Indice modulo
A
Il regime sinusoidale Unità di lavoro A2 Le reti a regime sinusoidale
Unità di lavoro A1 Nozioni introduttive e di supporto
1 Nozioni preliminari Nota simbologica 2 Il resistore Il resistore lineare Il resistore non lineare 3 Il condensatore Il condensatore lineare 4 L’induttore L’induttore lineare
12 12 13 13 13 14 14 16 16
A pprofondimento 1 Problemi energetici
16
5 Segnali A pprofondimento 2 Il valore efficace
18 20 22
VERIFICA Test
modulo
B
1 La funzione sinusoidale 2 Rappresentazione vettoriale delle grandezze sinuosidali Il metodo simbolico 3 I componenti passivi lineari a regime sinusoidale Il resistore Il condensatore L’induttore 4 Circuiti serie Circuiti RC serie Circuiti RL serie Circuiti RLC serie 5 Circuiti parallelo 6 Circuiti serie-parallelo
23 24 26 29 29 30 30 31 31 33 34 35 36
VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
38
Il dominio della frequenza Metodo simbolico
Unità di lavoro B1 L’analisi armonica
1 I segnali periodici e la serie di Fourier 2 I coefficienti della serie di Fourier A pprofondimento 1 Il calcolo dei coefficienti in alcuni casi specifici
48 52
Facciamo il punto L’analisi armonica
58
3 Lo spettro di potenza 4 La trasformata di Fourier A pprofondimento 2 Spettro continuo di un segnale impulsivo 5 L’analizzatore di spettro
59 60
VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
55
62 64 66
Unità di lavoro B2 I diagrammi di Bode
1 Analisi di un circuito lineare a regime sinusoidale
2 Come ricavare la funzione di trasferimento di un circuito 3 Poli, zeri e fattorizzazione della funzione di trasferimento 4 Risposta in frequenza e diagrammi di Bode
72 73 75
A pprofondimento 1 Fisica realizzabilità di una funzione di trasferimento
5 I diagrammi di Bode in un caso semplice: il filtro RC passa-basso Modulo della funzione di trasferimento Fase della funzione di trasferimento 6 Il filtro RC passa-alto 7 Tracciamento dei diagrammi di Bode con poli e zeri reali Diagramma del modulo Diagramma della fase Metodi semplici per tracciare i diagrammi di Bode Facciamo il punto Funzioni di trasferimento
71
72
e diagrammi di Bode
76 77 78 80 81 82 82 84 86 88
Indice
8 Filtri passivi RL del primo ordine 9 Filtri passivi di ordine superiore al primo Circuito risonante serie Circuito risonante parallelo Filtro RC passa-banda VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
89 89 89 92 92 96
dalla teoria alla pratica
B2.1 Bode e Fourier per valutare gli amplificatori HI-FI, 87
B2.2 Misuriamo la distorsione armonica THD, 95
modulo
C
1 Premessa 2 Frequenza di taglio inferiore: il filtro attivo passo-alto 3 Frequenza di taglio superiore: i filtri attivi passa-basso e passa-banda A pprofondimento 1 La funzione di trasferimento del circuito di figura 7 4 Limiti in frequenza di un operazionale reale VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
105
A pprofondimento 3 Legame tra Laplace e Fourier
112
VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
113
116 116 119 122 122 126
C1.1 Un riduttore di fruscio audio, 118
1 I filtri attivi 2 Filtri passa-basso del secondo ordine 3 Tecniche usate per la definizione della risposta in frequenza Approssimazione di Butterworth Approssimazione di Chebyschev Approssimazione di Bessel (o di Thompson) 4 Passa-basso del secondo ordine
107 112
132 133 134 135 135 136 136 138
VERIFICA Test
I mezzi trasmissivi Costante di propagazione Impedenza caratteristica Velocità di propagazione
Unità di lavoro D1 I mezzi metallici
1 Introduzione 2 Canali di trasmissione su mezzi metallici 3 Le costanti primarie di una linea di trasmissione su mezzi metallici 4 La propagazione nelle linee uniformi Uso dei sistemi trasformazionali A pprofondimento 1 L’equazione delle corde vibranti
140 142
Facciamo il punto La propagazione nei mezzi
144 146 147 150
A pprofondimento 2 Le equazioni dei telegrafisti
150
6 Le linee caricate Linee di lunghezza finita 7 Onde stazionarie I casi di riflessione totale 8 L’adattamento di impedenza Adattamento con linea a quarto d’onda
5 Le costanti secondarie di una linea di trasmissione
151
6
106
Unità di lavoro C2 Filtri attivi
dalla teoria alla pratica
D
1 Trasformata di Laplace A pprofondimento 1 Definizione di trasformata di Laplace 2 Studio di un circuito tramite la trasformata di Laplace A pprofondimento 2 La funzione di trasferimento
La risposta in frequenza
Unità di lavoro C1 Amplificatori con operazionali
modulo
Unità di lavoro B3 Le trasformazioni
metallici
A pprofondimento 3 Adattamento a λ/4 con carico non puramente resistivo
