La recherche à l'école …
page 79
Par combien de zéros se termine N! ?
N! se lit “factorielle N”. N est un entier positif et N! est le produit de tous les entiers dans l’ordre croissant de 1 à N. Voici quelques exemples :
par … d es co llèg es An dré Do ucet de Nanterre et Victor Hugo de Noisy le Grand
1! = 1 ; 2! = 1 × 2 = 2 ; en seignants : Danielle Buteau, Martine 3! = 1 × 2 × 3 = 6 ; Brunstein, Marie-Christine Chanudeaud, 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 ; Pierre Lévy 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 ; ... ; chercheur : Jacqueline Zizi 10! = 1 × 2 × ... × 9 × 10 = 3 628 800 On comprend vite comment construire des factorielles, mais par contre on s’aperçoit aussi que l’on obtient rapidement de grands nombres. 5! se termine par un zéro, 10! par deux mais par contre 1!, 2!, 3!, 4! par aucun. La question est donc de savoir s’il est possible de p révoir pou r n’impo rte quel entier N le nombre de zéros à la fin de N!. Nous avons commencé par calculer les factorielles les unes après les autres à l’aide de n otre calcu latrice. Mais très v ite, nou s n’avions plus le résultat exact, car la capacité de la machine ne lui permettait plus d’afficher tous les chiffres. Il a fallu alors faire les calculs à la main. C’était long et fastidieux ! Nous avons bien essayé de programmer un ordinateur pour lui faire faire ce travail. Voici notre algorithme : Choisir un nombre N
f=1;n=1
Si N = n
sinon
alors N! = f × n
FIN
Congrès “MATh.en.JEANS” à l'Ecole Polytechnique les 23, 24, 25, 26 avril 1993
f×n→f n+1→n
La recherche à l'école …
page 80
Notre professeur a alors traduit cet algorithme en Turbo Pascal ; notre déception fut immense lorsqu’on s’aperçut que l’ordinateur se montrait tout aussi incapable de calculer n’importe quelle factorielle qu’une vulgaire calculatrice un tout petit peu évoluée. Nous avons repris nos calculs à la main jusqu’à 25! et c’est alors que nous avons constaté que 5! se termine par un zéro ainsi que 6!, 7!, 8! et 9! ; que 10! se termine par deux zéros ainsi que 11!, 12!, 13! et 14! ; que 15! se termine par trois zéros ainsi que 16!, 17!, 18! et 19! ; que 20! se termin e par quatre zéros ainsi que 21!, 22!, 23! et 24!. Notre première conjecture était qu'il suffisait de diviser le nombre dont on veut calculer la factorielle par 5 puis de prendre la troncature à l'unité du quotient : par exemple : 16 : 5 = 3,2 alors le nombre de zéros à la fin de 16! serait de 3 27 : 5 = 5,4 alors le nombre de zéros à la fin de 24! serait de 5
calculs à la main …
1!= 1 2!= 2 3!= 6 4!= 24 5!= 120 6!= 720 7!= 5040 8!= 40320 9!= 362880 10!= 3628800 11!= 39916800 12!= 479001600 13!= 6227020800 14!= 87178291200 15!= 1307674368000 16!= 20922789888000 17!= 355687428096000 18!= 6402373705728000 19!= 121645100408832000 20!= 2432902008176640000 21!= 51090942171709440000 22!= 1124000727777607680000 23!= 25852016738884976640000 24!= 620448401733239439360000 25!=15511210043330985984000000 N
Mais nos calculs nous montrent que 25! se termine par six zéro s et non cinq comme prévu, de même que 26!, 27!, 28! et 29!. Après avoir constaté qu'à 25! il y avait un “saut” de 2 zéros, nous avons supposé qu'à chaque factorielle d'un multiple de 5 il y avait un saut de 1 zéro, et qu'à chaque factorielle d'un multiple de 25 il y avait un saut de 2 zéros. Cela nous a permis de faire un premier tableau avec nos prévisions (sans calculer de nouvelles factorielles).
