lineare delle coppie cilindriche di base, il che consente il grosso vantaggio di mantenere i motori fissi a telaio. A tal fine i 3 pattini che scorrono sulle guide di base sono attuati da viti a ricircolo di sfere, sistema compatto, preciso, con attrito limitato e costi non eccessivi che ha inoltre in sé la capacità di svolgere la funzione di riduttore. Per quanto riguarda i motori, si è deciso di fare riferimento ad azionamenti brushless per le loro elevate prestazioni, che li rendono una scelta comune nelle applicazioni robotiche. La scelta dello specifico modello è stata operata in base alle specifiche statiche, riservandosi di verificare a posteriori le prestazioni dinamiche conseguenti. Una volta nota la matrice Jacobiana del robot J: a& = J ⋅ v p
(5)
già ricavata in (3), la nota dualità tra statica e cinematica consente di determinare facilmente le forze ai motori τ che corrispondono alla forza F applicata al terminale: τ = J −T ⋅ F
(6)
Si noti che la particolare cinematica del meccanismo fa sì che un momento esterno applicato al terminale risulta essere sopportato esclusivamente dalla struttura meccanica, non coinvolgendo l’intervento dei motori che equilibrano solo le forze esterne. Basandosi sulla (6) si può determinare la massima spinta che devono sviluppare le coppie prismatiche di base e successivamente, ipotizzando il passo della vite a ricircolo di sfere, valutare la coppia richiesta al motore; si noti che la coppia continuativa dovrà essere almeno doppia rispetto a quella calcolata per ottenere buone prestazioni allo spunto e per vincere gli attriti della trasmissione. La velocità di rotazione del motore, invece, viene determinata dalla (5), a partire dalla massima velocità del terminale e tenendo conto del passo della vite di azionamento degli assi. Si sono scelti infine 3 motori brushless NX310 della Parvex dotati di revolver e freno, pilotabili in velocità e coppia da convertitori Eurotherm AC 631; tali motori sono in grado di sviluppare una coppia nominale di 1,9 Nm fino alla velocità massima di 2300 giri/min. 3.4. Analisi delle sollecitazioni statiche
La (6) fornisce indicazioni sulla connessione tra le coppie ai motori e le forze al terminale, ma ai fini della progettazione è anche necessario fare un’analisi delle sollecitazioni che si propagano lungo le catene cinematiche di azionamento della struttura, come mostrato in Fig. 2. Una generica forza F ed un generico momento M applicati al terminale si trasmettono a terra attraverso le 3 gambe: il momento di reazione Msi ha la direzione si ortogonale ad entrambe le coppie rotoidali dell’universale, mentre la forza di reazione Fi ha la direzione ti della coppia rotoidale attiva (ovvero quella che ha l’asse parallelo alla guida di base ai della gamba corrispondente). Le sollecitazioni che la gamba trasmette alla coppia cilindrica di base sono invece una forza Fai lungo l’asse della cilindrica di base (uguale ed opposta alla Fti) ed un momento scomponibile nei due componenti: Mti nella direzione di dell’asse della gamba ed Mfi nella direzione fi ortogonale ad ai e di. Quindi le gambe sono solitamente caricate sia da momenti torcenti Mti sia flettenti Mfi, come sintetizzato in forma matriciale nelle relazioni seguenti:
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⎡cθ1 0 Mt = ⎢⎢ 0 cθ 2 3 0 6 ⎢⎣ 0 ⎡ sθ1 Mf = ⎢⎢ 0 3 6 ⎢⎣ 0
sθ 2
dove F = [Fx
Fy
M t = [M t1
0 0
M t2
0 ⎤ ⎡− 2 0 2 ⎢ ⎥ 0 ⎥⎢ 1 − 3 2 cθ3 ⎦⎥ ⎢⎣ 1 3 2 0 ⎤ ⎡− 2 0 2 ⎢ ⎥ 0 ⎥⎢ 1 − 3 2 3 2 sθ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 Fz
]
T
ed M = [M x
[
T M t 3 ] ed M f = M f 1
2⎤ ⎥ 2 ⎥M 2 ⎥⎦
(7)
2⎤ ⎡ d1 ⎥ 2 ⎥ M + ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 2 ⎥⎦
My Mf2
Mz
]
T
M f3
0 d2 0
0 ⎤⎡ 2 2 ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢− 2 d 3 ⎥⎦ ⎢⎣− 2
0 6 − 6
2⎤ ⎥ 2⎥ F 2⎥⎦
(8)
sono le forze ed i momenti esterni applicati in P,
]
T
sono i momenti torcenti e flettenti sulle 3 gambe
rispettivamente. Si nota che l’applicazione di una pura forza non causa nessun momento torcente mentre il conseguente momento flettente è linearmente dipendente dall’estensione della relativa gamba.
