Paolo Siviglia
La funzione sinusoidale
1.
Premessa
I momenti più significativi della storia dell’umanità sono rappresentati dalla nascita del linguaggio, della logica e della scienza moderna. Il primo favorì la comunicazione fra gli uomini; la seconda, sviluppatasi essenzialmente presso la civiltà greca, condusse a una prima razionalizzazione delle conoscenze acquisite nei periodi precedenti; la terza, più recente, fornì una metodologia nuova e più efficace per lo studio del mondo fisico. Come si sa, l’uomo primitivo di fronte a eventi come lampi, tuoni, pioggia, ecc. restava sbigottito e, non sapendo dare una spiegazione razionale, li attribuiva alla volontà di essere soprannaturali. Con il passare del tempo, però, egli non riusciva ad accontentarsi di tali giustificazioni. A un certo momento insomma l’uomo, spinto sempre più dal desiderio di conoscere, ha cercato di descrivere, coordinare e spiegare razionalmente tutti i fenomeni del mondo circostante. Ciò si verificò principalmente presso la civiltà greca, il cui inizio risale al sesto secolo a. C. Si ebbe così la nascita della scienza riguardante tutti i fenomeni naturali, detta FISICA. La parola “ fisica “ in greco significa “natura”. Nella cultura greca la fisica era soltanto un capitolo della filosofia, la quale si proponeva la ricerca della legge universale dei fenomeni indipendentemente dalle tradizioni mitologiche. Ma ogni sistema filosofico esprimeva una sua concezione del mondo. Si ha così una fisica platonica, una fisica stoica, una fisica aristotelica, ecc. La più consistente e organica fisica del tempo è quella aristotelica, il cui influsso si protrasse fino al XVI secolo. Essa fornisce una spiegazione di tipo qualitativo e non quantitativo dei fenomeni naturali. Fino a quando la fisica rimase soltanto un’attività di tipo accademico e non applicativo, le concezioni aristoteliche erano più che sufficienti per soddisfare la curiosità dell’uomo. Nel XVI secolo, sotto la spinta dei nuovi problemi, come per esempio quelli posti dalle recenti scoperte geografiche, si rese necessario indagare più approfonditamente sui fenomeni naturali. Nacque così la scienza moderna che fu impostata su basi sperimentali e matematiche.
Il METODO SPERIMENTALE , introdotto da Galileo Galilei considerato il fondatore della scienza moderna, è basato sull’osservazione di ogni fenomeno, sull’esperimento e sulla costruzione operativa di ogni suo elemento. La fisica cioè si assume il compito di descrivere, coordinare e spiegare quantitativamente, attraverso l’osservazione, l’esperienza e la misurazione, i fenomeni che si svolgono in natura o che vengono provocati artificialmente. E’ in questo quadro che la matematica acquista un’importanza fondamentale nella costruzione della scienza moderna, di cui diviene la lingua ufficiale Galilei diceva, infatti, che per leggere il grande libro della natura bisogna conoscere la matematica. Così, a partire dal XVII secolo, matematica e scienza della natura procedono di pari passo, integrandosi vicendevolmente e realizzando dei progressi superiori a ogni ottimistica aspettativa. Il compito della matematica consiste nel fornire alla fisica dei modelli rappresentativi della realtà, per approfondire con maggiore incisività
Funzione sinusoidale
1
l’annoso problema della conoscenza che i Greci avevano affrontato con strumenti basati soltanto sul ragionamento.
Gli enti matematici detti “ funzioni “ sono atti a rappresentare sinteticamente i fenomeni fisici. La funzione sinusoidale, che sarà presentata in questo capitolo, è molto utile per lo studio di quei fenomeni aventi caratteristiche di periodicità. Il suo studio sarà introdotto dopo aver presentato alcune nozioni di fisica: il moto rettilineo uniforme, il moto uniformemente accelerato, il moto circolare e il moto armonico.
2.
Moto rettilineo uniforme
In fisica un corpo che si muove nello spazio, per semplicità, viene assimilato a un punto geometrico detto punto materiale. L’insieme delle posizioni assunte da un punto in movimento costituisce una linea geometrica detta traiettoria. Se la traiettoria è una retta, si ha un moto rettilineo; se è una circonferenza, si ha un moto circolare; ecc. In ogni unità di tempo un punto materiale in moto percorre un certo tragitto che viene detto semplicemente spazio percorso.
DEFINIZIONE
Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme se la traiettoria è una retta e se percorre spazi uguali in intervalli di tempo uguali..
Lo spazio percorso da un punto materiale in movimento in una unità di tempo si chiama velocità. La velocità è una grandezza fisica che esprime lo spazio percorso nell’unità di tempo. Sia una retta orientata r la traiettoria di un moto s0 rettilineo uniforme. 1 0 Se all’istante t = 0 il punto è in s0 e la velocità è r
Fig. 6.1
v, nel generico istante t la posizione s data dalla formula: s = s0 + vt
del punto è
Tale formula rappresenta la legge fisica riguardante un moto rettilineo uniforme. Se l’origine dei tempi corrisponde all’origine degli spazi, si ha: s0 = 0 e quindi la formula diviene:
s
s = s0 + vt
s0 O
3.
s = vt
s = vt
t
Fig. 6.2
La legge che descrive un moro rettilineo uniforme può essere rappresentata graficamente in un sistema di assi coordinati cartesiani ortogonali riportando i tempi sull’asse delle ascisse e gli spazi su quello delle ordinate. Il diagramma è una retta. La velocità v rappresenta il coefficiente angolare di tale retta.
Moto uniformemente accelerato
DEFINIZIONE
Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato se la traiettoria è una retta e se la sua velocità varia istante per istante della medesima quantità.
A tale variazione istantanea di velocità si dà il nome di accelerazione. L’accelerazione è una grandezza fisica che esprime la variazione istantanea di velocità. In un moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità v in un generico istante t è data dalla relazione:
v = v0 + at dove v0 è la velocità all’istante t
2
= 0 (velocità iniziale) e a l’accelerazione.
Funzione sinusoidale
Paolo Siviglia Per determinare lo spazio in un generico istante t, invece, si applica la formula:
1 2 at 2 dove s0 è lo spazio all’istante t = 0, v0 s = s0 + v0 t +
è la velocità all’istante t
= 0 e a l’accelerazione
Il diagramma orario di un moto uniformemente accelerato è una parabola.
4.
Moto circolare uniforme
DEFINIZIONE
Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme se la traiettoria è una circonferenza e se percorre archi uguali in intervalli di tempo uguali Il tempo che il punto materiale impiega a percorrere tutta la circonferenza è detto periodo e si indica con T.
O r
Indicando con v la velocità, detta velocità periferica, e con circonferenza, si ha:
T=
r
il raggio della
2π r v
Essendo, infatti, il periodo T un tempo, esso non può che essere uguale al rapporto fra lo spazio percorso, che in questo caso è dato dalla lunghezza della circonferenza, e la velocità. La velocità periferica di un moto circolare uniforme rappresenta l’arco di circonferenza descritto nell’unità di tempo. Considerando l’angolo al centro descritto nell’unità di tempo, si ha la velocità angolare.
NOTA
Per ricavare le formule relative al moto circolare uniforme può essere utile avere presenti quelle riguardanti il moto rettilineo uniforme, che sono:
s s s = v t, v = , t = . t v La velocità angolare si indica con la lettera greca giro, il quale misurato in radianti è uguale a 2
ω=
5.
