Exempelsamling Kvantfysik o h Tillampad Kvantfysik FUF040 + TIF100 HT2006 Institutionerna for teknisk fysik o h fundamental fysik Chalmers tekniska hogskola Senast redigerat av Elsebeth S hroder, Teknisk fysik, 2006.
i
ii
I KLASSISK FYSIK OCH KVANTFYSIK
I.1
I ett katodstraleror a
elereras elektronerna genom en spanning pa 100 V o h far darefter passera mellan tva kvadratiska kondensatorplattor, som har kantlangden 20 mm o h be nner sig pa avstandet 10 mm fran varandra. Elektronstralen tra ar slutligen en oures erande skarm belagen 300 mm fran kondensatorns mitt. Kondensatorn ansluts i serie med en spole till en vaxelstromsgenerator. Spolen har induktansen 1.0 H o h resistansen 1.0 k . Generatorn levererar vaxelspanning med frekvensen 0.50 MHz o h den e ektiva spanningen 10 V. Berakna amplituden for elektronstralens rorelse pa skarmen.
I.2
For att bestamma forhallandet mellan massa o h laddning for elektroner lat man en elektronstrale infalla vinkelratt mot korsade (mot varandra vinkelrata) elektriska o h magnetiska falt. Apparaturen hade foljande dimensioner: Avstandet mellan kondensatorplattornas mittpunkt o h skarm = 320 mm, plattornas langd = 80 mm, avstandet mellan plattorna = 25 mm. Nar spanningen mellan plattorna var 1100 V o h magnetfaltets styrka 12.50 10 4 Vs/m2 passerade elektronerna apparaturen utan att avbojas. Nar magnetfaltet togs bort tra ade stralen skarmen 158 mm fran foregaende lage. Berakna e/m. For my ket noggrann bestamning av elektronens spe i ka laddning (q/m) anvands en anordning enligt bilden. Elektroner a
elereras genom potentialskillnaden U, o h en avblandad strale av elektroner far genomga det transversella elektriska faltet i tva sma kondensatorer C1 o h C2 pa avstandet L fran varandra, vilka matas med vaxelspanning av frekvensen . Vid vissa varden pa kan stralen oavbojd na fram till anordningens detektoranda. a/ Sok q/m uttry kt i kanda storheter. b/ Antag att U=1.00 kV, L=200 mm o h anvand tabellvarde for q/m; vilka varden pa tillater elektronstralen att na fram till detektorn?
I.3
L G
C1
K
~ U -
+
1
C2
I.4
I.5
I.6
Den elektriska laddningen hos en oljedroppe bestamdes pa foljande satt (Millikans metod). Oljedroppen befann sig i det luftfyllda mellanrummet mellan tva horisontella metallplattor, pla erade pa avstandet 6.33 mm fran varandra. Oljedroppens hastighet bestamdes genom observationer med mikroskop. I franvaro av elektriskt falt foll droppen med den konstanta hastigheten 0.103 mm/s. Nar en spanning pa 450 V lades mellan plattorna steg samma droppe uppat med en konstant hastighet pa 0.107 mm/s. Droppens densitet var 876 kg/m3. Under de aktuella forhallandena har luft densiteten 1.0 kg/m3 o h viskositeten 1.82 10 5 Ns/m2. Berakna droppens laddning. Ar 1911 utforde Rutherford spridningsexperiment med -partiklar mot tunna guldfolier. Han fann da att overraskande manga -partiklar spreds my ket kraftigt, en del till o h med i bakatriktningen. Harav drog Rutherford slutsatsen att huvuddelen av massan hos en atom ar lokaliserad till en my ket liten, positivt laddad karna. Antag att en -partikel med den kinetiska energin 5.0 MeV infaller rakt mot en guldatoms karna. Hur nara kommer -partikeln innan den studsar tillbaka? En -partikel med den kinetiska energin 7.68 MeV sprids mot karnan av en kopparatom. Vid spridningen andras -partikelns rorelseriktning med 90Æ. Berakna stotparametern b, dvs det avstand pa vilket -partikeln skulle passerat karnan om den inte avbojts! Ledning: Anv and garna formlerna for entralrorelse i mekanik!
b Cu
I.7
Ar 1911 lade Rutherford fram en modell for atomen. Enligt denna modell roterar elektronerna kring karnan pa ett liknande satt som planeterna roterar kring solen. Ett sadant system ar emellertid inte stabilt eftersom elektronerna skulle ramla in mot karnan under utsandandet av elektromagnetisk stralning. Berakna hur lang tid det skulle ta for elektronen i en vateatom i grundtillstandet att ramla i till protonen. Ledning: En laddning q som a
elereras med a
elerationen a uts ander elektromagnetisk stralning med den totala e ekten, I = a2 q2=(60 3 ).
2
II ENERGINS KVANTISERING
II.1
Plan ks stralningslag sager att energitatheten per vaglangdsintervall for den elektromagnetiska stralningen i ett halrum anges av funktionen 1 h 8 h 1 exp u (; T ) = !
"
II.2 II.3 II.4 II.5 II.6 II.7
5
kB T
Vid vilken vaglangd ar energitatheten per vaglangdsintervall maximal? Solstralningens energitathet per vaglangdsintervall ar maximal vid vaglangden 0.5 m. Uppskatta solens yttemperatur! Vid analys av ljusstralningen fran Sirius, som ar den ljusstarkaste stjarnan pa natthimlen, nner man att den utstralade e ekten per vaglangdsenhet har maximum vid vaglangden 0.26 m. Hur hog ar temperaturen pa ytan av Sirius? Man har funnit att universum ar uppfyllt av elektromagnetisk stralning, som ar spektralfordelad enligt Plan ks stralningslag med en temperatur av ungefar 3 K. Denna kosmiska bakgrundsstralning anses vara kvar fran \the big bang". Vid vilken vaglangd ar bakgrundsstralningens energitathet maximal? Den utstralade e ekten per vaglangdsenhet fran en svart kropp med temperaturen 1185ÆC ar maximal vid vaglangden 2.0 m. Vid vilken vaglangd blir stralningse ekten maximal om temperaturen hojs till 1900ÆC? For att beskriva spektralfordelningen hos halrumsstralning kan man ange antingen energitatheten per vaglangdsenhet u (; T ) eller energitatheten per frekvensenhet u (; T ). Harled sambandet mellan dess tva funktioner! Plan ks stralningslag sager att energitatheten per frekvensintervall for den elektromagnetiska stralningen i ett halrum anges av funktionen 1 8 h 3 h u (; T ) = 1 : exp !
"
II.8
#
3
#
kB T
Vid vilken frekvens ar energitatheten per frekvensintervall maximal? Vidstaende gur visar stralningsintensiteten for en svartkropp eller fran ett halrum for nagra temperaturer. Vilken enhet har anvants pa den horisontella axeln? intensitet
2000 K
1500 K
1000 K 1
II.9
2
3
En glodlampa som tillfors e ekten 25 W har glodtradstemperaturen 2400 K. Vad blir denna temperatur om den tillforda e ekten okas till 40 W? Glodtradens yta kan ur stralningssynpunkt betraktas som svart o h den tillforda e ekten kan i sin helhet anses omvandlad i stralning. 3
II.10
II.11
II.12
En ni keltrad med langden 1.302 m o h diametern 0.326 mm svartas o h pla eras langs axeln pa ett evakuerat glasror. Traden ansluts till en likspanningskalla, ett variabelt motstand, en amperemeter o h en voltmeter. Strommen genom ni keltraden okas till dess att, i det ogonbli k ni keltraden just borjar smalta, amperemeteravlasningen ar 20.0 A o h voltmeteravlasningen 33.9 V. Om man antar att all den tillforda e ekten utstralas o h att utstralningen fran glasroret ar forsumbar kan ni kelns smaltpunkt beraknas. Utfor denna berakning. B/ En zinkskiva ar kopplad till ett elektroskop. I A/ glas forsok A o h B ar elektroskopet positivt ladzink zink dat, i C o h D negativt laddat. En kvi ksilverlampa som utsander ultraviolett stralning + + + + +++ +++ +++ +++ belyser zinkplattan. I forsok B o h D ar en glasskiva pla erad framfor zinkplattan. Det C/ D/ glas visar sig att vid ett av forsoken minskar elektroskopets utslag, i de tre ovriga blir utslaget zink zink oforandrat. I vilket av de fyra forsoken min-- ---- --skar utslaget? --Vidstaende gur visar fototstrommen som funktion av anodspanningen for en foto ell. Vad ar skillnaden i de experimentella forhallandena mellan kurva A o h kurva B?
" Fotostrom B A
" Anodspanning
II.13
Vidstaende gur visar fototstrommen som funktion av anodspanningen for en foto ell. Vad ar skillnaden i de experimentella forhallandena mellan kurva A o h kurva B?
" Fotostrom B A
" Anodspanning
II.14
Uttradesarbetet for ledningselektronerna i kal ium ar 3.20 eV. Vilken ar den storsta mojliga vaglangden for ljus som ger upphov till fotoelektrisk e ekt hos kal ium?
4
II.15
II.16 II.17 II.18 II.19 II.20
II.21
For vilka av amnena i tabellen ar det mojligt att erhalla fotoelektrisk e ekt vid bestralning med ljus i det synliga omradet (400 nm { 700 nm)? A mne Uttradesarbete [eV℄ Cs 1.91 K 2.24 Na 2.46 Al 2.81 Ca 3.20 Cd 4.00 W 4.50 Ag 4.61 Pt 6.30 Den maximala vaglangd for vilken fotoelektrisk e ekt ar mojlig i volfram ar 230 nm. Bestam maximala energin o h maximala hastigheten pa de elektroner som utsandes fran en volframyta vid bestralning med ultraviolett ljus av vaglangden 180 nm. Fotoelektriska uttradesarbetet for natrium ar 2.0 eV. Berakna energin i J hos de emitterade fotoelektronerna, da en natriumyta belyses med ljus av vaglangden 4000 A. Vad ar elektronernas hastighet? En volframyta belyses i en foto ell. Vilken vaglangd har ljuset om de utsanda elektronerna har en maximal hastighet av a/ 0.10 , b/ 0.98 ? Uttradesarbetet ar 4.53 eV. Vid ett fotoelektriskt experiment nner man att strypspanningen ar 1.85 V for ljus med vaglangden 300 nm o h 0.82 V for ljus med vaglangden 400 nm. Bestam a/ forhallandet mellan Plan ks konstant o h elektronens laddning, b/ uttradesarbetet for den aktuella metallen! Vid ett fotoelektriskt experiment utgjordes fotokatoden av rent natrium. Denna belystes med monokromatiskt ljus o h den bromsspanning, som maste palaggas for att inga elektroner skulle na fram till anoden, uppmattes. Foljande data erholls: Ljusets vaglangd [A℄: 2536 2830 3039 3302 3663 4358 Bromsspanning [V℄: 2.60 2.11 1.81 1.47 1.10 0.57 Bestam a/ uttradesarbetet, b/ Plan ks konstant! I ett rontgenror ar a
elerationsspanningen 50 kV. Vilken ar den erhallna rontgenstralningens hogsta frekvens? Kortaste vaglangd?
5
II.22
Hur skulle vidstaende rontgenspektra tankas kunna andras om a/ a
elerationsspanningen okades till 50 kV? b/ a
elerationsspanningen minskades till 15 kV?
karakteristisk o stralning Intensitet
kontinuerlig o stralning h ν max
10
II.23 II.24
II.25
II.26 II.27 II.28 II.29 II.30
20
30
40 keV
Ett rontgenror med spanningen 59.9 kV ger kontinuerlig rontgenstralning med 20.6 pm som minsta vaglangd. Vilket varde pa Plan ks konstant kan beraknas ur dessa uppgifter? Ljushastigheten i vakuum o h elektronens laddning forutsattes kanda. Harled formeln for vaglangdsandringen vid omptonspridning av fotoner mot ledningselektroner, 0 = e (1 os ) samt berakna elektronens vaglangd e. Rontgenstralning med vaglangden 12.6 pm infaller vinkelratt mot en tunn metallfolie. Man analyserar den spridda stralningen i en riktning, som bildar 60Æ med infallsriktningen, o h nner da att intensiteten varierar med frekvensen enligt vidstaende gur. Forklara experimentet o h bestam frekvenserna 1 o h 2 !