Figura 2: sollecitazioni agenti sulla gamba e sui cuscinetti
4. PROGETTO STRUTTURALE 4.1. Scelta del materiale
La progettazione strutturale di un robot si basa principalmente sulla massima deformazione consentita e questo comporta che generalmente la condizione sulla rigidezza di un elemento sia molto più gravosa rispetto a quella sulla tensione massima. Tale motivo, unito al maggior costo dell’alluminio, ha orientato la scelta verso l’utilizzo di acciaio per tutti i componenti. 4.2. Dimensionamento dei componenti commerciali
Le relazioni statiche (6-8), unitamente alle relazioni cinematiche inverse, hanno permesso di sviluppare una semplice procedura Matlab che consentisse di valutare le massime sollecitazioni a cui risulta sottoposta la struttura nelle varie condizioni di carico. Ad esempio la Fig. 3 mostra il massimo valore del momento flettente sulla gamba maggiormente caricata in corrispondenza di uno schema di carico (statico) particolarmente gravoso, quando il terminale si trova nei vari punti del piano orizzontale z=1 m. In base ai risultati di queste simulazioni è stato scelto da catalogo il modulo lineare Rexroth MKK 15-65 con vite a sfere di passo p=16 mm e lunghezza L=994 mm.
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Figura 3: momento flettente massimo sulle gambe (terminale sul piano z=1m)
La rotazione della coppia cilindrica è stata realizzata tramite l’uso di due cuscinetti a rulli conici montati ad “X”: tra l’asse della prismatica e quello della rotoidale è previsto un disassamento in modo che gli assi delle rotoidali delle tre gambe si incontrino in un punto comune nello spazio, come previsto dalle condizioni geometriche per ottenere una macchina di traslazione. Seguendo la cinematica della gamba, la coppia prismatica è stata ottenuta tramite l’uso di una guida a rulli su rotaia. Infine la coppia universale è stata ottenuta utilizzando delle bronzine sugli assi rotoidali di collegamento con la piattaforma mobile (perché in condizioni di funzionamento corrette non si sviluppa alcuna rotazione) mentre sugli altri sono stati utilizzati cuscinetti SKF a rulli conici incrociati.
Figura 4: struttura cinematica delle gambe (3-CPU)
4.3. Progettazione dei componenti non commerciali
A partire dalla cinematica del robot è stata ipotizzata una geometria di primo tentativo dei componenti tale che la macchina rispetti le caratteristiche funzionali richieste. Successivamente sono state apportate le modifiche richieste dalla verifica strutturale, condotta dapprima in relazione alla massima deformazione consentita e poi alla massima tensione ammissibile. In Fig. 5a viene mostrato a titolo di esempio un esploso del supporto della coppia rotoidale, che deve essere montato sul modulo lineare: in questo caso lo stato tensionale è risultato eccessivamente gravoso per il componente, vedi Fig. 5b, per cui questo è stato successivamente modificato come mostrato in Fig. 5c.
