Lezione 10: Magnetismo
Magnetite e Magneti (impiegati nella navigazione da prima del sec. XI ) Polo SUD
S
N
Polo NORD
I blocchetti di magnetite si attraggono o respingono quando sono uno vicino all’altro attrazione S
N
S
N
repulsione S
N
N
S
N
S
S
N
Taglio del magnete
S
N
S
N
NO!!!
S N
S N
SI!!!
Magneti e bussole… S N S B N
S
N
B è detto INDUZIONE MAGNETICA
[B] = N/(Cs
-1
m) = N/(Am) = T = Wb/m
1 T = 1 tesla 1Wb = 1 weber -4
-4
1 gauss = 10 T = 10 Wb/m
2
Il weber è l'unità di misura del flusso di B attraverso una superficie
2
Lo spazio circostante a un magnete è sede di un campo magnetico la cui rilevazione avviene proprio con una bussola
N
S
ago della bussola Misurando in ogni punto direzione, verso e momento torcente dell’ago si ottiene il vettore induzione magnetica B(x,y,z)
Bussola Sud geografico |B | =0.62 G S N
|B | =0.31 G Nord geografico
Campo magnetico terrestre
Valori approssimati del campo magnetico
Forza di Lorentz su una carica q che si muove con velocità v in un campo di induzione magnetica B
• • • •
F = qv × B
F=0, se v=0 F=0, se v e B sono paralleli F è ortogonale a v e a B, pertanto L=0 Regola della mano destra
Forza di Lorentz I qv Se la forza del campo magnetico non compie lavoro sulla particella allora l’energia cinetica rimane costante. Si tratta pertanto di una forza CENTRIPETA che fa compiere alla particella una curva senza cambiare il modulo (v e B ortogonali).
F = qv × B
⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ v⋅ ⋅ ⋅ ⋅B⋅ ⋅ ⋅F⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Forza di Lorentz II
F = qv × B
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅v⋅ ⋅ ⋅ ⋅ B R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2
v = qvB F =m R
v R=m (m) qB
uniforme
Forza di Lorentz III
PERIODO (s)
spazio 2πR 2πm = = T= velocità v qB
FREQUENZA (s-1 =Hz)
qB f = 1/ T = 2πm
PULSAZIONE (rad s-1 )
qB ω = 2πf = m
Spettrometro di massa B = 80 T V = 1000V Q = 1.602 ⋅10 -19 C x = 1.6254 m 1u = 1.6605 ⋅10 - 27 Kg 1 2 mv = qV 2 m = RqB
m 2qV
v= m = RqB
qB m =R = v
2qV = m 1 = 2qV
R
qB 2qV
2
x 2 qB 2 = = 209.93 u 4 2V
Traiettorie elicoidali di una carica in moto in un campo magnetico Se v ha sia una componente parallela che una ortogonale a B
La componente della velocità parallela all’induzione da il passo dell’elica, quella ortogonale raggio e periodo.
Bottiglia magnetica - Se il campo magnetico B non è omogeneo, la particella sarà soggetta ad un moto a spirale con raggio variabile.
v = vr u r + vφ uφ + vz u z
B = Br u r + vz u z
v × B = ( vr u r + vφ uφ + vz u z ) × ( − Br u r + Bz u z ) = = −vr Bz uφ + vφ Br u z + vφ Bz u r − vz Br uφ Fr = vφ Br Fφ = −vr Bz − vz Br Fz = − vφ Br
Fasce di Van Allen e Aurore boreali Gli elettroni e protoni in moto, percorrono le traiettorie elicoidali verso la terra Un tale fenomeno si verifica nell’alta atmosfera terrestre, in prossimità dei poli, nelle fasce di Van Allen. Le collisioni degli elettroni accelerati con atomi e molecole produce produce la luce che causa le aurore polari.
