CAPITOLO 5
Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell’anno 500 euro; pu` o investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni che rendono con probabilit` a 1/2 lo 0% ovvero, sempre con probabilit` a 1/2 il 20%. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilit` a u = lg W . (i) Si ricavino le alternative possibili per Tizio. (ii) Si ricavi il costo opportunit` a della scelta di tizio. (iii) Si ricavi la scelta razionale di Tizio. Soluzione. (i) La ricchezza di Tizio `e un bene contingente in quanto il suo valore dipende dal verificarsi o meno dell’evento che determina un rendimento elevato o scarso delle azioni; pertanto se indichiamo con B il risparmio che Tizio investe in obbligazioni, cio`e nell’attivit`a finanziaria con rendimento certo, e con E il risparmio impiegato da Tizio in azioni, cio`e l’attivit`a finanziaria rischiosa, possiamo scrivere anzitutto il vincolo di bilancio: B + E = 500 La ricchezza sar`a pertanto pari a: ( W1 = 1, 1B + (500 − B)1, 2 W = W2 = 1, 1B + (500 − B) cio`e: W =
(
W1 = 600 − 0, 1B W2 = 500 + 0, 1B
(5.1)
(5.2)
(5.3)
dove abbiamo indicato con W1 la ricchezza di Tizio se le azioni rendono il 20% e con W2 la ricchezza di Tizio se le azioni rendono lo 0%. Dalla definizione della ricchezza W come bene contingente si ricava che Tizio pu`o ridurre il rischio, cio`e la potenziale variabilit`a del valore della ricchezza, spostando il risparmio dalla attivit`a rischiosa alla attivit`a certa. Supponiamo, per esempio, che inizialmente Tizio abbia deciso di impiegare tutto il risparmio in azioni, B = 0; la ricchezza di Tizio `e: ( W1 = 600 W = W2 = 500 Supponiamo ora che decida di impiegare 100 euro in obbligazioni, ∆B = 100; si ricava allora che il valore della ricchezza diminuisce di 10 euro, ∆W1 = −0, 1∆B = −10, nel caso in cui le azioni rendano molto ma aumenta di 10 euro, ∆W2 = 0, 1∆B = 10 nel caso in cui le azioni abbiano reso poco. La ricchezza di Tizio in questo caso `e: ( W1 = 590 W = W2 = 510 e quindi presenta una minore variabilit`a. L’insieme delle alternative possibili `e rappresentato geometricamente dal segmento ab della figura 1. 41
42
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
Figura 1 (ii) Il costo opportunit`a della scelta di Tizio `e rappresentato, geometricamente, dalla pendenza del segmento che rappresenta l’insieme delle alternative possibili (ottenute modificando la parte di risparmio investita in obbligazioni). Dalla analisi precedente si ricava che: W2 = 1100 − W1 e quindi il costo opportunit`a della scelta di tizio `e pari a −1. Supponiamo che Tizio decida di impiegare 100 euro in pi` u in obbligazioni. Dai dati del problema sappiamo che il suo reddito aumenta, in misura certa, di 10 euro se le azioni hanno un rendimento basso (cio`e rendono lo 0 per cento) mentre diminuisce di 10 euro se le azioni dovessero rendere il 20 per cento. Possiamo allora dire che Tizio scambia un euro in pi` u di rendimento nella situazione sfavorevole con un euro in meno di rendimento nella situazione favorevole. (iii) Tizio ordina le diverse alternative in base all’utilit`a attesa ad esse associata. L’utilit`a attesa `e definita da: Eu =
1 1 lg W1 + lg W2 2 2
cui corrisponde il saggio marginale di sostituzione (in valore assoluto): W2 dW2 = dW1 W1 La scelta razionale di Tizio `e quella che massimizza l’utilit`a attesa e quindi soddisfa il seguente sistema di equazioni: W2 /W1 W2
= =
1 1100 − W1
Dalla soluzione del sistema si ricava W1 = W2 = 550; pertanto la decisione razionale di Tizio `e di avere un patrimonio che non dipende dall’evento che influisce sul valore delle azioni. Tizio decider`a di investire il suo risparmio interamente in obbligazioni, B = 500. La figura 2 rappresenta geometricamente la determinazione della scelta razionale di Tizio.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