2π T
ω (omega). Poiché in un periodo T
viene descritto un angolo
π, si ha:
(spazio angolare diviso tempo)
T =
2π
ω
(spazio angolare diviso velocità angolare)
Vettori rotanti Su un piano si considerino: una semiretta OA di origine O e un vettore
OP rotante in senso antiorario intorno al suo punto di applicazione O con velocità angolare ω costante.
P α =ωt O
L’angolo
A
α, che OP
forma al tempo generico t con la semiretta OA,
è detto angolo di fase o semplicemente fase di
OP
al tempo t.
Funzione sinusoidale
3
α=ωt
Si ha: Il tempo che Si ha: Sia
(spazio angolare uguale velocità angolare per intervallo di tempo)
OP impiega a compiere un giro completo si dice periodo e si indica con T. 2π (tempo uguale spazio diviso velocità) T =
ω
OP
vettore
un vettore di modulo r, rotante intorno al punto O con velocità angolare costante ω. L’estremo P del
OP
durante il moto descrive la circonferenza di centro O e raggio r con moto uniforme.
La velocità angolare del moto circolare del punto P è uguale a quella del vettore rotante. Al moto circolare del punto P si può associare quello della sua proiezione ortogonale M sul diametro BD.
B M
Quando
y P
il raggio
O
OB
da
B
quando P descrive l’arco CD di OD da O verso D; infine, quando P circonferenza, M percorre il raggio OD da D verso
O;
circonferenza, M percorre il raggio
α C
P descrive l’arco AB di circonferenza, M percorre il raggio OB
da O verso B; quando P descrive l’arco BC di circonferenza, M percorre
A x
descrive l’arco
DA
di
verso O. Come si vede, al moto circolare uniforme del punto P corrisponde un moto di oscillazione del punto M lungo il diametro BD.
D
Si dice che il punto M oscilla attorno al centro
O della circonferenza. Per
tale motivo, il moto di M è detto oscillatorio. Se il punto P si muove di moto circolare uniforme, il moto della sua proiezione M sul diametro BD è detto oscillatorio armonico. Un moto oscillatorio armonico è periodico. Il periodo di un moto oscillatorio armonico rappresenta il tempo occorrente per una oscillazione completa; esso è uguale a quello del moto circolare uniforme cui esso è associato. La velocità angolare ω del moto circolare di P o del vettore rotante
OP
si chiama pulsazione del moto armonico
corrispondente. Il diametro BD rappresenta l’ampiezza di oscillazione del moto armonico del punto M. La distanza del punto M dal centro O si chiama elongazione. Per studiare il moto del punto M, si riferisca il piano a un sistema di assi cartesiani ortogonali, come nella seguente figura. Indicando con
Considerando il triangolo rettangolo OMP, si ha:
P1
M1
O
M(0; y)
L’ordinata y è l’elongazione del moto armonico.
B
C
la generica ordinata del
punto M in un istante generico t, si ha:
y
M
y
β
∧
P α
A
x
y = OM = OP cos P O M = OP cos (90° − α) = = OP sen α = r sen ωt. La relazione y = r sen ωt si chiama equazione del moto del punto M. Per mezzo di essa è possibile determinare la posizione del punto in ogni istante durante il moto. Si consideri ora un altro vettore
D
intorno al punto
OP. L’angolo β indica lo sfasamento di
Sia
O
OP1
di modulo
r
con la stessa velocità angolare
rotante
ω
di
α1 = ωt + β la fase di OP1.
OP1 rispetto a OP. Il moto della proiezione M1 di P1 sul diametro BD è oscillatorio armonico e ha la stessa pulsazione e lo stesso periodo del moto di M.
4
Funzione sinusoidale
Paolo Siviglia L’equazione del moto oscillatorio di M1 è: y
= r sen(ωt + β).
I punti M e M1 passano per una stessa posizione sul diametro BD con sfasamento di tempo dato da:
6.
t0 =
β . ω
La funzione sinusoidale
Dicesi funzione sinusoidale ogni relazione del tipo:
y = f(x) = a sen (ωx + β) dove a, ω e β sono delle costanti con: a > 0, ω > 0
e
−π ≤ β ≤ +π.
La funzione è periodica con periodo:
T = Infatti, si ha:
2π
ω
⎡ ⎛ ⎤ 2π ⎞ f(x + T) = a sen [ω(x + T) + β] = a sen ⎢ω ⎜ x + ⎟+ β⎥ = ω ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ = a sen [(ωx + 2π) + β] = a sen [(ωx + β) + 2π] = a sen (ωx + β) = f(x).
Ricordando che si ha sempre:
−1 ≤ sen (ωx + β) ≤ +1 moltiplicando per a, risulta: − a ≤ a sen(ωx + β) ≤ + a I valori della funzione sinusoidale data sono tutti compresi nell’intervallo di numeri reali i cui estremi sono i numeri
− a e + a. Poiché la funzione esiste per qualsiasi valore reale della variabile indipendente x, si può affermare che il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali e il codominio è l’intervallo [− Si ha, cioè:
−∞ ≤ x ≤ +∞, y
+a
− a ≤ y ≤ + a. Il diagramma della funzione perciò è localizzato nella striscia di piano delimitata dalle rette di equazione:
y=+a
O −α
a, + a.].
x y=−a
y = − a e y = + a. I numeri − a e + a costituiscono
rispettivamente il minimo e il massimo valore che la funzione può assumere. I punti in cui la funzione assume tali valori si dicono estremanti della funzione. Una funzione sinusoidale ha infiniti estremanti, essendo essa periodica. Per determinare gli estremanti della funzione data, basta
risolvere le due equazioni goniometriche:
Si ha:
sen(ωx + β) = − 1 3 ω x + β = π + 2 kπ 2 2ωx + 2β = 3π + 4kπ (3 + 4k )π − β x= 2ω ω
sen(ωx + β) = + 1
ω x+β =
π
+ 2 kπ 2 2ωx + 2β = π + 4kπ (1 + 4k )π − β x= 2ω ω Funzione sinusoidale
5
con k numero intero relativo. Indicando con N e
M rispettivamente il minimo e il massimo della funzione, si ha: ⎛ (3 + 4k )π β ⎞ ⎛ (1 + 4k )π β ⎞ N⎜ − ; − a⎟ M⎜ − ; + a⎟ ω ω ⎝ 2ω ⎠ ⎝ 2ω ⎠
Poiché la funzione sinusoidale è strettamente connessa al moto armonico, per essa viene adottata la medesima terminologia in uso per tale moto.
= a sen(ωx + β) rappresenta un moto armonico, si dice che 2a è l’ampiezza di oscillazione, ω è la pulsazione, x il tempo, β è la fase iniziale e y è l’elongazione. Per le funzioni sinusoidali è più comodo assumere a come ampiezza di oscillazione. Quindi, data la funzione sinusoidale y = a sen(ωx + β), si dice che: Se la funzione y
a è l’ampiezza di oscillazione, ω è la pulsazione, β è la fase iniziale, x è l’ascissa di un generico punto e y è la corrispondente ordinata. Se
β = 0,
si dice che la funzione è in fase; se
corrispondente in fase; se, infine, β fase.
7.
