Som en inledning till begreppet derivata, ska vi här diskutera genomsnittlig förändingshastighet. Utan att veta vad som hänt mellan två givna tider t1 och t2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, hastigheten, eller folkmängden för de två tidpunkterna f(t1) och f(t2) och bilda den genomsnittliga förändingshastigheten genom y2 − y1 ∆y f(t2) − f(t1) = = t2 − t1 t2 − t1 ∆x
Figur 1: Om funktionen har ett oroligt förlopp säger egentligen den genomsnittliga förändringshastigheten ganska lite. I figuren har vi: för punkterna (−4, 0) och (3.5, 51.6) ∆y 51.6 − 0 51.6 = = = 6.875 ∆x 3.5 − (−4) 7.5 Men för punkterna (−4, 0) och (3, 0). Vi ändrar alltså endast det andra x-värdet med 0.5. 0−0 0 ∆y = = =0 ∆x 3 − (−4) 7 Ganska stor skillnad eller hur. Annat resultat får vi ju mer funktionen liknar en rät linje. Om y beror av x så är den genomsnittliga förändringshastigheten Förändringskvoten =
Håkan Strömberg
∆y förändingen över ett intervall = ∆x intervallets längd
1
KTH Syd
1 När Adam startar sin resa, kl 8 : 32 stod bilens vägmätare på 123300 km. När han var framme, kl 10 : 32 visade mätaren 123450 km. Beräkna Adams genomsnittliga hastighet i km/tim. Med hjälp av formeln s v= t kan vi bestämma den genomsnittliga hastigheten genom v=
123450 − 123300 = 75 2
Svar: 75 km/tim OBS! Vi kan under denna färd inte säga någonting om den högsta eller lägsta hastighet Adam hållit under sin resa. 2 Grafen visar den vinst v i tusentals kronor en affär har haft under tiden t 6 5 4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
Figur 2: veckor. Bestäm förändringen ∆v i tusentals kronor från vecka 1 till vecka 5. Lösning: Vi läser från grafen v(t) ut v(1) = 3 och v(5) = 4 vilket ger ∆s = 4 − 3 = 1 Svar: Förändringen är 1000 kr. 3 För en funktion f(x) vet man att f(10) = 115 och f(15) = 220. a Bestäm ändringen i x, det vill säga ∆x. b Bestäm ändringen i y, det vill säga ∆y. c Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten ∆x ∆y Lösning: Ändringen i x-led ∆x = 15 − 10 = 5. Ändringen i y-led, ∆y = 220 − 115 = 105. Den genomsnittliga förändringshastigheten blir då ∆x 220 − 115 105 = = = 21 ∆y 15 − 10 5
Håkan Strömberg
2
KTH Syd
4 För funktionen y = f(x) vet man att f(10) = 32 och f(61) = 118. Beräkna och tolka den genomsnittliga förändingshastigheten ∆y/∆x om x mäts i år och y i kilogram. Lösning: Givet f(10) = 32 och f(61) = 118. Det enda vi vet om funktionen är att punkterna (10, 32) och (61, 118) ligger på grafen och vi kan nu skriva f(61) − f(10) 118 − 32 ∆y = = ≈ 1.69 ∆x 61 − 10 51 Svar: Den genomsnittliga viktökningen är 1.69 kg/år 5 Stockholms folkmängd: År Folkmängd År Folkmängd År Folkmängd
1850 96401 1920 427800 1990 674452
1860 116806 1930 502203 2000 750348
1870 140212 1940 590543 2003 761721
1880 176289 1950 744562
1890 254983 1960 808603
1900 313212 1970 744888
1910 371991 1980 647214
Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten per år för folkmängden – Från 1900 till 2000 – Under 1980-talet – Under vilken period har förändringshastigheten varit som störst? Lösning: Vi plottar punkterna i ett diagram 800000
600000
400000
200000
1875
1900
1925
1950
1975
2000
Figur 3: a) Den genomsnittliga förändringshastigheten från 1900 till 2000 beräknar vi genom ∆y 750348 − 313212 437136 = = ≈ 4371 ∆x 2000 − 1900 100 Stockholms folkmängd steg under denna period med i genomsnitt 4371 människor/år. b) Vilka värden vi ska använda för att bestämma förändringshastigheten under 90-talet är lika bestämt: ∆y 750348 − 674452 75896 = = ≈ 7590 ∆x 2000 − 1990 10 Håkan Strömberg
3
KTH Syd
Stockholms folkmängd steg under 90-talet med i genomsnitt 7590 människor/år. c) För att besvara denna fråga korrekt kan man bli tvungen att utföra 17 · 16/2 = 136 beräkningar. När vi gjort det vet vi att stadens folkmängd steg som fortast under 1940-talet 744562 − 590543 154019 ∆y = = ≈ 15402 ∆x 1950 − 1940 10 Stockholms folkmängd har stigit som mest under 40-talet med i genomsnitt 15402 människor/år. 6 I tabellen nedan ser du har många kronor man måste betala i skatt för en viss månadslön Månadslön Skatt 19001 - 19100 6852 19101 - 19200 6909 19201 - 19300 6966 19301 - 19400 7023 19401 - 19500 7080 19501 - 19600 7137 19601 - 19700 7194 19701 - 19800 7251 19801 - 19900 7308 19901 - 20000 7365 a Hur många procent i skatt betalar den som har en en månadslön på 19500 kr? b Samma fråga för den som tjänar 19501 kr/månaden. c Hur mycket, i kronor, får den behålla som har månadslönen 19100 och får 100 kr i påökt? c Bestäm marginalskatten i procent mellan inkomsten 19800 och 19900. Lösning: a) Den som tjänar 19500 betalar 7080 i skatt. 100 ·
7080 = 36.3% 19500
b) Den som tjänar 19501 betalar 7137 i skatt. 100 ·
7137 = 36.6% 19501
1 krona mer i lön ger 56 kronor mindre i plånboken. Den orättvisa man kan tycka finns här rättas till i samband med att den slutliga skatten beräknas året därpå. c) 19100 − 6852 = 12248 att jämföra med 19200 − 6909 = 12291. Det blir alltså 12291 − 12248 = 43 kr över
Håkan Strömberg
4
KTH Syd
d) Vi ska beräkna marginalskatten i procent för en person som tjänar 19800 och får lönen höjd till 19900 57 7308 − 7251 = 100 · = 57% 19900 − 19800 100 Svar: Marginalskatten i detta intervall är 57%. 100 ·
7 Beloppet 10000 sätts in på banken till 5% ränta år 2000. Beräkna den genomsnittliga tillväxtshastigheten mellan åren 2002 och 2006. Lösning: År 2002 har kapitalet funnits på banken i 2 år. Kapitalet har då stigit till 10000 · 1.052 = 11025 År 2006 har kapitalet funnits på banken i 6 år. Kapitalet har då stigit till 10000 · 1.056 = 13401 Mellan åren 2002 och 2006 har den genomsnittliga tillväxthastigheten varit 13401 − 11025 2376 = = 594 2006 − 2002 4 8 Kostnaden K(x) för att producera x armbandsur ges av formeln K(x) = 20000 + x(10 + 0.1x) Beräkna och tolka a ∆K då x ändras från 200 till 300 b ∆K/∆x då x ändras från 200 till 300 c ∆K/∆x då x ändras från 200 till 201 d ∆K/∆x då x ändras från 300 till 301 Lösning: a) K(200) = 20000 + 200(10 + 0.1 · 200) = 26000 K(300) = 20000 + 300(10 + 0.1 · 300) = 32000
