Scheda riassuntiva 2
capitoli
8-12
Resistenza dei materiali La resistenza dei materiali mette in relazione tra loro i seguenti elementi:
Carichi
• Trazione/ compressione • Taglio • Flessione • Torsione
Deformazioni
• Allungamenti/ accorciamenti • Scorrimenti
Tensioni
• Normali • Tangenziali
Considerata una sezione dell’elemento resistente (trave), perpendicolare al suo asse, l’influenza dei carichi esterni viene studiata scomponendo i loro effetti secondo tra assi ortogonali: x, y tangenti al piano della sezione z perpendicolare al piano della sezione Si ottengono le:
Componenti di sollecitazione Trazione/ compressione
Taglio
Momento flettente
Momento torcente
Deformazioni lungo le fibre parallele all’asse della trave
• allungamenti • accorciamenti
Scorrimenti reciproci tra due sezioni della trave
• traslazioni • rotazioni
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I carichi determinano le deformazioni, che possono consistere in:
scorrimenti unitari
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Le deformazioni sono espresse in termini unitari o percentuali quando sono riferite alla distanza (prima della deformazione) Lo tra le due sezioni considerate; in tal caso sono adimensionali. Si indicano con i simboli: L allungamenti/accorciamenti unitari ε = Lo g= s Lo
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Resistenza dei materiali
1 G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012
Alle deformazioni il materiale oppone reazioni elastiche in base alla legge di Hooke; esse sono definite: Tensioni normali
Tensioni tangenziali
Le tensioni normali s sono perpendicolari alla sezione e reagiscono agli allungamenti/accorciamenti delle fibre longitudinali. Le tensioni tangenziali t sono sul piano della sezione e reagiscono agli scorrimenti tra le sezioni. Per molti materiali, entro determinati limiti di carico, tra deformazioni e tensioni esiste una relazione di proporzionalità: s = E · e per le tensioni normali E = modulo di elasticità normale (modulo di Young) t = G · g per le tensioni tangenziali G = modulo di elasticità tangenziale Per ognuna delle caratteristiche di sollecitazione può essere definita: • equazione di stabilità: relazione di equilibrio fra componente di sollecitazione, tensioni interne e caratteristiche della sezione; • equazione di deformazione: relazione fra componente di sollecitazione, deformazione, caratteristiche della sezione e del materiale.
Trazione/compressione Le tensioni sono uniformemente distribuite sulla sezione. La forma della sezione non ha influenza né per la resistenza né per la deformazione. Stabilità Deformazione
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N=s·A N = N 2 ⋅ mm2 mm L = N ⋅ L E ⋅A N ⋅ mm mm = N ⋅ mm2 mm2
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Flessione retta Per il baricentro G della sezione passa l’asse neutro, perpendicolare all’asse di sollecitazione. Sull’asse neutro le tensioni sono nulle; ai bordi esterne (i punti più lontani dall’asse neutro) le tensioni sono massime, una di trazione e l’altra di compressione. 2
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Resistenza dei materiali
Stabilità Deformazione
Mf = s · Wf N ⋅ mm = N 2 ⋅ mm3 mm Mf ⋅ L = E ⋅ In rad = Nmm ⋅ mm N ⋅ mm4 mm2
In ymax ymax è la massima distanza dal bordo all’asse neutro. B ⋅H3 H è la misura perpendicolare all’asse Sezione rettangolare Wf = 6 neutro 3 Sezione circolare Wf = D 32 Torsione Le tensioni sono massime sul bordo esterno della sezione e nulle al centro. Modulo di resistenza a flessione
Stabilità Deformazione
Wf =
Mt = t · Wt Nmm = N 2 ⋅ mm3 mm M ⋅L = t G ⋅Ip rad = Nmm ⋅ mm N ⋅ mm4 mm2
Ip Wt = ymax Sezione circolare Wt = 2Wf = D3 16 2 H ⋅ B Sezione rettangolare Wt = B è la lunghezza del lato corto 3 + 1,8 B H 2 H ⋅ B B è la lunghezza dell’asse minore Sezione ellittica Wt = 5 Taglio Le tensioni sono massime all’altezza dell’asse neutro e nulle ai bordi. Le deformazioni sono di entità trascurabile.
