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Lezioni di Topografia Parte I - Geodesia A. Manzino
Dipartimento di Georisorse e Territorio Politecnico di Torino, dicembre 2000
otto editore
DISPENSE DI TOPOGRAFIA
PARTE I – GEODESIA A. MANZINO
Otto Editore P.zza Vittorio Veneto 14 – 10123 Torino www.otto.to.it
INDICE
PARTE PRIMA – GEODESIA FISICA Introduzione ...........................................................................................1
1.
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE DELLA TERRA ............................................................................................2 1.1
2.
CENNI DI TEORIA DELLA GRAVITAZIONE .............................................4 La gravitazione ........................................................................................4 Moti terrestri e potenziale di gravità .......................................................5 Il geoide ...................................................................................................7 Lo sferoide ............................................................................................ 10 Il calcolo di alcune costanti geometriche ............................................. 14 Equazione dello sferoide in funzione dei parametri geometrici .......... 16 Espressione della gravità normale in funzione dei parametri geometrici ... 16 Dallo sferoide all'ellissoide .................................................................... 17
SISTEMI DI COORDINATE ....................................................18 2.1
LE COORDINATE GEODETICHE .......................................................... 18 Passaggio dalle coordinate geodetiche alle coordinate cartesiane geocentriche e viceversa ................................................................................... 19
2.2
LE COORDINATE ASTRONOMICHE O NATURALI ............................... 22 La correzione gravimetrica nella livellazione geometrica ..................... 25
2.3
COORDINATE CARTESIANE LOCALI OD EULERIANE .......................... 28
i
2.4
3.
4.
5.
DIMENSIONI DELL’ELLISSOIDE TERRESTRE ....................................... 29
L'ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA .........................................................................32 3.1
RAGGI DI CURVATURA E SEZIONI NORMALI ..................................... 32
3.2
LINEE GEODETICHE ............................................................................ 35
3.3
LE EQUAZIONI DELLE GEODETICHE PER SUPERFICI DI ROTAZIONE E PER L'ELLISSOIDE ................................................................................. 36
3.4
TEOREMI DELLA GEODESIA OPERATIVA ............................................ 38 Premessa ............................................................................................... 38 Gli azimut e le distanze su sezioni normali .......................................... 39
3.5
CAMPO GEODETICO E CAMPO TOPOGRAFICO ................................. 40
PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO ..............................................................................43 4.1
IL TEOREMA DI LEGENDRE ................................................................. 43
4.2
COORDINATE GEODETICHE POLARI E RETTANGOLARI ................... 44
4.3
IL TRASPORTO DELLE COORDINATE GEODETICHE: PROBLEMA DIRETTO .............................................................................................. 45
4.4
IL TRASPORTO DELLE COORDINATE GEOGRAFICHE: PROBLEMA INVERSO ............................................................................................... 48
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE ...................50 5.1
CLASSIFICAZIONE DELLA RAPPRESENTAZIONI ................................... 52
5.2
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLE RAPPRESENTAZIONI ................... 53
5.3
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLE RAPPRESENTAZIONI CONFORMI 56
5.4
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLE RAPPRESENTAZIONI EQUIVALENTI ........................................................................... 60
5.5
LA RAPPRESENTAZIONE CONFORME DI GAUSS ................................. 61
5.6
CARATTERISTICHE GEOMETRICHE E PARAMETRI DELLA CARTA DI GAUSS .................................................................................................. 67 Convergenza delle trasformate ............................................................. 69 Le trasformate delle geodetiche nella carta di Gauss ............................ 70
5.7
LA CARTOGRAFIA UFFICIALE ITALIANA .............................................. 72 L'inserimento della cartografia nazionale nel sistema UTM ............... 75
ii
Le nuove carte alla scala 1:50000 e 1:25000 ....................................... 79 Le carte da satellite ................................................................................ 80 5.8
LE CARTE CATASTALI E LA RAPPRESENTAZIONE DI CASSINI SOLDNER ..................................................................................80
iii
PARTE I – GEODESIA
GEODESIA FISICA Introduzione
La Topografia è una scienza applicata che si prefigge la determinazione e la rappresentazione metrica della superficie fisica terrestre, nasce e si inserisce nella Geodesia il cui scopo è la determinazione della figura della terra e del suo campo gravitazionale esterno in funzione del tempo. Per figura della terra si intende qui la sua superficie fisica e matematica; si intende per superficie fisica il limite tra l’atmosfera e la superficie liquida o solida della terra e per figura matematica la superficie equipotenziale del campo gravitazionale della terra (a potenziale convenzionale W=W0). Per comprendere meglio la Topografia è quindi necessario dare dei cenni di Geodesia, chiarendo per i nostri fini, quale è la forma della terra e quali sono le forze che agiscono su di essa.
1
1. IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE DELLA TERRA
Per descrivere la superficie fisica della terra T, supponiamo, solo per comodità, di poter stabilire dapprima un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine nel centro di massa CM della terra (figura 1.1). Sappiamo ormai da secoli che la superficie terrestre si approssima abbastanza bene a quella di una sfera di circa 6370 km di raggio e meglio ancora a quella di un ellissoide di rotazione che chiameremo Σ.
B T Σ
A h
Z
A
A'
h
B
B'
n'
Y ( ϕA λA ) = ( ϕA' λA' )
X
CM Fig. 1.1 – Descrizione variazionale della superficie terrestre.
Facciamo l’ipotesi che il centro di massa della terra coincida con il centro dell’ellissoide Σ, potremo allora decidere di rappresentare la forma vera della terra T attraverso la misura degli scostamenti di T da Σ. Proiettando perpendicolarmente il punto A su Σ definiamo la coordinata altimetrica hA di A come la distanza A A ’ e, individuato A’, le coordinate planimetriche di A sono definite attraverso una coppia di coordinate di superficie: (ϕA, λA) =(ϕA’, λA’). Ogni punto di T è definito dunque dalle tre coordinate (ϕ, λ, h).
2
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
Questo metodo di rappresentazione, che chiamiamo variazionale (rispetto ad una superficie di riferimento) è operativamente pratico e si adatta alla realtà, in quanto gli scostamenti rappresentabili, dalle fosse oceaniche alle vette più alte, sono dell’ordine di 1/1000 del raggio terrestre. Il problema è tuttavia risolto solo teoricamente, perché rimane ancora da capire se e come si riesce ad individuare fisicamente la superficie dell’ellissoide Σ, e se si riesce in qualunque punto, a trovare la normale alla superficie Σ. La risposta è negativa: l’ellissoide rimarrà per questi motivi solo una superficie matematica teorica, che consente di avvicinarci al problema della rappresentazione e della misura della superficie terrestre: non è cioè possibile misurare direttamente posizioni e spostamenti di punti riferiti all’ellissoide di rotazione. Recentemente tuttavia le moderne tecniche di osservazione satellitare (le misure GPS sono fra queste le più frequenti), consentono di misurare tali parametri con sufficiente precisione. In tal caso il problema si sposta dalla individuazione dell’ellissoide all’individuazione e alla stabilità del sistema di riferimento. Ci domandiamo: esiste allora una più comoda superficie Γ che meglio approssimi la superficie T? Quali strumenti abbiamo a disposizione per misurare in qualunque punto di T almeno la direzione verso la superficie Γ (figura 1.2). Quali saranno forma e dimensioni di Γ? A T ∆HAB B
Γ Σ
Γ
Σ
Fig. 1.2 – La determinazione di una superficie equipotenziale.
Prescindendo dai metodi satellitari, la direzione che è sempre misurabile in ogni punto della superficie terrestre è quella del «filo a piombo», perpendicolare cioè alla superficie equipotenziale passante per il punto di misura. Possiamo inoltre misurare (con la livellazione ortometrica ad esempio) le differenze di altezze HAB rispetto alle superfici equipotenziali passanti per A e per B ed infine il modulo del vettore della forza agente su una massa unitaria posta in A o B. In sintesi, per capire con precisione qual è la forma della terra e poterla misurare nella pratica è dunque indispensabile studiare il suo campo di gravità.
3
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
1.1 CENNI DI TEORIA DELLA GRAVITAZIONE La gravitazione
Il campo di gravità è causato dall’attrazione gravitazionale propria, da quella dei corpi celesti, dal moto rotatorio e da altri moti e fattori perturbativi statici o dinamici del corpo terrestre. Partiamo dall’attrazione gravitazionale. L’attrazione gravitazionale fra masse elementari (figura 1.3) vale, secondo la legge di Newton: m m' F = G --------l2
1.1
F è attrattiva e diretta secondo il vettore QP, G è la costante gravitazionale che vale: G = 6.67259 × 10 –11 m kg –1 s –1 .
F
m' P
I F m
Q
τ
Fig. 1.3 – Attrazione fra due masse elementari.
Si ha cioè: m m' l - ⋅ ----F = G --------l2 l
1.2
Nel caso in cui si debba considerare un corpo non puntiforme come la terra e cercare l’effetto gravitazionale sull’unità di massa posta in P, si può cercare di ricavare F come: F =
∑ ∆Fi = ∆m → 0 lim
∆m
i ∑ --------l2 ∆m → 0
lim
1.3
i
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, chiamando (a, b, c) le coordinate del centro di massa ed (x, y, z) le coordinate di un punto P, si ha: Gdm Gdm F = ----------- = ------------------------------------------------------------------2 2 l ( x – a ) + ( x – b )2 + ( x – c )2
1.4
ed integrando, con dm = ρ dτ si ottiene la forza gravitazionale: F = G
∫∫∫ τ
ρ ( x, y, z )dτ ------------------------------------------------------------------2 ( x – a ) + ( x – b )2 + ( x – c )2
1.5
4
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
dove ρ è la densità, variabile da punto a punto e dτ è l’elemento di volume infinitesimo. La forza gravitazionale ammette potenziale V che si ottiene per integrazione della relazione: dm ∂ dV dF = – --------- = G -----∂x l2
1.6
dove x è il generico asse di direzione della forza; si ha allora (la forza è diretta lungo la direzione l ): dm dV = G ------l
1.7
e quindi il potenziale gravitazionale risulta: V = G
∫∫∫ τ
ρ ( x, y, z )dτ -----------------------------------------------------------------------( x – a )2 + ( x – b )2 + ( x – c )2
1.8
Il calcolo di questo integrale, oltre alla conoscenza della funzione ρ all’interno di τ, presuppone anche di conoscere la superficie esterna di τ, ma questo è, purtroppo, lo scopo che vogliamo raggiungere. Conosciamo ad esempio che il valore medio di ρ per la crosta è ρ = 2.67 g/cm3, mentre la densità media terrestre è ρ = 6.53 g/cm3, non conosciamo tuttavia il variare di ρ all’ interno di τ. Moti terrestri e potenziale di gravità
I moti terrestri principali sono: 1. Moto di rotazione attorno ad un asse polare, che ai nostri fini per ora riteniamo costante nel tempo e con velocità angolare media ω = 2 Π ⁄ T t dove Tt, che è il periodo di passaggio attorno ad una stella fissa, è detto giorno siderale medio: Tt = 86,164.091 s. L’accelerazione centrifuga dovuta alla rotazione vale a = ω 2 r ; la forza esercitata sulla massa m vale f = m2 r . 2. Moto di rivoluzione attorno al sole, con periodo Ts = 1 anno siderale= 365.256360 giorni di tempo solare medio e descrivente il piano dell’eclittica. L’asse terrestre si inclina durante l’anno, sul piano dell’eclittica, di ±23°.5 circa durante l’evolversi delle stagioni. Consideriamo ora la combinazione dell’effetto gravitazionale F e centrifugo f (figura 1.4). Per un punto di massa unitaria la forza centrifuga f vale: f = ω 2r
1.9
dove r è la distanza di un punto della superficie dall’asse di istantanea rotazione. Anche questa forza ammette potenziale centrifugo v che si ottiene per integrazione della 1.9; si ha:
5
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
ω 2r v = --------- = v ( x ,y ) 2
1.10
dove (x,y) è il piano normale all’asse di rotazione.
ω P
r
F
f
g
Fig. 1.4 – Combinazione degli effetti gravitazionale e centrifugo: g=F+f.
Il potenziale di gravità W è definito dalla somma dei due potenziali: W = V+v
1.11
W = W (P ) = G
∫∫∫
ρ ω 2r --- dτ + --------l 2
1.12
τ
Per derivazione il vettore gravità vale: g = F + f = – gradW
1.13
Il potenziale W ha derivate prime calcolabili, finite e continue, mentre le derivate seconde sono discontinue in corrispondenza di discontinuità di ρ. Si può dimostrare che nello spazio esterno il potenziale gravitazionale V soddisfa alla equazione: ∆V =
2
∂V ∂x
2
2
+
∂V ∂y
2
2
+
∂V ∂z
2
1.14
(leggasi: Laplaciano di V=0). Tali funzioni (per le quali il Laplaciano si annulla) vengono dette armoniche . All’interno del corpo il potenziale V segue invece la legge di Poisson: V = – 4G ρ ( P )
1.15
Per il potenziale di gravità W, nello spazio esterno si ha invece: W = 2ω 2
1.16
6
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
Si può dimostrare che tutte le funzioni armoniche sono analitiche, vale a dire continue e con derivate continue di qualunque ordine. Le superfici equipotenziali: W = W (P ) = cost sono anche superfici di livello, vale a dire: W = cost ⇒ dW = 0 ⇒ g ds = g ds cos ( g ds) = 0
1.17
Cioè la derivata del potenziale in una direzione è uguale alla proiezione in quella direzione del vettore gravità; in particolare, siccome su una generica superficie equipotenziale dW = 0 questa superficie è sempre normale al vettore g. Il geoide
Per la descrizione variazionale della superficie terrestre e per il posizionamento dei punti sulla stessa scegliamo per Γ una superficie di livello convenzionale ( W = cost ) . La convenzione che si è scelta è quella di stabilire per questa costante il potenziale della superficie di livello che corrisponde al potenziale della superficie media del mare in quiete W=W0. Stabilita questa costante convenzionale possiamo immaginare di prolungare la superficie W=W0, definita analiticamente, anche al di sotto delle terre emerse: questa superficie si chiama geoide. Rimane tuttavia il problema di come determinare analiticamente l’equazione del geoide. È vero che questa equazione può scriversi in forma integrale: W0 – G
∫∫∫
ρ ( x ,y , z ) ω 2 r 2 ( x ,y ) ------------------- dx dy dz – ------------------------ = 0 l ( x ,y , z ) 2
1.18
τ
ma rimangono anche qui irrisolti tutti i problemi emersi per il calcolo di V. I geodeti sono riusciti, però, ad arrivare ad una buona approssimazione nella conoscenza del geoide attraverso la misura del potenziale in molti e ben distribuiti punti della superficie terrestre. In realtà è stato possibile realizzare ciò con misure di funzionali del potenziale, (cioè con quantità dipendenti dal potenziale) quali ad esempio anomalie di gravità, deviazione della verticale ecc. eseguite in genere in punti prossimi od esterni alla superficie Γ del geoide.
7
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
Anche se non è compito del topografo arrivare a determinare il geoide, vediamo come si possono raggiungere queste approssimazioni ed il loro significato fisico. Z τ
P
Q (X,Y,Z)
l
c
dm σ'
ϑ
σ
O =CM b
a
Y
X
Fig. 1.5 – Espressione di l in funzione di σ , σ ' e ϑ.
Nella formula integrale 1.18 il vettore l può esprimersi (figura 1.5): 2
2
2
l = σ +σ ' – 2 σσ ' cos ϑ
1.19
cioè: l
2
σ' σ' 2 = σ 1 + ---- – 2 ---- cos ϑ σ σ 2
1.20
Z
d σ' O
d ψ' σ' d λ' cos ψ' σ'
σ
Y
ψ
λ
d λ'
X
Fig. 1.6 – L’elemento di volume dr in funzione delle tre coordinate (Ψ, λ, σ ).
8
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
Le coordinate polari (ψ, λ, σ) descritte in figura 1.6 sono legate alle coordinate rettangolari (X, Y, Z ) attraverso le relazioni: X = σ cos ψ cos λ Y = σ cos ψ sin λ Z = σ sin ψ
1.21
Utilizzando l’espressione l 2 = ∆X 2 + ∆Y 2 + ∆Z 2 , dalle 1.21 si ricava allora: 2
2
2
l = σ +σ ' – 2 σσ ' ( sinψ sinψ ' + cosψ cosψ ' cos ( λ – λ' ) )
1.22
confrontando la 1.22 con la 1.20 si ricava infine: cos ϑ = sinψ sinψ ' + cosψ cosψ ' cos ( λ – λ' )
1.23
Nell’integrale 1.18 l’elemento di volume (dx dy dz) vale (figura 1.6): 2
dτ = σ ' cosψ cosψ ' d λ ' dσ '
1.24
Il potenziale V può allora esprimersi in coordinate polari: G V = ---σ
∫∫∫ τ
2
ρ σ ' cosψ ' dψ ' d λ ' dσ '
------------------------------------------------------------------1⁄2 σ '2 σ ' 1 + ---- – 2 ---- cos ϑ σ σ
1.25
Essendo V una funzione armonica, siamo certi di poter sviluppare V in serie di armoniche sferiche. Ci si attende che questi sviluppi dipendano da ψ, λ e da σ, oltre che dalla densità ρ. Si può scrivere infatti per tutte le funzioni armoniche ed in particolare per V: ∞
n
∑ ∑
V (P ) =
R nm ( ψ ,λ ) S nm ( ψ ,λ ) - + B nm ---------------------A nm ----------------------n + 1 σ σn + 1
1.26
n=0 m=0
A nm e B nm sono delle costanti, in genere incognite, che dipendono dalla distribuzione di massa e dalla forma della terra, mentre R nm ed S nm sono dette armoniche di superficie, funzioni note, ricavabili attraverso i polinomi di Legendre in forma ricorsiva; le riportiamo sino ad ordine n e grado m uguali a due. R 00 = 1
S 00 = 0
R 10 = sin ψ
S 10 = 0
R 11 = cos ψ cos λ
S 11 = cos ψ sin λ
R 20 = 3 ⁄ 2 sin2 ψ – 1 ⁄ 2
S 20 = 0
R 21 = 3 cos ψ sin ψ cos λ
S 21 = 3 cos ψ sin ψ sin λ
R 22 = 3 cos 2 ψ cos 2 λ
S 22 = 3 cos 2 ψ cos 2 λ ecc…
ecc…
1.27
9
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
A loro volta i coefficienti A nm e B nm si ricavano dalle equazioni integrali: A n0 = A n = G
∫∫∫
ρ dτ
1.28a
τ
( n – m )! A nm = 2G -------------------( m + n )!