β > 0,
si dice che la funzione è in anticipo di fase rispetto alla
< 0, si dice che la funzione è in ritardo di fase rispetto alla corrispondente in
Rappresentazione grafica delle funzioni sinusoidali
y = a sen(ωx + β)
T. Per rappresentarla graficamente, data la sua T e successivamente traslarlo nella direzione dell’asse delle ascisse. Generalmente, come intervallo iniziale si prende quello di estremi 0 e T; cioè si considera il grafico per 0 ≤ x ≤ T. Per semplicità, si consideri prima una funzione in fase, come y = a senω x. Sia
una funzione sinusoidale di periodo
periodicità, basta costruire prima il grafico relativo a un intervallo lungo il periodo
y
B M C
O1
D
y=+a
H
P
A
O
T 4
T 2 E
3 T 4
T F
x
y=−a N
Si costruisca quindi la circonferenza di centro O1 e raggio a e siano AC e BD due diametri perpendicolari fra loro. Si prolunghi il diametro AC e sia O un suo punto. Per il punto O si conduca la retta parallela al diametro BD. Orientando le due rette come indicato in figura, esse costituiscono un sistema di assi coordinati cartesiani avente
6
Funzione sinusoidale
Paolo Siviglia come origine il punto
O.
Il grafico della funzione è nella striscia di piano delimitata dalle rette tangenti alla
B e D. Le equazioni di tali rette tangenti sono rispettivamente y = a e y = − a. Sull’asse delle ascisse si consideri il segmento OF di lunghezza uguale a quella del periodo T. Si ha, cioè: O(0; 0) e F(T; 0)
circonferenza rispettivamente nei punti
Il diagramma di una funzione sinusoidale si chiama sinusoide e il tratto compreso in un periodo si dice onda della sinusoide. La linea curva avente per estremi i punti
nell’intervallo 0
≤ x ≤ T, dove T =
2π
ω
O
ed
F
è il grafico della funzione
y = a sen ωx
.
Tale grafico descrive un’oscillazione completa del moto armonico del punto M sul diametro BD. Essendo in fase la funzione considerata, inizialmente il punto M si trova nel centro O1. In un quarto di periodo raggiunge il punto B di massima elongazione y
= a.
Le ordinate dei punti dell’arco OH di curva rappresentano le elongazioni del moto armonico in tutti gli istanti del primo quarto di periodo.
Si può dire che quando il punto P va da A a B sulla circonferenza, la sua proiezione M va da O1 a B sul
diametro BD. Il massimo della funzione sinusoidale corrisponde alla massima elongazione del moto armonico. Nel secondo quarto di periodo il punto P va da B a C sulla circonferenza e la sua proiezione M va da B a O1 sul
diametro BD. Si può dire che dopo mezzo periodo il punto M ritorna nella posizione iniziale O1.
HE di curva rappresentano le elongazioni del punto M durante tutto il secondo T T all’istante . quarto di periodo, ossia dall’istante 2 4 Nel terzo quarto di periodo il punto P va da C a D sulla circonferenza e la sua proiezione M va da O1 a D sul diametro BD. Le ordinate dell’arco EN di curva rappresentano le elongazioni del moto armonico durante il terzo quarto di 3 T periodo, ossia dall’istante all’istante T . 4 2 3 Nell’istante T si ha la massima elongazione del punto M, che corrisponde al minimo della funzione sinusoidale 4 Le ordinate dei punti dell’arco
perché opposta a quella precedente. Nell’ultimo quarto di periodo il punto P va da
D ad A sulla circonferenza e la sua proiezione M va da D
sul diametro BD.
NF di curva rappresentano 3 periodo, ossia dall’istante T all’istante T. 4 Le ordinate dell’arco
a
O1
le elongazioni del moto armonico durante l’ultimo quarto di
Come si vede, il grafico di una funzione sinusoidale diviene più intelligibile se associato al moto armonico di un punto. Se il punto M compie un’altra oscillazione, si ha un’altra onda uguale a quella disegnata, compresa però
nell’intervallo T ≤ x ≤ 2T. Il diagramma di una funzione sinusoidale quindi si può ottenere prolungando la parte di grafico compresa in un periodo. Riepilogando, si può dire che la funzione sinusoidale y
2°) ha periodo T =
2π
= a sen ωx:
1°)
è in fase;
3°)
ha ampiezza di oscillazione uguale ad a;
4°)
ha pulsazione uguale a ω;
ω
;
Funzione sinusoidale
7
⎛T ⎞ 0), ⎜ ; 0 ⎟ , (T; 0), ⎝2 ⎠ ⎛T ⎞ ⎛ 5 ⎞ assume il suo massimo valore a nei punti: ⎜ ; a ⎟ , ⎜ T ; a ⎟ , ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ interseca l’asse delle ascisse nei punti: (0;
5°)
6°)
assume il suo valore minimo −
7°)
⎛3 ⎞ ⎜ T ; 0 ⎟ …. ⎝2 ⎠ ⎛9 ⎞ ⎜ T; a⎟ , … ⎝4 ⎠
⎛3 ⎞ ⎛7 ⎞ ⎛ 11 ⎞ a nei punti: ⎜ T ; - a ⎟ , ⎜ T ; - a ⎟ , ⎜ T ; - a ⎟ , … ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠
NOTA Si parla di onda perché questo tipo di funzioni costituisce il modello più adatto per lo studio dei moti ondulatori come, ad esempio, quelli generati dalle oscillazioni di un corpo attorno a una posizione di equilibrio. Se un punto materiale di un mezzo elastico, come l’aria o l’acqua, è costretto a vibrare, tale vibrazione si propaga nelle immediate vicinanze del punto generando ciò che viene detta un’onda. Un esempio tipico si ha gettando un sasso nell’acqua di uno stagno. Nel punto in cui cade il sasso si produce una perturbazione: le molecole di acqua colpite dal sasso cominciano a oscillare coinvolgendo successivamente anche quelle che si trovano nelle immediate vicinanze. Insomma, la perturbazione prodotta in un punto si propaga sulla superficie dell’acqua. Tale propagazione costituisce un treno di onde. Un’onda, quindi, rappresenta la propagazione di un moto oscillatorio o vibratorio, il più semplice dei quali è quello armonico.
ESEMPI
1.
Rappresentare graficamente la funzione:
y = 2 sen5x.
Essendo una funzione in fase, il massimo si ha dopo il primo quarto di periodo e il minimo dopo tre quarti di periodo.
y
M
2
B P
Q
C
Il periodo è
A
O1
D
π
π
10
5
O
−2
3π x 10 N y = −2
circonferenza di raggio 2 con velocità angolare di 5 radianti al secondo (5 secondi. il punto
P
rad/s),
T=
2π
ω
=
2π 5
e l’ampiezza di oscillazione è 2. Si ha, cioè:
⎛π ⎞ M ⎜ ; 2⎟ ⎝ 10 ⎠ ⎛3 ⎞ N⎜ π ; − 2⎟ ⎝ 10 ⎠ Il punto P
descrive la se il tempo viene misurato in
A; muovendosi di moto circolare uniforme in senso antiorario, nel AB, nel secondo l’arco BC, nel terzo l’arco CD e nell’ultimo quarto l’arco DA. Dopo un periodo il punto P si trova nel punto A. Contemporaneamente la sua proiezione Q sul diametro BD si muove di moto armonico percorrendo il raggio O1 B nel primo quarto di periodo, il All’istante
0
y=2 2π 5
coincide col punto
primo quarto di periodo descrive l’arco
8
Funzione sinusoidale
Paolo Siviglia raggio BO1 nel secondo quarto di periodo, il raggio O1 D nel terzo quarto e il raggio periodo. All’istante 0 il punto Q è nel centro O1. Il punto P descrive tutta la circonferenza in
2π 5
DO1 nell’ultimo quarto di
secondi e il punto Q compie una oscillazione completa attorno al
punto O1 nello stesso tempo.
