Statitisk fysik – Minilex Henrik Dahl 15. januar 2006
Indhold 1 Sandsynlighedsteori
2
2 Fordelinger
2
3 Eksperimentelle usikkerheder
3
4 Parameterbestemmelse
3
5 Priors, entropi
3
6 Termodynamik 6.1 Kanonisk ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Eksempel: Ideal monoatomisk gas . . . . . . 6.2 Tryk-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Eksempel: Ideal gas med indre frihedsgrader 6.2.3 Ligefordelingsloven . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Store kanoniske ensemble . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Eksempel: Ideal gas . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
4 4 4 4 5 5 6 6 6 6 7
7 Kvantemekanik 7.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Kanonisk ensemble . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Generelt . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Eksempel: Frie partikler (i en æske) 7.2.3 Eksempel: Harmonisk oscillator . . 7.2.4 Eksempel: Roterende molekyle . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
7 7 8 8 8 8 9
1
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
1 SANDSYNLIGHEDSTEORI 8 Fermioner og bosoner 8.1 Fermioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Atomer, molekyler, halvledere, isolatorer 8.1.2 Metaller, tunge kerner, Fermi-energi, -gas 8.1.3 Hvide dværge og neutronstjerner . . . . 8.2 Bosoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Fotongas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
. . . . . . . . . . og -tryk . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
10 10 11 11 12 13 13
Sandsynlighedsteori
Sumregel
P (A|I) + P (A|I) = 1 (1.2)
Produktregel
P (AB|I) = P (B|I)P (A|BI) (1.3)
Uafhængighed
P (AB|I) = P (A|I)P (B|I) (p.12)
Generel sum- P (A + B|I) = P (A|I) + P (B|I) − P (AB|I) (1.5) regel I) P (T |DI) = PP(D|T P (T |I) (1.11). Bayes formel (D|I) i I)P (Ti |I) (1.13) Generaliseret: P (Ti |DI) = PP P(D|T (D|Tj I)P (Tj |I) j
2
Fordelinger PN
Middelværdi
hmi =
Varians
σ2 =
Tilstandssum
P λm Z(λ) = heλm i = N P (m|I) (p.22) m=1 e 0 (n) Z(0) = 1, Z (0) = hmi, Z = hmn i N ! (p.20) = M !(NN−M )! M Approx: ≈ N m /m! (2.20) N P (m|I) = pm (1 − p)N −m (2.3) m
Binom-koef
Binomfordeling
m=1
PN
mP (m|I) (2.5)
m=1 (m
− hmi)2 P (m|I) = hm2 i − hmi2 (2.6, p.22)
Middelværdi hmi = N p, varians σ 2 = N p(1 − p) (p.23), tilstandssum: Z(λ) = (peλ + (1 − p))N (p.22) Multinom-koef
B(n1 , . . . , nk ) =
N! n1 !···nk !
(p.24)
3 EKSPERIMENTELLE USIKKERHEDER
3
Multinom-ford
nk n1 P (n1 , . . . , nk |I) = B(n1 , . . . , nk )pP 1 · · · pk (2.9) Tilstandssum: Z(λ1 , . . . , λk ) = n1 ,...,nk eλ1 n1 +···+λk nk P (n1 , . . . , nk |I) (2.10) med hni i = N pi , hni nj i = N (N −1)pi pj +N pi δij (2.13,2.14), s˚ a σi2 = N p1 (1−pi ) (2.15)
Poissonford
P (m|I) = µm! e−µ (2.21) λ Tilstandssum: Z(λ) = eµ(e −1) (2.23), s˚ a hmi = µ og σ 2 = µ (p.30)
Normalford
p(x|µ, σ) =
m
√ 1 e− 2πσ
(x−µ)2 2σ 2
Tilstandssum: Z(λ) = e
3 Ophobningsloven δf =
4
(2.16) (µ+λσ 2 )2 −µ2 2σ 2
(2.17)
Eksperimentelle usikkerheder r
2
∂f ∂x1
δx21 + · · · +
∂f ∂xn
2
δx2n (3.6)
Parameterbestemmelse
P (D|θI) Prior, posterior P (θ|DI) = R P (D|θI)P dθ(4.2). Venstre side er posterior, første led p˚ a højre (θ|I)dθ side er likelihood og andet led p˚ a højre side er prior.