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a) (b) (c) Figura 5: esploso della coppia rotoidale (a), rappresentazione grafica dello stato tensionale (b) e componente realizzato (c)
5. CARATTERIZZAZIONE DELLE PRESTAZIONI EFFETTIVE 5.1. Analisi cinematica
La Fig. 6a mostra il progetto finale della macchina, in cui si vede il lavoro fatto per rendere la struttura compatta e per portare il volume di lavoro il più esternamente possibile rispetto alle coppie cilindriche attuate. Lo spazio di lavoro di forma cubica ha un volume di 0,275 m3. Il campo delle velocità esercitabili dal terminale del robot in condizioni continuative è mostrato in Fig. 6b e risulta indipendente dalla posizione a causa della costanza della matrice Jacobiana; si nota che le velocità variano (in modulo) da un massimo di circa 1,1 m/s ad un minimo di circa 0,8 m/s.
(a) (b) Figura 6: progetto finale del robot e spazio di lavoro (a); campo di velocità in un generico punto dello spazio di lavoro
5.2. Analisi statica
Per le modalità seguite nella progettazione del robot, la massima capacità di carico della struttura in condizioni statiche non dipende dalle massime prestazioni dei motori ma dalla resistenza meccanica del componente più sollecitato. Una routine Matlab ha consentito di individuare per ogni posizione del terminale, e quindi conseguentemente per ogni estensione delle gambe, la massima spinta esercitatile dal robot nelle tre direzioni x, y e z, identificando di volta in volta il componente commerciale sollecitato al limite. A titolo di esempio, quando le gambe sono completamente estese il robot è in grado di esercitare in direzione verticale spinte massime di 1800 N verso il basso e 940 N verso l’alto rispettivamente, valori in corrispondenza dei quali si incontra un limite statico strutturale per i pattini a rulli della coppia prismatica; per gambe completamente ritratte, invece, si hanno spinte massime di 3960 N e 3100 N rispettivamente verso il basso e verso l’alto, con limitazione da parte dei moduli lineari. La gravità chiaramente gioca a favore quando si esercita una azione verso il basso mentre deve essere vinta nel
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caso contrario. Nel piano orizzontale le spinte raggiungibili sono di circa 680 N nelle direzioni x e y per gambe estese, mentre 1190 N per gambe ritratte, con limite di carico su uno dei pattini a rulli nel primo caso e su uno dei moduli lineari nel secondo.
(a) (b) Figura 7: flessione della gamba (a) e deformazione del supporto coppia cilindrica (b) per carico verticale massimo
Una volta note le sollecitazioni massime determinate in corrispondenza dei limiti dei componenti commerciali si è verificata la resistenza meccanica dei componenti non commerciali, mostrando quali sono le deformazioni e le tensioni che ne derivano. Per carichi verticali una analisi FEM individua le gambe come gli elementi più sollecitati, con una flessione di 5 mm nel caso in cui queste siano completamente allungate, come mostrato in Fig. 7; nel caso di gambe ritratte, invece, il componente più sollecitato risulta il supporto fisso della coppia cilindrica, con una deformazione di 1,3 mm. In tutti gli altri componenti non vengono superate deformazioni dell’ordine del decimo di millimetro con tensioni ben al di sotto del limite di snervamento del materiale. 5.3. Analisi dinamica
Le prestazioni dinamiche del robot sono state determinate con il seguente procedimento: si sono ricercate le coppie di attuazione dei motori che comportano il limite di sollecitazione per i componenti commerciali (pattino a rulli, modulo lineare, cuscinetti); successivamente si è eseguita una simulazione in ambiente Visual Nastran per riprodurre le condizioni operative precedentemente determinate e si è esportata in ambiente FEM la relativa condizione di carico dinamico istantanea; infine si è eseguita un’analisi FEM sui componenti non commerciali per verificare che il loro stato di tensione e deformazione fosse accettabile.
