IL MAGNETISMO IL CAMPO MAGNETICO E ALTRI FENOMENI
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Il Magnetismo La forze magnetica La forza Già ai tempi di Talete (VI secolo a.C.), nell’Antica Grecia, era noto un minerale di ferro in grado di attirare altri oggetti di ferro: la magnetite. Quando questo materiale viene messo a contatto con alcuni oggetti, ad esempio una sbarretta di acciaio, questi assumono la capacità di attirare a sé il ferro: questi oggetti risultano così magnetizzati e prendono nome di magneti artificiali o di calamite. I materiali che possono essere magnetizzati si chiamano sostanze ferromagnetiche. Sono sostanze ferromagnetiche ad esempio il ferro, l’acciaio, il nickel, il cobalto e le loro leghe. I poli magnetici Un ago magnetico è una piccola calamita che può ruotare attorno al suo centro: essa ruota sino a disporsi nella direzione Nord-Sud. L’estremo dell’ago magnetico che punta verso il Nord si chiama polo nord dell’ago, l’altro estremo si chiama polo sud. Ogni magnete ha un polo nord e un polo sud.
Gli esperimenti mostrano che due poli nord e due poli sud affiancati si respingono, un polo nord e un polo sud vicini si attraggono.
Poli magnetici dello stesso tipo si respingono, poli magnetici di tipo diverso si attraggono. Quindi la forza magnetica può essere attrattiva o repulsiva.
Il campo magnetico Una calamita esercita una forza magnetica su una seconda calamita che gli è posta vicina, deduciamo allora che: ogni magnete genera nello spazio che lo circonda un campo magnetico. Come quello elettrico anche il ⃗. campo magnetico è descritto da un vettore che indichiamo con il simbolo 𝐵 Il campo magnetico terrestre Sulla terra un ago libero di muoversi ruota fino a disporsi nella direzione Nord-Sud: questo perché subisce l’effetto del campo magnetico terrestre, la Terra infatti può essere considerato come un enorme magnete. Vicino al polo Nord geografico c’è una zona, il polo nord magnetico verso cui si dirigono i poli nord delle bussole. In modo analogo vicino al Sud geografico c’è un polo sud magnetico verso cui si dirigono i poli sud delle bussole. Possiamo perciò affermare che nella zona del polo nord magnetico il magnete-Terra ha un polo sud, visto che attrae i poli nord di tutte le bussole.
Direzione, verso e linee di forza. Utilizzando un magnete di prova, cioè un piccolo ago magnetico, lo poniamo in un punto di un campo magnetico, esso ruoterà sino a fermarsi in una posizione di equilibrio. Definiamo la direzione e il verso del campo magnetico in un punto:
La direzione è data dalla retta che unisce i poli nord e sud del magnete di prova; Il verso va dal polo sud al polo nord del magnete di prova, generalmente indicato con una freccia sulla bussola.
Come il campo elettrico anche quello magnetico avrà delle linee di forza. Per disegnarle teniamo presente che:
Le linee di forza sono tangenti in ogni punto alla direzione del campo magnetico; Escono dai poli nord dei magneti ed entrano nei poli sud; La loro densità è direttamente proporzionale all’intensità del campo magnetico.
Confronto tra campo magnetico e campo elettrico Campo magnetico Campo elettrico Proprietà Simili Sono entrambi campi di forza, descrivono cioè gli effetti di una forza. Sono descritti da linee di campo. Esistono due tipi di poli magnetici, si attraggono se Esistono due tipi di cariche elettriche, si attraggono opposti, si respingono se dello stesso tipo. se opposti, si respingono se dello stesso tipo. Un materiale ferromagnetico può essere Un conduttore scarico può essere elettrizzato da magnetizzato da una calamita. un corpo carico. Differenze Nella magnetizzazione non si ha passaggio di poli Nell’elettrizzazione per contatto parte della carica magnetici. elettrica del primo corpo passa al secondo. Una calamita ha sempre entrambi i poli sud e nord. Esistono oggetti carichi positivamente o carichi negativamente. Non è possibile suddividere un magnete in modo da ottenere un polo nord isolato o un polo sud isolato!
