METODI DI CONVERSIONE FRA MISURE
Un problema molto frequente e delicato da risolvere è la conversione tra misure, già in parte introdotto a proposito delle conversioni tra multipli e sottomultipli delle unità di misura. I metodi utilizzabili sono vari e ogni allievo dovrà scegliere quello che più gli è congeniale, anche sulla base delle abilità acquisite negli anni di scuola media. Se una conversione è apparentemente banale, ad esempio può essere banale trasformare 432 metri in chilometri, è meno banale trasformare 0,0035 cm in μm. Eppure la procedura richiesta per la conversione in tutti e due i casi è sempre la stessa. Innanzitutto bisogna: a)
stabilire l’equivalenza tra l’unità e il suo multiplo o sottomultiplo (o viceversa).
b)
e poi utilizzare un metodo efficace di conversione che trasformi il dato di partenza nel dato richiesto.
I metodi proposti sono quattro: il primo utilizza la tabella già introdotta per il passaggio dall’unità ai suoi multipli e sottomultipli di 10 (lo chiameremo metodo per spostamento); il secondo sostituisce l’unità di misura data con quella richiesta (lo chiameremo metodo per sostituzione); il terzo poggia sulla proporzione e sue proprietà ed è il metodo che molti allievi inizialmente preferiscono; l’ultimo, sempre più utilizzato anche a livello universitario, utilizza il fattore di conversione (metodo del fattore di conversione).
Metodo 1) Per spostamento Come già visto si presta a conversioni di multipli e sottomultipli di 10. Proviamo ad esempio a trasformare 432 m nei corrispondenti chilometri: scriviamo le tre cifre in modo tale che l’ultima cifra cada in corrispondenza dei metri. Spostiamo ora la virgola a sinistra di tre posizioni per cui 432 m risultano pari a 0, 432 km.
simbolo
M
k
0,
h
da
u
4
3
2
4
3
2
d
c
μ
m
n
Se vogliamo invece trasformare 0,0035 cm in μm il primo dei tre zeri dovrà corrispondere al simbolo c di centi mentre l’ultima cifra cade proprio sotto il simbolo μ per cui si ha che 0,0035 cm = 35 μm. Ci siamo spostati verso destra di quattro posizioni, infatti 1 cm =10000 μm
simbolo
M
k
h
da
u
d
c
m
0,
0
μ 0
3
5
3
5
n
2)
Per sostituzione
Questo metodo si presta bene quando passare da una unità di misura a quella immediatamente vicina è un po’ più complicato che spostare la virgola di una sola posizione. E’ ad esempio il caso delle conversioni di superfici o di volumi espressi come multipli della lunghezza. Si tratta allora di passare dall’unità di misura di una grandezza a quella di una grandezza derivata sfruttando la relazione algebrica che lega le due grandezze coinvolte nella trasformazione. Vogliamo sapere ad esempio a quanti mL corrispondono 4,5 m3 di acqua. La domanda è:
dobbiamo però sapere già in partenza che:
e che:
ed inoltre che: per cui, sostituendo al metro cubo l’equivalente in decimetri cubi si ha che:
4,5 ∙ m3
∙1000 dm3
Eseguendo la moltiplicazione si ottiene il risultato della trasformazione: Ora sostituiamo al decimetro cubo l’equivalente in centimetri cubi:
4500 ∙ dm3
∙1000 cm3
e otteniamo in forma esponenziale: Infine sostituiamo al centimetro cubo l’equivalente in mL:
4,5∙106 ∙cm3 Il risultato finale è pertanto:
∙1mL
3)
Per proporzione
Questo metodo si incontra molto spesso in cucina quando, letti gli ingredienti di una ricetta, se ne vogliano o se ne debbano modificare le quantità. Leggiamo sul ricettario che, ad esempio, per fare una crostata servono 300 g di farina, 200 g di burro e 100 g di zucchero. Si tratta allora di passare dall’unità di misura di una grandezza a quella di un’altra completamente diversa. Supponiamo di avere a disposizione un bel pò di burro e di zucchero e di voler finire il pacco di farina che contiene 430 g. Quanto burro e quanto zucchero serviranno? Si imposta la proporzione: se 300 g di farina devono essere mescolati con 200 g di burro, a 430 g di farina corrispondono …..
