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Mariapia Fico, Gabriella Cariani, Salvatore Mattina
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QUESTO VOLUME, SPROVVISTO DI TALLONCINO A FRONTE (O OPPORTUNAMENTE PUNZONATO O ALTRIMENTI CONTRASSEGNATO), È DA CONSIDERARSI COPIA DI SAGGIO - CAMPIONE GRATUITO, FUORI COMMERCIO (VENDITA E ALTRI ATTI DI DISPOSIZIONE VIETATI: ART. 17, C.2 L. 633/1941). ESENTE DA IVA (DPR 26.10.1972, N. 633, ART. 2, LETT D). ESENTE DA DOCUMENTO DI TRASPORTO (DPR 26.10.1972, N. 633, ART. 74).
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01
Volume B Le equazioni e le disequazioni C Il piano cartesiano: la retta D Il piano cartesiano: le coniche Volume Esponenziali e logaritmi Primi elementi di trigonometria Trigonometria Gli insiemi numerici: i numeri complessi
Volume R Statistica descrittiva S Statistica inferenziale
Volume I Successioni e progressioni M Funzioni e limiti N Calcolo differenziale O Calcolo integrale
Volume Y Approssimazione e analisi numerica
Volume L Geometria nello spazio Volume P Calcolo combinatorio Q Probabilità
Volume K Serie numeriche e approssimazione di funzioni Volume X Funzioni di due variabili, equazioni differenziali, trasformata di Laplace
QUESTO CORSO È COSTITUITO DA: ISBN 978-88-201-1000-0 MODULO A+U+J ISBN 978-88-201-1374-2 MODULO B+C+D ISBN 978-88-201-1585-2 MODULO E+F+G+H ISBN 978-88-201-1586-9 MODULO V+Z ISBN 978-88-201-1665-1 MODULO I+M+N+O ISBN 978-88-201-1703-0 MODULO L
ISBN 978-88-201-1705-4 MODULO P+Q ISBN 978-88-201-1753-5 MODULO R+S ISBN 978-88-201-1754-2 MODULO Y ISBN 978-88-201-1755-9 MODULO K ISBN 978-88-201-1786-3 MODULO X ISBN 978-88-201-1927-0 RISORSE PER L'INSEGNANTE E PER LA CLASSE + DVD EPSILON TEST
1705 FICO, CARIANI, MATTINA IL PAESAGGIO MATEMATICO GIALLO P+Q
CALCOLO COMBINATORIO PROBABILITÀ
P+Q Il paesaggio matematico
Epsilon Test. Il corso è corredato di un pacchetto software finalizzato alla redazione, somministrazione e valutazione di test a risposta chiusa. Con Epsilon Test il docente può: • redigere test a risposta chiusa • attingere ad un ampio archivio web di domande, periodicamente aggiornato; • generare differenti versioni stampabili del test con rimescolamento casuale di domande e/o risposte per la somministrazione in classe; • somministrare e valutare immediatamente i test in un laboratorio scolastico dotato di LAN; • pubblicare i propri test su portale WEB dedicato, predisposto sul sito Loescher, scegliendo se rendere disponibile allo studente l'autovalutazione e se monitorare o meno le risposte; • ottenere un rapporto dettagliato delle risposte fornite ai propri test pubblicati sul portale WEB. Con Epsilon Test lo studente può: • svolgere i test personalizzati, pubblicati dal proprio docente sul portale WEB; • svolgere i test di recupero, in forma anonima, disponibili sul portale WEB.
Il paesaggio matematico
P+Q
E F G H
Volume V Algebra lineare Z Le affinità del piano
Fico, Cariani, Mattina
P+ Q
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Volume A Teoria degli insiemi e funzioni U Gli insiemi numerici: da N a R J Elementi di logica
In copertina: A Ban Bo Sang, Thailandia, manutenzione degli ombrellini di carta. © M. Freeman/Corbis
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Mariapia Fico, Gabriella Cariani, Salvatore Mattina
Il paesaggio matematico giallo
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Mariapia Fico, Gabriella Cariani, Salvatore Mattina
Il paesaggio matematico giallo P Calcolo combinatorio Q Probabilità
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© Loescher Editore - 2009 http://www.loescher.it I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L'acquisto della presente copia dell'opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce. Fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale) nei limiti del 15% di ciascun volume possono essere effettuate negli esercizi che aderiscono all’accordo tra SIAE - AIE - SNS e CNA - Confartigianato - CASA - Confcommercio del 18 dicembre 2000, dietro pagamento del compenso previsto in tale accordo; oppure dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633.
Per riproduzioni ad uso non personale l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a: Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere dell’ingegno (AIDRO) Corso di Porta Romana n. 108, 20122 Milano e-mail
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L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale. La riproduzione a mezzo fotocopia degli esemplari di tali opere esistenti nelle biblioteche è consentita, non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nel contratto di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all’art. 71 - per legge diritto d’autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: http://www.loescher.it/fotocopie
Ristampe 7
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ISBN 9788820117054
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Nonostante la passione e la competenza delle persone coinvolte nella realizzazione di quest’opera, è possibile che in essa siano riscontrabili errori o imprecisioni. Ce ne scusiamo fin d’ora con i lettori e ringraziamo coloro che, contribuendo al miglioramento dell’opera stessa, vorranno segnalarceli al seguente indirizzo: Loescher Editore s.r.l. Via Vittorio Amedeo II, 18 10121 Torino Fax 011 5654200
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Realizzazione editoriale: Capoverso S.r.l. - Torino - redazione: Paolo Bianco, Irene Cerutti, Marco Zucchelli - indici analitici: Teresa Boggio - schede storiche: Laura Maggi - laboratorio informatico: Teresa Morgante, Paola Porta - formulari: Salvatore Mattina - progetto grafico e impaginazione: Filippo Cabiddu, Gianluigi Bertin - ricerca iconografica: Paolo Bianco, Stefania Bessone - disegni: Stefania Francescutto Contributi: - revisione scientifica del testo: Capoverso: Santina Attisano, Giulio Caiati, Cristina Martin Centro Servizi Archeometria - controllo esercizi: Santina Attisano, Giulio Caiati, Cristina Martin Redattore responsabile: Paola Cardano Ricerca iconografica: Emanuela Mazzucchetti Copertina: Visual Grafika - Torino Stampa: La Grafica - Boves (CN)
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Indice
MODULO
U
P
CALCOLO COMBINATORIO
1 Calcolo combinatorio
TEORIA
ESERCIZI
Introduzione 1 Disposizioni semplici 2 Permutazioni semplici
P2 P2 P4 P5
P 11 P 12
Permutazioni circolari
3 Disposizioni con ripetizione 4 Permutazioni con ripetizione 5 Combinazioni semplici
P5 P6 P7 P8 P 10
Proprietà dei coefficienti binomiali
6 Il binomio di Newton Q Questionario V Verifica finale
MODULO
U
Q
P 15
PROBABILITÀ
e le proprietà Introduzione 1 Eventi
TEORIA Q2 Q2 Q4 Q4 Q4 Q4 Q5 Q5 Q5 Q6 Q6
1.1 Diagrammi A. Diagramma di Eulero-Venn B. Diagramma ad albero C. Tabella a doppia entrata
2 Operazioni con gli eventi
●
P 14
P 16
1 Probabilità: i concetti fondamentali
2.1 2.2 2.3 2.4
P 13 P 13 P 13
Evento contrario Evento intersezione di eventi Eventi incompatibili Evento unione di eventi Esercizi di riepilogo
3 Gli assiomi della probabilità 3.1 Proprietà della probabilità Probabilità dell'unione di eventi incompatibili Probabilità dell'unione di eventi compatibili Probabilità dell'evento contrario ● Esercizi di riepilogo
4 Definizioni di probabilità
Q7 Q8
Q 10 Q 11
4.1 Definizione classica (Laplace) Eventi equiprobabili 4.2 Definizione frequentista
ESERCIZI
Q 24 Q 25
Q 26 Q 26 Q 27 Q 28 Q 29 Q 30 Q 31 Q 32 Q 33 Q 33 Q 34 Q 36 Q 36
Q 14
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Indice
5 Probabilità condizionata 5.1 Eventi indipendenti Il problema dell'estrazione Problemi sull'estrazione con reimmissione Problemi sull'estrazione senza reimmissione 5.2 Formula della probabilità totale ● Problemi di riepilogo 5.3 Teorema di Bayes matematica & storia
informatica &
U
LAB
2
S Q V L
TEORIA
ESERCIZI
Q 15 Q 16
Q 36 Q 36 Q 37 Q 37
Q 17 Q 19
La nascita del calcolo delle probabilità Questionario Verifica finale Lancio di due dadi: un confronto tra la definizione classica e quella statistica di probabilità
Q 22 Q 43 Q 45 Q 46
TEORIA
ESERCIZI
Q 52 Q 54 Q 57 Q 58 Q 60 Q 61 Q 61 Q 61
Q 63 Q 67 Q 67 Q 67 Q 70 Q 71
Probabilità: variabili aleatorie discrete 1 2 3 4 5 6
Distribuzione di probabilità Funzione di ripartizione Valor medio Varianza e scarto quadratico medio. Disuguaglianza di Cebicev Variabile casuale standardizzata Operazioni con le variabili casuali ●