151 153 153 157 158 159 162 164 166 166 167
Indice
Adattamento con stub
167
Facciamo il punto Linee caricate
169
VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
170
E
176 182 186 187 188 190
1 Introduzione 2 L’informazione e la sua misura A pprofondimento 1 La quantità d’informazione
212 213 215
3 Entropia di una sorgente A pprofondimento 2 L’entropia (quantità media d’informazione)
216
4 Capacità di un canale di comunicazione Capacità di un canale in assenza di rumore Capacità di un canale in assenza di rumore e con codice multilivello a n simboli Canale in presenza di rumore 5 Velocità di trasmissione e codifica
219 219 221 222 223
Facciamo il punto Teoria dell’informazione
225
VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
218
226
Unità di lavoro E2 I codici
1 Classificazione dei codici
F
192
1 2 3 4 5
Generalità Ottica fisica e ottica geometrica Struttura delle fibre ottiche e propagazione Banda passante Costituzione di un canale in fibra ottica
193 194 198 203 206
Facciamo il punto Le fibre ottiche
207
VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
208
Informazione e trasmissione
Unità di lavoro E1 Teoria dell’informazione
modulo
VERIFICA Test
229
2 Codici di sorgente 3 Altri codici di sorgente 4 Codici di canale A pprofondimento 1 Lo spettro del codice NRZ
229 233 235 241
5 Architettura e sicurezza di trasmissione
242
VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
246
Unità di lavoro E3 Tecniche di conversione
1 La conversione A/D e il problema dell’acquisizione di grandezze variabili nel tempo Il teorema del campionamento di Shannon L’uso del sample & hold (S&H) A pprofondimento 1 Limiti dovuti al tempo di conversione 2 Struttura complessiva di un sistema di elaborazione e/o trasmissione digitale di un segnale analogico: tecniche PCM e DSP Trasformata discreta di Fourier VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
249 249 252 255
256 256 258
Le modulazioni
Unità di lavoro F1 Le modulazioni d’ampiezza
1 Il problema della modulazione
262
I modulatori 2 Modulazione di ampiezza DSB-SC 3 Utilità della modulazione 4 La demodulazione DSB-SC
263 264 266 266
7
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modulo
191
Unità di lavoro D3 Le fibre ottiche
Unità di lavoro D2 Il vuoto
1 Dalle linee risonanti alle antenne 2 Propagazione delle onde elettromagnetiche 3 Classificazione delle onde elettromagnetiche 4 L’atmosfera 5 La propagazione nell’atmosfera Definizioni utili
Facciamo il punto Antenne e propagazione
Indice 5 6 7 8
La potenza nella modulazione DSB-SC La modulazione di ampiezza DSB-TC La potenza nella modulazione DSB-TC La modulazione di ampiezza SSB
267 268 271 272
Facciamo il punto La modulazione d’ampiezza
275
VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
276
Le modulazioni Unità di lavoro F2 di frequenza e di fase
1 Le modulazioni d’angolo
282
A pprofondimento 1 Simmetria tra le modulazioni di frequenza e di fase
2 3 4 5 6
L’indice di modulazione Preenfasi e deenfasi Lo spettro della modulazione di frequenza La potenza nella modulazione di frequenza Il caso PM e il suo confronto con il caso FM
modulo
G
284 284 285 286 289 290
7 Modulatori e demodulatori per FM 8 Il rapporto S/N nelle modulazioni AM e FM Il caso AM Il caso FM 9 Confronto tra AM e FM Vantaggi della FM Vantaggi della AM
291 293 293 294 295 295 295
Facciamo il punto La modulazione d’angolo
296
VERIFICA Test • Problemi svolti • Problemi da svolgere
297
Le modulazioni Unità di lavoro F3 impulsive
1 Premessa 2 Modulazione PAM (Pulse Amplitude Modulation) 3 Modulazione PWM (Pulse Width Modulation) 4 Modulazione PPM (Pulse Position Modulation) VERIFICA Test
302 302 304 306 308
I sistemi di trasmissione
Unità di lavoro G1 Il canale, la distorsione e il rumore
Facciamo il punto Il canale digitale reale
344
1 Strutture e interfacce 2 La distorsione dei segnali Distorsione lineare Distorsione non lineare
310 314 314 318
VERIFICA Test • Problemi svolti
345
A pprofondimento 1 Il distorsiometro
319
3 Segnali stocastici e rumore Il rumore termico 4 Il rumore e la trasmissione dei segnali I doppi bipoli e il rumore La figura di rumore Il caso delle linee di trasmissione 5 La diafonia 6 L’intermodulazione La misura dell’intermodulazione L’intermodulazione nei canali FDM
320 321 323 324 328 328 330 334 335
1 2 3 4 5 6 7 8
Generalità Modem in banda base Descrizione dei circuiti della serie 100 La struttura dei modem in banda base e il loro uso Modulazione ASK Modulazione FSK Modulazione PSK Modulazione QAM Modulazione TCM