Magnetismo e corrente elettrica L’esperienza di Oersted Il fisico danese Hans Christian Oersted dispose un filo elettrico collegato ad una batteria nella direzione nordsud, sopra un ago magnetico. Quando faceva passare la corrente nel filo, l’ago ruotava e tendeva a disporsi perpendicolarmente al filo. Quest’esperienza chiarì che un filo percorso da corrente genera un campo magnetico, il campo magnetico è avvertito dalla bussola che si sposta in una nuova situazione di equilibrio.
Ma come sono disposte le linee di campo del campo magnetico generato da un filo di corrente? Le linee di campo sono circonferenze concentriche al filo, disegnate in un piano perpendicolare ad esso. Per trovare il verso delle linee di campo si può puntare il pollice della mano destra nel senso della corrente, le altre dita si chiudono nel verso del campo. Forze tra correnti Nel 1821 il fisico inglese Michael Faraday scoprì che un filo percorso da corrente, in un campo magnetico, subisce una forza. Il verso di questa forza lo ricaviamo seguendo la regola della mano destra: il pollice della mano destra nel verso della corrente, perpendicolare dunque alle altre dita che sono nel senso delle linee di campo magnetico. Il verso della forza è quello che esce dal palmo della mano. Esiste dunque una relazione tra corrente elettrica e campo magnetico: infatti una corrente elettrica genera un campo magnetico e subisce una forza magnetica. È plausibile pensare che esista una forza magnetica tra due fili percorsi da corrente: ciascuno di essi genera un campo magnetico e subisce la forza del campo creato dall’altro. Ciò fu verificato sperimentalmente dal fisico francese André Marie Ampère, una settimana dopo esser venuto a conoscenza dell’esperimento di Oersted. Ampère si rese conto che due fili rettilinei e paralleli si attraggono se percorsi da correnti con lo stesso verso e si respingono se conducono correnti che hanno versi opposti. Da esperimenti eseguiti con fili molto più lunghi si può ricavare la seguente legge sperimentale: il valore della forza che agisce su un tratto, lungo l, di uno dei fili, è direttamente proporzionale alle due correnti che circolano e alla lunghezza l; inoltre è inversamente proporzionale alla distanza tra i fili. 𝐹 = 𝑘𝑚
(𝑖1 𝑖2 ) 𝑙 𝑑
Con la costante di proporzionalità 𝑘𝑚 che vale nel vuoto 𝑘𝑚 = 2 ∗ 10−7
𝑁 𝐴2
L’origine del Campo magnetico Abbiamo osservato che c’è una correlazione tra il campo magnetico B e le cariche elettriche, infatti il campo è generato da cariche elettriche in movimento ed esercita una forza su cariche elettriche in movimento. Ciò ha portato Ampère ad ipotizzare che nei magneti vi fossero delle correnti elettriche microscopiche capaci di causare le loro proprietà magnetiche. Queste correnti elettriche microscopiche esistono davvero e sono causate dagli elettroni, si chiamano spin. In condizioni normali in un pezzo di ferro gli spin sono orientati a caso, pertanto il campo B totale generato è nullo. In presenza di un campo magnetico esterno, gli atomi si orientano, in modo che il campo totale B sia diverso da zero e il pezzo di ferro diventa una calamita.
