C A P I T O L O APPLICAZIONI DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE 17.1 INTRODUZIONE Ora che e` stata introdotta la trasformata di Laplace, e` possibile passare a esaminare che cosa si puo` fare con essa. La trasformata di Laplace rappresenta uno degli strumenti matematici piu` potenti esistenti per l’analisi, la sintesi e il progetto. La possibilita` fornita dalla trasformata di Laplace di manipolare circuiti e sistemi nel dominio s consente di capire molto meglio come i circuiti e i sistemi operano. In questo capitolo, si vedra` come e` possibile operare con i circuiti nel dominio s. Si accennera` inoltre brevemente ad altri sistemi della fisica. Lo studente ha certamente gia` incontrato semplici sistemi meccanici e ha probabilmente utilizzato per descriverli le stesse equazioni differenziali che si usano per descrivere i circuiti elettrici. Il fatto che le stesse equazioni differenziali possano essere usate per descrivere circuiti, processi e sistemi lineari della realta` rappresenta uno degli aspetti piu` affascinanti dell’universo fisico. Cio` che li accomuna e` il termine lineare.
Un sistema e` un modello matematico di un processo fisico che mette in relazione l’ingresso con l’uscita. E` del tutto corretto considerare i circuiti come sistemi, anche se, storicamente, i circuiti sono stati spesso trattati come un argomento separato dalla teoria dei sistemi. Nel presente capitolo si parlera` di circuiti e di sistemi tenendo presente il fatto che i circuiti non sono altro che una particolare classe di sistemi elettrici. Il fatto piu` importante da tenere presente e` che tutto cio` che e` stato presentato nel capitolo precedente, e anche cio` che verra` presentato in questo capitolo, puo` essere applicato a un qualsiasi sistema lineare. Nel capitolo precedente, si e` visto come sia possibile utilizzare le trasformate di Laplace per risolvere equazioni differenziali e integrali lineari. In questo capitolo vengono dapprima introdotti i modelli circuitali nel dominio s, noti i quali e` possibile affrontare la soluzione di qualunque tipo di circuito lineare di interesse pratico. Vengono poi brevemente introdotte le variabili di stato, che risultano utili, in particolare, per l’analisi di sistemi con ingressi e uscite multipli. Infine, si vedra` come i concetti legati alla trasformata di Laplace possono essere usati nella analisi della stabilita` delle reti e nella sintesi dei circuiti.
17.2 MODELLI DI ELEMENTI CIRCUITALI Dopo aver appreso come si ottengono la trasformata di Laplace e la sua antitrasformata, il lettore e` ora pronto per applicare la trasformata di Laplace nella analisi dei circuiti. Tale applicazione avviene di solito in tre passi. Procedimento per l’applicazione della trasformata di Laplace: 1. Trasformare il circuito dal dominio del tempo al dominio s. 2. Risolvere il circuito mediante l’analisi nodale, analisi agli anelli, trasforma-
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
zione dei generatori, sovrapposizione, o qualunque altra tecnica di risoluzione risulti conveniente. 3. Calcolare le antitrasformate delle soluzioni, ottenendo cosı` le soluzioni nel dominio del tempo. Solo il primo passo risulta nuovo, e di esso ci si occupera` fra poco. Come si e` fatto per l’analisi con i fasori, si esegue la trasformazione di un circuito al dominio delle frequenze, o dominio s, trasformando secondo Laplace gli elementi del circuito uno per uno. Per un resistore, la relazione tensione-corrente nel dominio del tempo e` vðtÞ ¼ RiðtÞ
ð17:1Þ
Trasformando secondo Laplace, si ottiene V ðsÞ ¼ RI ðsÞ
ð17:2Þ
diðtÞ dt
ð17:3Þ
Per un induttore, vðtÞ ¼ L
Trasformando secondo Laplace entrambi i membri si ha V ðsÞ ¼ L½sI ðsÞ ið0 Þ ¼ sLI ðsÞ Lið0 Þ
ð17:4Þ
o anche I ðsÞ ¼
1 ið0 Þ V ðsÞ þ sL s
ð17:5Þ
Gli equivalenti nel dominio s sono mostrati in Figura 17.1, in cui l’eventuale condizione iniziale viene rappresentata con un generatore di tensione o di corrente.
Figura 17.1 Rappresentazione di un induttore: (a) dominio del tempo, (b,c) equivalenti nel dominio s.
Per un condensatore, iðtÞ ¼ C
dvðtÞ dt
ð17:6Þ
che si trasforma nel dominio s in I ðsÞ ¼ C½sV ðsÞ vð0 Þ ¼ sCV ðsÞ Cvð0 Þ
ð17:7Þ
o anche V ðsÞ ¼
1 vð0 Þ I ðsÞ þ sC s
ð17:8Þ
Gli equivalenti nel dominio s sono mostrati in Figura 17.2. Grazie a questi circuiti equivalenti, la trasformata di Laplace puo` essere agevolmente utilizzata per risolvere circuiti del primo e del secondo ordine del tipo di quelli considerati nei Capitoli 7 e 8. E` bene notare, nelle Equazioni da (17.3) a (17.8), che le condizioni iniziali costituisco-
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17.2 Modelli di elementi circuitali
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no parte integrante della trasformazione. Questo e` un vantaggio importante dell’uso della trasformata di Laplace nell’analisi dei circuiti. Un altro vantaggio e` che con essa si ottiene la risposta completa – transitorio e regime – di una rete. Cio` verra` illustrato negli Esempi 17.2 e 17.3 Si noti inoltre la dualita` delle (17.5) e (17.8), che conferma quanto gia` si sapeva dal Capitolo 8 (si veda la Tabella 8.1), e cioe` che L e C, I ðsÞ e V ðsÞ, e vð0Þ e ið0Þ sono termini duali.
Figura 17.2 Rappresentazione di un condensatore: (a) dominio del tempo, (b,c) equivalenti nel dominio s.
Se si suppongono nulle le condizioni iniziali per l’induttore e il condensatore, le equazioni appena viste si riducono a: V ðsÞ ¼ RI ðsÞ V ðsÞ ¼ sLI ðsÞ 1 I ðsÞ Condensatore: V ðsÞ ¼ sC Resistore: Induttore:
ð17:9Þ
Gli equivalenti nel dominio s sono mostrati in Figura 17.3.
Si definisce impedenza nel dominio s il rapporto fra la trasformata della tensione e la trasformata della corrente nel caso di condizioni iniziali nulle, cioe` ZðsÞ ¼
V ðsÞ I ðsÞ
ð17:10Þ
Figura 17.3 Rappresentazioni equivalenti nel dominio del tempo e nel dominio s di elementi passivi con condizioni iniziali nulle.
Le impedenze dei tre elementi circuitali sono quindi Resistore: Induttore:
ZðsÞ ¼ R ZðsÞ ¼ sL
1 Condensatore: ZðsÞ ¼ sC
ð17:11Þ
Esse sono riassunte nella Tabella 17.1. L’ammettenza nel dominio s e` il reciproco dell’impedenza, 1 I ðsÞ ¼ ð17:12Þ Y ðsÞ ¼ ZðsÞ V ðsÞ L’uso della trasformata di Laplace nella analisi dei circuiti rende piu` semplice il calcolo nei casi in cui compaiono generatori variabili quali impulsi, gradini, rampe, esponenziali e sinusoidi. I modelli per i generatori dipendenti e gli amplificatori operazionali sono semplici da sviluppare quando si ricordi che se la trasformata di Laplace di f ðtÞ e` FðsÞ, allora
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
la trasformata di Laplace di af ðtÞ e` aFðsÞ – la proprieta` di linearita`. Un generatore dipendente puo` esibire due soli tipi di controllo, e precisamente una costante moltiplicata per una tensione oppure una costante per una corrente. Quindi, L½avðtÞ ¼ aV ðsÞ
ð17:13Þ
L½aiðtÞ ¼ aI ðsÞ
ð17:14Þ
L’amplificatore operazionale ideale puo` essere trattato alla stregua di un resistore. Di fatto, qualsiasi operazionale, reale o ideale, non fa nulla di piu` che moltiplicare una tensione per una costante. Basta quindi scrivere le equazioni nel modo solito, tenendo presente il vincolo che la tensione di ingresso e la corrente di ingresso dell’operazionale devono essere nulle. Tabella 17.1 Elemento
Impedenza di un elemento nel dominio s.* ZðsÞ ¼ VðsÞ=IðsÞ
Resistore
R
Induttore
sL
Condensatore
1=sC
* Si suppongono nulle le condizioni iniziali
Esempio 17.1 Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.4, supponendo nulle le condizioni iniziali.
Figura 17.4 Per l’Esempio 17.1.
Soluzione: Si trasforma dapprima il circuito dal dominio del tempo al dominio s. uðtÞ
¼)
1H
¼)
1 F 3
¼)
1 s sL ¼ s 1 3 ¼ sC s
Il circuito risultante nel dominio s e` mostrato in Figura 17.5. A esso viene applicata l’analisi agli anelli. Per l’anello 1, 1 3 3 ð17:1:1Þ ¼ 1þ I1 I 2 s s s
Figura 17.5 Analisi agli anelli dell’equivalente nel dominio delle frequenze.
Per l’anello 2, 0¼
3 3 I1 þ s þ 5 þ I2 s s
cioe` I1 ¼
1 2 ðs þ 5s þ 3ÞI2 3
ð17:1:2Þ
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17.2 Modelli di elementi circuitali
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Sostituendo nella (17.1.1), 1 ¼ s
1þ
3 s
1 2 3 ðs þ 5s þ 3ÞI2 I2 3 s
Moltiplicando tutto per 3s si ottiene 3 s3 þ 8s2 þ 18s pffiffiffi 3 3 2 pffiffiffi Vo ðsÞ ¼ sI2 ¼ 2 ¼ pffiffiffi s þ 8s þ 18 2 ðs þ 4Þ2 þ ð 2Þ2
3 ¼ ðs3 þ 8s2 þ 18sÞI2
¼)
I2 ¼
Antitrasformando, infine si ha pffiffiffi 3 vo ðtÞ ¼ pffiffiffi e4t sin 2t V, 2
t0
n Esercizio 17.1 Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.6, supponendo nulle le condizioni iniziali.
Figura 17.6 Per l’Esercizio 17.1.
Risposta 8ð1 e2t 2te2t ÞuðtÞ V.
n
Esempio 17.2 Calcolare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.7. Supporre vo ð0Þ ¼ 5 V.
Figura 17.7 Per l’Esempio 17.2.
Soluzione: Si trasforma il circuito al dominio s come mostrato in Figura 17.8. La condizione iniziale e` stata inclusa in forma di generatore di corrente Cvo ð0Þ ¼ 0:1ð5Þ ¼ 0:5 A. [Si veda la Figura 17.2(c).] Si applica il metodo dell’analisi nodale. Al nodo superiore, 10=ðs þ 1Þ Vo Vo Vo þ 2 þ 0:5 ¼ þ 10 10 10=s cioe` 1 2Vo sVo 1 þ ¼ þ 2:5 ¼ Vo ðs þ 2Þ 10 10 sþ1 10 Moltiplicando ambo i membri per 10, 10 þ 25 ¼ Vo ðs þ 2Þ sþ1 o anche Vo ¼
25s þ 35 A B ¼ þ ðs þ 1Þðs þ 2Þ sþ1 sþ2
dove A ¼ ðs þ 1ÞVo ðsÞjs¼1 ¼
25s þ 35 10 ¼ ¼ 10 ðs þ 2Þ s¼1 1
25s þ 35 15 ¼ B ¼ ðs þ 2ÞVo ðsÞjs¼2 ¼ ¼ 15 ðs þ 1Þ s¼2 1
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace Allora, Vo ðsÞ ¼
10 15 þ sþ1 sþ2
Eseguendo l’antitrasformazione di Laplace, si ottiene vo ðtÞ ¼ ð10et þ 15e2t ÞuðtÞ V
Figura 17.8 Analisi nodale del circuito equivalente di Figura 17.7.
n Esercizio 17.2 Determinare vo ðtÞ nel circuito mostrato in Figura 17.9.
