Studio dei transitori con il metodo delle trasformate di Laplace
Appunti a cura dell’Ingg. Basoccu Gian Piero e Marras Luca Tutors del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici A. A 2003/04 e 2004/05 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari (ultimo aggiornamento 11/02/2008)
Appunti a cura degli Ingg. Gian Piero Basoccu e Luca Marras, tutors del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
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STUDIO DEL TRANSITORIO CON IL METODO DELLE TRASFORMATE DI LAPLACE INTRODUZIONE Lo studio dei transitori nei circuiti di corrente comporta la risoluzione di equazioni integro-differenziali nel dominio del tempo di difficile risoluzione. Nella ipotesi di circuiti lineari (per i quali i parametri che caratterizzano il circuito, possono essere considerati costanti) il metodo delle traformate di Laplace consente di semplificare notevolmente la risoluzione di tali circuiti. Le funzioni f(t) integro-differenziali, definite nel dominio del tempo t, vengono trasformate nel dominio s (variabile di Laplace) in funzioni F(s) algebriche: dominio t f(t)
⇒ ⇒
dominio s F(s).
La trasformata di Laplace consente di calcolare la risposta di un circuito a (quasi) ogni tipo di eccitazione, permettendo, di calcolare la risposta libera e la risposta forzata, a partire da qualsivoglia condizione iniziale.
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La trasformata di Laplace permette di studiare funzioni f(t) definite per t≥0. Per le grandezze elettriche si assume che l’istante t=0 coincida con l’istante in cui ha inizio il fenomeno fisico che si intende studiare. Le condizioni sufficienti affinché esista la trasformata di Laplace della funzione f(t) sono: a) f(t)=0 f(t)≠0
per per
t<0 t ≥ 0,
l'ipotesi che f(t) = 0 per t < 0 e' necessaria per garantire la unicità della L-Trasformata
b) f(t) presenti un numero finito di discontinuità di prima specie (derivata sinistra ≠ derivata destra in un punto), ossia sia continua tratto per tratto, ∞
c)
∫
f (t ) e −σt dt sia un integrale convergente.
0
Se tali condizioni sono verificate per la f(t), esiste la trasformata di Laplace F(s). Perl’applicazione della trasformata di Laplace ai circuiti, si supporrà: s= σ+jω Appunti a cura dell’Ingg Basoccu Gian Piero e Marras Luca, tutori del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici per A.A. 2003/04 e 2004/05 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
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Per le funzioni di uso comune (trasformate notevoli) i valori delle F(s) sono riportati in tabelle. La trasformata di Laplace è definita attraverso l’operatore di integrazione, per mezzo del quale l’integrale e la derivata nel dominio del tempo diventano rispettivamente una moltiplicazione e una divisione nel dominio di Laplace. In matematica e in particolare nell'analisi funzionale la Trasformata di Laplace di una funzione f (t ), definita per tutti i numeri reali t ≥ 0, è la funzione F (s ) così definita:
Sia f(t) : R → C, f(t) = 0 per t ≤ 0 La L − trasformata di f(t) e': ∞
F(s) = L[f(t)] = ∫ f(t) ⋅ e − st dt 0
La anti − trasformata di F(s) e': σ + jϖ
0 0 1 st f(t) = L−1[F(s)] = F(s) e ds ⋅ ∫ j2π σ 0 − jϖ 0
F(s) e' funzione di s = σ + jϖ Esempio : f(t) = u(t) = δ −1 (t) ∞
∞
0
0
U(s) = L[u(t)] = ∫ u(t) ⋅ e − st dt = ∫ e − st dt =
− st ∞
e −s
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0
1 1 =0+ = s s 4
Proprietà delle trasformate: 1) Linearità La trasformata di Laplace è un operazione lineare,cioè: n
∑F
K( s )⇒
1
n
∑f
K(t
)
1
e
αF ( s ) ⇒ αf ( t ) 2) Similitudine Se si sostituisce s a ks con k∈R+ ∞
∫
F ( ks ) = e − ks f ( t )dt 0
se si effettua il cambiamento di variabile kt=τ ∞
1 − sτ F ( ks ) = e k
∫ 0
τ f dτ k
da cui: 1 τ f ⇒ F ( ks ) k k
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Traslazione dell’origine Se F(s) è la trasformata di f(t) , la trasformata f(t-k) con f(t-k)=0 per t>k è: f ( t − k ) ⇒ e − ks F ( s ) 3) Derivazione Se F(s) è l trasformata di f(t), la trasformata della derivata di ordine n di f(t) è data da: f n ( t ) ⇒ s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 + ) − s n − 2 f ' ( 0 + ) − ... − f ( 0 + )
ossia:
dn f (t ) n ⇒ s F( s ) − n dt
n
∑
sn− i f i −1 ( 0 + ).