∫∫∫
n
(σ ' ) R nm (ψ ' ,λ' ) ρ dτ
1.28b
τ
( n – m )! B nm = 2G -------------------( m + n )!
∫∫∫
n
(σ ' ) S nm (ψ ' ,λ' ) ρ dτ
1.29
τ
ritornando così evidente che per ricavarli occorre conoscere ρ e la forma di τ. Lo sferoide
È possibile tuttavia calcolare almeno i primi termini della 1.26, note le funzioni R ed S. È subito evidente ad esempio che: A 00 = G
∫∫∫
ρ dτ = GM
τ
Proseguendo nella sostituzione negli integrali 1.28 ed 1.29 dei valori di R 10 , R 11 , S 10 , S 11 si può notare che, a parte la costante G, i termini relativi a queste prime funzioni armoniche esprimono i momenti statici del corpo terrestre. Siccome è arbitraria la scelta dell’origine degli assi, basta porre l’origine coincidente con il centro di massa (geocentro) affinché questi, per definizione, si annullino ( A 1m = B 1m = 0 ) . Tenendo conto delle 1.27 e 1.21, con qualche passaggio si ricavano gli altri termini che valgono: A 20 = G
∫∫∫
2
2
X' + Y ' 2 A+B --------------------- – Z ' ρ dτ = G ------------- – C 2 2
1.30
τ
essendo σ sin ψ = Z . Definendo A, B e C i tre momenti principali di inerzia rispetto agli assi X, Y e Z si ricava: A+B A 20 = G ------------- – C 2
10
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
Con calcoli analoghi si ottiene poi: 2G A 21 = ------6
∫∫∫
2
3σ ( 3 cos ψ sin ψ cos λ) ρ dτ
τ
A 21 = G
∫∫∫
( X ' Z ') ρ dτ
τ
che rappresenta il momento d’inerzia misto, che si annulla se si sceglie Z ' come asse di rotazione. Proseguendo su questa via ricaviamo: G A 22 = -----12
∫∫∫
2
( cos 2ψ cos2λ – 3 cos 2ψ sin2 ψ ) σ ' ρ dτ
τ
G A 22 = ---4
∫∫∫
G 2 2 ( – Y ' + X ' ) ρ dτ = ----( B – A ) 4
τ
B 20 = 0 in quanto S 20 = 0
B 21 = G
∫∫∫
( Y ' Z ') ρ dτ
τ
Anche questo termine è nullo essendo un momento d'inerzia misto come il termine A21. Anche il termine: B 22 = G
∫∫∫
( X ' Y ') ρ dτ
τ
rappresenta un momento d'inerzia misto della terra che è nullo se si scelgono X ' ed Y ' come assi principali d'inerzia.
11
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
Riassumendo vediamo dunque come si esprime il potenziale gravitazionale arrestando lo sviluppo armonico all'ordine n=2 e grado m=2. R 00 S 00 V = A 00 -------- + B 00 ------s s R
10 + A 10 ------2
σ
+
S 10 A 11 R 11 B 11 S 11 -+ + B 10 ------2- + ---------------+ --------------2 2 σ
σ
R
S
A R
σ
σ
σ
20 20 21 21 - + B 20 ------ + ---------------+ A 20 ------+ 3 3 2
σ
B 21 S 21 A 22 R 22 B 22 S 22 --------------- + ---------------+ --------------- +T 3 3 3 σ
σ
σ
Possiamo, in forma più compatta scrivere: V = V'+T
1.31
dove T è il potenziale residuo di ordine e grado superiore a 3 detto potenziale anomalo. Ricordando l'espressione del potenziale di gravità W si può scrivere: ω 2 σ 2 cos2ψ W = V ' + ---------------------------- + T 2
1.32
chiamiamo con U la somma, definita potenziale normale della gravità: ω 2 σ 2 cos 2ψ U = V ' + --------------------------2
Il potenziale di gravità è la somma del potenziale normale e del potenziale anomalo: W = U+T
1.33
Inserendo nella 1.33 i valori di R nm ed Snm della tabella 1.27 si ottiene: GM 3 B–A 1 A+B W = ---------- 1 + --------------C – -------------- ( 1 – 3 sin2ψ ) + ---------2 ------------- cos 2ψ cos 2 λ 2 σ 2 4σ M 2σ M ω 2 σ 2 cos2 ψ + ----------------------------- + T 2
È noto che i due momenti principali di inerzia A e B sono circa uguali, in quanto la forma della terra è molto prossima ad un solido di rotazione; si può ammettere allora la seguente semplificazione: (A + B) ⁄ 2 ≅ A
(B – A) ≅ 0
GM 1 C–A ω 2 σ 2 cos2 ψ W = ---------- 1 + ---------2 ------------- ( 1 – 3 sin2ψ ) + ---------------------------- + T = U + T 1.34 σ 2 2σ M Ci si è fermati ad ordine n=2 e grado m=2 nello sviluppo armonico, ciò non significa che non si possa ricavare il potenziale anomalo T, questo dipende dai termini Anm e B nm che sono ricavabili note la densità e la forma della terra.
12
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
In pratica T è ricavabile attraverso la misura su tutta la superficie terrestre τ di valori dipendenti dalla densità e da T, quali ad esempio i valori della gravità. È così possibile proseguire lo sviluppo in serie di armoniche sino ad un certo ordine e grado, quindi ricavare il potenziale W con una approssimazione sufficiente per molti scopi geodetici e topografici. Se si pone nella 1.34: W = U + T = W 0 = cost si ottiene l'equazione di una superficie equipotenziale che, per una particolare scelta di W0 prende il nome di geoide; esso esprime la forma della terra o meglio la forma del suo campo di gravità ad una certa quota equipotenziale W = W 0 . Se si pone nella 1.34: U = U 0 = cost
1.35
si ottiene invece, l'equazione approssimata sino ad ordine e grado due del geoide. Questa equazione rappresenta una superficie che prende il nome di sferoide; è facile notare che l'equazione dello sferoide rappresenta una superficie. Evidenziando le coordinate polari (ψ, σ ) e le tre costanti GM , ( C – A ) ⁄ M , ω 2 (per ora incognite), si comprende che lo sferoide è una superficie di rotazione, in quanto non dipende da λ. Si può dimostrare che, per il posizionamento planimetrico di un punto, (che si ricorda è eseguito attraverso la proiezione di questo su una superficie di riferimento), lo sferoide è già una approssimazione adeguata di τ , in quanto le normali alla superficie U = cost sono sufficientemente prossime alla direzione della verticale, cioè (vedi figura 2.3): grad (W ) – grad (U ) = n – n ' = ε ≅ 0 Ritornando alla 1.34 e ricordando la 1.15, anche per il potenziale T vale la proprietà di armonicità: ∆T = 0
1.36
In modo analogo alle relazioni 1.6 e 1.13 per il potenziale gravitazionale ed il potenziale di gravità, si può scrivere per il potenziale normale: γ = – gradU
1.37
Il vettore γ viene chiamato gravità normale. Volendo ricavare il modulo di γ attraverso le sue componenti, occorre derivare U rispetto agli assi X, Y, Z e sommare pitagoricamente i tre contributi. Si dimostra tuttavia che, con buona approssimazione, il valore γ si ricava derivando U rispetto a σ , dove σ è la distanza di un punto dello sferoide dal centro di massa. Così facendo si ottiene: GM
1 C–A
- 1 + ---------2 ------------- ( 1 – 3 sin2ψ ) – ω 2 σ 2 cos2ψ γ = --------2 σ 2σ M
1.38
13
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
La differenza tra il modulo dei vettori g e γ si chiama anomalia di gravità ∆g e vale: ∆g = g – γ
1.39
ed è il funzionale del campo anomalo più diffusamente misurato ed utilizzato per il calcolo del geoide. Il calcolo di alcune costanti geometriche
Nell'equazione dello sferoide, espressa in forma estesa 1.34, compaiono costanti meccaniche come GM , ( C – A ) ⁄ M , le quali non definiscono esplicitamente la forma e le dimensioni dello sferoide. Ricaveremo ora le costanti geometriche: il semiasse polare c e quello equatoriale a. Scriviamo l'equazione dello sferoide: U (ψ = 0 ) = U (ψ = 90° ) = U 0 = cost e definiamo: C–A k = ------------- M
1.40
Si ha: GM k ω 2a 3 ---------- 1 + -------- + ------------a 2a 2 2GM
GM k = ---------- 1 – ----2 c c
1.41
dividendo tra loro i due termini dell’equazione si ha: k c k ω 2 a 3 –1 --- = 1 – ----2- 1 + --------2 + ------------- a 2GM 2a c siccome: k ----2- ≅ 0 c
e
ω 2a 3 k --------2 + ------------- ≅ 0 2GM 2a
si può sviluppare in serie binomiale il denominatore, approssimando: k ω 2a3 k c ≅ 1 – ----2 1 – --------2 + ------------- = --- 2GM 2a c a k ω 2a3 k ω 2 k a3 k = 1 – --------2 – ------------- – ----2- + -------------+ ------------------2GM c 2 a 2 c 2 2 c 2 GM 2a che si semplifica in: k k ----2- ≅ ----2c a
14
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
k ω 2 a3 c ≅ 1 – 3--- ---- – --------------2 a 2 2GM a Definiamo schiacciamento geometrico dello sferoide il termine: a–c a
α = ---------- = 1 – c---
1.42
3 k ω 2a3 α = --- ----2- + ------------2GM 2a
1.43
a
si ha:
Questo risultato mostra come, attraverso l'utilizzo di quantità meccaniche, si è ricavata la quantità geometrica schiacciamento α dello sferoide. Dalla 1.38 ricaviamo poi il valore della gravità normale all'equatore ed ai poli: GM 3 k ω 2 a3 --- ----2- – ------------+ γ a = --------1 2 a 2GM a2 GM c
3k c2
- 1 – -----γ c = --------2
1.44
γ a2 3k ω 2 a 3 –1 3k ----c = -----2 1 – -----2- 1 + -------2- – ------------- γa GM c 2a c
Sviluppando in serie binomiale, moltiplicando ed approssimando come visto in precedenza per il rapporto c ⁄ a si ricava: γ 3k 2 ω 2 a3 ----c = 1 – -------2- + ---------------γa GM 2a
Definiamo infine β lo schiacciamento di gravità: γc β = ---- – 1 γa
1.45
Possiamo scrivere: 3k ω 2 a3 β = – --- ----2- + 2 -----------2a
GM
1.46
Si vede facilmente che: 5 ω 2 a3 α + β = --- -----------2 GM
e, grazie al fatto che γ a ≅ GM ⁄ a2 , ricaviamo la relazione di Clairaut: 5ω2a α + β = --- ---------2 γa
1.47
15
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
Equazione dello sferoide in funzione dei parametri geometrici
Riscriviamo ora la 1.34 in questo modo: GM k ω 2 σ 3 cos2ψ U = ---------- 1 + ------- ( 1 – 3 sin2 ψ ) + ----------------------------- = U 0 σ 2σ 2GM ricordando la prima delle 1.41 ed eguagliando queste quantità si ricava: σ k k ( 1 – 3 sin2 ψ ) ω 2 σ 3 cos2ψ ω 2 a3 ---- 1 + --------------------------------- + ---------------------------- 1 + -------- + ------------a 2GM 2σ 2 2 a2 2GM
–1
Sviluppando come al solito il denominatore e semplificando, con qualche passaggio si ottiene: 3k ω 2 a 3 σ = a 1 – -------- + ------------- sin2 ψ 2 a2
2GM
cioè: σ = a ( 1 – α sin2 ψ )
1.48
Questa è finalmente l'equazione dello sferoide nelle coordinate polari ( σ ,ψ ) espressa in funzione delle quantità geometriche ( a ,α ) . Come si nota la 1.48 non dipende da λ. Espressione della gravità normale in funzione dei parametri geometrici
Ricordiamo la 1.38 che ora esprimiamo come: 2 σ 3 cos2ψ GM 3k 2ψ ) + ω -------+ ---------------------------γ = --------( – sin 1 1 3 GM σ2 2a 2
1.49
e ricordiamo anche l'espressione della gravità normale all'equatore 1.44: GM 3 k ω 2 a3 --- ----2- – ------------+ γ a = --------1 2 a 2GM a2 dividendo fra loro i due valori di γ , sviluppando binomialmente al primo ordine e semplificando si ricava: γ 3k 2 ω 2 a 3 ---- ≅ 1 + – -------- + ---------------- sin2 ψ 2 a2 γa GM
che equivale a scrivere: γ = γ a ( 1 + β sin2 ψ )
1.50
Questa è l'equazione della gravità normale che, come si vede, dipende solo dalla latitudine sferoidica.
16
IL PROBLEMA DELLA RAPPRESENTAZIONE
Dallo sferoide all'ellissoide
Proviamo a scrivere la 1.48 in coordinate cartesiane. Si ha: σ =
Z2 Z2 X 2 + Y 2 + Z 2 = a 1 – α -------2 = a 1 – α ------------------------------------ σ X 2+ Y 2+ Z2
in quanto sin ψ = Z ⁄ σ . La formula ricavata è di difficile utilizzo. Partendo allora dalla 1.48, vediamo come questa può semplificarsi. Possiamo scrivere: σ 2 = a 2 ( 1 + α 2 sin4ψ – 2 α sin2 ψ ) –5
Trascurando il termine moltiplicativo di α 2 a meno di errori dell’ordine di 10 a (infatti α ≅ ( 1 ⁄ 297 ) e α 2 = 10 –5 ) si ha: Z2 Z2 σ 2 = a 2 1 – 2α -------2 ≅ a 2 1 – 2α ----- σ a2 Quest'ultima approssimazione è tollerabile in quanto Z 2 ⁄ σ un termine piccolo. Con ciò otteniamo:
2
moltiplica α che è
X 2 + Y 2 + Z 2 = a2 – 2α Z 2 ( 1 + 2α ) X2+Y2 - = 1 ------------------- + Z 2 -------------------2 a2 a
1.51
ponendo 1 + 2 α = t 2 : X 2 t2Z 2 ------2- + ---------- = 1 a a2
1.52
Cerchiamo quanto vale a ⁄ t sviluppando come al solito 1 ⁄ t : a a a–c -- = -------------------- ≅ a ( 1 – α ) = a 1 – ---------- = c a t 1 + 2α si ottiene in definitiva dalla 1.51: X 2 + Y 2 Z2 ------------------- + -----2- = 1 ≡ Σ a2 c
1.53
che è l'equazione di un ellissoide di rotazione Σ attorno all'asse Z in coordinate cartesiane. Questa sarà la superficie planimetrica di riferimento per i rilievi geodetici e topografici. A causa delle approssimazioni, la superficie dell'ellissoide si discosta da quella dello sferoide di valori massimi dell'ordine di 10 –5 σ .
17
2. SISTEMI DI COORDINATE
2.1 LE COORDINATE GEODETICHE Abbiamo già visto che la posizione di un punto può essere espressa per mezzo di: – coordinate cartesiane rettangolari geocentriche – coordinate polari. Vediamo ora come si esprime la posizione di un punto attraverso le coordinate geodetiche (o geografiche) definite dalla terna (ϕ, λ, h), chiamate anche rispettivamente latitudine, longitudine geodetiche ed altezza geodetica (o quota ellissoidica). Utilizziamo come riferimento l’ellissoide definito dalla 1.53, sia P un punto esterno e Q la sua proiezione su di esso (vedi figura 2.1): – h è definita dalla distanza QP – la latitudine è l’angolo che il versore normale all’ellissoide n' forma col piano equatoriale – la longitudine è l’angolo che il piano meridiano passante per P forma col piano del meridiano convenzionale di riferimento π. Z
P (x,y,z) n' Q
π O
λ
h
Y
ϕ Σ
X
Fig. 2.1 – Latitudine, longitudine ed altezza geodetica.
La latitudine e longitudine geodetiche di P coincidono sia con quelle di Q che in pratica con la direzione del campo normale in quanto si può dimostrare che vale:
18
SISTEMI DI COORDINATE
h in km, ϕ Q = φ Q
ϕ P ≅ ϕ Q – 0.17'' ⋅ h sin2ϕ
ed anche se non fosse trascurabile la correzione per strumenti di alta precisione e quote elevate, si deve ammettere che nei rilievi tradizionali ciò che conta è la variazione di ϕ e quella di h che spesso rendono costante questa correzione. Osserviamo che le componenti del versore n' sugli assi XYZ sono: n' = ( cosϕ cos λ ; cosϕ sin λ ; sinϕ)
2.1
Passaggio dalle coordinate geodetiche alle coordinate cartesiane geocentriche e viceversa
Essendo (ϕ, λ, h) le coordinate riferite ad un ellissoide di rotazione, per molti scopi esplicativi possiamo considerare una sola sezione meridiana Γ, visibile in figura 2.2.
