Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 2012-01-11 kl. 8.30–12.30 Examinator: Johan Jonasson , Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren , telefon: 0703 088 304 Hj¨ alpmedel: bifogat formelblad, ordlistan fr˚ an kurswebbsidan, ej r¨aknedosa F¨ or godk¨ ant p˚ a tentan kr¨ avs antingen 25 po¨ ang p˚ a godk¨ antdelens tv˚ a delar sammanlagt, eller att b˚ ada delarna ¨ ar godk¨ anda var f¨ or sig. F¨ or godk¨ ant p˚ a del 1 kr¨ avs minst 10 po¨ ang, f¨ or godk¨ ant p˚ a del 2 kr¨ avs 13 po¨ ang. Erh˚ allen po¨ ang p˚ a n˚ agon av delarna f˚ ar ers¨ atta po¨ ang p˚ a motsvarande del p˚ a senare tentamen tills kursen ges n¨ asta l¨ as˚ ar. F¨ or godk¨ ant p˚ a kursen skall ocks˚ a Matlabmomentet vara godk¨ ant. F¨ or betyg 4 eller 5 kr¨ avs dessutom 33 resp. 42 po¨ ang sammanlagt p˚ a tentamens alla delar. L¨ osningar l¨ aggs ut p˚ a kursens webbsida f¨ orsta vardagen efter tentamensdagen. Tentan r¨ attas och bed¨ oms anonymt. Resultat meddelas via Ladok ca. tre veckor efter tentamenstillf¨ allet. F¨ orsta granskningstillf¨ alle meddelas p˚ a kurswebbsidan, efter detta sker granskning alla vardagar 9-13, MV:s exp.
Godk¨ antdelen, del 1 Uppgift 1 och 2 se n¨ asta blad
Godk¨ antdelen, del 2 Uppgift 3, 4 och 5 se blad 3
¨ Overbetygsdelen Endast om man ligger enstaka po¨ ang fr˚ an godk¨ ant och presterat riktigt bra p˚ a n˚ agon av f¨ oljande uppgifter kan po¨ ang p˚ a denna del r¨ aknas in f¨ or att n˚ a godk¨ antgr¨ ansen. Normalt kr¨ avs f¨ or po¨ ang p˚ a uppgift att man redovisat en fullst¨ andig l¨ osningsg˚ ang, som i princip lett, eller ˚ atminstone skulle kunnat leda, till m˚ alet.
6. Best¨am st¨ orsta och minsta v¨ arde av funktionen f (x, y, z) = 2x + z p˚ a sk¨arningskurvan mellan cylindern x2 + y 2 = 8 och planet x + y + z = 1.
(6p)
L¨ osning: Inf¨ or Lagrangemultiplikatorer och f˚ a att man ska leta efter kritiska punkter till L(x, y, z, λ, µ) = 2x + z + λ(x2 + y 2 − 8) + µ(x + y + z − 1). S¨att de fem partiella derivatorna till 0. Den partiella derivatan map z ger oss att µ = −1. De partiella derivatorna map x och y ger oss d˚ a att 2xλ = −1 och 2yλ = 1 och av detta ser vi att λ 6= 0 och att x = −y. Bivillkoret x2 + y 2 = 8 ger nu x = 2, y = −2 eller x = −2, y = 2. Det andra bivillkoret ger nu z = 1. Det minsta v¨ardet av 2x + z under bivillkoren ¨ ar allts˚ a −3 och det st¨ orsta ¨ar 5.
7. Tv˚ a parallella plan sk¨ ar en sf¨ ar. Visa att arean av den del av sf¨aren som ligger mellan planen endast beror p˚ a sf¨ arens radie och avst˚ andet mellan planen.
(6p)
Lo at S vara den delyta av sf¨aren som ligger mellan de tv˚ a planen. Vi kan uppen¨sning. L˚ barligen fritt anta att de tv˚ a planen ¨ar parallella med xy-planet, dvs att de ges av z = z0 och z = z1 , z0 < z1 . Vi s¨ oker ZZ dS. S
Om sf¨aren har radie R ges en parametrisering av S av x = R sin φ cos θ, y = R sin φ sin θ, z = R cos φ med 0 ≤ θ ≤ 2π och arccos(z1 /R) ≤ φ ≤ arccos(z0 /R). Areaelementet ¨ar dS = R2 sin φ dφdθ, s˚ a ZZ
dS = 2πR2
S
Z
arccos(z0 /R)
sin φdφ = 2πR(z1 − z0 ). arccos(z1 /R)
Detta uttryck beror bara av skillnaden mellan z0 och z1 .