Aurora boreale
Forze magnetostatiche/elettrostatiche • La forza elettrica non dipende dal moto della carica ma solo dalla posizione • La forza magnetica dipende invece dalla velocità della carica • La forza magnetica dipende in ogni punto da v della carica, in modo da essere sempre ortogonale al piano individuato da v e da un vettore B:
Fmagnetica = q v × B • Conseguentemente, la forza magnetica compie sempre lavoro nullo
In, presenza di un campo elettrostatico ed uno magnetostatico, la forza totale vale:
Ftotale = q (E + v × B)
Scoperta dell’elettrone y
L=lunghezza dei piatti v=velocità della particella m=massa della particella E=campo elettrico q=carica della particella
All’uscita delle armature:
y=
2
qEL 2mv
2
Calcolo della v e di m/q Regolando poi opportunamente il campo magnetico B, è possibile bilanciare la forza elettrica E. Quando ciò avviene, si ha q E = q v B. In questo modo si ottiene v = E / B da cui poi si ricava:
2 2
m B L = q 2 yE
Forza su un filo percorso da corrente in un campo B costante
B
v = vu x B = Bu y
j ××××××××× v B ××××××××× F ×××××××××
y⊗
x z
Quindi, la forza per unità di volume Fvol = Nqv × B = − NeBvu z
Caso generale La forza totale Ftot = Fvol dV = τ
N (−e) v × BdV =
τ
dl dS j× B l
S
= − LiBu z Ftot = dl Fvol dS = dl j × B dS = L
S
L
S
i dl × B L
Effetto Hall Nel 1879 E. H. Hall dimostrò che anche gli elettroni di conduzione (e qualunque portatore di carica in moto) risente degli effetti dovuti alla forza di Lorentz. In figura è riportata una lamina di Cu di larghezza d nella quale scorre una corrente i dall’alto verso il basso. I portatori di carica (elettroni) si muovono pertanto con velocità diretta dal basso verso l’alto (vd). Se si applica un campo magnetico esterno B perpendicolare al piano, ogni elettrone è soggetto alla forza di Lorentz FB diretta da sinistra verso destra. Gli elettroni si ammasseranno quindi verso destra generando un campo elettrico longitudinale E, diretto da sinistra verso destra. E avrà come effetto quello di generare una forza elettrica FE diretta da destra verso sinistra che si opporrà a FB. La situazione all’equilibrio sarà quella per cui FE = - FB e quindi gli elettroni si muoveranno rettilineamente. Ma sarà presente una d.d.p. tra il lato destro ed il lato sinistro della lastra, dato da V = E d Evidentemente, quando sono gli elettroni a muoversi, il lato sinistro avrà potenziale positivo, mentre se i portatori di carica sono positivi (es. semiconduttori) il lato destro avrà potenziale positivo. da cui, sostituendo L’uguaglianza delle forze implica e E = e vd B vd,
vd =
j i = ne neA
si ha:
n=
Bi Vle
II legge elementare di Laplace i C
dl
B S
N
dF = i dl × B
Considerando l’intero circuito….
F=
i dl × B circuito
Forza agente su un filo in un campo magnetico di induzione B Esercizio- Un filo lungo 6 cm, percorso da una corrente di 1.5 A, è posto tra i poli di un magnete ad un angolo di 45°. Il campo magnetico di 0.9 T è circa uniforme. Quanto vale la forza sul filo, ignorando il campo al di fuori dei poli?
uz uy
ux
B
l
l
0
0
F = idl × B = idl (u x sin = liB sin
π 4
π 4
u z= 6 ⋅10
+ cos −2
π 4
i
45°
u y ) ×Bu y = i sin
⋅1.5 ⋅ 0.9 ⋅
1 2
π 4
l
Bu z dl =
u z = 0.057 N u z
0
LEMANS\forcelaplace.htm
Una corrente di 10 A percorre un filo di lunghezza l=10m in un campo di induzione magnetica uniforme B=2000 G u y.
