GEOMETRIA DEI MODELLI σ NON LINEARI

U NIVERSIT A` DEGLI STUDI DI M ILANO –B ICOCCA FACOLT A` DI S CIENZE M ATEMATICHE , F ISICHE E N ATURALI Corso di Laurea Magistrale in Fisica Seduta di laurea del 31 marzo 2011

GEOMETRIA DEI MODELLI σ NON LINEARI Relatore: Prof. Franco MAGRI Correlatore: Prof. Gregorio FALQUI Candidato: Matteo Casati Numero di matricola: 074789 Telefono: 3336260592 Posta elettronica: [email protected]

I modelli σ non lineari sono una classe di teorie di campo apparse per la prima volta nel 1960 quando Gell-Mann e L´evy pubblicarono un modello per l’interazione di pioni e nucleoni a basse energie. In queste teorie, l’azione e` costruita soltanto con la metrica (o con strutture analoghe ad essa) sulla variet`a bersaglio. Pur avendo velocemente perso di interesse nell’ambito della teoria delle interazioni forti dopo la scoperta del modello a quark, il loro ruolo rimane significativo per la loro analogia con le teorie di gauge non abeliane e la loro applicabilit`a nelle teorie di stringa. Poich´e i modelli σ sono teorie di gauge, la loro quantizzazione via path integral d`a origine a difficolt`a, in quanto l’azione e` degenere.1 La tesi si occupa dello studio di teorie di campo lagrangiane con simmetrie locali, e quindi degeneri, solo dal punto di vista classico. L’obiettivo di questa tesi e` lo studio geometrico ed algebrico delle trasformazioni di gauge di un modello σ non lineare secondo il formalismo di Batalin– Vilkovisky. L’esempio di modello σ che studiamo e` il modello σ di Poisson, introdotto nel 1994 da Schaller e Strobl2 come generalizzazione di una vasta famiglia di modelli topologici e gravitazionali che comprende il modello di Chern-Simons ed il modello σ di Witten. In tale modello, i campi sono mappe tra il fibrato tangente di una variet`a compatta bidimensionale M, il world sheet di una teoria di stringa, ed il fibrato cotangente di una variet`a N di Poisson. Tali campi si decompongono naturalmente in una coppia di ∗ applicazioni Y : M → N tra le basi e A : Tx M → TY(x) N tra le fibre; l’azione della teoria e` Z S0 [Y, A] = A(x)i ∧ dY i (x) + Plm (Y(x))A(x)l ∧ A(x)m M 1 2

Henneaux and Teitelboim, Quantization of gauge systems, Princeton University Press (1994) Schaller and Strobl, Poisson structure induced (topological) field theories, Mod.Phys.Lett. A9 (1994)

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dove P e` il bivettore di Poisson della variet`a bersaglio N e la lagrangiana deve essere pensata come una 2-forma sul worldsheet M, il che d`a al modello natura topologica. Le equazioni di campo sono ∂Y i (x) + Pjk (Y(x))Aµk (x) = 0 ∂xµ ∂Aνj (x) ∂Aµj (x) ∂Plm (Y(x)) = − + Aµl (x)Aνm (x) = 0. ∂xµ ∂xν ∂Xj

Mjµ = Ljµν

La lagrangiana ha la propriet`a di essere invariante rispetto alla simmetria locale (δε Y)i = −Pij (Y(x))ε(x)j (δε A)i = dεi (x) +

∂Plm (Y(x))Al (x)εm (x) ∂Xi

dove le funzioni εj (x) si possono interpretare come componenti di una 1-forma su N. Come affermato dal secondo teorema di Noether, la presenza di simmetrie di gauge vincola le equazioni di campo a soddisfare delle identit`a. Nel nostro caso, queste identit`a possono essere viste come l’annullarsi di una 2-forma su M a valori in TN Pik Li +

