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Vettori
• Le grandezze fisiche sono: scalari; vettoriali; … Def: Grandezza scalare = definita univocamente da un numero (positivo o negativo) (con opportuna unità di misura) es.: tempo, massa, temperatura, carica elettrica,… Def: Grandezza vettoriale = … (vd. pagina seguente) E’ caratterizzata, oltre che da un numero (positivo o negativo) (con opportuna unità di misura), da una direzione e da un verso. es.: spostamento, velocità, accelerazione, forza,…
Il prototipo delle grandezze vettoriali è lo spostamento
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Spostamento Def: Spostamento (di una particella) = cambiamento di posizione (della particella) nello spazio
A
B
Lo spostamento (da A a B) è completamente determinato dalla conoscenza dalla sua entità (numero positivo detto intensità o modulo), dalla direzione del segmento che unisce A con B e da un verso lungo tale direzione. Può essere rappresentato da un segmento che va dalla posizione iniziale (A) a quella finale (B) indipendentemente dal tragitto percorso Tragitto percorso Spostamenti uguali (stesse intensità,direzione versi)
Spostamento
• Le grandezze che si comportano come gli spostamenti vengono chiamate vettori (è la nostra definizione di vettore) • I vettori (come lo spostamento) soddisfano regole precise (non tutte le grandezze caratterizzate da un’intensità, una direzione e un verso sono dei vettori) Fisica Generale - L.Venturelli
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Notazioni vettoriali
grassetto
vettore
modulo
AB v
AB, AB v
V
V
Nella scrittura a mano:
vettore
modulo
V
v, V
Somma di vettori #1: metodo grafico Pensiamo agli spostamenti (da A a B e poi a C)
C
La somma del vettore a col vettore b dà il vettore s (detto somma, o risultante, dei vettori a e b). Si scrive: a+b=s a + b = s B
(
)
N.B. Non è una somma algebrica. Infatti
a+b ≠s
A
Proprietà della somma di vettori: Commutativa:
a +b =b +a
Regola del parallelogramma
Associativa:
(a + b ) + c = a + (b + c ) Fisica Generale - L.Venturelli
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La sottrazione: Def: Il vettore –b è = a b ma con verso opposto
b + (− b ) = 0
Vale:
Def: la differenza tra il vettore a e il vettore b, che indichiamo con (a-b), è la somma di a con –b
a − b = a + (− b )
Componenti dei vettori Oltre al metodo grafico (non sempre comodo), esiste un metodo analitico basato sulla scomposizione dei vettori in componenti Sistema di riferimento cartesiano
Def: componente di un vettore=proiezione del vettore su un asse Componenti cartesiane di a
a = a cosθ x
Le componenti di un vettore: • sono scalari (positivi o negativi) • considerate assieme definiscono univocamente il vettore
a = a sin θ y
a = a +a 2
2
x
y
tan θ = a / a y
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x
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Versori Def: Versore=vettore adimensionale unitario (di modulo=1) i, j, k sono i versori della terna cartesiana destrorsa (si indicano anche con iˆ, ˆj, kˆ )
Vettore in termini di componenti:
a = a x iˆ + a y ˆj + a z kˆ
Somma di vettori #2: metodo delle componenti Oltre che graficamente, i vettori possono essere sommati analiticamente.
r = a +b Possiamo scrivere: rx iˆ + ry ˆj + rz kˆ = a x iˆ + a y ˆj + a z kˆ + bx iˆ + by ˆj + bz kˆ = Consideriamo:
= (a x + bx )iˆ + (a y + by ) ˆj + (a z + bz )kˆ
E quindi:
r = (a + b x
x
x
y
y
y
z
z
z
r = (a + b
)
)
r = (a + b )
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(Poiché r è uguale ad (a+b), le componenti di r devono essere uguali a quelle di (a+b))
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Prodotto di vettori • Prodotto di uno scalare con un vettore: ca con c=1.4
Def: Il prodotto di uno scalare (c) con un vettore (a) è un vettore (ca) con modulo=al prodotto del valore assoluto di c con il modulo di a, con direzione=a quella di a e verso concorde se c>0 e opposto se c<0. ca con c=-0.5
• Prodotto di vettore con un vettore: •• Prodotto scalare (di 2 vettori): c = a ⋅ b Def: Il prodotto scalare di un vettore a con un vettore b è uno scalare (che si scrive a·b e si pronuncia “a scalar b”) che vale:
a ⋅ b = a b cos φ N.B. Il puntino
con a e b i moduli di a e b e φ è l’angolo tra a e b Risulta: 1.
