Magnetismo Fatti sperimentali Forza di Lorentz Applicazioni: ciclotrone, spettrometro di massa, tubo catodico Campo magnetico di un filo percorso da corrente Campo magnetico di spira e solenoide Forza magnetica tra fili percorsi da corrente Definizione di Ampere Proprietà magnetiche dei materiali Induzione elettromagnetica Legge di Faraday – Lenz Applicazioni: generatore e motore elettrico, trasformatore
Magnetismo
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Magnetismo – fatti sperimentali Due “cariche” magnetiche: polo N/S. Poli uguali si respingono, poli opposti si attraggono. Fino ad oggi in natura non sono state osservate cariche magnetiche isolate (monopoli magnetici).
Campo magnetico generato da: Magneti permanenti: proprietà magnetiche intrinseche delle particelle elementari, in certe sostanze si evidenziano macroscopicamente. Elettromagneti: cariche elettriche in moto (correnti) generano campo magnetico (Oersted 1820). Magnetismo
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Campo magnetico B
Campo magnetico terrestre • dipolare • ~1 gauss sulla superficie
Le linee di forza di B vanno da N a S formando un percorso chiuso. Si possono evidenziare con ago magnetico (bussola) o limatura di ferro. Magnetismo
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Forza magnetica agente su una carica in moto
r r r F = q v×B F ⊥ v ⇒ Lavoro compiuto da F è nullo
[N] = [C][m][s -1 ][T] [N] (T: “Tesla” (MKS)) [T] = [A][m] 1 T = 10 4 gauss Regola della mano destra il pollice dà il verso di F
Magnetismo
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Carica in moto circolare uniforme
v ⊥ B (uniforme) ⇒ Moto circolare uniforme
v2 =qvB m R mv R= qB 2π R 2π m
T=
T, ν, ω non dipendono da v (v<
v
=
Raggio dell’orbita
Periodo
qB
1 qB ω = ν= = T 2 π m 2π
Magnetismo
Forza centripeta
Frequenza, pulsazione
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Traiettorie elicoidali e a spirale
B (uniforme) ⇒ Moto elicoidale vparallela determina passo dell’elica
B (NON uniforme) ⇒ Moto a spirale Dove B è più intenso ⇒ minore R
Bottiglia magnetica Magnetismo
Fasce di Van Allen Raggi cosmici intrappolati dal campo magnetico terrestre ⇒
Aurore polari pag. 6
Aurora australe (Antartide - baia di Ross)
Magnetismo
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Ciclotrone Semidischi di rame a forma di “D” , cavi immersi in campo B uniforme e ⊥ di intensità ~ 1-2 T. Oscillatore applica d.d.p. alternata ai D. Sorgente S “inietta” particelle cariche (ad esempio protoni): - accelerati ad ogni passaggio nell’intercapedine; - in ogni D traiettoria circolare in B con R = mv/qB e periodo T indipendente da v, con R via via crescente. Condizione di risonanza T = Toscillatore ⇒ il protone in circolo è in sincronia con oscillazioni della d.d.p. applicata ai D.
Toscillatore
Traiettoria a spirale verso esterno Protone acquista energia ad ogni attraversamento dell’intercapedine Funziona fino ad energie ~ 50 MeV Magnetismo
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Ciclotrone (2) Esempio numerico Un ciclotrone di raggio R = 53 cm lavora ad una frequenza di 12 MHz. Qual è l’intensità di B necessaria per accelerare nuclei di deuterio? Qual è la massima energia cinetica acquistata dai nuclei? Il deuterio è isotopo dell’idrogeno con massa = 3.34 · 10-27 kg. Per la condizione di risonanza la frequenza dell’oscillatore deve essere uguale alla frequenza del moto circolare uniforme dei nuclei nell’acceleratore. Dalla formula della frequenza, si ricava:
2 π mν 2 π ⋅ 3.34 ⋅10 -27 ⋅ 12 ⋅10 6 B= = T = 1.57 T -19 q 1.6 ⋅10 L’energia cinetica massima è quella che il nucleo ha lungo la massima circonferenza possibile nella macchina:
1 1 R 2 q 2 B2 1 (0.53 ⋅1.6 ⋅ 10 -19 ⋅ 1.57) 2 2 −12 E = mv = = = 2 . 653 ⋅ 10 J ≈ 16.6 MeV − 27 2 2 m 2 3.34 ⋅10 Magnetismo
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Spettrometro di massa Ioni emessi da sorgente S accelerati da d.d.p. continua V
1 mv 2 = qV 2 Ioni entrano con velocità v in camera di separazione dove B uniforme ⊥ v ⇒ descrivono semicirconferenze di raggio:
R=
mv 1 m = 2 V qB B q
Ioni con stessa q e diversa m (isotopi) percorrono circonferenze di R diversi
