Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale L’archeologia e il tempo, Metodi di datazione
Luca Lanci 4-8 Maggio 2009, Peveragno (Cuneo)
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci NRM
Parte I Magnetizzazione Rimanente Naturale
Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Magnetizzazione naturale rimanente in un campione di roccia Possiamo immaginare un campione di roccia come una matrice diamagnetica nella quale sono immersi dei granuli ferromagnetici (s.l.). In assenza di campo esterno la direzione dei momenti magnetici (Ms ) dei singoli granuli ` e diretta lungo una direzione preferenziale di ogni granulo detta asse facile. Un campione ` e magnetizzato quando la somma vettoriale dei momenti magnetici dei singoli granuli ` e 6= 0.
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci NRM Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione
In granuli uniassiali il momento magnetico pu` o essere diretto in entrambi i versi lungo la direzione dell’asse, ma per passare da un verso a quella opposta bisogna superare una barriera energetica che chiamiamo “energia di blocco” (Eb). Per magnetizzare o smagnetizzare un campione bisogna superare l’energia di blocco delle sue particelle magnetiche.
Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Energia di blocco Prendiamo in considerazione l’anisotropia uniassiale e vediamo come l’applicaziopne di un campo magnetico possa cambiare la direzione della Ms . L’energia libera di una particella magnetica di questo tipo ` e data dalla somma di due termini, l’energia di anisotropia (Ku sin2 θ) e l’energia di Zeeman -(µ0 Ms H cos(φ − θ)) dovuta al campo magnetico. In questo caso l’energia libera E = EA + EH sar` a data dalla ` ´ E = v Ku sin2 θ − µ0 Ms H cos(φ − θ) (1) dove Ku ` e la costante di anisotropia, θ l’angolo fra Ms e l’asse facile e φ l’angolo fra l’asse facile e la direzione di H, v ` e il volume della particella, µ0 ` e la permeabilit` a magnetica del vuoto, Ms magnetizzazione spontanea, H l’intensit` a del campo magnetico.
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci NRM Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori
L’applicazione di un campo magnetico permette di superare l’energia di blocco.
Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Energia di blocco
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci NRM Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Le direzioni stabili di Ms corrispondono ai minimi di E .
Effetto della temperatura
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci NRM Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione
Per effetto della agitazione termica ogni tanto succede che qualche momento magnetico acquisti una energia sufficientemente alta da superare la barriera energetica (energia di blocco) e cambi la sua direzione. Questo succede in maniera del tutto casuale. Se si attende abbastanza a lungo i momenti magnetici si troveranno dispersi casualmente ed il campione sar` a demagnetizato.
Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Effetto della temperatura
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Se consideriamo i 2 possibili stati che Ms pu` o assumere, che chiamiamo 1 e 2, e che corrispondono agli angoli θ dei minimi della eq. 1. Per una tale particella bi-stato la probablit` a che che il momento magnetico si trovi in uno dei due minimi (diciamo 1) ` e descritta dalla cosiddetta equazione cinetica. ∂n1 = −n1 w1 + n2 w2 (2) ∂t dove n1 e n2 sono le frazioni della magnetizzazione rispettivamente negli stati 1 e 2 (assumendo n1 + n2 = 1) e w1,2 = fo exp (−Eb1,2 /kT ). I termini n1 w1 e n2 w2 nella eq. 2 descrivono la probabilit` a del momento magnetico di passare rispettivamente dallo stato 1 → 2 e dallo stato 2 → 1, in accordo con la statistica di Boltzmann. Il fattore di proporzionlit` a fo rappresenta la frequenza di ri-organizzazione atomica (in pratica il nr. di tentativi/sec), che ` e a sua volta funzione di Ku , Ms , T , H e φ. Nella letteratura vengono riportate diverse formulazioni per fo , ma si pu` o considerare con buona approssimazione fo ≈ 1 · 109 .
Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale
Effetto della temperatura Sostituendo n2 = 1 − n1 e integrando con eq. 2 rispetto a t, assumendo quindi T and Eb1,2 constanti, otteniamo la expressione classica dell’approccio all’equilibrio. « „ −t (3) n1 (t) = neq + (n1 (0) − neq ) exp τ dove neq =
w2 w1 + w2
1 = w1 + w2 τ
Il termine neq rappresenta la magnetizzazione all’equilibrio termodinamico, mentre n1 (0) ` e la frazione iniziale di momento magnetico nello stato 1. Dato che il tempo di rilassamento τ ` e funzione delle barriere energetiche Eb1,2 , viene introdotta una dipendenza di τ dal volume delle particelle. Dalla eq. 3, le frazioni n1 (t) and n2 (t) = 1 − n1 (t) possono essere calcolate come funzione del tempo t e la magnetizzazione di un insieme di particelle pu` o essere calcolata come la somma vettoriale dei momenti nei 2 stati.
L’effetto della agitazione termica sui minerali magnetici ` e quello di ristabilire l’equilibrio termodinamico e quindi cancellare la magnetizzazione rimanente. Il suo studio ` e importante per capire la stabilit` a della magnetizzazione rimanente e il metodo della demagnetizzazione termica.
Luca Lanci NRM Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Tempo di rilassamento – τ
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci
Tempo di rilassamento NRM
Il tempo di rilassamento (τ ) ` e il tempo necessario per ridurre la magnetizzazione rimenente iniziale (Mr 0 ) di un insieme di particelle a Mr 0 /e. Rappresenta una misura della stabilit` a della magnetizzazione rimanente.
Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale
Tempo di rilassamento – τ
Luca Lanci NRM
L’espressione classica per τ riportata spesso nei libri di testo ` e la seguente 1 „ « 1 v hc Ms τ = exp (4) fo 2 kT Dimensionalmente v hc Ms = [cm3 ] [Oe] [G] = [cm3 ] [erg] [G−1 ] [cm−3 ] [G] = [erg] ` e una energia. Il termine v hc2 Ms rappresenta quindi l’energia di blocco, kT l’energia termica.
Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione
1 l’eq. 4 ` e equivalente alla τ definita nella eq. 3 se assumiamo H = 0 ⇔ Eb1 = Eb2 = v Ku e consideriamo la coercivit` a hc equivalente alla microcoercivit` a hk = (2Ku )/Ms (quindi Ku = hc 2Ms ) e infine consideriamo w2 = 0 (cio` e nessuno momento nel minimo 2).
1 τ
= w1 + w2 = fo exp (−Eb/kT ) + 0 = fo exp (−Eb/kT )
sostituendo Eb con v hc2 Ms abbiamo 1 τ che ` e equivalente alla eq. 4.
= fo exp
„ « v h c Ms − 2 kT
Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
τ e VRM
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AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale
τ e temperatura τ =
1 exp fo
„
v hc Ms 2 kT
Luca Lanci
« NRM
Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori
τ diminuisce drasticamente con l’aumento della temperatura, quindi la temperatura ` e un altro modo per superare l’energia di blocco e cambiare la magnetizzazione rimanente.
Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
τ rispetto a hc e v
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AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld
Tempi di rilassamento di un insieme di granuli SD con lo stesso Ms su un diagramma volume (v ) vs. coercivit` a (hc ). Le linee con lo stesso τ hanno lo stesso prodotto v hc , La popolazione di granuli del nostro ipotetico campione ` e rappresentata dai contour grigi. Granuli con τ < τs sono superparamagnetici 2 . 2 τs ` e un tempo di rilassamento durante il quale osserviamo (misuriamo) il campione, convenzionalmente τs = 100 sec
Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Smagnetizzazione in campi alternati
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci NRM
Se campione di roccia ` e posto in un campo magnetico alternato, la magnetizzazione di tutti i domini con coercivit` a inferiore al picco del campo alternato sono rimagnetizzati. Il campo alternato viene lentamente ridotto a zero in uno spazio privo di altri campi quindi le direzioni dei granuli rimagnetizzati vengono disperse casualmente. La parte che rimane ` e stata magneticamente ripulita da quella a coercivit` a pi` u bassa del campo massimo. In alcuni laboratori il campione ` e demagnetizzato AF successivamente lungo i tre assi ortogonali; in altri il campione ` e ruotato (tumbled) in maniera pi` u casuale possibile entro la bobina di demagnetizzazione.
Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
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Smagnetizzazione
Attenzione Il metodo AF ` e limitato dalla intensit` a del campo che pu` o essere prodotto nella bobina di demagnetizzazione, comunemente intorno a 0.1 – 0.2 T. Questi campi sono efficaci nel demagnetizzare solo rocce che contengono magnetite.
Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Rappresentazione schematica della smagnetizzazione AF
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AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori
In alcuni laboratori il campione ` e demagnetizzato AF successivamente lungo i tre assi ortogonali, in altri il campione ` e ruotato (tumbled) in maniera pi` u casuale possibile entro la bobina di demagnetizzazione.
Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Smagnetizzazione termica
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci NRM
Abbiamo visto che la temperatura (T ) ` e in grado di diminuire drasticamente il tempo di rilassamento. Quando un campione di roccia ` e riscaldato alla temperatura T le direzioni dei granuli magnetici che hanno una temperatura di sblocco inferiore a T verranno disperse casualmente. Se adesso il campione viene raffreddato in uno spazio privo di campi magnetici, questa parte della NRM rimane demagnetizzata. Questo metodo ` e pi` u efficace della demagnetizzazione AF perch` e il campo di temperature necessarie per distruggere tutti i tipi di NRM ` e sotto i 700 ◦ C, che ` e una temperatura facilmente raggiungibile.
Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione
Attenzione Se la roccia contiene una mineralogia magnetica metastabile o instabile, i suoi cambiamenti irreversibili della mineraolgia possono complicare i risultati della demagnetizzazione termica.
Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Rappresentazione schematica della smagnetizzazione termica
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Smagnetizzazione
a) Il diagramma rappresenta la distribuzione dell’ipotetica popolazione di granuli di volume (v ) e coercivit` a (hc ) contenuti nel nostro campione; i granuli stabili sono rappresentati dalla porzione grigia. Le temperature di blocco (TB ) aumentano verso l’alto e la destra. b) Alla temperatura di demagnetizzazione Tdemag rimangono magnetizzati solo i granuli stabili (TB > Tdemag ) che registrano la direzione della magnetizzazione caratteristica (ChRM), mentre la direzione degli altri ` e cancellata.
Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Smagnetizzazione progressiva
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Quale ` e il livello di smagnetizzazione appropriato (termico o in campi alternati) per isolare la magnetizzazione caratteristica (ChRM)?
In una smagnetizzazione progressiva il campione viene smagnetizzato a livelli progressivamente crescenti misurando la NRM dopo ogni smagnetizzazione. Nella smagnetizzazione termica i cicli di riscaldamento e raffreddamento sono ripetuti con temperature massime progressivamente crescenti, in quella AF vengono usati campi di picco progressivamente crescenti. La procedura adottata normalmente consiste nello smagnetizzare alcuni campioni termicamente ed altri AF e di confrontare i risultati, ma la conoscenza della mineralogia magnetica pu` o indicare quale tecnica di smagnetizzzione ` e la pi` u adatta. La progressiva distruzione della magnetizzazione rivela le componenti presenti nella NRM. La loro resistenza alla demagnetizzazione ` e indice della loro stabilit` a. Le componenti stabili, cio` e sono quelle rimosse agli intervalli di manetizzazione pi` u alti, sono quelle che possono resistere ai tempi geologici e quindi presumilmente le componenti originali (ChRM).
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Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Intervalli di smagnetizzazione progressiva
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Quanti e quali livelli di smagnetizzazione usare?
Dipende, spesso i livelli di smagnetizzazione sono scelti per tentativi. Per` o un regola generale ` e che le coercivit` a hanno una distribuzione log-normale, quindi i campi AF sono scelti piccoli all’inizio e pi` u grandi alla fine, per es. 2.5, 5.0, 10.0, 15.0, 20.0, 30.0, 40.0, 60.0, 80.0, e 100.0 mT. Nella smagnetizzazione termica, le temperature andranno dalla temp. ambiente alla temperatura di Curie. Spesso si usano gradini di temperatura di 50–100 ◦ C ma avvicinandoci alla temperatura di Curie si usano incrementi pi` u piccoli anche disolo 5 ◦ C. Il prodotto finale della smagnetizzazione progressiva ` e un insieme di misure di NRM per ogni livello di smagnetizzazione.
Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Componenti della NRM La magnetizzazione ` e una grandezza vettoriale e la NRM di un campione di roccia ` e spesso formata dalla somma di pi` u vettori. La smagnetizzazione progressiva permette di estrarre le diverse componenti della NRM in base alla loro stabilit` a.
