Capitolo E4 - CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE

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Capitolo E4 - CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE La corrente continua viene impiegata solo in casi particolari (quali ferrovie e impianti elettrochimici). Nella maggior parte delle applicazioni sia industriali che civili si utilizzano infatti correnti alternate, per lo più di tipo sinusoidale; cioè correnti di ampiezza variabile nel tempo che si invertono continuamente seguendo un andamento periodico con valore medio nel periodo nullo [i(t)=i(t+nT), con n numero intero e T periodo]. Ciò è dovuto a due motivi: - le macchine elettriche in corrente alternata sono più economiche e affidabili e richiedono minore manutenzione di quelle in corrente continua; - l'ampiezza di una tensione alternata può essere variata mediante dispositivi ad alto rendimento e bassa manutenzione (trasformatori) consentendo di adattarla facilmente ed efficientemente alle caratteristiche dei vari utilizzatori e di trasportare l'energia elettrica a lunghe distanze con perdite contenute.

Fig. E4-1 L'energia elettrica infatti (fig. E4-1) viene: - prodotta nelle centrali ad una tensione di circa 15kV; - elevata poi a 220-380 kV (linee di trasmissione ad altissima tensione) per minimizzare le perdite di trasporto; - ridotta quindi nelle stazioni di trasformazione a 66-132 kV per la distribuzione primaria (linee di subtrasmissione ad alta tensione); - ridotta ulteriormente a 3-30 kV nelle cabine primarie di trasformazione (linee di distribuzione a media tensione), - ridotta infine a 230-400 V nelle cabine secondarie di trasformazione collocate in tutti i quartieri o all'ingresso delle industrie (linee di distribuzione a bassa tensione) per poterla utilizzare nelle case e nelle applicazioni industriali. La trasmissione in corrente continua ad alta tensione è attualmente conveniente rispetto a quella in corrente alternata trifase solo per distanze molto lunghe (>500-800 km per le linee aeree, >40-100 km per i cavi sotterranei, >20-50 km per i cavi sottomarini) e rappresenta la sola pratica opzione per l'interconnessione asincrona tra due sistemi in corrente alternata. Il motivo è che può trasportare la stessa potenza con due soli conduttori e quindi con minore costo della linea e dei tralicci e con minori perdite; essa richiede però convertitori ac/dc e dc/ac agli estremi della linea.

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E4-1. Grandezze sinusoidali. Una grandezza alternata si dice sinusoidale se è del tipo: x(t) = XM sen(ωt+α), con XM valore massimo, ω=2πf pulsazione [rad/s], f frequenza [Hz] = [s-1], T=1/f periodo [s] e α fase iniziale (per t=0) della grandezza (fig. E4-2). Se α>0 (<0) l'istante di inizio del semiperiodo positivo di x(t) è antecedente (successivo) l'origine dei tempi.

Fig. E4-2

Una misura dell'intensità di una grandezza sinusoidale (e più in generale periodica) è fornita dal suo valore efficace, cioè dalla radice quadrata del valore medio dei quadrati dei valori assunti dalla grandezza nel periodo: X=

1 T 2 x (t )dt T ∫0

Il valore efficace è importante in quanto ha un significato fisico. Nel caso di una corrente periodica che attraversa una resistenza R (o di una tensione periodica applicata ai suoi capi) il valore efficace di tale corrente (o tensione) è numericamente uguale al valore di una corrente (o tensione) continua che in un intervallo di tempo uguale al periodo T produrrebbe la stessa quantità di calore sulla stessa resistenza:

1 T 2 ( ) = R i t dt TR = i (t )dt ∫0 T ∫0 T

2

2

RI T

(o

∫

T 0

v 2 (t ) V2 dt = T ) R R

Nella trattazione analitica dei circuiti in regime sinusodiale si opera usualmente con i valori efficaci e la relazione fra valore efficace e valore massimo risulta:

I=

1 T 2 1 T1 I 2 ( ) [1 − cos 2(ω t + α )] dt = M ω α I sen t + dt = I M M ∫ ∫ T 0 T 0 2 2

Il valore di picco di una grandezza periodica/sinusoidale può essere utile ai fini progettuali; per esempio l'isolamento deve essere progettato per resistere al valore di picco e non al valore efficace.

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E4-2. Rappresentazione delle grandezze sinusoidali isofrequenziali con fasori e numeri complessi . Nell'analisi delle reti elettriche per rendere più semplici le operazioni matematiche di somma, differenza, derivazione e integrazione, che se eseguite sulle espressioni algebriche delle grandezze sinusoidali implicherebbero una notevole quantità di calcoli, conviene ricorrere ad una rappresentazione di tali grandezze mediante fasori o numeri complessi. A tal fine si consideri un segmento di lunghezza XM che ruota in senso antiorario con velocità angolare uniforme ω intorno all'origine del piano di Gauss, la proiezione del suo estremo sull'asse immaginario ha un andamento sinusoidale nel tempo (fig. E4-3a) con periodo T=2π/ω. L'ampiezza di tale sinusoide è pari alla lunghezza XM del segmento rotante e la sua fase coincide con l'angolo ωt+α formato dal segmento con l'asse di riferimento. La conoscenza di XM, α e ω è quindi sufficiente per identificare completamente la sinusoide corrispondente, che pertanto può essere rappresentata (fig. E4-3b) [le lettere in grassetto rappresentano grandezze sinusoidali] dal fasore rotante: X=XMej(ωt+α) ed essendo nota la frequenza dal fasore rotante all'istante t=0: X = XM ejα.

Fig. E4-3a

Fig. E4-3b

Ciò premesso è importante sottolineare i seguenti due aspetti relativi ai fasori: - mentre tutte le sinusoidi possono essere rappresentate con fasori, non tutti i fasori rappresentano necessariamente delle sinusoidi (vedremo infatti nel seguito rappresentate per mezzo di fasori anche l'impedenza e l'ammettenza); - per convenzione il modulo del fasore rotante viene posto uguale al valore efficace X=XM/√2 della sinusoide e non al suo valore massimo XM. 38

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Più grandezze sinusoidali possono essere rappresentate mediante fasori solo se sono isofrequenziali, in quanto in tale caso i fasori ruotando tutti con uguale velocità angolare mantengono inalterata la loro reciproca posizione (fig. E4-4).

x1(t) = XM1 sen(ωt+α1) x2(t) = XM2 sen(ωt+α2) X1 = X 1 ejωt ejα1 X2 = X 2 ejωt ejα2 Fig. E4-4

La differenza di fase ϕ=α2−α1 fra due sinusoidi coincide con l'angolo compreso fra i rispettivi fasori; il segno è individuato dalla posizione reciproca dei due fasori in relazione al verso antiorario scelto come positivo. Due grandezze si dicono: in fase se ϕ=0, in quadratura se ϕ=±π/2, in opposizione se ϕ=π. Poiché alla rappresentazione grafica mediante fasori ne corrisponde una analitica mediante numeri complessi, che individuano l'estremo dei fasori nel piano di Gauss, si può istituire una corrispondenza biunivoca anche fra grandezze sinusoidali e numeri complessi. I due numeri reali che costituiscono il numero complesso possono essere o la lunghezza del fasore e l'angolo che il fasore forma con l'asse delle ascisse (numero complesso in forma polare), oppure l'ascissa e l'ordinata cartesiana dell'estremo del fasore (numero complesso in coordinate cartesiane o rettangolari). In conclusione qualsiasi grandezza sinusoidale può esprimersi, oltre che in forma algebrica, in forma grafica mediante fasori o in forma analitica sia esponenziale che rettangolare mediante numeri complessi: X = X ejα = X cosα + j X senα . Il simbolo j è un operatore che fa effettuare una rotazione di 90° in senso antiorario. L'operatore j gode della seguente proprietà nei calcoli: j2=-1

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E4-3. Operazioni matematiche sui fasori. Le operazioni di somma e differenza di due grandezze sinusoidali, rappresentate graficamente in figura E4-5 mediante dei fasori, si eseguono facilmente utilizzando i numeri complessi in forma rettangolare: Xs = X1 + X2 = (a1+a2) + j(b1+b2) Xd = X1 − X2 = (a1−a2) + j(b1−b2) sommando o sottraendo fra di loro le parti reali e quelle immaginarie dei due numeri complessi. Fig. E4-5

Le operazioni di derivazione e d'integrazione, rappresentate graficamente in figura E4-6, si eseguono invece facilmente utilizzando i numeri complessi in forma esponenziale: d d jα jωt jα jωt X = (X e e ) = j ω X e e =jωX dt dt X X = −j jω ω La derivata di una grandezza sinusoidale di modulo X è rappresentabile con un fasore di modulo ωX in quadratura in anticipo; l'integrale con un fasore di modulo X/ω in quadratura in ritardo.

∫ X dt =

jα jω t ∫ X e e dt =

Fig. E4-6

Il prodotto di una grandezza sinusoidale di modulo X per uno scalare m è rappresentabile con un fasore di modulo mX in fase o sfasato di π rispetto al fasore X a seconda che m sia positivo o negativo. Il prodotto e il quoziente di due grandezze sinusoidali non sono grandezze sinusoidali e quindi non possono essere rappresentate sullo stesso piano utilizzando la rappresentazione fasoriale o quella con i numeri complessi. E' possibile invece, utilizzando i numeri complessi in forma esponenziale, effettuare il prodotto e il quoziente di un fasore, rappresentante una grandezza sinusoidale, per un operatore vettoriale (impedenza) semplicemente moltiplicando o dividendo i moduli e sommando o sottraendo gli argomenti [V=ZI=Zejϕz ⋅Iejϕi =ZI ej(ϕz+ϕi); I=V/Z=(V/Z)ej(ϕv−ϕz)].

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E4-4. Legge di Ohm. Resistore. Se una corrente i(t)=IMsen(ωt+α) circola in un bipolo puramente ohmico la tensione tra i suoi morsetti è vR(t)=Ri(t)=RIMsen(ωt+α); pertanto i fasori rappresentativi della corrente e della tensione (fig. E4-7) sono in fase tra di loro: VR = RI . vR

j

i

VR

0

α

t α >0

I

Fig. E4-7

Induttore. Se una corrente i(t)=IMsen(ωt+α) circola in un bipolo puramente induttivo per la legge di Faraday-Lenz nasce in esso una f.e.m. di autoinduzione sinusoidale eL(t) che si oppone alla variazione della corrente e pertanto, affinché la corrente possa effettivamente permanere nel circuito, è necessario applicare ai suoi morsetti una tensione vL(t) che faccia equilibrio in ciascun istante a eL(t). Nel caso di un induttore lineare, si ha: vL(t) = − eL(t) = d(Li)/dt = ωLIM cos(ωt+α) = ωLIM sen(ωt+α+π/2); pertanto il fasore rappresentativo della tensione (fig. E4-8) risulta di ampiezza ωLI ed è sfasato di 90° in anticipo rispetto a quello della corrente: VL = jωLI = jXLI ;

(la quantità XL=ωL è detta reattanza induttiva).