Facciamo il punto Le modulazioni per la
trasmissione dati
336
Facciamo il punto Il canale analogico reale
337
7 La distorsione dei segnali digitali Distorsione di dissimmetria (di bias) Distorsione isocrona (telegrafica) Jitter di fase Errori di trasmissione Strumenti di controllo
338 338 338 341 341 342
8
Unità di lavoro G2 I modem e la trasmissione dati
9 Modem fonici La struttura dei modem fonici Operazioni di attivazione comunicazione 10 Radio modem e GSM, GPRS, UMTS
350 351 354 356 359 361 364 369 371 372 373 374 376 376
A pprofondimento 1 Caratteristiche di un modem RF 381 VERIFICA Test
382
Indice
ADSL – Asymmetric Digital Unità di lavoro G4 Subscriber Line
Unità di lavoro G3 FDM e TDM con cenni di telefonia
1 Frequency Division Multiplexing (FDM) La realizzazione della FDM secondo il CCITT 2 Time Division Multiplexing (TDM) PCM e TDM La TDM in telefonia Il rumore di quantizzazione Velocità di trasmissione, codifica e multiplexing
383 385 389 391 391 392 395
Facciamo il punto FDM e TDM
397
modulo
H
398 401 407
Facciamo il punto L’ADSL
410
VERIFICA Test
411
Le reti digitali
Unità di lavoro H1 Architettura e protocolli
1 La trasmissione digitale Trasmissione seriale asincrona Trasmissione seriale sincrona 2 Architettura di un sistema di trasmissione: il modello ISO/OSI 3 Protocolli per la trasmissione dati 4 Protocolli sincroni Binary Sinchronous Communication (BSC) High-level Data Link Control (HDLC)
414 415 415 416 420 423 423 425 430
VERIFICA Test
Unità di lavoro H2 Il Can-Bus
1 Caratteristiche generali 2 Transfer layer e messaggi del CAN-Bus La data frame
Soluzioni, 525
1 Analisi del canale telefonico 2 Modulazione Multi-Tono 3 Il canale ADSL
Bibliografia, 537
431 433 433
457
L aboratorio B · Scheda di laboratorio B1.1 Guida all’analisi armonica tramite PC
3 Object layer e filtro dell’informazione 4 Physical layer e costruzione del segnale di canale Dispositivi commerciali VERIFICA Test
436 436 438 439 440 440 443 444
Unità di lavoro H3 Le reti wireless
1 Introduzione Physical Layer Data-Link Layer 2 Le modulazioni 3 Gli standard 4 Le realizzazioni VERIFICA Test
445 445 446 447 449 452 454
Indice analitico, 539
L aboratorio A · Scheda di laboratorio A2.1 Analisi sperimentale dei circuiti a regime sinusoidale
La remote frame La error frame La inter frame La overload frame
459
· Scheda di laboratorio B2.1 Tracciamento dei diagrammi di Bode partendo dalla funzione di trasferimento · Scheda di laboratorio B2.2 Tracciamento dei diagrammi di Bode tramite simulazione circuitale · Scheda di laboratorio B2.3 Analisi nel dominio del tempo e a regime sinusoidale di un RC passa-basso
462
464
465
9
Indice
L aboratorio C · Scheda di laboratorio C1.1 Misura della risposta in frequenza di un amplificatore con OP-AMP · Scheda di laboratorio C1.2 Analisi dei filtri del primo ordine con LabVIEW · Scheda di laboratorio C1.3 La misura del prodotto guadagno-banda di un operazionale · Scheda di laboratorio C1.4 La misura dello slew rate di un operazionale
467
469
470
472
L aboratorio D · Scheda di laboratorio D1.1 Misura sperimentale del ritardo e della velocità di gruppo di una linea su cavo metallico e della costante dielettrica del cavo · Scheda di laboratorio D1.2 Misura delle costanti di attenuazione e di fase di una linea su cavo metallico · Scheda di laboratorio D1.3 Analisi simulata delle condizioni di adattamento/disadattamento di una linea su cavo metallico · Scheda di laboratorio E2.1 Creazione dei codici di canale
474
· Scheda di laboratorio F1.3 Simulazione della modulazione DSB-TC mediante un Virtual Instrumens (VI) di LabVIEW · Scheda di laboratorio F1.4 Analisi sperimentale della demodulazione AM DSB-TC · Scheda di laboratorio F1.5 Un semplice modulatore AM DSB-TC · Scheda di laboratorio F2.1 Simulazione della modulazione FM mediante Multisim e un Virtual Instruments (VI) di LabVIEW · Scheda di laboratorio F3.1 Simulazione della modulazione PAM mediante un Virtual Instruments (VI) di LabVIEW · Scheda di laboratorio F3.2 Simulazione della modulazione PWM mediante un Virtual Instruments (VI) di LabVIEW · Scheda di laboratorio F3.3 Simulazione della modulazione PPM mediante un Virtual Instruments (VI) di LabVIEW
490
491
494
496
498
L aboratorio G 476 479
· Scheda di laboratorio F1.1 Simulazione della modulazione DSB-SC mediante Multisim e un Virtual Instruments (VI) di LabVIEW 482 · Scheda di laboratorio F1.2 Analisi sperimentale della modulazione AM DSB-TC 485