• Misura rapporto q/m di ioni Potere risolutivo in massa: • Separazione isotopica degli
∆m ∆x =2 m x
elementi
Magnetismo
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Spettrometro di massa (2) Esempio numerico Sia V = 1 kV, la carica dello ione +e, B=0.08 T. Calcolare la massa dello ione in unità di massa atomica (1 amu = 1.6605 10-27 kg) supponendo di avere misurato x = 1.6254 m. Qual è la risoluzione in massa dello strumento? Si ricava m dalla formula del raggio R che è uguale a x/2: 2
2
B2 q x 2 (0.08) ⋅ 1.6 ⋅10 −19 ⋅ (1.6254 ) m= = = 3.3817 ⋅10 − 25 kg = 203.65 amu 8V 8000 Dato che x è espresso con precisione di 4 cifre decimali, assumiamo ∆x = 10-4 m. Quindi si ottiene: ∆m = 2 m ∆x/x = 2 · 203.93 · 10-4/1.6254 = 0.025 amu
Magnetismo
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Tubo catodico Thomson scopre l’elettrone (1897) misurando rapporto q/m con un tubo catodico
Y
y L0
Elettroni emessi da filamento riscaldato (effetto termoionico) e accelerati da d.d.p. V.
L
E del condensatore deflette elettroni verso l’alto (se B = 0). B uniforme e ⊥ E ⇒ campi incrociati. Si può regolare B in modo che elettroni non siano deflessi. Si misura così v. Da misura di Y (spostamento verticale sullo schermo), nota L0 (distanza condensatore-schermo) e L (lunghezza del condensatore), si ricava y (spostamento verticale al condensatore). Da misura di y (noti E, v ed L) si ricava infine q/m.
E qE = qvB ⇒ v = B
y =Y − y=
q ELL0 mv 2
q EL2 2mv 2
Esercizio: ricavare le ultime due equazioni (valide per piccole deflessioni) pag. 12
Campo magnetico generato da corrente in un filo rettilineo Esperimento di Oersted (1820): un conduttore percorso da corrente genera un campo magnetico nello spazio circostante.
µ0 I B= 2π R
Legge di Biot-Savart
µ0 = 4 π ×10-7 [T][m][A-1] Permeabilità magnetica del vuoto
Magnetismo
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Campo magnetico di una spira Il campo magnetico di una spira percorsa da corrente è analogo al campo di una barra magnetica (dipolo magnetico)
Se il dipolo magnetico si trova in un campo magnetico esterno, il campo esercita su di esso un momento torcente µxBext. Il dipolo ha un’energia potenziale associata all’ orientamento nel campo U = - µ·Bext
r
µ = I S nˆ
(S : sup. spira)
r
r µ Bz ∝ 3 z
Momento di dipolo magnetico
(z >> R) pag. 14
Momento torcente su di una bobina: applicazioni (cenni) Motore elettrico Le forze magnetiche esercitano sulla spira un momento torcente che la induce a ruotare (in modo che la normale alla sua superfice tenda ad essere parallela alle linee di campo). Un commutatore inverte il verso della corrente ad ogni mezzo giro in modo che il momento torcente agisca sempre nello stesso verso.
Galvanometro Il momento torcente della forza magnetica è bilanciato dal momento di richiamo elastico di una molla. Dalla misura della deflessione angolare della bobina si ricava la misura della corrente.
Magnetismo
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Campo magnetico di un solenoide Il campo di un solenoide ideale (lunghezza infinita) è uniforme e parallelo all’asse, di intensità
B=
µ0 In L
n = numero di spire L = lunghezza n/L = numero di spire per unità di lunghezza
Esercizio Calcolare il campo magnetico nel centro di un solenoide di 4250 spire e lunghezza 1.23m percorso da 1 A di corrente B = 4π·10-7TA-1m·(4250/1.23m)·1A = 4.34·10-3 T
Magnetismo
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Forza magnetica agente su una corrente Esperimento di Faraday (1821): un campo magnetico esercita una forza su un conduttore percorso da corrrente La forza agente su di una corrente si ottiene sommando i contributi della forza di Lorentz su ciascun portatore di carica. La forza (sul tratto di filo l) è perpendicolare sia a B che al vettore lunghezza l (orientato come la corrente)
F(l) =Il× ×B Magnetismo
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Forza magnetica fra due fili paralleli Esperimento di Ampère (1820): Il campo B generato da i1 esercita una forza F2 su i2; viceversa il campo originato da i2 esercita una forza F1 su i1. F1 e F2 sono uguali in modulo. Fili percorsi da correnti parallele e concordi si attraggono; si respingono se le correnti sono parallele e discordi.