Detektor 60
0
I
ν1
ν2
ν
En foton med energin 50 keV omptonsprids vinkeln 60Æ i forhallande till infallsriktningen. Bestam vaglangden for den utgaende fotonen samt elektronens rekylenergi! En experimentalist har en kalla, som emitterar fotoner av energin 511 keV. Hon onskar for ett visst experiment ha tillgang till fotoner med energin 305 keV. Hur skall hon gora? Berakna vaglangden for den mjukaste rontgenstralning som genom omptonspridning han produ era rekylelektroner med en energi 5 keV. Ett gammakvantum med energin 300 keV omptonsprids av en fri elektron. Berakna den maximala energi som rekylelektronen kan erhalla! Comptonspridning har observerats mot protoner saval som elektroner. Vilken energi maste den inkommande fotonen ha for att vaglangdsandringen vid omptonspridning mot en proton skall vara experimentellt matbar, om matnoggrannheten antas vara 1%. 6
II.31
II.32
II.33 II.34
II.35 II.36 II.37 II.38
Comptonspridning innebar som bekant att en foton avger en del av sin energi till en elektron eller nagon annan partikel. Det existerar o ksa \invers omptonspridning" vid vilken en partikel avger sin energi till en foton. Bland annat spelar den inversa omptonspridningen en viss roll for uppbromsning av kosmiska partiklar i rymden. Antag att en elektron med energin 1 eV bromsas till vila genom invers
omptonspridning. Vilken vaglangd kan fotonen hogst ha fore spridningen for att denna pro ess skall vara mojlig? Om man sander in elektromagnetisk stralning mot ett guldfolium kan saval fotoelektrisk e ekt som omptonspridning upptrada. For att fotoelektrisk e ekt skall vara mojlig maste stralningens vaglangd vara kortare an 258 nm. Comptonspridning kan i prin ip upptrada vid alla vaglangder men ger markbara e ekter endast vid kortvagig stralning. Vilket villkor maste vaglangden uppfylla for att rekylelektronen vid omptonspridning skall kunna frigora sig fran guldfolien? Det far forutsattas att spridningsvinkeln ar 180Æ, sa att elektronens rekylenergi blir maximal. Berakna vateatomens jonisationsenergi, da man kanner vaglangden for H -linjen i Balmerserien (6563 A), elektronens laddning, Planks konstant samt ljusets hastighet. Inom radioastronomin har man under de senaste aren bland annat intresserat sig for sa kallade rydbergatomer, dvs atomer i my ket hogt ex iterade tillstand. Man har t ex kunnat registrera signaler fran vateatomer i tillstand med n betydligt storre an 100. a/ Berakna vaglangden o h frekvensen for den stralning som utsands da en vateatom overgar fran ett tillstand med n = 101 till ett tillstand med n = 100. b/ Berakna omloppsfrekvensen, dvs antalet varv per sekund, for en bohrbana med n = 100. Det magnetiska momentet hos en rorlig laddning eller strom kan skrivas som m = i A, dar i ar strommen o h A den av stromkretsen omslutna arean. Berakna det magnetiska momentet hos en elektron i n:te Bohr-banan for vate. Vilka linjer i den bla delen av spektrumet kan man vantas nna hos enkelt joniserat helium? Balmerlinjen i vate som svarar mot overgangen n = 3 till n = 2 har vaglangden 6562.8 A. Berakna med hjalp av Bohrs atommodell den energi i elektronvolt som maste tillforas en heliumjon (enkelt joniserat helium) i dess lagsta energitillstand for att erhalla dubbelt joniserat helium (oandlig karnmassa). En av linjerna i vatets spektrum har vaglangden 486.1320 nm. Ar 1932 uppta kte H. Urey att denna linje har en svag satellit med vaglangden 485.9975 nm. En tankbar forklaring ar att naturligt vate innehaller sma mangder av den tunga isotopen deuterium o h att det ar denna isotop som ger upphov till den ovannamnda svaga linjen. Stammer den forklaringen? 7
II.39 II.40 II.41
II.42
Helium forekommer dels med masstalet 4 dels med masstalet 3. I enkelt joniserat tillstand ger dessa heliumjoner spektralserier av samma typ som vateatomen. Berakna vaglangdsskillnaden mellan de tva heliumlinjer som med avseende pa elektronovergangen svarar mot forsta linjen i Balmerserien for vate. Ett vateliknande system av intresse for den moderna fysiken ar positroniumatomen. Positronium bestar av en elektron o h en positron bundna till varandra genom oulombkraften mellan dem. Positronen har en massa lika med elektronens o h en laddning lika med protonens. Berakna jonisationsenergin for positronium. En elementarpartikel, den s k -mesonen med samma spinn o h laddning som elektronen men med en massa som ar 207 ganger elektronens, kan infangas i en vateliknande Bohrbana runt en atomkarna. Da alla atomtillstand for mesonen ar oupptagna kan en infangad meson utfora overgangar till lagre energitillstand. Dessa overgangar ar atfoljda av emission av en karakteristisk stralning. Berakna enligt Bohr energin for den utsanda stralningen vid en overgang mellan ett tillstand med n = 2 o h ett tillstand med n = 1 om den infangade karnan ar bly, Z = 82 o h denna karna antages punktformig. Nar en fri atom eller atomkarna utsander en foton uppstar en rekylrorelse som tar upp en del av den frigjorda energin. Den utsanda fotonens frekvens blir darfor i sjalva verket lagre an den frekvens 0 som erhalles ur Bohrs frekvensregel. Visa med hjalp av spe iell relativitetsteori att = 0
"
1
h0 2m0 2
#
dar m0 ar atomens respektive karnans vilomassa innan fotonen utsands. Uppskatta sedan storleken av den relativistiska frekvensandringen ( 0 ) = , dels for en foton med energin 2.10 eV som utsands av en Na-atom, dels for en foton med energin 113 keV som utsands av karnan Hf177 .
8
III MATERIEVAGOR
III.1
III.2 III.3 III.4 III.5 III.6
Berakna de Broglie-vaglangden for en fotboll som vager 0.4 kg o h ror sig med hastigheten 5.0 m/s! Forklara sedan varfor denna berakning ar meningslos! Berakna de Broglie-vaglangderna for elektroner med energierna 1 eV, 100 eV, 10 keV o h 1 MeV! En proton ror sig med en hastighet som ar 5.0% av ljusets hastighet. Berakna de Broglie-vaglangden for protonen. Man kan idag med a
eleratorer erhalla protoner med en energi av 400 GeV, dvs 4 1011 eV. Vilken vaglangd representerar en sadan partikelstrale? A r det rimligt att utnyttja en sadan partikelstrale for att undersoka protonens inre struktur, om protonens radie ar 1:4 10 15 m? Neutroner i termisk jamvikt med omgivningen har en medelenergi av storleksordningen kB T . Berakna de Broglie-vaglangden for typiska neutroner vid temperaturen 300 K. Visa att de Broglie-vaglangden for en partikel kan skrivas som =
III.7 III.8 III.9 III.10 III.11
s
2 v
1
dar partikelns ompton-vaglangd. Upplosningsformagan hos ett optiskt instrument ar proportionell mot a=, dar a ar objektivoppningens storlek. Jamfor upplosningen hos ett mikroskop som arbetar med blatt ljus o h ett elektronmikroskop, i vilket elektronerna a
elereras over en spanning pa 10 kV, for instrument med lika stor objektivoppning. Ett rontgenror arbetar med konstant spanning. Den hardaste stralning som utgar fran roret har vaglangden 300 pm. Berakna den minsta de Broglie-vaglangden hos elektronerna i roret. Mot ett kristallgitter infaller rontgenstralning med vaglangden 0.496 A under Braggvinkeln (1:a ordningen). Man later darefter neutroner infalla mot samma kristallgitter under samma vinkel. Vilken energi i elektronvolt maste dessa neutroner ha for att de skall underga Braggspridning? En smal strale termiska neutroner tra ar en enkristall med avstandet 1.80 A mellan gitterplanen. Vilken vinkel maste planen bilda med den infallande stralen for att ge stark forsta ordningens di raktion for neutroner med kinetisk energi 0.04 eV? For att mata energin hos langsamma neutroner anvands en kristallspektrometer. Berakna gitterkonstanten for en sadan spektrometer om neutroner med energin 1.0 eV skall Bragg-re ekteras med glansvinkeln 3.31Æ. Endast re exion av forsta ordningen behover behandlas. 9
III.12
III.13
III.14
En strale av elektroner med energin 410 eV infaller mot en tunn, polykristallin aluminiumfolie. Pa en skarm 10 m bakom folien observeras ett antal ringar, o h en av dessa har diametern 3 m. Den kan antas uppkomma genom forsta ordningens re exion mot vissa kristallplan. Berakna gitteravstandet mellan dessa plan. En strale av snabba elektroner med rorelseenergin 51 keV far passera genom en tunn kopparfolie. Pa en skarm bakom folien α " Skarm upptrader ett monster av di raktionsringar. a/ Bestam avbojningsvinkeln for de elektroner som formar di raktionsringen for 4:de ordninCu-folie gens re exion fran kristallplan mellan vilka avstandet ar 3.6 A. b/ Hur kan man enkelt experimentellt visa att di raktionsmonstret bildas av elektroner, o h inte av sekundar rontgenstralning som bildas da elektronerna slar i folien. En monoenergetisk elektronstrale far infalla mot en ni kelkristall. Med hjalp av en elektrondetektor uppmats intensiteten av spridda elektroner i en riktning som bildar vinkeln 90Æ med infallsriktningen. Vid okande elektronenergi erhalles vid en viss energi E1 ett forsta maximum i spridningsintensiteten. Om energin okas med ytterligare 272.7 eV erhalles ett andra maxima. Berakna E1 o h avstandet mellan de spridande braggplanen. I 0
45
272.7 eV E E1
10
E2
III.15
Mot en enkristall av ni kel med gitterkonstanten 2.03 A infaller under 80Æ glansvinkel en elektronstrale. Pa grund av elektronernas vagnatur upptrader har samma inteferensfenomen som nar rontgenstralning tra ar en kristall. For vissa bestamda a
elerationsspanningar for elek- 80 tronerna upptrader skarpa maxima i den re ekterade elektronstralens intensitet. Berakna hur atomplan manga dylika maxima som registreras om a
elerationsspanningen okas kontinuerligt fran 225 V till 900 V! Figuren ar en prin ipskiss av Davissons o h Germers elektrondi raktionsexperiment. En strale av elektroner k infalla vinkelratt mot ytan av en ni kelkristall, o h man fann ett skarpt maximum hos intensiteten av de spridda elektronerna i en 65 riktning som bildade 50Æ vinkel med den infal50 lande stralen. Gitterplanen i kristallen var orienterade som guren visar, o h gitterkonstanten d var 0.09 nm. a/ Berakna vaglangden for elektronerna om ind tensitetsmaximat antages svara mot forsta ordningens Braggspridning. b/ Elektronernas kinetiska energi var 54 eV. Stammer detta med de Broglies hypotes? Hur stor ar osakerheten i hastigheten for elektronen i vateatomens grundtillstand, om osakerheten i lagesbestamningen satts lika med bohrradien 0.53 A. Berakna den minsta utstra kning i rummet som en foton maste ha om dess frekvensbredd ar 107 Hz. Uppskatta den minsta kinetiska energi en proton kan ha, om den ar instangd i en sfar med diametern 10 14 m (storleken hos en atomkarna). Atomkarnor, vars utstra kning ar av storleksordningen 10 14 m, kan utsanda elektroner med energier av storleksordningen 1 { 10 MeV. Anvand osakerhetsrelationen for att visa att elektroner med energin 1 MeV inte kan nnas i karnan fore sonderfallet. 0
III.16
0
0
III.17 III.18 III.19 III.20
11
III.21
III.22
III.23 III.24 III.25
Elektroner med energin 1.0 meV infaller vinkelratt mot en skarm, i vilken det nns ett litet
irkulart hal. De elektroner som passerar halet tra ar darefter en oures erande yta, pla erad pa avstandet 150 mm fran halet. Bestam ett ungefarligt varde pa halets diameter, sa att den lysande a ken pa den oures erande ytan blir 150 nm sa liten som mojligt! Visa, utgaende fran Heisenbergs osakerhetsrelation x px 21 h , att for en foton galler E t 21 h dar E ar osakerheten i fotonens energi o h t ar osakerheten i bestamningen av den tidpunkt da fotonen passerar en given punkt. Livslangden for en atom i ett ex iterat tillstand ar t. Berakna den ungefarliga osakerheten i vaglangden for den foton som utsands da atomen atervander till grundtillstandet! Tillampa resultatet for t = 10 8 s o h = 600 nm! Den spektrallinje som svarar mot overgangar mellan 4p- o h 4s-tillstanden i kalium har vaglangden 7660 A. Livstiden for 4p-tillstandet ar 2 10 8s. Bestam spektrallinjens bredd uttry kt i A. Ett vagpaket utgores av en superposition av plana vagor, vars fordelning pa olika vagtal k bestams av funktion 0 om k < K a (k) = N om K < k < K 0 om k > K a/ Bestam vagfunktionen (x). b/ Bestam N sa att 11 dx j (x)j2 = 1.
/ Visa att Heisenbergs osakerhetsrelation ar uppfylld. Ett vagpaket utgores av en superposition av plana vagor, vars fordelning pa olika vagtal k bestams av funktion 8 > < > :
R
III.26
a (k) =
k2
N
+ 2
a/ Bestam vagfunktionen (x). 2 1 b/ Bestam N sa att 1 dx j (x)j = 1.
/ Visa att Heisenbergs osakerhetsrelation ar uppfylld oberoende av valet av . (Ledning: p raknas i k-rummet) R
12
III.27
Vilken form har vagpaketet (x) om de ingaende plana vagornas fordelning bestams av funktionen (k k0)2 : a (k) = (2 )3 (k)2 exp 4 (k)2 Berakna expli it den vagfunktion som bestar av foljande superposition av plana vagor: 2 1 (x; t) = (2) (k) 1 dk exp (4k (kk0))2 + i (kx !t) : Vinkelfrekvensen ar ! = h k2= (2m). Visa att vagpaketets bredd okar med tiden. I metaller forekommer en typ av vagor som kallas for plasmasvangningar. Dessa svangningar kan kvantiseras pa samma satt som exempelvis ljusvagor, o h motsvarande kvanta kallas plasmoner. Dispersionsrelationen for dessa ar ! = !0 + k2 dar !0 o h ar konstanter. Ange fashastigheten o h grupphastigheten for plasmonerna. Sambandet mellan vaglangden o h frekvensen i en vagledare ar
: = 2 2 i
h
III.28
3 4
III.29
III.30
1 2
"
Z
q
III.31
"
1 4
#
#
0
Vilken ar grupphastigheten for sadana vagor? For ytspanningsvagor i grunt vatten galler att relationen mellan frekvensen o h vaglangden ar 2T ; = !1
2
%3
dar T ar ytspanningen o h % ar densiteten. For havsvagor pa djupt vatten galler istallet =
g 12 2 ;
dar g ar tyngdkraftsa
elerationen. Bestam grupphastigheten o h fashastigheten i bada fallen.
