Fourieranalys Lars-˚ Ake Lindahl
2013
Fourieranalys c 2013 Lars-˚
Ake Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet
Inneh˚ all F¨ orord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1 Inledning 2 Rekvisita 2.1 Komplexv¨ arda funktioner 2.2 F¨ oljder och serier . . . . . 2.3 Normerade vektorrum . . 2.4 Rummet L1 . . . . . . . . 2.5 Inreproduktrum . . . . . . 2.6 Rummet L2 . . . . . . . . 2.7 Diracm˚ attet . . . . . . . .
1
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
3 Fourierserier 3.1 Periodiska funktioner . . . . . . . . . 3.2 Trigonometriska polynom . . . . . . 3.3 Fourierserien . . . . . . . . . . . . . 3.4 Sinus- och cosinusserier . . . . . . . 3.5 R¨ akneregler . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Faltning . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Fourierseriens konvergens . . . . . . 3.8 Gibbs fenomen . . . . . . . . . . . . 3.9 Rummet L2 (T) och Parsevals formel 3.10 Annan period ¨ an 2π . . . . . . . . . 4 Fourierseriens konvergens 4.1 Omkastning av gr¨ ansprocesser 4.2 Kontinuitetsprincipen . . . . 4.3 Abelsummation . . . . . . . . 4.4 Poissonk¨ arnan . . . . . . . . . 4.5 Fourierseriens abelsumma . . 4.6 Riemann–Lebesgues lemma . 4.7 Parsevals formel . . . . . . . 4.8 Punktvis konvergens . . . . . iii
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . .
13 13 19 24 26 30 37 39
. . . . . . . . . .
45 45 49 53 61 64 67 69 73 75 79
. . . . . . . .
83 83 89 92 94 97 101 102 104
INNEH˚ ALL
iv 4.9
Weierstrass approximationssats . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 Till¨ ampningar p˚ a fourierserien 5.1 Toner . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Sv¨ angande str¨ angen . . . . . . 5.3 V¨ armeledning i en stav . . . . . 5.4 Dirichlets problem f¨or en skiva
. . . .
. . . .
. . . .
6 Fouriertransformen 6.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . 6.2 Fouriertransformen . . . . . . . . . . 6.3 R¨ akneregler . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Fouriertransformering och derivering 6.5 Faltning . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Inversionsformler . . . . . . . . . . . 6.7 Plancherels formel . . . . . . . . . . 6.8 Poissons summationsformel . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
113 . 113 . 115 . 119 . 124
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
127 . 127 . 129 . 131 . 133 . 136 . 138 . 141 . 144
7 Mer om fouriertransformen 7.1 V¨ armeledningsk¨arnan . . . . . . . . . . 7.2 Inversionssatsen . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Dirichletk¨ arnan och punktvis konvergens 2 7.4 L -teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Fourieranalys i h¨ogre dimensioner . . . . 7.6 Fouriertransformen f¨or m˚ att . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
147 147 148 151 153 159 161
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen 8.1 V¨ armeledningsekvationen p˚ aR . . . 8.2 Samplingssatsen . . . . . . . . . . . 8.3 Linj¨ ara tidsinvarianta system . . . . 8.4 Heisenbergs os¨akerhetsprincip . . . . 8.5 Centrala gr¨ ansv¨ardessatsen . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
163 163 165 170 175 177
. . . . . . .
187 . 187 . 194 . 195 . 201 . 204 . 206 . 210
. . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
9 Laplacetransformen 9.1 Laplacetransformens definition . . . . . . . . . . . . . 9.2 R¨ akneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Deriverbarhet och entydighet . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Derivatans transform och linj¨ara differentialekvationer 9.5 Begynnelsev¨ ardes- och slutv¨ardesregeln . . . . . . . . 9.6 Kausala LTI-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Laplacetransformen f¨or m˚ att . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
INNEH˚ ALL
v
10 Z-transformen 10.1 Definition och egenskaper . . . . . 10.2 Translation och differensekvationer 10.3 Faltning . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Diskreta kausala LTI-system . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
213 213 220 222 224
11 Diskreta fouriertransformen 11.1 Cykliska gruppen ZN . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Karakt¨ arerna till gruppen ZN . . . . . . . . . 11.3 Den diskreta fouriertransformen . . . . . . . . 11.4 Faltning och translationsinvarianta operatorer 11.5 Sambandet mellan ZN och ZN/2 . . . . . . . 11.6 Snabba fouriertransformen . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
229 229 232 235 240 245 248
. . . .
253 . 253 . 257 . 260 . 262
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
12 Utblickar mot abstrakt harmonisk analys 12.1 Lokalt kompakta abelska grupper . . . . . 12.2 Fouriertransformen . . . . . . . . . . . . . 12.3 De klassiska grupperna . . . . . . . . . . . 12.4 L2 -teorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formler
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Svar till o ¨vningsuppgifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Sakregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
vi
F¨ orord Den h¨ar boken ger en introduktion till fourieranalysen och visar p˚ a n˚ agra av dess m˚ anga till¨ ampningar. Den v¨ander sig i f¨orsta hand till studenter som inte n¨ojer sig med en katalog av resultat utan ocks˚ a ¨ar beredda att l¨agga ner b˚ ade tid och m¨ oda f¨ or att f¨ orst˚ a sammanhang och se bevis f¨or gjorda p˚ ast˚ aenden. Men f¨ or att ¨ aven den som inte anser sig ha behov av att se allt bevisat ska kunna anv¨ anda boken med god beh˚ allning, har de mer avancerade delarna av teorin f¨ or fourierserier och fourierintegraler, s˚ asom bevisen f¨or olika konvergensresultat, f¨ orlagts till tv˚ a separata kapitel som man kan hoppa o orlora sammanhangen. Detta medf¨or visserligen en del ¨ver utan att f¨ upprepning f¨ or den som l¨ aser allt, men repetition ¨ar aldrig skadligt. Den som fr¨ amst ¨ ar intresserad av fourieranalys och transformteori f¨or alla till¨ampningars skull f˚ ar d¨ arf¨ or en god grund genom att enbart l¨asa kapitlen 1–3, 5–6, 8–10. Avslutningskapitlet om abstrakt harmonisk analys har tillkommit f¨or att v¨acka intresse f¨ or fortsatta teoretiska studier inom omr˚ adet. Tillr¨ ackliga f¨ orkunskaper f¨ or att tillgodog¨ora sig inneh˚ allet har den som l¨ast en kurs i flerdimensionell analys och en kurs i linj¨ar algebra. Naturligtvis ordel att ocks˚ a ha studerat komplex analys, men det f¨oruts¨atter ¨ar det en f¨ jag inte. Jag har tagit mig friheten att anv¨anda Lebesgueintegralen och Lebesgues sats om dominerad konvergens eftersom det g¨or det l¨attare att formulera m˚ anga resultat och enklare att bevisa dem, trots att detta integralbegrepp inte behandlas f¨ orr¨ an p˚ a masterniv˚ a. Att den genomsnittlige l¨asaren d¨arigenom inte kan f¨ orv¨ antas f¨ orst˚ a alla detaljer bekymrar mig inte − den som g˚ ar vidare mot h¨ ogre studier i matematik kommer att g¨ora detta s˚ a sm˚ aningom, och den som inte forts¨atter med matematik p˚ a h¨ogre niv˚ a kan helt obekymrat leva vidare i den f¨orvissningen att Lebesgueintegralen ger samma resultat som Riemannintegralen f¨or alla funktioner som man (som icke-matematiker) tr¨ affar p˚ a i praktiken.
Uppsala, augusti 2013 Lars-˚ Ake Lindahl
vii
Kapitel 1
Inledning Fourieranalys ¨ ar teorin f¨ or hur funktioner kan representeras eller approximeras som summor eller integraler av enkla trigonometriska funktioner. Det anga till¨ ampningar inom s˚ av¨al ren matematik som natur¨ar en teori med m˚ vetenskap och teknik. Som exempel p˚ a anv¨andningsomr˚ aden kan n¨amnas teorin f¨ or partiella differentialekvationer, talteori, sannolikhetsteori, kryptologi, optik, kvantmekanik, signal- och bildbehandling, medicinsk diagnostik, kristallografi och akustisk fonetik. Fourieranalysen har f˚ att sitt namn efter den franske matematikern och fysikern Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768– 1830), som anv¨ ande sig av trigonometriska serier f¨or att studera v¨armeledning. Vad fourieranalys handlar om och hur fourieranalys anv¨ands beskrivs kanske b¨ ast av n˚ agra exempel fr˚ an olika till¨ampningsomr˚ aden. Vi inleder d¨arf¨or v˚ art studium av fourieranalysen med n˚ agra exempel fr˚ an vitt skilda omr˚ aden. Eftersom det handlar om en introduktion g˚ ar vi i det h¨ar kapitlet inte in p˚ a s˚ adana subtiliteter som vilka villkor som kr¨avs f¨or att olika serier eller generaliserade integraler ska vara konvergenta − den diskussionen f˚ ar anst˚ a till senare kapitel.
Musik Fourieranalys kallas ibland ocks˚ a harmonisk analys. Den termen har f¨orst˚ as sitt ursprung inom musiken, s˚ a vad kan vara mer naturligt ¨an att starta d¨ar. En ton ¨ ar ett h¨ orbart ljud som uppst˚ ar d˚ a periodiska ljudv˚ agor tr¨affar or h¨ orbarhet kr¨ avs att tonh¨ojden, dvs. ljudv˚ agens frekvens, ligger ¨orat. F¨ inom omr˚ adet ca 15–20 000 hertz och att tonstyrkan, dvs. ljudv˚ agens amplitud, o verstiger ett visst tr¨ o skelv¨ a rde. ¨ De allra enklaste tonerna ¨ ar rena sinussv¨angningningar och kan med noll som medelniv˚ a modelleras som A sin(2πνt + φ), 1
2
1 Inledning
d¨ ar A ¨ ar amplituden, ν ¨ar frekvensen, t ¨ar tidsvariabeln och φ anger fasf¨orskjutningen. Frekvensen har enheten Hz n¨ar tiden m¨ats i sekunder. Sedan urminnes tider har musiker rent praktiskt k¨ant till att toner som f˚ as genom att addera toner med frekvenser som ¨ar multipler av grundtonens frekvens har samma tonh¨ojd. Matematiskt kan en s˚ adan ton modelleras som en summa av typen N X (1.1) f (t) = An sin(2πνnt + φn ) n=1
med N ≈ 20 000/ν om vi h˚ aller oss till f¨or m¨anniskor h¨orbara toner, och som vi ska se i kapitel 5 alstrar str¨ang- och bl˚ asinstrument toner som ¨ar summor av detta slag. Sinusoiderna An sin(2πνnt + φn ) kallas deltoner till tonen f . Den f¨ orsta deltonen kallas grundtonen och ¨ovriga deltoner kallas overtoner. Den n:te ¨ overtonen ¨ar med andra ord den n + 1:ta deltonen. ¨ I¨ orats sn¨ acka finns tusentals h¨orselceller, en f¨or varje h¨orbar frekvens. Varje grundton och ¨ overton retar en s¨arskild h¨orselcell i sn¨ackan vilket ger upphov till inpulser till hj¨arnan, vars styrka beror av ljudtrycket, dvs. ampli¨ tuden An . Orat och hj¨ arnan uppfattar d¨arf¨or amplituderna och frekvenserna ¨ hos deltonerna men d¨ aremot inte fasf¨orskjutningarna φn . Aven om det bara ¨ ar f˚ a m¨ anniskor med s. k. absolut geh¨or som har f¨orm˚ agan att kunna uppfatta och ange den exakta tonh¨ojden hos en ton, s˚ a tycks de flesta ha f¨ orm˚ agan att uppfatta intervallen mellan olika toner. Hur en ton l˚ ater beror s˚ aledes inte enbart av dess tonh¨ojd och tonstyrka utan ocks˚ a i allra h¨ ogsta grad av dess spektrum, dvs. mixen av deltoner, som ger tonen dess specifika klangf¨arg. Exempelvis l˚ ater ju toner med samma tonh¨ ojd alstrade av en fl¨oljt, en trumpet, ett piano och en violin helt olika. Gregory Sandells SHARC Timbre Database, som finns fritt tillg¨anglig p˚ a www.timbre.ws/sharc, inneh˚ aller analyser av ¨over 1300 toner, och hela registren f¨ or i stort sett samtliga orkesterinstrument (utom slagverk) ¨ar representerade. Figur 1.1 visar v˚ agform och spektrum f¨or en ton med frekvensen ] 116.5 Hz (tonen A i stora oktaven) spelad p˚ a en basklarinett. Spektraldiagrammet ger amplituderna An f¨or motsvarande frekvenser 116.5n, men observera att skalan p˚ a amplitudaxeln ¨ar logaritmisk eftersom amplituderna ar angivna i decibel. ¨ Genom att utnyttja det trigonometriska sambandet sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y kan vi skriva om formeln (1.1) p˚ a formen f (t) =
N X
an cos(2πνnt) + bn sin(2πνnt) .
n=1
L˚ at oss nu generalisera detta genom att dels addera en konstant s˚ a att sv¨ angningarna nu inte l¨angre beh¨over ske kring medelniv˚ an noll, dels ¨aven
Amplitud
3
0
Amplitud (dB)
0
10 Tid (ms)
20
4000
6000
0 −20 −40 −60 −80 0
2000
8000
10000
Frekvens (Hz) Figur 1.1. V˚ agform och spektrum f¨or tonen A] p˚ a en basklarinett.
addera ”oh¨ orbara toner” med frekvenser som ¨ar multipler av ν. Om vi v¨aljer v˚ ar tidsenhet s˚ a att grundfrekvensen ν blir lika med 1/2π samt d¨oper den konstanta termen till a0 /2, s˚ a f˚ ar vi en summa av typen (1.2)
f (t) = 21 a0 +
∞ X
(an cos nt + bn sin nt).
n=1
F¨orutsatt att summan ¨ ar konvergent ¨ar tydligen f en periodisk funktion med perioden 2π. Serien i h¨ ogerledet kallas i f¨orekommande fall funktionens fourierserie, och koefficienterna an och bn kallas fourierkoefficienter. Vi kan nu v¨ anda p˚ a steken genom att starta med en godtycklig 2πperiodisk funktion f och fr˚ aga oss vilka villkor som beh¨ovs f¨or att funktionen ska kunna fourierserieutvecklas, dvs. skrivas p˚ a formen (1.2), och hur man i s˚ a fall best¨ ammer fourierkoefficienterna. En rent formell r¨akning som utnyttjar att Z 2π cos nt sin mt dt = 0 f¨or alla n och m, 0 ( Z 2π 0 f¨or n 6= m, sin nt sin mt dt = π f¨ or n = m 0
4
1 Inledning
ger att Z
2π
Z f (t) sin mt dt =
0
0
= 21 a0
Z
2π
1 2 a0
2π
sin mt dt + 0
+
∞ Z X
∞ X
(an cos nt + bn sin nt) sin mt dt
n=1 2π
(an cos nt sin mt + bn sin nt sin mt) dt
n=1 0
= πbm , eftersom alla integralerna innanf¨or summan utom en ¨ar lika med noll. En motsvarande r¨ akning ger oss am , och d¨armed leds vi fram till f¨oljande formler f¨ or fourierkoefficienterna: Z 1 2π an = f (t) cos nt dt π 0 Z 1 2π bn = f (t) sin nt dt. π 0
Formlerna ovan resulterar i v¨aldefinierade koefficienter an och bn f¨or alla integrerbara funktioner f och d˚ a speciellt f¨or alla kontinuerliga funktioner. Men d¨ arifr˚ an ¨ ar steget l˚ angt till slutsatsen att serien i h¨ogerledet av ekvation (1.2) ¨ ar konvergent och att dess summa ¨ar lika med f (t), och det kr¨ avs ytterligare villkor p˚ a funktionen f f¨or att slutsatsen ska vara sann. Vi kommer att studera den fr˚ agan i kapitel 3 och 4.
Signalbehandling En signal ¨ ar n˚ agot som f¨ormedlar information fr˚ an en s¨andare till en eller flera mottagare, men vi kommer att inskr¨anka oss till att behandla signaler som kan modelleras matematiskt med hj¨alp av funktioner av en tidsvariabel, t. Om signalfunktionen ¨ar definierad p˚ a ett helt intervall, och d˚ a speciellt hela reella axeln, talar man om en signal i kontinuerlig tid eller en analog signal. Om funktionen som representerar signalen bara ¨ar definierad i en f¨ oljd av diskreta punkter som vi alltid kan numrera s˚ a att funktionens definitionsm¨ angd blir en delm¨angd av Z, m¨angden av alla heltal, kallas signalen diskret. En analog signal f med R som definitionsm¨angd ger upphov till en diskret signal genom sampling, dvs. genom att den bara betraktas i en f¨oljd av diskreta tidpunkter, exempelvis tidpunkterna . . . , −3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h, . . . f¨ or n˚ agot l¨ ampligt valt tal h. Den samplade signalen representeras s˚ aledes av f¨ oljden (f (nh))n∈Z , som f¨orst˚ as matematiskt sett ¨ar lika med restriktionen av funktionen f till m¨angden hZ = {nh | n ∈ Z}.
5
h { z }| t
Figur 1.2. Vid sampling betraktas en analog signal i en f¨oljd av diskreta tidpunkter.
En analog, kontinuerlig signal f kan, f¨orutsatt att den avtar tillr¨ackligt snabbt d˚ a tiden g˚ ar mot o¨ andligheten (vilket naturligtvis inte ¨ar n˚ agot problem i praktiken), skrivas p˚ a formen f (t) =
1 2π
Z
∞
fˆ(ω)eiωt dω,
−∞
d¨ar den i integranden f¨ orekommande funktionen fˆ kallas fouriertransformen till funktionen f , och eiωt ¨ ar en f¨ orkortning f¨or cos ωt + i sin ωt. Signalen eiωt ¨ar periodisk med perioden 2π/ω s och frekvensen ω/2π Hz, om tiden t m¨ats i sekunder s. Variabeln ω ska med andra ord tolkas som en frekvensvariabel, och fouriertransformen fˆ s¨ ages d¨ arf¨or vara definierad i frekvensrummet. ˆ Om f (ω) = 0 f¨ or alla ω utanf¨or intervallet [a, b] kallas signalen bandbegr¨ ansad , och intervallets l¨ angd b − a ¨ar signalens bandbredd.1
t
ω
Figur 1.3. Till v¨ anster en bandbegr¨ansad signal f och till h¨oger dess fouriertransform fˆ.
Digital teknik f¨ or inspelning, lagring och avspelning av signaler bygger p˚ a att analoga signaler med bandbredd 2L ¨ar fullst¨andigt best¨amda av sina sampelv¨ arden i punkterna Lπ ·n, n ∈ Z, och att det finns effektiva algoritmer 1
Bandbredden anges vanligen i Hz och ¨ ar d˚ a f¨ oljaktligen lika med (b − a)/2π Hz.
6
1 Inledning
f¨ or att rekonstruera den analoga signalen fr˚ an sampelv¨ardena. Mer precist g¨ aller f¨ or signaler f som a¨r bandbegr¨ansade till intervallet [−L, L] att X sin(Lt − πt) f (t) = f ( Lπ n) , Lt − nπ n∈Z
en formel som vi kommer att h¨arleda i kapitel 8. Det m¨ anskliga ¨ orat kan inte uppfatta ljud med frekvenser som ¨overstiger 20 kHz. Signalen eiωt ¨ ar d¨arf¨or oh¨orbar om |ω| > 40 000π. Allt h¨orbart ljud har d¨ armed en bandbredd p˚ a h¨ogst 80 000π (dvs. 40 kHz). F¨or perfekt ljud˚ atergivning r¨ acker det d¨arf¨or p˚ a grund av ovanst˚ aende rekonstruktionsformel att sampla audiosignaler i diskreta tidpunkter som har ett tidsavst˚ and av 1/40 000 s, dvs. med samplingsfrekvensen 40 kHz. Vanliga CD-spelare anv¨ ander samplingsfrekvensen 44.1 kHz.
Svarta l˚ ador M˚ anga tekniska apparater fungerar ur ett anv¨andarperspektiv som svarta l˚ ador − de tar emot insignaler som processas p˚ a n˚ agot f¨or anv¨andaren ok¨ant s¨ att och levererar utsignaler. Ur matematisk synvinkel ¨ar en svart l˚ ada d¨arf¨or inte n˚ agot annat ¨ an en funktion T som till varje till˚ aten insignal x associerar en utsignal y = T (x). L˚ adan kallas diskret om insignalerna och utsignalerna ar diskreta och s˚ aledes kan modelleras med hj¨alp av f¨oljder. ¨
Insignal x
T
Utsignal y
Figur 1.4. Svart l˚ ada
M˚ anga svarta l˚ ador kan med god approximation anses vara linj¨ ara, dvs. 0 ar tv˚ om x och x0 a r tv˚ a insignaler samt α och α a (inte alltf¨ o r stora) tal, s˚ a ¨ ¨ 0 0 0 0 resulterar den sammansatta insignalen αx+α x i utsignalen αT (x)+α T (x ). Ett annat rimligt antagande ¨ar att de ¨ar tidsinvarianta, dvs. fungerar exakt likadant vid alla tillf¨ allen. Svarta l˚ ador som opererar i realtid ¨ar vidare kausala i den meningen att utsignalens v¨arde vid varje tidpunkt bara kan bero av insignalens v¨ arden fram till och med denna tidpunkt. Diskreta kausala tidsinvarianta linj¨ara svarta l˚ ador har en mycket enkel matematisk beskrivning, och de ¨ar fullst¨andigt best¨amda av impulssvaret, dvs. utsignalen till insignalen δ = (1, 0, 0, 0, . . . ) som kallas en impuls. S˚ a l˚ at T vara en diskret kausal tidsinvariant linj¨ar svart l˚ ada. Vi ska ber¨ akna utsignalen y = T (x) f¨or en godtycklig insignal x = (xn )∞ 0 . Eftersom l˚ adan ¨ ar kausal beror utsignalens v¨arde yn vid tidpunkten n bara
7 av insignalens utseende fram till och med tidpunkten n. Detta inneb¨ar att utsignalen y 0 = T (x0 ) till insignalen x0 = (x0 , x1 , . . . , xn , 0, 0, 0, . . . ) har samma v¨ arde vid tidpunkten n som utsignalen y, dvs. yn = yn0 . L˚ at nu a = (an )∞ a att 0 beteckna impulssvaret T (δ) s˚ T (1, 0, 0, 0, 0 . . . ) = (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 . . . ). Om l˚ adan f˚ ar sin impuls ett antal tidsenheter senare kommer impulssvaret att f¨orskjutas lika m˚ anga tidsenheter p˚ a grund av tidsinvariansen. F¨oljaktligen ¨ar T (0, 1, 0, 0, 0, . . . ) = (0, a0 , a1 , a2 , a3 , a4 . . . ), T (0, 0, 1, 0, 0, . . . ) = (0, 0, a0 , a1 , a2 , a3 , . . . ), T (0, 0, 0, 1, 0, . . . ) = (0, 0, 0, a0 , a1 , a2 , . . . ),
osv.
Eftersom x0 = x0 (1, 0, 0, 0, . . . ) + x1 (0, 1, 0, 0, . . . ) + · · · + xn (0, 0, 0, 0 . . . , 1, 0 . . . ) f¨oljer det av lineariteten att y 0 = T (x0 ) = x0 T (1, 0, 0, 0, . . . ) + x1 T (0, 1, 0, 0, . . . ) + x2 T (0, 0, 1, 0, . . . ) + · · · + xn T (0, 0, 0, 0, . . . , 1, 0 . . . ), och genom att betrakta koordinaten med index n ser vi att yn =
yn0
= x0 an + x1 an−1 + · · · + xn−1 a1 + xn a0 =
n X
an−k xk .
k=0
Detta visar att utsignalen y = T (x) vid alla tidpunkter n ¨ar helt best¨amd av insignalen x och impulssvaret a = T (δ). ∞ S¨attet att kombinera tv˚ a f¨ oljder a = (an )∞ 0 och x = (xn )0 till en ny ∞ f¨oljd y = (yn )0 genom att s¨ atta yn =
n X
an−k xk
k=0
f¨or alla n kallas en faltning, och man anv¨ander beteckningss¨attet a ∗ x f¨or den erh˚ allna f¨ oljden y. Faltningar av ovanst˚ aende typ uppkommer ocks˚ a n¨ar man multiplicerar tv˚ a potensserier eftersom ∞ X n=0
an xn ·
∞ X
bn xn = a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1 )x + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x2 + . . .
n=0
=
∞ X n=0
cn xn ,
8
1 Inledning
Pn alp av faltningsbegreppet kan vi s˚ aledes med cn = k=0 an−k bk . Med hj¨ ∞ och uttrycka sambandet mellan koefficientf¨oljderna a = (an )∞ , b = (b ) n 0 0 c = (cn )∞ i de tre potensserierna som c = a ∗ b. 0 I kapitel 10 kommer vi att studera den s. k. z-transformen. Det a¨r en transform som ¨ ar definierad f¨or f¨oljder, och med z-transformen till f¨oljden a = (an )∞ menas den o¨andliga serien 0 A(z) =
∞ X
an z −n ,
n=0
som om f¨ oljden inte ¨ ar alltf¨or snabbt v¨axande ¨ar konvergent f¨or alla komplexa tal z utanf¨ or en tillr¨ackligt stor cirkel i komplexa talplanet. Genom att byta x mot 1/z i de tre potensserierna ovan ser vi att faltningen c = a ∗ b genom z-transformering ¨overg˚ ar i en produkt av typen C(z) = A(z)B(z). L˚ at oss nu ˚ aterv¨ anda tilll de diskreta kausala tidsinvarianta linj¨ara svarta l˚ adorna. Z-transformen A(z) till impulssvaret a = T (δ) kallas l˚ adans overf¨ oringsfunktion, och i termer av den blir sambandet mellan in- och ut¨ signalernas z-transformer mycket enkelt: Mellan in- och utsignal i en diskret kausal tidsinvariant linj¨ ar svart l˚ ada r˚ ader sambandet Y (z) = A(z)X(z), d¨ ar X(z) och Y (z) ¨ ar z-transformerna till in- resp. utsignalerna och A(z) ar ¨ overf¨ oringsfunktionen. ¨
Diffusion M˚ anga matematiska modeller inom naturvetenskapen ¨ar konsekvenser av enkla bevarandeprinciper. Exempel p˚ a s˚ adana klassiska fysikaliska konserveringslagar ¨ ar att r¨ orelsem¨angden i ett slutet system ¨ar konstant, att massan bevaras och att energin bevaras (i klassisk icke-relativistisk fysik). Vi ska anv¨ anda principen att massa inte uppst˚ ar ur tomma intet f¨or att h¨arleda en ekvation f¨ or koncentrationen i en diffunderande l¨osning samt skissera hur man i det endimensionella fallet kan l¨osa den erh˚ alla partiella differentialekvationen med hj¨ alp av fouriermetoder. L˚ at c(x, t) beteckna koncentrationen i punkten x = (x1 , x2 , x3 ) och vid tiden t av ett kemiskt ¨amne som l¨osts i en v¨atska, och l˚ at B beteckna ett fixt sf¨ ariskt omr˚ ade i l¨ osningen. Vi ska studera hur m¨angden kemiskt ¨amne inom sf¨ aren B f¨ or¨ andras genom diffusionen under ett tidsintervall [α, β]. Vid tidpunkten t0 ¨ ar m¨ angden substans i sf¨aren lika med ZZZ c(x, t0 ) dx, B
9 d¨ar vi skrivit dx f¨ or dx1 dx2 dx3 , s˚ a massf¨or¨andringen i B under det aktuella tidsintervallet ges av differensen ZZZ ZZZ Z β ∂c(x, t) D= c(x, β) − c(x, α) dx = dt dx. ∂t B B α Massf¨or¨ andringen beror p˚ a att molekyler av ¨amnet diffunderat ut och in genom sf¨ arens begr¨ ansningsyta ∂B, och diffusion fungerar p˚ a s˚ a s¨att att molekyler vandrar fr˚ an omr˚ aden med h¨ogre koncentration till omr˚ aden med l¨agre koncentration med en nettohastighet J som ¨ar proportionell mot koncentrationsgradienten. Med matematiskt spr˚ ak g¨ aller allts˚ a f¨oljande samband f¨or nettohastigheten J(x, t) i punkten x vid tiden t: J(x, t) = −κ ∇c(x, t), en ekvation som brukar kallas Ficks f¨ orsta lag och d¨ar den positiva proportionalitetskonstanten κ kallas diffusionskonstanten.2 Vi kan d¨arf¨or uttrycka massinstr¨ omningshastigheten genom begr¨ansningsytan ∂B vid tidpunkten t som en ytintegral, n¨ amligen som integralen ZZ − −κ ∇c(x, t) n dS, ∂B
d¨ar minustecknet framf¨ or integralen f¨orklaras av att enhetsnormalvektorn n till sf¨aren valts ut˚ atriktad. Genom att utnyttja Gauss divergenssats och det faktum att ∂2c ∂2c ∂2c div(∇c) = ∆c = + + ∂x21 ∂x22 ∂x23 kan vi nu skriva instr¨ omningshastigheten genom ∂B som f¨oljande trippelintegral ¨ over B: ZZZ κ∆c(x, t) dx. B
M¨angden kemiskt ¨ amne som str¨ommar in genom begr¨ansningsytan ∂B under tidsintervallet [α, β] ¨ ar s˚ aledes lika med Z β ZZZ κ∆c(x, t) dx dt, α
B
och eftersom ¨ amnet inte f¨ orst¨ ors eller nybildas i B, svarar infl¨odet exakt mot den m¨ angdf¨ or¨ andring D som vi ber¨aknade ovan. Genom att j¨amf¨ora de b˚ ada uttrycken och byta integrationsordning leds vi allts˚ a till likheten ZZZ Z β ZZZ Z β ∂c(x, t) κ∆c(x, t) dt dx. dt dx = ∂t B α B α Diffusionskonstantens v¨ arde i enheten 10−7 cm2 /s ¨ ar som f¨ oljer f¨ or n˚ agra viktiga biokemiska ¨ amnen utsp¨ adda i vattenl¨ osning. Glukos: 660, Insulin: 210, Hemoglobin: 6.9. 2
10
1 Inledning
L˚ at nu slutligen sf¨ aren B krympa ihop till en punkt x och intervallet [α, β] till en punkt t. Denna gr¨ans¨overg˚ ang leder till slutsatsen att koncentrationen c(x, t) satisfierar den partiella differentialekvationen ∂c = κ∆c, ∂t som kallas Ficks andra lag, i det inre av det omr˚ ade Ω som inneh˚ aller l¨osningen med det kemiska ¨amnet. F¨ or att kunna best¨ amma koncentrationsfunktionen c(x, t) r¨acker det inte att veta att den satisfierar ovanst˚ aende partiella differentialekvation, utan vi beh¨ over f¨ or att erh˚ alla en entydig l¨osning specificera b˚ ade randv¨arden, dvs. v¨ arden som l¨ osningen ska ha f¨or alla tidpunkter t d˚ a x ligger p˚ a randen av det givna omr˚ adet Ω, och begynnelsev¨arden, dvs. v¨arden som l¨osningen ska ha f¨ or alla x vid en viss tidpunkt t0 , t. ex. t0 = 0. Vi f˚ ar n¨ oja oss med detta allm¨anna konstaterande, f¨or nu ska vi f¨orenkla det hela genom att anta att den rumsliga variationen ¨ar begr¨ansad till en dimension och d¨ armed kan beskrivas av en endimensionell rumsvariabel. Situationen illustreras av figur 1.5, d¨ar det l¨osta ¨amnet finns i ett l˚ angt r¨or med konstant tv¨ arsnittsarea och d¨ar all diffusion sker i l¨angdriktningen.
c(x, t) x
0
π
Figur 1.5. Diffusion i ett r¨or. L¨osningens koncentration ges av c(x, t).
L˚ at oss v¨ alja v˚ ar l¨ angdenhet s˚ a att r¨orets l¨angd ¨ar π. Det g¨or att koncentrationen c(x, t) satisfierar den partiella differentialekvationen (PD)
∂c ∂2c = κ 2, ∂t ∂x
0 < x < π, t > 0.
Som randvillkor v¨ aljer vi (RV)
c(0, t) = c(π, t) = 0,
t>0
vilket betyder att koncentrationen h˚ alls konstant lika med noll vid r¨orets andpunkter, och som begynnelsevillkor ¨ (BV)
c(x, 0) = f (x),
0
d¨ ar f (x) ¨ ar en k¨ and funktion som ger oss koncentrationen i hela r¨oret vid tidpunkten t = 0.
11 Om vi f¨ or ett ¨ ogonblick gl¨ ommer bort begynnelsevillkoret, s˚ a ser vi att det finns en m¨ angd av l¨ osningsfunktioner cn (x, t) till den partiella differentialekvationen (PD) som ocks˚ a uppfyller randvillkoret (RV), n¨amligen funktionerna 2 cn (x, t) = e−κn t sin nx, d¨ar n = 1, 2, 3, . . . . Eftersom differentialekvationen ¨ar linj¨ar och randvillkoren ocks˚ a ¨ ar linj¨ ara, ¨ ar vidare varje linj¨arkombination av ovanst˚ aende funktioner en l¨ osning. F¨ orutsatt att koefficienterna bn v¨aljs s˚ a att serien c(x, t) =
∞ X
2
bn e−κn t sin nx
n=1
konvergerar och f˚ ar deriveras under summatecknet, blir d¨arf¨or ocks˚ a funktionen c(x, t) en l¨ osning till den partiella differentialekvationen, och uppenbarligen ¨ ar c(0, t) = c(π, t) = 0 f¨ or alla t. Hur ¨ ar det d˚ a med begynnelsevillkoret? Jo, eftersom c(x, 0) =
∞ X
bn sin nx,
n=1
a¨r begynnelsevillkoret uppfyllt ifall vi kan v¨alja koefficienterna bn s˚ a att f (x) =
∞ X
bn sin nx
n=1
f¨or 0 < x < π. D¨ armed har vi reducerat problemet till att utveckla funktionen f i en fourierserie som bara inneh˚ aller sinustermer, och det g˚ ar f¨orutsatt att funktionen ¨ ar n˚ agorlunda regulj¨ar. Tricket ¨ar att f¨orst utvidga funktionen f till en udda, 2π-periodisk funktion, vilket kommer att medf¨ora att fourierserien saknar cosinustermer. Detaljerna kommer att ges i kapitel 5.
