POLITECNICO DI BARI CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE
TOPOGRAFIA E TECNICHE DI RILEVAMENTO FRANCESCO MANCINI (
[email protected])
NOTA: la dispensa intende illustrare le potenzialità delle misure topografiche tradizionali e GPS nella risoluzione di alcuni problemi tipici del rilevamento applicato all’ingegneria. In particolare la dispensa è finalizzata alla descrizione del trattamento dei dati senza scendere nel dettaglio della strumentazione utilizzata. Questo per dare allo studente la capacità di interpretare i risultati di un’operazione di rilievo (controllo, collaudo o monitoraggio) in termini di accuratezza dei dati, dei risultati e di affidabilità complessiva del lavoro svolto.
VERSIONE 1.3 DEL 10/01/2013
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Sommario RICHIAMI UTILI AI FINI DEL CORSO ......................................................................................................... 1 Definizioni generali ....................................................................................................................................... 1 L’espressione di distanze ed angoli ............................................................................................................... 3 CENNI SULLA TEORIA DEGLI ERRORI ................................................................................................................... 6 Il concetto di probabilità ............................................................................................................................... 8 Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali ............................................................................... 9 Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria ...................................................................... 10 Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali ................................................................................... 14 Propagazione degli errori ........................................................................................................................... 16 Test di significatività: il test 2 .................................................................................................................... 17 IL METODO DELLE OSSERVAZIONI INDIRETTE .................................................................................. 20 CRITERIO DEI MINIMI QUADRATI ...................................................................................................................... 21 PRECISIONE DEI RISULTATI OTTENUTI ............................................................................................................... 23 Stima a posteriori della varianza dell’unità di peso σ02 .............................................................................. 24 Equazioni alle osservazioni non lineari ...................................................................................................... 24 LE OSSERVABILI IN TOPOGRAFIA ............................................................................................................ 26 LE SUPERFICI DI RIFERIMENTO NELLE SCIENZE GEODETICO-TOPOGRAFICHE ..................................................... 26 Coordinate curvilinee sull'ellissoide e cartesiane tridimensionali .............................................................. 33 Soluzioni approssimate per le superfici di riferimento ................................................................................ 36 LE MISURE TOPOGRAFICHE TRADIZIONALI: DISTANZE, ANGOLI E DISLIVELLI .................................................... 37 Misura degli angoli ..................................................................................................................................... 37 Misura di distanze ....................................................................................................................................... 39 Misure dei dislivelli ..................................................................................................................................... 44 I METODI DI RILEVAMENTO TRADIZIONALI........................................................................................ 46 RILIEVO PLANIMETRICO CON MISURA DI ANGOLI E DISTANZE ........................................................................... 46 Misura delle direzioni uscenti da un punto ................................................................................................. 46 Metodi di riattacco e raffittimento ............................................................................................................... 47 Utilizzo delle osservazioni indirette nei metodi di riattacco ....................................................................... 51 Utilizzo delle osservazioni indirette nelle misure di distanza ...................................................................... 60 Utilizzo delle osservazioni indirette nelle misure di angoli e distanze ........................................................ 65 RILIEVO ALTIMETRICO ...................................................................................................................................... 69 Livellazione geometrica dal mezzo .............................................................................................................. 69 Utilizzo delle osservazioni indirette nelle reti altimetriche ......................................................................... 74 STIMA A PRIORI DELLA MATRICE DI VARIANZA COVARIANZA ........................................................................... 78 Progettazione di reti planimetriche ............................................................................................................. 78 VALUTAZIONE DELLA VARIANZA E COVARIANZA CON MISURE STRETTAMENTE NECESSARIE ........................... 81 INSERIMENTO DELLE MISURE PLANO-ALTIMETRICHE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO: MINIMI VINCOLI E VINCOLI SOVRABBONDANTI ............................................................................................................................................ 84 MISURE PER IL CONTROLLO DEI MOVIMENTI E DELLE DEFORMAZIONI................................. 86 MOVIMENTI DEL SUOLO .................................................................................................................................... 87 MOVIMENTI O DEFORMAZIONI DI STRUTTURE ................................................................................................... 90 Collaudo di una trave appoggiata ............................................................................................................... 90 Collaudo di ponti e viadotti ......................................................................................................................... 91 Altri collaudi................................................................................................................................................ 93 Controlli in corso d’opera ........................................................................................................................... 95 Controllo di stabilità di edifici pregevoli .................................................................................................... 95 Controllo di muri di sostegno e di versanti interessati da gallerie ............................................................. 96
ii Utilizzo di sensori a fibra ottica (FOS) ....................................................................................................... 98 I METODI DI RILIEVO TRAMITE GPS (GLOBAL POSITIONING SYSTEM) ..................................... 99 Il segmento spaziale .................................................................................................................................... 99 Il Segmento di Controllo............................................................................................................................ 101 Il Segmento di Utilizzo............................................................................................................................... 102 IL SEGNALE GPS ............................................................................................................................................. 103 La modulazione del segnale GPS con i codici C/A e P ............................................................................. 104 OSSERVABILI GPS: CODICI E FASI .................................................................................................................. 107 IL POSIZIONAMENTO ASSOLUTO ..................................................................................................................... 108 Posizionamento assoluto con misura dei codici ........................................................................................ 108 Posizionamento assoluto con misura delle fasi ......................................................................................... 112 ERRORI NEL POSIZIONAMENTO GPS................................................................................................................ 115 IL POSIZIONAMENTO DIFFERENZIALE (DGPS) ................................................................................................ 119 DGPS con utilizzo dei codici ..................................................................................................................... 119 DGPS con utilizzo delle fasi ...................................................................................................................... 122 Reti per la gestione delle correzioni differenziali (Network RTK) ............................................................ 123 IL POSIZIONAMENTO RELATIVO ...................................................................................................................... 126 Posizionamento relativo con utilizzo delle fasi.......................................................................................... 127 Posizionamento relativo statico con l'uso delle fasi .................................................................................. 129 Posizionamento relativo cinematico con l'uso delle fasi ........................................................................... 132 Trattamento dei dati GPS: calcolo dei vettori baseline............................................................................. 136 Compensazione delle reti GPS con il metodo dei minimi quadrati ........................................................... 140 ELEMENTI UTILI ALLA PROGETTAZIONE DELLE MISURE GPS .......................................................................... 142 IL SISTEMA DI RIFERIMENTO NEL GPS ............................................................................................................. 144 Trasformazione tra coordinate e sistemi di riferimento ............................................................................ 146 MISURE ALTIMETRICHE CON IL GPS ............................................................................................................... 147 RETI DI STAZIONI GPS PERMANENTI ............................................................................................................... 149 MONITORAGGIO STRUTTURALE CON TECNICA GPS RELATIVA ........................................................................ 152 Funzionamento del sistema ....................................................................................................................... 154
Testi Utili Cina A. 2002. Trattamento delle misure topografiche, teoria ed esercizi. Celid, Torino. Cina A. 2000. GPS. Celid, Torino. Bezoari G., Monti C., Selvini A. 2002. Topografia generale con elementi di geodesia. UTET, Torino, pp. 445.
Richiami utili ai fini del corso
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Richiami utili ai fini del corso Definizioni generali Esistono diverse discipline che si occupano di problemi connessi con la determinazione e rappresentazione del mondo reale, delle sue caratteristiche naturali ed antropiche e dei fenomeni che hanno luogo sul territorio. Tra queste, ai fini del presente corso, occorre introdurre la topografia, la geodesia e la cartografia. La Topografia può considerarsi come l'insieme delle procedure teoriche ed operative finalizzate al rilievo (rilevamento) di aree di limitata estensione e degli oggetti, naturali ed antropici, inclusi. In particolare il termine rilevamento presuppone la determinazione delle posizioni relative ed assolute di punti rappresentativi della zona che siano in grado di rappresentare il territorio e/o gli oggetti contenuti con un livello di dettaglio che è funzione degli scopi del rilievo stesso. Tale dettaglio è di norma correlato alla scala del rilievo o della successiva rappresentazione. Dalla necessità di definire la posizione di punti (attraverso l'utilizzo di coordinate che si vedranno) deriva quella di definire dei sistemi di riferimento in cui inquadrare i punti rilevati e stabilire tra loro le relazioni analitiche. La Geodesia può invece essere definita come la disciplina che si occupa di definire la forma e la dimensione della terra attraverso teorie e procedure operative. In queste ultime può essere compresa la Topografia. In ogni caso la rappresentazione di aree più o meno estese della superficie terrestre richiede l’adozione di una superficie di riferimento e di un sistema di coordinate in grado di identificare la posizione dei punti rilevati e stabilire delle relazioni analitiche fra gli stessi. La superficie di riferimento adottata deve presentare alcune caratteristiche fondamentali:
essere di semplice formulazione matematica; approssimare nel miglior modo possibile la forma e la dimensione della porzione di superficie terrestre su cui e svolto il rilievo; consentire l’adozione di un sistema di coordinate per la rappresentazione dei punti rilevati sul territorio.
Richiami utili ai fini del corso
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Si vedrà come in funzione degli obiettivi del rilievo (e soprattutto dell’estensione su cui questo si svolge) potranno essere scelte come superfici di riferimento l'ellissoide, la sfera locale o un piano tangente ad un punto contenuto nella porzione di territorio rilevato. La Cartografia è invece quella disciplina che ricerca e stabilisce le procedure che consentono di rappresentare sul piano la superficie terrestre e le caratteristiche degli oggetti presenti. La Cartografia tradizionale, attraverso i metodi di produzione, genera delle “carte” o “mappe” con scale e formati diversi. A partire dagli anni ’90 comincia la produzione cartografica su supporto digitale. La Cartografia numerica in sostanza produce mappe digitali che sono simili come contenuto informativo a quelle tradizionali, ma che possono essere visualizzate “a monitor” con tutti i vantaggi legati al formato digitale dei dati. La cartografia numerica si basa sul dato vettoriale, che contrappone a quello raster. Negli stessi anni viene introdotto il concetto di Sistema Informativo Territoriale (SIT). Attraverso questo strumento vengono superate le potenzialità della Cartografia tradizionale e di quella numerica, in quanto esso prevede la gestione di tutti i dati territoriali in un unico ambiente (software) di lavoro. Tuttavia la cartografia (nei suoi vari formati) rappresenta la base per la realizzazione dei Sistemi Informativi Territoriali. Il SIT rappresenta quindi un contenitore di dati con le capacità aggiuntive di elaborare le informazioni geografiche di base secondo diversi livelli di complessità e di produrre nuove informazioni utili alla gestione del territorio in senso ampio (ambientale, politico, urbanistico, socio-economico ecc.). Gli strumenti che consentono di creare e gestire un SIT sono chiamati GIS (Geographical Information System). Quindi, mentre il SIT va inteso come il prodotto, il GIS rappresenta l’ambiente di lavoro, ovvero l’applicativo software utilizzato.
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L’espressione di distanze ed angoli
Sottomultipli
Multipli
Le misure (osservazioni) che vengono realizzate durante un rilievo topografico sono di due tipi: angoli e distanze. In generale, una qualsiasi misura è realizzata mediante il confronto fra due grandezze omogenee una delle quali rappresenta quella di riferimento (grandezza campione). Angoli e distanze sono anche utilizzati per esprimere le coordinate dei punti sulla superficie terrestre e necessitano quindi di un approfondimento. Per le lunghezze ad esempio la grandezza campione, ovvero il metro, è identificata in modo univoco come un numero multiplo della lunghezza d'onda dell'elemento chimico Cripto86. Per rappresentare tutte le grandezze misurabili attraverso l'unità-metro sono definiti multipli e sottomultipli del metro espressi attraverso la potenze del dieci: Prefisso Deca Etto Kilo Mega Giga Tera Deci Centi Milli Micro nano pico
Fattore 10 102 103 106 109 1012 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12
Simbolo Da h K M G T d c m µ n p
Per la misura degli angoli possono essere adottati sistemi analitici e sistemi geometrici. Per la loro definizione consideriamo due semirette che hanno origine da un punto e tracciamo un tratto di circonferenze di raggio R che definisce, dall'intersezione con le semirette, un arco di lunghezza S. Il rapporto S/R, non dipendente dal valore del raggio, è una misura dell'angolo nel sistema analitico. Se S=R l'angolo viene definito radiante. Il radiante quindi può essere definito come il valore dell'angolo sotteso da un arco di circonferenza che presenta una lunghezza uguale al raggio della stessa. In questo sistema si ha che:
angolo giro = 2π angolo piatto = π angolo retto = π/2
Il sistema analitico tuttavia non si presta a calcoli speditivi o nella definizione di un sistema di coordinate. Nella pratica del rilievo topografico viene invece utilizzato il sistema geometrico dove una circonferenze viene suddivisa in n parti uguali. Nel sistema geometrico, in relazione al numero di suddivisioni dell'angolo giro si definiscono i sistemi sessagesimale e centesimale. Nel sistema sessagesimale la circonferenze è suddivisa in 360 parti uguali la cui ampiezza rappresenta il grado sessagesimale. Ogni grado è poi diviso in 60 primi sessagesimali ed ogni primo in 60 secondi sessagesimali. Le frazioni sono invece decimali (Esempio α = 58°14'38",12). Nel sistema centesimale la circonferenza viene invece suddivisa in 400 parti che rappresentano i gradi centesimali. Ogni grado è poi diviso in 100 primi centesimali ed ogni primo in 100 secondi centesimali (esempio α = 37g15c78cc,12). Questo sistema, pur presentando delle facilitazioni nel calcolo rispetto al precedente, non consente di
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esprimere alcuni angoli notevoli se non attraverso l'uso di numeri periodici. I goniometri degli strumenti topografici (parte deputata alla misura degli angoli) prevedono entrambi i sistemi di misura, anche se quello centesimale è maggiormente diffuso. Da ciò nasce la necessità di trasformare gli angoli da un sistema all'altro considerando una relazione del tipo: 2 r 0,017453293 radianti 360 360 r 2 360 57,29577951 r 2 che rappresenta la relazione fra gradi sessagesimali e centesimali (e viceversa). Esempio Si vuole trasformare il seguente angolo dal sistema sessagesimale nel sistema analitico: α = 31°15'10'',12 Come prima operazione si deve trasformare l'angolo in gradi e frazioni decimali. Si converte poi nel sistema analitico usando il corretto fattore di conversione fra i due sistemi.
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2 r 31,25281111 0 ,54546445 360
15 10,12 31,25281111 60 3600
Volendo trasformare l'angolo nuovamente in gradi e frazioni decimali basta moltiplicare per lo stesso fattore di conversione (2π/360) invertito. Analogamente per la trasformazione dal sistema analitico al sistema centesimale si sfrutta la relazione: r g 2 400 g
mentre per la trasformazione fra sistema sessagesimale e centesimale 360
g 400
g
9 g 10
Funzioni di un angolo Presa una circonferenza di raggio r ed una direzione uscente che formi un angolo con l'asse delle ascisse, si definiscono alcune fondamentali funzioni trigonometriche che saranno utili nella comprensione dei problemi topografici da affrontare durante il corso. x r y sen r sen y sen tg arctg cos x cos cos
dove tg e 90 arctg 90 . Inoltre si ricordi che la derivata prima della funzione arctg vale
d 1 arctg ( x) . dx 1 x2
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Risoluzione di triangoli piani Consideriamo un triangolo piano di lati a, b e c con angoli opposti a tali lati α, β, e γ ed R il raggio del cerchio circoscritto. Esistono delle relazioni che legano tali elementi di notevole utilità nella risoluzione dei problemi della topografia.
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relazione fra angoli interni
a b c 2R sen sen sen
teorema dei seni
a b cos c cos
teorema delle proiezioni
a 2 b 2 c 2 2bc cos
teorema di Carnot
Queste formule consentono la risoluzione di triangoli piani se tre elementi, tra cui almeno un lato, sono noti. Precisione ed Accuratezza delle osservazioni Sono due termini spesso confusi ma che hanno un significato differente. In generale la precisione quantifica la capacità di ripetere un’osservazione (o una misura) senza discostarsi molto dalla precedente. L’accuratezza invece quantifica la capacità di un’osservazione (o di una misura) di avvicinarsi al valore reale della grandezza ricercata. Consideriamo l’esempio del bersaglio al quale si spara per un certo numero di volte. Colpi molto vicini tra loro saranno indice di precisione mentre colpi che cadono in prossimità del centro del bersaglio indicano una esecuzione più o meno accurata. Si possono presentare le seguenti situazioni:
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Cenni sulla teoria degli errori La determinazione di una grandezza fisica (e di grandezze derivate da altre) è sempre soggetta ad una serie di errori che dipendono in parte dalla metodologia utilizzata ed in parte dall'operatore che esegue l’operazione. Gli errori relativi ad una misura possono essere suddivisi in sistematici e casuali. I primi si presentano in ogni determinazione "sistematicamente", ovvero la modificano sempre della stessa quantità (bias). In topografia un errore di questo tipo può derivare da un difetto strumentale o dalla incorretta rettifica delle parti costituenti. Questo errore è di difficile individuazione e non può essere identificato a partire dalle misure eseguite (che ne rimangono affette). L'errore casuale, dato dalla somma di tanti fattori concomitanti, si presenta ad ogni determinazione spostandola dal valore vero che rimane puramente teorico. Le basi statistiche su cui si fonda l’analisi dei dati topografici prevedono normalmente misure soggette ai soli errori casuali. Quelli sistematici, legati soprattutto alla pratica operativa del rilievo, si considerano di scarsa entità se i rilievi vengono eseguiti con tutti gli accorgimenti del caso. Disponendo di n misurazioni con ugual precisione della grandezza x è possibile definire una media di x, indicata con x , come valore attendibile della stessa. n
xi
x x 2 x3 .... x n x i 1 x 1 n n
Le misure eseguite della grandezza forniscono anche il dato di partenza per la stima dell'errore casuale associato alla stessa. In particolare si definisce varianza di una misura la quantità n
x2
xi x 2 i 1
n 1
La varianza di una grandezza può essere assunta come l'errore associato ad una determinazione. All'aumentare del valore della varianza corrisponde in generale una minore precisione nella determinazione della grandezza. Nell'equazione sopra compare il termine x x 2 che viene chiamato scarto dalla media (differenza fra la singola determinazione ed il valore medio). La varianza della media vale invece
x2
x x 2 n(n 1)
La radice quadrata della varianza di una misura rappresenta lo scarto quadratico medio (stesso discorso per lo scarto quadratico medio della media). n
x
x x 2 i 1
n 1
In presenza di misure di grandezze di diversa precisione occorrerà assegnare un peso maggiore alle misure con maggiore precisione. In questo modo ogni misura parteciperà
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al calcolo dei parametri statistici con "la giusta importanza" che deriva dalla precisione associata alla misura stessa. Si definisce peso della determinazione i-esima (pi) il rapporto pi
02 i2
dove 02 è un valore arbitrario chiamato varianza dell'unità di peso. In presenza di misurazioni con diverso peso (ad esempio dovute all’uso di strumenti diversi) i valori della media e della varianza di una misurazione diventano rispettivamente n
x p x 2 p 2 x3 p3 .... x n p n xp xp 1 1 p1 p 2 p3 ... p n
xi p i i 1 n
pi i 1
n
x2
pi xi x p 2 i 1
n 1
Nel caso di misure di diversa precisione la varianza della media diventa
pi xi x p 2 (n 1) pi
x2 p
Le formule appena discusse sono relative ad una singola variabile (x) che rappresenta la grandezza ricercata. Nei problemi del rilevamento (topografia, geodesia, rilevamento satellitare GPS, fotogrammetria ..) si misurano diverse grandezze (osservazioni) per determinare i parametri incogniti del problema (che normalmente sono delle coordinate dei punti). Tali grandezze non possono essere trattate singolarmente sia a causa dell’effetto che hanno l’una sull’altra sia per la dipendenza statistica presente tra le grandezze. Una variabile multidimensionale è espressa tramite l’insieme di diverse grandezze monodimensionali, ognuna caratterizzata dai parametri statistici appena visti. Occorre introdurre il concetto di covarianza e la definizione di coefficiente di correlazione. La covarianza misura il grado di correlazione tra coppie di grandezze (a due a due) che definiscono una variabile n-dimensionale. La covarianza tra x ed y vale:
xy
1 n 1
i1 xi x yi y n
e può assumere un qualsiasi valore tra +∞ e - ∞. Per una variabile n-dimensionale i valori di varianza delle grandezze e covarianza tra le grandezze sono normalmente organizzate nelle matrici di varianza-covarianza che quindi contengono informazioni complete sugli errori associati alle variabili stimate (a loro volta stima dei valori reali non misurabili direttamente). Prendiamo ad esempio il caso della variabile tridimensionale L f ( x, y, z ) . La matrice di varianza-covarianza (covariance matrix) è la seguente:
x2
xy xz
C L yx
2y
yz
zx
zy
z2
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Se le grandezze della variabile n-dimensionale sono indipendenti tra loro (nessuna correlazione) la matrice diventa diagonale (quindi compaiono solo le varianze).
x2 CL
0
2y
0
0 0
0
0
z2
diag x2 , 2y , z2
Proprietà della matrice di varianza-covarianza La matrice di varianza-covarianza contiene tutte le informazioni necessarie per la valutazione degli errori associati ad una qualunque variabile n-dimensionale1. Alcune proprietà della matrice di v-c sono le seguenti: 1. 2. 3.
la matrice è simmetrica; gli elementi diagonali sono positivi; la matrice non deve essere singolare (ovvero la matrice deve essere invertibile, ovvero il determinante deve essere ≠ 0). Questo è necessario in quanto nei calcoli geodetici è necessario invertire la matrice.
Il coefficiente di correlazione (adimensionale) invece misura la forza della correlazione tra due variabili e si esprime come
xy yx Valgono le seguenti proprietà:
xy
x y
=0 non correlazione = +1 correlazione positiva = -1 correlazione negativa
Una correlazione positiva tra due variabili indica che al crescere dell’una l'altra tende ugualmente a crescere mentre una correlazione negativa indica che al crescere di una delle variabili l'altra tende a decrescere. I valori +1 e -1 del coefficiente di correlazione indicano la presenza di una correlazione lineare esatta.
Il concetto di probabilità La probabilità di un evento viene definita, secondo una classica concezione, come il rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili. Questa definizione presenta due limiti; il primo è che il numero di casi possibili deve essere finito, il secondo è relativo al fatto che gli eventi devono essere equi-probabili. Una definizione migliore fa riferimento al concetto di frequenza di un evento. Ipotizzando la ripetizione di una misura per un gran numero di volte, la frequenza relativa dell’evento stesso tende a stabilizzarsi. frequenza evento x
numero di eventi in cui si verifica il caso x n( x ) f ( x) numero di repliche totali (n) n(tot )
All’aumentare del numero di repliche tale valore tende a stabilizzarsi regolato dal verificarsi di soli errori casuali. Si dice che il valore tende alla probabilità dell’evento x [p(x)]. Una definizione di probabilità dell’evento x può essere: lim f ( x) p( x) n
1
Ad esempio, le coordinate di un punto (bidimensionali o tridimensionali) calcolate sulla base di varie osservazioni rientrano in questo caso.
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Considerando due eventi x ed y non correlati che possono verificarsi con probabilità rispettivamente di p(x) e p(y), si definisce PROBABILITA’ TOTALE il verificarsi di uno dei due [p(x+y) = p(x) + p(y)] e PROBABILITA’ COMPOSTA il verificarsi di entrambi gli eventi [p(xy) = p(x)p(y)].
Distribuzione di Gauss per variabili monodimensionali Lo studio della “distribuzione normale” o “di Gauss” viene utilizzata per lo studio degli errori casuali e la stima dei parametri media e varianza che rappresentano la grandezza in esame. Infatti si può dimostrare che gli errori accidentali di misura appartengono ad una distribuzione gaussiana del tipo N(0, σ2), ovvero con media 0 e varianza σ2. Quindi le misure apparterranno ad una distribuzione gaussiana del tipo N(, σ2) con la stessa varianza ed come valore medio. La funzione che rappresenta la dispersione di misure soggette ad errori occasionali viene chiamata densità di probabilità
f ( x)
1 2
1 x e 2
2
La curva normale rappresenta la probabilità di un certo evento e gode delle seguenti proprietà: il valore medio è anche il valore più probabile; ha due flessi in corrispondenza dei punti x ; al crescere di σ2 (determinazioni meno precise) la curva si appiattisce; la funzione è tale che
f ( x)dx 1
Questa curva consente anche di calcolare la probabilità che una misura x cada nell’intervallo dei valori A-B attraverso l’integrale P( A x B) f ( B) f ( A)
B
A f ( x)dx .
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In generale per questa distribuzione si può dire che Px ( x1 , x 2 )
x2
1
2
x1
probabilità degli intervalli particolari
1 x e 2
2
dx con
P1 x ( , ) 68,27% P2 x ( 2 , 2 ) 95,45% P x ( 3 , 3 ) 99,73% 3
Questo integrale si può calcolare ma deve essere relativo alla funzione di probabilità specifica del campione di misure. Si procede allora alla standardizzazione della funzione con l’introduzione di una nuova variabile u indipendente dai valori di media e varianza
u
x
(variabile standardiz zata ) f (u )
1 2
1 u2 e 2
u G (0,1)
La nuova distribuzione standardizzata equivale ad una variabile normale con media nulla e varianza unitaria. Le soluzioni relative alle probabilità associate alla variabile standardizzata sono tabulate e non richiedono calcoli particolari. Quindi la probabilità che la variabile x cada in un intervallo di ± vale P[ x ( , )]
1 2
1 2 1 u e 2 du 1
(e corrisponde al valore di 68,27%)
potendo risolvere lo stesso integrale per qualunque intervallo grazie ai valori tabulati e riferiti proprio alla distribuzione standardizzata. Ad esempio, nell’ambito di un campione di osservazioni potremmo considerare affette da errore grossolano quelle osservazioni che si discostano troppo dal campione. Considerando che l’intervallo ±3 comprende il 99,73% del campione, la condizione di esclusione si può scrivere come x 3 . La tolleranza fissata è pari al triplo dello s.q.m.
Stima dei parametri caratteristici di una variabile aleatoria Misure dello stesso peso (stessa precisione) Disponendo di una sequenza di misure relative ad una stessa grandezza si pone il problema di stimare: il valore da assegnare alla grandezza stessa (quello più plausibile), la varianza da assegnare ad ogni singola misura, la varianza del valore più plausibile. Queste stime devono essere eseguite sulla base delle n misure che costituiscono il campione disponibile (n rappresenta la taglia del campione). La variabile aleatoria x quindi è rappresentata dagli n valori assunti x ( x1 , x 2 .... x n ) dove le determinazioni sono tutte indipendenti e soggette a sole fluttuazioni casuali. Questo campione può essere considerato come una variabile aleatoria n-dimensionale (la ennupla di misure rappresenta quindi una estrazione a caso della popolazione n-dimensionale).
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La funzione densità di probabilità di questa v.a. n-dimensionale prende anche il nome di funzione di verosimiglianza ed esprime la probabilità che tale evento si manifesti (come probabilità composta delle singole variabili indipendenti): n
L( x1 ....x n ) f1 ( x1 ) f 2 ( x 2 ) ......... f n ( x n )
f i ( xi ) 1
dove le singole funzioni di probabilità contengono ovviamente i valori di media e varianza del campione. UTILIZZO DEL CRITERIO DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Preso un campione ( x1 , x 2 .... x n ) in rappresentanza della variabile x, la densità di probabilità (o la funzione di verosimiglianza) associata a tale campione è funzione della stessa variabile e dei vari parametri incogniti media e varianza. Il criterio di massima verosimiglianza prevede il calcolo dei parametri incogniti che massimizzano la funzione di verosimiglianza2. Il criterio di massima verosimiglianza quindi consente di calcolare media e varianza a partire dalle singole densità di probabilità delle variabili. Infatti, per il principio delle probabilità composte, la densità di probabilità di tutta la serie di misure sarà uguale al prodotto delle singole probabilità e la funzione da massimizzare sarà:
P ( x1 x2 ...xn , , 2 )
1 e 2
( x1 ) 2 2 2
1 e 2
( x2 ) 2 2 2
...
1 2 2
n
xi 2
1 2 2
n
xi 2
1 1 e e (2 2 ) n / 2 ( 2 ) n n
I valori di media e varianza che massimizzano questa funzione si possono trovare dopo avere trasformato la funzione nella forma logaritmica n n 1 n 2 ln P ln 2 ln 2 ( xi ) 2 2 2 2 1
che è strettamente crescente in quanto logaritmo. I valori cercati si trovano uguagliando a zero le derivate parziali di lnP rispetto e . n ln P 1 ( xi ) 0 2 1 n ln P 1 n ( xi ) 2 0 2 2 4 2 2 1
xi n ( xi ˆ ) 2 2 n
che vengono chiamate rispettivamente media campionaria e varianza campionaria. Queste quindi sono delle stime di massima verosimiglianza di media e varianza di una v.a. che segue la distribuzione gaussiana. Dall’equazione della densità di probabilità si vede che la stima della media è ottenibile attraverso il metodo dei minimi quadrati. Infatti la funzione di massima verosimiglianza ha il suo massimo quando il termine
2
Questo equivale ad affermare che il campione disponibile dalle misure effettuate è anche quello più plausibile (probabile). In altre parole i parametri della distribuzione di probabilità di una serie di misure devono essere tali da rendere massima la probabilità della serie stessa. Si ricorda che le singole misure devono appartenere alla stessa distribuzione di probabilità (ovvero devono essere di egual precisione). In questo caso i parametri da stimare sono solo due, media e varianza. Se le misure sono di diversa precisione il valore medio sarà sempre uno solo ma le varianze da stimare saranno n.
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( xi ) 2 min , per cui la derivata rispetto al valore della media fornisce nuovamente
l’equazione trovata per la media campionaria.
La stima della varianza appena effettuata va corretta al denominatore in quanto gli scarti rispetto alla media non sono tutti indipendenti tra loro, ma uno di essi può essere calcolato da tutti gli altri. I gradi di libertà sono quindi n-1 e la stima corretta della varianza campionaria diventa s2
( xi ˆ ) 2 n 1
mentre la varianza della media sarà s2
( xi ˆ ) 2 n(n 1)
Misure di peso diverso (diversa precisione) A volte le misure effettuate non sono della stessa precisione a causa dell’utilizzo di strumentazione diversa, per la variazione delle condizioni di misura oppure per le diverse modalità di misura eseguite. In questo caso il valore medio da stimare rimane lo stesso ma la varianza varia da misura a misura. In altre parole le misura appartengono a curve gaussiane con diversa dispersione dei dati, ma centrate sul medesimo valore medio.
P ( x1 x 2 ... x n , , 12 , 22 , ... n2 )
1 2 1
e
( x1 ) 2 212
1
2 2
( x2 ) 2
e
2 22
...
1 n
( 2 ) 1 .. n
1 n x i 2 e 1 i
2
Visto che pi 02 / i2 , supponendo di conoscere le varianze delle singole misure si ha che
i2 02 / pi e sostituendo nella precedente si ottiene
P ( x1 x 2 ... x n , , 12 , 22 , ... n2 )
( p1 p 2 ... p n )1 / 2 (2 02 ) n / 2
e
1
n
pi ( xi )
2
2 02 1
Analogamente a quanto fatto precedentemente si possono determinare le stime di massima verosimiglianza di media ponderata e varianza dell’unità di peso3 stimata. Si ottiene:
p i xi pi pi ( xi ˆ ) 2 s 02
ˆ
n 1
Si può dimostrare che la varianza della media vale s 02
3
pi ( xi ˆ ) 2 n 1 pi
Infatti nell’equazione compare la varianza dell’unità di peso dopo la sostituzione dei valori delle singole varianze.
Richiami utili ai fini del corso
13
Esempio numerico: sono disponibili 10 misure di distanza alle quale vengono assegnate dei pesi Pesi
xi
p i xi
vi xi
p i v i2
1 1.5 2 1 3 2 1 2 4 2.5
24.2 22.3 21.5 18.2 21.0 23.2 25.6 20.2 21.2 22.0
24.2 34.5 43.0 48.2 63.0 46.4 25.6 40.4 84.8 55.0
2.5 0.6 -0.2 -3.5 -0.7 1.5 3.9 -1.5 -0.5 0.3
6.25 0.49 0.09 12.25 1.44 4.41 15.21 4.41 1 0.25
p i 20
p i xi 435.10
2 pv 45.8
pi xi con media 21.7 e lo s.q.m. dell’unità di peso s 0 pi
Volendo gli sqm delle singole misure si avrà i
0 pi
pv 2 n 1
45.8 2.26 . 9
Richiami utili ai fini del corso
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Distribuzione di Gauss per variabili bidimensionali Prendiamo due variabili casuali di tipo normale (x e y) tra loro indipendenti. La probabilità composta dei due eventi è data dal prodotto delle singole probabilità
f ( x, y , x , y )
1 2 x
e
( x x )2 2 x2
1 2 y
e
( y y )2 2 y2
1 2 x y
2 1 ( x x )2 ( y y ) 2 2 2 x y e
In realtà è molto frequente il caso di variabili correlate. In effetti proprio le coordinate di un punto possono essere trattate come una variabile bidimensionale e la loro determinazione, tramite misure e successivi calcoli, introduce delle correlazioni proprio in funzione delle modalità operative svolte. Quindi la formulazione della densità di probabilità cambia con introduzione del coefficiente di correlazione (non si vedrà la funzione) La distribuzione normale a due dimensioni prende la seguente forma
Analogamente al caso monodimensionale vale l’integrale
f ( x, y)dxdy 1 .
Per le applicazioni di interesse al rilevamento è utile analizzare le curve che si ottengono dall’intersezione della superficie con piani z = f(x,y) = costante. Si può dimostrare che, in presenza anche delle covarianze trascurate nella formulazione, la figura di intersezione è un’ellissi la cui dimensione dipende dalla definizione del piano a z costante. Una particolare ellisse di interesse è quella standard i cui semiassi maggiore e minore (a e b) sono forniti dalle relazioni
a2 2
b
2 ( x2 y2 ) ( x2 y2 ) 2 4 xy
2 ( x2
2 y)
2 ( x2 y2 ) 2 4 xy
2
dove i valori possono essere derivati dalla matrice di varianza e covarianza prodotta come modello stocastico dai calcoli. L’eventuale presenza di un orientamento dell’ellissi dipendente dalla presenza della covarianza e può essere determinato dalla relazione
Richiami utili ai fini del corso
2σ xy 1 arctg 2 σ σ2 2 y x
15
dove rappresenta l’angolo sinistrogiro che l’asse delle x forma con il semiasse maggiore dell’ellisse. Occorre fare attenzione al quadrante di riferimento dopo verifica dei segni associati al numeratore ( 2 xy ) ed al denominatore ( y2 x2 ). Come abbiamo visto la covarianza può assumere valori positivi o negative. Si possono presentare i seguenti casi 2 xy
x2 y2
+ + -
+ + -
Valore di
0 < < 45 45 < < 90 0 < < -45 -45 < < -90
Quadrante I I II II
Graficamente i quattro casi si presentano come segue.
Quando tra le variabili non vi è correlazione l’ellisse presenterà gli assi paralleli agli assi coordinati. Dal punto di vista statistico l’ellisse standard rappresenta l’area all’interno della quale si ha il 39% della probabilità di un individuo estratto a caso per quella popolazione (di variabili bidimensionali). Se l’ellisse ha semiassi doppi la probabilità sale al 86% mentre per ellissi con semiassi tripli questa diventa del 99%. Quindi, un modo corretto di rappresentare su un piano cartesiano, o su quello cartografico, una variabile P (bidimensionale) sarà il seguente Il valore medio delle componenti x ed y posiziona la variabile sul piano mentre l’ellissi centrata sul punto consentirà di definire la probabilità che il punto cada effettivamente all’interno dell’ellissi stessa. Questo consente di quantificare la precisione del calcolo e quindi la significatività delle misure.
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Propagazione degli errori La propagazione pitagorica degli errori (o delle varianze) consente di valutare gli errori di variabili ottenute dalla combinazione di altre variabili (ad esempio valori misurati) a loro volta soggetti ad errori nella determinazione. L'applicazione a funzioni lineari di variabili indipendenti è del tipo:
x ay bz ct x2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 t2 Vedremo che le equazioni generate dalla misura di un dislivello appartengono a questo tipo. Per funzioni non lineari si deve invece procedere alla linearizzazione, rispetto alle variabili soggette ad errore, ottenendo: 2
2
2
f f f x f ( y , z , t ) x2 y2 z2 t2 y z t
Se però le variabili non sono indipendenti occorre conoscere di tali variabili non solo la varianza ma anche la covarianza che lega le varie coppie di variabili (questa casistica sarà omessa). Le equazioni generate dalla misura di angoli e distanze appartengono al caso di non-linearità.. La propagazione degli errori si può trasferire anche a considerazioni di tipo qualitativo che vengono spesso effettuate osservando delle serie di dati. Infatti quando deduciamo qualcosa a partire da informazioni che sono soggette ad un margine di incertezza, avremo una nuova informazione alla quale va assegnato un margine di errore che dipende dalle informazioni originarie (la propagazione di un errore lungo una formula o un criterio comporta un aumento dell’incertezza finale).
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Test di significatività: il test 2 Il test del chi-quadro è un test statistico utilizzato per verificare se la distribuzione associata ad una grandezza misurata è “simile” in maniera significativa ad una certa distribuzione teorica (per esempio quella gaussiana). Il test chi-quadro ci permette di accettare o rifiutare l’ipotesi di somiglianza tra distribuzione associando a questa scelta un definito livello di probabilità. Si formula una ipotesi iniziale H0 (ipotesi nulla) in merito al tipo di distribuzione atteso per una v.a. (misurata), oppure ai parametri della distribuzione stessa, e si controlla questa ipotesi su base statistica attraverso un test di significatività. Il test può avere due esiti: negativo positivo
l’ipotesi H0 viene rigettata; l’ipotesi H0 viene accettata.
