Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här kommer de att presenteras för dig under namn som polynomfunktioner, logaritmfunktioner, exponentialfunktioner, trigonometriska funktioner och arcusfunktioner. Vad som är stort och viktigt med dessa funktioner är att de har jämna och fina grafer. I senare kapitel kommer du att upptäcka att ”skönheten” hos grafen hänger ihop med om funktionen är deriverbar och kontinuerlig. Fundera: FUN 4.1 (Är dessa funktioners grafer ”sköna”?)
Avsnitt 4.2 till mitten på sid 111 Detta är ett långt avsnitt, men vi kan nog göra det lite enklare för dig. Vi gissar att du har läst någon algebrakurs före denna kurs och då har du säkert mött polynom. Då betraktades de ju inte som funktioner. Det var mer intressant om ekvationer med polynom hade lösningar. Motsvarande polynomfunktion sägs då ha nollställen, dvs. skärningar med x-axeln. Texten på sid 105 efter exempel 4.2 behöver du inte gå så djupt in på. Nöj dig med att det finns två allmänna sätt att skriva en andra gradens polynomfunktion. Av dessa är y = k(x − a)2 + b det viktigaste i detta avsnitt. Exemplen 4.3 - 4.6 visar betydelsen genom grafernas placering i koordinatsystemet. Grafen till en andra gradens polynomfunktion är en parabel, som också brukar kallas ”kastparabel” eftersom ett föremål som kastas i rummet följer en parabelbåge. Se även övning 4.9 sid 137. Sammanfattning av vissa egenskaper för parabeln y = k(x − a)2 + b: 1. Om k > 0 har parabeln ett minsta värde, dvs en punkt där kurvan går från avtagande till växande. Se exemplen 4.3, 4.5 och 4.6. 2. Om k < 0 har parabeln ett största värde, dvs en punkt där kurvan går från växande till avtagande. Se exemplen 4.4 och 4.7. 3. Ju större positivt eller negativt värde på k ju ”spetsigare” blir parabeln. Se exempel 4.6. 4. Parabelns största (eller minsta) värde antas i punkten (a, b). Denna punkt kallas parabelns vertex. Se exempel 4.7. I exempel 4.7 sker en s.k. kvadratkomplettering av andragradspolynomet för att finna konstanterna k, a och b. Du behöver inte bry dig om detaljerna i denna, om du inte vill. Fig 4.6 är bra. P.g.a. parabelns utseende kan vi inse att den kan skära x-axeln i som mest två punkter. 1
Spara på bilden av grafen y = x3 i fig 4.7. Den kan vara bra att ha. I fig 4.8 sid 111 ser du en typisk tredjegradskurva, alltså grafen till en tredje gradens polynomfunktion. Den har en max- och en minpunkt. Vi kan se att för ökande xvärden så växer funktionen fram till max sen avtar den till min för att sedan växa igen. Från mitten på sid 111 ”Genom att lösa ...” är avsnittet kursivt. Vi förutsätter emellertid att du känner till Faktorsatsen från tidigare kurs. En liten snabb repetition: Faktorsatsen medför att om vi känner nollställena a, b, c, ... till ett polynom så vet vi att polynomet är jämnt delbart med faktorerna (x − a), (x − b), (x − c), ... Exempelvis gäller att 2x4 + 12x3 − 44x + 30 = 2(x + 3)(x − 1)2 (x + 5) eftersom polynomet har nollställena x = −3, x = 1, x = −5 och x = 1 är ett dubbelt nollställe. Uppgift: Ge ett exempel på en tredjegradsfunktion, vars graf först avtar till ett min, sedan växer till ett max, för att sedan avta igen. Uppgift: Kan du rita grafen till en tredjegradsfunktion som bara har två olika nollställen? Uppgift: Dela upp andragradspolynomet 4x − 2x2 − 6 i faktorer med hjälp av faktorsatsen. Räkna: TP (sid 114) 1, 2a Fundera: FUN 4.2 (tänk lite grand på vad som händer om det är ett minustecken eller plustecken framför x4 -termen)
Avsnitt 4.3 Hoppas du kommer ihåg potenslagarna. Annars finns de på sid 36. För en allmän potens måste basen vara positiv, medan exponenten kan anta vilket reellt tal som helst. Om exponenten är oberoende variabel och basen är konstant så bildar vi en exponentialfunktion y = ax . Den viktigaste basen är e. På sid 116 ser du varför e är vald som den är. Men egentligen beror det på derivata. Derivatan av funktionen f (x) = ex är nämligen detsamma f 0 (x) = ex . Men det är faktiskt samma sak som den geometriska förklaringen på sid 116. Om detta kan vi lära mer i kap 6. En liten parentes: Det är ju så att t.ex. y = e4x också är en exponentialfunktion. x Enligt en av potenslagarna är ju e4x = (e4 ) så då är ju e4 bas och x exponent. Räkna: TP (sid 116) 4 Fundera: FUN 4.3 (potensfunktionen har du redan stött på för vissa bestämda exponenter, vilka? Observera också att nu är exponenten konstant medan basen är den oberoende variabeln.)