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Smagnetizzazione
Rappresentazione prospetica, in coordinate geografiche, del vettore della NRM durante una smagnetizzazione progressiva. Le frecce in linea continua mostrano il vettore della NRM durante i vari intervalli di smagnetizzazione (da 1 a 6), le frecce tratteggiate mostrano la componente della NRM a bassa stabilit` a rimossa durante gli intervalli 1 – 3. Durante la smagnetizzazione dall’intervallo 4 al 6 la componente della NRM ad alta stabilit` a diminuisce di intensit` a ma non cambia di direzione.
Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Nota: – Proiezione equiareale
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Se dobbiamo rappresentare una direzione (versore) possiamo usare una proiezione equiareale.
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AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Come rappresentare un vettore – Direzione e intensit`a
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AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori
La rappresentazione in prospettiva non ` e molto pratica, per` o ll direzione ed intensit` a di un vettore possono essere rappresentati su due diversi diagrammi, uno per la direzione ed un’altro per l’intensit` a.
Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Come rappresentare un vettore – Diagrammi vettoriali Il metodo pi` u efficace per analizzare la struttura e la stabilit` a di una magnetizzazione rimanente ` e la costruzione diagrammi vettoriali (Zijderveld, 1967). La direzione ` e scomposta nelle componenti nord (x), est (y ) e verticale (z), e i diagrammi sono fatti disegnando la componente nord rispetto la est, e una delle componenti orizzontali (la nord o la est) rispetto la componente verticale. Questo equivale a proiettare il vettore in un piano orizzontale e in un piano verticale nord-sud o est-ovest, la scelta della proiezione verticale dipende dalla intensit` a di N ed E .
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Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Diagrammi vettoriali (di Zijderveld)
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AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Analisi dei diagrammi vettoriali Nel caso pi` u semplice dove ` e presente una singola componente stabile della magnetizzazione, rimanente la demagnetizzazione progressiva produrr` a una linea diritta all’origine in entrambe le parti del diagramma vettoriale.
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Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori
Quando le componenti instabili sono rimosse, esse sono rappresentate sul diagramma vettoriale come linee non dirette verso l’origine. Se dopo la demagnetizzazione di una componente meno stabile rimane un vettore stabile, esso ` e rappresentato da una linea dritta all’origine del diagramma vettoriale.
Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Analisi dei diagrammi vettoriali – casi complessi
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L’analisi dei diagrammi vettoriali pu` o essere complicata se le temperature di blocco o gli spettri di coercivit` a delle diverse componenti si sovrappongono.
Quando ` e presente pi` u di una componente della magnetizzazione ` e possibile che gli spettri della coercivit` a o delle temperature di sblocco si sovrappongano parzialmente, e quando questa sovrapposizione viene demagnetizzata il diagramma vettoriale pu` o mostrare una parte curva piuttosto che 2 segmenti rettilinei.
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Smagnetizzazione
Nei casi in cui gli spettri di coercivit` a si sovrappongono molto la porzione rettilinea delle componenti vettoriali pu` o essere molto ridotta o addirittura assente. In questi casi si pu` o provare ad usare la tecnica dei “circoli di rimagnetizzazione” per ricavare la direzione della ChRM.
Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Analisi dei diagrammi vettoriali – casi complessi
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Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Direzione della ChRM Come ricaviamo la direzione della ChRM una volta che abbiamo individuato la giusta componente sui diagrammi vettoriali?
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Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld
La declinazione (D) e l’inclinazione (I ) della componente stabile della NRM si possono misurare direttamente sul diagramma vettoriale, tenendo presente che la inclinazione reale si ricava da quella apparente (Iapp ) misurata sul diagramma tramite la tan I = tan Iapp | cos D|
Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Analisi delle Componenti Principali (PCA)
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci
In pratica la direzione si calcola facendo un “best-fit” delle misure di NRM che identificano la componente di nostro interesse. La tecnica comunemente usata ` e una versione leggermente modificata dell’analisi statistica multivariata chiamata Analisi degli Elementi Principali (PCA).
