Cosa vogliamo imparare? • risolvere in modo approssimato equazioni del tipo f(x)=0 che non solo risolubili in maniera esatta ed elementare tramite formule risolutive. • Esempio:
x log(x) −1 = 0
Interpretazione grafica • Come sappiamo, risolvere un’equazione f(x)=0 equivale a risolvere il sistema ⎧ y = f ( x) ⎨ ⎩y = 0
e quindi equivale a trovare le intersezioni del grafico di f(x) con l’asse x. Queste intersezioni vengono anche chiamate le RADICI dell’equazione f(x)=0.
Presupposti teorici • Diciamo derivata seconda di una funzione f(x) la derivata della derivata: f’’(x)=(f’(x))’. • Se f’’(x)>0 allora la funzione volge la concavità verso l’alto, se f’’(x)<0 allora la funzione volge la concavità verso il basso.
1° passo: separazione delle radici • Separare le radici significa individuare, per ciascuna radice (cioè per ciascuna soluzione) c dell’equazione f(x)=0, un intervallo [a,b] che la contenga e che non contenga alcun’altra radice.
Come riuscire a separare le radici?
Per via grafica… Esempio: xlog(x)-1=0. Scrivo questa equazione nella forma log(x)=1/x e rappresento sullo stesso piano cartesiano il grafico di log(x) ed il grafico di 1/x:
Vediamo dunque graficamente che vi è un unico punto di intersezione tra le due curve, la cui ascissa c è compresa fra 1 e 2: 1
oppure per via teorica… • Teorema di esistenza della radice. Se f(x) è continua in [a,b] e se assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo [a,b], allora l’equazione f(x)=0 ammette almeno una radice c interna all’intervallo [a,b].
• Primo teorema di unicità della radice Se f(x) è continua in [a,b] e derivabile in (a,b), se f assume valori di segno opposto agli estremi di [a,b] e se f’(x)≠0 in (a,b), allora esiste una UNICA radice dell’equazione f(x)=0 nell’intervallo (a,b).
• Secondo teorema di unicità della radice Se f(x) è continua in [a,b] e derivabile 2 volte in (a,b), se f(x) assume valori di segno opposto agli estremi di [a,b] e se f’’(x) è sempre positiva o sempre negativa in (a,b) allora l’equazione f(x)=0 ammette una e una sola radice in (a,b).
2° passo: approssimare la soluzione • Si tratta di applicare alcuni metodi che ci permettano di trovare un valore approssimato di c, dopo aver dimostrato che c è l’unica radice dell’equazione f(x)=0 nell’intervallo considerato [a,b].
• Supponiamo di avere già separato le radici e di sapere che l’equazione f(x)=0 ha una sola soluzione c nell’intervallo (a,b). • Costruiamo allora una successione an di approssimazioni per difetto ed una successione bn di approssimazioni per eccesso della soluzione c, nel modo seguente:
• Poniamo a0=a e b0=b. Supponendo di aver determinato i termini n-esimi an e bn, i termini successivi sono così definiti: • Se f((an+bn)/2) ha lo stesso segno di f(an) poniamo
a n +1
a n + bn = , b n +1 = b n 2
• Se f((an+bn)/2) ha lo stesso segno di f(bn) poniamo
a n +1 = a n , bn +1
a n + bn = 2
• Se risulta f((an+bn)/2) =0, il valore (an+bn)/2 è la soluzione cercata ed il procedimento termina.
• Se invece dopo n iterazioni del procedimento non si verifica quest’ultima eventualità, avremo trovato una successione di intervalli di indeterminazione per la soluzione c: a
n
=
b − a 2 n
• Dunque an e bn sono rispettivamente un’approssimazione per difetto e per eccesso di c, affette da un errore assoluto non superiore a b − a 2n
Esempio Risolvere in maniera approssimata l’equazione xex-1=0 con il metodo di bisezione.