5
Priors, entropi
Jeffreys
p(m) = p(1)/m (5.3)
Entropi
S(p) = −
MaxEnt
P P Problem: Maksimer S(p) P = − i pi ln pi (5.13) s.t. i fk (xi )pi = hfk i = Fk for k = 1, . . . , m (5.12) og i pi = 1.
P
i
pi ln pi (5.10)
P
Løsning: pi = Z −1 e− k λk fk (xi ) (5.15) med Z = Egenskaber: P Entropi: S = ln Z + k λk Fk (5.19) ln Z Middelværdier: ∂∂λ = −hfk i = −Fk (5.20) k ∂ 2 ln Z Kovarianser: ∂λk ∂λl = hfk fl i − hfk ihfl i (5.21) ∂S = λk (5.22) Lagrangemultiplikatorer: ∂F k
− ie
P
P
k
λk fk (xi )
.
6 TERMODYNAMIK Varme: δS =
6
4
P
k λk δQk (5.24) med δQk ≡ δhfk i − hδfk i =
P
i
fk (xi )δpi (5.25)
Termodynamik p2n n=1 2mn
PN
Energi
E(r, p) =
Faserum
{p1x , p1y , p1z , . . . , pN x , pN y , pN z , x1 , y1 , z1 , . . . , xN , yN , zN } (p.70) med dimension 6N .
Ensembler
Kanoniske ensemble: U = hEi statistisk og kendt. V, N fuldstændig bestemte. λ ∼ T (p.72) Tryk-ensemble: U = hEi og hV i statistiske og kendte. N fuldstændig bestemt. λ ∼ T, p (p.72) Store kanoniske ensemble: U = hEi og hN i statistiske og kendte. V fuldstændig bestemt. λ ∼ T, µ (kemisk potentiale) (p.72) Mikrokanoniske ensemble: E, V, N fuldstændig kendt (Opg.6.4)
6.1
+ V (r1 , . . . , rN ) (6.1)
Kanonisk ensemble
6.1.1
Generelt P P P Maksimer S = − i pi ln pi s.t. i pi = 1 og hEi = i pi Ei = U (6.2, 6.3) Løsning: pi = Z −1 e−βEi , Z =
P
i
e−βEi , eller Z =
R
d3N r
R
d3N pe−βE(r,p) (6.4,6.5,6.6)
Varme
dQ = T dS (p.77). Varme svarer til ændring af systemets tilstandssandsynligheder, mens arbejde svarer til ændringer af Ei (hver faserumscelles energi) (p.80)
Varmefylde
C=
Arbejde
Arbejde er arbejde udført p˚ a systemets omgivelser δW = − δW = −pδV (6.23)
Helmholtz energi Tryk
dQ dT
∂E ∂a
δa (6.20).