In realtà circuiti puramente induttivi non esistono (vengono considerati tali quelli in cui la resistenza è trascurabile rispetto alla reattanza induttiva); pertanto un induttore essendo caratterizzato anche da una certa resistenza dovrebbe essere schematizzato con il circuito di figura E4-9 e il fasore rappresentativo della tensione da applicare ai suoi morsetti, per mantenere in esso la corrente I, risulta di ampiezza √(R2+XL2)⋅I ed è sfasato in anticipo di un angolo ϕ= arctg(XL/R) rispetto a quello della corrente: V = RI + jωLI . V

+

vL

j

VL

i 0

t α <0

Fig. E4-8

α

I

I

_

j ωL V

R j ωL I

RI

I

Fig. E4-9

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Condensatore. Se una corrente i(t)=IMsen(ωt+α) circola in un bipolo puramente capacitivo la tensione tra i suoi morsetti è: I I π 1 − M cos(ωt + α ) = M sen(ωt + α − ) ; vc (t ) = ∫ I M sen(ωt + α )dt = ωC ωC 2 C pertanto il fasore rappresentativo della tensione risulta di ampiezza I/ωC ed è sfasato di 90° in ritardo rispetto a quello della corrente (fig. E4-10): VC = I/jωC = −jI/ωC = −jXCI; la quantità XC =1/ωC è detta reattanza capacitiva.

Fig. E4-10

In pratica il circuito collegato alle armature di un condensatore presenta sempre una certa resistenza, pertanto il fasore rappresentativo della tensione da applicare ai suoi morsetti risulta di ampiezza √(R2+XC2)⋅I ed è sfasato in ritardo di un angolo ϕ= arctg(XC/R) rispetto a quello della corrente: V = RI − jI/ωC . Circuito R-L-C serie. Se una corrente i(t)=IMsen(ωt+α) circola in un circuito costituito da un resistore, un induttore ed un capacitore connessi in serie (fig. E4-11) le tensioni agli estremi del resistore, dell'induttore e del condensatore, espresse in termini fasoriali ed in quelli istantanei, valgono rispettivamente: VR = RI VL = jωLI VC = −jI/ωC

vR(t) = √2 RI sen(ωt+α-ϕ) vL(t) = √2 ωLI sen(ωt+α-ϕ+π/2) vC(t) = √2 (I/ωC) sen(ωt+α-ϕ-π/2)

e pertanto il fasore della tensione totale V ai suoi morsetti, pari alla somma dei fasori che rappresentano le cadute di tensione ai morsetti dei tre bipoli connessi in serie, risulta: V = RI + jωLI − jI/ωC = [R + j(ωL−1/ωC)] I = ZI

legge di Ohm

dove l'operatore vettoriale: Z = R+j(ωL−1/ωC) = Zejϕ, detto impedenza, ha modulo Z = √[R2+(ωL−1/C)2], che corrisponde al rapporto dei valori efficaci di tensione e corrente, e argomento ϕ = arctg [(ωL−1/ωC)/R], che corrisponde all'angolo formato dai fasori rappresentativi della tensione e della corrente.

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L'impedenza, che esprime il rapporto tra il numero complesso che rappresenta la tensione e il numero complesso che rappresenta la corrente, tiene conto dei fenomeni sia di dissipazione di energia elettrica che di accumulo di energia elettromagnetica. La parte reale del numero complesso rappresenta il fenomeno dissipativo e corrisponde alla resistenza R, nella schematizzazione con elementi in serie; la parte immaginaria, reattanza X, è associata ai fenomeni energetici di accumulo. La resistenza è una quantità sempre positiva, la reattanza può essere positiva o negativa: nel primo caso prevale l'accumulo di energia magnetica (impedenza induttiva), nel secondo quello di energia elettrostatica (impedenza capacitiva).

i

e

RI

R

R C

L

E

I j ωL

1 j ωC

j ωL I

a) Fig. E4-11

1 j ωC I V

φ

I

b) Fig. E4-12

Il reciproco dell'impedenza è chiamato ammettenza: Y=1/Z. Con la rappresentazione mediante numeri complessi in forma cartesiana delle grandezze sinusoidali l'equazione integro-differenziale di equilibrio delle tensioni si trasforma in un'equazione algebrica fra numeri complessi, analoga a quella relativa ad un circuito in corrente continua a regime stazionario. Si utilizza a tale scopo un circuito (fig. E4-12a), ottenuto da quello reale (fig. E411) sostituendo alle grandezze elettriche i numeri complessi rappresentativi ed ai parametri circuitali R, L e C le relative impedenze R, jωL e −j/ωC. Se si utilizzano i numeri complessi in forma esponenziale si ottiene: V=Zejϕ I , relazione che evidenzia che il fasore rappresentativo della tensione risulta sfasato in anticipo dell'angolo ϕ rispetto a quello della corrente (come risulta dalla rappresentazione fasoriale di figura E4-12b, in cui α=0). L'andamento nel tempo della tensione risulta quindi: v(t) = √2I Z sen(ωt+α+ϕ) ; pertanto a regime stazionario la tensione è una grandezza sinusoidale, sfasata in anticipo rispetto alla corrente dell'angolo ϕ, caratteristico dell'impedenza Z, e di ampiezza pari al valore massimo della corrente moltiplicato per il modulo dell'impedenza stessa. Un bipolo comprendente sia resistori che elementi reattivi ha un comportamento di carattere induttivo o capacitivo a seconda che, in relazione alla frequenza di lavoro, sia prevalente la reattanza induttiva o quella capacitiva, mentre il suo comportamento è resistivo e il bipolo si dice in risonanza se la frequenza è tale da verificare l'uguaglianza XL = XC .

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Le relazioni numeriche che intercorrono fra resistenza, reattanza e modulo e angolo dell'impedenza sono uguali a quelle esistenti fra cateti e ipotenusa di un triangolo rettangolo (fig. E4-13): R=Zcosϕ , X=Zsenϕ Z=√(R2+ X2) Le proiezioni del fasore della corrente I secondo la direzione del fasore della tensione V e della sua normale (fig. E4-14) rappresentano rispettivamente la sua componente attiva (Ia = Icosϕ) e quella reattiva (Ir = Isenϕ). V φ

Vr

Ia Ir I

Fig. E4-13

Va

Fig. E4-14

La tensione V tra i morsetti di un bipolo attivo, costituito da un'impedenza Z in serie ad un generatore di tensione E, se si attribuisce a V polarità concorde con quella del generatore, risulta: V = E ± ZI il segno + vale nel caso in cui la polarità di E è opposta al verso attribuito alla corrente I (fig. E4-15).

Fig. E4-15

Nel caso di due induttori mutuamente accoppiati (fig. 5-16a), si ha:

V1 = jωL1I1 + jωMI 2 V2 = jωMI1 + jωL 2 I 2 da cui si deduce il circuito equivalente di figura E4-16b, in cui i due induttori sono rappresentati con le reattanze jωL1 e jωL2 ed il loro accoppiamento con la reattanza mutua jωΜ .

a)

b) Fig. E4-16

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E4-5. Analisi di circuiti in corrente alternata sinusoidale. Per mezzo della rappresentazione fasoriale o dei numeri complessi è possibile analizzare anche circuiti elettrici comprendenti generatori che eroghino tensioni o correnti sinusoidali, purché tutte isofrequenziali. L'analisi, in modo analogo a quanto fatto nel caso dei circuiti in corrente continua, inizia con la scelta di un senso positivo arbitrario per ogni corrente. Però mentre nei circuiti in corrente continua un risultato positivo (negativo) significa che la corrente ha effettivamente il verso scelto arbitrariamente a priori (ha verso opposto), nei circuiti in corrente alternata non ci può essere una corrispondenza tra senso convenzionale e senso fisico di passaggio della corrente, che fluisce alternativamente nei due sensi. Ciò fatto anche i successivi procedimenti da seguire sia per la determinazione dell'impedenza equivalente di più impedenze fra loro comunque interconnesse, sia per il calcolo delle correnti in alcuni rami o delle d.d.p. tra alcuni punti della rete sono analoghi a quelli dei circuiti in corrente continua (principi di Kirchhoff, metodo delle correnti di ramo, metodo delle correnti di maglia, metodo di sovrapposizione degli effetti, teorema di Thevenin, ecc.). La sola differenza è costituita dal fatto che si opera su numeri complessi anziché reali.

E4-6. Potenza ed energia in circuiti resistivi, induttivi e capacitivi. I fenomeni connessi con l'energia elettrica possono essere di tipo dissipativo o conservativo. Nel primo caso l'energia elettrica viene sempre ceduta dal generatore al circuito e agli utilizzatori ad esso connessi e convertita in energia di altra forma. Nel secondo caso l'energia elettrica è scambiata tra il generatore e i campi elettrici e magnetici presenti nello spazio attorno al circuito e negli utilizzatori. Tali campi assorbono energia negli intervalli di tempo in cui aumenta di intensità la tensione (campo elettrico) e/o la corrente (campo magnetico), la conservano quando tensione e/o corrente sono costanti e la restituiscono al generatore quando tensione e/o corrente diminuiscono di intensità. Si consideri un bipolo lineare passivo, alimentato da un generatore di tensione o di corrente, in regime stazionario sinusoidale. Se v(t) = VM sen(ωt+ϕ) è la d.d.p. tra i terminali del bipolo e i(t) = IM senωt la corrente che lo attraversa, la potenza istantanea p(t) che in ogni istante il generatore e il bipolo si scambiano presenta un andamento periodico (fig. E4-17) con frequenza doppia di quella della tensione e della corrente: p(t) = v(t) i(t) = VMIM sen(ωt+ϕ) senωt = VI cosϕ − VIcos(2ωt+ϕ) = = VIcosϕ −VIcosϕ cos2ωt+VIsenϕ sen2ωt = = VIcosϕ (1−cos2ωt)+VI senϕ sen2ωt.

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Il termine VIcosϕ (1−cos2ωt), che prende il nome di potenza attiva istantanea, è sempre positivo; è nullo solo nel caso ideale di circuito puramente induttivo o capacitivo. Il termine VIsenϕ sen2ωt, che prende il nome di potenza reattiva istantanea, è nullo in assenza di induttori e/o condensatori nel circuito. p

S=VI P

pa P=VIcos φ p

r

φ

Q=VIsenφ

ωt

i v

Fig. E4-17

Fig. E4-18

In regime sinusoidale la potenza è caratterizzata da tre parametri. 1- Potenza attiva - valore medio in un periodo della potenza istantanea: 1 t+T P p(t) dt V I cosϕ Z= I 2 cosϕ R I 2 = = = ∫ t T Tale potenza non può mai essere negativa, in quanto l'angolo fra corrente e tensione all'ingresso di un bipolo passivo è limitato fra i valori −π/2 e +π/2 e quindi il fattore di potenza cosϕ è sempre ≥ 0. Essa si misura in watt [W] con il wattmetro, strumento a quattro morsetti (fig. E4-18) due relativi al circuito amperometrico (percorso dalla corrente) e due al circuito voltmetrico (sottoposto alla tensione), che fornisce una indicazione proporzionale al prodotto del valore efficace della tensione per il valore efficace della corrente per il coseno dell'angolo di sfasamento tra tali due grandezze. La potenza attiva rappresenta la potenza effettivamente utilizzabile dai carichi e la corrispondente energia esce dal circuito elettrico in quanto negli utilizzatori si trasforma in energia meccanica, termica, luminosa, o chimica. Ad esempio nelle lampade ad incandescenza, la cui costante di tempo termica è molto maggiore di 1/100 di secondo, la temperatura del filamento e quindi il flusso luminoso dipendono praticamente solo dal valore medio della potenza assorbita; considerazioni analoghe possono essere fatte per i motori (in relazione alla loro inerzia meccanica), i forni (in relazione alla loro capacità termica), le lampade fluorescenti (in relazione alla persistenza dell'immagine sulla retina), ecc.