∂Plk Al ∧ Mi − dMk = 0. ∂Xi

Il formalismo BV, introdotto nei primi anni ’803 , e` una procedura per mettere in forma hamiltoniana (in senso generalizzato) le equazioni di campo e l’azione delle trasformazioni di gauge, conglobando automaticamente la loro struttura algebrica e le identit`a di Noether. Il formalismo si ispira alla teoria di Dirac per i sistemi dinamici con vincoli: l’idea centrale e` estendere lo spazio delle configurazioni della teoria. A questo fine si introducono gli anticampi A+ e Y + , coniugati ai campi della teoria originaria, ed i campi ghost (con relativi antighost) corrispondenti ai generatori ε del gruppo di gauge della teoria. Devo notare che gli anticampi e gli antighost soddisfano regole di commutazione opposte a quelle dei campi cui sono coniugati. Introducendo un’opportuna versione gradata della parentesi Poisson nello spazio dei campi, degli anticampi, dei ghost e degli antighost, detta antibracket, le equazioni del moto si possono scrivere nella forma hamiltoniana Li = {S0 , Yi+ } Mi = {S0 , A+i } dove S0 e` l’azione originaria della teoria, e le trasformazioni di gauge si possono scrivere δY i = {S1 , Y i } δAi = {S1 , Ai } 3

Batalin and Vilkovisky, Gauge algebra and quantization, Phys.Lett 102B (1981)

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dove l’“hamiltoniana” S1 e` un funzionale lineare negli anticampi tale per cui, in aggiunta, le equazioni associate ai ghost riproducono l’algebra dei generatori della simmetria [ε(1) , ε(2) ]k = {S1 , εk }. L’analisi delle identit`a di Noether suggerisce di introdurre un ulteriore funzionale S2 , quadratico negli anticampi, che ha la peculiarit`a che l’hamiltoniana complessiva S = S0 + S1 + S2 soddisfa la cosiddetta equazione master {S, S} = 0. determinando la struttura completa dell’algebra dei generatori di gauge. Il formalismo BV e` stato rivisto a met`a degli anni ’90 da Alexandrov, Kontsevich, Schwarz e Zaboronsky che hanno formulato la cosiddetta teoria AKSZ.4 Essa fornisce un algoritmo generale per la costruzione della soluzione dell’equazione master. L’idea centrale e` che la struttura delle trasformazioni di gauge e` vincolata dalla struttura geometrica delle variet`a tra cui sono definiti i campi della teoria. Trasportare questa struttura dalle variet`a allo spazio dei supercampi (versione gradata dello spazio dei campi della teoria originaria) permette di ottenere un’azione che soddisfa automaticamente l’equazione master. L’azione classica e la struttura delle trasformazioni di gauge vengono ottenute, a posteriori, sviluppando la soluzione sugli anticampi. Nella tesi e` stato ripercorso questo cammino studiando gli strumenti matematici necessari a trattare il linguaggio dei supercampi, che appartiene alla geometria delle variet`a differenziali gradate5 , grazie ai quali si possono definire le nozioni di antibracket (struttura P canonica) e di campo hamiltoniano (struttura QP) utilizzate nel formalismo BV e nell’algoritmo AKSZ. Queste tecniche sono state poi applicate al modello di Poisson seguendo i lavori di Stasheff6 e Cattaneo.7

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AKSZ, The Geometry of Master Equation and Topological Quantum Field Theory, Int.J.Mod.Phys., A12(1997) 5 Roytenberg, On the structure of graded symplectic supermanifolds and Courant algebroids, 2002 6 Stasheff et a., Noether’s variational theorem II and the BV formalism, Rend.Circ.Mat.Palermo Suppl.71(2003) 7 Cattaneo and Felder, On the AKSZ formulation of Poisson Sigma Model, Math.Phys.Lett. 56(2001)

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GEOMETRY OF NONLINEAR SIGMA MODELS Nonlinear Sigma Models (NLSMs) are a class of field theories first appeared in 1960, when Gell-Mann and L´evy published a model for low energy interaction of pions and nucleons. In these theories, the action is built only using the metric (or analogue structures) on the target manifold. Although NSLMs lost interest in describing strong interactions, after the discovery of quark model, their role is still significant because of their analogy with non abelian gauge theories and their applications to string theories. Because NLSMs are gauge theories, their quantization via path integral originates some difficulties, since the action is degenerate.1 In this thesis Lagrangian field theories with local symmetries are studied under the classical point of view. The goal is the algebraic and geometric study of gauge transformations in a NLSM by means of Batalin–Vilkovisky (BV) formalism. The example of NLSM we study is the Poisson Sigma Model, introduced by Schaller and Strobl2 in 1994 as a generalization of a vast family of topological and gravity models, which includes Chern–Simons model and Witten σ model. In this model, the fields are maps between the tangent bundle of a twodimensional compact manifold M, the world sheet of a string theory, and the cotangent bundle of a Poisson manifold N. These fields decompose in a natural way in pairs of applications Y : M → N between ∗ the bases and A : Tx M → TY(x) N between the fibers; the action of the theory is Z A(x)i ∧ dY i (x) + Plm (Y(x))A(x)l ∧ A(x)m

