1 - Funzioni periodiche
Serie di Fourier M. Bertero – DISI – Università di Genova
- Funzioni periodiche - Serie di Fourier di una funzione periodica - Esempi di serie di Fourier - Prodotto di convoluzione
Definizione di funzione periodica – Si dice che una funzione f(t) ha periodo T o che è periodica con periodo T se, per ogni t, f(t+T) = f(t), dove T è una costante positiva. Il valore piu’ piccolo di T > 0 è detto il periodo principale o il periodo fondamentale o semplicemente il periodo di f(t). Esempio 1 – La funzione sin(2π t) ha i periodi 1, 2, 3, 4, ..... Il periodo fondamentale è 1. Esempio 2 – Se f(t) ha periodo 1, allora la funzione F(t) = f(t / T) ha periodo T. Esempio 3 – Se f(t) ha periodo T, allora, per ogni a reale:
- Discretizzazione della serie di Fourier a +T
∫
T
f(t)dt =
Definizione di prolungamento periodico – Se la funzione f(t) è definita sull’intervallo |t| < T/2, allora la funzione F(t) definita da:
T f(t) , t < 2 F(t) = f(t - kT) , k intero tale che t - kT < T 2 è periodica con periodo T e dicesi il prolungamento periodico di f(t). Definizione di funzione continua a tratti – Una funzione f(t) definita sull’intervallo [a,b] dicesi continua a tratti su [a,b] se è limitata e se esiste una suddivisione di [a,b] , a = t1 < t2 < ..... < tn = b, tale che : - f(t) è continua in ognuno dei sotto-intervalli aperti t j < t < t j+1 ; - esistono sia il limite destro che quello sinistro di f(t) in ognuno dei punti t j di suddivisione.
∫
.
f(t)dt
(1)
0
a
Si considerino le funzioni a valori reali, periodiche con periodo T :
uk (t) = cos ( 2π k
t ) T
,
vk (t) = sin ( 2π k
t ) T
e le corrispondenti funzioni a valori complessi :
z k (t) = u k (t) + i v k (t) = e
i 2 πk
t T
.
(2)
Valgono le condizioni di ortogonalità : + T/ 2
∫ z (t)z (t)dt = Tδ k
* j
k,j
.
(3)
−T/ 2
dove δk,j è il simbolo di Kronecker, eguale a1 se k=j, eguale a zero se k diverso da j.
Tra le funzioni periodiche rivestono particolare importanza i cosiddetti polinomi trigonometrici, definiti da:
T N (t) =
+N
∑c
k = -N
k
+N
∑c
z k (t) =
k = -N
k
e
i 2πk
t T
.
Esempio – Si consideri un polinomio trigonometrico i cui coefficienti sono tutti eguali a 1/T; tale polinomio viene detto nucleo di Dirichlet e indicato con:
D N (t) =
(4) Dalla relazione:
w = e
,
i 2π
t T
D N (t) =
Dalle condizioni di ortogonalità segue la seguente formula per i coefficienti di un polinomio trigonometrico:
1 ck = T
T/ 2
∫T
N
(t)z *k (t)dt .
(5)
−T/ 2
ck =
- Vale la seguente relazione che è un caso particolare della (5) : T /2
∫ f (t ) dt
.
(7)
- Un polinomio è a valori reali se e solo se valgono le relazioni:
c = c-k
.
(8)
(6)
kT , k= ±1,± 2,±3,.... 2N +1
,
c
-k
=
1 (a k + ib k ) . 2
(11)
- Un polinomio è a valori reali e pari se e solo se:
c*k = c-k = ck
;
(12)
T N (t) =
1 a0 + 2
N
∑a k =1
k
cos ( 2 π k
t ) T
.