13
IV SCHRO DINGEREKVATIONEN OCH VAGFUNKTIONENS TOLKNING
IV.1
IV.2
Visa att den tidsberoende S hrodingerekvationen h 2 2 + V = ih 2 2m x t satis eras av vagfunktionen for en fri partikel (x; t) = ei(kx !t) da V = konstant. Visa, att en losning till S.E. for en fri partikel i tre dimensioner h 2 2 2 2 + + 2m x2 y2 z2 (x; y; z) = E (x; y; z) kan skrivas (x; y; z) = A eiKr. Hur ar K relaterad till energin E ? Hur ser motsvarande tidsberoende funktion ut? Ledning: Antag (x; y; z) = x (x) y (y) z (z) o h separera ekvationen. En partikel med massan m ror sig i potentialfaltet V (x) = 12 kx2 , dar k ar en konstant. Stall upp den tidsoberoende S hrodingerekvationen for partikeln o h visa att vagfunktionen !
IV.3
p
(x) = Ae kmh x ar en losning till densamma. Bestam energiegenvardet. Visa att sannolikhetstatheten j (x; t)j2 for en fri partikel med given rorelsemangd ar oberoende av saval x som t. Tolka resultatet fysikaliskt. Visa, att for en fri partikel med (x; t) = A ei(kx !t) ar sannolikhetsstrommen h k S = jAj2 = v jAj2 ; 2
IV.4 IV.5
m
IV.6
2
dar v ar partikelns hastighet. Sannolikhetsstrommen ar saledes lika med partikelhastigheten ganger sannolikhetstatheten. Kontinuitetsekvationen %t + r j = 0 upptrader i bl.a. a/ hydrodynamik, b/ varmelara, / elektri itetslara, d/ reaktorfysik, o h e/ kvantmekanik. Vilken ar inneborden av % o h j i respektive teorier? Ekvationen innebar att en viss storhet konserveras. Vilken ar denna storhet i respektive teorier?
14
IV.7
Visa att det allmanna vagfaltet (r; t) =
IV.8
Z
dk
Z
IV.10
(
IV.11
IV.12 IV.13
!t)
uppfyller vagekvationen for elektromagnetisk stralning om ! = k. En elektron ror sig under inverkan av potentialen or 0 x a V (x) = 01 f for ovriga x a/ Harled ett uttry k for elektronens mojliga energier. b/ Antag att elektronen be nner sig i andra ex iterade tilstandet. Berakna de mojliga frekvenserna for den elektromagnetiska stralning, som emitteras da elektronen atergar till grundtillstandet. a = 5:0 A. Berakna energinivaerna for en elektron (m = 9:1 10 31 kg) i en endimensionell lada av langden 4 A. Gor detsamma for en partikel med m = 9:1 g i en lada av langden 4 m. Hur manga tillstand med energin mindre an 40 eV nns det i de bada fallen? Berakna vantevardena (for stationara tillstand) av x, x2 , px, o h p2x for en partikel i en fyrkantspotential, or a x a V (x) = 01 f for ovriga x . Berakna x px o h jamfor med osakerhetsrelationen. En partikel ar bunden till en endimensionell potentialbox med oandligt hoga vaggar pa avstandet L fran varandra (potentialen V = 0 inuti boxen o h V = 1 utanfor boxen). Berakna sannolikheten att patra a partikeln inom avstandet L=3 fran den ena av vaggarna (t ex vanster vagg) a/ om partikeln be nner sig i grundtillstandet, b/ om partikeln ar i det forsta ex iterade tillstandet,
/ om partikeln ar i ett my ket hogt ex iterat tillstand, d/ enligt klassisk fysik. En partikel ar instangd i en lada med sidorna a, b o h . Berakna de mojliga energinivaerna for partikeln. En elektron med den kinetiska energin 1 eV ar instangd i en kubisk lada med volymen 1 m3 o h med perfekt re ekterande vaggar. Vad ar sannolikheten att nna elektronen i ett volymselement om 1 m3 i ett av hornen i kuben (rakna inte | tank!!)? (
IV.9
d! A (k; ! ) ei(kr
15
IV.14
Ett endimensionellt kvantmekaniskt system beskrivs av vagfunktionen 0 om x 0 Nx ( x a ) om 0xa (x) = 0 om x > a. Bestam normeringskonstanten N o h berakna vantevardet av x 2. 8 > < > :
IV.15
En partikel ar bunden i en ladpotential enligt guren. I ett visst ogonbli k be nner sig partikeln i ett i keex iterat tillstand, karakteriserat av vagfunktionen (x) = A 2 os x 2a
x sin a
x
Normera vagfunktionen o h bestam vantevardet av x! IV.16
-a
0
a
En partikel ror sig langs en rat linje, x-axeln. I ett visst ogonbli k beskrivs partikeln av vagfunktionen i ax
(x) = N 1e+ i x ; b
IV.17
V(x)
N
reell.
a/ Normera . b/ Berakna vantevardet av laget.
/ Bestam a sa att vantevardet av impulsen blir noll. Ett vagpaket av formen (x) = N exp
"
#
x2 4 (x)2 + i k0x
har vid tiden t = 0 en bredd x = 10 10 m. Bestam osakerheten i rorelsemangd samt den tidpunkt da vagpaketets bredd okats med en faktor 2.
16
V OPERATORER I KVANTFYSIKEN V.1
V.2 V.3 V.4 V.5 V.6 V.7
Visa att den plana vagen (x; t) = Aei(kx !t) ar en egenfunktion till impulsoperatorn p^ = ih dxd , svarande mot egenvardet h k. Bestam sedan vantevardena hpi o h hp2i samt osakerheten p. A r vagfunktionen (x; t) = Ae ax i!t en egenfunktion till impulsoperatorn p^? Bestam vantevardena hpi o h hp2i samt osakerheten p. Visa att vagfunktionen (x; t) = A sin(kx !t) ar en egenfunktion till operatorn p^2 men ej till operatorn p^! Bestam osakerheten p. Visa allmant att osakerheten f i en storhet f ar noll om matningen gors i ett tillstand som beskrivs av en egenfunktion till den mot f svarande operatorn f^. Stationara tillstand beskrivs av vagfunktioner av formen (r; t) = u (r) e i!t . Visa att osakerheten i energi hos ett sadant tillstand ar noll. Antag att en operator har tva olika egenfunktioner 1 o h 2 , som bada svarar mot samma egenvarde. Visa att o ksa varje linjarkombinationer av 1 o h 2 ar en egenfunktion, svarande mot samma egenvarde! Heisenbergs osakerhetsrelation sager att om A o h B ar tva fysikaliska storheter (observabler) sa galler olikheten A B 21 jh[ A ; B ℄ij : Bevisa osakerhetsrelationen med utgangspunkt fran S hwarz' olikhet 2
Z
V.8 V.9
d jf j
2
Z
d jgj 2
Z
2
d f g
dar f o h g ar godty kliga funktioner. Visa med utgangspunkt fran resultatet i foregaende exempel att x p 21 h . Utga fran de nitionen av kommutatorn A;^ B^ = A^B^ B^ A^ , o h visa foljande relationer a/ A^ ; B^ + B^ ; A^ = 0 , b/ A^ ; A^ = 0 ,
/ A;^ B^ + C^ = A;^ B^ + A;^ C^ , ^ C^ = A;^ C^ + B; ^ C^ , d/ A^ + B; e/ A;^ B^ C^ = A;^ B^ C^ + B^ A;^ C^ , ^ C^ = A;^ C^ B^ + A^ B; ^ C^ . f/ A^B; h
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
h
i
17
i
V.10
Visa att foljande kommuteringsregler: a/ [ x^ ; x^ ℄ = 0 , b/ [ p^ ; p^ ℄ = 0 ,
/ [ x^ ; p^ ℄ = ih Æ , d/ [ p^ ; F (r)℄ = ih Fx^( r) . Index , o h bete knar komponenter i ett ratvinkligt koordinatsystem.
18
Reflexions- och transmissionskoefficienter Kvantmekaniskt Klassiskt
x<0:
R=
R=
x>0:
T=
T=
x<0:
R=
R=
x>0:
T=
T=
x<0:
R=
R=
T=
T=
ψ (x) x
19
b/
V(x) Vo
E 0
ψ (x) x V(x)
c/ E
Vo x 0
a ψ (x)
0
x
x>a:
Foljande gurer visar olika potentialer. Skissera utseendet av vagfunktionen i de olika omradena samt ange transmissions- o h re exionskoeÆ ienterna.
0
Vagfunktionens matematisk form
VI ENDIMENSIONELLA BARRIA RPROBLEM
VI.1
Potential Skiss av vagfunktionen a/ V(x) E Vo
Potential Skiss av vagfunktionen d/ V(x) Vo E
Vagfunktionens matematisk form
Reflexions- och transmissionskoefficienter Kvantmekaniskt Klassiskt
x<0:
R=
R=
x>0:
T=
T=
x < x 1:
R=
R=
x > x 2:
T=
T=
x<0:
R=
R=
T=
T=
x 0
a ψ (x) x
20
e/ x1 E
V(x) x2 x
x
ψ (x)
2
x f/
V(x) a
E
x
Vo
0
ψ (x) x
x>a:
VI.2 VI.3
Partiklar med totala energin E re ekteras delvis nar de moter en oandligt utstra kt potentialbarriar med hojden V0 (E > V0). Visa att re exionskoeÆ ienten ar lika stor vid potentialspranget om partiklarna ror sig i motsatt riktning. Elektroner skjuts in i ett jordat metallror, A, med den kinetiska energin 100 eV. Efter att ha gatt igenom roret passerar de in i ett annat ror, B, pa nagot avstand fran A. Roret B halles pa en potential av 50 V. Berakna hur stor del av de infallande elektronerna som re ekteras tillbaka in i roret A. (Potentialspranget anses ske diskontinuerligt.) A
B
.
VI.4
VI.5
VI.6
-50 V
Kontaktytan mellan tva metaller fungerar som ett potentialsteg, sadant att hastigheten hos de elektroner som infaller fran vanster o h passerar kontaktytan minskar med 75% vid passagen. Antag att de infallande elektronerna motsvarar en strom pa 1 A. Hur stor blir da strommen till hoger om barriaren? Ledning: H arled forst ett uttry k for transmissionskoeÆ ienten som funktion av vagtalen k1 o h k2, o h relatera sedan dessa till hastigheterna. Vid ett fotoelektriskt experiment far ljus med vaglangden V(x) 410 nm infalla mot en aluminiumyta. Ytan kan i en enkel modell representeras av ett potentialsteg enligt guren, dar uttradesarbetet W har vardet 2.80 eV. Berakna sannolikheten for att en elektron, som absorberat en foton, -W skall kunna lamna metallen utan att re ekteras vid ytan! Det far forutsattas att elektronen ror sig vinkelratt mot ytan o h att den fran borjan hade energin W . En elektron med den kinetiska energin E = 2:0 eV infaller vinkelratt mot ett oxidskikt mellan tva metaller. Skiktet kan approximativt representeras av en potentialbarriar med hojden V0 = 5:0 eV o h tjo kleken d = 2:0 nm. Hur stor ar sannolikheten for att elektronen skall kunna tunnla genom barriaren? Ledning: Denna modell av oxidskiktet ar my ket enkel o h ger bara en uppfattning om storleksordningen av tunnelsannolikheten. Det ar darfor meningslost att gora en noggrann berakning. Ratt tiopotens ar tillra kligt.
21
v0
0.25 v0 V(x) x
x
V0
E
d
VI.7
For vissa varden pa energin kan partiklar, som faller in mot ett skikt med lagre potential, passera detta under transmissionsresonans, vilket innebar att samtliga partiklar passerar genom skiktet o h ingen partikel re ekteras eller absorberas av skiktet. Bestam de energivarden for vilken en strom av partiklar med massan m, som infaller vinkelratt mot ett skikt med potentialen 0 jxj > a, V (x) = V0 jxj a (V0 > 0), passerar skiktet under transmissionsresonans. Nar en ljusstrale fran vakuum infaller mot ett medium sker en brytning av ljusstralen enligt guren. Brytningsindex n for mediet de nieras av relationen sin n= 0 = sin dar 0 o h ar ljusets vaglangd i vakuum resp. i α mediet. Nar elektroner infaller mot en metall sker β pa motsvarande satt en brytning av de vagor som ar asso ierade med elektronerna. Metallens yta kan approximativt representeras av ett sprang i den povakuum metall tentiella energin V fran V = 0 utanfor metallen, till V = V0 inuti metallen. Antag att elektroner med energin 10 eV under infallsvinkeln = 45Æ tra ar en metallyta, for vilken galler att V0 = 12 eV. Berakna vinkeln ! (
VI.8
VI.9 VI.10
Harled den ekvation som bestammer de mojliga energierna for bundna tillstand i en ladpotential enligt guren. Skissera o ksa vagfunktionernas utseende.