π⎞ ⎛ y = 2 sen⎜ 3x + ⎟. 5⎠ ⎝
2. Si ha:
a=2
(ampiezza di oscillazione)
ω=3
(pulsazione)
β= T= t0 =
π
(fase iniziale)
5 2π
ω
=
2π 3
(periodo)
β π = ω 15
(sfasamento temporale)
E”, E”’corrispondente 2 ⎤ ⎡ ⎢0, 3 π ⎥ . La linea tratteggiata, invece, rappresenta il grafico della corrispondente funzione in fase ⎦ ⎣
Il grafico della funzione è rappresentato dalla linea continua avente gli estremi nei punti all’intervallo
y B F
Q F’ E’
P
F” E E”
π
C O1 G
y=2
M
5 A O
G’ H’
π π 10 6
R
π 13 π 3 10
π
5 Q sul diametro BD coincide con E’.
2 x π 3
H” y = −2
N
D ∧
π S 2
G”
H
y = 2sen3x. Poiché E O1 A =
E”’
, all’istante zero si ha che P coincide con E e la sua proiezione ortogonale
Si divida il cerchio in quattro parti mediante i due diametri perpendicolari EG ed FH.
•
Nel primo quarto di periodo il punto P descrive l’arco EF di circonferenza, mentre Q va da E’ a
Funzione sinusoidale
9
B e da B a F’
Le ordinate dei punti dell’arco E”F” del grafico rappresentano le elongazioni del moto armonico durante tutto il primo quarto di periodo.
•
P descrive l’arco FG di circonferenza, mentre Q va da F’ a G’ Le ordinate dei punti dell’arco F”G” del grafico rappresentano le elongazioni del moto Nel secondo quarto di periodo il punto
armonico durante tutto il secondo quarto di periodo.
•
Nel terzo quarto di periodo il punto P descrive l’arco GH di circonferenza, mentre Q va da G’ a
D e da D a H’ Le ordinate dei punti dell’arco G”H” del grafico rappresentano le elongazioni del moto armonico durante tutto il terzo quarto di periodo. •
P descrive l’arco HE di circonferenza, mentre Q va da H’ a E’ Le ordinate dei punti dell’arco H”E’” del grafico rappresentano le elongazioni del Nell’ultimo quarto di periodo il punto
moto armonico durante tutto l’ultimo quarto di periodo. Come si vede, la funzione assume il valore massimo 2 nel corso del primo quarto di periodo, ossia con un anticipo di
π
15
rispetto alla corrispondente funzione in fase la quale, come si sa, lo raggiunge invece esattamente dopo il
primo quarto di periodo. Lo sfasamento temporale
π
rappresenta il tempo che avrebbe impiegato il punto P per
15
descrivere l’arco AE di circonferenza oppure quello del punto Q per portarsi da O1 a E’. Esso misura l’anticipo con cui il punto Q raggiunge la massima distanza dal centro di oscillazione O1 partendo da E’. Col medesimo anticipo avvengono le intersezioni con l’asse delle ascisse e il minimo della funzione. Si ha, così:
xM = xN = xR =
π 6
π 2
π 3
− − −
=
5π − 2π π = 30 10
⎛π ⎞ M ⎜ ; 2⎟ ⎝ 10 ⎠
=
15π − 2π 13 = π 30 30
⎛ 13 ⎞ N ⎜ π ; - 2⎟ ⎝ 30 ⎠
=
10π − 2π 4 = π 30 15
⎛4 ⎞ R⎜ π ; 0 ⎟ ⎝ 15 ⎠
π 15
π 15
π 15
π 10π − π 3 2 xS = π − = = π 3 15 15 5 yE " = yE "' = 2 sen
3.
π 5
⎞ ⎛3 S⎜ π ; 0⎟ ⎝5 ⎠
π⎞ ⎛ E"⎜ 0; 2 sen ⎟ 5⎠ ⎝
π⎞ ⎛2 E" ' ⎜ π ; 2 sen ⎟ 5⎠ ⎝3
π⎞ ⎛ y = 4 sen⎜ 5 x − ⎟. 7⎠ ⎝
Si proceda come nei casi precedenti, prendendo in considerazione il moto armonico che essa descrive. L’ampiezza
π
π
2 , il periodo è T = π . 7 35 5 Si indichi con P il punto che descrive la circonferenza di raggio 4 con moto circolare uniforme e con Q il punto che in corrispondenza si muove di moto armonico sul diametro BD della circonferenza. All’istante zero il punto P si trova in E e il punto Q in E’. Si considerino i diametri EG ed FH perpendicolari di oscillazione è 4, la pulsazione è 5, la fase iniziale è
fra loro.
10
Funzione sinusoidale
−
, il ritardo di fase è
Paolo Siviglia •
Nel primo quarto di periodo il punto P descrive l’arco EF di circonferenza, mentre Q va da E’ a
F’ Le ordinate dei punti dell’arco E”F” del grafico rappresentano le elongazioni del moto armonico durante tutto il primo quarto di periodo. •
P descrive l’arco FG di circonferenza, mentre Q va da dei punti dell’arco F”G” del grafico rappresentano le
Nel secondo quarto di periodo il punto
F’
a B e da B a G’ Le ordinate elongazioni del moto armonico durante tutto il secondo quarto di periodo.
•
P descrive l’arco GH di circonferenza, mentre Q va da G’ a H’ Le ordinate dei punti dell’arco G”H” del grafico rappresentano le elongazioni del moto Nel terzo quarto di periodo il punto
armonico durante tutto il terzo quarto di periodo.
•
Nell’ultimo quarto di periodo il punto
P descrive l’arco HE di circonferenza, mentre Q va da
H’
a D e da D a E’ Le ordinate dei punti dell’arco H”E’” del grafico rappresentano le elongazioni del moto armonico durante tutto l’ultimo quarto di periodo.
y
F
F’ G
G’ Q
C
F” G”
P −
O1
π
A O
7
E’ H
M
4
B
E
R E”
π
π
10
5
H’ −4
D
In questo caso il punto
2 π 5
3 π 10
S
x
E”’ H” N
Q raggiunge la massima distanza dal centro di oscillazione col ritardo di
π 35
, partendo da
E’. Si ha, così:
xM = xN =
π 10
π 35
=
7π + 2π 9 = π 70 70
π 3 21π + 2π 23 π+ = = π 10 35 70 70
xR = 0 + xS =
+
π 5
π 35
+
π 35
= =
π 35 7π + π 8 = π 35 35
⎛ π⎞ yE " = yE "' = 4 sen⎜ − ⎟ ≈ −1,74 ⎝ 7⎠
⎛ 9 ⎞ M ⎜ π ; 4⎟ ⎝ 70 ⎠ ⎛ 23 ⎞ N⎜ π ; - 4⎟ ⎝ 70 ⎠ ⎛π ⎞ R⎜ π ; 0 ⎟ ⎝ 35 ⎠ ⎛ 8 ⎞ S⎜ π ; 0⎟ ⎝ 35 ⎠ ⎛2 ⎞ E”(0; − 1,74), E" ' ⎜ π ; − 1,74 ⎟ ⎝5 ⎠ Funzione sinusoidale
11
3 ⎞ ⎛ y = 2 sen⎜ 3x + π ⎟. 4 ⎠ ⎝
4.