L’intensità del Campo magnetico Usando un ago magnetico sappiamo definire direzione e verso del campo magnetico, bisogna ora definire il ⃗ . Per misurarla poniamo un filo di prova perpendicolarmente alle suo valore, ovvero l’intensità del vettore 𝐵 linee di campo di un campo magnetico, e misuriamo la forza magnetica che agisce su di esso. Si può dimostrare che la forza magnetica su un tratto di filo lungo l è direttamente proporzionale sia alla sua lunghezza sia all’intensità di corrente che vi circola. 𝐹 = 𝐵(𝑖𝑙) 𝐹
B è una costante di proporzionalità che può essere isolata nella formula precedente ottenendo: 𝐵 = 𝑖𝑙, se si raddoppia la corrente i la forza F raddoppia ma B non cambia: il suo valore dipende esclusivamente dal campo ⃗. magnetico presente e dal punto dove è posto il filo di prova, dunque B è il valore del campo magnetico 𝐵 Nel sistema internazionale l’unità di misura del campo magnetico è detta tesla (simbolo T) 1𝑇 =
1𝑁 1𝐴 ∗ 1𝑚
La forza su una corrente Conoscendo il campo magnetico B siamo in grado di calcolare la forza F che agisce su un pezzo di filo lungo l percorso da una corrente i. 𝐹 = 𝐵𝑖𝑙 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝛼 L’angolo α è quello formato dall’intersezione tra il filo i ed il campo 𝜋 magnetico B. Nel caso in cui essi sono perpendicolari sin 2 = 1 dunque 𝐹 = 𝐵⊥ 𝑖𝑙
Questa forza è direttamente proporzionale al campo, alla corrente e alla lunghezza del pezzo di filo. Perpendicolare al filo e al campo magnetico, dunque uscente dal foglio se rappresentata (seguire la regola della mano destra, il verso della forza esce dal palmo della mano). La forza su una carica in moto Una corrente elettrica è costituita da tante cariche in moto, dunque la forza magnetica su una corrente è il risultato della somma delle forze magnetiche che agiscono sulle singole cariche in moto dentro il filo. Se consideriamo una carica q in moto ad una velocità v perpendicolare al campo magnetico è dimostrato sperimentalmente che su di essa agisce una forza 𝐹 = 𝑞𝑣𝐵 Questa forza è direttamente proporzionale al campo, alla carica e alla sua velocità. Perpendicolare alla velocità ed orientata secondo la regola della mano destra. Gli esperimenti mostrano che una carica puntiforme, che entra in un campo magnetico in direzione perpendicolare alle sue linee di campo, si muove di moto circolare uniforme. Si dimostra che il raggio r della traiettoria circolare dipende dalla massa m della particella carica, dalla sua velocità v, dalla sua carica q e dal valore B del campo elettrico attraverso la formula: 𝑟=
𝑚𝑣 𝑞𝐵
Questa formula deriva dal fatto che la forza centripeta è uguale in questo caso a quella magnetica su una carica in moto:
𝑚𝑣 2 𝑟
= 𝑞𝑣𝐵.
Il campo magnetico di un filo Sappiamo che un filo rettilineo percorso da una corrente genera un campo magnetico che ha linee circolari disposte perpendicolarmente al filo. In un punto a distanza d dal filo, nel quale circola corrente i, il valore del campo magnetico è dato dalla formula 𝐵 = 𝑘𝑚