(13)
- Un polinomio è a valori reali e dispari se e solo se: (9)
c*k = c-k = -ck
;
(14)
esso ammette la rappresentazione:
con coefficienti reali dati da:
ak = ck + c-k
t T sin (π ) T
t ] T .
esso ammette la rappresentazione:
- Un polinomio a valori reali può anche essere scritto nella forma seguente: N t t 1 TN(t) = a0 + ∑ ak cos( 2π k ) + bk sin( 2π k ), T T 2 k =1
sin [( 2 N + 1 )π
1 (a k -ib k ) 2
−T / 2
* k
N
Si osservi che valgono le relazioni inverse:
Alcune proprietà dei polinomi trigonometrici
1 T
.
k
Tale funzione ha un massimo globale in t =0, dove prende il valore 2N+1/T, e ha zeri del primo ordine nei punti:
tk =
c0 =
∑ z (t)
k = -N
2
segue che:
.
N
1-w N +1 , 1 + w + w + ...... + w = 1-w
Osservazione – Si dicono polinomi trigonometrici poichè, per ogni k, vale la relazione:
z k (t) = w k
1 T
,
bk = i(ck - c-k ) .
(10)
T N (t) =
N
∑b k =1
k
sin ( 2 π k
t ) . T
(15)
Approssimazione di una funzione periodica mediante un polinomio trigonometrico Data una funzione periodica f(t) con periodo T ed un polinomio trigonometrico di grado N, con coefficienti ck, si può valutare l’accuratezza con cui tale polinomio approssima la funzione f(t) mediante l’ errore ’’quadratico medio’’: + T/ 2
1 ε 2(f;c 1 ,....,c N ) = T
∫
2
f(t)-T N (t) dt .
(16)
-T/ 2
Definizione dei coefficienti di Fourier – Data una funzione f(t), periodica con periodo T, i suoi coefficienti di Fourier sono definiti da:
1 fk = T
+ T/ 2
1 f(t)z (t)dt = ∫ T -T/ 2
+ T/ 2
∫
* k
f(t)e
- i 2π k
t T
dt , k = 0 , ± 1,....
(17)
-T/ 2
Teorema 1 – Il polinomio trigonometrico che minimizza l’errore quadratico medio di Eq. (11) è quello i cui coefficienti coincidono con i coefficienti di Fourier di f(t), cioè si ha il minimo quando ck = fk .
Si pone allora la questione seguente: qual’è il polinomio trigonometrico di grado N che fornisce la migliore approssimazione di f(t), nel senso che minimizza l’errore quadratico medio precedentemente definito ? Il fatto interessante è che la risposta a questo quesito non dipende da N ed è fornita dai cosiddetti coefficienti di Fourier della funzione f.
ε
Dimostrazione : Sviluppando il modulo quadro si ha: 1 (f; c1 , ...., c N ) = T
2
+
+N
∑ c*k c j
k,j = -N
ε
Dalle condizioni di ortogonalità (3) segue che:
2
+
(f; c 1 , ...., c +N
∑
ck
k = -N
2
=
N
1 )= T
+N
∑
k = -N
+ T/ 2
∫
ck − f k
{
k = -N
2
+
1 T
+ T/ 2
∫
2
{
k = -N
-T/ 2
}
+
+ T/ 2
∫ z (t)z (t)dt * k
j
.
-T/ 2
Definizione di serie di Fourier di una funzione periodica – Sia f(t) una funzione periodica con periodo T e siano fk i suoi coefficienti di Fourier definiti in (12); dicesi serie di Fourier di f la funzione definita dalla serie:
}
f(t) dt - 2 ∑ Re c f k +
-T/ 2
∫
+N
f(t) dt - 2 ∑ Re c*k f k
2 - Serie di Fourier di una funzione periodica
+N
2
1 T
+ T/ 2
* k
+N
2
f(t) dt -
∑
k = -N
-T/ 2
fk
2
,
s f (t ) =
+∞
∑
k = -∞
f k z k (t) =
+∞
∑
k = -∞
fke
i 2 πk
t T
,
(19)
in tutti i punti dove questa converge. e quindi si ha il minimo per ck = fk .
Osservazione – Se i coefficienti di Fourier soddisfano la condizione:
ε
Osservazione – Il valore minimo dell’errore quadratico medio è :
2
(f; f 1 , ...., f
N
)=
1 T
+ T/ 2
∫
-T/ 2
+∞
∑
k = -∞ +N
f(t) dt- ∑ f k 2
k = -N
2
.