Il risultato fornito dal test non è sicuro al 100% ma, come detto sopra, viene associato ad un livello di significatività (di solito uguale a 0,05 o 0,01 ovvero 5% a 1% rispettivamente) che individua una regione critica per l’ipotesi iniziale. In sintesi il test di significatività può portare alle seguenti decisioni: a) l’ipotesi nulla H0 viene rigettata, al livello di significatività , se la variabile utilizzata dal test cade nella regione critica. In caso di ipotesi alternative queste saranno accettate; b) l’ipotesi nulla H0 viene accettata, al livello di significatività 1-, se la variabile utilizzata cade fuori dalla regione critica. Nel caso a) vi è una probabilità uguale ad di rifiutare una ipotesi vera, con errore di decisione di Ia specie, mentre il caos b) può essere soggetto ad errore di decisione di IIa specie, quando si accetta una ipotesi che però è falsa. La variabile da utilizzare nel test di significatività dovrà quindi includere i parametri statistici delle due distribuzioni da confrontare; quella teorica (supposta tramite l’ipotesi iniziale H0) e quella reale con parametri determinati tramite le misure. Questa nuova variabile viene definita 2 e mostra un andamento che è funzione anche del numero relativo ai gradi di liberta (d), associati al problema. Questi sono definiti come numero di osservazioni (m) – numero di incognite (n) da calcolare. Soltanto m-n osservazioni saranno libere di assumere valori indipendenti (le altre osservazioni saranno invece vincolate). La funzione chi-quadro quindi cambia in funzione dei gradi di libertà. All’aumentare dei gradi di libertà la funzione assume le forme di figura
Richiami utili ai fini del corso
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Quindi una forma più conveniente per il calcolo del chi-quadro quella in cui la nuova variabile viene divisa (normalizzata) per il valore d dei g.d.l. Per dare un significatività al risultato del test occorre fissare un livello di probabilità da associare al risultato del test stesso. Di solito questo livello viene posto al 1 o 5% (0,01 o 0,05 rispettivamente).
ESEMPIO
Avendo calcolato il valore ~ 2 dalle nostre osservazioni dovremo confrontarlo con il valore teorico (in tabella) ~ 2 riferito ai gradi di liberta (d) ed al livello di probabilità scelto (). Diremo che il valore calcolato ~ 2 è in d ,
disaccordo “significativo” (ipotesi da rigettare) se P ( ~ 2 ~d2, ) 5%
ESEMPIO: Vogliamo determinare il valore di ~d2, della variabile chi-quadrato con 10 gradi di libertà tale che P ( ~ ~ 2 ) 5% . La variabile ~ 2 viene letta nella tabella in corrispondenza della riga dei 10 g.d.l. e 10, 0.05
10, 0.05
2 della colonna relativa ad un’area pari a 0,05 (5%). Il valore trovato per ~ 10 , 0.05 è 18,31. Quindi
P( ~ 2 18.31) 0.05 . Valori maggiori di 18.31, ricadenti nell’area grigia dl grafico, saranno da considerare
sospetti al livello di significatività del 5%.
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Il metodo delle Osservazioni Indirette
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Il metodo delle osservazioni indirette Siano xn un certo numero di grandezze fisiche non misurabili direttamente (incognite) e lm le grandezze (osservazioni) che legano i parametri incogniti con m n . Le osservazioni fatte saranno legate alle incognite (non necessariamente a tutte) in relazione al metodo di misura utilizzato. Ognuna delle m osservazioni genera un’equazione dove compaiono le possibili incognite. Se il sistema è lineare si potrà scrivere come a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n l1 Ax l .. a x a x ... a x l m2 2 mn n m m1 1
A(mxn)
aij sono coefficienti noti (che dipendono dal particolare legame funzionale e quindi dal metodo di misura utilizzato), xn sono le incognite del problema e lm le osservazioni disponibili. Nella forma matriciale il sistema si può esprimere come a11
a12
..
a1n
x1
a 21
a 22
.. a 2 n
x2
..
..
a m1
am2
..
..
.. a mn
( m n)
.. xn
l1
l2 ..
(rango A = n = numero delle oss. indipendenti)
lm
(n 1) (m 1)
Nella condizione m=n la soluzione del sistema si ottiene immediatamente ricavando il vettore delle incognite (dopo inversione della matrice A), x A 1l . Invece nel caso di mn non esisterà alcuna soluzione che soddisfa contemporaneamente tutte le equazioni delle osservazioni fatte. Infatti, avendo a disposizione un ipotetico vettore delle soluzioni x ( x1 , x 2 ...x n ) da sostituire nel sistema delle equazioni, viene generato un vettore dei residui v (v1 , v 2 ...v m ) a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n l1mis v1 Ax l mis v .. a x a x ... a x l m2 2 mn n m mis v m m1 1
(Modello Funzionale)
I residui nascono dal fatto che le osservazioni sono soggette ad errore (e quantificano gli errori commessi nell’osservazione corrispondente). In assenza di errori non avremo residui e il legame funzionale sarebbe del tipo f(x)=0. Si può anche dire che l vero l mis v . Il Modello Funzionale quindi prevede m equazioni (le osservazioni) e m+n incognite (vettore delle incognite e dei residui) con ∞n soluzioni possibili.
Il metodo delle Osservazioni Indirette
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Criterio dei Minimi Quadrati Occorre quindi adottare un criterio per selezionare una soluzione dalle infinite possibili. Il criterio scelto è quello dei minimi quadrati applicati ai residui che consente di trovare la soluzione per x (vettore delle incognite) tale che la sommatoria dei residui quadratici risulti minima. Avendo a che fare con vettori e grandezze di un certo peso, la condizione può essere scritta nella forma v T Pv ( Ax l mis ) T P ( Ax l mis ) min (1)
dove P (mxm) è la matrice dei pesi che vale P
o2 C l mis
(Modello Stocastico)
con Cl mis matrice di varianza-covarianza delle misure. Se le misure non sono correlate tra loro la matrice dei pesi è diagonale e il problema dei minimi quadrati può essere semplificato nella forma m
q
1
m
pi vˆi2
p (a i
ˆ1 i1 x
... ain xˆ n l i mis ) 2 min .
1
Si ricaverà ora la soluzione nel caso generico di variabili correlate (e quindi matrice dei pesi non diagonale) adottando unicamente la notazione matriciale. Partendo dall’equazione v T Pv ( Ax l mis ) T P ( Ax l mis ) , che rappresenta in forma matriciale l’espressione p i vˆi2 si procede allo sviluppo dell’equazione ottenendo T T T q ( Ax l mis ) T P ( Ax l mis ) ( x T A T P l mis P)( Ax l mis ) x T A T PAx x T A T Pl mis l mis PAx l mis Pl mis T Poiché x T AT Pl mis è uno scalare, risulta che ( x T A T Pl mis ) T l mis PAx che sostituita nell’espressione precedente T T fornisce q xT AT PAx xT AT Plmis ( xT AT Plmis ) lmis Plmis xT Nx 2 xT AT Plmis lmis Plmis dove N è la matrice
normale definita come N ( A T PA) . La matrice normale (n,n) è simmetrica e quadrata. La condizione dei minimi quadrati applicati alla funzione matriciale q si può scrivere come q / x 0 che diventa 2 Nxˆ 2 A T Pl mis 0 Nxˆ A T Pl mis che rappresenta il Sistema Normale già visto. Si può dimostrare che rango N = rango ( A T PA) n . Quindi la matrice N è non singolare ed invertibile. Il sistema normale diventa un sistema di n equazioni lineari nelle n incognite xˆ (ai minimi quadrati) che si possono ottenere dalla formula finale xˆ ( A T PA) 1 A T Pl mis N 1 A T Pl mis
che fornisce la stima delle incognite attraverso le osservazioni indirette.
La soluzione del modello funzionale vale quindi ( AT PA) xˆ AT Pl mis T
incognite stimato xˆ ( A PA)
1
T
A Pl mis .
La quantità ( AT PA) è definita Matrice Normale (N). Il sistema xˆ N 1 ( AT Pl mis ) è definito Sistema Normale
e il vettore delle
Il metodo delle Osservazioni Indirette
22
Introducendo le incognite xˆ N 1 ( AT Pl mis ) appena stimate nel modello funzionale si ottengono le stime ai minimi quadrati vˆ dei residui teorici v . Si avrà che vˆ Axˆ l mis . Visto che i residui sono anche gli errori associati alle misure possiamo ricavare i valori delle misure corrette degli errori stessi che sono appena stati stimati. Nelle scienze del rilevamento questi valori vengono definiti “compensati”. l comp l mis vˆ
In definitiva i valori compensati sono ulteriori stime (più precise delle misure effettuate) delle grandezze osservate. Riassumendo il procedimento appena esposto comporta: 1. Calcolo del vettore delle incognite (condizione dei MQ applicato ai residui); 2. Calcolo dei residui dopo sostituzione delle incognite nel modello funzionale; 3. Calcolo dei valori compensati delle osservazioni.
Il metodo delle Osservazioni Indirette
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Precisione dei risultati ottenuti Come visto si possono ottenere delle indicazioni sulla precisione dei risultati attraverso il calcolo della matrice di varianza-covarianza associata dei parametri stimati. Al momento però questa risulta essere ancora sconosciuta. Si parte dall’equazione xˆ N 1 ( AT Pl mis ) e si applica la legge di trasformazione della matrice di varianza-covarianza dei vettori aleatori C xˆ ( N 1 A T P )C lmis ( N 1 A T P) T dove C xˆ è la matrice di v-c del vettore delle incognite; Clmis quella relativa alle misure eseguite.
Si è già visto che l’errore sulle misure è in relazione con i pesi, delle misure stesse, è con la varianza dell’unità di peso. In forma matriciale è stato anche definito il modello stocastico dal quale si ha che C lmis 02 P 1 e quindi l’equazione precedente diventa C xˆ 02 N 1 A T PP 1 P T ( A T ) T ( N 1 ) T
Considerando che la matrice P è simmetrica come anche l’inversa della matrice normale si ottiene C xˆ 02 N 1 A T PP 1 P( A T ) T ( N 1 ) T 02 N 1 A T PAN 1 dove A T PA N e NN 1 I
In conclusione si ha la formula finale C xˆ 02 N 1
rango n
La determinazione della matrice di varianza covarianza delle misure compensate segue lo stesso principio ma partendo dalla forma lˆcomp Axˆ . Applicando ancora la legge di trasformazione della matrice di varianza-covarianza (dimostrazione omessa) si ottiene C lˆ AC xˆ A T che, in base alla soluzione precedente si può scrivere comp
C lˆ
comp
02 AN 1 AT
rango n
Infine si può dimostrare che la matrice di varianza-covarianza dei residui effettivi è espressa dalla seguente forma C vˆ C lmis C lˆ
comp
rango m n
Che si ottiene come nei casi precedenti a partire dalla forma vˆ Axˆ l mis e applicando le stesse regole (dimostrazione omessa). Dall’equazione sopra si vede che
lˆ2
comp
l2mis vˆ2
ovvero si dimostra che la precisione associata ai valori compensati (stime dei valori veri) è sempre maggiore di quella delle misure effettuate.
Il metodo delle Osservazioni Indirette
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Stima a posteriori della varianza dell’unità di peso σ02 L’applicazione del criterio della massima verosimiglianza consente di ricavare una stima della varianza dell’unità di peso a-posteriori, ovvero basata sui valori compensati. Questa rappresenta una stima del valore 02 (che veniva effettuata sulla base di ipotesi a-priori). Questa stima vale s 02
2 p i vˆi mn
che si può scrivere anche come
s 02
vˆ T Pvˆ mn
dove al denominatore compaiono i gradi di libertà che rappresentano anche il numero di scarti indipendenti. La formula è del tutto simile a quella già vista nella definizione di varianza per misure di ugual precisione, ma qui compaiono i residui compensati. In presenza di una distribuzione gaussiana delle misure effettuate i due valori di varianza (a-priori e a-posteriori) dovranno essere simili tra loro, altrimenti si potrebbe affermare che le ipotesi iniziali fatte sulle osservazioni non sono coerenti con i risultati effettivamente ottenuti. La verifica della “somiglianza“ tra le due distribuzioni si può effettuare attraverso la definizione della nuova variabile aleatoria s 02 / 02 e l’applicazione del Test Chi-quadro s 02
02
m2 n mn
dove compaiono ancora i gradi di libertà.
Equazioni alle osservazioni non lineari Il caso esposto sino ad ora prevede delle funzioni, che legano osservazioni ed incognite, di tipo lineare. Si vedrà che, a parte le misure di livellazione, le osservazioni topografiche e geodetiche comportano delle relazioni non lineari tra le m osservazioni e le n incognite da stimare. Quindi il sistema di equazioni che nasce sarà del tipo f1 ( X 1 , X 2 ,... X n ) l1 F(X ) l .. f ( X , X ... X ) l n m m 1 2
Occorre allora linearizzare le funzioni delle osservazioni prima di applicare le regole viste per la soluzione del problema attraverso le osservazioni indirette. La linearizzazione richiede la conoscenza dei valori a-priori delle incognite in modo da procedere nell’intorno dei punti ricercati. Questi valori a –priori delle incognite possono essere disponibili per via strumentale (alcuni strumenti forniscono in via preliminare un ipotetico risultato sulla base di calcoli preliminari) oppure possono essere calcolati a-posteriori attraverso procedure geometriche che non comportino necessariamente la compensazione dei valori. Si sfrutterà la serie Taylor per funzioni generiche del tipo f(x) da linearizzare nell’intorno del punto x0. h 2 d 2 f df f ( x) f x0 h dx 0 2! dx 2
.... Rn 0
h x x0
Il metodo delle Osservazioni Indirette
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Normalmente è sufficiente interrompere la serie al primo grado (ovvero trascurare il resto della serie senza compromettere l’accuratezza del calcolo). La linearizzazione quindi avviene attorno a valori approssimati X o ( X 1o ,.. X no ) T in modo che X vero X o x , dove x sono le correzioni da apportare al valore approssimato. Fermandoci al primo ordine si ha
f f 1 o o ( X 1 X 1o ) ... 1 ( X n X no ) l1 f1 ( X 1 ,... X n ) X 1 o X n o ... f ( X o ,... X o ) f m ( X X o ) ... f m ( X X o ) l n 1 1 n n m X X m 1 1 o n o
e definendo f a ij i x j
o
coefficienti
xi X i X io
correzioni o
bi l i f i ( X )
discrepanze
si ottiene il sistema nella forma lineare
a11 x1 ... a1n x n b1 ... a x ... a x b mn n m m1 1
che avrà due soluzioni possibili Ax b (m n) ( AT PA) x AT Pb (m n)
in relazione al numero di osservazioni ed a quello delle incognite. In entrambi i casi si può applicare il metodo delle osservazioni indirette con la differenza che nel primo caso non si procederà alla compensazione. La soluzione fornisce il vettore delle incognite x, ovvero le correzioni da applicare al valore approssimato per ottenere quello vero.
Le osservabili in topografia
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Le osservabili in topografia Le superfici di riferimento nelle scienze geodeticotopografiche La definizione di una superficie di riferimento nasce dalla necessità di avere un supporto matematico su cui sviluppare il rilievo eseguito sulla superficie terrestre. Tale superficie deve essere esprimibile attraverso una formulazione matematica semplice (il che rende possibile l'esecuzione di calcoli su di essa) e rappresentare nel miglior modo possibile la reale forma della superficie terrestre. La definizione di tale superficie passa attraverso una serie di considerazioni e semplificazioni che partono dallo studio del campo gravitazionale terrestre. E' noto come la sfera terrestre presenti un leggero schiacciamento ai poli e ruoti con velocità angolare ω (rad/sec) attorno all'asse polare. Questo movimento di rotazione produce per tutti i punti un'accelerazione centrifuga che spinge il punto verso l'esterno. a 2r
dove r rappresenta la distanza del punto dall'asse di rotazione terrestre. Questa accelerazione produce una forza lungo la stessa direzione che sarà f ma m 2 r
con m che rappresenta la massa concentrata nel punto considerato. Sulla stessa massa agisce anche una forza di attrazione gravitazionale diretta verso il centro di massa terrestre M mM FK d2 dove K è la costante di Newton, M la massa terrestre e d la distanza fra i punti in cui si considerano concentrate le due masse. La risultante di queste due forze viene chiamata forza di gravità (g) che può essere anche considerata un’accelerazione essendo le considerazioni valide anche nel caso di massa unitaria. Visto che le forze in gioco sono variabili da punto a punto della massa terrestre anche g avrà valori variabili. Alle nostre latitudini un valore rappresentativo è 9,81 m/s2. Si può subito notare che ai poli la forza di gravità sarà massima in quanto non è presente la componente centrifuga a contrastare quella gravitazionale. La sfera, soggetta a queste forze risultanti, tende allora a schiacciarsi e ad assumere la forma di un ellissoide di rotazione.
Le osservabili in topografia
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Questa direzione (che rappresenta la linea di forza della gravità terrestre nel punto) è fondamentale nella pratica operativa in quanto lungo di essa si orienta il filo a piombo utilizzato per la messa in stazione degli strumenti nel rilievo topografico. L'insieme di tali linee di forza del campo di gravità definiscono appunto il campo gravitazionale il quale ammette un potenziale gravitazionale W. Esso fornisce una serie infinita di superfici con la proprietà di avere la verticale in ogni punto normale alla superficie stessa. Ognuna di queste superfici è definita ‘equipotenziale’ o ‘di livello’. Il geoide e lo sferoide Partendo dal presupposto che un liquido in quiete si dispone secondo una superficie equipotenziale, è possibile immaginare la superficie terrestre interamente costituita da una superficie marina ideale (ovvero priva di moti e correnti) sottoposta unicamente alla forza di gravità. Tale massa si disporrebbe secondo una delle superfici equipotenziali (W costante) scelta in modo da essere passante per un determinato punto in un determinato istante. Su tale superficie, chiamata geoide, sarebbe teoricamente possibile riportare le posizioni dei punti ma questa dovrebbe essere nota, ovvero dovrebbe essere noto il valore di attrazione gravitazionale in ogni punto. Questo non è possibile in quanto richiederebbe la conoscenza della distribuzione delle masse in ogni punto e quindi della densità terrestre. Nella formulazione del geoide infatti compare il termine relativo alla massa coinvolta. W x, y , z G
T
dm 2 2 x y 2 costante r 2
dove: G (costante di Gauss) = 6.67 10 8 cm 3 gr 1 sec 2 dm = un elemento di massa; = velocità angolare (rad/sec) Un'approssimazione che può essere fatta è quella che considera una distribuzione simmetrica della massa rispetto l'asse di rotazione terrestre. In questo caso si ottengono delle superfici equipotenziali di forma prossima a quella sferica denominati sferoidi. La difficoltà di definire anche questa forma per il calcolo di alcune coordinate ha portato ad ulteriori semplificazioni che si vedranno. Va prima detto, però, che le quote dei punti in genere vengono definite come la lunghezza dell'arco di linea di forza della gravità compreso tra il punto ed il geoide. Quote definite in questo modo sono dette ortometriche (o sul livello del mare). Va specificato che punti giacenti sulla medesima superficie equipotenziale non hanno la stessa quota ortometrica essendo tali linee non parallele fra loro.
Rappresentazione della quota ortometrica di un punto situato su di una superficie equipotenziale
Le osservabili in topografia
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L'ellissoide terrestre La superficie approssimata maggiormente utilizzata è invece l’ellissoide di rotazione la cui definizione non richiede ipotesi sulla distribuzione della massa terrestre. La forma di un ellissoide di rotazione è definita univocamente da: semiasse maggiore (a), semiasse minore (b), schiacciamento. Con riferimento ad un sistema di assi cartesiani l'ellissoide può essere espresso tramite l'equazione x2 y2 a2
z2 b2
1
mentre lo schiacciamento e la prima eccentricità e ne definiscono la forma
ab a
e2
a2 b2 a2
Gli ellissoidi di maggiore utilizzo, determinati con vari tipi di misure nel tempo, sono i seguenti Ellissoide Bessel (1841) Clarke (1880) Helmert (1906) Hayford (1909) WGS84
a 6 377 397 m 6 378 243 m 6 378 140 m 6 378 388 m 6 378 137 m
1/299,2 1/295,5 1/298,3 1/297,0 1/298,3
I punti giacenti sulla superficie ellissoidica sono rappresentati attraverso le coordinate ellissoidiche (o geografiche) latitudine φ e longitudine λ che vengono definite come: ▪ ▪
Latitudine (φ): angolo di inclinazione formato dalla normale passante per un punto P ed il piano equatoriale; Longitudine (λ): angolo diedro formato fra un piano di riferimento che contiene l'asse di rotazione ed il piano contenente il punto P e l'asse di rotazione.
Se la quota è definita su tale superficie si parla di quota ellissoidica. In tal caso la distanza fra il punto e la superficie di riferimento è misurata lungo la normale passante per il punto generico P. Dalle definizioni date nascono quelle di meridiani e paralleli:
Le osservabili in topografia
▪ ▪
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Meridiani: linee sull'ellissoide che hanno la caratteristica di avere longitudine costante; Paralleli: circonferenze ottenute secando l'ellissoide con piani normali all'asse di rotazione e caratterizzate dalla medesima latitudine.
Il meridiano di origine è quello di Greenwich (longitudine 0°). La coordinata longitudinale si conta normalmente da 0° verso 180° ad Est o Ovest dal meridiano di riferimento. Il parallelo di riferimento è rappresentato dall'equatore (latitudine 0°). La coordinata latitudinale si conta dall'equatore verso 90° a Nord e Sud.
Le osservabili in topografia
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Raggi principali di curvatura dell’ellissoide Per ogni ellissoide è possibile definire dei raggi di curvatura che descrivono la superficie in un determinato punto. Questi valori vengono utilizzati in diverse applicazioni topografiche per dimensionare la superficie di riferimento quando non ci si trova nell'approssimazione piana. In particolare due raggi di curvatura fondamentali sono individuabili tagliando la superficie ellissoidica con le cosiddette sezioni normali principali passanti per un generico punto P.
Con riferimento alla figura si definisce primo raggio di curvatura ρ il raggio di curvatura del meridiano passante per un punto P. Tale raggio avrà, ovviamente, valori diversi in funzione della latitudine ed è contenuto nel piano meridiano (contenente il meridiano passante per P e l’asse di rotazione). Si può dimostrare che ρ vale
a 1 e2
1 e sen 2
3 2
2
Altro raggio di notevole importanza è la Grannormale N ottenuto secando l'ellissoide con un piano contenente la normale all'ellissoide per il punto P che risulti anche perpendicolare al piano meridiano. Tale valore vale N
a
1 e sen 2
2
1 2
Il raggio del parallelo passante per un punto P è invece definito come r N cos
a cos
1 e sen 2
2
1 2
Il raggio medio di curvatura è definito come il raggio della sfera tangente all'ellissoide, in un punto, che meglio l'approssima nell'intorno del punto stesso. Il raggio R della "sfera locale" è dato da
R N
a 1 e2
1/ 2
1 e sen 2
2
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Geodetica Le geodetiche sono linee che congiungono due punti sulla superficie ellissoidica e godono della proprietà di avere, in ogni punto, la normale coincidente con la normale alla superficie. Rappresenta anche la minima distanza fra due punti posti su una superficie, ovvero una retta nel caso di una superficie piana oppure un arco di cerchio massimo su una superficie sferica. Le due sezioni normali prevedibili sono quelle riferite ai punti A e B. Queste si ottengono intersecando l’ellissoide con i piani A (contenente la normale ad A ed il punto B) e B (contenente la normale a B ed il punto A) e non sono coincidenti avendo proprietà diverse. La geodetica congiungente A e B disegna, invece, sull'ellissoide una figura come quella che si mostra.
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Ondulazione del geoide Dalla definizioni di geoide ed ellissoide deriva direttamente quelle di normale e verticale per un punto. La normale va intesa in senso geometrico sulla superficie ellissoidica mentre la verticale rappresenta la direzione della gravità in un punto (normale al geoide). Queste due direzioni caratterizzano gli scostamenti fra le superfici ellissoidiche e geoidiche. L'angolo fra normale e verticale in un punto è chiamato deviazione della verticale con valori che nella norma sono dell'ordine di qualche secondo.
Si definisce poi ondulazione del geoide N la differenze tra la quota ellissoidica H e quella ortometrica h. In figura compare l’ondulazione del geoide rispetto all’ellissoide WGS84 (si vedrà avanti) utilizzato come riferimento nel posizionamento satellitare. N=H–h
Il valore di ondulazione per l’Italia è noto con un margine di errore variabile in relazione al particolare ellissoide scelto. Comunque questo valore è normalmente noto con un’accuratezza di una decina di centimetri o più. La trasformazione tra le due tipologie di quote può essere effettuata solamente con questo livello di precisione.
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Coordinate curvilinee sull'ellissoide e cartesiane tridimensionali Sull’ellissoide possono essere definiti diversi sistemi di coordinate curvilinee (in quanto appartenenti ad una superficie non piana). Rientrano tra questi anche le coordinate espresse come latitudine e longitudine. Altri sistemi di coordinate curvilinee sono i seguenti:
4
▪
Coordinate geodetiche polari: un punto P viene determinato, in questo sistema, rispetto ad un origine O ed al meridiano che per esso passa attraverso la misura dell'arco di geodetica s e dell'azimut contato in senso orario dal meridiano di riferimento.
▪
Coordinate geodetiche ortogonali4: un punto P viene determinato, rispetto ad un origine O ed al meridiano per esso passante, dall'arco di geodetica Y condotto da P’ normalmente al meridiano e dell'arco di meridiano X=OP'.
Le coordinate geodetiche ortogonali sono alla base della cartografia catastale Italiana che presenta emanazioni (origini) varie sul territorio.
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▪
34
Coordinate cartesiane tridimensionali: un punto P viene determinato rispetto ad un origine semplicemente in base alla terna cartesiana individuata dal sistema di riferimento scelto. Tale sistema è oggi utilizzato nell’ambito della geodesia spaziale (GPS ed altre tecniche) anche per orientare ellissoidi di riferimento validi a livello globale.
Relazione fra coordinate geodetiche e cartesiane Orientando un ellissoide rispetto ad una terna di assi cartesiani, possono essere stabilite le seguenti relazioni fra coordinate geodetiche e coordinate cartesiane. x r cos N cos cos y r sen N cos sen z
a 1 e 2 sen
1 e sen 2
2
1/ 2
N 1 e 2 sen
Queste formule sono facilmente invertibili. Dalle coordinate cartesiane X, Y e Z è facile trovare e infatti: tg
Y X
ed è facile poi ricavare il valore di partendo dall’equazione della z e da una delle altre due dopo avere sostituito il valore di .
Le coordinate geocentriche sono sufficienti anche a definire la posizione tridimensionale di un punto della superficie fisica tenendo in considerazione la quota relativa all'ellissoide adottato. Le formule sopra diventano: x N h cos cos y N h cos sen
z N 1 e 2 h sen
Le osservabili in topografia
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Per calcolare latitudine, longitudine e quota ellissoidica dalla terna cartesiana si deve invertire il sistema. Il problema non ha una soluzione diretta e si deve procedere attraverso un calcolo iterativo che si mostra a titolo di esercizio.
Si parte considerando la distanza tra un generico punto P e l'asse z del sistema di riferimento: P X 2 Y 2 N h cos (1)
Trasformando al secondo termine in Z N h Ne
2
sen
e dividendo per P si ottiene,
Z N h sen Ne 2 sen Ne 2 (2) tg 1 N h P N h cos N h cos
Dalla (2), in cui il primo termine è noto, è possibile ricavare un primo valore di , approssimato, ponendo h=0,
Z 1 e2 P
1 arctg
1
(3)
A tale latitudine corrisponde un valore di N: N1
a
1 e sen 2
2
1/ 2
(4)
che sostituito nella (1) fornisce una prima soluzione per la quota h. Infatti si ottiene P N1 h1 cos1 . Introducendo adesso i valori ottenuti per N ed h nella (2) si ottiene un valore di 2. Ora si calcola N2 dalla 4 e quindi un secondo valore di h dalla 1 .. ecc. Si ottengono i valori di e h per il punto P. La longitudine si ricava sempre dalla relazione: tg
Y X
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Soluzioni approssimate per le superfici di riferimento Nei calcoli topografici le tre superfici, ellissoidica, sferica e piana, possono essere utilizzate per approssimare la reale forma terrestre con semplificazioni che aumentano nell'ordine. Per ogni tipologia di rilievo, ed in particolare in relazione all'estensione areale ed alla precisione richiesta, sarà possibile scegliere l'una o l'altra superficie di riferimento con l’accortezza che questa scelta non comprometta la qualità del rilievo stesso e del prodotto finale. Ovviamente le formulazioni analitiche saranno via via semplificate passando da una geometria ellissoidica a quella di un piano dove si possono, per esempio, utilizzare le ben note equazioni della trigonometria piana. Per quanto riguarda l'estensione del rilievo si considerano locali quelle operazioni che hanno come finalità la rappresentazione di oggetti o limitate porzioni di territorio (manufatti, piccole aree insediative, scavi archeologici, infrastrutture di estensione molto ridotta, caratteristiche morfologiche del territorio a grande scala ..). Nella maggior parte di questi casi l'approssimazione piana è valida. Le grandi reti topografiche planoaltimetriche od i rilievi per la realizzazione di opere infrastrutturali estese sul territorio devono, invece, essere necessariamente essere progettate su una superficie ellissoidica. Essendo note tutte le equazioni coinvolte nelle tre approssimazioni citate è possibile stabilire entro quale distanza la scelta di una superficie approssimata comporta un errore (nel calcolo delle posizioni e delle grandezze geometriche) accettabile considerati gli obiettivi del rilievo. Tale considerazione andrà distinta nei casi del rilievo planimetrico (determinazione delle coordinate planimetriche) ed altimetrico (determinazione della quota), essendo quest’ultimo maggiormente influenzato dalla curvatura terrestre. Campo topografico e campo geodetico Il limite entro il quale una superficie di riferimento approssimata può essere adottata al posto dell'ellissoide di rotazione viene stabilito in base a considerazioni che riguardano la miglior precisione raggiungibile nella misura di angoli e distanze. Nella misura delle distanze si può raggiungere una precisione dell'ordine di 1mm/1km, ovvero un errore relativo dell'ordine di un milionesimo (pari a 10-6). Nelle misure angolari la precisione raggiungibile è invece dell'ordine di 0,1" (≈ 0,5·10-6rad). Anche nella determinazione delle differenze di quote si possono fare considerazioni analoghe con precisioni che raggiungono 1mm di dislivello per punti distanti 1 km (errore di 10-6 nel rapporto errore in quota/distanza). Essendo quindi dell'ordine di 10-6 la migliore approssimazione delle misure eseguite sarà lecito adottare, nei calcoli topografici, una superficie diversa dall'ellissoide solo se questo non comporta errori che superano tale limite. Si definisce: ▪
Campo topografico: la distanza massima entro la quale la differenza relativa tra le coordinate di un punto su un piano tangente all'origine e le stesse coordinate sull'ellissoide di riferimento non supera il valore di 10-6. Tale distanza è di circa 15 km nel caso planimetrico e di circa 100 metri in quello altimetrico.
▪
Campo geodetico: la distanza massima entro la quale la differenza relativa tra le coordinate di un punto su una sfera locale tangente all'origine e le stesse coordinate sull'ellissoide di riferimento non supera il valore di 10-6. Ovviamente questa rappresenta una migliore approssimazione della precedente. In effetti tale distanza vale anche 200 km nel caso planimetrico e 10-20 km nel caso altimetrico.
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Le misure topografiche tradizionali: distanze, angoli e dislivelli Il rilevamento topografico tradizionale, ad esclusione quindi di metodi più recenti quali il GPS e le tecniche laser scanner aeree e terrestri, è basato sulla determinazione di alcune grandezze fondamentali che sono distanze, angoli e dislivelli. Queste grandezze, che vengono misurate grazie alla strumentazione utilizzata, sono alla base della risoluzione dei problemi topografici e vengono definite anche ‘osservabili’. Di seguito saranno descritte le principali misure topografiche con alcuni accenni alle procedure operative ed agli strumenti utilizzati. Obiettivo dei paragrafi successivi è quindi quello di illustrare le osservabili disponibili nella risoluzione dei problemi topografici, mentre per un dettaglio delle tecniche topografiche di misura si vedranno i capitoli successivi delle dispense. Della strumentazione utilizzata vengono solamente accennati i principi di funzionamento mentre per una descrizione approfondita dei vari modelli disponibili si rimanda ad altro materiale.
Misura degli angoli Gli strumenti per la misura di angoli rientrano nella classe dei goniometri ed oggi sono disponibili nei teodoliti elettronici (che consentono la sola misura di angoli) e nelle stazioni totali (che consentono la misura contemporanea di angoli e distanze sempre per via elettronica). Di questi strumenti ne esistono di vari tipi a seconda delle caratteristiche costruttive e delle precisioni che possono raggiungere nella determinazione della misura. Si consideri un punto O di origine sul quale s'intende fare stazione per determinare l'angolo sotto il quale si osservano i punti 1 e 2. Si definisce il piano di collimazione come quel piano contenente la verticale passante per l'origine O ed uno dei punti collimati. In questa configurazione possono essere definite le due grandezze (osservabili) che si possono misurare: - angolo azimutale (tra le direzioni 1 e 2 e misurato dall'origine O) è la sezione retta dell’angolo diedro formato dai due piani contenenti la verticale per O e passanti rispettivamente per A e B (piani di collimazione). Questo angolo può essere considerato coincidente con l’angolo compreso fra le due sezioni normali riferite alla superficie di riferimento (ad esempio l’ellissoide); - angolo zenitale (o distanza zenitale) è l’angolo che la linea di mira forma con la verticale per O. Nelle moderne misure topografiche le misure degli angoli sono sempre associate a quelle delle distanze in quanto le stazioni totali sono praticamente le uniche utilizzate nei rilievi. Tuttavia ai fini dei calcoli topografici le due osservabili possono anche essere utilizzate separatamente. Nella misura di angoli, così come di tutte le altre grandezze, la scelta degli strumenti da utilizzare sarà sempre funzione della precisione richiesta dal rilievo sia in termini di precisione della singola misura sia del risultato finale. Un principio generale è che rilievi di piccole estensioni richiedono strumenti meno sofisticati. Fanno eccezione applicazioni ingegneristiche che richiedono alta precisione nella misura delle grandezze. Tra queste si
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possono citare i collaudi di infrastrutture, le verifiche di stabilità di edifici o pendii ecc.. dove i movimenti ricercati sono anche dell'ordine di pochi mm. Le letture degli angoli azimutali e zenitali vengono effettuate da due goniometri presenti all'interno dello strumento. In figura una rappresentazione schematica di tale lettura dove z rappresenta la direzione verticale ed A e B indicano le due direzioni di collimazione.
: angolo zenitale
: angolo azimutale
La misura degli angoli, nei teodoliti elettronici moderni ed anche nelle stazioni totali, è interamente gestita dall’elettronica del sistema che fornisce i valori degli angoli zenitali ed azimutali direttamente sul display dopo la lettura automatica sui cerchi che sono codificati. Negli strumenti moderni questa lettura può avvenire per via incrementale (sul cerchio viene conteggiata la rotazione effettuata da cannocchiale o base per effettuare la collimazione) o grazie ad una codifica stampata sul goniometro (si tratta di una specie di codice a barre che viene interpretato dal sistema di lettura). Le stazioni totali (total station, o integrate) rappresentano lo strumento più utilizzato nelle operazioni topografiche moderne e soprattutto in ambito edilizio e comunque i tutti i cantieri che prevedono un continuo monitoraggio di parti e strutture. Come già detto esse uniscono le due funzionalità di misuratore di angoli e misuratore di distanza. Nelle versioni classiche l’operatore deve collimare l’oggetto e la misura di angoli e distanze viene fornita sul display. Inoltre il software installato è in grado di compiere una prima elaborazione dei dati in relazione alle funzionalità disponibili. Esistono anche versioni di stazioni totali che eseguono in modo automatico le misure grazie a sistemi robotizzati di collimazione. Queste stazioni sono particolarmente utili nelle operazioni di monitoraggio di infrastrutture (fase di esecuzione o collaudo) quando le misure devono essere ripetute nel tempo e diventa costosa la presenza di un operatore.
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Misura di distanze La misura di distanze tra punti riguarda sia la determinazione delle basi geodetiche facenti parte delle reti topografiche nazionali (con lunghezze di decine di chilometri) sia quella tra punti molto vicini fra loro come ad esempio nei rilievi locali (distanze di pochi metri o anche meno). Le distanze vengono oggi misurate con strumenti elettronici basati sull'emissione di onde elettromagnetiche che vengono genericamente chiamati distanziometri5. Esistono distanziometri ad onde e ad impulsi che eseguono misure della distanza compresa tra il centro geometrico dello strumento e l’oggetto collimato. Una misura di questo tipo viene definita inclinata e, per essere utilizzata nei calcoli topografici, deve essere ricondotta alla superficie di riferimento scelta. Questa procedura viene definita di “riduzione” delle distanze inclinate e porta alla determinazione della distanza orizzontale che rappresenta la osservabile distanza. La distanza orizzontale sarà a sua volta un arco di geodetica che congiunge le proiezioni di A e B sulla superficie di riferimento.
Principio di funzionamento dei distanziometri elettronici Come detto i distanziometri generalmente si suddividono in due grandi categorie: distanziometri ad onde e distanziometri ad impulsi. Nei distanziometri ad onde la misura della distanza si effettua accoppiando un distanziometro ad un prisma retroriflettente. I due vengono posti, su due treppiedi, alle estremità della base che si vuole misurare e quindi avranno una certa quota rispetto al terreno o, meglio, rispetto al caposaldo di riferimento. Il segnale generato dal distanziometro viene riflesso dal prisma e torna al distanziometro che si occupa di registrarlo e calcolare la distanza esistente tra il centro dello strumento e il centro del prisma. Il calcolo della distanza è possibile grazie ad una misura di sfasamento tra il segnale in uscita ed il segnale in arrivo.
5
I distanziometri possono costituire uno strumento singolo oppure essere parte delle stazioni totali o integrate già viste.