Figura 17.9 Per l’Esercizio 17.2.
4 2t 8 t=3 uðtÞ V. Risposta e þ e 5 15
n
Esempio 17.3 Nel circuito di Figura 17.10(a), l’interruttore si sposta dalla posizione a alla posizione b nell’istante t ¼ 0. Determinare iðtÞ per t > 0.
Figura 17.10 Per l’Esempio 17.3.
Soluzione: La corrente iniziale nell’induttore e` ið0Þ ¼ Io . Per t > 0, la Figura 17.10(b) mostra il circuito trasformato al dominio s. La condizione iniziale e` stata incorporata nel circuito nella forma di un generatore di tensione di valore Lið0Þ ¼ LIo . Mediante l’analisi agli anelli, I ðsÞðR þ sLÞ LIo
Vo ¼0 s
ð17:3:1Þ
da cui I ðsÞ ¼
LIo Vo Io Vo =L þ ¼ þ R þ sL sðR þ sLÞ s þ R=L sðs þ R=LÞ
ð17:3:2Þ
Applicando l’espansione in frazioni parziali al secondo termine nel secondo membro della (17.3.2) si ottiene Io Vo =R Vo =R þ ð17:3:3Þ I ðsÞ ¼ s þ R=L s ðs þ R=LÞ La antitrasformata della espressione precedente risulta Vo t= Vo e , þ iðtÞ ¼ Io R R
t0
ð17:3:4Þ
con ¼ R=L. Il termine tra parentesi e` la risposta transitoria, mentre l’altro e` la risposta a regime. In altre parole, il valore finale e` ið1Þ ¼ Vo =R, che si sarebbe potuto prevedere anche applicando il teorema del valore finale alla (17.3.2) o alla (17.3.3); cioe` sIo Vo =L Vo þ ð17:3:5Þ lim sI ðsÞ ¼ lim ¼ s!0 s!0 s þ R=L R s þ R=L
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17.3 Analisi dei circuiti
7
La (17.3.4) puo` anche essere scritta nella forma iðtÞ ¼ Io et= þ
Vo ð1 et= Þ, R
t0
ð17:3:6Þ
Il primo termine rappresenta la risposta naturale, e il secondo la risposta forzata. Se la condizione iniziale e` Io ¼ 0, la (17.3.6) diventa iðtÞ ¼
Vo ð1 et= Þ, R
t0
ð17:3:7Þ
che e` la risposta al gradino, essendo dovuta a un ingresso a gradino Vo in assenza di energia iniziale.
n Esercizio 17.3 L’interruttore in Figura 17.11 e` rimasto in posizione b per molto tempo. Viene spostato nella posizione a in t ¼ 0. Determinare vðtÞ per t > 0.
Figura 17.11 Per l’Esercizio 17.3.
Risposta vðtÞ ¼ ðVo Io RÞet= þ Io R, t > 0, dove ¼ RC:
n
17.3 ANALISI DEI CIRCUITI Anche l’analisi dei circuiti si rivela relativamente semplice da eseguire nel dominio s: si deve soltanto trasformare un insieme, anche complicato, di relazioni matematiche dal dominio del tempo al dominio s, dove gli operatori derivata e integrale vengono convertiti in semplici moltiplicazioni per s o per 1=s. Cio` permette di fare uso dei metodi dell’algebra elementare per risolvere le equazioni circuitali. L’aspetto interessante di tutto cio` e` che tutte le relazioni e i teoremi sviluppati per i circuiti in regime stazionario rimangono validi per i circuiti descritti nel dominio s.
Si ricordi che i circuiti equivalenti, se contengono condensatori e induttori, esistono soltanto nel dominio s e non possono essere ritrasformati al dominio del tempo.
Esempio 17.4 Si consideri il circuito in Figura 17.12(a). Si determini la tensione sul condensatore se vs ðtÞ ¼ 10uðtÞ V e supponendo che all’istante t ¼ 0 la corrente nell’induttore sia 1 A e la tensione sul condensatore valga þ5 V. 10 3
vs (t)
10 3
Ω Vs
+ −
5H
0.1 F
+ −
Ω
Figura 17.12
V1
Per l’Esempio 17.4.
0.1 F i(0) s
5H
+ −
v(0) s
(a) (b)
Soluzione: La Figura 17.12(b) rappresenta il circuito completo nel dominio s con le condizioni iniziali incorporate. Ci si trova quindi di fronte a un semplice problema di analisi nodale. Poiche` il valore di V1 corrisponde al valore della tensione del condensatore nel dominio del tempo ed e` l’unica tensione di nodo incognita, e` necessario scrivere una sola equazione. V1 Vs V1 0 ið0Þ V1 ½vð0Þ=s þ þ ¼0 10=3 5s s 1=ð0:1sÞ
ð17:4:1Þ
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace cioe`
2 3 1 0:1 s þ 3 þ V1 ¼ þ þ 0:5 s s s
ð17:4:2Þ
con vð0Þ ¼ 5V e ið0Þ ¼ 1 A. Semplificando, si ottiene ðs2 þ 3s þ 2ÞV1 ¼ 40 þ 5s da cui V1 ¼
40 þ 5s 35 30 ¼ ðs þ 1Þðs þ 2Þ sþ1 sþ2
ð17:4:3Þ
Antitrasformando secondo Laplace si ha v1 ðtÞ ¼ ð35et 30e2t ÞuðtÞV
ð17:4:4Þ
n Esercizio 17.4 Nel circuito di Figura 17.12, con le stesse condizioni iniziali, determinare la corrente nell’induttore per ogni t > 0.
Risposta: iðtÞ ¼ ð3 7et þ 3e2t Þ uðtÞ A.
n
Esempio 17.5 Nel circuito mostrato in Figura 17.12, e con le condizioni iniziali specificate nell’Esempio 17.4, si utilizzi la sovrapposizione degli effetti per calcolare il valore della tensione sul condensatore.
Soluzione: Poiche` il circuito nel dominio s ha tre generatori indipendenti, si puo` affrontare la soluzione con un generatore alla volta. La Figura 17.13 mostra i circuiti nel dominio s ottenuti considerando un solo generatore alla volta. Si hanno ora da risolvere tre problemi di analisi nodale. Si determina innanzitutto la tensione del condensatore nel circuito di Figura 17.13(a). V1 Vs V1 0 V1 0 0þ ¼0 þ 5s 1=ð0:1sÞ 10=3 cioe`
10 3
Ω
2 3 V1 ¼ 0:1 s þ 3 þ s s 10 3
V1
Ω
10 3
V2
0.1 F 10 s
+ −
5H
0
+ −
0
Per l’Esempio 17.5
V3 0.1 F
0.1 F 0 + −
i(0) s
5H
(a)
Figura 17.13
Ω
+ −
0
0
+ −
0
5H
+ −
v(0)
(c)
(b)
Semplificando, si ottiene ðs2 þ 3s þ 2ÞV1 ¼ 30 V1 ¼ da cui
30 30 30 ¼ ðs þ 1Þðs þ 2Þ sþ1 sþ2
v1 ðtÞ ¼ ð30et 30e2t ÞuðtÞV
ð17:5:1Þ
Per la Figura 17.13(b) si ha, V2 0 V2 0 1 V2 0 þ þ ¼0 10=3 5s s 1=ð0:1sÞ cioe` 2 1 V2 ¼ 0:1 s þ 3 þ s s
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17.3 Analisi dei circuiti
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Si ottiene quindi V2 ¼
10 10 10 ¼ ðs þ 1Þðs þ 2Þ sþ1 sþ2
Antitrasformando, v2 ðtÞ ¼ ð10et 10e2t ÞuðtÞV
ð17:5:2Þ
Per la Figura 17.13(c), V3 0 V3 0 V3 5=s þ 0þ ¼0 10=3 5s 1=ð0:1sÞ da cui
2 0:1 s þ 3 þ V3 ¼ 0:5 s V3 ¼
5s 5 10 ¼ þ ðs þ 1Þðs þ 2Þ sþ1 sþ2
Nel dominio del tempo v3 ðtÞ ¼ ð5et þ 10e2t ÞuðtÞV
ð17:5:3Þ
Cio` che resta da fare e` sommare le (17.5.1), (17.5.2) e (17.5.3). vðtÞ ¼ v1 ðtÞ þ v2 ðtÞ þ v3 ðtÞ ¼ fð30 þ 10 5Þet þ ð30 þ 10 10Þe2t guðtÞV cioe` vðtÞ ¼ ð35et 30e2t ÞuðtÞV che e` in accordo con la risposta dell’Esempio 17.4.
n Esercizio 17.5 Per il circuito in Figura 17.12, e per le stesse condizioni iniziali dell’Esempio 17.4, determinare la corrente nell’induttore per ogni t > 0 utilizzando la sovrapposizione degli effetti.
Risposta iðtÞ ¼ ð3 7et þ 3e2t ÞuðtÞA.
nz
Esempio 17.6 Si supponga che l’energia iniziale immagazzinata nel circuito di Figura 17.14 sia nulla per t ¼ 0 e che is ¼ 10uðtÞA. (a) Determinare Vo ðsÞ usando il teorema di Thevenin. (b) Applicare i teoremi del valore iniziale e del valore finale per calcolare vo ð0þ Þ e vo ð1Þ. (c) Determinare vo ðtÞ. ix
+ −
is
Figura 17.14 Per l’Esempio 17.6.
2H
2ix
5Ω
+ vo(t) −
5Ω
Soluzione: Poiche` l’energia iniziale immagazzinata nel circuito e` nulla, si suppone che le correnti iniziali negli induttori e le tensioni iniziali dei condensatori siano nulle nell’istante t ¼ 0. Ix
Ix
2s
+ −
2Ix
VTh
Figura 17.15
a
a + 10 s
2s
10 s
+ −
Per l’Esempio 17.16: (a) calcolo di VTh , (b) calcolo di ZTh .
Isc
2Ix 5
5 (a)
− b
b (b)
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace (a) Per determinare il circuito equivalente di Thevenin, si rimuove il resistore da 5 e si calcolano Voc ðVTh Þ e Isc . Per VTh , si usa il circuito trasformato secondo Laplace di Figura 17.15(a). Essendo Ix ¼ 0, il generatore dipendente di tensione non da` nessun contributo, e quindi 10 50 ¼ Voc ¼ VTh ¼ 5 s s Per determinare ZTh , si considera il circuito in Figura 17.15(b), in cui si calcola dapprima Isc . Si puo` utilizzare l’analisi nodale per risolvere rispetto a V1 , da cui poi si perviene a Isc ðIsc ¼ Ix ¼ V1 =2sÞ.
10 ðV1 2Ix Þ 0 V1 0 þ þ ¼0 s 5 2s
e inoltre Ix ¼
V1 2s
di conseguenza V1 ¼
100 2s þ 3
Ne segue Isc ¼
V1 100=ð2s þ 3Þ 50 ¼ ¼ 2s 2s sð2s þ 3Þ
e ZTh ¼
Voc 50=s ¼ ¼ 2s þ 3 Isc 50=½sð2s þ 3Þ
Il circuito dato viene sostituito dal suo equivalente Thevenin ai terminali a b, come si vede in Figura 17.16. Dalla Figura 17.16, 5 5 50 250 125 VTh ¼ ¼ ¼ Vo ¼ 5 þ ZTh 5 þ 2s þ 3 s sð2s þ 8Þ sðs þ 4Þ Z Th
Figura 17.16
a
Equivalente Thevenin del circuito in Figura 17.14 ai terminali a-b nel dominio s.
