Topografia e Tecniche di Rilevamento

Topografia e Tecniche di Rilevamento Richiami Utili al Corso

Metodi Tradizionali di Rilevamento Topografico Il rilevamento satellitare GPS (Global Positioning System) Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni

Definizioni. Le misure in topografia. Principi di statistica: le variabili aleatorie. Distribuzione di Gauss. Il metodo delle Osservazioni Indirette. Le superfici di riferimento in topografia. Le osservabili nel rilevamento topografico (angoli, distanze e dislivelli) Rilievo planimetrico: soluzioni tradizionali e calcolo con le Osservazioni Indirette. Rilievo altimetrico: soluzioni tradizionali e calcolo con le Osservazioni Indirette. Inserimento delle misure nei sistemi di riferimento locali e nella cartografia.

Funzionamento del sistema. Tecniche di posizionamento. Precisioni raggiungibili. Applicazioni. Sistemi di riferimento e reti di stazioni GPS permanenti.

Movimenti del suolo. Movimento delle strutture: Controlli e Collaudi tipici dell’ingegneria edile/civile.

Definizioni Generali (1/2) Topografia

Insieme delle procedure teoriche ed operative finalizzate al rilievo (rilevamento) di aree di limitata estensione e degli oggetti, naturali ed antropici, inclusi. Rilevamento

Geodesia

Superficie di riferimento

Presuppone la determinazione delle posizioni relative ed assolute di punti rappresentativi della zona che siano in grado di rappresentare il territorio e/o gli oggetti contenuti con un livello di dettaglio che è funzione degli scopi del rilievo stesso ed è correlato alla scala del rilievo o della successiva rappresentazione.

Disciplina che si occupa di definire la forma e la dimensione della Terra attraverso teorie e procedure operative (una di queste è la Topografia). La rappresentazione di aree più o meno estese della superficie terrestre richiede l’adozione di una superficie di riferimento e di un sistema di coordinate in grado di identificare la posizione dei punti rilevati e stabilire delle relazioni analitiche fra gli stessi. 1. 2. Caratteristiche 3.

Tipologie

essere di semplice formulazione matematica; approssimare nel miglior modo possibile la forma e la dimensione della porzione di superficie terrestre su cui è svolto il rilievo; consentire l’adozione di un sistema di coordinate per la rappresentazione dei punti rilevati sul territorio.

Ellissoide, sfera, piano

Definizioni Generali (2/2) Cartografia

Disciplina che ricerca e stabilisce le procedure che consentono di rappresentare sul piano la superficie terrestre e le caratteristiche degli oggetti presenti.

Sistema Informativo Territoriale

Contenitore di dati territoriali con capacità aggiuntive elaborare le informazioni geografiche di base secondo diversi livelli di complessità; di produrre nuove informazioni utili alla gestione del territorio in senso ampio (ambientale, politico, urbanistico, socio-economico ecc.).

Geographical Information System

Strumento (ambiente di lavoro, software) che consente di creare e gestire un SIT.

Richiami (1/3) Distanze

Misure Topografiche

Metro (numero multiplo della lunghezza d’onda dell’elemento chimico Cripto86)

Sistemi Analitici

Radiante (valore dell’angolo sotteso da un arco di circonferenza che presenta una lunghezza uguale al raggio della stessa)

Angoli Grado sessagesimale (circonferenza 360°) Sistemi Geometrici Grado centesimale (circonferenza 400°)

r   2 360

2  r      0,017453293   360      360  r  57,29577951 r  2

Richiami (2/3) y r

Funzioni di un angolo

α

x

cos  

x r

tan  

sin  y y     arctan cos  x x

sin  

y r

   tan   

Risoluzione di Triangoli Piani

β

a γ

c α

 90  arctan   90

Relazione tra gli angoli interni

      180

Teorema dei Seni

a b c    2R sin  sin  sin 

Teorema delle Proiezioni

a  b cos   c cos 

Teorema di Carnot

a 2  b 2  c 2  2bc cos 

b

Richiami (3/3) Sistematici

Errori nelle misure Casuali

Precisione ed Accuratezza

Precisione

Accuratezza

Derivano da un difetto strumentale o dalla incorretta rettifica delle parti costituenti. Non possono essere individuati a partire dalle misure eseguite. Dato dalla somma di tanti fattori concomitanti, si presenta ad ogni determinazione spostandola dal valore vero che rimane puramente teorico.