(18)
fk < ∞
,
allora la serie di Fourier converge uniformemente per ogni t ed è quindi una funzione continua. Se la funzione f è definita solo sull’intervallo [-T/2, T/2], la sua serie di Fourier, se convergente a f, ne definisce il prolungamento periodico con periodo T.
Proprietà elementari delle serie di Fourier
- Se la funzione f(t) è a valori reali, allora i suoi coefficienti di Fourier soddisfano la condizione fk* = f-k e quindi anche la sua serie di Fourier è a valori reali. Se, come nel caso dei polinomi trigonometrici, si introducono i coefficienti reali:
a k = f k + f -k
b k = i (f k - f -k ) .
,
1 f-k = (ak + i bk ) 2
,
.
(21)
+∞ 1 t t a0 + ∑ ak cos ( 2π k ) + bk sin( 2π k ) . 2 T T k =1
f N (t) =
N
∑
k = -N
fke
i 2πk
t T
(25)
forniscono, per ogni N, la migliore approssimazione, nel senso dell’ errore quadratico medio, della funzione f(t). Si pone quindi la questione: al limite per N che tende all’infinito, l’errore quadratico medio tende a zero ? Vale il seguente Teorema, di cui non sarà data la dimostrazione:
Teorema 2 – Se la funzione f(t) soddisfa la condizione: + T/ 2
∫
f(t) dt < ∞
+ T/ 2
lim
N →∞
∫
∑b k =1
k
sin ( 2π k
t ) . T
(24)
Corollario – Dai Teoremi 1 e 2 segue la relazione:
1 T
+ T/ 2
∫
f(t) dt = 2
+∞
∑| f
k = -∞
-T/ 2
|2
k
(28)
che viene detta eguaglianza di Parseval. Essa implica la seguente eguaglianza di Parseval generalizzata:
1 T
+T/ 2
∫
f(t)g*(t)dt =
+∞
∑f g
k =-∞
-T/ 2
k
* k
,
(29)
che si ottiene applicando l’eguaglianza di Parseval alle seguenti identità: 2
(26)
∫ f +g =∫ f 2
-T/ 2
allora:
+∞
(22)
Il Teorema 1, precedentemente dimostrato, indica che le ridotte della serie di Fourier, ossia i polinomi trigonometrici del tipo:
(23)
- Se la funzione f(t) è a valori reali e dispari, allora i suoi coefficienti di Fourier soddisfano la condizione fk = - f -k e quindi sono immaginari e dispari. La serie di Fourier corrispondente è reale e dispari. Poichè ak =0, essa può anche essere scritta nella forma seguente:
s f (t ) =
si ottiene la forma reale delle serie di Fourier di f(t):
s f (t ) =
+∞ 1 t a 0 + ∑ a k cos ( 2π k ) . 2 T k =1
s f (t ) =
(20)
con le relazioni inverse:
1 f k = (ak - i bk ) 2
- Se la funzione f(t) è a valori reali e pari, allora i suoi coefficienti di Fourier soddisfano la condizione fk = f - k e quindi sono anch’essi reali e pari. Anche la sua serie di Fourier è reale e pari. Poichè bk=0, essa può anche essere scritta nella forma seguente:
f(t)-f N (t) dt = 0 , 2
-T/ 2
si ha cioè convergenza in media quadratica.
(27)
∫ f + ig = ∫ f 2
2
2
+ ∫ g + 2 Re∫ fg* 2
+ ∫ g + 2 Im∫ fg* 2
Oltre al risultato di convergenza in media quadratica, sono stati dimostrati svariati risultati di convergenza puntuale. Sia f(t) una funzione a variazione limitata sull’intervallo (-T/2,T/2); se la funzione è continua in un punto t 0, allora:
;
se invece t 0 è un punto di discontinuità e se f(t 0 – 0) e f(t 0 + 0) sono rispettivamente limite sinistro e limite destro di f(t) in t 0 :
,
1 [ f(t 0 + 0 ) + f(t 0 − 0 )] . 2
+ T/ 2
∫D
N
(t-t')f(t' )dt'
-T/ 2
∫D
N
(u)f(t-u)du
,
.
T/ 2
f N (t) =
Il precedente argomento può essere reso rigoroso nel caso in cui la funzione f(t) è a variazione limitata usando il secondo teorema della media.