NRM Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale
PCA passo-passo 1) Calcolare la “orientation matrix” T 2P
Luca Lanci 0
0
x x 6P i0 i0 T = 4 yi xi P 0 0 zi xi
0
0
P 0 0 x y P i0 i0 yi yi P 0 0 zi yi
P 0 03 x z P i0 i0 7 yi zi 5 P 0 0 zi zi
0
dove x , y e z sono le NRM in coordinate cartesiane (alle quali ` e stata sottratta la media se il best-fit non ` e ancorato all’origine). 2) Calcolare autovalori e autovettori di T TV = λV dove V ` e la matrice degli autovettori e λ sono gli autovalori. I valori di λ possono essere calcolati risolvendo la det|T − λ| = 0, ma in generale entrambi V e λ vengono calcolati numericamente. 3) Best-fit direction e MAD La direzione della ChRM sar` a data dall’autovettore corrispondente al autovalore pi` u grande. Inoltre ` e possibile calcolare la cosiddetta “Maximum Angular Deviation”. „q « MAD = tan−1 σ22 + σ32 /σ1 dove σ1 =
√
λi
NRM Energia di blocco Energia di blocco Temperatura Temperatura Temperatura Tempo di rilassamento Tempo di rilassamento VRM τ – temp τ vs hc e v Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione Smagnetizzazione
AF AF TH TH
Smagnetizzazione Intervalli Comp. NRM Steroplot Stereo + Intensit` a Diagrammi vettoriali Diagrammi di Zijderveld Analisi vettori Analisi vettori Analisi vettori Direzione ChRM PCA PCA
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci Sistema di riferimento
Parte II
Coord. campione Campione orientato Campione orientato Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni
Direzioni e Paleopoli
Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye
Sistema di riferimento — Componenti del campo geomagnetico
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci Sistema di riferimento Coord. campione Campione orientato Campione orientato Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye
Nella nostra convenzione la direzione del campo magnetico ` e rappresentata dalla declinazione (D) che ` e l’angolo fra in nord geografico e la proiezione del vettore lungo il piano orizzontale, e la inclinazione (I ), ovvero l’angolo fra il vettore e il piano orizzontale preso con valori positivi verso il basso.
Sistema di riferimento — Coordinate del campione
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci Sistema di riferimento
In laboratorio le direzioni della NRM non sono misurate rispetto alle coordinate geografiche (nord e piano orizzontale) ma rispetto alle direzioni di riferimento disegnate sul campione, che sono schematizzate in figura e che generalmente non corrispondono alle coordinate geografiche.
Coord. campione Campione orientato Campione orientato Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye
Quindi ` e necessario riportare la direzione della magnetizzazione –misurata rispetto alle coordinate del campione– alle originali cordinate geografiche. Per fare ci` o` e necessario avere orientato il campione al momento del campionamento.
Campione orientato
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci Sistema di riferimento Coord. campione Campione orientato Campione orientato Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye
Campione orientato
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Orientazione del campione
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci
Esistono diverse convenzioni per l’orientazione del campione, qu`ı usiamo gli angoli A e C illustrati in figura.
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Applicando un po’ di trigonometria si riporta la NRM dalle coordinate del campione a quelle geografiche con la cosidetta correzione geografica e, se necessario la correzione tettonica.
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Correzione geografica
Luca Lanci Sistema di riferimento
Consideriamo una direzione relativa agli assi del campione ha declinazione D ed inclinazione I ; i suoi coseni direttori (λ, µ, ν) sarano λ = cos D cos I ;
µ = sin D cos I ;
ν = sin I
Assumendo che il campione provenga da una carota perforata con azimut A e inclinazione C (come nella figura precedente) possiamo calcolare i coseni direttori (λg , µg , νg ) relativi alle coordinate geografiche con le λg = λ sin C cos A
−µ sin A
+ν cos C cos A
µg = λ sin C sin A
+µ cos A
+ν cos C sin A
νg = −λ cos C
+ν sin C
La direzione (Dg , Ig ) relativa alle coordinate geografiche sar` a quindi tan Dg =
µg ; λg
sin Ig = νg
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Correzione tettonica
Luca Lanci
Questa correzione ` e fatta quando gli strati non sono orizzontali a causa della inclinazione tettonica. Supponiamo che lo strato immerga con un angolo P rispetto all’orizzontale in una direzione con azimut B. In una situazione tettonica semplice la correzione dell’inclinazione ` e fatta tramite una semplice rotazione di un corpo rigido lungo la linea orizzontale della direzione dello strato per riportare lo strato inclinato ad una posizione orizzontale. Ci` o causa una rotazione del vettore paleomagnetico, i nuovi coseni direttori (λt , µt , νt ) possono essere facilmente calcolati in tre semplici passaggi come segue 3 . λ1 = λg cos B + µg sin B; λ2 = λ1 cos P + µ1 sin P; λt = λ2 cos B + µ2 sin B;
µ1 = −λg sin B + µg cos B; µ2 = µ1 ;
ν1 = νs
ν2 = −λ1 sin P + ν1 cos P
µt = λ2 sin B + µ2 cos B;
νt = ν2
Le direzioni paleomagnetiche corrette per l’inclinazione degli strati sono date da: µt ; sin It = νt tan Dt = λt
3
se lo strato ` e rovesciato, nel secondo passaggio, P deve essere sostituito da (P + 180◦ ).