i =1
Se f(t) è una serie ∞
f(t )=
∞
∑ f ( t ) ⇒ F( s ) = ∑ F ( s ) n
n=0
n
n=0
con f n ( t ) ⇒ Fn ( s ) n ∈ N ossia la trasformata di Laplace si ottiene facendo la trasformata di ciascun termine dello sviluppo in serie della funzione originale. Appunti a cura dell’Ingg Basoccu Gian Piero e Marras Luca, tutori del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici per A.A. 2003/04 e 2004/05 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
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4) Integrazione Se F(s) è la trasformata di f(t), la trasformata dell’integrale di f(t) è dato da:
∫
F ( s ) f −1 ( 0 + ) f ( t ) dt = + s s
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5) Teorema del valore iniziale:
( )
f 0 + = lim s{F ( s )} s →∞
Il valore iniziale della funzione f(t) nel dominio del tempo, ossia f(0), è uguale al limite per s→∝ della corrispondente trasformata F(s) moltiplicata per s.
Teorema del valore finale: f (∞ ) = lim s{F ( s )} s→ 0
Il valore finale della funzione f(t) nel dominio del tempo, ossia f(∝), è uguale al limite per s→0 della corrispondente trasformata F(s) moltiplicata per s. (Questa relazione può essere applicata soltanto quando tutte le radici del denominatore di sF(s) hanno parte reale negativa. Questa limitazione esclude dall’applicazione del teorema le funzioni applicate sinusoidali, poiché la funzione sinusoidale ha limite infinito indeterminato.)
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Trasformate di Laplace Tabella di conversione 1
f(t) 1
2
t
3
e -at
4
te -at
5
sin ωt
6
cos ωt
7
sin(ωt + θ )
8
cos(ωt + θ )
9
e -at sin ωt
10
e -at cos ωt
11
sinhωt
12
coshωt
F(s)
1 s 1 s2 1 s+a 1
( s + a )2 ω
s2 + ω 2 s s2 + ω 2 s sin θ + ω cos θ
s2 + ω 2 s cosθ - ω sinθ s2 + ω 2
ω
(s + a )2 + ω 2 s+a
(s + a )2 + ω 2 ω s2 -ω 2 s s2 -ω 2
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s n F (s ) - Σ in=1 s n-i f i -1 0 -
∫ f ( τ )dτ
F (s ) s
f(t - t 1 )
e -t1s F (s )
c1 f 1 ( t ) + c 2 f 2 ( t )
c1 F1 (s ) + c 2 F2 (s )
14 t
15
0
16 17
18
( )
sF (s ) - f 0 +
df dt dn f dt n
13
t
∫ f (τ ) f 1
0
2
(t − τ )dτ
( )
F1 (s )F2 (s )
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Metodi basati sulla decomposizione Se la funzione trasformata è una funzione razionale:
N ( s ) b0 s m + b1 s m − 1 + ... + bm − 1 s + bm F( s ) = = D( s ) a0 s n + a1 s n − 1 + ... + an − 1 s + an dove N(s) e D(s) polinomi nella variabile s e bi e ai numeri reali. Si deve scomporre D(s) per trovare le radici del polinomio: D( s ) = ( s − α 1 )r 1 ( s − α 2 )r 2 .......( s − α m )rm con r1, r2,…,rm ordine di molteplicità dei singoli fattori e m
∑ r = grado di D(s). i
i =1
Le soluzioni di N(s) sono gli zeri e le soluzioni di D(s) sono i poli.
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La funzione razionale può essere espressa come: N( s )
F( s ) =
nel caso di poli
n
∏ ( s − pi )
i =1
semplici:
F( s ) =
N( s ) n
∏ ( s − pi )
=
A B K + + ... + s − p1 s − p2 s − pn
i =1
riducendo a denominatore comune si ottiene un polinomio a numeratore in funzione dei parametri A,B,…K ,che deve essere uguale a N(s), e dal confronto si determinano le relazioni per determinare i parametri A, B, …,K, oppure si moltiplica per (s-pi) l’uguaglianza:
(s - pi) F ( s ) =
A(s - pi) B (s - pi) K (s - pi) + + ... + ... + K i + ... + s − pn s − p1 s − p2
e K i = lim (s - pi) F ( s ) s → pi
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Se i poli sono multipli: D( s ) = ( s − p1 ) n1 ⋅ ( s − p2 ) n 2 ⋅ .... ⋅ ( s − p1 ) nr r
con
∑n
i
= n grado del polinomio
1
k1n1 k11 k12 + + .... + + F(s) = n 1 2 (s - p1 ) (s - p1 ) (s - p1 ) + .................................................. + k rn r k r1 k r2 + + + ..... + 2 (s - p r ) (s - p r ) (s - p r )nr per determinare k11, k12, ….,k1n1 si moltiplica F(s) per il termine di potenza più alto:
(s - p1 )n1 F(s) = k11 (s - p1 )n1 −1 + k12 (s - p1 )n1 − 2 + ...... + k1, n1 -1 (s - p1 ) + k1 n1 + (s - p1 )n1
r
nr
i=2
j=1
k ij
∑ ∑ (s − p ) j
j
si esegue quindi il calcolo delle derivate di F(s) sino all’ordine n1-1: F’(s), F’’(s) ,…., Fn1-1(s)
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per s=pi il termine che contiene la sommatoria
∑∑ i
si
j
annulla. Si otterrà:
[
]
k1,n1 = lim (s - p1 )n1 F ' (s ) s → p1
[
]
d (s - p1 )n1 F ' (s ) k1,n1 -1 = lim s → p1 ds ...
