FOTOGRAMMETRIA 1. Preliminari - La relazione geometrica che si stabilisce fra un punto appartenente ad un oggetto riprodotto in un’immagine fotografica e il corrispondente punto sull’immagine pu`o essere espressa affermando che il segmento che li congiunge passa per un punto P in prossimit`a del piano dell’immagine, detto centro di presa(fig.1). La distanza p fra il centro di presa e il piano dell’immagine `e detta distanza principale. Poich`e lo scopo della fotogrammetria `e la determinazione della posizione di punti nello spazio fisico a partire dalla loro posizione su immagini fotografiche, `e chiaro che la relazione spaziale fra oggetto e immagine deve essere determinata con la massima precisione possibile. A tale scopo `e necessario che su ogni immagine sia definito un sistema di assi (visualizzato dalle marche impresse sui bordi dell’immagine) e che sia nota, oltre alla distanza principale, la posizione della proiezione ortogonale del centro di presa sul piano dell’immagine nel sistema di coordinate definito dalle marche (orientamento interno, fig.2). ` quindi necessario che vengano utilizzate macchine fotografiche con caratteristiche particolari (camere metE riche o semimetriche), che, oltre a consentire la determinazione del sistema di riferimento, sono dotate di un certificato di calibrazione in cui sono riportati i parametri di orientamento interno. Inoltre, ovviamente, `e necessario che le deformazioni dovute all’ottica siano ridotte al minimo e modellizzate, in modo che possano essere apportate le necessarie correzioni. Nelle macchine metriche il modello delle deformazioni `e riportato nel certificato di calibrazione; il termine principale `e radiale (dipende cio`e solo dalla distanza dalla proiezione del centro di presa) ed `e espresso da un polinomio a potenze dispari: δr = k1 r3 + k2 r5 dove k2 << k1 . Il rapporto fra la distanza principale e la distanza dell’oggetto dal centro di presa fornisce la scala dell’immagine. Ad esempio, con riferimento a fotografie aeree di una porzione di territorio, posto p = 15cm (che `e un valore tipico per gli apparecchi fotografici in uso), una quota di volo di 450m corrisponde a una scala di 1:3000, una quota di 900m a una scala di 1:6000, una quota di 1800m a una scala di 1:12000, e cos`i via. In realt`a l’oggetto riprodotto in generale non `e piano e, anche se `e piano, pu`o non essere parallelo al piano dell’immagine, nel qual caso l’immagine `e affetta da deformazioni prospettiche. In generale le relazioni metriche fra le parti dell’oggetto sono naturalmente espresse in uno spazio 3-dimensionale, e non possono essere completamente determinate dalle relazioni metriche di una singola immagine, che `e 2-dimensionale. 2. Raddrizzamento - L’operazione che `e possibile eseguire disponendo di una sola immagine `e il raddrizzamento, che consiste nel determinare la posizione dei punti dell’oggetto appartenenti ad un piano di particolare rilevanza per l’oggetto stesso (ad esempio, il piano della facciata di un edificio) a partire dalla posizione delle loro immagini sul piano della fotografia. Assumendo che l’immagine fotografica sia affetta soltanto da deformazioni prospettiche, la trasformazione fra le coordinate sui due piani `e detta trasformazione omografica (fig.3) ed ha la forma x=
aX + bY + c pX + qY + 1
y=
a0 X + b0 Y + c0 pX + qY + 1
(1)
Essa trasforma rette in rette; in particolare le trasformate delle rette X = cost si incontrano tutte in un punto, e cos`i pure le rette Y = cost (punti di fuga). Inoltre, la trasformata inversa, che esprime X , Y in funzione di x , y , ha un’espressione dello stesso tipo: X=
mx + ny + k rx + sy + 1
Y =
m 0 x + n0 y + k 0 rx + sy + 1
(1bis)