Figura 8: massima deformazione delle gambe nelle condizioni dinamiche più gravose
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Si è trovato che la massima accelerazione in direzione verticale verso il basso risulta di 45,5 m/s2, limitata solo dalla massima coppia di picco erogabile dai motori; in questo caso tutti i componenti del robot risultano sollecitati correttamente: la Fig. 8 mostra il corrispondente stato di deformazione di una gamba, a cui corrispondono spostamenti dell’ordine del centesimo di millimetro nella configurazione di massima estensione. Accelerazioni minori sono esercitabili verso l’alto, a causa della gravità, e nelle altre direzioni dello spazio a causa delle sollecitazioni nei componenti commerciali: in particolare nel caso di configurazione con gambe ritratte si ha una limitazione dovuta al carico massimo tollerato dai moduli lineari (limite dovuto prevalentemente ai momenti torcenti che si generano sulle gambe), mentre nel caso di gambe estese risultano eccessivamente caricati i pattini a rulli delle coppie prismatiche. Le prestazioni dinamiche risultanti sono sintetizzate in Tab. 1. Tabella 1: massime accelerazioni sviluppabili nelle varie direzioni dello spazio (tra parentesi le relative coppie richieste)
Gambe ritratte Gambe estese
Z (alto) 22,6 m/s2 (3,5 Nm) 11,4 m/s2 (2,2 Nm)
Z (basso) 45,5 m/s2 (4,8 Nm) 30,9 m/s2 (3,2 Nm)
X 8,3 m/s2 (1,5 Nm) 15,9 m/s2 (1,0 Nm)
Y 6,3 m/s2 (1,2 Nm) 22,5 m/s2 (2,4 Nm)
5.4. Analisi modale
Le prestazioni dinamiche del robot sono influenzate in modo significativo anche dal comportamento vibratorio dello stesso in risposta alle eccitazioni esterne: ad esempio nelle operazioni di pick & place ad alta velocità vengono generate forzanti ad alta frequenza che possono portare ad oscillazioni con gravi conseguenze per la precisione di posizionamento del terminale. Per tale motivo è stata effettuata una analisi modale in simulazione della macchina, anche se il comportamento risultante andrebbe poi verificato con una campagna di prove sperimentali. L’analisi condotta sul primo progetto del portale ha evidenziato una sua scarsa rigidezza, per cui sono stati successivamente introdotti dei fazzoletti di irrigidimento tra montanti e telaio, come mostrato nelle varie figure già mostrate.
Figura 9: deformate del telaio in corrispondenza del 1° e del 3° modo di vibrare
Le frequenze dei primi 5 modi di vibrare sono riportate nella successiva Tab. 2, mentre la Fig. 9 mostra graficamente la deformata del 1° e del 3° modo. Si nota che i primi modi di vibrare sono caratterizzati da frequenze piuttosto basse, che possono essere facilmente eccitate da varie fonti durante il funzionamento della macchina, quali ad esempio le forze d’inerzia. Per esempio nel caso in cui il robot percorra un tratto verticale con accelerazione pari ad 1 g fino a raggiungere la velocità massima (circa 1,1 m/s) e poi deceleri con decelerazione pari a -1 g fino a fermarsi, il periodo del moto è pari a circa 0,2 s, per cui le forze d’inerzia che agiscono su piattaforma mobile e masse collegate hanno in questo caso una armonica fondamentale di circa 5 Hz, che risulta al di sotto della prima frequenza naturale del robot. Tuttavia, nel caso in cui il movimento avvenga con le massime
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accelerazioni possibili verso il basso e verso l’alto (cfr. Tab. 1), la prima armonica delle forze d’inerzia cresce al valore di circa 14,3 Hz, eccitando direttamente i primi 2 modi di vibrare del robot. In ogni caso sarebbe buona pratica progettuale per questo tipo di macchine spostare le prime frequenze naturali sopra a 100 Hz: tuttavia, per questa applicazione di ricerca la riprogettazione sarebbe stata troppo onerosa, per cui si è deciso di proseguire con il progetto disponibile, dopo gli interventi di irrigidimento già accennati. Tabella 2: frequenze naturali dei primi 5 modi di vibrare