V(x) -a
a
x
V0
En partikel med massan m be nner sig i en potential 1 om x 0 om 0 x a V (x) = 0 V0 om x a . Hur stor maste V0 vara for att denna potential skall ge upphov till minst ett bundet tillstand for partikeln? 8 > < > :
22
VI.11
En partikel med massan m ror sig i under inverkan av potentialen V(x) 1 om x < 0 a x V0 om 0 x a V (x) = 0 om x > a . V Potentialens styrka ar sadan att V0 a2 = 20 h 2=m. Hur manga bundna tillstand nns det? En partikel ror sig i en potential V (x) bestamd av 1 om jxj > a, 0 om a < x < 0 V (x) = V0 om 0 < x < a . Hur stort skall V0 vara for att det minsta positiva egenvardet E skall vara V0 =3? I en enkel modell for atomkarnors -sonderfall kan V(x) -partikeln antas rora sig under in ytande av en potential enligt guren. Uppskatta sannolikheten per V tidsenhet for att -partikeln skall tunnla, om den be nner sig i grundtillstandet. 8 > < > :
0
VI.12
8 > < > :
VI.13
0
x
Sannolikheten per tidsenhet = stottalet transmissionskoeÆ ienten; stottalet = antal stotar per tidsenhet mot barriaren. Barriarens hojd V0 kan antas vara my ket storre an grundtillstandsenergin. 0
Ledning:
23
a
b
VII HARMONISKA OSCILLATORN VII.1
En partikel med massan m ar bunden till ett jamviktslage med en mot avvikelsen x proportionell kraft, F = kx. Visa att funktionerna x 1 (x) = A e x 2 (x) = B x e ar egenfunktioner till systemets hamiltonoperator, om konstanterna o h valjs pa lampligt satt. Bestam respektive egenvarde samt normera funktionerna! Visa att nollpunktsenergin hos en kvantmekanisk os illator kan ses som en direkt foljd av osakerhetsrelationen. Visa att vantevardena av den kinetiska energin o h den potentiella energin ar lika stora for en harmonisk os illator i grundtillstandet. Bestam vantevardena hpxi o h hp2xi for en harmonisk os illator i grundtillstandet. Berakna sannolikheten for att en harmonisk os illator i grundtillstandet skall be nna sig utanfor det klassiskt tillatna omradet. Den sa kallade einsteinmodellen for gittersvangningar i kristaller innebar att varje atom antas utfora en harmonisk svangningsrorelse kring sitt jamviktslage. Man antar alltsa att atomen paverkas av en kraft av formen F (x) = k x dar k ar en konstant o h dar x anger avvikelsen fran jamviktslaget (for enkelhets skull begransar vi oss till endimensionell rorelse). Som exempel valjer vi zink, o h ett representativt varde pa k ar da 3.3 N/m. Berakna sannolikheten for att en zinkatom i grundtillstandet skall be nna sig mer an 0.2 A fran jamviktslaget! Krafterna mellan atomerna i en HCl-molekyl kan approximativt representeras av en fjader med kraftkonstanten 516 N/m. Detta innebar att atomerna kommer att utfora en harmonisk svangningsrorelse i forhallande till varandra. Berakna den lagsta o h den nast lagsta energinivan for denna rorelse! 2
2
VII.2 VII.3 VII.4 VII.5 VII.6
VII.7
24
VII.8
Vibrationsrorelsen for en tvaatomig molekyl kan beskrivas med en enkel endimensionell modell enligt foljande. En partikel med massan ror sig under inverkan av potentialen V (x) = V0 e 2 a (x x ) 2 e a (x x ) dar a, x0 , o h V0 ar for molekylen karakteristiska konstanter. For de lagst liggande nivaerna ar potentialen approximativt harmonisk kring jamviktslaget x = x0 , dvs om V (x) serieutve klas kan termer av 3:e potens o h hogre i (x x0 ) forsummas. a/ Bestam grundtillstandets energi i denna approximation. b/ Berakna grundtillstandets energi numeriskt for H2-molekylen om a = 20 nm 1 , V0 = 7 10 19 J, x0 = 0.074 nm, = 0:84 10 27 kg. En elektron paverkas dels av en harmonisk kraft med potentialen 21 m!2x2 , dels av ett konstant elektriskt falt med faltstyrkan E langs x-axeln. Bestam elektronens energispektrum. Visa att hamiltonoperatorn for en harmonisk os illator kan skrivas 1 + ay a h ! H= 2 dar operatorerna a o h ay de nieras av uttry ken h
VII.9 VII.10
0
a=
r
m! 2h x
+
0
i
ip y r m! ; a = m! 2h x
ip : m!
Dessa operatorer kallas for stegoperatorer av foljande skal. Om operatorn ay far operera pa en egenfunktion till H sa erhalles en ny egenfunktion, namligen den som svarar mot narmast hogre egenvarde. Med hjalp av operatorn a erhalles pa motsvarande satt den egenfunktion som svarar mot narmaste lagre egenvarde (om a far operera pa grundtillstandets vagfunktion blir resultatet noll). Visa dess egenskaper hos a o h ay genom att forst harleda ett uttry k for kommutatorn a ; ay . h
i
25
VIII PARTIKEL I CENTRALFA LT
VIII.1
Visa utgaende fran de nitionen L^ = ^r p^ att banrorelsemangdsmomentets komponenter uppfyller kommuteringsrelationerna L^ ; L^ = ih L^ ; h
VIII.2
i
dar ( ; ; ) ar en yklisk permutation av (x; y; z). Visa kommuteringsrelationen ^ 2 ; L^ = 0 L dar star for x, y, eller z. En partikel be nner sig i ett tillstand sadant att rorelsemangdsmomentets belopp ar jLj = l (l + 1)h o h dess z-komponent ar Lz = mh . a/ Bestam osakerheterna Lx o h Ly i rorelsemangdsmomentets x- o h ykomponenter! b/ Bestam osakerheten Lxy i beloppet av rorelsemangdsmomentets projektion pa xy-planet, de nierad av Lxy = L2x + L2y : h
VIII.3
i
q
q
VIII.4
VIII.5 VIII.6
Vagfunktionen for en partikel som ror sig i en entralpotential ar (x; y; z) = (x + y + z) e r dar r = px2 + y2 + z2 . Berakna vantevardet av rorelsemangdsmomentets kvadrat L2 . Bestam energinivaerna o h deras degenerationsgrader for en tredimensionell harmonisk os illator, dvs en partikel som paverkas av en entralkraft med potentialen 1 k r2 . 2 Vagfunktionen for den tredimensionella harmoniska os illatorns grundtillstand kan skrivas pa formen (r) = C e (r=r ) dar C o h r0 ar konstanter, o h dar r ar avstandet till origo. Berakna a/ det mest sannolika vardet pa r, b/ forvantansvardet av r,
/ forvantansvardet av 1=r. En kub o h en sfar har volymen V . I vardera volymen ar en partikel med massan m innesluten. Angiv vagfunktionerna o h energierna for de fyra tillstanden med de lagsta energierna i de bada fallen. 1 2
VIII.7
26
0
2
VIII.8
Potentialen mellan protonen o h neutronen i en deutron kan approximeras med en ladpotential enligt guren. Deutronen har endast ett my ket lost bundet tillstand. Bestam harur ett approximativt villkor pa parametrarna a o h V0. Obs att grundtillst andet ar ett s-tillstand.
V(r) a r V0
27
IX VA TEATOMEN OCH LIKNANDE SYSTEM IX.1
IX.2 IX.3 IX.4 IX.5 IX.6 IX.7 IX.8
IX.9 IX.10 IX.11
Vagfunktionen for vateatomens grundtillstand ar av formen (r) = A e r Bestam o h normeringskonstanten A. Vilket ar det mest sannolika avstandet mellan elektronen o h karnan for en vateatom i a/ 1s-tillstandet, b/ 2s-tillstandet, / nagot av 2p-tillstanden? Berakna sannolikheten for att elektronen i vateatomens grundtillstand skall be nna sig pa ett avstand fran karnan som ar storre an bohrradien. Berakna sannolikheten for att elektronen i en vateatom skall be nna sig inom avstandet 2a0 fran karnan, om atomen ar i a/ 1s-tillstandet, b/ 2s-tillstandet. Berakna vantevardena av r o h 1=r for vateatomens grundtillstand. Bestam vantevardena av den kinetiska o h den potentiella energin for en vateatom i grundtillstandet. Bestam vantevardena av den kinetiska o h den potentiella energin for ett 2stillstand hos en vateatom. En positron ar en elementarpartikel, som har samma massa som en elektron men motsatt te ken pa laddningen. Om man byter ut protonen i en vateatom mot en positron far man en sa kallad positroniumatom, som kvantmekaniskt kan behandlas pa likartat satt som vateatomen. En vasentlig skillnad ar do k att elektronen o h positronen kan forinta varandra o h omvandlas till elektromagnetisk stralning. Det ar rimligt att anta att detta intra ar om de bada partiklarna kommer inom ett avstand av nagra fa fm (10 15 m) fran varandra. Berakna sannolikheten for att avstandet mellan elektronen o h positronen skall vara mindre an 2 fm for en positroniumatom i grundtillstandet! En vateatom be nner sig i ett 2p-tillstand sadant att det magnetiska kvanttalet m har vardet noll. Berakna vantevardena av beloppen av elektronens artesiska koordinater, dvs hjxji, hjyji o h hjzji !
Medelhastigheten v for elektronen i vateatomen de nieras som v = hv2i. Berakna v for en elektron som be nner sig i grundtillstandet hos en vateatom. Berakna sannolikheten for att elektronens hastighet i vateatomens grundtillstand skall vara mindre an h =ma0 ! q
28
X SUPERPOSITION AV STATIONA RA TILLSTAND OCH V AGPAKETETS RO RELSE X.1
En partikel be nner sig i potentialfaltet 0 om jxj < a V (x) = 1 for ovrigt. Partikeln beskrivs vid t = 0 av vagfunktionen (x) = N sin x + 2 sin 2x + sin 3x (
a
X.2
a
a
:
a/ Bestam N sa att (x) blir normerad. b/ Bestam forvantansvardet av hamiltonoperatorn.
/ Vilka energivarden kan erhallas vid en matning o h vilka ar sannolikheterna for de olika varden? En partikel be nner sig i ett potentialfalt V (x), sadant att 1 om x < 0 om 0 x a V (x) = 0 1 om x > a . Vid en viss tidpunkt beskrivs partikeln av vagfunktionen (x) = N x (a x), dar N ar en normeringskonstant. Berakna sannolikheten att nna partiklen i dess lagsta energitillstand! En partikel med massan m be nner sig i en potentialbox, de nierad av om jxj a V (x) = 1 0 om jxj < a . Vid en viss tidpunkt beskrivs partikeln av vagfunktionen (x) = A 1 + 4 os x sin 2 x ; 8 > < > :
X.3
(
a
X.4
a
dar A ar en konstant. Vilka mojliga energivarden kan man nna vid en matning, o h vad ar sannolikheterna for respektive varden? En linjar harmonisk os illator med massan m o h vinkelfrekvensen ! be nner sig vid en viss tidpunkt i ett tillstand med vagfunktionen p12 a om jxj a (x) = 0 om jxj > a 8 < :
2h . Ber dar a = m! akna sannolikheten for att man vid en energimatning skall nna os illatorn i dess grundtillstand. q
29
X.5
En tredimensionell harmonisk os illator har den klassiska vinkelfrekvensen !. I ett visst ogonbli k beskrivs den med vagfunktionen (r) = N r2 e a r dar a = m!=2h o h dar N ar en normeringskonstant. Bestam sannolikheten for att os illatorn be nner sig i sitt grundtillstand. En vateatom beskrivs vid en viss tidpunkt av vagfunktionen (r) = A pr e r=a ; dar a0 = bohrradien. Berakna den totala sannolikheten for att atomen ar ex iterad. Vagfunktionen for en partikel har i ett visst ogonbli k formen (r) = (r) [Y11 (; ') + 2 Y10 (; ') + 3 Y20 (; ')℄ ; dar (r) ar en okand (ej nodvandigtvis normerad) funktion. Vad ar sannolikheten att vid en matning av rorelsemangdsmomentets kvadrat L2 nna vardet 2h2 ? Vagfunktionen for en elektron i en kolatom kan i vissa kemiska sammanhang antagas vara av formen (r) = R (r)[1 + 3 sin sin '℄ : Bestam sannolikheten for att man vid en matning av rorelsemangdsmomentet skall nna elektronen i ett p-tillstand! En partikel be nner sig i ett tillstand med vagfunktionen u (r; ; ') = A [1 + os ℄ e r =a dar (r; ; ') ar sfariska koordinater o h A o h a ar konstanter. Normera vagfunktionen o h bestam sedan vantevardena av r o h L2 , dar L ar rorelsemangdsmomentet m.a.p. origo. En partikel beskrivs av vagfunktionen (r) = F (r) [x + y℄ ; dar r = px2 + y2 + z2 . Vilka varden kan erhallas vid en matning av rorelsemangdsmomentets storlek jLj o h dess z-komponent Lz ? Ange sannolikheterna for respektive matresultat! 2
X.6
0
X.7
X.8
X.9
2
X.10
30
2
X.11
For att forklara kolatomens kemiska egenskaper antar man att de yttersta elektronerna karakteriseras av sa kallad sp3 -hybridisering. Med vissa forenklingar kan vagfunktionen for en av dessa elektroner skrivas pa formen p p 3 1 (r; ; ') = 2 R (r) Y00 (; ') i 2 Y11 (; ') i 23 Y1 1 (; ') ; dar R (r) ar den radiella vagfunktionen o h Ylm (; ') ar klotytefunktioner. Berakna vantevardena hxi, hyi o h hzi for denna elektron, om den radiella vagfunktionen ar sadan att hri = r0 ! En partikel med massan m ror sig i en endimensionell ladpotential om x 0 eller x a V (x) = 1 0 om 0 < x < a . Vid tiden t = 0 har vagfunktionen formen 4 sin 3x + (x; 0) = 32a sin x a 3a a Hur ser vagfunktionen ut vid en godty klig tid t? En partikel med massan m ror sig under inverkan av potentialen om jxj a V (x) = 1 0 om jxj < a . "
X.12
#
(
s
s
X.13
(
Vid tiden t = 0 beskrivs den av en vagfunktion (x; 0) = N sin 3 2xa , for jxj < a, dar N ar en normeringskonstant. Berakna vagfunktionen (x; t)! En partikel be nner sig i en ladpotential av formen 0 om 0 < x < a V0 (x) = 1 for ovrigt. Vid tiden t = T andras potentialen plotsligt till 0 om 0 < x < 2a V (x) = 1 for ovrigt. Antag att partikeln be nner sig i grundtillstandet for t < T . Berakna sannolikheten for att man vid en matning av energin for t > T skall nna partikeln i grundtillstandet svarande mot den nya potentialen. En endimensionell harmonisk os illator be nner sig i sitt grundtillstand. Plotsligt andras dess massa med en faktor pa grund av radioaktivt sonderfall. Vad ar sannolikheten att nna os illatorn i dess nya grundtillstand efter sonderfallet?