a=2
Si ha:
3 4
β= π
(ampiezza di oscillazione)
ω = 3 (pulsazione)
(fase iniziale)
T=
2π
2 = π (periodo) ω 3
Per trovare il minimo e il massimo della funzione, si risolvono le equazioni seguenti:
3 ⎞ ⎛ sen⎜ 3x + π ⎟ = −1 4 ⎠ ⎝ 3 3 3x + π = π + 2kπ 4 2 12x + 3π = 6π + 8kπ 12x = 3π +8kπ π 2 x = + kπ 4 3 Per k = 0, 1, 2, 3, …, si ottengono i seguenti valori: x=
π 11 ,
4 12
π,
19 π , ... 12
3 ⎞ ⎛ sen⎜ 3x + π ⎟ = 1 4 ⎠ ⎝ 3 1 3x + π = π + 2kπ 4 2 12x + 3π = 2π + 8kπ 12x = − π +8kπ π 2 x = − + kπ 12 3 x=−
π
7 5 π , π , ... 4 12 12 ,
y B
E
H
3 π 4
H’
E’
E”
π 3
C
AO
O1
F
−2
Poiché si considera l’intervallo
x=
π 4
,
⎡ 2 ⎤ ⎢0, 3 π ⎥, ⎦ ⎣
x=
7 π 12
Funzione sinusoidale
π
π
6
2
G’
F’
G D
12
M
2
N
le soluzioni accettabili sono rispettivamente:
Si ha, così:
⎛π ⎞ N ⎜ ; − 2⎟ ⎝4 ⎠
⎛7 ⎞ M ⎜ π ; 2⎟ ⎝ 12 ⎠
2 x π 3
Paolo Siviglia
Considerando il moto circolare uniforme di un punto P della circonferenza di centro O1 e raggio 2, essendo
3 π 4
la fase iniziale, all’istante iniziale zero esso si trova in E. Muovendosi in senso antiorario, percorre gli archi EF, FG, GH e HE, rispettivamente in un quarto di periodo. Ripetendo le medesime considerazioni fatte negli esempi precedenti, si giustifica il grafico della funzione data.
5.
5 ⎞ ⎛ y = 2 sen⎜ 5 x − π ⎟. 6 ⎠ ⎝
L’ampiezza di oscillazione è 2 e il periodo è
T =
2π
2 5 = π , la fase iniziale è β = − π . ω 5 6
Il diagramma può essere costruito in modo molto semplice.
⎡ 2 ⎤ ⎢⎣0, 5 π ⎥⎦ in quattro parti uguali e si considera il moto circolare uniforme del punto P che all’istante zero si trova in E. Mediante i due diametri perpendicolari EG ed FH si divide in cerchio in quattro
Si divide l’intervallo
parti uguali. Tenendo conto delle considerazioni fatte in precedenza, si possono determinare immediatamente alcuni punti del diagramma della funzione data..
y B
H
G
C
E
M
2
G’
π
π
10
5
E’
F D
O
A
5 − π 6
−2
H’
3 π 10
F’
2 π 5
x
E”
N
F’, G’, E”. Il minimo N della funzione si ha durante il primo quarto di periodo e il massimo M, invece, durante il terzo quarto di periodo. Infatti, il punto P passa per D nel primo quarto di periodo e per B nel terzo. La curva passa per i punti E’,
Le ascisse dei punti estremanti della curva si possono determinare risolvendo le due equazioni seguenti:
5 ⎞ ⎛ sen⎜ 5 x − π ⎟ = −1 6 ⎠ ⎝ 5 3 5x − π = π 6 2 30x − 5π = 9π 30x = 14π 7 x= π 15
5 ⎞ ⎛ sen⎜ 5 x − π ⎟ = 1 6 ⎠ ⎝ 5 1 5x − π = π 6 2 30x − 5π = 3π 30x = 8π 4 x= π 15 Funzione sinusoidale
13
L’ascissa
7 π 15
trovata si riferisce al minimo compreso nell’intervallo [T,
secondo passaggio del punto valore trovato. Si ha, così:
6.
P
per
D. L’ascissa del minimo disegnato si trova allora sottraendo un periodo dal
7 2 7π − 6π π π− π = = 15 5 15 15
xN =
2T], cioè a quello che corrisponde al
Quindi:
⎛π ⎞ N ⎜ ; − 2 ⎟, ⎝ 15 ⎠
⎛4 ⎞ M ⎜ π ; 2 ⎟. ⎝ 15 ⎠
y = cos 2x.
La funzione può essere messa sotto la forma:
π⎞ ⎛ y = cos 2 x = sen⎜ 2 x + ⎟ 2⎠ ⎝
Il periodo è:
T=
2π
ω
=
2π = π. 2
Il grafico si costruisce facilmente, seguendo le indicazioni degli esempi precedenti.
y B’ 1
B
B”
π 2
C
AO
O1
π
C’
π
4
−1
D
y
2
π
x
D’
7.
M
3
3 π 4
y = 6sen 8x cos 8x.
Ricordando le formule di duplicazione, la funzione può essere messa sotto la forma:
y = 3sen 16x.
π
π
3 π 32 16 32
π
x
8
−3
8. 14
f(x) =
è
T =
π
8
.
Poiché la funzione è in fase, essa raggiunge il suo massimo dopo il primo quarto di periodo e il minimo dopo tre quarti di periodo. Si ha, perciò:
N
⎛π ⎞ M ⎜ ; 3⎟ ⎝ 32 ⎠
L’ampiezza di oscillazione della funzione è 3 e il periodo
⎛ 3 ⎞ N ⎜ π ; - 3 ⎟. ⎝ 32 ⎠
3 sen 4x + cos 4x.
Funzione sinusoidale
Paolo Siviglia
La funzione data può essere espressa mediante una funzione sinusoidale di periodo
T =
l’ampiezza di oscillazione e con β la fase iniziale, si può scrivere:
π 2
.
Indicando con
a
3 sen 4x + cos 4x = a sen(4x + β) Applicando le formule di addizione, si ha:
3 sen 4x + cos 4x = a sen 4x cosβ + a sen β cos 4x Affinché i due membri siano identici, si deve avere:
⎧a sen β = 1 ⎨ ⎩a cos β = 3 Dividendo membro a membro, si ha:
tgβ =
1 3 π 5 = → β1 = , β 2 = − π . 3 6 6 3
Elevando al quadrato i membri delle due equazioni del sistema e sommando membro a membro, si ha:
a2(sen2β + cos2β) = 1 + 3 → a2 = 4 → a = 2 La funzione data può assumere allora una delle due forme:
π⎞ ⎛ f1 (x ) = 2 sen⎜ 4 x + ⎟ 6⎠ ⎝
oppure
5 ⎞ ⎛ f 2 ( x ) = 2 sen⎜ 4 x − π ⎟ 6 ⎠ ⎝
Per decidere quale delle funzioni trovate si debba prendere, si calcolino i valori delle tre funzioni per x Si ha:
Essendo
π
= 0.