Z
Γ
a
H
ϕ
Q
c ϕ
z Ψ
O
β
RN
δ
r
(r=XY)
u ϕ
N Fig. 2.2 – Parametri di una sezione meridiana dell’ellissoide.
L’ellisse Γ può essere costruito geometricamente attraverso due circonferenze di raggi a e c. L’equazione in forma parametrica è: r = a cos β Γ = Z = c sin β
2.2
Ricaviamo: Z c --- = -- tg β a r
2.3
19
SISTEMI DI COORDINATE
ed ancora cercando la tangente alla curva si può scrivere: dZ tg δ = – ctg ϕ = ------dr
2.4
Dalla 2.2 otteniamo i differenziali che entrano nella 2.4: dr = – a sin β d β; dr a tg ϕ = – ------- = -- tg β; dZ c
dZ = c cos β dβ c tg β = -- tgϕ a
2.5
Siccome vale la 2.3 si ha: Z = c tg β = c 2 tg ϕ -----2--a r a cioè: c2 Z = r ----- tg ϕ a2
2.6
Esprimiamo ora sin β , cos β che entrano nelle 2.2 in funzione di tg ϕ attraverso il legame con tg β . Si usano le relazioni: tg β sin β = -----------------------1 + tg 2 β
2.7
1 cos β = -----------------------1 + tg 2 β
2.8
e, definita eccentricità quadratica o eccentricità, il valore: c2 e 2 = 1 – ----2a
2.9
si ricava: cos ϕ 1 cos β = ----------------------------- = ------------------------------1 – e 2 sin 2ϕ c2 1 + ----2- tg 2ϕ a
2.10
sin ϕ 1 – e 2 sin β = ------------------------------1 – e 2 sin 2ϕ Ricordando, la prima delle 2.2 e la 2.6: a cos ϕ r = ------------------------------1 – e 2 sin 2ϕ
2.11a
20
SISTEMI DI COORDINATE
a ( 1 – e 2 ) sin 2ϕ Z = r ( 1 – e 2 ) tg ϕ = ----------------------------------1 – e 2 sin 2ϕ
2.11b
L’ipotenusa del triangolo NHQ, che indichiamo con R N vale: a a r R N = ----------- = ------------------------------- = --w cos ϕ 1 – e 2 sin 2ϕ
2.12
con: w =
1 – e 2 sin2 ϕ
2.13
Ricordando la 2.12 le tre coordinate cartesiane del punto Q sull’ellissoide valgono: X ( Q ) = R N cos ϕ cos λ Y (Q ) = R N cos ϕ sin λ Z ( Q ) = R ( 1 – e 2 )sinϕ N Per un punto P a quota ellissoidica h, ricordando ancora la 2.1, le formule si modificano in: X (P ) = ( R N + h ) cos ϕ cos λ Y (P ) = ( R N + h ) cos ϕ sin λ Z (P ) = R ( 1 – e 2 ) sinϕ + h sinϕ N
2.14 2.15 2.16
che rappresentano le formule di passaggio dalle coordinate geografiche (ϕ , λ ,h) alle cartesiane geocentriche (X, Y, Z). Possiamo cercare ora le formule inverse: il passaggio dalle coordinate cartesiane alle geografiche. L’inversione delle 2.16 è complessa e può essere fatta risolvendo una equazione del quarto grado od anche perturbativamente. Il metodo perturbativo consiste in questi passaggi: è possibile da prima ricavare direttamente λ , infatti: Y ⁄ X = tg λ
2.17
Si calcola poi: r =
X 2 + Y 2 = (R N + h ) cos ϕ
Z = [ ( 1 – e 2 )R N + h ] sinϕ
2.18
2.19
Con qualche passaggio si può ricavare da queste formule: e 2 RN Z - tg ϕ --- = 1 – -------------- RN + h r
2.20
21
SISTEMI DI COORDINATE
Dalla 2.20 si ricava ϕ , trascurando, alla prima iterazione, il secondo termine in parentesi. Attraverso la seconda espressione delle 2.12 si calcola R N ed infine si può ricavare h dalla 2.18. Inserita h nella 2.20 può iniziare una seconda iterazione, ricavando un valore più corretto di ϕ e così di seguito si itera sino alla stabilizzazione dei valori di ϕ ed h ricavati. 2.2 LE COORDINATE ASTRONOMICHE O NATURALI Le coordinate naturali sono definite dalla terna (Φ, Λ, Η ) nella quale Φ, Λ sono dette latitudine e longitudine astronomica ed Η è detta altezza ortometrica o quota ed è la distanza di un punto P sul geoide misurata lungo la linea di forza. Sia n il versore diretto nella direzione del campo di forza per P (e quindi normale alla superficie di livello passante per P) (figura 2.3). Il versore può essere espresso attraverso le componenti del vettore g: gx gy g n = – ---g- , ---g- , ----z = ( cos φ cos Λ , cos φ sin Λ , sin φ ) g
2.21
La latitudine Φ è definita allora attraverso: gz sin Φ = – ---g- e siccome: g x = – g cosΦ cosΛ g y = – g cosΦ sinΛ n
n' P
T ε
h
Γ
H Po N
Sferoide
Ellissoide
Q'
Geoide (campo reale)
Q''
Fig. 2.3 – Direzione della normale al geoide.
si ricava la coordinata Λ per mezzo della: g tg Λ = ----y gx
22
SISTEMI DI COORDINATE
La terza coordinata H (la quota ortometrica) è la lunghezza dell’arco di linea di forza che congiunge il punto P al geoide: in topografia si indica più spesso con il simbolo Q. L’angolo ε che formano i versori n' ed n (figura 2.3) è detto deviazione della verticale ed è la quantità che esprime lo scostamento delle linee di forza del campo reale, dalle linee di forza del campo normale. Si ricorda infatti che l’ellissoide è la superficie che approssima la superficie equipotenziale del campo normale U = U 0 = W 0 . Possiamo separare le componenti di ε lungo ϕ e λ e ricavare così il legame tra le coordinate geodetiche e le coordinate naturali: ε = n – n' ≡ ( ξ , η )
ξ = Φ – ϕ η = (Λ – λ ) cosϕ
2.22a
2.22b 2.22c
I valori comuni delle componenti delle deviazioni della verticale (ξ, η ) sono di poche decine di secondi sessaggesimali, aumentano il loro valore assoluto e la loro variabilità in luoghi montagnosi. Grazie a questi valori modesti di deviazione della verticale possiamo sempre scrivere con rigore (vedasi la figura 2.3): h = H+N
2.23
ove N è detta ondulazione del geoide e misura lo scostamento di questa superficie dall’ellissoide geocentrico (del campo normale). In approssimazione sferica (che si definirà al § 3.5) si dimostrano le seguenti relazioni che legano l’ondulazione del geoide alle deviazioni della verticale: ξ = – --1- ∂N R ∂ϕ 1 ∂N --------------η = – R cos ϕ ∂λ
2.24a
2.24b
L’ondulazione N ha su tutto il globo segno alterno e valori medi di ± 50 m (vedi figura 2.5). In Italia l’ondulazione varia da + 37 m in Calabria a + 52 m in Val d’Aosta; il suo calcolo, compito dei geodeti, viene detto «calcolo del geoide». Questi calcoli assumono grande importanza in questi ultimi tempi nei quali l’utilizzo di tecniche satellitari consente di ricavare differenze di altezze ellissoidiche molto precise: attraverso la 2.23, note le ondulazioni relative tra due punti è possibile ricavare il dislivello ortometrico con precisione che dipende appunto dalla precisione con cui è noto il geoide.
23
SISTEMI DI COORDINATE
Ellissoide Σ
Z n' n
Geoide
Γ
N
Fig. 2.4 – Ondulazione del geoide.
I calcoli moderni del geoide, sempre più precisi e complessi, partono dall’utilizzo di misure gravimetriche, satellitari e di ogni quantità fisica misurabile legata al campo anomalo T. Si può dimostrare inoltre che vale la relazione di Bruns: T N = ---γ
2.25
che mostra che l’ondulazione è direttamente proporzionale al campo anomalo.
Fig. 2.5 – Ondulazione del geoide italiano.
24
SISTEMI DI COORDINATE
Le coordinate naturali (Φ, Λ, Η ) sono quantità misurabili direttamente: le prime due attraverso l’utilizzo combinato di strumenti come il teodolite o l’universale geodetico (a seconda della precisione richiesta) e cronometri di precisione. Con questi strumenti è sempre possibile individuare con precisione la direzione n e misurare angoli a partire da questa direzione verso astri di «orbita apparente» nota con grande precisione. tM – tE - ⋅ 360 Λ = – --------------gs Φ = Z – Z E M
2.26
Anche l’altezza ortometrica è facilmente determinabile (o meglio la differenza di altezze ortometriche) attraverso operazioni come la livellazione geometrica, dopo l’applicazione di opportune «correzioni gravimetriche». ZM
Z
n=zenith
Greenwich
P
π
ZE
Φ
Y
Λ
tM X
tE
ZM = zenit massimo apparente. gs = giorno siderale. tM = tempo al massimo zenit. tE = tempo delle effemeridi della stella. ZE = zenit delle effemeridi della stella. Fig. 2.6 – Determinazione astronomica della latitudine.
La correzione gravimetrica nella livellazione geometrica
La quota di un generico punto P vale per definizione:
25
SISTEMI DI COORDINATE
P
HP =
∫
P
∫
dW dH = – -------g
P0
2.27
P0
La figura 2.6a porta l’esempio in cui si voglia misurare il dislivello tra A e B definito con: ∆ AB = H B – H A . Si noti che le superfici W=cost, cioè le superfici dW=0 non sono fra di loro parallele. Si noti infine che scrivere dW=0 equivale anche ad affermare dH=0 per la 2.27. Ipotizziamo di avere a disposizione uno strumento che misuri le quantità δq in intorni sufficientemente prossimi al punto P. Possiamo seguire con tale strumento da A verso B percorsi diversi. Sono due i casi limite: il percorso AA''B ed il percorso AB''B . Nel primo caso misureremo Σ δq = AA'' in quanto lungo W B si ha δq = 0 ; nel secondo caso misureremo Σ δq = BB'' in quanto lungo WA si ha: δq = 0 . Compiendo un qualunque altro percorso misureremo dei valori compresi tra questi due valori limite. Scriviamo allora per comodità l’integrale 2.27 come: P
HP =
∫
P
dW γ 0 1 -------- ----- = ----γ0 g γ0
P0
∫
P
γ0 1 dW ----- = ---- g γ0
P0
∫
γ0 – g dW 1 + ----------- g
P0
cioè: P
WP – W0 1 – H P = --------------------- – ---- γ0 γ0
∫
(γ 0 – g) g dH -----------------g
P0
Definendo come valore medio integrale della gravità: P
1 g = ------HP
∫
g dH
2.28
P0
si ha: γ0 – g W0 – WP H P = -------------------- + H P -------------γ0
γ0
2.29
Applicando la 2.29 a 2 punti A e B si ha: γ 0 – gB γ0 – gA WB – WA ∆ AB = H B – H A = – --------------------- + HB ---------------- – H A ---------------- γ0 γ0 γ0
2.30
26
SISTEMI DI COORDINATE
A" W=WB W3 W2 A HA
B
δq 2
δq1
δ q 3 = δH 3 δH 2
W=WA W=W0
Geoide
B"
A0
δH 1
B0
HB
Fig. 2.6a – Principio per il quale è necessaria la correzione gravimetrica.
Con misure di livellazione geometrica di precisione si misura il dislivello, che chiamiamo δq tra punti distanti fra loro al massimo 20-30 m. Anche ponendo per semplicità di ragionamento H A = H B'' si vede dalla figura 2.6 che Σ q i lungo AA'' è diverso da H B – H A . Il dislivello ∆ AB non si ottiene dunque solo dalla sommatoria dei singoli δq i , detti incrementi di livellazione, a causa del non parallelismo tra A e B delle superfici equipotenziali. Questa sommatoria dipende ora dal percorso seguito tra A e B per cui la 2.27 diviene: B
B
∑ δq ≅ A
∫
dW -------- ≠ H B – H A g
2.31
A
La differenza tra dislivello ortometrico tra A e B e dislivello geometrico si chiama correzione ortometrica CO e vale: B
CO = ( H B – H A ) – ∑ δq
2.32
A
Dividendo per γ ⁄ g le 2.31 si ha: WB – WA – --------------------- = γ0
B
g δq ∑ ---------- = A
B
B
A
A
γ0
g – γ0
B
g – γ0 - + 1 δq = ∑ ----------- γ0 A
B
B
A
A
g – γ0
- δq ∑ δq + ∑ -----------γ0
WB – WA
- + ---------------------∑ δq = ∑ -----------γ0 γ0 e ricordando la 2.30, la 2.32 si trasforma in:
27
SISTEMI DI COORDINATE
B
gA – γ 0 gB – γ 0 g – γ0 CO = – ∑ -------------- δq – HA ---------------- + HB ---------------A
γ0
γ0
2.33
γ0
dove per HA e HB è sufficiente inserire valori approssimati. 2.3 COORDINATE CARTESIANE LOCALI OD EULERIANE Sono definite dalla terna (x, y, z) di figura 2.7. L’asse z è diretto secondo il versore n' normale ellissoidica. L’origine degli assi è posta in P e l’asse x appartiene al piano meridiano passante per P (vedi figura 2.6). Si può passare dal sistema locale a quello cartesiano geocentrico e viceversa, note le coordinate geodetiche. Siano (ζ ξ η ) i tre assi che si ottengono ruotando attorno a Z di un angolo antiorario λ gli assi (X Y Z). Z z // n'
y x
P
O
ϕ λ Q
Y
η ξ ζ
X
Fig. 2.7 – Coordinate cartesiane locali od euleriane.
Si avrà: ζ ξ η
∆X cos λ sin λ 0 X – X Q = = R λ ∆Y – Y Y – sin λ cos λ 0 Q 0 1 Z – ZQ ∆Z 0
Siano ora (z x y) i corrispondenti assi che si ottengono ruotando attorno all’asse ξ di un angolo ϕ orario. Si noti tuttavia che l’asse ξ è diretto in senso sinistrorso rispetto agli assi (ζ η ) . Perciò si avrà: z cos ϕ 0 sin ϕ x = 0 1 0 y – sin ϕ 0 cos ϕ
∆ζ ∆ζ ∆ ξ = Rϕ ∆ ξ ∆η ∆η
28
SISTEMI DI COORDINATE
Si avrà dunque: z ∆X x = R ϕ Rλ ∆Y y ∆Z Sviluppando i calcoli si ha in definitiva: – sin λ ∆X x cos λ 0 X – X P y = – sinϕ cos λ – sinϕ sin λ cosϕ Y – Y P = R ∆Y cosϕ cos λ cosϕ sin λ sinϕ Z – Z P ∆Z z Essendo R una matrice di rotazione, si ha: R vale:
–1
2.34a
T
= R , per cui la relazione inversa
z ∆X T ∆Y = R x y ∆Z
2.34b
È meno frequente la possibilità di misura diretta delle coordinate geodetiche rispetto a quelle naturali. In questo caso l’asse z è materializzato dall’asse di un teodolite che fa stazione in P; misurata la direzione del Sud astronomico che rappresenta la direzione opposta all’asse y (che con l’asse z individua il piano meridiano), nelle formule 2.34 vengono sostituite allora le coordinate (Φ , Λ ) alle coordinate geodetiche (ϕ , λ ) . 2.4 DIMENSIONI DELL’ELLISSOIDE TERRESTRE Si è visto che il potenziale di gravità è definito come somma dei potenziali. W = U+T Si è cercato poi qual è la superficie che meglio descrive il campo normale U e, attraverso lo sferoide, si è arrivati all’ellissoide di rotazione. Ci si chiede ora quali sono le dimensioni e le caratteristiche dell’ellissoide che, in base alle più accurate e recenti misure, definisce con precisione il campo anomalo U. La risposta generica ma non approssimativa è: quell’ellissoide che in media, sulla superficie σ, rende il campo anomalo uguale a zero, perché è quello che più si adatta al metodo di descrizione variazionale della superficie terrestre. Quali sono e come si calcolano le sue dimensioni? Partiamo dall’ipotesi: Mσ [ T ] = 0
2.35
dove M rappresenta l’operatore media M [ • ] . Applicando questo operatore al
29
SISTEMI DI COORDINATE
campo reale W, grazie alla proprietà di linearità dell’operatore si ottiene: Mσ [ W ] = W 0 = Mσ [U ] + Mσ [T ] ma se vale la 2.35: Mσ [ W ] = M [U ] = W 0 = U 0 cioè è il potenziale di gravità costante W 0 del geoide che è una superficie di livello. La superficie dello sferoide σ invece non è una superficie di livello, lo è solo in media. Non sono superfici di livello anche le superfici U = cost ≠ U 0 . La costante W0, fissa in pratica le dimensioni dell’ellissoide ricercate. Vogliamo capire quali e quanti sono i parametri fisici e geometrici indipendenti che univocamente definiscono il potenziale W = U 0 = W 0 . Ciò si ottiene analizzando la 1.33 che può essere riscritta: GM 1 C–A ω 2 σ 2 cos2ψ U = ---------- 1 + --------2- ------------- ( 1 – 3 sin2ψ ) + ---------------------------- = U 0 σ 2 2σ M che evidenzia così che le coordinate (σ , ψ ) sono funzione solo dei seguenti quattro parametri indipendenti: GM,
C–A -------------, M
ω,
U = U0
2.36
quest’ultimo valore, come già detto, deve essere scelto in modo tale che sulla superficie f (σ ,ψ ) che in prima approssimazione è lo sferoide ed in seconda l’ellissoide, valga la 2.35. La ricerca dei termini 2.36 o di altri, da essi dipendenti come a, α , ecc. (vedi 1.43) è in passato avvenuta sfruttando misure gravimetriche, osservazioni astronomiche e satellitari, congiuntamente a misure di tempo. Tutti questi calcoli hanno condotto a risultati a via a via più precisi. Bessel, nel 1841 definì un ellissoide di parametri geometrici: a = 6377397.155m α = 1/299.1528128 L’ellissoide internazionale di Hayford del 1909 è fra i più utilizzati ed ha parametri geometrici: a = 6378388.000m α = 1/297.0000000 Mentre con due parametri geometrici si definiscono solo forma e dimensione dell’elissoide terrestre, con quattro si definisce compiutamente un sistema di riferimento. Nella seguente tabella riportiamo i parametri dei più conosciuti sistemi di riferimento (GRS, significa Sistema di Riferimento Globale) che internazionalmente si convenne di utilizzare nel 1967 e quelli successivi del 1980.