µ0 I 1I l F (l ) = 2π d
2 2
21
2
F21: forza sul filo 2 dovuta al filo 1 d: distanza tra i due fili l2: tratto del filo 2 Magnetismo
Definizione di Ampere 1A è l’intensità di corrente (costante) che scorre in due fili rettilinei e paralleli di lunghezza infinita, se questi posti a distanza di 1 metro nel vuoto si attraggono con una forza pari a 2·10-7 N/m pag. 18
Proprietà magnetiche dei materiali (cenni) Derivano dal momento di dipolo magnetico intrinseco (legato allo spin) e dal momento magnetico orbitale degli elettroni nell’atomo. L’atomo ha un momento magnetico totale dato dalla somma vettoriale dei momenti di spin e orbitale di tutti gli elettroni. Se la somma dei momenti magnetici degli atomi dà un campo magnetico non nullo a livello macroscopico, la sostanza è magnetica. Le sostanza sono classificate in: - Diamagnetiche (Cu, Ag, Au, H2O). Deboli momenti di dipolo magnetico sono indotti da Bext e scompaiono in assenza di esso. - Paramagnetiche (Al, O, Ca, Tc, U, Pt). Ogni atomo ha un momento magnetico permanente, ma l’orientazione casuale dei momenti fa sì che a livello macroscopico il campo sia nullo. In presenza di Bext i momenti si orientano e la sostanza acquista un campo magnetico netto, che scompare se si rimuove Bext. - Ferromagnetiche (Fe, Co, Ni e leghe). Presentano regioni (domini) di forte campo magnetico, dovute a orientazione dei momenti elettronici. Bext allinea i momenti dei singoli domini e il materiale acquista un’ intensa magnetizzazione, che rimane parzialmente anche quando Bext è rimosso. Magnetismo
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Induzione elettromagnetica
Si genera una corrente nella bobina, solo se barra magnetica e bobina sono in moto relativo. Il verso della corrente cambia a seconda che la bobina si avvicini o allontani. Se si chiude l’interruttore nel circuito primario, si ha una corrente indotta nel secondario per pochi istanti. Se si apre il circuito, la corrente indotta circola nel verso opposto per brevi istanti. La corrente indotta è quindi associata a una variazione di corrente nel primario. Se la corrente è stazionaria non si ha corrente indotta. Magnetismo
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Legge di Faraday-Lenz Legge di induzione di Faraday Si ha una f.e.m. indotta in un circuito immerso in un campo magnetico quando varia il numero di linee di forza del campo che attraversano il circuito (o anche, quando varia il flusso di B “concatenato” con il circuito).
Legge di Lenz La corrente indotta ha verso tale che il campo magnetico da essa generato si oppone alla variazione del campo magnetico che l’ha indotta.
r Φ finale − Φiniziale ∆Φ(B) ε=− =− ∆t t finale − t iniziale
Magnetismo
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Legge di Faraday-Lenz (2) Esempio Una barra magnetica viene avvicinata rapidamente ad una bobina circolare con 40 avvolgimenti di raggio 3.05 cm. Mentre il magnete si muove, il valore medio di B attraverso la superficie della bobina cresce da 0.0125 T a 0.450 T in 0.25 s. Assumendo che la resistenza della bobina sia 3.55 Ω, calcolare la f.e.m. e la corrente indotta nella bobina. Calcoliamo i valori iniziali e finali del flusso magnetico attraverso la bobina:
Φ iniziale = Biniziale A = Biniziale Nπ r 2 = 0.0125 ⋅ 40 ⋅ π (0.0305) 2 = 1.46 ⋅10 −3 Tm 2 Φ finale = B finale A = B finale Nπ r 2 = 0.450 ⋅ 40 ⋅ π (0.0305) 2 = 5.26 ⋅10 − 2 Tm 2 Applicando la legge di Faraday si trova:
∆Φ(B) Φ finale − Φ iniziale 5.26 ⋅10 −2 − 1.46 ⋅10 −3 Tm 2 = = = 0.205 V ε = ∆t t finale − tiniziale 0.25 s i=
ε R
=
0.205 A = 0.0577 A 3.55 Magnetismo
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Applicazioni della legge di Faraday (cenni) Pickup di una chitarra elettrica
Microfono dinamico Registratore a nastro magnetico
Magnetismo
e ancora: sismografi dispositivi antifurto rilevatori di movimento ...