𝑖 𝑑
Questa formula si dimostra considerando due fili paralleli in cui circolano correnti di intensità 𝑖 e 𝑖1 , distanti tra loro d. Il campo magnetico generato dalla corrente i è perpendicolare al filo percorso da corrente 𝑖1 , dunque la forza magnetica (F) che agisce su un tratto l di questo secondo filo è calcolabile con la formula 𝐹 = 𝐵𝑖1 𝑙 B è il valore del campo magnetico che vogliamo calcolare. Ma la stessa forza si può ricavare dal campo con la formula della legge di Ampere: 𝐹 = 𝑘𝑚
𝑖 𝑖1 𝑙 𝑑
Uguagliando i secondi membri di queste due formule otteniamo che 𝐵𝑖1 𝑙 = 𝑘𝑚
𝑖𝑖1 𝑖 𝑙 ⇒ 𝐵 = 𝑘𝑚 𝑑 𝑑
Il campo magnetico in un solenoide Un solenoide è una bobina cilindrica avvolta in modo uniforme e regolare. Il campo magnetico del solenoide è particolarmente intenso al suo interno. Dentro, le linee possono essere considerate rette se l’apertura del solenoide è molto minore della sua lunghezza. All’interno di un solenoide molto lungo e stretto il campo magnetico è uniforme. Considerato un solenoide di lunghezza l e formato da N spire di un filo che trasporta una corrente i gli esperimenti mostrano che il suo campo magnetico sarà uguale a 𝐵 = 2𝜋𝑘𝑚
𝑁𝑖 𝑙
Il flusso del campo magnetico ⃗ consideriamo una superficie piana di area A. Il flusso Φ𝐵⃗ del campo All’interno di un campo magnetico 𝐵 magnetico attraverso tale superficie si definisce, in modo analogo al flusso di campo elettrico, attraverso la formula: Φ𝐵⃗ = 𝐴𝐵⊥ ⃗ . Come per il campo elettrico la faccia Dove 𝐵⊥ è il modulo della componente ortogonale, alla superficie, di 𝐵 positiva della superficie piana è arbitraria nel caso delle superfici aperte e quella rivolta verso l’esterno nel caso di una superficie chiusa. L’unità di misura del prodotto 𝐴𝐵⊥ è tesla per metro quadro 𝑇 ∗ 𝑚2. In onore del fisico tedesco Wilhelm Eduard Weber (1804-1891) nel Sistema Internazionale questa unità è detta anche weber (indicata con il simbolo Wb). 1 𝑊𝑏 = 1 𝑇 ∗ 𝑚2 Il teorema di Guass Si dimostra che il flusso di campo magnetico attraverso qualunque superficie chiusa è uguale a zero. Questo risultato, che è il teorema di Gauss per il magnetismo, si esprime con la formula Φ𝐵⃗ = 0 A differenza del flusso del campo elettrico, e dell’analogo teorema di Gauss, in cui si considerava il totale della carica elettrica presente nella superficie chiusa, nel caso del campo magnetico ciò non è possibile: non esistono infatti poli “isolati” come era possibile per le cariche, e ad ogni polo Nord corrisponderà un polo Sud. Il totale dei poli calcolati all’interno di una superficie chiusa non prevedrà mai una maggioranza di Nord o Sud e dunque sarà sempre nullo, cioè = 0.