30
SISTEMI DI COORDINATE
Tab. 2.1 Sistema
a(m)
GM (m3/s2)
J20
ω (r/s) x 105
GRS 67
6378160
398603.0x109
1082.70x10-6
7.2921151467
GRS 80
6378137
398600.5x109
1082.63x10-6
7.2921150000
Come si nota, fra i quattro parametri indipendenti si è scelto di riportare il semiasse equatoriale ed il termine J20. Questo termine è in relazione con A 20 della 1.30 per mezzo della: 2
J 20 = – A 20 ⁄ ( a GM ) da cui si ricava anche: k = – J 20 a
2
Tutti gli altri termini geometrici e fisici sono da questi dipendenti, ad esempio nel sistema GRS67 da questi quattro valori si ricava α= 1/298.25, nel sistema GRS 80, si 6 2 –2 ha α= 1/298.257224; U 0 = 62.63686 ⋅ 10 m s . Con i valori del sistema GRS 80 si può poi ottenere la formula della gravità normale: γ 0 = 9.780327 ( 1 + 0.0053024 sin2ϕ – 5.8 ⋅ 10 – 6 sin2 2ϕ ) [ m ⁄ s2 ]
2.37
valida per ogni punto posto sulla superficie ellissoidica (9.780327 è il valore γ per ψ = 0 della 1.49). Come si può notare γ 0 dipende solo da ϕ come è logico attendersi sulla superficie di rotazione σ 0 . Per ottenere il valore di γ , gravità normale, in un punto di altezza ellissoidica h, si applica (riportiamo sempre la formula con i valori GRS 80): 10 –5 ∂γ = – 0.30877 ( 1 + – 0.00142 sin2ϕ ) --------- ∂h 0 s2
2.38
Essendo un gal (sta per Galileo) l’unità di misura della gravità 1 gal = 10 –2 m ⁄ s 2 , si ha che ogni 3 m circa in quota la gravità diminuisce di 1 mgal. Un sistema di riferimento utilizzato nel posizionamento satellitare, è quello denominato WGS84; questo sistema ha parametri praticamente coincidenti il sistema GRS 80. In questo sistema: a=6378137m; α =1/298.25722356 I valori non sono coincidenti in quanto si è adottato convenzionalmente per i parametri derivati da A20 un troncamento all’ottava cifra decimale.
31
3. L'ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
Abbiamo visto che, per individuare un punto o una serie di punti di un rilievo e poi rappresentarli, si passa attraverso una superficie di riferimento che, per la planimetria, è l'ellissoide (ciò vuol dire che due delle tre coordinate che individuano un punto sono le coordinate ellissoidiche ϕ e λ). Vedremo in queste pagine di approfondire le proprietà delle misure che teoricamente si possono compiere su questa superficie, in relazione anche al tipo ed alla precisione delle misure topografiche che sono in pratica eseguibili sul terreno. 3.1 RAGGI DI CURVATURA E SEZIONI NORMALI Sia n' la normale all’ellissoide in P, si dice sezione normale una qualunque curva ottenuta per intersezione dell'ellissoide con un piano avente per direttrice il versore n' (figura 3.1).
Z Q
n'
α P O
λ
µ
Y
X Fig. 3.1 – Sezioni normali. 32
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
Fra queste vi è la sezione meridiana, che contiene n' e l'asse Z. Definiamo l'azimut tra P e Q come l'angolo orario che la sezione meridiana forma con la sezione normale in P che passa anche per Q. Esistono ovviamente infinite sezioni normali passanti per P, ciascuna con diverso raggio di curvatura1. Cerchiamone le proprietà: – possiamo intuitivamente capire che, essendo l'ellissoide una superficie di rotazione, per tutte le sezioni normali di generico azimut, tutti i raggi di curvatura R appartengono al piano meridiano; – i valori R variano con continuità al variare dell'azimut α, da un valore minimo ρ ad un valore massimo R N (si vedrà in seguito che, per il teorema di Meusnier R N coincide col valore 2.12); – si definiscono sezioni normali principali le sezioni normali corrispondenti ai raggi ρ e R N ; – si può infine dimostrare che, per qualunque superficie di rotazione, una delle sezioni normali principali è la curva meridiana. Su questa curva giace il raggio di minimo ρ (e non massimo) a causa del fatto che l'ellissoide è schiacciato ai poli; – ancora è possibile dimostrare che le sezioni normali principali sono fra loro normali, cioè la sezione normale relativa al raggio R N si ha per α = 90° . (Non si confonda questa sezione, disegnata in figura 3.1 con il parallelo per P, che non è una sezione normale anche se è tangente alla sezione normale); – per le sezioni normali vale la legge di Eulero: 1 cos2α sin2α ------ = -------------- + ------------ρ RN Rα
3.1
che esprime la variazione continua di R in funzione di α e dei due raggi di curvatura principali. Z
r dz
ρ
ds dr
dϕ X
O r = x 2+ y 2
Fig. 3.2 – Raggio di curvatura di una sezione meridiana. 1 Si
noti che una sezione parallela che non sia equatoriale non è una sezione normale.
33
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
Vediamo come si ricava il raggio principale di curvatura di una sezione meridiana, come quella descritta in figura 3.2. In termini differenziali: ds
ρ = ------dϕ
3.2
d s 2 = dr 2 + d Z 2
3.3
con:
Ricordiamo le 2.11: a cosϕ r = ------------------------------1 – e 2 sin2ϕ a ( 1 – e 2 ) sinϕ Z = -------------------------------1 – e 2 sin2ϕ Differenziando rispetto a r e Z si ricava, dopo alcuni passaggi: a ( 1 – e 2 ) sinϕ - dϕ dr = – ------------------------------------( 1 – e 2 sin2ϕ ) 3 ⁄ 2
3.4a
a ( 1 – e 2 ) cosϕ - dϕ d Z = -----------------------------------( 1 – e 2 sinϕ ) 3 ⁄ 2
3.4b
Di conseguenza per la 3.3: a( 1 – e2 ) - dϕ d s = – ------------------------------------( 1 – e 2 sin2ϕ ) 3 ⁄ 2
3.5
cioè, definendo w come la 2.13: a( 1 – e2 )
a( 1 – e2 )
ρ = – -------------------------------------- = -------------------w3 ( 1 – e 2 sin2ϕ ) 3 ⁄ 2
3.6
Per trovare il raggio di curvatura R N , detto grannormale applichiamo il teorema di Meusnier: Il raggio di curvatura di una sezione obliqua è uguale al raggio di curvatura della sezione normale corrispondente al piano che contiene la tangente alla sezione obliqua, moltiplicato per il coseno dell'angolo formato tra i piani delle sue sezioni.
Ciò significa nel nostro caso: r = R N cosϕ
3.7
dunque: r a R N = ----------- = ------------------------------cosϕ 1 – e 2 sin2ϕ ottenendo con ciò il risultato 2.12, ricavato prima che sapessimo che R N fosse la grannormale. Si può notare poi che ρ < R N e, dalla figura 2.2, che R N può essere
34
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
ottenuto dall'intersezione tra il versore n' e l'asse Z ed è misurato da questa intersezione al punto Q sull'ellissoide. Si definisce curvatura totale, l'inverso del raggio di curvatura della sfera osculatrice (bitangente) che vale: R =
a( 1 – e2 ) 1 ⁄ 2
ρ RN = --------------------------1 – e 2 sin2ϕ
3.8
In sintesi i raggi di curvatura dell'ellissoide sono: a R N = ---; w
a( 1 – e2 ) w
a cosϕ r = -------------- ; w
-; ρ = -------------------3
a 1 – e2 R = ------------------w2
3.2 LINEE GEODETICHE Su una superficie definita da:
Σ :=f ( x ,y ,z ) = 0
3.9
si ha il problema di definire e di misurare la distanza tra due punti P e Q. Esistono infinite linee che li possono congiungere, fra queste viene definita geodetica quella linea che ha la minor lunghezza. È possibile dimostrare che la geodetica può essere definita come quella linea g sulla superficie che ha la normale alla curva g coincidente in ogni punto con la normale alla superficie (vale a dire il cui piano osculatore è sempre normale a Σ).
Z
s' α
P
g
Q Y
O
Σ X
Fig. 3.3 – Linea geodetica.
35
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
Si dimostra che se P e Q (vedi figura 1.5) non sono troppo distanti (θ < π ) la geodetica è unica, inoltre è in genere una curva gobba, cioè non contenuta in un piano. Cerchiamo di ricavare le equazioni della geodetica in base all'ultima definizione data. I coseni direttori della normale alla superficie 3.9 valgono rispettivamente: 1 ∂f ---; 2s ∂X
1 ∂f ---; 2s ∂Y
1 ∂f ---2s ∂Z
dove s è l'elemento di arco: 2
s =
2
∂f + ∂f + ∂f ∂X ∂Y ∂Z
2
La curva g, data in forma parametrica in funzione della coordinata corrente curvilinea s ha equazioni: X = X(s) g ≡ Y = Y(s) Z = Z(s) dunque i coseni direttori della tangente alla geodetica g valgono: d2X R α --------2- , ds
d2Y R α --------2- , ds
d2Z R α --------ds 2
con R raggio della sezione normale corrispondente all'azimut. Eguagliando i coseni direttori, si ottiene l'equazione differenziale della geodetica: ∂f ∂f ∂f ∂Y ∂Z ∂X --------- = --------- = --------2 2 dY d 2Z dX --------2--------2--------2ds ds ds
3.10
3.3 LE EQUAZIONI DELLE GEODETICHE PER SUPERFICI DI ROTAZIONE E PER L'ELLISSOIDE Ogni superficie di rotazione attorno a Z si può esprimere con un'equazione del tipo: X 2 + Y 2 – g (Z ) = 0
3.11
Ad esempio la nota equazione dell'ellissoide: X2 + Y 2 Z 2 ----------------+ -----2- = 1 c a2 può essere scritta anche:
36
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
Z2 X 2 + Y 2 – a 2 – ------------2- = 0 1–e Scritta in questa forma è facile calcolare le derivate da inserire nella 3.10, ad esempio: ∂f = 2X ; ∂X
∂f = 2Y ∂Y
Dunque utilizzando la prima equazione delle 3.10: d2Y d2X X --------2- – Y --------2- = 0 ds ds ovvero: d dY dX ----- X ------ – Y ------- = 0 ds d s ds cioè: dY dX X ------ – Y ------- = cost ds ds
3.12
Ricordiamo ora che se r è il raggio del parallelo e λ è la longitudine: X = r cos λ ;
Y = r sin λ
3.13
e, siccome sia r sia λ dipendono da ds, le derivate della 3.12 possono scriversi compiutamente: dλ dr dr dλ dX ------- = – r sin λ ------ + cos λ ----- = – Y ------ + cos λ ----ds ds ds ds ds
3.14
dλ dr dr dY dλ ------ = r cos λ ------ + sin λ ----- = X ------ + sin λ ----ds ds ds ds ds
3.15
Queste derivate, inserite nella 3.12 permettono di scrivere: dλ dr dλ dr X 2 ------ + X sin λ ----- + Y 2 ------ – Y cos λ ----- = cost ds ds ds ds dλ 2 2 dr ------ ( r cos λ + r 2 sin2 λ ) + ----- ( r cos λ sin λ – r cos λ sin λ ) = cost ds ds cioè: dλ r 2 ------ = cost ds
3.16
37
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
rdλ
A α
ϕ +d ϕ
B
ds
ϕ
P λ
λ+d λ
Fig. 3.4 – Arco di una geodetica in termini differenziali.
Si ha poi (vedi figura 3.4): r d λ = ds sin α Allora la 3.16 può anche scriversi: r sin α = cost
3.17
che viene detta relazione di Clairaut ed esprime che: in ciascun punto di una geodetica è costante il prodotto del seno dell'azimut della geodetica per il raggio del parallelo.
Si dimostra che questo teorema vale per tutte le superfici di rotazione. Per non creare confusione tra sezioni normali e geodetiche chiariamo che queste curve sull'ellissoide non coincidono (coincidono sulla sfera) e che l'azimut α di un punto fa riferimento alle sezioni normali. 3.4 TEOREMI DELLA GEODESIA OPERATIVA Premessa
Se escludiamo i sistemi di posizionamento satellitare, gli strumenti geodetici e topografici a nostra disposizione mostrano una incongruenza tra la teoria fin qui esposta, che vuole queste misure riferite all'ellissoide e la pratica operativa. Si vedrà infatti che questi strumenti fanno riferimento alla direzione della verticale passante per il punto di stazione e quindi al campo reale e non al campo normale della gravità: tutte queste misure dovrebbero cioè riferirsi più convenientemente al geoide. Nel definire una distanza sull'ellissoide come: la geodetica passante per due punti, abbiamo implicitamente ipotizzato di poterla misurare, in realtà anche nell'ipotesi semplificativa di campo anomalo nullo nei punti di misura (T = 0) con i nostri strumenti saremmo al massimo in grado di misurare lunghezze di archi su sezioni normali e angoli fra sezioni normali.
38
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
Occorre che nelle approssimazioni del campo normale e nelle prossime che seguiranno, si tenga conto della precisione del rilievo che deve essere eseguito, tale precisione è funzione della sensibilità degli strumenti da utilizzarsi, dell'estensione del rilievo e delle modalità operative. È dunque logico partire da criteri operativi per vedere, a ritroso, sino a quale ambito sono valide le approssimazioni che possiamo compiere che, come si comprende, sono di tipo operativo. Per questa ragione parleremo di geodesia operativa. Gli azimut e le distanze su sezioni normali
Chiamando s' la distanza su una sezione normale, s la corrispondente distanza geodetica, Az l’azimut misurato su questa sezione normale ed infine α l'azimut geodetico (cioè della geodetica), si dimostra che: s' – s 1 s 4 e2 2 ----------- ≅ --------- -------------- ------------- sin 2α cos 4ϕ s' 360 R N2 R α2 1 – e 2
3.18
Questa differenza relativa porta ad avere per s = 1000 km, ∆s = 1 cm, cioè un errore relativo ∆s/s di 1 ⋅ 10 –8 ; questa precisione è praticamente irraggiungibile con strumentazioni topografiche classiche. Si dimostra poi che, per l'errore angolare vale: s2 e2 ∆ α = A Z – α = --------------------- ------------2- sin 2α cos 2ϕ 12 R N R α 1 – e
3.19
Questo errore ∆α assume i valori massimi riportati in tabella 3.1:
S
ϕ =0
ϕ = 45°
100 km
0.03"
0.01"
200 km
0.14"
0.07"
300 km
0.26"
0.13"
Tab.3.1 – Scostamenti tra azimut della geodetica e azimut della sezione normale.
Premesso che, condizioni di visibilità a parte, a causa della curvatura terrestre è quasi sempre impossibile osservare punti a 300 km di distanza, dalla tabella 3.1 emerge che l'errore che si commette è sempre minore o uguale all'errore quadratico medio strumentale degli strumenti di misura angolare oggi a nostra disposizione. Possiamo dunque affermare che (Teorema della geodesia operativa): Qualunque misura di azimut, angolo o distanza eseguita con i mezzi a disposizione dei topografi può ritenersi eseguita con riferimento ad archi di geodetica sulla superficie di riferimento.
39
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
3.5 CAMPO GEODETICO E CAMPO TOPOGRAFICO Sia (x, y, z ) una terna locale orientata come in figura 3.5 e con origine in P, α sia l'azimut della sezione normale PQ ed s l'arco PQ. Le tre coordinate cartesiane locali possono essere ricavate dalle due coordinate di superficie(α ,s) definite coordinate geodetiche polari attraverso gli sviluppi in serie di Puiseux- Wiengarten: Z y z
z
Q
α s
P
x
ϕp
O
Y
Fig. 3.5 – Coordinate x, y e z ricavate in funzione di s ed α.