VTh
5Ω
+ −
+ Vo − b
(b) Usando il teorema del valore iniziale, vo ð0Þ ¼ lim sVo ðsÞ ¼ lim s!1
s!1
125 125=s 0 ¼ lim ¼ ¼0 s!1 1 þ 4=s sþ4 1
Per il teorema del valore finale, vo ð1Þ ¼ lim sVo ðsÞ ¼ lim s!0
s!0
125 125 ¼ ¼ 31:25V sþ4 4
(c) Espandendo in frazioni parziali, 125 A B ¼ þ sðs þ 4Þ s sþ4 125 ¼ 31:25 A ¼ sVo ðsÞ ¼ s þ 4 s¼0 s¼0 125 B ¼ ðs þ 4ÞVo ðsÞ ¼ ¼ 31:25 s s¼4 s¼4
Vo ¼
Vo ¼
31:25 31:25 s sþ4
Antitrasformando infine si ottiene vo ðtÞ ¼ 31:25ð1 e4t ÞuðtÞV Si noti che i valori di vo ð0Þ e vo ð1Þ ottenuti nella parte (b) coincidono con quelli calcolati dall’espressione precedente.
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17.4 Funzioni di trasferimento
11
n Esercizio 17.6 L’energia iniziale nel circuito di Figura 17.17 e` nulla per t ¼ 0. Si supponga vs ¼ 5uðtÞV. (a) Determinare Vo ðsÞ usando il teorema di Thevenin. (b) Applicare i teoremi del valore iniziale e del valore finale per determinare vo ð0Þ e vo ð1Þ. (c) Calcolare vo ðtÞ. ix
vs + −
1F
1Ω
+ vo −
2Ω
Figura 17.17 Per l’Esercizio 17.6.
+ −
4ix
5ð5sþ1Þ Risposta (a) Vo ðsÞ ¼ sðsþ0:3Þðsþ5Þ , (b) 0, 3.333 V,
(c) ð3:333 þ 1:773e0:3t 5:1063e5t ÞuðtÞV.
n
17.4 FUNZIONI DI TRASFERIMENTO La funzione di trasferimento rappresenta uno dei concetti piu` importanti nella elaborazione dei segnali, perche´ indica il modo nel quale un segnale viene elaborato, nel suo passaggio attraverso una rete. Essa costituisce uno strumento particolarmente adatto a determinare la risposta della rete, a valutare (o progettare) la stabilita` della rete, e per la sintesi delle reti in genere. La funzione di trasferimento di una rete descrive il comportamento dell’uscita in rapporto all’ingresso, e specifica come avviene il trasferimento dall’ingresso all’uscita nel dominio s, supponendo che non esista energia iniziale nella rete.
La funzione di trasferimento4 HðsÞ e` il rapporto fra la risposta in uscita YðsÞ e l’eccitazione in ingresso XðsÞ, supponendo nulle tutte le condizioni iniziali. Riassumendo, HðsÞ ¼
Y ðsÞ X ðsÞ
ð17:15Þ
La funzione di trasferimento dipende da cio` che viene definito come ingresso e uscita. Poiche´ sia l’ingresso che l’uscita possono essere una corrente oppure una tensione, in un qualunque punto del circuito, esistono quattro possibili tipi di funzione di trasferimento5 : Vo ðsÞ ð17:16aÞ HðsÞ ¼ Guadagno di tensione ¼ Vi ðsÞ HðsÞ ¼ Guadagno di corrente ¼ HðsÞ ¼ Impedenza ¼
Io ðsÞ Ii ðsÞ
V ðsÞ I ðsÞ
HðsÞ ¼ Ammettenza ¼
I ðsÞ V ðsÞ
ð17:16bÞ ð17:16cÞ ð17:16dÞ
Un circuito puo` quindi avere molte funzioni di trasferimento. Si noti che HðsÞ e` adimensionale nelle (17.16a) e (17.16b). 4
Per le reti elettriche, la funzione di trasferimento e` nota anche come funzione di rete.
5
Alcuni autori non considerano funzioni di trasferimento le (16.16c) e (16.16d).
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Ciascuna delle funzioni di trasferimento della (17.16) puo` essere determinata in due modi. Il primo consiste nel supporre che l’ingresso sia un qualsiasi segnale conveniente X ðsÞ, nell’utilizzare un opportuno metodo di analisi per il circuito (quale per esempio il partitore di tensione o di corrente, l’analisi nodale, l’analisi agli anelli) per determinare l’uscita Y ðsÞ, e infine calcolare il rapporto tra le due trasformate. L’altro approccio prevede l’applicazione del metodo a scala, che richiede di seguire un percorso inverso all’interno del circuito. In esso, si suppone che il valore dell’uscita sia prefissato (per esempio 1V o 1A o un qualunque valore conveniente), e si usano le leggi fondamentali di Ohm e di Kirchhoff (solo la KCL) per ottenere l’ingresso. La funzione di trasferimento risulta allora pari all’unita` divisa per l’ingresso trovato. Il metodo a scala puo` risultare piu` conveniente da usare quando il circuito ha molte maglie o nodi, e quindi l’applicazione della analisi nodale o agli anelli risulta onerosa. Nel primo metodo, si presuppone il valore dell’ingresso e si determina l’uscita; nel secondo, si presuppone il valore dell’uscita e si determina l’ingresso. In entrambi i metodi, HðsÞ viene calcolata come rapporto fra le trasformate di uscita e ingresso. Entrambi i metodi si basano sulla proprieta` di linearita`, poiche´ in questo libro ci si occupa soltanto di circuiti lineari. L’Esempio 17.7 illustra meglio tutti e due metodi. La (17.15) suppone che X ðsÞ e Y ðsÞ siano note. A volte, si conosce l’ingresso X ðsÞ e la funzione di trasferimento HðsÞ; l’uscita Y ðsÞ si determina allora con Y ðsÞ ¼ HðsÞX ðsÞ
ð17:17Þ
antitrasformando poi per ottenere yðtÞ. Un caso particolare si ha quando l’ingresso e` la funzione impulso unitario, xðtÞ ¼ ðtÞ, cosı` che X ðsÞ ¼ 1. In questo caso Y ðsÞ ¼ HðsÞ
o
yðtÞ ¼ hðtÞ
ð17:18Þ
dove hðtÞ ¼ L1 ½HðsÞ
ð17:19Þ
Il termine hðtÞ rappresenta la risposta all’impulso unitario – la risposta nel dominio del tempo a un impulso unitario. La (17.19) fornisce quindi una nuova importante interpretazione per la funzione di trasferimento: HðsÞ e` la trasformata di Laplace della risposta all’impulso unitario della rete. Una volta nota la risposta all’impulso hðtÞ di una rete, e` possibile ottenere la risposta della rete a qualunque segnale di ingresso mediante la (17.17) nel dominio s, oppure usando l’integrale di convoluzione (si veda il paragrafo 15.5) nel dominio del tempo. Esempio 17.7 L’uscita di un sistema lineare e` yðtÞ ¼ 10et cos 4tuðtÞ quando l’ingresso e` xðtÞ ¼ et uðtÞ. Determinare la funzione di trasferimento del sistema e la sua risposta all’impulso.
Soluzione: Se xðtÞ ¼ et uðtÞ e yðtÞ ¼ 10et cos 4tuðtÞ, allora X ðsÞ ¼
1 sþ1
e
Y ðsÞ ¼
10ðs þ 1Þ ðs þ 1Þ2 þ 42
Quindi, HðsÞ ¼
Y ðsÞ 10ðs þ 1Þ2 10ðs2 þ 2s þ 1Þ ¼ ¼ X ðsÞ s2 þ 2s þ 17 ðs þ 1Þ2 þ 16
Per determinare hðtÞ, si scrive HðsÞ come HðsÞ ¼ 10 4
4 ðs þ 1Þ2 þ 22
Dalla Tabella 17.1, si ottiene hðtÞ ¼ 106ðtÞ 4et sin 4t uðtÞ
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17.4 Funzioni di trasferimento
13
n Esercizio 17.7 La funzione di trasferimento di un sistema lineare e` HðsÞ ¼
2s sþ6
Determinare l’uscita yðtÞ dovuta all’ingresso e3t uðtÞ e la risposta all’impulso.
Risposta: 2e3t þ 4e6t , t 0, 2ðtÞ 12e6t uðtÞ.
n
Esempio 17.8 Determinare la funzione di trasferimento HðsÞ ¼ Vo ðsÞ=Io ðsÞ del circuito in Fig. 17.18.
Figura 17.18 Per l’Esempio 17.8.
Soluzione: METODO 1 Per il partitore di corrente, I2 ¼
ðs þ 4ÞIo s þ 4 þ 2 þ 1=2s
Ma Vo ¼ 2I2 ¼
2ðs þ 4ÞIo s þ 6 þ 1=2s
Quindi, HðsÞ ¼
Vo ðsÞ 4sðs þ 4Þ ¼ 2 Io ðsÞ 2s þ 12s þ 1
METODO 2 Si puo` applicare il metodo a scala. Ponendo Vo ¼ 1 V, per la legge di Ohm, I2 ¼ Vo =2 ¼ 1=2 A. La tensione sull’impedenza ð2 þ 1=2sÞ e` 1 1 4s þ 1 V1 ¼ I2 2 þ ¼1þ ¼ 2s 4s 4s Questa coincide con la tensione sull’impedenza ðs þ 4Þ. Ne segue, I1 ¼
V1 4s þ 1 ¼ sþ4 4sðs þ 4Þ
Applicando la KCL al nodo superiore Io ¼ I1 þ I2 ¼
4s þ 1 1 2s2 þ 12s þ 1 þ ¼ 4sðs þ 4Þ 2 4sðs þ 4Þ
Quindi, HðsÞ ¼
Vo 1 4sðs þ 4Þ ¼ ¼ 2 Io Io 2s þ 12s þ 1
come prima.
n Esercizio 17.8 Calcolare la funzione di trasferimento HðsÞ ¼ I1 ðsÞ=Io ðsÞ nel circuito di Figura 17.18.
Risposta
4s þ 1 . 2s2 þ 12s þ 1
n
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace Esempio 17.9 Per il circuito nel dominio s di Figura 17.19, calcolare: (a) la funzione di trasferimento HðsÞ ¼ Vo =Vi , (b) la risposta all’impulso, (c) la risposta quando vi ðtÞ ¼ uðtÞ V, (d) la risposta quando vi ðtÞ ¼ 8 cos 2t V.
Soluzione: (a) Per il partitore di tensione, 1 Vab sþ1
Vo ¼
ð17:9:1Þ
Ma
Figura 17.19
Vab ¼
Per l’Esempio 17.9.