Historiska notiser CD-teknologin utvecklades gemensamt av Sony och Philips under slutet av 1970talet. Sony var f¨ orst ut p˚ a marknaden med en cd-spelare ˚ ar 1982. Den f¨ orsta matematiska beskrivningen av diffusion gavs ˚ ar 1855 av den tyske fysiologen Adolf Fick (1829–1901). Diffusionsekvationen (Ficks andra lag) har samma form som Fouriers v¨ armeledningsekvation fr˚ an 1822 och kan d¨arf¨or angripas med fouriermetoder.
Kapitel 2
Rekvisita Syftet med det h¨ ar kapitlet a agra fundamentala begrepp och ¨r att repetera n˚ resultat fr˚ an analysen och den linj¨ara algebran om reella funktioner, f¨oljder och vektorrum och att d˚ a samtidigt utvidga dem till det komplexa fallet. Vidare introduceras n˚ agra viktiga funktionsklasser som kommer att spela en stor roll i den fortsatta framst¨allningen.
2.1
Komplexv¨ arda funktioner
Allm¨ant kan en funktion f : I → C, dvs. en funktion som antar komplexa v¨arden och a a n˚ agon delm¨angd I av R, skrivas p˚ a formen ¨r definierad p˚ f = u + iv, d¨ar u och v ¨ ar tv˚ a reella envariabelsfunktioner. Vi s¨atter helt enkelt u(t) lika med realdelen och v(t) lika med imagin¨ardelen av f (t). En huvudroll i den h¨ ar boken kommer att spelas av den komplexa exponentialfunktionen, som f¨ or imagin¨ara argument definieras av likheten eit = cos t + i sin t. Genom att utnyttja v¨ alk¨ anda egenskaper hos sinus och cosinus f˚ ar vi likheterna e−it = cos t − i sin t = eit ,
|eit | = 1,
ei(s+t) = eis eit
och
e2nπi = 1.
Vi kan rekonstruera sinus och cosinus fr˚ an exponentialfunktionen p˚ a f¨oljande vis: 1 1 cos t = (eit + e−it ), sin t = (eit − e−it ). 2 2i 13
14
2 Rekvisita
Kontinuitet Begreppet kontinuitet definieras p˚ a f¨oljande s¨att f¨or komplexv¨arda funktioner: Definition. En funktion f : I → C kallas kontinuerlig i punkten t0 ∈ I om lim |f (t) − f (t0 )| = 0.
t→t0
En funktion kallas kontinuerlig om den ¨ar kontinuerlig i alla punkter i sin definitionsm¨ angd. M¨ angden av alla kontinuerliga komplexv¨arda funktioner definierade p˚ a I betecknas C(I). Observera att kontinuitetsdefinitionen ˚ aterf¨or problemet att avg¨ora om en komplexv¨ ard funktion ¨ar kontinuerlig p˚ a problemet att ber¨akna gr¨ansv¨ ardet av en reell funktion, samt att definitionen ser exakt likadan ut som f¨ or reellv¨ arda funktioner − det ¨ar bara tolkningen av beloppet som skiljer det komplexv¨ arda fallet fr˚ an det reellv¨arda. Ett alternativt s¨att att avg¨ora om en komplexv¨ ard funktion ¨ar kontinuerlig ¨ar att betrakta de reellv¨arda real- och imagin¨ ardelarna. Vi har n¨amligen f¨oljande resultat. Sats 2.1.1. En komplexv¨ ard funktion f = u + iv ¨ ar kontinuerlig i punkten t0 om och endast om de b˚ ada reella funktionerna u och v ¨ ar kontinuerliga i samma punkt. Bevis. De element¨ ara olikheterna | Re z| ≤ |z|, | Im z| ≤ |z| och |z| ≤ | Re z| + | Im z|, till¨ ampade p˚ a det komplexa talet z = f (t) − f (t0 ) ger att |u(t) − u(t0 )| ≤ |f (t) − f (t0 )|,
|v(t) − v(t0 )| ≤ |f (t) − f (t0 )| och
|f (t) − f (t0 )| ≤ |u(t) − u(t0 )| + |v(t) − v(t0 )|, och det f¨ oljer omedelbart av dessa olikheter att p˚ ast˚ aendena lim |f (t) − f (t0 )| = 0
t→t0
och lim |u(t) − u(t0 )| = 0
t→t0
&
lim |v(t) − v(t0 )| = 0
t→t0
ar ekvivalenta. ¨ Exempel 2.1.1. Den komplexv¨arda exponentialfunktionen eit ¨ar kontinuerlig eftersom real- och imagin¨ardelarna cos t och sin t ¨ar kontinuerliga funktioner.
2.1 Komplexv¨ arda funktioner
15
Likformig kontinuitet Kontinuitetsdefinitionen ˚ aterf¨ or begreppet kontinuitet p˚ a begreppet gr¨ansv¨arde. I direkta termer inneb¨ ar definitionen att en funktion f : I → C ¨ar kontinuerlig om (och endast om) det f¨or varje t ∈ I och varje positivt tal finns ett positivt tal δ s˚ a att |f (s) − f (t)| < f¨or all punkter s ∈ I som uppfyller olikheten |s − t| < δ. I allm¨ anhet kommer talet δ att bero av s˚ av¨al som punkten t; exempelvis ser vi genom att titta p˚ a grafen till den reella funktionen f (t) = t2 med hela reella axeln som definitionsm¨ angd att det intervall kring t f¨or vilket olikheten 2 2 |s − t | < 1 ¨ ar uppfylld, blir kortare och kortare ju st¨orre talet t ¨ar. Det finns d¨arf¨ or i detta fall inget δ > 0 s˚ adant att implikationen |s − t| < δ ⇒ |f (s) − f (t)| < 1 g¨aller f¨ or samtliga tal t. Om funktionen f ¨ ar s˚ adan att det finns ett tal δ som duger f¨or samtliga t i funktionens definitionsm¨ angd, kallas funktionen likformigt kontinuerlig. Den formella definitionen lyder s˚ a h¨ar. Definition. En funktion f : I → C kallas likformigt kontinuerlig om det f¨or varje > 0 finns ett tal δ > 0 s˚ a att olikheten |f (s) − f (t)| < g¨aller f¨or alla s, t ∈ I som uppfyller olikheten |s − t| < δ. Kontinuitet i en punkt t0 ¨ ar en lokal egenskap − huruvida en funktion ¨ar kontinuerlig eller ej i punkten beror enbart p˚ a funktionens utseende n¨ara punkten ifr˚ aga. Likformig kontinuitet ¨ar d¨aremot en global egenskap − funktionens beteende i hela definitionsm¨angden spelar roll. Om definitionsm¨angden ¨ ar ett kompakt (dvs. slutet och begr¨ansat) intervall, s˚ a kan vi emellertid h¨ arleda den globala egenskapen likformig kontinuitet fr˚ an den lokala egenskapen kontinuitet. Vi har n¨amligen f¨oljande viktiga sats, vars bevis vi utel¨ amnar. Sats 2.1.2. Om funktionen f : I → C ¨ ar kontinuerlig och I ¨ ar ett kompakt intervall, s˚ a¨ ar funktionen likformigt kontinuerlig. Funktionen f (t) = t2 , som inte ¨ar likformigt kontinuerlig n¨ar definitionsm¨angden ¨ ar hela R, blir s˚ aledes likformigt kontinuerlig om vi inskr¨anker definitionsm¨ angden till, s¨ ag, intervallet [0, 100].
Translation Om f : D → C ¨ ar en godtycklig funktion och τ ¨ar ett reellt tal, s˚ a f˚ ar vi en ny funktion fτ : Dτ → C med m¨ angden Dτ = {t ∈ R | t − τ ∈ D}
16
2 Rekvisita
som definitionsm¨ angd genom att s¨atta fτ (t) = f (t − τ )
f¨or alla t ∈ Dτ .
Funktionen fτ kallas ett translat till f , och vi f˚ ar dess graf genom att skjuta f :s graf τ steg ˚ at h¨ oger. Vi kommer att s¨atta Tτ f = fτ , och sj¨ alva operationen Tτ som ¨overf¨or en funktion till dess translat kallas en translation. Om Tτ f = f f¨ or n˚ agot nollskilt tal τ kallas funktionen f periodisk med period τ . Detta kr¨ aver f¨orst˚ as speciellt att definitionsm¨angden D till funktionen f ¨ ar periodisk med samma period τ , dvs. att Dτ = D.
y
y y = f (t − 2)
y = f (t)
−1
0
1
2
3
−1
t
0
1
2
3
t
Figur 2.1. Exempel p˚ a translation, f och T2 f .
Derivata och integral Man kan definiera begreppen derivata och integral f¨or komplexv¨arda funktioner p˚ a ett direkt s¨ att genom att kopiera definitionen i det reella fallet och omtolka betydelsen av beloppet, men det ¨ar enklare att g˚ a omv¨agen via real- och imagin¨ ardelar p˚ a ett med sats 2.1.1 analogt s¨att. Definition. En komplexv¨ard funktion f = u + iv kallas • deriverbar i punkten t med derivata f 0 (t) = u0 (t) + iv 0 (t), om u och v b˚ ada ¨ ar deriverbara i punkten t, • integrerbar ¨ over ett intervall [a, b] med integral Z
b
Z f (t) dt =
a
b
Z u(t) dt + i
a
b
v(t) dt a
om de b˚ ada integralerna i h¨ogerledet existerar. R Om I = [a, b], s˚ a skriver vi i forts¨attningen ofta I f (t) dt ist¨allet f¨or Rb R P˚ a motsvarande s¨ a tt betecknar a f (t) dt. R f (t) dt den generaliserade inR∞ tegralen −∞ f (t) dt.
2.1 Komplexv¨ arda funktioner
17
L¨asaren b¨ or som enkel ¨ ovning verifiera att f¨oljande linearitetsregler g¨aller f¨or komplexv¨ arda funktioner f1 , f2 , f och komplexa tal c: Z b Z b Z b f2 (t) dt, f1 (t) dt + (f1 (t) + f2 (t)) dt = a a a Z b Z b f (t) dt. cf (t) dt = c a
a
Man verifierar vidare l¨ att att om f ¨ar en kontinuerlig komplexv¨ard funktion med primitiv funktion F (dvs. F 0 (t) = f (t) f¨or alla t i intervallet [a, b]), s˚ a ¨ar Z b b f (t) dt = F (t) a = F (b) − F (a). a
Exempel 2.1.2. Derivatan till den komplexa exponentialfunktionen eiat = cos at + i sin at f˚ as med hj¨ alp av definitionen till d iat (e ) = −a sin at + ia cos at = ia(cos at + i sin at) = iaeiat . dt Den komplexa exponentialfunktionen uppf¨or sig s˚ aledes precis som den reella med avseende p˚ a derivering. Exempel 2.1.3. F¨ or α 6= 0 ¨ ar (iα)−1 eiαt en primitiv funktion till exponeniαt tialfunktionen e . Det f¨ oljer att Z b eiαb − eiαa eiαt dt = iα a om α 6= 0. Genom att speciellt l˚ ata α = n vara ett heltal och v¨alja b = a + 2π, samt in(a+2 π) utnyttja att e = eina · ei2πn = eina , erh˚ aller vi f¨oljande mycket viktiga formler: ( Z a+2π 2π, om n = 0 int e dt = 0, om n 6= 0. a Integralen av eint ¨ over ett godtyckligt intervall av l¨angd 2π ¨ar med andra ord lika med noll f¨ or alla nollskilda heltal n.
Integrationsteknik Vi kommer att beh¨ ova ber¨ akna m˚ anga integraler i den h¨ar boken, s˚ a det kan vara en god id´e f¨ or l¨ asaren att repetera hur man ber¨aknar integraler med hj¨alp av primitiva funktioner, substitutioner och partiell integration. Speciellt den sista tekniken kommer till flitig anv¨andning, s˚ a h¨ar f¨oljer formeln.
18
2 Rekvisita
Sats 2.1.3. Antag att funktionen f ¨ ar kontinuerlig p˚ a intervallet [a, b] med primitiv funktion F och att funktionen g ¨ ar kontinuerligt deriverbar p˚ a samma intervall. D˚ a¨ ar Z b h ib Z b F (t)g 0 (t) dt. f (t)g(t) dt = F (t)g(t) − a
a
a
t2 eit dt
Rπ
Exempel 2.1.4. Vi ber¨ aknar integralen −π genom upprepad partiell integration p˚ a f¨ oljande vis: Z π Z π h eit iπ eit 2 it 2 dt − 2t t e dt = t i −π i −π −π Z π 2 iπ 2 −iπ teit dt = −i(π e − π e ) + 2i −π
Z π it h eit iπ e = 0 + 2i t − dt i −π −π i h iπ = 2(πeiπ + πe−iπ ) + 2i eit −π
= 2π(eiπ + e−iπ ) + 2i(eiπ − e−iπ ) = −4π.
Triangelolikheten f¨ or integraler F¨ oljande olikhet f¨ or integraler generaliserar triangelolikheten f¨or komplexa tal och kommer att utnyttjas m˚ anga g˚ anger i forts¨attningen. Sats 2.1.4 (Triangelolikheten f¨or integraler). F¨ or alla integrerbara funktioner f p˚ a intervallet I ¨ ar Z Z f (t) dt ≤ |f (t)| dt. I
I
Bevis. Skriv a pol¨ar form som Reiθ , d¨ar R = det komplexa talet I f (t) dt p˚ R f (t) dt ¨ ar absolutbeloppet av talet och θ ¨ar argumentet. D˚ a ¨ar I Z Z R = e−iθ f (t) dt = e−iθ f (t) dt. R
I
Talet R = att
R I
e−iθ f (t) dt
I
¨ar reellt och ¨ar d¨arf¨or lika med sin realdel. Det f¨oljer
Z Z Z f (t) dt = R = Re e−iθ f (t) dt = Re(e−iθ f (t)) dt I I I Z Z ≤ |e−iθ f (t)| dt = |f (t)| dt. I
I
Den tredje likheten i kedjan g¨aller p˚ a grund av s¨attet att definiera integralen av komplexv¨ arda funktioner, medan olikheten beror p˚ a att Re(e−iθ f (t)) ≤ −iθ |e f (t)|.
2.2 F¨ oljder och serier
2.2
19
F¨ oljder och serier
I det h¨ ar avsnittet ska vi utvidga n˚ agra, f¨orhoppningsvis v¨albekanta, definitioner och resultat f¨ or reella talf¨oljer och serier till komplexa f¨oljder och serier med komplexa termer.
Talf¨ oljder Definition. En f¨ oljd (cn )∞ 1 av komplexa tal kallas konvergent om det finns ett komplext tal c s˚ a att limn→∞ |cn − c| = 0. Talet c kallas i s˚ a fall f¨or f¨oljdens gr¨ ansv¨ arde och betecknas limn→∞ cn . Gr¨ ansv¨ ardesdefinitionen f¨ or komplexa f¨oljder ¨ar d¨armed reducerad till definitionen av gr¨ ansv¨ ardet av en (icke-negativ) reell f¨oljd, och genom att utnyttja de olikheter som r˚ ader mellan ett komplext tals real- resp. imagin¨ardel och belopp erh˚ aller vi, precis som f¨or kontinuitet, omedelbart f¨oljande resultat: Sats 2.2.1. Om cn = an + ibn , s˚ a konvergerar den komplexa f¨ oljden (cn )∞ 1 med c = a + ib som gr¨ ansv¨ arde om och endast om de b˚ ada reella f¨ oljderna ∞ (an )∞ 1 och (bn )1 konvergerar mot a och b, respektive. D¨arigenom har vi fullst¨ andigt reducerat problemet att best¨amma gr¨ansv¨ardet av en komplex f¨ oljd till motsvarande problem f¨or reella f¨oljder, men oftast ¨ ar det enklast att arbeta direkt med den komplexa f¨oljden. Exempel 2.2.1. L˚ at z vara ett komplext tal. Om |z| < 1, s˚ a ¨ar lim z n = 0,
n→∞
medan gr¨ ansv¨ ardet inte existerar om |z| ≥ 1 och z 6= 1. F¨or |z| < 1 ¨ ar n¨ amligen lim |z n − 0| = lim |z|n = 0,
n→∞
n→∞
eftersom det f¨ or icke-negativa reella tal r som a¨r mindre a¨n 1 g¨aller att n r → 0 d˚ a n → ∞. Anta forts¨ attningsvis att |z| ≥ 1 och z 6= 1. F¨or att visa att gr¨ansv¨ardet inte existerar i detta fall, kan vi utnyttja att om en f¨oljd (cn )∞ ar konvergent 1 ¨ med gr¨ ansv¨ arde c s˚ a¨ ar lim (cn+1 − cn ) = lim cn+1 − lim cn = c − c = 0.
n→∞
Men f¨or cn =
zn
n→∞
ar cn+1 − cn = ¨
z n+1
n→∞
−
zn
= z n (z − 1), och f¨oljaktligen
|cn+1 − cn | = |z|n |z − 1| ≥ |z − 1| > 0
f¨or alla n.
Detta betyder att cn+1 − cn inte kan g˚ a mot noll, och bevisar att f¨oljden n ∞ (z )1 ¨ar divergent.
20
2 Rekvisita
En sv˚ arighet om vi f¨ors¨oker anv¨anda gr¨ansv¨ardesdefinitionen f¨or att avg¨ ora om en given f¨ oljd a¨r konvergent, a¨r att vi beh¨over k¨anna till det eventuella gr¨ ansv¨ ardet, eftersom definitionen refererar till gr¨ansv¨ardet. F¨oljande sats visar att vi kan avg¨ora en f¨oljds konvergens genom att enbart h¨anvisa till f¨ oljdens termer. Vi hoppar ¨over beviset f¨or satsen eftersom vi inte kommer att utnyttja den annat ¨an i n˚ agot enstaka exempel, men det h¨or till allm¨ anbildningen att k¨ anna till den. Sats 2.2.2 (Cauchys konvergensprincip). En komplex talf¨ oljd (cn )∞ ar konn=1 ¨ vergent om och endast om f¨ oljande villkor ¨ ar uppfyllt: F¨ or varje > 0 finns det ett tal N s˚ a att olikheten |cm − cn | < g¨ aller f¨ or alla n ≥ m ≥ N . Att villkoret ¨ ar n¨ odv¨ andigt ¨ar enkelt att inse. Antag n¨amligen att f¨oljden har ett gr¨ ansv¨ arde c. D˚ a ¨ar per definition limn→∞ |cn − c| = 0, dvs. givet > 0 finns det ett tal N s˚ a att |cn − c| < /2 g¨aller f¨or alla n ≥ N . Om b˚ ade m ≥ N och n ≥ N , s˚ a g¨aller d¨arf¨or p˚ a grund av triangelolikheten att |cm − cn | = |(cm − c) + (c − cn )| ≤ |cm − c| + |c − cn | < /2 + /2 = .
Serier Vi o ar nu till att behandla serier. Sj¨alva begreppet serie och konvergens ¨verg˚ av en serie ˚ aterf¨ ors p˚ a begreppet talf¨oljd och konvergens av talf¨oljd med hj¨ alp av f¨ oljande definition. Definition. L˚ at (cn )∞ oljd av komplexa tal, och s¨att n=1 vara en f¨ SN =
N X
cn ,
N = 1, 2, 3, . . . .
n=1
Man s¨ ager att den o¨ andliga serien ∞ X
cn
n=1
ar konvergent med summa S om f¨oljden (SN )∞ ¨ N =1 av seriens partialsummor (eller delsummor ) ¨ ar en P konvergent f¨oljd med gr¨ansv¨arde S. Man anv¨ander i s˚ a fall ocks˚ a symbolen ∞ or seriens summa. n=1 cn som beteckning f¨ En icke-konvergent serie kallas divergent. P n Exempel 2.2.2. Serien ∞ ar z ¨ar ett komplext tal, kallas en geometn=0 z , d¨ risk serie. Den geometriska serien a¨r konvergent om och endast om |z| < 1, i vilket fall ∞ X 1 zn = . 1−z n=0
2.2 F¨ oljder och serier
21
Vi kan n¨ amligen ber¨ akna partialsummorna och f˚ ar f¨or z 6= 1 att SN =
N X
zk =
k=0
1 − z N +1 , 1−z
medan f¨ orst˚ as SN = N + 1 i fallet z = 1. Det f¨ oljer nu att limN →∞ SN = 1/(1−z) om |z| < 1, samt att gr¨ansv¨ardet inte existerar om |z| ≥ 1. Genom att dela upp termerna cn i en komplex serie i sina real- och imagin¨ ardelar, cn = an + ibn , f˚ ar vi en motsvarande uppdelning av serien i tv˚ a reella serier: (2.1)
∞ X n=1
cn =
∞ X n=1
an + i
∞ X
bn .
n=1
P∞ cn konvergent om och endast om de b˚ ada H¨ar ¨ar den komplexa P∞ serien Pn=1 b a r konvergenta, i vilket fall likheten reella serierna n=1 an och ∞ ¨ n n=1 (2.1) ocks˚ a g¨ aller f¨ or de tre seriernas summor. Att s˚ a a¨r fallet f¨oljer omedelbart av motsvarande resultat f¨ or f¨oljder (sats 2.2.1). D¨arigenom har vi f¨ orst˚ as i princip reducerat alla problem r¨orande komplexa serier till problem f¨ or reella serier. F¨or serier med positiva termer finns det ett flertal olika konvergenskriterier, som samtliga bygger p˚ a det s. k. j¨ amf¨ orelsekriteriet: Om varje term i en given positiv serie ¨ ar mindre ¨ an motsvarande term i en k¨and konvergent positiv serie, s˚ a¨ ar den givna serien ocks˚ a konvergent. D¨arf¨or ¨ar f¨oljande sats mycket anv¨ andbar i de fall d˚ a den ¨ar till¨amplig. P∞ ar konvergent Sats 2.2.3 (Absolutkonvergens). En komplex serie n=1 cn ¨ P∞ om den positiva serien n=1 |cn | ¨ ar konvergent. P P∞ En serie n=1 cn kallas absolutkonvergent om serien ∞ n=1 |cn | konvergerar. En konvergent serie som inte ¨ar absolutkonvergent kallas betingat konvergent. Bevis. Vi ˚ aterf¨ or beviset av satsen p˚ a det reella fallet. P S¨att d¨arf¨or cn = an + ibn . D˚ a¨ ar |an | ≤ |cn | och |bn | ≤ |cn |. Om serien ∞ n=1 |cn | konvergerar,P s˚ a f¨ oljer det av j¨ a mf¨ o relsekriteriet f¨ o r positiva seriet att ocks˚ a serierP∞ ∞ na n=1 |an | och n=1 |bn | konvergerar. Motsvarigheten till P sats 2.2.3 f¨or P∞ ∞ reella serier ger nu att de b˚ ada reella serierna a och n=1 n n=1 bn konP∞ vergerar, ochPf¨ oljaktligen ¨ ar ocks˚ a serien n=1 cn konvergent med summa P ∞ ∞ a + i b . n n n=1 n=1 P∞ Exempel 2.2.3. Om ar en konvergent serie med positiva termer rn , n=1 rn ¨ P∞ int s˚ a ¨ar serien n=1 rn e absolutkonvergent f¨or alla t, eftersom |rn eint | = rn .
22
2 Rekvisita Eftersom den positiva serien ∞ X 1 np
n=1
ar konvergent om (och endast om) p > 1 f˚ ar vi d¨arf¨or som specialfall att ¨ serien ∞ X 1 int e np n=1
ar absolutkonvergent f¨ or alla t om p > 1. ¨ D¨ aremot kan vi inte dra n˚ agon omedelbar slutsats om konvergensen P∞ 1 int f¨ or serien n=1 n e , ty serien ¨ar inte absolutkonvergent eftersom serien P ∞ 1 ¨ serien betingat konvergent f¨or n˚ ar divergent. Ar agra v¨arden p˚ a t? n=1 n ¨ Fr˚ agan som blev h¨ angande i luften i exemplet ovan kan besvaras med hj¨ alp av f¨ oljande sats som generaliserar Leibnitz sats om alternerande serier. Sats 2.2.4. L˚ at (cn )∞ oljd av komplexa tal och antag att det f¨ or n=1 vara en f¨ n˚ agon konstant M g¨ aller att n X c k ≤ M
f¨ or alla n.
k=1
L˚ at vidare (an )∞ oljd av positiva tal med gr¨ ansv¨ arde n=1 vara en avtagande f¨ lim an = 0.
n→∞
D˚ a¨ ar serien
P∞
n=1 an cn
konvergent.
P Bevis. Betrakta den givna seriens partialsummor Sn = nk=1 ak ck ; vi ska visa att dessa konvergerar d˚ a n → ∞, och eftersom vi inte k¨anner gr¨ansv¨ardet anv¨ ander vi Cauchys konvergensprincip (sats 2.2.2). P Vi b¨ orjar med att skriva om summan nk=m+1 ak ck p˚ a ett s¨att som a¨r en direkt motsvarighet till formeln f¨or partiell integration. S¨att
Ck =
k X
cj
j=1
f¨ or k ≥ 1 och C0 = 0. D˚ a blir ck = Ck − Ck−1 f¨or alla k, och vi kan d¨arf¨or
2.2 F¨ oljder och serier
23
g¨ora omskrivningen Sn − Sm =
n X
k=m+1
=
n X
n X
ak ck =
k=m+1
a k Ck −
k=m+1
= a n Cn +
n−1 X
n X
ak (Ck − Ck−1 ) =
n X
ak Ck −
k=m+1
ak Ck−1
k=m+1
ak+1 Ck
k=m n−1 X
(ak − ak+1 )Ck − am+1 Cm .
k=m+1
Applicera nu triangelolikheten p˚ a summan och utnyttja att |Ck | ≤ M f¨or alla k. Detta ger oss olikheten |Sn − Sm | ≤ |an Cn | +
n−1 X
|(ak − ak+1 )Ck | + |am+1 Cm |
k=m+1
= an |Cn | +
n−1 X
(ak − ak+1 )|Ck | + am+1 |Cm |
k=m+1 n−1 X
≤ an M +
(ak − ak+1 )M + am+1 M = 2am+1 M.
k=m+1
Eftersom an → 0 d˚ a n → ∞, finns det givet > 0 ett N s˚ a att olikheten 2am+1 M < g¨ aller s˚ a snart m ≥ N . F¨or n ≥ m ≥ N a¨r d¨arf¨or |Sn − Sm | < , och detta visar att f¨ oruts¨ attningarna i Cauchys konvergensprincipsats ¨ar uppfyllda. F¨ oljden (Sn )∞ ar s˚ aledes konvergent, och n=1 av partialsummor ¨ detta inneb¨ ar att den givna serien konvergerar. Exempel 2.2.4. Med hj¨ alp av sats 2.2.4 kan vi visa att serien ∞ X 1 int e n
n=1
a¨r betingat konvergent f¨ or 0 < t < 2π, ty f¨oljden ( n1 )∞ ¨r avtagande med n=1 a gr¨ansv¨ arde 0, och f¨ or summorna Sn =
n X k=1
e
ikt
it
=e
n−1 X
eit
k
= eit
k=0
1 − eint 1 − eit
har vi uppskattningen |Sn | = |eit | ·
|1 − eint | 2 ≤ =M it |1 − e | |1 − eit |
f¨or alla n.
24
2 Rekvisita
2.3
Normerade vektorrum
Transformerna som vi ska studera kommer att vara definierade f¨or hela klasser av funktioner. F¨ or dessa funktionsklasser g¨aller att linj¨arkombinationer (med komplexa koefficienter) av funktioner i en funktionsklass ocks˚ a tillh¨or klassen samt att det finns ett naturligt s¨att att ange ”storleken” hos funktionerna i klassen. Tv˚ a naturliga kandidater f¨or storleken hos en funktion f som ¨ar definierad p˚ a ett intervall I a ¨r funktionens till beloppet st¨orsta v¨arde respektive integralen av funktionens belopp, dvs. Z |f (t)| dt sup |f (t)| resp. t∈I
I
f¨ orutsatt att dessa kvantiteter ¨ar ¨andliga. Vi ska nu precisera begreppen och illustrera med n˚ agra exempel. Definition. En klass B av komplexv¨arda funktioner som ¨ar definierade p˚ a n˚ agon m¨ angd I, bildar ett komplext vektorrum om varje linj¨arkombination c1 f1 + c2 f2 av funktioner f1 , f2 ∈ B med komplexa koefficienter c1 , c2 ocks˚ a ligger i B. Exempel 2.3.1. L˚ at I vara godtyckligt intervall. Exempel p˚ a komplexa vektorrum av komplexv¨ arda funktioner med I som definitionsm¨angd ¨ar: • C(I), m¨ angden av alla kontinuerliga funktioner p˚ a I; • Cb (I), m¨ angden av alla begr¨ansade, kontinuerliga funktioner p˚ a I; • CK (I), m¨ angden av alla kontinuerliga funktioner som a¨r lika med noll utanf¨ or n˚ agon kompakt delm¨angd av I (d¨ar den kompakta delm¨angden f˚ ar bero av funktionen); • L1 (I), m¨ angden av alla integrerbara funktioner f p˚ a intervallet I med R egenskapen att integralen I |f (t)| dt ¨ar ¨andlig. Eftersom varje kontinuerlig funktion ¨ar begr¨ansad p˚ a kompakta (dvs. slutna och begr¨ ansade) delm¨angder av definitionsm¨angden g¨aller inklusionerna CK (I) ⊆ Cb (I) ⊆ C(I), och om intervallet I ¨ ar kompakt ¨ar f¨orst˚ as CK (I) = C(I). Vidare ¨ ar CK (I) en delm¨angd av L1 (I) eftersom varje kontinuerlig funktion som ¨ ar noll utanf¨ or en kompakt delm¨angd ¨ar integrerbar med ¨andlig integral. Storleken av funktioner m¨ats med hj¨alp av normbegreppet, som definieras s˚ a h¨ ar:
2.3 Normerade vektorrum
25
Definition. En norm k · k p˚ a ett vektorrum B ¨ar en funktion B → R med f¨oljande egenskaper: (i) kf k ≥ 0 f¨ or alla f ∈ B; (ii) kf + gk ≤ kf k + kgk f¨ or alla f, g ∈ B (triangelolikheten); (iii) kcf k = |c|kf k f¨ or alla f ∈ B och alla komplexa tal c; (iv) kf k = 0 ⇒ f = 0. Ett komplext vektorrum med en given norm kallas ett normerat rum. Exempel 2.3.2. L˚ at B vara ett vektorrum av funktioner definierade p˚ a m¨angden I och antag att alla funktionerna i B ¨ar begr¨ansade. (Exempel p˚ a s˚ adana rum ¨ ar CK (I) och Cb (I) f¨or godtyckliga intervall I.) Vi f˚ ar en norm k · k∞ , den s.k. supnormen, p˚ a vektorrummet B genom att definiera kf k∞ = sup |f (t)|. t∈I
Att egenskaperna (i), (iii) och (iv) i normdefinitionen ¨ar uppfyllda ¨ar uppenbart, och egenskap (ii) f¨ oljer av triangelolikheten f¨or komplexa tal, som inneb¨ar att |f (t) + g(t)| ≤ |f (t)| + |g(t)|, och som medf¨ or att kf + gk∞ = sup |f (t) + g(t)| ≤ sup(|f (t)| + |g(t)|) t∈I
t∈I
≤ sup |f (t)| + sup |g(t)| = kf k∞ + kgk∞ . t∈I
t∈I
Om I a a antar en kontinuerlig funk¨r ett kompakt intervall, I = [a, b], s˚ tion p˚ a I sitt supremum i n˚ agon punkt. F¨or funktioner f ∈ C([a, b]) ¨ar d¨arf¨or kf k∞ = max |f (t)|. a≤t≤b
Konvergens i normerade vektorrum F¨or en talf¨ oljd (an )∞ 1 definieras begreppet konvergens i termer av begreppet avst˚ and ; f¨ oljden konvergerar mot a om avst˚ andet |an − a| mellan termen an och a g˚ ar mot noll d˚ a n → ∞. I ett normerat vektorrum B med norm k · k kan vi ocks˚ a definiera avst˚ and p˚ a ett naturligt s¨att − med avst˚ andet mellan tv˚ a element f, g ∈ B menas normen av deras differens, dvs. kf − gk. Detta g¨or f¨oljande definition av begreppet konvergens i ett normerat vektorrum fullst¨andigt naturlig. Definition. En f¨ oljd (fn )∞ ages 1 av element i ett normerat vektorrum B s¨ konvergera mot elementet f ∈ B om lim kfn − f k = 0. n→∞
26
2 Rekvisita
OmP (an )∞ ar en f¨ oljd av element i ett normerat vektorrum, s˚ a menas med 1 ¨ PN ∞ ∞ a f¨ o ljden (S ) serien av partialsummor S = N N =1 N n=1 n n=1 an . Serien kallas konvergent med summa S om f¨oljden P av partialsummor konvergerar mot S. Summan betecknas i s˚ a fall ocks˚ a ∞ n=1 an . Precis som i fallet med talf¨oljder visar man att gr¨anselementet till en konvergent f¨ oljd i ett normerat vektorrum ¨ar entydigt best¨amt samt att summan av tv˚ a konvergenta f¨oljder konvergerar mot summan av de b˚ ada f¨ oljdernas gr¨ anselement. Exempel 2.3.3. F¨ or konvergens i det fall d˚ a det normerade vektorrummet best˚ ar av funktioner som ¨ar begr¨ansade och normen ¨ar supnormen k·k∞ har man f¨ oljande terminologi: F¨ oljden (fn )∞ 1 konvergerar likformigt mot f , om lim kfn − f k∞ = 0. n→∞
Vi kommer att studera likformig konvergens n¨armare i kapitel 4.