1. Il filo è diretto x, simmetricamente rispetto all’origine. Quanto vale la forze magnetica risultante?
y
F=
B
x
i = 1A
z
dr
l/2
l/2
−l / 2
−l / 2
i dl × B =
Bdx u x × u y =
= u z Bl = 0.2 ⋅10 ⋅10u z = 20 N u z
2. Se il filo viene spostato in modo da descrivere un cilindro e la posizione finale coincide con quella iniziale, quanto lavoro L deve essere speso contro le forze magnetiche?
y
essendo F costante:
L=
B
F ⋅ dl = F ⋅
x
i = 1A
dl
essendo
dl = 0
dl = 0
y
R φ
dl x
dl = Rdφ (− sin φu x + cos φu y ) dl = R
2π 0
2π
dφ (− sinφ )u x + dφ cosφu y = 0 0
Esercizio - Si calcoli la forza e momento meccanico risultanti agenti su una spira quadrata piana chiusa di area 1m2, percorsa da una corrente di i =1 A e posta in un campo magnetico uniforme di induzione 1 G
B uniforme
r La forza risultante:
F=
i dl × B = i circuito
dl × B = 0 circuito
Il momento non dipende dal polo:
Esercizio –cont1
dM = r × dF = ir × dl × B = i (r ⋅ B )dl − iB (r ⋅ dl ) M = i (r ⋅ B )dl − iB (r ⋅ dl ) ∂S
∂S
Ma essendo dl=dr ed il percorso chiuso:
(r ⋅ dl ) = 0 ∂S
M = i (r ⋅ B )dl ∂S
M x = i (r ⋅ B )i x ⋅ dl = i ∇ × [(r ⋅ B )i x ]⋅ n ds ∂S
S
∇ × (ϕF ) = ϕ∇ × (F ) + ∇ϕ × F
Esercizio –cont2
M x = +i ∇(r ⋅ B ) × i x ⋅ n ds S
ma ∇(r ⋅ B ) = B quando B è uniforme M x = +i B × i x ⋅ n ds = iS n × B ⋅ i x S
Analogamente si procede per le altre componenti:
M = +i B × i x ⋅ n ds = iS n × B = × B S
= iS n è il MOMENTO MAGNETICO di una spira piana
Nel caso in esame:
= 1A ⋅1m 2 = 1Am 2
M = 1Am 2 ⋅10 -4 Wb m -2 sin ϑ = 10 -4 sin ϑ Nm
ϑ
B
M = ×B formula valida anche per spire di forme diverse
Che cosa origina l’induzione magnetica B?
Interazione corrente-ago di una bussola
Oersted 1819
Correnti stazionarie generano un campo magnetico
Quindi, anche un filo percorso da corrente stazionaria genera una campo magnetico FILO RETTILINEO
i
Pollice dx (i) N
D
it
x d a
) B (
S
SPIRA CIRCOLARE
Pollice dx (B)
N
i S
D
it
x d a
(i)
I Legge di Ampere-Laplace i
dl
r
P, dB
C
µ 0 dl × r dB = i 3 4π r No verifica sperimentale diretta
Nel vuoto
La costante µ
0
[ B ][L ] Tm [µ 0 ] = = [I ] A
Considerando l’intero circuito i dl
r
P, B
C
µ 0 dl × r B= i 3 r circuito 4π
Induzione magnetica generata da un filo rettilineo infinito percorso da una corrente i
z
l
dl
i
r R
× dB
P
µ 0 +∞ dl × r = B= i 4π −∞ r 3
Induzione magnetica generata da un filo rettilineo infinito percorso da una corrente i II
r = r (cosϑ i x − sin ϑ i z ) R
2
dl = dl i z r = l = R tan ϑ
dl =
R 2
cos ϑ
2 2
cos ϑ
dϑ
R ϑ cos dl × r cos 2 ϑ 1 i = d ϑ = cos ϑ dϑ i y y 3 2 r R R 2 cos ϑ
Legge di Biot-Savart µ0 i µ0 i µ 0 i +π / 2 B= i y cos ϑ dϑ = iy2 = iy 4π R −π / 2 4π R 2π R µ0 i B ( R, φ , z ) = iφ 2π R