La trasformazione dipende da 8 parametri ( a, b, c ; a0 , b0 , c0 ; p, q ), che possono essere stimati conoscendo la posizione di 4 punti sia sull’immagine, sia sul piano dell’oggetto. Una volta nota la trasformazione, `e possibile 1
determinare la posizione di ogni punto sul piano dell’oggetto a partire dalla sua posizione sull’immagine, e quindi ricostruire un’immagine in scala del piano stesso (fotopiano, fig.4). La stessa procedura applicata a punti che sull’oggetto si trovano fuori dal piano produce deformazioni nell’immagine. Le coordinate sull’immagine vengono misurate direttamente, nel sistema di riferimento definito dall’orientamento interno; per determinare le coordinate sul piano dell’oggetto, in un sistema di assi definito localmente, `e necessario eseguire misure topografiche. Poich`e in generale le coordinate dei punti inserite nelle equazioni sono affette da errori di misura, anche i parametri stimati sono affetti da errori. Se il numero di punti di cui `e nota la posizione sia sull’immagine sia sull’oggetto `e maggiore di 4, il sistema risultante ha un numero ridondante di equazioni e, a causa degli errori di misura, in generale non pu`o essere risolto esattamente. E’ per`o possibile ottenere valori approssimati dei parametri che minimizzano (secondo un opportuno criterio) gli scarti delle equazioni, e inoltre l’entit`a di tali scarti d`a un’idea della grandezza degli errori di misura e del livello di approssimazione ottenuto. La procedura di calcolo generalmente adottata `e detta compensazione a minimi quadrati. Il raddrizzamento pu`o essere eseguito direttamente sull’immagine anche se non si dispone di posizioni di punti sull’oggetto; in tal caso `e necessario introdurre la posizione sull’immagine dei due punti di fuga (4 parametri), ricavabili come punti di incontro di linee ben individuabili sull’immagine e corrispondenti sull’oggetto a segmenti di rette parallele, di un punto che rimane fisso (2 parametri), e di un fattore di scala per ciascuno dei due assi (2 parametri). Questa operazione viene eseguita automaticamente da molti programmi di trattamento di immagini digitali. Tuttavia, dato che `e necessario introdurre due distinti fattori di scala nelle direzioni dei due assi, in generale l’immagine risultante non d`a una rappresentazione fedele dell’oggetto, a meno che i parametri introdotti non contengano un’informazione ricavata direttamente da misure sull’oggetto stesso. 3. Immagini digitali - Le immagini memorizzate per l’elaborazione informatica sono discretizzate, ossia suddivise in un reticolo regolare di piccole aree (pixel, che significa picture elements), a ciascuna delle quali viene attribuito un tono di grigio (per le immagini in bianco e nero) secondo una scala, anch’essa discretizzata, che, nelle applicazioni pi` u comuni, contiene 28 = 256 livelli. Ogni pixel occupa quindi in memoria 8 bit = 1 byte. Le immagini a colori risultano dalla composizione di un certo numero (ad esempio 3) di colori fondamentali, per ciascuno dei quali si ha una scala di 256 livelli. In questo caso, i livelli di colore sono 224 , ossia circa 16 milioni. Tipicamente la risoluzione va da 300 a 3000 dpi (dots per inch, ossia punti per pollice lineare), ovvero da 12 a 120 pixel per mm. L’immagine `e quindi rappresentata da una matrice numerica la cui dimensione `e data dal prodotto del numero di pixel di ciascuna colonna per il numero di pixel di ciascuna riga. Ad esempio, un’immagine in bianco e nero delle dimensioni di 10cm × 15cm a 50 pixel per mm, corrispondenti a circa 1250 dpi, occupa in memoria 100 ∗ 150 ∗ 502 = 37.5 ∗ 106 byte ' 35.8 M egabyte. Quando si esegue il raddrizzamento di un’immagine digitale, occorre tener conto che il trasformato di un pixel non `e in generale un pixel: basta pensare che un rettangolo si trasforma in un quadrilatero i cui lati non sono paralleli. E’ quindi