S0 [Y, A] = M

where P is the Poisson bivector of the target manifold N and the Lagrangian is regarded as a 2-form on the worldsheet M. This feature gives the model its topological character. Field equations are ∂Y i (x) + Pjk (Y(x))Aµk (x) = 0 ∂xµ ∂Aνj (x) ∂Aµj (x) ∂Plm (Y(x)) = − + Aµl (x)Aνm (x) = 0. ∂xµ ∂xν ∂Xj

Mjµ = Ljµν

Since the Lagrangian is invariant under local simmetry (δε Y)i = −Pij (Y(x))ε(x)j (δε A)i = dεi (x) +

∂Plm (Y(x))Al (x)εm (x) ∂Xi

where the functions εj (x) can be regarded as components of a 1-form on N the 2nd Noether’s theorem states that field equations satisfy a system of identities. In our 1 2

Henneaux and Teitelboim, Quantization of gauge systems, Princeton University Press (1994) Schaller and Strobl, Poisson structure induced (topological) field theories, Mod.Phys.Lett. A9 (1994)

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case, these identities can be regarded as the vanishing of a 2-form on M with values in TN ∂Plk Pik Li + Al ∧ Mi − dMk = 0. ∂Xi BV formalism, introduced in the early ’80s3 , it’s a procedure for writing in Hamiltonian form (in a generalized sense) the field equations and the action of gauge transformations, automatically combining their algebraic structure and Noether identities. BV formalism is inspired by Dirac’s theory of constrained dynamical systems: the central idea is that one has to extend the configuration space of the theory. At this end, one introduces antifields Y + and A+ , conjugated to the original fields, and ghost fields (with their antighosts) corresponding to the generators ε of the gauge group. We have to notice that antifields and antighosts follow commutation rules opposite to the fields they are conjugated to. Introducing a graded version of Poisson bracket, called antibracket, in the space of fields, antifields, ghosts and antighosts, the equations of motion can be written in Hamiltonian form Li = {S0 , Yi+ } Mi = {S0 , A+i } where S0 is the original action of the theory, and gauge transformations can be written in the similar form δY i = {S1 , Y i } δAi = {S1 , Ai }. The “Hamiltonian” S1 is a linear functional in the antifields such that the equations [ε(1) , ε(2) ]k = {S1 , εk } reproduce the algebra of the symmetry generators. The analysis of Noether identities suggests to introduce a further functional S2 quadratic in the antifields which makes the total Hamiltonian S = S0 + S1 + S2 satisfy the so-called master equation {S, S} = 0. BV formalism was revised in the mid-1990s by Alexandrov, Kontsevich, Schwarz and Zaboronsky who formulated so called AKSZ theory.4 It provides a general algorithm to build a solution of master equation. The central idea is that the structure of gauge transformations is linked to the geometrical structure of the manifolds the fields are defined between. Lifting this structure from the manifolds to the space of superfields (a graded version of the original field space) allows us to obtain an action 3

Batalin and Vilkovisky, Gauge algebra and quantization, Phys.Lett 102B (1981) AKSZ, The Geometry of Master Equation and Topological Quantum Field Theory, Int.J.Mod.Phys., A12(1997) 4

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that satisfies master equation automatically. The classical action and gauge transformations are achieved, a posteriori, developing the solution on the antifields. In the thesis we retrace this path by studying the mathematical tools necessary to deal with the superfields, the geometry of differential graded manifolds5 , which we use to define the notions of antibracket (canonical P structure) and Hamiltonian field (QP structure) used in BV formalism and AKSZ algorithm. These techniques are then applied to Poisson Sigma Model, following the works by Stasheff6 and Cattaneo.7

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Roytenberg, On the structure of graded symplectic supermanifolds and Courant algebroids, 2002 Stasheff et a., Noether’s variational theorem II and the BV formalism, Rend.Circ.Mat.Palermo Suppl.71(2003) 7 Cattaneo and Felder, On the AKSZ formulation of Poisson Sigma Model, Math.Phys.Lett. 56(2001) 6

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