N
(u) { f(t + u) + f(t - u) }du .
0
Proprietà del nucleo di Dirichlet Il nucleo di Dirichlet gode delle seguenti proprietà : - Per ogni ε1 , ε2 tali che: 0 < ε1 < ε2 < Τ/2 oppure – T/2 < ε1 < ε2 < 0, si ha: 2
lim ∫ D N (t)dt = 0
N →∞
- Per ogni ε > 0 si ha :
;
(30)
.
(31)
1
+
1 { f(t + 0 ) + f(t − 0 )} , 2
dove si è tenuto conto del fatto che il nucleo di Dirichlet è una funzione pari con integrale eguale ad 1.
∫D
lim
N →∞
∫D
-
N
(t)dt = 1
La prima proprietà si ottiene mediante una semplice integrazione per parti, osservando che il denominatore non si annulla sugli intervalli in questione. La seconda segue dalla prima e dall’identità : +T/ 2
+
-T/ 2
-
1 = ∫ DN(t)dt = ∫ DN(t)dt +
∫ D (t)dt
ε
0
i 2 π k Tt = dt' e
ε
f N (t) ≅ { f(t + 0 ) + f(t − 0 )} ∫ DN (u)du =
t' T
-T/ 2
da cui:
Dalle proprietà del nucleo di Dirichlet segue che DN(u) ha un picco molto alto e molto stretto in un intorno di u = 0. L’altezza del picco tende all’infinito quando N tende ad infinito, mentre la sua larghezza tende a zero. E’ quindi ragionevole che, per N molto grande, il contributo prevalente al precedente integrale provenga da un intorno destro del punto u = 0. Si può quindi approssimare l’integrale come segue: T/ 2
- i 2 πk
+ T/ 2
ε
N →∞
1 T T T ) = f( − 0 ) + f( − + 0 ) 2 2 2 2
k = -N
f N (t) =
Infine, se i valori di f(t) in T/2 e – T/2 non coincidono:
lim f N( ±
∑e
f(t')dt' =
t-t' T
i 2 πk
+ T/ 2 ∫ f(t')e ∑ k = -N -T/ 2 N
ε
N →∞
+N
1 = T
dove DN(t) è il nucleo di Dirichlet, calcolato nell’ esempio di pag. 6, la cui espressione è data in Eq. (6). Mediante un semplice cambiamento di variabile si ha:
si ha allora:
lim f N (t 0 ) =
1 = ∫ T -T/ 2
fke
t T
ε
↓0
+ T/ 2
∑
k = -N
i 2 πk
ε
ε
ε
f(t 0 ± 0 ) = lim f(t 0 ± )
f N (t) =
N
ε
lim f N (t0 ) = f(t0 )
N →∞
Al fine di giustificare i risultati precedenti, consideriamo la ridotta di ordine N della serie di Fourier, così come è definita nell’eq. (25). Se in tale equazione si sostituisce l’espressione dei coefficienti di Fourier, data nell’Eq. (17), si ottiene:
N <|t|
.
Definizione del pettine di Dirac Il limite (nel senso delle distribuzioni) del nucleo di Dirichlet è il cosiddetto pettine di Dirac, cioè la funzione generalizzata δ T(t) che gode delle seguenti proprietà:
Relazione tra regolarità della funzione e comportamento dei coefficienti di Fourier - Se la funzione periodica f(t) è integrabile su [-T/2, T/2 ], allora :
fk ≤
- δT (t ± kT) = δT (t) perogni k = 1, 2, .... ; - δT (kT) = +∞ ; δT (t) = 0 , per t ≠ kT ; k = 0, ±1, ± 2, .... ;
∫ δ (t)f(t)dt = f( 0 )
∫
f(t) dt
,
-T/ 2
lim f k = 0
;
T
T/ 2
ed inoltre, per il Teorema di Riemann-Lebesgue :
T/ 2
.
k →±∞
- Se la funzione periodica f(t) ha derivate continue fino all’ordine n, allora :
-T/ 2 t i 2πk T
1 ∑e T k =-∞
-
δT(t) =
-
δT(t) = ∑δ (t - kT)
n
1 T/ 2 (n) T ∫ f (t) dt , -T/ 2
T f k ≤ 2 k π
;
+∞
.
essendo f (n) (t) la derivata n-esima di f(t). Si vede quindi che i coefficienti di Fourier tendono a zero tanto più rapidamente quanto più regolare è la funzione.
k =-∞
Nell’ultima equazione δ(t) indica l’usuale distribuzione delta di Dirac.