8. Formulera f¨ oljande satser (beteckningar skall f¨orklaras och f¨oruts¨attningar/villkor skall anges); (a) Greens sats
(2p)
(b) Gauss sats (divergenssatsen)
(2p)
(c) Stokes sats
(2p)
Lo orjar med Stokes sats. L˚ at S vara en glatt yta i rummet som har kontinuerlig ¨sning: Vi b¨ ˆ enhetsnormal N(x, y, z), (x, y, z) ∈ S och glatt randkurva C orienterad moturs sedd fr˚ an spetsen av normalen. D˚ a s¨ ager Stokes sats att f¨or ett glatt f¨alt F, I ZZ ˆ F•dr = (∇ × F)•NdS. S
C
Greens sats ¨ ar specialfallet n¨ ar ytan ligger i xy-planet och normalen ¨ar k = (0, 0, 1). Vi f˚ ar d˚ a I ZZ ∂F2 ∂F1 F•dr = − dA. ∂x ∂y C S Gauss sats s¨ ager att om R ¨ ar en kropp i rummet och S dess randyta f¨orsedd med en ˆ g¨aller ut˚ atriktad styckvis glatt enhetsnormal N ZZ ZZZ ˆ F•NdS = ∇•FdV. S
R
Lycka till! Johan Jonasson
Formelblad f¨ or TMA043 och MVE085, 10/11 Trigonometri. 1 (cos(x − y) − cos(x + y)) 2 1 sin(x) cos(y) = (sin(x − y) + sin(x + y)) 2 tan(x) + tan(y) tan(x + y) = 1 − tan(x) tan(y)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
sin(x) sin(y) =
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x) cos(y) =
1 (cos(x − y) + cos(x + y)) 2
Integralkatalog Z
a
x dx
xa+1 + C , a 6= −1 a+1
=
Z
Z
Z Z Z
=
ln |x| + C
cos x dx
=
sin x + C
1 dx sin2 x
=
− cot x + C
ax dx
=
ax + C , 0 < a 6= 1 ln a
=
ln |f (x)| + C
Z sin x dx
Z
1 dx x
− cos x + C
=
Z
1 dx cos2 x
=
ex dx 1 dx x2 + a2
1 dx a − x2 Z 1 √ dx 2 x +a √
tan x + C Z
=
ex + C
=
1 x arctan + C , a 6= 0 a a x arcsin √ + C , a > 0 a p ln |x + x2 + a| + C , a 6= 0
= =
f 0 (x) dx f (x) Z p a − x2 dx Z p x2 + a dx Z
= =
1 p a x x a − x2 + arcsin √ + C , a > 0 2 2 a p 1 p 2 (x x + a + a ln |x + x2 + a|) + C 2
Maclaurinutvecklingar ex
=
∞ X xk k=0
sin x
=
∞ X
k=1
cos x
=
∞ X
(−1)k
k=0 α
(1 + x)
=
1+x+
=
x−
x3 x5 x7 + − + ... 3! 5! 7!
=
1−
x2 x4 x6 + − + ... 2! 4! 6!
=
α(α − 1) 2 x + ... 1 + αx + 2!
xk k
=
x−
x2 x3 x4 + − + ... 2 3 4
, −1 < x ≤ 1
x2k−1 2k − 1
=
x−
x3 x5 x7 + − + ... 3 5 7
, |x| ≤ 1
k!
(−1)k−1
x2k−1 (2k − 1)!
x2k (2k)!
∞ X α xk k
k=0
ln(1 + x)
=
∞ X
(−1)k+1
k=1
arctan x
=
∞ X
(−1)k−1
k=1
x2 x3 + + ... 2! 3!
=
, |x| < 1 ,
¨ Ovrigt RRR xρ(x, y, z) dxdydz Masscentrum (xT , yT , zT ) f¨ or Ω ges av xT = RRRΩ , analogt f¨or yT , zT . ρ(x, y, z) dxdydz Ω ρ(x, y, z) ¨ ar densiteten.