Separazione delle radici Usiamo il metodo grafico. Scriviamo ex=1/x e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano il grafico di ex ed il grafico di 1/x. Esiste una sola intersezione tra i 2 grafici e quindi una sola soluzione c dell’equazione xex-1=0 e tale soluzione è compresa fra 0 e 1: 0
Metodo di bisezione • Dividiamo a metà l’intervallo [0,1] e prendiamo in considerazione il punto 0.5 e calcoliamo la f(x) in x=0, x=0.5 e x=1: f(0)=-1<0, f(0.5)≈-0.17563<0, f(1)=e-1>0 Quindi avremo che 0.5
• Dividiamo a metà l’intervallo [0.5,1] e calcoliamo la f(x) in x=(0.5+1)/2=0.75: f(0.5)<0, f(0.75) ≈0.58775>0, f(1)>0 Quindi avremo che 0.5
•
Procedendo in questo modo, dopo 14 iterazioni del metodo descritto, si avrà 0
Possiamo perciò assumere il valore 0.567 come approssimazione della soluzione c dell’equazione xex-1=0, esatta fino alla terza cifra decimale. •
L’errore assoluto commesso in questa approssimazione sarà sicuramente inferiore a 1− 0 ≅ 0 .00006 14 2
y B(b,f(b))
f(b)
f(x)
O
a
x1
f(a) A(a,f(a))
x2
x3
x4
c b
x
• Supponiamo f(x) continua in [a,b], derivabile 2 volte in (a,b), f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)>0 in (a,b). • Sappiamo allora, per il secondo teorema di unicità della radice, che la radice c dell’equazione f(x)=0 è unica. • Per determinarne un’approssimazione, dopo aver disegnato il grafico di f, tracciamo il segmento di estremi A(a,f(a)) e B(b,f(b)). • L’ascissa x1 del punto d’intersezione di tale segmento con l’asse x può essere considerata come una prima approssimazione della soluzione vera c. Facendo i calcoli, troviamo il valore di x1:
b−a x1 = a − f ( a) f (b) − f (a)
• Possiamo allora applicare nuovamente il procedimento prima descritto all’intervallo (x1,b), per ottenere una seconda approssimazione x2. Si ricava: b − x1 x 2 = x1 − f ( x1 ) f ( b ) − f ( x1 )
e risulta x2
⎧ x0 = a ⎪ b − xn ⎨ ⎪ xn +1 = xn − f (b) − f ( x ) f ( xn ) n ⎩
• Ovviamente avremo a=x0
lim
n → ∞
x
n
= c
Osservazioni • La nostra formula è valida anche quando f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)<0 in (a,b). y A f(x)
O
a
x1
x2 c
b B
x
• Quando invece abbiamo f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)<0 in (a,b)…. y f(x)
B O
a
A
c
x2
x1
b
x
• …oppure abbiamo f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)>0 in (a,b)… y A
c O
a f(x)
x4
x3
x2
x1
b
x
• …allora la formula del metodo delle secanti diventa
⎧ x0 = b ⎪ a − xn ⎨ x x f ( x ) = − n + 1 n n ⎪ f (a ) − f ( xn ) ⎩
In definitiva (regola): • Il metodo delle secanti parte dall’estremo in cui la funzione ha segno opposto a quello della derivata seconda.
Esempio Risolvere in maniera approssimata l’equazione x2-2-log(x)=0 con il metodo delle secanti.
Separazione delle radici Scriviamo l’equazione data come x2-2=log(x) e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano il grafico di x2-2 ed il grafico di log(x). Esistono 2 punti di intersezione tra i 2 grafici. A noi interessa quello compreso fra √2 e 2. Cerchiamo dunque un’approssimazione di c, con √2
Metodo delle secanti • Cominciamo a calcolare f(√2), f(2) e f’’(x): f(√2)=(√2)2-2-log √2≈-0.346574<0 f(2)=4-2-log2≈1,30685>0 f’(x)=2x-1/x=2x-x-1 f’’(x)=2+1/x2>0 in (√2,2) Il metodo dunque parte da x0=a=√2.
