Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
Kommentarer till inlämningsuppgift 1. Inledning. Inlämningsuppgift 1 i Matematisk kommunikation rättas genom att ge ut en lista med typfel. Har man fått godkänt sin lösning, får man tillbaka pappersversionen i utlämningsfacket (märkt “Matematisk kommunikation”) i den vita hyllan mittemot MH:333. Har man däremot fått “rest” på sin lösning, bör denna rättas till enligt typfelslistan (övriga fel bör naturligtvis också rättas, t.ex. stavfel.) Pappersversionerna återlämnas i takt med att lösningar godkänns. En fördel med att lämna kommentarer till inlämningsuppgifterna på detta sättet (fjärde gången jag använder metoden!) är att ni studenter kan lära av varandras fel istället för bara av egna. Ett av de pedagogiska målen med detta sätt att rätta lösningarne är att aktivera er genom tydligare och mera enhetlig återkoppling. Nedan kommer en lista med typiska fel som förekommer i era inlämnade lösningar. Att felen är typiska betyder att alla som inte fått godkänt i första omgång har gjort minns ett av dessa fel (eller en variant av samma). Innan ni sätter i gång med att rätta: Jag vill be er läsa igenom er egen lösning en gång och se på den med friska ögon. Förstår ni fortfarande er egen text? Under genomläsningen får ni gärna markera eventuella fel, oklarheter eller tveksamheter som ni hittar. Ni kan sen jämföra ert rättningsförslag med min lista nedan och se om de finns överlapp. Jag har delat in kommentarerna i fem kategorier: 1) Logiska fel och brister, 2) Disposition och det matematiska språket, 3) Den matematiska framställningen, 4) språket i allmänhet och 5) LATEX. Många av mina kommentarar kan uppfattas som enbart kritiska! Anledning till det är att det tar väldigt lång tid att sammanfatta och skriva alla kommentarer. Därför finns inte alltid ork skriva ner beröm där det har varit befogat. Jag ber om ursäkt för detta! Bra och intressanta lösningsvarianter finns båda bland de lösningar som blivit godkända och bland dom som inte blivit det! Deadline för inlämning av uppdaterad version av lösningen: Måndag 12 december 2016 (hela dagen). Bedömning. Godkända: Adham Sakhnini, Edvin Olsson Nästan godkända: Birger Balkenius, Robin Bernståhle, Josefin Johansson, Viktoria Xing, Emelie Messelt, Ida Buhre, Olle Eriksson, Iris Leo Einarsson Rest: Alla övriga. (Nej, ni är inte ovanligt många!) 14 november 2016
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
De som är nästan godkända har bara de trivialast tänkbara brister i deras framställning (se ändå listan nedan) och behöver endast rätta till dessa. Övriga “rest” behöver göra mera genomgripande ändringar i deras lösningar. 0. Risk för plagiering. Jag har sett några fall där par av lösningar har slående likheter med varandra. Lösningarnas uppbyggnad, förekommande felaktigheter och textens layout har varit precis samma oavsett att skillnader i språklig formulering och andra detaljer skiljer sig åt. Givitvis är det tillåtet att diskutera lösningsmetoder sinsemellan, men det står beskrivit i uppgiftsformuleringen att varje elev lämnar in en personlig lösning. Det jag har sett gränser till brist i självständighet och jag hoppas att det rättas till i samband med justering av övriga fel. Brist i självständighet ingår som ett av flera element i definitionen av plagiering. Jag tror inte någon har för haft för avsikt att fuska! Det är dock bäst att undvika att blotta misstanken kan uppstå. Alltså, gör inte om det! 1. Matematiska fel och brister. • Det är sympatiskt och klokt att ge exempel. Att “bevisa” en sats enbart genom exempel har inte varit acceptabelt sen Euklides tid! • Vissa blandar ihop beteckningen för en mängd (t.ex. bokstaven P för mängden av primtal och så element i mängden: “Låt P vara ett primtal.” Jag tycker man ska säga, t.ex., “Låt p vara ett element i P” eller “Låt p ∈ P.” (LATEX : \in ger tecknet för tillhörighet ∈.) • Jag har sett fel i definitionen av primtal, där man glömmer utesluta talet ett som ett primtal. Jag har dessutom sett fel i definitionen av begreppet delbarhet. Kolla noga. • Observera att 0 är talet noll medans {0} betecknar mängden som består utav talet noll. Vi skiljer på mängder och deras element genom beteckningarna 0 ∈ N0 och {0} ⊂ N0 . (Alltså “0 är ett element i N0 ” och “{0} är en delmängd av N0 .”) • En del glömmer att påpeka att deras lösning, t.ex. x = ( n + 1)/2 och y = ( n − 1)/2, är en heltalslösning. • I fallet då man antar att n är ett primtal finns det flera som anger argument som jag finner oklara, otydliga, indirekta eller okonkreta. Vissa påpekar att x + y = n och x − y = 1 är enda möjligheten och att det därför finns precis en lösning. Men varför det? Andra anger att lösningen är talparret ( y + 1, y) och att den är entydig. Varför? Vad blir y? Är det inte mycket enklare och tydligare att bara ange lösningen explicit (se punkten ovan)? 14 november 2016