α k
=
α(α − 1) . . . (α − k + 1) k(k − 1) . . . 1
Anonym kod
sid.nummer
Po¨ ang
TMA043 Flervariabelanalys E2 2012-01-11 Godk¨ antdelen: del 1 1. Till nedanst˚ aende uppgifter skall korta l¨ osningar redovisas, samt svar anges, p˚ a anvisad plats(endast l¨ osningar och svar p˚ a detta blad, och p˚ a anvisad plats, beaktas). (a) Ge en intuitiv beskrivning av begreppet gr¨ ansv¨ arde f¨or funktioner av tv˚ a variabler.
(2p)
L¨ osning: Att lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = L betyder att f (x, y) ¨ar godtyckligt n¨ara L s˚ a fort (x, y) ar tillr¨ ackligt n¨ara (a, b). ¨ (b) Best¨ am ekvationer f¨ or tangentplanet och normallinjen till funktionsytan z = x2 y − 2y + 5 i punkten (1, 3, 2).
(3p)
2
Lo aytan till f (x, y, z) = x y − 2y − z genom (1, 3, 2). Gradienten ¨sning: Ytan kan ses som niv˚ ∇f (1, 3, 2) ¨ ar allts˚ a normalvektor till tangentytan och riktningsvektor till normallinjen. Vi har ∇f = (2xy, x2 − 2, −1) s˚ a ∇f (1, 3, 2) = (6, −1, −1). Tangentplanet ges allts˚ a av 6x − y − z = D d¨ ar D best¨ ams av att tangentplanet g˚ ar genom (1, 3, 2), dvs D = 6·1−3−2 = 1. Tangentplanet ar allts˚ a ¨ 6x − y − z = 1. Normallinjen ges (p˚ a parameterform) av (x, y, z) = (1, 3, 2) + t(6, −1, −1), t ∈ R. (c) Antag att en partikels position i xy-planet vid en tidpunkt t ges av r = t3 i + tj. Skissa partikelns r¨ orelsebana f¨ or −1 ≤ t ≤ 1 och ange partikelns fart vid varje tidpunkt t under detta tidsintervall. N¨ ar har partikeln l¨ agst fart? √ 0 2 a d˚ a L¨ osning: Hastigheten ¨ ar r (t) = (3t , 1) varf¨or farten ¨ar 1 + 9t4 . L¨agst ¨ar farten allts˚ t = 0.
(3p)
Till f¨ oljande uppgift skall fullst¨ andig l¨ osning redovisas p˚ a separat skrivpapper. Motivera och f¨ orklara s˚ a v¨ al du kan. 2. L˚ at f (x, y) = 6xy − 2x3 − 3y 2 och l˚ at Ω vara det kvadratiska omr˚ adet 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2. (a) Best¨ am alla kritiska punkter till f (x, y). (b) Best¨ am det st¨ orsta v¨ arde som f (x, y) antar p˚ a randen av omr˚ adet Ω. (c) Best¨ am det st¨ orsta v¨ ardet som f (x, y) antar p˚ a omr˚ adet Ω. Lo a y = x = x2 . Detta ger ¨sning: Vi har att ∇f = (6y − 6x2 , 6x − 6y). S¨att denna till 0 och f˚ x = y = 1 eller x = y = 0. De kritiska punkterna ¨ar allts˚ a (1, 1) och (0, 0). Randen best˚ ar av omr˚ adena x = 0 och x = 2, 0 ≤ y ≤ 2, och y = 0 och y = 2, 0 ≤ x ≤ 2. Vi har att f (0, y) = −3y 2 , f (2, y) = 12y − 3y 2 − 16 = −4 − (y − 2)2 , f (x, 0) = −2x3 , f (x, 2) = 12x − 2x3 − 12. Inget av dessa uttryck ¨ overstiger 0 p˚ a aktuellt omr˚ ade. Detta ¨ar uppenbart f¨or alla utom det sista √ uttrycket. Genom att s¨ a tta derivatan av det uttrycket till 0 ser vi att det maximeras d˚ ax= 2 √ och blir d˚ a 8 2 − 12 < 0. Eftersom f (0, 0) = 0 ser vi att 0 ¨ar funktionens st¨orsta v¨arde p˚ a randen. Eftersom f (1, 1) = 1 m˚ aste 1 vara funktionens st¨ orsta v¨arde.