1 k ðs þ 1Þ ðs þ 1Þ=ðs þ 2Þ Vi ¼ Vi 1 þ 1 k ðs þ 1Þ 1 þ ðs þ 1Þ=ðs þ 2Þ
cioe` sþ1 Vi 2s þ 3
Vab ¼
ð17:9:2Þ
Sostituendo la (17.9.2) nella (17.9.1) si ottiene Vo ¼
Vi 2s þ 3
Percio`, la funzione di trasferimento e` Vo 1 ¼ Vi 2s þ 3
HðsÞ ¼ (b) E` possibile scrivere HðsÞ come
HðsÞ ¼
1 1 2 sþ
3 2
La sua antitrasformata di Laplace e` la risposta all’impulso richiesta: 1 3t=2 uðtÞ e 2
hðtÞ ¼ (c) Quando vi ðtÞ ¼ uðtÞ, Vi ðsÞ ¼ 1=s, e Vo ðsÞ ¼ HðsÞVi ðsÞ ¼ con
1 A B þ ¼ s 2sðs þ 32 Þ sþ
1 A ¼ sVo ðsÞjs¼0 ¼ 2ðs þ 32 Þ
¼ s¼0
3 2
1 3
3 1 1 ¼ B¼ sþ Vo ðsÞjs¼3=2 ¼ 2 2s s¼3=2 3 Percio`, per vi ðtÞ ¼ uðtÞ, 1 Vo ðsÞ ¼ 3
1 1 s sþ
! 3 2
e la sua antitrasformata di Laplace e` vo ðtÞ ¼ (d) Quando vi ðtÞ ¼ 8 cos 2t, Vi ðsÞ ¼
1 ð1 e3t=2 ÞuðtÞ V 3
8s ,e s2 þ 4
Vo ðsÞ ¼ HðsÞVi ðsÞ ¼ A ¼ sþ
3 2
4s ðs þ 32 Þðs2 þ 4Þ
Bs þ C þ 2 s þ4
ð17:9:3Þ
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17.5 Variabili di stato con A¼
15
3 4s 24 sþ ¼ Vo ðsÞjs¼3=2 ¼ 2 2 s þ 4 s¼3=2 25
Per determinare B e C, si moltiplica la (17.9.3) per ðs þ 3=2Þðs2 þ 4Þ. Si ottiene 3 3 2 2 4s ¼ Aðs þ 4Þ þ B s þ s þ C s þ 2 2 Eguagliando i coefficienti, Costante: 0 ¼ 4A þ
3 C 2
¼)
C¼
8 A 3
3 BþC 2
s:
4¼
s2 :
0¼AþB
¼)
B ¼ A
Risolvendo si trova A ¼ 24=25, B ¼ 24=25, C ¼ 64=25. Percio`, per vi ðtÞ ¼ 8 cos 2t V, Vo ðsÞ ¼
24 24 s 32 2 25 þ þ 25 s2 þ 4 25 s2 þ 4 s þ 32
e la sua antitrasformata e` vo ðtÞ ¼
24 25
4 e3t=2 þ cos 2t þ sin 2t uðtÞ V 3
n Esercizio 17.9 Ripetere l’Esempio 17.9 per il circuito mostrato in Figura 17.20.
Figura 17.20
Per l’Esercizio 17.9.
Risposta: (a) 2=ðs þ 4Þ, (b) 2e4t uðtÞ, (c) 12 ð1 e4t ÞuðtÞ V, (d)
3 4t 1 ðe þ cos 2t þ sin 2tÞuðtÞ V. 2 2
n
17.5 VARIABILI DI STATO Fino a questo punto, nel presente testo, sono state introdotte tecniche utili all’analisi di sistemi con un solo ingresso e una sola uscita. Molti sistemi interessanti per l’ingegneria sono invece dotati di piu` ingressi e piu` uscite, come mostrato in Figura 17.21. Il metodo delle variabili di stato rappresenta un importante strumento per l’analisi e per la comprensione di questi sistemi di elevata complessita`. Il modello basato sulle variabili di stato e` percio` piu` generale del modello a singolo ingresso e singola uscita, quale e` quello delle funzioni di trasferimento. Nonostante sia in realta` impossibile trattare esaurientemente l’argomento in un singolo capitolo, e meno che meno in un singolo paragrafo, se ne dara` nel paragrafo presente una elementare introduzione. z1 z2
zm Segnali di ingresso
Sistema lineare
y1 y2
Figura 17.21 Sistema lineare con m ingressi e p uscite.
yp Segnali di uscita
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Nel modello basato sulle variabili di stato, viene specificato un insieme di variabili in grado di descrivere completamente il comportamento interno del sistema. Queste variabili sono note come variabili di stato del sistema, e sono in grado di determinare il comportamento futuro di un sistema quando siano noti lo stato presente del sistema e i segnali di ingresso. In altre parole, sono le variabili che, quando note, consentono di determinare tutti gli altri parametri del sistema facendo uso soltanto di equazioni algebriche.
Una variabile di stato e` una proprieta` fisica che caratterizza lo stato di un sistema, indipendentemente dal modo con cui il sistema e` arrivato a quello stato. Esempi comuni di variabili di stato sono la pressione, il volume e la temperatura. In un circuito elettrico, le variabili di stato sono le tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori, che descrivono lo stato complessivo del sistema in termini della sua energia. Il modo piu` consueto di rappresentare le equazioni di stato e` quello di disporle in un sistema di equazioni differenziali del primo ordine: x_ ¼ Ax þ Bz dove
2
ð17:20Þ
3
x1 ðtÞ 6 x2 ðtÞ 7 6 7 xðtÞ ¼ 6 . 7 ¼ vettore di stato che rappresenta n variabili di stato 4 .. 5 xn ðtÞ
e il puntino rappresenta la derivata prima rispetto al tempo, cioe`, 2 3 x_1 ðtÞ 6 x_2 ðtÞ 7 6 7 x_ ðtÞ ¼ 6 . 7 4 .. 5 x_n ðtÞ e 2
3 z1 ðtÞ 6 z2 ðtÞ 7 6 7 zðtÞ ¼ 6 . 7 ¼ vettore di ingresso che rappresenta m ingressi 4 .. 5 zm ðtÞ
A e B sono matrici n n e n m rispettivamente. Oltre alle equazioni di stato (17.20), e` necessaria anche l’equazione di uscita. Il modello di stato, o modello completo nello spazio degli stati, e` allora
2
3
x_ ¼ Ax þ Bz
(17.21a)
y ¼ Cx þ Dz
(17.21b)
y1 ðtÞ 6 y2 ðtÞ 7 6 7 dove yðtÞ ¼ 6 . 7 ¼ vettore di uscita che rappresenta p uscite. C e D sono, rispet4 .. 5 yp ðtÞ tivamente, matrici p n e p m. Nel caso particolare di un solo ingresso e una sola uscita, n ¼ m ¼ p ¼ 1. Supposte nulle le condizioni iniziali, la funzione di trasferimento del sistema si determina facendo la trasformata di Laplace della (17.21a); si ottiene sXðsÞ ¼ AX ðsÞ þ BZðsÞ
!
ðsI AÞXðsÞ ¼ BZðsÞ
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17.5 Variabili di stato
17
e quindi XðsÞ ¼ ðsI AÞ1 BZðsÞ
ð17:22Þ
dove I e` la matrice identita`. Trasformando secondo Laplace anche la (17.21b) si ha YðsÞ ¼ CX ðsÞ þ DZðsÞ
ð17:23Þ
Sostituendo la (17.22) nella (17.23) e dividendo per ZðsÞ si ottiene la funzione di trasferimento HðsÞ ¼
Y ðsÞ ¼ CðsI AÞ1 B þ D ZðsÞ
ð17:24Þ
dove A ¼ matrice del sistema B ¼ matrice di ingresso C ¼ matrice di uscita D ¼ matrice feedforward Nella maggioranza dei casi, D ¼ 0, e quindi il grado del numeratore di HðsÞ nella (17.24) e` minore di quello del denominatore. Allora, HðsÞ ¼ CðsI AÞ1 B
(17.25)
Proprio per la presenza di numerosi calcoli con le matrici, MATLAB si rivela un utile strumento per calcolare la funzione di trasferimento. Il procedimento di applicazione del metodo delle variabili di stato alla analisi di un circuito e` costituito dai seguenti tre passi. Fasi della applicazione del metodo delle variabili di stato alla analisi dei circuiti: 1. Scegliere la corrente nell’induttore i e la tensione del condensatore v come variabili di stato, assicurandosi che risultino in accordo con la convenzione degli utilizzatori. 2. Applicare la KCL e la KVL al circuito per ottenere le variabili circuitali (tensioni e correnti) in termini delle variabili di stato. Cio` dovrebbe portare a formulare un sistema di equazioni differenziali del primo ordine necessarie e sufficienti per determinare tutte le variabili di stato. 3. Ricavare l’equazione di uscita ed esprimere il risultato finale nella rappresentazione dello spazio degli stati. I passi 1 e 3 sono di solito molto semplici; il passo 2 e` invece quello di esecuzione delicata. Si illustrera` il procedimento, come di consueto, con esempi. Esempio 17.7 Determinare la rappresentazione nello spazio degli stati del circuito in Figura 17.22. Calcolare la funzione di trasferimento del circuito quando vs e` preso come ingresso e ix e` l’uscita. Si ponga R ¼ 1; C ¼ 0:25 F e L ¼ 0:5H.. i
L + vL −
vs
+ −
R
Figura 17.22
ic
1
Per l’Esempio 17.10.
ix C
+ v −
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace Soluzione: Si scelgono la corrente nell’induttore i e la tensione sul condensatore v come variabili di stato. vL ¼ L
di dt
ð17:10:1Þ
iC ¼ C
dv dt
ð17:10:2Þ
!
C
Applicando la KCL al nodo 1 si ottiene i ¼ ix þ iC
dv v ¼i dt R
cioe` v_ ¼
v i þ RC C
ð17:10:3Þ
perche` sia R che C hanno la stessa tensione v. Applicando la KVL alla maglia esterna si ha vs ¼ vL þ v
! L
di ¼ v þ vs dt
v vs i_ ¼ þ L L
ð17:10:4Þ
Le (17.10.3) e (17.10.4) sono le equazioni di stato. Se si considera ix come uscita, v ix ¼ R
ð17:10:5Þ
Riscrivendo le (17.10.3) e (17.10.4) nella forma standard si ottiene 2 3 " 1 1 # 0 _v v RC C 4 1 5vs þ ¼ 1 i i_ 0 L L 1 v ix ¼ 0 i R Se R ¼ 1; C ¼
1 4
eL¼
1 2,
ð17:10:6bÞ
dalla (17.10.6) si ricavano le matrici "
A¼
ð17:10:6aÞ
1 RC 1 L
sI A ¼
#
0 4 4 0 , B¼ 1 ¼ , 2 0 2 0 L 1 0 ¼ ½1 0 C¼ R 1 C
¼
sþ4 4 4 s 0 ¼ 2 2 0 0 s
4 s
Invertendo quest’ultima matrice si ha ðsI AÞ1 ¼
aggiunta di A ¼ determinante di A
s 4 2 s þ 4 s2 þ 4s þ 8
La funzione di trasferimento e` allora ½1 0 HðsÞ ¼ CðsI AÞ1 B ¼ ¼
s 4 2 s þ 4 s2 þ 4s þ 8
0 2
½1 ¼
0
8 2s þ 8 s2 þ 4s þ 8
8 s2 þ 4s þ 8
che e` lo stesso risultato che si sarebbe ottenuto trasformando direttamente il circuito secondo Laplace e ricavando HðsÞ ¼ Ix ðsÞ=Vs ðsÞ. Il vero vantaggio dell’approccio basato sulle variabili di stato si apprezza nel caso di ingressi e uscite multipli. Nel caso presente c’era un solo ingresso vs e una sola uscita ix . Nel prossimo esempio, si analizzera` invece un circuito con due ingressi e due uscite.