Addizione e sottrazione Moltiplicazione Esercizi di riepilogo
Q 73
Q Questionario V Verifica finale
U
3
LAB
Q 77
Distribuzione geometrica Distribuzione di Bernoulli Distribuzione multinomiale Distribuzione di Poisson Distribuzione ipergeometrica Legge dei grandi numeri ● ●
informatica &
Q 75
TEORIA
ESERCIZI
Q 78 Q 80 Q 82 Q 83 Q 85 Q 87
Q 91 Q 93 Q 97 Q 98 Q 100 Q 103 Q 104 Q 106
Probabilità: distribuzioni di probabilità 1 2 3 4 5 6
matematica & storia
Q 38 Q 39
S Q V L
Esercizi di riepilogo Problemi sulla probabilità assegnati all'Esame di Stato
Una famiglia geniale: i Bernoulli Questionario Verifica finale La distribuzione di Poisson La distribuzione di Bernoulli
Q 89 Q 108 Q 110 Q 111 Q 114
L
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Indice
U
4 Probabilità: variabili aleatorie continue 1 2 3 4 5 6 7
matematica & storia
informatica &
LAB
S S Q V L
Funzione di ripartizione Densità di probabilità Caratteristiche numeriche delle variabili continue Distribuzione uniforme Distribuzione gaussiana Funzione di Laplace. Regola delle tre sigma Approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana. Teorema centrale limite Pierre-Simon Laplace Johann Carl Friedrich Gauss Questionario Verifica finale La distribuzione normale di probabilità
TEORIA
ESERCIZI
Q 118 Q 119 Q 122 Q 124 Q 125 Q 127
Q 136 Q 136 Q 136 Q 139 Q 140
Q 130
Q 141
Q 132 Q 134 Q 143 Q 145 Q 146
Appendici 쑺 Formulario Principali simboli utilizzati nel testo Alcune formule già note Modulo P Modulo Q
Q 153 Q 154 Q 156 Q 157
쑺 Indice analitico Moduli P + Q
Q 159
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MODULO
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P
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Calcolo combinatorio
Sommario del modulo P UNITÀ 1
TEORIA ESERCIZI
Calcolo combinatorio 1 2 3 4 5 6 Q V
Introduzione Disposizioni semplici Permutazioni semplici Disposizioni con ripetizione Permutazioni con ripetizione Combinazioni semplici Il binomio di Newton Questionario Verifica finale
P2 P2 P4 P5 P6 P7 P 10
P 11 P 12 P 13 P 13 P 13 P 14 P 15 P 16
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TEORIA
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Teoria - Calcolo combinatorio
Calcolo combinatorio Introduzione Dato l’insieme A = {1; 2; 3}, quanti sono i numeri di due cifre, tra loro diverse, che possiamo formare con i numeri di A? E quanti numeri di tre cifre, tra loro diverse, possiamo formare con i numeri di A? E ancora, quanti numeri di due cifre, anche tra loro uguali, possiamo formare con i numeri di A? Con insiemi quali A, che contengono un numero limitato di elementi, il problema può essere risolto con un diagramma ad albero. Per rispondere alla prima domanda tra quelle sopra FIG. 1 1a scelta 2a scelta poste possiamo scegliere la cifra delle decine indiffe1 rentemente tra i tre elementi dell’insieme A (FIG. 1). Scelto il numero che esprime la decina, la cifra delA 2 le unità può essere scelta solo tra le due cifre rimanenti. Il diagramma ad albero si completa allora 3 come nella FIGURA 2. Partendo da A e seguendo le frecce, i numeri cercaFIG. 2 1a scelta 2a scelta ti sono 12; 13; 21; 23; 31; 32, cioè sono tanti quanti 2 gli elementi del prodotto cartesiano di due insiemi, 1 3 il primo che contiene i tre elementi della prima scel1 ta, il secondo che contiene i due elementi della se2 A 3 conda scelta: in conclusione, sei elementi. 1 3 Problemi di questo tipo vengono risolti più agil2 mente dal calcolo combinatorio. Il calcolo combinatorio è quella parte della matematica che si occupa di determinare e di contare quanti sono i raggruppamenti che si possono fare con gli n oggetti di un insieme finito, secondo determinate regole.
MODULO
P
Esaminiamo ora i vari modi con i quali si possono predisporre i vari raggruppamenti.
1
ESERCIZI
P 11
Disposizioni semplici Sia A un insieme che contiene n elementi distinti. Estraiamo k elementi da A e li disponiamo in k caselle numerate (e quindi ordinate). ...
FIG. 3
1
2
3
k
Poiché gli elementi di A sono distinti, ogni casella è occupata da un elemento diverso.
P
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Teoria - Calcolo combinatorio D efinizione
Ogni gruppo ordinato di k elementi estratti da A si chiama disposizione semplice di n oggetti di classe k o disposizione semplice di n oggetti presi a k a k.
Due disposizioni possono differire o per gli oggetti contenuti oppure per l’ordine degli oggetti stessi. Indichiamo con Dn;k il numero di disposizioni semplici di n oggetti di classe k. T eorema 1.1 Le disposizioni semplici di n oggetti di classe k sono Dn;k =n·(n−1)· ·(n−2)·…·(n−k +1).
Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k è il prodotto di k numeri consecutivi da n a (n − k + 1), cioè Dn;k = n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1).
Dimostrazione Consideriamo le k celle della FIGURA 3. La prima cella può essere riempita in n modi diversi utilizzando uno degli n oggetti dell’insieme; la seconda cella può essere riempita in n − 1 modi diversi utilizzando uno degli n − 1 oggetti dell’insieme rimasti; le prime due celle possono essere allora riempite in n · (n − 1) modi diversi con gli n · (n − 1) oggetti. La terza cella può essere riempita in n − 2 modi diversi utilizzando uno degli n − 2 oggetti dell’insieme rimasti. Le prime tre celle possono essere allora riempite in n · (n − 1) · (n − 2) modi diversi e così via, fino alla k-esima cella, che può essere riempita in n − k + 1 modi diversi utilizzando uno degli n − k + 1 oggetti dell’insieme rimasti. Le k celle possono essere allora riempite in n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) modi diversi. Dunque: Dn;k = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1). c.v.d.
MODULO
P
In particolare: Dn;n = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1; Dn;1 = n. ESEMPI
D8;4 = 8 · 7 · 6 · 5 = 1680 D11;2 = 11 · 10 = 110
D35;1 = 35 D6;6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Utilizzando le disposizioni semplici, possiamo risolvere il primo problema proposto all’inizio di questa Unità: dato l’insieme A = {1; 2; 3}, quanti sono i numeri di due cifre, tra loro diverse, che si possono formare con i numeri di A? I numeri di due cifre tra loro diverse che si possono formare con i numeri di A sono tanti quante sono le disposizioni semplici di 3 oggetti di classe 2, cioè D3;2 = 3 · 2 = 6. ESEMPI
Esempio 1
Una lotteria consiste nell’assegnare tre premi di differente valore ai proprietari di tre biglietti estratti da un bambino bendato. Se sono stati venduti 20 biglietti, quante sono le possibili terne di vincitori?
P
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Teoria - Calcolo combinatorio
L’estrazione casuale equivale a scegliere un gruppo ordinato di 3 elementi da un insieme di 20, senza ripetizione. Il numero di terne di possibili vincitori è quindi dato dal numero di disposizioni semplici di 20 elementi di classe 3: D20;3 = 20 · 19 · 18 = 6840. Esempio 2
Il codice PIN del tuo telefono cellulare è composto da 4 cifre. Supponendo che non sia possibile ripetere le cifre, calcoliamo il numero di possibili codici PIN. Se le cifre devono essere distinte, ogni codice è un gruppo di 4 cifre scelte fra 10. Poiché l’ordine con cui si presentano le cifre è importante, il numero di codici PIN è pari al numero di disposizioni di 10 oggetti di classe 4: D10;4 = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040. Esempio 3
In un torneo di calcio alle 4 squadre più forti (teste di serie) vengono assegnate per sorteggio altre 4 squadre più deboli (sulla carta) scelte da un gruppo di 12. In quanti modi diversi si possono incontrare le teste di serie con le squadre più deboli? Il numero di modi in cui si possono scegliere 4 squadre da un gruppo di 12, tenendo conto dell’ordine di estrazione è dato da D12;4 = 12 · 11 · 10 · 9 = 11 880.
2
ESERCIZI
P 12
Permutazioni semplici D efinizione
Ogni disposizione semplice di n oggetti di classe n si dice permutazione semplice di n oggetti.
Due permutazioni semplici differiscono solo per l’ordine degli elementi. Il numero di permutazioni semplici si indica con Pn . Per la definizione, Pn coincide con Dn;n . Pertanto: Pn = Dn;n = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1 .
MODULO
P
Le permutazioni di n oggetti sono Pn = n!