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Stabilità
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Modulo di resistenza a torsione
max = ⋅ T A N = N2 2 mm mm
Il valore del coefficiente a dipende dalla forma della sezione: 3 rettangolare a = circolare a = 4 2 3
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Flessotorsione Per sezioni circolari o anulari si calcola il momento flettente ideale, che, ai fini della resistenza della sezione, è equivalente all’azione combinata di un momento flettente e un momento torcente: momento flettente ideale M fid = M f2 + 3 Mt2 4 Nel caso delle altre sezioni si calcolano separatamente la tensione di flessione s e quella torsione t e si compongono ricavando la: tensione ideale
id = 2 + 3 ⋅ 2
Taglio e torsione Sono presenti solo tensioni tangenziali; si ricava il valore risultante massimo sommando le t nei punti in cui sono concordi. Taglio e flessione Tenuto conto che: • sui bordi lontani dall’asse neutro s = smax • sull’asse neutro s=0
t=0 t = tmax
e che i valori delle tensioni tangenziali sono solitamente molto piccoli, si effettua il calcolo a pura flessione, verificando eventualmente, in modo separato, il valore di tmax sull’asse neutro.
Pressoflessione e tensoflessione Sono presenti solo tensioni normali; ai valori costanti dovuti allo sforzo normale si sommano i valori massimi sui bordi dovuti alla flessione. Criteri di sicurezza Il valore massimo della tensione nella/e sezioni più sollecitate non deve superare un limite di tensione ammissibile, ricavato dal carico di rottura o dal carico di snervamento del materiale con un adeguato grado di sicurezza: • in presenza solo di tensioni normali: max am
am =
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Rm n
• in presenza solo di tensioni tangenziali: max am
am =
am 3
• in caso di sollecitazioni composte con presenza di tensioni normali e tangenziali: sid sam
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Per tenere conto di carichi dinamici e fenomeni di fatica il grado di sicurezza va adeguatamente aumentato. 4
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Travi isostatiche: reazioni, momenti, deformazioni Y
a Trave incastrata con carico sull’estremità
Y =F
f = F ⋅L 3⋅E ⋅ I 3
Mmax = F ⋅ L
F
L
Mmax
Y
b Trave incastrata con carico distribuito uniforme
q
q ⋅ L4 f= 8E ⋅ I
Mmax
qmax
c Trave incastrata con carico triangolare
qmax ⋅ L 2
Mmax =
Q ⋅L 3
Q ⋅L f= 1 ⋅ 15 E ⋅ I
3
Y
d Trave appoggiata con carico distribuito uniforme
Y =q⋅ L 2
Mmax =
q ⋅ L2 8
4
L
YA
Mmax = F ⋅ a ⋅b L
2 2 f = F ⋅ a ⋅b L 3⋅E ⋅ I
Mmax =
a
qmax ⋅ L2
9 3 xo = L 3
q ⋅ a2 M A = MB = − 2 MC =
q ⋅ L2 8
C b
B
qmax
Q ⋅ L3 fmax = 1 ⋅ 77 E ⋅ I
YA
YB
A
B xo
YA
g Trave appoggiata con doppio sbalzo
q ⋅L YA = YB = 2
YB
F
A
f Trave appoggiata con carico triangolare
q ⋅L Q 2 ⋅Q Q = max ; YA = ; YB = 2 3 3
Y q
q ⋅L f= 5 ⋅ 384 E ⋅ I
e Trave appoggiata con carico concentrato
YA = F ⋅ b ; YB = F ⋅ a L L
Mmax
q ⋅ L4 fc = 384 ⋅ E ⋅ I
2 ⋅ 5 − 24 ⋅2a L
D
2
Y =Q =
Y
YB E
C
a
A
L
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Y = q ⋅L
q ⋅ L2 Mmax = − 2
B
a
4 a2 ⋅ 1 − ⋅ 2 L
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Travi iperstatiche: reazioni, momenti, deformazioni YA
a Trave con doppio incastro con carico distribuito uniforme
YA = YB = q ⋅ L 2
q ⋅ L2 M A = MB = − 12 2 q ⋅L MC = − 24
q ⋅ L4 fc = 384 ⋅ E ⋅ I
A MA
MA = −
q ⋅ L2 8
A
MC = −
q ⋅ L2 8
2 Volume 1 (capp. 8-12) –
YC
YA
scheda riassuntiva
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q B
MA
YA = YB = 3 ⋅q ⋅ L 8
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YB
YA
c Trave su tre appoggi con carico distribuito uniforme
YC = 10 ⋅q ⋅ L 8
MB
A
YA = 5 ⋅Q 8 YB = 3 ⋅Q 8
B
C
b Trave incastrata con appoggio all’estremità con carico distribuito uni-
forme
YB
q
Resistenza dei materiali
L
C L
YB B