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17.5 Variabili di stato
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n Esercizio 17.10 Ricavare il modello basato sulle variabili di stato per il circuito mostrato in Figura 17.23. Si ponga R1 ¼ 1; R2 ¼ 2; C ¼ 0:5 e L ¼ 0:2 e si determini la funzione di trasferimento. L
R1
Figura 17..23 vs
C
R2
# # " 1 v R1 C vs ; þ R2 i 0
" 1 v_ R1 C Risposta _ ¼ 1 i
Per l’Esercizio 17.10.
v vo ¼ ½0 R2 i
1 C L
L
HðsÞ ¼
+ −
+ vo −
20 s2 þ 12s þ 30
n
Esempio 17.11 Si consideri il circuito in Figura 17.24, che puo` essere considerato come un sistema a due ingressi e due uscite. Se ne determini il modello a variabili di stato e la funzione di trasferimento del sistema. i1
1Ω
1
3Ω
2
Figura 17..24 Per l’Esempio 17.11.
io
+ v − o
i vs
2Ω
1H 6
+ −
+ v −
1 3F
+ −
vi
Soluzione: In questo circuito ci sono due ingressi, vs e vi e due uscite, vo e io . Anche in questo caso si scelgono la corrente dell’induttore i e la tensione del condensatore v come variabili di stato. Applicando la KVL all’anello di sinistra si ha vs þ i1 þ
1 _ i ¼ 0 ! i_ ¼ 6vs 6i1 6
ð17:11:1Þ
Bisogna eliminare l’incognita i1 . Applicando la KVL alla maglia formata da vs , dal resistore da 1 , quello da 2 e dal condensatore da 13 F si ottiene vs ¼ i1 þ vo þ v
ð17:11:2Þ
vo 2
ð17:11:3Þ
Ma al nodo 1, per la KCL, i1 ¼ i þ
!
vo ¼ 2ði1 iÞ
Sostituendo nella (17.11.2), vs ¼ 3i1 þ v 2i
!
i1 ¼
2i v þ vs 3
ð17:11:4Þ
Sostituendo il risultato nella (17.11.1), i_ ¼ 2v 4i þ 4vs
ð17:11:5Þ
che costituisce la prima equazione di stato. Per ottenere la seconda, si applica la KCL al nodo 2. vo 1 ¼ v_ þ io 2 3
! v_ ¼
3 vo 3io 2
Si devono eliminare le incognite vo e io . Dall’anello di destra, e` evidente che v vi io ¼ 3 Sostituendo la (17.11.4) nella (17.11.3) si ha 2i v þ vs 2 vo ¼ 2 i ¼ ðv þ i vs Þ 3 3
ð17:11:6Þ
ð17:11:7Þ
ð17:11:8Þ
Sostituendo le (17.11.7) e (17.11.8) nella (17.11.6) si ricava la seconda equazione di stato v_ ¼ 2v i þ vs þ vi
ð17:11:9Þ
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace Le due equazioni di uscita sono gia` state ottenute nelle (17.11.7) e (17.11.8). Riscrivendo la (17.11.5) e le Equazioni da (17.11.7) a (17.11.9) nella forma standard si ottiene il modello a variabili di stato del circuito, 1 1 vs 2 1 v v_ þ ¼ ð17:11:10aÞ 4 0 vi 2 4 i i_ # " 2 2 3 23 0 vs v vo þ 3 ¼ ð17:11:10bÞ 1 i io vi 0 13 0 3
n Esercizio 17.11 Determinare il modello basato sulle variabili di stato per il circuito di Figura 17.25. Considerare vo e io come variabili di uscita. 1 4
vo
H
Figura 17.25
io
Per l’Esercizio 17.11.
i1
1 2
1Ω
F
i2
2Ω
Risposta v_ 1 ¼ i_ 4
2 8
v 2 0 i1 þ i 0 8 i2
vo io
1 0 ¼ 0 1
v 0 0 i1 þ i 0 1 i2
n
Esempio 17.12 Si supponga di avere un sistema la cui uscita e` yðtÞ e il cui ingresso e` zðtÞ. Si supponga inoltre che la relazione tra l’ingresso e l’uscita sia descritta dalla seguente equazione differenziale: d 2 yðtÞ dyðtÞ þ3 þ 2yðtÞ ¼ 5zðtÞ dt 2 dt
ð17:12:1Þ
Si determinino il modello di stato e la funzione di trasferimento del sistema.
Soluzione: Si scelgono innanzitutto le variabili di stato. Sia x1 ¼ yðtÞ; allora, x_1 ¼ y_ðtÞ
ð17:12:2:Þ
x2 ¼ x_1 ¼ y_ðtÞ
ð17:12:3Þ
Sia ora Si noti che in questo caso si sta trattando un sistema del secondo ordine, che di norma presenta due termini del primo ordine nella soluzione. Si ha ora x_2 ¼ y€ðtÞ, in cui e` possibile esprimere il valore di x_2 usando la (17.12.1), cioe` x_2 ¼ y€ðtÞ ¼ 2yðtÞ 3y_ðtÞ þ 5zðtÞ ¼ 2x1 3x2 þ 5zðtÞ
ð17:12:4Þ
Usando le Equazioni da (17.12.2) a (17.12.4), si possono ora scrivere le seguenti equazioni matriciali: x1 x_1 0 1 0 zðtÞ ð17:12:5Þ ¼ þ 2 3 x2 5 x_2 x yðtÞ ¼ ½1 0 1 x2
ð17:12:6Þ
Si determina ora la funzione di trasferimento. 1 0 0 1 s 1 sI A ¼ s ¼ 0 1 2 3 2 sþ3 La sua inversa e`
ðsI AÞ1
sþ3 1 2 s ¼ sðs þ 3Þ þ 2
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17.6 Applicazioni La funzione di trasferimento e` allora 0 sþ3 1 5 ð1 0Þ 5 2 s 5s ¼ sðs þ 3Þ þ 2 sðs þ 3Þ þ 2
ð1 0Þ HðsÞ ¼ CðsI AÞ1 B ¼ ¼
5 ðs þ 1Þðs þ 2Þ
Per verificarla, si puo` calcolare direttamente la trasformata di Laplace di ciascuno dei termini della (17.12.1). Essendo nulle le condizioni iniziali, si ottiene ½s2 þ 3s þ 2Y ðsÞ ¼ 5ZðsÞ ! HðsÞ ¼
Y ðsÞ 5 ¼ 2 ZðsÞ s þ 3s þ 2
che e` in accordo con il risultato appena ottenuto.
n Esercizio 17.12 Scrivere un sistema di equazioni di stato che rappresentino la seguente equazione differenziale. d3y d2y dy þ 6 2 þ 11 þ 6y ¼ zðtÞ 3 dt dt dt
Risposta 2
3 0 1 0 4 A¼ 0 0 1 5; 6 11 6
2 3 0 B ¼ 4 0 5; 1
C ¼ ½1 0
0 :
n
17.6 APPLICAZIONIy Sono state fino a qui considerate tre applicazioni della trasformata di Laplace: l’analisi dei circuiti con ingressi comunque variabili, la determinazione di funzioni di trasferimento e la risoluzione di equazioni integrodifferenziali. La trasformata di Laplace trova applicazione anche in altre aree della analisi dei circuiti, della elaborazione dei segnali e dei sistemi di controllo. Verranno ora qui presentate due altre importanti applicazioni: la stabilita` delle reti e la sintesi dei circuiti.
17.6.1 Stabilita` Un circuito si dice stabile se la sua risposta all’impulso hðtÞ si mantiene limitata (cioe` se hðtÞ converge a un valore finito) quando t ! 1; si dice instabile se hðtÞ cresce invece senza limite per t ! 1. In termini matematici, un circuito e` stabile quando lim jhðtÞj < 1
t!1
ð17:26Þ
Poiche´ la funzione di trasferimento HðsÞ e` la trasformata di Laplace della risposta all’impulso hðtÞ, HðsÞ dovra` soddisfare a un qualche criterio affinche´ la (17.26) risulti verificata. Si ricordi che HðsÞ puo` essere scritta come HðsÞ ¼
N ðsÞ DðsÞ
ð17:27Þ
in cui le radici di N ðsÞ ¼ 0 si chiamano zeri di HðsÞ, perche´ rendono HðsÞ ¼ 0, mentre le radici di DðsÞ ¼ 0 si chiamano poli di HðsÞ perche´ provocano HðsÞ ! 1. Gli zeri e i poli di HðsÞ spesso sono situati nel piano s come si vede in Figura 17.26(a). Si ricordi dalle (15.47) e (15.48) che HðsÞ puo` anche essere scritta in termini dei suoi poli come HðsÞ ¼
N ðsÞ N ðsÞ ¼ DðsÞ ðs þ p1 Þðs þ p2 Þ ðs þ pn Þ
ð17:28Þ
HðsÞ deve soddisfare a due requisiti perche´ il circuito sia stabile. Il primo e` che il gra-
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
do di N ðsÞ deve essere minore del grado di DðsÞ; in caso contrario, la divisione dei polinomi produrrebbe HðsÞ ¼ kn sn þ kn1 sn1 þ þ k1 s þ k0 þ
RðsÞ DðsÞ
ð17:29Þ
in cui il grado di RðsÞ, il resto della divisione, e` minore del grado di DðsÞ. L’antitrasformata di HðsÞ nella (17.29) non soddisfa la condizione della (17.26). Come secondo requisito, tutti i poli di HðsÞ nella (17.27) (cioe`, tutte le radici di DðsÞ ¼ 0) devono avere parte reale negativa; in altre parole, tutti i poli devono risiedere nella meta` sinistra del piano s, come mostra l’esempio di Figura 17.26(b). La ragione di cio` risulta evidente se si esegue la antitrasformata di Laplace di HðsÞ nella (17.27). Poiche´ la (17.27) e` simile alla (15.48), la sua espansione in frazioni parziali e` simile a quella della (15.53) e quindi l’antitrasformata di HðsÞ risulta simile alla (15.53). Allora, hðtÞ ¼ ðk1 ep1 t þ k2 ep2 t þ þ kn epn t Þ
ð17:30Þ
Da questa equazione si vede che ciascun polo pi deve essere positivo (cioe`, il polo s ¼ pi deve stare nel semipiano sinistro) affinche´ epi t diminuisca al crescere di t. Riassumendo,
Figura 17.26 Il piano complesso s: (a) posizioni di poli e zeri, (b) semipiano sinistro
Un circuito e` stabile quando tutti i poli della sua funzione di trasferimento HðsÞ sono situati nella meta` sinistra del piano s.
Figura 17.27
Un circuito instabile non raggiunge mai la condizione di regime, perche´ la risposta transitoria non tende a zero al passare del tempo. Di conseguenza, l’analisi a regime (stazionario o sinusoidale) puo` essere applicata solo ai circuiti stabili. Un circuito costituito di soli elementi passivi (R, L e C) e generatori indipendenti non puo` essere instabile, perche´ cio` implicherebbe che una qualche corrente o tensione di ramo cresce indefinitamente, in presenza di generatori tutti a zero. Gli elementi passivi non possono dare luogo a una simile crescita indefinita. I circuiti passivi sono quindi stabili, oppure hanno poli con parte reale nulla. Per convincersene, si consideri il circuito RLC serie in Figura 17.27. La funzione di trasferimento e` data da
Circuito RLC serie.
HðsÞ ¼
Vo 1=sC ¼ Vs R þ sL þ 1=sC
cioe` HðsÞ ¼
1=LC s2 þ sR=L þ 1=LC
ð17:31Þ
Si noti che DðsÞ ¼ s2 þ sR=L þ 1=LC ¼ 0 coincide con l’equazione caratteristica ottenuta per il circuito RLC serie nella (8.8). Il circuito ha i poli in pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð17:32Þ p1;2 ¼ 2 !0 2 con ¼
R , 2L
!0 ¼
1 LC
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17.6 Applicazioni
23
Per R, L, C > 0, i due poli sono sempre situati nella meta` di sinistra del piano s, il che significa che il circuito e` sempre stabile. Tuttavia, quando R ¼ 0, ¼ 0 e il circuito diviene instabile. Nonostante questa sia una situazione teoricamente possibile, nella pratica essa non puo` mai presentarsi perche´ R non e` mai esattamente zero. D’altra parte, circuiti attivi o circuiti passivi contenenti generatori comandati possono produrre energia, e quindi possono diventare instabili. Infatti, un tipico esempio di circuito progettato per essere instabile e` un oscillatore. Un oscillatore viene progettato in modo che la sua funzione di trasferimento abbia la forma HðsÞ ¼
N ðsÞ N ðsÞ ¼ s2 þ !0 2 ðs þ j!0 Þðs j!0 Þ
ð17:33Þ
in modo che l’uscita risulti sinusoidale. Esempio 17.13 Determinare i valori di k per i quali il circuito di Figura 17.28 risulta stabile.
Figura 17.28 Per l’Esempio 17.13.