Il prodotto di n numeri naturali consecutivi da 1 a n si indica con n!, che si legge: «enPn = n! . ne fattoriale». Pertanto: D efinizione
Dato un numero naturale n > 1, si dice fattoriale di n il prodotto degli n numeri naturali consecutivi da 1 a n. In simboli: n! = n · (n − 1) · (n − 2) · … · 3 · 2 · 1. Per n = 1, si ha 1! = 1. Per n = 0, si ha 0! = 1 (per convenzione).
Utilizzando le permutazioni semplici, possiamo risolvere il secondo problema proposto all’inizio di questa Unità: quanti numeri di tre cifre, tra loro diverse, si possono formare con i numeri dell’insieme A = {1; 2; 3}? I numeri di tre cifre non ripetute che si possono formare con gli elementi di A sono tanti quante sono le permutazioni di 3 oggetti, cioè P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6. ESEMPI
Esempio 1
In quanti modi possiamo disporre nei banchi 18 studenti di una classe? Si tratta di calcolare le disposizioni di 18 elementi di classe 18, cioè il numero di permutazioni di 18 elementi: P18 = 18 · 17 · 16 · 15 · . . . · 3 · 2 · 1 ≈ 6‚4 · 1015 .
P
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Teoria - Calcolo combinatorio Esempio 2
Quanti sono i numeri di 4 cifre distinte che possiamo costruire con 1, 3, 5, 7? Si tratta di calcolare il numero di permutazioni di 4 oggetti: P4 = 4! = 24.
Permutazioni circolari Chiediamoci ora in quanti modi 4 giocatori possono disporsi attorno a un tavolo da gioco. Questa volta le permutazioni di 4 elementi non rispondono al nostro problema; per ogni posizione infatti ne esistono tre equivalenti, cioè tre posizioni nelle quali ogni giocatore ha alla sua destra e alla sua sinistra sempre le stesse persone. Se indichiamo con A; B; C; D i 4 giocatori, sono equivalenti le posizioni ottenute ruotando di un posto ogni giocatore. Poiché non possiamo stabilire il punto di partenza, sono equivalenti dunque le quattro posizioni nella FIGURA 4. Il numero dei possibili modi in cui 4 giocatori possono disporsi attorno a un tavolo da P4 4·3·2 = = 6. gioco è 4 4 Una permutazione circolare di n oggetti è dunque una permutazione di n oggetti nella quale non sono fissate né una prima né un’ultima posizione. Pn Le permutazioni circolari di n oggetti sono . n
A B
C D B
D
A C D
C
B A C
A
D B
FIG. 4
3
ESERCIZI
P 13
... 1
2
3
FIG. 3
k
Disposizioni con ripetizione Prepariamo k caselle numerate (FIG. 3), con k intero qualsiasi. Da un insieme A contenente n elementi distinti estraiamo un elemento e lo collochiamo nella prima casella. Estraiamo poi un secondo elemento nelle stesse condizioni, cioè dal medesimo insieme A, e lo collochiamo nella seconda casella. Ripetiamo la stessa operazione fino a occupare tutte le k caselle. Osserviamo che, poiché le estrazioni vengono ripetute nelle stesse condizioni, k può assumere qualsiasi valore, anche maggiore di n; uno stesso elemento può essere estratto più volte e quindi può ripetersi nelle caselle, potendo anche occuparle tutte. D efinizione
Ogni gruppo ordinato di k elementi estratti da A, in cui ciascun elemento può comparire più volte, si chiama disposizione con ripetizione di n oggetti di classe k o disposizione con ripetizione di n oggetti presi a k a k.
Il numero di disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k si indica con Dn;k . T eorema 1.2
Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k è Dn;k = nk .
Dimostrazione . . . ·n = nk Tutti i k posti si possono scegliere in n modi, perciò si contano Dn;k = n·n· disposizioni con ripetizione. k volte 1° posto
2° posto
3° posto
n modi
n modi
n mo di
Schematicamente:
k volte
P
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…
k-esimo posto n modi
Le disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k sono Dn;k = nk .
c.v.d.
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Teoria - Calcolo combinatorio
Utilizzando le disposizioni con ripetizione, possiamo risolvere il terzo problema proposto all’inizio di questa Unità: quanti numeri di due cifre, anche tra loro uguali, possiamo formare con i numeri dell’insieme A = {1; 2; 3}? I numeri di due cifre anche ripetute che si possono formare con gli elementi di A sono tanti quanti le disposizioni con ripetizione di 3 oggetti di classe 2, cioè D3;2 = 32 = 9. ESEMPI
Esempio 1
In quanti modi possiamo disporre i simboli 1, X, 2 in una colonna della schedina del Totocalcio? Il numero dei modi è il numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 14: D3;14 = 314 = 4 782 969. Dunque concludiamo che in una colonna della schedina del Totocalcio i simboli 1, X, 2 possono essere disposti in 4 782 969 modi diversi. Esempio 2
Lanciamo un dado per 10 volte. Determiniamo quanti sono i possibili risultati. Ogni risultato è costituito da una successione ordinata di 10 numeri compresi tra 1 e 6. Ogni numero si può ripetere, pertanto il numero di successioni che possiamo generare è dato dal numero di disposizioni con ripetizione di 6 oggetti di classe 10: D6;10 = 610 = 60 466 176.
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ESERCIZI
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P
Le permutazioni di n oggetti di cui uno è ripetuto α volte sono n! Pn = . α!
Permutazioni con ripetizione In quanti modi possiamo anagrammare la parola «aia»? I possibili anagrammi sono: aia; iaa; aai. In altre parole, possiamo anagrammare la parola in 3 modi distinti e non in 6 come per le permutazioni semplici, perché la lettera «a» è ripetuta 2 volte all’interno della parola. Si può dimostrare che le permutazioni di n oggetti, nel caso in cui un oggetto viene ripetuto α volte, sono n! Pn = . α! In quanti modi possiamo invece anagrammare la parola «mamma»? Provando in tutti i modi possibili, troviamo non più di 10 anagrammi distinti. In questo caso, nella parola prescelta la «m» è ripetuta 3 volte e la «a» è ripetuta 2 volte. Le permutazioni sono P5 = 3!5!· 2! = 10. In generale, il numero delle permutazioni di n elementi di un insieme in cui alcuni oggetti si ripetono α, β, … volte è il rapporto tra n! e il prodotto dei fattoriali che esprimono il numero di volte in cui i vari oggetti sono ripetuti, cioè Pn =
ESEMPI
n! . α! β! · · ·
Esempio 1
Quanti sono gli anagrammi della parola «rosso»? Nella parola «rosso» la lettera «o» si ripete due volte; la lettera «s» si ripete due volte. Gli anagrammi della parola «rosso» sono tanti quante le permutazioni con ripetizione di 5 elementi, di cui due ripetuti due volte: P5 = 2!5!· 2! = 30. Esempio 2
In quanti modi possiamo distribuire 10 palline in tre scatole in modo che esse contengano rispettivamente 3, 5 e 2 palline?
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Teoria - Calcolo combinatorio
In ciascuna scatola ogni pallina viene ripetuta 3, 5 e 2 volte. Il numero di permutazioni con 10! = 2520. ripetizione è quindi P10 = 3! · 5! · 2! Esempio 3 Quanti numeri di 6 cifre possiamo scrivere con i tre elementi dell’insieme A = {1; 2; 3}, ripetendo ciascun numero due volte? 6! = 90. I numeri che si possono scrivere sono P6 = 2! · 2! · 2!
5
ESERCIZI
P 13
Combinazioni semplici Sia D l’insieme di tutte le disposizioni semplici di n oggetti di classe k. Prese due disposizioni d1 e d2 di D, diciamo che d1 è in relazione con d2 , e scriviamo d1 ≡ d2 , se d1 e d2 contengono gli stessi elementi. In altre parole, d1 ≡ d2 se d1 e d2 differiscono solo per l’ordine in cui si presentano i k elementi. Si dimostra facilmente che la relazione ≡ gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, pertanto è una relazione di equivalenza. Possiamo quindi ripartire l’insieme D in classi di equivalenza, ciascuna delle quali contiene tutte le disposizioni che si possono costruire con un dato gruppo di k elementi, senza tener conto dell’ordine. D efinizione
Chiamiamo combinazione semplice di n elementi di classe k ogni classe di equivalenza in cui l’insieme D viene ripartito dalla relazione ≡. Dato l’insieme A = {1; 2; 3; 4} che contiene n = 4 elementi, troviamo tutte le disposizioni che si possono costruire estraendo 2 elementi da A. MODULO
Sappiamo che esse sono in numero di 4 · 3 = 12. Ecco l’elenco completo degli elementi di D : (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (3; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 3). Le disposizioni che differiscono solo per l’ordine degli elementi appartengono alla stessa classe di equivalenza. In questo caso ciascuna classe di equivalenza contiene solo due elementi. Pertanto le 6 classi di equivalenza sono: {(1; 2); (2; 1)}, {(1; 3); (3; 1)}, {(1; 4); (4; 1)}, {(2; 3); (3; 2)}, {(2; 4); (4; 2)}, {(3; 4); (4; 3)}. Ciascuna di queste classi di equivalenza è una combinazione semplice di 4 oggetti di classe 2.
Indichiamo con Cn;k il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k. T eorema 1.3 Le combinazioni di n oggetti di classe k sono Dn;k Cn;k = . k!