· Scheda di laboratorio G2.1 Uso dei modem in banda base · Scheda di laboratorio G2.2 Uso dei modem in banda fonica · Scheda di laboratorio G2.3 Controllo remoto con SMS · Scheda di laboratorio G2.4 Analisi delle modulazioni per la trasmissione dati con Multisim
I componenti passivi La forma esponenziale della serie di Fourier Uso dell’analizzatore di spettro Circuiti derivatori e integratori La carta di Smith Le antenne I sistemi di trasmissione Limitazioni tecnologiche delle fibre ottiche
500 505 508
515
L aboratorio H · Scheda di laboratorio H2.1 Collegamento tra PC tramite il CAN-Bus
nel sito Internet della Casa Editrice (www.tramontana.it)
schede integrative
10
489
475
L aboratorio F
A2.1 B1.1 B1.2 C1.1 D1.1 D2.1 D2.2 D3.1
487
E2.1 E3.1 F1.1 G2.1 G2.2 G3.1 G4.1 H3.1
518
www
Il codice CRC (Cyclic Redundancy Code) Il teorema del campionamento di Shannon Principio di funzionamento dei modulatori Programmazione dei modem I modem fonici più significativi L’apparecchio telefonico ADSL: il prefisso ciclico Modulazioni per reti wireless
modulo
Il regime sinusoidale U nità di lavoro A1 Nozioni introduttive e di supporto prerequisiti
nozioni generali sulle reti elettriche obiettivi
• comprendere la differenza tra dispositivi lineari e non lineari • acquisire compiutamente il comportamento dei componenti elettrici elementari
U nità di lavoro A2 Le reti a regime sinusoidale prerequisiti
• conoscenza del comportamento elettrico dei dispositivi lineari passivi (A1) • conoscenza delle tecniche di risoluzione delle reti elettriche obiettivi
• comprendere il concetto di funzione sinusoidale e le sue modalità di rappresentazione • conoscere il funzionamento a regime sinusoidale dei componenti lineari passivi • saper risolvere semplici circuiti RLC a regime sinusoidale
A
Unità di lavoro A1
Nozioni introduttive e di supporto
1. Nozioni preliminari Sebbene si presupponga già acquisita una certa conoscenza di base su componenti e circuiti elettrici, si ritiene utile premettere alcune definizioni. Come noto, una rete, o circuito elettrico, è formata da un insieme di componenti, ognuno dei quali presenta un particolare comportamento elettrico, descrivibile analiticamente e graficamente. Componenti lineari
Un componente elettrico si dice lineare se i parametri che lo caratterizzano sono indipendenti dai valori delle tensioni e correnti in esso presenti. Le curve caratteristiche dei componenti lineari sono di tipo rettilineo.
Circuiti lineari Sovrapposizione degli effetti Verifica della linearità Dipendenza dal tempo
Si definisce lineare un circuito composto da componenti lineari. In un circuito lineare è sempre valido il principio di sovrapposizione degli effetti, ovvero la risposta del circuito a più eccitazioni indipendenti è pari alla somma delle risposte ottenute considerando le eccitazioni una alla volta. Sperimentalmente la linearità è verificabile osservando che un circuito lineare, eccitato da un segnale sinusoidale, presenta una risposta ancora sinusoidale. Un componente si dice tempo-invariante se il suo comportamento è indipendente dal tempo, in caso contrario si dice tempo-variante. Nei successivi paragrafi si sintetizzano i comportamenti elettrici dei componenti bipolari (ovvero a due terminali) di base per i circuiti elettrici.
Nota simbologica Uso delle lettere maiuscole e minuscole
E sempio 1
12
In elettronica si usano le lettere maiuscole per indicare grandezze costanti nel tempo, e le lettere minuscole per intendere il generico valore istantaneo di una grandezza variabile nel tempo; l’eventuale dipendenza dal tempo può essere esplicitata con la scrittura (t) che comunque, grazie all’uso delle lettere minuscole, può anche essere sottintesa. Con la scrittura V si intende un valore di tensione costante nel tempo, analogamente I indica una corrente costante nel tempo. Con le scritture v (t ) o v si intende, in entrambi i casi, il valore all’istante t di una tensione variabile nel tempo; analogamente le scritture i (t ) o i indicano il valore di una corrente all’istante t.
Nozioni introduttive e di supporto
unità di lavoro A 1
2. Il resistore Un elemento bipolare è chiamato resistore se in un generico istante t a ogni valore di v(t) applicato corrisponde un valore di i(t) secondo un legame esprimibile mediante una curva caratteristica, nel piano cartesiano V I (o I V), passante per l’origine degli assi.
Il resistore lineare
Il resistore è un bipolo caratterizzato da una curva caratteristica tensione-corrente che passa per l’origine degli assi.
