Studio ed implementazione della tecnica MSPE per un controllo affidabile della convergenza nei modelli stocastici per il pricing di opzioni
Candidato: Ing. Pier Giuseppe Giribone Dipartimento di Ingegneria DIME - Universit`a di Genova Middle Office - Amministrazione Finanza - Banca CARIGE
Relatore: Chiar.mo Prof. Ing. Roberto Mosca Dottorato di Ricerca in Ingegneria Matematica e Simulazione Ciclo XXV
Hai guardato un uomo abile nel suo lavoro? Sapr` a porsi dinnanzi ai re Antico Testamento - Proverbi 22, 29
Ringraziamenti In primo luogo desidero rivolgere un sentito ringraziamento ai Docenti Universitari della Scuola di Dottorato in Ingegneria Matematica e Simulazione (DIMS) che mi hanno costantemente guidato e consigliato durante l’approfondimento delle tematiche di ricerca scelte. In particolare il mio Relatore Chiar.mo Prof. Roberto Mosca e l’Ing. Lucia Cassettari per avermi concesso l’opportunit`a di intraprendere studi e ricerche di rilevante interesse scientifico e professionale, come `e stato lo sviluppo di questo progetto di ricerca. Desidero porgere un particolare ringraziamento all’Ufficio presso il quale ho avuto modo di approfondire e testare sperimentalmente le ricerche effettuate: il Middle Office del Reparto Amministrazione Finanza di Banca CARIGE. Cito preliminarmente i miei tutor aziendali, Dott. Matteo Ferrando, Dott. Alessandro Currao e l’Ing. Simone Ventura per avermi seguito in tutte le fasi di sviluppo del lavoro con grande disponibilit`a ed esperienza, il dirigente Dott. Paolo Boretti, per essere promotore della mia formazione professionale nell’ambito della ricerca e sviluppo. Desidero ringraziare in modo speciale Paolo Raviola, mio insuperabile Maestro dell’Arte della Programmazione, per i suoi preziosi consigli informatici, oltre ad avermi messo a disposizione la necessaria potenza di calcolo per la verifica sperimentale delle metodologie trattate nell’elaborato. Desidero personalizzare i ringraziamenti a tutti i componenti del Middle Office, citando nominalmente i miei colleghi, persone che hanno rappresentato per me costanti riferimenti, indirizzandomi e consigliandomi sempre in modo opportuno: Elena Corallo, Alessandra
Fusco, Fabio Ghiglione, Paolo Goldoni, Simone Ligato ed Elena Sommariva. Infine voglio dire un grazie di cuore e con profondo affetto ai miei genitori, Piero e Giuliana, perch`e non potevo aspirare ad avere delle guide migliori nel complesso cammino della vita. Dedico questa tesi ad una persona speciale con la quale ho iniziato a dipingere un meraviglioso quadro e che il Destino non ci ha ancora reso noto come completarlo. Indipendentemente, grazie per i colori che mi hai prestato.
Abstract
Nella determinazione del prezzo di derivati complessi, gli uffici di valorizzazione delle banche e degli istituti finanziari fanno riferimento, per pervenire ad un valore degli stessi, a modelli matematici involventi distribuzioni statistiche di frequenza. Per conseguenza l’utilizzo del metodo Monte Carlo diventa una metodologia imprescindibile per la valorizzazione stocastica del derivato. Resta, tuttavia, per una corretta determinazione del valore finale, da stabilire il numero di iterazioni replicate sul modello che consentano di pervenire ad un livello accettabile dell’errore sperimentale che affligge l’output del modello stesso. In questo lavoro si propone come soluzione a questo problema l’impiego della metodologia di studio dell’evoluzione della Mean Square Pure Error nei lanci replicati. Le applicazioni ai modelli di pricing di derivati non quotati presentati in questo elaborato evidenziano da un lato la validit`a della metodologia proposta e dall’altro evitano gli errori che si possono commettere affidandosi a numeri di lanci standard (da 1.000 a 10.000).