¨ Ovningar 2.1 Visa f¨ oljande olikhet f¨or normen i ett normerat rum kf k − kgk ≤ kf − gk. ∞ 2.2 L˚ at (fn )∞ a konvergenta f¨oljder i ett normerat rum 1 och (gn )1 vara tv˚ och s¨ att f = lim fn och g = lim gn . Visa att n→∞
n→∞
a) lim (fn + gn ) = f + g, n→∞
2.4
b) lim kfn k = kf k. n→∞
Rummet L1
¨ Aven om klassen av kontinuerliga funktioner ¨ar stor s˚ a finns det m˚ anga i olika till¨ ampningar f¨ orekommande intressanta och viktiga funktioner som inte ¨ ar kontinuerliga och som vi vill kunna transformera. En funktionsklass som inneh˚ aller alla kontinuerliga funktioner om definitionsintervallet I ¨ar kompakt, och alla kontinuerliga funktioner som avtar tillr¨ackligt snabbt i o¨ andligheten om intervallet I ¨ar obegr¨ansat, ¨ar klassen av alla absolutintegrabla funktioner, som vi nu ska studera. Definition. L˚ at I vara ett intervall. En integrerbar funktion f : I → C kallas absolutintegrabel om Z |f (t)| dt < ∞. I
Rummet av alla absolutintegrabla funktioner p˚ a I betecknas L1 (I). F¨or funktioner f ∈ L1 (I) s¨ atter vi Z 1 kf k1 = |f (t)| dt, d I
2.4 Rummet L1
27
d¨ar d a angden av intervallet I om det ¨ar begr¨ansat, och d = 1 om inter¨r l¨ vallet I a r ansat. ¨ obegr¨ Anm¨ arkning. Normaliseringsfaktorn d ¨ar ditstoppad av det enkla sk¨alet att vi vill att den konstanta funktionen 1 ska ha norm lika med 1 i de fall d˚ a intervallet I ¨ ar begr¨ ansat. (F¨ or obegr¨ansade intervall ligger f¨orst˚ as inga andra konstanta funktioner ¨ an nollfunktionen i L1 (I).) Vi har inte f¨ orklarat vad L i beteckningen L1 (I) st˚ ar f¨or. Svaret ¨ar ”Lebesgue”, ty det i sammanhanget ”r¨atta” integralbegreppet ¨ar inte Riemannintegralen utan den s. k. Lebesgueintegralen som behandlas i mer avancerade kurser i m˚ att- och integrationsteori. Detta ¨ar dock inget som beh¨over bekymra den h¨ ar bokens l¨ asare, som inte kan f¨orv¨antas ha studerat denna integral, ty f¨ or alla Riemannintegrabla funktioner och d¨armed f¨or alla funktioner som kan t¨ ankas f¨ orekomma i till¨ampningarna, ¨ar Lebesgueintegralen lika med Riemannintegralen. F¨ordelen med Lebesgueintegralen ¨ar att fler funktioner blir integrerbara samt att ett antal satser om gr¨ans¨overg˚ ang under integraltecknet f¨ orenklas. Det ¨ar s˚ aledes inte n¨odv¨andigt att precist kunna avg¨ ora vilka funktioner som ing˚ ar i rummet L1 (I) f¨or att f¨orst˚ a och kunna f¨ olja den kommande framst¨allningen av fourierteorin. V¨asentligt ¨ar d¨aremot att veta att rummet har f¨oljande egenskaper, ty dem kommer vi att anv¨ anda oss flitigt av i forts¨ attningen. 1. Rummet L1 (I) ¨ ar ett vektorrum Om f1 , f2 ¨ ar funktioner i L1 (I) och c1 , c2 ¨ar komplexa tal, s˚ a ligger med 1 andra ord funktionen c1 f1 + c2 f2 ocks˚ a i L (I), och Z Z Z (c1 f1 (t) + c2 f2 (t)) dt = c1 f1 (t) dt + c2 f2 (t) dt. I
I
I
2. Rummet L1 (I) ¨ ar ett normerat vektorrum med k·k1 som norm 1 Vi kallar kf k1 f¨ or L -normen av funktionen f . De b˚ ada normegenskaperna kf k1 ≥ 0 och kcf k1 = |c|kf k1 ¨ ar uppenbara, och triangelolikheten kf + gk1 ≤ kf k1 + kgk1 f¨oljer genom integration av olikheten |f (t) + g(t)| ≤ |f (t)| + |g(t)|, som g¨aller f¨or alla t p˚ a grund av triangelolikheten f¨or komplexa tal. F¨or att f˚ a det ˚ aterst˚ aende normkravet att g¨alla, n¨amligen kravet att nollfunktionen ska vara den enda funktionen i rummet som har norm noll, m˚ aste vi emellertid ta till ett trick eftersom likheten Z 1 kf k1 = |f (t)| dt = 0 d I uppenbarligen g¨ aller f¨ or andra funktioner ¨an nollfunktionen. Exempelvis g¨aller likheten f¨ or alla funktioner som ¨ar lika med noll ¨overallt p˚ a intervallet I utom i enstaka punkter.
28
2 Rekvisita
F¨ or att komma runt detta dilemma finns det ingen annan utv¨ag ¨an att betrakta alla funktioner f ∈ L1 (I) med egenskapen att kf k1 = 0 som samma funktion, n¨ amligen nollfunktionen. Och d˚ a m˚ aste vi ocks˚ a betrakta alla funktioner f och g med egenskapen att kf − gk1 = 0 som samma funktion. Om du tycker att detta l˚ ater alltf¨or l¨osligt, s˚ a kan vi g¨ora det hela matematiskt oantastligt p˚ a f¨oljande vis. F¨orst beh¨ovs d˚ a en definition. Definition. Tv˚ a funktioner f och g i L1 (I) s¨ages vara lika n¨ asta ¨ overallt, vilket vi f¨ orkortar som f (t) = g(t) n.¨o., om kf − gk1 = 0. Speciellt ¨ ar allts˚ a f (t) = 0 n.¨o. om kf k1 = 0. D¨ arefter konstaterar vi att egenskapen ”likhet n¨astan o¨verallt” a¨r en ekvivalensrelation, vilket inneb¨ar att (a) f (t) = f (t) n.¨ o. f¨ or alla funktioner f . (b) f (t) = g(t) n.¨ o. ⇒ g(t) = f (t) n.¨o. (c) f (t) = g(t) n.¨ o. & g(t) = h(t) n.¨o. ⇒ f (t) = h(t) n.¨o. Vi kan d¨ arf¨ or partitionera L1 (I) i ekvivalensklasser, d¨ar varje s˚ adan klass best˚ ar av alla funktioner som a¨r lika med varandra n¨astan o¨verallt, och elementen i v˚ art ”nya L1 (I)” f˚ ar nu bli dessa ekvivalensklasser. Detta nya rum blir med naturliga definitioner av linj¨arkombinationer och norm ett normerat vektorrum. Vi avst˚ ar fr˚ an att genomf¨ora detaljerna i denna konstruktion som ¨ ar analog med hur man definierar rationella tal som ekvivalensklasser av br˚ ak s˚ a att exempelvis br˚ aken 1/2, 2/4, 3/6, . . . blir representanter f¨or samma rationella tal. Kontentan av det hela ¨ar ¨and˚ a bara att vi inte ska skilja p˚ a tv˚ a funktioner som ¨ar lika n¨astan ¨overallt eftersom de har samma integral. D˚ a uppst˚ ar naturligtvis fr˚ agan om det finns n˚ agot direkt s¨att att avg¨ora om tv˚ a funktioner a r lika n¨ a stan o verallt som inte bygger p˚ a att man ber¨ak¨ ¨ nar integralen av beloppet av funktionernas differens. Exempelvis ¨ar ju tv˚ a funktioner f och g lika n¨astan ¨overallt om f (t) = g(t) f¨or alla t i intervallet I utom i en punkt, eller i tv˚ a punkter, eller mer generellt i ¨andligt m˚ anga punkter. Det precisa svaret ¨ar att tv˚ a funktioner f och g ¨ar lika n¨astan o ¨verallt om och endast om m¨angden {t | f (t) 6= g(t)} av punkter d¨ar funktionerna skiljer sig ˚ at ¨ ar en nollm¨ angd, d¨ar begreppet nollm¨angd definieras p˚ a f¨ oljande vis. Definition. En delm¨ angd E av de reella talen kallas en nollm¨ angd om det ¨ar m¨ ojligt att t¨ acka ¨ over m¨angden med ¨oppna intervall vars sammanlagda l¨angd ar godtyckligt liten, dvs. om det f¨ or varje P> 0 finns en f¨oljd I1 , I2 , I3 , . . . ¨ S av ¨ oppna intervall s˚ adan att E ⊆ In och n |In | < . (H¨ar betecknar |In | l¨ angden av intervallet In .) Alla ¨ andliga m¨ angder ¨ar f¨orst˚ as nollm¨angder, men ocks˚ a m¨angden Q av alla rationella tal ¨ ar en nollm¨angd.
2.4 Rummet L1
29
Speciellt betraktas allts˚ a en funktion f som lika med nollfunktionen om m¨angden av punkter d¨ ar funktionen a¨r skild fr˚ an noll a¨rR en nollm¨angd. Om g ¨ ar en icke-negativ, kontinuerlig funktion och I g(t) dt = 0, s˚ a ¨ar n¨odv¨andigtvis g(t) = 0 f¨ or alla t. En kontinuerlig absolutintegrabel funktion f med norm kf k1 = 0 ¨ ar d¨ arf¨ or identiskt lika med noll. Om en kontinuerlig funktion ¨ ar noll n¨ astan ¨ overallt, s˚ a¨ ar den f¨ oljaktligen noll ¨ overallt. 3. Delrummet CK (I) av kontinuerliga funktioner som ¨ ar noll ut1 anf¨ or n˚ agon kompakt delm¨ angd av I ¨ ar t¨ att i L (I) Inneb¨orden av detta p˚ ast˚ aende ¨ ar att varje funktion i L1 (I) kan approximeras av en kontinuerlig funktion som ¨ar noll utanf¨or n˚ agon kompakt delm¨angd 1 av I med godtycklig noggrannhet. Givet f ∈ L (I) och > 0 finns det med andra ord en funktion g ∈ CK (I) s˚ adan att kf − gk1 < . Med en analogi kan vi s˚ aledes s¨aga att ur approximationssynpunkt f¨orh˚ aller sig de kontinuerliga funktionerna som ¨ar noll utanf¨or n˚ agon kompakt delm¨angd av I till funktionerna i L1 (I) som de rationella talen g¨or till de reella talen. F¨ or Riemannintegrabla funktioner f visar man p˚ ast˚ aendet genom att f¨ orst approximera funktionen med en trappstegsfunktion och sedan i sin tur approximera trappstegsfunktionen med en styckvis linj¨ar funktion. Figur 2.2 illustrerar det hela.
Figur 2.2. Approximation av integrerbar funktion med styckvis linj¨ar funktion.
1 Att en f¨ oljd (fn )∞ 1 av funktioner i L (I) konvergerar mot funktionen f betyder enligt v˚ ar generella definition av konvergens i ett normerat rum att kfn − f k1 → 0 d˚ a n → ∞. Ibland beh¨over man f¨ortydliga att det a¨r just den konvergensen som det r¨ or sig om (och att det t. ex. inte handlar om punktvis konvergens), och d˚ a s¨ ager man att funktionsf¨oljden konvergerar i 1 1 L -mening mot f ∈ L (T). Att rummet CK (I) ¨ ar t¨ att i L1 (I) inneb¨ar att man f¨or givet f ∈ L1 (I) och varje positivt heltal n kan hitta en funktion gn ∈ CK (I) med egenskapen att kf − gn k1 ≤ 1/n. Man kan med andra ord konstruera en f¨oljd (gn )∞ 1 av kontinuerliga funktioner, d¨ ar varje funktion ¨ar noll utanf¨or n˚ agon kompakt delm¨angd av I, som konvergerar i L1 -mening mot f .
30
2 Rekvisita
¨ Ovningar 2.3 Vilka av f¨ oljande funktioner ligger i L1 ([0, 1])? Ber¨akna i f¨orekommande fall normen. a) f (t) = t−1/2 , 0 < t ≤ 1 b) f (t) = t−1 , 0 < t ≤ 1 c) f (t) = ln t, 0 < t ≤ 1. 2.4 Antag att f ∈ L1 (I), d¨ar I ¨ar ett begr¨ansat intervall, och att |f (t)| ≤ C f¨ or alla t ∈ I. Visa att kf k1 ≤ C.
2.5
Inreproduktrum
Du vet s¨ akert vad som menas med en skal¨arprodukt p˚ a ett reellt vektorrum. Motsvarigheten f¨ or komplexa vektorrum kallas vanligtvis inre produkt, och definitionen av detta begrepp lyder s˚ a h¨ar: Definition. En inre produkt h·,·i p˚ a ett komplext vektorrum V ¨ar en avbildning som f¨ or varje par av element f, g ∈ V ger ett komplext tal hf, gi med f¨ oljande egenskaper: (i1 ) (i2 ) (ii) (iii) (iv)
hc1 f1 + c2 f2 , gi = c1 hf1 , gi + c2 hf2 , gi hf, c1 g1 + c2 g2 i = c1 hf, g1 i + c2 hf, g2 i hf, gi = hg, f i hf, f i ≥ 0 hf, f i = 0 ⇒ f = 0.
Ett komplext vektorrum som f¨orsetts med en inre produkt kallas ett inreproduktrum. Inre produkter ger p˚ a ett naturligt s¨att upphov till normer; den med inre produkten h·,·i associerade normen k · k ¨ar kf k =
p hf, f i.
Samtliga normegenskaper utom triangelolikheten f¨oljer omedelbart ur egenskaperna (i)–(iv) i inre produktdefinitionen. Beviset f¨or triangelolikheten ¨ ar mer intrikat och bygger p˚ a att man f¨orst visar f¨oljande viktiga olikhet: Sats 2.5.1 (Cauchy–Schwarz olikhet). Om h·,·i ¨ ar en inre produkt och k·k ¨ ar motsvarande norm, s˚ a¨ ar |hf, gi| ≤ kf kkgk f¨ or alla f , g. Bevis. Olikheten ¨ ar trivialt sann om f = 0. Antag d¨arf¨or att f 6= 0. P˚ a
2.5 Inreproduktrum
31
grund av inreproduktegenskaperna ¨ar 0 ≤ hλf + g, λf + gi = λλhf, f i + λhf, gi + λhg, f i + hg, gi = |λ|2 kf k2 + λhf, gi + λhf, gi + kgk2 = |λ|2 kf k2 + 2 Re(λhf, gi) + kgk2 f¨or alla komplexa tal λ. V¨ alj nu speciellt λ = −hf, gi/kf k2 . Detta resulterar i olikheten kgk2 − |hf, gi|2 /kf k2 ≥ 0, som efter f¨ orenkling ger oss Cauchy–Schwarz olikhet. Triangelolikheten f¨ oljer nu av f¨oljande r¨akning, som i tur och ordning utnyttjar definitionen av k · k i termer av den inre produkten, egenskapen (i2 ), triangelolikheten f¨ or komplexa tal samt Cauchy–Schwarz olikhet: kf + gk22 = |hf + g, f + gi| = |hf + g, f i + hf + g, gi| ≤ |hf + g, f i| + |hf + g, gi| ≤ kf + gk2 kf k2 + kf + gk2 kgk2 = kf + gk2 (kf k2 + kgk2 ). Om kf + gk2 6= 0, s˚ a erh˚ aller vi den s¨okta triangelolikheten f¨or normen genom att dividera b˚ ada sidor av olikheten ovan med kf + gk2 , och om kf + gk2 = 0 ¨ ar triangelolikheten trivialt sann. Exempel 2.5.1 (Rummet `2 ). En komplexv¨ard f¨oljd (zn )∞ ar ur matema1 ¨ tisk synvikel detsamma som en funktion z : Z+ → C med funktionsv¨ardena z(n) = zn , s˚ a m¨ angden av alla s˚ adana f¨oljder bildar ett vektorrum under vanlig definition av addition och skal¨ar multiplikation. L˚ at nu `2 beteckna m¨ angden av alla f¨oljder z = (zn )∞ 1 som uppfyller villkoret ∞ X |zn |2 < ∞. n=1
Vi ska visa att `2 ¨ ar ett vektorrum och att vi f˚ ar en inre produkt p˚ a rummet genom att definiera (2.2)
hz, wi =
∞ X
z n wn .
n=1
Motsvarande norm blir d˚ a kzk2 =
∞ X n=1
|zn |
2
1 2
.
32
2 Rekvisita
F¨ or att bevisa att `2 ¨ar ett vektorrum r¨acker det att visa att summan av tv˚ a f¨ oljder i `2 ligger i `2 , och att produkten av en komplex skal¨ar och en f¨ oljd i `2 ligger i `2 . ∞ ∞ L˚ at d¨ arf¨ or z = (zP a f¨oljder i `2 , dvs. antag att n )1 och w = (w n )1 vara tv˚ P 2 ar andliga. F¨ de b˚ ada summorna n |zn |2 och P or varje komplext ¨ n |wn | ¨ tal λ ¨ ar d˚ a uppenbarligen summan n |λzn |2 ocks˚ a ¨andlig, s˚ a f¨oljden λz = 2 f¨ (λzn )∞ ligger i ` o r varje komplext tal λ. 1 Genom att kombinera den element¨ara olikheten 2ab ≤ a2 + b2 ,
(2.3)
som g¨ aller f¨ or alla reella tal, med triangelolikheten f¨or komplexa tal erh˚ aller vi olikheten |zn + wn |2 ≤ (|zn | + |wn |)2 = |zn |2 + 2|zn ||wn | + |wn |2 ≤ 2(|zn |2 + |wn |2 ). P P P Det f¨ oljer d¨ arf¨ or att n (|zn + wn |2 ≤ 2( n |zn |2 + n |wn |2 ) < ∞, vilket inneb¨ ar att summan z + w = (wn + zn )∞ or `2 . 1 tillh¨ F¨ or att se att ekvation (2.2) definierar en inre produkt beh¨over vi f¨orst visa att den definierande serien konvergerar. Men p˚ a grund av olikheten (2.3) ¨ ar |zn wn | ≤ 12 |zn |2 + 21 |wn |2 , och d¨arf¨or ¨ar serien absolutkonvergent enligt j¨ amf¨ orelsekriteriet. Vi m˚ aste ocks˚ a visa att villkoren (i)–(iv) i inreproduktdefinitionen ¨ar uppfyllda, men detta ar en enkel verifikation. Exempelvis ¨ar uppenbarligen ¨ P hz, zi = n |zn |2 ≥ 0, och likhet r˚ ader om och endast om alla zn = 0, dvs. om och endast om z = 0. I inreproduktrum definieras p normen k · k i termer av den inre produkten h·,·i via relationen kf k = hf, f i. Omv¨ant kan man rekonstruera den inre produkten utifr˚ an k¨ annedom om normen. Vi har n¨amligen f¨oljande resultat. Sats 2.5.2. F¨ or alla vektorer f, g i ett inreproduktrum g¨ aller att hf, gi =
1 kf + gk2 + ikf + igk2 − kf − gk2 − ikf − igk2 . 4
Bevis. Man bevisar identiteten genom att anv¨anda normdefinitionen och utveckla h¨ ogerledet med hj¨alp av r¨aknereglerna f¨or den inre produkten. Detaljerna l¨ amnas som ¨ ovning.
Ortogonalitet, ON-system och ortogonala projektioner Tv˚ a vektorer f och g i ett inreproduktrum V kallas ortogonala om hf, gi = 0. En familj {fi | i ∈ I} av vektorer i ett inreproduktrum kallas ett ON-system om vektorerna i familjen ¨ar parvis ortogonala och har norm 1, dvs. om hfi , fj i = 0 f¨ or i 6= j och hfi , fi i = 1 f¨or alla i i indexfamiljen I.
2.5 Inreproduktrum
33
Exempel 2.5.2. L˚ at en = (0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . . ) beteckna den talf¨oljd i `2 som best˚ ar av idel nollor utom p˚ a plats nummer n, d¨ar talet ist¨allet a¨r en etta. D˚ a¨ ar uppenbarligen {en | n ∈ Z+ } ett ON-system. P Om z = (zn )∞ ar ett godtyckligt element i `2 , s˚ a ¨ar serien ∞ 1 ¨ n=1 zn en konvergent i `2 med summa z, ty om SN ¨ar den N :te partialsumman, SN =
N X
zn en = (z1 , z2 , . . . , zN , 0, 0, . . . ),
n=1
s˚ a ¨ar 2
2
kSN − zk = k(0, . . . , 0, zN +1 , zN +2 , . . . )k =
∞ X
|zn |2 ,
n=N +1
och amnda summan g˚ ar mot noll d˚ a N → ∞ eftersom serien P∞ den sistn¨ 2 ar konvergent. n=1 |zn | ¨ P∞ Att z = or alla z ∈ `2 betyder emellertid inte att ONn=1 zn en f¨ systemet E = {en | n ∈ Z+ } ¨ ar en bas f¨or rummet `2 . F¨or att en familj F av vektorer ska vara en bas kr¨ avs n¨amligen att varje vektor i rummet p˚ a ett unikt s¨ att ska kunna skrivas som en ¨ andlig linj¨arkombination av vektorerna i familjen F. En ¨ andlig linj¨ arkombination av vektorer i E ¨ar en talf¨oljd som fr˚ an och med en viss punkt bara best˚ ar av nollor. F¨oljden (1/n)∞ 1 , som 2 ligger i ` , kan s˚ aledes inte skrivas som en linj¨arkombination av elementen i ON-systemet E. V˚ ar n¨ asta sats kan ses som en generalisering av Pythagoras sats. Sats 2.5.3. Antag att f och g ¨ ar tv˚ a ortogonala vektorer i ett inreproduktrum. D˚ a¨ ar kf + gk2 = kf k2 + kgk2 . Bevis. kf + gk2 = hf + g, f + gi = hf, f i + hf, gi + hg, f i + hg, gi = kf k2 + hf, gi + hf, gi + kgk2 = kf k2 + kgk2 . L˚ at {ei | i = 1, 2, . . . } vara ett ON-system inreproduktrummet V , och l˚ at W beteckna det linj¨ ara delrum av V som sp¨anns upp av den n f¨orsta vektorerna e1 , e2 , . . . , en i ON-systemet och som f¨oljaktligen best˚ ar av alla linj¨arkombinationer av dessa n vektorer. Vi definierar en linj¨ar avbildning Pn : V → W genom att f¨ or f ∈ V s¨atta Pn f =
n X hf, ei iei . i=1
Avbildningen Pn kallas den ortogonala projektionen av V p˚ a delrummet W av sk¨ al som framg˚ ar av f¨ oljande sats.
34
2 Rekvisita
Sats 2.5.4. L˚ at f vara en godtycklig vektor i V . D˚ a¨ ar f = Pn f + (f − Pn f ) en uppdelning av vektorn f som en summa av tv˚ a parvis ortogonala vektorer. Vektorn Pn f ligger i delrummet W , vektorn f − Pn f ¨ ar ortogonal mot delrummet W och n X 2 kPn f k = |hf, ei i|2 . i=1
Bevis. F¨ or k ≤ n g¨ aller p˚ a grund av inreproduktegenskaperna (i) och (ii) och ortogonalitetsegenskapen hos ON-systemet att hf − Pn f, ek i = hf, ek i − h
n X hf, ei iei , ek i = hf, ek i − hf, ek i = 0. i=1
Vektorn f − Pn f ¨ ar s˚ aledes ortogonal mot vektorerna e1 , e2 , . . . , en , och d¨ armed ocks˚ a mot alla linj¨arkombinationer av dessa, d¨aribland Pn f . Det f¨ oljer vidare av inreproduktegenskaperna (i) och (ii) att n n X X kPn f k2 = hPn f, Pn f i = h hf, ei iei , hf, ek iek i i=1
=
n X n X
k=1
hf, ei ihf, ek ihei , ek i =
n X
|hf, ei i|2 .
i=1
i=1 k=1
Sats 2.5.5 (Bessels olikhet). L˚ at {ei | i = 1, 2.3, . . . } vara ett ON-system i ett inreproduktrum V . F¨ or alla vektorer f ∈ V g¨ aller olikheten ∞ X
|hf, ei i|2 ≤ kf k2 .
i=1
Likhet g¨ aller i olikheten ovan om och endast om lim kPn f − f k = 0.
n→∞
Bevis. Genom att kombinera satserna 2.5.3 och 2.5.4 ser vi att (2.4)
n X
|hf, ei i|2 = kPn f k2 = kf k2 − kf − Pn f k2 ≤ kf k2
i=1
f¨ or alla positiva heltal n. Bessels olikhet f¨oljer d¨arf¨or genom att l˚ ata n g˚ a mot o¨ andligheten. Likhet g¨ aller i Bessels olikhet om och endast om limn→∞ kPn f k2 = kf k2 , och av den andra likheten i (2.4) f¨oljer att detta g¨aller om och endast om limn→∞ kf − Pn f k = 0.
2.5 Inreproduktrum
35
Exempel 2.5.3. I exempel 2.5.2 introducerade vi ON-systemet {en | n ∈ Z} 2 r hz, e i = z , s˚ i rummet `2 . F¨ or z = (zn )∞ a i det h¨ar fallet a¨r det ¨ n n 1 i ` a trivialt sant att vi har likhet ∞ X
|hz, en i|2 = kzk2
n=1
i Bessels olikhet − likheten f¨ oljer ju direkt av definitionen av `2 -normen. ON-system {ei | i = 1, 2, 3, . . . } som ger likhet i Bessels olikhet ¨ar speciellt intressanta, bl. a. av den anledning att de g¨or detP m¨ojligt att ber¨akna normen kf k av ett godtyckligt element som roten ur i |hf, ei i|2 . J¨amf¨or med ON-baser e1 , e2 , . . . , en i reella ¨ andligtdimensionella vektorrum, d¨ar l¨angden av en godtycklig vektor v med koordinaterna x1 , x2 , . . . , xn ges av Pn 2 1/2 med x = hx, e i. Vi inf¨ or d¨arf¨or f¨oljande terminoloatt kvk = i i i=1 xi gi: Definition. Ett ON-system {ei | i = 1, 2, 3, . . . } i ett inreproduktrum V kallas fullst¨ andigt om lim kPn f − f k = 0
n→∞
f¨or alla vektorer f ∈ V . Vi har nu f¨ oljande resultat Sats 2.5.6. L˚ at {ei | i = 1, 2, 3, . . . } vara ett ON-system i ett inreproduktrum V . D˚ a¨ ar f¨ oljande tre villkor ekvivalenta: (i) ON-systemet ¨ ar fullst¨ andigt. ∞ X (ii) kf k2 = |hf, ei i|2 f¨ or alla f ∈ V . (iii) hf, gi =
i=1 ∞ X
hf, ei ihg, ei i
f¨ or alla f, g ∈ V .
i=1
Bevis. Ekvivalensen mellan (i) och (ii) ges av f¨oreg˚ aende sats, och att (iii) medf¨or (ii) f¨ oljer genom att v¨ alja g = f . F¨or att visa att (ii) medf¨ or (iii) utnyttjar vi att vi kan uttrycka den inre produkten i termer av normer (sats 2.5.2), och vi g¨or detta b˚ ade i rummet V och i rummet `2 . S¨ att zi = hf, ei i och wi = hg, ei i. D˚ a ligger f¨oljderna ∞ ada i `2 p˚ z = (zi )∞ a grund av Bessels olikhet, och vi har 1 och w = (wi )1 b˚ d¨arf¨or dels hf, gi =
1 kf + gk2 + ikf + igk2 − kf − gk2 − ikf − igk2 , 4
36
2 Rekvisita
dels ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X 1 X 2 2 2 z i wi = |zi + wi | + i |zi + iwi | − |zi − wi | − i |zi − iwi |2 . 4 i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
Om (ii) g¨ aller, s˚ a ¨ ar varje term i h¨ogerledet av uttrycket f¨or hf, gi lika P arf¨or med motsvarande term i h¨ogerledet av uttrycket f¨or i zi w i , och d¨ P ar hf, gi = i zi wi , dvs. p˚ ast˚ aende (iii) g¨aller. ¨ Om {ei | i = 1, 2, 3, . . . } ¨ar ett godtyckligt ON-system i inreproduktrummet V , s˚ a erh˚ aller vi p˚ a grund av Bessels olikhet en avbildning T : V → `2 genom att s¨ atta T f = (hf, en i)∞ 1 . Avbildningen T ¨ ar uppenbarligen linj¨ar, och om ON-systemet ¨ar fullst¨andigt a r den p˚ a grund av likheten (ii) i sats 2.5.6 ocks˚ a normbevarande, dvs. ¨ kT f k = kf k f¨ or alla f ∈ V . Normbevarande linj¨ara avbildningar kallas isometrier. ¨ avbildningen T ocks˚ Ar a surjektiv, dvs. finns det f¨or varje f¨oljd z = (zn )∞ 1 2 i ` en vektor f s˚ adan att T f = z, eller ekvivalent, s˚ adan att hf, e i = z ? n n P z e , men det f¨ o ruts¨ a tter Den naturliga kandidaten ¨ar i s˚ a fall f = ∞ n=1 n n f¨ orst˚ as att serien ifr˚ aga konvergerar mot n˚ agot element i det normerade rummet B. F¨ or att detta ska g¨alla kr¨avs att det normerade rummet har en egenskap som kallas kompletthet. Att g˚ a in p˚ a detta skulle f¨ora f¨or l˚ angt, utan vi f˚ ar n¨ oja oss med p˚ apekandet att rummet `2 har den egenskapen (vilket ¨ ar trivialt) liksom L2 -rummen, som vi ska definiera i n¨asta avsnitt. Om ON-systemet ¨ ar fullst¨andigt och rummet ¨ar komplett, s˚ a ¨ar med andra ord den linj¨ ara avbildningen T : V → `2 bijektiv och normbevarande. Detta inneb¨ ar att om vi a¨r ute efter egenskaper som bara har med linearitet, norm och inre produkt att g¨ora, s˚ a kan vi identifiera de b˚ ada rummen V och `2 . Alla r¨ akningar i V kan lika g¨arna utf¨oras i `2 ! J¨amf¨or med n-dimensionella reella vektorrum som med en given ON-bas kan identifieras med Rn .
¨ Ovningar 2.5 Vilka av f¨ oljande f¨oljder ligger i `2 ? Ber¨akna i f¨orekommande fall normen. a) (n−1/2 )∞ b) (2−n )∞ 1 1 . 2.6 Visa att om S = {ei | i = 1, 2, 3, . . . } ¨ar ett fullst¨andigt ON-system i ett inreproduktrum, s˚ a finns det inte n˚ agon annan vektor ¨an nollvektorn som ¨ ar ortogonal mot samtliga vektorer i S. Ett fullst¨andigt ON-system a aledes maximalt i den meningen att det inte kan ut¨r s˚ vidgas till n˚ agot st¨orre ON-system. ∞ r tv˚ 2.7 Visa att om (fn )∞ a f¨oljder i ett inreproduktrum som ¨ 1 och (gn )1 a konvergerar mot f resp. g, s˚ a ¨ar lim hfn , gn i = hf, gi. n→∞
2.6 Rummet L2
2.6
37
Rummet L2
I m˚ anga till¨ ampningssammanhang ¨ar den intressanta funktionsklassen inte klassen av absolutintegrabla funktioner, dvs. L1 (I), utan klassen av funktioner vars kvadrater ¨ ar absolutintegrabla. Antag som exempel att vi studerar n˚ agot elektriskt system under ett tidsintervall I och d¨ar sp¨anningen u(t) V ¨ over en resistans p˚ a 1 Ω ¨ar en viktig parameter. Eftersom den av R sp¨anningen utvecklade energin ges av integralen I u(t)2 dt och bara a¨ndliga energier kan f¨ orekomma, ¨ ar det klart att vi kan inskr¨anka oss till att studera sp¨anningsfunktioner u f¨ or vilka ovann¨amnda integral ¨ar ¨andlig. Detta ¨ar ett sk¨al att studera den funktionsklass som vi nu ska definiera. Definition. Med L2 (I) menas rummet av alla funktioner f : I → C som ¨ar integrerbara och uppfyller villkoret Z |f (t)|2 dt < ∞. I
F¨or funktioner f, g ∈ L2 (I) definierar vi 1 hf, gi = d
Z f (t)g(t) dt
och
kf k2 =
I
1 Z d
|f (t)|2 dt
1/2
,
I
d¨ar d a angden av intervallet I om det ¨ar begr¨ansat, och d = 1 om inter¨r l¨ vallet a ansat. ¨r obegr¨ De v¨ asentliga egenskaperna hos rummet L2 (T) ¨ar samlade i f¨oljande sats. Sats 2.6.1. (i) L2 (I) ¨ ar ett inre produktrum med h·,·i som inre produkt och k · k2 som motsvarande norm. (ii) F¨ or begr¨ ansade intervall I ¨ ar L2 (I) ett delrum till L1 (I), och f¨ or varje 2 funktion f ∈ L (I) g¨ aller normolikheten kf k1 ≤ kf k2 . Bevis. (i) F¨ or att visa att L2 (I) ¨ ar ett komplext vektorrum r¨acker det att visa att summan av tv˚ a funktioner i L2 (I) ligger i L2 (I) samt att produkten av ett komplext tal och en funktion i L2 (I) ligger i L2 (I), ty det ¨ar uppenbart att samtliga ¨ ovriga vektorrumsaxiom (som vi ju inte specificerat ordentligt) ¨ar uppfyllda. L˚ at d¨ arf¨ orR f och g vara tv˚ i L2 (T), dvs. antag att de b˚ ada Ra funktioner 2 2 integralerna I |fR(t)| dt och I |g(t)| dt ¨ar ¨andliga. Uppenbarligen ¨ar d˚ a ocks˚ a integralen I |cf (t)|2 dt a ndlig f¨ o r varje komplext tal c, s˚ a funktionen ¨ cf ligger i L2 (I) f¨ or varje c ∈ C Genom att kombinera den element¨ara olikheten 2ab ≤ a2 + b2 ,
38
2 Rekvisita
som g¨ aller f¨ or alla reella tal, med triangelolikheten f¨or komplexa tal erh˚ aller vi olikheten |f (t) + g(t)|2 ≤ (|f (t)| + |g(t)|)2 = |f (t)|2 + 2|f (t)||g(t)| + |g(t)|2 ≤ 2(|f (t)|2 + |g(t)|2 ), och genom att integrera den sistn¨amnda olikheten f˚ ar vi olikheten Z
2
Z
2
|f (t)| dt + 2
|f (t) + g(t)| dt ≤ 2 I
I
Z
|g(t)|2 dt < ∞.