Il numero delle combinazioni semplici di n oggetti di classe k è il rapporto tra i numeri delle diDn;k . sposizioni semplici di n oggetti di classe k e delle permutazioni dei k oggetti, cioè Cn;k = k!
Dimostrazione Ogni combinazione semplice di n oggetti di classe k contiene le disposizioni semplici che differiscono fra loro solo per l’ordine, e non per gli elementi. Il numero di disposizioni che appartengono a ciascuna combinazione è quindi pari al numero di permutazioni di k oggetti, cioè k!.
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Teoria - Calcolo combinatorio
Dn;k , dove Dn;k è il numero totale k! di disposizioni e k! il numero di disposizioni contenute in ciascuna combinazione. c.v.d. Ne consegue che il numero di combinazioni è Cn;k =
Per il TEOREMA 1.1, che stabilisce il numero delle Dn;k , possiamo scrivere: n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) Cn;k = . k · (k − 1) · (k − 2) · . . . · 2 · 1 n Le combinazioni semplici di n oggetti di classe k si indicano anche con , che si k n n . legge: «n su k»; si chiama coefficiente binomiale. Possiamo scrivere Cn;k = k k D efinizione
Dati un numero naturale n ≥ 1 e un numero naturale k ≤ n, si chiama coefficiente binomiale il rapporto n n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1) n = = 1. . Per k = 0, si ha k! k 0
Proprietà dei coefficienti binomiali P roprietà 1 n n! = . k k! · (n − k)!
Verifichiamo l’uguaglianza.
n
n·(n − 1)·(n − 2)· . . . ·(n − k + 1) . k k! Moltiplichiamo numeratore e denominatore del secondo membro per (n − k)!: n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) · (n − k)! n! = . k! · (n − k)! k! · (n − k)!
Per la definizione di coefficiente binomiale:
=
P roprietà 2 n n = . k n−k
MODULO
P
n n! = Verifichiamo l’uguaglianza. Il primo membro è per la proprietà 1. k k! · (n − k)! n n! n! = = . Il secondo membro è, sempre per la 1, (n − k)! (n − n + k)! k! (n − k)! n−k Dalla proprietà 2, per k = n, possiamo scrivere: P roprietà 3 n n = = 1. n 0 ESEMPI
Esempio 1
Calcoliamo C7;3 e C15;14 . Si ha C7;3 =
7 3
=
7! 15! 7·6·5 = = = 35 e C15;14 = 15 = 15. 14 3!·4! 3·2·1 1!·14!
Esempio 2
Quanti colori ottieniamo mescolando in parti uguali due vernici di colori nero, blu, giallo e rosso? 4·3 = 6. Il numero delle combinazioni semplici è C4;2 = 2!
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Esempio 3
Dimostriamo che
n
=
n − 1
+
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Teoria - Calcolo combinatorio
n − 1
. k k k −1 Il secondo membro si scrive: (n − 1)! (n − 1)! (n − k) · (n − 1)! + k · (n − 1)! + = = k! · (n − k − 1)! (k − 1)! · (n − k)! k! · (n − k)! =
n (n − k + k) · (n − 1)! n! = = . k! · (n − k)! k! · (n − k)! k
Esempio 4
n n n − k = · . k +1 k k +1 n n−k n! n! · = = . Il secondo membro si scrive: k! · (n − k)! k + 1 (k + 1)! · (n − k − 1)! k +1 Esempio 5 n(n − 3) . Dato un poligono convesso di n lati, il numero di diagonali del poligono è 2 n Infatti un poligono di n lati ha n vertici e 2 segmenti che uniscono a due a due i vertici; ma, tra questi segmenti, n sono lati del poligono. Quindi il numero di diagonali è n n(n−1) − n = n(n−3) . 2 −n = 2 2 = 2, Verifichiamo tale formula per il rombo. In questo caso n = 4 e le diagonali sono 4(4−3) 2 come sappiamo dalla geometria. Dimostriamo che
Finora abbiamo considerato il caso in cui gli n elementi dell’insieme A siano distinti. Il concetto di combinazione di n oggetti di classe k ha importanti applicazioni anche nel caso in cui gli elementi di A siano tutti uguali. Dato un insieme A contenente n oggetti identici, è ovvio che da esso si può estrarre un solo gruppo di k oggetti. L’esempio che segue mostra che l’estrazione può avvenire con differenti modalità. MODULO
ESEMPIO
Supponiamo che A contenga 4 palline identiche, che possiamo idealmente chiamare 1, 2, 3, 4. Un gruppo di 2 palline estratto da A può essere composto dalle palline 1 e 2, oppure 3 e 4, oppure 1 e 4, ecc. A ciascuna di queste possibilità corrisponde una differente modalità di estrazione, anche se, essendo le palline identiche, il prodotto dell’estrazione è sempre il medesimo. In quanti modi diversi possiamo estrarre una coppia da un insieme di 4 oggetti identici? Se immaginiamo di numerare le 4 palline, è evidente che a ogni coppia di palline (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4) corrisponde un differente modo di estrazione. Alle coppie elencate dovremmo aggiungere le loro simmetriche (2; 1), (3; 1), (4; 1), (3; 2), (4; 2), (4; 3). Siamo però interessati all’estrazione in blocco, nella quale i due elementi vengono presi insieme, senza distinguere quale dei due sia preso per primo. In altre parole, l’ordine di estrazione delle palline non conta. Possiamo quindi concludere che una coppia di oggetti può essere estratta in 6 modi diversi da un insieme di 4 elementi identici.
Calcoliamo il numero di modi in cui si può estrarre un gruppo di k oggetti da un insieme di n oggetti identici. Ogni modo di estrazione corrisponde a scegliere un preciso gruppo di k oggetti tra gli n, senza tenere conto dell’ordine. Pertanto il numero di modi di estrazione è uguale a Cn;k , numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k. ESEMPIO
Un’urna contiene 10 palline identiche. In quanti modi diversi possiamo estrarre 4 palline? La risposta è semplicemente C10;4 = 210.
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ESERCIZI
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Teoria - Calcolo combinatorio
Il binomio di Newton Studiando i prodotti notevoli abbiamo imparato a determinare le potenze di un binomio con le formule: (a + b)1 = a + b; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 e per n > 3 abbiamo utilizzato il triangolo di Tartaglia. Il triangolo di Tartaglia trova la sua giustificazione nella formula del binomio di Newton, espressa dal teorema seguente. T eorema 1.4
Per ogni n ∈ 0 e per ogni a‚ b ∈ , si ha che: n n n n n an + an−1 b + an−2 b 2 + … + ab n−1 + bn. (a + b)n = 0 1 2 n−1 n
Dimostrazione La potenza n-esima (a + b)n è il prodotto di (a + b) per se stesso, ripetuto n volte. Dobbiamo quindi calcolare (a + b)n = (a + b) · (a + b) · . . . · (a + b) . Procediamo così: n volte
a. in ogni fattore (a + b) scegliamo uno degli addendi, a o b, e moltiplichiamoli fra loro: (a + b) · (a + b) · (a + b) · . . . · (a + b) ↓ ↓ ↓ ↓ = an−k · bk . a b b ... a In questo modo avremo generato un monomio del tipo an−k · bk , dove k è il numero di volte che abbiamo scelto b; b. ripetiamo l’operazione a per tutte le possibili scelte di a e b; c. sommiamo tutti i monomi generati in b. In questo modo avremo calcolato (a + b)n . Il monomio an−k · bk viene generato ogni volta che il numero b viene scelto in k degli n fattori (a + b) (la scelta di a risulta poi obbligata). Pertanto il numero di monomi an−k · bk che vengono generati è pari al numero di modi in cui possiamo scegliere k oggetti identici b in un gruppo di n. Abbiamo visto al ter mine del paragrafo precedente che questo numero è nk . Scriviamo quindi
MODULO
P
(a + b)n = ESEMPI
n n
· an−k bk . k=0 k
c.v.d.
Esempio 1
4 4 4 4 4 x4 + x 3 (2y ) + x 2 (2y )2 + x (2y )3 + (2y )4 = 0 1 2 3 4 = x 4 + 8x 3 y + 24x 2 y 2 + 32xy 3 + 16y 4 . Esempio 2 5 5 5 5 5 5 (a − by )5 = a5 − a4 by + a3 (by )2 − a2 (by )3 + a(by )4 − (by )5 = 0 1 2 3 4 5 = a5 − 5a4 by + 10a3 b 2 y 2 − 10a2 b 3 y 3 + 5ab 4 y 4 − b 5 y 5 . Esempio 3 Determiniamo nello sviluppo di (3x − 5y )15 il coefficiente del monomio x 6 y 9 . Per lo sviluppo del binomio possiamo scrivere: 15 15 15 (3x )15 + (3x )14 (−5y ) + . . . + (3x )6 (−5y )9 + . . . (3x − 5y )15 = 0 1 9 6 9 6 9 Il coefficiente di x 6 y 9 è quindi 15 9 · 3 · (−5) = −5005 · 3 · 5 . (x + 2y )4 =
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ESERCIZI
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Esercizi - Calcolo combinatorio
Calcolo combinatorio Disposizioni semplici
ESERCIZIO GUIDA
In previsione dell’esame scritto di fisica, 25 studenti si precipitano in aula per occupare i 5 posti dell’ultima fila. Tenendo conto dell’ordine, in quanti modi possono essere occupati i posti dell’ultima fila?