La circuitazione del campo magnetico Anche per il campo magnetico si può definire la circuitazione Γ𝐵 esattamente come era stata definita per il campo elettrico. Se consideriamo un percorso chiuso all’interno di un campo magnetico, possiamo dividerlo in tante piccole parti tali che ognuna di esse possa essere, presa singolarmente, considerata rettilinea. Considerando ad esempio il primo di questi segmenti, esso è descritto dal vettore spostamento 𝑠1. Inoltre esaminando il vettore ⃗ che esiste nei punti di 𝑠1, è spostamento 𝐵 possibile determinarne il componente ⃗ ∥ . Ora è possibile calcolare il parallelo 𝐵 prodotto 𝐵1∥ 𝑠1 e ripetere la stessa operazione per gli altri spostamenti presenti nella figura. Otteniamo dunque che la circuitazione è uguale a Γ𝐵 = 𝐵1∥ 𝑠1 + 𝐵2∥ 𝑠2 + 𝐵3∥ 𝑠3 +. .. Il teorema di Ampère Per la circuitazione del campo magnetico vale il teorema di Ampère che afferma che la circuitazione del campo magnetico lungo un cammino chiuso è direttamente proporzionale alla corrente totale (𝑖𝑡𝑜𝑡 ) concatenata con il cammino. Una corrente si dice concatenata ad un percorso chiuso se attraversa una superficie che ha come contorno il percorso stesso. In figura ad esempio la corrente i è concatenata a L1 ma non a L2. Il teorema di Ampere è espresso matematicamente nella formula Γ𝐵 = 2𝜋𝑘𝑚 𝑖𝑡𝑜𝑡 La rilevanza di questo teorema può essere colta esaminando il caso in cui il cammino scelto è concatenato ad una sola corrente: la circuitazione può essere diversa da zero, cosa che non accadeva nel campo elettrico, dunque il campo magnetico è conservativo. Ciò significa che non esiste un’energia potenziale magnetica e dunque non esiste un potenziale magnetico. Per dimostrare il teorema di Ampère consideriamo il caso in cui il campo magnetico è generato da un filo molto lungo, attraversato da una corrente di intensità i e il percorso L è scelto in modo da coincidere con una delle linee di campo circolari del campo magnetico, chiamiamo d il raggio di tale circonferenza. ⃗ è parallelo al Poiché il campo magnetico è sempre tangente alla linea di campo, in tutti i casi il vettore 𝐵 ⃗ 1∥ = 𝐵 ⃗ 1 dunque si può calcolare corrispondente vettore 𝑠, dunque 𝐵 𝐵1∥ 𝑠1 = 𝐵1 𝑠1 𝑖
𝑖
E poiché il modulo del campo magnetico a distanza d dal filo è 𝐵 = 𝑘𝑚 𝑑 allora 𝐵1 𝑠1 = 𝑘𝑚 𝑑 𝑠1 È possibile allora calcolare il valore della circuitazione Γ𝐵 come 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 Γ𝐵 = 𝐵1∥ 𝑠1 + 𝐵2∥ 𝑠2 + 𝐵3∥ 𝑠3 +. . . = 𝑘𝑚 𝑠1 + 𝑘𝑚 𝑠2 + 𝑘𝑚 𝑠3 +. . . = 𝑘𝑚 (𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3 +. . . ) 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑
Nell’ultimo passaggio la quantità tra parentesi è la somma delle lunghezza di tutti gli intervalli in cui è stata suddivisa la circonferenza L. Poiché il numero deve essere pensato come estremamente grande, quella somma può essere pensata semplicemente come l’intera circonferenza di L 𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3 +. . . = 2𝜋𝑑 Sostituendo quest’espressione nella formula precedente otteniamo che 𝑖 𝑖 Γ𝐵 = 𝑘𝑚 (𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3 +. . . ) = 𝑘𝑚 ∗ 2𝜋𝑑 = 2𝜋𝑘𝑚 𝑖 𝑑 𝑑
Formulario Di seguito un formulario con tutte le formule citate e le loro formule inverse. Formula Forza tra correnti 𝒊𝟏 𝒊𝟐 𝑭 = 𝒌𝒎 𝒍 𝒅 Forza su una corrente 𝑭 = 𝑩𝒊𝒍 Forza su una carica in moto 𝑭 = 𝒒𝒗𝑩 Raggio q in un campo magnetico 𝒎𝒗 𝒓= 𝒒𝑩 Campo magnetico di un filo 𝒊 𝑩 = 𝒌𝒎 𝒅 Campo magnetico in un solenoide