1 s3 e2 s2 - ------------2- sinϕ cosϕ cos α + … x = s sinα 1 – ----------------- + --- ------------2 6 RN R α 3 RN R α 1 – e
3.20a
1 s3 e 2 sinϕ cosϕ cos 2α sin2 α s2 y = s sinα 1 – ------------ + ------ --------- ------------2- ---------------------- 9 -------------- + ------------- + … 3.20b ρ cos α 6 ρ R α 24 ρ R α 1 – e RN s e2 s3 z = – s --------- – ------------- ------------2- sinϕ cosϕ cos α + … 2 2 R α RN R α 1 – e
3.20c
dove Rα si ricava dalle 3.1. Arrestando al secondo ordine lo sviluppo si può scrivere: s2 e 2 sin2α cos2ϕ x e = s sinα 1 – ------------- 1 – ------------------------------- 6 ρ RN 1 – e 2 sin2ϕ
3.21a
s2 e 2 cos2α cos 2ϕ y e = s cosα 1 – ------------- 1 + -------------------------------- 6 ρ RN 1 – e2
3.21b
s2 z e = – --------6 Rα
3.21c
40
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
Proviamo ora ad approssimare ulteriormente le 3.21 con un'approssimazione che chiaρ R N , ed e = 0. Si ottiene:
miamo sferica in quanto poniamo R α = R =
s2 x s = s sinα 1 – ---------2 6R
3.22a
s2 y s = s cosα 1 – ---------2 6R
3.22b
s2 z s = – ------2R
3.22c
Ci si pone la domanda: quando sono lecite queste approssimazioni o, in pratica, quanto differiscono le 3.21 dalle 3.22? I valori ( x e – x s ) , ( y e – y s ) , ( z e – z s ) massimizzati per ϕ =0 e per α =0 oppure per α =90° valgono per un arco s di 100 km: ∆x = ∆y = ± 27 mm La precisione massima raggiungibile dagli strumenti topografici moderni è ancora dell'ordine di questo errore massimo relativo che vale 2.7 ⋅ 10 –7 . Si può concludere allora, che per scopi planimetrici in un raggio s di 100 km si può sostituire all'ellissoide, la sfera locale passante per P. Questa è la definizione del campo geodetico. Cosa avviene per le quote? La differenza z vale: s2 1 1 ∆ z = ----- ------ – --------------- 2 Rα ρ RN I valori di ∆z sono visibili in tabella 3.2.
s
1 km
10 km
20 km
50 km
100 km
∆z
0.13 mm
1.3 cm
5.4 cm
0.33 m
1.3 m
Tab.3.2 – Scostamenti altimetrici tra ellissoide e sfera locale.
Si dimostra che nelle operazioni di livellazione trigonometrica, per distanze superiori ai 20 km occorre riferirsi all'ellissoide (utilizzando dunque la 3.21c) e non è possibile riferirsi alla sfera locale. È tuttavia raro che in un'unica misura di livellazione trigonometrica si superino queste distanze, come pure è quasi mai possibile con distanziometri ad onde misurare singole distanze di 100 km con le precisioni di cui sopra. Si preferisce, per motivi di visibilità e per limitare la propagazione degli errori, spezzare in più tratte sia la misura delle distanze che la misura di dislivelli trigonometrici.
41
L’ELLISSOIDE COME SUPERFICIE DI RIFERIMENTO PLANIMETRICA
Le 3.22, in un ambito ancora più ristretto possono scriversi per la parte planimetrica: X = s sinα
3.23a
Y = s cosα
3.23b
L'errore planimetrico ∆s risultante, differenza tra le 3.22 e le 3.23 vale s 2 ⁄ 2R 2 .
s
10 km
20 km
50 km
∆s
4 ⋅ 10 – 7
1.6 ⋅ 10 – 6
10.2 ⋅ 10 – 5
Tab.3.3 – Errore planimetrico nel campo topografico.
Siccome la precisione massima di distanziometri EDM è dell’ordine di 1 ⋅ 10 – 6 possiamo affermare che, (definizione di campo topografico): in un'intorno di 10-15 km, per misure planimetriche possiamo sostituire alla sfera locale il piano locale tangente in P.
Non è mai possibile riferire le quote nel campo topografico al piano locale ma occorre utilizzare ancora la 3.22c. L'errore altimetrico ∆ Z risultante, ∆ Z = s 2 ⁄ 2R che si commette in caso contrario, assume i valori riportati in tabella 3.4.
s
100 m
500 m
1 km
5 km
10 km
∆Z
0.8 mm
2 cm
8 cm
2m
7.8 m
Tab.3.4 – Errore altimetrico nel campo topografico.
Già a poche centinaia di metri l'errore che si commette è paragonabile alla sensibilità del metodo di misura dei dislivelli della livellazione trigonometrica (o di quella tacheometrica) se le distanze sono misurate con i moderni distanziometri ad onde.
42
4. PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO
4.1 IL TEOREMA DI LEGENDRE Si può dimostrare attraverso le 3.19 che, nel campo geodetico, una figura ellissoidica può essere risolta con i teoremi della trigonometria sferica. I teoremi della trigonometria sferica non sono tuttavia di facile utilizzo; il teorema di Legendre permette allora di risolvere in questo intorno, un qualunque triangolo sferico con gli algoritmi della trigonometria piana. La somma degli angoli interni di un triangolo sferico A,B,C vale: A + B + C = π + 3ε dove 3ε, è detto eccesso sferico e si ricava da: S 3 ε = ----2R
4.1
con S superficie del triangolo e R raggio della sfera locale. Il teorema di Legendre afferma: Sia dato un triangolo sferico i cui lati siano piccoli rispetto ad R, tali che l /R si assuma come quantità del 1° ordine. Commettendo un errore di (l ⁄ R ) 4 gli angoli di un triangolo piano che ha i lati della stessa lunghezza dei lati del triangolo sferico possono essere derivati degli angoli di quest'ultimo sottraendo a questi 1/3 dell'eccesso sferico.
Per triangoli di 60 km di lato, ad esempio, 3 ε = 24 cc ; ( 1 cc = 10 – 4 gon ); l'errore residuo vale ( 1 ⁄ R ) 4 = 0.006 cc . Dal teorema deriva il corollario: a meno di errori di (l ⁄ R ) 4 , l'area del triangolo sferico è la stessa del triangolo piano costruito come già detto.
Questo teorema permette di risolvere agevolmente il problema inverso del trasporto di coordinate geografiche ed il passaggio dalle coordinate geodetiche polari alle rettangolari.
43
PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO
4.2 COORDINATE GEODETICHE POLARI E RETTANGOLARI Definito sull'ellissoide un polo O ( ϕ 0 , λ 0 ) , la posizione di un secondo punto P (ϕ , λ ) rispetto ad O può essere ricavata attraverso le coordinate geodetiche polari (α ,s ) (azimut e geodetica) o attraverso le coordinate ( X ,Y ) dette coordinate geodetiche rettangolari e così definite: Condotta da O la curva meridiana e da P la sezione normale perpendicolare a questa curva in Q, gli archi di sezione normale QP e QO definiscono il sistema geodetico rettangolare ( X ,Y ) (figura 4.1).
Q' N Q Y
P'
X P (ϕ, λ )
α
π /2 _ ε
π /2 _ α +2 ε
S
O (ϕ ) ο λο
α_ε
O' Fig. 4.1 – Applicazione del teorema di Legendre.
Applicando il teorema di Legendre al triangolo OQP, costruendo cioè un triangolo piano O'P'Q' come indicato in figura 4.1, si può scrivere: Y s X ------------------------ = ---------------------------- = ---------sin ( α – ε ) cos ( α – 2 ε ) cos ε ma, essendo ε piccolo, si possono trascurare i termini del secondo ordine, cioè: cos ε ≅ 1 – ε 2 ⁄ 2 ≅ 1 si può scrivere allora: X = s sin ( α – ε )
4.2
Y = s cos ( α – 2 ε )
4.3
s 2 sinα cosα 3 ε = -------------------------2R 2
4.4
dove:
Le 4.2, 4.3 e 4.4 sono le formule dirette di passaggio dalle coordinate geodetiche polari (α ,s ) alle coordinate geodetiche rettangolari ( X ,Y ) . Ricaviamo ora le formule inverse. Sviluppando i seni e i coseni: X = s sinα cos ε – s cosα sin ε ≅ s sinα – ε s cosα Y = s (cosα cos 2 + sinα sin 2 ε ) ≅ s cos α + 2ε s sinα
44
PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO
Dalla seconda e dalla prima espressione, in ordine, ricaviamo: s cosα = Y – 2 ε s sinα s sinα = X + ε s cosα X = s sinα – ε ( Y – 2 ε s sinα ) ≅ s sinα – ε Y Y = s cosα + 2ε ( X + ε s cosα ) ≅ s cosα + 2ε X s sinα = X + ε Y ; s cosα = Y – 2 ε X X + εY tg α = ------------------Y – 2ε X
4.5
s 2 = ( s sinα ) 2 + ( s cosα ) 2 =
4.6
= ( X + ε Y ) 2 + ( Y – 2ε X )2 XY 3ε = --------22R
4.7
Le 4.5, 4.6 e 4.7 definiscono il passaggio dalle coordinate geodetiche rettangolari ( X ,Y ) alle polari (α , s ) . 4.3 IL TRASPORTO DELLE COORDINATE GEODETICHE: PROBLEMA DIRETTO Formulazione:
dato un punto O di cui si conoscono le coordinate geografiche (ϕ 0 ,λ 0 ) e nota la lunghezza della geodetica tra O e P e l'azimut α = α 0 in O, calcolare le coordinate (ϕ P ,λ P ) di P e l'azimut α della geodetica in P. N
α
s
P ( ϕ0 , λ0 )
α0 ( ϕ0 , λ0 ) O
Fig. 4.2 – Problema diretto del trasporto di coordinate.
45
PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO
Sull'ellissoide (figura 4.2) un punto qualsiasi appartenente alla geodetica OP può essere espresso in forma parametrica, in funzione della coordinata curvilinea corrente s, dalle espressioni: ϕ = ϕ (s) λ = λ (s) α = α (s) Indichiamo in seguito per brevità u , s la derivata di una qualsiasi variabile u rispetto ad s. Sviluppando in serie le espressioni parametriche di s otteniamo: s2 s3 ------ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + + + 0 ,s , ss , s s s 3! + … 2! s2 s3 - + λ , s s s ----- + … λ = λ 0 + λ , s + λ , ss ---2! 3! s2 s3 α = α 0 + α , s + α , ss ----- + α , s s s ----- + … 2! 3!
r .d λ
B
ρ.d ϕ
C
ds
α A
Fig. 4.3 – Triangolo infinitesimo con ipotenusa un arco di geodetica.
Consideriamo ora un triangolo infinitesimo di cateti ( ρ dϕ ) sul meridiano, ( r dλ ) sul parallelo e di ipotenusa ds (figura 4.3); si ha: ρ dϕ = ds cosα
r dλ = ds sinα cioè: dϕ cosα ϕ , s = ------ = ----------ρ ds
4.8
46
PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO
dλ sinα λ , s = ------ = -----------
4.9
r
ds
dα Rimane, per applicare operativamente lo sviluppo di α , da ricavare ------ . ds Sfruttiamo allo scopo il teorema di Clairaut: r sin α = cost ; si ha così: dr dα ----- sin α + ------ r cosα = 0 ds ds dr dϕ sinα dα – ------ ------ -------------- = -----dϕ ds r cosα ds Ricordando la 3.4a e la 4.8 si ricavano le prime due derivate: dϕ cosα dr – ------ = ρ sinϕ ; ------ = -----------; ρ ds dϕ
dα sinϕ sinα ------ = ---------------------- ) ds r
4.10
Similmente dalla 4.8 e seguenti si calcolano le derivate seconde e terze tenendo conto che: d cosα d sinα d sinα sinϕ ϕ , ss = ----- ----------- ; λ , ss = ----- ----------- ; α , ss = ----- ----------------------- ds ρ
ds r
ds
r
Si ottiene in definitiva: 3e 2 cos ϕ cos 2 α 0 s cosα 0 s 2 sinϕ 0 sin2α 0 ϕ = ϕ 0 + ----------------- – ------------------ ------------------------ + --------------------------------------- + ρ0 2 ρ 0 R N0 cosϕ 0 ρ 0 ( 1 – e 2 sin2ϕ 0 ) s 3 sin2α 0 cos α 0 - (1 + …) – -----------------------------------6 ρ 03 s 2 sinϕ 0 sin 2α 0 s sinα 0 λ = λ 0 + ---------------------- + ----------------------------------+ R N0 cosϕ 0 2R N2 cos2ϕ 0 0
sin 2α 0 cosα 0 2tg2ϕ 0 3 sinα 0 s3 ----------------------------+ ---------------------------- + ---------------------------------- ρ0 6R N2 0 cos2 ϕ 0 R N0
4.11
4.12
s tgϕ 0 sinα 0 α = α 0 + ----------------------------- + R N0
s 2 sinα 0 cos α 0 1 2tg 2ϕ 0 - ----- + ---------------- + … + ---------------------------------- ρ0 R N0 R N0
4.13
Queste formule, nei limiti del campo geodetico, permettono di ricavare (ϕ , λ ) con un errore massimo di 0.001" pari a circa 3 cm per s = 100 km. Per distanze inferiori od uguali a 10 km può essere trascurato il termine in s 3 , mentre mai può essere trascurato il termine in s 2 .
47
PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO
Per il trasporto dell'azimut 4.13 non occorre raggiungere la medesima approssimazione in quanto α 0 stesso può essere misurato con approssimazione massima di pochi decimi di secondo. Per s =50 km il termine in s 2 garantisce già l'approssimazione di 0.1". Si può dimostrare che, con la stessa approssimazione vale: α = α 0 + ( λ – λ 0 ) sinϕ m
4.14
ϕ m = (ϕ 0 + ϕ ) ⁄ 2
4.15
con:
Si definisce convergenza del meridiano (vedi figura 4.2) il termine: C m = (α – α 0 ) = (λ – λ 0 ) sinϕ m
4.16
4.4 IL TRASPORTO DELLE COORDINATE GEOGRAFICHE: PROBLEMA INVERSO Il problema si esprime: note le coordinate di P 1 (ϕ 1 , λ 1 ) e di P 2 (ϕ 2 , λ 2 ) determinare le coordinate geodetiche polari (α ,s ) di P2 rispetto a P1. Z N
P3
X
P'3
P2 ( ϕ 2 , λ 2 ) Y
s α
P1 ( ϕ 1 , λ 1 )
O
Y
X Fig. 4.4 – Problema inverso del trasporto di coordinate.
Le coordinate geodetiche rettangolari di P2 sono (X , Y ) ; applichiamo ora gli sviluppi 4.11, 4.12, all'arco P2 P3 adottando l'origine nel punto P3 , e arrestandoli al termine in s 2 . Tenendo conto che α = π ⁄ 2 e che s = X : 2
2 X sinϕ 3 X ϕ 2 = ϕ 3 – --------------------------------- ≅ ϕ 3 – ------------------- tgϕ 2 2 ρ 3 R N3 cos ϕ 3 2 ρ 2 R N2
X
X
λ 2 = λ 3 + ----------------------- ≅ λ 3 + ----------------------R N3 cos ϕ 3 R N2 cos ϕ 2
4.17
4.18
48
PROBLEMI PLANIMETRICI RISOLUBILI NEL CAMPO GEODETICO
ma, siccome λ 1 = λ 3 (vedi figura 4.4) dalla 4.18 ricaviamo: R N2 (λ 2 – λ 1 ) cos ϕ 2 = X
4.19
sostituendo il valore di X così ricavato nella 4.17 si ottiene: ( λ 2 – λ 1 )2 R N2 sinϕ 2 cosϕ 2 ϕ 2 = ϕ 3 – -------------------------------------------------------------2 ρ2
4.20
Allo stesso modo, fissando l'origine in P1 ϕ 3 si ricava dalla 4.11: Y 3Y 2 sinϕ 1 cosϕ 1 e 2 ϕ 3 = ϕ 1 + ----- – -------------------------------------------ρ 1 2 ρ 2 (1 – e 2 sin2 ϕ ) 1 1
4.21
sostituendo nella 4.21 Y 2 ≅ ρ 12 ( ϕ 3 – ϕ 1 ) ed eguagliando la 4.20 e la 4.21 si estrae da quest'ultima l'espressione di Y in funzione di (ϕ 1 , λ 1 ) ,(ϕ 2 , λ 2 ) . Si può dimostrare che, in alternativa e con la stessa precisione vale: Y = ρm ( ϕ3 – ϕ1 )
4.22
dove ϕ 3 è ricavata dalla 4.20 e ρm è il raggio di prima curvatura ricavato utilizzando una latitudine media ϕ m = ( ϕ 3 + ϕ 1 ) ⁄ 2 . Ricavati dunque (X , Y ) dalle 4.19 e 4.22, dalle 4.5, 4.6 e 4.7 si ottengono finalmente le incognite (α , s ) .
49
5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Come già visto è stato scelto l'ellissoide come riferimento planimetrico sul quale proiettare tutti i punti della superficie terrestre, il problema è ora come rappresentare le figure descritte da questi punti su una più comoda superficie piana. Il problema della rappresentazione grafica e metrica su un supporto piano di una figura posta su una superficie ellissoidica, senza con ciò produrre deformazioni inaccettabili, è stato oggetto storicamente di lunghi e complessi studi. Le superfici a doppia curvatura come la sfera o l'ellissoide non sono infatti sviluppabili sul piano senza deformazioni. Storicamente si scelse la soluzione di proiettare i punti dell'ellissoide su piani, cilindri o coni, superfici sviluppabili, limitando inoltre le deformazioni dovute a queste proiezioni in un intorno ragionevole della nazione o della regione da rappresentare cartograficamente. Molti stati utilizzano, anche oggi, una carta ottenuta da queste proiezioni, per la generalità del discorso sia queste carte che le altre che studieremo verranno chiamate rappresentazioni o semplicemente carte. Definiamo una carta una rappresentazione dell'ellissoide su un piano; da quanto premesso consegue che qualunque carta deforma una figura descritta sull'ellissoide. Dal punto di vista matematico una rappresentazione (o proiezione) è definita da quella funzione biunivoca che fa corrispondere per qualunque punto dell'insieme E { ϕ ,λ } (ellissoide), un solo punto dell'insieme carta C { x ,y } . Dunque qualunque punto dell'insieme Ε ha un corrispondente nel piano C ∈ R e viceversa (figura 5.1). f (ϕ,λ)
ϕ,λ
x,y
E C -1
f (x,y)
Fig. 5.1 – Rappresentazioni come funzioni biunivoche.