1.
2. 3. 4.
La composizione dell’ultima fila dipende dalle persone che la occupano e dall’ordine con cui esse si siedono. Inoltre ogni persona si siede in un solo posto, non sono cioè possibili ripetizioni. Pertanto il calcolo va effettuato facendo uso delle disposizioni semplici Dn;k . Il numero di persone tra cui scegliere è n = . . . Il numero di elementi del gruppo è k = . . . Applichiamo la formula e otteniamo D... = 25 · 24 · . . . · 6 = . . .
1
In una gara con 6 concorrenti in quanti modi diversi può essere costituito [120] il podio?
puoi ottenere? Se la prima pallina estratta porta il numero 6, quanti numeri diversi di tre cifre che iniziano per 6 puoi ottenere? [120; 20]
7 Quanti numeri di tre cifre tutte Quanti numeri di non più di due cifre si possono ottenere con le cifre 1, 2, 3 differenti si possono formare con le cifre 2, [24; 48] [9] 4, 6, 8? E con 0, 2, 4, 6, 8? senza ripeterle? 2
3
Quante password di 5 caratteri, e senza ripetizioni, si possono formare con le prime 10 lettere minuscole dell’alfabeto [30 240] inglese?
4
Si deve formare una commissione con 1 insegnante di italiano, 1 di lingua straniera, 1 di matematica, 1 di storia. Gli insegnanti devono essere scelti tra 4 di italiano, 2 di lingua straniera, 3 di matematica e 2 di storia. In quanti modi può [48] essere formata la commissione?
5
Quanti numeri diversi di 3 cifre puoi ottenere lanciando un dado 3 volte? [216]
6 Un’urna contiene sei palline numerate dall’1 al 6. Componi un numero di tre cifre estraendo una dopo l’altra tre palline, senza rimetterle nell’urna. Quanti numeri diversi P
8 Un astuccio contiene 5 gettoni con le vocali. Estraendo uno dopo l’altro 3 gettoni, [60] quante sequenze si possono formare? 9
Calcola il valore delle espressioni.
a. (D4;3 − 3D3;2 ) : 3
[2]
b. (5D2;1 + D5;3 ) : 7
[10]
10
Determina per tentativi il numero da sostituire a x ∈ N0 in modo che le seguenti uguaglianze siano vere. a. D3;x = 6
[2]
c. D6;x = 360 [4]
b. D5;x = 60
[3]
d. D10;x = 90
[2]
11 Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x ∈ N0 . a. Dx;3 + Dx;2 = 80
[5]
b. 3Dx;2 − Dx;3 = 0
[5]
c. Dx;2 + 3Dx;3 + Dx;4 = 0
[∅]
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MODULO
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UNITÀ
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Esercizi - Calcolo combinatorio
Permutazioni semplici
ESERCIZIO GUIDA
In quanti modi è possibile disporre in uno scaffale 7 libri differenti? Le possibili situazioni differiscono solo per l’ordine in cui sono disposti i 7 libri. Il numero cercato è quindi il numero di permutazioni di 7 oggetti, Pn = 7! = 5040.
12
Scrivi tutte le permutazioni degli elementi dell’insieme X = {A; B; C}.
13 Scrivi tutte le permutazioni degli elementi dell’insieme Y = {verde; rosso; giallo}. 14
In quanti modi diversi si possono disporre 15 studenti in un’aula con 15 [15!] banchi?
15 Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, della parola rosa [6] che incominciano con r? 16 In quanti modi diversi si possono allineare 7 persone in una fila allo sportello [7!] della posta? 17
MODULO
P
In quanti modi si possono permutare le lettere della parola belgio? [720]
di significato, si possono ottenere con le sue sei lettere? Quanti di questi anagrammi iniziano con una consonante? Quanti [6!; 5!; 600] iniziano con una vocale?
22
Quanti numeri con cifre diverse si possono formare con le cifre 2, 5, 6, 8? [24; 6] Quanti di questi sono dispari?
23
In quanti modi si possono disporre intorno a un tavolo rotondo 8 invi[7!] tati a una festa?
24 In quanti modi diversi si possono disporre le 10 carte di fiori di un mazzo? [10!]
25 In quanti modi si possono mettere in fila 5 ragazzi se tra di loro ci sono 2 fratelli che vogliono stare sempre vicini? [48]
18
Quanti anagrammi, anche privi 26 In quanti modi diversi si possono di significato, si possono ottenere con le allineare i colori di un semaforo? [6] [6] lettere della parola tuo? 27 In quanti modi diversi si possono 19 In quanti modi si possono allinea- disporre 6 camicie e 4 jeans in un armare i 7 giocatori di una squadra di calcio se dio, mantenendoli separati? [17 280] il portiere è sempre al primo posto? [720] 28 Calcola il valore delle seguenti 20 Quanti anagrammi, anche privi espressioni. di significato, si possono formare con le 10! 3! 1 3! 1 3! + − b. c. d. a. [9!] lettere della parola gelsomina? 5! 8! 5! 4! 5! 4! 5! 3! 1 5! 1 11 1 21 Considera le lettere della parola e. · · f. 20 ; 90; 120 ; 120 ; 1; 3! 4! 5 2! 60 aiuole. Quanti anagrammi, anche privi Risolvi in N le seguenti equazioni. (n + 1)(n + 3)n! 1 n! = n(n + 4) = [0] b. a. n(n − 1)! (n + 2)! 2
29
c. 2n · n! = n!(n − 1)(n + 2)
[2]
d. (n + 1)! − 3n! − 3(n − 1)! = 0 ∧ n ≥ 1
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[∅] [3]
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UNITÀ
Esercizi - Calcolo combinatorio
Disposizioni con ripetizione Permutazioni con ripetizione
ESERCIZIO GUIDA
Quanti numeri di 8 cifre si possono costruire con le cifre 2, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 7? Poiché la cifra 5 si ripete due volte e la 7 tre volte, si devono usare le permutazioni con ripetizione, 8! P8 = = 3360, 2! · 3! in cui si è diviso per 2! e 3! per tener conto del fatto che scambiando tra loro la coppia di 5 o permutando la terna di 7 non cambia il numero che viene generato.
30
Quanti anagrammi, anche privi 34 Per fare un puzzle su un foglio di di significato, si possono formare con le 12 quadretti si hanno a disposizione 3 [12] quadretti colorati per ognuno dei 4 diverlettere della parola coro? 31 Quante password di 6 caratteri si colori. In quanti modi si possono dipin- 12! gere i 12 quadretti del puzzle? si possono formare con le cifre da 0 a 9? 3! 3! 3! 3!
35 Quante parole diverse, anche prive di significato, si possono formare con le let32 Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le let- tere della parola metabolismo? Quante di [9 979 200; 2520] [151 200] queste iniziano con meta? tere della parola matematica? [1 000 000]
33 Lanciando 3 volte un dado di 6 facce, quante terne di numeri si possono ot[216] tenere?
5
36 In quanti modi si possono porre 6 palline in 2 scatole, in modo che ce ne sia[15] no 4 nella prima e 2 nella seconda?
Combinazioni semplici
MODULO
P
ESERCIZIO GUIDA
Determina il numero di possibili cinquine che si possono costruire estraendo 5 numeri tra i primi 90 numeri naturali. Due cinquine sono distinte solo se differiscono per almeno un numero. Pertanto l’ordine di estrazione è ininfluente e il numero di cinquine va calcolato utilizzando le combinazioni semplici, 90 90! 90 · 89 · 88 · 87 · 86 = = = 43 949 268. C90;5 = 5 85! · 5! 5·4·3·2·1 In quanti modi si può formare spondere a 8 domande su 10. Quante sceluna commissione di 4 uomini e 3 donne, te avevano gli studenti? Dopo mezz’ora [2100] dall’inizio, Giovanni aveva già risposto alle scelti tra 10 uomini e 5 donne? prime quattro domande. Quante erano a 38 In quanti modi possono essere quel punto le sue possibili scelte? [45; 15] scelti 4 studenti che parteciperanno a una 40 Quante cinquine si possono ottepartita tra i 25 studenti della 3a C? [12 650] nere con i 90 numeri del lotto? [43 949 268] 39 In una prova di matematica agli 41 Quante sono le cinquine che constudenti della 2a A è stato proposto di ri[3741] tengono il terno 1, 2, 3?
37
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Esercizi - Calcolo combinatorio
42 Quante sono le cinquine che con50 Se da un mazzo di 40 carte [109 736] estraiamo tre carte, quante sono le possitengono i numeri 10 e 11? 43 Un professore interroga i 20 alun- bili terne che il giocatore può avere? [9880] 51 Se giochiamo alla roulette (37 nuni della 4a A a due a due. Quante possibili [190] meri dallo 0 al 36) quante terne che concoppie si possono formare? 44 Quante terne differenti di inter- tengono il numero 0 possono uscire? [630] rogati si possono formare in una classe di [816] 18 studenti?