Il caso più frequente è quello del resistore lineare tempo-invariante, il cui comportamento è esprimibile tramite la legge di Ohm, nella sua formulazione più elementare: v(t ) = R ⋅ i(t )
1
ovvero, la caduta di tensione ai capi del resistore risulta direttamente proporzionale alla corrente che lo attraversa. La resistenza R rappresenta il coefficiente di proporzionalità diretta, ed è una costante, che non dipende dalle condizioni elettriche di funzionamento (linearità) e dal tempo e si misura in ohm (Ω). In alternativa è possibile descrivere il comportamento del resistore tempo-invariante con la relazione: i(t ) = G ⋅ v(t )
2
Nella 2 il parametro G = 1/R è detto conduttanza e si misura in siemens (S). In figura 1 sono riportati simbolo elettrico e rette caratteristiche del resistore lineare tempo-invariante. Figura 1
www
Scheda integrativa A2.1
I resistori lineari sono un’approssimazione di comodo della realtà.
In realtà la resistenza dei resistori dipende dalla temperatura e quindi, indirettamente, dalle condizioni di funzionamento (per effetto Joule, una variazione di corrente comporta una variazione di temperatura). I resistori reali, quindi, non sono dei componenti lineari, ma possono essere ritenuti tali nella maggioranza dei casi, trascurando, con buona approssimazione, la dipendenza dalla temperatura. Un possibile esempio di resistore lineare tempo-variante può essere un reostato il cui cursore è mantenuto in movimento da un motore; in queste condizioni la resistenza, pur risultando lineare, dipende dal tempo: v(t ) = r (t ) ⋅ i(t ) 3
Il resistore non lineare Un qualunque componente che presenta una caratteristica tensione-corrente coerente con la precedente definizione ma non rettilinea è un resistore non lineare. Un tipico esempio di resistore non lineare tempo-invariante è il diodo a giunzione PN
13
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Rappresentazione grafica del comportamento di un resistore lineare tempo-invariante.
modulo A Il regime sinusoidale riportato in figura 2. L’andamento della sua curva caratteristica mette in evidenza un comportamento non lineare che analiticamente è espresso, con buona approssimazione, dalla relazione: i ( t ) = I 0 ( e qv ( t ) ⁄ ηkT – 1 )
4
dove I0 è la corrente di fuga in polarizzazione inversa (ovvero con v negativa), k è la costante di Boltzmann (1,38 · 10 –23 J/K), q è la carica di un elettrone (1,6 · 10 –19 C), T è la temperatura in kelvin e η un coefficiente che vale 1 per il germanio e un valore compreso tra 1 e 2 per il silicio. Figura 2
i
catodo
Il diodo a giunzione PN.
+ anodo
polarizzazione diretta
I0 VB
Il diodo è un esempio significativo di resistore non lineare.
–
v Vγ polarizzazione inversa –
Vγ = tensione di soglia
+
VB = tensione di rottura I0 = corrente inversa
Come si vede, il valore di R, inteso come rapporto v/i, dipende dal valore di v e quindi di i, e non è pertanto una costante. Idealmente il diodo dovrebbe comportarsi da cortocircuito in polarizzazione diretta (cioè con v positiva), e da circuito aperto in polarizzazione inversa.
3. Il condensatore Si definisce condensatore un componente bipolare, capace di presentare, a ogni istante t, una quantità di carica accumulata q(t), dipendente dalla tensione v(t) ai suoi capi, secondo un legame esprimibile da una curva caratteristica nel piano qv passante per l’origine degli assi.
Il condensatore lineare Il condensatore tempo-invariante
Un condensatore lineare tempo-invariante presenta un comportamento del tipo: q(t ) = C ⋅ v(t )
La quantità di carica accumulata da un condensatore è direttamente proporzionale alla tensione ai suoi capi e C è il coefficiente di proporzionalità.
14
5
dove C , indipendente da t e v, è detta capacità e si misura in farad (F). In figura 3a sono riportati il simbolo e la retta caratteristica nel piano qv. Si osservi ora la figura 3b, in cui si considera una tensione ai capi del condensatore che varia linearmente; se si suppone una variazione Δv di tensione, per la 5 , la conseguente variazione Δq risulta: Δq = C ⋅ Δv
6
unità di lavoro A 1
Nozioni introduttive e di supporto
Figura 3
Comportamento del condensatore lineare nel piano qv (a) ed esempio di una tensione che varia linearmente nel tempo ai suoi capi (b).
q
v C= tgα
Δv
i v
C
α
β v
a)
b)
Δt
t
Se nella 6 si dividono ambo i membri per l’intervallo Δt, cui corrispondono le precedenti variazioni, si ottiene la relazione: Δv Δq 7 ------- = C -----Δt Δt Il rapporto Δq/Δt corrisponde alla corrente che attraversa il condensatore e matematicamente è pari a C volte la pendenza della retta di figura 3b (ovvero risulta pari a C · tgβ, dove tgβ è la pendenza della retta: evidentemente, essendo tgβ costante, tale risulta, in questo caso, la corrente). Per quanto detto, si può subito osservare che, se la tensione ai capi di un condensatore varia linearmente, la corrente che lo attraversa è costante. Figura 4
Rappresentazione grafica di una generica tensione ai capi di un condensatore in funzione del tempo (a); il condensatore nel piano i – dv/dt (b).