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Figura 2 Esercizio 5.2. Tizio ha un risparmio di 100 euro che pu` o investire nell’acquisto di Buoni del Tesoro (BOT) o in azioni. I BOT danno un rendimento annuo certo del 10%; il rendimento atteso delle azioni `e del 2% se la congiuntura economica internazionale `e sfavorevole, del 18% se invece la situazione economica internazionale `e positiva. La probabilit` a che la situazione economica internazionale sia favorevole `e pari a 1/2. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilit` a u = lg W , con W che indica la ricchezza (in euro) di Tizio. Si determini come investir` a Tizio il suo risparmio. Soluzione. Indichiamo con B il risparmio impiegato in Buoni del Tesoro e con E quello investito in azioni; sar`a 0 ≤ B ≤ 100 e 0 ≤ E ≤ 100 ed inoltre: B + E = 100
Il rendimento delle azioni non `e certo; con probabilit`a 1/2 renderanno il 2% e con probabilit`a 1/2 renderanno il 18%. Se Tizio decide, quindi, di investire in azioni la sua ricchezza, alla fine dell’anno, dipender`a dalla situazione economica internazionale che si `e verificata; se la situazione economica internazionale `e positiva (p.e. in termini di saggi di crescita della produzione) la ricchezza di Tizio sar`a pari a: W g = B · 1, 1 + 1, 18 · E mentre se la situazione internazionale `e negativa la ricchezza di Tizio sar`a pari a: W b = B · 1, 1 + 1, 02 · E
Un euro investito in BOT rende il 10% certo; se Tizio ha acquistato BOT per un importo di B euro si trover`a in portafoglio (in attivo) un valore complessivo di 1, 1B. Un euro investito in azioni rende il 2% se la situazione economica non `e buona oppure il 18% se la situazione economica `e favorevole; se Tizio ha investito in azioni per un importo di E euro si trover`a in portafoglio, alla fine dell’anno, un valore complessivo di 1, 02E in caso di andamento negativo del corso delle azioni o 1, 18E in caso di andamento positivo. Poich`e siamo in una situazione di incertezza, nel momento in cui la decisione deve essere presa, il criterio razionale di scelta `e quello della massimizzazione della utilit`a attesa: ¡ ¢ Eu = ua = π b lg W b + π g lg (W g )
con π b ≥ 0 probabilit`a del verificarsi della situazione sfavorevole (le azioni rendono il 2%), π g ≥ 0 probabilit`a del verificarsi della situazione favorevole (le azioni rendono
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5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
il 18%) e con π b +π g = 1. Nel nostro caso π b = π g = 1/2 e quindi possiamo scrivere l’utilit`a attesa nella maniera seguente: 1 ¡ ¢ 1 Eu = ua = lg W b + lg (W g ) 2 2 La decisione razionale di Tizio scaturisce dalla soluzione del seguente problema: 1 ¡ ¢ 1 (5.4) max ua = lg W b + lg (W g ) 2 2 W b ,W g con i vincoli:
B+E
=
100
(5.5)
Wb
=
(5.6)
Wg
=
B · 1, 1 + 1, 02 · E
B · 1, 1 + 1, 18 · E
(5.7)
La (5.5) `e il vincolo di bilancio; la (5.6) e la (5.7) definiscono la ricchezza di Tizio alla fine dell’anno a seconda dell’evento economico (sfavorevole o favorevole) verificatosi. Possiamo sostituire la (5.5) nella (5.6) e nella (5.7): E
=
b
= =
W Wg
100 − B
B · 1, 1 + 1, 02 · (100 − B) B · 1, 1 + 1, 18 · (100 − B)
Il problema di Tizio pu`o allora essere scritto nel modo seguente: 1 1 lg (B · 1, 1 + 1, 02 · (100 − B)) + lg (B · 1, 1 + 1, 18 · (100 − B)) 2 2 (5.8) L’ammontare di risparmio che Tizio deve investire nell’acquisto di BOT (per massimizzare l’utilit`a attesa della sua decisione di investimento) si ottiene dalla soluzione dell’equazione: · ¸ 1 0, 08 0, 08 dua =0= · − dB 2 102 + 0, 08B 118 − 0, 08B max ua = B