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2- Potenza reattiva - valore massimo della potenza reattiva istantanea: Q = V I senϕ= Z I2 senϕ = X I2 = (ωL−1/ωC) I2 Tale potenza, la cui corrispondente energia è immagazzinata nelle induttanze e nei condensatori, si misura in volt-ampère reattivi [VAR] ed è positiva o negativa a seconda che il bipolo sia un induttore o un condensatore; per convenzione si dice che i generatori cedono energia reattiva alle induttanze e assorbono energia reattiva dai condensatori. Tale potenza, come si vedrà in seguito, è fondamentale per il funzionamento delle macchine elettriche. 3- Potenza apparente - ampiezza della oscillazione della potenza istantanea attorno al suo valore medio (fig. E4-17): S = V I = Z I2 tale potenza, che è detta anche di dimensionamento poiché in base a V ed I si dimensionano, rispettivamente, l'isolamento tra i conduttori e la loro sezione, si misura in volt-ampere [VA]. Le potenze attiva, reattiva e apparente, pur avendo tutte le stesse dimensioni fisiche, sono misurate con unità diverse (rispettivamente W, VAR e VA) per tener conto del loro diverso significato. Fra P, Q e S esistono relazioni analoghe a quelle fra R, X e Z, esprimibili graficamente mediante il triangolo rettangolo delle potenze (fig. E4-19 per carico induttivo): P cosϕ = S

S=

Q senϕ = S

Q ϕ = arctg P

S

P2+Q2

ϕ

Q P

Fig. E4-19

Potenza complessa. Si ottiene moltiplicando il numero complesso rappresentativo della tensione V per il complesso coniugato I del numero rappresentativo della corrente I: V*I=P+jQ. Essa è dunque rappresentabile con un vettore, la cui parte reale è la potenza attiva, la cui parte complessa è la potenza reattiva e la cui ampiezza è la potenza apparente e che forma con l'asse reale un angolo che coincide con lo sfasamento tra la tensione e la corrente. In un circuito resistivo puro, essendo ϕ=0 , la potenza reattiva è nulla. In un circuito puramente induttivo o puramente capacitivo essendo: wL(t) = Li2/2 = LIM2 sen2ωt/2 = LI2 (1−cos2ωt)/2 wC(t) = Cv2/2 = CV2cos2ωt/2 = CV2(1+cos2ωt)/2 la potenza reattiva istantanea (fig. E4-22) vale rispettivamente: pL(t) = dwL/dt = ωLI2 sen2ωt pC(t) = dwC/dt = − ωCV2sen2ωt = − (I2/ωC) sen2ωt. Le aree limitate dalla curva della potenza istantanea e dall'asse dei tempi nella figura E4-22 sono proporzionali all'energia scambiata fra il circuito ed i campi magnetico e elettrico, rispettivamente. Le aree contrassegnate con il segno positivo indicano l'energia trasferita dal generatore al campo magnetico dell'induttore (elettrico del condensatore), mentre le aree contrassegnate con il segno negativo si riferiscono all'energia che l'induttore (il condensatore) restituisce al generatore. Poiché queste aree sono uguali il trasferimento di energia è nullo in un periodo.

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p

pL

t

i

i

P=S=VI 0

v

v

p

C

0

0

t

t

i

i v Fig. E4-21

Fig. E4-22

Per convenzione gli induttori vengono considerati carichi di potenza reattiva e i condensatori generatori di potenza reattiva. Nelle figure E4-23a e E4-23b le frecce indicano lo scambio di energia tra generatore elettrico e rispettivamente campo magnetico e campo elettrostatico.

Fig. E4-23a

Fig. E4-23b

E4-7. Teorema di Boucherot. Il teorema di Boucherot esprime il principio di conservazione della potenza; esso afferma che in una rete comunque complessa in regime stazionario sinusoidale la somma aritmetica delle potenze attive erogate dai generatori è uguale alla somma aritmetica delle potenze attive assorbite dagli utilizzatori e che la somma algebrica delle potenze reattive erogate dai generatori è uguale alla somma algebrica delle potenze reattive assorbite dagli utilizzatori: Σ Pj = Σ Rj Ij2

Σ Qj = Σ Xj Ij2

Il suddetto principio non vale per la potenza apparente, infatti si ha: S = √ [(Σ Pj)2 + (Σ Qj)2] ≠ √Σ[Pj2 + Qj2] .

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E4-8. Rifasamento. La gran parte dei carichi elettrici sono di tipo ohmico-induttivo e pertanto assorbono dalla rete una corrente, sfasata in ritardo rispetto alla tensione di alimentazione, la cui componente in fase (corrente attiva Ia) è destinata al lavoro utile prodotto e la cui componente sfasata in ritardo di π/2 (corrente magnetizzante Im) è destinata alla creazione dei campi magnetici indispensabili per il funzionamento dei suddetti carichi. Gli utilizzatori con basso fattore di potenza sono essenzialmente: i motori asincroni, i trasformatori, gli impianti di saldatura elettrica, i forni ad induzione, le lampade a scarica nei gas e i convertitori a.c./d.c. Il cosϕ delle lampade a scarica è circa 0,5, però in genere tali lampade sono vendute già rifasate con un piccolo condensatore.

Ne consegue che un dato carico, a parità della corrente attiva necessaria e quindi dell'energia assorbita e del conseguente importo pagato dall'utente alla azienda fornitrice, assorbe una corrente complessiva tanto maggiore quanto maggiore è la componente reattiva. Pertanto gli utenti i cui carichi sono caratterizzati da un basso fattore di potenza comportano per le aziende distributrici di energia elettrica un aumento dei costi sia a causa delle maggiori perdite di energia per effetto Joule in tutto il sistema a monte sia per la necessità di dover sovradimensionare i macchinari e le linee di distribuzione al fine di aumentare la capacità di trasporto e di contenere le cadute di tensione al di sotto dei limiti imposti. Con riferimento ad un impianto costituito da generatore, linea e carico si possono infatti fare le seguenti osservazioni: - a parità di potenza attiva, la potenza apparente risulta inversamente proporzionale al fattore di potenza (S=P/cosϕ); poiché le macchine di produzione e di trasformazione dell'energia elettrica vengono dimensionate in funzione delle potenza apparente, un basso fattore di potenza richiede l'utilizzo di macchine di maggiori dimensioni e quindi più costose; - a parità di altre condizioni la potenza dissipata per effetto Joule sulla linea risulta inversamente proporzionale al quadrato del fattore di potenza [PJ = ρ L P2/(Scu V2 cos2ϕ)] pertanto per limitare le perdite, in presenza di bassi valori del fattore di potenza, occorre aumentare la sezione Scu dei conduttori, il che si traduce in maggior costo dell'impianto; - la caduta di tensione in linea è: ∆V=(RLcosϕ+XLsenϕ) P/(Vcosϕ); al diminuire di cosϕ aumenta senϕ ed il termine RLcosϕ +XLsenϕ rimane praticamente costante, mentre il termine P/(Vcosϕ) aumenta,; per limitare la conseguente maggior caduta di tensione è necessario diminuire RL e quindi aumentare la sezione dei conduttori.

Pertanto l'Ente Distributore dell'energia elettrica, dato che, come risulta dalle precedenti considerazioni, per fornire una potenza P deve sostenere un onere finanziario tanto maggiore quanto minore è il fattore di potenza, ha imposto clausole contrattuali che di fatto obbligano gli utenti a rifasare il proprio impianto (almeno fino ad un fattore di potenza medio mensile ≥ 0,9). A tale proposito un provvedimento del CIP (Comitato Interministeriali Prezzi) ha stabilito che: - per cos ϕ < 0,7 è obbligatorio effettuare il rifasamento dell'impianto; - per 0.7 ≤ cos ϕ ≤ 0,9 non esiste l'obbligo del rifasamento ma viene fatta pagare all'utente una quota di energia reattiva. La decisione se effettuare o meno il rifasamento viene presa dall'utente sulla base di criteri di convenienza economica; - per cos ϕ ≥ 0,9 non esiste l'obbligo del rifasamento e l'utente non paga nessuna quota di energia reattiva. Il risparmio conseguente al rifasamento è tale da determinare mediamente un rientro dell'investimento per l'impianto di rifasamento nell'arco di 12-15 mesi.

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Appunti di “Elettrotecnica e Macchine Elettriche” - L. Taponecco

Per rifasare, cioè ridurre, a parità di energia attiva trasportata, l'entità di energia reattiva che circola in linea, occorre produrre questa energia il più vicino possibile al luogo dove è richiesta. In tal modo l'energia reattiva necessaria al funzionamento di un dato carico, viene scambiata in loco anziché tra il carico e il generatore in centrale, sgravando quindi la centrale e la linea di trasporto che deve così trasferire quasi esclusivamente energia attiva. Dal punto di vista energetico, in assenza di rifasamento la linea trasmette sia il flusso unidirezionale di potenza attiva, sia quello alternativo di potenza reattiva. Nel caso di rifasamento totale, il flusso alternativo di potenza reattiva non interessa la linea; nel caso di rifasamento parziale, sulla linea transita il residuo flusso alternativo di potenza reattiva. I mezzi per produrre energia reattiva sono sostanzialmente due: batterie di condensatori, motore sincrono sovraeccitato. Entrambi assorbono dalla rete una corrente sfasata di 90° in anticipo sulla tensione, corrente che può compensare in tutto o in parte la corrente sfasata di 90° in ritardo corrispondente alla energia reattiva richiesta dal carico. Si consideri un carico ohmico-induttivo alimentato da un generatore tramite una linea (fig. E4-24); dal corrispondente diagramma fasoriale si osserva che, fissata la tensione V, per una data potenza P la corrente che percorre la linea e il carico diminuisce all'aumentare del cosϕ . Infatti: P = V I cosϕ = V IL cosϕ = V IL' cosϕ ' da cui: IL' = IL cosϕ / cosϕ ' ed essendo cosϕ ' > cosϕ è IL' < IL .

Fig. E4-24

Fig. E4-25

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Se in parallelo al carico si pone un condensatore (fig. E4-25) la corrente di linea risulta: V V V I L =I + I C = + jωCV = cos ϕ − j s enϕ + jωCV R + jω L Z Z

Si ha pertanto una riduzione della corrente in linea [in quanto la corrente capacitiva jωCV compensa in parte la componente induttiva –j(V/Z)senϕ della corrente assorbita dal carico] con conseguenti minori perdite per effetto Joule e minore caduta di tensione in linea, mentre risulta invariata la potenza assorbita dal carico dato che: IL'cos ϕ ' = I cos ϕ Quindi la linea di alimentazione fornisce al complesso ''carico + condensatore'' la stessa potenza attiva, che avrebbe fornito al solo carico, ma una minor potenza reattiva, dato che una parte viene prodotta ''in loco'' dal condensatore. Se la capacità del condensatore è tale da realizzare un rifasamento totale, la corrente di linea IL' risulta in fase con la tensione sul carico V. Nella pratica il rifasamento totale non viene mai effettuato ma è sufficiente che lo sfasamento fra V e IL' sia tale da determinare un fattore di potenza non inferiore a 0,9. Indicando con ϕ ' l'angolo di fase residuo che si vuole ottenere (fig. E4-25), deve essere: V V senϕ − ω C V = cos ϕ tgϕ ' Z Z e quindi il valore della capacità del condensatore risulta: C

senϕ − cos ϕ tgϕ ' ω L − R tgϕ ' = ωZ ω Z2

Il calcolo della capacità del condensatore di rifasamento può eseguirsi anche, nota la potenza attiva richiesta dal carico ed il relativo fattore di potenza, ricavando, in base al bilancio delle potenze reattive, la potenza reattiva capacitiva necessaria per aumentare il fattore di potenza da cosϕ a cosϕ'. Indicando con QL'=Ptgϕ', Q=Ptgϕ e QC=-ωCV2 le potenze reattive di linea, del carico e del condensatore, essendo: QL'=QC+Q la capacità necessaria per effettuare il rifasamento di un carico risulta: tgϕ − tgϕ ' tgϕ − tgϕ ' C P= cos = ϕ ωV2 ωZ

Nella pratica, poiché il valore della potenza attiva e del fattore di potenza sono spesso variabili nel tempo, per effettuare il rifasamento è necessario conoscere il diagramma di carico dell'impianto da rifasare, ovvero le curve della potenza o dell'energia attiva e reattiva in funzione del tempo.

