Facoltà di Economia Valutazione dei prodotti e dell’impresa di assicurazione
I MODELLI MULTISTATO PER LE ASSICURAZIONI DI PERSONE Claudia Colucci Letizia Monno Giordano Caporali Martina Raggi
I Modelli Multistato sono un’evoluzione della matematica attuariale e consentono di generalizzare e di estendere i concetti tradizionali anche ad alcune tipologie contrattuali complesse. Oggetto dell’analisi sono le assicurazioni di persone le quali offrono coperture assicurative per rischi inerenti la vita umana. Si possono suddividere in: Assicurazioni sulla durata di vita di una o più teste assicurate che coprono i bisogni derivanti dall’aleatorietà della vita umana (TCM e vita intera, rendita vitalizia, capitale differito, mista); Assicurazioni sulla salute che coprono i bisogni originati da alterazioni del normale stato di salute dell’assicurato (malattia, infortuni, LTC, DD); Altre coperture assicurative (previdenze) che coprono vari eventi legati all'evoluzione del nucleo familiare (nuzialità, natalità, studio dei figli, ecc.).
La dinamica del rischio nei Modelli Multistato L’evoluzione temporale del rischio successione di eventi Ogni evento (ad es. l’invalidità o il decesso) viene definito “stato” ed appartiene all’insieme denominato “spazio degli stati”. Ω={1,2,3,…,N} e ϒ={(i,j)| i≠j, i,j є Ω} (Ω, ϒ)
I criteri di appartenenza del rischio ad uno “stato” sono due:
criterio oggettivo: sinistrosità osservata in corrispondenza del rischio criterio soggettivo: condizioni fisiche e caratteristiche personali dell’assicurato (stato civile, stile di vita, ecc.) E’ possibile classificare gli “stati” in: transitori: sono permesse sia l’uscita che l’entrata dagli stati strettamente transitori: una volta abbandonato, non è possibile rientrarvi assorbenti: l’entrata in questi stati non ne permette l’abbandono successivo
L’insieme degli stati e delle transizioni (possibili passaggi tra stati) può essere rappresentato graficamente come segue:
1
5
2
3
1 : stato iniziale 1,2,3 : stati transitori 3 : stato strettamente transitorio 4, 5 : stati assorbenti
4
L’evoluzione del rischio può essere descritta da un processo stocastico {S(t); t ≥ 0} . • Tempo discreto. Si assegnano probabilità di transizione con riferimento ad intervalli di tempo di ampiezza finita (anno o frazioni di anno). • Tempo continuo. Si assegnano le intensità istantanee di transizione con riferimento ad intervalli infinitesimi (dt). Una possibile realizzazione {s(t)} del processo stocastico {S(t)} è detta “traiettoria” del processo ed è rappresentabile come segue: stati 4
3
2
1
t1
t2
t3
t4
tempo
MODELLI MULTISTATO APPLICATI ALLE ASSICURAZIONI DI PERSONE
Assicurazioni sulla durata di vita (una testa) La dinamica del rischio è semplicemente descritta dall’appartenenza a uno dei due stati: v (vivo), d(deceduto)
v
d
Si può considerare lo stato u (uscita) per storno o riscatto della polizza
v
u
d
Assicurazioni sulla durata di vita (due teste) Gruppo estinguentesi al primo decesso
Gruppo estinguentesi al secondo decesso
Es. assicurazioni in caso di morte con pagamento del capitale al primo decesso; rendite vitalizie con pagamento delle rate finché sono in vita entrambe le teste
Es. assicurazioni in caso di morte con capitale pagabile al secondo decesso; rendite immediate (totalmente o parzialmente) reversibili
E₁ ᴧ E₂
Ē₁ v Ē₂
E₁ (testa di età iniziale x in vita) Ē₁ (testa di età iniziale x estinta) E₂ (testa di età iniziale y in vita) Ē₂ (testa di età iniziale y estinta)
E₁ ᴧ Ē₂ E₁ ᴧ E₂
Ē₁ ᴧ E₂ Ē₁ ᴧ Ē₂
Assicurazione di rendita vitalizia in caso di Invalidità non necessariamente permanente
Invalidità permanente L’assicurato riceve una rendita vitalizia (eventualmente fino al raggiungimento di una prefissata età o di un prefissato massimale di durata) a partire dall’eventuale ingresso nello stato i (di perdita definitiva, totale o parziale , della capacità lavorativa generica)
La rendita viene corrisposta anche a fronte di casi d’invalidità temporanea (l’arco da i ad a rappresenta la possibile "riattivazione" di un individuo invalido)
a a
i
i d
a (attivo)
d
Assicurazione di capitale in caso di invalidità permanente Prevede il pagamento di un capitale in caso di invalidità permanente dell’assicurato. La tipologia della copertura non coinvolge la mortalità degli invalidi. (il modello non considera l’uscita di secondo ordine da i a d)
a
i
d
Assicurazione di rendita vitalizia d’invalidità (con più livelli d’invalidità) e Long Term Care In questa tipologia contrattuale la rata della rendita corrisposta in caso d’invalidità è funzione del "livello" dell’invalidità stessa. Molto interessante è il caso dell’assicurazione LTC che copre il rischio di non autosufficienza dell’assicurato (incapacità a svolgere le elementari funzioni del vivere quotidiano). Di norma si tratta di una copertura a vita intera.
a
i'
d
i" i’ (invalidità di livello 1) I’’ (invalidità di livello 2)
Assicurazione DD (Dread Disease) a
i
Assicurazioni Malattia s
m
d d(O)
d(D)
Prevedono il pagamento di una somma al verificarsi di una delle malattie gravissime previste in polizza.
a) Assicurazioni diaria per ricovero e inabilità sono rilevanti le durate di permanenza nello stato m e le transizioni sm , ms, md
b) Assicurazioni di rimborso spese mediche ha rilievo il numero di transizioni s>m e gli importi associati
Forme previdenziali con prestazioni dipendenti dallo stato civile E’ usuale nei fondi pensione forme previdenziali su più teste, come le rendite totalmente o parzialmente reversibili da un coniuge all’altro. S (cel./nub.)
d (deceduto)
c (coniug.)c v (vedovo)
a (divorz.)