Dimostrazione – Si osservi preliminarmente che l’ipotesi di regolarità della funzione implica che le sue derivate soddisfino alle seguenti ‘’condizioni al contorno’’ : f (m)(-T/2) = f (m)(T/2) per m = 0, 1, ..., n. Mediante una prima integrazione per parti si ottiene:
T 1 (1) = 2 i k T ∫ f (t)e -T/ 2 T/ 2
t - i 2πk T
dt
Esempio 1 - Si consideri la funzione periodica definita da:
1 f(t) = 0
t ≤βT
, ,
( 0 < β < 1)
.
β T < t ≤ T/ 2
Per induzione, utilizzando un’integrazione per parti e le condizioni al contorno, si dimostra in modo analogo che : m
Si può facilmente verificare che i suoi coefficienti di Fourier sono dati da :
fk =
1 sin ( 2 k
k)
.
π
π
t - i 2πk T
3 - Esempi di serie di Fourier
π
T 1 f k = ∫ f(t)d e T -T/ 2 2 ik T/ 2
(32)
β
+∞
π
-
1 T
T/ 2
,
Pertanto, poichè la funzione è pari, la sua serie di Fourier è data da:
π
t - i2πk T 1 (m) T fk = ∫ f (t)e dt 2 i k T -T/ 2
per ogni m = 1, 2, ..., n. Da questa relazione segue ovviamente la maggiorazione (30) nel caso m =n.
+∞
2 t sin( 2πβ k)cos( 2π k ) T k =1 π k
f(t)= 2β + ∑
.
Nel caso particolare T=2π, β=1/4 le ridotte della serie precedente sono date da:
1 2 f1(t ) = f2 (t ) = + cos(t ) , 2 π 1 2 2 f3 (t ) = f4 (t ) = + cos(t ) − cos(3t ) , 2 π 3π 1 2 2 2 f5 (t ) = f6 (t ) = + cos(t ) − cos(3t ) + cos(5t ) , 2 π 3π 5π 1 2 2 2 2 f7 (t ) = f8 (t ) = + cos(t ) − cos(3t ) + cos(5t ) − cos(7 2 π 3π 5π 7π ....................................... 1 2
2C T T 2 -t f(t) = − 2C T + t T 2
,
T 2
,
0
,
T
.
Si può verificare che i suoi coefficienti di Fourier sono dati da .
f0 = 0
)
π
f0 (t ) =
Esempio 2 – Si consideri la funzione periodica definita da:
,
f k = -i
;
C πk
, k = 1,2 ,..... ..
Poichè la funzione è dispari, la sua serie di Fourier è data da :
f(t) =
+∞
∑
k =1
2C t sin ( 2π k ) πk T
.
Il valore della serie in t= 0 è zero, in accordo con i risultati di pag. 17.
Esempio – Si consideri la funzione periodica definita da :
f(t) =
2C T - t T 2
,
|t| ≤
T 2
4 – Prodotto di convoluzione
.
Definizione – Il prodotto di convoluzione di due funzioni periodiche f(t), g(t) è la funzione periodica h(t) definita da: T/ 2
Si verifica che i suoi coefficienti di Fourier sono dati da :
C f0 = 2
;
1-(-1 ) k fk = C (πk)2
h(t) =
,
k = 1,2,.......
(33)
Proposizione - Il prodotto di convoluzione è commutativo, associativo e distributivo rispetto alla somma:
Poichè la funzione è pari, la sua serie di Fourier è data da :
f (t) =
∫ f(t-u) g(u) du = (f ∗ g) (t) .