1 ... 4 5 ... 9 10 ... 14 15 ... 19 20 ... 24 25 ... 29 30 ... 34 35 ... 39 40 ... 44 45 ... 49 50 ... 54 55 ... 59 60 ... 64 65 ... 69 70 ... 74 75 ... 79 80 ... 84 85. .. 89 90 ... 94 95 ... 99 100 ... 104 105 ... 109 110 ... 114 115 ... 119 120 ... 124 125 ... 129 130 ... 134 135 ... 139 140 ... 144 145 ... 149 150 ... 154 155 ... 159 160 ... 164 165 ... 169 170 ... 174 175 ... 179 180 ... 184 185 ... 189 190 ... 194 195 ... 199 200 ... 204 205 ... 209 210 ... 214 215 ... 219 220 ... 224 225 ... 229 230 ... 234 235 ... 239 240 ... 244 245 ... 249 250 ... 254
Nombre de zéros à la fin de N! 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28 31 32 33 34 35 37 38 39 40 41 43 44 45 46 47 49 50 51 52 53 55 56 57 58 59 62
N
Nombre de zéros à la fin de N!
N
Nombre de zéros à la fin de N!
255 ... 259 260 ... 264 265 ... 269 270 ... 274 275 ... 279 280 ... 284 285 ... 289 290 ... 294 295 ... 299 300 ... 304 305 ... 309 310 ... 314 315 ... 319 320 ... 324 325 ... 329 330 ... 334 335 ... 339 340 ... 344 345 ... 349 350 ... 354 355 ... 359 360 ... 364 365 ... 369 370 ... 374 375 ... 379 380 ... 384 385 ... 389 390 ... 394 395 ... 399 400 ... 404 405 ... 409 410 ... 414 415 ... 419 420 ... 424 425 ... 429 430 ... 434 435 ... 439 440 ... 444 445 ... 449 450 ... 454 455 ... 459 460 ... 464 465 ... 469 470 ... 474 475 ... 479 480 ... 484 485 ... 489 490 ... 494 495 ... 499 500 ... 504
63 64 65 66 68 69 70 71 72 74 75 76 77 78 80 81 82 83 84 86 87 88 89 90 93 94 95 96 97 99 100 101 102 103 105 106 107 108 109 111 112 113 114 115 117 118 119 120 121 124
505 ... 509 510 ... 514 515 ... 519 520 ... 524 525 ... 529 530 ... 534 535 ... 539 540 ... 544 545 ... 549 550 ... 554 555 ... 559 560 ... 564 565 ... 569 570 ... 574 575 ... 579 580 ... 584 585 ... 589 590 ... 594 595 ... 599 600 ... 604 605 ... 609 610 ... 614 615 ... 619 620 ... 624 625 ... 629 630 ... 634 635 ... 639 640 ... 644 645 ... 649 650 ... 654 655 ... 659 660 ... 664 665 ... 669 670 ... 674 675 ... 679 680 ... 684 685 ... 689 690 ... 694 695 ... 699 700 ... 704 705 ... 709 710 ... 714 715 ... 719 720 ... 724 725 ... 729 730 ... 734 735 ... 739 740 ... 744 745 ... 749 750 ... 754
125 126 127 128 130 131 132 133 134 136 137 138 139 140 142 143 144 145 146 148 149 150 151 152 156 157 158 159 160 162 163 164 165 166 168 169 170 171 172 174 175 176 177 178 180 181 182 183 184 187
Au premier séminaire, nous n'étions pas d'accord entre les deux équipes à partir de 125!. Notre chercheur, Mme Zizi nous a alors don né des calculs d e factorielles aussi grandes que l'on veut faits par un ordinateur (hé oui, cela est possible : il suffit d'avoir les deux équipes, 125! se termine par 31 zéros bons outils). Cela a permis de trancher le c'est-à-dire que 3 zéros supplémentaires débat car, comme l'avait supposé une des apparaissent (au lieu de 2).