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Coordinate – riassunto
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci Sistema di riferimento
Nel paleomagnetismo quindi ci si riferisce a direzioni in diverse coordinate a seconda della correzione che ` e stata applicata. COORDINATE Coordinate del Campione ⇒ Direzioni della magnetizzazione misurate in laboratorio e orientate rispetto agli assi del campione. Coordinate Geografiche ⇒ Direzioni rispetto alle coordinate geografiche del sito di campionamento, si ottengono dopo la correzione geografica. Coordinate Tettoniche ⇒ Direzioni corrette per una eventuale rotazione tettonica, si ottengono dopo la correzione tettonica.
Normalmente i calcoli per la correzione delle coordinate vengono fatti automaticamnete dal computer una volta forniti i dati di orientazione (per la correzione geografica) e di giacitura (per la correzione tettonica) di ogni campione
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Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale
Statistiche delle direzioni
Luca Lanci Sistema di riferimento
Una volte calcolate le direzioni della ChRM di un sito, pu` o essere utile calcolare alcune statistiche come la direzione media e dispersione ed intervalli di confidenza.
Le direzioni paleomagnetiche sono rappresentate come versori (vettori di lunghezza unitaria) che possono essere trattati come una distribuzione di punti su una sfera. Le statistiche di Fisher o di Bingham sono quindi metodi appropriati per trattare i dati paleomagnetici. Fisher (1953) sugger`ı che la densit` a della probabilit` a (p) dell’angolo θ fra la direzione di un singolo campione e la direzione media della distribuzione ` e data da: k exp (k cos θ) 4π sinh k Il parametro di precisione k descrive la dispersione dei punti. Se k = 0 le direzioni sono uniformemente (o casualmente) distribuite, se k ` e grande i punti sono fortemente raggruppati intorno alla direzione media. p(θ, k) =
(5)
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Distribuzione di Fisher
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Grafico della distribuzione di Fisher (eq. 5) per diversi parametri di precisione k. P∂A (θ) ` e la probabilit` a di trovare una direzione entro una area ∂A centrata ad un angolo θ dalla media. Notate come al crescere di k la distribuzione si raggruppi intorno alla media.
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Il vettore medio
Luca Lanci Sistema di riferimento
La migliore stima della direzione media di una popolazione di direzioni (versori) ` e il vettore media dei versori. Calcoliamo i coseni direttori delle direzioni singola direzione (Di , Ii )
Coord. campione Campione orientato Campione orientato Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni
xi =
cos Ii cos Di
componente nord
yi =
cos Ii sin Di
componente est
zi =
sin Ii
componente verticale (verso il basso)
La lunghezza R del vettore somma degli N versori ` e dato dalla 2
2
2
2
yi ;
Z =
R =X +Y +Z dove X =
N X
xi ;
Y =
i=1
N X i=1
i=1
La direzione media (D, I ) ` e quindi data dalla: tan D =
Y ; X
sin I =
N X
Z R
zi
Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale
Parametri di dispersione Fisher ha dimostrato che la migliore stima (k) del parametro di precisione k (valida per k > 3) ` e data dalla:
Luca Lanci Sistema di riferimento
k=
N −1 N −R
dove R ` e il vettore somma degli N versori. Il parametro k ` e equivalente all’inverso della varianza della distribuzione. Il parametro k permette un calcolo approssimato di un analogo della deviazione standard σ nella distribuzione normale. 81◦ θ63 = √ k Per analogia con la distribuzione normale θ63 viene spesso chiamato angular standard deviation e indicato con σ 4 . Similmente il 95% delle direzioni giacciono entro un angolo dalla media che ` e dato da: ◦ 140 θ95 = √ k Un altro parametro statistico, δ, che ` e spesso usato come misura della dispersione angolare (chiamato anche lui angular standard deviation) ` e δ = cos −1
R N
In pratica per N ≥ 10 σ ≈ δ. 4
N.B. nella distribuzione normale σ contiene il ∼ 68% dei casi, mentre θ63 solo il 63%.