-T/ 2
t C +∞ 4C +∑ cos2π (2k + 1) 2 T 2 k =0 [π (2k + 1)]
f ∗g = g∗ f , .
f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h ,
(34)
f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h . La prima proprietà segue da un semplice cambio di variabile, la seconda da uno scambio di ordine d’integrazione, la terza dalla linearità dell’integrale.
Vale il seguente risultato.
5 - Discretizzazione della serie di Fourier
Teorema di convoluzione – I coefficienti di Fourier del prodotto di convoluzione di due funzioni sono il prodotto dei corrispondenti coefficienti di Fourier delle due funzioni.
hk = (f ∗ g)k = f k g k
k = 0 , ± 1, ± 2 , ....
,
Dimostrazione – Dalla definizione di coefficienti di Fourier si ha: T/ 2
hk =
∫
(f ∗ g)(t)e
-i 2 π k
t T
-T/ 2
T/ 2 = ∫ ∫ f(t-u) e -T/ 2 -T/ 2 T/ 2
T/ 2
=
∫
f(t)e
-i 2 π k
t T
-i 2 π k
t-u T
-i 2 πk Tt T/ 2 dt = ∫ ∫ f(t-u)g(u) du e dt = -T/ 2 -T/ 2 T/ 2
dt g(u)e
T/ 2
dt
-T/ 2
∫
-i 2 π k
g(u) e
u T
-i 2 π k
u T
Si consideri un segnale periodico f(t), di periodo T, rappresentato dalla serie di Fourier:
f (t ) =
∑
k = −∞
fke
i 2πk
T
t T
fk =
,
∫
f (t ) e
− i 2πk
t T
.
0
Per calcolare i coefficienti di Fourier ck si può ricorrere ad una formula di quadratura. Si supponga di suddividere l’intervallo [0,T] in N intervalli eguali mediante i punti:
T n N
tn =
du =
du
+∞
n = 0,1,......, N − 1 .
;
Si può allora approssimare l’integrale di una funzione h(t) su [0,T] mediante la somma di termini che si ottengono moltiplicando il valore di h(t) in un punto tn per la lunghezza dell’intervallo adiacente.
,
-T/ 2
che è quanto volevasi dimostrare.
Se si pone:
Si usa quindi l’approssimazione: T
∫ h (t ) dt
≅
N −1
∑
n=0
0
T h (t n ) N
.
F [k ] = Nf N ,k
di modo che:
F [k ] =
Ne segue la seguente approssimazione per i coefficienti di Fourier:
f N ,k =
1 N
N −1
∑ f (t ) e n=0
−i
2π kn N
.
n
Da questa espressione segue che si ottengono solo N coefficienti tra loro distinti; dalla relazione:
e
2π −i ( k ± N )n N
=e
2π −i kn N
,
segue infatti che:
f N ,k ± N = f N ,k
.
f [n] = f (tn )
, N −1
∑
n=0
f [n ] e
−i
2π kn N
,
,
(35)
mediante gli N coefficienti di Fourier cosi’ calcolati si può ottenere una approssimazione a N termini del segnale di partenza. Ammettendo che N sia pari, si può scrivere:
f N (t n ) =
1 N
N −1
∑ F [k ] e k =0
i
2π nk N
≅ f (t n ) = f [n ]
.
Qui si è supposto di calcolare il segnale solo nei punti tn . Si osservi che la frequenza massima legata alla distanza di campionamento è data da:
Ω=
π π N 2π =N = , δt T 2 T
e pertanto l’armonica massima è N/2 volte l’armonica fondamentale.
Un risultato importante della teoria della trasformata di Fourier discreta è che la precedente somma non dà solamente una approsimazione dei valori del segnale di partenza ma restituisce esattamente tali valori. Se si osserva inoltre che gli F[k] formano una successione periodica con periodo N e che anche gli esponenziali nella sommatoria sono periodici in k con periodo N, si potrà scrivere:
f [n ] =
1 N
N −1
∑
k =0
F [k ] e
i
2π nk N
.
(36)
Infatti, se si ha una successione periodica, la somma dei suoi valori su un qualunque intervallo periodo (di lunghezza N) non dipende dall’intervallo in questione. La (1) costituirà la definizione della trasformata di Fourier discreta mentre la (2) sarà detta la sua formula di inversione.