I
som visar att summan f + g ligger i L2 (I). F¨ or att visa att inreproduktegenskaperna ¨ar uppfyllda f¨or den f¨oreslagna inre produkten m˚ aste vi f¨orst visa att definitionen ger oss ett komplext tal hf, gi f¨ or varje par f , g av L2 (I)-funktioner, dvs. att den definierande integralen ¨ ar ¨ andlig, men detta f¨oljer av olikheten 1 |f (t)g(t)| = |f (t)||g(t)| ≤ (|f (t)|2 + |g(t)|2 ) 2 som medf¨ or att integranden f (t)g(t) tillh¨or L1 (I). Att sedan egenskaperna (i)–(iii) i inreproduktens definition ¨ar uppfyllda f¨oljer omedelbart. F¨or att f˚ a egenskap (iv) att g¨ alla m˚ aste vi ta till samma trick som vi gjorde f¨or 1 normen p˚ a L (I); vi m˚ aste R identifiera alla funktioner som ¨ar lika n¨astan overallt, ty av hf, f i = I |f (t)|2 dt = 0 f¨oljer f¨or allm¨anna funktioner f ¨ endast att f (t) = 0 n¨ astan ¨overallt. (ii) Antag att f ∈ L2 (I), och till¨ampa Cauchy–Schwarz olikhet p˚ a de b˚ ada funktionerna |f | and 1; detta ger 1 kf k1 = d
Z |f (t)| · 1 dt = h|f |, 1i ≤ kf k2 · k1k2 = kf k2 < ∞, I
vilket bevisar den angivna olikheten och att f ∈ L1 (I).
¨ Ovningar 2.8 Avg¨ or f¨ or f¨ oljande funktioner f och intervall I om f ∈ L2 (I), samt ber¨ akna i f¨ orekommande fall L2 -normen. a) f (t) = 1/t, I =]0, 1] b) f (t) = 1/t, I = [1, ∞[ c) f (t) = e−|t| , I = R. 2.9 Ge exempel p˚ a en funktion f ∈ L1 (R) som inte tillh¨or L2 (R) och p˚ a en funktion g ∈ L2 (R) som inte tillh¨or L1 (R).
2.7 Diracm˚ attet
2.7
39
Diracm˚ attet
Funktioner karakteriseras av att varje v¨arde p˚ a den oberoende variabeln ger ett unikt v¨ arde p˚ a den beroende variabeln. I m˚ anga sammanhang ¨ar emellertid en funktion f inte i f¨ orsta hand intressant p˚ a grund av sina enskilda funktionsv¨ arden utan p˚ a grund av att den f¨orekommer som ingrediens i en integral av typen Z (2.5) Tf (φ) = φ(t)f (t) dt, R
d¨ar φ ¨ ar en funktion som kan v¨ aljas p˚ a olika s¨att. Exempelvis g¨ aller det f¨ or en slumpvariabel X med t¨ athetsfunktion f att sannolikheten Prob(X ≤ x) att X ska ha ett v¨arde som a¨r mindre a¨n eller lika med x ges av integralen Z Z x χ]−∞,x] (t)f (t) dt = f (t) dt, −∞
R
att v¨ antev¨ ardet E(X) ges av integralen Z tf (t) dt R
och att slumpvariabelns s. k. karakteristiska funktion ges av integralen Z eits f (t) dt. R
F¨or absolutintegrabla funktioner f ¨ar uttrycket Tf (φ) v¨aldefinierat f¨or exempelvis alla kontinuerliga funktioner φ p˚ a R som g˚ ar mot noll i o¨andligheten, och dessa funktioner bildar ett linj¨art rum som brukar betecknas C0 (R). Tf (φ) varierar vidare linj¨ art med φ, dvs. Tf (λ1 φ1 + λ2 φ2 ) = λ1 Tf (φ1 ) + λ2 Tf (φ2 ), och detta betyder att Tf a a rummet C0 (R). Kom¨r en linj¨ar avbildning p˚ plexv¨arda linj¨ ara avbildningar brukar kallas linj¨ ara funktionaler. Den linj¨ara funktionalen Tf ¨ ar slutligen kontinuerlig i den bem¨arkelsen att φn → φ (likformigt) medf¨ or att Tf (φn ) → Tf (φ). Absolutintegrabla funktioner f ger s˚ aledes upphov till kontinuerliga linj¨ara funktionaler Tf genom ekvationen (2.5), men har alla kontinuerliga funktionaler p˚ a rummet C0 (R) denna form? Svaret ¨ar nej! F¨or att kunna beskriva alla kontinuerliga linj¨ ara funktionaler som en slags integraler beh¨ovs det en ny klass av objekt som inkluderar de absolutintegrabla funktionerna som specialfall. Dessa objekt kallas (¨ andliga) m˚ att. Om man beh¨ over namnge ett generellt m˚ att s˚ a brukar man ha en viss f¨ork¨arlek f¨ or den grekiska bokstaven µ, och ist¨allet f¨or att anv¨anda µ(φ) som
40
2 Rekvisita
beteckning f¨ or den linj¨ara funktionalens µ:s v¨arde p˚ a funktionen φ skriver man v¨ ardet som en integral s˚ a att Z φ(t) dµ(t). µ(φ) = R
M˚ atteori spelar en viktig roll f¨or exempelvis sannolikhetsteorin, men vi f˚ ar h¨ ar n¨ oja oss med att beskriva de allra enklaste m˚ atten, n¨amligen de som i sannolikhetsteorin svarar mot diskreta slumpvariabler. Den enklaste slumpvariabeln ¨ ar den som antar ett enda v¨arde helt s¨akert. Motsvarande sannolikhetsm˚ att kallas en punktmassa eller ett Diracm˚ att. Definition. Diracm˚ attet δa i punkten a definieras av att δa (φ) = φ(a) f¨ or alla funktioner φ. F¨ or Diracm˚ attet δ0 i origo anv¨ander vi den kortare beteckningen δ. Trots att Diracm˚ atten inte ¨ar funktioner kommer vi att anv¨anda beteckningss¨ attet Z φ(t)δa (t) dt R
R ist¨ allet f¨ or det mer korrekta δa (φ) eller R φ(t) dδa (t). Men observera att δa (t) inte a ¨r ett funktionsv¨arde.1 Vi har tidigare anv¨ ant fτ som beteckning f¨or den funktion som erh˚ alls av f genom en translation τ enheter ˚ at h¨oger s˚ a att fτ (t) = f (t − τ ). Beteckningen δa f¨ or Diracm˚ attet i punkten a ¨ar f¨orenlig med detta skrivs¨att eftersom δa ocks˚ a kan uppfattas som ett translat till Diracm˚ attet δ i origo. Formeln f¨ or linj¨ art variabelbyte i en integral fungerar ocks˚ a f¨or Diracm˚ attet i den betydelsen att Z Z Z φ(t)δa (t) dt = φ(t)δ(t − a) dt = φ(u + a)δ(u) du = φ(0 + a) = δa (φ). R
R
R
De enda m˚ att som kommer att figurera i den h¨ar boken (och som inte aP r funktioner) ¨ ar Diracm˚ att och summor avP Diracm˚ att. Linj¨arkombinationer ¨ n ∞ λ δ och o¨ a ndliga summor av typen λ δ j j=1 j aP j=1 j aj med koefficienter som ∞ uppfyller j=1 |λj | < ∞ ¨ar f¨orst˚ as ocks˚ a m˚ att. Exempel 2.7.1. Ett f¨ orem˚ al med massa m kan r¨ora sig utefter en linje, xaxeln. F¨ or tidpunkter t ≤ 0 befinner det sig i vila i origo. F¨or t ≥ 0 p˚ averkas det av en kraft f (t), som s¨atter f¨orem˚ alet i r¨orelse s˚ a att det vid tiden t befinner sig i punkten x(t) och har hastigheten v(t) = x0 (t). 1
Fysiker, som inte ¨ ar lika noga som matematiker, kallar dock δ f¨ or Diracfunktionen.
2.7 Diracm˚ attet
41
f (t) x(t)
Figur 2.3. Ett f¨ orem˚ al p˚ averkat av kraften f (t).
F¨orem˚ alets r¨ orelse beskrivs av Newtons lag: f (t) = mx00 (t) = mv 0 (t), och genom att integrera denna ekvation ¨over intervallet ]−∞, t] erh˚ aller vi (eftersom f (t) = 0 f¨ or t ≤ 0): Z t Z t Z t v 0 (s)ds = mv(t) − mv(0) = mv(t). f (s) ds = m f (s) ds = −∞
0
0
I fysiken kallar man I(t) = mv(t) f¨or f¨orem˚ alets impuls, och sambandet ovan inneb¨ ar allts˚ a att f¨ or¨ andringen av ett f¨orem˚ als impuls ¨over ett tidsintervall ¨ar lika med integralen av kraften ¨over samma intervall. Om vi antar att kraften f (t) ¨ ar lika med 0 utanf¨or intervallet [0, T ], att m = 1 och att RT f (t)dt = 1, och plottar kraften respektive impulsen som funktioner av 0 tiden, f˚ ar vi grafer som dem i figur 2.4.
f (t)
T
1
t
I(t)
T
t
Figur 2.4. Kraften respektive impulsen som funktion av tiden.
L˚ at nu f¨ orem˚ alet ifr˚ aga vara en biljardboll, som vid tidpunkten t = 0 uts¨atts f¨ or en kraftig st¨ ot. Tidsintervallet [0, h] under vilket st¨otkraften verkar p˚ a bollen ¨ ar mycket kort − l˚ at oss anta att ( 1/h d˚ a 0 ≤ t ≤ h, fh (t) = 0 f¨or o¨vrigt. Impulsen blir d˚ a f¨or t ≤ 0, 0 t Ih (t) = fh (s) ds = t/h f¨or 0 ≤ t ≤ h, ∞ 1 f¨or t ≥ h. Z
Graferna f¨ or kraften fh (t) och impulsen Ih (t) visas i figur 2.5.
42
2 Rekvisita
1/h
fh (t) Ih (t)
1
h
t
t
h
Figur 2.5. St¨otkraft fh (t) och motsvarande impuls Ih (t).
Vi unders¨ oker gr¨ ansv¨ardet av Ih (t) d˚ a h g˚ ar mot 0. Tydligen ¨ar ( 0 om t ≤ 0, lim Ih (t) = h→0 1 om t > 0. Detta ger oss anledning att introducera Heavisidefunktionen H som definieras av att ( 0 om t < 0, H(t) = 1 om t ≥ 0.
1
H(t)
t
Figur 2.6. Heavisidefunktionen.
Tydligen g˚ ar impulsfunktionen Ih (t) punktvis mot H(t) d˚ a h g˚ ar mot 0, utom i punkten t = 0, men gr¨ansv¨ardet i en enstaka punkt ¨ar ov¨asentligt f¨ or den kommande diskussionen. Heavisidefunktionen beskriver d¨arf¨or impulsen med god approximation f¨or krafter som verkar under mycket kort tid. Slutsatsen g¨ aller ¨ aven om st¨otkraften har ett annat utseende ¨an det som ges av figur 2.5. F¨ or alla kraftfunktioner fh (t) som a¨r 0 utanf¨or intervallet [0, h] och vars integral ¨ over intervallet [0, h] ¨ar lika med 1, g¨aller att motsvarande impulsfunktioner Ih (t) konvergerar mot Heavisidefunktionen d˚ a h → 0. (Om integralen av kraftfunktionen ist¨allet ¨ar konstant lika med α, s˚ a konvergerar impulsen mot αH(t).) Vi g¨ or d¨ arf¨ or en idealisering av verkligheten och s¨ager att impulsen vid en st¨ ot ges av Heavisidefunktionen (eller en multipel av densamma). Men
2.7 Diracm˚ attet
43
kan man d˚ a p˚ a n˚ agot vettigt sett beskriva impulsen som en integral av n˚ agonting, dvs. a r ¨ Z t (2.6) H(t) = f (s) ds −∞
f¨or n˚ agon ”kraft” f ? Problemet ¨ar att det inte kan finnas n˚ agon funktion f som ˚ astadkommer detta. F¨ or alla intervall [a, b] som inte inneh˚ aller 0 ¨ar Rb − H(a) = 0. Om f ¨ar en integrerbar funktion, s˚ a f˚ ar vi a f (s) ds = H(b) R0 d¨arf¨or dels att −∞ f (s) ds = 0 (genom att l˚ ata a → −∞ och b → 0− ), Rt dels att 0 f (s) ds = 0 (genom att l˚ ata a → 0+ och v¨alja b = t > 0) med Rt R0 Rt slutsatsen att −∞ f (s) ds = −∞ f (s) ds + 0 f (s) ds = 0 f¨or t > 0, vilket strider mot definitionen av Heavisidefunktionen H. Diracm˚ attet δ l¨ oser v˚ art problem, ty ( Z t Z 0 om t < 0 δ(s) ds = χ]−∞,t] (s) δ(s) ds = χ]−∞,t] (0) = = H(t). 1 om t ≥ 0 −∞ R Vi har allts˚ a ett objekt f (t) = δ(t) som uppfyller ekvation (2.6) och som st¨otkrafterna fh (t) ”konvergerar” mot d˚ a h → 0. Eftersom δ(t) inte ¨ar en funktion r¨ or det sig om en helt annan typ av konvergens ¨an dem vi st¨ott p˚ a hittills.
Historiska notiser Den matematiska analysens pionj¨ arer Isaac Newton(1642–1727) och Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) anv¨ande sig av ett intutivt integralbegreppet som var kopplat till begreppet derivata via integralkalkylens fundamentalsats. Detta var oproblematiskt eftersom endast funktioner givna av analytiska uttryck var f¨orem˚ al f¨ or integration. Behovet av en rigor¨ os integraldefinition uppstod d¨arf¨or f¨orst i samband med att sj¨ alva funktionsbegreppet vidgades, vilket skedde runt 1830. Bernhard Riemann (1826–1866) ger en precis definition av integralbegreppet ˚ ar 1854 i sin habilitationsskrift som handlar om trigonometriska serier. Riemannintegralen, som ¨ ar den integral som l¨ ars ut i grundl¨aggande matematikkurser, ¨ar fullt tillr¨ acklig f¨ or den ¨ overv¨ agande delen av praktiska till¨ampningar, men den har en allvarlig brist i det att den inte uppf¨or sig speciellt v¨al vid gr¨ans¨overg˚ ang under integraltecknet. I mer avancerade sammanhang anv¨ands d¨arf¨or Lebesgueintegralen som introducerades 1904 av Henri Lebesgue (1875–1941). Exempel p˚ a en avg¨orande skillnad mellan Lebesgue- och Riemannintegralerna (som vi dock i den h¨ar framst¨allningen bara kommer att anv¨ anda en passant) ¨ar att med Lebesgueintegralen blir rummet L2 (R) fullst¨ andigt, dvs. varje Cauchyf¨oljd av funktioner i L2 (R) konvergerar mot en gr¨ ansfunktion i L2 (R). Om rummet L2 (R) ist¨allet skulle ha definierats med hj¨ alp av Riemannintegralen s˚ a skulle det inte ha denna egenskap.
Kapitel 3
Fourierserier Fourieranalys g˚ ar generellt ut p˚ a att representera funktioner som summor eller integraler av enkla best˚ andsdelar. N¨ar funktionerna ¨ar periodiska ¨ar dessa enkla best˚ andsdelar sinusfunktioner med frekvenser som st˚ ar i ett harmoniskt f¨ orh˚ allande till varandra, vilket betyder att samtliga frekvenser ¨ar heltalsmultipler av en gemensam grundfrekvens, och representationen har formen av en o¨ andlig summa av s˚ adana sinusfunktioner, fourierserien. F¨or funktioner f med perioden 2π inneb¨ar detta att fourierserien har formen A0 +
∞ X
An sin(nt + φn )
n=1
eller, om man uttrycker sinusfunktionerna med hj¨alp av Eulers formler, ∞ X
cn eint .
n=−∞
I det h¨ ar kapitlet ska vi visa hur man best¨ammer en funktions fourierserie och hur den p˚ averkas av enkla transformationer av funktionen. Vi kommer ocks˚ a att formulera n˚ agra satser om fourierseriens konvergens − bevisen f¨ or dessa ¨ ar ganska komplicerade och kr¨aver en del f¨orberedelser, s˚ a de behandlas f¨ orst i n¨ asta kapitel.
3.1
Periodiska funktioner
Vi p˚ aminner om att en funktion f : R → C kallas periodisk om det finns ett nollskilt tal P s˚ adant att f (t + P ) = f (t) f¨or alla t ∈ R. Talet P kallas i s˚ a fall en period till funktionen. Om funktionen f ¨ ar periodisk med period P , s˚ a ¨ar ocks˚ a f (t + 2P ) = f (t + P ) = f (t) = f (t − P ) = f (t − 2P ) 45
46
3 Fourierserier y
P
t
Figur 3.1. Periodisk funktion.
och mer allm¨ ant att f (t + nP ) = f (t) f¨ or alla heltal n. Funktionens period ¨ar s˚ aledes inte entydigt best¨amd eftersom nP a r en period f¨ o r alla nollskilda heltal n. ¨ Om P1 och P2 ¨ ar tv˚ a (olika) perioder till en funktion, s˚ a ¨ar f (t + P1 − P2 ) = f (t + P1 ) = f (t) f¨ or alla t, s˚ a differensen P1 − P2 ¨ar ocks˚ a en period. H¨arav f¨oljer, vilket vi l¨ amnar som ¨ ovningsuppgift att visa, att om en periodisk funktion har en minsta positiv period P0 , s˚ a ¨ar alla andra perioder heltalsmultipler av denna minsta period. En periodisk funktion kan sakna minsta positiv period − exempelvis saknar f¨ orst˚ as alla konstanta funktioner en minsta period − men i s˚ a fall m˚ aste funktionen ha godtyckligt sm˚ a positiva perioder. Alla icke-konstanta, kontinuerliga, periodiska funktioner har en minsta positiv period. Varje periodisk funktion med period P ¨ar fullst¨andigt best¨amd av sina v¨ arden p˚ a ett godtyckligt halv¨oppet intervall av l¨angd P , exempelvis intervallet [0, P [ eller intervallet ]−P/2, P/2]. Omv¨ ant kan varje funktion f som ursprungligen ¨ar definierad p˚ a ett halv¨ oppet intervall I = [a, b[ av l¨angd P utvidgas till en periodisk funktion f˜ med period P ; den utvidgade funktionen definieras av att f˜(t+nP ) = f (t) f¨ or t ∈ I och n ∈ Z. Se figur 3.2. y
y
a
a+P t
a − 2P a − P
a
a + P a + 2P a + 3P a + 4P a + 5P t
Figur 3.2. Funktion f (v¨anster) och funktionens periodiska utvidgning f˜ (h¨ oger).
3.1 Periodiska funktioner
47
Observera att f¨ or att den utvidgade funktionen f˜ skall vara kontinuerlig p˚ a hela reella axeln r¨ acker det inte att funktionen f a¨r kontinuerlig p˚ a det halv¨ oppna intervallet I, utan dessutom m˚ aste h¨ogergr¨ansv¨ardet limt→a+ f (t) av f i den v¨ anstra ¨andpunkten av intervallet vara lika med v¨anstergr¨ ansv¨ ardet limt→b− f (t) av f i den h¨ogra ¨andpunkten av samma intervall. Detta beror p˚ a att lim f˜(t) = lim f (t) och lim f˜(t) = lim f (t). t→a−
t→b−
t→a+
t→a+
En motsvarande anm¨ arkning g¨aller f¨orst˚ as betr¨affande deriverbarhet.
Perioditetsbevarande operationer Summor och produkter av periodiska funktioner med samma period P ¨ar uppenbarligen ocks˚ a periodiska med period P . Exempelvis ¨ ar funktionen sin 2t + 3 cos 3t periodisk med perioden 2π eftersom detta ¨ ar en gemensam period till de b˚ ada funktionerna sin 2t och cos 3t. Vi p˚ aminner om att translatet Tτ f till den funktion f ges av att Tτ f (t) = f (t−τ ) f¨ or alla t. Om funktionen f ¨ar periodisk med period P , s˚ a ¨ar samtliga translat Tτ f periodiska med samma period P , ty Tτ f (t + P ) = f (t + P − τ ) = f (t − τ ) = Tτ f (t) f¨or alla t. Om f : R → C ¨ ar en godtycklig funktion och a ¨ar ett nollskilt reellt tal, s˚ a s¨ager vi att funktionen Sa f : R → C som definieras av att Sa f (t) = f (at), erh˚ allits av f genom en skalning (p˚ a argumentsidan). Periodicitet bevaras ocks˚ a under skalning, men nu f¨ or¨ andras periodl¨angden: Om funktionen f ¨ar periodisk med period P s˚ a¨ ar den omskalade funktionen Sa f periodisk med period P/a. Eftersom varje heltalsmultipel av en period ocks˚ a ¨ar en period, drar vi slutsatsen att i de fall d˚ a skalningsfaktorn a ¨ar ett heltal och funktionen f ¨ar periodisk med period P , s˚ a¨ ar P ocks˚ a en period till den skalade funktionen Sa f . Om vi vill studera periodiska funktioner, kan vi utan inskr¨ankning koncentrera oss p˚ a funktioner med en specifik period P0 . Om f ¨ar en godtycklig funktion med period P och vi v¨ aljer a = P/P0 , s˚ a blir n¨amligen den skalade funktionen g = Sa f periodisk med period P0 . Olika egenskaper hos den periodiska funktionen g kan vi sedan enkelt ¨overs¨atta till egenskaper hos f eftersom vi ˚ aterf˚ ar funktionen f ur funktionen g genom en ny skalning som f = S1/a g. Den speciella periodl¨angd som vi kommer att v¨alja lite l¨angre fram ¨ ar P0 = 2π, och det beror f¨orst˚ as p˚ a att v˚ ara element¨ara trigonometriska funktioner sinus och cosinus har just den periodl¨angden.
48
3 Fourierserier
Exempel 3.1.1. Funktionen sin(2t+3) kan f˚ as ur funktionen sin t genom att f¨ orst utf¨ ora en translation (med −3 enheter), vilket bevarar periodl¨angden, och sedan skala argumentet med skalningsfaktorn 2, vilket halverar periodl¨ angden. Funktionens (minsta) period ¨ar s˚ aledes π.
Integralen o angd ¨ver en periodl¨ Integralen av en periodisk funktion ¨over ett intervall av periodens l¨angd ¨ar oberoende av intervallets l¨age p˚ a reella axeln. Detta ¨ar geometriskt uppenbart (se figur 3.3), och ett formellt bevis erh˚ alls med hj¨alp av n˚ agra enkla variabelbyten p˚ a f¨ oljande vis. Antag att funktionen f har period P och betrakta integralen ¨over intervallet [a, a + P ]. F¨ or att visa att denna integral ¨ar lika med integralen over intervallet [0, P ], best¨ammer vi f¨orst heltalet n s˚ a att talet b = a − nP ¨ ligger i det halv¨ oppna intervallet [0, P [. Med hj¨alp av tv˚ a variabelbyten f˚ ar vi sedan Z a+P Z (n+1)P Z a+P (3.1) f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt a
a
Z
(n+1)P (n+1)P
Z
a+P
f (t − nP ) dt +
= a
Z
P
b
Z f (u) du +
= b
0
P
f (t − (n + 1)P ) dt (n+1)P Z P
f (u) du =
f (u) du.
0
0
a
a+P
t
Figur 3.3. Integralen av en periodisk funktion over en periodl¨angd ¨ar oberoende av intervallets ¨ l¨ age.
Ett annat s¨ att att uttrycka likheten (3.1) ¨ar att integralen ¨over ett intervall av periodens l¨ angd ¨ar densamma f¨or alla translat av funktionen f . Vi kan generalisera detta genom att ¨aven till˚ ata skalningar med heltalsfaktorer och f˚ ar d˚ a f¨ oljande resultat. Sats 3.1.1. Antag att funktionen f ¨ ar integrerbar och periodisk med period P , att n ¨ ar ett nollskilt heltal och att τ ¨ ar ett godtyckligt reellt tal. D˚ a¨ ar Z P Z P f (nt + τ ) dt = f (t) dt. 0
0
3.2 Trigonometriska polynom
49
Bevis. Varje variabelbyte av typen u = nt + τ kan skrivas som en sammans¨attning av en translation u = t + c, en skalning u = nt med n > 0 och (om n < 0) en inversion u = −t, och det r¨acker att visa likheten i satsen f¨or dessa tre specialfall. Genom att utnyttja att integralen av f ¨over ett godtyckligt intervall av l¨ angd P ¨ ar lika med integralen ¨over intervallet [0, P ] f˚ ar vi i respektive fall efter variabelbyte: Z P Z c+P Z P f (u) du; f (u) du = f (t + c) dt = 0
c
0 P
Z 0
Z
P
n Z 1 X kP f (u) du = f (u) du n 0 k=1 (k−1)P Z P n Z 1X P = f (u) du = f (u) du; n 0 k=1 0 Z −P Z 0 Z P f (−t) dt = − f (u) du = f (u) du = f (u) du.
1 f (nt) dt = n
0
Z
0
nP
−P
0
¨ Ovningar 3.1 Best¨ am den minsta positiva perioden till funktionen f (t) = sin 6πt. 3.2 Definiera funktionen f genom att s¨atta f (t) = 0 om t ¨ar ett rationellt tal och f (t) = 1 om t a ¨r ett irrationellt tal. Vad har denna funktion f¨or perioder? 3.3 Anta att P och P0 ¨ ar tv˚ a perioder till en periodisk funktion. Visa att f¨or varje heltal n ¨ ar P − nP0 ocks˚ a en period eller lika med 0. Utnyttja sedan detta f¨ or att visa att om en periodisk funktion har en minsta positiv period P0 , s˚ a ¨ ar varje annan period P en heltalsmultipel av P0 . 3.4 Visa att om periodisk funktion saknar minsta positiv period, s˚ a m˚ aste den ha godtyckligt sm˚ a perioder. 3.5 Visa att om en periodisk kontinuerlig funktion saknar minsta positiv period, s˚ a¨ ar den konstant. 3.6 Funktionen f ¨ ar periodisk med period 2 och f¨or 0 ≤ t < 2 ¨ar f (t) = t2 . R1 Ber¨ akna integralen −1 f (t) dt.
3.2
Trigonometriska polynom
Sinusoiden Den rena sinusv˚ agen eller sinusoiden ¨ar en grundl¨aggande v˚ agform inom akustik, elektricitetsl¨ ara, signal- och bildbehandling och m˚ anga andra till-
50
3 Fourierserier
l¨ ampningar. Matematiskt beskrivs en s˚ adan v˚ ag med tiden t som variabel av den periodiska funktionen (3.2)
f (t) = A sin(ωt + φ).
H¨ ar ¨ ar A och ω positiva tal och φ ¨ar ett reellt tal. Talet A kallas amplituden och anger v˚ agens maximala avvikelse fr˚ an j¨amviktsl¨aget, ω kallas vinkelfrekvensen och φ kallas fasvinkeln. Fasvinkeln specificerar var i cykeln sv¨ angningarna b¨ orjar d˚ a t = 0, och j¨amf¨ort med v˚ agen A sin(ωt) ¨ar v˚ agen (3.2) f¨ orskjuten φ/ω tidsenheter ˚ at v¨anster. V˚ agfunktionen f ¨ ar periodisk med minsta period P =
2π . ω
V˚ agens frekvens ν, dvs. antalet perioder eller cykler per tidsenhet, a¨r f¨oljaktligen ω 1 = , ν= P 2π vilket ger oss sambandet ω = 2πν mellan vinkelfrekvens och frekvens. y 1
−1
1
2
3
t
Figur 3.4. Sinusoiden y = 0.8 sin(4πt + 5).
V˚ agframst¨ allningen (3.2) har den f¨ordelen att de ing˚ aende parametrarna har omedelbara fysikaliska tolkningar, men den matematiska behandlingen f¨ orenklas av n˚ agra omformuleringar. Genom att utnyttja additionsformeln sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y kan vi skriva v˚ agfunktionen (3.2) p˚ a trigonometrisk form som (3.3)
f (t) = a cos ωt + b sin ωt
med f¨ oljande samband mellan parametrarna A, φ och parametrarna a, b: a = A sin φ, b = A cos φ.
3.2 Trigonometriska polynom
51
Omv¨ant ˚ aterf˚ ar vi f¨ orst˚ as amplitud-fasvinkelframst¨allningen (3.2) ur formeln (3.3) genom att s¨ atta p A = a2 + b2 , och sedan best¨ amma fasvinkeln φ som en l¨osning till systemet sin φ = a/A, cos φ = b/A. Ytterligare en mycket anv¨ andbare variant, exponentialformen, erh˚ alls genom att utnyttja Eulers formler 1 1 cos t = (eit + e−it ), sin t = (eit − e−it ). 2 2i Ins¨attning av dessa i ekvation (3.3) leder efter f¨orenkling till formeln f (t) = C− e−iωt + C+ eiωt , d¨ar
1 1 C− = (a + ib), C+ = (a − ib). 2 2 I andra riktningen a r ¨ a = C− + C+ , b = i(C+ − C− ).
Trigonometriska polynom Linj¨arkombinationer som bildas av en konstant och sinusoider vars frekvenser ¨ar multipler av en given fix frekvens, kallas trigonometriska polynom. Med sinusoiderna skrivna p˚ a trigonometrisk form f˚ ar vi f¨oljande definition: Definition. Ett trigonometriskt polynom ¨ar en ¨andlig summa av typen N
PN (t) =
a0 X (an cos nωt + bn sin nωt), + 2 n=1
d¨ar koefficienterna a0 , a1 , . . . , aN , b1 , . . . , bN ¨ar godtyckliga komplexa tal. Trigonometriska polynom ¨ ar kontinuerliga periodiska funktioner med period 2π/ω. Att vi kallar den konstanta termen f¨or a0 /2 och inte a0 beror p˚ a att det kommer att ge oss snyggare formler f¨or koefficienterna l¨angre fram. Genom att utnyttja Eulers formler kan vi skriva det trigonometriska polynomet i definitionen ovan p˚ a formen P (t) =
N X
cn einωt
k=−N
med f¨oljande samband mellan koefficienterna: 1 1 c0 = a0 , cn = (an − ibn ), c−n = 2 2 an = cn + c−n , bn = i(cn − c−n ),
1 (an + ibn ), 2 n = 1, 2, 3, . . .
52
3 Fourierserier
6 5 4 3 2 1 0 −1 −2
π
2π
3π
4π t
Figur 3.5. Det trigonometriska polynomet 1.75 + cos t − sin 2t − 0.25 cos 3t + 2 sin 4t.
Exempel 3.2.1. Skriv cos3 t som ett trigonometriskt polynom. L¨ osning: Funktionen cos3 t har inte den r¨atta formen, men genom att utnyttja att cos kt = 21 (eikt + e−ikt ) och kombinera med binomialsatsen f˚ ar vi 1 1 cos3 t = (eit + e−it )3 = (e3it + 3e2it e−it + 3eit e−2it + e−3it ) 8 8 1 3it 1 3 = (e + 3eit + 3e−it + e−3it ) = cos 3t + cos t. 8 4 4
Dirichlets polynom Det trigonometriska polynomet DN (t) =
N X
eint
n=−N
kommer att spela en viktig roll l¨angre fram. Polynomet kallas Dirichlets polynom av grad N , och vi kan best¨amma ett explicit uttryck f¨or det eftersom det ¨ ar en geometrisk summa av 2N + 1 termer med e−iN t som f¨orsta term och eit som kvot. Med hj¨alp av summaformeln och Eulers former erh˚ alls: ei(2N +1)t − 1 ei(N +1)t − e−iN t = eit − 1 eit − 1 1 1 sin(N + 21 )t ei(N + 2 )t − e−i(N + 2 )t · = . t t sin 12 t ei 2 − e−i 2
DN (t) = e−iN t · t
=
ei 2 t
ei 2
F¨ or t = 0 ¨ ar f¨ orst˚ as DN (0) = 2N + 1, vilket ocks˚ a ¨ar lika med gr¨ansv¨ardet av h¨ ogerledet ovan d˚ a t → 0. Dirichlets polynom ¨ ar uppenbarligen j¨amnt, dvs. DN (−t) = DN (t).