X.14
(
(
X.15
31
X.16
X.17
Tritium sonderfaller genom reaktionen 3 H ! 3 He+ + e + energi . Berakna under antagandet att tritiumatomen be nner sig i grundtillstandet fore sonderfallet sannolikheten for att nna sluttillstandets heliumjon i ett 1s-, 2seller 2p-tillstand. Storningen kan betraktas som plotslig. Vid ett spridningsexperiment anvander man som maltavla vateatomer i grundtillstandet. Fore spridningspro essen beskrivs alltsa vateatomen av grundtillstandets vagfunktion (r) = 1 e r=a 0
0
q
a30
dar a0 ar bohrradien. Efter spridningspro essen utfor atomkarnan en rekylrorelse, o h atomen beskrivs da av vagfunktionen (r; ; ') = 0 ei h vr os dar ar den redu erade massan, v ar karnans hastighet o h (r; ; ') ar sfariska koordinater for elektronen relativt karnan. Bestam sannolikheten for att man vid en matning av energin skall nna atomen i ett ex iterat tillstand. En elektron be nner sig i ett konstant elektriskt falt med faltstyrkan E. Bestam elektronens medela
eleration, d.v.s. tidsderivatan av hastighetens vantevarde. Visa att for en harmonisk os illator med V (x) = kx2 = 21 m!2x2 galler att d2 hxi + !2hxi = 0 :
X.18 X.19
dt2
X.20
X.21
Jamfor med motsvarande klassiska ekvation. Anvand Ehrenfests teorem for att visa det sa kallade virialteoremet: Om en partikel ror sig i ett potentialfalt V (r), sa galler for en godty kligt stationart tillstand 2 hT i = hr rV (r)i dar T ar den kinetiska energioperatorn. Ledning: Berakna dtd hr pi. Anvand virialteoremet for att visa att a/ for en harmonisk os illator i ett stationart tillstand a1r hT i = hV i = 21 E ; b/ for en vateatom i ett stationart tillstand ar hT i = 2 hV i = E :
32
XI APPROXIMATIONSMETODER XI.1
Uppskatta grundtillstandets energi for vateatomen med hjalp av variationsmetoden. Anvand rdarvid en vagfunktion av formen a) = N e ; b) = N e r . En partikel med massan m ror sig i ett entralfalt med den potentiella energin 1 V (r) = k r2 2 Berakna grundtillstandets energi mha variationsmetoden o h utga fran ansatsen (r) = A e r : Med hur manga pro ent skiljer sig svaret fran det exakta vardet ? En partikel med massan m ror sig i en potential 4 h 2 : V (r) = V0 e r=a ; V0 = 3 m a2 Gor en uppskattning av grundtillstandets energi m.h.a. variationsmetoden, o h anvand en vagfunktion av formen (r) = N e r : 2
XI.2
XI.3
XI.4
En partikel med massan m kan rora sig langs x-axeln under inverkan av potentialfaltet 1 m ! 2 x2 om jxj a 2 V (x) = 1 om jxj > a dar konstanterna ! o h a ar sadana att h 2 h ! (
m a2
XI.5
Bestam grundtillstandets energi m.h.a. forsta ordningens storningsrakning! En partikel med massan m ar rorlig langs x-axeln. Den paverkas av ett potentialfalt av formen 0 om 0 < x < a eller 3a < x < 4a om a < x < 3a V (x) = V1 1 om x < 0 eller x > 4a dar V1 ar liten jamfort med grundtillstandets energi. Bestam energierna for samtliga stationara tillstand, m.h.a. forsta ordningens storningsrakning. 8 > < > :
33
XI.6
Hamiltonoperatorn for en i ke-relativistisk linjar harmonisk os illator kan skrivas pa formen 1 p2 H0 = x + m ! 2 x2 ; 2m 2 dar m ar os illatorns massa o h ! ar dess vinkelfrekvens. Lagsta ordningens relativistiska korrektion har formen H1 =
XI.7
XI.8
p4x 8 m3 2 ;
dar ar ljushastigheten. Bestam den harav orsakade andringen i grundtillstandets energi. Hur stor blir andringen om m ar en elektronmassa o h h ! har vardet 10 eV? En partikel med massan m ror sig i det endimensionella potentialfaltet V (x) = V0 + V1 x + V2 x2 + V3 x3 + V4 x4 ; dar V1, V3 o h V4 ar sma jamforda med V2. Berakna de tre lagsta energinivaerna m.h.a. forsta ordningens storningsrakning. For att studera vibrationsrorelserna hos tvaatomiga molekyler kan man anvanda foljande endimensionella modell. En partikel med massa ror sig langs x-axeln under inverkan av en kraft med potentialen V (x) = V0 e 2 a (x x ) 2 e a (x x ) ; dar a; x0 o h V0 ar konstanter. For grundtillstandet o h det lagsta ex iterade tillstanden galler att partikeln be nner sig nara jamviktslaget x = x0 , o h potentialen kan darfor approximeras med hjalp av taylorutve klingen 1 1 1 V (x) = V (x0 )+ V 00 (x0 ) (x x0 )2 + V 000 (x0 ) (x x0 )3 + V (4) (x0 )(x x0 )4 +: : : 2 6 24 dar den linjara termen saknas pa grund av att V 0 (x0 ) = 0. Berakna forst grundtillstandets energi genom att forsumma alla termer utom de tva forsta, o h bestam sedan med lagsta ordningens storningsteori bidragen fran tredje o h fjarde termen! Satt in si ervarden som ar relevanta for H2 -molekylen, namligen a = 20 nm 1 , V0 = 4:37 eV, x0 = 0:074 nm o h = 0:84 10 27 kg. OBS! Trots att x st ar for avstandet mellan atomerna i molekylen kan man i denna endimensionella modell lata alla integraler over x ga fran 1 till +1. h
0
34
0
i
XI.9
For att studera relativistiska e ekter i vateatomens grundtillstand kan man anvanda hamiltonoperatorn 2 2 h 2 2 e2 1 1 2 h H= 2 me r 4 " 0 r + 2 me r 2 a 0 ; dar ar nstrukturkonstanten o h a0 ar bohrradien. Berakna grundtillstandets energi med hjalp av forsta ordningens storningsrakning! Om vateatomens karna antages vara en sfar med radien R, vari laddningen ar jamt fordelad, fas omkring karnan en elektrostatisk potential V (r), given av e 1r 3 om 0 r R 4" R 2 2R V (r) = e om r R : 4" r Berakna med forsta ordningens storningsrakning grundtillstandets energi for en elektron som ror sig under inverkan av denna potential. Utga darvid fran grundtillstandet for en elektron i potentialen fran en punktladdning. Endast den lagsta fran noll skilda termen i en utve kling i parametern R=a0 behover medtagas i svaret (a0 ar bohrradien). Litiumatomen har som bekant tre elektroner, men den kan i manga sammanhang behandlas som en enelektronatom, eftersom de tva innersta elektronerna huvudsakligen upptrader som ett skarmande laddningsmoln kring karnan. En enkel modell baseras pa antagandet att den yttre elektronen pa grund av skarmningen ror sig i ett e ektivt potentialfalt av formen
XI.10
8 > > < > > :
2
2 2
0
2
0
XI.11
Ve =
e2 4 "0 r 1 + 2 e
3r a0
dar a0 ar bohrradien. Berakna valenselektronens energi i grundtillstandet, om den andra termen i parentesen kan behandlas som en liten storning. Grundtillstandet ar ett 2s-tillstand, o h motsvarande vagfunktion for vate har formen 1 1 r e ra : 2s (r; ; ') = 2 a0 8 a30 Vid en approximativ behandling av erelektronatomer anvander man ofta den sa kallade entralfaltsmodellen. Den baseras pa antagandet att varje elektron i atomen ror sig i ett entralfalt, som tar hansyn till att oulombfaltet fran karnan skarmas av de ovriga elektronerna. Ett enkelt pa en sadan skarmad potential ar
2 0
q
XI.12
;
Ze e2 4 "0 (r + r0 ) ;
V (r) =
dar Ze o h r0 ar positiva konstanter. Bestam med storningsteori egenenergin for en 2s-elektron som ror sig i detta falt under forutsattning att r0 a0 =Ze , dar a0 ar bohrradien. 35
XI.13
En partikel ror sig under inverkan av en skarmad Coulomb potential av formen V (r) =
e2 4 "0 r e
r
:
Berakna grundtillstandets energi m.h.a. forsta ordningens storningsrakning. Lat den ostorda hamiltonoperatorn vara densamma som for vateatomen med tillhorande egenfunktion for grundtillstandet, a0 ar bohrradien, h 2 2 e2 1 e r=a : H0 = r ; o h 0= 2m 4 "0 r a30 q
XI.14
0
Tva partiklar med samma massa m paverkar varandra med en kraft svarande mot potentialen a V (r) = + br ; r
dar a o h b ar positiva konstanter. Bestam grundtillstandets energi under antagandet att termen b r kan betraktas som en liten storning. Ledning: Grundtillst andets vagfunktion for en vateatom ar av formen A e r dar A o h ar vissa konstanter. (Anmarkning: Denna o h liknande potentialer har foreslagits for att approximativt beskriva vaxelverkan mellan \kvarkar", d.v.s. de hypotetiska partiklar som antas vara byggstenar for bl.a. nukleoner o h mesoner.)
36
XII ELEKTRONENS SPINN
XII.1
XII.2 XII.3 XII.4 XII.5
XII.6
XII.7
En strale av silveratomer med hastigheten 700 m/s passerar mellan tva magnetpoler, som utformats sa att de ger upphov till ett inhomogent magnetfalt. Varje silveratom paverkas darvid av kraften r (m B), dar B ar den magnetiska
odestatheten o h m ar silveratomens magnetiska moment, vilken kan anses vara detsamma som for en fri elektron. Flodestatheten i det aktuella omradet anges av det approximativa uttry ket B = (B0 + z) z^, dar z ar koordinaten vinkelratt mot stralens infallsriktning, ar en konstant med vardet 300 T/m o h B0 ar en konstant vars varde ar ovasentligt i detta sammanhang. Man nner att stralen uppsplittras i tva komponenter. Hur stor ar seperationen Æ mellan de bada komponenterna pa avstandet 0,10 m fran den punkt dar stralen kommer in i faltet? Hur stort ar det magnetiska moment som alstras av elektronens banrorelse i vateatomens grundtillstand enligt Bohrs modell o h enligt den kvantmekaniska modellen? Vad ar vinkeln mellan det totala rorelsemangdsmomentet o h banrorelsemangdsmomentet for tillstandet 2P3=2 ? En atomar 3d-niva uppspaltas pa grund av spinnbankopplingen i tva nstrukturkomponenter. Ange de spektroskopiska bete kningarna for dessa. Atomer med en valenselektron i s-tillstandet utanfor ett slutet elektronskal be nner sig i ett homogent magnetfalt med odestatheten 0,4 T. Om atomerna utsatts for elektromagnetisk stralning av en viss energi intra ar resonansabsorption (elektronspinnresonans), d.v.s. spinnriktningen omorienteras i faltet. Berakna den fotonvaglangd for vilken detta sker. Hamiltonoperatorn for en elektron, som ror sig i ett entralfalt med den potentiella energin V (r) innehaller pa grund av spinnbankoppling en term av formen 1 1 dV (r) L^ S^ : H^ SB = 2 m2 2 r dr Bestam harur nstrukturuppsplittringen av vateatomens 2p-niva. Natriumatomen kan i manga sammanhang behandlas som en enelektronatom. Dess hamiltonoperator skrivs da pa formen (r) H^ = H^ 0 + 2 L^ S^ ; h dar H^ 0 ar hamiltonoperatorn for en partikel i ett entralfalt. Den sista termen kommer av spinnbankopplingen, o h den ger upphov till nstruktur i spektret. Bland annat uppspaltas den spektrallinje som svarar mot overgangen 3p ! 3s i tva komponenter. Detta ar den gula sa kallade D-dubletten i natriums spektrum, o h enligt TEFYMA har dess komponenter vaglangderna 5889,953 A respektive 5895,923 A. Berakna harur vantevardet av spinn-bankopplingsfunktionen (r) i 3p-tillstandet. Svaret skall anges i eV. 37
XII.8
XII.9 XII.10
Den gula dubletten i natriums spektrum uppstar vid overgangarna p3=2 ! s1=2 . Skillnaden i vaglangd mellan de bada linjerna i dubletten ar 0,597 nm. a) Ange hur dessa linjer uppsplittras i narvaro av ett yttre magnetfalt! b) Vid en viss styrka hos magnetfaltet kommer en av komponenterna i nivan p3=2 att sammanfalla med en av komponenterna i nivan p1=2 . Berakna den magnetiska
odestatheten for vilken detta intra ar! Man observerar en spektrallinje i kaliums P-serie, 72P3=2 - 42S1=2 , med vaglangden 3217 A. Landes g-faktor ar 4/3 for P3=2 o h 2 for S1=2 . Berakna uppspaltningen i vaglangd av linjen i ett yttre magnetfalt 2,14 T. Positronium bestar av en elektron o h en positron, som ar bundna till varandra. Hamiltonoperatorn for systemet kan approximativt skrivas som H = H0 +
XII.11
A S S ; h 2 1 2
dar H0 ar spinn-oberoende o h dar den andra termen representerar energibidraget pa grund av kopplingen mellan elektronens spinn S1 o h positronens spinn S2 . Denna koppling ger upphov till en uppsplittring av grundtillstandet i tva termer med de spektroskopiska bete kningarna 1S o h 3S, svarande mot vardena 0 resp. 1 pa det totala spinnet. O vergangsfrekvensen mellan dessa termer ar 2 105 MHz. Berakna konstanten A uttry kt i eV. Som bekant orsakas nstrukturen i atomara spektra av kopplingen mellan elektronernas spinn o h deP ras banrorelse. En likartad koppling nns mel- 4p lan elektronholjet o h atomkarnan, o h den ger upP phov till ytterligare en uppsplittring av nstrukturnivaerna (hyper nstruktur). Om atomkarnan har ett 4s S rorelsemangdsmoment I (jIj = h I (I + 1)), sa kopplas detta till det elektroniska rorelsemangdsmomentet J (jJj = h J (J + 1)) genom en term i hamiltonoperatorn, 2 AIJ; Hhfs = h dar A ar hyper nstrukturkonstanten (i frekvensenheter) for ifragavarande nstrukturniva. Figuren visar ett s hematiskt energinivadiagram for kalium med hansyn tagen till spinnbankopplingen . a) Ange i hur manga hyper nstrukturnivaer var o h en av de tre angivna nstrukturnivaerna uppsplittras. Karnspinnet ar I = 3/2. b) Berakna storleken av uppsplittringen mellan de olika hyper nstrukturnivaerna om A(2 S1=2 ) = 230,0 MHz, A(2 P1=2 ) = 29,0 MHz, A(2 P3=2 ) = 6,1 MHz. or det totala banrorelsemangdsmomentet F = I + J, o h anvand att Ledning: Inf jFj = h F (F + 1) , dar F kan anta vardena jI J j; jI J j + 1; : : : ; I + J . 2
3/2
2
1/2
q
q
q
38
2
1/2
XII.12
Hamiltonoperatorn for en elektron i ett magnetfalt med odestatheten B langs z -axeln ar 2 B p^2 H^ = x + B S^z ; 2m h dar S^z ar z-komponenten av spinnoperatorn. Vid tiden t = 0 galler att h vantevardet av spinnet ar hS (0)i = 2 x^ dar x^ ar en enhetsvektor langs x-axeln. Berakna hS (t)i, d.v.s. vantevardet av spinnet vid en godty klig tid t!