Soluzione: Applicando l’analisi agli anelli al circuito del primo ordine in Figura 17.28 si ottiene Vi ¼ e
1 I2 Rþ I1 sC sC
ð17:13:1Þ
1 I1 I2 0 ¼ kI1 þ R þ sC sC
o anche
1 1 I1 þ R þ I2 0¼ kþ sC sC
ð17:13:2Þ
Le (17.13.1) e (17.13.2) possono essere scritte in forma matriciale 3 2 1 1 R þ 6 7 sC sC Vi 7 I1 6 ¼6 7 0 4 1 1 5 I2 Rþ kþ sC sC Il determinante e` ¼
Rþ
1 sC
2
k 1 sR2 C þ 2R k 2 2 ¼ sC s C sC
ð17:13:3Þ
L’equazione caratteristica ( ¼ 0) fornisce un polo singolo in p¼
k 2R R2 C
che risulta negativo quando k < 2R. Si conclude percio` che il circuito e` stabile quando k < 2R, e instabile per k > 2R.
n Esercizio 17.13 Per quale valore di il circuito in Figura 17.29 risulta stabile?
Figura 17.29 Per l’Esercizio 17.13.
Risposta > 1=R.
n
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace Esempio 17.14 Un filtro attivo ha la funzione di trasferimento HðsÞ ¼
k s2 þ sð4 kÞ þ 1
Per quali valori di k il filtro risulta stabile?
Soluzione: Trattandosi di un circuito del secondo ordine, HðsÞ puo` essere scritta come HðsÞ ¼
NðsÞ s2 þ bs þ c
con b ¼ 4 k, c ¼ 1 e N ðsÞ ¼ k: I poli sono dati da p2 þ bp þ c ¼ 0, cioe` pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b b2 4c p1;2 ¼ 2 Perche´ il circuito risulti stabile, i poli devono essere situati nel semipiano sinistro del piano s. Questo implica che b > 0. Applicando tutto cio` alla HðsÞ data si conclude che, affinche´ il circuito risulti stabile, deve essere 4 k > 0 cioe` k < 4.
n Esercizio 17.14 Un circuito attivo del secondo ordine ha funzione di trasferimento HðsÞ ¼
1 s2 þ sð10 þ Þ þ 25
Determinare l’intervallo dei valori di per i quali il circuito e` stabile. Qual e` il valore di che da` luogo a oscillazioni?
Risposta > 10, ¼ 10.
n
17.6.2 Sintesi La sintesi delle reti puo` essere definita come il procedimento per ottenere una opportuna rete in modo che essa possieda una funzione di trasferimento assegnata. Nella analisi delle reti, si determina la funzione di trasferimento per una rete assegnata. Nella sintesi, il problema e` l’inverso: data una funzione di trasferimento, si vuole determinare la rete corrispondente.
La sintesi consiste nel costruire una rete che ammetta una data funzione di trasferimento. Si tenga presente che nei problemi di sintesi si possono avere molte risposte diverse – o anche nessuna risposta – perche´ esistono molti circuiti che possono essere usati per rappresentare la stessa funzione di trasferimento; nella analisi delle reti, invece, c’e` sempre una e una sola risposta. La sintesi delle reti e` un campo di estrema importanza per l’ingegneria. La capacita` di esaminare una funzione di trasferimento e di capire quale circuito essa rappresenta e` una importante dote del progettista di circuiti. La sintesi dei circuiti richiederebbe un intero corso per la sua presentazione e presuppone inoltre una buona dose di esperienza; gli esempi che seguono servono come introduzione al problema. Esempio 17.15 Data la funzione di trasferimento HðsÞ ¼
Vo ðsÞ 10 ¼ 2 Vi ðsÞ s þ 3s þ 10
realizzare la funzione mediante il circuito di Figura 17.30(a). (a) Scegliere R ¼ 5 , e determinare L e C. (b) Scegliere R ¼ 1 , e determinare L e C.
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17.6 Applicazioni
25
Figura 17.30 Per l’Esempio 17.15.
Soluzione: L’equivalente nel dominio s del circuito in Figura 17.30(a) e` mostrato in Figura 17.30(b). La composizione parallelo di R e C fornisce 1 R=sC R R sC ¼ R þ 1=sC ¼ 1 þ sRC Per la regola del partitore di tensione, Vo ¼
R=ð1 þ sRCÞ R Vi ¼ Vi sL þ R=ð1 þ sRCÞ sLð1 þ sRCÞ þ R
e quindi Vo R 1=LC ¼ 2 ¼ 2 Vi s RLC þ sL þ R s þ s=RC þ 1=LC Confrontando quest’ultima con la funzione di trasferimento HðsÞ data si vede che 1 ¼ 10, LC
1 ¼3 RC
Esistono molti valori di R, L e C che soddisfano questi requisiti. Per questa ragione, il valore di uno degli elementi e` stato specificato, cosı` che gli altri possano essere determinati univocamente. (a) Se si sceglie R ¼ 5 , allora C¼
1 ¼ 66:67 mF, 3R
L¼
1 ¼ 1:5 H 10C
(b) Se si sceglie R ¼ 1 , allora C¼
1 ¼ 0:333 F, 3R
L¼
1 ¼ 0:3 H 10C
La scelta R ¼ 1 puo` essere considerata come una normalizzazione del progetto. In questo esempio, sono stati utilizzati elementi passivi per realizzare la funzione di trasferimento data. Si sarebbe potuto ottenere lo stesso risultato usando elementi attivi, come mostra il prossimo esempio.
n Esercizio 17.15 Realizzare la funzione GðsÞ ¼
Vo ðsÞ 4s ¼ 2 Vi ðsÞ s þ 4s þ 20
mediante il circuito in Figura 17.31. Scegliere R ¼ 2 e determinare L e C.
Figura 17.31 Per l’Esercizio 17.15.
Risposta 0.5 H, 0.1 F.
n
Esempio 17.16 Sintetizzare la funzione T ðsÞ ¼
Vo ðsÞ 106 ¼ 2 s þ 100s þ 106 Vs ðsÞ
usando la topologia di Figura 17.32.
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Figura 17.32 Per l’Esempio 17.16.
Soluzione: Si applica l’analisi nodale ai nodi 1 e 2. Al nodo 1, ðVs V1 ÞY1 ¼ ðV1 Vo ÞY2 þ ðV1 V2 ÞY3
ð17:16:1Þ
ðV1 V2 ÞY3 ¼ ðV2 0ÞY4
ð17:16:2Þ
Y1 Vs ¼ ðY1 þ Y2 þ Y3 ÞV1 ðY2 þ Y3 ÞVo
ð17:16:3Þ
Al nodo 2,
Ma V2 ¼ Vo , e la (17.16.1) diventa
mentre la (17.16.2) diventa V1 Y3 ¼ ðY3 þ Y4 ÞVo cioe` V1 ¼
1 ðY3 þ Y4 ÞVo Y3
ð17:16:4Þ
Sostituendo la (17.16.4) nella (17.16.3) si ottiene Y1 Vs ¼ ðY1 þ Y2 þ Y3 Þ
1 ðY3 þ Y4 ÞVo ðY2 þ Y3 ÞVo Y3
da cui Y1 Y3 Vs ¼ ½Y1 Y3 þ Y4 ðY1 þ Y2 þ Y3 ÞVo Percio`, Vo Y1 Y3 ¼ Vs Y1 Y3 þ Y4 ðY1 þ Y2 þ Y3 Þ
ð17:16:5Þ
Per sintetizzare la funzione di trasferimento T ðsÞ, essa va confrontata con quella della (17.16.5). Si notano due cose: (1) Y1 Y3 non deve dipendere da s, perche´ il numeratore di TðsÞ e` costante; (2) la funzione di trasferimento data e` del secondo ordine, il che implica che sono necessari due condensatori. Bisogna percio` fare Y1 e Y3 resistive, mentre Y2 e Y4 devono essere capacitive. Si sceglie allora Y1 ¼
1 , R1
Y2 ¼ sC1 ,
Y3 ¼
1 , R2
Y4 ¼ sC2
ð17:16:6Þ
Sostituendo la (17.16.6) nella (17.16.5) si ottiene Vo 1=ðR1 R2 Þ ¼ Vs 1=ðR1 R2 Þ þ sC2 ð1=R1 þ 1=R2 þ sC1 Þ ¼
1=ðR1 R2 C1 C2 Þ s2 þ sðR1 þ R2 Þ=ðR1 R2 C1 Þ þ 1=ðR1 R2 C1 C2 Þ
Confrontando quest’ultima con la funzione di trasferimento T ðsÞ data, si deduce che 1 ¼ 106 , R1 R2 C1 C2
R1 þ R2 ¼ 100 R1 R2 C1
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17.7 Calcolo di funzioni di trasferimento
27
Se si sceglie R1 ¼ R2 ¼ 10 k, allora C1 ¼
C2 ¼
R1 þ R2 20 103 ¼ ¼ 2 F 100R1 R2 100 100 106
106 106 ¼ ¼ 5 nF R1 R2 C1 100 106 2 106
La funzione di trasferimento data viene allora realizzata dal circuito mostrato in Figura 17.33.
Figura 17.33 Per l’Esempio 17.16.
n Esercizio 17.16 Sintetizzare la funzione Vo ðsÞ 2s ¼ 2 Vin s þ 6s þ 10 utilizzando il circuito con amplificatore operazionale mostrato in Figura 17.34. Scegliere Y1 ¼
1 , R1
Y2 ¼ sC1 ,
Y3 ¼ sC2 ,
Y4 ¼
1 R2
Si ponga R1 ¼ 1 k, e si determinino C1 , C2 e R2 .
Figura 17.34 Per l’Esercizio 17.16.
Risposta 0.1 mF, 0.5 mF, 2 k:
n
17.7 CALCOLO DI FUNZIONI DI TRASFERIMENTO CON MATLAB MATLAB e` uno strumento software che trova largo uso nei calcoli e nelle simulazioni che interessano molti campi dell’ingegneria. Una breve introduzione a MATLAB destinata ai principianti e` presentata nella Appendice presente sul sito web dedicato al libro. Il presente paragrafo illustra l’uso di MATLAB per il calcolo numerico della maggior parte delle quantita` che sono state presentate in questo capitolo e nel Capitolo 15. Per descrivere un sistema in MATLAB bisogna specificarne il numeratore (num) e il denominatore (den) della funzione di trasferimento. Una volta fatto cio`, e` possibile utilizzare molti dei comandi di MATLAB per ottenere i diagrammi di Bode del sistema o la risposta del sistema a un ingresso specificato.
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Il comando bode genera i diagrammi di Bode (di modulo e di fase) di una funzione di trasferimento data HðsÞ. Il formato del comando e` bode (num, den), in cui num e` il numeratore di HðsÞ e den e` il denominatore. L’intervallo delle frequenze e il numero di punti vengono scelti automaticamente dal programma. Per esempio, si consideri la funzione di trasferimento dell’Esempio 14.3. E` bene innanzitutto scrivere il numeratore e il denominatore in forma polinomiale, cioe` HðsÞ ¼
200j! 200s , ¼ 2 ðj! þ 2Þðj! þ 10Þ s þ 12s þ 20
s ¼ j!
ð17:34Þ
Digitando i comandi che seguono e` possibile produrre i diagrammi di Bode mostrati in Figura 17.35. Se necessario, si puo` aggiungere il comando logspace per avere le frequenze spaziate in modo logaritmico e il comando semilogx per ottenere una scala semilogaritmica. >> num = [200 0]; % specifica il numeratore di H(s) >> den = [1 12 20]; % specifica il denominatore di H(s) >> bode(num, den); % calcola e disegna i diagrammi di Bode Diagrammi di Bode
Fase (°)
Diagrammi di modulo e fase.