cio`e (svolgendo i calcoli):
118 − 0, 08B = 102 + 0, 08B e quindi: 16 = 0, 16B cio`e B = 100
(5.9)
La scelta razionale per Tizio `e quella di investire tutti i 100 euro di risparmio nell’acquisto di BOT, cio`e della attivit`a finanziaria con rendimento certo. Oss 1. In base alle preferenze Tizio `e avverso al rischio; inoltre il rendimento atteso delle azioni: 1 1 ra = · 0, 02 + · 0, 18 = 0, 1 2 2 `e pari al 10% e coincide con il rendimento certo dei BOT. In questo caso sappiamo che la condotta razionale `e quella di non investire nella attivit`a rischiosa. Esercizio 5.3. Tizio ha un risparmio di 100 euro che pu` o investire nell’acquisto di BOT, con un rendimento certo del 5%, oppure di quote di un fondo azionario che pu` o rendere l’1% oppure il 7% a seconda che il Governo decida di aumentare o diminuire l’imposta sui redditi da capitale. La probabilit` a che il Governo decida di diminuire l’imposta sui redditi da capitale `e pari a 2/3. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione u = lg W , con W che indica la ricchezza di Tizio. Si determini la scelta ottimale di Tizio.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
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Soluzione. Il vincolo di bilancio di Tizio `e: B + E = 100 La ricchezza che si ritrova alla fine dell’anno `e: W b = 1, 05 · B + 1, 01 · (100 − B)
(5.10)
W g = 1, 05 · B + 1, 07 · (100 − B)
(5.11)
se il Governo aumenta l’imposta sui redditi da capitale e:
se, al contrario, il Governo riduce l’imposta sui redditi da capitale. Dalla (5.10) si ricava: W b − 101 B= (5.12) 0, 04 dalla (5.11) si ricava: 107 − W g B= (5.13) 0, 02 Pertanto: 107 − W g W b − 101 = 0, 04 0, 02 cio`e: W b = 315 − 2W g (5.14) Se Tizio investe tutto il suo risparmio nell’acquisto dei BOT si ricava che W b = W g = 105, mentre se acquista solo azioni W b = 101 e W g = 107. La (5.14) definisce quindi la ricchezza che Tizio si ritrova nelle due situazioni (aumento oppure diminuzione dell’imposta sui redditi da capitale da parte del Governo) a seconda di come ripartisce il suo risparmio fra BOT e azioni; in altri termini definisce le possibili alternative. Una rappresentazione geometrica `e fornita nella figura 1.
Il coefficiente angolare della (5.14) definisce il costo opportunit`a dell’investimento in azioni, cio`e la quantit`a di euro che `e disposto a pagare in termini di minor rendimento se le cose vanno male per ogni euro in pi` u in termini di maggior rendimento se le cose vanno bene. Per incrementare la ricchezza di un euro quando
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5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
la situazione `e favorevole Tizio deve aumentare l’investimento in azioni di 50 euro (cos`ı facendo il suo rendimento aumenta di due punti percentuali, passando dal 5% al 7% se l’imposta sui redditi da capitale viene ridotta; due punti percentuali su una somma di 50 euro equivalgono ad 1 euro) e quindi ridurre l’investimento in BOT in pari misura (se le cose vanno male per Tizio ci sar`a una perdita di quattro punti percentuali, dal 5% dei BOT all’1% delle azioni; su una somma di 50 euro ci`o equivale ad una riduzione della ricchezza di 2 euro) Tizio `e in una situazione di incertezza per quanto riguarda il rendimento del suo risparmio; decide quindi in base alla utilit`a attesa. dalla definizione della utilit`a attesa: 2 1 ua = lg W b + lg W g 3 3 possiamo ricavare la generica curva di indifferenza (nel piano W b , W g ): u ¯a =
2 1 lg W b + lg W g 3 3
dove ua = u ¯a indica un valore costante dell’utilit`a attesa. Dalla curva di indifferenza possiamo ricavare il saggio marginale di sostituzione: Wb SM SW g
dW b = =− dW g
2 3 1 3