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La propagazione delle onde elettromagnetiche è rappresentabile attraverso un onda sinusoidale di frequenza f, ampiezza A, frequenza angolare e fase iniziale 0 del tipo f (t ) A sen(t o ) . Il segnale emesso all'istante iniziale tu avrà equazione: f (t u ) A sen(t u o )
mentre al suo ritorno al distanziometro dopo un tempo t (andata e ritorno del segnale), si avrà: f (t r ) A sen (t u t ) o
lo sfasamento tra onda trasmessa ed onda ricevuta sarà r u t
2 ( nT T ) T
dove T rappresenta il periodo dell'onda (tempo impiegato per compiere un ciclo). A questo come si vede viene aggiunta una quantità T corrispondente alla frazione dell'onda registrata in ritorno allo strumento. Se indichiamo con d la distanza distanziometro-prisma potremo scrivere la seguente relazione 2 d n 2 L d n
2
L
dove n rappresenta il numero intero di lunghezze d’onda contenute nella distanza da misurare ed L la frazione di lunghezza d’onda rimanente. Quindi se l'emettitore trasmette a una certa lunghezza d'onda la misura della distanza è nota a meno delle grandezze n ed L. Queste grandezze vengono risolte rispettivamente grazie all'utilizzo di un segnale a due frequenze ed alla misura dello sfasamento fra il segnale ricevuto e la sua replica.
La precisione di un distanziometro è esprimibile nel seguente modo, D a bD dove la costante a tiene conto della capacità del discriminatore di fase nell’eseguire il confronto tra il segnale in ingresso e quello replicato dallo strumento e la seconda (b) è funzione della distanza misurata. I prismi retroriflettenti sono costituiti da più prismi retrodirettivi. Il cammino ottico sulle facce dei prismi fa si che la distanza misurata sia generalmente maggiore di quella effettiva: di ciò si tiene conto attraverso la costante del prisma. In pratica ad ogni distanziometro è associato un particolare prisma e la misura di distanza effettuata viene corretta in automatico essendo nota tale costante. Nei distanziometri ad impulsi non è richiesto l'uso di un prisma e possono essere collimati punti naturali o parti di manufatti (generalmente parti di facciate e particolari di piccoli oggetti da rilevare). Questi strumenti prevedono la misura del tempo che impiega un impulso a percorrere il percorso di andata e ritorno tra strumento ed oggetto collimato. La precisione del metodo è quindi legata dalla capacità da parte dello strumento di discriminare un tempo t. Da questa misura, in assenza di effetti atmosferici, si deduce la distanza vt D 2 Con v si intende la velocità di propagazione dell’impulso e con t il tempo misurato. Occorre specificare che per raggiungere precisioni millimetriche nella misura di distanze è necessario misurare il tempo con un precisione di 10-12 sec (1 pico-secondo). Di norma gli impulsi utilizzati vengono emessi da un diodo laser.
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Riduzione della distanza inclinata Nella determinazioni delle distanze in topografia occorre allora tener conto dell’inclinazione della linea di mira e della quota dei punti coinvolti nelle misure. Le procedure per effettuare la riduzione sono molteplici: in uno schema tra quelli possibili la distanza inclinata AB viene ridotta sulla sfera locale a partire dalla misura dell’angolo zenitale letto in A mentre si collima B. Lo schema è il seguente Siano: quota del punto A QA quota del punto B QB AB angolo zenitale misurato in A distanza inclinata AB di altezza strumento in A hstr hmira altezza mira in B distanza ridotta S0 R
raggio della sfera locale
N
Quantità note: QA; R Quantità osservate: AB, di, hstr; hmira Incognite: distanza ridotta S0=A0-B0 Sul punto A viene posto lo strumento di misura (stazione totale o distanziometro) che, dopo la collimazione al prisma posto in B, consente la determinazione dell’angolo zenitale in A e della distanza AB. Si costruisce la seguente geometria: dal centro del prisma posto in B si manda la perpendicolare sulle normale passante in A: il triangolo ABC che si viene a formare ha per ipotenusa la distanza inclinata di e per cateti di senAB e di cosAB; il triangolo rettangolo BCO (dove O è il centro della sfera locale non visibile nella figura) ha per cateti
BC d i sen AB CO R Q A hstr d i cos AB
Le osservabili in topografia
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La tangente dell’angolo al centro vale: tan
d i sin AB R Q A hstr d i cos AB
d i sin AB Q hstr d i cos AB R 1 A R
Visto che la distanza misurata è una frazione molto piccola della quantità R, la tangente dell’angolo tende al valore dell’angolo stesso espresso in radianti
d i sin AB Q A h str d i cos AB 1 R R
1
La quantità tra parentesi quadra è del tipo (1+x)-1, con x<<1 per cui risulta che, a meno di potenze di ordine superiore in x, (1+x)-1 (1-x) [vedi nota6] e quindi:
d i sin AB R
Q h str d i cos AB 1 A R
Visto che può essere posto uguale a So/R: Q h str d i cos AB S 0 d i sin AB 1 A R
ottenendo la distanza ridotta alla superficie di riferimento scelta che, considerate le distanze in gioco in questo tipo di operazioni, può essere la sfera locale. In presenza di effetti di rifrazione atmosferica l’angolo zenitale dovrebbe essere inizialmente corretto di una quantità che rappresenta la deviazione dal percorso rettilineo del segnale ottico.
6
per le proprietà delle serie binomiali
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Le reti topografiche Le reti geodetiche nazionali rappresentano il riferimento fondamentale per l'inquadramento dei rilievi plano-altimetrici ed hanno previsto l’esecuzione di misure angolari a partire da alcune basi note grazie alla misura delle distanze tra i punti7. In Italia la rete del primo ordine è quella che include i punti di maggiore precisione rilevati attraverso i metodi topografici della “triangolazione”. Essa è stata creata dall'Istituto Geografico Militare e prevede triangoli con lati di 40-50 km come indicato nella figura. I vertici della rete prevedono dei caposaldi a terra di coordinate note che, nei rilievi topografici, rappresentano dei riferimenti per l’inserimento delle misure in uno dei sistemi di coordinate possibili. Esiste poi la rete di secondo ordine che raffittisce la prima e prevede basi di minore lunghezza (circa 20-30km). Tutti i vertici delle reti topografiche sono riportati in monografie disponibili presso un catalogo dei vertici a cura dell’IGMI I punti del terzo e quarto ordine contribuiscono a densificare localmente le reti di ordine superiore anche se l'affidabilità delle coordinate riportate in monografia e la stabilità dei monumenti decrescono negli ordini inferiori. Nella figura sotto un esempio di monografia per un vertice della rete del quarto ordine.
7
Invece per gli usi esclusivamente altimetrici si vedrà che esiste anche una rete nazionali di livellazione che presenta delle caratteristiche di maggiore accuratezza nella definizione delle quote dei punti.
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Misure dei dislivelli Si è già visto come le quote possano essere riferite alla superficie geoidica (quota geoidica o ortometrica o s.l.m.) o a quella ellissoidica (quota ellissoidica). Le procedure viste fino a questo punto presuppongono un riferimento iniziale, al momento delle misure, di tipo geoidico. Basti pensare che lo strumento viene messo in stazione prendendo come direzione di riferimento la verticale passante per il punto, stabilita dalla direzione del filo a piombo. La misura assoluta delle quote può rappresentare un problema in quanto non è scontato avere un riferimento altimetrico sicuro nei pressi nei pressi dell’area di lavoro. Infatti si parla più spesso di misurare dei dislivelli, ovvero delle differenze di quota tra i punti. Questa operazione porta alla determinazione di una nuova osservabile che si chiama appunto dislivello mentre l’operazione di misura e la livellazione. I dislivelli possono poi essere convertiti in quote assolute sul livello del mare se è nota la quota ortometrica di un punto coinvolto nel rilevamento. Di questo punto deve essere nota la quota rispetto ad un riferimento altimetrico di quota zero appartenente al geoide che può essere approssimato dalla superficie marina media. Questo è vero in quanto la superficie media dei mari si dispone secondo una superficie equipotenziale se viene immaginata libera dai movimenti perturbatori quali i moti ondosi, le correnti e maree. Questi movimenti possono essere misurati attraverso un mareografo che registra le oscillazioni marine in un certo punto per un periodo di tempo sufficientemente lungo. La quota mareografica viene poi riferita ad un caposaldo che costituisce l'origine delle quote nelle determinazioni (livellazioni) successive. Per l'Italia il caposaldo fondamentale è quello collegato al mareografo di Genova. Da tale caposaldo vengono emanate tutte le quote riferite al livello medio mare.
Lo strumento utilizzato nella misura dei dislivelli prende il nome di livello. Anche per l’altimetria esiste una rete di livellazione estesa su tutto il territorio e rilevata con il metodo della livellazione geometrica dal mezzo (si vedrà nel paragrafo dedicato) che consente di determinare il dislivello tra punti distanti non più di 100 m l’uno dall’altro con una singola operazione di lettura (battuta di livellazione). Per trovare il dislivello tra punti più lontani, vengono eseguite più battute di livellazione lungo la cosiddetta linea di livellazione e si sommano algebricamente i singoli dislivelli ottenuti in ciascuna stazione.
Le osservabili in topografia
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In Italia esiste una rete nazionale di livellazione di alta precisione agganciata al mareografo fondamentale che include caposaldi con quota ortometrica nota. Quindi agganciando una operazione di livellazione a tale rete si potranno trasformare i dislivelli in quote. Anche questa rete è stata realizzata dall'I.G.M nel secondo dopoguerra ed è costituita da 18000 km di livellazione in uno schema che prevede la creazione di poligoni collegati fra loro e con il mareografo fondamentale di Genova. Di ognuno di essi esiste la monografia che ne descrive caratteristiche, ubicazione ecc. Oltre all'interesse di tipo tecnico le livellazioni di precisione rivestono una notevole importanza nello studio del geoide, per le indagini relative ai fenomeni di subsidenza e di instabilità dei versanti ed in tutte le operazioni di cantiere, collaudo e monitoraggio di edifici pregevoli ed in tutte le opere dell’ingegneria civile. Inoltre, considerata la precisione sub-millimetrica che tale metodologia offre, i caposaldi dovranno garantire una notevole stabilità ed individuare precisamente la superficie a cui riferire la misura di livellazione.
I metodi di rilevamento tradizionali
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I metodi di rilevamento tradizionali Di seguito vengono elencati i principali metodi di rilevamento a partire da quelli planimetrici per arrivare a quelli altimetrici. Questa suddivisione segue una schema di tipo tradizionale anche se oggi la strumentazione disponibile (stazioni totali e, come vedremo, il GPS) consente di eseguire osservazioni di tipo tridimensionale, ovvero rilievi planimetrici ed altimetrici allo stesso tempo. L’analisi delle misure tramite le osservazioni indirette consente poi di elaborare i dati planimetrici ed altimetrici anche contemporaneamente. Per alcuni dei metodi che saranno passati in rassegna vedremo sia la soluzione geometrica del problema sia quella ottenute tramite le osservazioni indirette. La prima prevede normalmente un numero minimo necessario di osservazioni mentre il secondo presenta il vantaggio di fornire una soluzione anche in presenza di osservazioni ridondanti che rafforzano l’affidabilità della soluzione stessa.
Rilievo planimetrico con misura di angoli e distanze I seguenti rappresentano i principali metodi operativi utilizzati nel rilevamento planimetrico. Alcuni di questi, come i primi che si vedranno, comportano la sola misura di angoli azimutali a partire da un vertice stabilito (ad esempio un vertice trigonometrico) indicato in figura con la lettera S. Altri, come il metodo delle poligonali, includono anche la misura di distanza e dell’angolo zenitale per sua riduzione alla superficie di riferimento. Tuttavia anche questi ultimi rimangono rilevamenti planimetrici in quanto il calcolo finale delle coordinate e in genere solo planimetrico. Queste procedure possono essere eseguite con goniometri o stazioni totali, considerando che queste ultime sono le più diffuse nelle applicazioni moderne.
Misura delle direzioni uscenti da un punto Si citeranno per primi i tre metodi più diffusi per la misure delle direzioni (angoli) uscenti da un punto. ANGOLI SEMPLICI A GIRO D'ORIZZONTE Si fa stazione nel punto S e si collima nel punto A, si legge il valore al cerchio orizzontale. Si collima poi il punto B e si legge il cerchio orizzontale. Si inverte il cannocchiale e si ruota l'alidada di 200° (procedura detta delle letture coniugate), si rilegge al punto B e poi di nuovo al punto A sempre nel cerchio orizzontale. La differenza fra la media delle letture coniugate fornisce il valore dell'angolo ASB. La stessa sequenza viene utilizzata per l'angolo BSC e, successivamente, per gli altri su tutto l'orizzonte. Al termine la somma degli angoli misurati dovrebbe fornire il valore dell'angolo piatto (400° o 360° a seconda del sistema adottato) a meno degli errori commessi che ovviamente saranno sempre presenti. In questo modo è possibile procedere ad un controllo delle osservazioni8. Si osservi che per r direzioni sono necessarie complessivamente 4r collimazioni e letture. Nelle stazioni totali robotizzate i movimenti necessari per le letture coniugate vengono effettuati dallo strumento in totale autonomia con collimazione automatica delle mire o prismi posti nelle direzioni uscenti da s.
8
Una valutazione rigorosa degli errori commessi si può ottenere attraverso il metodo delle osservazioni condizionate (non discusse in queste dispense) dove si impostano delle condizioni che devono essere rispettate dalle misure. La somma degli angoli interni, in questo caso, rappresenta proprio una di queste condizioni.
I metodi di rilevamento tradizionali
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METODO DELLE DIREZIONI ISOLATE Facendo stazione nel punto S si collima un punto O, origine delle misure ed esterno a quelli da misurare. Si legge al cerchio orizzontale, poi si collima il punto A e si eseguono le letture coniugate, poi di nuovo ad O (nella posizione opposta del cerchio rispetto alla prima lettura). La differenza tra la media delle letture coniugate fornisce il valore dell'angolo OSA. Si procede in questo modo tenendo sempre come riferimento il punto O esterno. Contrariamente al metodo precedente, le misure sono indipendenti e le varie direzioni si ottengono come differenze tra le singole letture. Il metodo è meno accurato del precedente (per sempio non è possibile compensare i valori letti) ma presenta alcuni vantaggi legati alla possibilità di eseguire le misure nell'ordine preferito.
METODO DEGLI STRATI Si fa stazione in S, si collima il primo punto e si legge, poi si collimano in successione tutti gli altri punti fino all'ultimo, per il quale si esegue anche la lettura coniugata. Nella posizione coniugata si eseguono a ritroso tutte le altre misure fino al punto di partenza. Questo rappresenta il cosiddetto strato. In questa modalità per un numero r di direzioni si eseguono 2r collimazioni totali ma la procedura deve essere interamente portata a termine per chiudere correttamente lo strato. Infatti, in questo caso, un accidentale movimento della strumentazione o l’esigenza di sospendere le misure per fattori di varia natura comporta una nuova misurazione dello strato. Se la misura richiesta deve essere molto accurata lo strato può essere ripetuto per n volte per avere un campione significativo della grandezza misurata. Anche in questo schema non vi è la possibilità di compensare le osservazioni ma il valore più plausibile di ogni angolo si potrà ottenere dalla semplice media delle n reiterazioni effettuate. L'errore associato alla media, come già visto, si può ricavare a posteriori in funzione degli scarti dei singoli valori dal valore medio che chiameremo v
2
v n(n 1)
dove n il numero delle reiterazioni effettuate per lo strato. I tre metodi visti sono tutti utili ai fini di un rilevamento e la dipenderà dalla precisione richiesta (e quindi dagli scopi del che i metodi che consentono la compensazione finale dei offrono maggiori garanzie in termini di affidabilità del risultato
scelta di uno in particolare rilievo) ricordando sempre valori (“giro d’orizzonte”) finale.
Metodi di riattacco e raffittimento Quando un rilievo deve essere riferito al sistema cartografico nazionale occorre inserire nello schema geometrico delle osservazioni alcuni vertici per i quali si conoscono le coordinate cartografiche nel sistema di riferimento desiderato. La rete geodetica Italiana non presenta una densità dei vertici tale da prevedere, in ogni caso, punti in prossimità dell’area dove si svolge il rilievo. Per questo motivo, se il rilievo deve essere inserito nel contesto cartografico a varia scala, occorre procedere ad una fase di inserimento di nuovi vertici in quelli preesistenti fino a creare una nuova rete topografica a scala idonea per gli scopi del lavoro. Questa procedura richiede l’esecuzione di misure di angoli, distanze, osservazioni GPS o anche miste e porta alla creazioni di nuove reti topografiche a livello
I metodi di rilevamento tradizionali
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locale e di varia estensione che saranno parte della rete generale. Questa operazione viene anche definita “inserimento” o “inquadramento” della rete locale. Reti topografiche a carattere locale possono essere eseguite per scopi tecnici, finalizzate non solo all’inquadramento di nuova cartografia ma anche ai lavori di tracciamento di infrastrutture lineari (strade, gallerie…), al controllo di movimenti del terreno (frane, dissesti, subsidenza..) o di strutture (dighe, ponti..). Le misure che collegano i punti in una rete possono essere quelle sino ad ora discusse oppure, sempre più frequentemente, possono essere eseguite con ricevitori GPS9. Anche la soluzione mista è sempre più frequente. Nel caso di misure su una rete topografica è necessario che il collegamento tra i punti avvenga con misure in numero sovrabbondante, rispetto al minimo necessario, in modo da potere effettuare controlli sulle misure stesse attraverso il metodo delle osservazioni indirette (tale procedura prende il nome di compensazione delle osservazioni). Stabiliti alcuni nuovi vertici nella zona di interesse occorre creare un ulteriore raffittimento all’interno dell’area di rilievo. Questo può avvenire tramite ulteriore riattacco di nuovi vertici a quelli già esistenti oppure grazie al raffittimento della nuove rete locale inquadrata, a sua volta, nel contesto delle reti geodetiche nazionali. Le due soluzioni possono essere anche utilizzati in combinazione a seconda delle esigenze. Questi metodi sono variamente applicati anche in ambito urbano ed, infatti, nelle città possono esistere reti di raffittimento di passo (o maglia) variabile. In questo capitolo saranno discussi i metodi di riattacco e raffittimento che consentono il collegamento la creazione di vertici locali, ovvero nell’area del rilievo, a partire da vertici facente parte di reti più estese. Mentre il riattacco richiede l’esistenza di almeno due vertici noti nell’area operativa, il raffittimento consente proprio la creazioni di tali vertici, in numero e disposizione a piacere, partendo da vertici noti anche relativamente distanti tra loro. Quindi il raffittimento potrebbe essere funzionale alle operazioni di riattacco. Si vedranno per primi i metodi di riattacco che, nello schema più semplice, prevedono l’esecuzione di un numero strettamente necessario di misure (ovvero due, essendo due le coordinate piane del punto incognito) da riattaccare. Il riattacco è applicato per estensioni di terreno che sono ampiamente contenute nel campo topografico e quindi soggette ad ipotesi piane. I calcoli saranno quindi eseguiti utilizzando le coordinate cartesiane piane. Riattacco con intersezione in avanti Il problema generale è quello della determinazione delle coordinate di un punto P non accessibile (dall’operatore con gli strumenti) a partire da quelle note di due punti A e B che possono essere parte di una rete di raffittimento o vertici di una poligonale.
Note le coordinate ( x A , y A ) e ( x B , y B ) di due punti si devono determinare le coordinate ( x P , y P ) di un punto incognito e non stazionabile attraverso la misura degli angoli azimutali e . Si può quindi utilizzare un teodolite o una stazione totale.
9
Anche se la densificazione di reti estese può essere fatto con le misure topografiche tradizionali, oggi viene principalmente eseguito con tecnica GPS (vedi il capitolo relativo). Questa tendenza dipende dalla produttività del metodo (e quindi dall’economia) garantita dal GPS soprattutto per rilievo su aree vaste.
I metodi di rilevamento tradizionali
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La distanza AB = c è nota, essendo noti i vertici, e si calcola dall'equazione c
yB y A cos AB
L'angolo θAB, compreso tra la direzione di riferimento parallela all’asse delle y ed il segmento AB (contato in senso orario), viene definito anomalia e si ricava facilmente dalla formula tg AB
xB x A x xA AB arctg B yB yA yB y A
Eseguite le misure degli angoli e si hanno a disposizione gli elementi sufficienti per risolvere il problema applicando le formule della trigonometria piana (essendo valida l'approssimazione del campo topografico). La distanza b si ricava dal teorema dei seni b c csen b sen sen[ ( )] sen( )
visto che AP AB , si possono calcolare le coordinate di P considerando che
x P x A bsen AP y P y A bcos AP In questo caso non sono presenti misure sovrabbondanti e quindi non sarà possibile eseguire un controllo sul risultato o compensare i valori10. Se fosse noto un terzo punto, dal quale osservare un terzo angolo azimutale, le misure diventerebbero sovrabbondanti in quanto le incognite rimangono 2 (coordinate di P) ma le osservazioni diventano 3 (gli angoli azimutali misurati) è sarebbe quindi possibile compensare le misure e rafforzare le soluzioni finali con un calcolo dell’errore associato al alle coordinate del vertice P. Tuttavia, l’errore associato alla posizione del punto P si può ottenere anche dalla legge sulla propagazione della varianza applicata alle formule sopra. Si parte dagli errori associati agli angoli e (relativi ad esempio allo strumento utilizzato o ottenuti dalla ripetizione delle misure eseguite) e si ottiene l’errore sulle coordinate xp e yp. Nell’esecuzione delle derivate parziali i valori della distanza AB e di AB possono essere considerati privi di errore, perché provengono da elementi noti e quindi occorre differenziare solo rispetto le variabili e .
10
Il metodo delle osservazioni indirette può essere applicato anche quando il numero delle incognite è uguale a quello delle osservazioni. Ovviamente in questo caso la soluzione è univoca ed identica a quella generata dall’applicazione della trigonometria piana.
I metodi di rilevamento tradizionali
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Esempio numerico. Ricordiamo che per risolvere una figura geometrica occorrono almeno 2n-3 elementi noti, dove n rappresenta il numero di vertici dell’elemento geometrico in questione. Ad esempio per un triangolo dovranno essere noti almeno 3 elementi per definire le grandezze del triangolo stesso. Nello schema dell’intersezione in avanti i tre elementi necessari sono i due angoli azimutali misurati e la distanza tra i due punti di stazionamento che è nota in quanto sono note le coordinate degli stessi punti. In questo caso le misure effettuate sono le minime indispensabili per risolvere il problema e non sarà quindi possibile compensare i valori e determinare l’errore associato alle incognite su base statistica. Seguendo lo schema geometrico appena visto, siano disponibili le seguenti coordinate dei vertici A e B in un sistema di riferimento arbitrario x A 500 m y A 500 m
x B 1500,0 m y B 1000,0 m
e gli angoli azimutali e misurati con stazione totale = 33°28’14’’ = 33,470555 = 87°18’37’’ = 87,310277
Si può ricavare immediatamente AB = 63°.434948 e dalla c
yB y A si ricava che c = 1118,0 m cos AB
csen b c 1116,8m b 1300,0m sen( ) sen sen[ ( )] 0,8591
AP AB 29,964393
x P x A bsen AP 500,0 649,3 1149,3m y P y A bcos AP 500,0 1126,2
1626,2m
Riattacco con intersezione laterale Il problema è del tutto simile al precedente con la differenza che invece di fare stazione sui due punti noti A e B si fa stazione su un punto noto, per esempio A, e sul punto incognito P (che quindi deve risultare accessibile). Il problema si risolve in maniera del tutto analoga al precedente e le osservazioni fatte possono essere ripetute.
I metodi di rilevamento tradizionali
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Utilizzo delle osservazioni indirette nei metodi di riattacco Il rilievo per intersezione può essere risolto con il metodo delle osservazioni indirette applicate all’osservabile “angolo azimutale”. Consideriamo lo schema generico
L’equazione all’osservazione per l’angolo azimutale sa si vale x xs x xs arctg a K sa arctg i K si sia mis v [equazione dell’angolo azimutale] ya y s yi y s
dove compaiono i residui visto che l’angolo teorico non può essere uguale a quello misurato per via degli errori che sempre si compiono. Il coefficiente K va aggiunto in funzione del quadrante nel quale cade la direzione. K=0 K=200 K=400
I quadrante II e III quadrante IV quadrante
Visto che per ricondurci alle equazioni viste nel metodo delle osservazioni indirette occorre trasformare l’equazione in una forma lineare, si deve linearizzare applicando la serie di Taylor (fermata al primo ordine) all’equazione dell’angolo azimutale. f f ( x s , y s , x i , y i , x a , y a ) f ( x s0 , y s0 , xi0 , y i0 , x a0 , y a0 ) x s f x a
f x a y 0 a
f x s y 0 s
f y s x 0 i
f xi y 0 i
y i 0
y a 0
Eseguendo le derivate parziali rispetto alle incognite si ottiene la forma lineare y ao y so y io y so (d o ) 2 (d sio ) 2 sa sia mis v
o sia
o o o o x x a x s xi x s s (d o ) 2 (d sio ) 2 sa
o o o o o o o o y y i y s x xi x s y y a y s x x a x s y s i i a a o 2 o 2 (d sio ) 2 (d sio ) 2 (d sa ) (d sa )
dove
0 f ( x s0 , y s0 , xi0 , yi0 , x a0 , y a0 ) arctg sia
x 0 x s0 K sa arctg i K si 0 0 0 0 ya ys yi y s x a0 x s0
I metodi di rilevamento tradizionali
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ottenuto sostituendo dei valori approssimati della variabili (note a priori o in modo approssimato) che descrivono la funzione nell’intorno del punto di linearizzazione. Quindi la forma generale, non lineare, può essere riassunta nella seguente forma lineare 0 a1 x s a 2 y s a 3 xi a 4 y i a 5 x a a 6 y a ( sia mis sia )v
I coefficienti a rappresenteranno le parti note che moltiplicano le variabili nel sistema normale che nasce dalle osservazioni disponibili. Tra parentesi compaiono le discrepanze, ovvero le differenza tra il valore dell’angolo misurato e quello noto a priori. Come si vede la misura di un angolo azimutale fornisce un’equazione nelle incognite x e y relative ai tre punti coinvolti. In funzione del tipo di rilievo alcune coordinate possono essere note e quindi, non dovendo differenziare rispetto tali valori, esse non compariranno nell’equazione e così neanche i coefficienti associati. Vediamo un esempio di intersezione in avanti dove si aggiunge una misura azimutale al caso esposto nell’esercizio precedente. Le misure diventano ridondanti ed è possibile compensare i valori applicando il metodo delle osservazioni indirette.
Facendo stazione sui punti noti A, B e C si vogliono determinare le coordinate del punto P misurando gli angoli , , e come in figura. Gli angoli sono misurati con strumentazione che fornisce una accuratezza di 5”. Si hanno così 3 osservazioni (numero delle misure eseguite) nelle 2 incognite che sono le coordinate X p e Y p . Il sistema pertanto è ridondante.
Occorrono dei valori approssimati ( X 0p , Y p0 ) delle coordinate del punto P e le incognite diventeranno le discrepanze x p X p X 0p y p Y p Y p0
Che una volta risolto il problema saranno applicate al valore approssimato per ottenere il valore vero. X A 500 m Le coordinate dei punti noti valgono Y A 500 m
X B 1500 m YB 1000 m
X C 1700 m YC 1500 m
mentre gli angoli misurati sono i seguenti = 33°28’14’’ = 33°,47055556 = 0.5841714r r = 87°18’37’’ = 87°,31027778 = 1.5238518 r = 81°06’31’’ = 81°,10853573 = 1.415611
I metodi di rilevamento tradizionali
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Scriviamo le 3 equazioni alle osservazioni relative generate dalle misure di , , e X Xa X X mis v1 arctg p Y p Ya X p Xb X Xb mis v 2 arctg 2 arctg a Y p Yb Ya Yb X p Xc X Xc mis v3 arctg 2 arctg b Y p Yc Yb Yc
a AB AP arctg b Y Y b a
BP BA CP CB
Prima di linearizzare occorre trovare delle coordinate a priori per il punto P. Queste si possono ricavare dall’intersezione semplice applicata per esempio al triangolo PAB, esercizio già visto che ha fornito le seguenti coordinate X 0p 1149,30m Y p0 1626,20m
Per uniformità delle grandezze che compaiono nelle equazioni occorre trasformare tutti gli angoli in radianti. La linearizzazione (con sviluppo in serie di Taylor) avviene differenziando rispetto alle incognite x p ed y p . Si ottengono le seguenti equazioni lineari Y p0 Ya X 0p X a x p (d opa ) 2 (d opa ) 2
y p mis v1
Y p0 Ya o 2 (d pa )
X 0p X a x p (d opa ) 2
y p ( mis o ) v1
Y p0 Y X 0p X b b x p (d opb ) 2 (d opb ) 2
y p mis v 2
Y p0 Y b (d opb ) 2
X 0p X b x p (d opb ) 2
y p ( mis o ) v 2
X 0p X c Y p0 Yc x p (d opc ) 2 (d opc ) 2
y p mis v 3
Y p0 Yc (d opc ) 2
X 0p X c x p (d opc ) 2
y p ( mis o ) v 3
o
o o
a11 x1 ... a1n x n b1 v1 A questo punto ci siamo ricondotti al caso generico ... a x ... a x b v mn n m n m1 1
Ax b v
dove i residui compaiono in quanto le coordinate a priori utilizzate in prima approssimazione non possono rispettare le singole osservazioni. I valori 0 , 0 , 0 sono i valori f ( x 0 ) , quelli determinati sostituendo le coordinate note e quelle approssimate nella funzione da derivare X Xa X X arctg p Y p Ya X p Xb X Xb 0 arctg 2 arctg a Y Y Y Y p b a b X p Xc X Xc 2 arctg b 0 arctg Y p Yc Yb Yc
a 0 arctg b Yb Ya
33°,469755 = 0,5841574 r 87°,314274 = 1,5239216r 81°,105791 = 1,4155631 r
Nei coefficienti tra parentesi quadra compaiono le distanze tra P ed i vari punti noti che si possono calcolare sempre a partire dalle coordinate approssimate di P e da quelle note di A, B e C.
I metodi di rilevamento tradizionali
X
d pa
X X
d pb d pc
0 p
Xa
0 p
Xb
0 p
Xc
Y 2
Y Y
0 p
2
0 p
2
0 p
Ya
2
Y Yb
2
2
c
54
= 1299,968 m = 717,716 m = 564,975 m
A questo punto cominciamo a costruire le matrici coinvolte nel calcolo MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero incognite) ed è rappresentata dai termini racchiuse dalle parentesi quadre. La matrice A(3x2) sarà la seguente 0,000666423 0,000384220 A
0,001215646
0,000680816
0,000395367
0,001725267
VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del problema. Il vettore x (2x1) sarà x
xp yp
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, ovvero una per ogni osservazione) x 1. Il vettore (3x1) sarà 0,000014 b 0,000070
0,000048
Troviamo la soluzione xˆ ( AT PA) 1 AT Pb N 1 AT Pb calcolando prima di tutto la matrice normale 0,000666423 0,000384220 N
0,001215646
0,000680816
0,000395332
0,001725267
(2 x3)
T
0,000666423 0,000384220 P
0,001215646
0,000680816
0,000395332
0,001725267
(3 x3)
(3x 2)
La matrice dei pesi può essere considerata unitaria in quanto tutte le misure hanno la stessa accuratezza (5”). Potremmo anche fissare una varianza dell’unità di peso (che è comunque arbitraria all’inizio della procedura) di 5”, in modo che i singoli pesi siano tutti unitari. Questo semplifica il calcolo ma per misure dello stesso peso il risultato finale non cambierebbe con un valore generico della varianza dell’unità di peso in quanto i singoli pesi rimangono tutti uguali. La matrice dell’unità di peso unitaria (3x3) sarà del tipo 1 0 0 P 0 1 0
0 0 1
Si ottiene una matrice normale N
x N 1 AT Pb
0,054 0,030
2,078 10 6 1,254 10 6
1,254 10 6 3,588 10 6
(metri)
Visto che x p X p X 0p e y p Y p Y p0 si ricavano i valori delle incognite compensate che saranno
I metodi di rilevamento tradizionali
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X p X 0p x p 1149,30 0,054 1149,246 m Y p Y p0 y p 1626,20 0,030 1626,230 m
Questo può essere considerato come un risultato di prima iterazione. Infatti i nuovi valori (più accurati) delle coordinate approssimate del punto P possono essere utilizzati per affinare la procedura di linearizzazione delle equazioni. Questo significa ricalcolare i nuovi coefficienti della matrice A ed il vettore dei termini noti b (metodo degli Iperpiani Tangenti) oppure aggiornare solamente il vettore dei termini noti b (metodi degli Iperpiani Paralleli). In entrambi i casi le iterazioni si fermeranno quando la soluzione converge nei limiti desiderati, ovvero quando soluzione t – soluzione t-1 < termine soglia Consideriamo la soluzione accettabile e vediamo come si ottiene la stima dell’errore associato alle coordinate. Occorre calcolare la matrice di varianza-covarianza C x 02 N 1 supponendo di avere una varianza dell’unità di peso di 5” = 2,42 10-5 rad. Cx
2 Xp Xp ,Yp 02 2 Yp
2,078 10 6
1,253 10 6 3,588 10
6
1
3,58 10 4
1,25 10 4
2,07 10
4
(m2)
Si ricavano quindi i valori degli scarti quadratici medi Xp 0,019m, Yp 0,014m che come si vede sono di un ordine di grandezza inferiore ai risultati. Come ultima considerazione calcoliamo i semiassi maggiore e minore dell’ellissi d’errore dalla formula 2 ( X2 Y2 ) ( X2 Y2 ) 2 4 XY
2
Semiasse max = 0,020 m, Semiasse min = 0,011 m
L’inclinazione dell’asse di rotazione è data da
2 1 arctg 2 XY 2 2 X Y
( X2 Y2 ) 0 e xy 0 , l’ellissi ricade nel caso in cui 0 < < -45.
= -0,51445r = -29°,47. Visto che
I metodi di rilevamento tradizionali
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Irradiamento L’utilizzo dei distanziometri ad onde consente il collegamento di un punto incognito P a due punti noti in modo molto speditivo grazie al rilievo per irradiamento (o per polari). Occorre fare stazione su di un punto noto (A nella figura), collimare un altro punto anch’esso noto (B nella figura), ed eseguire la misura dell’angolo azimutale rispetto a P e della distanza dAP (ridotta all’orizzontale). Le coordinate di P sono immediate in quanto è nota l’anomalia AP AB dopo la misura di . x P x A dsen AP
y P y A d cos AP
Per ottenere AP occorre calcolare l’anomalia relativa alla direzione AB:
AB arctg
xB x A yB y A
Il metodo permette di stazionare su un solo vertice ed è quindi più economico, da un punto di vista operativo, delle intersezioni in avanti e laterali. Le misure sono in numero strettamente sufficienti a determinare le incognite e non consente quindi alcun controllo. Raffittimento tramite poligonali Come già detto la poligonale entra in gioco nei rilievi a grande scala quando occorre istituire una valida rete di appoggio per il successivo rilievo di dettaglio. Si utilizza nei cantieri, nei rilievi dei siti archeologici ai fini della loro rappresentazione cartografica oppure nel rilievo di oggetti, manufatti, infrastrutture ecc. localizzati in aree di limitata estensione. Vedremo le poligonali aperte e le poligonali chiuse, anticipando già da ora che nel rilievo entrano in gioco anche le misure di distanza che saranno da ridurre alla superficie di riferimento prima di eseguire il calcolo della stessa poligonale. a) Poligonali aperte Quando nell’area di rilievo il numero dei vertici non è sufficiente, si procede al loro raffittimento attraverso la creazione di nuovi vertici ed alla loro connessione con altri vertici di coordinate note. I nuovi vertici quindi saranno inseriti in un certo sistema di riferimento cartografico, il medesimo delle coordinate note. Lo schema proposto nella figura seguente è relativo ad una poligonale aperta dove i due punti iniziali ed i due finali sono di coordinate note. Ai fini dell’inquadramento dei vertici della poligonale due punti noti sarebbero sufficienti, ma per avere un controllo sul risultato finale se ne utilizzano quattro. Lo schema del rilievo, condotto con l’utilizzo di una stazione totale, è il seguente.
I metodi di rilevamento tradizionali
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Siano A, B, 1 ed n (indicati con un triangolo) i vertici di coordinate note e tutti gli altri punti della poligonale (cerchi) vertici di nuova istituzione dei quali occorre determinare le coordinate. Il rilievo comincia facendo stazione in 1 e collimando il vertice noto A, poi si collima il primo punto da rilevare 2 leggendo l'angolo azimutale 1 e la distanza fra 1 e 2 che chiameremo l12. Questo tipo di misura viene effettuata tramite una stazione totale. La misura della poligonale procede facendo stazione successivamente sui punti da determinare e leggendo i valori degli angoli azimutali (rispetto al punto avanti ed a quello indietro) e le distanza l fra i punti11. Il primo angolo di direzione 1A (formato rispetto all'asse delle ordinate) si può calcolare nel modo consueto tg1 A
x x1 x A x1 1 A arctg A y A y1 y A y1
e quindi il primo angolo di direzione 12 1 A 1 . Gli altri angoli di direzione si ricavano dalle relazioni
23 12 ( 2 ) 1A 1 2 34 23 ( 3 ) 1A 1 2 3 2 Il segno di deve essere valutato in relazione agli angoli in gioco. Esso sarà positivo nella condizione in cui i i 1 e negativo per i i 1 . Si procede nella stessa sequenza fino ad arrivare al calcolo dell'ultimo angolo che è nB il quale però potrebbe anche essere calcolato essendo note le coordinate dei due punti che individuano tale direzione. Sia infatti nB il valore dovuto all’esistenza di errori di misura che si propagano lungo la poligonale e nB quello calcolato in base alle coordinate note dalla x xn tg nB B y B yn
11
nB arctg
x B xn y B yn
La misura della distanza richiede la presenza del prisma retroriflettente sui vertici avanti ed indietro rispetto a quello di stazione.
I metodi di rilevamento tradizionali
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La differenza nB nB si chiama errore di chiusura angolare e dipende dagli errori commessi durante la misura della poligonale.