Modulo (dB)
Figura 17.35 20 10 0 −10 −20 50 0 −50 10−2
101 10−1 100 Frequenza (rad/s)
Figura 17.36
102
Risposta al gradino
Risposta al gradino di HðsÞ ¼ 12=ðs2 þ 3s þ 12Þ.
1.2 1 Ampiezza
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
1
1.5 2 2.5 Tempo (s)
3
3.5
4
La risposta al gradino yðtÞ di un sistema e` l’uscita del sistema quando l’ingresso xðtÞ e` la funzione gradino unitario. Il comando step produce il grafico della risposta al gradino di un sistema dati numeratore e denominatore della funzione di trasferimento. L’intervallo di tempo del grafico e il numero di punti vengono scelti automaticamente dal programma. Si consideri, per esempio, un sistema del secondo ordine con funzione di trasferimento 12 HðsÞ ¼ 2 ð17:35Þ s þ 3s þ 12 E` possibile ottenere la risposta al gradino mostrata in Figura 17.36 digitando i seguenti comandi.
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DOMANDE DI RIEPILOGO
29
>> n = 12; >> d = [1 3 12]; >> step(n,d); Si puo` verificare il grafico in Figura 17.36 tracciando quello di yðtÞ ¼ xðtÞ uðtÞ oppure Y ðsÞ ¼ X ðsÞHðsÞ. Il comando lsim e` piu` generale di step, e consente di calcolare la risposta nel dominio del tempo di un sistema a un segnale di ingresso arbitrario. Il formato del comando e` y ¼ lsim(num, den, x, t), dove xðtÞ e` il segnale di ingresso, t e` il vettore dei tempi e yðtÞ e` l’uscita generata. Per esempio, si supponga che un sistema sia descritto dalla funzione di trasferimento HðsÞ ¼
s3
sþ4 þ 2s2 þ 5s þ 10
ð17:36Þ
Per determinare la risposta yðtÞ del sistema all’ingresso xðtÞ ¼ 10et uðtÞ, si usano i seguenti comandi MATLAB. La risposta yðtÞ e l’ingresso xðtÞ sono rappresentati in Figura 17.37 >> t = 0:0.02:5; % vettore dei tempi 0 < t < 5 con incremento 0.02 >> x = 10*exp(-t); >> num = [1 4]; >> den = [1 2 5 10]; >> y = lsim(num,den,x,t); >> plot(t,x,t,y)
Figura 17.37
y(t)
x(t)
Risposta del sistema descritto da HðsÞ ¼ ðs þ 4Þ=ðs3 þ 2s2 þ 5s þ 10Þ a un ingresso esponenziale.
10 8 6 4 2 0 −2 −4 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
DOMANDE DI RIEPILOGO 17.1
La tensione su un resistore la cui corrente e` iðtÞ, nel dominio s, e` sRI ðsÞ. (a) Vero
(b) Falso
La corrente in un circuito RL serie con tensione di ingresso vðtÞ e` data nel dominio s da: 1 (a) V ðsÞ R þ (b) V ðsÞðR þ sLÞ sL V ðsÞ V ðsÞ (d) (c) R þ 1=sL R þ sL
17.3
L’impedenza di un condensatore da 10 F e`:
17.4
(b) s=10
(c) 1=10s
La funzione di trasferimento e` definita soltanto quando tutte le condizioni iniziali sono nulle. (a) Vero
17.2
(a) 10=s
17.5
(b) Falso
17.6
Se l’ingresso di un sistema lineare e` ðtÞ e l’uscita e` e2t uðtÞ, la funzione di trasferimento del sistema e`: 1 1 s s (a) (b) (c) (d) sþ2 s2 sþ2 s2 (e) Nessuna delle precedenti
17.7
Se la funzione di trasferimento di un sistema e` HðsÞ ¼
(d) 10s
s3
s2 þ s þ 2 þ 4s2 þ 5s þ 1
Di solito, e` possibile ottenere l’equivalente Thevenin nel dominio del tempo.
ne segue che l’ingresso e` X ðsÞ ¼ s3 þ 4s2 þ 5s þ 1, mentre l’uscita e` Y ðsÞ ¼ s 2 þ s þ 2.
(a) Vero
(a) Vero
(b) Falso
(b) Falso
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ð1Þ
30 17.8
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
(a) x_ ¼ Ax þ Bz (b) y ¼ Cx þ Dz (c) HðsÞ ¼ Y ðsÞ=ZðsÞ (d) HðsÞ ¼ CðsI AÞ1 B 17.9
Quale delle seguenti matrici non e` corretta? 2 1 3 (a) A ¼ (b) B ¼ 0 4 1
Quale delle seguenti equazioni e` detta equazione di stato?
(c) C ¼ ½3 2
Un sistema ad un ingresso ed una uscita e` descritto dal modello di stato:
(d) D ¼ 0
17.10 Quale comando MATLAB si utilizza per ottenere la risposta in frequenza di un sistema? (a) root
x_1 ¼ 2x1 x2 þ 3z x_2 ¼ 4x2 z y ¼ 3x1 2x2 þ z
(b) step
(c) bode (d) lsim
(e) rlocus
Risposte: 17.1b, 17.2d, 17.3c, 17.4b, 17.5b, 17.6a, 17.7b, 17.8a, 17.9d, 17.10c.
PROBLEMI Paragrafi 17.2 e 17.3 17.1
Modelli di elementi circuitali e analisi di circuiti
17.4
Determinare vo ðtÞ nel circuito in Figura 17.41. 6Ω
Determinare iðtÞ nel circuito di Figura 17.38 per mezzo della trasformata di Laplace. 1Ω
e−tu(t)
1 10
+ −
+ vo(t) −
F
i(t)
Figura 17.41 u(t)
1H
+ −
17.5
1F
Per il Problema 17.4.
2t
Se is ðtÞ ¼ e uðtÞ A nel circuito mostrato in Figura 17.42, determinare il valore di io ðtÞ. io(t)
1H
Figura 17.38 17.2
is(t)
Per il Problema 17.1.
Determinare vx nel circuito mostrato in Figura 17.39 nota vs ¼ 4uðtÞ V.
Figura 17.42 17.6
1 8F
1H
1H
2Ω
0.5 F
Per il Problema 17.5.
Determinare io ðtÞ nel circuito mostrato in Figura 17.43 data is ðtÞ ¼ 5e2t A. 2Ω
vs + −
Figura 17.39 17.3
+ vx −
io 4Ω
2Ω
is
Per il Problema 17.2.
0.1 F
Figura 17.43
Determinare vo ðtÞ nel circuito mostrato in Figura 17.40 data is ðtÞ ¼ 5uðtÞ A.
17.7
1H
Per il Problema 17.6.
Utilizzare la trasformata di Laplace per calcolare ix nel circuito di Figura 17.44. 1F
1H
is(t)
Figura 17.40
1Ω 2
Per il Problema 17.3.
1Ω + vo(t) −
1 Ω 8
2e−tu (t) V
2H
+ −
Figura 17.44
Per il Problema 17.7.
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ix
PROBLEMI 17.8
Determinare l’impedenza di ingresso di ciascuna delle reti in Figura 17.45. 1 s
2s
17.12 Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.49. 1H 10e−tu(t)
1
1
31
V + −
+ vo(t) −
2F
Figura 17.49
4Ω
3u(t) A
Per il Problema 17.12.
17.13 Determinare io ðtÞ nel circuito di Figura 17.50. (a)
1F
2H io
Figura 17.50
Per il Problema 17.13.
*17.14 Determinare io ðtÞ nella rete mostrata in Figura 17.51.
(b)
17.9
1Ω
Per il Problema 17.8.
5 + 10u(t) V
1Ω 2Ω
1H
2Ω
0.5 F
4Ω
io
Determinare l’impedenza di ingresso Zin ðsÞ di ciascuno dei circuiti in Figura 17.46.
1H
Figura 17.51
+ −
1 F 4
2H
Per il Problema 17.14.
17.15 Determinare Vx ðsÞ nel circuito mostrato in Figura 17.52.
1F
(a)
10 Ω
0.25 H
1Ω
+
(b)
Figura 17.46
1Ω
s
1 1 s
Figura 17.45
e−2tu(t) A
2Ω
1
3Vx
Per il Problema 17.9.
+ −
Vx
− + 5e−2t u(t) V −
0.2 F
17.10 Ai terminali a-b del circuito in Figura 17.47, determinare i circuiti equivalenti di Thevenin e Norton.
Figura 17.52
1 s a
Per il Problema 17.15.
*17.16 Determinare io ðtÞ per t > 0 nel circuito di Figura 17.53. + vo −
2Ω +
2 s+1
2
1Ω
2Vo
Vo −
1F 5e−2tu(t) V b
Figura 17.47
+ −
0.5vo
1H
Per il Problema 17.10.
17.11 Calcolare le correnti di anello nel circuito di Figura 17.48. 1 4
F
+ −
+ −
Figura 17.53
3u(−t) V
io
Per il Problema 17.16.
17.17 Calcolare io ðtÞ per t > 0 nella rete di Figura 17.54.
1H
2e−tu(t) V u(t)
+ −
i1
2Ω
i2
+ −
4e−2tu(t)
+− 1F
Figura 17.48
io
1H
Per il Problema 17.11.
1Ω
* L’asterisco denota un problema di difficolta` superiore alla media.
Figura 17.54
4u(t) A
1Ω
Per il Problema 17.17.
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32
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
17.18 (a) Determinare la trasformata di Laplace della tensione mostrata in Figura 17.55(a). (b) Utilizzando il valore di vs ðtÞ di Figura 17.55(a) nel circuito di Figura 17.55(b), determinare il valore di vo ðtÞ.
Figura 17.59 1s
v2
1 3F
2Ω
1Ω
is
vs (t) 3V
0
4H
v1
Per il Problema 17.22.
t (a)
17.23 Nel circuito RLC parallelo di Figura 17.60, determinare vðtÞ e iðtÞ se vð0Þ ¼ 5 e ið0Þ ¼ 2 A.
1Ω
i vs (t)
+ −
+ vo(t) −
1F
10 Ω
4u(t) A
2Ω
Figura 17.60
1 80
4H
+ v −
F
Per il Problema 17.23.
(b)
Figura 17.55
Per il Problema 17.18.
17.19 Nel circuito di Figura 17.56 si ha ið0Þ ¼ 1A, vo ð0Þ ¼ 2V e vs ¼ 4e2t uðtÞ V. Determinare vo ðtÞ per t > 0.
16 Ω
−+ i
+ −
Figura 17.56
t=0
2i
2Ω
vs
17.24 L’interruttore nel circuito di Figura 17.61 e` rimasto chiuso per molto tempo, e viene aperto per t ¼ 0. Determinare vo ðtÞ per t > 0 usando la trasformata di Laplace.
+ vo −
1F
1H
4Ω
9A
+ vo −
Per il Problema 17.19.
17.20 Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.57 se vx ð0Þ ¼ 2 V e ið0Þ ¼ 1 A. + vx −
i
1F e−tu(t) A
1Ω
1Ω
1H
Figura 17.61
Per il Problema 17.24.
17.25 Nel circuito RLC mostrato in Figura 17.62, determinare la risposta completa se vð0Þ ¼ 2 V alla chiusura dell’interruttore.
+ vo −
t=0
2 cos 4t V
Figura 17.57
5Ω
0.5 F
6Ω
+ −
1H 1 9
+ v −
F
Per il Problema 17.20.
17.21 Determinare la tensione vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.58 usando la trasformata di Laplace. 1Ω
1H
2Ω
10u(t) V
0.5 F
Figura 17.58
Per il Problema 17.21.
1F
Figura 17.62
Per il Problema 17.25.
17.26 Nel circuito con operazionale di Figura 17.63, determinare vo ðtÞ per t > 0, se vs ¼ 3e5t uðtÞ V. 10 kΩ
+ v −o
50 µF 20 kΩ vs
17.22 Determinare le tensioni di nodo v1 e v2 nel circuito di Figura 17.59 usando il metodo della trasformata di Laplace. Si supponga che is ¼ 12et uðtÞ A e che tutte le condizioni iniziali siano nulle.
