Principi di Matematica
Introduzione
PRINCIPI DI MATEMATICA Prof. Sergio CAMIZ • • • • • • •
Introduzione Programma Modalità d’esami Paperino e la matemagica Sono belle le soluzioni matematiche? Che cos’è la matematica A cosa serve la matematica in Architettura
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16 ottobre 2014
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Principi di Matematica
Introduzione
Recapito: Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo” Piazzale Aldo Moro, 2 (Città Universitaria) Telefono: 06.4991.3253 E-mail:
[email protected] Pagina web: http://www.camiz.net Orario: Mercoledì ore 9.30 - 11.20 - Aula 1 Venerdì ore 12.15 - 13.10 - Aula 1 Ricevimento: Venerdì 11.30 - 12.10 Piazza Mazzini, per appuntamento.
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Principi di Matematica
Programma
Programma Obiettivi del corso: La matematica è un linguaggio strumentale indispensabile alla ricerca scientifica e tecnologica, fondamentale in ogni aspetto della società moderna. Anche l’architetto progettista dell’ambiente, sia per sua cultura generale che per le interazioni che la sua professione comporta, è obbligato a conoscerla ed integrarla nella sua pratica. Scopo del corso è quello di fornire i fondamenti della matematica moderna ed i concetti necessari alla comprensione dei metodi matematici utilizzati nei corsi successivi, in particolare la statistica e l’analisi dei dati. "Lezione 1".tex
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Principi di Matematica
Programma
Argomenti: • • • • • • • • •
Fondamenti della matematica Teoria degli insiemi Strutture topologiche Strutture algebriche I numeri reali Calcolo infinitesimale Strutture geometriche Funzioni vettoriali reali Sistemi d’equazioni
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Principi di Matematica
Modalità d’esami
Modalità d’esami • esame con test a risposta multipla
• tre sessioni d’esame, di 2/3 appelli ciascuna.
• è consentito un solo esame per sessione.
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Paperino nel mondo della Matemagica
Paperino nel mondo della Matemagica
Walt Disney (1959). Donald in Mathmagic Land, The Walt Disney Company. In italiano: Walt Disney Home Video (Buena Vista Home Entertainment). "Lezione 1".tex
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Principi di Matematica
Paperino nel mondo della Matemagica
Musica: la musica (occidentale in particolare) si basa su regole matematiche: • suono = frequenza di vibrazioni,
• timbro = forma dell’onda sonora,
• ritmo = struttura dell’alternanza degli accenti.
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Paperino nel mondo della Matemagica
Simmetrie: esistono diverse simmetrie in natura:
• quadrata: crucifere
, pirite
• esagonale: fiocchi di neve
;
, smeraldi
... ma anche asimmetrie:
• sistema monoclino di cristallizzazione. "Lezione 1".tex
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Principi di Matematica
Paperino nel mondo della Matemagica
Giochi: oltre gli scacchi, tanti altri; alcuni sono ad informazione completa: scacchi, dama, tris –> Teoria dei giochi altri sono basati sull’azzardo: tutti i giochi di carte: poker, bridge, roulette, testa o croce, lotto, ecc. –> Calcolo delle probabilità altri su regole fisiche: biliardo. "Lezione 1".tex
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Paperino nel mondo della Matemagica
Tic-Tac-Toe
I giocatori, se sanno giocare bene, non possono che pattare. "Lezione 1".tex
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Paperino nel mondo della Matemagica
NIM - Il gioco dei fiammiferi da L’année dernière à Marienbad (1960), di Alain Resnais, con Delphine Seyrig, Giorgio Albertazzi e Sacha Pitoëff. Data la seguente configurazione di fiammiferi:
toglierli a turno, da una fila soltanto. Perde chi resta coll’ultimo. "Lezione 1".tex
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Principi di Matematica
Paperino nel mondo della Matemagica
Il gioco ha numerose varianti, sia per il numero di fiammiferi che di righe, sia se vince chi prende o lascia l’ultimo fiammifero. Con una configurazione casuale, si dimostra che il vincitore potenziale dipende dalla configurazione iniziale. Nel caso illustrato, chi comincia, se sa giocare, vince sempre. M. Gardner (1959) Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions, University of Chicago Press. http://www.cut-the-knot.org/ctk/May2001.shtml http://www.cut-the-knot.org/nim_theory.shtml http://mitglied.lycos.de/jkoeller/nimgame.html "Lezione 1".tex
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Paperino nel mondo della Matemagica
Il concetto di infinito è un concetto matematico come tanti... ma non ha nulla a che vedere con l’infinito filosofico (che fa paura). Nella matematica Dio non c’è. La matematica è stata creata da noi uomini ed è un linguaggio efficiente per esprimere e modellizzare i fatti naturali.