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Generatore e motore elettrico (cenni) Generatore: trasforma energia meccanica in energia elettrica Energia meccanica in entrata: • caduta dell’acqua (centrali idroelettriche) • espansione del vapore (centrali termoelettriche) • motore a scoppio (gruppo elettrogeno)
Se ω è costante ⇒ generatore di corrente alternata (alternatore)
Motore: trasforma energia elettrica in energia meccanica Magnetismo
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Il trasformatore Dispositivi elettrici che funzionano a tensioni diverse: • linee alta tensione (380000 V) • rete elettrica domestica (220V) • elettrodomestici, dispositivi elettronici (5÷12V) • tubo catodico di un televisore (15000 V)
Vp N p I s = = Vs N s I p
Trasformatore di tensione
La corrente prodotta dalle centrali elettriche è trasportata sui luoghi di utilizzo con linee ad alta tensione. Questo consente di ridurre le perdite per effetto Joule: l’innalzamento di tensione (e quindi, dall’equazione del trasformatore, la diminuzione di corrente) permette di ridurre la potenza dissipata sulla linea.
Magnetismo
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Esercizi (I) Es. 20.1 (Gia) (a) Quanto vale, per metro di lunghezza, il modulo della forza che agisce su un filo percorso da una corrente di 8.4 A e che è perpendicolare ad un campo magnetico di 0.9 T? (b) Quanto varrebbe se l’angolo tra filo e campo fosse di 45o ?
Es. 20.7 (Gia) La massima forza agente su un filo posto tra le due espansioni polari di un magnete vale 6.5 ·10-2 N. La corrente scorre orizzontalmente verso destra e il campo magnetico è verticale. All’instaurarsi della corrente il filo compie un “balzo” verso l’osservatore. (a) Di che tipo è l’espansione polare superiore? (b) Supponendo che il diametro delle espansioni sia di 10 cm e che il campo magnetico abbia intensità 0.16 T, stimare la corrente nel filo. (c) Calcolare la forza agente sul filo se questo viene inclinato di 10o rispetto all’orizzontale.
Es. 20.17 (Gia) Un atomo di elio doppiamente ionizzato, di massa 6.6·10-27 Kg, viene accelerato da una differenza di potenziale di 2100 V. (a) Calcolare il raggio di curvatura della sua traiettoria nel caso in cui successivamente si muove in un campo magnetico uniforme ortogonale alla sua velocità e di intensità 0.34 T. (b) Quanto vale il periodo di rivoluzione?
Es. 20.23 (Gia) Una pallottola da 3.4 g si muove alla velocità di 160 m/s ortogonalmente al campo magnetico terrestre di intensità 5·10-5 T. Calcolare la deflessione subita dalla pallottola dopo aver percorso 1 Km, supponendo che la sua carica valga 13.5·10-9 C. Magnetismo
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Esercizi (II) Es. 20.47 (Gia) Due lunghi fili paralleli posti a distanza d vengono percorsi dalla corrente I nello stesso verso. Uno dei due fili si trova nel punto ad ascissa x = 0 e l’altro nel punto di ascissa x = d, essendo paralleli all’asse z e nel piano xz. Determinare il campo B nei punti dell’asse x tra i due fili in funzione dell’ascissa x.
Es. 20.49 (Gia) Il campo magnetico nel centro di un solenoide lungo 30 cm e di diametro 1.25 cm vale 0.385 T. Calcolare la corrente nel solenoide sapendo che sia costituito da 975 spire.
Es. 21.11 (Gia) Il campo magnetico normale al piano di una spira circolare di diametro 12 cm viene portato da +0.52 T a -0.45 T in 180 ms. Il segno – indica che il campo punta verso l’osservatore e il segno + indica il verso opposto. (a) Calcolare la f.e.m. indotta. (b) Quale è il verso in cui fluisce la corrente indotta?
Es. 21.15 (Gia) Una spira rettangolare è parzialmente immersa in un campo magnetico uniforme da una sua estremità, quella del lato più corto di lunghezza h = 0.35 m. Il campo magnetico ha intensità 0.55 T ed è perpendicolare al piano della spira. La spira ha resistenza di 0.230 Ω. Calcolare la forza che deve essere applicata per tirare la spira dalla estremità opposta alla velocità costante di 3.4 m/s. Trascurare l’effetto della gravità. Magnetismo
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