Vediamo ora come sia possibile valutare anche a-priori l’errore atteso nell’esecuzione della poligonale sfruttando la legge della propagazione della varianza con riferimento alle formule della poligonale. Visto che il valore nB è funzione lineare di n misure (tutte con varianza 2 dipendente dallo strumento), la varianza associata a nB sarà:
2 21 2 2 2 3 ...... 2n n 2 n Nella lettura degli angoli azimutali con strumenti ottico-meccanici si effettua la differenza tra due direzioni, e quindi l'errore sulla lettura si può scrivere come l 2 dove il valore l dipende proprio dallo strumento utilizzato (si suppone l’assenza di errori dovuti all’operatore). Fissando ad esempio un errore strumentale pari a 1c o 30cc centesimali nella lettura degli angoli si avrà un errori a-priori complessivo pari a 1,5 c n
l 2 n
45 cc n
anche se normalmente l'errore consentito t (ovvero la cosiddetta tolleranza angolare) è il doppio di quello stimato per questa via. Quindi 3c n t 90 cc n Se l'errore di chiusura angolare rientra nei limiti della tolleranza fissata si può procedere alla sua “ridistribuzione” sui valori angolari misurati ed al ricalcolo degli angoli di direzione. Il termine di correzione da applicare alle singole letture sarà /n e di conseguenza saranno poi ricalcolati i valori degli angoli di direzione, che subiranno una correzione funzione del numero di misurazioni angolari dalle quali dipendono. Il calcolo delle coordinate dei vertici avviene attraverso le equazioni x 2 x1 l12 sen12 y 2 y1 l12 cos 12 x 3 x 2 l 23 sen 23 x1 l12 sen12 l 23 sen 23 y 3 y 2 l 23 cos 23 y1 l12 cos 12 l 23 cos 23
Le distanze devono prima essere ridotte alla superficie di riferimento e quindi, come già visto, occorre misurare anche l’angolo zenitale. Si arrivano a calcolare le coordinate dell'ultimo vertice x n , y n . La differenza tra le coordinate calcolate e quelle note x n , y n sarà x x n x n y y n y n
La quantità 2x 2y rappresenta l'errore di chiusura lineare. Anche questo errore può essere ridistribuito sulle coordinate modificando queste ultime in proporzione alla lunghezza del tratto di poligonale.
l x
x n
l i 2
i 1,i
l y
y n
l i 2
i 1,i
xi xi 1 li 1,i sin i 1,i l x li 1,i yi yi 1 li 1,i cos i 1,i l y li 1,i
ottenendo che
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b) Poligonali chiuse
Le poligonali chiuse possono essere realizzate indipendentemente dall’esistenza o meno di vertici trigonometrici nell’area del rilevamento e quindi di un sistema di riferimento cartografico. In effetti tali poligonali sono utilizzate quando il rilievo ha una sua consistenza anche in un riferimento locale; è il caso ad esempio di una poligonale realizzata per il controllo di un manufatto o di una componente di un impianto industriale. La geometria stessa consente una verifica dei dati, infatti la somma degli angoli interni dovrà essere uguale a (n-2), con n numero dei lati. Questo a meno degli errori commessi durante le misure. Al solito la differenza fra i valori misurati e quelli teorici dovrà rientrare in una tolleranza , e si potranno correggere le misure applicando in parti uguali la correzione ai valori di misurati. Poi si ricalcolano le direzioni e quindi si prosegue fino alla determinazione delle coordinate. Gli assi XY possono essere scelti con origine coincidente con l'emanazione della poligonale ed un'asse orientato secondo un lato. In questo caso, il più semplice, il punto 1 avrà coordinate (0, 0) e la prima direzione sarà uguale al primo .
I metodi di rilevamento tradizionali
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Utilizzo delle osservazioni indirette nelle misure di distanza Le misure di distanza consentono di dimensionare un qualsiasi rilievo. Infatti in una rete topografica dove si misurano solo angoli sarebbe impossibile definire la sua reale estensione a meno che non si conosca anche una misura di distanza oppure una coppia di coordinate di due vertici (che non è altro che una distanza). La singola misura di distanza può entrare quindi a far parte di rilievi misti (con angoli e distanze come nelle poligonali) ma può anche costituire una diversa osservabile nelle soluzioni dei problemi topografici attraverso il metodo delle osservazioni indirette. A volte, soprattutto nelle misure dedicate al monitoraggio di strutture, edifici ed infrastrutture, anche la misura di una distanza ripetuta nel tempo può fornire una indicazione di possibili deformazioni in atto. Prima di vedere come l’osservabile distanza entra nella risoluzione dei problemi topografici con le osservazioni indirette, occorre ricavare l’equazione linearizzata da associare alle misure di distanza.
Dati i punti Pa e PS, tra i quali viene misurata la distanza dsa, si può scrivere un’equazione all’osservazione del tipo
x a x s 2 y a y s 2
d sa mis v
[equazione della distanza]
dove compaiono i residui visto che la distanza teorica non può essere uguale a quella misurata per via degli errori che sempre si compiono. Come nel caso precedente si applica la serie di Taylor (fermata al primo ordine) all’equazione della distanza f f ( x s , y s , x a , y a ) f ( x s0 , y s0 , x a0 , y a0 ) x s
f x s y 0 s
f y s x 0 a
f x a y 0 a
y a 0
Eseguendo le derivate parziali rispetto alle incognite si ottiene la forma x o x so y o y so x o x so y o y so o d sa a xa a ya a xs a y s d sa mis v o o o o d sa d sa d sa d sa
dove 0 d sa f ( x s0 , y s0 , x a0 , y a0 )
x
0 a
x s0
y 2
0 a
2 y s0
ottenuta sostituendo i valori relativi all’intorno del punto (noti a priori o in modo approssimato). Quindi la forma generale, non lineare, può essere riassunta nella forma lineare dell’equazione alla distanza
I metodi di rilevamento tradizionali
61
0 a1 x a a 2 y a a 3 x s a 4 y s (d sa mis d sa )v
I valori di a rappresenteranno i coefficienti nel sistema normale che nasce dalle osservazioni, mentre tra parentesi compaiono le discrepanze (differenza tra il valore della distanza misurata e quella nota a priori in modo approssimato). Come si vede la misura di una distanza fornisce una equazione nelle incognite x e y relative ai punti coinvolti. In funzione del tipo di rilievo alcune coordinate possono essere note e quindi, non dovendo differenziare rispetto tali valori, esse non compariranno nell’equazione e così neanche i coefficienti associati.
Dai punti noti A, B e C (disposi come nell’esercizio precedente) si vogliono determinare le coordinate del punto P misurando le distanze dAP, dBP e dCP come in figura. Le distanze sono misurate con distanziometri ad onde che forniscono una accuratezza di 5 mm. Si hanno così 3 osservazioni (numero delle misure eseguite) nelle 2 incognite che sono le coordinate X p e Y p . Il sistema è ridondante.
Occorrono dei valori approssimati ( X 0p , Y p0 ) delle coordinate del punto P e le incognite diventeranno le discrepanze x p X p X 0p y p Y p Y p0
che alla fine saranno applicate al valore approssimato per avere il valore cercato delle incognite. X A 500,000 m Le coordinate dei punti noti valgono Y A 500,000 m
X B 1500,000 m YB 1000,000 m
mentre le distanze misurate con distanziometro ad onde sono le seguenti dAP = 1300,007 m dBP = 717,705 m dCP = 565,011 m
X C 1700,000 m YC 1500,000 m
I metodi di rilevamento tradizionali
62
Scriviamo le 3 equazioni alle osservazioni relative generate dalle misure di distanza eseguite da A, B e C verso il punto incognito P
X X X
p
Xa
p
Xb
p
Xc
Y Y Y 2
p
2
Y Y Ya
2
2
p
2
b
2
p
c
d AP mis v1 d PB mis v 2 d PC mis v3
Prima di linearizzare occorre trovare delle coordinate a priori per il punto P. Queste si potrebbero ricavare applicando il teorema di Carnot ai triangoli APB e BPC, per i quali sono noti i tre lati (due misurati ed uno noto in base alle coordinate fisse). Ad esempio 2 2 2 d BP d AP d AB 2d AP d AB cos cos
2 2 2 d BP d AP d AB 0,83420 33°,467268 2d AP d AB
dove è l’angolo PÂB (la condizione sarebbe sufficiente a calcolare le coordinate di P per irradiamento. Oppure, con metodo analogo si potrebbe calcolare l’angolo ed applicare le formule dell’intersezione in avanti, arrivando all’incirca alla stessa soluzione per le coordinate di P. Ai fini dell’esercizio utilizziamo le solite coordinate a priori già disponibili per il punto incognito P, ovvero X 0p 1149,30m Y p0 1626,20m
La linearizzazione (con sviluppo in serie di Taylor) avviene differenziando rispetto alle incognite x p ed y p . Si ottengono le seguenti equazioni lineari secondo i coefficienti racchiusi tra parentesi quadre X op X a o d AP
Y po Ya xp o d AP
o y p (d AP mis d AP ) v1
X op X b o d BP
Y po Y b x p o d BP
o y p (d BP mis d BP ) v2
X op X c o d CP
Y po Yc x p o d CP
o y p (d CP mis d CP ) v3
Nei coefficienti tra parentesi quadra compaiono le distanze tra i vari punti che si possono calcolare sempre a partire dai valori approssimati di P e da quelli noti di A, B e C 0 d AP 0 d BP
0 d CP
X X X
0 p
Xa
0 p
Xb
0 p
Xc
Y Y Y 2
0 p
2
0 p
2
0 p
Y Y Ya
2
2
b
2
c
= 1299,968 m = 717,716 m = 564,975 m
I metodi di rilevamento tradizionali
63
MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero incognite) ed è rappresentata dai termini racchiuse nelle parentesi quadre. La matrice A (3x2) sarà la seguente 0,499473814 0,866328984 A 0,488633068 0,872489384 0,974733121 0,223372653
VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del problema. Il vettore x (2x1) sarà x
xp yp
(metri)
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, ovvero una per ogni osservazione) x 1. Il vettore (3x1) sarà 0,03895 b 0,01147 (metri) 0,03584
Troviamo la soluzione xˆ ( AT PA) 1 AT Pb N 1 AT Pb calcolando prima di tutto la matrice normale 0,499473814
0,866328984
T
0,499473814 0,866328984 N 0,488633068 0,872489384 P 0,488633068 0,872489384 0,974733121 0,223372653 0,974733121 0,223372653 (2 x3) (3x3) (3 x 2)
Anche qui la matrice dei pesi può essere considerata unitaria in quanto tutte le misure hanno la stessa accuratezza (5 mm). Infatti una varianza dell’unità di peso di 5 mm renderebbe i singoli pesi tutti unitari. Si ottiene una matrice normale N
x N 1 AT Pb
0,0039 0,0198
1,438341 0,211347 1,561659
(metri)
Visto che x p X p X 0p e y p Y p Y p0 si ricavano i valori delle incognite compensate che saranno X p X 0p x p 1149,3000 0,0040 1149,296 m Y p Y p0 y p 1626,2000 0,0198 1626,220 m
Come prima questo può essere considerato come un risultato di prima iterazione e il processo di compensazione potrebbe proseguire attraverso il metodo degli Iperpiani Tangenti oppure quello degli Iperpiani Paralleli. Le iterazioni si fermeranno quando la soluzione converge nei limiti desiderati.
I metodi di rilevamento tradizionali
64
Consideriamo la soluzione ottenuta accettabile e calcoliamo l’errore associato alle coordinate attraverso la matrice di varianza-covarianza C x 02 N 1 supponendo di avere una varianza dell’unità di peso di 5 mm. Cx
2 1,438256 0,211368 Xp Xp,Yp 02 2 1,561652 Yp
1
1,77 10 5
2,4 10 6 1,63 10
5
(m2)
Si ricavano quindi i valori degli scarti quadratici medi Xp 4,2 mm, Yp 4,0 mm . Come ultima considerazione calcoliamo i semiassi maggiore e minore dell’ellissi d’errore dalla formula 2 ( X2 Y2 ) ( X2 Y2 ) 2 4 XY
2
Semiasse max = 4,4 mm, Semiasse min = 3,8 mm
L’inclinazione dell’asse di rotazione è data da
2 1 arctg 2 XY 2 = = 0,64346r = 36°,87. Visto che 2 X Y
( X2 Y2 ) 0 e xy 0 , l’ellissi ricade nel caso in cui 0 < < 45.
I metodi di rilevamento tradizionali
65
Utilizzo delle osservazioni indirette nelle misure di angoli e distanze Nel caso di reti con misure di angoli e distanze si hanno equazioni alle osservazioni che sono dimensionalmente diverse e si pone quindi il problema di una loro omogenizzazione. Il problema si risolve assegnando alle singole osservazioni un peso che consideri correttamente la diversa natura di misure che avranno anche accuratezza differente. Nel calcolo dei pesi la varianza dell’unità di peso dovrà essere espressa in radianti. Vediamo un esercizio, che utilizza il precedente schema di rilievo, dove le misure di distanze ed angoli vengono eseguite contemporaneamente aumentando la ridondanza delle osservazioni.
Dai punti noti A, B e C si vogliono determinare le coordinate del punto P misurando gli angoli , , e e le distanze dAP, dBP e dCP come in figura. La stazione totale utilizzata fornisce una accuratezza di 10” nella misura degli angoli e 5 mm in quella delle distanze. Si hanno così 6 osservazioni (numero delle misure eseguite) nelle 2 incognite che sono le coordinate X p e Y p . Il sistema è ridondante.
Occorrono dei valori approssimati ( X 0p , Y p0 ) delle coordinate del punto P e le incognite diventeranno le discrepanze x p X p X 0p
y p Y p Y p0 che alla fine saranno applicate al valore approssimato per avere il valore vero. X A 500 m Le coordinate dei punti noti valgono Y A 500 m
X B 1500 m YB 1000 m
X C 1700 m YC 1500 m
gli angoli misurati sono i seguenti = 33°28’14’’ = 33°,47055556 = 0.5841714r r = 87°18’37’’ = 87°,31027778 = 1.5238518 r = 81°06’31’’ = 81°,10853573 = 1.4156110 le distanze misurate sono le seguenti dAP = 1300,007 dBP = 717,705 m dCP = 565,011 m
I metodi di rilevamento tradizionali
66
Possiamo prendere le 6 equazioni alle osservazioni direttamente dagli esercizi precedenti
X X
X Xa a mis v1 arctg p AB AP arctg b Y Y Y Y b a p a arctg
X p Xb
BP BA arctg CP CB
X X X
p
Xa
p
Xb
p
Xc
Y Y Y
Y p Yb X p Xc Y p Yc
2
p
2
Y Y Ya
2
2
d PB mis v5
b
2
p
X Xc 2 arctg b mis v3 Yb Yc
d AP mis v 4
2
p
X Xb 2 arctg a mis v 2 Ya Yb
d PC mis v6
c
Prima di linearizzare occorre trovare delle coordinate a priori per il punto P. Queste si possono ricavare dall’intersezione semplice applicata per esempio al triangolo PAB, esercizio già visto che ha fornito le seguenti coordinate X 0p 1149,30m Y p0 1626,20m
Dopo linearizzazione si ottengono le equazioni lineari già viste nei due esercizi precedenti Y p0 Ya o 2 (d pa )
X 0p X a x p (d opa ) 2
y p ( mis o ) v1
Y p0 Y b (d opb ) 2
X 0p X b x p (d opb ) 2
y p ( mis o ) v 2
Y p0 Yc (d opc ) 2
X 0p X c x p (d opc ) 2
y p ( mis o ) v 3
X op X a o d AP
Y po Ya x p o d AP
o y p (d AP mis d AP ) v4
X op X b o d BP
Y po Y b x p o d BP
o y p (d BP mis d BP ) v5
X op X c o d CP
Y po Yc x p o d CP
o y p (d CP mis d CP ) v6
Al solito le distanze, note a priori, tra i vari punti sono le seguenti: 0 d AP 0 d BP 0 d CP
X X X
0 p
Xa
0 p
Xb
0 p
Xc
Y Y Y 2
0 p
2
0 p
2
0 p
Y Y Ya
2
2
b
2
c
= 1299,968 m = 717,716 m = 564,975 m
I metodi di rilevamento tradizionali
67
MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero incognite) ed è rappresentata dai termini racchiuse nelle parentesi quadre. La matrice A (6x2) sarà la seguente 0,000666423
0,000384220
0,001215646
0,000680816
0,000395367
0,001725267
0,499473814
0,866328984
A
0,488633068
0,872489384
0,974733121
0,223372653
VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del problema. Il vettore x (2x1) sarà x
xp yp
(metri)
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, una per ogni osservazione) x 1. Il vettore (6x1) sarà 0,000014 0,000070 b
0,000048
(radianti e metri)
0,038950 0,011470 0,035841
MATRICE DEI PESI: avrà dimensione m x m (matrice diagonale). Assunta una varianza dell’unità di peso di 0,01 radianti, i pesi delle osservazioni angolari si ottengono dalla forma p i 02 / i2 e quindi pi
(0,01) 2
10" 180 60 60
2
42545,1703
i 1,2,3
mentre i pesi associati alle misure di distanza saranno pj
(0,01) 2
0,0052
metri 2
4 j 4,5,6
Quindi la matrice diagonale dei pesi si può scrivere come P diag 42545,1703; 42545,1703; 42545,1703; 4; 4; 4 Troviamo la soluzione xˆ ( AT PA) 1 AT Pb N 1 AT Pb calcolando prima di tutto la matrice normale
0,000666423
N
0,000384220
0,001215646
0,000680816
0,000395367
0,001725267
0,499473814
0,866328984
0,488633068
0,872489384
0,974733121
0,223372653
(2 x6)
T
0,000666423
p1 p2
p3
p4 p5 p6 ( 6 x 6)
0,000384220
0,001215646
0,000680816
0,000395367
0,001725267
0,499473814
0,866328984
0,488633068
0,872489384
0,974733121
0,223372653
(6 x 2)
I metodi di rilevamento tradizionali
Si ottiene una matrice normale N
x N 1 AT Pb
0,005 0,019
68
5,841782 0,792050 6,399274
(metri)
Una soluzione del tutto simile alla precedente ma con l’aggiunta delle misure angolari. Ovviamente, anche se in assoluto il risultato non cambia di molto con l’introduzione di misure ridondanti, la soluzione viene considerata più robusta a patto che le due misure siano di accuratezza comparabile. L’ellisse d’errore quindi può cambiare dimensione o, soprattutto, orientamento. Infatti, proprio nel caso di misure miste, la soluzione finale può presentare una migliore consistenza geometrica. Visto che x p X p X 0p e y p Y p Y p0 , si ricavano i valori delle incognite compensate che saranno X p X 0p x p 1149,300 0,005 1149,295 m Y p Y p0 y p 1626,200 0,019 1626,219 m
Il risultato di prima iterazione, e quindi l’intero processo di compensazione, potrebbe proseguire attraverso il metodo degli Iperpiani Tangenti oppure quello degli Iperpiani Paralleli. Consideriamo la soluzione ottenuta accettabile e calcoliamo l’errore associato alle coordinate attraverso la matrice di varianza-covarianza C x 02 N 1 Cx
2 Xp Xp ,Yp 1,74 10 5 2,15 10 6 2 Yp 1,59 10 5
(m2)
Si ricavano quindi i valori degli scarti quadratici medi Xp 0,0042 m, Yp 0.0040 m . Calcoliamo ora i semiassi maggiore e minore dell’ellissi d’errore dalla solita formula 2 ( X2 Y2 ) ( X2 Y2 ) 2 4 XY
2
Semiasse max = 0,0044 m, Semiasse min = 0,0038 m
L’inclinazione dell’asse di rotazione è data da
2 1 arctg 2 XY 2 2 X Y
( X2 Y2 ) 0 e xy 0 , l’ellissi ricade nel caso in cui 0 < < 45.
----------------------------------------------------------------------
= 0,616202r = 35°,30. Visto che
I metodi di rilevamento tradizionali
69
Rilievo altimetrico Livellazione geometrica dal mezzo Rappresenta la tecnica di rilievo che consente di determinare i dislivelli con la massima precisione raggiungibile in topografia. Lo strumento che consente questo tipo di operazione è il livello utilizzato unitamente alle stadie graduate. Il livello, sia nella versione ottico meccanica (autolivello) sia in quella digitale (livello digitale), consente di collimare la stadia lungo una direzione orizzontale contenuta nel piano orizzontale passante per il centro dello strumento. La figura rappresenta lo schema di una battuta di livellazione che consente, attraverso le letture alle stadie nelle posizioni avanti e indietro, la misura del dislivello fra i punti A e B di stazionamento delle stesse.
Il dislivello relativo ad una singola battuta di livellazione sarà dato dalla differenze fra le letture nelle posizione avanti lA ed indietro lB della stadia rispetto alla posizione del livello.
AB l A l B La procedura dal mezzo presenta notevoli vantaggi in quanto tutti gli errori di lettura che si presentano secondo uno schema di simmetria vengono eliminati per differenza. Nella condizione in cui le due battute avvengano su distanze simili, la condizione di simmetria consente di limitare al massimo l’influenza dei seguenti fattori: a) presenza di eventuali errori residui di orizzontalità della linea di mira; b) presenza di eventuali errori dovuti a spostamenti dell’asse di collimazione in seguito all’adattamento del sistema di focamento (che sono minimi quando la collimazione avviene su distanze simili); c) errori dovuti alla rifrazione atmosferica (che si dovrebbe presentare con effetti simmetrici nelle due letture). Inoltre, nell’esecuzione di una battuta di livellazione non è necessario prendere alcuna superficie di riferimento tra quelle viste nel corso. Infatti, proprio per lo schema di rilievo adottato, la superficie di riferimento sarà quella equipotenziale passante per un punto baricentrico di riferimento dello strumento con il quale vengono eseguite le letture alle stadie. Le considerazioni fatte sopra sono considerate valide per battute di livellazione della lunghezza di un centinaio di metri al massimo. Se invece la misura del dislivello coinvolge punti molto distanti fra loro il rilievo deve essere spezzato in un certo numero di singole battute che si sviluppano lungo un percorso che congiunge i due punti. Questo tratto da
I metodi di rilevamento tradizionali
70
percorrere viene definito linea di livellazione e può svilupparsi lungo la rete stradale o comunque su tratti percorribili dagli operatori e lungo i quali e possibile fare stazione con la strumentazione.
Nel caso riportato in figura il dislivello CS10-CS11 sarà dato dalla differenza fra la sommatoria delle letture indietro e quella delle letture avanti.
CS 10CS 11 li l a Da un punto di vista operativo il tratto complessivo lungo il quale determinare il dislivello viene suddiviso in segmenti (tronchi) successivi della lunghezza di 1 km circa. La tecnica consente una precisione massima nella determinazione dei dislivelli anche inferiore ad 1mm/km da verificare attraverso i percorsi di andata e ritorno. Nei punti intermedi la stadia viene appoggiata su una apposita piastra battuta sul terreno. Nel passaggio da una stazione alla successiva la stadia viene fatta ruotare delicatamente su se stessa in modo da evitare pressioni che ne provocherebbe l'affondamento provocando un errore nella lettura della battuta successiva.
Come esercizio si determina l'errore medio a-priori atteso prima di effettuare una livellazione geometrica dal mezzo. Questo tipo di analisi consente una simulazione delle prestazioni, in termini di accuratezza raggiungibile, che si otterranno al termine delle misure altimetriche essendo note la geometria del rilievo (essenzialmente il numero di battute) e la strumentazione disponibile. Facendo riferimento ad una singola battuta si ha che AB li la e, per la legge di propagazione della varianza, si ha che 2 li2 la2 . Essendo le due letture effettuate con lo stesso strumento, la precisione nella determinazione dislivello associato alla singola battuta sarà
2 2 l2 l 2 Se occorrono invece n battute di livellazione l'errore sul dislivello sarà l 2 n dove l , errore associato alla lettura, dipendente dalla qualità del livello utilizzato. Visto che il numero di battute può essere espresso come la distanza D/2d (dove D rappresenta la distanza percorsa lungo la linea di livellazione e d la distanza di lettura tra livello e stadia) si vede che l’errore sulla misura finale del dislivello vale
l
D d
ovvero risulta proporzionale a D . Di conseguenza nella livellazione geometrica i pesi saranno assegnati secondo una relazione di proporzionalità inversa con la lunghezza della linea di livellazione espressa in km. Il dislivello i-esimo nella soluzione con osservazioni indirette assumerà il valore 1 pi Di
I metodi di rilevamento tradizionali
71
Livellazione geometrica di precisione: procedure operative Secondo lo schema descritto è possibile determinare il dislivello fra punti anche molto distanti tra loro e con precisione molto elevata qualora se si adottano particolari accorgimenti e strumenti di precisione. Nel metodo ad alta precisione la livellazione di ogni tronco (tra due caposaldi successivi) deve essere sempre fatta in andata e in ritorno per avere un controllo delle misure e poter calcolare l'errore medio chilometrico della livellazione. Nella livellazione di precisione è necessario rispettare una serie di comportamenti per conservare al massimo gli errori ammissibili. Innanzitutto una livellazione si definisce di precisione quando il suo errore medio chilometrico è inferiore al millimetro. Lo schema è sempre quello dal mezzo ma con distanze di battuta non troppo elevate (3040 m). L'altezza di battuta alla stadia non deve essere inferiore a 50 cm, perché a livello del terreno si possono avere disturbi dovuti alla rifrazione, ma neanche riferita alla parte superiore della stadia, per limitare l'influenza dell'errore di verticalità della stadia stessa. Lo strumento dovrebbe essere sempre tenuto in ombra, a causa della grande influenza che l'irraggiamento solare e gli sbalzi di temperatura hanno sui livelli. Nell'esecuzione delle misure si devono evitare le ore a cavallo del mezzogiorno, specie durante l'estate, a causa della turbolenza dell'aria in vicinanza del terreno che, nell’ottica del livello, provoca il tremolio dell'immagine della stadia con conseguente diminuzione della precisione nella lettura. Applicazioni della livellazione geometrica di precisione La livellazione geometrica di precisione viene impiegata per determinare le quote di punti fondamentali distribuiti su aree vaste a cui si possono collegare altre operazioni di rilievo altimetrico, per esempio per inserire un rilievo locale in un sistema di riferimento altimetrico attraverso la connessione con il punto di derivazione delle quote (mareografo fondamentale). La livellazione geometrica è anche impiegata per scopi tecnici, quali la progettazione e costruzione di strade, ferrovie, acquedotti, fognature, ecc.; in questi casi le quote di riferimento per la costruzione dei manufatti vanno determinate con elevata precisione per prevedere, ad esempio, il deflusso delle acque o progettare linee di drenaggio. Altro campo d'applicazione della livellazione geometrica è quello del collaudo e/o controllo di grossi manufatti, di edifici pregevoli o nel monitoraggio di monumenti (torri, ponti, edifici storici ..) e dei versanti in frana con gli elementi antropici interessati, della subsidenza ecc. Le livellazioni di precisione hanno anche grande importanza nelle applicazioni scientifiche della geodesia-geofisica, potendo essere utilizzate per lo studio del geoide (per la possibilità di paragonare il livello medio di mari) e della sua ondulazione, nello studio delle deformazioni del suolo (subsidenza per cause naturali e antropiche). Caposaldi di livellazione La precisione di questo metodo richiede l’utilizzo di caposaldi appositi che diano garanzia di stabilità e che consentano di individuare con precisione il riferimento altimetrico. I caposaldi vengono materializzati vincolando ad una struttura preesistente, che dia garanzie di stabilità, un manufatto (in ghisa, bronzo, acciaio inossidabile o ceramica) dove il piano orizzontale di riferimento della quota è identificato in modo chiaro. I caposaldi riportati in figura costituiscono esempi di caposaldi orizzontali sui quali viene appoggiata direttamente la stadia. Nel primo caso il caposaldo è infisso in una parete mentre nel secondo si trova materializzato in un pozzetto chiuso.
I metodi di rilevamento tradizionali
72
Esistono anche caposaldi verticali che hanno un ruolo secondario e possono essere costituiti da targhette murate su pareti che riportano una linea incisa relativa ad una certa quota. Sono collocati nelle vicinanze di caposaldi orizzontali e possono essere utilizzati per il loro ripristino nel caso fossero persi. Cenni sulla strumentazione utilizzata Uno degli strumenti maggiormente utilizzati in passato era l’autolivello con adeguata sensibilità del compensatore (parte che imposta la lettura su un piano orizzontale ed in modo automatico). Occorre la presenza di micrometro ottico per la lettura e il cannocchiale deve avere un elevato potere risolutivo. Le stadie, a doppia graduazione, devono avere il corpo in "invar", per conservare le deformazioni, ed essere dotate di livella sferica. I livelli moderni sono quelli digitali che compiono in modo autonomo la lettura alla stadia che ha impresso un codice a barre che viene interpretato dallo strumento grazie alla tecnica di auto-correlazione d’immagine. Questi strumenti garantiscono una maggiore produttività del lavoro anche se la metodologia di rilievo è essenzialmente quella adottata con gli auto livelli.
Vediamo come si può determinare l’errore medio a posteriori (dopo avere seguito le misure) in una livellazione geometrica di precisione. Come detto le misure devono essere esegue in andata e ritorno per ogni tronco, sia per avere un controllo delle misure stesse sia per avere la possibilità di calcolare a posteriori l'errore medio chilometrico della livellazione eseguita12. Per determinare l'errore medio a posteriori si applica la formula dell'errore medio in funzione delle differenze:
2 pi i 2n
dove i a i (mm) sono i dislivelli dei singoli tratti misurati in andata e ritorno. Occorre verificare che le differenze i siano inferiori alla tolleranza prefissata13.
12
Si possono eseguire le misure in sola andata per livellazioni non di precisione oppure, in quelle di precisione, se i singoli tratti costituiscono una linea di livellazione chiusa. In questo caso sarà comunque possibile il controllo e la compensazione delle misure effettuate. 13 Nella livellazione di precisione si fissa un valore di tolleranza chilometrica (ad esempio di 3 mm) e si dovranno scartare le misure che danno luogo a una differenza, rapportata al km, superiore a tale valore.
I metodi di rilevamento tradizionali
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Accorgimenti da osservare nell’esecuzione di una livellazione geometrica dal mezzo Collimazione e lettura: dipende dalla sensibilità della livella o del compensatore, dal micrometro, dalla graduazione della stadia e dalla capacità dell’operatore. Rappresenta la parte più cospicua dell’errore e contribuisce per 0,25 - 0,40mm/km; Rettifica del livello: quando un livello è rettificato la condizione di livella è centrata o il compensatore è fermo deve corrispondere ad una linea di mira giacente sul piano orizzontale. L’operazione di rettifica deve essere eseguita regolarmente in laboratorio attrezzato. A rigore, con strumenti rettificati, non occorrerebbe operare dal mezzo e operando dal mezzo non occorrerebbe la rettifica. In genere però le distanze in campagna sono prese in modo speditivo. Inoltre la rettifica potrebbe non essere stabile a causa di variazioni termiche, urti subiti dallo strumento durante gli spostamenti ecc. Si deve comunque contenere la differenza di distanza fra le due battute entro il metro; Effetto delle variazioni termiche sullo strumento: si è osservato che le variazioni termiche causano una variazione della direzione dell’asse di collimazione degli autolivelli. Occorre attendere che lo strumento si stabilizzi con la temperatura ambientali, proteggerlo dai raggi solari (o evitare zone d’ombra se si lavora al sole), leggere sulla stadia indietro su una gradazione – avanti sulla doppia gradazione e indietro sulla seconda gradazione. Ci possono essere anche effetti della temperatura sulla stadia, che avrà la striscia graduata in invar (questa comunque non dovrà essere troppo esposta al sole; Campo magnetico: il livello dovrebbe essere amagnetico; Graduazione della stadia: ci possono essere deformazioni della striscia in invar. Le stadie quindi vanno calibrate prima delle grandi campagne o periodicamente. In Italia l’IGM rilascia i certificati di avvenuta taratura. Utilizzando un numero pari di stazioni tale effetto viene contenuto per sottrazione mentre per una singola battuta andrebbe utilizzata la stessa stadia. Verticalità della stadia: errore legato alla rettifica della livella sferica che si trova sulla stadia. Questa può essere controllata con filo a piombo, ed alla sensibilità del canneggiatore che può aiutarsi con paline nel sostegno della stadia; Errore del tallone della stadia: il tallone di acciaio della stadia deve essere normale alla stadia stessa ed in piano. Nei caposaldi a muro ad esempio non è possibile appoggiare la stadia sempre nello stesso modo (stesso punto del tallone); Movimento di strumento e stadia: soprattutto in terreni particolari si possono verificare movimenti del treppiede (sprofondamento o risalita) e della stadia. Occorre evitare terreni molli ed asfalto, meglio marciapiedi di cemento o le banchine non asfaltate delle strade; Vibrazione dell’immagine: dovuta alla turbolenza dell’immagine in conseguenza del riscaldamento del terreno e dei fenomeni di rifrazione. La collimazione diventa difficile per il movimento dell’immagine osservata nel cannocchiale. Non si collima al disotto dei 50 cm di altezza (con limitazione a volte nella distanza di battuta) e non si lavora nelle ore calde della giornata; Rifrazione: è un errore sistematico e operando in salita l’effetto non è limato completamente con l’esecuzione di misure dal mezzo e neanche eseguendo il tratto indietro. Per grandi estensioni è possibile correggere questo effetto con modelli basati sul dislivello e sulla temperatura misurata con sensori associati alla stadia.
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Utilizzo delle osservazioni indirette nelle reti altimetriche Prima di illustrare un caso di trattamento di dati relativi ad una livellazione geometrica occorre ricordare che, anche in presenza di misure sovrabbondanti, basta un solo punto di quota nota per l’inserimento in un certo sistema di riferimento altimetrico. Nel caso di misure strettamente necessarie, invece, occorre eseguire n-1 linee di livellazione per collegare gli n punti coinvolti. Rispetto ai casi appena visti la compensazione di dati altimetrici si presenta un modo più semplice perché le equazioni alle osservazioni (dislivelli) sono già esprimibili in forma lineare. Misurando un dislivello tra i punti i e j (collegati quindi con una linea di livellazione) si una un’equazione del tipo: [equazione dei dislivelli]
f ( H i , H j ) H j H i ij mis v
Visto che la linea di livellazione viene percorsa in un certa direzione, occorre scrivere l’equazione con particolare attenzione ai segni dei coefficienti.
Nota la quota del caposaldo Cs1 e misurati i dislivelli come in tabella, si vogliono calcolare le quote dei punti 1, 2 e 3 che rappresentano le incognite del problema.
Si dispone delle seguenti misure con i relativi errori
H1 H2 H3 H4
Punto Stazione
Punto Avanti
Dislivello (m)
Errore (mm)
Cs1 P1 P2 P1
P1 P2 P3 P3
15,1122 40,7899 -55,6677 -14,8773
1,0 0,2 0,2 0,2
Il caposaldo noto Cs1 ha una quota di 10,1234 metri, senza errore associato in quanto punto si considera noto con precisione assoluta (in realtà un errore sarà sempre presente). Le equazioni alle osservazioni, già lineari, possono essere scritte in questo modo H P1 H Cs1 H 1 mis v1 15,1122 v1 H P 2 H P1 H 2 mis v 2 40,7899 v 2 H P 3 H P 2 H 3 mis v3 55,6677 v3 H P 3 H P1 H 4 mis v 4 14,8773 v 4
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Per chiarezza riscriviamo il sistema di equazioni isolando le incognite con i coefficienti che qui saranno costituiti solamente dai segni (H 1 mis H Cs1 ) v1 l1 mis v1 25,2356 v1
H P1 H P1 H P 2
H 2 mis
v 2 l 2 mis v 2 40,7899 v 2
H P 2 H P 3 H 3 mis
v3 l 3 mis v3 55,6677 v3
H P1
H P 3 H 4 mis
v 4 l 4 mis v 4 14,8773 v3
MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero incognite) ed è rappresentata dai segni delle incognite. La matrice A (4x3) sarà la seguente
A
1 1
0 1
0 0
0
1 1
1
0
1
VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del problema. Il vettore x (3x1) sarà H P1 x H P2
(metri)
H P3
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, una per ogni osservazione) x 1. Il vettore (4x1) sarà 25,2356 b
40,7899
(metri)
55,6677 14,8773
MATRICE DEI PESI: avrà dimensione m x m (matrice diagonale). Assunto una varianza dell’unità di peso di (3mm)2, i pesi delle osservazioni dei dislivelli si ottengono dalla forma p i 02 / i2 e quindi 9 p H1
(3)
2
1
2
9
p H 2 , 3, 4
(3)
2
0,2
2
225
P
225 225 225
Troviamo la soluzione xˆ ( AT PA) 1 AT Pb N 1 AT Pb calcolando prima di tutto la matrice normale 1 N
0
0
1
1
0
0
1 1
1
0
1
T
1
9 225 225 225 459
0
0
1
1
0
0
1 1
1
0
225
1 225
Si ottiene una matrice normale N 255 450 225 225 225 450
I metodi di rilevamento tradizionali
1
H P1
76
25,2356
T
x N A Pb H P 2 66,0257 (metri) H P3
10,3581
Consideriamo la soluzione ottenuta accettabile e calcoliamo l’errore associato alle quote compensate attraverso la matrice di varianza-covarianza C x 02 N 1
H2 P1 H P1H P 2 H2 P 2
Cx
H P1 H P 3
1,00 1,00 1,00 2
H P 2H P3 3 N
1
1,03 1,01 (mm2)
H2 P 3
1,03
dove gli elementi diagonali rappresentano le varianza delle tre quote appena stimate. Introducendo le incognite xˆ appena stimate nel modello funzionale si ottengono le stime ai minimi quadrati vˆ dei residui teorici v . Si avrà che vˆ Axˆ bmis . 0 vˆ
2,0 10 4 2,0 10 4
(metri)
2,0 10 4
dove il primo residuo vale 0 non essendo il primo dislivello compensabile. Visto che i residui sono anche gli errori associati alle misure si possono ricavare i valori delle misure compensate, ovvero corrette degli errori stessi l comp l mis vˆ
D’altra parte i dislivelli compensati si potrebbero anche calcolare semplicemente dalla differenza tra le quote compensate.