∆K = 32000 − 26000 = 6000 b) ∆K 32000 − 26000 = = 60 ∆x 300 − 200 Kostnaden för att producera ett ur är i intervallet 200 . . . 300 60 kr. c) ∆K 26050.1 − 26000 = = 50.10 ∆x 201 − 200 Svar: Den 201:a klockan kostar 50.20 kr att producera. d) ∆K 32070.1 − 32000 = = 70.10 ∆x 301 − 300 Svar: Märkligt nog blir det dyrare att producera den 301:a klockan än den 201:a, 70.10 kr
Håkan Strömberg
5
KTH Syd
9 En boll släpps från toppen av ett torn. Den sträcka bollen fallit efter t sekunder beräknas genom s(t) = 5t2 a Hur långt har bollen fallit efter 3 sekunder? b Hur långt tid tar det innan bollen fallit 125 meter. c Om tornet är 180 meter högt. Hur lång tid tar det då för bollen att nå marken? d Vilken medelhastighet har bollen haft från det den släpptes tills den nådde marken? e Vilken medelhastighet har bollen haft från det den fallit 180 meter till den når marken? f Försök uppskatta bollens hastighet precis då den når marken. Lösningar: a) s(3) = 5 · 32 = 45 meter b) Lösningen till ekvationen 2 125 = 5t √ t = 25 t = 5
Svar: 5 sekunder c)
Svar: 6 sekunder d)
Svar: 30 m/s e)
2 180 = 5t √ t = 36 t = 6
∆s 180 − 0 = = 30 ∆t 6−0
∆s 180 − 125 = = 55 ∆t 6−5
Svar: 55 m/s f) Vi kan bestämma efter hur lång tid bollen fallit 179 meter. 2 179 = 5t q 179 t = 5 t ≈ 5.98331
vilket ger ∆s 180 − 179 = = 59.92 ∆t 6 − 5.98331
Håkan Strömberg
6
KTH Syd
På samma sätt kan vi bestämma efter hur lång tid bollen fallit 179.9 meter 2 179 = 5t q 179.9 t = 5 t ≈ 5.99833
vilket ger 180 − 179.9 ∆s = = 59.9917 ∆t 6 − 5.99833 Svar: Det verkar som hastigheten närmar sig 60 m/s ju mindre intervall vi väljer. Att detta antagande är korrekt kommer vi att kunna visa innan veckan är slut.
1 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten då funktionen är y = f(x) = 2x − 3 först i intervallet [3 . . . 6] och sedan i intervallet [−1 . . . 10]. Är det en tillfällighet att ∆Y/∆x är den samma för dessa två intervall? 2 Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten då funktionen är y = f(x) = x2 då intervallet är [0 . . . 10] 3 Den genomsnittliga förändingshastigheten är f(2) = 35. Bestäm f(3).
∆y ∆x
= 10 i intervallet [2 . . . 3].
4 Den sträcka s meter en kropp rör sig beror av tiden t sekunder enligt s(t) = 20t − 5t2. Bestäm medelhastigeten i intervallet från 0 till 1 sekund. 5 En cirkels area A beror på cirkelns radie r. Beräkna ändringskvoten ∆A ∆r då r ökar från 5.0 till 5.2
1
∆y (2 · 6 − 3) − (2 · 3 − 3) 9−3 = = =2 ∆x 6−3 6−3 ∆y (2 · 10 − 3) − (2 · (−1) − 3) 17 + 5 = = =2 ∆x 10 − (−1) 11 Nej det är ingen tillfällighet. Funktionen är en rät linje och då är förändingshastigheten lika med linjens k-värde.