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Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale
Limiti di confidenza
Luca Lanci
Come in altre situazioni statistiche l’errore standard nel definire la direzione media della distribuzione di N punti si pu` o trovare dividendo la deviazione √ standard per la N ed i limiti di confidenza sono multipli degli errori standard. Nel paleomagnetismo un livello del 95% di confidenza ` e spesso usato per definire un cerchio α95 attorno alla direzione media stimata, questo cerchio delimita il luogo entro il quale si ha il 95% di probabilit` a di trovare la vera media della distribuzione. La misura del limite di confidenza dipende dal numero di punti (N) e dal parametro di dispersione k. Una formula approssimata per il raggio dei circoli di confidenza del 63% e 95% valida per N ≥ 10 e k ≥ 10 ` e la seguente 81◦ α63 ≈ √ ; Nk
140◦ α95 ≈ √ Nk
Una formula pi` u esatta cos α1−p
N −R =1− R
! „ « 1 1 N−1 −1 p
dove solitamente 1 − p = 0.95 ed il livello di confidenza chiamato α95 .
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Esempi di statistiche
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Polo Geomagnetico Virtuale (VGP)
Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci
Dalle equazioni per le componenti di un dipolo magnetico, la distanza angolare (ρ) dal polo magnetico pu` o essere calcolata dalla inclinazione del campo (I ). 2 tan ρ = tan I Il valore di ρ determina il raggio del circolo centrato sul sito di campionamento paleomagnetico, il cerchio ` e il luogo di tutte le possibili posizioni del polo magnetico. La declinazione definisce una direzione lungo un circolo maggiore che passa attraverso il sito di campionamento e forma un angolo D con il meridiano magnetico. Il luogo dove questo circolo maggiore interseca il cerchio di raggio ρ ` e la posizione del polo geomagnetico virtuale (VGP). La latitudine (λ) e longitudine (φ) del VGP che indica la direzione del campo (D, I ) misurata in un determinato sito (latitudine λs , longitudine φs ) sono date da: sin λ = sin λs cos ρ + cos λs sin ρ cos D dove: ϕ = ϕs + β ϕ = ϕs + 180 − β
per, cos ρ > sin λs sin λ per, cos ρ < sin λs sin λ
e sin β = sin ρ sin D/ cos λ
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Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale
Limiti di confidenza del VGP
Luca Lanci Sistema di riferimento
La posizione del polo per uno studio paleomagnetico pu` o essere calcolata in due modi. Si possono usare le direzioni di ogni singolo campione per calcolare la posizione del VGP per ogni campione. La distribuzione dei VGP ` e quindi analizzata come punti su una sfera ed il vettore medio, il raggio del circolo di confidenza α95 ed altre statistiche di Fisher sono calcolate come sopra. Un metodo alternativo ` e analizzare le direzioni paleomagnetiche per ricavarne la declinazione, l’inclinazione, il raggio di confidenza e la media; viene poi trovata la posizione del VGP corrispondente a tale media. In questo caso il circolo di confidenza della direzione media ` e proiettato come un ovale intorno alla posizione del VGP dando un errore di latitudine ∆λ e di longitudine ∆φ dato da: ∆λ = α95
1 + 3 cos ρ ; 2
∆φ = α95
sin ρ cos I
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Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale Luca Lanci Sistema di riferimento Coord. campione Campione orientato Campione orientato Orientazione campione Correzione geografica Correzione tettonica Coordinate Statistiche direzioni
That’s all folks!
Distribuzione Fisher Il vettore medio Dispersione Limiti di confidenza Site stats VGP VGP limiti conf. Bye