+ −
Figura 17.63
− +
vo
Per il Problema 17.26.
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PROBLEMI 17.27 Determinare I1 ðsÞ e I2 ðsÞ nel circuito di Figura 17.64.
2Ω
33
1H
1H i1
10e−3tu(t) V
Figura 17.64
2H
+ −
i2
2H
1Ω
+ −
vs
1Ω
4Ω
Figura 17.67
+ vo −
0.1 F
Per il Problema 17.34.
17.35 Calcolare la funzione di trasferimento HðsÞ ¼ Vo =Vs per il circuito di Figura 17.68.
Per il Problema 17.27.
i
17.28 Nel circuito di Figura 17.65, determinare vo ðtÞ per t > 0.
0.5 F
1H
1H 1Ω
+ −
6u(t)
Figura 17.65
2H
1H
2Ω
+ vo −
Figura 17.68
17.29 Nel circuito con trasformatore ideale di Figura 17.66, determinare io ðtÞ.
Figura 17.66 Paragrafo 17.4
Per il Problema 17.35.
(a) I1 =Vs
(b) I2 =Vx i1
io
+ −
+ vo −
3Ω
17.37 Nel circuito di Figura 17.69, determinare:
1:2 10e−tu(t) V
2i
17.36 Ripetere il problema precedente per HðsÞ ¼ Vo =I .
Per il Problema 17.28.
1Ω
+ −
vs
0.25 F
vs
8Ω
+ −
Figura 17.69
3Ω
i2
+ vx −
2H
0.5 F
+ −
4vx
Per il Problema 17.37.
Per il Problema 17.29.
Funzioni di trasferimento
17.30 La funzione di trasferimento di un certo sistema e` HðsÞ ¼
s2 3s þ 1
Determinare l’uscita del sistema quando l’ingresso e` 4et=3 uðtÞ. 17.31 Quando l’ingresso di un certo sistema e` la funzione gradino unitario, la risposta e` 10 cos 2t uðtÞ. Calcolare la funzione di trasferimento del sistema. 17.32 Si sa che un certo circuito ha funzione di trasferimento HðsÞ ¼
sþ3 s2 þ 4s þ 5
Determinare l’uscita del circuito quando:
17.38 Con riferimento alla rete in Figura 17.70, si determinino le seguenti funzioni di trasferimento: (a) H1 ðsÞ ¼ Vo ðsÞ=Vs ðsÞ (b) H2 ðsÞ ¼ Vo ðsÞ=Is ðsÞ (c) H3 ðsÞ ¼ Io ðsÞ=Is ðsÞ (d) H4 ðsÞ ¼ Io ðsÞ=Vs ðsÞ is
vs
+ −
Figura 17.70
1Ω
1Η
1F
1F
1Ω
+ vo −
Per il Problema 17.38.
17.39 Calcolare il guadagno HðsÞ ¼ Vo =Vs nel circuito con operazionale di Figura 17.71.
(a) l’ingresso e` la funzione gradino unitario (b) l’ingresso e` 6te2t uðtÞ. 17.33 Quando ad un certo sistema viene applicato un gradino unitario in t ¼ 0, la sua risposta e` 1 yðtÞ ¼ 4 þ e3t e2t ð2 cos 4t þ 3 sin 4tÞ uðtÞ 2
io
+ − + R
vs + −
vo C
Figura 17.71
−
Per il Problema 17.39.
Quale e` la funzione di trasferimento del sistema? 17.34 Per il circuito in Figura 17.67, determinare HðsÞ ¼ Vo ðsÞ=Vs ðsÞ, supponendo nulle le condizioni iniziali.
17.40 Con riferimento al circuito RL di Figura 17.72, determinare: (a) la risposta all’impulso hðtÞ del circuito
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace (b) la risposta al gradino unitario del circuito.
*17.49 Ricavare le equazioni di stato per la seguente equazione differenziale.
L
vs
Figura 17.72
+ −
d 2 yðtÞ 5 dyðtÞ dzðtÞ þ ¼ 6yðtÞ ¼ þ zðtÞ dt 2 dt dt
+ vo −
R
*17.50 Ricavare le equazioni di stato per la seguente equazione differenziale.
Per il Problema 17.40.
17.41 Una rete ha risposta all’impulso hðtÞ ¼ 2et uðtÞ. Determinare la sua uscita quando viene applicato il segnale di ingresso vi ðtÞ ¼ 5uðtÞ. 17.42 Calcolare la risposta all’impulso del sistema descritto dalla equazione differenziale 2
dy þ yðtÞ ¼ xðtÞ dt
dove xðtÞ e` l’ingresso e yðtÞ l’uscita. 17.43 Ricavare le equazioni di stato per il Problema 17.1. 17.44 Ricavare le equazioni di stato per il Problema 17.2. 17.45 Ricavare le equazioni di stato per il circuito mostrato in Figura 17.73. 1 4
1H
+ vo(t) −
+ −
v1(t)
F
*17.51 Dato la seguente equazione di stato, risolverla rispetto a yðtÞ. 4 4 0 x_ ¼ xþ uðtÞ 2 0 2 yðtÞ ¼ ½1 0x 17.52 Data la seguente equazione di stato, risolvere rispetto a y1 ðtÞ e y2 ðtÞ. 2 1 1 1 uðtÞ x_ ¼ xþ 2 4 4 0 2uðtÞ 2 2 2 0 uðtÞ y¼ xþ 1 0 0 1 2uðtÞ Paragrafo 17.6
Applicazioni
17.53 Mostrare che il circuito RLC parallelo di Figura 17.76 e` stabile.
+ −
2Ω
d 3 yðtÞ 6 d 2 yðtÞ 11 dyðtÞ þ þ þ 6yðtÞ ¼ zðtÞ 3 dt dt2 dt
v2(t)
Io R
Is
Figura 17.73
+ −
+ −vo(t)
2F
Figura 17.74
4Ω
is(t)
Per il Problema 17.53.
h1 ðtÞ ¼ 3et uðtÞ;
h2 ðtÞ ¼ e4t uðtÞ
(a) Calcolare la risposta all’impulso del sistema complessivo. (b) Verificare se il sistema complessivo e` stabile.
Per il Problema 17.46.
vi
17.47 Scrivere le equazioni di stato per il circuito mostrato in Figura 17.75. i1(t)
Figura 17.76
17.54 Un sistema e` costituito dal collegamento in cascata di due sistemi come mostrato in Figura 17.77. Si sa che la risposta all’impulso dei sistemi componenti e`
1H
1 4
F
i2(t)
h 1(t)
Figura 17.77
+ −
Per il Problema 17.54.
17.55 Determinare se il circuito con operazionale di Figura 17.78 e` stabile.
1H
2Ω
+ −
C
v2(t) R
Figura 17.75
vo
h 2(t)
C v1(t)
L
Per il Problema 17.45.
17.46 Scrivere le equazioni di stato per il circuito mostrato in Figura 17.74.
vs (t)
C
Per il Problema 17.47.
− + vs
R
+ −
− +
17.48 Ricavare le equazioni di stato per la seguente equazione differenziale. d 2 yðtÞ 4 dyðtÞ þ ¼ 3yðtÞ ¼ zðtÞ dt 2 dt
Figura 17.78
Per il Problema 17.55.
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+ vo −
PROBLEMI 17.56 Si desidera realizzare la funzione di trasferimento V2 ðsÞ 2s ¼ 2 V1 ðsÞ s þ 2s þ 6
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usando la topologia di Figura 17.82. Si ponga Y1 ¼ 1=R1 , Y2 ¼ 1=R2 , Y3 ¼ sC1 , Y4 ¼ sC2 . Si scelga R1 ¼ 1k e si determinino C1 , C2 e R2 . Y4
usando il circuito di Figura 17.79. Scegliere R ¼ 1 k e determinare L e C.
Y1
Y2 + −
R + v1
L
C
−
Figura 17.79
Vin + −
+ v2 −
Figura 17.82
Per il Problema 17.56.
17.57 Realizzare la funzione di trasferimento
Paragrafo 17.7
usando il circuito di Figura 17.80. Scegliere R1 ¼ 4 e R2 ¼ 1 , e determinare L e C.
vi (t)
Figura 17.80
+ −
Per il Problema 17.59.
Calcolo con MATLAB
sþ1 s2 þ 5s þ 6
HðsÞ ¼
17.61 Tracciare i diagrammi di Bode per la seguente funzione di trasferimento usando MATLAB.
L
C
Y3
17.60 Tracciare i diagrammi di Bode per la seguente funzione di trasferimento usando MATLAB.
Vo ðsÞ 5 ¼ 2 Vi ðsÞ s þ 6s þ 25
R1
Vo
R2
+ vo(t) −
HðsÞ ¼
sþ4 s3 þ 6s2 þ 11s þ 6
17.62 Tracciare i diagrammi di Bode per la seguente funzione di trasferimento usando MATLAB.
Per il Problema 17.57.
17.58 Realizzare la funzione di trasferimento
HðsÞ ¼
Vo ðsÞ s ¼ Vs ðsÞ s þ 10 usando il circuito di Figura 17.81, ponendo Y1 ¼ sC1 , Y2 ¼ 1=R1 , Y3 ¼ sC2 . Scegliere R1 ¼ 1 k e determinare C1 e C2 .
sþ1 s2 þ 0:5s þ 1
17.63 Data la seguente funzione di trasferimento, determinarne la risposta all’ingresso gradino unitario usando MATLAB. HðsÞ ¼
sþ2 s2 þ 4s þ 3
Y1
17.64 Data la seguente funzione di trasferimento, determinarne la risposta all’ingresso 10et uðtÞ usando MATLAB.
Y2 Y3
− +
Vs + −
HðsÞ ¼ + Vo −
17.65 Data la seguente funzione di trasferimento, determinarne la risposta all’ingresso ð1 þ 3e2t ÞuðtÞ usando MATLAB. HðsÞ ¼
Figura 17.81
4 s2 þ 5s þ 6
s s3 þ 6s2 þ 11s þ 6
Per il Problema 17.58.
17.59 Sintetizzare la funzione di trasferimento Vo ðsÞ 106 ¼ 2 s þ 100s þ 106 Vin ðsÞ
17.66 Data la seguente funzione di trasferimento, determinarne la risposta all’ingresso 5e3t uðtÞ usando MATLAB. HðsÞ ¼
1 s2 þ s þ 4
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
PROBLEMI DI RIEPILOGO 17.67 Esprimere la funzione di trasferimento del circuito con operazionale in Figura 17.83 nella forma Vo ðsÞ as ¼ 2 Vi ðsÞ s þ bs þ c dove a, b e c sono costanti, e calcolare le costanti. 10 kΩ 1 µF 0.5 µF vi
+ −
Figura 17.83
10 kΩ
(a) Determinare Y ðsÞ. (b) Una batteria da 8 V viene collegata alla rete attraverso un interruttore. Se l’interruttore si chiude in t ¼ 0, determinare la corrente iðtÞ che attraversa Y ðsÞ usando la trasformata di Laplace. 17.69 Un giratore e` un dispositivo utilizzato per simulare un induttore in un circuito. Un semplice circuito giratore e` mostrato in Figura 17.84. Nel calcolare Vi ðsÞ=Io ðsÞ, mostrare che l’induttanza prodotta dal giratore e` L ¼ CR2 . R
− +
C
vo R − + vi
Per il Problema 17.67.
17.68 Un certa rete ha ammettenza di ingresso Y ðsÞ. L’ammettenza ha un polo in s ¼ 3, uno zero in s ¼ 1 e Y ð1Þ ¼ 0:25 S.
R
+ −
Figura 17.84
− +
io R
Per il Problema 17.69.
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