d lg W g dW g d lg W b dW b
=
2W b Wg
(5.15)
Il significato del saggio marginale di sostituzione `e il seguente: quanto `e disposto a pagare Tizio, in termini di minor ricchezza in euro se le cose vanno male (cio`e viene aumentata l’imposta sui redditi da capitale e le azioni rendono solamente l’1%) per avere un europ in pi` u se le cose vanno bene. Supponiamo, p.e., che Tizio stia investendo il suo risparmio interamente in BOT. Dalla (5.15) si ricava Wb o ottenere in pi` u, investendo in azioni, se che SM SW g = 2; per ogni euro che pu` le cose vanno bene, `e disposto a perdere due euro, investendo in azioni, se le cose vanno male. La decisione razionale di Tizio si ottiene dalla soluzione del problema seguente: max ua
=
2 1 lg W b + lg W g 3 3
(5.16)
Wb
=
315 − 2W g
(5.17)
W b ,W g
e con 105 ≤ W g ≤ 107. La scelta razionale si ottiene dalla soluzione del sistema di equazioni: 2W b Wg Wb
=
2
(5.18)
=
315 − 2W g
(5.19)
cio`e: Wb Wb
= =
Wg 315 − 2W g
Si ricava W b = W g = 105. La scelta razionale per Tizio `e quindi quella che gli consente di avere la medesima ricchezza in entrambe le situazioni; quindi quella in cui acquista solamente BOT (come si ricava sostituendo il risultato nella (5.12) oppure nella (5.13). La figura 2 fornisce una rappresentazione geometrica.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
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Esercizio 5.4. Tizio dispone di un risparmio di 100 euro che pu` o depositare in banca sul conto corrente guadagnando il 10%, oppure investire in azioni della societ` a XY. Con probabilit` a 1/2 la societ` a XY non distribuisce dividendi e con probabilit` a 1/2 distribuisce un dividendo pari al 21, 5% del valore delle azioni. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilit` a u = lg W . Si determini la scelta ottimale di Tizio. Soluzione. Ripartendo il risparmio fra il deposito in conto corrente e le azioni della societ`a XY la ricchezza di Tizio pu`o assumere i seguenti valori: W b = 1, 1 · B + (100 − B) = 100 + 0, 1B
(5.20)
se la societ`a non distribuisce dividendo e: W g = 1, 1 · B + (100 − B) · 1, 215 = 121, 5 − 0, 115B
(5.21)
dove con B indichiamo ora il risparmio depositato in banca. Dalla (5.20) e dalla (5.21) si ricava, eliminando B: Wb =
23650 20 g − W 115 23
(5.22)
cio`e l’insieme delle possibili alternative per Tizio. Dalla funzione di utilit`a attesa: ua =
1 1 lg W b + lg W g 2 2
si ricava il saggio marginale di sostituzione: SM S = −
Wb dW b = g g dW W
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5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
La scelta ottimale si ottiene dalla soluzione del seguente sistema di equazioni: Wb Wg
20 (5.23) 23 23650 20 g Wb = − W (5.24) 115 23 La (5.23) `e la condizione di ottimo (uguaglianza fra il saggio di sostituzione ed il costo opportunit`a della decisione) mentre la (5.24) `e il vincolo che deve rispettare Tizio (in altri termini l’insieme di alternative fra cui pu`o scegliere). Si ricava: 20 g W Wb = 23 23650 20 g Wb = − W 115 23 e quindi: 23650 23 473 Wg = · = = 118, 25 115 40 4 2365 20 473 · = ' 102, 826 Wb = 23 4 23 Utilizzando la (5.20) (oppure la (5.21)) si ricava che B ' 28, 26 e E = 71, 74. Tizio investe pertanto parte del suo risparmio anche nella attivit`a rischiosa. Si noti che Tizio `e avverso al rischio (le curve di indifferenza sono convesse) e ci`o nonostante investe solo una parte del suo risparmio nella attivit`a con rendimento certo (il deposito bancario).Iil rendimento atteso delle azioni `e: 1 1 ra = · 0 + · 0, 215 = 0, 1075 2 2 cio`e il 10, 75% superiore al 10% del deposito in conto corrente; ci`o incentiva Tizio a rischiare (impiegando parte del suo risparmio in azioni). La figura 3 rappresenta geometricamente la situazione. =
