ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 4
REGRESSIONSLINJEN: NIVÅ OCH LUTNING
1. En av regressionslinjerna nedan beskrivs av ekvationen 𝑦̂ = 20 + 2𝑥; en annan av ekvationen 𝑦̂ = 80 − 𝑥; en tredje av ekvationen 𝑦̂ = −20 + 3𝑥 och en fjärde av ekvationen 𝑦̂ = 20 + 0𝑥. Para ihop rätt regressionslinje med rätt diagram (A, B, C och D).
2. Nedan beskrivs fyra olika samband. Vilken variabel är beroende och vilken är oberoende i respektive fall? a. Är erfarna lärare bättre? Vi samplar slumpmässigt ett hundratal skolklasser i årskurs nio. Vi mäter mattelärarens erfarenhet i antal år (variabeln erfarenhet) och skolklassens genomsnittliga resultat på ett nationellt matteprov (variabeln matteprov). b. Har långa basketspelare högre lön är korta? För att besvara denna fråga samlar vi in data för ett hundratal professionella basketspelare, deras längd (variabeln längd) och lön (variabeln lön).
c. Ledde Tjernobylkatastrofen år 1986 till fler cancerpatienter? Vi samlar in data över radioaktivt nedfall (variabeln nedfall) för ~50 städer i Ukraina år 1986, där vissa städer drabbades hårdare än andra. För varje stad mäter vi andelen cancerpatienter (variabeln cancer) bland ungdomar som var i fosterstadiet år 1986. d. Du samlar in ett datamaterial för ett hundratal barn i syfte att mäta sambandet mellan barnets längd (variabeln längd) och föräldrarnas genomsnittliga längd (variabeln förlängd).
3. Arbetslösheten i Europa har länge legat på en högre nivå än den i USA. Många skyller detta på en tungrodd offentlig sektor och högt skattetryck. Kan det ligga någonting i detta? Spridningsdiagrammet nedan visar sambandet mellan skatteprocent och arbetslöshet i olika länder. Variabeln skatteprocent mäter skatteintäkterna som en procent av hela ekonomin; arbetslöheten mäter arbetslöshetsgraden i procent. Kovariansen mellan variablerna är 8,9061; genomsnittlig arbetslöshet är 8,4733 procent och den genomsnittliga skatteprocenten är 16,4505; standardavvikelsen för skatteprocenten är 6,1648 och standardavvikelsen för arbetslöshetsgraden är 5,5243.
a. Beskriv regressionslinjen med en regressionsekvation. Ge också en tolkning av koefficienten b i den här regressionen. b. Se fråga a: I Finland ligger skatten på 19,83 procent. Hur stor predikteras arbetslösheten vara i Finland?
4. Är resultaten sämre i stora skolklasser än i små? För att ta reda på detta har vi samplat 80 skolklasser och mätt antalet elever på klassen (variabeln elevantal) och klassens genomsnittliga betyg (variabeln betyg). Korrelationen mellan variablerna är -0,25; i snitt går det 20 elever på en klass och genomsnittligt
betyg är 7,5; standardavvikelsen för antalet elever på klassen är 2,5 och standardavvikelsen för variabeln betyg är 0,3. a. Beskriv regressionslinjen, dvs. vilka värden har a och b i ekvationen: ̂ = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙? 𝑏𝑒𝑡𝑦𝑔 b. Tolka koefficienten för elevantal. c. Rita upp regressionslinjen i diagrammet nedan. (Notera att axlarna inte börjar vid origo.) Skriv också ut variablernas namn på y- respektive x-axeln. 8 7.8 7.6 7.4 7.2 7 10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
5. Hur stiger VD:ns lön med antalet år på posten? För att besvara denna fråga använder vi ett sampel för 177 amerikanska företag år 1990. I regressionen nedan mäter variabeln lön VD:ns lön i tusentals dollar; erfarenhet mäter antalet år på posten. ̂ = 772,43 + 11,75𝑒𝑟𝑓𝑎𝑟𝑒𝑛ℎ𝑒𝑡 𝑙ö𝑛
a. Hur mycket högre predikteras lönen vara för en VD med 20 års erfarenhet i jämförelse med en purfärsk VD (dvs. 0 års erfarenhet)?
b. Tolka koefficienten för erfarenhet. c. Hur mycket ökar lönen i snitt då erfarenheten ökar med tio år? Femton år? d. Hur mycket ska arbetserfarenheten öka för att lönen ska stiga med hundratusen dollar? e. Som du ser från spridningsdiagrammet ovan så finns det en VD med en extra hög lön (5 299 000 dollar). Den här personen har 13 års erfarenhet. Hur stor är residualen för denna VD? f. En annan VD i samplet har två års erfarenhet och en lön på 471 000 dollar. Hur stor är residualen för denna VD?