3.3 Fourierserien
53
10
5
−π
π
t
Figur 3.6. Dirichlets polynom D4 (t).
¨ Ovningar 3.7 Skriv sinusoiden y = 3 sin(2t + 4π ) p˚ a exponentialform. 3.8 Visa att summan av tv˚ a sinusoider med samma vinkelfrekvens ω ¨ar en ny sinusoid med vinkelfrekvensen ω. 3.9 Visa att summan C+ eiωt + C− e−iωt ¨ar en sinusoid A sin(ωt + φ) med reell amplitud A om och endast om C− = C+ . 3.10 Skriv cos3 t som ett trigonometriskt polynom p˚ a amplitud-fasvinkelform. 3.11 Skriv sin4 t som ett trigonometriskt polynom p˚ a exponentialform och p˚ a trigonometrisk form. 3.12 Skriv Dirichlets polynom DN (t) p˚ a trigonometrisk form, dvs. som en summa av sinus- och cosinusfunktioner. 3.13 Hur m˚ anga nollst¨ allen har DN (t) p˚ a intervallet [−π, π]?
3.3
Fourierserien
V˚ art m˚ al a amligen godtyckliga periodiska funktioner som ¨r att representera t¨ trigonometriska serier. Eftersom varje periodisk funktion kan transformeras till en funktion med period 2π med hj¨alp av en skalning, kan vi d˚ a utan att f¨orlora i generalitet anta att perioden hos de studerade funktionerna ¨ar just 2π, n˚ agot som kommer att f¨ orenkla en del formler. Forts¨attningsvis anv¨ander vi d¨arf¨ or begreppet periodisk funktion i betydelsen periodisk funktion med period 2π, om inte annat s¨ ags explicit.
54
3 Fourierserier
Rummet L1 (T) ¨ Aven om klassen av kontinuerliga periodiska funktioner ¨ar stor, s˚ a finns det f¨ orst˚ as m˚ anga i olika till¨ampningar f¨orekommande intressanta och viktiga funktioner som inte ¨ ar kontinuerliga och som vi vill kunna fourierserieutveckla. Tv˚ a exempel p˚ a diskontinuerliga signaler fr˚ an signalteorin a¨r ”fyrkantsv˚ agen” och ”s˚ agtandsv˚ agen”, som visas i figur 3.7.
Figur 3.7. Fyrkantsv˚ ag och s˚ agtandsv˚ ag
En funktionsklass som inneh˚ aller alla kontinuerliga och alla begr¨ansade styckvis kontinuerliga periodiska funktioner ¨ar klassen av alla periodiska funktioner som a ¨r absolutintegrabla o¨ver en period, dvs. o¨ver ett intervall av l¨ angd 2π. F¨ or dem och f¨or de kontinuerliga periodiska funktionerna inf¨or vi f¨ oljande beteckningar. Definition. Klassen av alla kontinuerliga periodiska funktioner med period 2π betecknas C(T), och klassen av alla periodiska funktioner med period 2π som ¨ ar absolutintegrabla ¨over ett intervall av periodens l¨angd betecknas L1 (T). Bokstaven T i beteckningen ¨ar vald d¨arf¨or att den ¨ar f¨orsta bokstav i ordet ”torus”. Periodiska funktioner kan n¨amligen p˚ a ett naturligt s¨att uppfattas som funktioner definierade p˚ a enhetscirkeln, den endimensionella torusen. Klassen C(T) ¨ ar ett normerat vektorrum med kf k∞ = max |f (t)| 0≤t≤2π
som norm, och rummet inneh˚ aller uppenbarligen alla trigonometriska polynom. Eftersom en periodisk funktion ¨ar entydigt best¨amd av sina v¨arden i exempelvis intervallet [0, 2π], kan vi uppenbarligen identifiera rummet L1 (T) med L1 ([0, 2π]) som vi studerade i avsnitt 2.4, och som norm i L1 (T) anv¨ander vi f¨ oljaktligen Z 2π 1 kf k1 = |f (t)| dt. 2π 0 F¨ or att bli av med faktorn 1/2π i en m¨angd formler visar det sig praktiskt
3.3 Fourierserien
55
att inf¨ ora den normaliserade integralen Z
1 f (t) dt = 2π T
R
T f (t) dt
genom att s¨atta
2π
Z
f (t) dt. 0
P˚ a grund av periodiciteten ¨ ar d˚ a f¨orst˚ as Z
1 f (t) dt = 2π T
Z
b
f (t) dt a
f¨or varje intervall [a, b] av l¨ angd 2π. R Vi kommer forts¨ attningsvis att kalla T f (t) dt f¨or integralen av funktionen f ¨ over T, och med v˚ ar nya beteckning blir f¨oljaktligen Z kf k1 =
|f (t)| dt. T
Som vi redan p˚ apekat i avsnitt 2.4 ¨ar L1 (T) ett normerat vektorrum med k·k1 som norm. Rummet inneh˚ aller C(T) som t¨at delm¨angd. Dessutom ¨ar rummet translationsinvariant och invariant under skalning med heltalsfaktorer. Med detta menas att om f ∈ L1 (T), τ ¨ar ett godtyckligt reellt tal och m ¨ ar ett godtyckligt nollskilt heltal, s˚ a ligger s˚ av¨al translatet Tτ f som den skalade funktionen Sm f i L1 (T), och Z
Z f (t − τ ) dt =
T
Z f (mt) dt =
T
f (t) dt. T
De trigonometriska polynomets koefficienter V˚ art m˚ al ¨ ar som n¨ amnts att skriva en t¨amligen godtycklig funktion f som en trigonometrisk serie eller mer generellt att skriva f som ett gr¨ansv¨arde av en f¨oljd av trigonometriska polynom (som i seriefallet ¨ar seriens partialsummor), och vi har vidare specificerat att vi med ”godtycklig funktion” menar en funktion i L1 (T). Koefficienterna i de approximerande trigonometriska polynomen till en funktion kommer att ges i form av speciella integraler med funktionen och den komplexa exponentialfunktionen som ingredienser. F¨orutom exponentialfunktionens multiplikativa egenskaper kommer vi d˚ a att utnyttja f¨ oljande egenskap: Lemma 3.3.1. F¨ or alla heltal n ¨ ar Z
int
e T
( 1 dt = 0
om n = 0, om n = 6 0.
56
3 Fourierserier
Bevis. F¨ or nollskilda heltal n ¨ar Z Z 2π 1 1 h int i2π 1 2nπi int e dt = eint dt = = e e −1 =0 2π 0 2nπi 2nπi 0 T och f¨ or n = 0 f˚ as f¨ orst˚ as Z Z 2π Z 1 int 1 dt = 1 dt = 1. e dt = 2π 0 T T Vi ska b¨ orja med att skaffa oss en formel f¨or trigonometriska polynoms koefficienter. Betrakta f¨ or den skull ett trigonometriskt polynom P (t) =
N X
cn eint
k=−N
p˚ a exponentialform, och l˚ at oss ber¨akna integralen Z P (t)e−ikt dt T
P i(n−k)t , d˚ ak¨ ar ett heltal mellan −N och N . Eftersom P (t)e−ikt = N n=−N cn e blir Z Z N X −ikt P (t)e dt = cn ei(n−k)t dt. T
n=−N
T
P˚ a grund av lemma 3.3.1 ¨ar alla termer i summan ovan lika med noll utom den term som f˚ as d˚ a summationsindex n ¨ar lika med k. Slutsatsen ¨ar att Z P (t)e−ikt dt = ck , T
och vi har d¨ armed funnit f¨oljande formel f¨or koefficienterna cn i polynomet P (t): Z Z 2π 1 −int P (t)e−int dt. cn = P (t)e dt = 2 π T 0
Fourierkoefficienter De trigonometriska polynomen a¨r periodiska funktioner, men det finns naturligtvis periodiska funktioner som inte ¨ar trigonometriska polynom, dvs. andliga summor av sinus- och cosinusfunktioner, eller ekvivalent komplexa ¨ exponentialfunktioner. Det ligger d˚ a n¨ara tillhands att unders¨oka om inte alla periodiska funktioner kan skrivas som o¨andliga summor. Det ideala vore att hitta en serierepresentation av typen X (3.4) f (t) = cn eint n∈Z
3.3 Fourierserien
57
d¨ar den o¨ andliga summan skall tolkas som gr¨ansv¨ardet av partialsummorna N X
SN (t) =
cn eint
n=−N
d˚ a N g˚ ar mot o¨ andligheten. Om nu SN (t) konvergerar p˚ a ett ”hyggligt” vis1 , s˚ R mot f (t)−int Ra kan man dra slutsatsen att integralerna T SN (t)e dt konvergerar mot T f (t)e−int dt d˚ a N g˚ ar mot o¨ andligheten. Men vi vet fr˚ an f¨oreg˚ aende avsnitt att Z
SN (t)e−int dt = cn
T
R om |n| ≤ N , s˚ a f¨ oljaktligen ¨ ar i s˚ a fall ocks˚ a T f (t)e−int dt = cn f¨or alla n. Detta inneb¨ ar att om vi har en framst¨allning p˚ a formen (3.4) och om konvergensen ¨ ar hygglig, s˚ a vet vi vad koefficienterna cn ¨ar; de m˚ aste ges av formeln Z f (t)e−int dt.
cn = T
Nu observerar vi att h¨ ogerledet i denna formel ¨ar v¨aldefinierat och meningsfullt f¨ or alla funktioner f ∈ L1 (T) eftersom funktionen f (t) e−int tillh¨or L1 (T) om f g¨ or det. Formeln f˚ ar d¨arf¨or bli utg˚ angspunkt f¨or f¨oljande generella definition. Definition. F¨ or f ∈ L1 (T) och n ∈ Z s¨atter vi fˆ(n) =
Z
f (t) e−int dt
T
och kallar talen fˆ(n) f¨ or f :s fourierkoefficienter. Serien X
fˆ(n) eint
n∈Z
kallas funktionens fourierserie. Fourierserien s¨ ages vara konvergent i punkten t om f¨oljden (SN f (t))∞ N =0 av partialsummor N X SN f (t) = fˆ(n)eint n=−N
konvergerar d˚ a N g˚ ar mot o¨ andligheten. 1
t. ex. likformigt p˚ a intervallet [0, 2π], vilket ¨ ar en typ av konvergens som behandlas i n¨ asta kapitel.
58
3 Fourierserier Notera speciellt att koefficienten fˆ(0) =
Z
1 f (t) dt = 2π T
Z
2π
f (t) dt 0
ar lika med medelv¨ ardet av funktionen f ¨over en period. ¨ Vi kommer att skriva X f (t) ∼ fˆ(n) eint n∈Z
f¨ or att ange att serien ifr˚ aga ¨ar fourierserie till funktionen f . Observera att vi d¨ armed inte p˚ ast˚ ar att fourierserien konvergerar − konvergensen ¨ar ett delikat problem som vi kommer att behandla i senare avsnitt. Genom att bilda fourierkoefficienterna till en funktion f skaffar vi oss en f¨ oljd (fˆ(n))n∈Z av komplexa tal, och avbildningen F som definieras av att F(f ) = (fˆ(n))n∈Z f¨ or alla funktioner f ∈ L1 (T), ¨ar ett exempel p˚ a en transform, fouriertransformen p˚ a L1 (T). Tre naturliga fr˚ agor som d˚ a uppst˚ ar ¨ar: ¨ avbildningen F injektiv, dvs. a¨r funktionen f entydigt best¨amd av 1. Ar sina fourierkoefficienter? 2. Kan vi om s˚ a¨ ar fallet best¨amma inversen F −1 , dvs. rekonstruera funktionen f fr˚ an dess fourierkoefficienter? 3. Kan vi karakterisera bildm¨angden till F, dvs. vilka f¨oljder som kan vara fourierkoefficienter? Svaret p˚ a de tv˚ a f¨ orsta fr˚ agorna ¨ar ja, men beviset f¨or att s˚ a ¨ar fallet ar inte helt enkelt och f˚ ar d¨arf¨or anst˚ a till kapitel 4. Den tredje fr˚ agan har ¨ inte n˚ agot enkelt svar, men en sak kan vi s¨aga redan nu − f¨oljden av fourierkoefficienter m˚ aste vara begr¨ansad. Det finns exempelvis ingen funktion f vars fourierkoefficienter ¨ar fˆ(n) = n. Begr¨ansningen ¨ar en konsekvens av f¨ oljande sats: Sats 3.3.2. Antag f ∈ L1 (T). D˚ a¨ ar |fˆ(n)| ≤ kf k1 f¨ or alla n ∈ Z. Bevis. P˚ ast˚ aendet ¨ ar en direkt f¨oljd av triangelolikheten f¨or integraler: Z Z Z |fˆ(n)| = f (t) e−int dt ≤ |f (t) e−int | dt = |f (t)| dt = kf k1 . T
T
T
Exempel 3.3.1. L˚ at oss best¨amma fourierserien till den 2π-periodiska funktion f som best¨ ams av att f (t) = t f¨or |t| < π. (Notera att vi inte specificerat n˚ agot funktionsv¨ arde i punkten π, och d¨armed inte heller i n˚ agon av punkterna nπ f¨ or udda heltal n. Funktionsv¨ardet f (π) ¨ar emellertid irrelevant,
3.3 Fourierserien
59
eftersom integralen som definierar fourierkoefficienterna inte bryr sig om funktionsv¨ ardet i en enstaka punkt.) Fourierkoefficienten fˆ(0) f˚ as direkt som 1 fˆ(0) = 2π
Z
π
t dt = 0, −π
medan fourierkoefficienter fˆ(n) f¨ or n 6= 0 ber¨aknas med hj¨alp av en partiell integration: −int π Z π Z π 1 e 1 1 −int ˆ te dt = t + e−int dt f (n) = 2π −π 2π −in −π 2πni −π i 1 = (πe−inπ + πeinπ ) + 0 = (−1)n . −2πni n S˚ aledes g¨ aller att f (t) ∼ i
X (−1)n n
n6=0
eint .
Vi kan skaffa oss ett alternativt uttryck f¨or fourierserien genom att kombinera termer som svarar mot −n och n: i
2(−1)n−1 (−1)−n −int (−1)n int (−1)n int e +i e = i e − e−int = sin nt. −n n n n
Detta inneb¨ ar att f (t) ∼
∞ X 2(−1)n−1 n=1
n
sin nt,
vilket ¨ ar fourierseriens trigonometriska form. Genom att utnyttja att − sin t = sin(t + π) f˚ ar vi ocks˚ a fourierserien p˚ a amplitud-fasvinkelform: f (t) ∼
∞ X 2 X 2 X 2 sin nt + sin(nt + π) = sin(nt + φn ), n n n
n udda
n=1
n j¨ amn
d¨ar φn =
( 0 π
om n ¨ar udda, om n a¨r j¨amnt.
Vi har ¨ an s˚ a l¨ ange inte verktyg nog f¨or att visa att fourierserien konvergerar mot f (t) utan f˚ ar v¨ anta till avsnitt 4.8 innan vi kan g¨ora detta, men figur 3.8 som visar delsumman med fem termer, ger en klar indikation p˚ a att s˚ a¨ ar fallet i alla kontinuitetspunkter till f .
60
3 Fourierserier
−3π
−π
−2π
2π
π
3π
t
5 X 2(−1)n−1 sin nt n n=1
Figur 3.8. Funktionen f i exempel 3.3.1 och delsumman till funktionens fourierserie.
Trigonometrisk form Exempel 3.3.1 visar att det finns flera alternativa s¨att att skriva en funktions fourierserie p˚ a − formen X fˆ(n) eint n∈Z
ar enklast och b¨ ast n¨ ar vi ska analysera serien, men den k¨anns inte lika ¨ naturlig i m˚ anga till¨ ampningssammanhang, speciellt inte om funktionen f ar reell. Genom att utnyttja att ¨ fˆ(n) eint + fˆ(−n) e−int = (fˆ(n) + fˆ(−n)) cos nt + i(fˆ(n) − fˆ(−n)) sin nt och s¨ atta an = fˆ(n) + fˆ(−n)
och
bn = i(fˆ(n) − fˆ(−n)),
samt observera att detta speciellt inneb¨ar att fˆ(0) = a0 /2, ser vi att ∞
(3.5)
X n∈Z
a0 X fˆ(n) eint = + (an cos nt + bn sin nt). 2 1
Serien i h¨ ogerledet av (3.5) kallas fourierseriens trigonometriska form. Eftersom Z Z −int int ˆ ˆ f (n) + f (−n) = f (t)(e + e ) dt = 2 f (t) cos nt dt T
T
och i(fˆ(n) − fˆ(−n)) = i
Z f (t)(e
−int
int
−e
Z ) dt = 2
T
f (t) sin nt dt T
ges den trigonometriska formens koefficienter an och bn av f¨oljande integraler: Z Z (3.6) an = 2 f (t) cos nt dt, bn = 2 f (t) sin nt dt. T
T
3.4 Sinus- och cosinusserier
61
Observera att koefficienterna an och bn s¨akert ¨ar reella om funktionen f ¨ar reell. En fourierseries partialsummor SN (t) =
N X n=−N
N
a0 X fˆ(n)eint = + (an cos nt + bn sin nt) 2 n=1
aledes reellv¨ arda trigonometriska polynom om sj¨alva funktionen f ¨ar ¨ar s˚ reellv¨ard.
¨ Ovningar R R 3.14 Ber¨ akna T P (t) sin 2t dt och T P (t) cos 2t dt f¨or det trigonometriska polynomet P (t) = 2e−i3t − e−i2t + 4e−it + 5 + eit + 3ei2t + 5ei6t . R 3.15 Ber¨ akna T P (t) sin t dt f¨ or det trigonometriska polynmet P (t) = 2 + cos t − 4 sin t + 3 cos 2t + 10 sin 2t. 3.16 Best¨ am fourierserien till den periodiska funktionen f om a) f (t) = 2 sin t + 3 cos 2t + 4 sin 3t c) f (t) = t2 f¨ or −π < t ≤ π
b) f (t) = cos2 3t
d) f (t) = et f¨or −π < t ≤ π
e) f (t) = 0 f¨ or −π < t < 0 och f (t) = sin t f¨or 0 ≤ t ≤ π.
3.4
Sinus- och cosinusserier
Fourierserien i exempel 3.3.1 inneh˚ aller bara sinustermer. Detta a¨r ingen tillf¨allighet och beror p˚ a att funktionen ¨ar udda. Om funktionen f ¨ar udda, s˚ a ¨ar ocks˚ a f (t) cos nt udda, och det f¨oljer d¨arf¨or att integralen av f (t) cos nt ar lika med noll, vilket p˚ a grund av formel (3.6) ¨over intervallet [−π, π] ¨ betyder att bn = 0. Eftersom funktionen f (t) sin nt under samma premisser atta integralen av f (t) sin nt ¨over intervallet [−π, π] ¨ar j¨amn, kan vi vidare ers¨ med tv˚ a g˚ anger integralen av samma funktion ¨over intervallet [0, π]. F¨or udda periodiska funktioner f har vi med andra ord f¨oljande formler f¨or fourierkoefficienterna an och bn : Z 2 π f (t) sin nt dt. an = 0 och bn = π 0
Helt analogt g¨ aller f¨ or j¨ amna periodiska funktioner f att Z 2 π bn = 0 och an = f (t) cos nt dt π 0
f¨or alla n.
62
3 Fourierserier
Exempel 3.4.1. L˚ at f vara den 2π-periodiska funktion som f¨or |t| ≤ π ges av att f (t) = |t|. Eftersom funktionen a¨r j¨amn a¨r funktionens fourierserie en ren cosinusserie, ∞ a0 X f (t) ∼ + an cos nt. 2 n=1
Fourierkoefficienterna ¨ ar Z π 2 t dt = π och a0 = π 0 Z Z π 2 h sin nt iπ 2 π sin nt 2 h cos nt iπ t cos nt dt = an = t − dt = π 0 π n 0 n π n2 0 0 2(1 − (−1)n ) f¨or n ≥ 1. =− πn2 Koefficienterna med j¨ amna index ≥ 2 ¨ar tydligen lika med noll, s˚ a d¨arf¨or kan vi skriva fourierserien p˚ a formen ∞
4 X cos(2k + 1)t f (t) ∼ − . 2 π (2k + 1)2 π
k=0
Serien ¨ ar tydligen absolutkonvergent f¨or alla t p˚ a grund av j¨amf¨orelsekriteriet, men ¨ ar summan lika med f (t)? Svaret ¨ar ja, men motiveringen f˚ ar vi ˚ aterkomma till senare. Vi kan utnyttja det faktum att en udda funktions fourierserie bara inneh˚ aller sinustermer och en j¨amn funktions fourierserie bara inneh˚ aller cosinustermer f¨ or att utveckla funktioner definierade p˚ a intervallet [0, π] i rena sinusserier eller rena cosinusserier. Antag n¨ amligen att f ¨ar en integrerbar funktion med intervallet [0, π] som definitionsm¨ angd. Om vi utvidgar f till en j¨amn 2π-periodisk funktion ˜ f genom att definiera f˜(−t) = f˜(t) = f (t) f¨or 0 ≤ t ≤ π, s˚ a ¨ar alla sinuskoefficienter i fourierserieutvecklingen av f˜ lika med noll. Det f¨oljer att vi kan representera f (t) som ∞
f (t) =
a0 X + an cos nt 2 n=1
i alla punkter t ∈ [0, π] d¨ar serien konvergerar mot f (t). P˚ a liknande s¨ att erh˚ aller vi, genom att utvidga f till en udda 2π-periodisk ˜ funktion f , en representation av f i form av en ren sinusserie f (t) =
∞ X
an sin nt,
n=1
i alla punkter t ∈]0, π[ d¨ ar serien konvergerar mot f (t).
3.4 Sinus- och cosinusserier
63
Exempel 3.4.2. L˚ at f (t) = t f¨ or 0 ≤ t ≤ π. Den j¨amna utvidgningen a¨r f˜(t) = |t| f¨ or |t| ≤ π, och denna funktion har en cosinusserie som vi best¨amde i exempel 3.4.1. Eftersom serien i det h¨ar fallet ¨ar konvergent med funktionsv¨ ardet som summa i alla punkter f¨oljer det speciellt att t=
π
2
∞
−
4 X cos(2n + 1)t π (2n + 1)2 n=0
f¨or 0 ≤ t ≤ π. Den udda utvidgningen f˜ av f ges f¨orst˚ as av att f˜(t) = t f¨or −π < t < π. Vi ber¨ aknade fourierserien av den funktionen i exempel 3.3.1 och fann d˚ a att ∞ X (−1)n−1 f˜(t) ∼ 2 sin nt. n n=1
Serien konvergerar mot f˜(t) f¨ or −π < t < π, varf¨or t=2
∞ X (−1)n−1
n
n=1
sin nt
om 0 ≤ t < π.
Figur 3.9 visar att konvergensen mot f (t) ¨ar b¨attre f¨or cosinusserien agot som ¨ ar helt naturligt eftersom koefficienterna i ¨an f¨or sinusserien, n˚ cosinusserien har en mindre storleksordning ¨an koefficienterna i sinusserien.
y
y
π
π
π t
π t
1 cos 5t) till Figur 3.9. Partialsummorna 2π − 4π (cos t + 91 cos 3t + 25 2 1 cosinusserien (v¨ anster) och 2 sin t − sin 2t + 3 sin 3t − 2 sin 4t + 52 sin 5t till sinusserien (h¨ oger) f¨ or funktionen f (t) = t, 0 ≤ t ≤ π.
¨ Ovningar 3.17 Utveckla funktionen f (t) = cos t i sinusserie p˚ a intervallet 0 < t < π. 3.18 Utveckla funktionen f (t) = sin t i cosinusserie p˚ a intervallet 0 < t < π.
64
3 Fourierserier
3.5
R¨ akneregler
Rummet L1 (T) ¨ ar ett vektorrum som ¨ar invariant under translation och under skalning med heltaliga skalfaktorer, och fouriertransformering kan uppfattas som en avbildning F : f 7→ (fˆ(n))∞ an L1 (T) till vektorrummet av −∞ fr˚ alla begr¨ ansade f¨ oljder. De tv˚ a f¨orsta likheterna i f¨oljande sats visar att fouriertransformering ¨ ar en linj¨ar avbildning, medan ˚ aterst˚ aende tv˚ a likheter visar hur fouriertransformering fungerar i kombination med translation Tτ och skalning Sm . Vi erinrar d˚ a om att Tτ f (t) = f (t−τ ) och Sm f (t) = f (mt). Sats 3.5.1. Antag att f och g ¨ ar funktioner i L1 (T), att c ¨ ar ett komplext tal, att τ ¨ ar ett reellt tal samt att m ¨ ar ett nollskilt heltal. F¨ or alla heltal n ar d˚ a ¨ (f\ + g)(n) = fˆ(n) + gˆ(n), d)(n) = cfˆ(n), (cf −inτ ˆ \ (T f (n), τ f )(n) = e ( fˆ(n/m) om n ¨ ar en multipel av m, \ (S m f )(n) 0 om n inte ¨ ar en multipel av m.
Bevis. De tre f¨ orsta likheterna f¨oljer av att integration ¨ar en linj¨ar och translationsinvariant operation: Z Z Z −int −int \ (f + g)(n) = (f (t) + g(t))e dt = f (t)e dt + g(t)e−int dt T
T
T
= fˆ(n) + gˆ(n), Z Z −int d (cf )(n) = cf (t)e dt = c f (t)e−int dt = cfˆ(n), T T Z Z −int −inτ \ (Tτ f )(n) = f (t − τ )e dt = e f (t − τ )e−in(t−τ ) dt T T Z −inu −iτ n ˆ −inτ =e f (u)e du = e f (n). T
Om n = km a a a¨r vidare ¨r en multipel av m, s˚ Z Z Z −int −ikmt \ (S f )(n) = f (mt)e dt = f (mt)e dt = f (t)e−ikt dt m T
T
T
= fˆ(k) = fˆ(n/m), d¨ ar vi i den n¨ ast sista likheten utnyttjat oss av sats 3.1.1 till¨ampad p˚ a den −ikt periodiska funktionen f (t)e . F¨or godtyckliga heltal n ¨ar vidare Z Z −int \ (Sm f )(n) = f (mt)e dt = f (mt + 2π)e−int dt [u = t + 2π/m] T ZT −i(nu−2πn/m) \ = f (mu)e du = ei2πn/m (S m f )(n). T
3.5 R¨ akneregler
65
Om n inte ¨ ar en multipel av m, s˚ a ¨ar 2πn/m inte en heltalsmultipel av 2π, och faktorn ei2πn/m a r d˚ a skild fr˚ an 1. Det f¨oljer d¨arf¨or av likheten ovan att ¨ \ (Sm f )(n) = 0. L˚ at f vara en funktion i L1 (T) och definiera en ny funktion F genom att s¨atta Z t
f (u) du.
F (t) = 0
Funktionen F kontinuerlig och F 0 (t) = f (t) i alla kontinuitetspunkter t till f . Funktionen F beh¨ over emellertid inte vara periodisk; n¨odv¨andigt och tillr¨ackligt f¨ orR att s˚ a skall vara fallet, dvs. f¨or att ocks˚ a F skall tillh¨ora L1 (T), ¨ ar att T f (u) du = 0, ty d˚ a blir Z
t+2π
F (t + 2π) − F (t) =
Z
2π
f (u) du = 0
f (u) du = 0
t
f¨or alla t. Sambandet mellan de b˚ ada periodiska funktionernas fourierkoefficienter ges i detta fall av n¨ asta sats. R Sats 3.5.2. (i) Antag att f ∈ L1 (T) och att T f (u) du = 0, samt definiera Z F (t) =
t
f (u) du. 0
D˚ a¨ ar F en funktion i L1 (T) och f¨ or alla nollskilda heltal n ¨ ar fˆ(n) Fˆ (n) = . in (ii) Antag att funktionen f ¨ ar periodisk och kontinuerligt deriverbar. D˚ a¨ ar fb0 (n) = infˆ(n). Bevis. (i) Genom att anv¨ anda definitionen av fourierkoefficient samt byta integrationsordning erh˚ aller vi likheterna Z 2π Z t 1 F (t)e−int dt = f (u)e−int du dt 2 π T 0 0 Z 2π Z 2π Z 2π h e−int i2π 1 1 −int = f (u)e dt du = f (u) du 2π 0 2π 0 −in u u Z 2π Z Z e−inu − 1 1 1 1 −inu = f (u) du = f (u)e du − f (u) du 2π 0 in in T in T 1 = fˆ(n). in
Fˆ (n) =
Z
66
3 Fourierserier
(ii) F¨ oruts¨ attningarna medf¨or speciellt att f 0 ∈ L1 (T) och Z f (t) =
t
f 0 (u) du + f (0).
0
F¨ or n 6= 0 ¨ ar d¨ arf¨ or likheten fb0 (n) = infˆ(n) en omedelbar konsekvens av resultatet i (i), och f¨ or n = 0 f˚ as 1 fb0 (0) = 2π
Z
2π
f 0 (t) dt =
0
1 f (2π) − f (0) = 0 2π
p˚ a grund av periodiciteten. Resultatet i (ii) kan naturligtvis itereras. Om funktionen f a¨r periodisk och tv˚ a g˚ anger kontinuerligt deriverbar, s˚ a ¨ar fc00 (n) = infb0 (n) = −n2 fˆ(n), och om funktionen ¨ ar k g˚ anger kontinuerligt deriverbar, s˚ a ¨ar (k) (n) = (in)k fˆ(n). fd
Genom att kombinera likheten ovan med sats 3.3.2 f˚ ar vi omedelbart f¨oljande resultat: Sats 3.5.3. Fourierkoefficienterna till en k g˚ anger kontinuerligt deriverbar periodisk funktion f satisfierar f¨ or n 6= 0 olikheten |fˆ(n)| ≤
C , |n|k
d¨ ar konstanten C ¨ ar lika med k:te derivatans L1 -norm. Speciellt g˚ ar s˚ aledes deriverbara funktioners fourierkoefficienter mot noll d˚ a n g˚ ar mot ±∞, och snabbare desto mer regulj¨ar (deriverbar) funktionen ar. ¨ P Om |fˆ(n)| ≤ C|n|−2 f¨or n 6= 0, s˚ a a¨r serien n∈Z fˆ(n)eint absolutkonvergent enligt j¨ amf¨ orelsekriteriet. Vi kan allts˚ a redan nu dra slutsatsen att en tv˚ a g˚ anger kontinuerligt deriverbar funktion f har en konvergent fourierserie, men det ˚ aterst˚ ar f¨orst˚ as att visa att seriens summa i punkten t ¨ar lika med funktionsv¨ ardet f (t) (vilket den ¨ar). Det n¨ odv¨ andiga (men inte tillr¨ackliga villkoret) f¨or fourierseriens konvergens att fourierkoefficienterna fˆ(n) g˚ ar mot noll d˚ a n g˚ ar mot o¨andligheten ar ocks˚ a uppfyllt f¨ or godtyckliga L1 (T)-funktioner, och det ¨ar ett resultat ¨ som vi kommer att visa lite l¨angre fram. (Se sats 4.6.1.)
3.6 Faltning
67
¨ Ovningar 3.19 Best¨ am sambandet mellan fˆ(n) och gˆ(n) f¨or funktionerna f, g ∈ L1 (T) om a) g(t) = f (t − c) f¨ or n˚ agot reellt tal c; b) g(t) = eimt f (t) f¨ or n˚ agot heltal m; c) g(t) = f 00 (t − π). 3.20 Antag att f ∈ L1 (T) och definiera en ny funktion g ∈ L1 (T) genom att s¨ atta g(t) = e2it f (t − 3). Best¨am sambandet mellan fˆ(n) och gˆ(n). 3.21 Bevisa (ii) i sats 3.5.2 genom partiell integration. 3.22 Funktionen f a ¨r kontinuerligt deriverbar och periodisk med period 2π. 0 Vidare ¨ ar f (t) = 2if (t + π) f¨or alla t. Best¨am f .
3.6
Faltning
F¨or att avg¨ ora om fourierserien till en funktion f konvergerar beh¨over vi studera fourierseriens partialsummor SN f (t) =
N X
fˆ(n)eint .
n=−N
P int och p˚ astod, I avsnitt 3.2 inf¨ orde vi Dirichlets polynom DN (t) = N n=−N e utan att f¨ orklara varf¨ or, att det skulle spela en stor roll i forts¨attningen. Nu kan vi ge f¨ orklaringen − partialsumman SN f (t) kan uttryckas som en integral med hj¨ alp av DN (t) p˚ a f¨ oljande vis: Sats 3.6.1. L˚ at f vara en godtycklig funktion i L1 (T). D˚ a¨ ar Z SN f (t) = f (t − s)DN (s) ds. T
Bevis. Vi utg˚ ar fr˚ an formeln DN (s) =
N X
eins ,
n=−N
som vi multiplicerar med f (t − s) och sedan integrerar. Detta leder till formeln Z N Z X f (t − s)DN (s) ds = f (t − s)eins ds. T
n=−N
T
Variabelbytet u = t − s i h¨ ogerledets integraler ger Z Z Z f (t − s)eins ds = f (u)ein(t−u) du = eint f (u)e−inu du = fˆ(n)eint , T
T
och d¨armed ¨ ar formeln bevisad.