STRUTTURA PROBABILISTICA MODELLI MULTISTATO
Classificazione struttura probabilistica: • Probabilizzare i passaggi tra stati e i tempi di permanenza nei vari stati; • Assegnare la probabilità di appartenenza, in ciascun istante di tempo, ai vari stati; • Con riferimento all’unità di tempo (tipicamente l’anno), per ogni stato che dà luogo a prestazioni assicurative quantificare il numero medio di ingressi ed il tempo medio di permanenza per ciascun ingresso nello stato stesso; • Con riferimento all’unità di tempo, per ogni stato che dà luogo a prestazioni assicurative quantificare il tempo medio di permanenza nello stato stesso (dunque senza esplicitamente quantificare il numero medio di ingressi ed il tempo medio di permanenza per ciascun ingresso nello stato stesso); • Con riferimento all’unità di tempo, per ogni stato che dà luogo a prestazioni assicurative quantificare il numero medio di ingressi ed il costo medio relativo a ciascun ingresso nello stato stesso. Altre distinzioni: Aleatorietà del rischio: • Demografico-sanitario • Finanziario
Struttura del processo stocastico: • Parametro discreto • Parametro continuo
Es: RENDITA D’INVALIDITA’ PERMANENTE Consideriamo un soggetto di età y (brevemente (y)) supposto nello stato a (attivo) all’età y. Indicheremo con :
pyaa= probabilità per (y) di essere in vita e attivo all’età y+1 qyaa= probabilità di essere attivo all’età y e di morire da attivo entro l’anno pyai= probabilità di essere in vita e invalido all’età y+1 qyai= probabilità di essere attivo in (y) e di morire da invalido entro l’anno pya= probabilità di essere in vita (da attivo o da invalido) ad età y+1 qya= probabilità di morire (da attivo o da invalido) entro l’anno wy = probabilità per (y) di diventare invalido entro l’anno Analogamente se lo stato di partenza è i (invalido) avremmo le seguenti probabilità:
pyii;
qyii ; pyi ; qyi
NB: Sono state escluse le probabilità di riattivazione e le probabilità sono qui assunte dipendenti dall’età ma non dal tempo trascorso nello stato d’invalidità (la permanenza in uno stato). L’uso di tali probabilità è sensato in quanto sostenuto dalle esperienze statistiche ma complica notevolmente il modello.
La probabilità subordinata di transizione tra stati rappresenta la probabilità che il rischio si trovi nello stato invalido/attivo al tempo (y+1) condizionata alla presenza dello stesso o di un altro stato al tempo (y). («il futuro dipende dal passato tramite il presente»).
È possibile descrivere le probabilità anche in termini di processo stocastico:
pyaa =Pr{S(y+1)=a|S(y)=a} pyai =Pr{S(y+1)=i|S(y)=a} pya =Pr{(S(y+1)=a) v (S(y+1)=i) |S(y)=a} pyii= Pr{S(y+1)=i|S(y)=i} pyi =Pr{S(y+1)=i v S(y+1)=a|S(y)=i}= Pr{S(y+1)=i|S(y)=i}
Matrice delle probabilità subordinate di transizione Stato età y+1
a
a Stato età y
i
d
i
d
pyaa pya𝑖 qya 0 pyi qyi 0
0
1
Relazioni:
pya = pyaa + pyai qya = qyaa + qyai wy = pyai + qyai pyi = pyii + pyia qyi = qyii + qyia
pya + qya =1 pyaa + pyai + qyaa + qyai =1 pyaa + qyaa + wy =1
Consideriamo una copertura assicurativa stipulata da una persona attiva di età (x) che prevede il pagamento di una rata unitaria negli anni il cui soggetto è invalido. All’epoca di stipulazione del contratto (t=0) la rata Rh (variabile aleatoria) pagabile al generico istante (h) con h=1,2,3,…n avrà possibili determinazioni:
{
0 se a/d 1 se i
0 0 1
Valore attuale delle prestazioni: Y
0 0 0
1
2 3 .
.
=
𝑛 ℎ=1 Rh
1 1
.
.
.
.
.
.
𝑛
.
.
Rh 𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑣ℎ
Valore attuariale delle prestazioni :
E[Y] =
𝑛 ℎ=1 E
[Rh ]𝑣 ℎ =
𝑛 ai ℎ ℎ=1 hpx 𝑣
=
𝑈
𝑎𝑖
Valore attuariale rendita invalidità di rata unitaria
Per il principio di equità il valore attuariale rappresenta il premio unico puro della copertura assicurativa.
GRAZIE PER L’ATTENZIONE
BIBLIOGRAFIA: • E. Pitacco (1993), «Modelli multistato per le assicurazioni di persone. (appunti introduttivi)» • E. Pitacco (1993), «I modelli multistato: un linguaggio per la matematica attuariale», Università degli studi di Trieste • E. Pitacco (2007), «Elementi di matematica delle assicurazioni», LINT • C. Barracchini (2007)«modelli multistato per assicurazioni di persone», ARACNE • G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi (2006), «Manuale di finanza III. Modelli stocastici e contratti derivati», Il Mulino