fri F = − lnβZ = U − T S (6.26,6.27). Fortolkning: Det arbejde systemet kan udføre ved konstant temperatur. ∂F p = − ∂V for fastholdt T (6.29)
6.1.2 Antagelse
(p.77) (bør kaldes CV da V er fastholdt (p.85))
Eksempel: Ideal monoatomisk gas
Antagelse: Ingen vekselvirkning mellem atomer, dvs. V (r1 , . . . , rN ) = 0 og mn =
6 TERMODYNAMIK m, s˚ a E(r, p) = R
3N
d
r
R
Tilstandssum
Z=
Middelenergi
ln Z U = − ∂ ∂β =
5
p2n n=1 2m
PN
3N
d
pe
−βp2 /2m
=V
N
2πm β
3N/2
Entropi
= 32 N T (6.8) e3/2 S = ln Z + βU = N ln 2πmV (p.73) β 3/2
Temperatur
T = β −1 (p.75)
Boltzmanns konstant Varmefylde
kB = T 0 /T [J/K] = 1.38 · 10−23 J/K (6.13) C=
(6.7)
3N 2β
2
δU δT
ln Z = −β 2 ∂ ∂β = 32 N (6.14, 6.15, p.72)
og T dS = CdT (6.18) Arbejde
δ ln Z = βδW ved uændret temperatur (6.21)
Entropiændring δS = βδQ = β(δU + δW ) (6.22) (Korr. T δS = δU + δW (1.HS). 2πmV e3/2 N Helmholtz fri F = β − T ln (6.30) β 3/2 energi Tilstandsligning pV = N T (6.31)
6.2
Tryk-ensemble
6.2.1 Antagelser
Generelt
hV i og hEi = U kendt, N og T = β −1 givet (p.83)
Sandsynligheder pi (V ) = Z −1 e−βEi (V )−αV (p.83) E D ) Lagrangemultiplikator α = β − ∂E(V = Tp = pβ (6.33) ∂V P R∞
dV e−β(Ei (V )+pV (6.34)
Tilstandssum
Z(T, p) =
Entropi
S = ln Z + β(U + pV ) (6.35)
1. HS
dU = T dS − pdV (6.39)(tilført varme - minus arbejde p˚ a væggen)
Varmefylde
Cp =
∂U ∂T
i
0
+ p ∂V (6.43) - for konstant tryk ∂T
6 TERMODYNAMIK
6
Gibbs fri energi G(T, p) = − lnβZ = U + pV − T S (6.53, 6.54), s˚ a dG = −SdT + V dp + dW (6.55): Fortolkning som arbejde, der kan udføres af systemet ved konstant temperatur og tryk.
6.2.2 Energi Tilstandssum
Eksempel: Ideal gas med indre frihedsgrader i PN h p2n E(V ) = n=1 2m + V (xn − x) + Eindre (rn , pn ) P R∞
−β(Ei (V )−pV )
−N
Z = i 0 dV e = N !(βp) tilstandssum for molekyle, der ligger stille.
Z Tilstandsligning hV i = − β1 d ln = dp
N βp
Middelenergi
ln Z U = − ∂ ∂β − pV = enkelt molekyle.
Varmefylde
Cp =
3N 2
6.2.3
2m β
3N/2
Zi (β)N (6.44,6.45), hvor Zi er
⇔ pV = N T (p.86) 3N 2β
Zi + N ui (β) (6.46) med ui (β) = − d ln som middelenergi i dβ
i + N du + N (6.47) og CV = dT
3N 2
i + N du (6.48) dT
Ligefordelingsloven p2 2m
2 2
+ mω2 x (6.49) med
Tema
Varmefylde for harmonisk oscillator med energi E(p, x) = fast temperatur T = β −1
Vibrationer
Rotationer
R∞ R∞ π ln Z Zvib = −∞ dp −∞ dxe−βE(p,x) = βω (p.87). Uvib = − d dβ = T (p.87), s˚ a Cvib = 1 q , Utr = T /2 og Ctr = 1/2 (6.50) Ztr = 2πm β q R∞ R 2π med Urot = T /2 og Crot = 1/2 (6.51) Zrot = −∞ dL 0 dφe−βE(L,φ) = 2π 2πI β
Molekyle
C=
Translation
Ntr 2
6.3
+ Nvib +
Nrot 2
(6.52)
Store kanoniske ensemble
6.3.1
Generelt
Variabelt antal partikler, men hN i kendt. fri F (T, V, N ) = −β ln(Z/N !) (6.84)
Helmholtz energi Kemisk poten- µ = tial
∂F ∂N
(6.85)
7 KVANTEMEKANIK P P
e−βEi (N ) βµN e N!