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Appunti di “Elettrotecnica e Macchine Elettriche” - L. Taponecco La scelta del tipo di impianto di rifasamento più adatto viene fatta sulla base dei seguenti fattori: tipi di apparecchi utilizzatori, loro dislocazione, potenze e curve di carico dei vari utilizzatori. Varie sono le tipologie previste per effettuare il rifasamento. Rifasamento distribuito si realizza installando in corrispondenza di ogni apparecchio utilizzatore un condensatore. Poiché i vantaggi del rifasamento si fanno sentire su tutta la rete a monte, è evidente la convenienza da un punto di vista tecnico di un rifasamento il più capillare possibile, ossia la convenienza di installare i condensatori il più vicino possibile ai luoghi dove la potenza induttiva è assorbita, e quindi ai morsetti degli apparecchi utilizzatori. Però il costo dell'installazione e la variabilità delle condizioni di lavoro dei carichi rendono questa soluzione costosa (il costo al kVAR dei condensatori aumenta al diminuire della potenza) e difficile da attuare (risulta comunque la soluzione utilizzata dai costruttori per rifasare le lampade fluorescenti). Essa è ideale nel caso di pochi utilizzatori di notevole potenza. Rifasamento di gruppi di carichi si realizza mediante impianti automatici, che garantiscono il rifasamento di più utilizzatori, seguendone la richiesta di energia reattiva. Si utilizza questa tipologia quando è possibile suddividere l'impianto in gruppi di utilizzatori di caratteristiche omogenee e consiste nel rifasare con un unico condensatore un intero gruppo di utilizzatori. Tale soluzione lascia non compensati i cavi dei singoli carichi. Per aziende che hanno utilizzatori di elevata potenza, una soluzione tecnico-economica vantaggiosa potrebbe essere quella di rifasare localmente i grossi carichi e centralmente la potenza rimanente. Rifasamento centralizzato si realizza installando un'unica batteria di condensatori in corrispondenza del trasformatore o del punto di consegna dell'energia. Questa è la soluzione più utilizzata, più economica e più semplice per aziende di piccola e media dimensione, anche se in questo caso le linee elettriche interne allo stabilimento non risultano alleggerite dal contributo di potenza reattiva fornito. Rifasamento centralizzato a potenza modulabile. Il rifasamento viene attuato ancora a monte dell’intero impianto ma la potenza reattiva viene suddivisa in un certo numero di batterie, in modo da poter variare la potenza reattiva in funzione delle esigenze del carico e ottenere così un cos ϕ pressochè costante in tutte le situazioni. Il comando delle batterie avviene di solito automaticamente mediante un opportuno regolatore. Il rifasamento automatico centralizzato, dato l’elevato costo, deve essere realizzato solo quando è veramente necessario. Rifasamento misto Soluzione che utilizza tutte o parte delle tipologie prima descritte. I principali dati da specificare nell’ordinazione dei condensatori di rifasamento sono: - tensione nominale, deve essere maggiore di quella di esercizio dell’impianto da rifasare, - frequenza nominale, uguale a quella di rete, - potenza nominale, è la potenza a tensione e frequenza nominali espressa in kVAR, - casse di temperatura ambiente, intervallo di temperatura entro cui sono garantite le caratteristiche del prodotto, - tipo d’installazione, per interno o per esterno, per posa verticale o per altre posizioni, - contrassegno di riferimento alle norme, indica le norme tecniche a cui il prodotto è conforme - massima corrente ammessa in servizio, viene espressa come multiplo della corrente nominale ed è in genere pari a 1,3 IN.

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Capitolo E5 - ANALISI DI CIRCUITI LINEARI IN REGIME PERIODICO NON SINUSOIDALE Nel caso di grandezze sinusoidali la rappresentazione in forma grafica mediante fasori o in forma analitica mediante numeri complessi consente, come si è visto, di analizzare il funzionamento di circuiti in regime stazionario utilizzando tecniche simili a quelle impiegate nel caso dei circuiti in corrente continua. Il regime sinusoidale rappresenta però una condizione che nella pratica spesso non si verifica o si verifica con una certa approssimazione. Tuttavia poiché, mediante la scomposizione in serie di Fourier, ogni forma d'onda periodica non sinusoidale può essere scomposta nella somma di sinusoidi con frequenza multipla della propria frequenza e di un termine costante, è possibile nel caso di circuiti lineari scomporre il problema in più casi da risolvere singolarmente e applicare quindi il principio di sovrapposizione degli effetti.

E5-1. Scomposizione in serie di Fourier. Una funzione periodica f(t) può espandersi in serie di Fourier come somma di un termine costante e di funzioni cosinusoidali e sinusoidali di frequenza crescente: f (t ) ≅ A0 + A1 cos ωt + A2 cos 2ωt + .... + An cos nωt + B1sen ωt + B2 sen 2ωt + .... + Bn sen nωt dove:

ω=2π/T=2πf

An =

2 f (t ) cos nωt dt T ∫T

Bn =

2 f (t ) sen nωt dt T ∫T

In molti casi conviene esprimere la serie di Fourier come somma di un termine costante e di termini in cui compare una sola funzione sinusoidale per ciascuna armonica: ∞

f (t ) = C0 + ∑ Cn sen (nωt + α n ) n =1

dove:

C0 = A0

Cn = An2 + Bn2

αn = tg −1

An (+ π , se Bn < 0) Bn

Il termine C0 rappresenta la componente continua di f(t); il termine C1 sen(ωt+α1) la componente fondamentale, o prima armonica, i rimanenti termini le armoniche di n-esimo ordine. Nel caso molto comune in Elettrotecnica di funzioni alternate C0 = 0 e se vi è simmetria di comportamento della funzione f(t) = −f(t+T/2) sono presenti solo i termini sinusoidali dispari. Oltre che dalle sue componenti armoniche, una grandezza periodica f(t) è caratterizzata anche da altri parametri, tra cui: - il valore di picco (valore massimo assoluto nel periodo); - il valore efficace (radice quadrata della somma dei quadrati dei valori efficaci delle singole armoniche); - la distorsione armonica totale (rapporto fra il valore efficace delle armoniche e quello della funzione).

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E5-2. Potenza nei circuiti con grandezze periodiche. La potenza attiva prodotta da tensioni e correnti periodiche non sinusoidali è ancora definita come valor medio della potenza istantanea in un periodo T della potenza stessa e pertanto risulta: = P

1 = T

1 T

∫ v ( t ) ⋅ i ( t ) dt T

0

∫

T

0

V0 + ∑ n VnM sen (ωnt + α vn )   I 0 + ∑ n I nM sen (ωnt + α in )  dt

e poiché solo i prodotti delle componenti isofrequenziali di corrente e tensione contribuiscono al valor medio della potenza, si ha: = P V0 I 0 + ∑ n Vn I n cos ϕ n

con ϕn=αvn−αin.

Pertanto la potenza attiva in regime stazionario periodico non sinusoidale con carichi lineari è uguale alla somma delle potenze attive generate da ogni singola armonica della tensione e della corrente nel caso in cui agisca da sola nel circuito. Per analogia si definisce potenza reattiva Q la somma delle potenze reattive:

Q = ∑ n Vn I n sen ϕ n e potenza apparente il prodotto dei valori efficaci della tensione e della corrente: S= V I =

∞

∞

∑n =1 Vn 2 ∑n =1 I n 2

Il fattore di potenza nel caso di grandezze periodiche non sinusoidali non può più definirsi come coseno dell'angolo di fase fra la tensione e la corrente, perché si hanno tanti angoli di fase quante sono le coppie armoniche di tensione e corrente; per questo motivo viene definito come rapporto fra la potenza attiva e quella apparente.

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Nelle figure E5-1 e E5-2 è riportata la scomposizione in serie di Fourier di una funzione periodica rettangolare, limitandola alla 15a armonica.

Fig. E5-1

Fig. E5-2

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Capitolo E6 - SISTEMI TRIFASI. E6-1 Introduzione La produzione, il trasporto e la distribuzione dell'energia elettrica avviene quasi esclusivamente per mezzo di sistemi (generatori, trasformatori e linee) trifasi in corrente sinusoidale (fig. E6-1).

Fig. E6-1

L'utilizzo dell'energia elettrica avviene invece sia con carichi trifasi (prevalenti in ambito industriale) sia con carichi monofasi (prevalenti in ambito civile, prelevando tensione tra uno dei tre conduttori di linea e il neutro - fig. E6-2).

Fig. E6-2

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E6-2 Generatori e carichi trifasi. Un sistema trifase si ottiene unendo fra loro tre sistemi monofasi (fig. E6-3).

Fig. E6-3

Le fasi dei generatori (e dei carichi) possono essere collegate: - a stella (figg. E6-4a e E6-4b), unendo i tre ingressi (centro stella) e derivando dalle tre uscite una linea trifase a tre conduttori; derivando dal centro stella un ulteriore conduttore (neutro N), si ha una linea trifase a quattro conduttori; - a triangolo (figg. E6-5a e E6-5b) unendo l'ingresso di ogni fase con l'uscita della fase sfasata in ritardo di 2π/3 e derivando dai punti di collegamento una linea trifase a tre conduttori, la sola possibile con questo tipo di collegamento.

Fig. E6-4a

Fig. E6-4b

Fig. E6-5a

Fig. E6-5b

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E6-3 Sistemi trifasi simmetrici ed equilibrati. Un sistema trifase di tensioni sinusoidali si dice simmetrico se le tre tensioni hanno uguale ampiezza e frequenza e sono sfasate fra loro di un angolo pari a 2π/3 (E6-6). v1(t) = VM senωt v2(t) = VM sen(ωt−2π/3) v3(t) = VM sen(ωt−4π/3)

V1 = V V2 = V (cos120°+j sen 120°) = V (−1/2−j 3/2) V3 = V (cos240°+j sen 240°) = V (−1/2+j 3/2) V3 V1

V2

Fig. E6-6

Indicato con: a = ej2π/3 = −1/2+j 3/2 il fattore di rotazione che moltiplicato per un fasore lo fa ruotare di 2π/3 in senso antiorario lasciandone immutato il modulo, una terna simmetrica di tensioni si può esprimere anche nel seguente V2 = a2V1 V3 = aV1 modo: V1 Dove il posizionamento della prima tensione V1 è del tutto arbitrario e ovviamente da tale scelta dipendono poi le posizioni delle altre due tensioni. Le terne di tensioni che non hanno le caratteristiche delle terne simmetriche si dicono dissimmetriche. Moltiplicando un generico fasore che chiameremo vettore origine (ad esempio E1=jE in figura E6-7), successivamente per 1, a2, a si ottiene una terna diretta, moltiplicandolo per 1, a, a2 si ottiene una terna inversa, moltiplicandolo poi per 1, 1, 1 si ottiene una terna omopolare costituita da tre fasori uguali e paralleli).

