1 LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC2 Proprieta della () LINEARITA : la della combinaz...
Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
Proprieta’ della TDF (1) LINEARITA’: la TDF della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e’ uguale alla combinazione lineare delle TDF dei due segnali.
a1 x1(t) +a2 x2(t)
TDF
a1 X1 (f) +a2 X2 (f)
SIMMETRIA: la TDF di una segnale reale gode di simmetria complessa coniugata. La parte reale e il modulo sono simmetrici rispetto all’origine (sono “pari”), la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche rispetto all’origine (sono “dispari”).
x(t) reale
2
TDF
{
X(f) = X*(-f) Re{X(f)} = Re{X(-f)} Im{X(f)} = - Im{X(-f)} |X(f)| = |X(-f)| fase X(f) = - fase X(-f)
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Proprieta’ della TDF (2) TDF di una segnale reale
A Modulo
Fase f
f A
A Parte reale
f
f
Parte immag.
Casi particolari
x(t) reale pari x(t) reale dispari 3
TDF
X(f) reale pari X(f) immaginario dispari Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
Proprieta’ della TDF (3) Valori nell’origine: la TDF in f=0 e’ uguale all’integrale del segnale nei tempi. Il segnale in t=0 e’ uguale all’integrale della TDF nelle frequenze.
X (0) =
∞
∫ x(t )dt;
x ( 0) =
−∞
∞
∫ X ( f )df ;
−∞
Dualita’: dato il segnale x(t) e la sua TDF X(f), vale la seguente relazione duale:
X(-t )
TDF
x(f)
Scalatura:
x (at )
x(-t ) 4
TDF
1 f X a a
TDF
X(-f) Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
Proprieta’ della TDF (4) Traslazione nei tempi: la TDF del segnale ritardato e’ uguale a quella del segnale originale moltiplicata per un esponenziale complesso
x(t-t0 )
TDF
e-j2πf t0 X(f)
Traslazione nelle frequenze: traslare in frequenza la TDF del segnale equivale a moltiplicare il segnale nei tempi per un esponenziale complesso
x(t ) ej2π f0 t
TDF
X(f- f0 )
Derivazione nei tempi: la TDF del segnale derivato nel tempo e’ uguale a quella del segnale originale moltiplicata per j 2π f :
dx(t ) dt 5
TDF
j 2π f X ( f ) Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
Proprieta’ della TDF (5) Moltiplicazione nelle frequenze: la TDF inversa del prodotto delle TDF di due segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione dei segnali nei tempi. L’integrale di convoluzione e’ un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come vengono modificati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempoinvarianti.
x(t ) ∗ h(t ) =
∞
∫ x(τ )h(t − τ )dτ
TDF
X(f)H(f)
−∞
Moltiplicazione nei tempi: la TDF del prodotto di due segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione delle due TDF (nelle frequenze).
∞
x(t )y(t)
TDF
∫ X (ξ )Y ( f − ξ )dξ
−∞
6
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Proprieta’ della TDF (6) Relazione di Parseval: l’energia di un segnale e’ uguale all’integrale del modulo quadrato della sua TDF ∞
∫ x(t )
−∞
X(f ) X(f )
2 2
2
∞
dt
=
∫ X(f )
2
df
−∞
integrata su tutto l’asse delle frequenze fornisce l’energia del segnale.
df rappresenta l’energia del segnale in ogni intervallo di frequenze
infinitesimo df.