Quantifica lo scostamento tra misure (o osservazioni) successive Quantifica la vicinanza al valore reale della grandezza misurata

Cenni di Statistica (1/3) Grandezze Mono Dimensionali

Grandezza x n misure di uguale precisione

Grandezza x n misure di diversa precisione

pi 

 02  i2

n

Media delle misure

x1  x2  ...  xn 1 n x  x   xi n n i 1

x p  x p  ...  xn pn xp  1 1 2 2  xp  p1  p2 ...  pn

x p i 1 n

Varianza della Media

1 n xi  x 2    n  1 i 1 2 x

n

1 xi  x 2    nn  1 i 1 2 x

1 n 2   pi xi  xp   n  1 i 1 2 x

  2 xp

 p x  x  n

1 n

(n  1) pi

i 1

2

i

i

i 1

Scarto Quadratico Medio (Deviazione Standard)

1 n xi  x 2 x   n  1 i 1

1 n 2 x  pi xi  xp   n  1 i 1

p

i

p i 1

Varianza della misura

i

i

Cenni di Statistica (2/3) Grandezze Multi Dimensionali Covarianza Matrice di VarianzaCovarianza

Nei problemi del rilevamento (topografia, geodesia, rilevamento satellitare, fotogrammetria, ecc.) si effettuano diverse misure (osservazioni) per determinare i parametri incogniti del problema (che normalmente sono le coordinate dei punti). Tali misure non possono essere trattate singolarmente sia a causa dell’effetto che hanno l’una sull’altra, sia per la dipendenza statistica presente tra di esse.  xy 

1 n 1

C( x, y , z )

i1xi  x  yi  y  n

 x2  xy  xz   yx  y2  yz  zx  zy  z2

Caratteristiche

Coefficiente di Correlazione

 xy   yx 

 xy  x y

Misura il grado di correlazione tra coppie di variabili (a due a due) che definiscono una grandezza n-dimensionale Contiene informazioni complete sugli errori associati alle variabili stimate

1. 2. 3.

la matrice è simmetrica; gli elementi diagonali sono positivi; la matrice non deve essere singolare (ossia la matrice deve essere invertibile, ossia il determinante deve essere ≠ 0). Misura la forza della correlazione tra due variabili

1    0 Casi possibili

 0 0   1

Correlazione negativa Non correlazione Correlazione positiva

Cenni di Statistica (3/3) Probabilità p(x)

Rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili Limiti

Frequenza f(x)

n

Probabilità Composta

il numero dei casi possibili deve essere finito; gli eventi devono essere equi-probabili.

Rapporto tra nx (numero di casi in cui si verifica l’evento) e ntot (numero di repliche totali)

lim f ( x)  p ( x)

Probabilità Totale

1. 2.

p( x  y )  p( x)  p( y )

All’aumentare del numero di repliche totali la frequenza f(x) dell’evento x si stabilizza e tende alla probabilità p(x) dello stesso evento

Probabilità che uno dei due eventi si verifichi

x, y sono eventi non correlati

p ( xy )  p ( x) p ( y )

Probabilità che entrambi gli eventi si verifichino

Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali (1/2) Distribuzione di Gauss

Si può dimostrare che gli errori casuali di misura appartengono ad una distribuzione gaussiana del tipo N(0, σ2), ossia con media 0 e varianza σ2. Quindi le misure appartengono ad una distribuzione gaussiana del tipo N(μ, σ2).