50
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Esistono infinite funzioni f di questo tipo: scegliendo f si sceglie automaticamente il tipo di deformazione connesso. La deformazione varia in genere da punto a punto, di particolare interesse è lo studio di come si deformano, di come si rappresentano i meridiani e i paralleli. Queste curve sulla carta prendono il nome di trasformate dei meridiani e dei paralleli. L'effetto della rappresentazione è una descrizione piana ma deformata delle figure; queste deformazioni possono essere del tipo: – Deformazione lineare: ad un arco ds c sull'ellissoide corrisponde un arco ds e sulla carta. Il modulo di deformazione lineare vale (figura 5.4): ds m = ------c ds e Z
5.1
y
α
dse γ
P Y
α'
dsc P' x
X
Fig. 5.2a – Fig.5.2b – Ellissoide e rappresentazione, deformazioni angolari.
– Deformazione aereale: ad una superficie dσe sull'ellissoide, corrisponde una superficie dσc sulla carta. Il modulo di deformazione aereale vale: dσ m A = --------c d σe
5.2
– Deformazione angolare: si consideri un elemento d se di geodetica, uscente da P con azimut α, la trasformata del meridiano formerà con l'elemento dsc sulla rappresentazione l'angolo α ' .(figura 5.2) La deformazione angolare è definita da: δ = (α ' – α )
5.3
Per definire una rappresentazione occorre stabilire: – le formule dirette: f: x = x (ϕ , λ ), y = y ( ϕ , λ )
5.4
51
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
ed inverse: f –1 : ϕ = ϕ ( x ,y ), λ = λ ( x ,y )
5.5
– La definizione di reticolato geografico, cioè le trasformate di meridiani e paralleli e l'angolo γ che la trasformata ad un meridiano forma con la direzione dell'asse Y (da non confondersi con la convergenza del meridiano). – La deformazione di un arco finito di geodetica sulla rappresentazione; in particolare: • la lunghezza l' dell'arco di trasformata della geodetica passante per P e Q sull'ellissoide e per P' e Q' sulla carta; • gli angoli ε P ed εQ, detti riduzioni alla corda che sono gli angoli alla corda in P' e Q' della trasformata della geodetica l' (Figura 5.3).
y
εQ
εP
Q'
l'
P'
x Fig. 5.3 – Riduzioni alla corda.
5.1 CLASSIFICAZIONE DELLA RAPPRESENTAZIONI In base al tipo di deformazione si distinguono carte: – isogone o conformi: il modulo di deformazione lineare m, pur variando da punto a punto, non varia in funzione dell'azimut α , ne consegue che sulla carta figure infinitesime risultano simili alle corrispondenti figure sull'ellissoide: per questo motivo gli angoli si mantengono uguali, cioè la deformazione angolare è nulla in qualunque punto. Queste carte sono adatte fra l'altro alla navigazione (per poter dirigere correttamente la rotta), ma sono le più usate anche per scopi topografici; – equivalenti: si conserva costante il rapporto fra le aree di quadrilateri infinitesimi: m A = cost = 1 . Queste carte sono più adatte per scopi catastali ove è necessario che si mantenga invariata la superficie che è possibile ricavare da misure cartografiche; 52
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
– afilattiche: sono le rappresentazioni che non godono delle prime due proprietà. È bene ribadire che non esistono carte conformi ed assieme equivalenti, in questo caso non esisterebbe deformazione, tuttavia particolari carte afilattiche rendono accettabili, in zone limitate, entrambi i tipi di deformazione. È possibile tuttavia cercare tra tutte le carte conformi quella di minor deformazione angolare o, fra le equivalenti, quella di minor deformazione areale. 5.2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLE RAPPRESENTAZIONI Consideriamo un elemento infinitesimo dse sull'ellissoide, che si trasforma sulla carta in dsc (figura 5.4) si ha: ds e2 = r 2 d λ 2 + ρ 2 dϕ 2
5.6
e, sulla carta: ds c2 = dx 2 + dy 2
5.7
y
Z
dx
g' dse
r.d λ
ρ .d ϕ
α
e' dse dsc
dy
dse
Y
x
X
Fig. 5.4a – Fig.5.4b –Equazioni differenziali delle rappresentazioni.
ma, in base alle 5.4 si ha: ∂x ∂x dx = ------ dϕ + ------ dλ ∂ϕ
∂λ
∂y ∂y dy = ------ dϕ + ------ d λ ∂ϕ
∂λ
dunque la 5.7 diviene: 2 ∂x 2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ds c2 = ------ + ------- dϕ 2 + 2 ------- ⋅ ------ + ------- ⋅ ------ dϕ d λ + ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ λ ∂ϕ ∂ λ
∂ x ∂y ----- + ------ ∂ λ ∂ λ 2
2
dλ2
per brevità chiamiamo i termini in parentesi quadra e, f, g, sicché possiamo scrivere:
53
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
ds c2 = e dϕ 2 + 2f dϕ dλ + g d λ 2
5.8
Dalla figura 5.4a notiamo che: ρ dϕ = ds e cos α ; r d λ = ds e sinα
dopo aver ricavato dϕ , dλ dalle equazioni precedenti, la 5.8 può essere scritta: ds 2 g 2f e m 2 = -------c2 = ----2- cos2α + ------ sinα cosα + ----2- sinα ρr r ds e ρ
5.9
ovvero: m 2 = e ' cos2α + 2f ' sinα cosα + g ' sin2α
5.10
con: f g e e ' = -----2- ; f ' = ------ ; g ' = ----2 ρr ρ r La 5.10 con m 2 = cost rappresenta un ellisse di equi-deformazione.1 Già sin d'ora possiamo intuire che, per le carte conformi, il modulo di deformazione lineare sarà tale che questo ellisse si trasformi in una circonferenza; infatti si è detto che in questo caso è ragionevole che m non dipenda da α. Si avrà cioè m 2 = cost . L'equazione della circonferenza x=asenα ; y=acosα può essere espressa dalle: x 2 + y 2 = a 2 cos2α + a 2 sin2α = a2 Questa equazione confrontata con la 5.10 mette in luce che per carte conformi devono essere verificate entrambe le condizioni: f ' = f = 0
1 Data
5.11
l'ellisse x2 y2 ----2- + ----2- = 1 a b
attraverso la rotazione di assi da (xy) a (uv) x = cosα u + sinα v y = – sinα u + cosα v è facile ricavare: u2 v 2 u2 v 2 uv uv cos2α ----2- + ----2- + sin2α ----2- + ----2- + 2 sinα cosα -----2 + -----2 = 1 a a b b a b per a>b tutti i termini in parentesi sono >0, come pure i termini che compaiono nella 5.10 g' e' f' u2 v 2 u2 v 2 uv uv -----2- = ----2- + ----2- ; -----2- = ----2- + ----2- ; -----2- = -----2 + -----2 a m a b m b a m b
54
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
e ' =g ' ⇒ er 2 = g ρ 2
5.12
si avrà per queste carte che m 2 = e ' = g ! . g'.r .d λ = g .d λ
r .d λ
ρ .δ ϕ
α
ϕ+ d ϕ
α'
dse
ϕ
ω
π /2
dsc
e'.p .d ϕ = e .d ϕ
α"
ω =/ π / 2 Rappresentazione
Ellissoide
Fig. 5.5a – Fig.5.5b - Moduli di deformazione di elementi infinitesimi.
Osservando ancora la 5.10, notiamo per α = 0, cioè per un elemento infinitesimo trasformata di meridiano:
m 2 = e ' ⇒ ds c =
e ' ds e
5.13
e per α = 90°, cioè per un elemento infinitesimo trasformata di parallelo. m 2 = g ' ⇒ ds c =
g ' ds e
5.14
questi sono i moduli di deformazione delle trasformate degli elementi differenziali dei meridiani e dei paralleli. Dalla figura 5.5b si osserva che: ds 2c = e ' ρ 2 dϕ 2 + g 'r 2 d λ 2 + 2 e 'g ' r ρ dϕ d λ cosω ds 2c = edϕ 2 + g d λ 2 + 2 eg dϕ dλ cosω
5.15
ricordando la 5.8 si ricava: f' f cosω = --------- = ------------eg e 'g '
5.16
per avere deformazione angolare nulla si avrà ω =90°, cosω = 0 e necessariamente f=f '=0 come trovato in 5.11. Le superfici elementari sull'ellissoide e sulla carta valgono rispettivamente: dσ e = ρ r dϕ d λ dσ c = ρ r e 'g ' dϕ d λ sinω dunque il modulo di deformazione areale vale: dσ m A = --------c = dσ e siccome sinω =
eg e 'g ' sinω = --------- sin ω rρ
5.17
1 – cos 2ω , dalla 5.16 si ricava:
55
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
f2 1 – ------eg
sinω =
5.18
che, inserita nella 5.17 e sviluppata fornisce: eg – f 2 m A = --------------------rρ
5.19
Ogni carta equivalente ha m A = cost = 1 . In termini differenziali lo sviluppo della 5.19 fornisce: 1 ∂y ∂ x ∂ x ∂ y m A = ------- ------- ⋅ ------ – ------ ⋅ ------ = 1 ρ r ∂ϕ ∂ λ ∂ϕ ∂λ
5.20
Cerchiamo ora da queste espressioni di ricavare la deformazione angolare δ secondo la 5.3. Osservando ancora la figura 5.5.b notiamo che α ', rappresentazione dell'angolo α sull'ellissoide, vale: tgα ' =
g dλ --- ------e dϕ
r dλ tg α = ---- ------ρ dϕ Si noti accidentalmente che, per carte conformi α = α ' dunque per queste carte: r ---- = ρ
g --e
ottenendo ancora in definitiva la 5.12. Sviluppiamo il termine trigonometrico: tgα ' – tgα tg (α – α ' ) = tg δ = ----------------------------1 + tgα ' tgα e, con qualche passaggio, ricaviamo: ---r- --g- – 1 tgα ρ e tgδ = ----------------------------------------ρ g 1 + ---- --- tg 2 α r e
5.21
come si nota la deformazione angolare dipende in genere dall'azimut α . 5.3 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLE RAPPRESENTAZIONI CONFORMI Essendo le più utilizzate, saranno trattate più diffusamente. Ricordando che il modulo di deformazione lineare per le carte conformi vale: m =
e' =
g'
56
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
cioè: g e m = ------- = ------ρ r
5.22
Da questa equazione si ricava: r2 g = e -----2-
5.23
ρ
che si poteva ricavare anche dalla 5.21 essendo per queste carte δ = 0 ∀α . La 5.22 si scrive anche: 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y r 2 ∂x 2 ----- + ------ = ----2- ------- + ------ ∂λ ∂λ ∂ϕ ρ ∂ϕ
5.24
Ora eseguiamo un opportuno cambiamento di variabili. dalle variabili (ϕ , λ) passiamo alle variabili (u, λ) dette coordinate isoterme. La variabile u è detta latitudine ridotta ed è definita attraverso la relazione differenziale: ρ
du = ---- dϕ r
5.25
Sull'ellissoide l'elemento di meridiano vale ρ dφ = r du e l'elemento di parallelo corrispondente vale r dλ sicché, ds 2 = r 2 ( d λ 2 + du 2 ) ; la 5.24 si trasforma nella più semplice equazione differenziale: 2
∂x ∂y ∂x ∂y ----- + ------ = ------ + ------ ∂u ∂ u ∂λ ∂λ 2
2
2
5.26
questa equazione differenziale va aggiunta la 5.11: ∂x ∂x ∂y ∂y f = ------ ⋅ ----- + ------ ⋅ ----- = 0 ∂ϕ
∂λ
∂ϕ
∂λ
che diviene nel sistema isotermo: ∂x ∂x ∂y ∂y ------ ⋅ ------ + ------ ⋅ ------ = 0 ∂u ∂λ ∂u ∂λ
5.27
Le equazioni 5.26 e 5.27 possono scriversi in modo più compatto. Chiamiamo per semplicità: ∂x ∂y ∂x ∂y a = ------ ; b = ------ ; c = ------ ; d = -----∂u ∂u ∂λ ∂λ
le due equazioni divengono: a2 + b 2 = c 2 + d 2 ac + bd = 0
57
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
bd dalla seconda, ricaviamo a = – ----- e dalla prima: c 2 d2 d2 2 b ----= (c – b 2) ( b 2 – c 2 ) = d 2 – ----------c2 c2 cioè: d2 ( b 2 – c 2 ) 1 + -----=0 c2 d2 e siccome è sempre -----> 0 si può scrivere b 2 – c 2 = 0 : c2 b = ±c cioè: ∂x ∂y ------ = ± -----∂λ ∂u
Si scarta il segno meno dovendo essere eg > 0 ovunque, diversamente la 5.17 non avrebbe senso fisico. Dalla relazione b = c ricaviamo, ricordando che: bd a = – ------- ; c a = –d Ricaviamo finalmente il più semplice sistema di equazioni differenziali delle carte conformi: ∂y ∂x ----- = -----∂ u ∂ λ ∂x ∂y ---- ∂ u- = – ----∂λ
5.28
Come tutti i sistemi di equazioni differenziali possono essere risolte da infinite funzioni, a seconda delle condizioni al contorno. Le 5.28 sono le equazioni differenziali dette di Cauchy-Riemann che definiscono le cosiddette funzioni analitiche: queste equazioni rappresentano le condizioni necessarie e sufficienti affinché esista una funzione complessa di variabile complessa f tale che: ( y + ix ) = f ( u + i λ )
5.29
con f funzione arbitraria. Ciò consente di sviluppare la 5.29 in serie di Taylor, uguagliando le parti reali ad y e quelle immaginarie ad x: λ2
λ4
λ6
y = f ( u ) – f II ( u ) ------ + f IV ( u ) ------- – f VI ( u ) ------- + … 2! 4! 6!
5.30
58
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
λ3
λ5
λ7
x = f I ( u ) λ – f III ( u ) ------ + f V ( u ) ------- – f VII ( u ) ------- + … 3! 5! 7!
5.31
Osservando le 5.30 e 5.31 si comprende che tutte le rappresentazioni conformi possono ricavarsi da un'arbitraria scelta di f (u), infatti se f è continua e differenziabile, una qualsiasi funzione f è sufficiente a risolvere la 5.30 e 5.31. Osservando ancora la 5.31 si nota che sul meridiano origine: λ =0 si ha sempre x= 0: y= f(u). Poniamoci ora ad esempio in un caso molto semplice e, dato che f è arbitraria, scegliamo ad esempio: f (u ) = au
5.32
con a = cost, uguale al semiasse equatoriale dell'ellissoide; si ha subito: f I (u ) = a f II(u ) = f III (u ) = … = 0 da cui: y = au x = aλ
5.33
Queste equazioni sono quelle della rappresentazione conforme di Mercatore.
Fig. 5.6 – Rappresentazione di Mercatore.
59
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Si noti però che il problema non è ancora risolto in quanto la 5.32 non è risolta in modo esplicito in funzione di ϕ. Ricordando la 5.24 possiamo scrivere: ϕ
u =
∫
ϕ
ρ
---- dϕ = r
0
∫
( 1 – e 2 ) dϕ -----------------------------------------cosϕ ( 1 – e 2 sin2 ϕ )
5.34
0
È possibile risolvere l'integrale 5.34 in forma chiusa anche se è alquanto complesso, riportiamo perciò solo il risultato finale: 1 – e sin ϕ e ⁄ 2 π ϕ u = 1n ----------------------- tg --- + --- 1 + e sin ϕ 4 2
5.35
(il numero e nella 5.35 indica l'eccentricità «e», non la base neperiana). Le formule inverse delle 5.30 e 5.31 partono dal presupposto simile all'assunto 5.29, che si possa scrivere cioè: ( u + i λ ) = f –1 ( y + i x )
5.36
e, sviluppando in serie f –1 , si uguagliano ancora le parti reali ed immaginarie a sinistra ed a destra dell'uguale: x2 2!
ϕ = Φ – ----- Φ
x3 3!
II
λ = Φ I x – -----Φ
x4 + ----- Φ IV + … 4! III
x5 + ----- Φ V + … 5!
5.37
5.38
dove per Φ si intende la latitudine di un estremo di arco meridiano la cui lunghezza è y. 5.4 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLE RAPPRESENTAZIONI EQUIVALENTI L'equazione differenziale di queste carte è la 5.20 che, in coordinate isoterme si scrive: ∂y ∂ x ∂y ∂y ------ ⋅ ------ – ------ ⋅ ------ = r 2 ∂ u ∂λ ∂ u ∂λ
5.39
un esempio di carta equivalente è la proiezione cilindrica di Lambert. Le coordinate (ϕ, λ) introdotte in questa proiezione sono riferite all'ellissoide e su questo sono misurate, ma vengono usate invece come latitudine di una sfera di raggio R. Il valore di R può essere assunto a piacere, ad esempio R = a (semiasse maggiore).
60
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
s
y
df y
P P' ϕ =0 0
ϕ
O
x
λ
x 0 λ=0
a)
b)
Fig. 5.7a e 5.7b – Proiezione cilindrica di Lambert.