1 = 1, 6 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 5 ⎞ f 2 (0) = 2 sen⎜ − π ⎟ = 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = −1. ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2⎠ f (0 ) = f1 (0 ), si ha: f(0) = 1,
f(x) =
f1 (0) = 2sen
= 2⋅
π⎞ ⎛ 3 sen 4 x + cos 4 x = 2 sen⎜ 4 x + ⎟ 6⎠ ⎝
A questo punto il diagramma può essere costruito facilmente. Le ascisse dei punti estremanti della curva si possono determinare risolvendo le due equazioni seguenti:
π⎞ ⎛ sen⎜ 4 x + ⎟ = −1 6⎠ ⎝ π 3 4 x + = π + 2kπ 6 2 x=
Si ha:
π 3
+k
π
2 ⎞ ⎛π N ⎜ ; − 2⎟ ⎠ ⎝3
π⎞ ⎛ sen⎜ 4 x + ⎟ = 1 6⎠ ⎝ 4x + x=
π 6
π 12
=
π 2
+k
+ 2kπ
π 2
⎞ ⎛π M ⎜ ; 2⎟ ⎝ 12 ⎠ Funzione sinusoidale
15
y 2
NOTA Una funzione lineare in seno e coseno del tipo
M
y = m sen ω x + + n cos ω x
1 O
π π
π π
12 8
4
−2
9.
3
3 π 8
x
π 2
può essere messa sotto la forma :
y = a sen (ω x + β), dove: a =
m2 + n2 ,
β = arctg
N
n . m
y = f(x) = sen2 x − 2 sen x cos x − 3cos2 x +5. 2
Moltiplicando il 5 per sen
x + cos2 x = 1, la funzione diviene:
y = f(x) = 6 sen2 x − 2 sen x cos x + 2 cos2 x Applicando le formule di bisezione del seno e del coseno e tenuto conto della formula di duplicazione del seno, si
ha:
y = f (x ) = 6 ⋅
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x − sen 2 x + 2 ⋅ 2 2
Eseguendo i calcoli e semplificando, si perviene alla funzione:
y = f(x) = − sen 2x − 2 cos 2x + 4. Posto:
⎧a cos β = −1 ⎨ ⎩a sen β = −2
e risolvendo il sistema, si trova:
tg β = 2 → β1 = 1,107 rad, β2 = −2,033 rad; a =
5.
La funzione data può essere espressa nel modo seguente: Posto:
y=
5 sen (2x −2,033) + 4.
Il grafico si ottiene traslando di 4 verso l’alto il diagramma della funzione sinusoidale
y=
5 sen (2x −2,033).
Per determinare l’ascissa del massimo, si risolve l’equazione:
sen (2x − 2,033) = 1 → 2 x − 2,033 = → 2x = 3,604 → x = 1,802. L’ordinata del massimo è:
16
Funzione sinusoidale
π 2
→ 2x − 2,033 = 1,571
Paolo Siviglia
yM = 5 + 4 ≈ 6,236
5 + 4).
Si ha, quindi: M(1,802;
Per determinare l’ascissa del minimo, si risolve l’equazione:
sen (2x − 2,033) = −1 → 2x − 2,033 = −
π
→ 2 2x − 2,033 = −1,571 → 2x = 0,462 → x = 0,231. L’ordinata del minimo è:
y
y N = 5 − 4 ≈ 1,764
M
y N = 5 − 4 ≈ 1,764 Si ha, quindi:
N O
10.
π
π
4
2
π
3 π 4
N(0,231; − 5 + 4).
x
Il periodo della funzione è
T = π.
y = f(x) = sen25x − cos25x.
La funzione può essere messa sotto la forma:
π⎞ ⎛ y = sen25x − cos25x = − cos10x = sen⎜10 − ⎟. 2⎠ ⎝ π 2π 2π π L’ampiezza di oscillazionee è 1, la fase iniziale è − , il periodo è: T = = = 2 ω 10 5 Il grafico si costruisce facilmente, seguendo le indicazioni degli esempi precedenti.
La funzione, essendo in ritardo
y
di fase di
M
1
−
π
O
2 −1
11.
N1
π
π
20
10
3 π 20
π 5 N2
π
2
,
parte dal minimo e raggiunge il massimo dopo mezzo periodo.
x
Si ha: N1(0;
−1)
⎛π ⎞ N 2 ⎜ ; − 1⎟ ⎝5 ⎠ ⎛π ⎞ M ⎜ ; 1⎟ ⎝ 10 ⎠
π⎞ ⎛ y = −3 cos⎜ 4 x − ⎟. 6⎠ ⎝ Funzione sinusoidale
17
π⎞ π π⎞ 2 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ y = −3 cos⎜ 4 x − ⎟ = 3sen⎜ 4 x − − ⎟ = 3sen⎜ 4 x − π ⎟ 6⎠ 6 2⎠ 3 ⎠ ⎝ ⎝ ⎝
Si ha:
L’ampiezza di oscillazione è 3;
y B
G
F O1
C
−
E
2 3
D
il
M
3
π 8
A
L
H E’
H’
T=
G’
π 4
F’
=
ω
2
x
E’’’
N
2 ⎞ ⎛ sen⎜ 4 x − π ⎟ = −1 3 ⎠ ⎝
2 ⎞ ⎛ sen⎜ 4 x − π ⎟ = 1 3 ⎠ ⎝
2 3 4 x − π = π + 2kπ 3 2
2 π 4 x − π = + 2kπ 3 2
24x − 4π = 9π + 12kπ
24x − 4π = 3π + 12kπ
24x = 13π + 12kπ
24x = 7π + 12kπ
Poiché
13 π π> 24 2
π 7 π +k 24 2
, l’ascissa del minimo nel primo periodo, si ottiene per k
xN =
Si ha:
x=
= −1.
13 π 13π − 12π π π− = = 24 2 24 24
Si ha, così:
⎛ 7 ⎞ ⎛π ⎞ M ⎜ π ; 3⎟ , N ⎜ ; - 3⎟ ⎝ 24 ⎠ ⎝ 24 ⎠ Intersezione con l’asse x. 2 ⎞ 2 ⎛ sen⎜ 4 x − π ⎟ = 0; 4 x − π = kπ ; 3 3 ⎠ ⎝ ⎛π ⎞ ⎛5 ⎞ L⎜ ; 0 ⎟ , Q ⎜ ; 0 ⎟ . ⎝6 ⎠ ⎝ 12 ⎠
18
Funzione sinusoidale
x=
π 6
+k
;
2 3
la curva passa per i punto E’, allo inizio del periodo; per H’, dopo il ’’’
π 13 π +k 24 2
2
è
β =− π;
primo quarto di periodo; per G’, dopo mezzo periodo; per F’, dopo il terzo quarto di periodo; per E del periodo. Le ascisse dei punti stremanti della curva si possono determinare risolvendo le due equazioni seguenti:
x=
π
la fase iniziale è
π
3 Q π 8
periodo
2π
π 4
, alla fine
Paolo Siviglia
Rappresentazione vettoriale delle funzioni sinusoidali
8.
y = a sen(ωx + β). Essa è caratterizzata dai tre parametri: a, ω, β. Sia data la funzione sinusoidale:
P
Si consideri un vettore rotante
→
z
A
β
• • •
z = OP
e siano:
ω la velocità angolare con cui il vettore ruota a il modulo; β la fase iniziale o anomalia del vettore. z = OP
Il vettore
attorno al punto O;
risulta così caratterizzato dagli stessi parametri della
funzione sinusoidale considerata. Si dice che il vettore z = OP costituisce la rappresentazione vettoriale della funzione sinusoidale data. Si può stabilire così una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei vettori rotanti e l’insieme delle funzioni sinusoidali.