H P1 H Cs1 comp 15,1122 vˆ1 15,1122 m H P 2 H P1 comp 40,7901 vˆ2 40,7899 m H P3 H P 2 comp 55,6676 vˆ3 55,6675 m H P3 H P1 comp 14,8775 vˆ4 14,8795 m Ai dislivelli compensati si possono associare i relativi errori tramite il calcolo della matrice di varianza covarianza delle misure compensate 1,0 10 6 Clˆ
comp
02 AN 1 AT
2,7 10 8
(metri)
2,7 10 8 2,7 10 8
I metodi di rilevamento tradizionali
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Quindi
H P1 H Cs1 comp 15,1122 0,0010m H P 2 H P1 comp 40,7899 0,0001 m H P3 H P 2 comp 55,6675 0,0001 m H P3 H P1 comp 14,8775 0,0001 m Si calcola ora la varianza dell’unità di peso a posteriori tramite la s 02
vˆ T Pvˆ 1,03 10 3 18,75 mm 2 mn 43
Si applica il test del Chi-qaudro, per verificare la coerenza con le ipotesi iniziali fatte sulla distribuzione degli errori, alla variabile aleatoria s 02 / 02 s 02
02
m2 n mn
Il valore del Chi-quadro viene letto dalla tabella già vista una volta definito il livello di significatività. Fissando questo valore al 5% si legge in tabella il valore 3,84. Quindi per il valore ricavato vale la condizione P( ~ 2 ~12, 0.05 ) 5% . Valori di chi-quadro superiori al valore soglia di 3,84 rendono sospetto il risultato con una attendibilità del 5%. s 02
02
2 2 18,75 3,84 3,84 2,08 m n in quanto m n 9 mn 1 mn
Quindi i modelli utilizzati sono confermati entro una possibilità di errore del 5%. Tale verifica ci consente di affermare che la statistica calcolata è effettivamente relativa a variabili casuali (non sono quindi presenti errori sistematici) e l’ipotesi sul valore a-priori assunto per la varianza dell’unità di peso risulta attendibile.
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Stima a priori della matrice di varianza covarianza Dagli esercizi appena svolti si vede che proprio la matrice dei coefficienti A ed anche la matrice di varianza-covarianza dipendono essenzialmente dalla geometria della rete (che definisce la matrice A) e dalla precisione con cui vengono effettuate le misure (che definisce la matrice dei pesi P). Questo significa che in presenza di un progetto del rilievo (preparato su una mappa già esistente o di nuova realizzazione) e nota la prestazione degli strumenti utilizzati, possiamo simulare le potenzialità del rilievo così come è stato concepito. Quindi le osservazioni indirette possono essere utilizzate per una valutazione a priori delle precisioni ottenibili in un certo rilievo in base agli errori che si pensa di commettere nelle misure. Le ellissi calcolate in base alla simulazioni ci informeranno di eventuali debolezze della geometria ipotizzata e consentiranno di intervenire sul progetto delle misure da effettuare oppure di rivedere la classe di strumentazione prevista per il rilievo. Queste considerazioni sono alla base del problema della progettazione di reti, della loro geometria e sulle misure da fare. Il procedimento è il seguente: - dai vertici della rete (tramite valori approssimati delle coordinate) ed in base alle osservazioni previste si costruisce la matrice dei coefficienti A; - in base alle misure da effettuare ed alla strumentazione che si intende utilizzare si costruisce la matrice dei pesi P. Con questi elementi si può calcolare la matrice di varianza-covarianza e quindi prevedere i valori delle ellissi d’errore che scaturiscono dalle misure C 02 ( AT PA) 1
Andrebbe utilizzato il valore della varianza dell’unità di peso a posteriori che però si calcola dai residui (ovviamente non disponibili). Si può utilizzare quindi una stima a priori in base agli errori che si pensa di commettere.
Progettazione di reti planimetriche La progettazione di una rete segue sempre le fasi che vengono di seguito citate: Scelta del sistema di riferimento In genere si verifica sul sito del rilievo l’esistenza o meno di punti già noti e facenti parte di altre reti trigonometriche (di vario ordine), altimetriche o GPS. E’ il caso di rilievi da inserire in un rilievo preesistente (ad es. raffittimento, riattacchi ecc.). Se invece il rilievo è fine a se stesso la scelta del sistema di riferimento viene fatta anche in base agli scopi per cui lo stesso deve essere effettuato. Nel caso di una rete per lo studio di movimenti o deformazioni si potranno scegliere, come riferimento, alcuni punti stabili (ovvero non soggetti ai movimenti che sono in esame) o perlomeno dal comportamento noto. In fase di progettazione è anche possibile assumere un sistema di riferimento baricentrico che consente di limitare l’effetto della propagazione degli errori dal punto o dai punti assunti come emanazione della rete. Infatti tali errori si sommano allontanandosi dall’origine del sistema a causa dell’accumulo (propagazione) degli errori stessi lungo la rete. Tale considerazione consiglia una simulazione della rete in un sistema baricentrico e, successivamente, il suo inserimento in una rete preesistente attraverso l’uso dei punti noti.
I metodi di rilevamento tradizionali
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Disegno della rete e tipologia di misure da eseguire Questo è il punto più importante di tutta la progettazione da cui dipenderanno i risultati ed i costi della rete stessa. Per quanto attiene alla forma generale della rete essa è evidentemente condizionata dallo scopo del rilievo e dalla morfologia del terreno (che per esempio inciderà sulla intervisibilità tra punti che devono essere collimati). In generale si deve puntare ad una forma compatta dalle geometrie regolari. La maglia risultate della rete dovrà essere possibilmente di tipo triangolare con forme il più equilatere possibili. Se si misurano solo delle distanze tale schema cade in difetto perché fornisce poche osservazioni sovrabbondanti e si deve quindi fare ricorso a schemi più complessi. Visto che il numero minimo di osservazioni necessario per risolvere una rete di n punti è di 2n-3, va prevista una certa ridondanza delle osservazioni per compensare le misure in modo efficace. Dette N le misure effettuate la ridondanza dovrà essere quantificata on modo che N 1,5 2 2n 3
Considerato che lo strumento utilizzato è quasi sempre la stazione totale (per il momento escludiamo l’utilizzo del GPS), le misure sono normalmente miste ed è bene che queste forniscano lo stesso contributo all’errore finale attraverso misure di accuratezza comparabile. Infatti per reti a lati piccolissimi (centinaia di metri) convengono le misure angolari mentre per lati più lunghi convengono le distanze che però possono essere limitate dalla portata dello strumento. Occorre sempre fare attenzione al peso da assegnare alle misure per in modo da “nobilitare” le osservazioni migliori. Ricordiamo che la matrice di varianza-covarianza, a meno di un fattore costante 02 , dipende solo dalle coordinate dei punti ed è su di esse che si può lavorare nella fase di simulazione. Si può procedere in diversi modi: a) se si vuole vedere l’andamento (dimensione relativa) delle ellissi d’errore e non la loro grandezza si può prescindere dagli errori delle misure ma considerare solamente il tipo di misura e le coordinate approssimate dei punti ottenendo delle equazioni lineari note in base alla matrice di varianzacovarianza ( AT A) 1 . Ciò è possibile solo se le misure sono della stessa specie; b) se si hanno misure di tipo diverso occorre introdurre una stima degli errori che si pensa di commettere per potere determinare i pesi delle diverse equazioni di osservazione e la matrice di varianza-covarianza sarà del tipo ( AT PA) 1 . Se gli errori preventivati sono corretti questa fornisce anche la dimensione delle ellissi di errore. Cambiamento della forma, aggiunta di punti o di misure Se il risultato della simulazione non è soddisfacente si può tentare di migliorare la precisione modificando la forma della rete, aggiungendo altri punti alla geometria di rete oppure aggiungendo misure di tipo diverso. Il tutto cercando di mantenere un buon compromesso con i costi del rilievo. Durante questa fase si deve anche cercare di ottimizzare il lavoro da svolgere sul campo, cercando, ad esempio, di contenere i costi relativi al personale ed alla logistica in generale. Vediamo alcuni esempi molto schematici che illustrano la dipendenza tra misure disponibili ed errori attesi (sotto forma di ellissi di errore).
I metodi di rilevamento tradizionali
Effetto della geometria nelle misure di distanza
Effetto della geometria nelle misure angolari
Effetto dell’aggiunta di misure angolari
Modifica della geometria con aggiunta di misure da altri punti
Modifica della matrice dei pesi 1 2 P1 P2 oppure 1 2 P1 P2
80
I metodi di rilevamento tradizionali
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Valutazione della varianza e covarianza con misure strettamente necessarie Il metodo delle osservazioni indirette può essere applicato alla risoluzione della rete o del semplice rilievo (vedi intersezione in avanti con misura di due angoli) anche quando le misure eseguite sono strettamente necessarie. In questi casi, ovviamente, non dovendo compensare le misure, si può arrivare alla risoluzione del problema anche applicando le formule trigonometriche. Tuttavia le osservazioni indirette possono essere utili in quanto consentono di calcolare la matrice di varianza-covarianza, procedura che risulta più semplice ed immediata della applicazione della propagazione pitagorica della varianza, la quale può coinvolgere funzioni che possono essere difficili da differenziare. Si possono quindi utilizzare i soliti programmi di calcolo matriciale ad un problema dove m=n (osservazioni=incognite). Occorrerà conoscere la varianza delle singole misure, ottenibili in base alle caratteristiche della strumentazione utilizzata o dalla statistica applicata alle ripetizioni di una singola misura. Essendo il numero delle equazioni uguale al numero delle incognite, il sistema che lega le misure alle grandezze da determinare sarà: Ax l 0
A(m x m) x(m x 1) L(m x 1)
con soluzione x A 1l . Attraverso la legge di trasformazione della matrice di varianzacovarianza applicata agli errori associati alle osservazioni, si possono ottenere gli errori associati alle stime. Occorre conoscere gli errori delle singole misure 1 , 2 ,... n . La matrice sarà data da
12 K A
1
l2 ( A 1 ) T
con
L2
22 32 ..
m2 Proviamo a risolvere l’esercizio, già visto, di intersezione in avanti con misure strettamente necessarie applicando il metodo delle osservazioni indirette.
Le coordinate dei punti noti valgono mentre gli angoli misurati sono i seguenti
x A 500 m y A 500 m
x B 1500 m y B 1000 m
= 33°28’14’’ = 33°,47055556 = 0.584171r = 87°18’37’’ = 87°,31027778 = 1.523851r
I metodi di rilevamento tradizionali
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Si cercano le coordinate del punto incognito P avendo delle misure angolari con accuratezza di 5”. Scriviamo le 2 equazioni alle osservazioni relative generate dalle misure di e X Xa X X mis v1 arctg p Y p Ya X p Xb X Xb arctg 2 arctg a mis v 2 Y Y Y Y p b a b
a AB AP arctg b Yb Ya
BP BA
Prima di linearizzare occorre trovare delle coordinate a priori per il punto P. Forniamo un valore approssimato (che potrebbe essere letto da una cartografia a scala idonea) X 0p 1148,00m Y p0 1626,00m
Prendiamo le due equazioni già linearizzate per gli angoli e . La linearizzazione avviene differenziando rispetto alle incognite x p ed y p . Si ottengono le seguenti equazioni lineari Y p0 Ya o 2 (d pa )
X 0p X a x p (d opa ) 2
y p ( mis o )
Y p0 Y b (d opb ) 2
X 0p X b x p (d opb ) 2
y p ( mis o )
che compaiono nella forma Ax b . Non compaiono i residui dovendo essere le equazioni pienamente soddisfatte dalle incognite. I valori 0 , 0 sono i valori determinati sostituendo le coordinate note e quelle approssimate nel legame funzionale
X X
X Xa a arctg p 0 arctg b Y Y Y Y b a p a
0 arctg
X p Xb Y p Yb
X Xb 2 arctg a Ya Yb
33°,5150189 = 0,5849474 r 87°,2159893 = 1,522206r
Le distanze tra i vari punti si possono calcolare sempre a partire dai valori approssimati d pa d pb
X X
0 p
Xa
0 p
Xb
Y Y 2
0 p
2
0 p
Y Ya
2
2
b
= 1299,1458 m = 718,1782 m
Le matrici coinvolte nel calcolo sono solo le seguenti MATRICE DEI COEFFICIENTI: avrà dimensione m (righe, ovvero osservazioni) x n (colonne, ovvero incognite) ed è rappresentata dai termini racchiuse nelle parentesi quadre. La matrice A (2x2) sarà la seguente A
6,700 10 4
1,214 10 3
3,840 10 4 6,825 10 4
I metodi di rilevamento tradizionali
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VETTORE DELLE INCOGNITE: avrà dimensione n (righe, ovvero incognite) x 1 e rappresenta le incognite del problema. Il vettore x (2x1) sarà x
xp yp
VETTORED DELLE DISCREPANZE: avrà dimensione m (righe, ovvero una per ogni osservazione) x 1. Il vettore (2x1) sarà b
7,764 10 4
1,645 10 3
Troviamo la soluzione x A 1b
1,26 0,18
(metri)
Visto che x p X p X 0p e y p Y p Y p0 si ricavano i valori delle incognite compensate che saranno X p X 0p x p 1148,00 1,26 1149,26 m Y p Y p0 y p 1626,00 0,18 1626,18 m La soluzione differisce leggermente da quella trovata nel caso dell’intersezione semplice a causa delle approssimazioni nei valori adottati per gli angoli misurati e a-priori. Vediamo come si presenta la matrice di varianza-covarianza K A 1 l2 ( A 1 ) T supponendo di avere errori delle misure di 5” = 2,42 10-5 rad.
k
k
6,700 10 4
1,214 10 3 4,2 10 4 3,9 10 4
3,840 10 4 6,825 10 4 3,9 10 4
1,3 10 3
1
5,876 10 -10 5,876 10 -10
6,700 10 4 1,214 10 3
3,840 10 4 6,825 10 4
(m2)
Non avendo residui non è possibile applicare test statistici per valutare l’affidabilità dei risultati.
1
T
I metodi di rilevamento tradizionali
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Inserimento delle misure plano-altimetriche in un sistema di riferimento: minimi vincoli e vincoli sovrabbondanti I calcoli relativi alla compensazione di misure geodetico-topograifche vengono effettuati da appositi software per la topografia che, come si è visto grazie agli esercizi, richiedono le informazioni relative a: - osservazioni effettuate (misure planimetriche, altimetriche, di distanza o basi GPS); - elementi noti (coordinate, misure assunte a-priori come vincoli del rilievo); - elementi incogniti (coordinate dei punti dei quali si conoscono solo valori approssimati) Nel metodo delle osservazioni indirette ognuna delle osservazioni effettuate consente di scrivere un’equazione che avrà al suo interno sia le incognite e sia gli elementi noti del problema. La compensazione finale fornisce le coordinate incognite, gli errori ad esse associate, dedotti dalla matrice di varianza covarianza, ed il risultato dei test statistici che consentono di rigettare quelle osservazioni che non rientrano nelle tolleranze imposte in quanto affette da possibili errori grossolani. E’ molto importante notare che le misure da sole non sono in grado di fornire la soluzione del problema, ovvero le coordinate dei punti o la loro quota. Infatti le equazioni alle osservazioni fanno sempre riferimento a differenze di coordinate o di quote. Queste, da sole, non possono fornire la soluzione cercata a meno che non siano note le coordinate di un certo numero di punti che costituiscono dei “vincoli” nell’analisi dei dati14. I vincoli consentono di inserire (vincolare) la rete in un certo sistema di riferimento (quello dei vincoli) e di ottenere le coordinate dei punti incogniti a partire dalle osservazioni. Attraverso l’uso dei vincoli si definisce il Datum15 della rete. Quando si impone un numero di vincoli minimo per potere eseguire la compensazione si parla di minimi vincoli, mentre se i vincoli sono superiori al numero minimo si parla di vincoli sovrabbondanti. L’ultimo è il caso dell’inserimento di una rete in una più vasta attraverso alcuni punti comuni che si considerano privi di errore. I vincoli minimi per le reti sino ad ora illustrate si possono così riassumere
14
Tipo di rete
Osservabile
Vincoli minimi richiesti
Descrizione dei vincoli
Altimetrica Planimetrica
Dislivello Angoli e distanze Angoli
1 3 4
Posizione (1) Posizione (2), Orientamento (1) Posizione (2), Orientamento (1), Scala (1)
Le equazioni alle osservazioni non possono fornire valori di coordinate se alcune di esse non sono già note. Per esempio la misura di un dislivello non potrà diventare una quota se questa non è nota per almeno uno dei punti coinvolti nelle misure. Anche nelle osservazioni angolari vale lo stesso discorso. Infatti se avessimo una rete di sole misure angolari, la stessa avrebbe varie indeterminazioni: scala, posizione e orientamento. 15 In cartografia infatti il Datum (o sistema geodetico) identifica un riferimento tridimensionale su cui inquadrare il sistema di coordinate.
I metodi di rilevamento tradizionali
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Quindi nelle reti altimetriche basta la quota di un punto per ricavare, tramite i dislivelli misurati, le quote degli altri punti coinvolti nelle misure. Nelle reti planimetriche con misure di angoli e distanze la definizione del datum richiede 3 vincoli, infatti la rete deve essere posizionata nello spazio cartesiano ed orientata secondo un certo angolo. Se manca una misura di distanza va imposto anche un vincolo per eliminare l’indeterminazione della scala poiché la dimensione della rete non potrebbe essere definita. In questo caso i vincoli minimi diventano 4. Si fa notare che per rispondere ai 4 vincoli minimi si devono fornire 4 elementi noti che possono essere le coordinate di due punti nel sistema prescelto. Infatti con 2 punti noti (4 coordinate) si può posizionare, orientare e dimensionare la rete planimetrica. La compensazione a minimi vincoli è molto utile per valutare i residui della compensazione stessa. Infatti i residui non dipendono dal particolare vincolo imposto e la compensazione può portare alla luce eventuali errori grossolani nelle osservazioni. Se la compensazione a minimi vincoli è intrinsecamente buona allora i risultati possono essere accettati e la rete inserita in una più vasta attraverso una compensazione a vincoli sovrabbondanti. In questo caso invece i residui dipendono dai vincoli scelti che potrebbero introdurre eventuali errori nel calcolo ai minimi quadrati.
Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni
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Misure per il controllo dei movimenti e delle deformazioni In questo capitolo verranno passate in rassegna alcune applicazioni del rilevamento topografico al controllo dei movimenti e delle deformazioni. Particolare attenzione sarà dedicata ad edifici e strutture. Nella pratica dell’analisi di dati ottenuti dal rilevamento si definisce: movimento: spostamento rigido di un oggetto, o di parti di esso, rispetto ad un sistema di riferimento esterno all’oggetto stesso; deformazione: movimenti relativi all’interno dell’oggetto in esame. La distinzione tra deformazioni e movimenti è intuitiva se si parla di strutture (ponti, dighe, edifici…) mentre se si parla di movimenti del terreno è molto più problematica coinvolgendo, in questo caso, anche aspetti di natura geologica e geofisica. Si pensi ai movimenti che possono agire su varia scala, globale (deriva dei continenti), regionale (subsidenza) o locale (subsidenza in aree ristrette, frane, fenomeni in ambiente carsico..). In ogni caso, in funzione del fenomeno che si deve misurare, si devono progettare delle misure di controllo che siano idonee (in termini di metodo, strumenti ed accuratezza necessaria) allo scopo. I movimenti possono essere riassunti anche in funzione delle cause che li provocano. Queste possono essere naturali (deriva dei continenti, subsidenza localizzata, fenomeni sismici ed attività vulcanica, fenomeni franosi) oppure antropiche (subsidenza, frane, movimenti di strutture, cause indotte artificialmente come nei collaudi delle strutture). Inoltre si usa spesso dividere i movimenti in verticali, orizzontali o tridimensionali. Infatti, anche se i movimenti si presentano nella realtà tridimensionale, va considerato che i metodi di rilievo potrebbero essere planimetrici, altimetrici o, come visto nel caso del GPS, tridimensionali. Particolare attenzione va posta al calcolo degli errori associati alle misure per assegnare ad esse una significatività (questo è compito del rilevatore) e sull’interpretazione fisica del fenomeno sulla base dei movimenti misurati (questo e compito della figura professionale competente nella materia specifica). Altre considerazioni riguardano la tipologia di movimento registrati che possono essere permanenti o reversibili, continui o discontinui, lenti o veloci. Le precisioni ottenibili devono essere idonee a valutare i movimenti cercati. Sarebbe inutile misurare spostamenti attesi di pochi mm con strumentazione in grado di fornire il cm, così come sarebbe inutile, ed economicamente oneroso, utilizzare strumenti costosi e metodi impegnativi per misurare spostamenti grossolani. Questo ovviamente se si conosce a-priori l’ordine di grandezza dei movimenti in gioco. Dal punto di vista operativo la determinazione dei movimenti e delle deformazioni si può ottenere con due possibili approcci al rilievo: dal confrontano tra le medesime misure (osservazioni) effettuate in rilievi successivi (questo significa utilizzare anche lo stesso sistema di riferimento); dal monitoraggio in continuo attraverso strumentazione sempre presente sul sito che ripete autonomamente le misure ad intervalli di tempo prestabiliti (stazioni totali motorizzate, stazioni GPS permanenti, clinometri, fili a piombo, fibre ottiche, estensimetri e molta altra strumentazione progettata per lo scopo).
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In entrambi i casi la misura deve essere associata al relativo errore e cosi anche lo spostamento rilevato, che a sua volta avrà un errore che scaturisce da quelli delle singole osservazioni. Proprio questo aspetto può generare confusione e controversie, anche legali. Pensiamo ad esempio ad un grande muro di sostegno sulla cui stabilità vi sia una controversia fra committente ed impresa esecutrice. Si pone quindi il muro sotto controllo con un semplice schema di intersezioni in avanti con misura di distanze da due punti utilizzati come riferimento. Nelle prime misure si ottengono le posizioni dei punti e le relative ellissi standard d’errore in assenza con osservazioni strettamente necessarie. Nella seconda misura si trovano nuovamente le posizioni dei punti con le ellissi standard. Se anche le ellissi corrispondenti non si intersecano, il costruttore può obiettare che c’è solamente poco più del 38% (caso di ellissi standard) di probabilità che vi sia un movimento in quanto le misure potrebbero anche essere collocate fuori dalle ellissi standard. Molto spesso queste problematiche sono proprio relative alle indagini su edifici storici e manufatti di pregio che possono richiedere l’esecuzione di controlli per la presenza di cedimenti verticali e differenziali delle fondazioni imputabili a diverse cause (traffico, infiltrazioni d’acqua, cedimenti di strutture portanti ecc.). La tendenza è proprio quella ad installare sistemi di monitoraggio permanenti sulle strutture con trasferimento dei dati ad una centrale operativa che si occupa della elaborazione delle osservazioni ed, eventualmente, prevede anche un sistema di allerta nel caso di movimenti che superano una soglia prefissata. Le metodologie di rilievo maggiormente utilizzate nel monitoraggio locale sono quelle tipiche del rilievo topografico: triangolazioni, reti miste, livellazione geometrica e, sempre più spesso in ambienti aperti, il GPS. Per i movimenti di parti di strutture esistono strumenti nati appositamente per lo scopo quali, ad esempio, i livelli idrostatici possono raggiungere precisioni elevatissime, i livelli zenitali possono mettere in luce movimenti orizzontali delle sommità di un edificio rispetto alla base così come i fili a piombo, i clinometri possono mettere in evidenza movimenti rotazionali, gli estensimetri misurano piccole variazioni di distanza fra punti di una struttura mentre movimenti veloci possono essere monitorati tramite accelerometri. Tutti questi strumenti esistono nelle versioni elettroniche con possibilità di invio dei dati raccolti. Particolare attenzione va posta alla segnalizzazione dei punti di controllo (i cosiddetti caposaldi) che deve essere idonea ad ospitare la strumentazione prevista per quelle misure specifiche.
Movimenti del suolo Questo è uno dei campi di maggiore interesse per le applicazioni della geodesia in quanto la disciplina è oggi in grado di quantificare i movimenti in atto su scala globale nell’ambito dei meccanismi geodinamici. Movimenti a scala continentale: tema affrontato da vari Istituti di Ricerca ed Agenzie che si occupano di geodesia spaziale. Rientrano in questa categoria i movimenti che avvengono nell’ambito del circuito delle placche continentali che si muovono le une rispetto alle altre provocando nei punti di contatto fenomeni di subduzione e trascorrenza in corrispondenza dei quali si collocano le zone sismiche e vulcaniche. Le osservazioni geodetiche (soprattutto quelle GPS ottenute dalle reti di stazioni permanenti) hanno fornito da pochi anni la mappa completa degli spostamenti imputabili ai movimenti delle placche continentali;
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Movimenti a scala regionale: rientrano in questa categoria fenomeni geofisici e geologici che agiscono su aree piuttosto vaste (scala regionale intesa in senso non solo amministrativo). Molti di questi fenomeni in realtà dipendono da quelli a scala globale e non si possono descrivere in modo compiuto senza il loro inquadramento in un contesto più ampio. In tale categoria rientrano i fenomeni sismici, quelli vulcanici, la subsidenza naturale che avviene in aree caratterizzate da depositi alluvionali, i movimenti legati al carsismo, al bradisismo, alle attività geotermiche, alla presenza di faglie ecc..);
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Movimenti a scala locale: non è facile definire questi movimenti che possono essere una componente di fenomeni più diffusi. Tipici movimenti su scala locale sono da considerarsi invece quelli legati a frane, più o meno estese, o anche quelli indotti sul territorio da lavori di escavazione o in generale da interventi di ingegneria. Classico esempio sono i cedimenti che possono registrare in ambienti collinari e montuosi in seguito ai lavori di realizzazione di una galleria oppure in centri urbani in seguito alla realizzazione di parcheggi interrati o di linee della metropolitana. Sempre più frequentemente vengono installati sistemi di monitoraggio continuo (di vario tipo) che evidenziano, in tempo reale, movimenti inattesi che possono attivare sistemi di allerta (acustici, e-mail, SMS) del personale incaricato. In tali studi devono necessariamente convergere diverse competenze (ingegneristiche, geologiche, geotecniche, geomorfologiche). Di seguito si riporta un caso in cui le deformazioni del suolo (di entità metrica) sono dovute all’estrazione di salgemma da un deposito collocato al disotto della città di Tuzla (Bosnia Herzegovina). I dati sono rilevati con metodi di livellazione.
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Movimenti o deformazioni di strutture Verranno discusse solo alcune applicazioni dei metodi di rilevamento ai fini del controllo e del collaudo statico delle strutture. Va sempre tenuto in mente che la precisione delle misure effettuate deve, ovviamente, essere idonea alla misura dei movimenti ricercati. In generale comunque esistono metodi idonei per tutte le applicazioni, potendo anche utilizzare oggi tecniche di indagine che non sono tradizionalmente incluse in quelle del rilevamento. Si vedranno solo alcuni esempi. Occorre innanzitutto chiarire la terminologia; i collaudi si esauriscono in poco tempo mentre i controlli sono in genere protratti nel tempo.
Collaudo di una trave appoggiata Viene richiesto per verificare il carico sostenibile da parte della trave. Occorre misurare l’abbassamento (freccia) in corrispondenza di alcuni punti (mezzeria, quarti) della trave stessa sotto un determinato carico e confrontare tale risultato con i parametri di progetto. Una volta scaricata la trave si verifica il ritorno elastico della trave ed il collaudo termina. Il problema veniva risolto utilizzando dei flessimetri a filo (tuttora usati per solai e piccole strutture) costituiti da un apparecchio ad ago attraversato da un filo che con il suo movimento muove l’ago su di un quadrante ed è in grado di misurare precisioni notevoli (sensibilità di 1/100 mm nella misura del movimento del filo). Ci sono alcune limitazioni: lo strumento deve appoggiare su di una struttura stabile (non soggetta a movimento) e quindi non può essere utilizzato nei ponti dove scorre acqua; il filo, anche se in invar, può essere soggetto a delle dilatazioni termiche; con l’azione del vento il filo può incurvarsi con alterazione delle misure dei movimenti. Oggi si impiega soprattutto la livellazione geometrica di precisione operando quando possibile al di sopra della struttura oppure anche sotto. In particolare facendo sempre riferimento al caso della trave appoggiata e supponendo di potere lavorare al di sopra di essa si procede nel modo seguente: Si segnalizzano i punti da controllare (ad esempio mezzeria ed appoggi) con chiodi a testa tonda per l’appoggio della stadia (punti 1, 2 e 3 nella figura) e si misura la quota di questi punti rispetto ad un caposaldo esterno alla trave (CS) che funziona da riferimento ed è segnalizzato nello stesso modo. Tale caposaldo deve essere posto lontano dalla trave in modo da non risentire di eventuali movimenti degli appoggi durante le operazioni di carico e scarico. Si carica la trave (camion con ghiaia ecc.) e si determinano le quote dei tre punti rispetto al caposaldo. Dalla differenza rispetto alle quote relative al ponte scarico si determinano i movimenti verticali dei tre punti. Il comportamento della trave non influenzato da quello degli appoggi (freccia) si potrà trovare depurando l’abbassamento del punto 2 degli abbassamenti in 1 e 3 eventualmente ottenuti da controlli indipendenti.
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Si ripete poi l’operazione ricavando anche gli eventuali residui nel ritorno elastico della trave o degli appoggi una volta scaricata la trave. Il metodo si può applicare (anche se con maggiori difficoltà) anche qualora non sia possibile lavorare sopra la struttura (ad esempio nel caso della copertura di un capannone) ma solo sotto di essa. In tale caso, per verificare movimenti delle pile, si possono usare caposaldi toroidali a parete e normali stadie appoggiate su di essi, mentre per rilevare i movimenti della trave si potrebbe usare un filo a piombo portante ad altezza d’uomo una asta graduata. Ovviamente le misure vengono eseguite con il livello, stazionando con il treppiede al suolo, collimando le aste o le stadie graduate. Per smorzare le oscillazioni del filo a piombo si può immergere il peso di tensione in un bidone pieno d’acqua.
Collaudo di ponti e viadotti Ponti a travi appoggiate. Lo schema di un ponte a travi appoggiate è, campata per campata, quello descritto sopra nella direzione longitudinale mentre la sezione trasversale è normalmente costituita da una serie di travi affiancate con soletta e trasversa di irrigidimento.
Le misure di collaudo seguono lo stesso schema visto per la trave singola e anche il carico avviene con le stesse modalità. I mezzi che servono per il carico devono muoversi in modo tale da non compromettere le misure (per esempio non devono coprire la visibilità tra gli strumenti). Altro accorgimenti è relativo ai caposaldi per l’appoggio della stadia che devono essere solidali con la struttura vera e propria e quindi non devono essere posti sul marciapiede a meno che esso non sia gettato assieme alla soletta ed alla trave di bordo. La spalla del ponte andrebbe monitorata con un caposaldo su di essa. Ad ogni modo le misure devono essere sempre progettate in funzione delle caratteristiche costruttive della struttura. Vediamo come si procede con le misure partendo dal caso di un ponte ad una sola campata.
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Segnalizzati con chiodi i punti di controllo (appoggi, mezzerie e quarti) si installa un caposaldo abbastanza lontano da potere operare dal mezzo rispetto ai vari punti di controllo. Per non indurre movimenti sul caposaldo di riferimento durante le operazioni di collaudo e bene che i mezzi utilizzati per caricare il ponte non passino nelle sue vicinanze facendoli entrare ed uscire dal ponte sempre dalla parte opposta. Si mette la stadia sul caposaldo CS e si legge, poi successivamente su tutti i punti della trave facendo le singole letture. La differenza tra la lettura alla stadia su CS e le letture sui punti della trave consente di calcolare i singoli dislivelli e, nota la quota di CS, le quote di tutti i punti di controllo. Si ripetono le operazioni con le varie condizioni di carico e si ricavano le relative quote dei punti. Lo stesso si fa a ponte scarico. Dalla differenza fra le quote della prima misura (misura di zero) e quelle delle varie condizioni si trovano i relativi abbassamenti dei punti e gli eventuali residui sul ritorno elastico. Se il ponte è a più campate si ripete l’operazione campata per campata (o anche solo per alcune campate) tenendo conto che come caposaldo di riferimento si può assumere anche uno dei punti di controllo purché appartenente alla seconda campata oltre quella caricata.
Così quando si collauda la campata I il caposaldo può essere uno dei punti della campata III e così via fino a che per la IV campata il caposaldo va sulla spalla CS1 e per la campata V sulla strada a distanza opportuna CS2 ricordando anche qui che i mezzi devono muoversi dalla parte opposta rispetto ai caposaldi. Ponti a trave o lastre continue. I punti da rilevare sono inferiori rispetto al caso precedente in quanto sulle pile va un solo punto, ma c’è il problema dell’influenza del carico che agirà su tutta la campata.
Inoltre il cedimento di una pila influenza tutta la struttura. Il collaudo quindi deve essere fatto per tutto il ponte con carichi disposti anche in modo irregolare per provocare tutti le sollecitazioni possibili. Si deve eseguire una vera e propria livellazione dal mezzo partendo dal CS, facendo stazione fra due punti di controllo per poi richiudersi su CS. Così si ha anche la possibilità di un controllo delle misure e di una compensazione delle stesse.
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Altri collaudi Collaudo di solai. Si presenta spesso il caso del collaudo di grandi sale in edifici storici da adibire a sale conferenze, biblioteche o altro ed occorrono carichi molto pesanti e molto ben distribuiti. Un modo per caricare il solaio è quello di costruire una vera e propria piscina coprente tutto il solaio da riempire con l’acqua oppure di utilizzare delle sacche da riempire con acqua.
Se il piano sottostante è libero si possono usare dei flessimetri a fili per la misura degli spostamenti. Dovendo lavorare sopra il solaio si presenta il problema di materializzare i punti di controllo. La soluzione può essere trovata appoggiando nei punti dei quali interessa valutare il comportamento grossi blocchi di cemento portanti un’asta graduata. I caposaldi di riferimento (più di uno per potere lavorare dal mezzo) possono essere righelli attaccati al muro a diverse distanze dal punto (S) dove si metterà lo strumento.
Come al solito si procede alla misura con solaio scarico (ad esclusione del peso dei blocchetti di cui si potrà tenere conto), poi con vari livelli dell’acqua ed infine a carico nullo.
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Collaudo di grandi capriate metalliche o di cemento armato in capannoni industriali. In questo tipo di collaudo si pone il problema dell’inaccessibilità della struttura. Si può operare appendendo ai nodi (o alla trave se si tratta di grandi travi in cemento) dei pesi già determinati (rotoli di lamiera) sostenuti da carrelli elevatori per la misura di zero che vengono abbassati per il carico ed alzati per lo scarico.
Collaudo di serbatoi. Per quanto attiene al carico non vi sono problemi se non di tempo in quanto si effettueranno le misure a serbatoio vuoto, pieno a metà, pieno totalmente e poi di nuovo a serbatoio vuoto. Se si vogliono verificare le fondazioni si può operare con una livellazione geometrica. Si tratta infatti di aggiungere al cemento, ad altezza d’uomo, delle aste centimetrate ed assumere un caposaldo Cs di riferimento abbastanza lontano da non essere influenzato dai movimenti del terreno. Si collega con una lettura il punto Cs al punto 1 sul serbatoio e si procede con una livellazione a stella facendo stazione nei punti S1-S9 in figura.
La disponibilità di strumenti integrati con distanziometro al millimetro rende anche tale strumentazione utile a collaudi di questo tipo. Collaudi dinamici. Si accenna a questa categoria di collaudi che diventano possibili grazie all’ultima generazione di strumentazione (non descritta), in particolare gli accelerometri e gli interferometri. I collaudi dinamici sono utili soprattutto per i ponti e dighe dove può essere molto utile rilevare i movimenti istantanei indotti, sulla struttura, rispettivamente da mezzi in movimento o carichi d’acqua nell’invaso.
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Controlli in corso d’opera Le metodologie utilizzate per i controlli sono in genere le stesse utilizzate nei collaudi ma con la differenza che la strumentazione è fissa e monitora la struttura in continuo. Spesso il controllo viene previsto proprio in corso d’opera durante la realizzazione di una struttura. L’idea di rilevare la stabilità delle fondazioni, la verticalità di alti pilastri, la planarità di solai già durante l’esecuzione dell’opera è una procedura spesso seguita quando l’opera è tale da giustificare questo lavoro aggiuntivo. Controlli in corso d’opera si utilizzano durante la costruzione di dighe, grattacieli, grossi fabbricati industriali, nuove infrastrutture per l’alta velocità ferroviaria. Da un punto di vista pratico la soluzione consiste nell’inserire una serie di caposaldi ad esempio sui plinti delle fondazioni in modo da poter controllare la stabilità degli stessi col crescere del carico via via che l’opera procede nella costruzione. Anche il montaggio di grosse macchine operatrici può prevedere il controllo di parti durante la fase di montaggio.
Controllo di stabilità di edifici pregevoli Sempre più frequente è la necessità di controllare, ad esempio durante i lavori di ristrutturazione, la stabilità di fondazioni, solai o comunque di parti di edifici storici. Questa pratica è fondamentale soprattutto in quelle città che sono soggette a fenomeni di subsidenza (naturale ed antropica) che produce deformazione del suolo. Uno dei controlli più frequenti, in questi casi, riguarda la verifica della stabilità delle fondazioni con l’impiego della livellazione geometrica di precisione anche se l’uso di sensoristica di nuova generazione (laser, fibra ottica) è sempre più frequente proprio in queste applicazioni. Nel caso della livellazione si presenta il problema della sistemazione dei caposaldi. Questi infatti non devono deturpare il bene e devono essere approvati dalla Soprintendenza ai Beni Culturali. I classici caposaldi toroidali possono essere materializzati in pozzetti (quindi non visibili) con chiusino oppure, utilizzando caposaldi molto piccoli, essi si possono mimetizzare con altri oggetti presenti. La livellazione ha come limite quello di richiedere un controllo continuo nel tempo e personale specializzato per eseguire le misure. Una alternativa potrebbe essere il controllo tramite livellazione idrostatica (Duomo di Milano) con tubature al disotto del pavimento. In altri casi invece si pone il problema di valutare possibili spostamenti planimetrici di parte della struttura, quale ad esempio lo spostamento della sommità di una torre rispetto alla base. In questi casi occorre prima di tutto rilevare eventuali cedimenti differenziali delle fondazioni responsabili di tali movimenti. La metodologia da utilizzarsi dipende essenzialmente dalle caratteristiche dell’opera e dalla possibilità di operare al suo interno. Se ad esempio l’opera ha l’interno agibile per tutta l’altezza (torri) possono servire i livelli zenitali o i fili a piombo che possono essere automatizzati per un controllo continuo nel tempo. Occorre proteggere i fili dalle correnti d’aria con un tubo di plastica sufficientemente largo da contenere i movimenti ipotizzati. Se invece la struttura non consente tale approccio il problema viene risolto con i metodi della topografia classica secondo diverse modalità a seconda della possibilità di eseguire misure dall’esterno.