7
Tilstandssum
Z=
Entropi
S = ln Z + β(U − µN ) (6.87)
N
i
(6.86)
Termodynamisk Ω = − lnβZ = U − T S − µN (6.88). Vi f˚ ar T dS = dU − µdN + dW og dΩ = potential −SdT − N dµ + dW (6.89, 6.90) Tryk
pV = − lnβZ (6.93)
6.3.2 Tilstandssum
Eksempel: Ideal gas !N p2 P V N R 3 −β 2m −µ 2πm 3/2 βµ Z = N N! d pe = eV ( β ) e (6.94) − Vβ
2πm β
3/2
Termodynamisk Ω = eβµ (6.95) potential hN i = − ∂Ω = − Ωβ (6.96). Middelantal ∂µ partikler pV = hN iT (6.97) Tilstandsligning
7
Kvantemekanik
7.1
Generelt P
Tæthedsmatrix ρ = (7.3).
i wi |ψi ihψi | (p.109) med
P
i
wi = 1 og 0 ≤ wi ≤ 1. Der gælder, at Tr[ρ] = 1
Middelværdi
ˆ (7.2) hAi =Tr[Aρ]
Entropi
S = −Tr[ρ ln ρ] (7.7)
MaxEnt
Problem: Find ρ, der maksimerer S = −Tr[ρ ln ρ] med hfk i =Tr[fˆk ρ] = Fk (7.8) Løsning: ρ = Z −1 e− P
Tilstandssum
Z =Tr[e−
Middelværdier
−hfˆk i =
Entropi
S = ln Z +
k
λk fˆk
∂ ln Z ∂λk
P
k
λk fˆk
(7.9)
] (7.10)
= −Fk (7.11)
P
k
λk Fk (7.12)
7 KVANTEMEKANIK
Lagrangemultiplikatorer
∂S ∂Fk
8
= λk (7.13)
7.2
Kanonisk ensemble
7.2.1
Generelt
Kontekst
Middelenergi hHi er kendt (p.111)
MaxEnt ssh
ρ = Z −1 e−βH (7.14). Diagonal, hvis der anvendes energiegentilstande. Da er Ei −βE egenenergierne, og pi = e Z i (7.15).
Tilstandssum
- og Z =
7.2.2 Antagelser
Hamilton part)
P
i
e−βEi (7.16)
Eksempel: Frie partikler (i en æske)
Dimensioner Lx , Ly , Lz kendte, V = Lx Ly Lz givet, ingen vekselvirkning, ingen indre frihedsgrader, ens partikler (p.112) (1 H =
p2 2m
(p.112) eik·r/~ √ V
Egentilstande
ψk (r) =
Egenenergier
k =
~2 k 2 2m
Bølgetal
kx =
π n Lx x
(p.112)
(p.112) med nx = 1, 2, . . . (p.113)
N partikler
3/2 R 3 −β ~ (k2 +k2 +k2 ) V 2πm y z 2m x Z1 = (2π) d ke (7.18), dvs. Z = V (7.19) (NB: h og 1 2 βh2 ikke ~) - Antagelse - tilstrækkeligt stor kasse. 3N/2 Z = Z1N = V N 2πm (7.20) βh2
Karakteristisk temperatur Regler
~ π Tk ≡ 2mL 2k B Hvis Tk T - Kvantemekanik - ellers klassisk OK. Ex. Tk ≈ 104 K for elektron i nm-kasse, 103 K for atom i fast stof. Jo større m, T, L jo mere klassisk er systemet.