Densità di Probabilità

È la funzione che rappresenta la dispersione di misure soggette ad errori casuali. Identifica la probabilità che un certo evento si verifichi.

f ( x) 

Caratteristiche

1. 2. 3. 4.

1 e 2 

1  x     2  

2

il valore medio μ è anche il più probabile; ha due flessi in corrispondenza dei punti μ±σ; al crescere di σ2 (determinazioni meno precise) la curva si appiattisce;  la funzione è tale che  f ( x)dx  1

Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali (2/2) Densità di Probabilità

Consente di calcolare la probabilità che una misura x cada nell’intervallo dei valori A – B

B

P( A  x  B)  f ( B)  f ( A)   f ( x)dx A

Px  ( x1 , x2 ) 

x2



x1

u

Probabilità degli intervalli particolari

x



1 e 2 

1  x     2  

1

1  2u2  f (u )  e 2

2

dx

L’integrale può essere calcolato ma dipende dal set di misure effettuato (μ, σ). Per svincolarsi da questa condizione, si procede alla standardizzazione della funzione con l’introduzione della variabile normalizzata u.

1  1 1  2 u 2  P[ x  (    ,    )]  1 e du  68,27% 2   1 1 2  2u2   P[ x  (   2 ,   2 )]  2 e du  95,45% 2   1 1 3  2 u 2   P[ x  (   3 ,   3 )]  2 3 e du  99,73% 

Tutte le misure x per cui vale la condizione |x – μ|>3σ possono essere considerate affette da errore grossolano (condizione di tolleranza).

Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (1/3) Grandezza fisica x

n misure (x1, x2, …, xn)

Funzione di Verosimiglianza

1. 2. 3.

stima del valore più plausibile della grandezza fisica x; stima della varianza di ogni misura (x1, x2, …, xn); stima della varianza del valore più plausibile.

È la densità di probabilità della variabile aleatoria x e rappresenta la probabilità che tale evento si manifesti.

n

L x1 ,..., xn   f1  x1   f 2  x2   ...  f n  xn    f i  xi  i 1

Criterio di Massima Verosimiglianza

x può essere considerata una variabile aleatoria ndimensionale in cui le n determinazioni sono tutte indipendenti e soggette a sole fluttuazioni casuali

le singole funzioni di probabilità contengono ovviamente i valori di media e varianza del campione

I parametri incogniti (media e varianza) sono quelli che massimizzano la funzione di verosomiglianza.

Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (2/3) Misure di Peso Uguale (stessa precisione)





n

P x1 , x2 , ..., xn ,  ,  2   i 1

1 e 2 



 xi   2 2 2



1

2 

2 n2



e

n

1 2

2

  xi   2 i 1

Si scrive la funzione nella sua forma logaritmica

n n 1 n 2 ln P   ln 2  ln  2  2   xi    2 2 2 i 1

I valori cercati si trovano uguagliando a zero le derivate parziali di ln P rispetto a μ e σ

  ln P 1 n 1 n      2   xi     0   n  xi   i 1 i 1    n 1 n 2 2   ln P   n  1     xi   2  xi     0  2 2 4    n i 1 2 2 i 1

La stima della varianza va corretta in quanto gli scarti rispetto alla media non sono tutti indipendenti tra loro, per cui i gradi di libertà sono n – 1.

1 n xi  ˆ 2 s   n  1 i 1 2

Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria (3/3) Misure di Peso Diverso (diversa precisione)





n

P x1 , x2 , ... , xn ,  ,  12 ,  22 , ... ,  n2   i 1

1 e 2  i



( xi   ) 2 2 i2





1 n

2    i n2

i 1

Introducendo i pesi e supponendo di conoscere le varianze delle singole misure

Con un procedimento analogo a quello precedente, si determinano i valori di μ e σ

 02  02 2 pi  2   i  i pi n

P( x1 , x2 , ... , xn ,  ,  12 ,  22 , ...,  n2 ) 