ESEMPI
1.
Rappresentare vettorialmente la funzione y = 2sen(4x + 60°).
z O 60°
2.
Il vettore rappresentativo della funzione data è
P
→
velocità angolare
2
A
3.
il quale ruota con
ω = 4 rad/s.
Il modulo del vettore è 2 e la sua fase iniziale, o anomalia, è uguale a 60°.
z = OP, sapendo che la sua velocità angolare è ω = 7 rad/s, il modulo è uguale a 4 e la fase iniziale è β = − 120°.
Trovare la funzione sinusoidale rappresentata dal vettore
La funzione è: y
O P
z = OP,
─120°
= 4sen(7x −120°).
4 A
π⎞ ⎛ y1 = 2 sen⎜ 3 x + ⎟ 3⎠ ⎝ funzione y = y1 + y2. Date le funzioni:
e
π⎞ ⎛ y2 = 3 sen ⎜ 3 x + ⎟, 6⎠ ⎝
costruire il grafico della
I periodi delle due funzioni date sono uguali fra loro. Perciò la loro somma è una funzione periodica avente lo stesso
2 T = π. 3 y = y1 + y2,
periodo delle due funzioni componenti, il quale è: Per la rappresentazione grafica della funzione vettoriale.
è conveniente farne prima la rappresentazione
Funzione sinusoidale
19
y M P
P1 P2 O’
2
3
A
O
π
π
π
6
3
2
2 π 3
x
N
Se
OP1 e OP2
sono vettori rappresentativi delle due funzioni date, quello del vettore della loro somma è:
OP = OP1 + OP2 Poiché i vettori
OP1 e OP2
∧
P1 O P2
ruotano con la medesima velocità angolare, il loro angolo di sfasamento
costante durante il moto. Ciò significa che il modulo del vettore somma
OP
è costante. A tale vettore pertanto
rimane associata la funzione sinusoidale avente lo stesso periodo delle due funzioni date, perché anche con la stessa velocità angolare di
è
OP1 e OP2 , ampiezza di oscillazione uguale al modulo di OP
OP
ruota
e fase iniziale
∧
uguale all’angolo P OA . Approssimativamente, il grafico della funzione è quello rappresentato in figura.
Rappresentazione simbolica delle funzioni sinusoidali
9.
Come si è visto nel paragrafo precedente, ad ogni funzione sinusoidale vettore rotante
y = a sen(ωx + β) si può associare un
z = OP di modulo a, fase iniziale β e velocità angolare ω.
Poiché ad ogni vettore
z = OP può essere associato il numero complesso:
z = a eiβ = a(cos β + i sen β) = p + qi e viceversa, si può dire allora che una funzione sinusoidale è rappresentabile anche mediante un numero complesso. Il numero complesso associato a una funzione sinusoidale si dice rappresentazione
simbolica di questa.
La rappresentazione simbolica di una funzione sinusoidale è molto utile e comoda per la risoluzione di svariati problemi che si presentano soprattutto in campo tecnico.
20
Funzione sinusoidale
Paolo Siviglia
ESEMPI
1.
Determinare la rappresentazione simbolica della funzione
La funzione è rappresentata vettorialmente dal vettore
z = OP
π⎞ ⎛ y = 3 sen ⎜ x + ⎟. 6⎠ ⎝ avente modulo
3,
fase iniziale
β =
π 6
e
velocità angolare ω = 1. Il numero complesso associato al vettore z = OP è:
z = 3e
i
π
π π ⎞ ⎛ 3 1 ⎞⎟ 3 1 ⎛ = 3⎜ cos + i sen ⎟ = 3⎜⎜ 3 + i. + i⎟ = 6 6⎠ 2 ⎝ ⎝ 2 2 ⎠ 2
6
Il numero complesso trovato è la rappresentazione simbolica della funzione sinusoidale data.
2.
Determinare la funzione sinusoidale rappresentata simbolicamente dal numero complesso z = 2 + 3i e sapendo che la pulsazione è 4.
Si determina il modulo del numero complesso che, com’è noto, rappresenta l’ampiezza di oscillazione della funzione sinusoidale. Si ha:
a = 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Si trova ora l’anomalia del vettore associato al numero complesso, la quale rappresenta la fase iniziale della corrispondente funzione. Si ha:
tgβ =
3 → β = 0,98 rad 2
Risulta, così:
y = 13 sen(4x + 0,98)
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ y1 = 2 sen ⎜ 2 x + ⎟ e y2 = 4 sen ⎜ 2 x − ⎟ , determinare le 3⎠ 6⎠ 3. ⎝ ⎝ funzioni: f(x) = y1 + y2 e g(x) = y1 − y2. Indicando rispettivamente con z1 e z2 le rappresentazioni simboliche delle due funzioni date, si ha: Date le funzioni sinusoidali:
z1 = 2 e
i
z2 = 4 e
π 3
⎛1 3 ⎞ π π⎞ ⎛ = 2⎜ cos + i sen ⎟ = 2⎜⎜ + i ⎟⎟ = 1 + 3 i 3 3⎠ ⎝ ⎝2 2 ⎠
⎛ π⎞ i⎜ − ⎟ ⎝ 6⎠
⎛ 3 1 ⎞ ⎡ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎤ = 4⎢cos⎜ − ⎟ + i sen⎜ − ⎟⎥ = 4⎜⎜ − i ⎟⎟ = 2 3 − 2 i. 6 6 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝
Si trovano ora la somma e la differenza dei due numeri complessi z1 e z2 . Si ha:
( = (1 +
) ( 3 i ) − (2
) ( ) ( 3 − 2)i 3 − 2i ) = (1 − 2 3 ) + ( 3 + 2 ) i
z1 + z 2 = 1 + 3 i + 2 3 − 2i = 1 + 2 3 + z1 − z 2
I loro moduli sono, rispettivamente:
z1 + z 2 = z1 − z 2 =
(1 + 2 3 ) + ( 3 − 2) (1 − 2 3 ) + ( 3 + 2) 2
2
= 20 = 2 5
2
2
= 20 = 2 5
Indicando con β1 e β2 le anomalie della somma e della differenza dei due numeri complessi z1 e z2, si ha:
Funzione sinusoidale
21
tgβ 1 =
1+ 2 3 3+2
=
( (
)(
)
)(
)
3 − 2 2 3 −1 6 − 3 − 4 3 + 2 8 − 5 3 = = ≈ −0,06 12 − 1 11 11
3 + 2 1+ 2 3 3 +6+2+4 3 8+5 3 ≈ −1,52 = = 1 − 12 − 11 − 11 1− 2 3 β1 = − 0,06 rad oppure β1 = −3°26’6” β2 = 2,15 rad oppure β2 = 123°20’26” tgβ 2 =
Risulta:
=
f ( x ) = y1 + y2 = 2 5 sen (2 x − 0,06 ) , g (x ) = y1 − y2 = 2 5 sen (2 x + 2,15)
Si ha, così:
4.