v
tg
β
= dv/dt
i C = tg
α
β
v
retta tangente alla curva in t
α t
t
a)
dv/dt
b)
Se si considerano variazioni infinitesime, la 7 diventa: dv dq 8 ------ = C -----dt dt Considerando una tensione ai capi di un condensatore, che varia con legge non lineare, come in figura 4a, il rapporto dv/dt moltiplicato per C esprime la corrente all’istante t, nel cui intorno avvengono le variazioni infinitesime considerate; infatti gli spostamenti infinitesimi permettono di assimilare la curva a una retta. In conclusione si può quindi scrivere: Legame corrente-tensione
In un condensatore la corrente istantanea è direttamente proporzionale alla derivata della tensione.
Il condensatore tempo-variante
dv i ( t ) = C -----dt
9
La 9 esprime, per un condensatore lineare e tempo-invariante, il legame tra tensione e corrente e matematicamente si può dire che all’istante t la corrente i(t ) è direttamente proporzionale, tramite C, alla derivata della tensione rispetto al tempo (rapporto tra la variazione infinitesima di v, nell’intorno dell’istante t considerato, e la corrispondente variazione infinitesima del tempo; per un maggiore approfondimento del concetto di derivata si rinvia al corso di Matematica). Graficamente la 9 è esprimibile come in figura 4b. Come per i resistori, anche per i condensatori reali la linearità non è verificata in assoluto, ma li si possono ritenere tali in via approssimata. I condensatori variabili, ovvero quelli in cui è possibile variare la capacità (nel caso più semplice dei trimmer capacitivi, tramite un movimento meccanico), possono intendersi come tempo-varianti qualora questa variazione sia in qualche modo legata al tempo.
15
modulo A Il regime sinusoidale
4. L’induttore In un induttore il flusso di induzione magnetica è direttamente proporzionale alla corrente che lo attraversa e L è il coefficiente di proporzionalità.
Si definisce induttore un componente bipolare capace di presentare, a ogni istante t, un flusso di induzione magnetica φ(t) il cui legame alla corrente i(t), che lo attraversa, è esprimibile tramite una curva nel piano cartesiano φi passante per l’origine degli assi.
L’induttore lineare L’induttore lineare tempo-invariante presenta un comportamento del tipo: φ(t ) = L ⋅ i(t )
In un induttore la tensione istantanea è direttamente proporzionale alla derivata della corrente.
10
L è una costante indipendente da i e t chiamata induttanza e si misura in henry (H). Volendo individuare un legame tra i e v, procedendo come per il condensatore, si ottiene: di v ( t ) = L ----11 dt Graficamente le 10 e 11 sono esprimibili, rispettivamente, come in figura 5a e 5b. Naturalmente anche l’induttore reale si discosta da quello ideale appena considerato. Da questo momento, salvo indicazione contraria, si considereranno sempre resistori, condensatori e induttori lineari e tempo-invarianti.
Figura 5
φ
v
Interpretazione grafica del comportamento di un induttore lineare nel piano φi (a) e nel piano v – di/dt (b).
i
i v
v L = tg α
L = tg α
α
α i
a)
di/dt
b)
A pprofondimento 1 Problemi energetici Si espongono, in termini essenziali, le problematiche legate all’aspetto energetico relativamente ai componenti elettrici fondamentali.
Il caso della resistenza Le resistenze, come noto, non sono in grado di immagazzinare energia, ma solo di dissiparla. In particolare la potenza istantanea p(t) assorbita, e quindi dissipata, da una resistenza è: v2( t ) p ( t ) = v ( t ) ⋅ i ( t ) = R ⋅ i 2 ( t ) = ----------R
Legge di Joule
Se si considera il caso particolare di funzionamento in continua, l’energia W dissipata nel tempo Δt risulta espressa dalla legge di Joule: W = P ⋅ Δt = V ⋅ I ⋅ Δt
16
A1.1
A1.2
Nozioni introduttive e di supporto
unità di lavoro A 1
Nel caso più generale di grandezze variabili nel tempo, l’energia dissipata da una resistenza, in un intervallo Δt, si ottiene sommando gli infiniti termini che esprimono l’energia nei singoli istanti dell’intervallo: W =
∑ p ( t )dt
=
∑ v ( t ) ⋅ i ( t )dt
A1.3
Matematicamente la A1.3 risulta più correttamente espressa nella forma: W =
t 0 + Δt
∫t0
v ( t ) ⋅ i ( t ) dt
A1.4
dove t0 indica l’istante iniziale dell’intervallo Δt. Questa relazione afferma che l’energia dissipata è pari all’integrale della potenza nell’intervallo considerato (per il concetto di integrale si rinvia al corso di Matematica).