Congrès “MATh.en.JEANS” à l'Ecole Polytechnique les 23, 24, 25, 26 avril 1993
La recherche à l'école …
page 81
Nous avons alors corrigé notre tableau de teurs délaissés est trop important. Comme prévisions et nous nous sommes posé la ques- nous avons remarqué que l'on peut obtenir tion : Où y aura-t-il un saut de 4 zéros ? autant de puissances de 5 que de puissances de 10, nous nous sommes alors intéressés aux La première méthode mise au point à partir puissances de 5. des remarques précédentes est la suivante : 5 × 2 = 10 Les zéros existant à la fin de N! proviennent 54 × 24 = 104 de l'existence de multiples de dix dans l'écri- d'une manière plus générale : ture de N! (exemples 10, 20, 30, …). Mais 5n × 2n = 10n. d'autres multiples de dix peuvent être obtenus par les produits de multiples de 2 avec des Pourquoi y avait-il un saut de 1 zéro à chaque multiples de 5 impairs (exemples 5 × 2, 15 × multiple de 5 ? 4, …). Les facteurs non utilisés sont regrou5 × 2 = 10 pés alors dans une variable A. Pourquoi y avait-il un saut de 2 zéros à chaque multiple de 25 ? On décompose tous ces multiples de dix. Les 25 × 4 = 100 nombres inutiles issus de la décomposition Pourquoi y avait-il un saut de 3 zéros à précédente sont regroupés dans A' avec A. chaque multiple de 125 ? On recommence éventuellement ces décom125 × 8 = 1000 positions s'il existe encore des multiples de 5 Quel nombre multiplié par 16 donne 10000 ? dans les facteurs délaissés. On obtient : C'est 625 car 625 × 16 = 10000 n N! = 10 × A'. Nous avons ainsi prévu qu'à chaque multiple Le nombre de zéros à la fin de N! est l'expo- de 625, il y avait un saut de 4 zéros. Cela sant n de 10. confirmait notre idée que les nombres qui déterminaient la quantité de zéros en plus Exemple : dans l'écriture des factorielles étaient : 33! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 × 17 × 18 × 19 × 20 × × 21 × 22 × 23 × 24 × 25 × 26 × 27 × 28 × 29 × 30 × 31 × 32 × 33
5= 25 = 5 × 5 125 = 5 × 5 × 5 625 = 5 × 5 × 5 × 5
= 51 = 52 = 53 = 54
33! = (2 × 5) × (10 × 4) × (15 × 6) × (20 × 8) Nous avons conjecturé que toutes les puis× (25 × 12) × (30 × 14) × A sances de 5 donneraient un nombre de zéros supplémentaires. En fait 5n donnera un saut 33! = 10 × (10 × 4) × (10 × 9) × (10 × 16) × de n zéros. (100 × 3) × (10 × 42) × A Nous pouvions donc connaître le nombre de 7 33! = 10 × (4 × 9 × 16 × 3 × 42 × A) zéros à la fin de N! en poursuivant notre tableau de prévisions aussi loin que nécessai7 33! = 10 × A' re. Cela n'était guère satisfaisant ! Il aurait été beaucoup plus simple de pouvoir trouver le On a 7 zéros à la fin de 33!. résultat directement. Cette méthode est efficace mais trop fasti- Pour cela, il faut trouver combien il y a avant dieuse car le nombre d'étapes que nécessite le N de multiples de 5, de multiples de 25, de tri des facteurs multiples de 5 dans les fac- multiples de 125, …
Congrès “MATh.en.JEANS” à l'Ecole Polytechnique les 23, 24, 25, 26 avril 1993
La recherche à l'école …
page 82
Exemples de calculs : pour 3 124!