necessario definire con un opportuno algoritmo il tono di grigio da attribuire a ciascun pixel dell’immagine trasformata. Ad esempio, si pu`o attribuire a ciascun pixel il tono di grigio del pixel dell’immagine originaria a cui appartiene il punto il cui trasformato `e il suo punto centrale, oppure, considerati tutti i pixel contenenti punti i cui trasformati appartengono ad un dato pixel dell’immagine raddrizzata, attribuire a quest’ultimo il valore medio dei loro toni di grigio. Queste procedure, dette procedure di ricampionamento, modificano qualitativamente l’immagine e possono anche portare a un suo deterioramento. 4. Costruzione del modello 3D - Per ottenere il posizionamento 3-dimensionale dei punti sull’oggetto `e necessario disporre di almeno due immagini dello stesso oggetto (fig.5). La procedura che si adotta `e quella della ricostruzione stereoscopica, basata sul fatto che le rette congiungenti punti omologhi sulle due immagini (ossia rappresentativi dello stesso punto sull’oggetto) con i rispettivi centri di presa devono incontrarsi (fig.6), e che, imponendo questa condizione, si ottiene sia il posizionamento relativo delle immagini, sia un modello 3-dimensionale dell’oggetto. Questo stesso principio `e alla base della sensazione di profondit`a che si ricava dalla visione con due occhi. La procedura, detta orientamento esterno, pu`o essere schematicamente divisa in due fasi: la prima `e 2
l’orientamento relativo delle immagini, la seconda `e il passaggio dal modello 3-dimensionale all’oggetto vero e proprio, basato sulla conoscenza della posizione di un certo numero di punti su di esso (orientamento assoluto). Per comprendere a livello intuitivo in che cosa consistono queste due fasi, si supponga inizialmente di tenere fissa una delle due immagini e di fissare un sistema di assi, ad esempio ponendo l’origine nel centro di presa, l’asse Z lungo la normale all’immagine, gli assi X e Y paralleli agli assi dell’immagine. La posizione della seconda immagine `e allora definita da 6 parametri: 3 coordinate del centro di presa, 2 parametri di orientazione della normale all’immagine (ad esempio, l’inclinazione rispetto all’asse Z e l’orientazione della sua proiezione sul piano XY), 1 parametro di rotazione dell’immagine attorno alla normale (fig.7). Esiste certamente almeno una posizione che realizza l’incontro delle congiungenti i punti omologhi (ossia immagini dello stesso punto sull’oggetto) con i centri di presa, dato che le due immagini si riferiscono allo stesso oggetto. Va inoltre osservato che, una volta realizzato l’incontro delle rette, questo viene mantenuto spostando un centro di presa lungo la retta che lo congiunge all’altro (fig.8); questo movimento modifica la scala del modello 3-dimensionale. Esistono quindi infiniti modelli, differenti fra di loro per la scala, ottenibili con questa procedura, e l’insieme di parametri non `e univocamente determinato. Per ottenere una soluzione unica occorre ad esempio fissare arbitrariamente la distanza fra i centri di presa, determinando cos`i la scala del modello, e mantenere come parametri incogniti, anzich`e le 3 coordinate del secondo centro di presa, 2 parametri angolari che definiscono la direzione della congiungente i due centri di presa. In questo modo il numero totale dei parametri da determinare si riduce a 5. Le equazioni utilizzate per stimare questi 5 parametri sono quelle che esprimono il fatto che il punto sull’oggetto, il centro di presa e il corrispondente punto sull’immagine stanno su un stessa retta (equazioni di collinearit` a). Esse hanno l’espressione X1 − X0 Y1 − Y0 Z1 − Z0 = = X2 − X0 Y2 − Y0 Z2 − Z0 dove (X0 , Y0 , Z0 ) sono le coordinate del centro di presa, (X1 , Y1 , Z1 ) le coordinate del punto sull’immagine, (X2 , Y2 , Z2 ) le coordinate