• Applichiamo la formula del metodo delle secanti ⎧ x ⎪ ⎨ ⎪ x ⎩
0
=
n +1
2 = x
n
−
2 − xn f (2) − f (x
n
)
f (x
n
)
• Otteniamo così: 2− 2 2− 2 (−0.346574) ≅ 1.537 x1 = 2 − f ( 2) ≅ 2 − 1.30685+ 0.346574 f (2) − f ( 2 ) 2 − x1 2 −1.537 x2 = x1 − f ( x1 ) ≅ 1.537 − (−0.067463) ≅ 1.55973 f (2) − f ( x1 ) 1.30685− (−0.067463)
• Proseguendo in questo modo si ha x3≈1.56365 x4≈1.56432 x5≈1.56444 x6≈1.56446 Come si vede, le prime 4 cifre decimali si sono “stabilizzate”. E’ perciò ragionevole assumere il valore 1.5644 Come approssimazione, esatta fino alla quarta cifra decimale, della soluzione c dell’equazione x2-2-log(x)=0 nell’intervallo (√2,2).
y
B(b,f(b))
f(b)
a
O
c x3 f(x)
x2
x1
b
x
• Supponiamo f(x) continua in [a,b], derivabile 2 volte in (a,b), f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)>0 in (a,b). • Sappiamo allora, per il secondo teorema di unicità della radice, che la radice c dell’equazione f(x)=0 è unica. • Una prima approssimazione di c, dopo aver disegnato il grafico di f, sarà data dall’intersezione x1 della retta tangente alla curva nel suo punto B(b,f(b)) con l’asse x. • L’equazione della tangente suddetta è y-yB=m(x-xB) → y-f(b)=f’(b)(x-b) • Ponendo y=0 nell’ultima equazione scritta, si ottiene x1:
f (b) x1 = b − f ' (b)
• Possiamo applicare nuovamente il procedimento prima descritto al punto B1(x1,f(x1)), per ottenere una seconda approssimazione x2. Si ricava: f ( x1 ) x2 = x1 − f ' ( x1 )
e risulta a
⎧ x0 = b ⎪ f ( xn ) ⎨ ⎪ xn +1 = xn − f ' ( x ) n ⎩
• Ovviamente avremo a<…
lim
n → ∞
x
n
= c
Osservazioni • La nostra formula è valida anche quando f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)<0 in (a,b). y
A O
a
f(x) c
x2
x1
b x
B
• Quando invece abbiamo f(a)<0, f(b)>0 e f’’(x)<0 in (a,b)…. y
f(x) O
a
A
x1
x2
c
b
x
• …oppure abbiamo f(a)>0, f(b)<0 e f’’(x)>0 in (a,b)… B
y
a
c
O
x2 f(x)
x1
b
x
• …allora la formula del metodo delle tangenti diventa
⎧ x0 = a ⎪ f ( xn ) ⎨ = − x x n + 1 n ⎪ f ' ( xn ) ⎩
In definitiva (regola): • Il metodo delle tangenti parte dall’estremo in cui la funzione ha lo stesso segno della derivata seconda.
Esempio Risolvere in maniera approssimata l’equazione x2-2-log(x)=0 con il metodo delle tangenti.
Separazione delle radici Scriviamo l’equazione data come x2-2=log(x) e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano il grafico di x2-2 ed il grafico di log(x). Esistono 2 punti di intersezione tra i 2 grafici. A noi interessa quello compreso fra √2 e 2. Cerchiamo dunque un’approssimazione di c, con √2
Metodo delle tangenti • Cominciamo a calcolare f(√2), f(2) e f’’(x): f(√2)=(√2)2-2-log √2≈-0.346574<0 f(2)=4-2-log2≈1,30685>0 f’(x)=2x-1/x=2x-x-1 f’’(x)=2+1/x2>0 in (√2,2) Il metodo dunque parte da x0=b=2.
• Applichiamo la formula del metodo delle tangenti ⎧ x0 = 2 ⎪ f ( xn ) ⎨ = − x x n ⎪ n +1 f ' ( xn ) ⎩
• Otteniamo così: f ( x0 ) f (2) 1.30685 x1 = x0 − = 2− ≅ 2− ≅ 1.62661 f ' ( x0 ) f ' (2) 3.5 f ( x1 ) f (1.62661) 0.159362 x2 = x1 − ≅ 1.62661− ≅ 1.62661− ≅ 1.56621 f ' ( x1 ) f ' (1.62661) 2.63844
• Proseguendo in questo modo si ha x3≈1.56446 x4≈1.56446 Come si vede, le prime 4 cifre decimali si sono “stabilizzate” dopo solo 4 iterazioni. E’ perciò ragionevole assumere il valore 1.5644 come approssimazione, esatta fino alla quarta cifra decimale, della soluzione c dell’equazione x2-2-log(x)=0 nell’intervallo (√2,2).