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
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Esercizio 5.5. Tizio ha un risparmio di 10.000 euro da investire. Pu` o scegliere di depositarli su un libretto di risparmio che rende il 4% in modo certo, ovvero acquistare acquistare azioni che possono rendere il 2% con probabilit` a 1/3 oppure il 5% con probabilit` a 2/3. (i) Si calcoli il rendimento atteso della quota di risparmio impiegato in azioni. (ii) Che decisione prender` a Tizio sapendo che `e avverso al rischio? Si commenti. Soluzione. (i) Il rendimento atteso del risparmio investito in azioni `e pari alla media ponderata dei possibili rendimenti (associati alle diverse situazioni di rischio): 2 1 ·2+ ·5=4 3 3 L’impiego del risparmio in azioni rende in media il 4% esattamente come il risparmio depositato sul libretto. (ii) Sappiamo che: (a) Tizio `e avverso al rischio; (b) le due alternative sono equivalenti (sono attuarialmente eque), dal momento che rendono entrambe il 4%. L’ipotesi (a) e la propriet`a (b) delle due alternative implicano che Tizio decider`a di impiegare tutti i 10000 euro nel libretto di risparmio. Esercizio 5.6. Tizio ha un risparmio di 1000 euro che pu` o impiegare in due modi: i) in titoli a reddito fisso che rendono il 4%, ii) in azioni che possono rendere il 6% se la situazione economica internazionale `e favorevole, oppure il 2% se la situazione economica internazionale `e sfavorevole. √ Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilit` a u = W , con W che indica la ricchezza di Tizio; vi `e la medesima probabilit` a che la situazione economica internazionale sia favorevole oppure sfavorevole. (i) Supponiamo che Tizio decida di investire 200 euro in azioni; si calcoli la ricchezza di Tizio. (ii) Si scrivano le condizioni che definiscono la scelta razionale di Tizio e se ne dia l’interpretazione economica. Si commenti. (iii) Quanto risparmio decider` a di impiegare in azioni? Si commenti. Soluzione. (i) Tizio ha un vincolo di bilancio da rispettare: 1000 = E + B con E che indica il risparmio impiegato in azioni e B = 1000 − E quello impiegato in titoli a reddito fisso. La ricchezza di Tizio `e, in una situazione di rischio, un bene contingente, dipende, cio`e dal verificarsi o meno di un determinato evento. La ricchezza di Tizio pu`o quindi essere posta in funzione del risparmio impiegato in azioni e assume il valore: W g = (1000 − E) · 1, 04 + E · 1, 06 se la situazione economica internazionale `e favorevole e quindi le azioni in portafoglio rendono il 6 % ovvero il valore: W b = (1000 − E) · 1, 04 + E · 1, 02 se la situazione economica internazionale `e favorevole e quindi le azioni in portafoglio rendono solamente il 2%. Il problema ci dice che Tizio decide di investire 200 euro in azioni e quindi E = 200; pertanto: W g = 1044 , W b = 1036
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5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
(ii) Le condizioni che definiscono la scelta razionale di Tizio definiscono il seguente sistema di equazioni: SM SEu
=
W
g
=
W
b
=
1000
=
dW b dW g B · 1, 04 + E · 1, 06
B · 1, 04 + E · 1, 02
B+E
(5.25) (5.26) (5.27) (5.28)
La (5.25) definisce la condizione di ottimo, cio`e l’uguaglianza fra saggio marginale di sostituzione fra beni e ragione di scambio (o prezzo relativo) dei beni. La (5.26) e la (5.27) definiscono i beni rispetto ai quali Tizio deve decidere, cio`e la ricchezza (intesa come bene contingente). La (5.28) `e il vincolo di bilancio di Tizio. Osserviamo anzitutto che possiamo sostituire la (5.28) nella (5.27) e nella (5.26). La (5.26) diventa: W g = B · 1, 04 + (1000 − B) · 1, 06 = 1060 − 0, 02B