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Per misurare eventuali variazioni di distanza tra due punti (problema che può presentarsi in tutti i casi) esistono i fili di invar tarati e tesi da un dinamometro e ancorati ad un estremo alla struttura ed all’altro ad uno strumento di rilevazione fisso.
Controllo di muri di sostegno e di versanti interessati da gallerie Muri di sostegno. Possono essere controllati anche grandi muri di sostegno costruiti, in zone collinari, a protezione di aree urbanizzate soggette a rischio legato all’instabilità del pendio. Spesso si tratta di grandi muri a gradoni che sostengono la parte restante del versante asportato per scopi edilizi. I controlli possono essere effettuati con misure di intersezione lineari ed angolari effettuate da due punti posti nell’area a valle del muro Tali punti è bene che abbiano una quota media tale da non richiedere misure troppo inclinate, che possono compromettere l’accuratezza dei risultati finali. Ovviamente deve essere garantita la loro stabilità.
Movimenti su pendio dovuti allo scavo di una galleria. Durante lo scavo di una galleria stradale o ferroviaria possono manifestarsi piccoli dissesti con (o senza) lesioni negli edifici presenti sul pendio soprastante e timori sulla stabilità del versante stesso. In alcuni casi l’area interessata è stata interamente monitorata per valutare la stabilità e la sicurezza dei fabbricati e per verificare che i dissesti siano dovuti a fattori temporanei legati allo scavo. In altri casi si possono anche rilevare veri e propri movimenti franosi innescati dallo scavo. In questi casi si può istituire una rete di livellazione di precisione comprendente caposaldi posti su piccoli pali infissi nel terreno o cementati sugli spigoli dei fabbricati al fine di controllare i movimenti verticali di tutta la zona ed anche i cedimenti differenziali delle fondazioni dei fabbricati. In questi casi si possono controllare anche i comportamenti di punti distanti, per esempio sul versante non interessato, lavoro svolto oggi quasi esclusivamente attraverso misure GPS con osservazioni statiche, calcolo dei vettori baseline (si vedrà) e compensazione delle osservazioni.
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Controllo di dighe Viene condotto grazie all’uso integrato di collimatori, stazioni robotizzate che eseguono letture ad intervalli regolari di tempo, metodi di livellazione di precisione. Per quanto riguarda il primo di questi metodi la geometria dipende dalla tipologia di struttura: ad esempio si possono distinguere dighe a gravità e dighe a d arco che vengono monitorate secondo i seguenti schemi. Ad arco (con geometria di collimazione variabile)
A gravità (con geometria di collimazione fissa)
Il collimatore
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Utilizzo di sensori a fibra ottica (FOS) Anche se non riconducibili a tecniche strettamente topografiche, vanno citati i sensori a fibra ottica per la loro versatilità nell’applicazione, per il costo contenuto, la sensibilità nella misura delle deformazioni, la durabilità, in estensibilità e resistenza. Infatti, i metodi visti sino ad ora per il monitoraggio degli edifici e strutture sono spesso complicati nella messa in opera e richiedono la presenza di uno o più operatori specializzati. La complessità ed i costi che ne risultano possono limitare la frequenza delle misure e la loro densità in relazione alla dimensione e complessità della struttura da controllare. In quest’ottica, nasce la cosiddetta struttura intelligente (smart structure) che possiede al suo interno una rete di sensori a fibre ottiche che permettono la misura delle deformazioni in atto (legate a variazioni di temperatura e pressioni, alle infiltrazioni di acqua, alle penetrazione di agenti chimici nocivi, ecc) e quindi la sorveglianza continua della struttura. Questi sensori, sviluppati negli ultimi 20 anni, sono in grado di rilevare deformazioni anche molto piccole e con elevata precisione (fino a 2 micron indipendentemente dalla lunghezza della base di misura) e per lunghi periodi di osservazione. In funzione degli obiettivi del controllo (che diventa un vero e proprio monitoraggio) possono essere istallati solo localmente oppure in modo distribuito sulla struttura. Anche se esistono diverse tecniche per la misura delle deformazioni tramite FOS, una di quelle più diffuse utilizza dei sensori interferometrici. Ciascun sensore è formato da due fibre ottiche, una di misura ed una di riferimento, entrambe preservate all’interno di un tubo di protezione in materiale plastico. La fibra di misura é tesa e solidale alla struttura in modo da seguirne le deformazioni mentre la fibra di riferimento segue solo dilatazioni di natura termica. Il segnale ottico viene emesso da un’unità di lettura tramite un LED (light emitting diode) a infrarossi (1.3 μm) sdoppiato nelle due fibre all’interno del sensore e quindi riflesso da due specchi (ottenuti per trattamento chimico) posti all’estremità di ciascuna fibra, per ritornare poi all’unità di lettura dove viene demodulato. I due specchi riflettono la luce verso l’accoppiattore, dove i raggi sono combinati e poi diretti verso l’interferometro di riferimento. Il segnale, contenente le informazioni sulle eventuali deformazioni che hanno interessato la struttura, viene trattato e decodificato dall’unità di lettura, per essere quindi visualizzato sul PC che include il software per il trattamento dei dati prodotti dal FOS.
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I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System) Alla fine degli anni sessanta il Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti ha deciso di sviluppare un sistema di posizionamento tridimensionale in tempo reale su tutto il globo basato su una costellazione di satelliti artificiali. Tale sistema, chiamato NAVSTAR GPS (NAVigation Satellite Timing And Ranging Global Positioning System) doveva consentire un posizionamento con accuratezze dell’ordine delle decine di metri. In ambito geodetico e topografico il sistema GPS ha avuto un maggior utilizzo dai primi anni '90 grazie all’utilizzo di tecniche di posizionamento GPS ad alta precisione. Queste hanno avuto un notevole impulso anche grazie al contributo dell’IGS (International GPS Sevice for Geodynamics) che fornisce una vasta serie di servizi per gli utenti del sistema GPS. Il GPS è basato sulla ricezione di segnali radio emessi da satelliti artificiali posti su orbite quasi circolari con raggio di circa 26500 km. Per una maggiore comprensione del funzionamento si usa distinguere tre segmenti: segmento spaziale; segmento di controllo; segmento di utilizzo.
Il segmento spaziale Il segmento spaziale identifica la costellazione satellitare, che nella sua configurazione finale, è costituita da almeno 24 satelliti posti su 6 piani orbitali ugualmente spaziati in longitudine di 60° e inclinati di 55° rispetto al piano equatoriale. Essi sono distanti dalla superficie terrestre circa 20200 km ed il loro periodo di rivoluzione è di 11 ore e 58 minuti. Tale geometria orbitale consente ad un generico utente posto sulla superficie terrestre (ma anche al di sopra) di osservare a qualsiasi ora, da qualsiasi punto e contemporaneamente un numero di 4-8 satelliti con una elevazione di almeno 15° sull’orizzonte. Inoltre ogni punto sulla superficie terrestre osserverà la stessa costellazione ogni 23 ore e 56 minuti. Le funzioni svolte da un satellite GPS sono molte ma fondamentalmente esso trasmette segnali codificati verso gli utenti (dotati di un ricevitore) con una temporizzazione molto accurata dalla quale dipende la qualità del posizionamento ottenuto. Per poter assolvere tali funzioni i satelliti montano a bordo oscillatori atomici (orologi) molto stabili e apparati di ricezione e trasmissione. Oltre a questi sono presenti memorie, unità di calcolo, il sistema di autoalimentazione (7 mq di pannelli solari), un apparato di navigazione basato su propulsori che consente di correggere in continuazione il movimento lungo l’orbita. Ogni satellite trasmette segnali di navigazione in modulazione di fase su due portanti chiamate L1 e L2, entrambe multiple della frequenza fondamentale f0 (f0=10.23 Mhz) degli oscillatori atomici.
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Generazioni di satelliti in orbita I satelliti GPS fino ad ora utilizzati sono divisi in cinque classi chiamate rispettivamente Blocco I, Blocco II, Blocco IIA (Advanced), Blocco IIR (Replacement), Blocco IIR-M (Modernized), Blocco IIF (Follow on). Quelli del blocco I sono stati rimpiazzati dal blocco II e IIA e così via fino all'ultimo in un continuo aggiornamento della costellazione con satelliti di ultima generazione. Pertanto in orbita si trovano sempre satelliti di generazione e caratteristiche differenti. Alcune caratteristiche di questi blocchi sono riportati nella tabella.
Alcune caratteristiche delle diverse generazioni di satelliti (al 20 Dicembre 2007) Blocco I numero periodo di lancio
11 (fuori uso) 1978 - 1985
Blocco II
Blocco IIA
28(15 in servizio) 1985 - 1990
orologio di bordo o 2 oscillatori al Cesio + 2 oscillatori al Rubidio
Blocco IIR-IIR-M16
16 (16 in servizio)
1990 - 1997
1997 - oggi
maser idrogeno
maser idrogeno
peso
845 kg
1500 kg
2000 kg
2000 kg
vita
45 anni
6 anni
10 anni
10 anni
I satelliti sono identificabili dal numero di lancio e dal cosiddetto pseudorandom noise (PRN), codice identificativo del posizionamento orbitale. Il blocco IIF sarà la prossima generazione dei satelliti che dovrebbe essere lanciata a partire dal 2008 con un periodo di vita di circa 12 anni. In lancio di questa generazione di satelliti è però in ritardo. Con il blocco IIF verrà potenziato l’intero sistema di navigazione attraverso l’introduzione di nuove componenti del segnale inviato. Le successive generazioni presentano continue migliorie. Ad esempio con il lancio del blocco IIR si introdusse la capacità di controllare la posizione relativa dei satelliti, potendo così ottenere precisioni orbitali al di sotto del metro e quindi un miglioramento di un ordine di grandezza nel posizionamento assoluto finale. Si vedrà più avanti come il Dipartimento della Difesa degli Stati Uniti si riservi la possibilità di degradare il segnale GPS intervenendo sul timing degli orologi del satellite o modificando i parametri orbitali per degradare l'accuratezza nel posizionamento.
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“…. Cape Canaveral, Fla., (Dec. 20, 2007) – United Launch Alliance successfully launched a Delta II expendable launch vehicle today from Space Launch Complex 17-A at 3:04 p.m., EST carrying the Air Force’s GPS IIR-18(M) satellite…” (from http://ulalaunch.com/).
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Oltre al segnale GPS vero e proprio dai satelliti viene trasmesso anche un segnale in bassa frequenza contenente informazioni riguardanti la posizione dei satelliti stessi (effemeridi), e vari parametri relativi alla qualità del segnale inviato.
Il Segmento di Controllo Il segmento di controllo è costituito da cinque stazioni a terra (Hawaii, Colorado Springs, Ascension, Diego Garcia, Kwajaliin) disposte lungo la linea equatoriale. Esiste un continuo monitoraggio radio tra le stazioni a terra e i satelliti in modo da monitorare le effemeridi (coordinate del satellite lungo la sua orbita) di questi ultimi e predire la loro orbita in un limitato tempo successivo.
Tra queste quella di Colorado Springs è la stazione Master. Essa ha il compito di raccogliere tutti i dati ricevuti dalle altre stazioni e di elaborarli per valutare effemeridi ed molti altri parametri relativi al segmento spaziale. Le altre hanno invece la funzione di trasmettere i dati elaborati dalla stazione Master verso i satelliti (aggiornamento delle effemeridi, correzione dei parametri orbitali, informazioni sull’effetto dell’atmosfera sulla propagazione delle onde etc.). Determinazione delle effemeridi Particolarmente interessante è la procedura per la determinazione delle effemeridi. I dati satellitari raccolti dalle stazioni di controllo nell’ultima settimana vengono elaborati in modo da determinare una prima stima della traiettoria che i satelliti seguiranno nella settimana successiva. Queste traiettorie di nuova determinazione costituiscono le cosiddette effemeridi di riferimento alle quali viene associata una precisione dell’ordine dei 50 m. Vengono poi confrontati i dati raccolti nelle ultime 12-24 ore con le effemeridi di riferimento. Questo consente un ulteriore ricalcolo delle effemeridi di riferimento, adattandole ad una situazione più recente, che porta alla definizione delle effemeridi predette (Broadcast Ephemerides). Le effemeridi broadcast vengono inviate al satellite che, a sua volta, le invierà agli utilizzatori attraverso il segnale in bassa frequenza. Pertanto un utente in possesso di un ricevitore GPS (si pensi ai navigatori satellitari) riceverà allo stesso istante sia i segnali sulle due portanti sia le effemeridi. Queste due informazioni consentono un primo posizionamento in tempo reale e di tipo strumentale. Gli errori associati ai parametri delle effemeridi broadcast sono di circa 1 m per la componente radiale (lungo direzione satellite-ricevitore), 7m per la componente tangente, 3m per la componente normale. Per precisioni maggiori è possibile richiedere a varie Agenzie che si occupano del trattamento dati GPS, le effemeridi precise, ottenute dai dati raccolti in otto giorni da numerose stazioni sparse sul globo e disponibili con un ritardo di 3-5 giorni dal momento dell’acquisizione dei dati. In questo caso non è possibile il posizionamento in tempo reale perché le effemeridi da utilizzare non sono quelle inviate dal satellite.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
102
L'accesso gratuito alle effemeridi precise avviene attraverso la rete Internet, tramite connessione FTP (File Transfer Protocol) dove sono disponibili i dati organizzati in ordine temporale.
Il Segmento di Utilizzo Tale segmento è costituito da tutti gli utenti che, equipaggiati di un ricevitore GPS, possono ricevere i segnali provenienti dai satelliti per ottenere il posizionamento tridimensionale in tempo reale (effemeridi broadcast) o differito (effemeridi broadcast o precise). Per svolgere le sue funzioni un ricevitore GPS è costituito da: antenna con preamplificatore, sezione radiofrequenza, microprocessore, schermo di controllo (opzionale), sistema di registrazione dati e sistema di alimentazione. Esistono molti modelli diversi di ricevitori GPS che potenzialità molto diverse che dipendono fondamentalmente dal tipo di analisi che essi possono effettuare sulle varie componenti del segnale ricevuto (si vedrà nel prossimo paragrafo). Il posizionamento ottenuto con misure satellitari, vista la struttura di un ricevitore, è relativo al centro di fase dell’antenna ricevente; la sua individuazione è determinata in modo più o meno preciso a seconda del modello utilizzato.
Ricevitore per applicazioni di precisione (senza antenna) Tipico ricevitore per il posizionamento in tempo reale con scarsa accuratezza
Ricevitore per applicazioni di precisione (con antenna su treppiede)
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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Il segnale GPS Ogni satellite trasmette un segnale complesso costituito da diverse componenti ma generate tutte dalla stessa frequenza fondamentale f0 (f0=10.23 Mhz) tipica dell’oscillatore di bordo del satellite. Le diverse componenti del segnale sono le seguenti: Portanti (Carrier), L1 e L2: sono due onde con frequenza rispettivamente di 154 e 120 volte f0 e lunghezze d’onda risultanti di 19 e 24 cm. Notevoli vantaggi nell’uso della doppia frequenza derivano dal fatto che l’effetto ionosferico sulla propagazione del segnale può essere quantificato essendo la ionosfera un mezzo dispersivo (che presenta un effetto diverso in funzione della frequenza del segnale). Codici, C/A, P e W: sono codici pseudorandom, cioè sequenze di stati +1 e -1 casuali che si ripetono dopo un certo intervallo di tempo. Nel codice C/A (Coarse/Acquisition o Clear/Access) la sequenza è emessa ad una frequenza pari allo 0.1f0 e si ripete ad intervalli di 10-3s; ad ogni satellite è assegnato un codice C/A per poterlo identificare. Il codice P (Precision o Protected) si ripete ogni settimana ed è un segnale maggiormente accurato. Inoltre è prevista la possibilità di criptare il codice P con un codice W noto solo agli utenti abilitati ed emesso ad una frequenza pari ad 0.2f0. La somma dei codici P e W fornisce il codice Y. Tale operazione di criptaggio viene definita A-S (AntiSpoofing). IL codice C/A è modulato solo sulla L1 mente il codice P viene modulato su entrambi le portanti L1 ed L2. Risulta evidente che gli strumenti in grado di rilevare il codice P potranno avere prestazioni maggiori. Messaggio D: attraverso questo messaggio si informa l’utente dello stato di salute del satellite, sull’orologio e soprattutto sull’orbita attraverso le effemeridi del satellite. Componenti
Frequenza MHz
Frequenza fondamentale
f 0 = 10.23
Frequenza portante L1
154 f 0 = 1575.42 ( = 19.0 cm)
Frequenza portante L2
120 f 0 = 1227.60 ( = 24.4 cm)
P - codice
f 0 =10.23
C/A - codice
0.1 f 0 = 1.023
W - codice D(t) – messaggio di Navigazione
0.2 f 0 = 0.5115 f 0 /204600= 50 Hz
E’ possibile strutturare il segnale completo trasmesso dal satellite nel seguente modo : L1(t ) a1 C / A(t )D(t )sen( f L1t L1 ) a1 P(t )W (t )D(t )cos( f L1t L1 ) L 2(t ) a2 P(t )W (t )D(t )cos( f L 2 t L 2 )
dove entrambe le portanti (L1 e L2) sono modulate con il codice P e trasportano il messaggio D, mentre solo la portante L1, sfasata di 90° rispetto ad L2, è modulata con il codice C/A.
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104
La modulazione del segnale GPS con i codici C/A e P Vediamo come avviene la modulazione dei codici C/A e P sulle fasi (operata dal satellite) ed in quale modo si possano riottenere i segnali di codice e fase separati (da parte del ricevitore) da utilizzare, anche solo in parte, per il posizionamento. Metodo del tutto analogo viene utilizzato per trasmettere le effemeridi broadcast da parte dai satelliti. I codici sono modulati sui segnali di fase in modo tale che in corrispondenza del passaggio tra stati opposti del codice binario pseudorandom (da +1 a –1 e viceversa) si ha uno sfasamento di 180° nella portante.
Il segnale modulato parte dal satellite e quando arriva al ricevitore viene demodulato per separare i codici dalla fase. La “demodulazione" utilizza il confronto tra il segnale proveniente dal satellite (ancora modulato) ed una replica identica generata dal ricevitore. Che cosa succede infatti quando un segnale modulato viene moltiplicato per una replica di se stesso? Supponiamo che il codice e la sua replica siano sincronizzati: gli stati +1 si presentano simultaneamente in entrambi, così come gli stati -1. Se moltiplichiamo quindi il codice per la sua replica, lo stato del segnale risultante sarà sempre +1 in quanto
1
2
1
1 e
2
1 . Quando il ricevitore trova la perfetta sincronizzazione significa che ha riconosciuto il codice in ingresso (che è tipico di un satellite in particolare). Riconosciuto il codice esso può essere rimosso dal segnale ed anche la fase può essere ricostruita nella forma originale.
In realtà il codice in ingresso al ricevitore e la replica non possono essere subito sincronizzati. Questo accade in quanto i codici emessi dai satelliti e le repliche generate all’interno dei ricevitori sono sincronizzati sullo stesso tempo, ma il segnale emesso dal satellite avrà percorso una certa distanza e quindi avrà un ritardo rispetto alla replica. Tale ritardo sarà funzione della distanza satellite-ricevitore ma dipenderà anche dagli errori di sincronizzazione degli orologi coinvolti (errore di offset degli orologi). Il ritardo (time delay) tra il segnale e la sua replica si ottiene da successivi confronti tra i segnali fino a quando la correlazione diventa massima.
codice in arrivo dal satellite replica del codice generata nel ricevitore
ritardo del segnale
t
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La procedura di sincronizzazione porta quindi alla conoscenza del tempo impiegato dal segnale per compiere il tragitto dal satellite al ricevitore. Questo equivale alla distanza satellite-ricevitore (range) se non ci fossero gli errori degli orologi a limitare questa determinazione. Come si vedrà, il posizionamento GPS di stazioni singole, ad esempio quello utile ai fini della navigazione, è basato proprio sulla determinazione di tale distanza da almeno 4 satelliti in vista contemporaneamente. Dunque le funzioni di un semplice ricevitore, abilitato in questo caso a ricevere solo i codici, si possono riassumere nella schema sotto.
Si vede che il segnale in arrivo dall’antenna viene amplificato e demodulato tramite confronto con una replica, il tutto sincronizzato dall’orologio del ricevitore. Avvenuta la demodulazione si separano i vari prodotti; effemeridi, codice C/A (anche il P se lo strumento è abilitato), ritardo del segnale. Con questi elementi sarà possibile calcolare la posizione del ricevitore, la sua velocità ecc. nel modo che si vedrà. Modernizzazione del sistema Con l’introduzione dei satelliti della nuova generazione il GPS (blocco IIR-M) viene potenziato con l’introduzione di un nuovo codice civile L2C, modulato sulla L2, per il quale si prevedono applicazioni civili non critiche. Successivamente verrà introdotto un terzo segnale portante, denominato L5, collocato alla frequenza 1176.45 MHz e per il quale sono previsti utilizzi legati alla sicurezza ed alle applicazioni che richiedono un posizionamento di precisione. Dovrebbero poi aggiungersi due codici L1C ed M-code (ad uso militare) a completare questa fase di modernizzazione denominata GPS III. Il sistema modernizzato dovrebbe essere disponibile per il 2010 e pienamente disponibile per il 2013.
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Integrazione con altri GNSS (Global Navigation Satellite System) Il posizionamento satellitare incrementa la sua potenzialità se usato in integrazione con altre costellazioni esistenti o previste. Tra le prime vi è la costellazione russa GLONASS (GLObal NAvigation Satellite System). Alcune peculiarità rendono il GLONASS differente dal più noto GPS. Innanzi tutto va detto che la costellazione GLONASS è stata poco operativa in quanto la costellazione non è mai stata completata da parte del governo russo. Oggi, dopo il rifinanziamento del progetto, la costellazione conta 19 satelliti distribuiti sui 3 piani orbitali con una inclinazione di 64,8° (55 nel GPS). Il sistema lavora con la doppia portante, ma in questo caso ciascun satellite occupa un differente slot, in termini di frequenza, rispetto agli altri contemporaneamente in vista. Sia la L1 che la L2 prevedono dei valori di frequenza variabili e scalati rispetto ad un valore standard. Solo i satelliti che si trovano alle estremità di una traiettoria orbitale possono avere la stessa frequenza, non potendo essere ricevuti da nessun utente contemporaneamente. Va citato anche il differente datum tra i sistemi. Nel GLONASS si assume il PZ-90 mentre il GPS utilizza il ben noto WGS84. Anche se il GLONASS non costituisce un sistema di posizionamento indipendente a causa del basso numero di satelliti, il suo uso combinato con il GPS ne amplia le potenzialità aumentando il numero complessivo di satelliti in vista. Nelle figure riportate di seguito è rappresentato il numero di satelliti disponibili durante un rilievo sperimentale nella soluzione con sola costellazione GPS e GPS+GLONASS rispettivamente. Rispetto al periodo di tale rilievo i satelliti GLONASS sono ulteriormente aumentati.
Va citato anche il progetto GALILEO, costellazione di satelliti per il posizionamento di proprietà della Comunità Europea, che a partire dal 2006 si trova in fase di sperimentazione con il lancio del primo satellite. La piena operatività è prevista per il 2011. GALILEO prevede nuove potenzialità legate principalmente alla disponibilità di servizi ad accesso limitato ed all'informazione sull'integrità dei dati come verifica dell'accuratezza del posizionamento raggiunto.
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Osservabili GPS: Codici e Fasi Il segnale radio emesso dal satellite viene captato dall’antenna GPS del ricevitore, demodulato e, per ricevitori dotati di scheda di memoria interna o memory card estraibile, salvato nel file delle osservazioni. Il codice PRN consentirà di identificare i satelliti in vista. Ogni segnale da ogni satellite viene trattato in un canale di ricezione diverso. L’informazione ricevuta consiste quindi in quelle che vengono definite le osservabili CODICE e FASE dalle quali parti il calcolo della posizione. In linea del tutto generale si può affermare che le misure di codice possono essere utilizzate per un posizionamento in tempo reale ma con scarsa accuratezza mentre le misure di fase consentiranno un posizionamento di precisione anche subcentrimetrica in post-elaborazione, ovvero con un trattamento dei dati memorizzati che avviene successivamente al rilievo sul terreno. Come già affermato in precedenza il posizionamento GPS è basato sulle stime delle misure di distanza satellite-ricevitore. Tale grandezza (range) è rappresentata nella figura sotto dove in particolare con l'indice i è rappresentato un generico ricevitore e con j un generico satellite.
Il posizionamento GPS può essere ottenuto in alcune “modalità”, che dipendono dal tipo di rilievo e di trattamento dei dati. Queste si possono riassumente in te categorie: 1. Posizionamento assoluto: utilizzando un unico ricevitore che determina la posizione assoluta (nel sistema di riferimento globale del GPS); 2. Posizionamento differenziale: assimilabile al posizionamento assoluto ma i valori di range satellite-ricevitore sono corretti dei vari errori sistematici attraverso le informazioni provenienti da una seconda stazione posta su un vertice noto; 3. Posizionamento relativo: utilizzando almeno due ricevitori contemporaneamente porta al calcolo del vettore (baseline) unione dei due punti. Consente la massima precisione potendo eliminare molti degli errori caratteristici del sistema;
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Il Posizionamento Assoluto Si illustreranno di seguito le equazioni che sono alla base del posizionamento assoluto, ottenuto con uno strumento, sia nel caso di ricezione delle informazioni sui codici sia sulle fasi.
Posizionamento assoluto con misura dei codici Se si suppone una perfetta sincronizzazione tra l’emissione del codice generato dal satellite e quello generato dal ricevitore, il segnale che parte dal primo all'istante tj giunge al secondo all'istante ti con un ritardo pari al tempo necessario per compiere la distanza satellite-ricevitore. Se si considera invece la non perfetta sincronizzazione tra i codici del satellite e del ricevitore rispetto al tempo GPS si avrà un offset che influisce sulla determinazione del range introducendo un errore. Per questo motivo la distanza satellite-ricevitore, determinata dal ricevitore stesso, prende il nome di pseudorange. La misura del ritardo corretta degli offset si può esprimere come:
t t i (GPS ) i t j (GPS )
j
Mentre, dopo avere accorpato gli errori, lo pseudorange osservato sarà Ri j (t ) ct (t ) ct (GPS ) c i j (t ) (t ) c i j (t )
dove c è la velocità della luce nel vuoto, ti il tempo misurato dall’orologio del ricevitore, tj quello misurato dall’orologio del satellite, i è l’errore (bias) nell’orologio del ricevitore, j è l’errore (bias) nell’orologio del satellite. Quest’ultimo, molto piccolo, viene modellizzato in un polinomio di coefficienti noti che sono trasmessi nel messaggio di navigazione, mentre l’errore dell’orologio del ricevitore rimane incognito e varia da istante ad istante. Il valore di (t) rappresenta la distanza geometrica al tempo t (valore teorico da determinare) è può essere espressa come
2
2
ij X j (t) X i Y j (t) Yi Z j (t) Zi
2
dove le 3 coordinate della stazione GPS a terra sono le incognite di nostro interesse (la posizione) mentre le coordinate del satellite al tempo t sono espresse attraverso le effemeridi. Considerando che il ricevitore GPS continua a tracciare i satelliti disponibili ma registra le osservabili codice e fase ad intervalli definiti (d'ora in poi chiamate epoche di acquisizione) il numero di osservazioni sarà nj x nt, dove con nj è il numero di satelliti in vista e nt il numero di epoche per ogni satellite. Se il ricevitore è fermo, ovvero siamo nel caso di un posizionamento statico, le incognite saranno: - 3 coordinate del punto (che non cambia); - un bias dell'orologio del ricevitore per ogni epoca di acquisizione (ad ogni epoca infatti si presenta un bias diverso). Complessivamente le incognite sono 3+ nt e la condizione necessaria per avere il posizionamento sarà nj x nt 3+ nt da cui
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
nt
3 n j 1
109
caso statico
Da questa relazione si osserva che per avere un posizionamento statico occorre avere il denominatore positivo e quindi almeno due satelliti e tre epoche di acquisizione. Con un'unica epoca invece la soluzione si ha per nj = 4. In pratica ad ogni epoca è possibile risolvere la posizione se sono disponibili almeno 4 satelliti.
Nel caso in cui lo strumento GPS ricevente sia in movimento (posizionamento cinematica) le incognite associate alla posizione cambieranno di epoca in epoca. A queste si aggiunge il bias dell'orologio anche qui per ogni epoca. Le incognite saranno 3nt.+ nt = 4nt e la configurazione minima nj x nt. 4nt da cui deriva
nj 4
caso cinematico
Quindi 4 satelliti consentono il calcolo della posizione in ogni epoca e quindi della velocità e traiettoria.
Come esercizio sull’applicazione del metodi dei minimi quadrati al posizionamento GPS assoluto si vede ora come si effettua il calcolo delle componenti del vettore posizione. Partendo dall'equazione generale, riferita ad un'epoca generica t con errore legato all'orologio del satellite che può essere considerato noto, nella forma Rij
X
j
(t) X i
Y 2
j
(t) Yi
Z 2
j
(t) Zi
2
cti (t) 0
occorre linearizzare rispetto alle incognite del problema che saranno X i , Yi , Z i delle quali devono essere noti dei valori approssimati X i X i0 xi
xi X i X i0
Yi Yi0 y i
0 con discrepanze che diventano y i Yi Yi
Z i Z i0 z i
z i Z i Z i0
arrivando ad avere equazioni nella forma Ri j (t ) i j0
X j (t ) X i0
i j0 (t )
xi
Y j (t ) Yi0
i j0 (t )
yi
isolando i termini noti da quelli incogniti si ha
Z j (t ) Z i0
i j0 (t )
z i ct i (t )
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
X j (t ) X i0
i j0 (t )
xi
Y j (t ) Yi0
i j0 (t )
yi
Z j (t ) Z i0
i j0 (t )
110
z i ct i (t ) Ri j (t ) i j0
nelle incognite X i , Yi , Z i , t i (t ) . Evidentemente occorreranno i soliti 4 satelliti per risolvere il sistema delle equazioni. Definendo i termini noti ed i coefficienti nella forma abbreviata l j Ri j (t ) i j0 a Xij
X j (t ) X i0
i j0 (t )
aYij
Y j (t ) Yi0
a Zij
i j0 (t ) Z j (t ) Z i0
i j0 (t )
Ogni satellite ricevuto all’istante t fornirà una equazione nelle 4 incognite. In presenza di j satelliti si arriva ad un sistema di equazioni (anche ridondanti) del tipo: 1 a1Xi xi aYi y i a1Zi z i c i (t ) l 1 2 2 a Xi xi aYi2 y i a Zi z i c i (t ) l 2
.... a Xij xi aYij y i a Zij z i c i (t ) l j
che in forma matriciale si può esprimere come
A
a1Xi
1 aYi
a1Zi
c
2 a Xi
aYi2
2 a Zi
c
..
..
..
..
a Xij
aYij
a Zij
c
l1
xi x
yi zi
t i (t )
l
l2 .. lj
Visto che il metodo viene applicato ad ogni singola epoca (con almeno 4 satelliti) esso è utile anche per calcolare il posizionamento assoluto di oggetti in movimento (navigazione aerea o terrestre). Considerazioni sul posizionamento assoluto in tempo reale con l’uso dei codici. Questo metodo viene utilizzato in navigazione, è il più semplice e non richiede strumenti costosi. Idealmente consiste in una intersezione nello spazio tra vettori satellitericevitore. Fornisce la posizione del punto a terra in ogni istante con precisione che varia dai 5 ai 30 m a seconda del codice utilizzato (C/A o P) e quindi del tipo di ricevitore. Il punto di cui viene determinata la posizione può essere fermo o in movimento e quindi si può anche suddividere questo tipo di posizionamento in statico e cinematico. In presenza dei disturbi indotti sul segnale, se il ricevitore è in grado di codificare solo il codice C/A, l’accuratezza nella posizione orizzontale può arrivare ad essere dell’ordine dei 100m e anche peggio nel caso verticale. Usando il codice P l’accuratezza nel posizionamento orizzontale è quasi sempre inferiore ai 20m (con livello di confidenza al 95%).
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
111
Il posizionamento assoluto in generale, soffre dalla presenza dell’Anti-spoofing e della Selective Availability. L’Anti-Spoofing AS, consiste sostanzialmente nel crittografare il codice P combinandolo con un codice segreto (codice W) riservato ai soli utenti autorizzati. Questa procedura è attiva dal 1994 per i satelliti del blocco II. La Selctive Availability S/A, consiste in un degrado della precisione dell’orologio del satellite e della precisione delle effemeridi trasmesse. La S/A è attivabile a differenti livelli di degrado, che il DoD si riserva di variare in base alle proprie esigenze strategiche. Attualmente questo disturbo è disattivato ma può essere applicato in modo selettivo in aree dove non si vuole concedere la piena potenzialità del metodo. _______________________________________________________________________ Incremento nell'accuratezza del posizionamento orizzontale e verticale in corrispondenza della disattivazione della SA il giorno 2 Maggio 2000
______________________________________________________________________ Le osservazioni di codice possono essere anche prolungate sullo stesso punto per aumentare la precisione della determinazione. Tale operazione può essere utile ad esempio per ricavare la posizione di un punto la cui posizione non necessita di elevate precisioni.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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Posizionamento assoluto con misura delle fasi Si immagini di seguire il satellite j-esimo lungo la sua orbita. Esso viene "agganciato" dal ricevitore all'epoca t0 e tracciato fino alla generica epoca t. All'istante della prima ricezione verrà registrata una frazione di fase
ij (t 0 ) ,
ma il
segnale lungo il suo tragitto avrà percorso anche un certo numero intero di cicli N che è incognito e viene chiamato ambiguità di fase. Da questo momento in poi il satellite viene tracciato con continuità e all'epoca generica t avrà misurato una quantità di cicli
i j (t )
che include la frazione di cicli precedenti.
Il valore delle ambiguità N rimane costante durante il tracking del satellite ed ovviamente esisterà un valore di ambiguità per ogni satellite in vista. Se per un motivo qualsiasi il ricevitore perde, anche momentaneamente, uno dei satelliti in vista (situazione denominata cycle slip) si stabilirà una nuova incognita N al momento del riaggancio. Infatti il ricevitore sarà in grado di misurare i cicli di fase dal momento dell'aggancio del satellite ma non il valore N. Il valore di range dalla misura della fase, all'epoca generica t, si può esprimere dalla somma delle ambiguità N e dei cicli di fase contati dal ricevitore. Questi ultimi a loro volta possono essere espressi come somma della componente intera e di quella frazionaria. L'equazione generale della fase per un ricevitore che registra un segnale proveniente da una sorgente in fase posta in un punto P e situata ad una distanza si può scrivere come
f (t t ) f (t / c) dove la fase registrata si ottiene moltiplicando la frequenza del segnale per la differenza tra il tempo all'istante t e quello impiegato per coprire il percorso. A questa equazione si dovrebbero aggiungere eventuali errori legati alla non perfetta sincronizzazione degli orologi. Chiamiamo S (t ) la fase ricevuta all'epoca t da un satellite con frequenza f
S
e R (t ) la
fase del segnale generato dal ricevitore con frequenza f R . Le equazioni per le due fasi si possono scrivere
S (t ) f S t f S R (t ) f R t 0 R
c
0S
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System) con le fasi all'istante 0S f S S , 0 R f R R .
iniziale
(0)
che
dipendono
113 dagli
errori
degli
orologi
La fase misurata all'istante t si ottiene dalla differenza tra la componente ricevuta e quella generata dallo stesso ricevitore
S (t ) R (t ) f S
c
f S S f R R ( f S f R )t
dove l'ultimo termine si può trascurare. Si semplifica la relazione nella forma
RS (t ) f
c
f S S f R R
La fase ricevuta è funzione della distanza percorsa dal segnale e degli errori di sincronizzazione. Da quanto visto nel diagramma sopra la stessa quantità si può esprimere come somma della fase registrata dall'istante t0 all'istante t e delle ambiguità.
RS (t ) RS
t t0
N
Sostituendo l'equazione nella precedente, chiamando la fase misurata e considerando che f / c 1 / si ottiene l'equazione finale per l'osservabile fase
RS N f
c
f S S f R R
RS f
c
f S S f R R N
da cui si ottiene SR (t )
1
i j (t ) f j (t ) f i (t ) N i j
che rappresenta l'equazione fondamentale per le osservazioni di fase. Rispetto al caso dello pseudorange dai codici compare il valore delle ambiguità. L'equazione è espressa nelle unità di grandezza delle fasi (cicli). Come nel caso del posizionamento statico si può fare il bilancio delle osservazioni necessarie per arrivare alla soluzione, ovvero al calcolo della posizione. Il numero delle osservazioni disponibili è sempre nj x nt. Compare il valore delle ambiguità che sarà uguale al quello dei satelliti disponibili. Se il ricevitore è fermo, ovvero siamo nel caso di un posizionamento statico, le incognite saranno: - 3 coordinate del punto (che non cambia); - un bias dell'orologio del ricevitore per ogni epoca di acquisizione; - un valore di ambiguità per ogni satellite disponibile. Le incognite saranno 3+ nt + nj e la condizione necessaria sarà nj x nt. 3+ nt + nj da cui nt (n j 1) n j 3
nt
nj 3 n j 1
caso statico
Il numero minimo di satelliti per ottenere una soluzione è 2 con almeno 5 epoche di misura. Con i 4 satelliti disponibili invece occorrono almeno 3 epoche di acquisizione.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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Se la stazione GPS ricevente è in movimento le incognite relative alla posizione cambieranno di epoca in epoca. A queste si aggiunge il bias dell'orologio anche qui per ogni epoca e le ambiguità per ogni satellite. Le incognite saranno 3nt.+ nt + nj = 4nt + nj e la configurazione minima nj x nt. 4nt + nj da cui deriva nt (n j 4) n j
nt
nj nj 4
caso cinematico
Quindi occorrono almeno 5 satelliti per il calcolo della posizione per almeno 5 epoche. Ad esempio con 8 satelliti occorreranno 2 epoche minime. Il problema sarebbe facilmente risolvibile se fossero note le ambiguità iniziali per tutti i satelliti in vista. Ciò sarebbe possibile se fosse nota la posizione iniziale del punto cinematico. In tal caso il range geometrico potrebbe essere calcolato in via preliminare e le ambiguità dedotte da tale valore. In tal caso, se i satelliti sono tracciati con continuità, i valori di ambiguità non cambiano e si può verificare facilmente che occorrono quattro satelliti per avere la posizione ad una qualunque epoca. La determinazione delle ambiguità preliminare al rilievo viene chiamata "inizializzazione".