Indice Indice
5
1 Descrizione della metodologia MSPE 1.1 L’approccio metodologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sviluppo teorico della metodologia MSPE . . . . . . . . . . . . . 1.3 Esempio di applicazione del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 3 5
2 Le opzioni asiatiche 2.1 Pricing analitico di un’opzione asiatica . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Pricing numerico di un’opzione asiatica . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Applicazione della metodologia MSPE . . . . . . . . . . . . . . .
15 16 25 28
3 Le opzioni barriera 3.1 Pricing di una Standard Barrier . . . . . . . . 3.2 Pricing di una Double Barrier . . . . . . . . . 3.3 Pricing di una Partial-Time Single-Asset . . . 3.4 Pricing di una Two-Asset Barrier Option . . . 3.5 Pricing di una Partial-Time Two-Asset Barrier 3.6 Pricing di una Look-Barrier Option . . . . . . 3.7 Pricing di una Discrete Barrier Option . . . . 3.8 Pricing di una Soft Barrier Option . . . . . . 3.9 Pricing di una Parisian Barrier Option . . . .
. . . . . . . . .
38 40 51 55 59 63 65 67 69 72
4 Le opzioni Forward Start 4.1 Pricing di un’opzione Forward Start . . . . . . . . . . . . . . . . .
76 77
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDICE
5 Le opzioni Cliquet 5.1 Le opzioni Cliquet Europee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Le opzioni Cliquet Asiatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83 83 86
6 Le opzioni Lookback 6.1 Le opzioni Floating-Strike Lookback . . . . . . . . 6.2 Le opzioni Fixed-Strike Lookback . . . . . . . . . 6.3 Le opzioni Partial-Time Floating-Strike Lookback 6.4 Le opzioni Partial-Time Fixed-Strike Lookback . .
. . . .
90 91 94 97 99
. . . .
105 105 107 108 109
. . . . . .
113 113 114 118 120 121 128
7 Le opzioni binarie 7.1 Le opzioni Cash or Nothing . . . . . 7.2 Le opzioni Asset or Nothing . . . . . 7.3 Le opzioni Gap . . . . . . . . . . . . 7.4 Validazione della metodologia MSPE 8 Altre tipologie di opzioni 8.1 Le opzioni Paylater . . 8.2 Le opzioni Chooser . . 8.3 Le opzioni Basket . . . 8.4 Le opzioni Quanto . . 8.5 Le opzioni Rainbow . . 8.6 Le opzioni Compound
esotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Le opzioni americane 135 9.1 Le formule analitiche approssimate . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.2 L’esercizio anticipato nella metodologia Monte Carlo . . . . . . . 141 10 Conclusioni
145
Codice Matlab
150
Elenco delle figure
269
Bibliografia
272
6
149
Codice Matlab CAPITOLO 1: Descrizione della Metodologia MSPE 1.A - Generazione delle curve di stazionariet`a MSPE - pag. 155 1.B - Formula analitica esatta per la valorizzazione di una call europea plainvanilla (Black-Scholes-Merton 1973) - pag.156 1.C - Valorizzazione di una opzione europea plain-vanilla mediante il metodo Monte Carlo - pag. 156 CAPITOLO 2: Le opzioni asiatiche 2.A - Valorizzazione di un’opzione geometrica asiatica di tipo APO con campionamento continuo mediante la formula di Kemna-Vorst (1990) - pag. 157 2.B - Valorizzazione di un’opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Vorst (1990) - pag. 157 2.C - Valorizzazione di un’opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Turnbull e Wakeman (1991) - pag. 158 2.D - Valorizzazione di un’opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Levy (1992) - pag. 159 2.E - Valorizzazione di un’opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Curran (1992) - pag. 159 2.F - Valorizzazione di una opzione asiatica con campionamento continuo mediante il metodo Monte Carlo - pag. 160 2.G - Valorizzazione di una opzione asiatica con campionamento discreto mediante il metodo Monte Carlo - pag. 161