[
]
1 d 2 (s - p1 )n1 F ' (s ) = lim 2 s → p1 2! ds
k1,n1 -r
d) Se i poli sono complessi coniugati:
k1 k1 * + s −α 1− jω1 s −α 1+ jω1
k1 = [(s −α 1− jω1 )F ( s )]s =α + jω = k1 ∠(φ1 ) 1
1
k1* = [(s −α 1+ jω1 )F ( s )]s =α 1− jω1 = k1 ∠(− φ1 ) La trasformata inversa sarà del tipo:
k1e
− s1 t
* * − s1 t
+ k1 e
[
[ ] ω ) ]=
= 2 Re k1e − s1t =
= 2 Re k1 e jφ1 e −(α 1+ j
1
t
= 2e −α 1t k1 cos(ω1t − φ1 ) Appunti a cura dell’Ingg Basoccu Gian Piero e Marras Luca, tutori del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici per A.A. 2003/04 e 2004/05 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
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Trasformazioni delle relazioni costitutive dei componenti e loro circuiti equivalenti nel dominio di Laplace
Si considerino i diversi componenti distinti in tre categorie: • generatori indipendenti, • componenti senza memoria, • componenti con memoria . Generatori indipendenti
Possono essere generatori di corrente o di tensione caratterizzati dall’avere la grandezza impressa, rispettivamente corrente e tensione, coincidente con una funzione assegnata f(t). Se la f(t) è trasformabile si ha rispettivamente: +
+ u(t)
+ U(s)
+ i(t)
I(s)
Dove le dimensioni di u(t) e di i(t) sono rispettivamente volt e ampere, mentre, in base all’operatore trasformata, le dimensioni di U(s) e I(s) sono rispettivamente volt×secondo e ampere×secondo. Infatti risulta che una trasformata ha le dimensioni della ∞
∫
F(s) = L [ f(t)] = f(t) ⋅ e− st dt 0
grandezza originaria moltiplicata per il tempo. Appunti a cura dell’Ingg Basoccu Gian Piero e Marras Luca, tutori del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici per A.A. 2003/04 e 2004/05 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
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Componenti senza memoria
Le relazioni costitutive di tali componenti non contengono legami di tipo integro-differenziale nel dominio del tempo. Sono componenti senza memoria il resistore, i generatori controllati, il nullore e il trasformatore ideale. Tutte le loro relazioni costitutive possono essere trasferite nel dominio della variabile s senza alcuna modifica, sotto l’ipotesi di linearità e permanenza. I parametri relativi mantengono le dimensioni originarie. Per esempio R=U(s)/I(s) ha le dimensioni di Ω.
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Componenti con memoria Tali componenti sono caratterizzati da relazioni costitutive di tipo integro-differenziale. La trasformata di Laplace permette di ridurre tali relazioni a semplici relazioni algebriche. Sono elementi con memoria il condensatore, l’induttore e gli induttori mutuamente accoppiati. Condensatore:
v(o-) rappresenta il valore iniziale della tensione ai capi del condensatore. Appunti a cura dell’Ingg Basoccu Gian Piero e Marras Luca, tutori del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici per A.A. 2003/04 e 2004/05 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
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Induttore
i(o-) rappresenta il valore iniziale della corrente che percorre l’induttore all’istante iniziale.
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Induttori mutuamente accoppiati
dove i1(o-) e i2(o-) rappresentano le correnti iniziali nell’induttore L1 e L2 rispettivamente. Per i componenti con memoria le relazioni costitutive trasformate sono di tipo algebrico ma non sono omogenee per la presenza dei termini noti relativi alle condizioni iniziali. Le trasformate delle relazioni costitutive dei componenti con memoria convertono le operazione di derivazione e integrazione in operazioni di moltiplicazione e divisione rispettivamente, perciò i componenti fittizi nel dominio di s si comportano come se fossero senza memoria. Appunti a cura dell’Ingg Basoccu Gian Piero e Marras Luca, tutori del corso di ELETTROTECNICA per meccanici e chimici per A.A. 2003/04 e 2004/05 Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari
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