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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Errori nel posizionamento GPS Come detto precedentemente, la posizione di un punto a terra è determinata eseguendo una misura di distanza tra il satellite ed il ricevitore, considerando nota la posizione del satellite in base alle sue effemeridi. E’ quindi evidente che la precisione del posizionamento GPS sarà influenzata da una serie di errori che verranno elencati17. Errori nella definizione dell’orbita dei satelliti. E’ necessario avere una idea dell’influenza che tali errori hanno sui risultati per due ragioni. La prima è che normalmente, quando si vogliono risultati immediati, si usano per i calcoli le effemeridi trasmesse dal satellite che sono soggette ad errori. Inoltre per motivi militari, può essere attivata la SA che ha l’effetto di fornire orbite manipolate e tempi dell’orologio dei satellite anch’essi modificati. In tale caso gli errori incidono molto sul posizionamento assoluto e meno sugli altri tipi di posizionamento come si vedrà più avanti. Errore dell’orologio del satellite Strettamente correlato al precedente è l’errore dell’orologio del satellite. Tale errore si ripercuote sull’accuratezza del posizionamento assoluto, mentre nel posizionamento relativo esso viene completamente eliminato con il metodo delle Singole Differenze (si vedrà). Errori sulla propagazione del segnale Il segnale si propaga in un mezzo che non è sempre approssimabile al vuoto. A livello dell’atmosfera esso è soggetto a fenomeni di rifrazione che hanno luogo nei due livelli principali: ionosfera e troposfera. Effetto della rifrazione ionosferica Il cosiddetto ritardo ionosferico è dovuto al contenuto ionico nei vari strati della ionosfera (livello compreso tra i 50 e i 1100 km di quota), contenuto che è dovuto a varie cause quali l’attività solare e l’attività del campo geomagnetico. Tali effetti sono evidenti soprattutto alle latitudini equatoriali ed ai poli. Essendo la ionosfera un mezzo dispersivo, tale ritardo è dipendente dalla frequenza del segnale, per cui utilizzando ricevitori a doppia frequenza (L1 e L2) è possibile eliminare tale influenza. Gli effetti ionosferici inducono nella soluzione finale una distorsione quantificabile con un fattore di scala. L’utilizzo delle due frequenze portanti permette anche di valutare un modello ionosferico che corregga le osservazioni. Si vedrà come nel posizionamento relativo è possibile utilizzare una combinazione lineare delle portanti (L3, Ionospheric Free) che corregge degli effetti del ritardo ionosferico sul segnale in arrivo al ricevitore. Tale effetto è tanto più evidente quanto minore è l'elevazione del satellite sull’orizzonte. Per basse elevazioni infatti segnale attraversa una porzione maggiore dello strato ionosferico durante il tragitto satellite-ricevitore.
17
Occorre subito dire che molti di questi errori influenzano fortemente il posizionamento assoluto ma vengono drasticamente ridotti in quello relativo e differenziale che si vedranno in dettaglio essendo di forte interesse nelle misure topografiche.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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D1 < D2 Effetto della rifrazione troposferica Tale effetto è abbastanza importante ed è uno dei fattori limitanti la precisione delle misure soprattutto nei riguardi della quota. L’effetto è simile a quello ionosferico con la differenza che la troposfera non è un mezzo dispersivo e le doppie frequenze non aiutano a correggere tale effetto. IL problema è ancora aperto anche se esistono molti modelli matematici per la correzione del ritardo troposferico. Tali modelli richiedono la conoscenza dei tipici parametri meteo nel punto dal quale si effettuano le misure (umidità, pressione, temperatura). Riflessioni multiple (multipath) Il fenomeno consiste nel fatto che all’antenna possono giungere, oltre al segnale proveniente direttamente dal satellite, segnali che hanno subito delle riflessioni su superfici riflettenti. Questi evidentemente sporcano i dati e complicano la procedura di ricezione ed analisi del segnale da parte del ricevitore. Anche se sembra che esistano riflessioni multiple sul satellite stesso, sono molto importanti quelle riflessioni che avvengono in prossimità dell’antenna del ricevitore dovute a pareti di fabbricati, pareti rocciose, specchi d’acqua, etc.. Quello del multipath è un fenomeno molto perturbante e di esso deve tenersi conto nella scelta del luogo di stazione. Il design delle antenne è tale da limitare tale effetto.
Salti di Ciclo (Cycle Slip) Nel momento in cui, per una qualsiasi ragione, si ha l’interruzione della ricezione del segnale anche da un solo satellite si è in presenza del cosiddetto Cycle Slip che si manifesta con l'interruzione del tracking della fase e porta ad un aumento del numero di “ambiguità”. Queste, come visto, entrano come incognite nel calcolo delle posizioni e crea grossi problemi soprattutto nel rilievo cinematico.
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Occorre quindi fare attenzione agli ostacoli per non ostacolare la ricezione del segnale. Anche in prossimità di strade il passaggio dei veicoli può impedire la ricezione del segnale così come la presenza di sorgenti elettromagnetiche (le nuove antenne risolvono quest’ultimo problema). Errori dovuti alla stazione ricevente Le maggiori fonti di errore nel sistema ricevente sono imputabili all’elettronica del ricevitore, all’instabilità dell’oscillatore che genera la frequenza campione e quindi le repliche dei segnali, all’instabilità del centro di fase dell’antenna (punto nel quale è effettivamente ricevuto il segnale e riferimento della posizione calcolata). Il comportamento del centro di fase viene modellizzato attraverso dei polinomi con coefficienti noti in base ad una procedura standard di calibrazione. Tale problema, sentito solo nei rilievi ad alta precisione, è maggiormente presente nei rilievi che utilizzano strumenti misti con antenne differenti. Errori dovuti all’operatore Vi è tutta una serie di attenzioni da prestare da parte dell’operatore per evitare errori grossolani. In particolare le operazioni maggiormente delicate sono quelle relative al centramento dell’antenna sul punto di stazione ed alla misura dell’altezza dell’antenna. In particolare il primo punto può generare errori nel trattamento dei dati perché la posizione GPS, indipendentemente dalla tecnica scelta per il rilievo, sarà sempre riferita al punto dell'antenna che riceve il segnale. Nelle misure topografiche però interessa la posizione del riferimento "a terra" che può essere un caposaldo nel rilievo statico o semplicemente la superficie in quello cinematico. Per far questo occorre conoscere la quota del centro di fase dell'antenna rispetto al caposaldo e questa deve essere determinata lungo la verticale. Tale valore si può conoscere se le misure dell’antenna sono note e se si conoscono le quote del centro di fase rispetto ad un piano di riferimento. Tale piano è sempre definito nelle antenne utilizzate nei rilievi di precisione è prende il nome di ARP, Antenna Reference Point.
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Nel caso si stia utilizzando una palina nel rilievo cinematica la quota tra ARP e caposaldo, o terreno, è fornita dall’asta metrica della palina stessa. Nel caso si stia utilizzano il treppiede, in un rilievo statico, si legge la distanza b tramite un'asta graduata. Da questa lettura (chiamata slop perché inclinata) si deve risalire alla distanza verticale tra caposaldo e ARP. Questo è possibile dalla conoscenza di tutti gli offsets dell’antenna utilizzata. Questa fase può essere condotta in automatico dai software di elaborazione dati GPS se l'antenna è definita correttamente al suo interno. L'esistenza di una moltitudine di antenne che si diversificano per pochi particolari rende questa fase delicata soprattutto quando il rilievo è di alta precisione.
Esistono anche centramenti cosiddetti"forzati" perché al caposaldo (specifico per questo tipo di centramento) viene avvitato un cilindro quotato di metallo che alla sommità riporta l'adattatore per l'avvitamento dell'antenna. In questo modo l'altezza della base dell'antenna è determinata con precisione dalla quota del pezzo e l'antenna e fissata in modo molto stabile. Si utilizza nelle applicazioni di estrema precisione.
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Il Posizionamento Differenziale (DGPS) Il termine differenziale indica generalmente la tecnica di posizionamento che consente di determinare la posizione di un ricevitore rispetto a quella di un secondo che viene posto su un vertice noto (con un certo livello di precisione). Quindi l'applicazione di questa tecnica comporta come minimo l'utilizzo di una coppia di ricevitori e le consuete osservazioni dei codici e/o fasi. Il principio alla base di questa tecnica è il calcolo delle correzioni degli pseudorange (PRC, PseudoRange Correction) e delle loro variazioni nel tempo RRC (Range Rate Correction) da parte della stazione di riferimento ed il successivo invio al ricevitore mobile (rover) per la correzione di tali errori che possono essere considerati comuni tra le stazioni. Nelle applicazioni in tempo reale la comunicazione di questi parametri richiede una connessione via radio-modem o collegamento telefonico. Il DGPS sfrutta quindi il posizionamento assoluto ma con la correzione degli pseudoranges calcolata dalla stazione fissa. In questo modo si eliminano molti degli errori imputabili al sistema e non prevedibili nel posizionamento assoluto. Le correzioni possono essere calcolate dai codici o dalle fasi.
DGPS con utilizzo dei codici Consideriamo l'equazione già vista per le misure di range, all'epoca t0, tra un punto considerato fisso (F) ed il satellite j-esimo RFj (t0 ) Fj (t0 ) Fj (t0 ) c Fj (t0 )
Il termine Fj rappresenta il contributo degli errori nella componente radiale dell'orbita del satellite. Tale errore si ripercuote pesantemente sul valore dello pseudorange. Il range geometrico si può considerare noto in quanto sono note le coordinate della stazione fissa e la posizione del satellite. Le coordinate della stazione fissa vengono introdotte nel ricevitore al momento del rilievo sul terreno oppure in laboratorio nella fase di programmazione dello strumento. La correzione per il range (derivato da misure di codice) tra il satellite j-esimo ed il punto fisso F all'epoca t0 si può scrivere PRC j (t 0 ) RFj (t 0 ) Fj (t 0 ) Fj (t 0 ) c Fj (t 0 )
Registrando queste correzioni nel tempo possono essere ricavate le RRC che in pratica consentono di monitorare la variazione nel tempo (ad una successiva epoca t) dei valori delle correzioni da applicare alle posizioni dello strumento mobile. La stazione mobile potrà allora calcolare la propria posizione partendo da pseudoranges corretti (con posizionamento assoluto utilizzando le equazioni già viste. Le correzioni si possono scrivere come
PRC j (t ) PRC j (t 0 ) RRC j (t 0 )(t t 0 )
Da questa si vede che il valore di PRC ad un'epoca t deriva da quello della precedente epoca (per la quale è stata calcolata la correzione dello psedorange) più la sua variazione nell’intervallo di tempo trascorso18. La stazione B (rover) riceve il valore di PRC. Il suo valore di range non ancora corretto si può scrivere 18
Tale valore viene chiamato "latenza" e rappresenta un parametro tipico di ogni strumentazione in commercio concepita per questo tipo di rilievo.
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RBj (t ) Bj (t ) Bj (t ) c Fj (t )
A questa viene applicato il valore di PRC RBj (t ) corretto RBj (t ) PRC (t )
In questo modo tutti gli effetti perturbanti, tipici del segmento spazio, sono corretti attraverso i valori ricalcolati degli pseudorange. In presenza di SA l'effetto sarebbe dunque corretto dal metodo differenziale come anche effetti di rifrazione troposferica e ionosferica. Esistono molte verianti di questo metodo ma le accuratezze raggiunte vanno dai 50 cm ai 5 cm in funzione delle prestazioni dei ricevitori utilizzati.
Il protocollo di trasmissione RTCM La correzione può essere inviata in tempo reale, attraverso un collegamento radiomodem, con comunicazione dei dati in un formato standard quale ad esempio l’RTCM (Radio Technical Commission for Maritime) che prevede diverse versioni dalla 2.0, 2.1 alla 3.0. Nella 2.0 sono previste le correzioni per i codici, nella 2.1 sono state introdotte le correzioni per le misure di fase e nella nuova versione 3.0 sono previste anche informazioni aggiuntive relative ai dati acquisiti dalla stazione di riferimento. Questa correzione può anche essere comunicata attraverso un collegamento GSM (telefonia mobile) disponendo di modem GSM. In questo caso il ricevitore mobile effettua una chiamata verso la postazione fissa che comunica le correzioni. Teoricamente non vi sarebbero problemi legati alla distanza tra le stazioni (che comunque devono sempre osservare la medesima costellazione) e ad ostacoli fisici che invece compromettono la trasmissione del segnale radio. Ovviamente però la zona deve essere servita dalla rete di telefonia mobile. Un'ulteriore possibilità è quella di ricevere le correzioni da altri satelliti che calcolano tali valori e li inviano a terra (ad esempio i servizi OMNISTAR, EGNOS). La stessa cosa può essere eseguita in post-processing se sono disponibili i dati grezzi delle stazioni master e rover.
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Considerazioni sul posizionamento differenziale con l’uso dei codici La precisione che si ottiene è normalmente delle decine di centimetri a secondo della tecnica adottata. Il metodo trova applicazioni nel rilievo stradale, nel rilievo dei profili del terreno, nell’aggiornamento cartografico, nel posizionamento di campioni per le indagini ambientali ed in tutte le applicazioni nel settore dei sistemi informativi territoriali. Altro campo di applicazione è il monitoraggio di mezzi in navigazione dove una certa precisione deve essere garantita. Il vantaggio della configurazione in tempo reale è che questa fornisce già un elenco di coordinate corrette e non è richiesto un ulteriore processing del dato. E’ anche possibile aumentare il numero delle stazioni mobili che utilizzano le correzioni della stessa stazione fissa.
Quando le fasi sono disponibili esiste una variante al metodo differenziale che viene chiamata “code smoothing”. Questa può perfezionare il posizionamento ottenuto dai codici attraverso l’uso del segnale di fase. L’accuratezza di questa tecnica è leggermene migliore. Di questo metodo si omette la parte analitica.
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DGPS con utilizzo delle fasi L'equazione dello pseudorange tra una stazione fissa ed il satellite j-esimo con utilizzo delle fasi può essere scritta nella forma
Fj (t0 ) Fj (t0 ) Fj (t0 ) c j (t0 ) c F (t0 ) N Fj dove compare il valore di ambiguità ed il contributo dell'errore nella componente radiale dell'orbita del satellite. La correzione del range PRC all'epoca t0 si può scrivere come PRC (t0 ) Fj (t0 ) Fj (t0 ) Fj (t0 ) N Fj c j (t0 ) c F (t0 )
La correzione del range della fase è PRC (t ) PRC (t0 ) RRC (t0 )(t t0 )
Bj (t ) corretto Bj (t ) PRC (t ) Nell'applicazione delle correzioni rimangono ancora incognite le differenze tra i valori delle ambiguità che sono diversi tra stazioni F e B ed il satellite j. Restano valide tutte le altre considerazioni sulla riduzione degli errori vari. Considerazioni sul posizionamento differenziale con l’uso delle fasi Quando il rilievo avviene in tempo reale (RTK, Real Time Kinematic) devono essere risolte le ambiguità attraverso algoritmi tipo OTF (On The Fly) senza interrompere il rilievo. Nel caso in cui l'algoritmo OTF non dovesse funzionare si potrebbe passare alla modalità post-processing con successivo calcolo delle posizioni a partire dalle osservazioni alle doppie differenze. La precisione di questa tecnica è estremamente alta e fortemente dipendente dalla distanza tra le stazioni. Queste ovviamente devono essere a portata delle correzioni radio. L'utente è in grado di visualizzare sul display la posizione del punto in movimento con la precisione di qualche centimetro. Questo è molto utile quando si devono posizionare oggetti in punti prestabiliti o seguire traiettorie ben precise. Il rilievo RTK viene eseguito quando si intende ricostruire il profilo topografico di aree anche vaste, attraverso l'acquisizione di una serie di punti rappresentativi, oppure per rilevare punti e geometrie identificabili. I dati altimetrici possono essere rappresentati sotto forma di DTM (Digital Terrain Model). L'esempio riguarda il rilievo RTK di una duna costiera mostrata prima in planimetria e poi come DTM.
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Il Modello Digitale del Terreno viene realizzato dopo avere stabilito una maglia regolare (gridding) con nodi a cui sono associate le quote dei punti. Nell'esempio le quote ellissoidiche WGS84 sono state trasformate in quote ortometriche (s.l.m.).
Se il rilievo è finalizzato alla rappresentazione di oggetti specifici si dovrà procedere all'acquisizione delle coordinate di punti che ne identifichino la geometria ed eventualmente registrare altri dati che ne descrivono le proprietà.
Reti per la gestione delle correzioni differenziali (Network RTK) La recente tendenza all’installazione di stazioni GPS permanenti, ovvero predisposte all’acquisizione continua dei dati per scopi che si vedranno, ha portato allo studio di soluzioni “di rete” per rendere disponibile in tempo reale una correzione differenziale ad utenti che si muovono nell’area coperta della rete stessa. Attraverso soluzioni tecniche differenti si cerca comunque di modellizzare gli errori, legati principalmente alla propagazione del segnale in atmosfera, nell’area di pertinenza della rete e calcolare delle correzioni differenziali “personalizzate” che saranno inviate agli utenti attraverso uno dei metodi di diffusione già visti. Questo tipo di servizio può essere realizzato anche con reti caratterizzate da elevata interdistanza tra le stazioni, dell'ordine dei 100 km. Le diverse modalità di trasferimento delle correzioni differenziali verso i singoli utenti danno origine a soluzioni differenti. Tra queste troviamo le modalità Multi Reference Station (MRS) e Virtual Reference Station (VRS). Multi Reference Station Per posizionamento Multi Reference Station si intende una modalità operativa, applicabile sia in tempo reale che in post processamento, che utilizza un modello di correzione del segnale GPS ri-cavato dalle singole osservazioni acquisite da tutti i ricevitori facente parte della rete di stazioni di riferimento. Le osservazioni sono inviate ad un centro di controllo che provvede al calcolo delle correzioni ed al loro invio alla stazione rover che utilizzerà le correzioni relative alla sua posizione approssimata.
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Virtual Reference Station In questa soluzione si simula l’esistenza di una stazione di riferimento in prossimità della stazione mobile. Le stazioni virtuali possono essere realizzate da un centro di controllo che, note le osservazioni nelle stazioni permanenti della rete, interpola le correzioni nella posizione approssimata del ricevitore mobile. Si genera così una stazione virtuale che fornisce le correzioni differenziali agli utenti che operano nell’area della rete. Questo sistema richiede una comunicazione a due vie tra il rover e il centro di controllo: il rover invia la sua posizione approssimata e dal controllo riceve delle correzioni "personalizzate". Il sistema VRS si basa su protocolli di comunicazione standard, ma la gestione personalizzata delle correzioni richiede opportune infrastrutture per la diffusione del dato.
EGNOS Per applicazioni che richiedono accuratezze moderate (navigazione) ma con un controllo sull’integrità delle informazioni e quindi sull’affidabilità delle posizioni fornite, sono disponibili servizi di correzione differenziale satellitare che utilizzano satelliti posti su orbita geostazionaria. Questi servizi si applicano solo su alcune aree geografiche. In Europa è operativo il sistema EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service) basato sull’acquisizione dei dati GPS da un certo numero di stazioni a terra che calcolano i bias del sistema e li inviano ai satelliti geostazionari. Questi a loro volta comunicano le correzioni differenziali agli utenti abilitati alla ricezione del segnale (i ricevitori devono essere abilitati a ricevere questo servizio). Il flusso delle informazioni è rappresentato nella figura seguente.
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Sistemi simili sono disponibili per altre aree come stati Uniti e Giappone.
Area geografica di pertinenza del servizio EGNOS. Sono anche rappresentati sistemi WAAS (Wide Area Augmentation System) e MSAS (MTSAT Satellite-Based Augmentation System) validi rispettivamente per gli stati Uniti ed il Giappone
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Il Posizionamento Relativo Nel posizionamento relativo l'elemento alla base del calcolo delle coordinate di un punto è il vettore baseline che unisce due punti su cui si è fatta stazione con dei ricevitori GPS. Il vettore baseline è orientato nel sistema di riferimento cartesiano adottato per il posizionamento satellitare. Se un punto generico P è definito in un sistema di riferimento cartesiano ed è noto il vettore unione con un secondo punto Q, orientato nello stesso sistema di riferimento, allora saranno note anche le coordinate cartesiane del punto Q. Infatti X Q X P bPQ
b PQ
XQ XP
X PQ
YQ YP ZQ Z P
YPQ Z PQ
Il metodo relativo richiede le misure di fase ed almeno una coppia di ricevitori A e B che osservano la stessa costellazione (tra cui compare il satellite j-esimo) e registrano i dati di codice e fase. Alla base del posizionamento relativo vi è la differenziazione delle osservabili di fase che consente di eliminare alcuni degli errori tipici del posizionamento GPS.
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Posizionamento relativo con utilizzo delle fasi Per cercare di limitare l’incidenza degli errori presenti nel posizionamento satellitare si possono combinare le osservazioni di fase acquisite da strumenti diversi in modo da eliminare alcuni errori e fonti di disturbo comuni tra le misure GPS. Tale metodologia prevede delle combinazioni dell’osservabile fase note come: differenza singola, differenza doppia e differenza tripla. Differenze Singole (DS) Dati due punti (A e B) su cui si fa stazione con strumentazione GPS ed un satellite j osservato ad una qualsiasi epoca di osservazione, trascurando in questa fase l’effetto ionosferico e l’effetto troposferico si hanno due equazioni alle fasi
Aj (t ) Bj (t )
1
1
Aj (t ) f j (t ) f A (t ) N Aj Bj (t ) f j (t ) f B (t ) N Bj
facendo la differenza tra le due si ottiene Bj (t ) Aj (t )
1
j B
Aj f B (t ) f A (t ) N Bj N Aj
in questo modo scompare il termine relativo agli errori dell’orologio del satellite. Sinteticamente l’osservabile Differenza Singola viene scritta nel seguente modo j DS AB (t )
1
j j AB (t ) f AB (t ) N AB
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Doppie Differenze (DD) Dati due punti a terra e due satelliti j e k per ogni epoca d’osservazione si possono evidentemente scrivere due equazioni alle Differenze Singole (una per il satellite j ed una per il satellite k) sempre che non intervengano cycle slip con nuovi valori delle ambiguità.
j AB (t )
kAB (t )
1
1
j j AB (t ) f AB (t ) N AB k k AB (t ) f AB (t ) N AB
facendo la differenza si ottiene: j kAB (t ) AB (t )
1
k AB (t )
j j k AB (t ) N AB N AB
come si può vedere si elimina anche l’errore degli orologi dei ricevitori; quindi la quantità Differenza Doppia è : jk DD AB (t )
1
jk jk AB (t ) N AB
Nelle equazioni alle doppie differenze le uniche incognite sono i valori delle ambiguità. L'assenza di errori legati agli orologi dei ricevitori rende queste equazioni l'osservazione di base per il calcolo del vettore baseline in tutti i programmi di elaborazione dati GPS.
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Triple Differenze (TD) Dati due punti a terra (A e B), due satelliti (j e k) e due epoche di misura (t1 e t2) è possibile scrivere per le due epoche le seguenti Differenze Doppie jk DD AB (t1 ) jk DD AB (t 2 )
1
1
jk jk AB (t1 ) N AB jk jk AB (t 2 ) N AB
effettuando la differenza si ottiene : jk jk AB (t 2 ) AB (t1 )
1
jk AB (t 2 )
jk AB (t1 )
dove si elimina anche il termine che contiene le ambiguità. Infine l’osservabile Differenza Tripla può essere scritta nel seguente modo: jk DT AB (t12 )
1
jk AB (t12 )
Si vede che anche i valori delle ambiguità scompaiono. In realtà queste osservazioni risultano altamente correlate e non vengono utilizzate per il calcolo delle baseline. Nel caso in cui ci siano interruzioni del segnale le triple differenze mostreranno brusche variazioni del valore cambiando uno dei valori di ambiguità al suo interno e quindi questa variabile può essere utilizzate proprio per rilevare i cycle slip nei dati.
Posizionamento relativo statico con l'uso delle fasi Il bilancio del numero di incognite e di osservazioni disponibili in questo tipo di posizionamento dipende dell'equazione di partenza che può essere scelta tra le SD, DD, TD. Normalmente sono le DD ad essere utilizzate perché non altamente correlate e corrette degli errori degli orologi. Nel posizionamento relativo i punti tra i quali viene determinato il vettore baseline devono essere occupati contemporaneamente con ricevitori GPS in grado di registrare le informazioni di fase per le successive differenziazioni. Dei due punti uno può essere di coordinate note mentre il secondo deve essere determinato. Seguendo la stessa notazione discussa precedentemente chiamiamo nj il numero di satelliti disponibili e nt il numero di epoche osservate. Il numero delle osservazioni disponibili per ogni coppia di ricevitori è dato da (nj –1) nt. mentre, utilizzando le DD, le incognite derivano dall'equazione alle fasi DD
1
jk jk AB (t ) N AB
dove le tre coordinate di uno dei vertici e le (nj –1) ambiguità rappresentano le incognite. Si ricava quindi che (nj –1) nt . 3+ (nj –1) da cui nt
nj 2 n j 1
dove si vede che sono necessarie almeno due epoche per arrivare al posizionamento con 4 satelliti in vista. Pur essendo sufficienti due epoche l'osservazione viene prolungata per avere dati ridondanti acquisiti con costellazioni in differente configurazione. Va sottolineato anche che le DD devono fornire equazioni linearmente indipendenti. Per scrivere le DD si fissa un satellite di riferimento rispetto al quale calcolare le equazioni.
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Esempio: se sono in vista ad una certa epoca i satelliti 7, 15, 18, 21 viene scelto tra questo quello che è tracciato più a lungo (prendiamo il 15) e formate le doppie differenze 7-15, 1815, 21-15 mentre le altre combinazioni sono il frutto di combinazioni lineari e quindi non sono indipendenti. Calcolo delle componenti del vettore attraverso il metodo dei minimi quadrati. Ai fini della linearizzazione dell'equazione alle DD la forma jk AB (t )
1
jk jk AB (t ) N AB
può essere riscritta come jk jk jk jk AB (t ) AB (t ) N AB Bk (t ) Bj (t ) Ak (t ) Aj (t ) N AB
dove viene esplicitato il termine relativo alla geometria satellitare. In alcuni casi uno dei vertici è noto e non occorre linearizzare nell'intorno di quel punto. Se i due punti A e B sono entrambi incogniti la linearizzazione procede nelle incognite è X A , Y A , Z A , X B , YB , Z B . jk (t ) Bk 0 (t ) AB
Bj 0 (t ) Ak 0 (t ) Aj 0 (t )
X K (t ) X B0
Bj 0 (t ) X j (t ) X B0
Bk 0 (t ) X K (t ) X A0
Aj 0 (t ) X j (t ) X A0
Ak 0 (t )
xB xB xA xA
Y K (t ) YB0
Bk 0 (t )
Y j (t ) YB0
Bj 0 (t ) Y K (t ) Y A0
Ak 0 (t ) Y j (t ) Y A0
Aj 0 (t )
yB
yB
Bk 0 (t )
Z j (t ) Z B0
Bj 0 (t )
yA yA
Z K (t ) Z B0
zB
Z K (t ) Z A0
Ak 0 (t )
Z j (t ) Z A0
Aj 0 (t )
zB
zA
zA
raccogliendo i coefficienti moltiplicatori della stessa incognita ed isolando tutte le grandezze note si arriva ad avere jk a Xjk (t ) x A aYjk (t ) y A a Zjk (t ) z A a Xjk (t ) x B aYjk (t ) y B a Zjk (t ) z B l AB (t ) A
A
A
B
B
B
dove il termine noto raccoglie le DD di fase ed i valori di pseudorange noti in base alle coordinate a priori jk jk l AB AB (t ) Bk 0 (t ) Bj 0 (t ) Ak 0 (t ) Aj 0 (t )
Considerando note le coordinate di un punto (ad esempio A) si ha che x A y A x A 0 . Il termine noto diventa jk jk l AB AB (t ) Bk 0 (t ) Bj 0 (t ) Ak (t ) Aj (t ) .
Se consideriamo 4 satelliti j, k, l, m si possono scrivere 3 differenze doppie per ogni epoca con 6 incognite jk jl jm x B y B z B N AB N AB N AB e se prendiamo 2 epoche avremo allora 6 equazioni in 6 incognite del tipo Ax-l = 0.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
a Xjk (t1 )
aYjk (t1 )
a Zjk (t1 )
0
0
X B
a Xjl (t1 )
aYjl (t1 )
a Zjl (t1 )
0
0
YB
a Xjm (t1 )
aYjm (t1 )
a Zjm (t1 )
0
0
Z B
...
...
...
0
0
...
0
0
B
B
B
...
B
B
B
...
B
B
B
a Xjm (t 2 ) aYjm (t 2 ) a Zjm (t 2 ) B
B
B
0
0
jk N AB jl N AB jm N AB
131
l jkAB (t1 ) l jlAB (t1 )
l jm AB (t1 )
l jkAB (t 2 )
0
l jlAB (t 2 ) l jm AB (t 2 )
Se il numero di satelliti è maggiore di 4, come sempre succede, e il numero di epoche è maggiore di 2 il sistema risulta iperdeterminato. Le stesse equazioni valgono per il metodo cinematico per il quale una volta determinati jk jl jm gli N AB N AB N AB con quattro satelliti si hanno 3 equazioni in tre incognite.
Considerazioni sul posizionamento statico relativo con uso delle fasi Questo è il metodo utilizzato in geodesia nella realizzazione dei rilievi delle reti geodetiche e topografiche, nella determinazione delle deformazioni e nel tracciamento di grandi opere, in quanto si raggiungono le precisioni maggiori. In questo caso i ricevitori rimangono in stazione sul punto e osservano la stessa costellazione di satelliti contemporaneamente per un periodo (sessione) la cui durata variabile dai 30 minuti a diversi giorni in funzione della lunghezza delle basi e della precisione desiderata. La precisione nel posizionamento orizzontale è dell’ordine di 5mm + 0.5ppm che nella quota peggiora con un fattore di 1.5-2. Il tempo di campionamento è in genere di 15 sec. per satelliti al di sopra dei 10° di elevazione. Operando con r strumenti si otterranno in questa configurazione r-1 basi indipendenti della rete, senza triangoli chiusi che introdurrebbero una osservazione correlata.
In questo tipo di rilievo occorre il post-processamento dei dati GPS con modellizzazione degli effetti sistematici, risoluzione dell’ambiguità e definizione rigorosa del sistema di riferimento. Una analisi dei dati condotta in tale maniera porta a risultati con accuratezze sulle coordinate di pochi mm anche per reti di grandi dimensioni. Questa tecnica di posizionamento è molto utilizzata per il monitoraggio di faglie, sommità di edifici, frane, fenomeni subsidenti e di qualunque altro che comporta il rilievo di movimenti anche molto lenti.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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Il rilievo statico prevede alcune varianti come ad esempio il rilievo statico rapido che è in sostanza un rilievo statico che viene effettuato per le baselines corte (<20km) con tempo di osservazione intorno a 15 minuti19.
Posizionamento relativo cinematico con l'uso delle fasi In questo caso la configurazione del rilievo è simile alla precedente ma il secondo ricevitore è mobile e quindi la posizione può cambiare ad ogni epoca di acquisizione. Nell'equazione alle DD le coordinate del punto non saranno più costanti. Un punto mobile B avrà un range ad ogni epoca dato da
Bj
X
j
2
2
(t ) X B (t ) Y j (t ) YB (t ) Z j (t ) Z B (t )
2
dove le coordinate del ricevitore B sono ovviamente funzione del tempo come anche quelle del satellite j-esimo. Nelle equazioni alle DD analogamente al caso precedente le osservazioni sono date da (nj – 1) nt mente le incognite aumentano essendoci anche 3nt incognite (3 coordinate per ogni epoca di osservazione). Per le DD si ha: nt
n j 1 nj 4
Da questa deriva che per una singola epoca non possono esistere soluzioni. Devono quindi essere ridotte le incognite in partenza trovando le soluzioni per le ambiguità. Se nel bilancio di partenza non compaiono le ambiguità la condizione necessaria si trasforma nella nj 4 indipendentemente dal numero di epoche osservate. Dire che le ambiguità devono essere note equivale a conoscere la posizione iniziale del ricevitore mobile e quindi, dall'equazione alle DD, si potranno calcolare le ambiguità che poi rimangono costanti se la costellazione viene tracciata con continuità. L'operazione iniziale viene chiamata "inizializzazione" del sistema (si omette). Considerazioni sul posizionamento cinematico relativo con uso delle fasi La precisione del metodo può essere anche molto elevata (< 2 cm) ma con strumenti più costosi (devono ricevere le informazioni di fase) e con accorgimenti operativi che determinano un maggior costo del rilievo. Il primo vincolo è che la distanza tra stazione fissa e stazione mobile sia contenuta (entro una decina di km) ed è necessaria una fase di inizializzazione. Il metodo è molto utilizzato nel rilievo della topografia di siti, nella determinazione della posizione della presa aerea nel rilievo aerofotogrammetrico, nella determinazione della traiettoria di mezzi ecc. Il tipico risultato del rilievo cinematico è un elenco di coordinate che possono corrispondere alle posizioni acquisiste "in automatico", con un regolare tempo di campionamento, oppure in modalità "manuale" quando l'operatore fissa solamente alcuni punti di interesse per il rilievo. Le due possono essere impiegate anche allo stesso tempo ed i punti relativi distinti in un secondo momento. L'elaborazione in post-processamento fornirà inizialmente il tracciato dal quale estrarre i punti.
19
Il metodo utilizza la tecnica FARA (Fast Ambiguity Resolution Approche) per la risoluzione dell’ambiguità nella fase di processamento. Il metodo è tipicamente utilizzato nel raffittimento di reti ed è in rapida evoluzione.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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Nell'esempio sotto compare un percorso elaborato in cinematica relativo durante il quale sono stati raccolte le quote terreno e le posizioni di oggetti rilevanti. Si tratta di un rilievo in ambito archeologico finalizzato alla ricostruzione di insediamenti pre-ispanici in un'area andina (Perù).
Elaborazione di una traiettoria cinematica con software per analisi dati GPS
Da tale traiettoria vengono poi estratti i punti acquisiti per rilevare le strutture archeologiche esistenti ai fini della successiva ricostruzione delle geometrie originali. La figura sotto rappresenta questo schema ideale di lavoro.
a) presurvey, b) survey GPS, c) ricostruzione delle strutture dai punti rilevati
Per l'area rilevata viene ricostruito l'insediamento del quale deve essere creata una cartografia nel sistema di riferimento di coordinate più utile alla ricerca.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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prospetto di una mappa realizzata (reticolato nella rappresentazione UTM, datum locale).
Infine volendo integrare il rilievo delle strutture con il rilievo dei caratteri topografici (DTM) si può procedere alla "sovrapposizione" dei due per ottenere un unico prodotto che può essere mostrato in vista prospettica.
In questo caso l'altimetria è rappresentata dai livelli di grigio descritti nella scala graduata. Analogo significato avrebbero le curve di livello. Va infine detto che per il posizionamento relativo (statico o cinematica) devono essere utilizzati software per il trattamento dei dati di tipo avanzato, soprattutto nel caso dell'elaborazione di reti per fini geodetici. Tali software consentono il controllo di tutte le variabili coinvolte e quindi una maggiore "rigorosità" delle procedure di calcolo.
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Il metodo cinematico relativo si presta anche alla ricostruzione di superfici e morfologie con elevato dettaglio tridimensionale come nel caso di siti archeologici che devono essere descritti nel loro assetto. Dalla superficie, ottenuta dopo interpolazione delle posizioni calcolate durante il processing, si possono estrarre delle sezioni topografiche utili nella lettura dei parametri morfologici cercati.
Rilievo topografico GPS (tecnica cinematica relativa) del sito archeologico di Lothal (Gujarat, India). L’area rappresenta una struttura portuale risalente alla civiltà Harappana (circa 5000 anni b.p.).
Il modello tridimensionale generato può essere esplorato secondo viste prospettiche differenti e costituisce un elemento di supporto alle ricerche archeologiche. Sarà possibile, ad esempio, procedere con valutazione relative all’orientamento degli oggetti ed alla inter-visibilità tra i vari luoghi del sito. Inoltre il dato potrà essere associato ad altre indagini quali le prospezioni geofisiche, comunemente eseguite nei siti archeologici di maggiore interesse.
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Applicazioni del metodo GPS: accuratezza richiesta e costi
Trattamento dei dati GPS: calcolo dei vettori baseline Partendo dalle equazioni delle DD, dove compaiono come incognite le coordinate dei vertici da determinare ed i valori delle ambiguità, è possibile determinare i vettori baseline a partire da vertici di cui sono note le coordinate con un certo livello di approssimazione. In particolare verrà considerato il caso in cui ogni vettore viene determinato singolarmente. Le fasi del trattamento dati L'approccio alla base del trattamento dati GPS è quello dei minimi quadrati dove è necessario disporre di valori approssimati dei parametri che devono essere stimati (ad esempio le coordinate dei punti da determinare). L'elaborazione prevede diverse fasi: 1. Calcolo delle coordinate in "posizionamento assoluto" utilizzando le misure di codice; 2. Scelta dei vettori da elaborare e calcolo delle differenze di fase; 3. Calcolo delle Triple Differenze (non soggette ad ambiguità) e prima stima delle componenti del vettore baseline. In questa fase possono essere individuati i cycle slip e nel caso correggere i valori delle fasi; 4. Calcolo delle Doppie Differenze a partire dai valori approssimati appena stimati e nuova determinazione del vettore senza risoluzione delle ambiguità a valori fissi. Tale soluzione si definisce float; 5. Fissaggio delle ambiguità a valori interi (soluzione fixed) Il processo comporta il "controllo" dei valori di deviazione standard associati ai valori di ambiguità calcolati e la verifica che questi siano inferiori ad una fissata frazione di ciclo; 6. Inserimento dei valori fixed delle ambiguità nelle equazioni delle DD e ricalcalo delle componenti del vettore unione dei punti considerati. Tali incognite sono contenute nella definizione del range geometrico che compare nell'equazione delle DD.
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La scelta dei valori fixed delle ambiguità viene fatto sulla base di test effettuati sui valori della varianza associata a ciascuna determinazione delle ambiguità.