Fig. E6-7 Ogni terna dissimmetrica è scomponibile in una terna diretta, una terna inversa ed una terna omopolare. Indicando rispettivamente con E0, Ed, Ei, i vettori origine delle tre terne, se E1, E2, E3 sono i vettori della terna dissimmetrica, si può scrivere: E2 = Eo + a2 Ed + a Ei E3 = Eo + a Ed + a2 Ei E1 = Eo + Ed + Ei da cui si possono ricavare le tre incognite E0, Ed, Ei : Ei = (1/3) [E1 + a2 E2 + a E3] Eo = (1/3) [E1 + E2 + E3] Ed = (1/3) [E1 + a E2 + a2 E3] Relazioni utili nello studio di reti trifasi dissimmetriche in quanto consentono di utilizzare le semplificazioni di calcolo proprie delle reti simmetriche.

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Un carico trifase si dice equilibrato se le impedenze dei tre bipoli passivi che lo costituiscono sono uguali Z1=Z2=Z3 . Se un carico trifase equilibrato viene alimentato da un sistema simmetrico di tensioni le corrispondenti correnti assumono le seguenti espressioni: i1(t) = IM sen(ωt−ϕ) i2(t) = IM sen(ωt−2π/3−ϕ) i3(t) = IM sen(ωt−4π/3−ϕ)

I1 = V1/Z = (V/Z) (cosϕ+ j senϕ) I2 = (V/Z) [cos(ϕ+120°)+ j sen(ϕ+120°)] = a2I1 I3 = (V/Z) [cos(ϕ+240°)+ j sen(ϕ+240°)] = a I1

con: IM = VM/Z e ϕ = tg−1(X/R). Un tale sistema di correnti sinusoidali di uguale ampiezza e frequenza e sfasate fra loro di un angolo pari a 2π/3 costituisce una sistema trifase equilibrato di correnti (fig. E6-8).

V3

I2

ϕ

I3

ϕ ϕ

V1

I1

V2 Fig. E6-8

Le terne di correnti che non hanno le caratteristiche di quelle equilibrate si dicono squilibrate. La connessione a stella o a triangolo tra le fasi dei carichi è indipendente dal tipo di collegamento delle fasi del generatore che li alimenta, salvo il caso di carichi a stella con neutro. Se manca il neutro è infatti possibile trasformare un circuito a stella in uno equivalente a triangolo e viceversa.

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E6-4 Grandezze di fase e grandezze di linea. Per qualsiasi dispositivo trifase (generatore, trasformatore, o carico), con le fasi connesse sia a stella che a triangolo, si chiamano: - grandezze di fase le correnti che circolano nelle fasi (indicate con I1 I2 I3 nel caso di fasi connesse a stella, con I12 I23 I31 nel caso di fasi connesse a triangolo) e le tensioni tra i due morsetti di ogni fase (indicate con E1 E2 E3 nel caso di fasi connesse a stella, con E12 E23 E31 nel caso di fasi connesse a triangolo); - grandezze di linea le correnti che circolano nei conduttori di linea (indicate con I1 I2 I3) e le tensioni tra questi conduttori, dette anche tensioni concatenate (indicate con V12 V23 V31); quando non esplicitamente specificato ci si riferisce sempre alle grandezze di linea. Nei dispositivi trifasi con le fasi connesse a stella (fig. E6-9a) le correnti di linea coincidono con quelle di fase: Il = If ; mentre le tensioni di linea sono uguali alla differenza fra due consecutive tensioni di fase: V12 = E1 − E2 V23 = E2 − E3 V31 = E3 − E1 E pertanto se la terna delle tensioni è simmetrica hanno ampiezza 3 volte più grande di quelle di fase e sono sfasate in anticipo rispetto a queste di π/6 (in fig. E6-9b): Vl = 3 Vf e jπ/6 .

N

+

E1 1 I1 2 I2

V12

E2

V23

E3

_

+ 3

I3

_

_

n V31 +

In a)

b)

Fig. E6-9

Nei dispositivi trifasi con le fasi connesse a triangolo (fig. E6-10a) le tensioni di linea coincidono con le tensioni di fase Vl = Vf ; mentre le correnti di linea sono uguali alla differenza fra due consecutive correnti di fase: I1 = I12 − I31 I2 = I23 − I12 I3 = I31 − I23 60

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e nel caso di terna di correnti equilibrata hanno ampiezza 3 volte più grande di quelle di fase e sono sfasate in ritardo rispetto a queste ultime di π/6 (fig. E610b) Il = 3 If e- jπ/6 . 1

I1 E12

E31 2

I2 I 31

E 23 3

I 12

I3

I 23 a)

b)

Fig. E6-10

Nella realtà i sistemi trifasi si possono considerare praticamente simmetrici ma non sono equilibrati, anche se si cerca per quanto possibile di renderli tali distribuendo i carichi monofasi in modo abbastanza uniforme tra i tre conduttori di linea ed il filo neutro (fig. E6-11).

Fig. E6-11

Il sistema di trasmissione dell'energia costituito da tre conduttori di linea e dal conduttore neutro è tipico delle reti di distribuzione a bassa tensione. La presenza di carichi monofasi comporta in generale un sistema di correnti squilibrato a risultante non nulla; però, poiché si tende ad allacciare i carichi monofasi sui tre conduttori di linea in modo abbastanza equilibrato, la corrente nel neutro è sempre inferiore a quella di linea e la relativa sezione è in genere il 50% di quella dei conduttori di linea.

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E6-5 Sistemi trifasi dissimmetrici e squilibrati. La condizione più generale di funzionamento dei sistemi trifasi è quella in cui carichi squilibrati sono sottoposti a terne di tensioni dissimmetriche. In tale caso, i fasori delle tensioni concatenate V12 V23 V31 formano un triangolo, mentre quelli delle tensioni stellate V1n V2n V3n fra ciascun conduttore di linea ed il centro stella n delle tre impedenze Z1 Z2 Z3 collegate alla linea, hanno l'origine in comune e l'altro estremo coincidente con un vertice del triangolo (fig.E6-12).

+ V31 _

1

+ V_12 + + V_23

+

V1n _

Z1

Z2

V2n n_

+ Z3 V3n _

V12

V1n V1n' V2n n V3n n' V2n' V31 V3n'

2 V23

3 Fig. E6-12

Al variare delle tre impedenze del carico a stella (ferme restando le tensioni di linea) si hanno infiniti centri stella e quindi infinite terne di tensioni stellate. In particolare nel caso di impedenze tutte uguali il centro stella cade nel baricentro del triangolo delle tensioni di linea. La presenza di una dissimetria delle tensioni (definita come 100 volte il valore assoluto della massima deviazione della tensione di linea dal valore medio delle tensioni del sistema trifase diviso per tale valore medio) comporta un notevole squilibrio (6÷8 volte maggiore) delle correnti assorbite dai motori trifase alimentati con conseguente degrado delle prestazioni e riduzione della loro vita. Uno squilibrio delle correnti provoca infatti pulsazioni di coppia e quindi maggiori vibrazioni, stress meccanici, perdite e sovrariscaldamento con conseguente minore durata degli isolanti degli avvolgimenti. La dissimetria delle tensioni ai morsetti dei motori non deve superare l'1%, in caso contrario essi devono essere declassati.

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E6-6 Modello monofase equivalente. Lo studio di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato si può effettuare in modo semplificato utilizzando un modello monofase equivalente. Il procedimento è il seguente: - trasformare a stella di tutti i generatori e i carichi a triangolo (fig. E6-13); - collegare fra loro tutti i centri stella dei generatori e dei carichi con un conduttore ideale (fig. E6-14), la cui inserzione non altera il funzionamento del sistema in quanto, essendo tutti i centri stella allo stesso potenziale, in esso non circola corrente; - prendere in esame solo gli elementi circuitali relativi ad una fase (che costituiscono il circuito monofase equivalente - fig. E6-15) e calcolarne le relative correnti; - note tali correnti, quelle relative alle altre due fasi hanno ampiezza uguale e sono sfasate in ritardo rispettivamente di 2π/3 e 4π/3. - le correnti relative ai generatori ed ai carichi collegati a triangolo, si deducono da quelle dei circuiti equivalenti a stella, applicando la trasformazione in senso opposto: I∆ = Ieq-Υ/ 3 ejπ/6 . 1

I g12 E31 I g31

I1 E12

1'

ZA

I'1

1"

I2 E23 3

I3

2"

I'2 Z C

ZA ZA

3'

IB1 I B2 ZB

n

I'3 Z C

I 23

E1 1 I 1

ZD

I 12

2'

2

I g23

ZC

N

ZD

I 31

1'

ZA

I'1

2

I2

E2

ZA

3'

3

ZD

E3

3"

I'2

2'

I3

ZA

I'3 I B3

IB1 I B2

ZC

ZD 3

ZC

ZD 3

ZC

ZD 3

n'

I B3 ZB

ZB

ZB

Fig. E6-13

E1 1 I 1

n

ZB

ZB

Fig. E6-14

ZA

1'

IB1

N

I'1

ZC

ZD 3 n'

ZB n Fig. E6-15

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E6-7 Potenza nei sistemi trifasi. Nel caso di un carico trifase equilibrato alimentato da un sistema simmetrico di tensioni, indicando con Vf e If le grandezze di fase e con Vl e Il quelle di linea, le potenze attiva, reattiva ed apparente del carico, per il teorema di Boucherot, il triangolo delle potenze e le relazioni tra grandezze di fase e di linea, risultano: P = P1+P2+P3 = 3Vf If cosϕ f = 3 Vl Il cosϕ f Q = Q1+Q2+Q3 = 3Vf If senϕ f = 3 Vl Il senϕ f S = √(P2 + Q2) = 3Vf If = 3 Vl Il dove ϕf = arctg (Xf/Rf) è l'angolo caratteristico dell'impedenza di fase, il cui coseno è definito fattore di potenza del carico trifase. La potenza istantanea, somma delle potenze istantanee relative alle tre fasi è costante e coincide con la potenza attiva P: p(t) = p1(t) + p2(t) + p3(t) = [Vf If cosϕ f -Vf If cos(2ωt+ϕf)] + [Vf If cosϕ f -Vf If cos(2ωt+ϕf - 240°)] + [Vf If cosϕ f -Vf If cos(2ωt+ϕf +240°)] = 3Vf If cosϕ f Nel caso di sistemi dissimmetrici e squilibrati le potenze attiva e reattiva del carico risultano: P = V1f I1fcosϕ1f + V2f I2f cosϕ2f + V3f I3f cosϕ3f Q = V1f I1fsenϕ1f + V2f I2f senϕ2f + V3f I3f senϕ3f La misura della potenza attiva assorbita da un carico trifase equilibrato si ottiene: -se le fasi, comunque connesse, sono accessibili moltiplicando per tre la potenza rilevata da un wattmetro inserito su una delle tre fasi: P = 3Vf If cosϕf ; -se le fasi sono connesse a stella ma non accessibili moltiplicando per tre, nel caso di sistema di trasmissione dell'energia costituito da quattro (tre) conduttori di linea, la potenza rilevata da un wattmetro con la amperometrica inserita in uno dei tre conduttori di linea e la voltometrica inserita tra tale conduttore e il neutro (un centro-stella artificiale realizzato con tre impedenze uguali connesse a stella): P = 3V1n I1l cosϕ1n-1 . Nel caso invece in cui il carico trifase sia squilibrato la misura della potenza attiva assorbita si ottiene: -se le fasi sono accessibili sommando le potenze rilevate da tre wattmetri inseriti sulle tre fasi: P = V1f I1fcosϕ1f + V2f I2f cosϕ2f + V3f I3f cosϕ3f ; -se le fasi non sono accessibili sommando le potenze rilevate da tre wattmetri, con le amperometriche inserite in ciascuno dei tre conduttori di linea e le voltometriche inserite (fig. E6-16), nel caso di sistema di trasmissione dell'energia costituito da quattro (tre) conduttori di linea, tra tali conduttori e il neutro (un centro-stella artificiale realizzato con tre impedenze uguali connesse a stella): P = V1n I1l cosϕ1n-1l + V2n I2l cosϕ2n-2l + V3n I3l cosϕ3n-3l .