• Il metodo delle secanti fornisce sempre un’approssimazione per difetto della soluzione cercata, mentre il metodo delle tangenti fornisce sempre un’approssimazione per eccesso. • Questa osservazione ci suggerisce la possibilità di usare contemporaneamente i 2 metodi.
Esempio Determinare la soluzione dell’equazione 1+x-x10=0 contenuta nell’intervallo (-1,0), con un errore inferiore a 10-4.
Separazione delle radici Scriviamo l’equazione nella forma 1-x=x10 e rappresentiamo sullo stesso piano cartesiano i grafici di 1-x e di x10: Come si può vedere, vi sono 2 radici: una compresa fra -1 e 0 (quella cui siamo interessati) e una compresa fra 0 e 1.
Metodo congiunto secanti-tangenti • Consideriamo la funzione f(x)=1+x-x10 • Calcoliamo f’(x)=1-10x9, f’’(x)=-90x8<0 , f(-1)=-1<0, f(0)=1>0. • Chiamiamo tn e sn le successioni di approssimazioni della radice c compresa fra -1 e 0, ottenute rispettivamente con il metodo delle tangenti e con il metodo delle secanti. • Essendo f’’(x)<0, il metodo delle tangenti parte da t0=-1 e il metodo delle secanti parte da s0=0.
• Eseguiamo il primo passo con il metodo delle −1− s0 secanti: −1− 0 s1 = s0 −
f (−1) − f (s0 )
f (s0 ) = 0 −
−1−1
⋅1 = −0.5
• Eseguiamo il primo passo con il metodo delle tangenti: f (t0 ) −1 t1 = t0 −
f ' (t0 )
= −1 −
11
≅ −0.9090909
• Abbiamo così ottenuto un nuovo intervallo di indeterminazione per la soluzione c: -0.9090909
• Applichiamo nuovamente il metodo delle secanti e delle tangenti a tale intervallo: − 0.9090909 − (−0.5) s2 = s1 − f (−0.5) ≅ −0.75722168 f (−0.9090909) − f (−0.5) f (t1 ) f (−0.9090909) t 2 = t1 − = −0.9090909 − ≅ −0.85287348 f ' (t1 ) f ' (−0.9090909)
• Abbiamo quindi un’approssimazione per difetto e per eccesso di c: -0.85287348
• Continuando nel modo descritto si hanno i risultati riassunti in questa tabella: n
tn
sn
ε=|tn-sn|
0 1 2 3 4
-1 -0.9090909 -0.85287348 -0.83619338 -0.8350835
0 -0.5 -0.75722168 -0.83009768 -0.83505916
1 0.41 0.1 0.0061 0.000025
• Le approssimazioni ottenute al 4° passo sono affette dunque da un errore assoluto inferiore a 10-4 • Dunque possiamo affermare che il valore approssimato della soluzione c, con 4 cifre decimali esatte, è -0.8350
Valutazione dell’errore • Una volta determinata una soluzione approssimata dell’equazione da risolvere è importante valutarne il grado di precisione. • Con il metodo di bisezione o con l’uso congiunto di secanti-tangenti tale problema è già risolto perché in entrambi i casi si determina un’approssimazione per eccesso e per difetto della soluzione. • Se invece non si applica uno di questi metodi, si costruisce, con i metodi studiati, una successione di approssimazioni, fino a determinarne 2 consecutive che coincidono per il numero di cifre decimali che ci interessa. • Tale metodo è empirico: l’esattezza delle cifre decimali così determinate è altamente probabile, ma non matematicamente certa.
Velocità di convergenza • Segnaliamo che il metodo delle tangenti è quello che garantisce la convergenza più rapida, cioè è quello con il quale si ottiene una buona approssimazione della soluzione cercata in un numero relativamente basso di iterazioni. • Il metodo di approssimazione più lento è invece rappresentato da quello di bisezione. • Tali differenze però diventano irrilevanti quando i metodi studiati vengono applicati con l’uso di un computer o di una calcolatrice programmabile.