isica generale II, a.a. 2013/2014
TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE 9.1. Nel circuito della figura il voltaggio alternato è V = V0cost con = 314 rad/s, V0 = 311 V, L = 0.9 H, C = 6.96 F. Se il fattore di potenza del circuito è pari a 0.98, la resistenza R vale (A) 150 (B) 220 (C) 330 (D) 390 (E) 470
V~
L
R
C
SOLUZIONE. Nel collegamento in parallelo conviene utilizzare la rappresentazione dell’ammettenza, Y, reciproco dell’impedenza complessa Z; Il reciproco della resistenza R si chiama conduttanza e il reciproco della reattanza (induttiva o capacitiva) si chiama suscettanza
{ Utilizzando l’ammettenza, la legge di Ohm modificata per i circuiti in a.c. si scrive: Le ammettenze, per elementi circuitali in parallelo, si sommano; pertanto possiamo scrivere ( ) ( ) √
(
( )
)
( ) ( [
(
(
)) |
)]
|
√
(
)
Il fattore di potenza è cos, dove l’angolo è l’angolo di sfasamento fra la corrente I e la tensione V: nella rappresentazione polare del circuito (vedi figura a fine soluzione) si ha ( )
R
|
1 cos 2 2
1 2 C cos L
|
√
(
)
1 0.982 2
1 6 2 314 6.96 10 0.98 314 0.9
150.07
suscettanza
|Ytot| (C1/(L)
conduttanza 1/R 9.2. Con riferimento al problema precedente, la potenza media erogata dal generatore V vale 1
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(A) 103 W (B) 124 W (C) 147 W (D) 220 W (E) 322 W SOLUZIONE. Poiché l’unico elemento dissipativo del circuito è la resistenza R in parallelo al generatore, la potenza media erogata dal generatore è tutta quella dissipata su R: 〈 〉 〈 〉 9.3. Il voltaggio variabile applicato al circuito della figura è espresso in volt da V(t) = 20cost, con = 250 rad/s. La potenza media dissipata in R vale circa (A) 20 W (B) 28 W (C) 40 W (D) 65 W (E) _______
V(t)
R=10
L=0.1H
V2
V02 400 W 20 W . L’induttanza SOLUZIONE. La potenza media dissipata in R è R 2 R 2 10 non ha effetto sulla potenza dissipata in R (determinata da V(t)) ma influenza l’angolo di fase tra voltaggio e corrente del generatore. 9.4. Un’induttanza L = 0.2 H è percorsa da una corrente sinusoidale di ampiezza massima I0 = 10 A. L’energia immagazzinata mediamente nell’induttanza vale (A) 50 J (B) 20 J (C) 10 J (D) 5 J (E) 2.5 J SOLUZIONE. Il valore efficace della corrente è √ e l’energia immagazzinata mediamente nell’induttanza vale
9.5. Un’induttanza in serie a una resistenza R = 100 è collegata a una presa elettrica (VRMS = 220 V, frequenza = 50 Hz). Se un voltmetro legge una caduta di tensione efficace ai capi della resistenza pari a V = 158 V, l’induttanza vale circa (A) 0.1 H (B) 0.2 H (C) 0.3 H (D) 0.4 H (E) 0.5 H SOLUZIONE. L’impedenza del circuito vale in modulo Z R 2 L e la corrente efficace che percorre il circuito vale
2
| | Ai capi della resistenza il voltmetro legge una caduta di tensione efficace pari a | | √(
√ )
√(
)
9.6. Un generatore di voltaggio sinusoidale V (t ) V0 cos 2
2t di resistenza interna trascurabile, T
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ampiezza V0 = 311 V e periodo T = 50 ms è collegato al tempo t = 0 a una induttanza L = 0.120 H. Se la corrente iniziale nell’induttanza è IL(0) = 0, dopo t* = 1 ms l’induttanza possiede una energia di circa (in J) (A) 0 (B) 0.265 (C) 0.327 (D) 0.401 (E) _______ SOLUZIONE. L’impedenza del circuito vale in modulo | | massimo della corrente che attraversa il circuito è quindi
con
. Il valor
| | e, poiché IL(0) = 0, la corrente che percorre l’induttanza segue la legge ( ) L’energia dell’induttanza per t* = 1 ms è quindi (
)
(
( )
) (
(
(
).