del punto sull’oggetto. Per la prima immagine il centro di presa `e nell’origine; se p `e la distanza principale e xC , yC sono le coordinate della proiezione ortogonale del centro di presa sull’immagine nel sistema di assi legato all’immagine stessa, le coordinate di un punto dell’immagine sono (x1 − xC , y1 − yC , p) , dove (x1 , y1 ) sono le coordinate del punto nel sistema di assi dell’immagine. Per la seconda immagine le coordinate vanno espresse nello stesso sistema di riferimento in funzione dei 5 parametri incogniti. Pi` u precisamente, si pu`o procedere nella seguente maniera: - date le coordinate del punto sulla seconda immagine e l’orientamento interno della seconda immagine, si pu`o procedere come per la prima immagine per determinare le coordinate spaziali in un sistema di riferimento avente l’origine nel centro di presa della seconda immagine, l’asse z ad essa perpendicolare e gli assi x e y paralleli a quelli dell’immagine. Per evitare confusioni gli assi di questo sistema vengono indicati con u,v,w; - si determina la rotazione spaziale che rende questo sistema di assi parallelo a quello legato alla prima immagine; - infine si determina la traslazione fa coincidere l’origine del sistema uvw con quella del sistema XYZ. Il vettore di traslazione `e evidentemente l’opposto del vettore congiungente il centro di presa della prima immagine con quello della seconda, ed ha quindi una direzione legata ai parametri di orientazione ed una lunghezza che pu`o essere fissata arbitrariamente. - eseguite queste trasformazioni del sistema di assi e le conseguenti trasformazioni di coordinate, le coordinate spaziali del punto sulla seconda immagine risultano espresse nello stesso sistema di riferimento del punto sulla prima immagine, e possono essere inserite nelle equazioni di collinearit`a, che risultano quindi dipendenti dai parametri di trasformazione; per le coordinate del centro di presa della seconda immagine `e sufficiente eseguire la traslazione. Per ogni punto sull’oggetto, le cui 3 coordinate sono incognite, si scrivono le equazioni delle 2 rette che lo congiungono alle sue 2 immagini, quindi 4 equazioni, dato che ogni retta `e espressa da 2 equazioni. 3
Complessivamente, per n punti si scrivono 4n equazioni in 3n + 5 incognite, corrispondenti a 3 coordinate spaziali per ogni punto, pi` u i 5 parametri di orientazione. Di conseguenza, affinch`e il numero di equazioni sia almeno uguale al numero delle incognite, `e necessario scrivere le equazioni di collinearit`a per almeno 5 punti (in caso di ridondanza la soluzione viene cercata con il metodo dei minimi quadrati). In alternativa i parametri di orientamento relativo possono essere definiti nel seguente modo: fissate le posizioni dei due centri di presa, l’orientazione di ciascuna immagine `e definita da 3 parametri, per un totale di 6. Ma, una volta realizzato l’incontro delle rette, questo si mantiene se l’intero sistema `e sottoposto ad una rotazione intorno alla congiungente i due centri di presa. E’ quindi possibile introdurre un parametro in meno per definire l’orientazione di una delle immagini, fissando arbitrariamente ad esempio il piano contenente la perpendicolare ad essa e la congiungente i centri di presa. 