Tilstandssum
2 2
7.2.3 Hamilton part) Egenenergier
(1 H =
p2 2m
Eksempel: Harmonisk oscillator +
mω 2 x2 2
(p.115)
n = ~ω(n + 1/2), n = 0, 1, 2, . . . (p.115)
7 KVANTEMEKANIK
Tilstandssum Middelenergi
Z=
P∞
n=0
hHi = U =
Middelkvantetal hni =
1 eβ~ω −1
S = ln Z + βU =
Varmefylde
C=
Egenskaber
Se p.116
x ex −1
= −β 2 ∂U = ∂β
7.2.4 Hamilton, part
= ~ω
(7.21)
1 eβ~ω −1
+
1 2
(7.22)
(7.23)
Entropi
∂U ∂T
e−β~ω/2 1−e−β~ω
e−βn = ln Z − ∂ ∂β
9
− ln(1 − e−x ) med x = β~ω (7.24)
x2 ex (e2 −1)2
(7.25)
Eksempel: Roterende molekyle p21
p2
1 H = 2m1 + 2m22 + V (r2 − r1 ) (7.29). Transformation i CM-bevægelse og relativ bevægelse (7.29): M = m1 + m2 P = p1 + p2 s = r2 − r1 m 1 r 1 + m 2 r2 R= M m1 p2 − m2 p1 p= M m1 m2 m= M Giver
P2 p2 H= + + V (s) = HT + Hi 2M 2m Approksimation af V til 2. orden giver harmonisk oscillator potential. Desuden opskrivning i sfæriske koordinater: Hi ≈ Rotationsdelen: Hr = 2l + 1. Tilstandssum, rotation
P∞
L2 2I
+ 1)e−l(l+1)
mω 2 (s − s0 )2 p2s L2 + + V (s0 ) + 2m 2 2ms20 2
med egenværdier l = l(l + 1) ~2I (7.30) med udartning β~2 2I
2I (7.31). For høj temperatur: Z ≈ β~ 2 , U ≈ T , C ≈ 1. 2 2 2 2 β~ 2 β~2 − β~ − β~ I , C ≈ 3 I For lav temperatur: Z ≈ 1 + 3e− I , U ≈ 3~ e e (p.119) 2I 2I
Z=
l=0 (2l
8 FERMIONER OG BOSONER
8
10
Fermioner og bosoner
Definition
Fermioner: Antisymmetrisk bølgefunktion, dvs. Ψ(r1 , r2 ) = −Ψ(r2 , r1 ). Bosoner: symmetrisk bølgefunktion, dvs. Ψ(r1 , r2 ) = Ψ(r2 , r1 ).
Pauliprincip
To identiske fermioner kan ikke eksistere i samme tilstand
Slaterdeterminant
P Baggrundsmodel: Ikke-vekselvirkende fermioner H = N i=1 H1 (ri , pi ) med f.eks. R ρ(s) 3 p2 e H1 = 2m + V (r), og V (r) = V0 (r) + 4π0 |r−s| d s for elektroner (8.1, 8.2, 8.3) Løsning til en-partikelproblem: H1 φ(r) = εφ(r) (8.4) Løsning til mange-partikelproblem: HΨ(r1 , . . . , rN ) = EΨ(r1 , . . . , rN ) med Ψ(r1 , . . . , rN ) = φi1 (r) · · · φiN (rN ) og E = ε1 + · · · + εN (8.5, 8.6, 8.7) Slater-determinant (8.8): φi (r1 ) · · · φi (r1 ) 1 N 1 . .. . . . Ψ(r1 , . . . , rN ) = √ . . . N ! φi1 (rN ) · · · φiN (rN )
Egenskaber: Normeret, har korrekt energi, antisymmetrisk, opfylder Pauli-pricippet. Tilsvarende for bosoner: Bose-permanent. Besættelsestal
Energiegentilstande |n for i’te energitilstand. P1 , n2 , . . .i hvor ni er besættelsestalletP Energien er da E = i ni εi og samlet antalpartikler N = i ni (8.9, 8.10, 8.11). For fermioner er ni = 0, 1, for bosoner er ni ≥ 0 (p.126)
NB!