64

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Fig. E6-16

Il centro di riferimento, oltre che essere preso nel centro-stella dell'utilizzatore (se esiste ed è accessibile) o su un centro-stella artificiale creato per mezzo di tre resistenze uguali connesse a stella, può anche essere preso (teorema di Aron) su uno dei tre fili di linea. In questo caso, assumendo ad esempio il filo 2 come riferimento, le tre tensioni stellate diventano: V1n=V12 V2n=0 e V3n=V32 e quindi l'espressione della potenza attiva diventa: P = V12I1lcos[∠V12I1l] + V32I3lcos[∠V32I3l] . In figura E6-17 è mostrato un esempio di inserzione di due wattmetri per misurare la potenza attiva secondo il teorema di Aron e la rappresentazione fasoriale delle grandezze elettriche; tale potenza si ottiene sommando le indicazioni dei due wattmetri, ma la somma deve essere algebrica in quanto i wattmetri possono dare indicazioni negative, potendo essere l'angolo di sfasamento tra le tensioni concatenate e le correnti di linea, in valore assoluto, maggiore di 90°. V12

1 V12 V1 φ + π /6

I3 φ _ π /6 V32

V31 3

I1

V2

V3 I2

V23

2

Fig. E6-17

In modo analogo nel caso di carico trifase squilibrato la misura della potenza reattiva si può ottenere utilizzando una delle due seguenti relazioni: Q = V1nI1lsenϕ1n-1l+V2nI2lsenϕ2n-2l+V3nI3lsenϕ3n-3l Q = V12I1sen[∠V12I1]+V32I3sen[∠V32I3]. Infine la potenza apparente ed il fattore di potenza sono dati da: S = P2 + Q2

e

f.d.p.= P/S . 65

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E6-8 Rifasamento. Il rifasamento dei carichi trifasi viene effettuato con una batteria di tre condensatori uguali, collegati a triangolo o a stella, oppure con un motore sincrono sovraeccitato. Nel caso di sistemi simmetrici ed equilibrati il calcolo della capacità di tali condensatori si esegue come nel caso dei circuiti monofasi. Nel caso di carichi squilibrati sottoposti ad un sistema simmetrico di tensioni per ottenere un rifasamento parziale (da ϕ a ϕr) mediante una batteria di condensatori collegati a triangolo, la capacità C∆ di ciascuno di tali condensatori si ottiene in base alla seguente relazione: QC = Q − P tgϕr = P(tgϕ − tgϕr) = ω C∆ (V122+V232+V312) = 3 ω C∆V2 dove V=V12=V23=V31 è la tensione concatenata Nel caso si vogliano ottenere le stesse condizioni di rifasamento con condensatori collegati a stella, tali condensatori devono avere una capacità tre volte più grande di quelli a triangolo CY=3C∆, ma richiedono una tensione di isolamento √3 volte inferiore. Il valore della tensione è importante per la scelta del condensatore e del tipo di collegamento in quanto il costo della batteria aumenta con il valore sia della capacità sia della tensione di isolamento.

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Capitolo E7 - TRASFORMATA DI LAPLACE E SUA APPLICAZIONE ALL'ANALISI DEI CIRCUITI. E7-1 Trasformata ed antitrasformata di Laplace. L'analisi del comportamento a regime e in transitorio dei circuiti lineari può essere facilmente effettuata utilizzando la trasformata di Laplace, mediante la quale una funzione della variabile reale tempo f(t) [nulla per t<0, limitata e ad un sol valore, con un numero finito di discontinuità e di massimi e minimi su ogni intervallo finito di tempo] è trasformata in un'altra funzione F(s) della variabile complessa s=σ+jω:

= L[ f (t )]

∞

f ( t ) e dt ∫= − st

0+

F (s) ;

la antitrasformata di Laplace consente poi di effettuare il passaggio inverso: f(t) = L−1[F(s)] =

1

σ + j∞

2π j ∫ σ

− j∞

F ( s ) e st ds .

Il procedimento è il seguente: - mediante la trasformata di Laplace le equazioni integro-differenziali a coefficienti costanti, che descrivono il comportamento temporale di un circuito lineare, vengono trasformate in equazioni algebriche  - si risolve il sistema di equazioni algebriche così ottenute, - si antitrasformano le trasformate delle funzioni incognite. Proprietà della L-trasformata - L-trasformata di una somma: L 

∑ f ( t ) = ∑ F ( s ) k

k

- L-trasformata del prodotto di una funzione per una costante:

L  K f ( t )  = K F ( s )

-L-trasformata della derivata prima di una funzione: L[f'(t)] = sF(s) − f(0+) - L-trasformata dell'integrale di una funzione:

t L  ∫ f (t= ) dt   0 

F (s) 1 0 + ∫ f (t ) dt s s −∞

- L-trasformata della funzione f(t) traslata di un intervallo di tempo b (con b costante reale): L[f(t−b)] = F(s) e− bs

- Antitrasformata della funzione F(s), traslata della quantità b nel dominio della variabile complessa: L−1 [F(s−b)] = f(t) ebt - L-trasformata della funzione a gradino: L u ( t )  =

A −τ s L  Au ( t − τ )  = e s

1 s

- L-trasformata della funzione rettangolare r(a,b) tale forma d'onda si descrive come differenza fra due funzioni a gradino traslate fra loro. r(t, a, b)

r(t, a, b)

1 1 = L  r ( a,b )  R= ( s ) e− as − e−bs s s

1

1 0

a

b

t

0

a

b

t

- L-trasformata della funzione impulsiva unitaria o funzione di Dirac δ(t); si consideri una funzione rettangolare di durata ε ed ampiezza 1/ε; l'area delimitata dalla curva fr è unitaria. Al diminuire di ε; la durata della funzione diminuisce ma la sua altezza aumenta e l'area rimane unitaria. La funzione impulsiva unitaria o

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Appunti di “Elettrotecnica e Macchine Elettriche” - L. Taponecco funzione di Dirac rappresenta il caso limite di un impulso di ampiezza infinitamente grande, di durata infinitesima e di area unitaria, applicato nell'istante τ: L[δ(t−τ)] = e−sτ e per τ=0 L[δ(t)] =1. fr 2/ ε

δ(t −τ)

fr

1

1/ ε S=1 0

τ

τ+ε

0

t

τ

(τ+ε)/2

t

0

τ

t

Nella tabella sottostante sono riportate alcune coppie costituite da funzioni reali e relative L-trasformate. f(t)

F(s)

k

k/s

k f(t)

k F(s)

d f (t ) dt

s F(s) – f(0)

∫ f (t ) dt

F (s) 1 0 + ∫ f (t ) dt s s −∞

f (t − b)

F ( s ) e − bs

δ(t)

1

u(t)

1/s e−sτ / s

u(t−τ) t

1/s2

e−bt

1 s+ b

senωt

s2 + ω 2

cosωt

s + ω2

ω

s

e− btsenωt

2

ω

e− btcosωt

(s + b )2 + ω 2 (s + b ) (s + b )2 + ω 2

tn

s n +1

n!

e− bt t− n

n!

(s + b )n +1

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E7-2 Circuiti L-trasformati equivalenti. - Resistore. La relazione tensione-corrente in un resistore nel dominio del tempo è vR(t)=RiR(t) ; utilizzando la trasformata di Laplace, le grandezze Ltrasformate sono ancora legate dalla legge di Ohm nel dominio della variabile s (fig. E7-1).

vR (t ) = RiR (t ) VR(s) = R IR(s)

+

VR (t) _

+

IR(t) R

IR(s)

VR (s) _ R

Fig. E7-1

- Induttore. Se in un induttore la caduta di tensione vL(t) e la corrente iL(t) sono sostituite dalle loro L-trasformate VL(s) ed IL(s), il legame differenziale tensione-corrente nel dominio del tempo si trasforma in un legame proporzionale nel dominio della variabile s (fig. E7-2); in più compare un termine costante, proporzionale al valore della corrente nell'induttore all'istante iniziale, che viene schematizzato con un generatore di tensione.

vL (t ) = L

diL (t ) dt

VL(s) = LsIL(s) − LiL(0) Fig. E7-2

- Condensatore. Se in un condensatore la tensione vC(t) e la corrente iC(t) sono sostituite dalle loro L-trasformate VC(s) ed IC(s), il legame integrale tensionecorrente nel dominio del tempo si trasforma in un legame proporzionale nel dominio della variabile s (fig. E7-3); in più compare un termine costante, proporzionale al valore della tensione sul condensatore all'istante iniziale, che viene schematizzato con un generatore di tensione. = vC (t )

1 C

∫

t

t0

iC (t ) dt + vC (t0 )

1 1 VC(s) = Cs IC(s) + s vC(0) Fig. E7-3

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- Induttori mutuamente accoppiati. La L-trasformata delle equazioni di equilibrio di due induttori L1 e L2 mutuamente accoppiati con mutua induttanza M (fig. E7-4a) risulta: V1(s) = L1sI1(s) − L1i1(0) + MsI2(s) − Mi2(0) V2(s) = MsI1(s) − Mi1(0) + L2sI2(s) − L2i2(0) Il circuito L-trasformato, in cui le cadute di tensione MsI2(s) e MsI1(s) sono rappresentate da generatori controllati è riportato in fig. E7-4b al fine di scrivere le equazioni per i circuiti L-trasformati con le modalità usate per i circuiti resistivi. L1 i1 (0) Mi2 (0) i2

i1 M

+

+

v L2 2

v1 L 1

_

_

+

I1 (s)

Mi1 (0) L2 i2 (0) I 2(s) +

L2 s

L1 s

V2(s)

V1(s)

_

MsI1(s)

MsI2 (s)

a)