T
68
3 Fourierserier
Vi ska i n¨ asta kapitel anv¨anda oss av formeln i sats 3.6.1 f¨or att bevisa ett tillr¨ ackligt konvergensvillkor f¨or fourierserier. Det s¨ att som funktionen f och Dirichletpolynomet DN kombineras p˚ a f¨ or att ge partialsumman SN f (t) kallas en faltning. F¨or allm¨anna periodiska funktioner definieras och betecknas faltningar p˚ a f¨oljande vis. Definition. Med faltningen f ∗ g av tv˚ a funktioner f, g ∈ L1 (T) menas funktionen Z f (t − s)g(s) ds. f ∗ g(t) = T
Med hj¨ alp av faltningsdefinitionen kan vi s˚ aledes skriva v˚ art resultat i sats 3.6.1 kortare som SN f (t) = f ∗ DN (t). Man kan visa att faltningen f ∗ g av tv˚ a L1 (T)-funktioner ¨ar en funktion i L1 (T) och att operationen ¨ar kommutativ och associativ, dvs. att f ∗g =g∗f och f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h. Sats 3.6.2. F¨ or normen av en faltning av tv˚ a funktioner f, g ∈ L1 (T) g¨ aller f¨ oljande olikhet: kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 . Bevis. Genom att anv¨ anda triangelolikheten f¨or integraler samt kasta om integrationsordningen erh˚ aller vi f¨oljande kedja av olikheter och likheter: Z Z Z Z kf ∗ gk1 = |f (t − s)g(s)| ds dt f (t − s)g(s) ds dt ≤ T ZT Z T Z T Z = |f (t − s)||g(s)| dt ds = |g(s)| |f (t − s)| dt ds T T ZT T Z Z = |g(s)| |f (t)| dt ds = |g(s)|kf k1 ds = kf k1 kgk1 . T
T
T
¨ Ovningar 3.23 Visa att faltning ¨ar en kommutativ och associativ operation, dvs. att f ∗ g = g ∗ f och f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h. 3.24 Visa att f ∗ ein· = fˆ(n)ein· . 3.25 Visa att f[ ∗ g(n) = fˆ(n)ˆ g (n).
3.7 Fourierseriens konvergens
3.7
69
Fourierseriens konvergens
Fourierserien X
fˆ(n)eint
n∈Z
till en funktionen f ¨ ar per definition konvergent i punkten t om partialsummorna N X SN f (t) = fˆ(n)eint n=−N
konvergerarPd˚ a N → ∞. Observera allts˚ a att det inte kr¨avs att de tv˚ a ˆ(n)eint och P∞ fˆ(−n)e−int ska konvergera var f¨or sig. f delserierna ∞ n=1 n=0 Om vi ist¨ allet skriver fourierserien p˚ a trigonometrisk form som ∞
a0 X + (an cos nt + bn sin nt) 2 n=1
s˚ a blir N
SN f (t) =
a0 X + (an cos nt + bn sin nt). 2 n=1
Villkoret att f¨ oljden av partialsummor ska konvergera ¨ar s˚ aledes i detta fall identiskt med den vanliga definitionen av konvergens f¨or en serie. I vissa fall kan man enkelt avg¨ ora att en funktions fourierserie ¨ar konvergent genom att bara betrakta fourierkoefficienterna; s˚ a ¨ar exempelvis fallet 2 (eller mindre), ty om fourierkoefficienterna fˆ(n) a r av storleksordningen 1/n ¨ detta medf¨ or att fourierserien ¨ ar absolutkonvergent i alla punkter. I punkter d¨ar funktionen ¨ ar kontinuerlig och, mer generellt, i punkter d¨ar funktionen har ¨andliga v¨ anster- och h¨ ogergr¨ ansv¨ arden ges en konvergent fourierseries summa av f¨ oljande sats, d¨ ar vi anv¨ander beteckningarna f (t− ) och f (t+ ) f¨or v¨anster- resp. h¨ ogergr¨ ansv¨ ardena s˚ a att f (t− ) = lim f (s), s→t−
f (t+ ) = lim f (s). s→t+
Sats 3.7.1. Antag att f ∈ L1 (T), att t ¨ ar en punkt d¨ ar funktionens fourierserie ¨ ar konvergent, samt att de b˚ ada ensidiga gr¨ ansv¨ ardena f (t− ) och f (t+ ) existerar. D˚ a¨ ar fourierseriens summa i punkten t lika med f (t+ ) + f (t− ) . 2 I en punkt t d¨ ar fourierserien ¨ ar konvergent och funktionen f ¨ ar kontinuerlig ¨ ar s˚ aledes seriens summa lika med f (t). Vi skjuter upp beviset f¨ or satsen till n¨asta kapitel (se sats 4.5.4).
70
3 Fourierserier
Exempel 3.7.1. Den periodiska utvidgningen av f (t) = |t|, −π ≤ t ≤ π, som studerades i exempel 3.4.1, har fourierserien ∞
4 X cos(2k + 1)t . − 2 π (2k + 1)2 π
k=0
Eftersom serien ¨ ar absolutkonvergent f¨or alla t och funktionen f ¨ar kontinuerlig i alla punkter, f¨ oljer det av sats 3.7.1 att π
2
∞
−
4 X cos(2k + 1)t = |t| f¨or −π ≤ t ≤ π. π (2k + 1)2 k=0
F¨ or t = 0 ¨ ar s˚ aledes speciellt π
2
∞
−
4X π
k=0
1 = 0, (2k + 1)2
vilket efter f¨ orenkling ger oss resultatet ∞ X k=0
Summan ning:
P∞
2 n=1 1/n
π2 1 = . (2k + 1)2 8
kan nu ocks˚ a ber¨aknas med hj¨alp av f¨oljande omskriv-
∞ ∞ ∞ X X 1 X 1 X 1 X 1 1 π2 1X 1 = + = + = + , n2 n2 n2 n2 4k 2 8 4 n2
n=1
n udda
som medf¨ or att
n j¨ amn
n udda
k=1
n=1
∞ X 1 π2 = . n2 6
n=1
F¨ or att med hj¨ alp av f¨oreg˚ aende sats ber¨akna summan av fourierserien till en funktion m˚ aste vi f¨orst visa att fourierserien ¨ar konvergent. Ett tillr¨ ackligt villkor som garanterar detta ¨ar enligt sats 3.5.3 att funktionen ¨ar tv˚ a g˚ anger kontinuerligt deriverbar ¨overallt. Detta ¨ar ett globalt villkor p˚ a funktionen, men huruvida en funktions fourierserie ¨ar konvergent eller ej i en punkt t0 beror, som vi ska se l¨angre fram, enbart p˚ a funktionens uppf¨orande i en godtyckligt liten omgivning av punkten t0 . Ett enkelt lokalt villkor som garanterar att fourierserien konvergerar i punkten t0 ¨ ar att funktionen ¨ar kontinuerlig och deriverbar i punkten t0 , och villkoret p˚ a deriverbarhet kan f¨orsvagas n˚ agot s˚ a att existens av v¨ansteroch h¨ ogerderivata ¨ ar tillr¨ackligt. Vi har n¨amligen f¨oljande resultat. Sats 3.7.2. L˚ at f ∈ L1 (T), och antag att t ¨ ar en punkt d¨ ar funktionen ¨ ar kontinuerlig och d¨ ar v¨ anster- och h¨ ogerderivatorna existerar. D˚ a¨ ar funktionens fourierserie konvergent i punkten t och summan ¨ ar lika med f (t).
3.7 Fourierseriens konvergens
71
¨ Aven f¨ or denna sats skjuter vi upp beviset till n¨asta kapitel, d¨ar vi kommer att bevisa ett mer generellt resultat. (Se sats 4.8.2.) Exempel 3.7.2. I exempel 3.3.1 best¨amde vi fourierserien till den periodiska utvidgningen av f (t) = t, |t| < π, och fann att f (t) ∼ i
X (−1)n n
n6=0
eint =
∞ X 2(−1)n−1 n=1
n
sin nt.
Funktionen f ¨ ar kontinuerlig och deriverbar i det ¨oppna intervallet ]−π, π[. Det f¨oljer d¨ arf¨ or av sats 3.7.2 att ∞ X 2(−1)n−1 n=1
n
sin nt = t
f¨or −π < t < π. (F¨ or t = ±π ¨ ar f¨ orst˚ as seriens summa lika med 0 eftersom alla sinustermerna ¨ ar lika med 0 i dessa punkter). Exempel 3.7.3. Betrakta den 2π-periodiska funktionen f , som definieras av att ( 0, −π < t < 0 f (t) = t, 0 ≤ t ≤ π. Funktionen f ¨ ar kontinuerlig ¨ overallt i det ¨oppna intervallet ]−π, π[ och deriverbar ¨ overallt i samma intervall utom i punkten 0, d¨ar dock v¨anster- och h¨ogerderivatorna existerar (och ¨ ar lika med 0 resp. 1). Enligt sats 3.7.2 ¨ar d¨arf¨or fourierserien konvergent med f (t) som summa f¨or −π < t < π. L˚ at oss ber¨ akna fourierserien p˚ a trigonometrisk form. Seriens koefficienter ¨ar π om n = 0 Z π 2, 1 an = t cos t dt = n π 0 (−1) − 1 , om n ≥ 1 πn2 Z π (−1)n−1 1 bn = t sin t dt = , π 0 n och vi kan nu dra slutsatsen att ∞ 2 X cos nt X (−1)n−1 − sin nt = + 4 π n2 n
π
n udda
n=1
( 0 t
f¨or −π < t < 0, f¨or 0 ≤ t < π.
F¨or t = π ¨ ar serien ocks˚ a konvergent, och enligt sats 3.7.1 ¨ar fourierseriens 1 summa d˚ a lika med 2 (f (π− ) + f (π+ )) = 12 (π + 0) = 12 π.
72
3 Fourierserier
y
K8 K6 K4 K2
3 2 1 0
2
4
6
8
t
Figur 3.10. Funktionen f i exempel 3.7.3 och partialsumman S6 f (t).
¨ Ovningar 3.26 Funktionen f ¨ ar periodisk. Avg¨or var fourierserien konvergerar och best¨ am dess summa om a) f (t) = t2 f¨ or −π < t ≤ π; b) f (t) = 0 f¨ or −π < t < 0 och f (t) = sin t f¨or 0 ≤ t ≤ π. 3.27 Anv¨ and fourierserierna till funktionerna i f¨oreg˚ aende ¨ovning (dessa best¨ amdes i ¨ ovning 3.16) f¨or att ber¨akna f¨oljande summor: a)
∞ X (−1)n n=1
n2
∞ X 1 b) n2 n=1
c)
∞ X n=1
1 . 4n2 − 1
3.28 Best¨ am faltningen f ∗ cos t d˚ a f a¨r funktionen i exempel 3.7.3. 3.29 Visa att 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + · · · = π/4 genom att v¨alja ett l¨ampligt t i formeln i exempel 3.7.2. 3.30 α ¨ ar ett reellt tal som inte ¨ar ett heltal. S¨att f (t) = eiαt f¨or −π < t ≤ π och utvidga f till en 2π-periodisk funktion. Visa f¨oljande tv˚ a formler genom att studera funktionens fourierserie f¨or t = 0 och t = π: π
sin απ
∞
=
1 X 2(−1)n α + α α 2 − n2
∞
och
n=1
π cot απ =
1 X 2α + . α α 2 − n2 n=1
Om man s¨ atter x = απ, s˚ a kan formlerna ocks˚ a skrivas p˚ a formen ∞
1 1 X 2(−1)n x = + sin x x x2 − n2 π 2 n=1
∞
och
2x 1 X cot x = + . 2 x x − n2 π 2 n=1
J¨ amf¨ or detta med partialbr˚ aksutveckling f¨or rationella funktioner! 3.31 Anv¨ and f¨ oreg˚ aende ¨ovning f¨or att f¨or reella tal α som inte ¨ar heltal ber¨ akna summan ∞ X 1 . (n − α)2 n=−∞
3.8 Gibbs fenomen
3.8
73
Gibbs fenomen
Om funktionen f ∈ L1 (T) ¨ ar kontinuerlig och har v¨anster- och h¨ogerderivator i alla punkter i ett slutet intervall I, s˚ a f¨oljer det av sats 3.7.2 att fourierserien ¨ ar konvergent f¨ or alla punkter i intervallet. Konvergensen kan vidare visas vara likformig, vilket inneb¨ar att det f¨or varje givet > 0 finns ett N s˚ a att fourierseriens partialsummor Sn f (t) satisfierar olikheten |Sn f (t) − f (t)| < f¨ or alla t ∈ I och alla n ≥ N . Geometriskt betyder detta att punkterna (t, Sn f (t) ligger i en remsa av bredd runt grafen y = f (t) f¨or t ∈ I och n ≥ N . Se figur 3.11.
f Sn f
I
Figur 3.11. Fourierserien konvergerar likformigt mot funktionen p˚ a slutna intervall d¨ar funktionen ar kontinuerlig och har v¨anster- och h¨ogerderivator. ¨
Om funktionen d¨ aremot har en spr˚ angdiskontinuitet i punkten t0 ∈ I + − s˚ a att exempelvis f (t0 ) > f (t0 ), s˚ a kan om¨ojligtvis grafen y = Sn f (t) till partialsumman ligga i ett s˚ adant band, eftersom partialsummorna ¨ar kontinuerliga funktioner. Vad man d¨aremot skulle kunna f¨orv¨anta sig a¨r att partialsummornas grafer ska konvergera mot en kurva, som i en omgivning till v¨anster och till h¨ oger om diskontinuitetspunkten t0 sammanfaller med funktionskurvan y = f (t) och f¨ or t = t0 best˚ ar av en vertikal linje mellan + punkterna (t0 , f (t− )) och (t , f (t )). S˚ a a r emellertid inte fallet utan f¨or ¨ 0 0 0 t = t0 f˚ ar man ett vertikalt segment av en l¨angd som ¨ar ca 18 % l¨angre ¨an − |f (t+ 0 ) − f (t0 )|. Fenomenet kallas Gibbs fenomen, och vi skall h¨arleda det i det mest renodlade fallet, n¨ amligen d˚ a f a agfunktion ¨r den 2π-periodiska fyrkantsv˚ som definieras av att f (t) = 1 f¨ or 0 < t < π, f (t) = −1 f¨or −π < t < π, och f (0) = 0. Eftersom funktionen ¨ar udda, har den en sinusserie med koefficienter Z 2 π 2 bn = sin nt dt = 1 − (−1)n π 0 nπ som ¨ar noll f¨ or j¨ amna n. Det f¨ oljer av sats 3.7.2 att fourierserien ¨ar konvergent och att ∞ 4 X sin(2n + 1)t f (t) = π 2n + 1 n=0
f¨or alla t.
74
3 Fourierserier Betrakta nu seriens partialsummor N
S2N +1 f (t) =
4 X sin(2n + 1)t π 2n + 1 n=0
p˚ a intervallet ]0, π[. Vi vet att S2N +1 f (t) → 1 d˚ a N → ∞, men om vi ritar graferna till S2N +1 f kommer vi att uppt¨acka ett m¨arkligt beteende. S2N +1 f (t) har ett maximum i en punkt tN > 0 n¨ara 0, och tN g˚ ar mot 0 d˚ a N v¨ axer, men maximiv¨ardet n¨armar sig inte 1 utan f¨orblir ist¨allet st¨orre ¨an 1.17. J¨ amf¨ or figur 3.12.
1.0
0.5
−3
−2
−1
1
2
3
t
−0.5
Figur 3.12. Gibbs fenomen: Fyrkantsv˚ agen f (t) och partialsumman S31 f (t).
L˚ at oss analysera situationen i detalj. Derivatan till S2N +1 f kan ber¨aknas p˚ a f¨ oljande s¨ att: N
(S2N +1 f )0 (t) =
4X π
cos(2n + 1)t =
4
· Re
π
n=0
N X
ei(2n+1)t
n=0
ei(2N +2)t − 1 π ei2t − 1 π eit − e−it i(2N +2)t 4 i − ie 2 sin(2N + 2)t = · Re = · . π 2 sin t π sin t =
4
· Re eit
ei(2N +2)t
− 1
=
4
· Re
Det f¨ orsta nollst¨ allet i intervallet ]0, π[ till derivatan (S2N +1 f )0 ligger i punkten tN = π/(2N + 2). Genom att betrakta derivatans tecken p˚ a ¨omse sidor om punkten drar vi slutsatsen att tN ¨ar en maximipunkt. F¨or att ber¨akna maximiv¨ ardet noterar vi f¨orst att S2N +1 (0) = 0, varav f¨oljer att Z Z tN 2 tN sin(2N + 2)t 0 (3.7) S2N +1 f (tN ) = (S2N +1 f ) (t) dt = dt. π 0 sin t 0
3.9 Rummet L2 (T) och Parsevals formel
75
Vi vill unders¨ oka gr¨ ansv¨ ardet av S2N +1 f (tN ) d˚ a N → ∞. Eftersom integralen i (3.7) a r en smula komplicerad p˚ a grund av n¨amnaren, approximerar vi ¨ den med den enklare integralen Z 2 tN sin(2N + 2)t IN = dt = s¨att u = (2N + 2)t π 0 t Z π 2 sin u = du = I. π 0 u Integralerna IN har med andra ord det konstanta v¨ardet I, och en numerisk ber¨akning ger vid handen att I ≈ 1.179. H¨arn¨ ast noterar vi att Z 2 tN 1 1 S2N +1 f (tN ) − I = − sin(2N + 2)t dt. π 0 sin t t Funktionen
1 t − sin t 1 − = sin t t t sin t g˚ ar mot 0 d˚ a t → 0, s˚ a dess absoluta v¨arde ¨ar d¨arf¨or s¨akert mindre ¨an 1 p˚ a intervallet [0, tN ], bara N ¨ ar tillr¨ ackligt stort. Slutsatsen blir att g(t) =
|S2N +1 f (tN ) − I| ≤
2 π
· tN =
1 . N +1
F¨oljaktligen konvergerar S2N +1 f (tN ) mot I d˚ a N → ∞. Eftersom funktionen S2N +1 f ¨ar udda, har den ett minimum i punkten −tN , och minimiv¨ ardet ¨ ar approximativt lika med −1.179 f¨or stora N . Fast¨ an funktionen f har ett spr˚ ang i origo som ¨ar lika med 2 enheter, kommer s˚ aledes partialsummorna S2N +1 f (t) i en omgivning av origo att approximera ett vertikalt segment av ungef¨arlig l¨angd 2.358 d˚ a N g˚ ar mot o¨andligheten. Samma fenomen intr¨affar vid varje spr˚ angdiskontinuitet.
3.9
Rummet L2 (T) och Parsevals formel
Varje funktion i rummet L1 (T) har en fourierserie, men rummet ¨ar lite f¨or stort f¨or att att vissa ¨ onskv¨ arda resultat ska kunna g¨alla f¨or alla dess funktioner. Ett i flera avseende ”b¨ attre” och i m˚ anga till¨ampningar mer naturligt rum best˚ ar av kvadratiskt integrerbara funktioner. Om vi exempelvis mo2π-periodisk signal som funktionen f , s˚ a representerar integralen Rdellerar en 2 ar naturligtvis ¨andlig. Vi inf¨or d¨arf¨or T |f (t)| dt signalens effekt och den ¨ f¨oljande beteckning. Definition. Med L2 (T) menas rummet av alla 2π-periodiska funktioner f som uppfyller villkoret Z |f (t)|2 dt < ∞. T
76
3 Fourierserier
F¨ or funktioner f, g ∈ L2 (T) definierar vi Z 1/2 Z f (t)g(t) dt och kf k2 = . hf, gi = |f (t)|2 dt T
T
Om I ¨ ar ett godtyckligt intervall av l¨angd 2π, s˚ a kan vi identifiera rum2 2 met L (T) med rummet L (I) genom att identifiera funktionerna i L2 (T) med deras restriktioner till intervallet I. F¨oljande sats ¨ar d¨arf¨or bara en omformulering av sats 2.6.1. Sats 3.9.1. (i) Rummet L2 (T) ¨ ar ett inre produktrum med h·,·i som inre produkt och k · k2 som motsvarande norm. (ii) L2 (T) ¨ ar det delrum till L1 (T), och f¨ or varje funktion f ∈ L2 (T) g¨ aller normolikheten kf k1 ≤ kf k2 . Eftersom L2 (T) ¨ ar en delm¨angd av L1 (T) har varje L2 (T)-funktion f fourierkoefficienter, men vad som ¨ar speciellt f¨or L2 -funktioner ¨ar att fourierkoefficienten fˆ(n) kan uppfattas som en inre produkt beroende p˚ a att Z Z −int ˆ f (n) = f (t) e dt = f (t)eint dt = hf, ein· i. T
T
Ett annat fundamentalt faktum ¨ar vidare att m¨angden {eint | n ∈ Z} ¨ar ett ON-system, dvs. att funktionerna i m¨angden ¨ar parvis ortogonala och att de har norm 1. P˚ a grund av lemma 3.3.1 ¨ar n¨amligen ( Z 1 om n = k, heint , eikt i = ei(n−k)t dt = 0 om n 6= k. T Ett faktum, som inte ¨ar lika enkelt att visa, ¨ar att detta ON-system ¨ar fullst¨ andigt, vilket har som konsekvens att f¨oljande sats g¨aller: Sats 3.9.2 (Parsevals formler). Antag att f, g ∈ L2 (T). D˚ a¨ ar Z X (i) |f (t)|2 dt = |fˆ(n)|2 , T n∈Z Z X (ii) f (t)g(t) dt = fˆ(n)ˆ g (n). T
n∈Z
F¨ or att bevisa fullst¨andigheten hos ON-systemet {eint | n ∈ Z} beh¨over vi fler verktyg ¨ an vad vi har nu, s˚ a d¨arf¨or spar vi beviset f¨or ovanst˚ aende sats till avsnitt 4.7. Exempel 3.9.1. L˚ at f vara den periodiska utvidgningen av f (t) = t f¨or |t| < π. Funktionen ligger i L2 (T) och Z π 1 π2 kf k22 = t2 dt = . 2π −π 3
3.9 Rummet L2 (T) och Parsevals formel
77
Funktionens fourierkoefficienterna ber¨aknades i exempel 3.3.1: fˆ(0) = 0 och fˆ(n) = (−1)n /n f¨ or n 6= 0. Parsevals formel ger d¨arf¨or att 2 X X 1 ˆ(n)|2 = kf k2 = π . = | f 2 n2 3
n6= 0
Det f¨oljer att
n∈Z
∞ X 1 π2 = . n2 6
n=1
Eftersom en funktions fourierserie ofta ges p˚ a trigonometrisk form, speciellt om funktionen ¨ ar reell, ¨ ar det ocks˚ a anv¨andbart att ha den trigonometriska versionen av Parsevals formler: Sats 3.9.3 (Parsevals formler p˚ a trigonometrisk form). Antag att f, g ∈ L2 (T), att ∞
X 1 f (t) ∼ a0 + (an cos nt + bn sin nt) 2 n=1
och att ∞
X 1 g(t) ∼ c0 + (cn cos nt + dn sin nt). 2 n=1
D˚ a¨ ar
∞ 1 1X |f (t)|2 dt = |a0 |2 + (|an |2 + |bn |2 ), 4 2 T n=1 Z ∞ 1 1X (an cn + bn dn ). f (t)g(t) dt = a0 c0 + 4 2 T
Z (i) (ii)
n=1
Bevis. Utnyttja att sambandet mellan ˚ a ena sidan koefficienterna an och bn och ˚ a andra sidan fourierkoefficienterna fˆ(n) f¨or n ≥ 1 ¨ar fˆ(n) = 12 (an − ibn ) och fˆ(−n) = 21 (an + ibn ), medan fˆ(0) = 12 a0 . Detta inneb¨ar att 1 |fˆ(0)|2 = |a0 |2 och 4 1 1 |fˆ(n)|2 + |fˆ(−n)|2 = (an − ibn )(an + ibn ) + (an + ibn )(an − ibn ) 4 4 1 2 2 = (|an | + |bn | ), 2 vilket insatt i formel (i) i sats 3.9.2 ger den f¨orsta formeln i satsen ovan. Den andra formeln f¨ oljer p˚ a liknande s¨ att. Vi f˚ ar en intressant tolkning om P vi skriver en reell L2 -funktion f med fourierserieutvecklingen f (t) ∼ 12 a0 + ∞ a amplitud1 (an cos nt + bn sin nt) p˚
78
3 Fourierserier
fasvinkelform som f (t) ∼ A0 +
∞ X
An sin(nt + φn ).
n=1
Eftersom A2n = a2n + b2n s¨ager Parsevals relation i detta fall att Z
1 2π
∞
2π
f (t)2 dt = A20 +
0
1X 2 An . 2 n=1
Om funktionen f (t) modellerar en periodisk signal, s˚ a ¨ar integralen i v¨ansterledet signalens effekt, medan A20 ¨ar effekten hos en konstant signal med amplituden A0 och 12 A2n a¨r effekten hos signalen An sin(nt + φn ). Parsevals relation inneb¨ ar d¨ arf¨ or att en godtycklig signals effekt ¨ar lika med summan av effekterna hos de i signalen ing˚ aende harmoniska delarna. en sats som visar att man kan ber¨akna integralen R b Vi avslutar med 2 dt till en L (T)-funktion genom att integrera funktionens fouriera f (t) P serie n∈Z fˆ(n)eint termvis. Sats 3.9.4. Antag att f ∈ L2 (T). D˚ a¨ ar Z
b
f (t) dt = fˆ(0)(b − a) +
a
X fˆ(n) n6=0
Bevis. S¨ att
x
Z F (x) =
in
(einb − eina ).
(f (t) − fˆ(0)) dt.
0
D˚ aa ¨r funktionen F kontinuerlig och periodisk med period 2π eftersom 2π
Z F (2π) =
f (t) dt − 2πfˆ(0) = 2πfˆ(0) − 2πfˆ(0) = 0.
0
Enligt sats 3.5.2 ¨ ar d¨ arf¨or fˆ(n) Fˆ (n) = in f¨ or alla heltal n 6= 0. P ˆ Vi uppskattar nu summan |F (n)| genom att f¨orst anv¨anda Cauchy– Schwarz olikhet f¨ or summor och sedan Parsevals formel och f˚ ar d˚ a olikheten X 1/2 X 1 1/2 X X 1 |Fˆ (n)| = |fˆ(n)| ≤ |fˆ(n)|2 |n| n2 n6= 0
n6= 0
≤
X n∈Z
n6= 0
|fˆ(n)|2
1/2 2π2 1/2 6
n6= 0
π
= kf k2 · √ < ∞. 3
3.10 Annan period ¨ an 2π
79
P int ar f¨ ˆ Fourierserien ¨ oljaktligen absolutkonvergent, och enligt n∈Z F (n)e sats 3.7.1 a r seriens summa lika med F (t) f¨or alla t. Definitionen av F (x) ¨ ger oss d¨ arf¨ or likheten Z b X fˆ(n) f (t) dt = F (b) + fˆ(0)b = Fˆ (0) + einb + fˆ(0)b, in 0 n6=0
och genom att subtrahera motsvarande uttryck f¨or s¨okta likheten i satsen.
Ra 0
f (t) dt erh˚ aller vi den
¨ Ovningar 3.32 Anv¨ and fourierserierna i ¨ ovning 3.26 f¨or att ber¨akna f¨oljande summor: ∞ ∞ X X 1 1 a) b) . 4 2 n (4n − 1)2 n=1
3.10
n=1
Annan period ¨ an 2π
Fourierserieutvecklingen till en periodisk funktion med godtycklig period kan man f˚ a genom att skala om funktionen s˚ a att perioden blir 2π. F¨or framtida bruk ska vi nu h¨ arleda de formler som man d˚ a erh˚ aller. Antag att funktionen f ¨ ar periodisk med periodl¨angd P , dvs. att f (t + P ) = f (t)
f¨or alla t ∈ R,
och s¨att Ω = 2π/P , funktionens grundvinkelfrekvens. Definiera funktionen g genom att s¨ atta g(u) = f (u/Ω). D˚ a ¨ar g(u + 2π) = f (u/Ω + 2π/Ω) = f (u/Ω + P ) = f (u/Ω) = g(u), dvs. funktionen g a a formen ¨r 2π-periodisk med en fourierserieutveckling p˚ X f (u/Ω) = g(u) ∼ cn einu , n∈Z
d¨ar 1 cn = 2π 1 = P
Z
π
−inu
g(u) e Z
−π P/2
1 du = 2π
Z
π
f (u/Ω) e−inu du
π
f (t) e−inΩt dt,
−P/2
och d¨ar vi f¨ orst˚ as gjort variabelbytet t = u/Ω f¨or att erh˚ alla den sistn¨amnda integralen. Samma variabelbyte i serieutecklingen av g ger att X f (t) ∼ cn einΩt , n∈Z
vilket ¨ ar den s¨ okta fourierserieutvecklingen av f .
80
3 Fourierserier
Motsvarande kan f¨ orst˚ as g¨oras f¨or den trigonometriska varianten av fourierserieutvecklingen, vilket resulterar i f¨oljande formler: ∞
X 1 f (t) ∼ a0 + (an cos nΩt + bn sin nΩt), 2 n=1
d¨ ar an =
2 P
Z
P/2
f (t) cos nΩt dt och −P/2
bn =
2 P
Z
P/2
f (t) sin nΩt dt. −P/2
F¨ or P -periodiska L2 -funktioner f˚ ar slutligen Parsevals formel f¨oljande utseende: Z ∞ X 1 1 P/2 1X |f (t)|2 dt = |cn |2 = |a0 |2 + (|an |2 + |bn |2 ). P −P/2 4 2 n∈Z
n=1
Historiska notiser Teorin f¨ or trigonometriska serier g˚ ar tillbaka till f¨orsta h¨alften av 1700-talet, d˚ a matematiker b¨ orjar anv¨ anda sig av s˚ adana serier, s¨arskilt i samband med olika astronomiska ber¨ akningar. Leonhard Euler (1707–1783) representerar en funktion som han erh˚ allit genom att analysera planetr¨orelser som en trigonometrisk serie och anger en formel f¨or koefficienterna i form av en integral av den studerade funktionen, Jean le Rond d’Alembert (1717–1783) beskriver inversa avst˚ andet mellan tv˚ a planeter som en cosinusserie och anger ocks˚ a en formel f¨or koefficienterna, och Alexis Clairaut (1713–1765) h¨arleder en cosinusrepresentation f¨or en funktion han erh˚ allit i samband med studiet av solens r¨orelse. Euler, d’Alembert, Daniel Bernoulli (1700–1782) och Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) studerar ocks˚ a problemet med den sv¨angande str¨angen och anger l¨osningar i form av trigonometriska serier. Joseph Fourier (1768–1830) var emellertid f¨orst med den banbrytande id´en att varje funktion kan representeras av en trigonometrisk serie. Id´en presenterades i manuskriptform f¨ or den franska vetenskapsakademin 1807, men hans manuskript kritiserades f¨ or vaghet och bristande stringens och publicerades inte. Det skulle d¨ arf¨ or dr¨ oja till 1822 innan Fouriers verk Theori´e analytique de la chaleur kom ut. Fouriers arbete r¨ onte stort intresse men det uppfyller naturligtvis inte nutida krav p˚ a stringens. Exempelvis saknas bevis f¨or att erh˚ allna serier konvergerar. En k¨ alla till sv˚ arigheterna ¨ ar att sj¨alva funktionsbegreppet inte var klarlagt p˚ a den tiden, och begreppen kontinuitet och integral saknade ocks˚ a precisa definitioner. Det f¨ orsta korrekta beviset med tillr¨ackliga villkor f¨or fourierseriens konvergens gavs 1829 av Peter Lejeune Dirichlet (1805–1859). Dirichlet preciserar ocks˚ a funktionsbegreppet genom att definiera en funktion genom egenskapen ”att det f¨or varje x finns ett enda ¨ andligt y”, ¨aven om han senare sv¨avar p˚ a m˚ alet genom att n¨ ar han diskuterar styckvis kontinuerliga funktioner s¨aga att funktionen har tv˚ a v¨ arden i diskontinuitetspunkterna. Att m˚ anga anv¨ andbara egenskaper hos fourierserien ¨ar konsekvenser av att basfunktionerna eint ¨ ar ortogonala och att motsvarande egenskaper g¨aller f¨or m˚ anga
3.10 Annan period ¨ an 2π
81
andra klasser av funktioner, exempelvis Besselfunktioner och ortogonala polynom, uppm¨ arksammades av Friedrich Bessel (1784–1846). Parsevals sats har sitt namn efter Marc-Antoine Parseval (1755–1836) som ˚ ar 1799 i en artikel formulerade en formel f¨ or summan av kvadraterna p˚ a koefficienterna i en trigonometrisk serie som en integral. Gibbs fenomen beskrevs och f¨ orklarades 1848 av Henry Wilbraham (1825– 1883) men har sitt namn efter Willard Gibbs (1839–1903) som ovetande om Wilbraham ˚ ateruppt¨ ackte fenomenet femtio ˚ ar senare.