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Principi di matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
Sono belle le soluzioni matematiche? Come disegnare un rettangolo piacevole?
I Greci chiamarono aureo il rettangolo �più piacevole� alla vista, dove il lato minore è medio proporzionale fra il lato maggiore e la loro differenza.
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Sono belle le soluzioni matematiche?
l-x
x
x
In simboli: l : x = x : (l - x) "Lezione 1".tex
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Principi di matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
√
ovvero, da x2+l x−l2 = 0, segue che x = l 52− 1 = l 0.618034... Si dice che x è la parte aurea di l.
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Sono belle le soluzioni matematiche?
Il Partenone è costruito basandosi sulla sezione aurea "Lezione 1".tex
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Sono belle le soluzioni matematiche?
... ma risulta che anche l - x è la parte aurea di x, perché è vero che x : (l − x) = = (l − x) : (x − (l − x) ) = = (l − x) : (2 x − l) e quindi ancora x2 + lx − l2 = 0
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Principi di matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
Nella stella a 5 punte risulta che A+B+C:A+B=A+B:A=A:B "Lezione 1".tex
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Sono belle le soluzioni matematiche?
C’è una relazione con i numeri di Fibonacci: Φ0 = 0 , Φ1 = 1 , Φn = Φn−1 + Φn−2 per i quali risulta lim Φn = n → ∞ Φn−1
lim Φn−2 lim Φn−1+Φn−2 = 1 + Φ n−1 n → ∞ Φn−1 n→∞
e dunque, chiamando α tale limite, risulta √
1+ 5 1 = 1, 6180339887498948482045868... α = 1+ ⇒ α = α 2 "Lezione 1".tex
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Principi di matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
... e anche con la spirale logaritmica ... r = ec θ
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Principi di matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
L’estetica di un problema statico La Tour Eiffel:
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Principi di matematica
x (z) =
�
Sono belle le soluzioni matematiche?
p.spec (altezza − z) peso tensione tensione e
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Sono belle le soluzioni matematiche?
The Brooklyn Bridge, New York
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Principi di matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
Ponti sospesi
Bristol, Clifton Suspension Bridge (di Isambard K. Brunel) "Lezione 1".tex
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Principi di matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
Golden Gate, San Francisco - Verrazano Narrows, New York
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Principi di matematica
Sono belle le soluzioni matematiche?
La catenaria: ix + e−ix e y = cosh x = 2
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Principi di Matematica
Che cos’è la matematica?
Che cos’è la matematica? Quanto fa due più due? due più due fa quattro due più due fa tre quale delle due asserzioni è vera?
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Principi di Matematica
A che serve la matematica in architettura
Parallelismo Due rette parallele non s’incontrano mai Si dicono parallele due rette che non s’incontrano mai Per un punto esterno ad essa... 1) ...non esiste alcuna retta... 2) ...esiste una ed una sola retta... 3) ...esistono tante rette... parallela/e alla retta data. "Lezione 1".tex
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Principi di Matematica
A che serve la matematica in architettura
A che serve la matematica in architettura • Estimo (calcolo dei costi); • contabilità professionale; ma, più importante • • • • • •
calcolo strutturale; organizzazione; analisi e pianificazione urbana e territoriale, traffico; ricerca di informazioni (basi di dati); disegno e progettazione assistiti; calcolo di prospettive.
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Principi di Matematica
A che serve la matematica in architettura
Esempio 1) Calcolare lo spessore d’una trave, essendo noti i carichi che devono gravarci sopra. Esempio 2) Decidere dove localizzare un centro commerciale in un’area urbana e definirne la dimensione. Esempio 3) Valutare la richiesta d’un tipo di servizi in un centro urbano con date caratteristiche socio-economiche. Esempio 4) Date 3 zone residenziali e due zone una industriale ed una commerciale definire la mobilità fra zone per organizzare le strade, la viabilità ed i trasporti. "Lezione 1".tex
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Principi di Matematica
A che serve la matematica in architettura
Esempio 5) Per un preventivo, definire tutti gli elementi architettonici concorrenti a formare un’abitazione e valutare un costo complessivo. Esempio 6) Chiusura al traffico del Lungotevere: che effetti avrà sul Grande Raccordo Anulare? Esempio 7) È possibile rappresentare una struttura da più punti di vista, facendola ruotare? La matematica offre le soluzioni più adeguate al problema..... ...sempre che si sappia porre il problema in modo adeguato! "Lezione 1".tex
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