X(f )
7
2
viene detta DENSITA’ SPETTRALE DI ENERGIA
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Banda di un segnale Viene definita banda (B) del segnale x(t) l’intervallo di frequenze (misurato sul semiasse positivo) all’interno del quale X(f) assume valori diversi da 0. Molto spesso X(f) è a rigore diversa da 0 da - ∞ a ∞ . In questo caso la banda corrisponde all’intervallo di frequenza in cui X(f) è “significativamente” diversa da 0. Operativamente, nella definizione di banda, si considerano due classi di segnali: Segnali di tipo passa-basso X(f) concentrata intorno a f=0
Segnali di tipo passa-banda X(f) concentrata intorno a f=±f0
|X(f)|
B 8
|X(f)|
f
-f0
-f0 B
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f
La trasformata di Fourier del coseno Un impulso di area unitaria in frequenza ha come TDF inversa una costante ∞ unitaria nei tempi:
∫ δ ( f ) exp{j 2π ft} df
=1
−∞
Quindi, per dualita’, la TDF di una costante unitaria e’ un impulso nelle frequenze. La trasformata di Fourier del coseno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:
x(t ) = cos(2π f ot ) =
{
}
{
1 1 exp j 2π f ot + exp − j 2π f ot 2 2
}
TDF
1 1 X ( f ) = δ ( f − fo ) + δ ( f + fo ) 2 2 9
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La trasformata di Fourier del seno La trasformata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:
{
}
{
j j x(t ) = sin (2π f o t ) = exp − j 2π f ot − exp j 2π f o t 2 2
}
TDF
j j X ( f ) = δ ( f + fo ) − δ ( f − fo ) 2 2
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Esempi di trasformata di Fourier (il rettangolo) A x(t ) = A rectT (t ) = 0
t ≤T /2 t >T /2
⇔
sin πfT X ( f ) = AT ⋅ πfT
x(t) A
-T/2
T/2
t
X(f) AT
F -1/T
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1/T
f
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Esempi di trasformata di Fourier (il triangolo) x(t ) = A tri2T (t )
⇔
sin πfT X ( f ) = AT πfT
2
x(t) A
X(f) -T
AT
T
F -1/T
12
1/T
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f
Seno cardinale sinc(t ) =
sinπ t
Si annulla per tutti i valori E =1
π t
interi di t tranne nell’origine, dove ha valore unitario
1 0.8 0.6 0.4 0.2
o
o
o
o
o
-0.4 -5
-4
-3
-2
-1
0
o
o
o
o
o
1
2
3
4
5
-0.2
13
0
Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
Esempi di trasformata di Fourier (il sinc) x(t ) = A
sin π
π
t T
⇔
t T
A X ( f ) = AT rect1/ T ( f ) = 0
1 f ≤ 2T 1 f > 2T
x(t) A X(f) -T
t
T
AT
F -1/2T 14
1/2T
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f
Esempi di trasformata di Fourier (la gaussiana) 2 t 1 x(t ) = ⋅ exp− 2 ⇔ 2 2a 2πa
f2 X ( f ) = exp− 2 2b
b=
x(t)
1 2π a
1 / 2πa 2
X(f) 1 t F f 15
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Risposta in frequenza del filtro passa-basso ideale 1
H(f)
fc
- fc
f
La Larisposta rispostaall’impulso all’impulsoe’e’un unseno senocardinale cardinalecon congli glizeri zeriposizionati posizionati aatempi tempimultipli multipli interi interididi1/ 1/22ffc c
h(t ) =
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sin 2πf ct πt Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
Risposta in frequenza del filtro passa-alto ideale H(f)
1
- fc
f
fc
La Larisposta rispostaall’impulso all’impulsoe’e’data datada daun unimpulso impulsodidiarea areaunitaria unitariaδδ(t) (t)meno menoun unseno seno cardinale cardinalecon congli glizeri zeriposizionati posizionatiaatempi tempimultipli multipliinteri interididi1/ 1/22ffc c
h(t ) = δ (t ) −
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sin 2πf ct πt Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC
Risposta in frequenza del filtro passa-banda ideale H(f)
1
- fo - fc
- fo
- fo + fc
fo - fc
fo
fo + fc
f
La Larisposta rispostaall’impulso all’impulsoe’e’quindi quindidata datada daun unseno senocardinale cardinalecon congli glizeri zeriposizionati posizionatiaa tempi tempimultipli multipliinteri interididi1/ 1/22ffc moltiplicato moltiplicatoper per2 cos( 2π f 0 t ) . . c
sin 2πf c t h(t ) = 2 cos(2πf o t ) πt
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