I casi di capacità e induttanza Per le capacità e le induttanze la situazione è diversa in quanto queste non dissipano energia ma, al contrario, accumulano energia. In particolare per un condensatore si ottiene che l’energia accumulata è in ogni istante direttamente proporzionale al quadrato della tensione ai suoi capi: 1 w ( t ) = --- C ⋅ v 2 ( t ) 2
A1.5
1 w ( t ) = --- L ⋅ i 2 ( t ) 2
A1.6
Per un induttore si ottiene invece:
Il caso del generatore Si consideri ora il caso di un generatore reale di tensione collegato a un carico resistivo, come indicato in figura A1.1. La contemporanea presenza di tensione e corrente garantisce la presenza di un trasferimento energetico tra generatore e carico. Analizziamo separatamente i tre casi relativi a tensione, corrente ed energia. Figura A1.1
Andamento della potenza erogata al carico (a) e del rendimento in funzione di RL (b).
Ri
PL
RL
E
100% 2
E 4 Ri
50%
Ri
RL
a)
Massimo trasferimento di tensione
Massimo flusso di corrente
η%
RL
Ri
b)
◗ Se si vuole il massimo trasferimento di tensione da generatore a carico si deve porre: R i << R L
A1.7
Infatti in questo modo è minima la c.d.t. interna al generatore, ovvero è massima quella sul carico RL. ◗ Se si vuole il massimo flusso di corrente si deve porre: R L << R i
A1.8
Infatti la corrente erogata è massima con il valore minimo possibile di resistenza di carico.
17
modulo A Il regime sinusoidale Massimo trasferimento energetico
◗ La condizione che determina il massimo trasferimento di potenza e quindi di energia tra generatore e carico può essere ricavata osservando che la potenza sul carico risulta: RL 2 P L = ------------------------E ( Ri + RL ) 2
A1.9
e valutando in quali condizioni questa relazione assume il valore massimo. A questo fine si osservi che, ricordando la regola dell’algebra elementare relativa al quadrato di un binomio: ( a ± b ) 2 = a 2 + b 2 ± 2ab
A1.10
2 il termine (Ri + RL) è scrivibile nella forma:
( R i + R L ) 2 = ( R i – R L ) 2 + 4R i R L
A1.11
e quindi la A1.9 diviene: RL E2 2 P L = ---------------------------------------------E = -------------------------------------2 ( R i – R L ) + 4R i R L ( Ri – RL ) 2 ------------------------ + 4R i RL
A1.12
È a questo punto facile osservare che PL assume il valore massimo quando è minimo il denominatore della A1.12 , il che si verifica quando il termine (Ri – RL) 2 si annulla. In ultima analisi la condizione che porta al massimo trasferimento di energia da generatore a carico è: RL = Ri
A1.13
Il grafico di figura A1.1a evidenzia come la massima potenza nel carico si verifichi nel rispetto della A1.13 . Rendimento di un generatore
Dette PG la potenza prodotta dal generatore, PL quella fornita al carico e PD quella dissipata internamente al generatore a causa della resistenza interna Ri, si definisce rendimento del generatore il rapporto: P PL η = -----L- = -----------------PG PL + PD
A1.14
Per la A1.13 il massimo trasferimento di energia si ottiene con un rendimento del 50% (potenza assorbita dal carico = potenza dissipata dal generatore). La figura A1.1b chiarisce come il rendimento cresca all’aumentare di RL: più la resistenza di carico aumenta e minore risulta la potenza persa internamente al generatore (naturalmente al crescere di RL, oltre il valore di Ri, la potenza fornita al carico è sempre più piccola).
5. Segnali
18
Tipi di segnali
I segnali possono distinguersi in periodici e aperiodici. In particolare quelli periodici si dicono alternati se sono a valore medio nullo; il segnale continuo (che non varia nel tempo) può essere considerato un caso particolare di segnale periodico a frequenza nulla.
Informazione e segnale
In tutti i segnali l’informazione è insita nella variazione, non prevedibile, di qualche parametro caratteristico. In elettronica i segnali vengono spesso utilizzati per analizzare il comportamento di un circuito, eccitandolo tramite un segnale noto e valutandone la risposta: nelle variazioni che subisce il segnale nel passaggio da eccitazione a risposta è insita l’informazione utile allo studio del circuito.
Segnali tipici
Oltre ai segnali sinusoidale, triangolare e a due livelli (quadri e impulsivi), che si ritengono già noti, vengono spesso usati anche altri tipi.
Nozioni introduttive e di supporto
unità di lavoro A 1
Di seguito si considerano, in particolare, il segnale a gradino (o a scalino) e quello a rampa unitari. Figura 6
u(t)
Il gradino unitario.