_

b) Fig. E7-4

- Circuito serie R-L-C. Se all'istante t=0 con un generatore di tensione e(t) si alimenta un circuito serie R-L-C, per t>0 è: di ( t ) 1 t R i (t ) + L e (t ) + ∫ i ( t ) dt = dt C −∞ La trasformata di Laplace di tale equazione integro-differenziale è: 1 v ( 0) R I(s) + Ls I(s) − L i(0) + Cs I(s) + C = E(s) e quindi: s 1 v ( 0) v ( 0) I(s) = [E(s) + L i(0) − C ] / [R + Ls + Cs] = [E(s) + L i(0) − C ] / Z(s) s s La presenza a numeratore delle due forze elettromotrici Li(0) e −vC(0)/s indica che una certa quantità di energia è immagazzinata nel campo magnetico dell'induttore e nel campo elettrico del condensatore prima dell'istante t=0. Il denominatore di I(s) prende il nome di impedenza e si indica con Z(s). In forma operazionale i principi di Kirchhoff diventano:

∑ I (s) k

= 0

vCk ( 0 )   + − = E s L i 0 ( ) ( ) ∑ k  k Lk s  

 1  + + R L s ∑  k k C s  I k ( s=) k  

∑ Z (s) I (s) . k

k

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E7-4 Transitori. Analizziamo, utilizzando la trasformata di Laplace, il comportamento transitorio delle grandezze elettriche in circuiti lineari R-C e R-L che vengono connessi mediante chiusura di un tasto ad un generatore di tensione continua. Nel condensatore (scarico) nell'istante immediatamente successivo alla chiusura del tasto inizia a circolare la corrente I0=E/R; pertanto il condensatore inizia a caricarsi e ai suoi capi si manifesta una tensione v(t) crescente che si oppone alla f.e.m. E del generatore, determinando una diminuzione della corrente di carica i(t)=[E-v(t)]/R fino al suo annullamento quando v(t) uguaglia E. L'equazione che descrive l'evoluzione nel tempo della corrente dopo la chiusura

∫

1 i (t ) dt si trasforma con Laplace nella seguente equazione C E 1 algebrica:= Ri ( s ) + i ( s ) da cui si ricava: s sC E E E 1 1 i( s) = = = (τ=RC costante di tempo del circuito) sR + 1 C R s + 1 RC R s + 1 τ E Ri (t ) + del tasto:=

e quindi effettuando la antitrasformata di Laplace si ottiene (fig. E7-6): = i (t )

E −1  1  E − t τ = L  e  R  s +1 τ  R

(

)

v(t ) =− E Ri (t ) = E 1 − e −t τ .

e

Fig. E7-6

Nel caso di un circuito RL-L dopo la chiusura del tasto l'equazione che descrive E Ri (t ) + L l'evoluzione nel tempo della corrente i(t): =

d i (t ) dt E s

si trasforma con Laplace nella seguente equazione algebrica:= Ri ( s ) + sLi ( s ) E sR (1 + s L R )

i(s) = = da cui si ricava:

E 1 R s (1 + sτ )

(τ=L/R costante di tempo)

e quindi mediante la antitrasformata di Laplace si ottiene (fig. E7-7): i (t ) =

(

E −1  1  E L  1 − e −t τ = 2  R s+s τ  R

)

e

e(t ) =− E Ri (t ) = E e −t /τ .

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Fig. E7-7

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E7-5. Funzione di trasferimento. In molte applicazioni è importante conoscere la funzione di trasferimento, cioè la relazione fra la risposta ai morsetti di uscita e la sollecitazione applicata ai morsetti di ingresso. Tale relazione assume la forma di rapporto fra polinomi, con il grado del polinomio al numeratore minore od al massimo uguale a quello del polinomio al denominatore: s n + a'n −1 s n −1 + ..... + a'1 s + a'0 ( s − z1 )( s − z2 ) ..... ( s − zn ) G ( s) = K m =K s + b'm −1 s m −1 + .... + b'1 s + b'0 ( s − p1 )( s − p2 ) ..... ( s − pm ) Le radici del numeratore sono dette "zeri" perché quando la variabile s coincide con una radice del numeratore si ha G(s)=0; le radici del denominatore sono dette "poli" perché quando s coincide con una radice del denominatore si ha G(s)=∞. Un circuito è stabile se i poli della funzione di trasferimento giacciono tutti nel semipiano sinistro del piano s, è instabile se uno o più poli giacciono nel semipiano destro.

E7-6. Risposta in frequenza. Il comportamento a regime stazionario di un sistema lineare sollecitato con una grandezza periodica può studiarsi utilizzando il metodo fasoriale in base alla scomposizione in serie di Fourier delle grandezze di ingresso e di uscita. In analogia a quanto esposto in termini della variabile s per la funzione di trasferimento, si fa l'ipotesi che una sola sollecitazione yh(t) (inserita nel ramo h) agisca nel circuito, che sia sinusoidale ed abbia Yh(jω) come fasore. Il fasore Xk(jω) rappresentativo della grandezza xk(t) relativa al ramo k, assunta come risposta, può determinarsi mediante la soluzione di un sistema di equazioni, considerando ω come variabile. La funzione G(jω) = Xk(jω)/Yh(jω) si definisce "risposta in frequenza" in quanto fornisce informazioni sul comportamento del circuito sottoposto a sollecitazioni multifrequenziali. Come G(s), anche G(jω) dipende solo dalla configurazione e dai parametri del circuito per una data frequenza angolare e può ricavarsi dalla funzione di trasferimento G(s) sostituendo s con jω: G(jω) = G(s)|s=jω . Un motivo per cui è importante caratterizzare un circuito con la sua risposta in frequenza risiede nel fatto che questa risposta si rileva sperimentalmente senza difficoltà, a differenza di quanto avviene per la risposta nel dominio della variabile s e nel dominio del tempo.

E7-7. Circuiti risonanti serie e parallelo. Si consideri il circuito di figura E7-8a, alimentato da un generatore di tensione e(t) di forma d'onda sinusoidale con ampiezza costante e frequenza variabile.

(a)

(b) Fig. E7-8

La tensione VR(jω) agli estremi del resistore, considerata come uscita del circuito, in funzione della frequenza R angolare ω e della tensione di ingresso E(jω), risulta: VR(jω) = E(jω) = E(jω)/[1+j(ωL-1/ωC)/R] . Z(jω) Per ω0=1/ LC, poiché la caduta sull'induttanza e quella sul condensatore si fanno equilibrio, la corrente erogata dal generatore è limitata solo dalla resistenza R; se quest'ultima è piccola rispetto alle reattanze, le tensioni ai loro estremi assumono valori assai più grandi della tensione applicata. Il circuito presenta un comportamento selettivo nei confronti delle frequenze, infatti la corrente che lo percorre è massima quando il generatore ha una frequenza pari a quella di risonanza f0. Se si alimenta il circuito di figura E7-8b con un generatore di corrente sinusoidale di ampiezza costante e di frequenza variabile J(jω), la corrente IR(jω) nel resistore Rp in funzione della frequenza, assume la seguente espressione: G G IR(jω) = J(jω) = J(jω) con G=1/Rp, BL=1/ωLp e BC=ωCp . Y(jω) G − j(BL−BC) Per ω0=1/√(LpCp) la corrente IR(jω) assume il valore massimo e coincide con la corrente del generatore, mentre le correnti nell'induttore e nel condensatore sono uguali ed in opposizione di fase e possono assumere valori notevolmente più grandi di quella del generatore.

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Capitolo E8 - SICUREZZA ELETTRICA. E8-1. Effetti della corrente elettrica sul corpo umano. L'enorme diffusione della elettricità in ambito sia industriale che civile ha comportato un continuo incremento di infortuni elettrici nei cantieri, nelle fabbriche ed ancor più in ambiente domestico. Ciò in quanto il passaggio della corrente elettrica nel corpo umano può produrre effetti pericolosi, consistenti generalmente in alterazioni delle varie funzioni vitali, in lesioni al sistema nervoso, ai vasi sanguigni, all'apparato visivo e uditivo, all'epidermide ecc. Il limite di pericolosità della corrente elettrica sul corpo umano è difficilmente definibile poiché dipende da molteplici fattori e in particolare da: • modalità del contatto (estensione, pressione); • durata del contatto (il valore massimo di corrente sopportabile diminuisce all'aumentare della durata del contatto); • percorso della corrente attraverso il corpo (a seconda degli organi incontrati – cuore, torace, sistema nervoso centrale – si hanno effetti patologici differenziati e più o meno importanti); • caratteristiche del soggetto (età, sesso, condizioni patologiche, ecc.) • frequenza della corrente (le correnti più pericolose sono quelle con frequenza tra 30 e 150 Hz). I maggiori rischi connessi al passaggio dell'elettricità nel corpo umano sono: l'asfissia e la fibrillazione ventricolare (causate dalla interferenza di una corrente elettrica estranea con le correnti fisiologiche che comandano attraverso il sistema nervoso ogni movimento del corpo umano) e le ustioni. - Asfissia. Una corrente elettrica maggiore di 15 mA con frequenza di 50 Hz provocando la contrazione involontaria dei muscoli che attraversa e la loro permanenza nello stato di contrazione tetanica (in quanto i muscoli non hanno il tempo di rilassarsi) non consente alla vittima di staccarsi dalla parte in tensione con cui è venuta a contatto. Se tale tetanizzazione interessa i muscoli che controllano il movimento dei polmoni della respirazione la vittima può morire per soffocamento a causa dell'arresto respiratorio. - Fibrillazione ventricolare. Se una corrente elettrica interessa il cuore questo si contrae in maniera scoordinata e quindi perdendo il giusto ritmo non svolge più la propria funzione di pompare il sangue lungo le vene e le arterie del corpo. Questo fenomeno è il maggior responsabile di morti per folgorazione, infatti impedendo al cuore di agire come una efficace pompa del sangue comporta la morte a seguito della mancanza di rifornimento di ossigeno al cervello. La fibrillazione ventricolare è reversibile entro i primi minuti solo se il cuore viene sottoposto ad una scarica elettrica molto violenta mediante un defibrillatore, che

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applica un impulso elettrico al torace dell'infortunato tramite due elettrodi, o, in assenza di tale dispositivo, ad un idoneo massaggio cardiaco. - Ustioni. La corrente quando attraversa il corpo umano, che mediamente presenta una resistenza dell'ordine di 1-3 kΩ, sviluppa calore per effetto Joule e può quindi provocare ustioni; di particolare gravità risultano le ustioni conseguenti a contatti con linee ad alta tensione. Trascurando la componente reattiva, l'impedenza del corpo umano può essere vista come composta da tre resistenze in serie: le resistenze relative al contatto con la pelle nel punto di entrata e nel punto di uscita della corrente, che sono molto elevate e dipendono dallo stato della pelle (umidità, sudore, ferite, calli), dalla superficie di contatto e dalla pressione, e la resistenza interna, che è molto bassa e dipende dal percorso che compie la corrente all'interno del corpo umano. Oltre alle azioni lesive dirette sopra accennate, la corrente elettrica può provocare anche azioni lesive semidirette di natura non elettrica (traumi dovuti a cadute dopo elettrocuzione) o indirette, cioè senza contatto con la corrente (ustioni da incendi provocati da scintille elettriche).

E8-2 Contatto diretto e indiretto. Il contatto con un punto in tensione può essere di tipo diretto o di tipo indiretto. Viene definito diretto (fig. E8-1) il contatto con parti che sono normalmente in tensione (conduttore non isolato).

Fig. E8-1

Viene definito indiretto (fig. E8-2) il contatto con una parte dell'impianto normalmente non in tensione (involucro metallico di un elettrodomestico o di una macchina utensile), che ha assunto accidentalmente una tensione pericolosa a causa di un guasto di isolamento.