45
52
Un’urna contiene sei palline numerate dall’1 al 6. Si estraggono contemporaneamente tre palline. In quanti modi [20] diversi possono essere estratte?
Sei amici decidono di fare una gita al mare, ma solo quattro di loro possono ot53 Per l’elezione dei due rappresentenere un passaggio in auto. In quanti modi si possono dividere in gruppi di quattro, o, tanti del consiglio di classe in 3a B (25 stu[15] denti) si mettono nell’urna 25 biglietti sui il che è lo stesso, in gruppi di due? 46 Cinque ragazzi stanno percorren- quali sono scritti i nomi degli studenti. Se do un sentiero. A un bivio due decidono di si estraggono due nomi a caso, quante copandare a sinistra e tre a destra. In quanti pie diverse si potrebbero ottenere? Se si modi diversi i cinque ragazzi si possono estraggono quattro nomi a caso (per eleg[10] gere anche due supplenti), quante quaterne avviare lungo il sentiero a destra? [300; 12 650] diverse si possono estrarre? 47 Vogliamo colorare quattro fogli 54 Calcola il valore delle seguenti ciascuno con un colore diverso. Se abbiamo espressioni. a disposizione sei colori, quante possibilità 4 3 3 4 3 [15] a. abbiamo di colorare i quattro fogli? +1 b. c. 2 2 2 3 2 48 Sapendo che una verifica contie[3; 12; 21] ne 10 esercizi e avendo a disposizione 18 55 Verifica le seguenti uguaglianze. esercizi, quante verifiche diverse, a meno 3 3 3 dell’ordine, si possono costruire? [43 758] a. +6 +6 = 33 1 2 3 49 Sei automobili arrivano contem4 5 +6 =4·3·7 poraneamente ai caselli di uscita dell’auto- b. 6 3 3 strada. Sono aperti sette caselli. In quanti 7 6 5 4 8 modi si possono disporre le automobili? [7] c. + + + = 4 4 4 4 5
MODULO
P
6
Il binomio di Newton 56 Determina il primo termine dello [a4 ] sviluppo di (a + 2b)4 . 57 Determina il terzo termine dello [80a3 b2 ] sviluppo di (2a − b)5 .
58 Determina il quarto termine dello 6 [−20x3 ] sviluppo di 12 x − 2 . 59
a. (x − 1)4 c.
P
Sviluppa le seguenti potenze.
14
1 x − 3y 3
b. (2y + 3x)5 6
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UNITÀ
Esercizi - Calcolo combinatorio
Questionario 1
Scrivi la definizione di disposizioni semplici di n elementi di classe k e la formula che permette di determinare Dm;k . Il numero delle disposizioni di 6 oggetti di classe k è 360. Quanto vale k? a. 3
■ b. 4
■ c. 2
■ d. 5
Che cosa si intende per n! (fattoriale di n)? Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola lance? a. 60 ■ b. 24 ■ c. 120 ■ d. 240 ■
3
Scrivi la definizione di combinazioni semplici di n elementi di classe k. Quante sono le combinazioni semplici di 7 elementi di classe 4?
■ d. 6
■
4 Data l’espressione 5D4;1 − C6;3 , indica, tra quelli proposti, il suo risultato. a. 5
■ b. 0
■ c. −40 ■ d. 40
■
3P6 + D5;3 , 15C4;3 indica, tra quelli proposti, il suo risultato.
5
Data l’espressione
a. 40 ■ b. 37 ■ c. 25 ■ d. 42
Qual è l’insieme delle soluzioni della seguente equazione? n n n+1 + = n−2 n−1 n−1 a. ∅
■ ■
■ c. 5
2
a. 144 ■ b. 140 ■ c. 35
8
■
6
Indica l’insieme delle sue soluzioni dell’equazione Cn−2;2 + Cn−2;1 = n − 1.
b. N {0; 1} d. 7
■ ■
12 Quanto vale ? 0
9
a. 20 ■ b. ∃
■ c. 1
■ d. 0
■
10 Quante sono le cinquine che contengono un determinato terno? a. C87;3 ■ b. C87;2 ■ c. D87;3 ■ d. D87;2 ■ 11 Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola giocattolo? 8! 10! ■ b. ■ a. 5! 3! · 2! · 3! MODULO
8! c. 3! · 2!
■
10! d. 2! · 3!
■
12
Quante quaterne si possono formare lanciando quattro volte una moneta? a. D4;2 ■ b. P4 ■ c. D2;4 ■ d. C4;2 ■
13
Quante sono le parole di 4 lettere, anche non di senso compiuto, che si posso■ b. n = 2 ∨ n = 4 ■ a. n = 4 no formare con le lettere a, b, c, o, r? ■ ■ a. D c. n = 2 d. n = 1 ∨ n = 4 ■ b. C5;4 ■ 5;4 ■ d. D5;4 ■ 7 Che cosa si intende per coeffi- c. P4 ciente binomiale? 14 Se giochiamo a tombola (90 nu15 Il valore di è 455. Quanto vale n? meri da 1 a 90), quante terne che contenn gono il numero 1 possono uscire? ■ b. n = 3 ■ a. 3916 a. n = 1 ■ b. 7832 ■ c. n = 5 ■ d. n = 7 ■ c. 4005 ■ d. 8010 ■
P
15
Loescher Editore - Vietata la vendita e la diffusione
P
3049_MP01_bz4_011_016
UNITÀ
1
23-11-2007
9:39
Pagina 16
Esercizi - Calcolo combinatorio
Verifica finale Prima parte 1
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
a. D6;2
b. P4 P7 − D7;3 e. 23 C6;2
d. D7;2
c. C8;3
2
Calcola il valore delle seguenti espressioni. 7 7 5 5 5 5 + + + − a. b. 2 6 0 1 2 5
3 Verifica la seguente identità. 5 4 = 16 − 2 2 4
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
a. D5;3 − D5;2
b. P5 + P4
Seconda parte ■ Risolvi i seguenti problemi. MODULO
P
5
Venti concorrenti partecipano a un concorso per 5 posti. In quanti modi possono essere compilate le graduatorie dei primi cinque posti, tenuto conto che due graduatorie sono distinte solo se differiscono per almeno un concorrente?
6 Un’urna contiene 21 palline contrassegnate con le 21 lettere dell’alfabeto. Si estraggono una dopo l’altra 5 lettere dell’alfabeto, senza riporle nell’urna. Quante parole diverse possiamo formare? Quante di queste cominciano con la lettera b? Quante di queste cominciano con le lettere bil? 7
Due palline bianche e due palline rosse sono numerate con i numeri 1 e 2. In quanti modi possono essere messe ai vertici A, B, C, D di un quadrato, se vogliamo che i colori siano alternati?
8
Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola bolla?
9
Quanti ambi si possono fare, nel gioco del lotto, con i cinque numeri di una stessa ruota?
10
Assegnati sei punti, tre dei quali non sono mai allineati, quante rette si possono disegnare congiungendo due di essi?
P
16
Loescher Editore - Vietata la vendita e la diffusione
3254_MQ01_bz4_001_023
26-11-2008
MODULO
15:00
Q
Pagina 1
Probabilità
Sommario del modulo Q UNITÀ 1
TEORIA ESERCIZI
Probabilità: i concetti fondamentali e le proprietà 1 2 3 4 5 S Q V L
Introduzione Eventi Operazioni con gli eventi Gli assiomi della probabilità Definizioni di probabilità Probabilità condizionata La nascita del calcolo delle probabilità Questionario Verifica finale Lancio dei dadi: un confronto tra la definizione classica e quella statistica di probabilità
UNITÀ 2
Distribuzione di probabilità Funzione di ripartizione Valor medio Varianza e scarto quadratico medio. Disuguaglianza di Cebicev 5 Variabile casuale standardizzata 6 Operazioni con le variabili casuali Q Questionario V Verifica finale
TEORIA ESERCIZI
Probabilità: distribuzioni di probabilità Q2 Q2 Q5 Q7 Q 10 Q 15 Q 22
Q 24 Q 26 Q 31 Q 36 Q 36 Q 43 Q 45
Q 46
TEORIA ESERCIZI
Probabilità: variabili aleatorie discrete 1 2 3 4
UNITÀ 3
1 2 3 4 5 6 S Q V L L
Distribuzione geometrica Distribuzione di Bernoulli Distribuzione multinomiale Distribuzione di Poisson Distribuzione ipergeometrica Legge dei grandi numeri Una famiglia geniale: i Bernoulli Questionario Verifica finale La distribuzione di Poisson La distribuzione di Bernoulli
UNITÀ 4
Q 78 Q 89 Q 80 Q 91 Q 82 Q 95 Q 83 Q 96 Q 85 Q 98 Q 87 Q 101 Q 89 Q 106 Q 108 Q 111 Q 114
TEORIA ESERCIZI
Probabilità: variabili aleatorie continue Q 52 Q 54 Q 57
Q 63 Q 63 Q 67
Q 58 Q 60 Q 61
Q 67 Q 70 Q 71 Q 75 Q 77
1 2 3 4 5 6 7
Funzione di ripartizione Densità di probabilità Caratteristiche numeriche delle variabili continue Distribuzione uniforme Distribuzione gaussiana Funzione di Laplace. Regola delle tre sigma Approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana. Teorema centrale limite S Pierre-Simon Laplace S Johann Carl Friedrich Gauss Q Questionario V Verifica finale L La distribuzione normale di probabilità
Q 118 Q 119 Q 122 Q 124 Q 125 Q 127
Q 136 Q 136 Q 136 Q 139 Q 140
Q 130 Q 141 Q 132 Q 134 Q 143 Q 145 Q 146
Loescher Editore - Vietata la vendita e la diffusione
3254_MQ01_bz4_001_023
unità
1
1
TEORIA
18-12-2007
13:04
Pagina 2
Teoria - Probabilità: i concetti fondamentali e le proprietà
Probabilità: i concetti fondamentali e le proprietà Introduzione Le eclissi di Sole e di Luna sono l’esempio classico di fenomeni che sappiamo prevedere con un elevato grado di certezza. Gli astronomi sono perfettamente a conoscenza del numero di eclissi che si verificheranno in questo secolo, del giorno, dell’ora e del minuto in cui ciascuna di esse avrà luogo. Questa possibilità di previsione così accurata deriva loro dalla conoscenza della legge di gravitazione universale di Newton, che regola il moto dei corpi celesti. Al contrario, purtroppo nessuno è oggi in grado di prevedere quando e in che luogo accadrà il prossimo terremoto, o che tempo farà fra quindici giorni. Ciò è forse dovuto alla nostra ignoranza delle leggi fisiche che regolano questi fenomeni o forse dipende dal fatto che i sistemi fisici in questione sono sistemi caotici, cioè sistemi per i quali è strutturalmente impossibile qualunque tipo di previsione certa. In situazioni di questo tipo diciamo di trovarci di fronte a fenomeni aleatori. Sono fenomeni aleatori il lancio di una moneta, il lancio di un dado, l’estrazione dei numeri del lotto, ma anche il decadimento di un nucleo, la caduta di un meteorite, ecc. Per gli eventi aleatori possiamo solo stimare la loro tendenza ad accadere. Lo scopo del calcolo delle probabilità è di valutare quantitativamente la frequenza (relativa) con cui si realizza un evento aleatorio.