5. Orientamento assoluto - Fissato il modello 3-dimensionale, i cui punti sono espressi nel sistema di coordinate precedentemente stabilito, `e necessario riportare il modello alla scala dell’oggetto e riferire le coordinate ad un sistema di assi solidale con l’oggetto, eseguendo una roto-traslazione. Complessivamente devono essere introdotti 7 parametri (1 di scala, 3 di traslazione e 3 di rotazione). Per visualizzare geometricamente la trasformazione, si supponga di conoscere le coordinate di due punti dell’oggetto in un sistema ` allora possibile far coincidere il primo di questi due punti con il punto di riferimento legato all’oggetto. E corrispondente sul modello mediante uno spostamento rigido, e si pu`o fare la stessa cosa anche per il secondo punto, con un opportuno cambiamento di scala, ed imponendo la direzione della congiungente. Rimane ancora un grado di libert`a, ossia una rotazione attorno alla congiungente i due punti, che pu`o essere fissato conoscendo ad esempio una coordinata di un terzo punto sull’oggetto non allineato con i primi due. A questo punto `e completamente definita la trasformazione fra modello e oggetto, ed `e possibile ricavare la posizione di un qualsiasi punto sull’oggetto conoscendo la posizione del corrispondente punto sul modello, a sua volta ricavata dalle posizioni dei punti omologhi sulle due immagini. In generale si preferisce avere ridondanza, ossia disporre di un numero di punti noti (punti d’appoggio) in numero superiore a quello strettamente necessario. In questo caso si usa il metodo dei minimi quadrati per la stima dei parametri. 6. Tecniche di restituzione - Nella pratica, si sono succedute nel tempo diverse tecniche per la ricostruzione del modello 3-dimensionale (detta restituzione): - restituzione analogica: un’apparecchiatura detta stereocomparatore (fig.9) consente di realizzare meccanicamente l’orientazione relativa di due lastre, che riproduce quella che le lastre avevano al momento dello scatto. L’operatore attua manualmente i movimenti necessari, basandosi sulla visione stereoscopica realizzata da un binocolo che consente di vedere con ciascun occhio una lastra diversa. Sempre meccanicamente `e possibile determinare per ogni punto del modello la ”quota” corrispondente alla collimazione dei punti omologhi sulle due immagini, e quindi ricostruire il modello tridimensionale. - restituzione analitica: le due lastre sono in posizione fissa; la visione stereoscopica e il conseguente orientamento relativo sono realizzati da movimenti dell’ottica. Le coordinate del modello tridimensionale, insieme con i loro scarti quadratici medi, vengono calcolate da un computer collegato allo stereocomparatore partendo dalle coordinate dei punti omologhi sulle lastre e dei punti di presa in un sistema di riferimento strumentale e risolvendo le equazioni di collinearit` a. - fotogrammetria digitale: le immagini sono in forma numerica e vengono visualizzate sullo schermo di un computer. Esistono dispositivi che consentono all’operatore, dotato di appositi occhiali, di vedere in rapida alternanza l’immagine sinistra di una coppia stereoscopica con il solo occhio sinistro e l’immagine destra con il solo occhio destro, realizzando cos`i la visione stereoscopica. L’aspetto pi` u interessante della fotogrammetria digitale, tuttavia, non `e la realizzazione sul computer delle procedure tradizionali della restituzione fotogrammetrica, ma la possibilit`a di introdurre procedure automatiche basate sulle tecniche dell’analisi e della produzione di immagini digitali. Un aspetto fondamentale `e l’introduzione di tecniche automatiche per l’individuazione di punti omologhi su due immagini che rappresentano lo stesso oggetto da due punti di vista diversi e, pur non essendo identiche, presentano forti correlazioni 4