150
CAPITOLO 3: Le opzioni barriera 3.A - Valutazione analitica di una Standard Barrier Option - pag. 164 3.B - Approssimazione numerica alla distribuzione cumulativa normale - pag. 168 3.C - Valorizzazione di una opzione barriera standard mediante il classico schema di integrazione stocastica (Crude Monte Carlo) - pag. 170 3.D - Valorizzazione di una opzione barriera standard mediante il metodo Monte Carlo di El Babsiri e Noel (Conditional Monte Carlo) - pag. 175 3.E - Valutazione analitica di una Double Barrier Option - pag. 176 3.F - Valutazione numerica di una Double Barrier Option mediante il Crude Monte Carlo method - pag. 179 3.G - Valutazione numerica di una Double Barrier Option mediante il Conditional Monte Carlo method - pag. 180 3.H - Approssimazione numerica alla distribuzione cumulativa normale bivariata - pag. 181 3.I - Valutazione analitica di una Partial-Time Single-Asset Barrier Option - pag. 184 3.L - Valutazione numerica di una Partial-Time Single-Asset Barrier Option pag. 186 3.M - Valutazione analitica di una Two-Asset Barrier Option - pag. 189 3.N - Valutazione numerica di una Two-Asset Barrier Option mediante il Crude Monte Carlo method - pag. 191 3.O - Valutazione numerica di una Two-Asset Barrier Option mediante il Conditional Monte Carlo method - pag. 194 3.P - Valutazione analitica di una Partial-Time Two-Asset Barrier Option - pag. 195 3.Q - Valutazione numerica di una Partial-Time Two-Asset Barrier Option - pag. 196 3.R - Valutazione numerica di una Look-Barrier Option - pag. 199 3.S - Correzione di Broadie - Glasserman - Kou (1995) per il monitoraggio discreto della barriera. - pag. 203
151
3.T - Valutazione analitica di una Soft Barrier - pag. 203 3.U - Valutazione numerica di una Soft-Barrier Option - pag. 205 3.V - Valutazione numerica di una Parisian Barrier Option - pag. 208 CAPITOLO 4: Le opzioni Forward-Start 4.A - Valutazione analitica di una Forward Start Option - pag. 215 4.B - Valutazione numerica di una Forward Start Option mediante metodo Monte Carlo con variabili antitetiche - pag. 216 CAPITOLO 5: Le opzioni Cliquet 5.A - Valutazione analitica di una Cliquet Option Europea - pag. 217 5.B - Valutazione numerica di una Cliquet Option Europea con tecnica di riduzione della varianza - pag. 218 5.C - Valutazione analitica di una Cliquet Option Asiatica - pag. 221 5.D - Valutazione numerica di una Cliquet Option Asiatica con tecnica di riduzione della varianza - pag. 223 CAPITOLO 6: Le opzioni Lookback 6.A - Valutazione analitica di una Floating Strike Lookback - pag. 226 6.B - Valutazione numerica di una Floating Strike Lookback mediante il Crude Monte Carlo method - pag. 227 6.C - Valutazione numerica di una Floating Strike Lookback mediante il Conditional Monte Carlo method - pag. 228 6.D - Valutazione analitica di una Fixed Strike Lookback - pag. 229 6.E - Valutazione numerica di una Fixed Strike Lookback mediante il Crude Monte Carlo method - pag. 231 6.F - Valutazione numerica di una Fixed Strike Lookback mediante il Conditional Monte Carlo method - pag. 232 6.G - Valutazione analitica di una Partial-Time Floating-Strike Lookback - pag. 233
152