39
XIII VA XELVERKAN MELLAN ATOMER OCH STRALNING XIII.1
En linjar harmonisk os illator med vinkelfrekvensen !, massan m o h laddningen q paverkas av ett homogent elektriskt falt, vars faltstyrka varierar i tiden enligt formeln E (t) =
XIII.2
A exp
dar A o h ar konstanter. Antag att os illatorn vid tiden t = 1 be nner sig i sitt grundtillstand o h berakna sannolikheten for att den vid tiden t = +1 skall be nna sig i det forsta ex iterade tillstandet! Diskutera sarskilt gransfallet ! 0 o h ! 1. Lagsta ordningens storningsrakning far anvandas. En vateatom i grundtillstandet be nner sig mellan plattorna till en plankondensator. O ver plattorna laggs en tidsberoende spanning, sa att mellan plattorna alstras ett homogent elektriskt falt av formen 0 t for t < 0 E= E0 e for t 0 : Berakna sannolikheten for att man efter lang tid skall nna vateatomen i 2stillstandet genom tillampning av forsta ordningens storningsrakning. Lagsta ordningens storningsrakning far anvandas. En vateatom be nner sig for t 0 i sitt grundtillstand. For t > 0 palagges en yttre storning vilken ger upphov till en potentiell energi av formen t V (r; t) = V0 z e sin ! t : Vad ar sannolikheten att atomen efter lang tid be nner sig i ett 2p-tillstand? Lagsta ordningens storningsteori kan anvandas. Enligt gyllene regeln bestams sannolikheten for dipolovergangar i enelektronatomer av matriselementet hkj ep^ jsi. Visa att detta kan skrivas pa formen hkj ep^ jsi = i !kshkj er jsi ; dar hkj er jsi ar matriselementet av atomens elektriska dipolmoment. Harled urvalsreglerna for dipolovergangar i enelektronmodellen genom att utfora vinkelintegrationerna i dipolmatriselementet. Spinnbankopplingen antas forsumbar, sa att l, ml o h ms ar goda kvanttal. Berakna forhallandet mellan totala overgangssannolikheterna for overgangarna overgang) o h 211 ! 100 (-overgang) i ett vateliknande sys210 ! 100 ( - tem. (
XIII.3
XIII.4
XIII.5 XIII.6
!
t2 ; 2
40
XIII.7
En linjar harmonisk os illator med vinkelfrekvensen !, massan m o h laddningen q paverkas av ett homogent elektriskt falt som os illerar i tiden enligt formeln E = E0 os t : Berakna overgangssannolikheten per tidsenhet mellan a) grundtillstandet o h det forsta ex iterade tillstandet, b) det forsta o h det andra ex iterade tillstandet, ) grundtillstandet o h det andra ex iterade tillstandet.
41
XIV ENKEL TEORI FO R FLERELEKTRONATOMER
XIV.1
XIV.2 XIV.3
XIV.4
Skriv ner uttry ket for hartreepotentialen for en 1s- respektive 2s-elektron i litiums grundtillstandskon guration. Berakna hartreepotentialen fran ett fyllt p-skal, t.ex. 2p6, for att visa att potentialen i det fallet ar entral. Vilka av nedanstaende egenskaper andras periodiskt med atomnumret: a) valens, d) karakteristiskt rontgenspektrum, b) atomvolym, e) jonisationspotential,
) smaltpunkt, f) elektronaÆnitet. Vad ar orsaken till skillnaderna i beroendet av atomnumret hos dessa egenskaper? Vidstaende gur anger forsta jonisationspotentialen o h angbildningsvarmet for en rad element som funktion av Z . Hur kan det komma sig att samma slags av periodi itet kan forekomma hos tva sa olika fysikaliska egenskaper? eV 25 Z=2 He Z=10 Ne 20 Z=18 Ar
Z=36 Kr
15
Z=54 Xe 10
Z=80 Z=86 Hg Rn
Z=48 Cd
Z=30 Zn
Heat of vaporization, kJ/mol
1000 jonisationsenergi
100
10
Rn
Xe
Kr
Ar Ne
1
0.1 5
Ga Li
Rb
K
Ti
In
Na
Fr
He
Cs
0 10
XIV.5 XIV.6 XIV.7 XIV.8
20
30
40
50
60
70
Z
80 Atomnummer
10
20
30
40
50 Z
60
70
80
90
Vilket ar viktigast for att bestamma det kemiska uppforandet hos en atom, antalet neutroner eller antalet protoner? Varfor? Varfor ar forsta jonisationsenergin storre for forsta-skals-elementen H o h He an for andra-skals-elementen Li-Ne? Varfor okar forsta jonisationspotentialen i allmanhet fran Li till Ne? Varfor skulle du vanta dig en plotslig o h dramatisk okning mellan 4:e o h 5:e jonisationsenergierna hos kol?
42
XV SPEKTROSKOPI
XV.1
XV.2 XV.3
XV.4 XV.5
Tabellen nedan ger vardena for spektraltermerna (i m 1) for litiumatomen. n s p d f 2 43 486 28 582 3 16 280 12 560 12 203 4 8 475 7 018 6 864 6 856 5 4 390 4 382 a) Berakna kvantdefekterna for dessa termer, o h visa att korrektionerna ar konstanta inom varje termserie. b) Ange vilka termer som ar mest vatelika m.a.p. spektraltermernas varde o h ge en forklaring av detta. Den fundamentala termen for litiumatomen ar T2s = 43 486 m 1. Vilka spektrallinjer uppkommer nar en ex iterad atom atergar fran tillstandet 3p till tillstandet 2s, om den direkta overgangen 3p ! 2s svarar mot linjen 3233 A. Berakna o h konstruera ett skalenligt termdiagram for natriumatomen, vars grundtillstand ar 3s. Vaglangden for resonanslinjen (589 nm), prin ipallinjen i den di usa serien (819 nm), prin ipallinjen i den fundamentala serien (1846 nm) samt gransen av prin ipalserien (241 nm) ar givna. Begransa diagrammet till termer med huvudkvanttalen 3 o h 4. (Resonanslinjen ar den linje som svarar mot overgangen mellan grundtillstandet o h det lagsta ex iterade tillstandet.) Vaglangden for resonanslinjen fran kalium, vilken svarar mot overgangen 4p ! 4s, ar 7665 A, o h vaglangden for prin ipalseriegransen ar 2558 A. Berakna darur Rydbergkorrektionerna for s- o h p-termerna i kaliumatomen. Kvantdefekterna for s-, p- o h d-termerna i natriumatomen ar 1.37, 0.90, 0.01 respektive. Lat termerna representeras av uttry ket R (Z )2 T = ; nl
XV.6
n2
dar Z ar karnans atomnummer. Berakna korrektionen for termerna 3s, 3p o h 3d. Vad ar den fysikaliska inneborden av korrektionen ? Som framgar av nedanstaende tabell sa avtar jonisationspotentialen for alkaliatomer o h negativa alkalijoner, nar man gar ner genom forsta kolumnen i det periodiska systemet. a) Hur stammer tabellens varden for alkaliatomer med vad en vateliknande modell forutsager utan kvantdefekter?
43
Con guration
forts.
Li Li
1s2 2s 1s2 2s2
Ionization potential Dipole polarizability (in units of 13.6 eV) (in units of a30 ) 0.40 165 0.0452
Na Na
1s2 2s2 2p6 3s 1s2 2s2 2p6 3s2
0.38 0.0396
166
K K Rb Rb
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 5s 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 5s2
0.32 0.0344 0.31
281
Cs Cs
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 5s2 5p6 6s 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p6 4d10 5s2 5p6 6s2
0.29 0.0287
296 363
b) Vilka kvantdefekter kravs for att f a tabellens resultat?
) Forklara kvalitativt varfor jonisationspotentialen avtar s a l angsamt nar man g ar ner at i tabellen! d) Varfor skiljer sig vardena for en atom o h motsvarande jon at?
XV.7
XV.8 XV.9
Vidstaende gur ger litiums atomara nivas hema. a) Kan en grov beskrivning av elektrostatiska potentialens variation inuti atomen ge en forklaring varfor 2snivan avviker mera fran motsvarande vateliknande niva an 2p-nivan? b) En spektrallinje uppstar vid overgangen 2 P3=2 !2 S1=2 I hur manga komponenter splittras linjen upp i ett svagt magnetfalt? Vaglangden for L -linjen fran koppar ar 1.332 nm. Vilken skarmningskonstant maste man anvanda for att erhalla detta varde, om man utgar fran en ansats med vateliknande orbitaler? (Vateatomens energinivaer hittar du i Physi s Handbook.) I rontgenspektret for ett mineralprov nner man bland annat tre linjer med vaglangderna 40.029 pm, 29.845 pm o h 23.666 pm. Den forstnamnda identi eras som K 1 -linjen fran grundamnet 55 Cs o h den sistnamnda identi eras som K 1-linjen fran grundamnet 70 Yb. Fran vilket grundamne harror den mellanliggande linjen, om o ksa den antas vara en K -linje?
44
XV.10
Enligt larobo kerna i fysik ar uran med atomnummer 92 det tyngsta i naturen forekommande grundamnet. Bland karnfysiker har man ? emellertid sedan lange spekulerat i att det kan nnas relativt stabila karnor med betydligt hogre atomnummer. Sadana \supertunga element" trodde man sigar 1976 ha uppta kt i vissa mineraler (glimmer) fran Madagaskar. Figuren visar experimentellt bestamda rontgenspektra for tva prover av vilka det som bar bete kningen \Giant Halo 19D" ansags innehalla supertunga element. Spe iellt har i guren markerats ett maximum som identi erades med en L -linje fran grundamne nr 126. Ett annat maximum, som markerats med ett fragete ken, skulle kunna vara motsvarande L -linje fran ett annat supertungt element. Vilket atomnummer har i sa fall detta? (Figuren ar en latt modi erad version av gur fran Gentry et al., Phys. Rev. Lett. 37, 11 (1976); Copyright Ameri an Physi al So iety.)
XV.11
En metod, som kallas ESCA (Ele tron Spe tros opy for Chemi al Analysis), anvands allt mer till att bestamma bindningsenergierna for elektroner i atomer, molekyler o h fasta amnen. I metoden later man rontgenstralning sla ut en elektron, varefter man mater denna elektrons kinetiska energi. Vidstaende gur illustrerar hur bindningsenergin for en innerelektron i C beror pa omgivningen (huruvida en O- eller H-atom ar narmast). Diskutera huruvida metoden gor skal for sitt namn d.v.s. kan anvandas for kemisk analys. Motivera huruvida skift i bindningsenergierna av den typ, som guren illustrerar, kan hanga ihop med valenselektronerna, d.v.s. vara \kemiska skift". Ledning: Motiveringarna kan f a vara kvalitativa, d.v.s. beskrivande.