(image matching). Avendo selezionato su una delle due immagini una piccola area, viene ricercata fra tutte le aree della seconda immagine che hanno le stesse dimensioni quella che ha la massima correlazione in termini di toni di grigio o di colore con l’area selezionata. Prodotti tipici della fotogrammetria, che vengono realizzati in modo automatico da molti software di fotogrammetria digitale sono le ortofoto e i DTM (Digital Terrain Models). Le ortofoto sono immagini che rappresentano la proiezione ortogonale di un modello 3D su un piano particolare (ad esempio, per foto aeree, un piano ortogonale alla verticale in un punto della superficie terrestre. Queste immagini, come si pu`o facilmente intuire (vedi fig.10), sono diverse da quello che appare nel campo di vista di un obiettivo orientato ortogonalmente al piano (presa nadirale), e non corrispondono ad alcuna visione realizzabile da un singolo punto di vista. Per poterle realizzare `e necessario produrre prelimenarmente un modello 3D. I DTM rappresentano le quote rispetto ad un piano di riferimento di un insieme di punti in generale appartenenti ad un reticolo regolare; anch’essi possono essere ricavati da un modello 3D. Dal punto di vista del linguaggio del computer, sia le ortofoto sia i DTM sono matrici numeriche corrispondenti alla suddivisione in celle di una porzione di territorio (o di un altro qualsiasi oggetto). Nelle ortofoto i numeri rappresentano toni di grigio o di colore, nei DTM rappresentano quote. Le immagini da utilizzare in fotogrammetria digitale possono essere prodotte direttamente in forma numerica ` anche da apposite macchine (camere digitali) che si stanno progressivamente diffondendo sul mercato. E possibile (ed `e oggi ancora la pratica pi` u usata in fotogrammetria aerea) rendere in forma digitale immagini prodotte da apparecchi tradizionali mediante uno scanner. Sono direttamente fornite in forma numerica le immagini da satellite, che hanno raggiunto una risoluzione a terra dell’ordine del metro, in generale non utilizzabili a scopo fotogrammetrico, con alcune eccezioni, come ad esempio le immagini SPOT, che hanno una risoluzione a terra di 10m × 10m. Ogni immagine SPOT copre un’area a terra di 60km × 60km, e contiene 3.6 ∗ 107 pixel. Il pixel sull’immagine misura circa 12µm; l’altezza orbitale `e di circa 800km, e la distanza principale `e di 1m. 7. Fotogrammetria aerea - La fotogrammetria aerea `e oggi lo strumento fondamentale per la produzione cartografica. Un volo fotogrammetrico `e costituito da una sequenza di percorsi rettilinei affiancati (strisciate, fig.11). Le successive immagini prese in una strisciata devono rappresentare una parte comune di territorio per almeno il 60%; di conseguenza, su ogni immagine ci sono fasce che rappresentano porzioni di territorio a comune con altre due immagini. Inoltre, si richiede che strisciate adiacenti rappresentino porzioni comuni di territorio per almeno il 10% (fig.12). In questo modo, `e possibile individuare punti appartenenti a pi` u di due immagini di una stessa strisciata o di strisciate adiacenti ed utilizzarli come punti dii legame, o anche come punti di appoggio, le cui posizioni sono determinate a terra per via topografica, e che servono per la trasformazione delle coordinate dei modelli 3-dimensionali ottenuti dall’orientamento relativo in coordinate sul terreno. In virt` u della presenza di punti di legame si realizza una concatenazione fra i diversi modelli stereoscopici, che possono essere trattati tutti insieme in una procedura di triangolazione aerea, senza bisogno di eseguire l’orientamento assoluto di ciascun modello, e riducendo cos`i il numero di punti d’appoggio necessari. La presenza a bordo dell’aereo di uno o pi` u ricevitori GPS consente di rilevarne la posizione e l’assetto al momento della presa del fotogramma, rendendo inutile in linea di principio la rete di appoggio a terra. Oggi le tecniche per raggiungere questo risultato non sono ancora pienamente sviluppate, ed `e possibile soltanto semplificare significativamente la rete di appoggio, in modo da ridurne il costo. Per l’orientamento esterno di una coppia in fotogrammetria aerea si pu`o scegliere un sistema di riferimento in cui l’asse x sia orientato lungo la direzione prevista della strisciata (che si suppone in un piano orizzontale), l’asse z lungo la verticale e l’asse y a completare la terna (ovviamente anch’esso in un piano orizzontale), e fissare, in fase di orientamento relativo, la distanza fra i centri di presa approssimativamente uguale alla distanza percorsa fra due scatti successivi, deducibile dalla velocit`a dell’aereo e dall’intervallo temporale fra gli scatti; in questo modo, in fase di orientamento assoluto, il fattore di scala differisce di poco da 1, e questa 5