Kapitel 4
Fourierseriens konvergens Att best¨ amma om och var en godtycklig periodisk funktions fourierserie ¨ar konvergent ¨ ar ett sv˚ art problem som sysselsatt m˚ anga framst˚ aende matematiker. I det h¨ ar kapitlet ska vi bevisa konvergensresultaten som vi formulerade men l¨ amnade obevisade i f¨orra kapitlet samt n˚ agra kompletterande resultat. Vi g¨ or detta genom att inf¨ora ett s¨att att summera serier som kallas Abelsummation och som g¨ or att vissa divergenta serier l˚ ater sig summeras p˚ a ett vettigt s¨ att. En viktig biprodukt av v˚ ara m¨odor ¨ar resultatet att L1 -funktioner alltid ¨ ar entydigt best¨amda av sina fourierserier.
4.1
Omkastning av gr¨ ansprocesser
I flera av det h¨ ar kapitlets bevis kommer vi att beh¨ova g¨ora gr¨ans¨overg˚ angar under integraltecknet eller kasta om ordningen mellan summation och integration, dvs. utnyttja att det f¨ or de aktuella funktionsf¨oljderna eller summorna g¨ aller att Z b Z b lim fn (t) dt = lim fn (t) dt resp. n→∞ a ∞ Z b X n=1 a
a n→∞
an (t) dt =
Z bX ∞
an (t) dt.
a n=1
Att en s˚ adan omkastning av de tv˚ a gr¨ansprocesserna inte alltid ¨ar till˚ aten framg˚ ar av f¨ oljande tv˚ a exempel, s˚ a d¨arf¨or beh¨over de i f¨orekommande fall motiveras p˚ a n˚ agot s¨ att. Exempel 4.1.1. Definiera en funktionsf¨oljd (fn (t))∞ a intervallet [0, ∞[ 1 p˚ genom att s¨ atta t − n + 1 f¨or n − 1 ≤ t ≤ n, fn (t) = n + 1 − t f¨or n ≤ t ≤ n + 1, 0 f¨or ¨ovrigt. 83
84
4 Fourierseriens konvergens
n−1
n
n+1
Figur 4.1. Grafen till funktionen fn
Vi f˚ ar tydligen grafen till funktionen fn genom att p˚ a intervallet [n−1, n+1] rita en likbent triangel med intervallet som bas och h¨ojd 1 (se figur 4.1). Observera att limn→∞ fn (t) = 0 f¨or alla t ∈ [0, ∞[, ty f¨or fixt t ¨ar fn (t) = 0 f¨ or alla heltal n ≥ t + 1. Den punktvisa gr¨ansfunktionen f (t) ar s˚ aledes funktionen som ¨ar identiskt lika med noll. Men ¨ Z ∞ Z ∞ fn (t) dt = 1 6= 0 = f (t) dt 0
0
f¨ or alla n. I det h¨ ar fallet ¨ar det s˚ aledes inte till˚ atet att byta ordning p˚ a limes och integral. Exempel 4.1.2. Funktionsf¨oljden (gn (t))∞ a intervallet [0, 2] ¨r definierad p˚ 1 a av att 2 f¨or 0 ≤ t ≤ 1/n, n t 2 gn (t) = 2n − n t f¨or 1/n ≤ t ≤ 2/n, 0 f¨or ¨ovrigt. Vi f˚ ar funktionen gn :s graf genom att resa en likbent triangel p˚ a intervallet [0, 2/n] av h¨ ojd n och med intervallet som bas. Eftersom gn (t) = 0 s˚ a snart n > 2/t och gn (0) = 0 f¨or alla n, ¨ar limn→∞ gn (t) = 0. Funktionsf¨oljden konvergerar s˚ aledes punktvis mot funk-
n
2/n
2
Figur 4.2. Grafen till funktionen gn i exempel 4.1.2.
4.1 Omkastning av gr¨ ansprocesser tionen g(t) = 0 f¨ or alla t. Men Z
85
∞
gn (t) dt = 1 0
f¨or alla n, s˚ a inte heller i det h¨ ar fallet ¨ar det till˚ atet att byta ordning p˚ a limes och integral. F¨or att i f¨ orekommande fall motivera omkastning av limes och integration kommer vi att anv¨ anda oss av ett resultat fr˚ an teorin f¨or Lebesgueintegralen. Vi p˚ aminner d˚ a f¨ orst om att en f¨oljd (fn )∞ ages vara 1 av funktioner s¨ punktvis konvergent mot funktionen f p˚ a intervallet I om det f¨or alla t ∈ I g¨aller att fn (t) → f (t) d˚ a n → ∞. Punktvis konvergens r¨acker som vi sett ovan inte f¨ or att det ska vara till˚ atet att flytta in limes under integraltecknet, utan det beh¨ ovs ytterligare villkor och ett tillr¨ackligt s˚ adant ¨ar att funktionerna i f¨ oljden inte blir alltf¨ or ”stora” utan ”domineras” av n˚ agon ickenegativ funktion h med ¨ andlig integral i den betydelsen att |fn (t)| ≤ h(t) f¨or (n¨astan) alla t. Resultatet kallas Lebesgues sats om dominerad konvergens. Vi kommer inte att beh¨ ova satsen i dess fulla generalitet, utan formulerar f¨oljande lite svagare version som ¨ar anpassad till v˚ ara behov. Sats 4.1.1 (Dominerad konvergens). L˚ at (gn )∞ oljd av kontinuerliga 1 vara en f¨ funktioner som konvergerar punktvis mot funktionen g p˚ a intervallet I, och antag att funktionerna i f¨ oljden ¨ ar uniformt begr¨ ansade p˚ a I, dvs. att det finns en konstant C s˚ adan att |gn (t)| ≤ C f¨ or alla t ∈ I och alla n. F¨ or alla funktioner f ∈ L1 (I) ¨ ar d˚ a¨ ar Z Z lim f (t)gn (t) dt = f (t)g(t) dt. n→∞ I
I
Beviset f¨ or satsen ¨ ar alltf¨ or komplicerat f¨or att ges h¨ar, s˚ a den som ¨ar intresserad av att se beviset f˚ ar konsultera n˚ agon l¨arobok i integrationsteori. Genom att till¨ ampa satsen om dominerad konvergens p˚ a partialsummorna till en funktionsserie f˚ ar vi f¨ oljande korollarium. Korollarium 4.1.2. L˚ at (an )∞ oljd av kontinuerliga funktioner p˚ a 1 vara en f¨ ett intervall I, och antag att det finns en f¨ oljd (Mn )∞ av positiva tal med 1 f¨ oljande egenskaper: (i) |an (t)| ≤ Mn f¨ or alla Pt ∈ I och alla n; (ii) den positiva serien ∞ ar konvergent. n=1 Mn ¨ F¨ or varje funktion f ∈ L1 (I) ¨ ar d˚ a ∞ Z X n=1 I
f (t)an (t) dt =
Z X ∞ I n=1
f (t)an (t) dt.
86
4 Fourierseriens konvergens
P a (t) ¨ar absolutkonBevis. Antagandena (i) och (ii) medf¨or att serien ∞ PN 1 n ar uniformt bevergent och att dess partialsummor gN (t) = n=1 an (t) ¨ gr¨ ansade p˚ a intervallet I eftersom |gN (t)| ≤
N X
|an (t)| ≤
n=1
N X
Mn ≤
n=1
∞ X
Mn = C.
n=1
F¨ or ¨ andliga summor ¨ ar det naturligtvis inget problem att byta ordning p˚ a summation och integration, och d¨arf¨or ¨ar enligt f¨oreg˚ aende sats ∞ Z X
f (t)an (t) dt = lim
N →∞
n=1 I
N Z X
Z f (t)an (t) dt = lim
N →∞ I
n=1 I
Z
Z
f (t)
f (t) lim gN (t) dt =
=
N →∞
I
I
∞ X
f (t)gN (t) dt an (t) dt.
n=1
Exempel 4.1.3. Som till¨ampning p˚ a satsen om dominerad konvergens visar vi att Z n Z |t| lim 1− f (t) dt = f (t) dt n→∞ −n n R f¨ or alla f ∈ L1 (R). S¨ att f¨ or den skull ( (1 − |t|/n) gn (t) = 0
om |t| ≤ n, om |t| ≥ n.
Funktionerna gn a a reella axeln av ¨r kontinuerliga, uniformt begr¨ansade p˚ konstanten 1 samt konvergerar punktvis mot den konstanta R funktionen 1. Det f¨ o ljer d¨ a rf¨ o r av satsen om dominerad konvergens att R gn (t)f (t) dt → R a n → ∞, och eftersom R f (t) dt d˚ Z
Z
n
1−
gn (t)f (t) dt = −n
R
|t| f (t) dt n
ar beviset klart. ¨ Ett starkare villkor som till˚ ater gr¨ans¨overg˚ ang under integraltecknet ¨an det i sats 4.1.1 ¨ ar likformig konvergens. Vi p˚ aminner om att en f¨oljd (fn )∞ 1 av begr¨ ansade funktioner s¨ags konvergera likformigt p˚ a intervallet I mot funktionen f om kfn − f k∞ = sup |fn (t) − f (t)| → 0 t∈I
Likformig konvergens bevarar kontinuitet.
d˚ a n → ∞.
4.1 Omkastning av gr¨ ansprocesser
87
Sats 4.1.3. Antag att (fn )∞ ar en f¨ oljd av funktioner som konvergerar lik1 ¨ formigt mot funktionen f p˚ a intervallet I samt att funktionerna fn ¨ ar kontinuerliga i punkten t0 ∈ I. D˚ a ¨ ar ocks˚ a gr¨ ansfunktionen f kontinuerlig i punkten t0 . Bevis. V¨ alj givet > 0 ett index N s˚ adant att supt∈I |fN (t) − f (t)| < /3, vilket g˚ ar p˚ a grund av den likformiga konvergensen. V¨alj sedan δ > 0 s˚ a att |fN (t) − fN (t0 )| < /3 f¨ or alla t ∈ I med |t − t0 | < δ, vilket g˚ ar eftersom funktionen fN ¨ ar kontinuerlig. F¨or alla t i definitionsm¨ angden I som uppfyller |t − t0 | < δ g¨aller d˚ a att |f (t) − f (t0 )| = |(f (t) − fN (t)) + (fN (t) − fN (t0 )) + (fN (t0 ) − f (t0 ))| ≤ |f (t) − fN (t)| + |fN (t) − fN (t0 )| + |fN (t0 ) − f (t0 )| ≤ 2kf − fN k∞ + |fN (t) − fN (t0 )| < 2 + = , 3 3 vilket visar att funktionen f ¨ ar kontinuerlig i punkten t0 . Att man kan flytta in limes under integraltecknet f¨or en likformigt konvergent f¨ oljd av kontinuerliga funktioner, f¨orutsatt att integrationsintervallet ar nu mer eller mindre trivialt. ¨ar ¨andligt, ¨ Sats 4.1.4. Antag att (fn )∞ ar en likformigt konvergent f¨ oljd av kontinuer1 ¨ liga funktioner p˚ a ett begr¨ ansat slutet intervall [a, b]. D˚ a¨ ar Z b Z b lim fn (t) dt = lim fn (t) dt. n→∞ a
a n→∞
Bevis. Gr¨ ansfunktionen f (t) = limn→∞ fn (t) ¨ar enligt f¨oreg˚ aende sats kontinuerlig p˚ a intervallet [a, b], s˚ a den a¨r s¨akert integrerbar. Det f¨oljer d¨arf¨or av triangelolikheten f¨ or integraler och definitionen av likformig konvergens att Z b Z b Z b Z b fn (t) dt − f (t) dt ≤ |fn (t) − f (t)| dt ≤ kfn − f k∞ dt a
a
a
= (b − a)kfn − f k∞ → 0
a
d˚ a n → ∞.
En f¨ oljd av kontinuerliga funktioner som konvergerar likformigt p˚ a ett kompakt intervall ¨ ar naturligtvis uniformt begr¨ansad, s˚ a f¨oreg˚ aende sats ¨ar naturligtvis ocks˚ a en omedelbar konsekvens av satsen om dominerad konvergens. Ett enkelt villkor som garanterar likformig konvergens hos en funktionsserie ges av f¨ oljande sats, vars enkla bevis l¨amnas som ¨ovning. (Jmf med korollarium 4.1.2.) Sats 4.1.5 (Weierstrass majorantsats). L˚ at (an )∞ oljd av funktioner 1 vara en f¨ definierade p˚ a ett intervall I och antag att det finns en f¨ oljd (Mn )∞ 1 av positiva tal med f¨ oljande egenskaper:
88
4 Fourierseriens konvergens
|an (t)| ≤ Mn f¨ or alla t ∈ I och alla n; P den positiva serien ∞ Mn ¨ ar konvergent. P∞ n=1 D˚ a¨ ar funktionsserien n=1 an (t) likformigt konvergent p˚ a intervallet I. (i) (ii)
Vi avslutar med en sats om derivation under summatecknet. Sats 4.1.6. L˚ at (gn )∞ oljd av deriverbara funktioner p˚ a intervallet 1 vara en f¨ I med konvergent summa f (t) =
∞ X
gn (t)
n=1
f¨ or alla t ∈ I. Antag vidare att derivatorna gn0 ¨ ar begr¨ ansade p˚ a I och att ∞ X
sup |gn0 (t)| < ∞.
n=1 t∈I
D˚ a¨ ar funktionen f deriverbar p˚ a intervallet med derivata 0
f (t) =
∞ X
gn0 (t).
n=1
Bevis. Vi kan genom att betrakta real- och imagin¨ardelar var f¨or sig utan inskr¨ ankning anta att funktionerna gn ¨ar reellv¨arda. S¨att Mn = supt∈I |gn0 (t)|. Det f¨ oljer d˚ a av medelv¨ardessatsen att g (t + h) − g (t) n n − gn0 (t) = |gn0 (t + θh) − gn0 (t)| ≤ 2Mn . h P∞ V¨ alj nu givet t ∈ I och > 0 ett tal N s˚ adant att n=N +1 Mn < /2, och sedan talet δ > 0 s˚ adant att N X g (t + h) − g (t) n n − gn0 (t) < h n=1
om 0 < |h| < δ. Detta ¨ ar f¨orst˚ as m¨ojligt eftersom funktionerna gn ¨ar deriverbara. F¨ or 0 < |h| < δ f˚ ar vi nu f¨oljande uppskattning: ∞ ∞ f (t + h) − f (t) X X gn (t + h) − gn (t) 0 − gn (t) = − gn0 (t) h h n=1
n=1
N ∞ X X gn (t + h) − gn (t) gn (t + h) − gn (t) ≤ − gn0 (t) + − gn0 (t) h h n=1
n=N +1
N ∞ X X gn (t + h) − gn (t) ≤ − gn0 (t) + 2Mn ≤ + = 2, h n=1 n=N +1 P 0 som visar att funktionen f ¨ar deriverbar med derivata f 0 (t) = ∞ n=1 gn (t).
4.2 Kontinuitetsprincipen
89
¨ Ovningar Z
∞
4.1 Ber¨ akna gr¨ ansv¨ ardet lim
n→∞ −∞
2
e−t /n dt. 1 + t2
4.2 F¨ oljden (an )n∈Z ¨ ar begr¨ ansad och 0 < r < 1. Visa att funktionen f (t) =
X
an r|n| eint
n∈Z
andligt deriverbar. ¨ar o¨
4.2
Kontinuitetsprincipen
Antag att funktionen f : R → C a ¨r kontinurlig och att vi vet att f (x) = 0 f¨or alla rationella tal x. D˚ a f¨ oljer det av kontinuiteten och av det faktum att varje reellt tal kan approximeras med godtycklig noggrannhet av rationella tal (dvs. av att Q ¨ ar t¨ at i R) att f (x) = 0 f¨or alla x. Vi ska formulera och bevisa en liknande princip som exempelvis kan anv¨andas f¨or att utvinna information om hur en avbildning beter sig p˚ a m¨angden L1 (T) fr˚ an information om hur samma avbildning beter sig p˚ a den t¨ata delm¨angden C(T). Principen, som vi kallar kontinuitetsprincipen, bygger p˚ a ett generellt resultat vars bevis ¨ ar synnerligen enkelt. F¨or att kunna formulera den p˚ a ett enkelt s¨ att inf¨ or vi f¨ orst f¨ oljande definitioner. Definition. L˚ at B beteckna ett godtyckligt normerat vektorrum med norm k · k. En avbildning S : B → C kallas • additiv om S(f + g) = S(f ) + S(g) f¨or alla f, g ∈ B; • begr¨ ansad om det finns en konstant C s˚ adan att |S(f )| ≤ Ckf k f¨or alla f ∈ B. En avbildning S : B → R kallas • subadditiv om S(f + g) ≤ S(f ) + S(g) f¨or alla f, g ∈ B; • positiv om S(f ) ≥ 0 f¨ or alla f ∈ B. Vi p˚ aminner ocks˚ a om definitionen av begreppet t¨ at m¨ angd. Definition. En delm¨ angd D av ett normerat rum B kallas t¨ at i B om det f¨or varje f ∈ B och varje > 0 finns ett element g ∈ D med egenskapen att kf − gk < . Sats 4.2.1 (Kontinuitetsprincipen). Antag att S : B → R ¨ ar en positiv, subadditiv, begr¨ ansad avbildning p˚ a ett normerat rum B samt att S(f ) = 0 f¨ or alla f i n˚ agon t¨ at delm¨ angd av B. D˚ a¨ ar S(f ) = 0 f¨ or alla f ∈ B. Bevis. Antag att S(g) = 0 f¨ or alla element g i den t¨ata delm¨angden D, och l˚ at f vara ett godtyckligt element i B. F¨or varje > 0 finns det d˚ a ett
90
4 Fourierseriens konvergens
element g ∈ D s˚ adant att kf − gk < , och av antagandena om avbildningen S f¨ oljer d¨ arf¨ or att 0 ≤ S(f ) = S(f − g + g) ≤ S(f − g) + S(g) = S(f − g) ≤ Ckf − gk < C. Eftersom detta g¨ aller f¨ or alla > 0, ¨ar S(f ) = 0. Sats 4.2.1 har f¨ oljande tv˚ a korollarier som ¨ar de versioner av kontinuitetsprincipen som vi kommer att anv¨anda oss av vid ett flertal tillfallen. Korollarium 4.2.2. L˚ at Ti : B → C, i = 1, 2, vara tv˚ a additiva, begr¨ ansade avbildningar p˚ a ett normerat rum B, och antag att T1 (f ) = T2 (f ) f¨ or alla f i n˚ agon t¨ at delm¨ angd D av B. D˚ a¨ ar T1 (f ) = T2 (f ) f¨ or alla f ∈ B. Bevis. S¨ att S(f ) = |T1 (f ) − T2 (f )|. D˚ a ¨ar S en positiv och subadditiv avbildning B → R, ty S(f + g) = |T1 (f ) − T2 (f ) + T1 (g) − T2 (g)| ≤ |T1 (f ) − T2 (f )| + |T1 (g) − T2 (g)| = S(f ) + S(g). Eftersom avbildningarna T1 och T2 ¨ar begr¨ansade finns det vidare en konstant C s˚ adan att |T1 (f )| ≤ Ckf k och |T2 (f )| ≤ Ckf k f¨or alla f ∈ B, och detta medf¨ or att S(f ) ≤ |T1 (f )| + |T2 (f )| ≤ Ckf k + Ckf k = 2Ckf k. Avbildningen S ¨ ar s˚ aledes ocks˚ a begr¨ansad. Slutligen ¨ ar S(f ) = 0 f¨or alla f ∈ D. Det f¨oljer d¨arf¨or av kontinuitetsprincipen att Sf = 0 f¨ or alla f ∈ B, vilket bevisar korollariet. Korollarium 4.2.3. L˚ at Tn : B → R, n = 1, 2, 3, . . . , vara avbildningar p˚ a ett normerat rum B som ¨ ar positiva, subadditiva och uniformt begr¨ ansade, dvs. det finns en konstant C s˚ a att Tn (f ) ≤ Ckf k f¨ or alla f ∈ B och alla n. Antag vidare att lim Tn (f ) = 0 f¨ or alla f i n˚ agon t¨ at delm¨ angd D av B. n→∞
D˚ a¨ ar lim Tn (f ) = 0 f¨ or alla f ∈ B. n→∞
Anm¨ arkning. Vi kommer ocks˚ a att anv¨anda en variant av korollariet d¨ar man ist¨ allet f¨ or att ha en familj av avbildningar som indexeras av de positiva heltalen har en familj av typen (Tx )x∈I d¨ar I ¨ar ett intervall, s¨ag I =]a, b[. Om dessa avbildningar ¨ar positiva, subadditiva och uniformt begr¨ansade och limx→b Tx (f ) = 0 f¨ or alla f i n˚ agon t¨at delm¨angd av B, s˚ a ¨ar limx→b Tx (f ) = 0 f¨ or alla f ∈ B. Bevis. Vi skulle vilja s¨ atta S(f ) = limn→∞ Tn (f ) och till¨ampa kontinuitetsprincipen p˚ a avbildningen S. Problemet ¨ar att vi inte apriori vet att
4.2 Kontinuitetsprincipen
91
gr¨ansv¨ ardet existerar f¨ or alla f , och f¨or att komma runt detta s¨atter vi ist¨allet S(f ) = lim sup Tk (f ). n→∞ k≥n
Detta ¨ ar ett gr¨ ansv¨ arde som s¨ akert existerar f¨or varje f ∈ B, ty f¨oljden an = sup Tk (f ),
n = 1, 2, 3, . . .
k≥n
at begr¨ansad (av 0), och den har f¨olj¨ar uppenbarligen avtagande och ned˚ aktligen ett gr¨ ansv¨ arde.1 Vi p˚ ast˚ ar nu att S(f ) = 0 om och endast om limn→∞ Tn (f ) = 0. Om S(f ) = 0, s˚ a finns det n¨ amligen givet > 0 ett tal N s˚ a att aN < , och d˚ a¨ ar per definition 0 ≤ Tn (f ) ≤ aN < f¨or n ≥ N , vilket inneb¨ar att lim Tn (f ) = 0.
n→∞
Om det sistn¨ amnda gr¨ ansv¨ ardet ¨ar lika med 0, s˚ a finns det ˚ a andra sidan, givet > 0, ett tal N s˚ a att 0 ≤ Tn (f ) < f¨or n ≥ N , och d˚ a ¨ar speciellt 0 ≤ aN ≤ . Eftersom f¨ oljden (an )∞ a r avtagande, a r gr¨ a nsv¨ ardet S(f ) ¨ ¨ 1 mindre a n a , s˚ a vi drar slutsatsen att 0 ≤ S(f ) ≤ . H¨ a rav f¨ o ljer slutligen ¨ N att S(f ) = 0, eftersom ¨ ar ett godtyckligt positivt tal. Att avbildningen S : B → R a at oss nu visa att ¨r positiv a¨r uppenbart. L˚ den ocks˚ a¨ ar subadditiv och begr¨ansad. Subadditiviteten Tk (f + g) ≤ Tk (f ) + Tk (g) hos var och en av avbildningarna Tk medf¨ or f¨ orst genom supremumbildning att sup Tk (f + g) ≤ sup Tk (f ) + sup Tk (g) k≥n
k≥n
k≥n
och sedan genom gr¨ ans¨ overg˚ ang d˚ a n → ∞ att S(f + g) ≤ S(f ) + S(g). Av 0 ≤ Tk (f ) ≤ Ckf k f¨ oljer genom supremumbildning att 0 ≤ sup Tk (f ) ≤ Ckf k, k≥n
och d˚ a g¨ aller ocks˚ a f¨ or gr¨ ansv¨ ardet S(f ) att 0 ≤ S(f ) ≤ Ckf k. Antagandet limn→∞ Tn (f ) = 0 f¨or f ∈ D medf¨or slutligen att S(f ) = 0 f¨or alla f i den t¨ ata m¨ angden D. Enligt kontinuitetsprincipen ¨ar d¨arf¨or S(f ) = 0 f¨ or alla f ∈ B. D¨ armed ¨ar korollariet bevisat. Som ett exempel p˚ a hur man kan anv¨anda sig av korollarium 4.2.3 visar vi nu att translatet Tt f till en L1 (T)- eller L2 (T)-funktion f varierar med t p˚ a ett kontinuerligt vis. 1
Den som ¨ ar bekant med begreppet ¨ ovre limes, lim sup, k¨ anner omedelbart igen S(f ) som lim sup Tn (f ). n→∞
92
4 Fourierseriens konvergens
Sats 4.2.4. L˚ at p vara 1 eller 2, och antag att f ∈ Lp (T). F¨ or alla reella tal t0 ¨ ar d˚ a lim kTt f − Tt0 f kp = 0. t→t0
Bevis. Eftersom integralen a¨r translationsinvariant a¨r Z p |f (s − t) − f (s − t0 )|p ds kTt f − Tt0 f kp = ZT |f (s − t + t0 ) − f (s)| ds = kTt−t0 f − f kpp . = T
Det r¨ acker f¨ oljaktligen att visa p˚ ast˚ aendet i fallet t0 = 0, vilket vi nu ska g¨ ora. Definiera d¨ arf¨ or avbildningarna St : Lp (T) → R genom att s¨atta St f = kTt f − f kp . Avbildningarna St ¨ ar uppenbarligen positiva, och de ¨ar ocks˚ a subadditiva och uniformt begr¨ ansade eftersom St (f + g) = kTt (f + g) − (f + g)kp = kTt f − f + Tt g − gkp ≤ kTt f − f kp + kTt g − gkp = St f + St g
och
St f = kTt f − f kp ≤ kTt f kp + kf kp = kf kp + kf kp = 2kf kp . Rummet C(T) av kontinuerliga periodiska funktioner ¨ar t¨att i s˚ av¨al L1 (T) som L2 (T), s˚ a f¨or att visa satsen r¨acker det p˚ a grund av korollarium 4.2.3 (och den efterf¨oljande anm¨arkningen) att visa att St g → 0 d˚ a t → 0 f¨ or godtyckliga funktioner g i C(T). S˚ a antag att g ∈ C(T). Eftersom kontinuerliga periodiska funktioner a¨r likformigt kontinuerliga, finns det givet > 0 ett tal δ > 0 med egenskapen att |t1 − t2 | < δ ⇒ |g(t1 ) − g(t2 )| < . Vidare ¨ar kgkp ≤ kgk∞ . F¨or |t| < δ ¨ar f¨ oljaktligen 0 ≤ St g = kTt g − gkp ≤ kTt g − gk∞ = max |g(s − t) − g(s)| ≤ , s∈T
vilket visar att St g → 0 d˚ a t → 0.
4.3
Abelsummation
En fourierserie beh¨ over inte konvergera, och fr˚ agan uppst˚ ar d¨arf¨or om det finns n˚ agot annat s¨ att att ge P mening ˚ at serien. Betrakta f¨or den skull f¨orst en godtycklig numerisk serie ∞ a ar divergent, s˚ a finns det n . Om serien ¨ n=0 P ∞ n fortfarande en m¨ ojlighet att serien n=0 an r konvergerar f¨or 0 < r < 1 eftersom termerna i den sistn¨amnda serien ¨ar mindre ¨an i den f¨orstn¨amnda. Exempelvis ¨ ar serien s¨ akert konvergent om termerna an ¨ar begr¨ansade. Detta tj¨ anar som motivering f¨or f¨oljande definition.
4.3 Abelsummation
93
P∞ ages vara abelsummerbar med summa s om seDefinition. n=0 an s¨ P∞ Serien r konvergent f¨ or 0 ≤ r < 1 och rien n=0 an rn a ¨ lim
r→1−
∞ X
an rn = s.
n=0
P n ar abelsummerbar med Exempel 4.3.1. Den divergenta serien ∞ n=0 (−1) ¨ 1 summa 2 , ty ∞ X 1 1 (−1)n rn = → d˚ a r → 1− . 1+r 2 n=0 P Den divergenta serien ∞ ¨r d¨aremot inte abelsummerbar, ty n=0 1 a ∞ X n=0
rn =
1 → +∞ 1−r
d˚ a r → 1− .
Abelsummerbarhet generaliserar begreppet ”konvergent serie”, ty varje konvergent serie a ¨r abelsummerbar och abelsumman sammanfaller med den vanliga summan. Detta ¨ ar kontentan av v˚ ar n¨asta sats. P ar konvergent med Sats 4.3.1 (Abels summationssats). Om serien ∞ n=0 an ¨ summa s, s˚ a¨ ar den ocks˚ a abelsummerbar med summa s, dvs. lim
r→1−
∞ X n=0
an rn =
∞ X
an .
n=0
Bevis. Vi ska anv¨ anda kontinuitetsprincipen och l˚ ater d¨arf¨or B beteckna P a . Vi definierar en norm p˚ a detta rummet av alla konvergenta serier ∞ n=0 n rum genom att s¨ atta ∞ ∞ X
X
an = sup an . n=0
k≥0 n=k
och o¨verl˚ ater ˚ at l¨ asaren att verifiera att normegenskaperna ¨ar uppfyllda. L˚ at nu D vara m¨ angden av alla ¨andliga serier, dvs. serier vars alla termer fr˚ an och med ett visst index ¨ ar lika med noll. Detta ¨ar givetvis en delm¨angd av m¨angden av alla konvergenta serier. Vi ska visa att delm¨angden a¨r t¨at. P∞ L˚ at f¨or den skull a = n=0 an vara en godtycklig konvergent serie. Om ¨ar ett positivt tal,Ps˚ a finns det p˚ a grund av konvergensdefinitionen ett heltal ∞ N s˚ adant att | n=k an | < f¨ or alla k > N . L˚ at nu b vara den serie som f˚ as genom att trunkera serien a efter termen aN , dvs. b = a0 + a1 + · · · + aN + 0 + 0 + . . . . D˚ a ¨ar a − b = 0 + · · · + 0 + aN +1 + aN +2 + . . . , och f¨oljaktligen ∞ X an ≤ . ka − bk = sup k>N n=k
94
4 Fourierseriens konvergens
Detta bevisar att m¨ angden D ¨ar t¨at i B. Definiera nu f¨ o r 0 < r < 1 avbildningarna Tr : B → R genom att f¨or P∞ a = n=0 an s¨ atta ∞ ∞ X X Tr (a) = an − an rn .
(4.1)
n=0
n=0
P˚ ast˚ aendet i Abels sats ¨ar ekvivalent med p˚ ast˚ aendet att limr→1 Tr (a) = 0 f¨ or alla konvergenta serier, dvs. f¨or alla element i B. Uppenbarligen ¨ ar limr→1 Tr (a) = 0 f¨or alla element a i den t¨ata m¨angden D, ty d˚ a¨ ar de i definitionen av Tr (a) ing˚ aende summorna i (4.1) ¨andliga. F¨ or att bevisa Abels sats r¨acker det d¨arf¨or p˚ a grund av korollarium 4.2.3 till kontinuitetssatsen att visa att avbildningarna Tr ¨ar positiva, subadditiva och uniformt begr¨ ansade. De tv˚ a f¨ orstn¨ amnda egenskaperna ¨ar uppenbara, s˚ a det aterst˚ ar bara att P˚ a a grund visa den uniforma begr¨ ansningen. S¨att f¨or den skull sk = ∞ n=k n . P˚ av definitionen av norm ¨ar |sk | ≤ kak f¨or alla k. Vidare ¨ar an = sn − sn+1 , s˚ a det f¨ oljer att ∞ X
an r n =
n=0
=
∞ X
(sn − sn+1 )rn =
n=0 ∞ X
∞ X
sn r n −
n=0
sn rn −
n=0
∞ X
∞ X
sn+1 rn
n=0
sn rn−1 = s0 +
n=1
∞ X
sn (rn − rn−1 ).
n=1
F¨ oljaktligen a ¨r ∞ ∞ ∞ X X X Tr (a) = s0 − an rn = sn (rn−1 − rn ) ≤ |sn |(rn−1 − rn ) n=0
≤
∞ X
n=1
kak(rn−1 − rn ) = kak
n=1
n=1 ∞ X
(rn−1 − rn ) = kak.
n=1
D¨ armed ¨ ar den uniforma begr¨ansningen visad och beviset klart.
¨ Ovningar 4.3 F¨ or vilka komplexa tal α ¨ar serien i f¨ orekommande fall summan.
P∞
4.4 F¨ or vilka komplexa tal α ¨ar serien ar i f¨ orekommande fall summan? ¨
P∞
4.4
n=0 α
n
n=0 nα
abelsummerbar? Best¨am
n
abelsummerbar och vad
Poissonk¨ arnan
Baktanken med att inf¨ ora begreppet abelsummation ¨ar att anv¨anda denna teknik p˚ a fourierserien som ju har st¨orre chans att vara abelsummerbar ¨an
4.4 Poissonk¨ arnan
95
att enbart vara konvergent, och om fourierserien faktiskt konvergerar s˚ a ¨ar ju abelsumman och den vanliga summan lika. Vi ¨ar med andra ord intresserade av att unders¨oka gr¨ansv¨ardet av ∞ X a0 X fˆ(n)r|n| eint , + (an cos nt + bn sin nt)rn = 2 n=1
n∈Z
d˚ a r → 1− . Eftersom fourierkoefficienterna a¨r begr¨ansade (av kf k1 ) a¨r serien absolutkonvergent f¨ or varje r i intervallet [0, 1[, s˚ a fr˚ agan ¨ar bara om den har n˚ agot gr¨ ansv¨ arde d˚ a r → 1− . F¨or att kunna hantera och studera den o¨andliga serien ¨ar det f¨ordelaktigt att skriva om den som en integral, precis som vi gjorde d˚ a vi i avsnitt 3.6 uttryckte partialsumman SN f (t) som en faltning av funktionen f med Dirichletpolynomet DN (t). Ett f¨ ors¨ ok att generalisera Dirichletpolynomet vore f¨orst˚ asP att l˚ ata N g˚ a mot o¨ andligheten; problemet ¨ar att den resulterande ar divergent f¨ or alla t. Vi f¨orb¨attrar situationen genom att serien n∈Z eint ¨ multiplicera den n:te och −n:te termen med r|n| och erh˚ aller d˚ a serien X Pr (t) = r|n| eint n∈Z
som f¨or 0 ≤ r < 1 ¨ ar en summa av tv˚ a konvergenta geometriska serier. Vi kan d¨arf¨ or l¨ att ber¨ akna summan Pr (t) explicit. Enklast blir r¨akningarna om vi s¨atter z = reit vilket medf¨ or att re−it = z¯. Vi f˚ ar d˚ a Pr (t) =
∞ X k=0
zk +
∞ X
z¯k =
k=1
1 z¯ 1 − |z|2 1 − r2 + = = . 1 − z 1 − z¯ |1 − z|2 1 + r2 − 2r cos t
Definition. Funktionerna Pr (t) =
X
r|n| eint =
n∈Z
1 − r2 , 1 + r2 − 2r cos t
d¨ar 0 ≤ r < 1, kallas poissonk¨ arnan. Poissonk¨ arnan har f¨ oljande egenskaper: Sats 4.4.1 (Poissonk¨arnan). (a) kontinuerliga. Z (b) Pr (t) dt = 1.