Uguale al prodotto del modulo di un vettore per la componente dell’altro:
a ⋅ b = a (b cosφ ) = (a cosφ )b 2.
Due vettori ortogonali danno prodotto scalare nullo. In particolare:
iˆ ⋅ ˆj = iˆ ⋅ kˆ = ˆj ⋅ kˆ = 0
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( mentre iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1)
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4.
In termini di componenti cartesiane:
(
)(
)
a ⋅ b = a iˆ + a ˆj + a kˆ ⋅ b iˆ + b ˆj + b kˆ = x
y
z
x
y
z
= a b iˆ ⋅ iˆ + a b ˆj ⋅ ˆj + a b kˆ ⋅ kˆ = x
x
y
y
z
z
=a b +a b +ab x
5.
x
y
y
z
z
Il coseno dell’angolo tra i 2 vettori:
cosφ =
a ⋅b a b + a b + a b = ab ab x
x
y
y
z
z
••Prodotto vettoriale (di 2 vettori): c = a × b Def: Il prodotto vettoriale di un vettore a con un vettore b è un “vettore” c (che si scrive a x b e si pronuncia “a vettor b”) che ha: • modulo c = a × b = a b sin φ • direzione perpendicolare al piano formato da a e b • verso dato dalla regola della mano destra Risulta: 1. 2.
(a × b ) = −(b × a )
(non è commutativo)
Due vettori paralleli danno prodotto vettoriale nullo. In particolare: iˆ × iˆ = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = 0 Mentre
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( ( (
iˆ × ˆj = kˆ ˆj × iˆ = − kˆ ˆj × kˆ = iˆ kˆ × ˆj = −iˆ kˆ × iˆ = ˆj iˆ × kˆ = − ˆj
) ) ) VETTORI
3.
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In termini di componenti cartesiane:
(
) (
)
a × b = a iˆ + a ˆj + a kˆ × b iˆ + b ˆj + b kˆ = x
y
z
x
y
z
= a b iˆ × iˆ + a b iˆ × ˆj + a b iˆ × kˆ + x
x
x
y
x
z
+ a b ˆj × iˆ + a b ˆj × ˆj + a b ˆj × kˆ + y
x
y
y
y
z
+ a b kˆ × iˆ + a b kˆ × ˆj + a b kˆ × kˆ = z
x
z
y
z
z
= a b kˆ − a b ˆj − a b kˆ + a b iˆ + a b ˆj − a b iˆ = x
y
x
z
y
x
y
z
z
x
z
y
= (a b − a b )iˆ + (a b − a b ) ˆj + (a b − a b ) kˆ y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
Può essere facilmente ricordato col determinante:
iˆ
ˆj
a ×b = a
x
a
x
b
b
kˆ
y
a =
y
b
z
z
= iˆ(a b − a b ) − ˆj (a b − a b ) + kˆ (a b − a b y
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z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
)
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Problema svolto 3.7 (modificato). Il vettore a nel piano xy forma un angolo di 250° con l’asse delle x ed ha modulo pari a 18,0 unità. Il vettore b ha modulo pari a 12,0 unità ed è diretto lungo l’asse z. Calcolare il prodotto scalare ed prodotto vettoriale axb Il prodotto scalare vale:
a ⋅ b = ab cos φ = ab cos 90° = (18)(12 )(0 ) = 0 (a e b sono ortogonali) Per il prodotto vettoriale: • I modo: il modulo vale:
c = a × b = ab sin φ = (18)(12 )sin 90° = 216,0
direzione e verso con la regola del prodotto vettoriale: si ottiene che sta nel piano xy e forma, rispetto all’asse delle x, un angolo=250º-90º=160º. Graficamente si ottiene • II modo: Determiniamo analiticamente c: Poiché
a = 18,0 cos 250° = −6,2;
b =0
a = 18,0 sin 250° = −16,9;
b =0
a =0
b = 12,0
x
y
z
x
y
z
Otteniamo:
a × b = [(− 16,9 )(12,0 ) − (0 )(0 )]iˆ + [(0 )(0 ) − (− 6,2 )(12,0 )] ˆj + + [(− 6,2 )(0 ) − (− 16,9 )(0 )]kˆ = −202,8iˆ + 74,4 ˆj
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