45
XVI TERMUPPSPALTNING XVI.1
XVI.2 XVI.3 XVI.4 XVI.5 XVI.6
XVI.7 XVI.8 XVI.9
Skriv ner alla mojliga LS-termer for en kon guration med en p-elektron o h en d-elektron utanfor slutna skal. Ange spektralbete kningarna! Mangan har i grundtillstandet ett pre is halvfyllt subskal innehallande 5 elektroner. Ange elektronkon gurationen for subskalet o h grundtillstandstermen for atomen. Visa for ett tvaelektronsystem med l1 = 2 o h l2 = 3 att bade LS-koppling o h jjkoppling ger samma antal mojliga tillstand. Hur kan man experimentellt avgora vilken typ av koppling som bast beskriver systemet? En foton absorberas av en Ca-atom i grundtillstandet, varvid en 3p-elektron ex iteras till 3d (begynnelsekon gurationen ar alltsa ...3p6 4s2 o h slutkon gurationen ar 3p53d4s2 ). Ange vilka av termerna (LS-koppling) i slutkon gurationen som kan ex iteras av fotonen samt ange deras inbordes ordning m a p energin. En ex iterad elektronkon guration for neon ar 1s2 2s2 2p53p. Ange vilka LS-termer som erhalls ur denna kon guration o h ordna dem efter okande energi. Ange o ksa for var o h en av termerna huruvida atomen kanaterga till grundtillstandet genom att utsanda dipolstralning. En boratom be nner sig i ett ex iterat tillstand med kon gurationen 1s2 2s2p3p. Genom att utsanda dipolstralning atergar atomen till grundtillstandskon gurationen 1s2 2s2 2p. a) Hur manga olika spektrallinjer kan denna overgang ge upphov till, om man bortser fran nstrukturen orsakad av spinnbankoppling? b) Hur manga nstrukturkomponenter innehaller var o h en av dessa spektrallinjer? Bestam de mojliga vardena pa kvanttalet J for ett elektronsystem med L = 3, om S antar vardena 3/2, 2, 5/2 o h 4. Bestam med hjalp av urvalsreglerna for kvanttalen l o h j antalet spektrallinjer svarande mot overgangar mellan foljande rontgentermer: K ! L, K ! M, L ! M. Nedanstaende tabell anger nstruktursplittringen for nagra av termerna i kal iumatomens spektrum. Fyll i de varden som fattas, utgaende fran antagandet att LS-koppling galler! Kon guration 3d3d 3d3d 4s4p 4s4p 3d4s 3d4s
Termer 3 P ;3 P 1 0 3 P ;3 P 2 1 3 P ;3 P 1 0 3 P ;3 P 2 1 3 D ;3 D 2 1 3 D ;3 D 3 2
Energiskillnad (eV) 16:7 10 4 ? 64:9 10 4 ? 16:9 10 4 ?
46
XVII TILLA MPNING PA HELIUM XVII.1
XVII.2 XVII.3 XVII.4 XVII.5
XVII.6
Berakna grundtillstandets energi for heliumatomen med hjalp av forsta ordningens storningsteori. Utga darvid fran vateliknande vagfunktioner o h betrakta hela elektron-elektronvaxelverkan som en storning. Berakna grundtillstandets energi for heliumatomen med hjalp av variationsmetoden. Utga darvid fran vateliknande vagfunktioner men ersatt karnladdningen Z med en skarmad laddning Z , dar behandlas som en variationsparameter. Berakna grundtillstandets energi for H -jonen med samma metod som i uppgift 2. Stammer resultatet av berakningen med det experimentellt funna faktum att jonen i fraga ar stabil? Visa att en foton i dipolapproximationen inte kan astakomma overgangar mellan tillstand med olika utbytessymmetri med avseende pa rumskoordinater. Berakna den energi som atgar for att helt jonisera en neutral heliumatom i grundtillstandet genom att plo ka bort bada elektronerna. I den spektralserie som svarar mot overgangarna 1s2 1S! 1s np 1 P gar vaglangden mot 50.34 nm om n (= 2, 3, : : :) blir my ket stort. Vidare vet man att jonisationsenergin for vate ar 13.60 eV. Figuren visar nagra av energinivaerna for helium, svarande mot kon gurationen av formen 1s nl. a) Varfor nns det ingen triplett med n = 1? b) Varfor har tripletterna genomgaende lagre energi an motsvarande singletter? Det ar inte tillra kligt att hanvisa till Hunds regler utan en fysikalisk forklaring kravs.
) Energierna for nstrukturkomponenterna av tripletten 3 P med n = 3 ar angivna i guren. Stammer forhallandet mellan energiskillnaderna inom tripletten med vad man vantar sig teoretiskt med utgangspunkt fran LS-kopplingen?
47
XVIII MOLEKYLFYSIK
XVIII.1 O vergangen mellan rotationstillstanden svarande mot kvanttalen L = 2 o h L = 3 svarar for CO-molekylen mot vaglangden 864 m. Berakna avstandet mellan atomerna i molekylen. XVIII.2 Troghetsmomentet for NH-radikalen ar 1,68 10 47 kgm2. Vid vilken frekvens sker overgangen mellan rotationstillstanden svarande mot L = 2 o h L = 3? XVIII.3 Bestam troghetsmomentet o h avstandet mellan karnorna for 1 H35Cl-molekylen. Frekvensskillnaden mellan tva narliggande linjer inom det infraroda rotationsbandet for molekylen ar = 20,9 m 1. Berakna aven motsvarande frekvensskillnad for DCl-spektret. XVIII.4 Vid studium av radiokallan Orion A fann L. E. Snyder o h D. Buhl ar 1974 en signal med frekvensen 86243 MHz, som de asso ierade med overgangar mellan tva rotationsnivaer i molekylen 28 Si16O. Denna tolkning av signalen har senare bekraftats genom laboratorieexperiment. Jamviktsavstandet mellan karnorna i molekylen ar 0,15097 nm. Vilka ar de tva aktuella rotationsnivaerna (dvs vilka J -kvanttal svarar de mot)? XVIII.5 Nedanstaende gur visar rotations-vibrationsspektrum for isotropiskt rent H35 Cl. Enligt den enklaste teorin borde avstandet mellan tva pa varandra foljande spektrallinjer vara konstant (sa nar som pa att en linje i mitten saknas), men av guren framgar att sa inte ar fallet. Vad kan det bero pa? Berakna molekylens vibrationsfrekvens samt avstandet mellan karnorna med hjalp av valda data ur guren.
48
XVIII.6 Den enklaste av alla molekyler L=2 ar vatemolekyljonen H+2, o h N=1 den har darfor varit foremal L=1 L=0 for stort intresse fran teoretiska fysikers sida. Tyvarr ar det svart att gora spektroskopiska undersokningar, darfor att molekylen av symmetriska skal vaxelverkar my ket svagt med ett yttre magnetfalt. Man har L=3 funnit det lattare att bestamma spektra for joner av typen HD+ L=2 eller HT+ , dar ena vateatomen N=0 ersatts med en tyngre isotop L=1 L=0 (deuterium eller tritium). + Figuren som visar de lagsta rotations- o h vibrationsnivaerna for HD -jonen, ar baserad pa experiment av Wing m. . (Phys. Rev. Lett. 36, 1488 (1976)) o h teoretiska berakningar av Bishop (Phys. Rev. Lett. 37, 484 (1976)). Vilka si ror skulle statt i guren om det gallt H+2 istallet for HD+? XVIII.7 Oktatetraen, C8 H10 , har formen av en si ksa kkedja med kolatomerna i ett plan. Langden hos kedjan ar ungefar 9,6 A. Uppskatta den lagsta ex itationsenergin i eV for elektronerna under det enkla antagandet att -elektronerna ror sig i en linjar endimensionell box med langden 9,5 A. XVIII.8 Betrakta den hypotetiska ykliska molekylen C4 H4 : Ange -elektronsystemets energinivaer om H -matrisen antas vara E0 for k = 1: for k o h l narmaste grannar. Hkl = K 0 for ovrigt, o h overlappsintegralen Skl = Ækl .
{
8 > < > :
H
H C
C
C
C
H
H
49
(teori)
1913 cm−1
(exp)
1824 cm−1
(exp)
1869 cm−1
{
XVIII.9 I butandienmolykylen C4H6 nns χ1 + C molekylorbitaler som stra ker sig langs hela molekylen. Dessa kan enligt LCAO-metoden skrivas som linjarkombinationer av atomara orχ2 + C bitaler, i detta fall kolatomernas p-orbitaler. Med hjalp av symmetriargument sluter man sig till att χ3 + C vagfunktionen for den av dessa molekylorbitaler som ger den starkaste bindningen bor kunna skrivas pa formen + C χ4 = C1 ( 1 + 4 ) + C2 ( 2 + 3 ) dar 1 , 2 , 3 o h 4 ar vagfunktionerna for de atomara p-orbitalerna (se guren). Konstanterna C1 o h C2 kan beraknas med hjalp av variationsmetoden under bivillkoret C12 + C22 = 1/2. Bestam energin for denna molekylorbital uttry kt i foljande givna storheter: h i j j i = Æij : om i = j om ji j j = 1 0 for ovrigt Det far antas, att vagfunktionernas faser ar valda sa att konstanten ar reell ( ar ju med nodvandighet reell). Dessutom galler i detta fall att ar negativ, vilket i sin tur leder till att C2 maste ha samma te ken som C1 for att orbitalen skall vara bindande. XVIII.10 H+2 har i grundtillstandet en energi som ar 2,65 eV lagre an energin for systemet bestaende av en vateatom i grundtillstandet o h en proton pa oandligt stort avstand fran varandra. For att overfora H2 i grundtillstandet till tva vateatomer (pa oandligt stort avstand fran varandra) i grundtillstandet maste 4,48 eV tillforas.+ Berakna a) energin for H2 i forhallande till H+ + H+ + e , da partiklarna ar pa oandligt avstand fran varandra. b) energin for H+2 + e (oandligt avstand) i forhallande till energin for tva oandligt separerade vateatomer i grundtillstandet.
) jonisationsenergin for H2. XVIII.11 Varfor ar bindningsavstandet kortare i H2 (0,74 A) an i H+2 (1,06 A)? Varfor ar disso iationsenergin for H2 (4,48 eV) mindre an dubbelt sa stor som for H+2 (2,65 eV)? i H^ j
D
E
=
8 > < > :
50
XVIII.12 Forklara varfor H2 bor vara mindre stabil an He+2 , om de har samma elektronkon guration. XVIII.13 Om overlappsintegralen S uppritas som funktion av karnavstandet R framgar att for overlapp mellan 2p-atomorbitaler i en -bindning okar S hela tiden da R minskar o h ar 1 for R = 0. For tva 2p-atomorbitaler i en -bindning daremot okar S till en borjan da R minskar for att sedan ha ett maximum. S vaxlar sedan te ken vid R 0,7 A. Forklara! XVIII.14 Vilken elektronkon guration har C+2, N+2 o h O+2? XVIII.15 Harled grundtillstandstermen for C+2 o h O+2. XVIII.16 Avgor med hja+lp av MOLCAO-s hemat vilka av foljande molekyler som ar stabila: H2, Be2 o h O2 . XVIII.17 Forklara med MOLCAO-s hemat foljande resultat: + Disso iationsenergin for N2+ ar 6,35 eV o h for N2 7,38 eV. Disso iationsenergin for O2 ar 6,48 eV o h for O2 5,08 eV.
51
SVAR
========= Kapitel I ================ I. 1: 17 mm. I. 2: 1:74 1011 As/kg.2 2 I. 3: a) mq = U (22n +L 1)2 (n = 0; 1; 2; :::); b) = (2n + 1) 46:9 MHz. I. 4: 1:005 10 18 As = 6 e. I. 5: 4:6 10 14 m. I. 6: |{ I. 7: 0.3 s. ========= Kapitel II =============== II. 1: = a=T dar a = 2:8978 10 3 K m. II. 2: 5800 K. II. 3: 11 103 K. II. 4: 0.97 mm. II. 5: 1.3 m.
II. 6: u (; T ) = 2 u ; T II. 7: = bT , dar b = 5:8787 1010 Hz/K. II. 8: 1014 Hz. II. 9: 2700 K. II. 10: 1730 K. II. 11: C. II. 12: Ljusets intensitet ar storre i fall B. II. 13: Ljusets vaglangd ar mindre i fall B. II. 14: 387 mm. II. 15: Cs, K, Na, Al. II. 16: 1.5 eV ; max = 7:3 105 m/s. II. 17: 1:8 10 19 J ; 0:62 106 m/s . II. 18: a) 4.9 A ; b) 0.006 A . II. 19: a) 4.1 fVs ; b) 2.3 eV . II. 20: a) 2.2 eV ; b) 6:4 10 34 Js . II. 21: max = 1:21 1019 Hz ; min = 0:248 A . II. 22: a) h max okar till 50 keV, eventuellt upptrader nya karakteristiska linjer i intervallet 40-50 keV. b) h max minskar till 15 keV, de karakteristiska linjerna i guren forsvinner. II. 23: 6:59 10h 34 J s. II. 24: e = m = 2:426 10 12 m. II. 25: Comptonspridning ; 1 = 2:17 1019 Hz , 2 = 2:38 1019 Hz. II. 26: 25 pm ; 647 eV. II. 27: Comptonspridning genom vinkeln 71:2Æ. II. 28: 0.325 A. II. 29: 160 keV. II. 30: a 1 MeV. II. 31: 24.3 A.