Le equazioni della rappresentazione sono: x = Rλ
5.40
y = R sin ϕ
5.41
Dalla 5.20, essendo: ρ = R ; r = R cos ϕ , si ricava: 1 - ( R cosϕ R ) = 1 = cos t m A = -----------------2 R cos ϕ Si noti che, se si utilizzasse un cilindro secante di raggio S, più idoneo per limitare le deformazioni massime di tipo lineare, m, si avrebbe: x = Sλ y = R sin φ e da queste formule risulterebbe ugualmente m A = S ⁄ R = cost . Le trasformate dei meridiani e dei paralleli in questa carta sono rette parallele agli assi coordinati (figura 5.6b). 5.5 LA RAPPRESENTAZIONE CONFORME DI GAUSS È la carta più usata ed è adottata in Italia da due organi ufficiali cartografici: l'IGMI (Istituto Geografico Militare Italiano) e recentemente anche dal Catasto. È la più utilizzata anche per cartografia tecnica ed ha il vantaggio, in quanto conforme, di permettere, nel campo topografico (10-15 km) la risoluzione di reti ellissoidiche sul piano della rappresentazione, apportando alle sole distanze misurate gli opportuni coefficienti di deformazione lineare.
61
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
È possibile inoltre compensare e risolvere reti planimetriche nel più vasto ambito del campo geodetico, attraverso il trasporto di tutte le misure sulla carta di Gauss. Occorre correggere in questo caso anche gli angoli misurati attraverso le «correzioni alle corde» ε ij di figura 5.3 secondo quanto ricaveremo in seguito. La scelta da operare sulle 5.30 e 5.31 è quella di fare in modo che, per λ =0, il meridiano fondamentale si rappresenti in vera grandezza cioè: ϕ
u
y ( λ = 0 ) = f (u ) =
∫ ∫ r du =
0
ρ dφ = s (ϕ )
5.42
0
quest'ultimo integrale è un integrale ellittico, non risolubile in forma chiusa ma per serie ( ρ come si sa è funzione di ϕ e della costante e 2 attraverso la 3.6). La condizione 5.42 (che possiamo chiamare nell’ottica delle 5.28, condizione al contorno) è sufficiente a definire la rappresentazione, si ha infatti: f I (u ) = r = R N cos ϕ
5.43
dr dr dϕ dr r f II (u ) = ------ = ------ ⋅ ------ = ------ ⋅ --du dϕ du dϕ ρ essendo anche r funzione di ϕ. Osservando la figura 3.2 si ha: dr ds = ρ dϕ = – ----------sinϕ dr ------ = – ρ sinϕ dϕ
5.44
Dunque si può scrivere: r f II (u ) = – ρ sinϕ ---- = – r sinϕ ρ
5.45
Così si ottiene: d f III (u ) = ------ ( – r sinϕ ) du r dr d r f III (u ) = – ------ ( r sinϕ ) --- = – ---- ------ sinϕ + r cosϕ ; ρ dϕ ρ dϕ r f III (u ) = r sin 2φ – ---- cos φ ρ Ricavate tutte le derivate, occorre ancora risolvere per serie la 5.42, il risultato formale è: f (u ) = s (ϕ ) = Aϕ – B sin 2ϕ + C cos 4 φ – D sin 6 φ + …
62
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
dove A,B,C,D ecc. sono costanti che dipendono solo dall'eccentricità. Nella carta di Gauss utilizzata in Italia ed anche nelle rappresentazioni di Gauss utilizzate internazionalmente le coordinate (x,y) vengono sostituite dai simboli (E, N), definiti coordinate Est e Nord. 1 x = E = λ R N cosϕ + ------ λ 3 R N cos3ϕ ( 1 – t 2 – η ) + … 3!
5.46
λ2
y = N = s (ϕ ) + ----- R N cosϕ sinϕ + 2! λ4
+ ----- R N sinϕ 4!
cos 3ϕ
(5 –
t2
–
9η 2
5.47
–
4η 2)
+…
con: t = tgϕ ; η 2 = ( R N – ρ ) ⁄ ρ Hirvonen ha ricavato formule più rapidamente convergenti di queste, sono di seguito trascritte. Le costanti a e α sono valide per l'ellissoide internazionale di Hayford adottato per la cartografia ufficiale italiana. L’approssimazione è millimetrica all'interno di un fuso di ∆ λ = ± 3° . Formule di Hirvonen Fissate le costanti:
a = 6378388 m ; α = 1 ⁄ 297 ; ∆ λ = ± 3 ° d = a 2 ⁄ c = 6399936.608m ; λ 0 = longitudine del meridiano fondamentale ( 9°, 15° ) a2 – c2 c
e2 1–e
ε 2 = -------------- = ------------2- = 0.00676817 2 Si calcolano le costanti:
A 1 = ( 1 – e 2 ⁄ 4 – 3 e 4 ⁄ 64 – 5e 6 ⁄ 256 ); A 2 = ( 3e 2 ⁄ 8 + 3e 4 ⁄ 32 + 45e 6 ⁄ 1024 ); A 3 = ( 15e 4 ⁄ 256 + 45e 6 ⁄ 1024 ); A 4 = ( 35e 6 ⁄ 3072 ); CR = 0.9996 e le variabili:
v =
1 + ε 2 cos 2ϕ ; λ' = ( λ – λ 0 )
tgϕ z = atn --------------------- ; cos ( λ' v )
v1 =
1 + ε 2 cos 2 z
63
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
le formule risolutive sono:
cos z tg λ' x = d asinh ---------------------- v1
5.48
y = a ( A 1 z – A 2 sin 2z + A 3 sin 4z – A 4 sin 6z )
5.49
E = x CR + E 0
5.50
N = y CR
5.51
Si ricorda che: asinh ( t ) = log ( t + 1 + t 2 ) Le formule inverse utilizzano le costanti: 1 – 1 – e2 e 1 = -------------------------- 1 + 1 – e 2 B 1 = ( 3e 1 ⁄ 2 – 27e 13 ⁄ 32 );
B 2 = ( 21e 12 ⁄ 16 – 55e 14 ⁄ 32 );
B 3 = 15e 13 ⁄ 96 ;
B 4 = 1097e 14 ⁄ 512 ;
Si calcolano ora i valori: E–E y N x = --------------0- ; y = -------; ϑ = -------CR CR aA 1
5.52
ξ = ϑ + B 1 sin 2ϑ + B 2 sin 4ϑ + B 3 sin 6ϑ + B 4 sin 8ϑ
v1 =
(1 + ε 2 cos 2 ξ )
x v 1 sinh ---- d λ' = atn ------------------------cos ξ
5.53
ϕ = atn [ tg ξ cos ( v 1 λ' ) ]
5.54
λ = λ' + λ 0
5.55
Ponendo nelle formule dirette ϕ = cost si ottengono le equazioni parametriche delle trasformate dei paralleli: x = x (λ) y = y (λ)
64
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Fig. 5.8 – Reticolato geografico di Gauss dell'ellissoide.
Viceversa, ponendo λ =cost, si ottengono le equazioni parametriche delle trasformate dei meridiani: x = x (ϕ ) y = y (ϕ ) queste curve sono visibili in figura 5.8. Si noti che l'equatore ed il meridiano centrale si trasformano negli assi coordinati, quest'ultimo si trasforma in vera grandezza; i paralleli di equazione (ϕ = ± 90°) si scindono in due semirette. Osservando queste trasformate (ma, più rigorosamente dal punto di vista numerico), si nota che la rappresentazione di Gauss è prossima a quella ottenuta per proiezione dei punti dell'ellissoide su di un cilindro di sezione ellittica tangente al meridiano centrale. Da questa constatazione emerge, per ora solo qualitativamente, che, se si vogliono ridurre le deformazioni, occorre limitare le differenze di longitudine rispetto al meridiano centrale. Per questo motivo la rappresentazione (che di solito non si utilizza per zone di latitudine superiore a 80°) descrive la superficie terrestre in modo discontinuo con l'uso di molte origini convenzionali delle longitudini limitatamente ad una zona di ± 3° attorno alla longitudine λ 0 chiamata fuso. La costante λ 0 delle 5.55 è la longitudine del fuso di riferimento. Internazionalmente si è scelto che questi fusi distino tra loro di 6° ed abbiano una sigla corrispondente alla loro numerazione, positiva da est verso ovest. I fusi che interessano l'Europa centrale hanno longitudine est da Greenwich 3°, 9°, 15°, 21° e numerazione 31, 32, 33, 34 rispettivamente. Il territorio italiano è stato rappresentato nei fusi 32 (fuso ovest) e 33 (fuso est). 65
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Fig. 5.9 – Rappresentazione di Gauss per fusi.
In figura 5.9 è riportata una schematica rappresentazione della carta di Gauss per fusi: solo per chiarezza i fusi distano in figura di ben 20° di longitudine, cioè di un valore non adottato internazionalmente. Applicando la 5.27 si può vedere numericamente che per i valori internazionali di ∆ λ = ± 3°, il modulo di deformazione lineare vale al massimo sul territorio italiano: m = 1.00064 per ϕ = 47° (latitudine massima) m = 1.00087 per ϕ = 37° (latitudine minima) La deformazione è dunque sempre maggiore di uno; per diminuirla in valore assoluto si è scelto (come si vede ad esempio usando le 5.50 e 5.51 di adottare un opportuno fattore di scala che vale CR = 0.9996 che, secondo l'analogia proiettiva,
66
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
corrisponde a scegliere un cilindro secante a cavallo del meridiano fondamentale in sostituzione del cilindro tangente. Con questo artificio si rendono di segno alterno le deformazioni lineari. La deformazione massima, che è di 0.04%, è in tal modo compatibile con l'errore di graficismo della cartografia. Si definisce errore di graficismo lo scarto quadratico medio col quale è possibile disegnare prima, individuare poi e in seguito misurare un punto sulla carta. Questo errore vale: gr = ± 0.2 mm
5.56
Su una carta di 50 cm di lato, ad esempio, è possibile misurare distanze massime di 707 mm, con la precisione dello 0.04%.
3
-
0
+ c -
+
a
a
Fig. 5.10a e 5.10b
La rappresentazione di Gauss è molto simile a una proiezione cilindrica trasversa. 5.6 CARATTERISTICHE GEOMETRICHE E PARAMETRI DELLA CARTA DI GAUSS Per completare lo studio della carta di Gauss, rimangono da ricavare il modulo di deformazione, la convergenza delle trasformate e le riduzioni alla corda. Ricordiamo anzitutto che, per tutte le carte conformi la 5.22 si scrive: 2 g ∂y 1 ∂x 2 m 2 = g ' = ----2- = -----2- ------ + ------ ∂λ r ∂λ r
Derivando le 5.46 e 5.47 si ottiene: λ2 dx ------ = R N cos ϕ 1 + ------ cos 2ϕ ( 1 + tg 2 ϕ ) + … 6 dλ
5.57a
λ2 dy ------ = λ R N sinϕ cos ϕ 1 + ------ cos 2ϕ ( 5 + tg 2 ϕ ) + … 6 dλ
5.57b
67
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Sostituendo queste espressioni nelle 5.57 e trascurando i termini in λ4 in quanto ∆ λ vale al massimo ± 3° si ottiene: m 2 = 1 + λ 2 cos2 ϕ
5.58
Volendo ora ricavare la formula in funzione delle coordinate carta (E , N ) si ha, ricordando la 5.47: x
λ ≅ ------------------R N cos ϕ
Le coordinate (x,y) si ricavano dalle coordinate (E ,N ) attraverso le 5.51e 5.51. Considerando λ 2 cos2ϕ una quantità piccola (λ max= ± 3°), si può ricavare m dalla 5.58, fermandosi al primo ordine dello sviluppo binominale. λ2
m = 1 + ----- cos ϕ 2 x2 m = 1 + ---------22R N Con miglior approssimazione, per la stessa via si arriva alla formula: x2 m = 1 + -------------2 ρ RN
5.59
Le precedenti formule sono valide puntualmente od in alternativa sono applicabili in un punto medio di un rilievo di pochi km di lato; già per lati di 10 km o più si deve invece procedere ad una integrazione di m sullo sviluppo del lato. Presi due punti P 1 ( x 1 ,y 1 ) e P 2 ( x 2 , y 2 ) , questa integrazione fornisce il risultato: s x 12 + x 1 x 2 + x 22 m 12 = ----c- = 1 + --------------------------------6R N ρ se
5.60
dove ρ ed RN sono calcolati in un punto di coordinate medie (leggasi ϕ medio). Le coordinate x sono al solito le coordinate Est depurate dal valore fittizio che abitualmente si da all'origine delle ascisse ed espanse di 1/CR secondo le 5.51. Il modulo di deformazione m12 è dunque il modulo di deformazione medio di un arco di geodetica sull'ellissoide nella rappresentazione di Gauss.
68
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Convergenza delle trasformate
N=y NG
NR γ
γ
dp γ dx tg γ=
dy dy dx
E=x Fig. 5.11 – Convergenza delle trasformate.
Valutiamo ora il valore dell'angolo γ che consente di ricavare dalla cartografia, la direzione del nord geografico NG a partire dalla direzione dell'asse NR nord del reticolato e viceversa. Data l'equazione parametrica della trasformata di un parallelo (ϕ =cost), x = x(λ), y = y(λ), possiamo scrivere (la curva dipende solo da λ): dy dy ------d λ -----dλ dy dλ tg γ = ------ = ------------- = ------dx dx dx ------d λ ----dλ dλ
5.61
Utilizziamo le derivate 5.57 in forma semplificata: dy ------ = λ R N sinϕ cos ϕ dλ dx ------ = R N cos ϕ dλ
cioè
tg γ ≅ λ sinϕ
Con migliore approssimazione, sfruttando gli sviluppi binomiali della 5.57a, considerando λ piccolo e trascurando i termini in λ 3 e superiori si ha: λ2 tgγ = λ sinϕ 1 + ----- + … 3
Ancora con più precisa approssimazione ed attraverso lo sviluppo di atn(γ ) si ricava, senza dimostrare: λ3 γ = λ sinϕ 1 + ----- cos 2ϕ ( 1 + 3e 2 cos 2 ϕ )
3
5.62
69
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
od, in funzione delle coordinate cartografiche: x x2 tg γ = ------- tgϕ 1 + ------------------------ RN 3R 2 cos 2 ϕ
5.63
N
dove, come al solito, x è depurata dal valore convenzionale fissato per l'origine ed espansa di 1/CR. Nella 5.63 non compare, come si vede, la coordinata cartografica N, pur dipendendo dalla latitudine ϕ. Le trasformate delle geodetiche nella carta di Gauss Z N
2
γ
Q α P
0'12 012
A
Y R
1
ε12
A
A' ε13
3
X
E
Fig. 5.12a e 5.12b – Trasformate delle geodetiche nella carta di Gauss.
Siano PR e PQ due geodetiche sull'ellissoide, quest'ultima con azimut α in P, l'angolo azimutale fra le geodetiche sia A. Ci si chiede come si trasformano queste curve nello spazio, nel piano della rappresentazione conforme, cosa sono e quanto valgono le riduzioni angolari e lineari alla corda. Nel piano cartografico di figura 5.12b le trasformate sono descritte dalle curve 12 e 13 che, a causa delle conformità, hanno tangenti nel punto 1 fra loro formanti ancora l'angolo A. Per lo stesso motivo l'azimut α sarà, nel piano di Gauss: α = γ + ϑ 12 = γ + ϑ 12 – ε 12
5.64
ϑ12 è definito angolo di direzione della trasformata 12 e indicato talvolta con (12).
Dallo studio sulla carta di Gauss, da quello delle equazioni delle trasformate, con molti passaggi che non si riportano, si ottiene la riduzione angolare alla corda: ( y1 – y2 )
ε 12 = ------------------- ( 2x 2 + x 1) 6 RN ρ
5.65
Dalla 5.65 si deduce che il valore di ε12 nel caso della figura 5.12b è negativo. Nella 5.65 i valori di ρ ed R N dovrebbero ora essere calcolati ad 1/3 della geodetica PQ partendo da P, in pratica, anche per distanze di 300 km possono semplicemente essere i valori ricavati alla latitudine media di P e Q. Dalla 5.65 si vede che ε 12 ≠ ε 21 ; infatti:
70
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
( y2 – y1 )
ε 21 = ------------------- ( 2x 2 + x 1 ) 6R N ρ
Per individuare il segno dell'angolo ε si usa la cosiddetta «regola del vento» che soffia da ovest ad est, in zone ad est del meridiano fondamentale e che viceversa soffia da est, in zone ad ovest di questo meridiano e che «deforma» in tale guisa le corde. L'angolo A' calcolabile per differenza degli angoli di direzione (13)-(12) vale: A' = A + ε 13 – ε 12
5.66
Queste riduzioni all'interno del fuso (∆ λ < 3°) sono ancora molto piccole. Per ∆ Ε = ∆ Ν =200 km cioè ∆s ≅ 282 km massimizzando la 5.65 si ottiene ε = 100". La tabella 5.1 riporta questi valori massimi per varie distanze, nell'ipotesi ∆ Ε = ∆ Ν Tab.3.1
∆s
282 km
141 km
14 km
∆E =∆N
200 km
100 km
10 km
ε
100"
25"
0.25”
Dunque, nelle condizioni più sfavorevoli per lati di 14 km il valore A-A' nella 5.66 è di 0.5" ed è allora logico, al di sotto di queste distanze, cioè nel campo topografico, non tener conto di queste correzioni, compensare cioè una rete geodetica di questa estensione nel piano cartografico senza riduzioni angolari. Si dimostra poi che le riduzioni lineari alla corda, cioè la differenza tra la lunghezza della trasformata 12 e la lunghezza della corda 12 = s c stanno nel rapporto: st – sc E 1 ( E 1 + s t sinα )s t2 cos2α ------------ = ∆ s = ------------------------------------------------------st 24R 4 N
Ponendo st =100 km, α =45°, E1=220 km (valore massimo), si ottiene ∆s = 10 –8 , questo errore relativo è sensibilmente inferiore agli errori di misura dei distanziometri usati dai topografi. A titolo di esempio determiniamo alcuni di questi parametri anche per la proiezione conforme di Mercatore. Applicando la 5.61 alle equazioni 5.33 della proiezione si ha ovunque: γ = 0
5.67
e, dalla 5.64, si ottiene α = ϑ 12 , cioè nella proiezione di Mercatore azimut ed angolo di direzione coincidono, vale a dire una linea che taglia i meridiani ad azimut costante, detta lossodroma, viene trasformata in una retta di azimut costante. Anche per questo motivo la carta di Mercatore è stata ed è abbondantemente usata per la navigazione marittima e aerea.