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Fig. E8-2

Mentre nel caso di contatto diretto la persona è sottoposta alla totale tensione del sistema verso terra, nel caso di contatto indiretto può essere sottoposta ad una tensione minore in relazione a possibili resistenze tra parti normalmente in tensione e involucro metallico. Il contatto indiretto è però più insidioso in quanto non può essere evitato. Naturalmente toccare un punto in tensione di una rete può o meno comportare problemi a seconda che tale rete sia collegata a terra in un suo punto (fig. E8-3)

Fig. E8-3

o sia isolata da terra (fig. E8-4) in quanto la corrispondente maglia rete-uomoterra risulta rispettivamente chiusa o aperta.

Fig. E8-4

Le protezioni adottabili per ridurre i possibili pericoli derivanti dall'uso di apparecchiature elettriche possono essere di tipo passivo o attivo.

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E8-3. Protezioni passive contro i contatti diretti e indiretti.

Le protezioni passive sono dispositivi atti a limitare la corrente elettrica che percorre il corpo di un individuo sottoposto ad una tensione di contatto (sistemi con tensione nominale verso terra ≤ 50 V, trasformatori di isolamento) o ad impedire l'accesso di una persona alle parti in tensione (isolamento delle parti attive, guanti isolanti, barriere di protezione, doppio isolamento per apparecchi portatili il cui simbolo è ). In figura E8-5 è mostrato come il contatto con una parte in tensione di un sistema elettrico completamente isolato da terra mediante trasformatore di isolamento non consenta il passaggio della corrente verso terra attraverso il corpo della persona.

Fig. E8-5

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E8-4. Protezioni attive contro i contatti diretti e indiretti. Le protezioni attive (messa a terra e interruttore differenziale) sono dispositivi che al verificarsi di condizioni pericolose (fig. E8-6) per la persona interrompono il circuito.

Fig. E8-6

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E8-4a. Messa a terra. La messa a terra, cioè il collegamento elettrico al terreno mediante dispersori, delle parti metalliche accessibili degli apparecchi elettrici, coordinata con un interruttore di massima corrente, consente di proteggere (fig. E8-7) le persone dai contatti indiretti impedendo, mediante interruzione automatica del circuito, che si verifichino tensioni verso terra superiori a 50V.

Fig. E8-7

L'impianto di terra svolge l'importante compito di disperdere nel terreno la corrente elettrica in caso di guasto con lo scopo principale di ridurre al minimo il valore delle tensioni di contatto. Esso per garantire la massima sicurezza deve essere opportunamente coordinato con i dispositivi di interruzione automatica dell'alimentazione (in un sistema TT normalmente un interruttore differenziale) in modo da assicurare una rapida apertura del circuito in cui si è manifestato il guasto quando la tensione di contatto raggiunge valori pericolosi per le persone. La struttura dell'impianto di terra e il tipo di terreno devono garantire bassi valori della resistenza di terra che devono essere opportunamente coordinati col dispositivo d'interruzione dell'alimentazione. Se si impiegano dispositivi di massima corrente il valore di resistenza deve essere molto basso, spesso difficilmente ottenibile e soprattutto da mantenere nel tempo, se invece, come solitamente accade, l'interruzione è demandata a dispositivi differenziali, i valori di resistenza richiesti sono facilmente raggiungibili (la resistenza deve essere inferiore o uguale a 50/ld Ω dove ld è la corrente differenziale del dispositivo di protezione). Un impianto di terra è fondamentalmente costituito da uno o più dispersori (corpi conduttori in intimo contatto elettrico con il terreno; sono detti intenzionali quando svolgono la specifica funzione di messa a terra e sono costituiti da picchetti infissi verticalmente nel terreno, piastre o corde nude interrate orizzontalmente, di fatto quando sono installati per scopi indipendenti dalla messa a terra e sono costituiti da ferri di armatura, tubazioni metalliche dell'acqua, ecc.), da conduttori di terra (conduttori che collegano i dispersori tra loro e al collettore principale di terra), dai collettori di terra (elementi per il collegamento al dispersore dei conduttori di protezione), dai conduttori di protezione (conduttori per il collegamento di masse, masse estranee, collettore principale di terra, dispersore), dai conduttori equipotenziali (collegamenti elettrici che mettono diverse masse e masse estranee al medesimo potenziale, evitando che si possano stabilire tensioni pericolose fra le masse metalliche degli apparecchi e fra parti conduttrici, estranee all'impianto elettrico) e da un pozzetto di ispezione. Per massa si intende la parte conduttrice di un componente elettrico che può essere toccata e che non è in tensione in condizioni ordinarie, ma che può andare in tensione in condizioni di guasto. Pertanto una parte metallica è considerata una massa se fa parte dell'impianto elettrico, è accessibile e può andare in tensione per un difetto di isolamento. Le masse devono essere collegate a terra tramite il conduttore di protezione. Le masse che possono esser toccate simultaneamente dalla stessa persona devono essere collegate allo stesso impianto di terra. Per massa estranea si intende una parte conduttrice non facente parte dell'impianto elettrico (ad esempio: elementi metallici facenti parte di strutture di edifici, condutture metalliche di gas, acqua e riscaldamento). Le masse estraneee devono essere connesse al collegamento (nodo) equipotenziale principale, al quale sono collegati il conduttore di protezione, i conduttori equipotenziali e il conduttore di terra.

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Appunti di “Elettrotecnica e Macchine Elettriche” - L. Taponecco Nelle figure E8-8 e E8-9 sono rappresentati in modo sintetico rispettivamente gli scopi e la funzione dell'impianto di terra ed un esempio di collegamenti di un impianto a terra.

Fig. E8-8

Fig. E8-9 Se applichiamo una tensione tra due punti sul terreno circola una corrente (fig. E8-10); il terreno si comporta cioè in modo simile ad un conduttore elettrico.

Fig. E8-10 La capacità di un terreno a disperdere la corrente è condizionata dalla sua resistività, che dipende essenzialmente da: natura geologica, carattere chimico, temperatura e grado di umidità.

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Appunti di “Elettrotecnica e Macchine Elettriche” - L. Taponecco La corrente si diffonde nel terreno in modo radiale (fig. E8-11). Il terreno può perciò essere considerato un conduttore di sezione variabile e le resistenze elementari più vicine al punto in cui viene iniettata la corrente (dispersore) costituiscono la parte preponderante della resistenza di terra.

Fig. E8-11 La tensione di contatto (fig. E8-12) è la tensione a cui può essere soggetto il corpo umano in seguito al contatto con carcasse o strutture metalliche, normalmente non in tensione, delle macchine e delle apparecchiature (distanza tra i piedi e le masse convenzionalmente pari ad 1 m). Mentre il valore della tensione totale di terra (fig. E8-13) dipende dai valori della resistenza di terra e della corrente di guasto a terra, il valore della tensione di contatto dipende anche dalla configurazione geometrica dell'impianto di terra.

Fig. E8-12

Fig. E8-13

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Appunti di “Elettrotecnica e Macchine Elettriche” - L. Taponecco La tensione di passo (fig. E8-14) è la tensione che durante il funzionamento di un impianto di terra può risultare applicata tra i piedi di una persona a distanza di un passo (convenzionalmente 1 m).

Fig. E8-14

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Appunti di “Elettrotecnica e Macchine Elettriche” - L. Taponecco

E8-4b. Interruttori differenziali. Gli interruttori differenziali (fig. E8-15a) sono dispositivi di protezione che, in base alla differenza tra la corrente entrante e quella uscente dall'impianto elettrico di una abitazione, ufficio, ecc., rilevano eventuali dispersioni di corrente verso terra, a causa di un guasto o di un contatto diretto (fig. E8-15b). Se tale differenza supera un prefissato valore (es. 30 mA) interrompono immediatamente il circuito di alimentazione. Tali dispositivi non assicurano una protezione totale dai contatti diretti, in quanto non intervengono in assenza di dispersioni di corrente verso terra (fig. E8-15c).

b)

c)

a)

d)

Fig. E8-15

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Appunti di “Elettrotecnica e Macchine Elettriche” - L. Taponecco

E8-5. Sintomatologia immediata e terapie di urgenza. La sintomatologia presentata da un soggetto colpito da scarica elettrica è generalmente caratterizzata da perdita di coscienza o arresto del cuore e del respiro; a volte il soggetto è scagliato a terra con violenza dall'elettrotrauma, a volte rimane attaccato al conduttore in tensione. Nel caso in cui una persona rimanga attaccato al conduttore bisogna innanzitutto provvedere alla sua liberazione dal contatto azionando l'apposito interruttore o, dopo essersi isolati, tagliando i fili (per tensioni < 1kV) o esercitando una azione di trazione sulla vittima. Una volta liberato se l'infortunato è incosciente e in stato di morte apparente con polso e respiro non apprezzabili è necessario effettuare immediatamente respirazione artificiale e massaggio cardiaco, per permettere di prolungare il periodo di sopravvivenza sino all'arrivo di un medico o al ricovero in ospedale. Anche se i decessi connessi al passaggio dell'elettricità nel corpo umano sono dovuti solo in piccola percentuale ad asfissia e prevalentemente a fibrillazione ventricolare, in assenza di personale medico respirazione artificiale e massaggio cardiaco, dovrebbero essere effettuati fino a che la vittima non riprende a respirare regolarmente o per un minimo di un'ora.

E8-6. Magnetotermici e fusibili. La funzione dei dispositivi magnetotermici è quella di proteggere i circuiti in cui sono inseriti, aprendoli in un tempo tanto più breve quanto maggiore è la corrente che supera il loro valore nominale. Le figure E8-17 e E8-18 mostrano le tipiche caratteristiche di intervento fusibili ed interruttori magnetotermici. In ascissa è riportato il rapporto tra il valore della corrente effettiva ed il valore della corrente nominale; in ordinata il tempo di intervento del dispositivo. La caratteristica di un fusibile è, in tutto il suo campo, a tempo inverso: il tempo di intervento è cioè decrescente con l'aumentare della corrente. Nei magnetotermici si nota, dopo una zona a tempo inverso, (zona di intervento termico) un repentino cambiamento, quando la corrente supera il valore della corrente diventa k volte la corrente nominale: il tempo di intervento diventa molto piccolo e costante, circa un centesimo di secondo (zona di intervento magnetico).

Fig. E8-17 Fusibile

Fig. E8-18 Magnetotermico

Fig. E8-19

Curva sicurezza

La curva di sicurezza fornisce il tempo massimo per cui una persona può sopportare una data tensione. Moltiplicando i valori di corrente di una caratteristica di intervento di un fusibile o di un magnetotermico per la resistenza di terra si trova la durata di una data tensione sulle masse. Se si riporta la curva ottenuta o con diverse resistenze ed uno stesso dispositivo o con diversi dispositivi dello stesso tipo ed una stessa resistenza di terra nel grafico della caratteristica sicurezza, si ottengono curve tipo quelle disegnate in rosso, verde, blu in figura E8-19. Le combinazioni resistenza di terra - dispositivo che soddisfano ai requisiti di sicurezza sono quelle che stanno sotto la curva di sicurezza. Se si considera ad esempio la corrente di intervento a 5 secondi del dispositivo, poiché 5 secondi è il valore massimo per cui il corpo umano può sopportare la tensione limite UL, si può stabilire il criterio per coordinare la resistenza di terra con il dispositivo di protezione. Deve essere: RT*I5s

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