6.H - Valutazione numerica di una Partial-Time Floating-Strike Lookback mediante Monte Carlo - pag. 235 6.I - Valutazione analitica di una Partial-Time Fixed-Strike Lookback - pag. 236 6.L - Valutazione numerica di una Partial-Time Fixed-Strike Lookback mediante Monte Carlo - pag. 237 CAPITOLO 7: Le opzioni Binarie 7.A - Valutazione analitica di una opzione binaria Cash-or-Nothing - pag. 238 7.B - Valutazione numerica di una opzione binaria Cash-or-Nothing mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 238 7.C - Valutazione analitica di una opzione binaria Asset-or-Nothing - pag. 239 7.D - Valutazione numerica di una opzione binaria Asset-or-Nothing mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 239 7.E - Valutazione analitica di una opzione binaria Gap - pag. 240 7.F - Valutazione numerica di una opzione binaria Gap mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 240 CAPITOLO 8: Altre tipologie di opzioni esotiche 8.A - Valutazione analitica di una PayLater Option. - pag. 241 8.B - Valutazione numerica di una PayLater Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 241 8.C - Valutazione analitica di una Simple Chooser Option. - pag. 242 8.D - Valutazione numerica di una Simple Chooser Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 242 8.E - Valutazione analitica di una Complex Chooser Option. - pag. 243 8.F - Valutazione numerica di una Complex Chooser Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 245 8.G - Valutazione numerica di una Basket Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 246 8.H - Valutazione analitica di una Quanto Option. - pag. 247 8.I - Valutazione numerica di una Quanto Option mediante tecnica Monte Carlo.
153
- pag. 248 8.L - Valutazione analitica di una Rainbow Option. - pag. 249 8.M - Valutazione numerica di una Rainbow Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 253 8.N - Valutazione analitica di una Compound Option. - pag. 254 8.O - Valutazione numerica di una Compound Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 257 CAPITOLO 9: Le opzioni americane 9.A - Il modello di valutazione Roll-Geske-Whaley. - pag. 258 9.B - Il modello di valutazione Barone-Adesi-Whaley. - pag. 260 9.C - Il modello di valutazione Bjerksund-Stensland. - pag. 264 9.D - L’algoritmo di Longstaff-Schwartz per il metodo Monte Carlo. - pag. 266
154
Elenco delle figure 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11
Curve di evoluzione M SP EM ED e M SP EV AR . . . . . . . . . . . Curve M SP EM ED di quattro campagne sperimentali differenti a parit`a di condizioni iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campionamento dei dati sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . Soluzione grafica della SDE descritta dal moto diffusivo (Eq.1.5) . Grafico (i, M SP EM ED ) con i = 1, . . . , 5 · 105 per un’opzione Call plain-vanilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafico (j, P rice) con i = 1, . . . , 10000 e j = 1, . . . , 2000 . . . . . . Grafico (j, P rice) con i = 1, . . . , 30000 e j = 1, . . . , 2000 . . . . . . Grafico (i, M SP EM ED ) con i = 1, . . . , 5 · 105 con soglia massima di errore accettabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafico (j, P rice) con i = 1, . . . , 1 · 105 e j = 1, . . . , 2000 . . . . . . Distribuzione discreta delle y ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curve (i, M SP EM ED ) con i = 1, . . . , 2 · 105 . . . . . . . . . . . . .