Utilizzo delle combinazioni lineari delle frequenze Con la disponibilità di ricevitori a doppia frequenza L1-L2 è possibile utilizzare combinazioni delle due nel calcolo delle basi. Ogni combinazioni presenta proprietà ed utilità differenti e saranno utilizzate in funzione degli obiettivi del calcolo e delle prestazioni che si intendono raggiungere in termini di accuratezza finale.
Combinazione Ionofree (Lc o L3) Questa combinazione ha il pregio di eliminare l’effetto ionosferico. In fatti la ionosfera è un mezzo dispersivo avendo la proprietà di agire sulle due frequenze con effetti diversi. La differenziazione quantifica questo effetto. La combinazione delle due frequenze L1 e L2 può essere scritta nel seguente modo:
Lc L3
1 ( f12 L1 f 22 L2 ) f f 22 2 1
Combinazione Wide-lane (Lw) Questa combinazione può essere scritta nella forma
LW L1 L2 L’utilizzo di tale fase nella differenza doppia è utile per la risoluzione dei cycle slips e la determinazione delle ambiguità. Questo dipende dal fatto che viene sintetizzata una lunghezza d’onda di 86 cm circa che riduce l'incidenza di disturbi come multipath o rumori di varia origine presenti nel segnale.
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Combinazione Narrow-lane Questa combinazione può essere scritta nella forma
LW L1 L2 La lunghezza d'onda risultante è di 11 cm e questo rende più difficoltosa la risoluzione delle ambiguità. Allo stesso tempo però l'eventuale risoluzione a valore intero delle ambiguità comporta una soluzione "robusta". Considerazioni generali sul calcolo delle reti GPS Nel problema generale della risoluzione delle ambiguità si adottano spesso delle tecniche miste che partono ad esempio da una prima stima utilizzando la combinazione wide-lane ed una successiva determinazione utilizzando combinazioni di maggiore precisione. La soluzione iono-free è consigliabile nella maggior parte delle elaborazioni, soprattutto con basi GPS superiori ai 30 km e lunghe sessioni di acquisizione. Per basi di lunghezza inferiore ai 15 km è possibile stimare i valori interi delle ambiguità utilizzando la frequenza L1, mentre per lunghezze maggiori l'effetto della ionosfera compromette queste soluzioni. Nei vari software di elaborazione dati GPS le singole basi possono essere selezionate singolarmente ed elaborate con la combinazione lineare che si ritiene opportuna. Vengono anche decisi dall'operatore tutti gli altri parametri come l'elevazione minima dei satelliti da utilizzare e l'intervallo temporale della sessione da elaborare. Va anche considerato che in presenza di un rilievo statico con schema a rete devono essere selezionate delle baseline che non costituiscano delle combinazioni lineari le une delle altre. In altri termini non dovranno esistere forme geometriche chiuse ed elaborate nello stesso intervallo temporale (le baseline sono definite indipendenti perché non sussistono correlazioni geometriche tra i parametri stimati). L'errore ottenuto per ogni baseline si può esprimere sotto forma di ellissi di errore del vettore (si vedrà il significato matematico della grandezza).
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Nell'esempio riportato le basi elaborate presentano le ellissi d'errore la cui dimensione è quantificata dalla legenda in planimetria attraverso la dimensione del cerchio ed in altimetria dall'altezza della barra verticale. File delle osservazioni GPS Al termine di un rilievo GPS nel quale sono state utilizzate tecniche che comportano la memorizzazione di dati si dovranno scaricare i dati dai ricevitori. Si possono presentare i seguenti casi: 1. posizionamento relativo statico/cinematico con post-processamento: si dovranno scaricare dai ricevitori i file delle osservazioni GPS (codici e fasi) acquisite per ogni epoca ed il file delle effemeridi. In origine il file sarà di tipo binario in un formato proprietario della ditta costruttrice degli strumenti; 2. posizionamento differenziale in tempo reale: il rilievo fornisce le posizioni corrette (non necessita di post-processamento) che saranno organizzate in un file spesso in formato ASCII; 3. posizionamento differenziale con post-processamento: le osservazioni (anche solo di codice) vengono memorizzate e scaricate in formato binario unitamente al file di navigazione (effemeridi). L'esigenza di un formato standard dei dati GPS (che garantisce l'esportabilità dei dati) ha portato alla definizione di un formato internazionale di scambio chiamato RINEX (Receiver INdependent Exchange format). Il file RINEX (codifica ASCII) è definito per osservazioni ed effemeridi e presenta delle estensioni rispettivamente del tipo *.YYO (Observations) e YYN (Navigational). I caratteri YY identificano le ultime due cifre dell'anno.
Nella prima parte del file, ovvero l'intestazione, compaiono una serie di informazioni su tipologia di ricevitore ed antenna, durata della sessione, coordinate strumentali, altezza dell'antenna, periodo di esecuzione del rilievo e sequenza delle osservabili contenute nel file. Per ogni epoca acquisita sono elencati i satelliti in vista con le relative misure di codice (riportata in metri) e fase.
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Compensazione delle reti GPS con il metodo dei minimi quadrati La compensazione è la fase finale del calcolo di una rete GPS. In questa fase i vettori calcolati durante il processing delle baseline vengono presi ed integrati nel disegno della rete attraverso una procedura che minimizza i residui da applicare ad ogni singolo vettore quando questo viene inserito nel contesto dello schema geometrico della rete. Per ogni sessione di misura andranno considerati solo i vettori indipendenti ovvero quelli che non scaturiscono da combinazioni lineari di altri. In particolare se n è il numero dei vertici della rete con strumenti in acquisizione contemporanea le basi indipendenti per ogni sessione di misura sarà n – 1 mentre il numero totale di basi possibili è dato da n(n – 1)/2. In uno schema alternativo, che non sarà qui considerato, è possibile considerare in blocco tutti i vertici della rete per ogni sessione senza valutazione delle basi indipendenti. In questo caso però occorre tenere in considerazione tutte le correlazioni tra le osservazioni. Immaginiamo di avere un vettore unione di due punti generici i e j facenti parte della rete da compensare. In generale le incognite saranno le coordinate dei vertici (Xi, Yi, Zi) e (Xj, Yj, Zj) (di cui però si conosceranno dei valori approssimati) mentre le quantità note sono le tre componenti del vettore calcolate a partire dalle equazioni DD. Insieme a queste quantità saranno da inserire nella compensazione anche le matrici di varianzacovarianza x che derivano sempre dall'elaborazione dei vettori GPS. Le equazioni che stabiliscono la relazione tra le osservazioni e le incognite e per la base generica possono essere scritto come X j X i X ij Y j Yi Yij Z j Z i Z ij
Al solito, per semplificare i calcoli le incognite potrebbero anche essere riscritte rappresentando ogni termine come somma tra il suo valore approssimato e la correzione da apportare per arrivare al valore più plausibile. Per una generica base le equazioni sopra possono essere scritte nella forma
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
Xi Yi X ij Zi Yij Xj Z ij Yj Zj
Nel problema generale della compensazione di vettori GPS si ha che per ogni base si possono scrivere 3 osservazioni mentre le incognite sono tutti i vertici non noti. Avendo a disposizione un numero p di punti incogniti e b di basi si ha che
numero incognite n = 3p
numero osservazioni m = 3b
Infatti il sistema matriciale appena visto presenta la matrice disegno di dimensione 3x6 ed il vettore delle incognite con dimensione 6x1.
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In realtà, a causa della presenza di errori di misura e della coesistenza di un numero ridondante di vettori baseline della stessa rete, nelle equazioni insorgeranno i residui ed il sistema potrà essere scritto in forma compatta come A
x L v
m x n n x1
m x1
m x1
dove A è la matrice disegno (contenente coefficienti 1, -1, 0) con dimensione m(3b) x n(3p); x è il vettore delle incognite con dimensione n x 1; L è il vettore dei termini noti con dimensione m(3b) x 1; v è il vettore dei residui con dimensione m(3b) x 1. Questo rappresenta il modello funzionale. In pratica se sono osservate b basi indipendenti la matrice dei coefficienti A è costituita da b blocchi e la matrice di covarianza può essere considerata diagonale a blocchi 3x3 (se le misure non fossero indipendenti esisterebbero anche termini esterni alla diagonale). Il modello funzionale diviene A1 .. ..
L1 x
v1
..
..
Ab Lb mxn nx1 mx1
.. .. vk mx1
e la matrice di varianza
1
0
..
0
0
2
..
0
0
0
..
0
0
0
.. b
Se in una sessione vengono utilizzati più ricevitori potranno essere calcolate più basi indipendenti. La soluzione ai minimi quadrati Se le osservazioni sono in numero superiore alle incognite si può trovare la soluzione applicando il criterio dei minimi quadrati. Definita la matrice dei coefficienti A e la matrice dei pesi da associare alle misure P 02 1
la soluzione per le incognite si trova in base alla xˆ ( AT PA) 1 AT PL
che fornisce la stima del valore delle coordinate incognite. Nei metodi già visti anche per le misure topografiche tradizionali questo valore rappresenta, in genere, la correzione da applicare al valore approssimato per ottenere la stima delle coordinate dei vertici incogniti. La matrice di varianza di queste coordinate è data da coord ˆ 02 ( AT PA) 1
dove ˆ 02 rappresenta la varianza dell'unità di peso deducibile dal vettore v degli scarti e dalla ridondanza delle misure definita come (m-n).
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vˆ Axˆ L
ˆ 02
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(v T Pv) nm
Parametri per la valutazione della precisione dei vertici La matrice di varianza fornisce i parametri che consentono di ricavare la precisione delle coordinate ottenute. Gli scarti quadratici medi (s.q.m.) delle coordinate geocentriche si ottengono semplicemente dalla radice quadrata degli elementi diagonali (ovvero delle varianze di ogni valore). I parametri dell'ellissoide d'errore si ottengono dalle sottomatrici 3x3, dove le informazioni relative ad un singolo punto sono disposte lungo la diagonale della matrice di varianza. Tale ellissoide può essere espresso sia nelle coordinate geocentriche (cartesiane) sia in un sistema locale (N, E, h) di più semplice interpretazione. Questi parametri sono utilizzati per la stima della bontà dei risultati raggiunti dalla compensazione e consentiranno di decidere se accettare la soluzione e procedere ad ulteriori calcoli o modifiche con nuova compensazione finale dei valori. Definizione del datum nella compensazione di reti GPS Le reti GPS sono formate da tanti vettori già orientati (per definizione) nello spazio cartesiano tridimensionale ma rimangono libere di traslare nelle 3 direzioni dello spazio. Il difetto di rango è pertanto uguale a 3 e viene risolto vincolando le 3 coordinate di uno dei vertici.
Elementi utili alla progettazione delle misure GPS La progettazione delle misure GPS deve sempre rispondere ad esigenze di accuratezza del rilievo ed allo stesso tempo di produttività. In base a queste vengono effettuate le scelte successive quali; tipologia di strumentazione da utilizzare, metodologia di rilievo (tecniche statiche o cinematiche), modalità di trattamento dei dati acquisiti. Nel caso di misure statiche la progettazione del rilievo si complica dovendo anche tenere in considerazione problemi logistici quali il numero di strumenti da utilizzare, gli spostamenti delle squadre coinvolte, la valutazione della durata delle sessioni, la connessione a vicine stazioni GPS permanenti, le considerazioni relative alla ridondanza delle osservazioni. Comunque devono sempre essere tenuti in considerazione alcuni aspetti generali del rilievo GPS: evitare zone con copertura del segnale (ostacoli, campi elettromagnetici ecc.), evitare il rilievo in prossimità di oggetti riflettenti (fenomeno del multipath) e, nel caso si intenda utilizzare un metodo cinematico in tempo reale, verificare la possibilità di ricevere la correzione differenziale nell'area operativa (radio-modem, GSM, Omnistar). Gli indici DOP (Diluition Of Precision) Il numero dei satelliti in vista e soprattutto la geometria della costellazione rappresenta un primo aspetto da tenere in considerazione. Gli indici DOP forniscono una quantificazione della bontà geometrica della configurazione satellitare. Esistono i seguenti indici: PDOP (Positioning Diluition of Position) HDOP (Horizontal Diluition of Position) VDOP (Vertical Diluition of Position) Questi indici nascono dalle variabili statistiche ed in particolare dalla matrice di varianza– covarianza delle coordinate del sito ottenuta considerando unitari i pesi coinvolti.
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I vari DOP si definiscono come PDOP x2 2y z2
HDOP x2 2y
VDOP z2
Non occorrono le misure per valutare tali parametri (la matrice A dipende solo dalla geometria), infatti basta conoscere la posizione anche approssimata del sito di rilievo, la posizione dei satelliti e l'orario in cui si prevedono le misure. I vari software di elaborazione dati GPS utilizzano il file dell'almanacco (posizione approssimata) dei satelliti in questa fase. Queste opzioni sono disponibili nella utilities che supportano il planning del rilievo. Nell'esempio sono riportati il numero dei satelliti ed il valore di PDOP nell'intervallo temporale selezionato. Valori accettati di DOP sono in genere quelli inferiori di 3-4. Nel rilievo statico in presenza di una buona costellazione il DOP si posiziona su valori molto bassi ad esempio 2. Tramite il grafico sky plot è possibile invece rappresentare l'azimut dei satelliti e la loro elevazione nello schema della sfera celeste. Sul diagramma è possibile riportare gli ostacoli eventualmente presenti sul posto e rilevati ad esempio con un teodolite. Queste considerazioni sono importanti soprattutto per la valutazione dei siti su cui installare stazioni GPS permanenti o servizi di correzione differenziale.
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Il sistema di riferimento nel GPS Il sistema GPS fornisce le posizioni del punto di misura nello stesso sistema di riferimento in cui sono descritte le orbite dei satelliti. Nelle applicazioni del GPS si deve distinguere tra il sistema space fixed (inerziale) ed il sistema earth fixed (solidale con la terra) Entrambi i sistemi sono geocentrici e concretizzati grazie all’istituzione di una terna cartesiana XYZ che ha origine nel centro di massa della terra ed asse Z coincidente con l’asse di rotazione terrestre. L’asse Y, nel sistema space fixed, va in direzione del punto vernale (l’intersezione tra il piano equatoriale e il piano dell'eclittica, mentre nel sistema earth fixed esso è individuato dall'intersezione tra il piano equatoriale e il piano contenente il meridiano fondamentale di Greenwich. L’asse X è l’asse ortogonale agli altri due ad individure una terna destrorsa. Essendo l'asse delle Z orientato come l'asse di rotazione terrestre, si deve tenere conto dell’oscillazione di quest'ultimo a causa dalle forze gravitazionali extra-terrestri che agiscono sulla massa terrestre. Tali movimenti si definiscono precessione (cambiamento della direzione dell'asse di rotazione) e nutazione (moto di oscillazione dell'asse di rotazione terrestre che si manifesta in combinazione con il moto di precessione). Esiste poi una oscillazione periodica dell’asse di rotazione terrestre che produce un moto del polo definito “oscillazione di Chandler”20. Questa presenta un periodo di circa 430 giorni con oscillazione di diametro di circa di 12 m. Oltre a questi movimenti se ne presentano altri con oscillazione giornaliera di entità metrica. Tutti questi movimenti complicano la determinazione della posizione dell’asse Z per il quale andrà definita un una certa epoca di riferimento e determinati i parametri del suo moto attorno ad un polo medio convenzionale.
Sistemi di riferimento convenzionali Il sistema di riferimento celeste convenzionale – Conventional Celestial Reference System Considera l’asse Z posizionato in una epoca standard nota come J2000.0 (January 2000), e l’asse Y in direzione del punto vernale a quell’epoca (determinato usando un gruppo di stelle fondamentali). Uno di questi sistemi, stabilito dall’IERS (International Earth Rotation Service) e noto come sistema ICRF (International Celestial Reference Frame), è utilizzato nella determinazione delle orbite dei satelliti GPS e viene determinato dinamicamente utilizzando più di 500 oggetti extra-galattici. I sistemi di riferimento terrestri convenzionali - Conventional Terrestrial Reference System Tali sistemi si ottengono identificando l’asse Z con l’asse di rotazione terrestre posizionato in un punto intermedio a quelli che definiscono la sua oscillazione causata dai moti già visti. Tale posizione è, a livello internazionale, assunta in modo convenzionale (CIO - Conventional International Origin). L’asse Y è individuato dall’intersezione del piano meridiano di Greenwich con quello equatoriale e l’asse X conclude la terna cartesiana destrorsa. Nel panorama del posizionamento satellitare GPS si utilizzano diversi di questi sistemi che rappresentano anche il vero e proprio sistema geodetico di riferimento delle coordinate che si andranno a determinare:
20
L’oscillazione è dovuta alla forma irregolare della Terra (o meglio alla distribuzione non uniforme delle masse al suo interno) e al non perfetto allineamento tra asse di rotazione terrestre ed asse di inerzia terrestre. Questo mancato allineamento fa sì che la Terra oltre ruotare attorno al proprio asse oscilli anche leggermente. Il movimento è analogo al moto di una trottola leggermente sbilanciata.
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WGS84 (World Geodetic System 1984). Questo è un sistema geocentrico determinato sulla base di osservazioni geodetiche effettuate da più di 1500 siti terrestri a partire dal 1987. È utilizzato come sistema di riferimento standard nel GPS e ad esso è associato un ellissoide con i suoi parametri. Il sistema WGS84 è stato aggiornato nel tempo, sulla base di misure di maggiore precisione, dal DMA (Defense Mapping Agency, USA). La strumentazione GPS utilizzata durante i rilievi sul campo fornisce coordinate proprio in questo sistema;
ITRF (International Terrestrial Reference Frame). Determinato dall’IERS, attraverso misure di geodesia spaziale (SLR, Satellite Laser Ranging; VLBI, Very Long Baseline Interferometry; LLR, Lunar Laser Ranging) effettuate in più di 180 siti terrestri ed includendo anche l’effetto della tettonica della placche. La precisione delle determinazioni utilizzate nella definizione dell'ITRF è maggiore di quelle del WGS84. Tale sistema è utilizzato come sistema geodetico di riferimento nell’analisi di dati GPS per usi scientifici o comunque nelle indagini che richiedono accuratezza millimetrica nella definizione delle coordinate dei punti (analisi di deformazioni delle strutture, subsidenza, collaudi e controlli, indagini sui dissesti franosi, geodinamica e geologia strutturale). Di questo sistema esistono delle realizzazioni alle epoche di riferimento 1.1.2000 e 1.1.2005 (ITRF00 ed ITRF05).
ETRF (European Terrestrial Reference Frame). Sistema terrestre realizzato sulla placca tettonica europea nell’epoca di riferimento [01 Gennaio 1989]. La realizzazione di tale sistema avviene in sintonia con i Paesi europei che operano di comune accordo attraverso l’EUREF (EUropean REference Frame). Dal 2000 l’Istituto Geografico Militare produce cartografia nel Sistema Geodetico ETRF89 ed infatti le coordinate UTM possono essere riferite come UTM-ETRF89. Inoltre, dal 1 Gennaio 2009 l’IGMI ha introdotto l’utilizzo del nuovo sistema ETRF2000 (riferito all’epoca 1.1.2008).
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La trasformazione tra due sistemi di questo tipo si effettua applicando una rotazione a 7 parametri di Helmert. Ad esempio, il passaggio tra un vettore di coordinate nel sistema WGS84 ed un vettore di coordinate espresso in generico TRF si ottiene tramite una trasformazione del tipo: X WGS T sRX TRF
dove, T indica il vettore della traslazione, s il fattore di scala ed R la matrice di rotazione. L'inserimento di rilievi GPS nell'ITRF è oggi favorita dall'esistenza della rete IGS (International GPS Service for Geodynamics) che prevede l’esistenza di vertici con coordinate dei punti riferite al sistema ITRFYY (YY, epoca di riferimento). Infatti l'inquadramento delle misurazioni GPS in un ITRF può essere eseguita in due modi: 1. Utilizzando le effemeridi precise fornite dalla rete IGS. Questo è possibile se non si pongono altri vincoli nell'elaborazione delle reti quali, ad esempio, le coordinate di alcuni dei vertici utilizzati. Sarà sempre possibile trasformare la soluzione nei vari ITRF conoscendo i parametri della trasformazione stessa; 2. Utilizzando le effemeridi in un generico sistema ma vincolando la compensazione ad uno o più punti con coordinate espresse in un ITRF. I punti collegati a tali vertici saranno anch’essi espressi nello stesso ITRF. Le effemeridi trasmesse (broadcast) sono nel sistema WGS84 mentre le effemeridi precise vengono calcolate nel sistema ITRF o in un più recente sistema IGS05 (la cui realizzazione è basata unicamente su osservazioni GPS).
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
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Trasformazione tra coordinate e sistemi di riferimento Si accenna brevemente al fatto che i sistemi geodetici WGS84 ed ITRF (nelle varie realizzazioni) non sono riportati nella cartografia Italiana e non esistono quindi sistemi di coordinate basati su di essi. Invece il sistema geodetico ETRF89 compare nella cartografia di ultima generazione. Pertanto, si può presentare la necessità di passare da un sistema all’altro in funzione dell’origine dei dati o delle necessità di riportare i punti in una cartografia. Si dovrà quindi procedere ad un trasformazione tra sistema geodetico e, nel caso, anche tra sistemi di coordinate. La trasformazione tra sistemi geodetici viene comunemente affrontata attraverso una roto-traslazione nello spazio applicata alle coordinate cartesiane avendo a disposizione i parametri necessari. Quindi può essere necessario effettuare il passaggio dalle coordinate geografiche (, , h)21 alle coordinate geocentriche (X, Y, Z). Lo schema è il seguente.
La soluzione si presenta nella forma x N h cos cos y N h cos sen
z N 1 e 2 h sen
Dove N è la grannormale (massimo raggio di curvatura sull’ellissoide per il punto considerato) ed e l'eccentricictà dell'ellissoide. Per calcolare latitudine, longitudine e quota ellissoidica dalla terna cartesiana invece si deve invertire il sistema. Non esiste una soluzione chiusa ma si procederà attraverso un calcolo iterativo che non viene riportato. Dalle coordinate geografiche si potranno poi ottenere quelle cartografiche, ad esempio nella rappresentazione di Gauss (UTM o Gauss-Boaga) dopo conversione tra i diversi sistemi geodetici coinvolti. Il generale la trasformazione tra sistemi geodetici passa attraverso una roto-traslazione con variazione di scala che, quando viene applicata alle coordinate geocentriche, prende il nome di trasformazione di Helmert (a 7 parametri). Nel caso di trasformazione tra ITRF e WGS la trasformazione si può rappresentare nella forma
21
Per potere esprimere le coordinate cartesiane nella forma (lat, long, quota) occorrerà ovviamente associare al sistema di riferimento un ellissoide. Questo è normalmente il WGS84 (o il suo capostipite GRS80) da non confondere con l’omonimo sistema geodetico.
I metodi di rilevamento tramite GPS (Global Positioning System)
X Y Z WGS
I -
X0
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X
Y0 R Y
Z0
Z ITRF
sette parametri che consentono l'operazione sono dati da tre traslazioni (X0, Y0, Z0); tre rotazioni (Rx, Ry, Rz) contenute nella matrice di rotazione R (3x3); fattore di scala .
Quindi note le coordinate ITRF (o WGS84) ed i 7 parametri sarà possibile trasformare la terna cartesiana da un sistema all’altro. Nel caso in cui i parametri fossero incogniti è possibile sfruttare l’equazione sopra per ricavarli. In questo caso occorrono almeno tre punti di cui sono note le coordinate nei due sistemi (i cosiddetti punti doppi). I 7 parametri in questo caso costituiranno le incognite del sistema mentre le coordinate forniscono le osservazioni. Noti 3 punti doppi si avranno 9 equazioni ed il sistema sarà iperdeterminato. I 7 parametri si possono scegliere risolvendo il sistema grazie ad un criterio come quello dei minimi quadrati.
Misure altimetriche con il GPS Occorre sempre ricordare che l’altimetria nel rilievo GPS è espressa sull’ellissoide di riferimento e non è quindi ortometrica (riferita al geoide). Per risolvere questo problema occorre conoscere la differenza tra quote ortometriche ed ellissoidiche in un punto particolare. Inoltre, le quote ellissoidiche fornite dal rilievo GPS non sono di particolare interesse in molte applicazioni di tipo ingegneristico e di progettazione mentre sono ampiamente utilizzate negli studi di geodesia ed in particolare nell’analisi delle deformazioni del suolo e delle strutture. La relazione che lega quote ellissoidiche e quote ortometriche è la seguente
hHN dove h è l'altezza ellissoidica misurata lungo la normale alla superficie, H è la quota ortometrica misurata lungo la verticale ed N è chiamata ondulazione del geoide. La dimensione raggiungibile dall'angolo formato tra queste due direzioni, definita come deviazione della verticale, non produce un errore rilevante nella differenza tra le distanze.
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Il valore di ondulazione del geoide N è disponibile come mappe che lo rappresentano attraverso delle isolinee di differenza o tramite una mappatura di colori. Queste mappe rappresentano, su base geografica, i valori di ondulazione e possono essere disponibili su territorio nazionale o per l’intera superficie terrestre con diversa accuratezza. Nelle figure seguenti compaiono due rappresentazioni di ondulazione del geoide sull’ellissoide WGS84 valide rispettivamente per l’Italia per l’intera superficie terrestre.
Valori di ondulazione del geoide(metri) in Italia – Ellissoide WGS84
Per l'Italia è disponibile un modello di geoide ottenuto da misure gravimetriche e chiamato ITALGEO. Questo modello, sviluppato in continue versioni successive dal Politecnico di Milano, ha una precisione assoluta decimetrica ed è stato calcolato su una griglia di 3x3'.
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Rappresentazione di un modello globale di geoide con ondulazioni espresse in metri
Reti di stazioni GPS permanenti La realizzazione dei sistemi ITRF, ETRF o WGS84 sul territorio è oggi legata alla materializzazione di reti di stazioni GPS permanenti (operative 24h/giorno) distribuite su territori che possono essere quelli nazionali oppure anche a scala continentale o globale. Ovviamente le reti di stazioni a scala globale possono contenere in toto, o in parte, le stazioni di una rete GPS locale o nazionale. A livello mondiale è istituita la rete GPS coordinata dall'IGS (International GPS Service for Geodynamics) organismo creato dalla IAG (International Association of Geodesy). Questa rete consente la definizione sempre più precisa di sistemi di riferimento quali l’ITRF e l’IGS, le cui realizzazioni avvengono in concreto grazie alla lista delle coordinate delle stazioni che ne fanno parte. L'acquisizione continua dei dati nelle stazioni facenti parte della rete permette anche la determinazione dei movimenti della crosta nel contesto della tettonica delle placche. A causa di questi movimenti e dell'instabilità dello stesso sistema di riferimento (effetti che producono variazioni nei valori delle coordinate di ordine centimetrico), le coordinate dei vertici sono in costante ricalcolo dando origine a successive soluzioni che prendono il nome dell'anno di riferimento (quali a esempio l'ITRF2005).
La rete globale IGS di stazioni GPS permanenti
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In ambito europeo è stato stabilito un sistema di riferimento "locale" denominato EUREF (EUropean REFerence Frame) le cui coordinate sono depurate dei valori di spostamento legati alla placca europea. Anche di questa rete esistono ricalcoli in epoche diverse delle coordinate che forniscono la realizzazione del sistema geodetico ETRF (versioni 1989 e 2000).
La rete europea EUREF delle stazioni GPS permanenti
In Italia una realizzazione del sistema di riferimento GPS è rappresentato dalla rete GPS, di stazioni non permanenti, denominata IGM95 e realizzata a cura dell'Istituto Geografico Militare Italiano. La rete IGM95, inquadrata nel sistema ETRF89, è presente su tutto il territorio nazionale con accuratezza nella determinazione dei vertici di di 2,5 cm in planimetria e 4 cm in quota (livello di significatività del 95%). I 1236 vertici producono una densità dei punti di 1/20 km e consentono all'utenza del GPS di riferire un qualunque rilievo al sistema WGS84 semplicemente occupando un vertice durante il rilievo di punti con strumentazione GPS. Inoltre la conoscenza delle coordinate nel triplo sistema ETRF89-Roma40-ED50 per ogni vertice della rete consente il passaggio tra i sistemi geodetici grazie ai 7 parametri della trasformazione che sono validi solo in un ambito locale. A livello nazionale, la necessità di dotarsi adeguarsi alle reti internazionali di stazioni GPS permanenti ha portato alla realizzazione della Rete Dinamica Nazionale (RDN) basata su una nuova realizzazione del sistema geodetico ETRF89. Infatti la RDN, operativa dal primo gennaio 2009, è inquadrata nel nuovo sistema geodetico ETRF2000, all’epoca di riferimento 2008.0. La RDN è composta da 99 stazioni omogeneamente distribuite sul territorio e con un’interdistanza media di 100 ÷150 km. Alla rete appartengono anche 13 stazioni della rete EUREF indispensabili per l’allineamento della stessa nel contesto delle reti internazionali. Il calcolo delle posizioni delle stazioni RDN è stato effettuato dall’Università di Padova e dal Politecnico di Milano ed ha fornito livelli di accuratezza (come s.q.m.) minori di 1 cm in planimetria e minori di 1.5 cm in quota.
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La Rete Dinamica Nazionale (RDN)
Anche a livello regionale esistono molte reti di stazioni GPS permanenti che consentono di inquadrare i rilievi GPS nel medesimo sistema geodetico oppure di eseguire la conversone tra sistemi utilizzando i parametri di forniti dell’Ente gestore della rete stessa. I vari portali disponibili nella rete Internet consentono anche l’accesso ai dati grezzi (formato RINEX) per eseguire operazioni di post-processamento dei dati oppure l’accesso alle correzioni differenziali, tramite connessione telefonica cellulare, in quei rilievi che richiedono l’acquisizione delle coordinate accurate ed in tempo reale.
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Monitoraggio strutturale con tecnica GPS relativa Il monitoraggio strutturale in tempo reale si prefigge di verificare on-time l’assetto di strutture che possono essere sottoposte a stress legati all’utilizzo della struttura stessa oppure a movimenti e deformazioni in seguito di eventi catastrofici di natura geologicogeofisica. Il monitoraggio dunque consente di tracciare variazioni nelle caratteristiche dinamiche delle strutture ed individuare eventuali alterazioni, o danni, subite a seguito di un evento estremo o di logorii della stessa. Grandi strutture, come lunghi ponti, torri e alti edifici, oltre ai movimenti elastici previsti nella fase di progettazione potrebbero vibrare, spostarsi o deformarsi durante un tifone, una repentina variazione di temperatura, una variazione dei carichi sopportati o eventi sismici non necessariamente di elevata magnitudo. In linea di principio nel monitoraggio strutturale “in continuo” l’approccio è quello di sistemare la strumentazione di rilevamento in punti significativi della struttura e segnalare per via elettronica eventuali movimenti che superano un livello di soglia impostato. Questi metodi possono indagare anche anomalie nelle frequenze naturali della struttura in quanto la presenza di danni spesso comporta una perdita di rigidezza ed una variazione nella frequenza naturale di oscillazione della struttura. In alcuni casi però, benché la struttura fosse danneggiata, le frequenze naturali prima e dopo un terremoto non mostravano evidenti differenze in quanto le sollecitazioni alle strutture producevano spostamenti permanenti in risposta alle forze agenti sulla struttura. Inoltre, un cambio nella frequenza non sempre testimonia la presenza di un danno. In alcuni casi infatti le analisi di differenti serie di registrazioni disponibili durante eventi sismici su edifici a torre hanno mostrato che, pur in assenza di danni, le frequenze naturali dell’edificio erano variate nell’ordine del 30% circa a causa della non linearità nella risposta dell’edificio e agli effetti dell’interazione suolo-struttura. Altri studi hanno evidenziato che variazioni nelle frequenze naturali di un edificio possono manifestarsi anche in relazione a fattori ambientali come pioggia, forte vento ed escursioni termiche. I definitiva questi esempi evidenziano come le sole variazioni nelle frequenze naturali di una struttura non siano sufficienti a diagnosticare la presenza di un danno. Il principale obiettivo di un monitoraggio continuo, comunemente conosciuto come Structural Health Monitoring (SHM) è dunque quello di tracciare ogni variazione nelle caratteristiche della struttura e rilevare danni, anche solo locali, fornendo informazioni pre e post-evento sulla condizione e configurazione della struttura. Quando il danno si manifesta come effetto non lineare, come deformazione isterica della struttura, produce deformazioni permanenti (come spostamenti statici e rotazioni) nella struttura e quindi la configurazione tridimensionale della struttura danneggiata potrebbe essere differente da quella originale. In definitiva la misura delle frequenze naturali deve essere associata a quella di spostamenti e rotazioni permanenti, questo per avere una valutazione più attendibile del danno sopportato dalla struttura. Strumenti che consentono la misurazione di spostamenti e rotazioni possono essere gli accelerometri ma le deformazioni permanenti devono essere misurate con altra strumentazione quale i sensori GPS. Si pone il problema della frequenza di campionamento del segnale GPS da parte dei ricevitori attualmente in commercio. Questo può avvenire a 1 Hz, o anche meno, permettendo una sicura identificazione delle frequenze dominanti delle strutture più flessibili (f < 0.5 Hz) ma alcune classi di strumentazioni possono registrare dati anche a 20-100 Hz e, almeno in via teorica, potrebbero fungere da misuratori di oscillazioni a tali frequenze sempre che queste oscillazioni producano spostamenti rilevabili con tecnica GPS relativa o differenziale. Un altro vantaggio nell’utilizzo delle osservazioni GPS per il monitoraggio delle strutture risiede nel fatto che le coordinate (posizioni) delle stazioni istallate sulla struttura sono calcolate indipendentemente le une dalle altre, senza influenza reciproca degli errori che inevitabilmente incidono sulle misure. L’accuratezza raggiunta dipende chiaramente dalla tipologia di misure effettuate che dovranno essere di tipo statico relativo, in uno schema a rete, e con sessioni di durata idonea allo scopo. Nel monitoraggio cinematico è sempre possibile elaborare le posizioni con tecnica di post-processamento relativa e produrre delle serie temporali di posizioni
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riferite, singolarmente, ad un certo intervallo temporale (da pochi minuti ad una giornata intera). L’analisi della serie temporale potrà evidenziare gli spostamenti subiti dal punto sui si trova l’antenna GPS.
Antenna GPS installata nello stadio di S. Siro per il monitoraggio in tempo reale
Il sistema di monitoraggio deve essere in grado di automatizzare il processamento delle basi dalla stazione di riferimento (base) a quelle istallate sulla struttura (remote) e, grazie alla connettività via internet, prevedere un sistema di allertamento automatico.
Schema funzionale di sistema di monitoraggio GPS
Il sensore remoto deve essere di dimensioni ridotte, robusto, resistente alle condizioni ambientali estreme ed autonomo nel sistema di alimentazione. La stazione base deve essere pensata per tale utilizzo e dotata di antenna con copertura (radome) di protezione.
Antenna GPS Leica associate a stazione CORS (Continuously Operating Reference Station)
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Per attenuare gli errori di rifrazione atmosferica sui segnali GPS si deve ridurre al massimo la distanza tra la stazione di riferimento e le stazioni remote ed anche il dislivello tra le stazioni coinvolte nel monitoraggio.
Schema generale di un sistema di monitoraggio GPS
Funzionamento del sistema In generale, la stazione remota deve essere posizionata sui punti di interesse, sui punti di massima deformazione attesa o sui punti caratteristici della struttura. Le unità remote sono individualmente collegate al centro di controllo tramite cavo, collegamento radio o modem ed inviano i dati grezzi memorizzati. Al centro di controllo convergono anche i dati della stazione base per l’elaborazione dei vettori previsti dallo schema di elaborazione che forniranno, nell’analisi temporale, la posizione relativa dei vari sensori GPS rispetto a quello/i di riferimento. Un’importante caratteristica del sistema di monitoraggio risiede nella capacità di operare per prolungati intervalli in totale autonomia e senza richiedere, sul posto, l’intervento umano. Come detto i collegamenti possono avvenire tramite la rete cellulare (con modem GSM) oppure, preferibilmente usando una rete in banda larga quando si vuole garantire massima affidabilità ed indipendenza dall’esistente infrastruttura telefonica. Questo potrebbe essere il caso del monitoraggio di frane o colate di fango dove l’evento stesso potrebbe provocare un sovraccarico del servizio o la sua interruzione proprio quando il suo utilizzo è necessario. Se le distanze sono minime si può utilizzare una connessione diretta via cavo tra i sensori di misurazione e la stazione di riferimento. Il protocollo di comunicazione usato tra la stazione base e i sensori è sempre lo stesso e per questa ragione i differenti tipi di collegamento possono essere intercambiabili. In linea di massima, tutti gli elementi della rete di monitoraggio possono essere accessibili sia localmente sia tramite connessione remota da ogni parte del mondo. Questo facilita la diagnostica remota e la gestione di più siti da una sede centralizzata. I dati di monitoraggio devono essere memorizzati in modo permanente e sicuro in un database con struttura dei dati che sia di tipo standard per poter utilizzare le informazioni con differenti sistemi e sensori. Il software di monitoraggio può plottare i risultati dell’elaborazione ed analizzare le serie temporali prodotte per le singole stazioni nelle tre direzioni. Gli eventuali movimenti possono essere visualizzati a piacimento su particolari intervalli di tempo.
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La stazione base può essere programmata per attivare un segnale di avvertimento o allarme quando i movimenti di singoli sensori o di gruppi di sensori dislocati sulla struttura monitorata si collocano al di sopra di una soglia pre-impostata. L’azione associata al segnale di avvertimento o allarme può consistere in un e-mail ad un indirizzo prefissato, oppure un messaggio SMS sul cellulare di un tecnico incaricato della gestione dell’emergenza.
Software adibito ad inviare il segnale di allarme al superamento delle soglie limiti
La visibilità e la geometria della costellazione satellitare durante il periodo di osservazione ha una diretta influenza sulla qualità della misurazione. Questo può essere di interesse nelle applicazioni dove la visibilità dei satelliti dalle singole stazioni può essere ostruita da alberi, alte costruzioni o versanti. Le più importanti limitazioni sui possibili usi del sistema descritto sono attribuibili al fatto che l’alert non avviene in tempo reale ma dopo il calcolo dei vettori.