2
Avsnitt 4.4 Logaritmlagarna måste du också kunna. De finns för påseende på sid 38. Kom ihåg det viktigaste som gäller logaritmer, nämligen att LOGARITMEN ÄR EN EXPONENT. Den mest använda logaritmen är den naturliga, dvs. ln x. Detta är logaritmen med basen e. ln kommer av latinets ”logarithmus naturalis” som just betyder naturliga logaritmen. Viktigt är också att logaritmfunktionen är invers till exponentialfunktionen. Det gäller ju att y = ln x är detsamma som (ekvivalent med) x = ey . Det ser vi i fig 4.11. Ur dessa likheter får vi den lysande likheten eln x = x Detta kan formuleras i ord som att om vi vill skriva ett tal x som ett exponentialuttryck med basen e så blir exponenten ln x. Lägg märke till att x måste vara positivt. Exempel: 4 = eln 4 Ex 4.14 kan du göra och ex 4.15 behöver du bara läsa igenom. Räkna: TP (sid 120) 5, 6
Avsnitt 4.5 Sinus, cosinus och tangens för en vinkel i en rätvinklig triangel bör du ha stött på tidigare. Om du har glömt får du lära dig på nytt i rutan på sid 121. Det är lämpligt att definiera de trigonometriska funktionerna för vinklar v som också ligger utanför området 0◦ ≤ v ≤ 90◦ . För att detta ska passa bra ihop med teorin om derivator så inför vi vi en ny vinkelenhet radian. Storleken på vinkeln kan då uttryckas som en längd av en cirkelbåge, där cirkeln har radien 1 (dvs. en enhetscirkel). Genom att placera in cirkeln i ett koordinatsystem kan de trigonometriska funktionerna definieras som i rutan på sid 122. Observera att sin v = y betyder att sinusvärdet är detsamma som y-koordinaten i radiens skärning med enhetscirkeln. Fig. 4.16 visar detta bra. Formlerna i sats 4.1 kan du lära dig utantill om du vill, men det är mycket bättre att bara förstå dem och kunna plocka fram dem vid behov direkt ur enhetscirkeln. Så det är ännu bättre att du sparar fig 4.16 i huvudet. Trigonometriska ettan (formel (9) i sats 4.1) (sin v)2 + (cos v)2 = 1 kan du emellertid lagra någonstans. Jag skrev den nu medvetet annorlunda än i boken men sin2 v är bara ett annat skrivsätt än (sin v)2 , men betyder samma sak. Period är ett viktigt begrepp. Perioden för sinus eller cosinus för en vinkel är 2π, dvs. ett varv på enhetscirkeln. Det betyder att vilken vinkel du än har (t.ex. 33 radianer) så får du samma sinus och cosinusvärden om du ”snurrar” hela varv (ett varv är 2π) fram eller baklänges längs enhetscirkeln. I vårt exempel får vi då sin 33 = sin(33 + n · 2π) och
cos 33 = cos(33 + n · 2π)
Tangens för en vinkel får alltid samma värde efter att bara ha ”snurrat” halva varv. 3
Alltså är perioden för tangens lika med π. För vårt exempel blir det då tan 33 = tan(33 + n · π) I alla dessa fall kan då n anta både positiva (positiv riktning på enhetscirkeln) och negativa (negativ riktning) heltalsvärden. Rutan längst ner på sid 124 ska du försöka komma ihåg. Exempel 4.17 är en lek med formler eller egentligen bättre: en utmärkt användning av enhetscirkeln. Sinus-, cosinus- och tangensfunktionernas grafer är bra att komma ihåg ungefär hur de ser ut. Se fig 4.17 och 4.18. I exemplen 4.18 - 4.23 löser vi trigonometriska ekvationer. Här är rutan på sid 124 viktig för att få exakta svar. Lägg märke till sista raden till exempel 4.21. Där står att y = sin 2x har perioden π med avseende på x. Med avseende på ”hela vinkeln” 2x har sinus givetvis, som tidigare, perioden 2π, men när vinkeln dubblas blir perioden (avseende x) hälften. Studera lösningen för exemplet och lägg speciellt märke till att perioden 2π delas med 2, så att perioden med avseende på x istället blir π. I exempel 4.24 används liknande idéer vad gäller grafer. Räkna: TP (sid 130) 7, 8, 9 Fundera: FUN 4.5 (vilken period har tan 3x med avseende på x? Tangens har ju perioden π när det gäller hela vinkeln 3x.)