3−2
Data la funzione sinusoidale
z = 2 − 3i,
y = f(x),
rappresentata simbolicamente dal numero complesso
determinare la funzione sinusoidale
g(x),
sfasata di
30°
rispetto a
f(x)
e di uguale
ampiezza.
Vettorialmente, il problema si risolve nel modo seguente: Sia
z = OP
il vettore rappresentativo del numero complesso
Ruotando questo vettore di
30°
z = 2 − 3i
z1 = OP1
in senso positivo, si ottiene il vettore
rappresentazione vettoriale della funzione
g(x) cercata.
bisogna applicare un operatore di rotazione al vettore
Indicando con
z1 = OP1 ,
z = OP . Poiché gli operatori di rotazione sono i numeri
z1 = OP1 complesso z = 2 − 3i per il numero complesso di modulo 1 e di anomalia 30°: 3 1 ei30° = cos 30° + i sen 30° = + i. 2 2
Si ha, cioè:
f(x).
il quale costituisce la
Simbolicamente, per ottenere il vettore
complessi, per ottenere la rappresentazione simbolica del vettore
L’operatore deve avere modulo 1 perché del vettore ossia non si desidera alterare il modulo.
e, quindi, della funzione
z = OP
basta moltiplicare il numero
si vuole realizzare semplicemente una rotazione,
z1 = ei 30° z
z1 il numero complesso associato al vettore z1 , si ha: ⎛ 3 1 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ + i ⎟⎟(2 − 3i ) = ⎜ + 3 ⎟ + ⎜1 − z1 = e i 30° z = ⎜⎜ 3⎟i ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠
Poiché i vettori
z
e
z1
hanno lo stesso modulo, si ha:
z1 = z = 2 2 + 32 = 4 + 9 = 13. Si calcoli l’anomalia del vettore
z1
z1.
3 3 2−3 3 2 − 3 3 3 − 2 3 13 3 − 24 2 tgβ1 = = ≈ −0,49 → = = 3 9 − 12 3 3 + 2 3 + 3 2 → β1 = −0,46 rad . 1−
Si ha:
Si trova, così:
22
rappresentato dal numero complesso
Funzione sinusoidale
(
)(
)
Paolo Siviglia
g(x) = 13 sen(ωx − 0,46). Trovare
5.
la
funzione
π⎞ ⎛ f ( x ) = 2 sen ⎜ 3 x + ⎟ 6⎠ ⎝
Il vettore
z = 2e
π i 6
z = OP
g(x)
sinusoidale
sfasata
di
2 − π 3
⎛ 3 1 ⎞ π π⎞ ⎛ = 2⎜ cos + i sen ⎟ = 2⎜⎜ + i ⎟⎟ = 3 + i 6 6⎠ ⎝ ⎝ 2 2 ⎠
g(x)
numero complesso di modulo 2 e anomalia ⎛ 2 ⎞ i⎜ − π ⎟ 3 ⎠
2e ⎝
f(x),
funzione
mentre il numero complesso
ne è la rappresentazione simbolica. Il
che si deve trovare si ottiene operando sul vettore
z = OP
con un
2 − π , ossia l’operatore: 3
⎛ 1 ⎡ ⎛ 2 ⎞ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎤ = 2 ⎢cos⎜ − π ⎟ + isen⎜ − π ⎟⎥ = 2⎜⎜ − − i ⎟⎟ = −1 − 3 i. 2 2 ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠ Indicando rispettivamente con z1 = OP1 e con z1 la rappresentazione vettoriale e simbolica della funzione g(x) cercata, si deve avere:
y
z1 = OP1 = e P
z
O
⎛ 2 ⎞ i⎜ − π ⎟ 3 ⎠
2
z1 = e ⎝
x
4
⎛ 2 ⎞ i⎜ − π ⎟ ⎝ 3 ⎠
z=e
⎛ 2 ⎞ i⎜ − π ⎟ ⎝ 3 ⎠
(
z = − 1 − 3i
)(
OP
)
3+i =
= − 3 − i − 3i + 3 = −4i. π Essendo − l’anomalia del numero complesso 2 P1 trovato e 4 il suo modulo, la funzione g(x) è: π⎞ ⎛ g ( x ) = 4 sen ⎜ 3 x − ⎟. 2⎠ ⎝ Decomporre la funzione sinusoidale: y = 4 sen(7x + 150°) in due altre aventi fasi iniziali 60° e − 150°. − 2π 3
z1
6.
alla
e di ampiezza doppia.
è la rappresentazione vettoriale della funzione data
vettore rappresentativo della funzione
rispetto
OP il vettore rappresentativo della funzione data. Per il punto O si conducano le rette r e s inclinate rispetto all’asse x rispettivamente 60° e − 150°. Siano P1 e P2 i punti che si ottengono, rispettivamente su tali rette, conducendo le parallele alle stesse dal punto P.
Sia
I vettori
(1)
OP1 + OP2 = OP
Risulta:
OP1
e
OP2
costituiscono, rispettivamente, le rappresentazioni vettoriali delle due funzioni da trovare. Di
tali vettori si conoscono soltanto le anomalie che sono rispettivamente numeri complessi associati ai vettori
OP1
e
OP2
e con
60° e − 150°.
Indicando con z1 e z2 i
p e q i loro rispettivi moduli, si ha: Funzione sinusoidale
23
⎛1 3 ⎞ 1 3 z1 = p ei60° = p(cos 60° + I sen 60°) = p⎜⎜ + i ⎟⎟ = p + pi 2 ⎝2 2 ⎠ 2
z2 = q ei(−150°) = q[cos(− 150°) + i sen (− 150°)] = ⎛ 3 1 ⎞ 3 1 q − qi = q⎜⎜ − − i ⎟⎟ = − 2 2 ⎝ 2 2 ⎠ Indicando con z il numero complesso associato al vettore
OP , si ha:
⎛ 3 1 ⎞ z = 4 ei150° = 4(cos 150° + i sen 150°) = 4⎜⎜ − + i ⎟⎟ = − 2 3 + 2i 2 2 ⎠ ⎝ Per la (1), si ha:
⎛1 3 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎜ p+ ⎟ + ⎜− ⎟ pi ⎜2 ⎟ ⎜ 2 − 2 qi ⎟ = −2 3 + 2i 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 3 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎜ p− ⎟+⎜ q p − q ⎟⎟ i = −2 3 + 2i ⎜2 ⎟ ⎜ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ossia:
Per la relazione di uguaglianza di due numeri complessi, si ha il sistema:
⎧1 3 q = −2 3 ⎪ p− ⎪2 2 ⎨ ⎪ 3 p−1q = 2 ⎪⎩ 2 2
y r P1 P
Risolvendo il sistema, si trova:
150°
p=4 3
O − 150° s
P2
q = 8.
Perciò, si ha:
60° 4 4 3
e
8
x
z1 = 4 3 ei60° e z2 = 8 ei(−150°) I due numeri complessi trovati sono le rappresentazioni simboliche delle due funzioni sinusoidali:
y = 4 3 sen (7x + 60°) e y = 8 sen (7x − 150°). In cui viene decomposta la funzione data secondo le direzioni r e s.
24
Funzione sinusoidale