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
• Beteckningen ( x, y) ∈ N0 är inte bra. Korrekt är x ∈ N0 , y ∈ N0 eller x, y ∈ N0 (som är en kortform av föregående skrivsättet) eller ( x, y) ∈ N0 × N0 , som i uppgiftsformuleringen. Alla är lika acceptabla. • Man behöver (verkligen) inte redovisa alla räknestegen, och referera till gausselimination, när man löser enkla ekvationssystem (två ekvationer, två obekanta). De flesta kan göra det i huvudet om de vill! Man behöver enbart ange att x + y = n, x − y = 1 är ekvivalent med x = ( n + 1)/2, y = ( n − 1)/2, där vi har valt exemplet ovanför som illustration. • Då n = ab, n > a ≥ b > 1, ger en beräkning lösningen x = (a + b)/2, y = (a.b)/2 till den betraktade ekvationen. Man bör verificera att denna lösning skiljer sig från den redan kända lösningen x = ( n + 1)/2, y = ( n − 1)/2. • Vi arbetar i denna uppgift bara med icke-negativa tal och positiva primtal. Därför behöver man enbart tänka på positiva delare när man t.ex. definierar primtal och sammansatta tal. Man behöver med andra ord inte ta med minustecknet när man skriver “talet p kallas ett primtal om det endast kan delas med ±1 eller med ± p,” eller i andra sammanhang. • En del omformuleringar m.h.a. kontrapositivitet har blivit antingen otydliga eller felaktiga. (Termen “transpositionsbevis” är ny för mig. Jag och Aleksis har dubbelkollat. Vi har lärt oss något nytt och accepterar termen.) • Det finns ofta kvar en massa onödiga parenteser som, tycker jag, försvårar läsningen. Här är ett typiskt exempel där parenteserna inte ger någor alls: ½ ½ ( x + y) = n x+ y= n fast det är bättre med . ( x − y) = 1 x− y=1 Parenteserna hänger troligtvis med från konjugatuttrycket ( x + y)( x − y) = n. Det finns flera liknande exempel. Onödiga parenteser dyker upp lite här och var! • Om man skriver n = ab, a ≥ b, har jag sett följande uppskrivit: ( ³ a + b ´2 ³ a − b ´2 x = (a + b)/2 − ⇐⇒ . n= 2 2 y = (a − b)/2 Här begås två fel: 1) Vänsterledet refererar inte alls till x och y, vilket högerledet gör, så hur ska ekvivalenspilen tolkas då? 2) Rent matematisk (och med välvillig tolkning) är påståendet ändå falskt; enbart 14 november 2016
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
implikation åt vänster (⇐) är sann. Den senare kritikpunkten leder till att vi inte med säkerhet har visat påståendet “om n är ett promtal finns högst en lösning till ekvationen x2 − y2 = n.” • Några försöker beräkna det totala antalet positiva heltalslösningar till vår ekvation genom att dela upp n i primtalsfaktorer. Dessa uppslag är intressanta men ett försök fallerar på felet att man tror att n = p 1 p 2 . . . p k där p i alla är skilda primtal. Det andra försöket är formellt korrekt, men argumenter var så pass oklart att jag först trodde det efter att ha dubbelcheckat det själv (alltså jag fick göra en stor del av arbetet!) ... Men, som sagt, jag giller att man försöker! 2. Det matematiska språket och lösningens disposition. • Introducera gärna definitioner och nya symboler tidigt i texten. Symbolen för de naturliga talen N, alternativt N eller N , kan vi anta är känd och förstått av de flesta. Övriga symboler bör presenteras i anslutning till att de används första gången (innan eller omedelbart efter). Det samma kan sägas om definitioner (som definitionen av primtal.) • Undvik förkortningar. Jag tycker t.ex. att man bör skriva “vänsterledet” och “högerledet” istället för VL och HL. (Det senare är bra när man gör presentationer på tavlan eller med PowerPoint ... men det är också ett annat medium!) • Jag tycker inte det ska vara nödvändigt att visa enklare påståenden som t.ex. konjugatregeln eller att ett udda tal enbart kan ha udda divisorer. (Korta ner era framställningar genom att ta bort eventuella sådana bevis.) • Använd inte fetstil i formler utom i speciella fall (vektorer, talmängder,...) • Även om man skriver x2 − y2 = ( x + y)( x − y) istället för ( x + y)( x − y) = x2 − y2 heter det fortfarande konjugatregeln och inte “omvända konjugatregeln”. • När man ska formulera en sats eller ett lemma, skriv då antagandet först (Om...) och konklusionen sen (så är...). Mönstret kan brytas, men inte gärna utan anledning eller medveten intention. • Punkt eller komma även efter formler om grammatiken kräver så. Inleda aldrig en mening med en matematisk symbol eller ett variabelnamn. 14 november 2016