Håkan Strömberg
7
KTH Syd
2
∆y 100 − 0 = = 10 ∆x 10 − 0
3 Vi får ekvationen
35 − y = 10 3−2
som har lösningen 25. Svar: f(3) = 25 4
s(1) − s(0) (20 − 5) − 0 = = 15 1−0 1 Svar: Medelhastigheten är 15 m/s
5 Vi använder formeln A(r) = πr2 och får π(5.2)2 − π(5.0)2 ∆A = ≈ 32.0 ∆r 5.2 − 5.0
Räkna bokens uppgifter: 2105, 2107, 2110, 2112, 2114, 2116, 2117, 2119
2105 a) Vi läser från grafen s(t) ut s(0.5) = 15 och s(3.5) = 40 vilket ger ∆s = 40 − 15 = 25 2107 Givet f(8) = 12 och f(11) = 24. Det enda vi vet om funktionen är att punkterna (8, 12) och (11, 24) ligger på grafen och vi kan nu skriva ∆y f(11) − f(8) 24 − 12 = = =4 ∆x 11 − 8 3 Den genomsnittliga temperaturökningen är 4◦ C/h 2110 Vi plottar punkterna i ett diagram 8750 8500 8250 8000 7750 7500 7250 1960
1970
1980
1990
2000
Figur 4:
Håkan Strömberg
8
KTH Syd
Den genomsnittliga förändringshastigheten från 1950 till 2000 beräknar vi genom ∆y 8939 − 7042 1897 = = = 37.94 ∆x 2000 − 1950 50 Sveriges befolkning stiger med i genomsnitt 37 940 människor/år. Vilka värden vi ska använda för att bestämma förändringshastigheten under 90-talet är lika bestämt. Vi försöker först med ∆y 8939 − 8318 621 = = = 31.05 ∆x 2000 − 1980 20 31 050 människor/år. Men se det stämmer inte, när vi jämför med svaret. OK, då testar vi detta: ∆y 8939 − 8558 381 = = = 38.10 ∆x 2000 − 1990 10 38 100 människor/år stämmer bättre. 2112 a) ∆x = 17000 − 16740 = 300. En löneförhöjning på 260 kr. 2112 b) Från tabellen får vi y(17000) = 5080 och y(16740) = 4980 och därmed ∆y = 5080 − 4980 = 100 2112 c) Marginalskatten får vi nu genom ∆y/∆x = 100/260 ≈ 38.5%
2114 b) Givet N(t) = 1500 + 250t + 15t2. Hur många fler bakterier kommer det att finnas i kulturen vid tiden t = 2 i jämförelse med t = 1.5? Vi beräknar för detta ∆N = N(2) − N(1.5) = 151.25. Tillväxthastigheten kan nu bestämmas genom 151.25 ∆N = = 302.5 ∆t 2 − 1.5 2116 I denna uppgift är funktionen K(x) = 5000 + x(10 + 0.05x) central. Kostnaden för att producera x enheter bestäms med hjälp av K(x). Vad kommer då att hända med kostnaderna när vi höjer antalet producerade enheter från 100 till 120? ∆K = K(120) − K(100) = 6920 − 6500 = 420. När antalet producerade produkter ökas från 100 till 120 så ökar alltså kostnaden med 420 kr. K(120) − K(100) 6920 − 6500 420 ∆K = = = = 21 ∆x 120 − 100 20 20 Produktionskostnaderna för de sista 20 enheterna blir 21 kr/st. 2117 V(t) = 20000 − 800t + 8t2. Här ser vi grafen. Givetvis finns det 20000 liter vatten i tanken vid t = 0. Att ta reda på när tanken är tom är samma sak som att ta reda på t då V(t) = 0. Detta är samma sak som att lösa andragradsekvationen 20000 − 800t + 8t2 = 0, som har rötterna t1,2 = 50. Tanken är alltså tom efter 50 minuter, vilket vi kan utläsa från grafen. För att beräkna den genomsnittliga utströmningshastigheten under tiden t = 18 till t = 22 tecknar vi ∆V V(22) − V(18) 6272 − 8192 = = = −480 ∆t 22 − 18 4 Håkan Strömberg
9
KTH Syd
20000 15000 10000 5000
10
20
30
40
50
Figur 5:
Det rinner alltså ut 480 liter/minut i medeltal under den aktuella tiden. Vid tiden t = 0 är utströmningshastigheten som störst. Då t = 50 droppar det bara ur tanken. Det är tangentens lutning som anger den momentana hastigheten. 2119 Nu är det funktionen v(t) = 13.3t − 0.44t2 som gäller. Hastigheten för en viss bil under de 15 första sekunderna. v(0) = 0, bilen står stilla vid tiden t = 0. v(5) = 55.5 m/s, bilen har accelererat till 55.5 m/s efter 5 sekunder. v(6) − v(4) = 8.9 2 Hastigheten har ökat från 46.16 m/s till 63.96 m/s på 2 sekunder. Medelaccelerationen har under denna tid varit 8.9 m/s2
Håkan Strömberg
10
KTH Syd