Avsnitt 4.6 (Bara exemplen 4.25 och 4.29) I appendix A längst bak i boken (sid 477) finns en massa trigonometriska formler. Det är inte tänkt att du ska lära dig alla dessa, men det är bra att ha dem samlade på ett ställe. Några ska du emellertid absolut kunna. De är A1, A3, A4, A11, A16 samt formlerna för sinus- och cosinus för dubbla vinkeln A12 och A13. Dessa formler har du stor nytta av i fortsättningen. En liten detalj: En av formlerna för cosinus dubbla vinkeln är cos 2x = 1 − 2 sin2 x Observera att det handlar om dubbla vinkeln. Formeln kan då t.ex. användas för vinkeln 4x (som är dubbelt så stor som 2x): cos 4x = 1 − 2 sin2 2x och detta skulle man ju kunna förenkla ytterligare genom att använda formeln för sinus dubbla vinkeln: cos 4x = 1 − 2 sin2 2x = 1 − 2 · (2 sin x cos x)2 = 1 − 8 sin2 x cos2 x Vi kan också gå ”baklänges” i formeln, som t.ex. cos 2x = 2 cos2 x − 1 4
Om vi säger att 2x = π4 (45◦ ) så kan vi få reda på vad cosinus hälften av cos π8 (= cos 22, 5◦ ), är exakt: π π cos = 2 cos2 − 1 eller 4 8
π cos = 8
s
π , 4
dvs.
√ q √ 1+ 2 1 √ = 2+ 2 2 2 2
Hur fick vi den sista likheten? Försök visa! I avsnittet behöver du bara gå igenom exempel 4.25 och exempel 4.29. Räkna: TP (sid 133) 11a Fundering: FUN 4.6
Avsnitt 4.7 Detta avsnitt handlar om inverser till trigonometriska funktioner. Detta kan kanske verka märkligt eftersom ingen av dessa funktioner är inverterbara. Men genom att välja en mindre definitionsmängd kan vi begränsa de trigonometriska funktionerna till strängt monotona bitar. I fig 4.20, 4.22 och 4.24 finner vi vilka delar av graferna för sinus, cosinus och tangens som kan väljas. Vi sammanfattar arcusfunktionerna: y = arcsin x har definitionsmängd −1 ≤ x ≤ 1 och värdemängd − π2 ≤ x ≤ π2 . Graf i fig 4.21. y = arccos x har definitionsmängd −1 ≤ x ≤ 1 och värdemängd 0 ≤ x ≤ π. Graf i fig 4.23. y = arctan x har definitionsmängd R (alla reella tal) och värdemängd − π2 < x < π2 . Graf i fig 4.25. Exemplen 4.35 och 4.36 är bra att förstå. Det gäller att värdet på arusfunktionerna alltid måste hamna inne i värdemängden. För att klara det måste man ibland trixa med trigonometriska formler. Räkna: TP (sid 136) 12, 13 Räkna hela kapitlet: ÖV 4.1, 4.2ab, 4.3a, 4.4a, 4.9, 4.11ab, 4.17, 4.18abe, 4.19a, 4.31, 4.33, 4.34
5