300 g :
200 g = 430 g : x
Si risolve rispetto a x, ricordando che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, cioè: L’incognita risulta pari a:
di burro
4)
Utilizzando il fattore di conversione:
Il metodo si presta bene in tutti i casi esaminati e, se ben imparato si rivela il più rapido e sicuro. Anche in quest’ultimo caso è necessario conoscere l’equivalenza fondamentale che trasforma l’unità della misura di partenza nell’unità della misura di arrivo, oppure l’equivalenza inversa. Supponiamo ad esempio di essere a New York e di voler comprare un orologio che costa 250 $, con cambio 1,3 (1 € = 1,3 $ oppure 1 $ = 0,77 €). Qual è la spesa in euro? Partendo dal dato del problema si tratta di convertire i dollari, in cui il dato è espresso, in euro moltiplicando per un fattore di conversione che riporti al denominatore i dollari e al numeratore gli equivalenti euro. Allo stesso risultato si perviene utilizzando i due fattori di conversioni riportati come segue:
250 $
1€
= 192 €
250 $
1,3 $
0,77 €
= 192 €
1$
E’ evidente che, dati i primi due termini dell’equivalenza:
È facile ricavare la seconda dividendo entrambi i termini per 1,3:
Da cui:
Il fattore di conversione si presta particolarmente a risolvere problemi più complessi. Proviamo ad esempio a calcolare quanti secondi si trascorrono a scuola in un anno scolastico, sapendo che ad un anno scolastico
corrispondono circa 200 giorni di scuola e che ogni giorno si sta a scuola circa 5 ore da 60 minuti. Trasformiamo innanzitutto il giorno di scuola in ore di scuola:
200giorni
5ore 1000ore 1giorno
Trasformiamo ora le ore in minuti e direttamente in secondi:
1000ore
60 min 60s 3600000s 1ora 1min
Esercizi 1►Utilizzando il metodo che preferisci trasforma 5 dm in ….. Riporta il risultato in notazione scientifica (la virgola deve essere posta tra la prima e la seconda cifra significativa). a) 5 dm = ………………. m
b) 5 dm = ………………….. km
c) 5 dm = ……………………. Mm
d) 5 dm = …………….. cm
e) 5 dm = ………………….. μm
f) 5 dm = ……………………… nm
2►Utilizzando il metodo che preferisci esegui le seguenti equivalenze riportando il risultato in notazione scientifica. a) 537 mm = …………………… m
b) 105 μs = …………… s
c) 0,0046 mL = ……………… L
d) 0,5 km = ……………… cm
e) 33 dL = ………….. mL
f) 55 ng = ………………… g
Per le conversioni di volume ricorda che: 1 dm3=1L e che 1 cm3=1mL Infatti, per le proprietà delle potenze,
ma sappiamo anche che
per cui, sostituendo, si ha che:
che corrisponde esattamente a 103 cm3. Ora, dato che 1L equivale a 1000 mL e che, per definizione:
1L = 1dm3 si ricava anche che 1 L corrisponde esattamente a 1000 cm3 e che quindi 1 cm3 corrisponde a 1 mL:
1 cm3 = 1 mL Facciamo un altro esempio: quanti litri di acqua ci sono in 1 m3? Per le proprietà delle potenze si ha che:
Ma poiché
si ha anche che:
Arrivati a questo punto bisogna ricordare un’equivalenza utile per passare dai dm3 ai L; supponiamo di sapere proprio ciò che abbiamo appena imparato e cioè che 1L = 1dm3. Sostituendo si ottiene che:
3►Esegui le seguenti conversioni utilizzando il metodo che ritieni migliore.
a)
10 kg = ....................g
b)
30 ng = ………....... g
c)
600 µg = ................ mg
d)
0,06 hg = .......... g
e)
672 ore = ......... settimane
f)
2708 cm = ............m
g)
400 cm3 = ............mm3
h)
750 cm3 = ............dm3
i)
8 dm3 = …………… L
l)
8 dm3 = …………… mL
m)
33 cL = ………… L
n)
35 m3= ………… cm3
o)
5,5 L =………….. cm3
p)
0,5 dL = ………… cm3
q)
Se una pallina di gelato costa 0,90 euro, quanto costano 35 palline?
………………………………………………………………………………………………………………………… r)
Il 12 settembre 2000 un dollaro valeva 2249 lire. Un turista italiano in California comperò un paio di scarpe
al prezzo di 89 dollari. Quanto costavano in lire quelle scarpe? …………………………………………………………………………………………………………………………. s)
se per fare una crostata ci vogliono 3 uova e 500 g di farina, quante crostate si possono preparare con 300
uova? quante con 4 Kg di farina? quante con 300 uova e 10 Kg di farina? ………………………………………………………………………………………………………………………… t)
se una mole di acqua pesa 18 g quanti grammi di acqua corrispondono a 55,5 moli?
……………………………………………………………………………………………………………………….. u)
una mole di carbonio 12 contiene 6,02∙1023 atomi e ha una massa di 12,00 g: 1)
quanti atomi di carbonio 12 sono contenuti in 0,5 mol?
……….……………………………………………………………………………………………………… 2)
qual è la massa di 0,5 mol di carbonio 12?
……………………………………………………………………………………………………………… v)
una mole di acqua contiene 6,02∙1023 molecole, quante molecole sono contenute in 55,5 mol?
…………………………………………………………………………………………………………………….. z)
55,5 mol di acqua hanno la massa di 1000 g. Se 1 g di acqua occupa il volume di 1 mL, a quanti mL di
acqua corrispondono 55,5 mol? …………………………………………………………………………………………………………………………