⎧ 0 per t < 0 u(t ) = ⎨ ⎩ 1 per t ≥ 0
1
12
t
La 12 definisce il gradino unitario interpretato graficamente in figura 6. Nel caso più generale di segnale s(t) a gradino di ampiezza A non unitaria, questo può essere interpretato come il prodotto del gradino unitario u(t) per l’ampiezza A: s(t ) = A ⋅ u(t ) La relazione gura 7. Figura 7
14
13
definisce la rampa unitaria graficamente rappresentata in fi-
r(t)
La rampa unitaria.
r (t ) = t ⋅ u(t )
1
1
14
t
Come si vede, la rampa unitaria risulta espressa in funzione del gradino unitario u(t). Naturalmente è possibile considerare gradini di ampiezza diversa e, in conseguenza, rampe a diversa pendenza. Di seguito sono sintetizzate le caratteristiche dei segnali alternati sinusoidale, triangolare e quadro: le relazioni a lato delle figure si riferiscono ai rispettivi segnali. Si noti come i segnali triangolari e quadri possano essere interpretati come una estensione, rispettivamente, dei segnali a rampa e a gradino. Figura 8
Il segnale sinusoidale.
v(t) VP VPP
v ( t ) = V P sen ( ωt + ϕ )
15
1 ω f = --- = -----T 2π
16
t T –VP
V P = valore di picco o massimo; V PP = 2V P valore picco-picco; ω = pulsazione [rad/s]; ϕ = fase [rad]; f = frequenza [Hz]; T = periodo [s].
19
modulo A Il regime sinusoidale Figura 9
Il segnale alternato triangolare.
v(t) VP
t –VP T
4V P ⎧ – V P + --------- ( t – nT ) ⎪ T T ⎪ per nT ≤ t ≤ ( 1 + 2 n ) --2 ⎪ v(t ) = ⎨ 4V ⎪ V – ---------P- ⎛ t – T --- – nT ⎞ ⎪ P ⎠ T ⎝ 2 ⎪ T ⎩ per ( 1 + 2 n ) --≤ t ≤ (1 + n)T 2
17
con n = 0, 1, 2, 3, …
Figura 10
Il segnale alternato quadro.
v(t) VP
t
T ⎧ V P per nT < t < ( 1 + 2 n ) --2 ⎪ v(t ) = ⎨ T ⎪ – V per ( 1 + 2 n ) --< t < (1 + n)T P ⎩ 2
18
con n = 0, 1, 2, 3, …
T –VP
I segnali più usati come eccitazioni sono il sinusoidale e il gradino. Le informazioni deducibili dalle risposte a questi due segnali sono infatti normalmente sufficienti a una completa conoscenza del circuito in esame.
A pprofondimento 2 Il valore efficace Il valore efficace è un parametro caratteristico dei segnali periodici. Si definisce valore efficace di una corrente periodica l’intensità di corrente continua che provoca, in una resistenza, una dissipazione di potenza pari alla potenza media dissipata nella stessa resistenza a causa della corrente periodica. Detto i(t) il valore istantaneo della corrente periodica, la potenza istantanea dissipata nella resistenza R risulta: p( t ) = v( t ) ⋅ i( t ) = R ⋅ i2( t )
A2.1
La potenza media in un periodo T risulta dalla media degli infiniti termini della potenza istantanea: 1 T P = --- ∫ p ( t ) dt T 0
A2.2
Applicando quindi la definizione di valore efficace, detta Idc la corrente continua energeticamente equivalente, si può scrivere: 1 T 2 R ⋅ Idc = --- ∫ R ⋅ i 2 ( t ) dt T 0
A2.3
1 T 2 Idc = --- ∫ i 2 ( t ) dt T 0
A2.4
ovvero, semplificando la R:
e, ricordando che Idc coincide con il valore efficace Ieff, si ha infine: T
I eff =
20
i 2 ( t ) dt ∫-------------------0 T
A2.5
Nozioni introduttive e di supporto
unità di lavoro A 1
La A2.5 esprime matematicamente il valore efficace di una qualsiasi corrente periodica. Procedendo in modo analogo è possibile definire il valore efficace di una tensione periodica: T
V eff =
v 2 ( t ) dt ∫--------------------0 T
A2.6
Applicando la A2.5 o la A2.6 a un qualsiasi segnale periodico, è possibile giustificare matematicamente le relazioni che esprimono il valore efficace della tensione per alcuni tipi di segnale. Di seguito riportiamo alcuni risultati: segnale alternato sinusoidale: segnale alternato triangolare: segnale alternato quadro:
V V eff = ------p2 Vp V eff = ------3 V eff = V p
A2.7
A2.8
A2.9
21
VERIFICA
modulo A Il regime sinusoidale
Test Par. 1
1
Un circuito formato da componenti tempo-varianti non può essere lineare. vero falso
Par. 1
2
Come è possibile individuare sperimentalmente la linearità di un circuito?
Par. 2
3
Come mai il diodo è un resistore non lineare?
Par. 2
4
Che differenza c’è tra resistore e resistenza?
Par. 3
5
Il condensatore è un componente ...................................................... che a ogni istante t presenta una ....................................................
22
di .................................................... accumulata pari a .....................................................
Par. 3
6
Che caratteristica deve avere la tensione ai capi di un condensatore, lineare e tempo-invariante, affinché la corrente che lo attraversa risulti costante?
Appr. 1
7
Un generatore eroga la massima potenza a un carico se: a è massima la corrente erogata; b la potenza assorbita dal carico è la metà di quella prodotta dal generatore; c la resistenza interna è grande; d il carico è un cortocircuito.