exemple :
3 124 : 5 = 624,8. Il y a 624 multiples de 5 On veut connaître le nombre de multiples de avant 3124. 5 dans 16. 16 = 3 × 5 + 1. Dans 16 on a 3 paquets de 5 unités. Le premier paquet donne 624 : 5 = 124,8. Il y a 124 multiples de 25 le premier multiple de 5, c'est-à-dire 5. Les avant 3 124. deux premiers paquets donnent le second multiple 2 × 5, c'est-à-dire 10, et les trois 124 : 5 = 24,8. Il y a 24 multiples de 125 paquets donnent le troisième multiple 3 × 5, avant 3 124. c'est-à-dire 15. 24 : 5 = 4,8. Il y a 4 multiples de 625 avant Mais E[N/5] donne ausi le nombre de mul3 124. tiples de 5 dans N! : 624 + 124 + 24 + 4 = 776. Il y aura donc On veut connaître le nombre de fois qu'il y a 776 zéros à la fin de 3 124! x dans N! : x et N sont des entiers positifs. Pour cela, on range les facteurs de N! dans Nous avons alors établi la formule suivante l'ordre croissant, puis on compte le nombre donnant le nombre de zéros qui terminent de groupes de x facteurs dans N. N! : L orsqu' on calcule E[N/5] , on trou ve le 2 3 p E[N/5]+E[N/5 ]+E[N/5 ]+…+E[N/5 ] tant nombre de multiples de 5 dans N! y compris que E[N/5p] n'est pas nul. les multiples de 25, 125, etc … Si l'on calcule p p E[N/5 ] signifie : partie entière de N/5 E[N/5 2], on trouve le nombre de multiples de 25 dans N!. Or les multiples de 25 sont déjà exemple : comptés une fois dans E[N/5]. Il faut pourtant les compter une deuxième fois car on peut Pour connaître le nombre de zéros qui termi- associer à 25 (c'est-à-dire 52 ) le facteur 22 : on nent 33!, il suffit de calculer obtient ainsi 52 × 22 c'est-à-dire 102 qui va produire deux zéros à la fin. On comptera E[33/5]+E[33/52]+E[33/53], ainsi trois fois les multiples de 5 supérieurs à 124 et ainsi de suite. c'est-à-dire 6 + 1 + 0 = 7, donc 33! se termine par 7 zéros. exemple : démonstration de la formule :
On veut connaître le nombre de multiples de 5 dans 16!.
E[N/5] donne le nombre de multiples de 5 avant N. Voici pourquoi : 16! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 On veut connaître le nombre de fois qu'il y a x dans N : x et N sont des entiers positifs. On regroupe les 16 facteurs par paquets de 5 Pour cela, il suffit de compter le nombre de car on sait que dans chaque paquet il y aura groupes de x unités dans N. Cela nous est un multiple de 5 puisque les facteurs sont donné par E[N/5] : classés dans l'ordre croissant. N=n×x+R n : nombre de fois qu'il y a x dans N R : reste qui ne peut pas former un groupe de x unités
Donc E[16/5] nous donne bien le nombre de multiples de 5 dans 16! puisque cela nous indique le nombre de paquets de 5 facteurs que l'on peut constituer.
Congrès “MATh.en.JEANS” à l'Ecole Polytechnique les 23, 24, 25, 26 avril 1993
La recherche à l'école …
page 83
Puisque pour les multiples de 5 supérieurs à 25, on a besoin de plusieurs facteurs 2 pour les associer aux facteurs , une question se pose : est-on sûr de disposer de suffisamment de facteurs 2 c'est-à-dire de facteurs pairs ? La réponse est oui car dans un groupe de 5 nombres consécutifs pris dans l'ordre croissant, il y aura deux fois plus de nombres pairs que de multiples de 5. En effet, par exemple : 21 / 22 / 23 / 24 / 25 / 26 / 27 / 28 / 29 / 30 D' autre p art, o n p eut ob tenir p lu sieu rs facteurs 2 en ne décomposant qu'un seul nombre pair. exemples :
28 = 2 × 2 × 7 24 = 2 × 2 × 2 × 3
A présent, te voilà aussi, cher lecteur, capable de calculer rapidement et simplement le nombre de zéros à la fin de N!. Tu vas pouvoir ainsi épater tes amis et même de nombreux mathématiciens car cette question est loin d'être une évidence pour le monde.
Congrès “MATh.en.JEANS” à l'Ecole Polytechnique les 23, 24, 25, 26 avril 1993