i
II. 32: < 1:12 nm. II. 33: 13.6 eV. II. 34: a) 46.3 mm , 6:48 109 Hz ; b) 6:58 109 Hz. II. 35: neh =2m II. 36: Fyra linjer: = 4687.7 A, 4861.3 A, 4543.4 A, o h 4340.5 A. II. 37: 54.3 eV. II. 38: Ja. II. 39: 0.075 A. II. 40: 6.7 eV. II. 41: 14.2 MeV. II. 42: Relativa frekvensandringen ar 5:0 10 11 respektive 3:4 10 7. ========= Kapitel III ============== III. 1: 3:3 10 24 A. III. 2: 12.3 A ; 1.23 A ; 0.12 A ; 0.009 A . III. 3: 2:6 10 14 m . III. 4: 3:1 10 18 m ; ja . III. 5: 1.8 A . III. 6: |{ III. 7: Elektronmikroskopets upplosningsformaga ar a 40000 ggr storre. III. 8: 0.191 A . III. 9: 0:332 n2 eV, dar n = 1; 2; : : : . III. 10: 23.4 Æ . III. 11: 2.48 A . III. 12: 4 A . III. 13: a) 3.39 Æ ; b) Pla era en magnet bakom folien. III. 14: E1 = 90:9 eV ; d = 0:91 A . III. 15: 5 . III. 16: a) 0.2 nm ; b) stammer. III. 17: 1:09 106 m/s . III. 18: 2.4 m . III. 19: 10 MeV . III. 20: |{ III. 21: 6 10 5 m . III. 22: |{ III. 23: 10 14 m . III. 24: 8 10 15 m . III. 25: a) (x) = 2N sinxK x ; b) N = 2p1 K : III. 26: 3=2 a) (x) = N e jxj ; b) N = : III. 27: 1 1 : x2 (x) = + i k0 x ; x = exp 2 1 = 4 2 k 4 (x) 4 2 (x)2 #
"
h
i
ii
III. 28:
[ x x0 (t)℄2 1 exp 4 [x (t)℄2 + i k0 x + i ' ; (x) = 4 2 [x (t)℄2 1 1 + h 2 t2 (k)4 : h k x0 (t) = 0 t ; x (t) = m 2 k m2 ! vf = 0 + k ; vg = 2 k : k (
)
q
s
III. 29: III. 30: III. 31:
q 2
02 :
3 2T vg = (grunt vatten) , vf = 2 % g 1 g vf = ; vg = (djupt vatten) . 2 2 2 ========= Kapitel 4 ================ IV. 1: |{ IV. 2: jKj = 2 mh 2E ; (x; t) = A exp i K r Eh t : IV. 3: h k E= 2 m: IV. 4{7: |{ IV. 8: 2 2 2 h a) En = n 2 m a2 ; n = 1; 2; 3; : : : b) 2mah2 ; 45m ah2 ; 43m ah2 : IV. 9: 4 respektive 4 1022 . IV. 10: hxi = 0 ; hx2 i = a2 13 n222 IV. 11: a) 0.195 ; b) 0.402 ; ) 1/3 ; d) 1/3 . IV. 12: h 2 2 n2x n2y n2z E= 2 m a2 + b2 + 2 ; nx; ny ; nz = heltal > 0: IV. 13: 10 6 . IV. 14: 30 1 10 N = 5 ; h 2i = 2 : a x a IV. 15: 128 a : 45 2 IV. 16: 1 ; b) hxi = 0 ; ) a = 1 : a) N = p 2b b s
s
2T ; %
s
s
s
s
!
s
iii
IV. 17:
48 m2 (x)4 p = 5 10 kg m/s ; = : h 2 ========= Kapitel V ================ V. 1: hpi = h k ; hp2i = h 2 k2 ; p = 0 . V. 2: Nej. V. 3: p = h k . ========= Kapitel VI =============== VI. 1 - 2: |{ VI. 3: 3% . VI. 4: 0.64 A . VI. 5: 0.67 . VI. 6: 10 16 . VI. 7: 8 m a 2 V0 : n2 2 h 2 ; d a r n a r ett heltal E = V0 + n > 8 m a2 2 h 2 VI. 8: 28 Æ . VI. 9: 2 tan = 1 2 2 h 2 m V0 : ; d a r , med = a En = V0 + eller 0 2 m a2 h 2 2 1
ot = VI. 10: h 2 2 V0 > 8 m a2 : VI. 11: 2 . VI. 12: p 2 3 h 2 V0 = ar tan 2 : 2 m a2 VI. 13: 16 E02 exp 2 V0 b 1 ; dar E = 2 h 2 : 0 h V0 E0 a 2 m a2 ========= Kapitel VII ============== VII. 1: p km h k 4 km 3 h k km E1 = ; E2 = ; = = ; A= 2 2 ; B= 2 m 2 m 2 h h h 2 VII.2{3: |{ VII. 4: hpxi = 0 ; hp2xi = m 2h ! : VII. 5: 16% . VII. 6: 3% . VII. 7: 186 meV , 559 meV . 25
t2
0
"
s
8 > > > > <
r
> > > > :
r
0
s
1 A
s
0
s
!#
s
!1
8
iv
1
4
!3
8
:
VII. 8: VII. 9:
a)
V0 + a h
s
V0 2 ;
b)
4:1 eV .
e2 E 2 1 En = n + h ! 2 2 m !2 : ========= Kapitel VIII ============= VIII.1{2: |{ VIII. 3: a) Lx = Ly = h 12 [l (l + 1) m2 ℄ ; b) Lxy = 0 . VIII. 4: 2 h 2 . VIII. 5: k 1 3 ; (n = 0; 1; 2; : : :) ; Dn = (n + 1) (n + 2) : En = + n h 2 m 2 VIII. 6: a) r ; b) p2 r ; ) p 2 :
q
VIII. 7:
VIII. 8:
0
s
Kuben:
E1
Sfaren:
E1
a2 jV0 j =
0
r0
2 = 29:61 2 mhV 2=3 ; h 2 = 25:65 2 m V 2=3 ;
2 h 2 8 :
h 2 2 m V2 2=3 h E2;3;4 = 52:47 2 m V 2=3 : E2;3;4 = 59:22
========= Kapitel IX =============== IX. 1: = a0 1 ; A = p1a ( a0 = bohrradien). IX. 2: a) a0 ; b) 5.24 a0 ; ) 4 a0 . IX. 3: 68% . IX. 4: a) 76% ; b) 5.3% . IX. 5: hri = 23 a0 ; h 1r i = a1 : 0 IX. 6: h 2 h 2 hEkini = 2 m a2 ; hEpoti = m a2 : 0 0 IX. 7: 2 2 hEkini = 8 mh a2 ; hEpoti = 4 mh a2 : 0 0 IX. 8: 10 14 . IX. 9: hjxji = hjyji = 158a0 ; hjzji = 154a0 : IX. 10: h : 3 0
m a0
v
IX. 11: |{ ========= Kapitel X ================ X. 1: 1 ; b) hH i = 13 h 2 2 a) N = p 6 m a2 6a
) Energier: h 2 h 9 h 2ma ma 2ma 2 1 Sannolikheter: 61 3 6 X. 2: 0.9986 . X. 3: 2 h 9 h h Energier: 2ma ma 2ma 1 4 Sannolikheter: 49 9 9 X. 4: 88% . X. 5: |{ X. 6: |{ X. 7: 5=14 . X. 8: 75% . X. 9: 9 2 a ; hL2i = h 2 : A = 4 3 6 ; hri = 2 a 2 X. 10: p jLj = p2 h ; Lz = h (sannolikhet 50%) , jLj = 2 h ; Lz = h (sannolikhet 50%) . X. 11: p 2 hxi = hzi = 0 ; hyi = 5 2 r0 : X. 12: 2 (x; t) = a2 13 sin ax exp i 2m ha2 t + 23 sin 3 a x exp X. 13: |{ X. 14: 0.36 . X. 15: 2 1=4= 1 + p . X. 16: P(1s) = 0.65 ; P(2s) = 0.25 ; P(2p) = 0 . X. 17: v a0 2 4 1 1 + 2 h : e X. 18: mE X. 19{21: |{ ========= Kapitel XI =============== XI. 1: a) 11:6 eV ; b) 13:6 eV . 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2s
!
4
"
2 2 2
s
s
s
2 2 2
#
vi
s
!3
9 2 h t i 2 m a2
5
:
XI. 2: XI. 3: XI. 4: XI. 5: XI. 6:
E0 = h
s
3k ,
felet = 15% .
m
V0
32 :
1
1 h2 2 2 + m! a 2 32 m a 6
2
:
V1 V1 n h2 n2 + + sin 2 128 m a 2 n 2 :
3 ( h ! )2 E = 32 m 2 = 1:8 10 5 eV . XI. 7: 1 2 V2 3 h 2 V4 E0 = V0 + h 2 m + 8 m V2 ; 3 2 V2 + 15 h 2 V4 ; E1 = V0 + h 2 m 8 m V2 2 V2 39 h 2 V4 5 E2 = V0 + h 2 m + 8 m V2 : XI. 8: E0 = 4:1 eV ; E = 0:007 eV . XI. 9: h 2 5 2 : E= 1 2 2 me a0 4 XI. 10: 2 e 4 R 2 E= 8 "0 a0 1 5 a0 : XI. 11: e2 19 = 4:41 eV : E2s = 1 + 32 "0 a0 64 XI. 12: 2 e2 Ze r E0 = 1 4 Ze 0 : 32 "0 a0 a0 XI. 13: e2 a0 + 4 4 "0 h 2 : h 2 + ; d a r a = E= 0 2 m a20 4 "0 (2 + a0)2 m e2 XI. 14: m a2 3 b h 2 E0 = 2 h 2 + 2 m a2 : ========= Kapitel XII ============== XII. 1: 0.3 mme h. XII. 2: B = 2 m enligt Bohr; Noll enligt kvantmekaniken. XII. 3: 24Æ . XII. 4: 3 d3=2 o h 3 d5=2 . XII. 5: 2.7 m . XII. 6: 45 eV . XII. 7: h i = 1:4 10 3 eV . s
s
s
!
vii
XII. 8: XII. 9:
a) 6 respektive 4 linjer; b) 15.5 T . Sex komponenter med vaglangder av formen = 0 + , dar 0 = 3217 A o h = 0:172A ; 0:103A ; 0:034A . XII. 10: 8:3 10 4 eV . XII. 11: XII. 12: hS (t)i = h2 os 2 hB B t x^ + h2 sin 2 hB B t y^ : ========= Kapitel XIII ============= XIII. 1: A2 q 2 !2 2 exp 2 m h ! 2 : XIII. 2: 0 . XIII. 3: 3h : 215 a20V02!2 ; d a r ! ks = 2 8ma20 310h 2 1 + !ks2 + !2 XIII. 4: |{ XIII. 5: |{ XIII. 6: P210!100 /P211!100 = 1 . XIII. 7: |{ ========= Kapitel XIV ============== XIV. 1: e2 3 + 1 dr0 r02 jR (r0) j2 + jR (r0) j2 ; VH(1s) (r) = 2s 4"0 r 0 r> 1s 3 + 2 1 dr0 r02 jR (r0) j2 ; e2 VH(2s) (r) = 4"0 r r> 1s 0 dar r> = max(r; r0) : XIV. 2: 6e2 1 dr0 r02 R2 (r0) ; dar r> = max(r, r0) : VH = 4"0 0 r> 2p ========= Kapitel XV =============== XV. 1: Æs = 0.40 ; Æp = 0.04 ; Æd = 0.001 ; Æf = 0 . XV. 2: 26164 A , 8134 A , 6750 A . XV. 3: T3s = 4:144 106 m 1 ; T3p = 2:446 106 m 1 ; T3d = 1:225 106 m 1 ; T3f = 0:683 106 m 1 . XV. 4: Æs = 2.325 ; Æp = 1.947 . XV. 5: 3s = 9.16 ; 3p = 9.57 ; 3d = 9.997 . XV. 6: ÆLi = 0.42 ; ÆNa = 1.38 ; ÆK = 2.23 ; ÆRb = 3.20 ; ÆCs = 4.14 . XV. 7: a) Ja ; b) 6 . XV. 8: |{ XV. 9: 63 Eu . XV. 10: 124 . ========= Kapitel XVI ==============
!
i
h
2
"
"
Z
#
Z
Z
viii
#
XVI. 1: 1P1 , 1D2, 1F3, 3P0;1;2 , 3 D1;2;3, 3 F2;3;4 . XVI. 2: 6S5=2 . XVI. 3: |{ XVI. 4: 3P1 o h 1 P1 . Tripletten har lagst energi. XVI. 5: 3D, 3 P, 3S, 1D, 1 P, 1 S, dipolovergang endast fran 1P. XVI. 6: a) Tre linjer.3 ; b) En3 dublett, en triplett o h en kvartett. XVI. 7: L = 3, S = 2 =) J = 2 , 52 , 72 , 92 . L = 3, S = 25 =) J = 1,1 2,3 3,5 4,7 59 . 11 L = 3, S = 2 =) J = 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 . L = 3, S = 4 =) J = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . XVI. 8: K ! L ger 2 linjer ; K ! M ger 2 linjer ; L ! M ger 7 linjer . XVI. 9: 33:4 10 4 eV ; 129:8 10 4 eV ; 25:4 10 4 eV . ========= Kapitel XVII ============= XVII. 1: 74:8 eV . XVII. 2: 77:5 eV . XVII. 3: 12:9 eV ; stammer ej . XVII. 4: |{ XVII. 5: 79.0 eV . XVII. 6: ) stammer ej . ========= Kapitel XVIII ============ XVIII. 1: 1.12 A. XVIII. 2: 3.0 THz . XVIII. 3: I = 2:67 10 47 kgm2 ; R = 1:28 A ; For DCl fas = 10.7 m 1 . XVIII. 4: J = 1 o h J = 2 . XVIII. 5: 8:7 1013 Hz ; 1.3 A . XVIII. 6: HD+ + : 1869 m 1 , 1824 m 1 , 1913 m 1 . H2 : 2150 m 1 , 2090 m 1 , 2209 m 1 . XVIII. 7: 3.76 eV . XVIII. 8: E0 2 K , E0 , E0 + 2 K . p XVIII. 9: 5 + 1 : E = + 2 XVIII. 10: a) 16:25 eV ; b) 10:95 eV ; ) 15:43 eV . XVIII. 11: Tva elektroner ger mer fullstandig skarmning, o h karnorna kommer darfor narmare varandra. Repulsionen mellan elektronerna gor att disso iationsenergin inte blir dubbelt sa stor i tvaelektron-systemet som i enelektronsystemet. XVIII. 12: |{ XVIII. 13: XVIII. 14: C+2 (g 1s)22 (u 1s)22 (g 2s)22 (u 2s)22 (u2p)34 N+2 (g 1s) (u 1s) (g 2s) (u 2s) (u 2p) (g 2p)1 O22 (g 1s)2 (u 1s)2 (g 2s)2 (u 2s)2 (u2p)4 (g 2p)2 g 2p 4 XVIII. 15: C+2 : 2 u +; O+2 : 2 g . XVIII. 16: H2 o h O2 .
ix
XVIII. 17:
N+2+ har 5 bindande elektroner, N2 har 6. O2 har 5 bindande elektroner, O2 har 4.
x