La divergenza di B
z i
µ0 i B ( R, φ , z ) = iφ 2π R
∂τ
B( R, φ , z ) ⋅ ndS = 0 =
∇⋅B = 0
τ
∇ ⋅ Bdτ
III EQUAZIONE DI MAXWELL
Un campo la cui divergenza sia nulla si dice SOLENOIDALE
Potenziale vettore Se ∇ ⋅ B = 0
B = ∇× A
µ0 j A= dτ 4π τ r
poiché ∇ ⋅ ∇ × A = 0
sempre
Osserviamo che: • Un filo indefinito, percorso da una corrente i, genera un’induzione magnetica: µ0 i B ( R, φ , z ) = iφ 2π R
• Un campo di induzione magnetica B esercita una forza F su un filo percorso da una corrente i:
F=
i dl × B
filo
Cosa succede allora a due fili paralleli percorsi da correnti, rispettivamente I1 e I2 ? z I2
I1
d
Sul filo 2 esiste una forza che vale:
x
F2 = I 2
+ l2 / 2
dl 2 × B1 =
−l2 / 2
Ma
Forza del I filo sul II
µ0 B1 = I1i y 2πd
+ l2 / 2
+ l2 / 2
−l2 / 2
−l 2 / 2
dl 2 × B1 = B1i z × i y
dl2 = − B1l 2 i x
µ0 F2 = − I1 I 2 l 2 i x 2πd Quindi la forza per unità di lunghezza:
µ0 F2 f2 = =− I1 I 2 i x l2 2πd
Forza del II filo sul I
L’induzione B dovuta alla corrente che scorre nel II filo è diretta lungo –y Pertanto:
µ0 F2 f1 = − = I1 I 2 i x l 2 2πd
µ0 F2 f2 = =− I1 I 2 i x l2 2πd Se le correnti hanno segno opposto la forza fra i due fili diventa repulsiva
Attrazione tra fili che trasportano corrente
Induzione magnetica sull’asse di una spira circolare percorsa da una corrente i ut
ur
r
a 0
dB P
z
I
µ 0 dl × r dB = I 3 4π r
µ0 a dB ⋅ u z = I 3 dφ a = 4π r
Spira 2
µ0 a = d φ a I 2 4π (a + z 2 ) 3 / 2 µ0 µ0 a2 a2 2 = B= i i π I I 2 z 2 3/ 2 2 2 3/ 2 z 2 (a + z ) 4π (a + z ) B ( z = 0) =
µ0 2a
I iz
Spira 3
µ0
µ0 B( z >> a ) ≈ 3 a I i z = 2 SI i z 3 2z 4πz 2
m = SI Modulo del MOMENTO DI DIPOLO MAGNETICO
µ0 B( z >> a ) ≈ 2m i z 3 4πz
M = m iz
Quando siamo a grande distanza, le linee di induzione magnetica hanno il medesimo comportamento delle linee di campo elettrico generato da un dipolo elettrico
Induzione magnetica di una spira piana a grande distanza
R >> r P
z
R
0
r
i
µ 0 dl × ( R − r ) = B= i 3 4π R −r
µ0 2R ⋅ r − r i dl × (R − r ) 1 − = 3 4πR R2 µ0 3R ⋅ r { ≈ × + × − i d d l R l R 3 2 4πR R − dl × r − dl × r
3R ⋅ r R
2
}=
2
−3 / 2
≈
Induzione magnetica generata da una spira a grande distanza II
µ0 3R ⋅ r ≈ i dl × R 2 − r 3 4πR R
La componente x di B vale pertanto: µ0 3R ⋅ r Bx ≈ i d l R × − r ⋅ux 3 2 R 4πR
Applicando il th. di Stokes: µ0 3∇(R ⋅ r ) Bx ≈ i dS n ⋅ × (R × u x ) − ∇ × (R × u x ) = 3 2 R 4πR µ0 µ0 3R 3(n ⋅ R )R i dS n ⋅ 2 × (R × u x ) + 2u x = iS − n ⋅ux = 3 3 2 R R 4πR 4πR
In conclusione il campo generato da una spira: µ 0 3( ⋅ R )R B≈ − 3 2 R 4πR
dove
= iSn
Campo in una singola spira LEMANS\helmoltz.htm
Campo di un dipolo LEMANS\dipole1.htm
Spira 4
µ0 2 B( z a) ≈ M 4πz 3
E( z a) ≈
1 4πε 0 z
3
2p