)
)
2t con ampiezza V0 = 311 V e periodo T = 20 ms è collegato a T un’induttanza L = 300 mH in serie con una resistenza R = 100 . La potenza media erogata dal generatore vale (A) 106 W (B) 146 W (C) 256 W (D) 694 W (E) ______
9.7. Un generatore V (t ) V0 cos
SOLUZIONE. L’impedenza del circuito vale in modulo Z R 2 L e la corrente massima erogata dal generatore vale V0 I0 2 R 2 L La potenza media erogata dal generatore è tutta quella dissipata sulla resistenza R, unico elemento dissipativo del circuito: 2
〈
〉
〈
〉
(
)
(
Allo stesso risultato si può giungere utilizzando il fattore di potenza del circuito: 〈
〉
〈
( )
)
) reattanza
( )
( )〉 ( )
(
|Z|
| |
L resistenza
R
3
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9.8. Nel circuito della figura si ha VG(t) = 10cost volt con = 1000 rad/s, R = 20 , C = 15 F, L = 30 mH. La potenza media dissipata in R vale (A) 0.57 W (B) 1.54 W (C) 2.50 W (D) 4.20 W (E) 4.86 W
R
A
VG(t)
L
B
C
SOLUZIONE. L’impedenza del circuito Ztot è la somma delle impedenze dei 3 elementi circuitali: ( |
|
√
(
) )
La corrente massima che attraversa il circuito è quindi |
|
√
(
)
e la potenza media dissipata in R vale 〈
〉 (
(
) )
9.9. Con riferimento al problema precedente, il massimo valore della differenza di potenziale VAB ai capi dell’induttanza è (A) 2.3 V (B) 7.2 V (C) 13.7 V (D) 14.8 V (E) 28.3 V SOLUZIONE. Nel circuito circola una corrente oscillante di tipo ( ) ( ) dove l’angolo è l’angolo di sfasamento fra la corrente I e la tensione V. La differenza di potenziale ai capi dell’induttanza è ( ) ( ) ( ) che assume un valor massimo pari a √
(
)
9.10. Un voltaggio alternato V(t) = V0cost volt alla frequenza di rete (50 Hz) e ampiezza V0 = 100 V è applicato al circuito della figura. L’energia V ~ immagazzinata in media nell’induttanza è pari a circa (in J) (A) 0 (B) 0.1 (C) 0.25 J (D) 0.51 J (E) ___
R=10
SOLUZIONE. Poiché R ed L sono in parallelo, ai loro capi vi è la stessa differenza di potenziale pari a quella erogata dal generatore. Pertanto deve essere ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ L’energia media immagazzinata nell’induttanza è quindi 4
L=0.1H
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〈
〉
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〈 ( )〉
(
)
(
)
9.11. Il circuito della figura con R = 2 k e C = 1 F è collegato alla presa dell’impianto elettrico (voltaggio sinusoidale con periodo T = 20 ms e VRMS = 220 V); la potenza dissipata in R vale (A) 12.1 W (B) 24.2 W (C) 48.4 (D) 96.8 W (E)____ W SOLUZIONE. L’impianto elettrico eroga tensione secondo la legge ( ) ( ) ( √ e in R si dissipa una potenza media pari a 〈 ( )〉
VRMS=220V
R
C
)
V(t)=Vocost 9.12. Dato il circuito del disegno, tra le seguenti affermazioni riguardanti il fattore di potenza cos ( = angolo di sfasamento tra corrente I(t) e tensione V(t) del R generatore) I(t) I. cos diminuisce se R aumenta II cos è indipendente da R III cos diminuisce se C aumenta IV cos diminuisce se Vo aumenta V cos diminuisce se aumenta sono vere (A) I, III (B) II, IV (C) nessuna (D) V (E)I, III, V
C
SOLUZIONE. Utilizzando le ammettenze (collegamento in parallelo), troviamo l’ammettenza totale del circuito e diamo la rappresentazione polare: suscettanza Si ha dunque: |Ytot| ( )
|
|
|
|
√
(
C
)
Pertanto: al crescere sia di R, sia di C, sia di cos diminuisce: I, III, V vere, e II falsa. IV falsa perchè il fattore di potenza è una caratteristica intrinseca del circuito di carico a una data frequenza e non dell’alimentatore ideale.