Grafico M SP E per un’opzione asiatica Put con media geometrica di tipo APO con campionamento continuo . . . . . . . . . . . . . 2.2 Distribuzione discreta delle y ∗ per un’opzione asiatica Put con media geometrica di tipo APO con campionamento continuo . . . 2.3 Grafico (j, P rice) con i = 1, . . . , 2 · 104 e j = 1, . . . , 2000 per un’opzione asiatica Put con media geometrica di tipo APO con campionamento continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14
2.1
269
34 35
35
ELENCO DELLE FIGURE
Grafico (i, M SP EM ED ) con i = 1, . . . , 2.5·105 per un’opzione asiatica Call con media aritmetica di tipo APO con campionamento continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Grafico (i, M SP EM ED ) con i = 1, . . . , 2.5·105 per un’opzione asiatica Call con media aritmetica di tipo ASO con campionamento continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Distribuzione discreta delle y ∗ per un’opzione asiatica Call con media geometrica di tipo APO con campionamento discreto . . . 2.7 Grafico (i, M SP EM ED ) con i = 1, . . . , 2 · 105 per un’opzione asiatica Call con media aritmetica di tipo APO con campionamento discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
36
36 37
37
Grafico M SP E per un’opzione barriera standard . . . . . . . . . Grafico (j, P rice) per un’opzione barriera standard . . . . . . . . Grafico M SP E per un’opzione Double Barrier . . . . . . . . . . . Grafico (j, P rice) per un’opzione Double Barrier . . . . . . . . . . Curve di stazionariet`a per un’opzione Partial-Time Single-Asset Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Grafico (j, P rice) per un’opzione Look Barrier . . . . . . . . . . .
73 73 74 74
4.1 4.2
Grafico M SP E per un’opzione forward start . . . . . . . . . . . . Grafico (j, P rice) per un’opzione forward start . . . . . . . . . . .
82 82
5.1 5.2 5.3
Grafico (j, P rice) per un’opzione Cliquet europea, N sim = 2.000.000 88 Grafico (j, P rice) per un’opzione Cliquet europea, N sim = 10.000 89 Grafico (j, P rice) per un’opzione Cliquet asiatica, N sim = 100.000 89
6.1
75 75
Grafico (j, P rice) per un’opzione Floating-Strike Lookback Put, N sim = 2.700.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2 15 Curve (i, M SP E) con i = 1, . . . , 10.000 per un’opzione FloatingStrike Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.3 Grafico (j, P rice) per un’opzione Floating-Strike Lookback Put, N sim = 10.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.4 Grafico (j, P rice) per un’opzione Fixed-Strike Lookback Call, N sim = 10.000.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
270
ELENCO DELLE FIGURE
6.5
15 Curve (i, M SP E) con i = 1, . . . , 10.000 per un’opzione FixedStrike Lookback Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.6 Grafico (j, P rice) per un’opzione Fixed-Strike Lookback Call, N sim = 10.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.7 Grafico (j, P rice) per un’opzione Fixed-Strike Lookback Call, N sim = 1.000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
Curve (i, M SP E) con i = 1, . . . , 1.000 per un’opzione put digitale Grafico (j, P rice) per un’opzione put digitale, N sim = 1.000 . . . Curve (i, M SP E) con i = 1, . . . , 10.000 per un’opzione put digitale Grafico (j, P rice) per un’opzione put digitale, N sim = 10.000 . . Grafico (j, P rice) per un’opzione put digitale, N sim = 49.000.000
8.1
Curva (i, M SP E) con i = 1, . . . , 8 · 105 per un’opzione Complex Chooser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Grafico (j, y∗) per una opzione Complex Chooser, i = 1, . . . , 8·105 , j = 1, . . . , 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Curva (i, M SP E) con i = 1, . . . , 5 · 105 per un’opzione Basket . . 132 Grafico (j, y∗) per una opzione Basket, i = 1, . . . , 5 · 105 , j = 1, . . . , 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Curve (i, M SP E) con i = 1, . . . , 80.000 per un’opzione Rainbow . 133 Grafico (j, y∗) per una opzione Rainbow, i = 1, . . . , 80.000, j = 1, . . . , 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Curve (i, M SP E) con i = 1, . . . , 500.000 per un’opzione Compound Put su Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Grafico (j, y∗) per una opzione Compound Put su Call, i = 1, . . . , 500.000, j = 1, . . . , 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
9.1 9.2
110 111 111 112 112
Curva (i, M SP E) con i = 1, . . . , 10.000 per un’opzione americana 144 Grafico (j, y∗) per un’opzione americana, i = 1, . . . , 38000, j = 1, . . . , 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
271
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