71
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
I moduli di deformazione lineare, d'altra parte, sono maggiori, specie a latitudini elevate, a quelli della carta di Gauss e la geodetica dista maggiormente dalla corda che unisce i due punti sulla rappresentazione. Se applichiamo la 5.57 alle 5.33 la legge di variazione del modulo di deformazione m per la carta di Mercatore è: m =
g' = m
1 dx 2 a 1 – e 2 sin2ϕ ( ϕ = cost ) = ---- ------ = --- = ------------------------------γ d λ r cosϕ
5.68
si nota che m, pur essendo elevato per latitudini elevate, è costante lungo un parallelo. La carta di Mercatore è così utilizzata per la navigazione: tracciata su questa carta la trasformata della geodetica che unisce due punti, l'azimut, variabile col percorso, è misurabile direttamente su tratti di trasformata sino alla meta stabilita. Utilizzando ad esempio un compasso aperto sul numero di miglia percorribili in un certo tempo, dal punto nave P si traccia una circonferenza che interseca la geodetica per P in un punto Q. L’azimut (PQ), la rotta, è subito misurabile con un goniometro. 5.7 LA CARTOGRAFIA UFFICIALE ITALIANA Lo Stato Italiano ha definito (con legge 1/2/60 n.68) che gli organi ufficiali cartografici sono: – l'Istituto geografico Militare Italiano (IGM); – l'Istituto Idrografico della Marina (IIM); – la Sezione fotocartografica dello Stato Maggiore dell’Aeronautica (SMA); – l'Amministrazione del Catasto e dei Servizi Tecnici Erariali (UTE); – il Servizio Geologico (SG). Inoltre anche le Regioni devono provvedere alla formazione di carte tecniche alle scale 1/10000 e 1/5000. Il più importante ente produttivo di cartografia a media e piccola scala è l'Istituto Geografico Militare. La produzione IGM è la seguente: – carta topografica d'Italia (serie 25 e 25V) alla scala 1:25000 (fig. 5.18); – carta topografica d'Italia (serie 50 e 50L) alla scala 1:50000 (fig. 5.17); – carta topografica d'Italia (serie 100V e 100L) alla scala 1:100000 (fig. 5.16); – carta d'Italia (serie 200V e serie 250) alle scale 1:200000 e 1:250000; – carta del Mondo (serie 500 e serie 100) alle scale 1:500000 e 1:1000000; – carta stradale d'Italia in scala 1:1250000; – Spaziocarta (serie 100/S) alla scala 1:100000. Le carte che più interessano il topografo sono quelle a scala non inferiore a 1:100000.
72
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
La carta di base della Stato fu costruita e disegnata in scala 1:25000 a partire dall'unità d'Italia, all'inizio si adottò la proiezione di Sanson-Flamsteed o «naturale» e da questa si ottenne la «carta fondamentale d'Italia» alla scala 1:100000. In questa proiezione si aggiornarono le carte sino al 1940 quando si decise, per i molti vantaggi già esposti, di adottare la proiezione di Gauss, che in Italia si chiama di Gauss-Boaga. Il Territorio italiano è descritto in due fusi, detti fuso Ovest, o primo fuso, e fuso Est, o secondo fuso, la cui longitudine è rispettivamente di 9°e 15° Est da Greenwich; internazionalmente sono conosciuti come fuso 32 e fuso 31.
Fig. 5.13 – Fusi nella cartografia italiana.
Entrambi i fusi sono stati ampliati verso Est di 30' per poter risolvere i problemi di riattacco attorno alla longitudine λ = 12° per il fuso Ovest e per poter comprendere la penisola salentina per fuso Est. Nel primo caso le carte topografiche sono state prodotte duplicate, sia con origine nel fuso Est che con origine nel fuso Ovest. Con zone di estensione ±3° ed adottando un coefficiente di contrazione CR = 0.9996, il modulo di deformazione lineare corretto dalla contrazione di 4 decimillesimi è: µ = mCR
73
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
ed è sempre compreso tra i valori: 0.9996 ≤ µ ≤ 1.0004 Le coordinate convenzionali delle origini dei fusi sono E0= 1500 km ed E1= 2520 km per i fusi Ovest ed Est; la ragione di questo artificio è che, così facendo, la prima cifra della coordinata E di un punto ne indica il fuso di appartenenza. Dal 1940 iniziò dunque l'opera di conversione della vecchia cartografia e proseguì quella di aggiornamento. La cartografia, un tempo riferita all'ellissoide di Bessel orientato a Genova, si riferì da allora all'ellissoide internazionale di Hayford orientato a Monte Mario di coordinate astronomiche: Λ = λ 0 = 12°27′08″˙ .40, φ = ϕ 0 = 41°55′25″.50, H = h
La carta fondamentale, (detta ora serie 100 V) è costituita da 294 fogli (fig. 5.16) i cui bordi sono delimitati da trasformate di meridiani e di paralleli ϕ =cost, λ=cost. Questo modo di delimitare i fogli si denota sinteticamente «taglio geografico» (figura 5.14a) e si distingue dal secondo modo definito «taglio cartografico», che consiste nel suddividere il rilievo in carte «tagliate», cioè descritte ai bordi, secondo assi paralleli al reticolato chilometrico: N = cost e E = cost La dimensione dei fogli della serie 100 V è di circa 50 cm di lato per l'area cartografata, e corrisponde esattamente ad intervalli di 20' in latitudine e di 30' in longitudine a partire da valori interi per le latitudini. L'origine delle longitudini di ciascun foglio è ancora riferita a valori interi della longitudine nazionale ω , definita ω = λ – λ 0 = λ – 12°27′08″˙ .40 N
5.69
x=cost y=cost
Quadrante
IV
A
I Es: Fg. 57
NO 5'
B
II NE
NE
III
II
TAVOLE
SO
SE
7'30"
A: taglio geografico
B: taglio cartografico
E
Fig. 5.14 – a. Taglio geografico e cartografico.
30'
b. Fogli 1:100000.
Ad esempio, il foglio 57 (Vercelli) ha limiti: ω min = – 4°30′ ed ω max = – 4°
74
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Il multiplo del foglio (della serie 100 V) è la tavola a scala 1:25000 (serie 25 V) di dimensioni in coordinate geografiche: ∆ϕ = 5′ ∆λ = ∆ω = 7′30″
è questa la carta proveniente dai rilievi diretti e costituisce la carta di base sulla quale sono state derivate le carte a scala minore (1/100000 ed 1/50000). All'interno del foglio in scala 1:100 000 la cartografia a scala maggiore si distingue attraverso la suddivisione del foglio in quadranti, indicati con numeri romani e, come detto, in tavole, indicate con due lettere. Nell'esempio di figura 5.13b si è evidenziato il foglio 57: VERCELLI, il quadrante II e la tavola NE. Queste tavole sono in parte a due colori, in parte a tre ed a cinque e tutte in fase di sostituzione con la nuova carta detta «serie 25». L'inserimento della cartografia nazionale nel sistema UTM
Dopo il 1950 si sentì l'esigenza di inserire ed inquadrare la cartografia nazionale in un sistema, europeo prima e mondiale poi; per questo vennero ricalcolate le reti geodetiche fondamentali (del primo ordine), collegandole con osservazioni a reti di altri stati limitrofi. Questi nuovi calcoli più precisi e rigorosamente condotti, furono riferiti ad un unico ellissoide orientato a Postdam nei pressi di Bonn (ED50: European Datum 1950). Il risultato fu che, a causa del diverso orientamento e della nuova compensazione, le coordinate dei vertici così ricavate presentavano degli scarti (∆ϕ ,∆λ) variabili rispetto a quelle assunte prima degli anni'50. Ad esempio, per Roma Monte Mario (MM), il ricalcolo delle nuove coordinate fornì: ϕ MM = 41°55′31″.487, λ MM = 12°27′10″.930
Fu adottata internazionalmente la proiezione conforme di Gauss, secondo la numerazione dei fusi già riportata in precedenza ma con origine convenzionale della coordinata E di ciascun fuso E0 = 500 km. Questa proiezione ed il sistema di divisione e numerazione dei fogli cartografici così largamente adottato (che segue il taglio geografico), si è chiamato sistema UTM (Universale Traverso di Mercatore). A causa di questa decisione occorreva rivedere tutta la cartografia esistente, ma, grazie al fatto che gli scarti tra i due sistemi UTM-Gauss sono esigui e circa costanti all'interno di un foglio 1:100000, è stato possibile recuperare i fogli già disegnati nel precedente riferimento inserendo su questi una quadrettatura chilometrica indicante E(UTM), N(UTM)=cost; con simbologia distinta dalla quadrettatura (E, N ) della carta nazionale di Gauss (detta anche di Gauss Boaga). Ad esempio, per tutto il foglio 57 di Vercelli le coordinate UTM si ricavano dalle coordinate di Gauss-Boaga attraverso la relazione: E ( UTM ) = E – 999945m N ( UTM ) = N + 180m La costante sottrattiva alle E dipende anche dalla diversa coordinata convenzionale assunta per il meridiano origine. Queste costanti sono fornite a pagamento con
75
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
maggior precisione dall'IGM per ogni vertice della rete del primo ordine, mentre sono pubbliche le costanti medie per la serie dei fogli 1:100 000. Le costanti sono arrotondate al metro in quanto questa tolleranza è inferiore all'errore di graficismo della cartografia in scala 1: 25 000. Le costanti ∆ϕ e ∆λ per il passaggio dalle coordinate UTM alle Gauss-Boaga e viceversa, sono rappresentate nelle figure 5.14a e 5.14b. 7¡
10¡
48¡
5.6 5.8
7¡
19¡
16¡
13¡
10¡
5.5
2.7
5.7
2.5 2.6
5.9
19¡ 48¡
16¡
13¡ 2.8 2.9
VARIAZIONI IN LATITUDINE
VARIAZIONI IN LATITUDINE
45¡
45¡
2.2 2.3 5.9 M.Mario 2".533
M.Mario 5".977
42¡
2.6
42¡
2.4 2.7 2.8
6.0 5.9 2.1
2.5 39¡
5.8
6.0
2.2
2.3
2.5
39¡
2.4 2.4
6.1
2.3
6.2 6.5 6.4 36¡ 7¡
6.3 10¡
13¡
16¡
19¡ 7¡
10¡
13¡
16¡
36¡ 19¡
Fig. 5.15a – 5.15b
76
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Fig. 5.16 – Suddivisione dei Fogli della Carta d’Italia.
77
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Fig. 5.17 – Suddivisione della carta in scala 1:50.000 (con stato della produzione al 1-1-1999).
78
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Fig. 5.18 – Porzione di riquadratura dei fogli in quadranti e tavole alla scala 1:25.000. Le nuove carte alla scala 1:50000 e 1:25000
La nuova carta alla scala 1:50000 dell'IGM (fig. 5.17)nasce da rilievi o aggiornamenti recenti ed è già inserita nel sistema UTM. Il foglio è sottomultiplo esatto delle carte mondiali alle scale 1:100.000 e 1:250.000, frutto di queste unificazioni mondiali, la carta ha dunque il vantaggio di avere dimensioni e taglio tali da poter essere congiunta, senza scollature o traslazioni, a carte di pari scala dei paesi limitrofi. Di dimensioni ( ∆ ϕ = 12′ , ∆ λ = 20′ ) è esattamente un trentesimo della superficie di un foglio di ( ∆ ϕ = 1° , ∆ λ = 2° ) alla scala 1:250000. L'origine delle longitudini è intera a partire da Greenwich. Si compone di 636 elementi detti «fogli» e deriva da rilievi aggiornati in scala 1:25000, per riduzione e generalizzazione. È pubblicata a sei e tre colori (serie 50L) con curve di livello di equidistanza 25 m. In questa carta è riportato in viola il reticolato chilometrico UTM e, ai limiti del foglio, il reticolato Gauss-Boaga. Inserita modularmente nella carta 1:50000 vi è la nuova carta (serie 25) alla scala 1:25 000, di questa nel 1991 risultavano purtroppo pubblicate solo sei sezioni sulle 2298 previste. Queste sezioni, pubblicate a quattro colori, hanno dimensione 6' in latitudine per 10' in longitudine e sono convenzionalmente distinte con numeri romani che indicano il quadrante all'interno del foglio 1:50000. Provengono da rilievi fotogrammetrici (tradizionali o numerici) e sono anch'esse rappresentate nel sistema UTM. L'orografia è rappresentata con curve di livello di equidistanza 25 m.
79
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Le carte da satellite
Presso l' IGM sono in corso di allestimento le carte della serie 100/S dette «spaziocarta» ricavate da immagini multispettrali e trasmesse dal satellite Landsat5 in forma numerica, Il satellite acquisisce queste immagini digitali grazie a sensori multispettrali «Thematic Mapper». La rappresentazione è quella UTM, inquadrata nel sistema europeo ED50. Non è una vera e propria carta topografica tradizionalmente intesa, (detta anche carta al tratto per sottolineare l'aspetto grafico) ma un'immagine geometricamente corretta del territorio. Occorre quindi molta pratica ed esperienza interpretativa per utilizzarla, sebbene su questa siano state inserite alcune informazioni relative alla viabilità, alla toponomastica ed ai limiti amministrativi. Dei 196 fogli previsti di dimensione 24'x40' (∆ϕ x ∆λ) solo 12 erano stati pubblicati nel 1991. Maggiori ed aggiornate informazioni sulla produzione IGM sono reperibili al sito web http:\\www.nettuno.it/fiera/igmi/. 5.8 LE CARTE CATASTALI E LA RAPPRESENTAZIONE DI CASSINI SOLDNER La rappresentazione è quella utilizzata dal Catasto (UTE, ora Dipartimento del Territorio) per le proprie mappe che sono abitualmente in scala 1:2000, 1:4000 per le zone agricole ed alla scala 1:1000 o 1:500 nei centri urbani. È una carta afilattica, ma le deformazioni lineari, come pure le deformazioni aereali sono modeste; quest'ultimo motivo ha fatto sì che venisse adottata dall'UTE, che ha l'esigenza di valutare le superfici per fini impositivi. Le coordinate carta di un punto di coordinate ellissoidiche P (ϕ , λ) sono in questa rappresentazione le coordinate geodetiche rettangolari rispetto ad un polo O ≡ ( ϕ 0 , λ 0 ) definite nelle 4.2 e 4.3 e di cui si è parlato nel problema inverso del trasporto di coordinate geografiche cioè: x = X = ( λ – λ 0 )R N cosϕ
5.70
y = Y = ρm ( ϕ – ϕ 0 )
5.71
dove ρm è calcolato ad una latitudine media e R N è calcolato nel punto P. Si dimostra che il modulo di deformazione lineare, funzione dell'azimut α vale: x 2 cos2α m = 1 + -----------------2 ρ RN
5.72
o, per un elemento finito: x 12 + x 1 x 2 + x 22 - cos 2 ( 12 ) m = 1 + -------------------------------6 ρ RN
5.73
con (12) angolo di direzione del segmento 12 sulla carta.
80
LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE
Anche il modulo mA, come m, aumenta col quadrato della distanza dal polo origine: x2 m A = 1 + -------------2 ρ RN
5.74
Per limitare queste deformazioni il Catasto ha suddiviso tutto il territorio italiano in 35 zone principali con origini diverse, oltre a queste, alcune provincie hanno origini variabili anche da comune a comune: può capitare cioè in certe parti d'Italia che ogni comune abbia una sua origine, fissata di solito su un vertice trigonometrico del secondo o terzo ordine dell'IGM. Si può vedere che per ∆x < 20 km si può ritenere m A ≅ cost = 1 e, sino a 70 km, la deformazione lineare massima è di 6 cm/km che rientra nella tolleranza catastale ed è comunque molto inferiore all'errore di graficismo. La correzione angolare alla corda vale: σ cos ( 12 ) σ sin ( 12 ) ε 12 = ( 12 ) – α 12 ≅ – ----------------------- x 1 + ---------------------- 2 ρ RN 3
dove: σ =
( x 2 – x 1 )2 + ( y 2 – y 1 ) 2
ed anche questa correzione, che a 70 km vale 6", rientra nelle tolleranze catastali. L'aggiornamento catastale ha tuttavia abbandonato questo tipo di rappresentazione e l'UTE fornisce attualmente ai tecnici le coordinate dei vertici trigonometrici catastali nel sistema Gauss-Boaga. L'aggiornamento ed il contemporaneo inserimento della cartografia catastale in quella nazionale è facilitato dal fatto che le deformazioni nei due sistemi sono dello stesso ordine di grandezza, inoltre è spesso sufficiente che queste deformazioni siano confrontabili all'interno di una singola mappa, dove sono sempre inferiori all'errore di graficismo.
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