conduttanza 1/R
9.13. In un circuito RLC in parallelo collegato alla presa ENEL VG(t) R L VG (t ) 311 cos314 t volt la potenza media erogata è = 100 W e l’angolo di sfasamento corrente-tensione è =+30°. Se C = 29 F, la resistenza R vale circa (arrotondare) (A) 100 (B) 300 (C) 500 (D) 800 (E) ______ 5
C
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SOLUZIONE. L’ammettenza del circuito è (
)
e la massima corrente erogata dal generatore vale quindi | | La potenza media erogata dal generatore ci consente di ricavare il valore del modulo dell’ammettenza del circuito: 〈
〉
〈
( )
( )
( )〉
|
|
( )
|
|
〈
〉 ( )
Deve anche valere la relazione ( ) |
|
|
|
|
( )
〈
| ( ) 〉 ( )
9.14. Nel circuito RLC dell’esercizio precedente, l’induttanza L vale circa (A) 1 H (B) 2 H (C) 0.4 H (D) 4 H SOLUZIONE. Trattando la parte immaginaria dell’ammettenza, deve essere |
|
(E) ______
suscettanza
( ) |
|
|Ytot|
( )
C1/(L) ( (
|
|
( ))
√
conduttanza
)
1/R
9.15. Un generatore V(t) = V0cost con V0 = 6 V e = 103 rad/s eroga una potenza media = 0.12 W quando ai suoi morsetti sono collegate in parallelo una resistenza R e una induttanza L. Affinché il fattore di potenza sia maggiore di 0.5 l’induttanza deve essere almeno pari a (A) 87 mH (B) 112 mH (C) 147 mH (D) 200 mH (E) 242 mH SOLUZIONE. L’ammettenza del circuito è
La potenza media erogata dal generatore ci consente di ricavare il valore massimo del modulo dell’ammettenza del circuito: 〈 〉 〈 〉 〈 ( ) ( )〉 ( ) | | ( ) | | 6
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TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
Trattando la parte immaginaria dell’ammettenza, deve essere | {
|
( ) ( )
|
√
|
√
|
√
|
√
9.16. Un’induttanza L = 53 mH, una resistenza R = 10 e un condensatore C = 65 F sono collegati in serie a un generatore di corrente alternata con Veff = 25 V. La frequenza propria di risonanza del circuito vale (A) 234 s–1 (B) 86 s–1 (C) 14 s–1 (D) 174 s–1 (E) 8.6 s–1 SOLUZIONE. L’impedenza del circuito vale (
)
La frequenza di risonanza del circuito corrisponde all’annullamento del fattore di potenza, cioè della parte immaginaria dell’impedenza. Imponendo questa condizione si trova √
√
√
9.17. Con riferimento al problema precedente, la corrente efficace circolante in condizioni di risonanza vale (A) 2.5 A (B) 5 A (C) 10 A (D) 12.5 A (E) ____ SOLUZIONE. La corrente efficace circolante in condizioni di risonanza vale
9.18. Nel circuito della figura si ha VG(t) = 31.6cos t con = 1000 rad/s; R = 20 , C =50 F, L = 0.03 H. La potenza media dissipata in R vale (A) 2.5 W (B) 10 W (C) 20 W (D) 80 W (E) ________ SOLUZIONE. L’ammettenza del ramo LC vale (L//C) ( e il suo reciproco, cioè l’impedenza del ramo LC, vale
L’impedenza totale del circuito (R in serie al ramo LC) vale
il cui modulo è
7
)
A
R VG(t)
C
L
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|
|
√
(
)
TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
√
(
)
√
(
)
√
La massima corrente emessa dal generatore è quindi |
|
√
|
|
e la potenza media dissipata su R è 〈
〉
9.19. Con riferimento al problema precedente, il massimo valore della differenza di potenziale ai capi di L vale circa (A) 14.1 V (B) 30.0 V (C) 28.3 V (D) 60.6 V (E) _____V SOLUZIONE. In corrispondenza del nodo A deve essere: (
)
(
)
(
)
dove IG è la corrente erogata dal generatore e V il potenziale del nodo A rispetto alla terra. Si ha dunque
9.20. Nella figura V = V0cost, con V0 = 311 V, = 314 rad/s, R = 25 , L = 100 mH e C = 40 F. La potenza media dissipata su R vale (A) 792 W (B) 750 W (C) 45.3 W (D) 483 W (E) 375 W
R V
C
SOLUZIONE. La corrente che circola nel ramo RL è
il cui valor massimo è |
|
√
La potenza media dissipata su R è quindi 〈
〉
9.21. Con riferimento al problema precedente il fattore di potenza cos() del circuito vale (A) 1.000 (B) 0.975 (C) 0.913 (D) 0.744 (E) ______
8
L
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TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
SOLUZIONE. L’ammettenza totale del circuito (C // R+L) è
(
)
quindi ( ( )
) (
(
(
(
(
))
))
(
))
(
)
2t con ampiezza V0 = 311 V e periodo T T = 20 ms è collegato al circuito di resistenze e condensatore della figura con R1 = 100 , R2 = 300 , C = 30 F. L’ampiezza massima della corrente che circola nel condensatore vale (A) 0.60 A (B) 0.84 A (C) 1.07 A (D) 1.79 A (E) 2.53 A
9.22. Un generatore V (t ) V0 cos
R1
A
V(t) C
R2
SOLUZIONE. L’ammettenza del ramo R2C vale (R2//C)
|
|
√(
(
)
)
(
√
)
L’impedenza totale del circuito è
| (
)
(
| (
)
(
)
che vale in modulo |
|
√(
(
)
)
(
Sostituendo i valori numerici con
si trova
| | e la corrente massima erogata dal generatore è 9
(
)
)
)
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TUTORATO 9: CIRCUITI IN A.C.
| | In corrispondenza del nodo A deve essere: (
)
(
)
dove IG è la corrente erogata dal generatore e V il potenziale del nodo A rispetto alla terra. Si ha dunque |
√
|
(
√(
(
)
)
√
(
)
)
Deve quindi essere | | 9.23. Con riferimento al problema precedente, l’ampiezza massima del voltaggio ai capi della resistenza R1 vale circa (A) 190 V (B) 243 V (C) 256 V (D) 264 V (E) 288 V SOLUZIONE. L’ampiezza massima del voltaggio ai capi della resistenza R1 vale
10