(2p) (3p) (1p)
Anonym kod
sid.nummer
Po¨ ang
TMA043 Flervariabelanalys E2 2012-01-11 Godk¨ antdelen: del 2 3. Till nedanst˚ aende uppgifter skall korta l¨ osningar redovisas, samt svar anges, p˚ a anvisad plats(endast l¨ osningar och svar p˚ a detta blad, och p˚ a anvisad plats, beaktas). (a) L˚ at D varaZ triangelomr˚ adet med h¨ orn i (0, 0), (0, 1) och (1, 1). Avg¨or om den generaliserade Z √ x integralen dxdy ¨ ar konvergent eller divergent. 2 D y L¨ osning.
√
ZZ D
x
y2
Z
1
dxdy = 0
=
2 3
Z 0
1
1 y2
Z
y
√
(3p)
xdx dy
0
1 4 √ dy = . y 3
Integralen ¨ ar allts˚ a konvergent, med v¨ arde 4/3. (b) Ber¨ akna massan av den kropp K som begr¨ ansas av xy-planet och paraboloiden z = 2−x2 −y 2 , och som best˚ ar av ett material med densiteten δ(x, y, z) = z RRR L¨ osning: Man ska ber¨ akna z dxdydz. K ZZZ
2
Z z dxdydz =
z
K
0
ZZ
Z dxdy dz = π (x,y):x2 +y 2 ≤2−z
0
2
z(2 − z) dz =
(3p)
4π . 3
Till f¨ oljande uppgifter skall fullst¨ andiga l¨ osningar redovisas p˚ a separata skrivpapper. Motivera och f¨ orklara s˚ a v¨ al du kan. 4. L˚ at C vara cirkelb˚ agen x2 + y 2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0 orienterad moturs (dvs. fr˚ an (2, 0) till (0, 2)). Z (a) Ber¨ akna kurvintegralen f (x, y) ds , d¨ ar f (x, y) = 2x + y. C Z (b) Ber¨ akna kurvintegralen F•dr , d¨ ar F = 2xi + yj
(3p) (3p)
C
Lo aledes g¨aller ds = 2dt, ¨sning: Kurvan C parametriseras av r(t) = (2 cos t, 2 sin t), 0 ≤ t ≤ π/2. S˚ varf¨ or Z Z π/2 (2x + y)ds = 2 (4 cos t + 2 sin t)dt = 12. C
0
Vi har ocks˚ a att dr = (−2 sin t dt, 2 cos t dt), s˚ a att F(t)•dr = (4 cos t, 2 sin t)•(−2 sin t, 2 cos t) dt = −4 sin t cos t dt = −2 sin 2t dt. S˚ aledes Z Z π/2 • F dr = −2 sin 2t dt = −2. C
5.
0
(a) Vilken typ av andragradsyta beskrivs av parametriseringen x = r cos θ y = r sin θ , r ≥ 0 , 0 ≤ θ < 2π z=r (b) Avg¨ or om hastighetsf¨ altet F = 2xzi + 2yzj + (x2 + y 2 )k ¨ar virvelfritt och/eller k¨allfritt i R3 (c) Ber¨ akna fl¨ odet av hastighetsf¨ altet i deluppgift (b) ned˚ at (dvs. i negativ z-led) genom den del S av ytan i deluppgift (a) d¨ ar 0 ≤ r ≤ 1
(1p) (2p) (3p)
Lo ar en en kon med apex (dvs spets) i origo och utbredning ovanf¨or ¨sning: Den beskrivna ytan ¨ xy-planet. I (b) har vi ∇•F = 4z och ∇ × F = (2y − 2y, 2x − 2x, 2z − 2z) = 0. F¨altet ¨ar allts˚ a virvelfritt, men inte k¨ allfritt. RR ˆ ˆ ¨ ˆ dS = Slutligen s¨ oker vi S F•NdS d¨ ar N ar en ned˚ atriktad enhetsnormal till ytan i (a). Vi har N −(cos θ, sin θ, 1)×(−r sin θ, r cos θ, 0) drdθ = (r cos θ, r sin θ, −r) drdθ och F(x(r, θ), y(r, θ), z(r, θ)) = (2r2 cos θ, 2r2 sin θ, r2 ), s˚ a att ZZ S
ˆ dS = F• N
Z 0
1
Z 0
2π
(2r3 cos2 θ + 2r3 sin2 θ − r3 ) dθdr =
π . 2