MODULO
Q
1
ESERCIZI
Q 24
Eventi Lanciare un dado, estrarre una carta da un mazzo di carte da gioco, estrarre 5 numeri nel gioco del lotto, lanciare una moneta e così via sono tutti esperimenti aleatori, cioè esperimenti nei quali l’esito è incerto. D efinizione
Lo spazio campionario relativo a un esperimento aleatorio è l’insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento.
Lo spazio campionario è anche chiamato spazio delle probabilità o universo delle possibilità ed è indicato con la lettera greca (omega). ESEMPIO
Nel lancio di due dadi lo spazio campionario è = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}. D efinizione
Si chiama evento ogni sottoinsieme proprio o improprio dello spazio campionario.
Q
2
Loescher Editore - Vietata la vendita e la diffusione
3254_MQ01_bz4_001_023
18-12-2007
13:04
Pagina 3
1
unità
Teoria - Probabilità: i concetti fondamentali e le proprietà
Se = {A; B; C} è uno spazio campionario, è un evento ognuno degli elementi dell’insieme delle parti di : P() = {∅; {A}; {B}; {C}; {A; B}; {A; C}; {B; C}; {A; B; C}} . ESEMPIO
Nel lancio di due dadi l’evento «esce 6» è il sottoinsieme {6} dello spazio campionario ; l’evento «esce un numero primo» è il sottoinsieme {2; 3; 5; 7; 11} dello spazio campionario .
In particolare: ogni sottoinsieme di che contiene un solo elemento si dice evento elementare (nel lancio di un dado, ad esempio, {1} è un evento elementare); lo spazio campionario è l’evento certo; l’insieme vuoto ∅ è l’evento impossibile. ESEMPI
Esempio 1
Estraiamo due palline da un’urna che ne contiene 8 numerate. Senza tenere conto dell’ordine di estrazione, lo spazio campionario è: = {(1; 2); (1; 3); (1; 4); . . . ; (6; 8); (7; 8)}. L’evento «la somma dei numeri delle palline estratte è 5» è rappresentato dal sottoinsieme E di che contiene le coppie di numeri la cui somma è 5, E = {(1; 4); (2; 3)}. L’evento «il valore assoluto della differenza dei numeri delle palline estratte è 4» è il sottoinsieme E = {(1; 5); (2; 6); (3; 7); (4; 8)}. Esempio 2 In una classe di scuola superiore gli alunni A, B, C , D non sono ancora stati interrogati in Latino. Il professore estrae a sorte due dei 4 alunni.
Senza tenere conto dell’ordine di estrazione, lo spazio campionario è: = {(A; B); (A; C ); (A; D); (B; C ); (B; D); (C ; D)}. Se A e B sono maschi e C e D sono femmine, l’evento «vengono sorteggiati un maschio e una femmina» è il sottoinsieme E = {(A; C ); (A; D); (B; C ); (B; D)}. L’evento «A viene interrogato» è il sottoinsieme che contiene tutte le coppie cui appartiene A, E = {(A; C ); (A; D); (A; B)}.
MODULO
Q
Esempio 3
Lanciamo una moneta tre volte. Indicando con T e C rispettivamente l’esito «testa» e «croce». Lo spazio campionario è = {TTT; TTC; TCT; CTT; CCT; CTC; TCC; CCC}. L’evento «esce due volte testa e una volta croce» è E = {TTC; TCT; CTT}. L’evento «esce almeno una volta testa» è E = {TTT; TTC; TCT; CTT; CCT; CTC; TCC}. L’evento «esce almeno due volte croce» è E = {CCT; CTC; TCC; CCC}. L’evento certo è , l’evento impossibile è l’insieme vuoto ∅. Esempio 4
A un torneo di calcio partecipano 4 squadre A, B, C e D, che si sfidano a turno. Ogni squadra gioca in tutto tre partite. Indicando con ↑, X, ↓ rispettivamente il successo, il pareggio e la sconfitta in una singola gara da parte della squadra A. Lo spazio campionario è = {↑↑↑; ↑↑ X; ↑↑↓; ↑↓↓; ↑↓ X; ↑ XX; XXX; ↓↓↓; ↓↓ X; ↓ XX} . Osserviamo che non si tiene conto dell’ordine con cui i risultati vengono ottenuti, altrimenti lo spazio campionario sarebbe costituito da 27 elementi.
Q
3
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unità
1
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Teoria - Probabilità: i concetti fondamentali e le proprietà
Se al successo vengono attribuiti 3 punti, al pareggio un punto e alla sconfitta 0 punti, l’e-
vento «la squadra A finisce il torneo con 4 punti» è rappresentato dall’insieme E = {↑↓ X}. L’evento «la squadra A finisce il torneo con 3 punti» è rappresentato dall’insieme E = {↑↓↓; XXX}.
1. 1
ESERCIZI
Q 25
Diagrammi Per risolvere problemi di probabilità, a volte è utile rappresentare graficamente l’insieme universo e i possibili eventi nei modi seguenti. A. Diagramma di Eulero-Venn
ESEMPIO
Abbiamo visto che, nel lancio di un dado, lo spazio campionario è = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. L’evento A: «esce un multiplo di 2» è A = {2; 4; 6}. Lo spazio campionario e l’evento A sono rappresentati con un diagramma di Eulero-Venn nel seguente modo (FIG. 1).
1
A 2
4
6
5
3
FIG. 1
B. Diagramma ad albero ESEMPIO
MODULO
Q
Lanciamo tre volte una moneta che presenta T (testa) e C (croce). Lo spazio campionario è = {TTT; TTC; TCT; TCC; CTT; CTC; CCT; CCC}. Il diagramma ad albero che rappresenta la situazione è il seguente (FIG. 2). Gli elementi dello spazio campionario sono tutte le terne che si possono leggere partendo dal nodo O e seguendo tutti i possibili rami.
1° lancio
2° lancio
3° lancio T C T C
T T C O
T C T C
T C C
FIG. 2
C. Tabella a doppia entrata ESEMPIO
Lanciamo due volte una moneta; lo spazio campionario è = {TT; TC; CT; CC}. La tabella a doppia entrata che rappresenta tutti gli elementi dello spazio campionario è riportata qui a lato (TAB. 1).
Q
4
TAB. 1
T
C
T
TT
TC
C
CT
CC
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2 2. 1
ESERCIZI
Q 26
1
unità
Teoria - Probabilità: i concetti fondamentali e le proprietà
Operazioni con gli eventi Evento contrario Nel lancio di un dado lo spazio campionario è = {1; 2; 3; 4; 5; 6} e l’evento A: «esce un numero pari» è {2; 4; 6}. Il complementare di A nell’insieme universo è A = {1; 3; 5}, che è l’evento «non esce un numero pari». Il diagramma di Eulero-Venn è il seguente.
1 A
2
4
6
3
5
FIG. 3
A è detto evento contrario dell’evento A. D efinizione
Dato uno spazio campionario e un evento A, si chiama evento contrario di A, e si indica con A, l’evento che si verifica quando non si verifica A.