differenza pu`o essere trattata come una quantit`a infinitesima. Dato che la lastra fotografica `e rigidamente fissata al corpo dell’aereo, la sua orientazione dipende dall’assetto di volo, ed `e descritta da 3 angoli, che in generale sono piccoli: un angolo ω di rotazione attorno all’asse x, che rappresenta una deviazione rispetto all’assetto orizzontale dell’aereo, un angolo φ di rotazione attorno all’asse y, che rappresenta una deviazione della direzione di volo dal piano orizzontale, e un angolo κ di rotazione attorno all’asse z, che rappresenta una deviazione nel piano orizzontale rispetto alla direzione di volo prevista. Poich`e le rotazioni commutano al primo ordine di infinitesimo, quando gli angoli sono abbastanza piccoli `e irrilevante l’ordine in cui le rotazioni vengono eseguite. 8. Compensazione di un blocco fotogrammetrico 8.1. Compensazione a modelli indipendenti - Si suppone di avere a disposizione modelli tridimensionali stereoscopici prodotti dall’orientamento relativo di coppie di immagini. Le osservabili sono le coordinate dei diversi modelli. Le coordinate sul terreno si ottengono dalle coordinate dei modelli mediante roto-traslazioni e cambiamenti di scala (trasformazioni a 7 parametri; ogni modello ha la sua trasformazione). In generale un certo numero di punti sul terreno `e comune a pi` u di un modello (punti di legame); `e inoltre necessario che siano note le coordinate sul terreno di alcuni punti (punti di appoggio). Le coordinate sul terreno dei punti di legame, insieme con i parametri delle trasformazioni, costituiscono le incognite; le coordinate sul terreno dei punti di appoggio sono considerate fisse. Ad esempio, con riferimento alla fig.12, si hanno: - 4 modelli, quindi 7 × 4 = 28 parametri di trasformazione - 4 punti osservati per ogni modello, quindi 4 × 4 × 3 = 48 osservabili - 5 punti di legame, quindi 15 coordinate incognite - 4 punti di appoggio. Complessivamente si hanno quindi 48 equazioni di osservazione, con 28 + 15 = 43 incognite. Le equazioni (non lineari, e quindi da linearizzare) hanno la forma r0 + aRrmod − r = 0 dove rmod sono le osservabili; r0 , a e i 3 angoli contenuti in R sono parametri incogniti; r `e incognito se r `e un punto di legame, ed `e invece noto se r `e un punto di appoggio. 8.2 Compensazione a stelle proiettive - I dati a disposizione (osservabili) sono le coordinate immagine dei punti di legame e dei punti di appoggio su tutti i fotogrammi, di cui si suppongono noti i parametri di orientamento interno (distanza principale e coordinate immagine della proiezione ortogonale del centro di presa sull’immagine). Le incognite sono le coordinate sul terreno dei punti di legame, le coordinate dei centri di presa e i parametri di orientamento assoluto dei fotogrammi, che intervengono nelle equazioni di collinearit`a. Naturalmente nelle equazioni intervengono anche le coordinate note dei punti di appoggio sul terreno. Con riferimento all’esempio in fig.13 - le osservabili sono 2 × 6 × 4 = 48; - le coordinate incognite sul terreno sono 3 × 4 = 12; - le coordinate dei centri di presa sono 3 × 4 = 12; i parametri di orientamento assoluto sono 3 × 4 = 12; - ci sono inoltre 4 punti di appoggio sul terreno. Complessivamente si hanno quindi 48 equazioni di osservazione, con 12 + 12 + 12 = 36 incognite. 6