𝑩 = 𝟐𝝅𝒌𝒎
𝑵𝒊 𝒍
Formule inverse Trovare d Trovare l 𝑖 𝑖 𝐹𝑑 𝐹𝑑 1 2 𝑑 = 𝑘𝑚 𝑙 𝑖1 = 𝑙= 𝐹 𝑖2 𝑘𝑚 𝑙 𝑘𝑚 𝑖1 𝑖2 Trovare B Trovare i Trovare l 𝐹 𝐹 𝐹 𝐵= 𝑖= 𝑙= 𝑖𝑙 𝐵𝑙 𝐵𝑖 Trovare q Trovare v Trovare B 𝐹 𝐹 𝐹 𝑞= 𝑣= 𝐵= 𝑣𝐵 𝑞𝐵 𝑞𝑣 Trovare m Trovare v Trovare B Trovare q 𝑚𝑣 𝑚𝑣 𝑟𝑞𝐵 𝑟𝑞𝐵 𝑞= 𝐵= 𝑚= 𝑣= 𝑟𝐵 𝑞𝑟 𝑣 𝑣 Trovare i Trovare d 𝑖 𝐵𝑑 𝑑 = 𝑘𝑚 𝑖= 𝐵 𝑘𝑚 Trovare N Trovare i Trovare l 𝑁𝑖 𝐵𝑙 𝐵𝑙 𝑙 = 2𝜋𝑘𝑚 𝑁= 𝑖= 𝐵 2𝜋𝑘𝑚 𝑖 2𝜋𝑘𝑚 𝑁 Trovare i
Applicazioni Problemi tratti da Le traiettorie della fisica.azzurro di Ugo Amaldi, pp. E138-E143 Forze tra correnti 1. Due fili rettilinei paralleli, distanti 5,0 cm sono attraversati da due correnti di intensità rispettiva 𝑖1 = 2,50A e 𝑖2 = 5,20A. Calcola l’intensità della forza magnetica su un tratto di filo lungo 0,850m. Equivalenze: 𝑑 = 5,0 𝑐𝑚 = 5 ∗ 10−2 𝑚 𝑖1 𝑖2 2,5 ∗ 5,2 𝐹 = 𝑘𝑚 𝑙 = 2 ∗ 10−7 ∗ ∗ 0,85 = 4,42 ∗ 10−5 𝑁 𝑑 5 ∗ 10−2 2. Due fili sono percorsi da correnti uguali nello stesso verso. Su 10 cm di ciascun filo si misura una forza di 5,0 ∗ 10−5 N quando sono alla distanza di 1,0 cm. Quale corrente scorre in ciascun filo? Equivalenze: 𝑙 = 10 𝑐𝑚 = 1 ∗ 10−1 𝑚; 𝑑 = 1 𝑐𝑚 = 1 ∗ 10−2 𝑚; 𝑖1 = 𝑖2 → 𝑖1 ∗ 𝑖2 = 𝑖1 ∗ 𝑖2 = 𝑖 2 𝐹𝑑 5 ∗ 10−5 ∗ 1 ∗ 10−2 𝑖2 = = = 2,5 ∗ 101 = 25 𝑘𝑚 𝑙 2 ∗ 10−7 ∗ 1 ∗ 10−1 𝑖 = √𝑖 2 = √25 = 5𝐴
Intensità del Campo Magnetico 3. Un filo conduttore lungo 23,5 cm è posto in una regione occupata da un campo magnetico omogeneo ⃗ , le cui linee di campo sono perpendicolari al filo. Nel filo passa una corrente di intensità 3,5 A e su 𝐵 ⃗. di esso agisce una forza di modulo 2,2 ∗ 10−4 𝑁. Determinare il modulo di 𝐵 −1 Equivalenze: 𝑙 = 23,5 𝑐𝑚 = 2,35 ∗ 10 𝑚 𝐹 2,2 ∗ 10−4 𝐵= = = 0,267 ∗ 10−3 = 2,67 ∗ 10−4 𝑖𝑙 3,5 ∗ 2,35 ∗ 10−1 Campo magnetico e carica 4. Un protone si muove in un campo magnetico uniforme di intensità 1,0 ∗ 10−2 T, in una direzione perpendicolare a quella del campo magnetico. Sul protone agisce una forza di modulo 1,6 ∗ 10−16N. Calcola il modulo della velocità del protone. (La carica è uguale a 1,6 ∗ 10−19 ) 𝐹 1,6 ∗ 10−16 𝐹 = 𝑞𝑣𝐵 → 𝑣 = = = 1 ∗ 105 𝑚/𝑠 𝑞𝐵 1,6 ∗ 10−19 ∗ 1,0 ∗ 10−2 5. Una particella alfa (massa 6,63 ∗ 10−27 𝑘𝑔, 𝑞 = 2𝑒 = 2 ∗ 1,6 ∗ 10−19 ) entra in un campo magnetico B = 0,346 T, in direzione perpendicolare al campo stecco con una velocità 𝑣 = 7,92 ∗ 106 m/s. Calcola il raggio della traiettoria circolare descritta dalla particella. 𝑚𝑣 6,63 ∗ 10−27 ∗ 7,92 ∗ 106 𝑟= = = 47,42 ∗ 10−2 = 4,742 ∗ 10−1 𝑚 𝑞𝐵 3,2 ∗ 10−19 ∗ 0,346 Campo magnetico e solenoide 6. Tre molle-giocattolo, ciascuna lunga 10cm e con 100 spire, vengono disposte l’una di seguito all’altra, e gli estremi collegati a un generatore di tensione in modo che in esse circoli una corrente di 0,20A. Quanto vale il campo magnetico all’interno del solenoide così ottenuto? Equivalenze: 𝑁 = 3 ∗ 100 = 300 = 3 ∗ 102 . 𝑙 = 10 𝑐𝑚 ∗ 3 = 3 ∗ 10−1 𝑚 𝑁𝑖 3 ∗ 102 ∗ 0,20 𝐵 = 2𝜋𝑘𝑚 = 2 ∗ 3,14 ∗ 2 ∗ 10−7 ∗ = 2,512 ∗ 10−4 𝑙 3 ∗ 10−1 Realizzato da Paolo Franchi, 5°BC A.S. 2015/2016. AMDG.