In base a tale definizione, utilizzando le proprietà degli insiemi complementari, possiamo allora scrivere: A ∪ A = ; A ∩ A = ∅; A = A. ESEMPIO
2. 2
ESERCIZI
Q 27
Nel lancio di un dado lo spazio campionario è = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. L’evento «esce un numero primo» è rappresentato dall’insieme A = {2; 3; 5}. L’evento contrario «non esce un numero primo» è rappresentato dal complementare di A rispetto a , A = {1; 4; 6}.
Evento intersezione di eventi Si lancia due volte un dado; lo spazio campionario è rappresentato nella seguente tabella a doppia entrata. TAB. 2
1
2
3
4
5
6
1
(1;1)
(1;2)
(1;3)
(1;4)
(1;5)
(1;6)
2
(2;1)
(2;2)
(2;3)
(2;4)
(2;5)
(2;6)
3
(3;1)
(3;2)
(3;3)
(3;4)
(3;5)
(3;6)
4
(4;1)
(4;2)
(4;3)
(4;4)
(4;5)
(4;6)
5
(5;1)
(5;2)
(5;3)
(5;4)
(5;5)
(5;6)
6
(6;1)
(6;2)
(6;3)
(6;4)
(6;5)
(6;6)
Q
5
Loescher Editore - Vietata la vendita e la diffusione
MODULO
Q
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Teoria - Probabilità: i concetti fondamentali e le proprietà
Nella prima colonna sono riportate tutte le possibili uscite del primo lancio e nella prima riga sono riportate tutte le possibili uscite del secondo lancio; le coppie ordinate nella tabella sono i numeri usciti rispettivamente nel primo e nel secondo lancio del dado. Sia A l’evento «il numero uscito nel primo lancio è 2» e B l’evento «la somma dei numeri usciti nei due lanci è minore o uguale a 4». L’evento A è {(2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (2; 5); (2; 6)}. L’evento B è {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (3; 1)}. L’evento «il numero uscito nel primo lancio è 2 e la somma dei numeri usciti nei due lanci è minore o uguale a 4» si chiama evento intersezione dei due eventi A e B. D efinizione
Dati due eventi A e B di uno spazio campionario , si dice evento intersezione di A e B l’evento che si verifica se si realizzano sia A che B. Tale evento si indica con A ∩ B.
Nel caso sopra descritto, A ∩ B è {(2; 1); (2; 2)}.
2. 3
ESERCIZI
Q 28
Eventi incompatibili Lanciamo due volte un dado e consideriamo gli eventi: A: «escono due numeri uguali»; B: «la somma dei due numeri è 5». L’evento A è {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}. L’evento B è {(1; 4); (2; 3); (4; 1); (3; 2)}. I due eventi A e B sono disgiunti perché non hanno elementi in comune. D efinizione
Due eventi A e B si dicono incompatibili se non si possono realizzare entrambi nel corso della medesima prova aleatoria. MODULO
Q
A e B sono insiemi tra loro disgiunti. Vale dunque l’uguaglianza A ∩ B = ∅. Gli eventi A e B del caso qui sopra descritto sono incompatibili: infatti A ∩ B = ∅. Nel caso in cui, invece, i due eventi si realizzino entrambi, essi si dicono compatibili. In tal caso A ∩ B = ∅.
2. 4
ESERCIZI
Q 29
Evento unione di eventi Nel lancio di due dadi consideriamo gli eventi: A: «la somma dei due numeri usciti è minore o uguale a 4»; B: «i due numeri usciti sono uguali». L’evento A è {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (3; 1)}. L’evento B è {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}. Nel caso del lancio dei due dadi, l’evento «la somma dei due numeri usciti è minore o uguale a 4 oppure i due numeri usciti sono uguali» si chiama evento unione dei due eventi A e B, A ∪ B = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (2; 1); (2; 2); (3; 1); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)} .
Q
6
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unità
Teoria - Probabilità: i concetti fondamentali e le proprietà D efinizione
Dati due eventi A e B dello spazio campionario l’evento A o B è l’evento che si verifica se si realizza A, oppure se si realizza B, o se si realizzano entrambi. Tale evento è detto evento unione e si indica con A ∪ B. ESEMPIO
Estraiamo da un’urna un numero compreso tra 1 e 90. Consideriamo gli eventi A: «esce un numero pari» e B: «esce un multiplo di 3». L’evento intersezione A ∩ B è «esce un numero pari multiplo di 3» (ad esempio 6, 12 ecc). L’evento unione A ∪ B è «esce un numero pari o un multiplo di 3», quindi A ∪ B contiene 2, 4, 6, 8, … ma anche 3, 9, 15, … A e B sono eventi compatibili, poiché la loro intersezione non è vuota.
Nello studio del calcolo delle probabilità è stato usato il linguaggio simbolico degli insiemi. La seguente tabella riassuntiva presenta i simboli usati e la lettura corretta dei simboli, sia nel linguaggio degli insiemi sia nel linguaggio del calcolo delle probabilità. TAB. 3
simbolo
linguaggio degli insiemi
linguaggio della teoria della probabilità
insieme universo
spazio campionario
ω∈
ω è un elemento di
ω è un possibile risultato
A⊂
A è un sottoinsieme di
A è un evento
ω∈A
ω è un elemento di A
ω è uno dei risultati che verificano A
{ω} ∈
{ω} è un sottoinsieme di che ha un solo elemento
{ω} è un evento elementare
A=∅
A è l’insieme vuoto
A è l’evento impossibile
A=
A coincide con l’insieme universo
A è l’evento certo
A
A è l’insieme complementare di A rispetto all’insieme universo
A
A∩B
intersezione di A e B
evento «A e B»
A∩B =∅
A e B sono due insiemi disgiunti
A e B sono eventi incompatibili
A∪B
unione di A e B
evento «A o B»
è l’evento contrario di A MODULO
3
ESERCIZI
Q 31
Gli assiomi della probabilità Abbiamo visto che un evento A è un sottoinsieme, proprio o improprio, dello spazio campionario . Intuitivamente, è evidente che l’evento A si verifica più facilmente quanto più ampio è l’insieme A in relazione a . Per rendere quantitativa questa affermazione è necessario stabilire un criterio con cui misurare l’insieme A rispetto allo spazio campionario . La misura viene effettuata introducendo una funzione P : → R che a ogni evento A dello spazio campionario attribuisce un numero reale non negativo P (A). Perché si possa parlare di misura di un insieme è necessario che la funzione P soddisfi precisi requisiti, noti come assiomi della probabilità per uno spazio campionario finito.
Q
7
Loescher Editore - Vietata la vendita e la diffusione
Q
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unità
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Teoria - Probabilità: i concetti fondamentali e le proprietà A ssiomi
ASSIOMA P1 P (A) ≥ 0, ∀A ∈ ASSIOMA P2 P () = 1 ASSIOMA P3 P (A ∪ B) = P (A) + P (B), ∀A‚ B ∈ tali che A ∩ B = ∅.
Se la funzione P soddisfa gli assiomi P1, P2, P3, P (A) viene detta probabilità dell’evento A. L’assioma P1 (non negatività di P ) attribuisce a ogni evento A un numero non negativo. Ciò è in accordo con l’idea intuitiva di misura di un insieme. L’assioma P2 (normalizzazione) attribuisce convenzionalmente misura unitaria allo spazio campionario . In altre parole, la misura di A viene effettuata scegliendo l’insieme come unità di misura. Come vedremo, ciò significa che la misura di ogni evento deve essere minore o uguale a 1. L’assioma P3 (addittività) è la richiesta che la misura dell’unione di due insiemi disgiunti sia la somma delle misure dei singoli insiemi. La proprietà di addittività è una caratteristica fondamentale di ogni misura.
3. 1
MODULO
Q
Proprietà della probabilità Dagli assiomi P1, P2, P3 discendono le seguenti proprietà. a. La somma delle probabilità di un evento e del suo contrario è 1. In simboli: P (A) + P A = 1. Infatti A ∩ A = ∅ e A ∪ A = , per cui dagli assiomi P2 e P3: P (A) + P A = P A ∪ A = P () = 1. In particolare P (∅) = 0, essendo ∅ il complementare di . b. 0 ≤ P (A) ≤ 1 ∀A ∈ . Infatti da P (A) + P A = 1 e dall’assioma P1 segue che P (A) e P A sono due numeri non negativi la cui somma vale 1. Ciò è possibile solo se 0 ≤ P (A) ≤ 1. c. A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B). Poiché A ⊆ B, possiamo scrivere B = A ∪ A , dove A è l’insieme differenza B A, che contiene solo gli elementi che appartengono a B, ma non ad A. Gli insiemi A e A sono disgiunti, quindi, per l’assioma P3, scriviamo P (B) = P (A ∪ A ) = P (A) + P (A ). Ne segue, per l’assioma P1, che P (A) ≤ P (B). d. Dati due eventi A e B compatibili, la probabilità dell’evento unione è la somma delle probabilità dei singoli eventi, diminuita della probabilità dell’evento intersezione, cioè: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). B
A A
A∩B
B
FIG. 4
Q
8
Loescher Editore - Vietata la vendita e la diffusione