La (5.27) diventa:
W b = B · 1, 04 + (1000 − B) · 1, 02 = 1020 + 0, 02B
Dalle espressioni cos`ı ricavate si ricava immediatamente che un euro investito in pi` u in titoli a reddito fisso aumenta la ricchezza di Tizio, nella situazione sfavorevole, di 2 centesimi di euro mentre riduce la ricchezza di Tizio, nella situazione favorevole, di 2 centesimi di euro; pertanto dW b /dW g = −1. Poich`e stiamo considerando una situazione di rischio le alternative a disposizione di Tizio vanno valutate in termini di utilit`a attesa: 1√ b 1√ b Eu = W + W 2 2 √ √ Si ricava, pertanto, che SM SEu = − W b / W g . Possiamo cos`ı finalmente scrivere le condizioni che definiscono la scelta razionale di Tizio: r Wb = 1 (5.29) Wg W g = B · 1, 04 + E · 1, 06 (5.30) Wb 1000
= B · 1, 04 + E · 1, 02 = B+E
(5.31) (5.32)
cio`e: r
Wb Wg Wg W
b
=
1
(5.33)
=
1060 − 0, 02 · B
(5.34)
=
1020 + 0, 02 · B
(5.35)
(iii) Dal sistema di equazioni (5.33)-(5.35) si ricava che B = 1000 e quindi E = 0, W b = W g = 1040; Tizio impiega tutto il risparmio nei titoli a reddito fisso. Esercizio 5.7. Sempronio deve scegliere fra due alternative: • un biglietto di una lotteria che consente di vincere la somma di 64 euro con probabilit` a 1/4 e di vincere nulla con probabilit` a 3/4; • il diritto ad una somma certa di 16 euro. Sempronio decide in base al criterio dell’utilit` a attesa. Indichiamo con W la ricchezza di Sempronio.: (i) Quale sar` a la sua scelta√se le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilit` a u = u(W ) = W ?
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
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(ii) Quale sar` a la sua scelta se le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilit` a u = u(W ) = W ? (iii) Quale sar` a la sua scelta se le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilit` a u = u(W ) = W 2 Soluzione. Il criterio dell’utilit`a attesa stabilisce che Sempronio sceglie, fra le diverse alternative possibili, quella cui `e associata l’utilit`a attesa pi` u elevata. Indichiamo con WLg = 64 la ricchezza di Sempronio nel caso possegga il biglietto vincente della lotteria e con WLb = 0 la ricchezza di Sempronio qualora possegga un g b biglietto diverso da quello vincente. Indichiamo con WM = 16 la ricchezza = WM di Sempronio quando dispone del diritto alla somma certa di 16. L’utilit`a attesa della lotteria (L) `e definita dall’espressione: 3 1 · u(64) + · u(0) 4 4 L’utilit`a attesa del diritto a disporre della somma certa di 16 euro `e: ua (L) =
1 3 · u(16) + · u(16) = u(16) 4 4 Si osservi che il valore atteso della lotteria `e: 1 3 WLa = · 64 + · 0 = 16 4 4 cio`e `e uguale al valore della somma certa rappresentato dalla seconda alternativa. √ (i) Consideriamo il caso in cui la funzione di utilit`a `e u = W . In questo caso otteniamo: 1 √ 3 √ 1 ua (L) = · 64 + · 0 = · 8 = 2 4 4 4 e: √ 1 √ 3 √ uaM = · 16 + · 16 = 16 = 4 4 4 Si consideri la figura seguente. ua (M ) =
Sempronio preferisce il diritto ad avere in modo certo 16 euro. Si noti che le due alternative hanno lo stesso valore atteso, pari a 16; poich`e delle due sceglie quella meno rischiosa (nel nostro esempio l’alternativa certa) si dice che Sempronio √ `e avverso al rischio. La funzione di utilit`a u = W `e crescente e concava (e quindi
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5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
ha utilit`a marginale positiva ma decrescente) e descrive le preferenze di un soggetto avverso al rischio. (ii) Consideriamo il caso in cui la funzione di utilit`a `e u = W . In questo caso otteniamo: ua (L) =
3 1 · 64 + · 0 = 16 4 4
e: uaM =
1 3 · 16 + · 16 = 16 4 4
Si consideri la figura seguente.