1° modo 2° modo 3° modo 4° modo 5° modo
frequenza [Hz] 15,1 15,2 25,3 51,1 58,8
6. CONCLUSIONI
Il manipolatore progettato sembra caratterizzato da proprietà cinematiche molto interessanti. Infatti questo macchina, a differenza di quello che accade in genere per robot a cinematica parallela, mostra un volume di lavoro molto ampio, convesso e completamente privo di singolarità. Il posizionamento dei motori al vertice delle guide azionate ha permesso sia di contenere notevolmente le dimensioni esterne sia di raggruppare i motori in una piccola zona facilmente carenabile e dalla quale si può uscire con un unico fascio di cavi di cablaggio; inoltre l’ingombro della piattaforma mobile è molto ridotto. D’altro canto va anche notato che l’accessibilità dello spazio operativo risulta ridotta dalla presenza dei 3 montanti che sorreggono il telaio, come accade per tutte le macchine a portale e che sono richieste tolleranze di lavorazione e montaggio molto precise. Le caratteristiche statiche e dinamiche della architettura 3-CPU sono intrinsecamente buone a causa soprattutto della costanza della matrice Jacobiana, che garantisce prestazioni isotrope ed uniformi in tutto lo spazio di lavoro. Il concetto può poi essere facilmente sfruttato con una progettazione specifica per compiti ad elevata dinamica (ad esempio dimensionando diversamente il sistema di attuazione) o per elevate spinte statiche (ad esempio attuando l’allungamento delle gambe in vece della loro traslazione). L’attuale sviluppo del robot, che puntava a realizzare un buon compromesso tra prestazioni statiche e dinamiche, ha sicuramente un limite nelle sollecitazioni della struttura ed in particolare di gambe e coppie cilindriche. Infatti le massime sollecitazioni nascono dalla flessione sulle gambe che aumenta linearmente con l’allungamento di queste; è proprio in corrispondenza di queste posizioni all’estremità dello spazio di lavoro che si raggiungono i limiti strutturali della macchina, richiedendo una limitazione delle prestazioni dei motori in relazione ai carichi continuativi definiti. La progettazione di una macchina innovativa come questa richiede ovviamente di verificare l’attendibilità degli studi svolti in simulazione, Fig. 10a, tramite la realizzazione di un prototipo fisico, mostrato in Fig. 10b. La relativa costruzione meccanica è terminata da poco ed è attualmente in fase di realizzazione il sistema di controllo, basato sull’ambiente DSpace e sviluppato in ambiente Matlab tramite RealTime Workshop. Fino a questo momento si è solo potuta confermare l’affidabilità della architettura 3-CPU per ottenere moti di pura traslazione ma si anche dovuto constatare una criticità delle tolleranze geometriche e dimensionali che hanno un notevole impatto sul funzionamento del robot; a questo proposito, per facilitare l’assemblaggio e la successiva calibrazione della macchina, si è realizzata una apposita attrezzatura.
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(a) Figura 10: disegno CAD e prototipo del robot di pura traslazione
(b)
BIBLOGRAFIA
[1] Merlet, JP. Parallel Robots, 2nd Ed., Springer, Dordrecht, 2005. [2] Callegari, M., “Macchine a cinematica parallela”, Progettare, N° 247, Luglio-Agosto 2001, pp. 7781. [3] Callegari, M. and Marzetti, P., “Kinematics of a family of parallel translating mechanisms”, Proc. of RAAD’03, 12th Intl. Workshop on Robotics in Alpe-Adria-Danube Region, Cassino May 7-10, 2003. [4] Callegari, M. and Palpacelli, M.C., “Kinematics and Optimization of the translating 3-CCR/3-RCC parallel mechanisms”, in On Advances in Robot Kinematics, J. Lenarcic and B. Roth (eds), Kluwer, 2006 [5] Callegari, M., Palpacelli, M.C. and Scarponi, M., “Kinematics of the 3-CPU Parallel Manipulator Assembled for Motions of Pure Translation”, Proc. of ICRA’05, Intl. Conf. of Robotics and Automation, Barcelona, 18-22 April 2005, pp.4031-4036.