REGRESSIONER MED DUMMYVARIABLER 6. Tar man ut mindre sjukskrivningar inom privat sektor? För enkelhetens skull tänker vi oss här att vi samplat 13 sjuksköterskor varav 6 jobbar inom offentlig sektor och 7 inom privat. För varje person har vi mätt antalet sjukskrivningsdagar under det senaste året. Data visas i datamatrisen nedan, där privat är en dummy som antar värdet 1 för personer som är anställda inom det privata och 0 annars; variabeln sjukskrivning mäter antalet sjukskrivningsdagar. id 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
privat 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
sjukskrivning 15 5 24 0 5 2 0 5 10 3 0 20 11
̂ Vilka värden har a och b i regressionen: 𝑠𝑗𝑢𝑘𝑠𝑘𝑟𝑖𝑣𝑛𝑖𝑛𝑔 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑝𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡
7. I en amerikansk studie jämförde man löner bland 534 arbetare varav 96 tillhörde facket. Data är för år 1985. Regressionslinjen ges av: ̂ = 8,64 + 2,16 ∙ 𝑓𝑎𝑐𝑘𝑒𝑡 𝑙ö𝑛 där variabeln lön mäter arbetarens timlön; facket är en dummy som antar värdet 1 för fackanslutna och 0 för övriga. Hur stor är den genomsnittliga timlönen
bland de fackanslutna? Bland dem som inte tillhör facket? Vad mäter koefficienten för facket?
8. På nästa sida hittar du en sammanfattning av en artikel. Läs sammanfattningen och ge en tolkning av det som är understruket i rött: a. Vad anger koefficienterna för x i dessa fall? (I artikeln betecknar man koefficienten för x med β.) b. Vilken eller vilka av de tre x-variablerna är dummy-variabler? (”Hypertension” heter ”högt blodtryck” på svenska.)
FÖRKLARINGSGRADEN 9. Se uppgift 4: Hur stor är förklaringsgraden? Beskriv också vad förklaringsgraden anger i det här sammanhanget.
10. Se uppgift 5: Här blir förklaringsgraden 0,020. Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna? a. Korrelationen mellan VD:ns lön och antalet år på posten är ~0,14. b. 2 procent av observationerna ligger på regressionslinjen. c. 2 procent av variationen i VD-löner kan förklaras av antalet år på posten.
LOGARITMERING 11. Det föds allt färre barn. En möjlig orsak är att kvinnor skjuter upp äktenskap och barnafödande och satsar på utbildning och karriär. Spridningsdiagrammet nedan visar sambandet mellan åldern då kvinnor gifter sig och antalet barn per kvinna för 175 länder. Variabeln ålder mäter den genomsnittliga åldern då kvinnor i landet gifter sig; antal barn mäter genomsnittligt antal barn per ̂ kvinna. Regressionslinjen ges av: ln(𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑏𝑎𝑟𝑛) = 2,97 − 0,082 ∙ å𝑙𝑑𝑒𝑟. Tolka koefficienten för ålder.
12. Vi har mätt risken för att åka fast samt brottsligheten i 89 amerikanska orter. Brottsligheten mäts som antalet brott per invånare; risken för att åka fast är andelen av alla brott som leder till ett arresterande. Sambandet kan beskrivas genom regressionen: ln(𝑏𝑟𝑜𝑡𝑡𝑠𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡) = −4,18 − 0,50 ∙ 𝑙𝑛(𝑟𝑖𝑠𝑘𝑎𝑡𝑡å𝑘𝑎𝑓𝑎𝑠𝑡). Vilken eller vilka av följande tre tolkningar är korrekt? a. Då risken för att åka fast ökar med en procent så minskar antalet brott per invånare i snitt med 0,5 procent. b. Då risken för att åka fast ökar med en procentenhet så minskar antalet brott per invånare i snitt med 0,5 procent. c. Då risken för att åka fast ökar med 10 procent så minskar antalet brott per invånare med 0,5 procent. d. Då risken för att åka fast ökar med 1 procent så minskar antalet brott per invånare med 5 procent.
13. Spridningsdiagrammet nedan visar sambandet mellan genomsnittlig BMI och inkomst per person i olika länder. (BMI mäter relationen mellan vikt och längd. Högre värden betyder att man väger mer relativt sin längd. BMI-värden på 18,525 räknas som ”normalviktig”; lägre värden som underviktig och högre som överviktig.) x-variabeln är inkomst per person i landet. En regressionslinje som beskriver sambandet ges av: ̂ = 12,55 + 1,43 ∙ 𝑙𝑛(𝑖𝑛𝑘𝑜𝑚𝑠𝑡) 𝐵𝑀𝐼 35
BMI
30 25 20 15 0
20000
40000
60000
80000
Inkomst per person
a. Den 10:e inkomstpercentilen är 1078 dollar per person. Prediktera BMI för ett land med denna inkomstnivå. b. Den 90:e inkomstpercentilen är 35 247 dollar per person. Prediktera BMI för ett land med denna inkomstnivå. c. I Finland är inkomsten 33 162 dollar per person. Hur hög predikteras genomsnittlig BMI vara i Finland? d. Se fråga c: Genomsnittlig BMI i Finland är 26,73. Hur stor är Finlands residual? e. Tolka koefficienten för ln(inkomst).