Sempronio `e indifferente fra le due alternative. Si noti che, in questo caso, la massimizzazione dell’utilit`a attesa equivale alla scelta dell’alternativa che massimizza il valore atteso. In questo caso si dice che il soggetto `e neutrale al rischio; le preferenze di un soggetto neutrale al rischio sono rappresentate da una funzione di utilit`a crescente (utilit`a marginale positiva) e lineare (utilit`a marginale costante), u = W. (iii) Consideriamo il caso in cui la funzione di utilit`a `e u = W 2 . In questo caso otteniamo: ua (L) =
1 3 · (64)2 + · 0 = 1024 4 4
e: uaM =
3 1 · (16)2 + · (16)2 = (16)2 = 256 4 4
La situazione `e rappresentata nella figura seguente.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
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Sempronio, in questo caso, preferisce l’alternativa rischiosa, cio`e il possesso del biglietto della lotteria. Poich`e le due alternative hanno lo stesso valore atteso si dice che Sempronio `e propenso al rischio. La funzione di utilit`a che rappresenta le preferenze di un soggetto propenso al rischio `e crescente (utilit`a marginale positiva) e convessa (utilit`a marginale crescente), come, p.e., u = W 2 . Esercizio 5.8. Supponiamo che le preferenze di Tizio siano rappresentate dalla √ funzione di utilit` a u = W , con W che rappresenta la ricchezza di Tizio. Supponiamo, inoltre, che Tizio abbia una ricchezza W = 100 e che con probabilit` a pari ad 1/2 possa subire un danno D = 36. Tizio pu` o assicurarsi per l’intero danno presso una compagnia di assicurazione pagando un premio p = 18. Si determini la scelta di Tizio. Cambia la decisione di Tizio se la compagnia di assicurazione chiede un premio p = 20, sempre per assicurare l’intero danno? Soluzione. Tizio deve scegliere fra due alternative. La prima alternativa `e quella di non assicurarsi, e quindi correre il rischio di subire la perdita di 36. In questo caso si ritrova un patrimonio pari a: WLg = 100 se l’evento negativo che provoca il danno non si verifica, ed un patrimonio pari a: WLb = 100 − D = 100 − 36 = 64 se invece l’evento dannoso si verifica. La seconda alternativa `e quella di assicurarsi per l’intero danno pagando un premio p = 18. In questo caso il patrimonio di Tizio `e pari a: WAg = 100 − p = 100 − 18 = 82 se l’evento negativo che provoca il danno non si verifica, ed un patrimonio pari a: WAb = 100 − D + D − p = 100 − 36 + 36 − 18 = 82 se invece l’evento dannoso si verifica. Assicurandosi per l’intero danno Tizio si ritrova un patrimonio il cui valore `e certo anche se, dovendo in ofni caso pagare il premio, sar`a inferiore al patrimonio iniziale di 100.
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5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
Calcoliamo l’utilit`a attesa associata alle due alternative. L’utilit`a attesa dell’alternativa di non assicurarsi (l’alternativa rischiosa, nel nostro caso) `e: ua (L) =
1 √ 1 √ · 100 + · 64 = 9 2 2
L’utilit`a attesa dell’alternativa di assicurarsi (l’alternativa certa, nel nostro caso) `e: ua (A) =
√ 1 √ 1 √ · 82 + · 82 = 82 2 2
√ Poich`e 82 > 9 si ricava che Tizio sceglie di assicurarsi. La situazione `e descritta geometricamente nella figura seguente.