Bemærk: Bundne tilstande af elementarpartikel-fermioner kan være fermion (ulige antal elementarpartikler) eller bosoner for lave energier. Ex. p+ , n er 3 quarks, dvs. fermioner. Ex. Kerner med ulige antal nukleoner er fermioner, men kerner med lige antal nukleoner kan være bosoner, f.eks. He4 kerne eller -atom. (p.141). Klassen af bosoner er i praksis meget større end af fermioner.
8.1 Elementarpartikler
Fermioner
νµ ντ u c t νe , , , (p.141) (+ antipartikler og , , − − − τ d s b µ e farver r, g, b)
8 FERMIONER OG BOSONER
11 P
Model: Store kanoniske ensemble: 8.13)
Tilstandssum
Z=
Middelbesættelsestal Fermi-fordeling
hni i =
HOMO
Den højest besatte molekylære orbital (”Highest Occupied Molecular Orbital”) med energi H (p.128)
LUMO
Den laveste ubesatte molekylære orbital (”Lowest Unoccupied Molecular Orbital”) med energi L (p.128)
i
ni εi = E, med ni = 0, 1 (8.12,
Q −β(εi −µ) e−β(E−µN ) = P ) (8.14, 8.15). i (1 + e ∂ ln Z 1 (8.16) β = U − µhN i = (ε − µ) i i ∂ eβ(εi −µ) +1 P
1 eβ(εi −µ) +1
(8.18)
1 nF () = eβ(−µ) (8.18). Giver antal fermioner i en en-partikeltilstand med energi +1 i system med kemisk potential µ. Kan tænke p˚ a den som step-funktion (fuld besættelse for T µ og tomme tilstande for T µ (p.128)
8.1.1 Generelt
i ni = N ,
P
Model
Atomer, molekyler, halvledere, isolatorer
Betragter elektroner i situationer, hvor der er energigab L − H ∼ 1 eV
Kemisk poten- Molekyle med HOMO-energiniveau-udartning gq H , LUMO-energiniveau-udartning tial med udart- gL giver kemisk potential µ(T ) = H +L + T ln gH for T L − H (Opg. 8.2) 2 gL ning L −H − d.o. varmefylde For samme molekyle er varmefylden for T L −H Cµ = (gL L −gH H ) L2T 2H e− 2T (Opg. 8.3) Konklusion
Elektronernes bidrag til varmefylden for T L − H er eksponentielt undertrykt (p.130)
8.1.2 Model
Metaller, tunge kerner, Fermi-energi, -gas og -tryk
En-partikeleergier meget tætliggende, ikke noget energigab - s˚ a se p˚ a partikel 2 2 i en kasse med sidelængde L. Det giver en-partikel-spektrum k = ~2mk med k = (kx , ky , kz ) = (nx , ny , nz ) Lπ og nx , ny , nz ∈ Z+ (8.24)
Tilstandstæthed For L stor haves spektrum med tilstandstæthed ρ(). Den findes ved at betragte funktion R(), som angiver antal tilstande med energi mindre end q . Da er ρ() = R0 (). Tilstande med samme energi er kugle med radius k = 2m ~2 (8.25). R-funktionen bliver lig med rumfanget af den positive oktant af en kugle
8 FERMIONER OG BOSONER
12 1 4
πk3
med radius k, divideret med størrelsen af en tilstand, dvs. R() = 8 3π3 . UdregL3 V k3 2m 3/2 3/2 3 V 2m 3/2 √ (8.26, 8.27) ning giver R() = V 6π2 = 6π2 ~2 og ρ() = 2 6π2 ~2 Fermi-energi