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
Här är en intressant formulering som jag sett: “Låt n beteckna alla udda heltal större än ett.” Frångan man kan ställa sig är om n betecknar en mängd av tal, och hur man i givet fall tolkar ekvationen
x2 − y2 = n, eller om n är ett enda bestämd tal och vad man i så fall ska lägga i ordet “alla”. • Avnitt med rubriken “Slutsats” är mycket sällsynta i matematiken. (Matematiken har inga slutsatser, bara satser!) Skriv hellre ett sammanfattande stycke, t.ex. “Lemma 1 och lemma 2 tillsammans viser ekvivalensen av ‘A’ och ‘B’, vilket är påståendet i satsen.” • Ibland följs rubriken “Lemma” av ett resonerande stycke där man inte enkelt kan se vad som är antagandet (Om...) och vad som är slutsatsen (sä är...). • I en kort text som denna, där det som oftast bara finns en definition, en sats, ett lemma och ett bevis (dock i flera steg) behöver man inte numrera dessa. Man kan ju referera genom att beskriva istället för genom att ange ett nummer. • Akta er för onödiga och tröttsamma upprepningar! Utnyttja möjligheten att referera bakåt i texten istället. 3. Språket iövrigt. • Det är ovanligt att använda personliga pronomen “jag” i matematisk prosa. Det gängse sättet är att använda “vi” (på det inkluderande sättet “du, läsaren, och jag, författaren”) eller att använda passivform. • Använd heller kursiverad text för att framhäva ord eller fraser istället för understrykning, som är så fult! • Många lösningar styckas upp i otaliga avsnitt alla försedda med (ibland ganska långa) rubriker. Humanister tycker att användandet av rubriker sä som att skrika! Vi vill inte vara sämre än humanisterna, så försök gärna minimera antalet avsnitt. Dela istället upp i stycken. • Rubriker, när dom används, ska tala om innehållet i det efterföljande avsnitt. Rubriken ska inte ersätta text i avsnittet, utan avsnittet bör kunna stå själv. Om t.ex. rubriken annonserar “Fallet då n är ett primtal,” då bör detta antagande även framgå av avsnittets text.
14 november 2016
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
4. LATEX • Formler, symboler och variabler skrivna i löpande text ska också skrivas i LATEXformel miljö som t.ex. x = 1 istället för x=1 eller n istället för n. Använd samma kommandostruktur som i $x=1$. • Akta er för (ofrivilliga) textindragningar precis efter formler i fristående läge! Lämna inte mellenrum efter \[...\] eller $$...$$, beroende på vad man föredrar att använda. • Använd ⇐⇒ istället för ←→, dvs. \Longleftrightarrow med stort “L” istället för \longleftrightarrow. Samma med implikationer, ⇒ (\Rightarrow) istället för → (\rightarrow), et cetera. • För att skriva satsen Sats. Låt n beteckna ett udda heltal som är större än ett. Då har ekvationen x2 − y2 = n (1) precis en lösning ( x, y) ∈ N 0 × N 0 , om och endast om n är ett primtal. har jag använt följande LATEX-kommandon:
\begin{sats} Låt $n$ beteckna ett udda heltal som är större än ett. Då har ekvationen \begin{equation}\label{ekv} x^2-y^2 = n \end{equation} precis en lösning $(x,y)\in\boldsymbol{N}_0\times \boldsymbol{N}_0$, om och endast om $n$ är ett primtal. \end{sats} I preamble läggs det nödvändiga \newtheorem*{sats}{Sats}, som skapar en sats-miljö med titeln “Sats” istället för “Theorem”. En motsvarande miljö för lemman kan skapas med: \newtheorem*{sats}{Lemma}. Här numreras lemman tillsammans med satserna (även om * efter \newtheorem gör så att man inte skriver ut satsnummer. Numrering fås genom att ta bort *.) • En bevismiljö som här: Bevis. Blaha, blaha, blaha,... och beviset är färdigt. 14 november 2016
Niels Chr. Overgaard
Matematisk kommunikation för Π
fås genom kommandot
\begin{proof} Blaha, blaha, blaha,... och beviset är färdigt. \end{proof}
14 november 2016