Si noti che le due alternative hanno lo stesso valore atteso (pari a 82); poich`e Tizio decide di assicurarsi, quindi di scegliere l’alternativa non rischiosa, `e avverso al rischio. Consideriamo ora la situazione nel caso in cui il premio chiesto dalla compagnia di assicurazione sia p = 20, sempre per assicurare l’intero danno. L’alternativa di assicurarsi determina ora una ricchezza pari a: WAg = 100 − p = 80 se l’evento dannoso non si verifica e: WAb = 100 − D + D − p = 100 − 36 + 36 − 20 = 80 se invece l’evento dannoso si verifica. Il valore certo del patrimonio diminuisce, quindi, rispetto alla situazione precedente (ed `e ovvio, visto che Tizio paga un premio pi` u alto per assicurare sempre la medesima somma). Se ora calcoliamo l’utilit`a attesa dell’alternativa di assicurarsi troviamo che: ua (A) =
√ 1 √ 1 √ · 80 + · 80 = 80 2 2
√ Poich`e 80 < 9 Tizio ora decider`a di non assicurarsi. La situazione `e rappresentata nella figura seguente.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
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Tizio `e avverso al rischio e tuttavia se il premio che gli viene chiesto `e troppo alto decide di non assicurarsi e di correre il rischio di subire il danno. Esercizio 5.9. Tizio dispone di 1000 euro, risparmiati nel corso dell’anno. Pu` o impiegarli in titoli a reddito fisso che rendono il 3% in modo certo oppure in azioni che rendono il 2% se la situazione economica internazionale `e sfavorevole oppure l’8% se la situazione economica internzionale evolve positivamente. Le azioni possono essere acquistate in tagli di 500 euro (o multipli di 500). Supponiamo che la situazione economica internazionale sia sfavorevole con probabilit` a 2/3. Le preferenze di Tizio sono rappresentate dalla funzione di utilit` a u = W , con W che indica il valore del risparmio. (a) Si definiscano le possibili alternative a disposizione di Tizio in termini di valore del risparmio e le si rappresenti geometricamente. (b) Si determini come Tizio impiegher` a il suo risparmio comportandosi in modo razionale. (c) Per quale livello del saggio di interesse dei titoli a reddito fisso le alternative a disposizione di Tizio sono indifferenti? Si commenti. Soluzione (a) Indichiamo con B il risparmio impiegato in titoli a reddito fisso e con E il risparmio impiegato in azioni. Tizio eve rispettare il vincolo di bilancio: B + E = 1000 Poich`e inoltre le azioni possono essere acquistate in tagli di 500 euro, le alternative a disposizione di Tizio sono tre: • acquistare solamente titoli a reddito fisso: B1 = 1000, E1 = 0; • acquistare il taglio minimo di azioni e impiegare il risparmio rimanente in titoli a reddito fisso: B2 = 500, E2 = 500; • acquistare solamente azioni: B3 = 0, E3 = 1000.
Possiamo rappresentare le conseguenze di tali scelte in termini di risparmio. Poich`e simo in una situazione di incertezza, dovuta al fatto che il rendimento delle azioni dipende dalla situazione economica internazionale, il risparmio di Tizio `e un bene contingente; indichiamo con W g il risparmio di Tizio se la situazione economica internazionale `e favorevole e con W b il risparmio di Tizio se la situazione economica internazionale `e sfavorevole.
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5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
Consideriamo la prima alternativa, B1 = 1000, E1 = 0. In questo caso abbiamo: Wg
=
b
=
W
1000 · 1, 03 = 1030
1000 · 1, 03 = 1030
(5.36a) (5.36b)
Se consideriamo la seconda alternativa abbiamo: Wg
=
b
=
W
500 · 1, 03 + 500 · 1, 08 = 1055
500 · 1, 03 + 500 · 1, 02 = 1025
(5.37a) (5.37b)
Se, infine, consideriamo l’alternativa in cui impiega tutti i risparmi in azioni otteniamo: Wg
=
Wb
=
1000 · 1, 08 = 1080
1000 · 1, 02 = 1020
(5.38a) (5.38b)
Possiamo rappresentare geometricamente la situazione con l’ausilio della figura 1.
Fig.1 (b) Per determinare la scelta razionale di Tizio dobbiamo calcolare l’utilit`a attesa associata a ciascuna alternativa: ua =
1 g 2 b W + W 3 3
Se consideriamo l’alternativa 1 si ricava: ua (A1 ) =
1 2 · 1030 + · 1030 = 1030 3 3
Se consideriamo l’alternativa 2 abbiamo: ua (A2 ) =
1 2 · 1055 + · 1025 = 1035 3 3
Infine l’utilit`a attesa associata all’alternativa 3 `e: ua (A3 ) =
2 1 · 1080 + · 1020 = 1040 3 3
Poich`e ua (A3 ) > ua (A2 ) > ua (A1 ) Tizio si comporta in modo razionale investendo tutti i risparmi nell’acquisto di azioni. Si consideri la figura 2.
5. SCELTE IN CONDIZIONI DI RISCHIO E INCERTEZZA
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Fig.2 ` sufficiente considerare la condizione seguente: (c) E 1000(1 + r) = 1040 cio`e la condizione di uguaglianza fra le utilit`a attese delle due alternative estreme (quella in cui Tizio acquista solo titoli a reddito fisso e quella in cui acquista solo azioni); si ricava: 40 r= = 0, 04 1000