1 n  pi xi    n  pi i 1  i 1   1 n 2 2  s0  pi  xi      n  1 i 1

p

12 i

i 1

2  

2 n2 0



e

n

p  x   2 2 i i 2 0 1

i 1

e

n 1  xi      2 i 1   i 



2

Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali (1/2)

Variabili casuali (x, y) indipendenti

f ( x, y ,  x ,  y ) 

1 2  x

 x   x 2 

e

2 x2





1 2  y

e



 y   y 2 2 y2



1 2  x y

e

2 y y 1  xx     2 2 x  y2 

Le coordinate di un punto possono essere trattate come una variabile bidimensionale e la loro determinazione introduce delle correlazioni proprio in funzione delle modalità operative svolte. Quindi la formulazione della densità di probabilità cambia con introduzione del coefficiente di correlazione.

 

 

 

f  x, y dxdy  1

2  

Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali (2/2) Per le applicazioni di interesse al rilevamento è utile analizzare le curve che si ottengono dall’intersezione della superficie con piani z = f(x,y) = costante. Si può dimostrare che, in presenza anche delle covarianze trascurate nella formulazione, la figura di intersezione è un’ellissi la cui dimensione dipende dalla definizione del piano a z costante.

Ellisse Standard

Rappresenta l’area all’interno della quale si ha il 39% della probabilità di un individuo estratto a caso per quella popolazione (di variabili bidimensionali). Se l’ellisse ha semiassi doppi la probabilità sale al 86% mentre per ellissi con semiassi tripli questa diventa del 99%.

a2  b2 

 

1 2

2 x

 

  y2 

2

2 x

 

  y2 

  arctan

Ellisse d’Errore

2 x

2 xy

2 x

2

 y2   x2



  y2  4 xy2 2



  y2  4 xy2 2

I valori di σx, σy e σxy possono essere ricavati dalla matrice di varianza-covarianza. Quando tra le variabili non vi è correlazione (σxy = 0) l’ellisse presenterà gli assi paralleli agli assi coordinati.

Definisce la probabilità di un punto di coordinate (x, y) di cadere all’interno dell’ellissi stessa. Questo consente di quantificare la precisione del calcolo e quindi la significatività delle misure.

Propagazione Pitagorica degli Errori Consente di valutare gli errori di variabili ottenute dalla combinazione di altre variabili (ad esempio valori misurati) a loro volta soggetti ad errori nella determinazione. La propagazione di un errore lungo una formula o un criterio comporta un aumento dell’incertezza finale.

Funzione Lineare

x  ay  bz  ct   x2  a 2 y2  b 2 z2  c 2 t2 2

Funzione non Lineare

 f   f   f  x  f  y, z , t        y2     z2     t2  z   t   y  2 x

2

2

Nel caso di variabili non indipendenti occorre conoscere anche la covarianza che lega le varie coppie di variabili

Test del Chi-Quadro (χ2) Permette di confrontare una serie di dati osservati sperimentalmente con la serie dei dati attesi in base a un’ipotesi teorica (ipotesi nulla H0) e di stimare la bontà di questa ipotesi. Il problema statistico è di poter dedurre se la differenza è trascurabile e quindi probabilmente dovuta solo al caso (ipotesi nulla H0), oppure se è di dimensione tali da fare più ragionevolmente supporre una distribuzione realmente diversa da quella attesa (ipotesi alternativa H1).

Serie di Dati Osservati Oi

Distribuzione Associata ad una Grandezza Misurata

1 n Oi  Ei     d i 1 Ei

2

2

Serie di Dati Attesi

Ei

Distribuzione Teorica (p.e. Distribuzione Gaussiana)

Gradi di Libertà d

Per dare una significatività al risultato del test occorre fissare un livello di probabilità da associare al risultato del test stesso. Di solito questo livello viene posto al 1% o 5% (0,01 o 0,05 rispettivamente).

Differenza tra numero delle osservazioni e numero delle incognite