Fermi-energien F er det kemiske potential for T = 0, som adskiller fyldte fra tomme tilstande (p.131,133)
3/2 3/2 Partikeltal og - Der gælder hN i = R(F ) og n = N = 6π1 2 2m F (8.28, 8.29) V ~2 tæthed Fermigas ved T F (p.133) Degenereret Fermi-gas Rækkeudvikling i T /F , som er lille for T F . Ser p˚ a energi-integral I(f ) = SommerfeldR∞ f ()n ()d. Stamfunktion for f () kaldes F (). Rækkeudvikling af F () F udvikling −∞ 2 omkring µ til anden orden giver I(f ) = F (µ) + π6 f 0 (µ)T 2 (8.30, 8.31, 8.32, 8.33) Partikeltal
For degenereret Fermi-gas givet ved hN i = 2 N = R(µ) + π6 ρ0 (µ)T 2 (8.35, 8.36)
R
ρ()nF (ε)d. Sommerfeld giver
Kemisk poten- For0 degenereret Fermi-gas givet ved rækkeudvikling omkring µ = F : µ = F − π 2 ρ (F ) 2 tial T (8.37, 8.38, 8.39) 6 ρ(F ) 2 2 - for fri partikel µ = F 1 − π12 TF (8.40). Konklusioner: Kemisk potential afviger kun langsomt fra F , og korrektion afhænger kun tilstandstætheden omkring F (p.134) Varmefylde
Fermitryk
2
2
C = π3 ρ(µ)T = N π2 TF (8.41,8.42). Gælder frie urelativistiske partikler. Konklusion: Elektroner bidrager ikke til varmefylde i et metal. Varmefylde proportional med T /F ∼ 10−2 N ved stuetemperatur (p.135) 2N 5π 2 T 2 p = 5 V F 1 + 12 2 (8.43, 8.44, 8.45, 8.46). Konklusion: Fermitryk meget F
højere end klassisk tryk. Der gælder ppkl = 25 TF ∼ 180 ved stuetemperatur (8.47). Skyldes Fermi-princippet, som giver høj elektronimpuls ogs˚ a ved lav temperatur (p.136)
8.1.3
Hvide dværge og neutronstjerner
Se p. 136-141
8 FERMIONER OG BOSONER
8.2 Elementarpartikler Model
Bose-funktion Karakteristisk temperatur
13
Bosoner
γ, W ± , Z, g (p.141) P P Q P −β(i −µ)ni Partikeltal N = = i ni , E = i i n i , Z = i Zi med Zi = ni e 1 (8.69, 8.70, 8.71, 8.72, 8.73, 8.74) 1−e−β(i −µ) nB () = hni i =
1 ∂ ln Zi β ∂µ
=
1 eβ(i −µ) −1 ~2 2ml2
4/3
(8.75) V hN i
1/3
TB = el (2π) med el = l= (8.81, 8.82). Jo større tæthed, n, desto kortere afstand l, desto højere karakteristisk temperatur TB .
R∞ √ Kritisk temper- Tc = g1/2 (1)−2/ TB med g1/2 (e−βµ ) = 0 e−βµ exx −1 dx (8.79, 8.86) atur 3/2 g (z) 9 g1/2 (z) 5 T Varmefylde C = hN i 52 g3/2 − for T > T og C = hN i c 2 g−1/2 (z) 2 Tc 1/2 (z) (8.90, 8.91)
8.2.1 Model
Fotongas
= pc = ~ck (relativistisk partikel, 8.92)
Tilstandstæthed R() =
2 18
4π 3
3
( ~c ) =V 3 ( 2π L )
π 3 , 3 (hc)3
2
ρ() = V π (hc) 3 (8.93, 8.94)
Kemisk poten- µ = 0 tial 1 π4 4 = aT 4 (8.95) Temodynamisk Ω = −pV = − β1 ln Z = V π3 (hc) 3 15 T potential i 2π 3 = (hc) med ζ= 2.4041 (8.97) n = hN 3 ζ3 T Fotonantal V Tryk
p=
90ζ3 nT π3
StefanBoltzmans lov
u=
U V
= 3.49nT (8.98) - svarende til klassisk.
= − V1
∂ ln Z ∂β
∂p ∂p = −β ∂β = T ∂T = σT 4 (8.99)
g3/2 (1) g1/2 (1)
for T < Tc