Lezione 3. M i Movimento edd Equilibrio E ilib i
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Schema della lezione 1. Movimento dell’uscita di un sistema LTI SISO 2. Movimento libero e movimento forzato 3 Equilibrio di un sistema LTI SISO 3. 4. Guadagno statico di un sistema LTI SISO
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1. Movimento dell’uscita di un sistema LTI SISO u (t )
y (t )
S
d i y (t ) m d i u (t ) αi = ∑ βi ∑ i i dt dt i =0 i =0 y0 ; y1,0 ; L ; yn −1,0 n
Assegnato g un andamento dell’ingresso g u(t) ( ) [[la “forzante”]] e assegnate le condizioni iniziali, è possibile integrare l’equazione differenziale e ottenere l’andamento y (t ) , t ≥ 0 movimento dell’uscita
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Esempio u (t )
portata volumetrica l i in ingresso (m3/s)
k k y& (t ) + y (t ) = u (t ) A A
livello
h (t )
portata volumetrica in uscita (m3/s)
y (t ) = kh (t ) A = 1 m2 m2 k =1 s
y& (t ) + y (t ) = u (t )
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Sia assegnato l’ingresso u (t ) = 2, t ≥ 0 con livello iniziale h (0) = 5 Per trovare il movimento dell’uscita, dell’uscita partendo da 5 m ed erogando d una portata t t costante t t di 2 m3/s, / bisogna bi risolvere i l l’equazione differenziale lineare del primo ordine y& (t ) + y (t ) = 2
con la condizione iniziale y (0) = kh (0) = 5 Innanzitutto si ricordi che: t
[
]
d τ t ( ) e y τ d τ = e y (t ) − y (0) ∫0 dτ
Quindi, si moltiplichino entrambi i membri dell’equazione per et ≠ 0 d t t t t e y& (t ) + e y (t ) = 2e ( e y (t )) = 2et dt F. Previdi - Automatica - Lez. 3
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Integrando entrambi i membri si ottiene t
et y (t ) − y (0) = ∫ 2eτ dτ 0
t
y (t ) = e −t y (0) + ∫ 2e −(t −τ )dτ
Sfruttando la condizione iniziale: y (0) = 5 t
t
0
0
0
y (t ) = 5e −t + ∫ 2e −(t −τ )dτ = 5e −t + 2e −t ∫ eτ dτ = −t
−t
[ ]
τ t
= 5e + 2e e
0
= 5e −t + 2e −t (et − 1) = 5e −t + 2 − 2e −t = 3e −t + 2
Il movimento dell’uscita è y (t ) = 3e − t + 2, t ≥ 0
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2. Movimento libero e movimento forzato u (t )
y (t )
S
d i y (t ) m d i u (t ) αi = ∑ βi ∑ i i dt dt i =0 i =0 y0 ; y1,0 ; L ; yn −1,0 n
Si consideri il movimento dell’uscita che si ottiene in corrispondenza di u(t)=0 e con condizioni iniziali assegnate y0 ; y1,0 ; L ; yn −1,0 [è la soluzione dell’equazione omogenea associata]. Tale a e movimento ov e to ssi ddice ce Movimento ov e to libero be o de dell’uscita usc ta Alternativamente, si consideri il movimento dell’uscita che si ottiene in corrispondenza di condizioni iniziali nulle y0=y1,0=…=yn−1,0=0 e con u(t) assegnato. Tale movimento si dice Movimento forzato dell’uscita F. Previdi - Automatica - Lez. 3
Movimento libero
Il movimento libero dell’uscita si ottiene integrando l’equazione differenziale d i y (t ) αi =0 ∑ i dt i =0 n
con c.i.
y0 ; y1,0 ; L ; yn −1,0
La sua soluzione passa attraverso la ricerca delle soluzioni dell’equazione dell equazione caratteristica associata, dette autovalori: ϕ (s ) = s n + α n −1s n −1 + L + α 0 = 0
dove ϕ (s ) è il polinomio caratteristico. N t B Nota Bene Con un piccolo abuso, si parlerà di “autovalori del sistema” e “polinomio li i caratteristico tt i ti del d l sistema it ” F. Previdi - Automatica - Lez. 3
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Se gli autovalori si sono reali e distinti le soluzioni parziali si t d ll’ dell’equazione i differenziale diff i l sono del d l tipo ti e e la l soluzione l i generale è data dalla loro combinazione lineare n
y (t ) = ∑ ci e si t i =1
Se gli autovalori sono complessi coniugati e distinti (a coppie), cioè si=σi±jωi , le soluzioni parziali dell dell’equazione equazione differenziale σ it sono del tipo e sin (ωi t ) , eσ i t cos(ωi t ) e la soluzione generale è data dalla loro combinazione lineare n
y (t ) = ∑ ci eσ i t sin (ωi t ) + d i eσ it cos(ωi t ) i =1
I valori dei coefficienti della combinazione lineare si calcolano imponendo il rispetto dei vincoli imposti dalle condizioni iniziali iniziali. Le soluzioni p parziali si dicono modi del sistema dinamico LTI. F. Previdi - Automatica - Lez. 3
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Le cose si complicano un po’ se le radici dell’equazione caratteristica non sono distinte. In particolare, se un autovalore ha molteplicità algebrica uguale alla sua molteplicità geometrica continuano a valere i risultati di prima. In caso contrario si hanno modi del tipo
te sit , t 2e sit ,L teσ i t sin (ωi t ), teσ i t cos(ωi t ), t 2eσ i t sin (ωi t ), t 2 eσ i t cos(ωi t ),L La potenza di t dipende dalla “deficienza” di molteplicità.
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3. Equilibrio di un sistema LTI SISO Si definisce uscita di equilibrio di un sistema dinamico lineare tempo-inviariante il valore costante dell’uscita y (t ) = y (se esiste) che si ottiene in corrispondenza di un assegnato valore costante dell’ingresso u (t ) = u , t ≥ t0 Operativamente si tratta di annullare le derivate dell’ingresso e dell’uscita nell’equazione differenziale.
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Esempio y& (t ) + 2 y (t ) = −3u (t )
Calcolare ll’uscita uscita di equilibrio in corrispondenza dell’ingresso costante u = 2, t ≥ 0 Bisogna risolvere l’equazione algebrica 2 y = −3 ⋅ 2
y = −3 Uscita di equilibrio (per u (t ) = u = 2 ) (p
Osservazione
L’uscita di equilibrio è diversa per diversi valori costanti dell’ingresso, per questo si sottolinea “in corrispondenza di”. F. Previdi - Automatica - Lez. 3
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Osservazione
Non è sempre detto che esista o sia unica l’uscita di equilibrio. Per es. il sistema dinamico LTI &y&(t ) + 2 y& (t ) = u (t )
Non ammette alcuna uscita di equilibrio in corrispondenza di valori costanti dell’ingresso non nulli u ≠ 0 Teorema
Un sistema LTI SISO può avere (in corrispondenza di un dato u ): ¾ una sola uscita di equilibrio ¾ infinite uscite di equilibrio ¾ nessuna uscita di equilibrio
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4. Guadagno statico di un sistema LTI SISO Dato un sistema LTI SISO che ammette un’unica uscita di equilibrio y in corrispondenza di un ingresso costante assegnato u , si dice guadagno statico del sistema il rapporto tra l’uscita l uscita di equilibrio ed il corrispondente ingresso costante:
y μ= u
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