Funktionerna Pr (t) ¨ ar j¨ amna, positiva och
T
Z (c)
π
Pr (t) dt → 0 d˚ a r → 1.
Om 0 < δ < π s˚ a g¨ aller att δ
(d)
Om 0 < δ < π s˚ a g¨ aller att max Pr (t) → 0 d˚ a r → 1. δ≤t≤π
96 (e)
4 Fourierseriens konvergens F¨ or alla f ∈ L1 (T) ¨ ar f ∗ Pr (t) =
X
r|n| fˆ(n)eint .
n∈Z
(f )
F¨ or alla f ∈ L1 (T) ¨ ar funktionerna f ∗ Pr o¨ andligt deriverbara.
Bevis. (a) f¨ oljer omedelbart av det explicita uttrycket f¨or Pr (t). (b) Genom att byta ordning mellan integration och summation samt utnyttR ja att T eint dt = 0 f¨ or n 6= 0 f˚ ar vi Z Z Z X Z X int |n| |n| int 1 dt = 1. e dt = r r e dt = Pr (t) dt = T n∈Z
T
T
T
n∈Z
Omkastningen ¨ ar till˚ aten p˚ a grund av korollarium 4.1.2 till satsen om domiP |n| < ∞. nerad konvergens eftersom r|n| eint = r|n| f¨or alla t ∈ R och ∞ −∞ r (d) Eftersom funktionerna Pr ¨ar avtagande i intervallet [δ, π] g¨aller att max Pr (t) = Pr (δ) =
δ≤t≤π
1 − r2 →0 1 + r2 − 2r cos δ
d˚ a r → 1.
(c) a orst˚ as en omedelbar konsekvens av (d). ¨r f¨ (e) F¨ or fixt t ligger funktionen s 7→ f (t − s) i L1 (T). Det f¨oljer d¨arf¨or av korollariet till satsen om dominerad konvergens att Z Z X r|n| eins f (t − s) ds f ∗ Pr (t) = f (t − s)Pr (s) ds = T
=
T n∈Z
XZ
|n| ins
r e
f (t − s) ds =
n∈Z T
X
r|n| eint
r|n| f (u)ein(t−u) du
n∈Z T
Z
f (u)e−inu du =
T
n∈Z
XZ X
r|n| fˆ(n)eint .
n∈Z
(f) P˚ ast˚ aendet f¨ oljer genom upprepad anv¨andning av sats 4.1.6 p˚ a serierepresentationen i (e) av f ∗ Pr . (k) S¨ att gn (t) = r|n| fˆ(n)eint ; d˚ a ¨ar k:te derivatan gn (t) = (in)k r|n| fˆ(n)eint (k) och f¨ or dess supnorm Mn = sup |gn (t)| g¨aller att Mn ≤ |n|k r|n| kf k1 . Det f¨ oljer att X X Mn ≤ kf k1 |n|k r|n| < ∞, n∈Z
n∈Z
s˚ a enligt sats 4.1.6 existerar k:te derivatan till f ∗Pr , och den ges av summan X (in)k r|n| fˆ(n)eint . n∈Z
4.5 Fourierseriens abelsumma
97
10
5
1 −π
π
Figur 4.3. Poissonk¨ arnan Pr (t) f¨or r = 0.4 och r = 0.8.
4.5
Fourierseriens abelsumma
En kontinuerlig periodisk funktions fourierserie beh¨over inte konvergera i alla punkter men den ¨ ar abelsummerbar i samtliga punkter med funktionsv¨ardet som summa. Och godtyckliga L1 (T)-funktioner ¨ar abelsummerbara i L1 mening i en betydelse som preciseras nedan. Detta a¨r kontentan av f¨oljande sats, som utg¨ or en av h¨ ojdpunkterna i det h¨ar kapitlet. Sats 4.5.1. L˚ at f vara en funktion i L1 (T). D˚ a¨ ar (i) lim kf ∗ Pr − f k1 = 0; r→1
(ii) (iii)
lim f ∗ Pr (t) = f (t) om f ¨ ar kontinuerlig i punkten t;
r→1
lim kf ∗ Pr − f k∞ = 0 om f ∈ C(T).
r→1
P˚ ast˚ aende (ii) betyder, eftersom X f ∗ Pr (t) = r|n| fˆ(n)eint , n∈Z int till en funktion f ar abelsummerbar med ˆ att fourierserien ¨ n∈Z f (n)e f (t) som summa i varje punkt t d¨ar funktionen a¨r kontinuerlig. R R Bevis. (i) Eftersom T Pr (s) ds = 1, ¨ar f (t) = T f (t)Pr (s) ds, varav f¨oljer att Z Z f ∗ Pr (t) − f (t) = f (t − s)Pr (s) ds − f (t)Pr (s) ds T T Z Z = (f (t − s) − f (t))Pr (s) ds = (Ts f (t) − f (t))Pr (s) ds.
P
T
T
98
4 Fourierseriens konvergens
Triangelolikheten f¨ or integraler ger nu olikheten Z |Ts f (t) − f (t)|Pr (s) ds, (4.2) |f ∗ Pr (t) − f (t)| ≤ T
som vi integrerar med avseende p˚ a t f¨or att f˚ a normen av f ∗ Pr − f . Genom att kombinera detta med en omkastning av integrationsordningen f˚ ar vi uppskattningen Z Z (4.3) |Ts f (t) − f (t)|Pr (s) ds dt kf ∗ Pr − f k1 ≤ T T Z Z |Ts f (t) − f (t)| dt ds Pr (s) = T T Z kTs f − f k1 Pr (s) ds. = T
Vi ska visa p˚ ast˚ aende (i) genom att visa att integralen i h¨ogerledet av olikheten (4.3) g˚ ar mot noll d˚ a r → 1, och det g¨or vi genom att dela upp integrationsintervallet T i tv˚ a delar: en del Iδ , d¨ar normen kTs f − f k1 ¨ar liten, och komplementet Jδ , d¨ar integralen av Pr (s) ¨ar liten och g˚ ar mot noll d˚ a r → 1. Enligt sats 4.2.4 g˚ ar kTs f − f k1 mot noll d˚ a s → 0. D¨arf¨or finns det givet > 0 ett positivt tal δ s˚ adant att kTs f −f k1 < f¨or alla s i intervallet [−δ, δ]. Och f¨ or alla s ¨ ar kTs f − f k1 ≤ kTs f k1 + kf k1 = 2kf k1 . Med Iδ = [−δ, δ] och Jδ = [−π, −δ] ∪ [δ, π] f˚ ar vi nu Z Z Z 1 1 kTs f − f k1 Pr (s) ds ≤ Pr (s) ds ≤ Pr (s) ds = 2 π Iδ 2π Iδ T och Z Z Z 1 1 2kf k1 π kTs f − f k1 Pr (s) ds ≤ 2kf k1 Pr (s) ds = Pr (s) ds, 2 π Jδ 2π Jδ π δ d¨ ar vi utnyttjat egenskaperna (a) och (b) i sats 4.4.1 hos Poissonk¨arnan. Addition av de b˚ ada olikheterna ger oss nu p˚ a grund av olikheten (4.3) den nya olikheten Z 2kf k1 π kf ∗ Pr − f k1 ≤ + Pr (s) ds, π
δ
och det f¨ oljer nu av egenskapen (c) hos Poissonk¨arnan att det finns ett tal r0 < 1 s˚ adant att kf ∗ Pr − f k1 ≤ 2 f¨or r0 < r < 1. Detta bevisar p˚ ast˚ aende (i), dvs. att f ∗ Pr konvergerar mot f i L1 -mening d˚ a r → 1. Beviset f¨ or p˚ ast˚ aendena (ii) och (iii) ¨ar analogt, men nu utg˚ ar vi fr˚ an olikheten (4.2) och kommer att visa att integralen i h¨ogerledet av olikheten g˚ ar mot 0 d˚ a r → 1 om funktionen f ¨ar kontinuerlig i punkten t, samt att samma integral g˚ ar likformigt mot noll p˚ a T om funktionen ¨ar kontinuerlig p˚ a hela T. Vi l˚ ater den h¨ar g˚ angen intervallet Iδ = [−δ, δ] vara den del d¨ar
4.5 Fourierseriens abelsumma
99
differensen |f (t − s) − f (t)| ¨ ar liten. P˚ a komplementet Jδ = [−π, −δ] ∪ [δ, π] a¨r Poissonk¨ arnan Pr (s) liten och g˚ ar mot 0 d˚ a r → 1. S˚ a antag att funktionen f ¨ ar kontinuerlig i punkten t. D˚ a finns det, givet > 0, ett positivt tal δ s˚ a att |s| ≤ δ ⇒ |Ts f (t) − f (t)| < , och om funktionen f ¨ ar kontinuerlig p˚ a T s˚ a kan vi p˚ a grund av likformig kontinuitet v¨ alja δ s˚ a att ovanst˚ aende implikation g¨aller f¨or alla t ∈ T. Detta ger oss f¨ oljande uppskattning av integralen o¨ver intervallet Iδ : Z Z Z 1 1 Pr (s) ds = , |Ts f (t) − f (t)|Pr (s) ds ≤ Pr (s) ds ≤ (4.4) 2 π Iδ 2 π Iδ T som om f ∈ C(T) s˚ aledes g¨ aller f¨or alla t. F¨or s ∈ Jδ utnyttjar vi ist¨ allet att |Ts f (t) − f (t)|Pr (s) ≤ |Ts f (t)|Pr (s) + |f (t)|Pr (s) ≤ |Ts f (t)| max Pr (s) + |f (t)|Pr (s) s∈Jδ
= |Ts f (t)|Pr (δ) + |f (t)|Pr (s), och genom att integrera denna olikhet med avseende p˚ a s ¨over Jδ samt utnyttja att Z Z Z 1 |Ts f (t)| ds ≤ |Ts f (t)| ds = |f (u)| du = kf k1 2 π Jδ T T erh˚ aller vi olikheten Z Z |f (t)| π 1 |Ts f (t) − f (t)|Pr (s) ds ≤ kf k1 Pr (δ) + Pr (s) ds (4.5) 2π Jδ π δ Genom att addera de tv˚ a uppskattningarna (4.4) och (4.5) erh˚ aller vi nu slutligen f¨ oljande olikhet ur olikheten (4.2) Z |f (t)| π |f ∗ Pr (t) − f (t)| ≤ + kf k1 Pr (δ) + Pr (s) ds, π
δ
som g¨aller f¨ or alla t ∈ T om f a aledes ¨r kontinuerlig o¨verallt. I detta fall a¨r s˚ Z kf k∞ π kf ∗ Pr − f k∞ ≤ + kf k1 Pr (δ) + Pr (s) ds. π
Enligt sats 4.4.1 g˚ ar s˚ av¨ al Pr (δ) som finns s˚ aledes ett tal r0 < 1 s˚ adant att
Rπ δ
δ
Pr (s) ds mot 0 d˚ a r g˚ ar mot 1. Det
|f ∗ Pr (t) − f (t)| < 2 resp.
kf ∗ Pr − f k∞ < 2
f¨or r0 < r < 1, vilket bevisar p˚ ast˚ aendena (ii) och (iii).
100
4 Fourierseriens konvergens
Anm¨ arkning. Eftersom faltningarna f ∗ Pr ¨ar o¨andligt deriverbara, visar p˚ ast˚ aende (i) i sats 4.5.1 att de o¨andligt deriverbara funktionerna a¨r t¨ata i L1 (T). Vi kan sk¨ arpa p˚ ast˚ aende (ii) i satsen genom att utnyttja att Poissonk¨arnan ¨ ar j¨ amn och skriva faltningen f ∗ Pr p˚ a formen Z π 1 f (t − s) + f (t + s) f ∗ Pr (t) = Pr (s) ds. π 0 2 Med n¨ astan exakt samma resonemang som i beviset f¨or p˚ ast˚ aende (ii) f˚ ar vi nu f¨ oljande mer generella resultat: Sats 4.5.2. Antag att f ∈ L1 (T) samt att f (t − s) + f (t + s) = A. s→0 2 lim
D˚ a¨ ar fourierserien till f abelsummerbar i punkten t med summa A. Observera att
1 f (t− ) + f (t+ ) 2 om de b˚ ada ensidiga gr¨ ansv¨ardena A=
f (t− ) = lim f (s) s→t−
och
f (t+ ) = lim f (s) s→t+
existerar. En av v˚ ara inledande fr˚ agor om fourierkoefficienterna var huruvida de best¨ ammer funktionen entydigt, och den fr˚ agan kan vi nu besvara jakande. Vi har n¨ amligen f¨ oljande entydighetsresultat. Sats 4.5.3 (Entydighetssatsen). (a) Antag att f ∈ L1 (T) och att fˆ(n) = 0 f¨ or alla n ∈ Z. D˚ a¨ ar kf k1 = 0, dvs. f (t) = 0 n¨ astan ¨ overallt. Speciellt ¨ ar f (t) = 0 i alla kontinuitetspunkter t till funktionen. (b) Antag att f och g ¨ ar tv˚ a funktioner i L1 (T) med fˆ(n) = gˆ(n) f¨ or alla n ∈ Z. D˚ a¨ ar f (t) = g(t) n¨ astan ¨ overallt, och speciellt ¨ ar f (t) = g(t) i alla punkter t d¨ ar b˚ ada funktionerna ¨ ar kontinuerliga. P Bevis. (a) Eftersom fˆ(n) = 0 f¨or alla n, ¨ar f ∗Pr (t) = n∈Z r|n| fˆ(n)eint = 0 f¨ or alla t och 0 ≤ r < 1. F¨oljaktligen ¨ar kf k1 = kf ∗ Pr − f k1 f¨or 0 ≤ r < 1. Men enligt sats 4.5.1 g˚ ar kf ∗ Pr − f k1 mot 0 d˚ a r → 1, och s˚ aledes ¨ar kf k1 = 0. (b) f¨ oljer av (a) genom att vi betraktar differensen f − g. Vi avslutar det h¨ ar avsnittet med ett par f¨oljdsatser till sats 4.5.1. Den f¨ orsta s¨ ager oss vad fourierseriens summa m˚ aste vara om vi vet att den konvergerar.
4.6 Riemann–Lebesgues lemma
101
Sats 4.5.4. Antag att f ∈ L1 (T), att f ¨ ar kontinuerlig i punkten t (eller mer generellt att A = 12 lims→0 f (t+s)+f (t−s) existerar), samt att funktionens fourierserie ¨ ar konvergent i punkten t. D˚ a¨ ar fourierseriens summa i punkten t lika med f (t) (resp. A). Bevis. Enligt sats 4.5.1 (resp. sats 4.5.2) ¨ar serien abelsummerbar med abelsumma f (t) (resp. A), och eftersom serien ¨ar konvergent ¨ar abelsumman lika med den vanliga summan. P Sats 4.5.5. Antag att f ∈ L1 (T) och att n∈Z |fˆ(n)| < ∞. D˚ a¨ ar f (t) =
X
fˆ(n)eint
n∈Z
n¨ astan ¨ overallt och speciellt i alla punkter t d¨ ar funktionen f ¨ ar kontinuerlig. Bevis. P˚ a grund av Weierstrass majorantsats (sats 4.1.5) konvergerar X f ∗ Pr (t) = r|n| fˆ(n)eint n∈Z
P likformigt mot n∈Z fˆ(n)eint d˚ a r → 1. Men enligt sats 4.5.1 konvergerar 1 f ∗ Pr i L -mening mot f (t). De tv˚ a gr¨ansv¨ardena m˚ aste vara lika n¨astan ¨overallt, vilket betyder att likheten i satsen g¨aller n¨astan ¨overallt. Eftersom funktionen i h¨ ogerledet av likheten ¨ar kontinuerlig ¨overallt, g¨aller likheten s¨akert i alla punkter d¨ ar funktionen f ¨ar kontinuerlig.
¨ Ovning 4.5 Visa att X
fˆ(n)eint = f (t)
n∈Z
om funktionen f ∈ L1 (T) ¨ ar tv˚ a g˚ anger kontinuerligt deriverbar.
4.6
Riemann–Lebesgues lemma
Hittills har vi bara visat att en godtycklig L1 (T)-funktions fourierkoefficienter ¨ar begr¨ ansade, men l¨ asaren har s¨akert noterat att i samtliga exempel och ¨ovningar som f¨ orekommit har koefficienterna g˚ att mot noll d˚ a |n| g˚ ar mot o¨andligheten. Detta ¨ ar ingen tillf¨allighet, utan vi har f¨oljande generella resultat som brukar g˚ a under namnet Riemann–Lebesgues lemma. Sats 4.6.1 (Riemann–Lebesgues lemma). F¨ or alla funktioner f ∈ L1 (T) g¨ aller att lim fˆ(n) = 0. n→±∞
102
4 Fourierseriens konvergens
Bevis. Vi ska anv¨ anda korollarium 4.2.3 till kontinuitetsprincipen genom att v¨ alja B = L1 (T) och Tn (f ) = |fˆ(n)|. F¨or alla f, g ∈ L1 (T) och n ∈ Z a¨r Tn (f + g) = |fˆ(n) + gˆ(n)| ≤ |fˆ(n)| + |ˆ g (n)| = Tn (f ) + Tn (g) och 0 ≤ Tn (f ) ≤ kf k1 , s˚ a avbildningarna Tn a ¨r positiva, subadditiva och uniformt begr¨ansade. Som t¨ at m¨ angd D v¨ aljer vi m¨angden D = {f ∗ Pr | f ∈ L1 (T), 0 ≤ r < 1}; att m¨ angden ¨ ar t¨ at i L1 (T) f¨oljer av sats 4.5.1 (i). F¨or att bevisa Riemann– Lebesgues lemma r¨ acker det d¨arf¨or att visa att Tn (g) = |ˆ g (n)| → 0 d˚ a n → ±∞ f¨ or alla funktioner g ∈ D. Men f¨or g = f ∗ Pr ∈ D ¨ar Tn (g) = |ˆ g (n)| = |r|n| fˆ(n)| ≤ r|n| kf k1 , och r|n| → 0 eftersom 0 < r < 1. D¨armed ¨ar saken klar.
¨ Ovningar 4.6 Visa f¨ or f ∈ L1 (T) att R a) limn→∞ T f (t) sin nt dt = 0 R b) limn→∞ T f (t) cos nt dt = 0 R c) limn→∞ T f (t) sin(n + 12 )t dt = 0.
4.7
Parsevals formel
Vi noterade i avsnitt 3.9 att {eint | n ∈ Z} ¨ar ett ON-system i inreproduktrummet L2 (T) och att fˆ(n) = hf, ein· i f¨or f ∈ L2 (T). Vi presenterade ocks˚ a tv˚ a varianter av en viktig formel, Parsevals formel, som inneb¨ar att ON-systemet ¨ ar fullst¨ andigt, ett resultat som vi nu upprepar och dessutom ska bevisa. Sats 4.7.1 (Parsevals sats). Antag f, g ∈ L2 (T). D˚ a g¨ aller: Z X (i) |f (t)|2 dt = |fˆ(n)|2 . T n∈Z Z X (ii) f (t)g(t) dt = fˆ(n)ˆ g (n). T
(iii) Serien
n∈Z
X n∈Z
fˆ(n)eint konvergerar i L2 -mening mot f .
4.7 Parsevals formel
103
Enligt sats 2.5.6 ¨ ar de tre p˚ ast˚ aendena i satsen ekvivalenta s˚ a det r¨acker att bevisa ett av dem, t. ex. p˚ ast˚ aende (i). Beviset kr¨aver ett par hj¨alpsatser och vi startar med Bessels olikhet. Lemma 4.7.2 (Bessels olikhet f¨ or L2 (T)). Antag att f ∈ L2 (T). D˚ a¨ ar X |fˆ(n)|2 ≤ kf k22 . n∈Z
Bevis. Satsen a as f¨or inreproduktrummet ¨r det specialfall av sats 2.5.5 som f˚ 2 int L (T) och ON-systemet {e | n ∈ Z}. F¨or att f¨ orenkla beteckningarna inf¨or vi f¨oljande notation. Definition. Om f ¨ ar en funktion med R som definitionsm¨angd, s˚ a ¨ar fˇ funktionen som definieras av att fˇ(t) = f (−t) f¨or alla t ∈ R. Om f ligger i L2 (T), s˚ a ligger f¨orst˚ as ocks˚ a fˇ i L2 (T) och kfˇk2 = kf k2 . Lemma 4.7.3. Faltningen f ∗ g av tv˚ a L2 (T)-funktioner f och g ¨ ar en kontinuerlig funktion. Bevis. Det f¨ oljer av Cauchy–Schwarz olikhet att Z |f ∗ g(t) − f ∗ g(t0 )| = f (s) gˇ(s − t) − gˇ(s − t0 ) ds T Z 1/2 Z 1/2 2 ≤ |f (s)| ds |ˇ g (s − t) − gˇ(s − t0 )|2 ds T
T
= kf k2 kTt gˇ − Tt0 gˇk2 , och enligt sats 4.2.4 g˚ ar h¨ ogerledet i olikheten ovan mot 0 d˚ a t → t0 . Detta visar att faltningen ¨ ar kontinuerlig i den godtyckliga punkten t0 . Bevis f¨ or Parsevals sats. Antag att f ∈ L2 (T) och s¨att Z ¯ ˇ h(t) = f ∗ f (t) = f (s)f (s − t) ds. T
Enligt lemma 4.7.3 ¨ ar h en kontinuerlig L1 (T)-funktion, och eftersom Z Z ¯ −int ˇ F(f )(n) = f (−t)e dt = f (u)e−inu du = fˆ(n), T
T
¨ar ˆ h(n) = fˆ(n)fˆ(n) = |fˆ(n)|2 f¨or alla n ∈ Z.
104
4 Fourierseriens konvergens
P Enligt Bessels olikhet ¨ar serien n∈Z |fˆ(n)|2 konvergent, s˚ a det f¨oljer d¨ arf¨ or av sats 4.5.5 att X |fˆ(n)|2 eint h(t) = n∈Z
f¨ or alla t, och speciellt ¨ar allts˚ a h(0) =
X
|fˆ(n)|2 .
n∈Z
Men
Z
Z f (s)f (s) ds =
h(0) = T
|f (t)|2 dt,
T
och d¨ armed ¨ ar likheten (i) i Parsevals sats bevisad. Parsevals sats har en trevlig tolkning i termer av isometrier, dvs. normbevarande linj¨ ara avbildningar. M¨angden `2 (Z) av alla komplexa f¨oljder a = (an )n∈Z som uppfyller villkoret 1/2 X <∞ kak2 = |an |2 n∈Z
a ¨r ett inreproduktrum med k · k2 som norm och X ha, bi = an bn n∈Z
som inre produkt (jmf. exempel 2.5.1), och sats 4.7.1 inneb¨ar att fouriertransformen F(f ) = (fˆ(n))n∈Z av en funktion f ∈ L2 (T) a¨r ett element i `2 (Z) och att kF(f )k2 = kf k2 . Restriktionen av fouriertransformen till rummet L2 (T) ¨ar med andra ord en isometri fr˚ an L2 (T) till `2 (Z). Man kan vidare visa att avbildningen ¨ar surjektiv, s˚ a som normerade rum (och inreproduktrum) kan funktionsrummet L2 (T) och rummet `2 (Z) av f¨oljder uppfattas som ”samma” rum.
4.8
Punktvis konvergens
Vi har tidigare konstaterat att partialsumman SN f (t) =
N X
fˆ(n)eint
n=−N
till en funktions fourierserie kan skrivas som en faltning SN f (t) = f ∗ DN (t)
4.8 Punktvis konvergens
105
av funktionen f med Dirichletpolynomet DN (t) =
N X
eint =
n=−N
sin(N + 21 )t . sin 12 t
Dirichletpolynomen har egenskaper som p˚ aminner om Poissonk¨arnan. Exempelvis ¨ ar Z (4.6) DN (t) dt = 1 T
och Z lim
N →∞ δ
π
DN (t) dt = 0
om 0 < δ < π.
P int termvis eftersom Likheten oljer genom att integrera summan N −N e R int (4.6) f¨ dt ¨ ar lika med 0 f¨ or n 6= 0 och lika med 1 f¨or n = 0, och gr¨ansv¨ardet ¨ar Te en konsekvens av Riemann-Lebesgues lemma eftersom funktionen 1/ sin 21 t tillh¨or L1 ([δ, π]). F¨or att visa att partialsummorna konvergerar mot f (t) i en punkt t ¨ar det frestande att f¨ ors¨ oka kopiera beviset f¨or sats 4.5.1, men det fungerar inte av det sk¨ alet att Dirichletpolynomen till skillnad fr˚ an Poissonk¨arnan inte ¨ar positiva. F¨ or att fourierserien skall konvergera punktvis kr¨avs det ytterligare villkor p˚ a funktionen f , och vi skall nu h¨arleda ett tillr¨ackligt s˚ adant. Antag som alltid att f ∈ L1 (T), och l˚ at till att b¨orja med A vara ett godtyckligt tal. Genom att utnyttja ekvation (4.6) erh˚ aller vi identiteten Z SN f (t) − A = f ∗ DN (t) − A = f (t − s) − A DN (s) ds T Z 0 Z π 1 1 = f (t − s) − A DN (s) ds + f (t − s) − A DN (s) ds. 2π −π 2π 0 Vi g¨or nu variabelbytet u = −s i integralen ¨over [−π, 0] samt utnyttjar att Dirichletpolynomet DN ¨ ar en j¨ amn funktion. Detta resulterar i att Z π Z π 1 1 SN f (t) − A = f (t + u) − A DN (u) du + f (t − s) − A DN (s) ds 2π 0 2π 0 Z π 1 = f (t + s) + f (t − s) − 2A DN (s) ds 2π 0 Z π 1 f (t + s) + f (t − s) − 2A = sin(N + 12 )s ds. 2π 0 sin 12 s Om nu funktionen g(s) =
f (t + s) + f (t − s) − 2A sin 12 s
106
4 Fourierseriens konvergens
tillh¨ or L1 ([0, π]), s˚ a f¨ oljer det av Riemann-Lebesgues lemma att Z π 1 lim SN f (t) − A = lim g(s) sin(N + 21 )s ds = 0, N →∞ N →∞ 2π 0 dvs. partialsummorna SN f (t) konvergerar mot A. Vi kan ers¨ atta villkoret g ∈ L1 ([0, π]) med ett n˚ agot enklare villkor genom att anv¨ anda den element¨ara olikheten 2
x ≤ sin x ≤ x,
π
som g¨ aller f¨ or 0 ≤ x ≤ π/2 och f¨oljer av att sinuskurvan f¨or 0 ≤ x ≤ π/2 ligger mellan kordan fr˚ an origo till maximipunkten (π/2, 1) och tangenten i origo. F¨ or 0 < s ≤ π ¨ar s˚ aledes 2 ≤ s/ sin 12 s ≤ π, s˚ a om vi definierar funktionen h genom att s¨atta h(s) =
sin 12 s f (t + s) + f (t − s) − 2A = g(s) s s
blir f¨ oljaktligen 2|g(s)| ≤ |h(s)| ≤ π|g(s)| f¨ or 0 < s ≤ π. Funktionen g tillh¨or s˚ aledes L1 ([0, π]) om och endast om funktionen h g¨ or det. Vi unders¨ oker d¨ arf¨ or n¨ar h tillh¨or L1 ([0, π]) och l˚ ater f¨or den skull δ vara ett godtyckligt tal i det ¨oppna intervallet ]0, π[. F¨or s ≥ δ ¨ar |h(s)| ≤ δ −1 (|f (t + s)| + |f (t − s)| + 2|A|) och f¨ oljaktligen Z π Z π −1 |h(s)| ds ≤ δ (|f (t + s)| + |f (t − s)| + 2|A|) ds δ
= 2πδ
0 −1
(kf k1 + |A|) < ∞.
Funktionen h liger s˚ aledes i L1 ([0, π]) om och endast om Z δ Z δ f (t + s) + f (t − s) − 2A |h(s)| ds = ds < ∞ s 0 0 f¨ or n˚ agot δ > 0. D¨ armed har vi bevisat f¨oljande sats. Sats 4.8.1 (Dinis konvergenskriterium). Fourierserien till L1 (T)-funktionen f ¨ ar konvergent i punkten t med gr¨ ansv¨ arde A om Z δ f (t + s) + f (t − s) − 2A ds < ∞ s 0 f¨ or n˚ agot positivt tal δ.
4.8 Punktvis konvergens
107
Dinis konvergensvillkor ¨ ar uppfyllt om gr¨ansv¨ardet (4.7)
lim
s→0+
f (t + s) + f (t − s) − 2A s
existerar, ty detta medf¨ or att funktionen h(s) ¨ar begr¨ansad n¨ara s = 0. Och ett svagare tillr¨ ackligt villkor ¨ ar att det finns positiva konstanter C och α s˚ adana att olikheten (4.8)
|f (t + s) + f (t − s) − 2A| ≤ Csα
g¨aller f¨ or alla tillr¨ ackligt sm˚ a tal s. Sammanfattningsvis har vi allts˚ a visat att SN f (t) → A d˚ a N → ∞ om villkoret (4.7) eller villkoret (4.8) a r uppfyllt, och f¨ o r att med utg˚ angspunkt ¨ fr˚ an detta skaffa oss tv˚ a konvergenskriterier som ¨ar enkla att verifiera inf¨or vi f¨oljande beteckningar och definitioner. Definition. I en punkt t0 d¨ ar h¨ ogergr¨ansv¨ardet f (t+ 0 ) = lim f (t0 + s) s→0+
existerar kallas gr¨ ansv¨ ardet f+0 (t0 ) = lim
s→0+
f (t0 + s) − f (t+ 0) s
f¨or den generaliserade h¨ ogerderivatan, f¨orutsatt att det existerar. Och i en punkt d¨ ar v¨ anstergr¨ ansv¨ ardet f (t− 0 ) = lim f (t0 + s) s→0−
existerar kallas gr¨ ansv¨ ardet f−0 (t0 ) = lim
s→0−
f (t0 + s) − f (t− 0) s
f¨or den generaliserade v¨ ansterderivatan, f¨orutsatt att det existerar. − I punkter t0 d¨ ar funktionen ¨ ar kontinuerlig ¨ar f¨orst˚ as f (t+ 0 ) = f (t0 ) = f (t0 ), och om den ”vanliga” v¨ ansterderivatan existerar s˚ a ¨ar den lika med 0 f− (t0 ), och motsvarande g¨ aller f¨ or den ”vanliga” h¨ogerderivatan. Speciellt existerar s˚ av¨ al f+0 (t0 ) som f−0 (t0 ) i alla punkter t0 d¨ar funktionen f ¨ar deriverbar.
Definition. Funktionen f kallas H¨ olderkontinuerlig i punkten t0 om det finns positiva konstanter C, α och δ s˚ adana att olikheten |f (t) − f (t0 )| ≤ C|t − t0 |α g¨aller f¨ or |t − t0 | < δ.
108
4 Fourierseriens konvergens
Utrustade med dessa definitioner kan vi nu formulera f¨oljande konvergenskriterier. Sats 4.8.2. Antag att f ∈ L1 (T), och l˚ at t vara en punkt d¨ ar de b˚ ada ensidi− + ga gr¨ ansv¨ ardena f (t ) och f (t ) och de tv˚ a generaliserade ensidiga derivatorna f−0 (t) och f+0 (t) existerar. D˚ a konvergerar fourierserien till f i punkten t mot 12 f (t+ ) + f (t− ) . Bevis. S¨ att A = 12 (f (t+ ) + f (t− )). V˚ ara antaganden medf¨or att f (t + s) − f (t+ ) f (t + s) + f (t − s) − 2A = lim s→0+ s s s→0+ − f (t − s) − f (t ) − lim = f+0 (t) − f−0 (t) + −s s→0 lim
existerar, dvs. det f¨ or konvergens tillr¨ackliga villkoret (4.7) ¨ar uppfyllt. Sats 4.8.3. Antag att f ∈ L1 (T) och att t ¨ ar en punkt d¨ ar funktionen f ¨ ar H¨ olderkontinuerlig. D˚ a ¨ ar funktionens fourierserie konvergent i punkten t med summa f (t). Bevis. P˚ a grund av antagandet finns det positiva konstanter C och α s˚ adana att |f (t ± s) − f (t)| ≤ Csα f¨ or alla tillr¨ ackligt sm˚ a s, och d˚ a ¨ar det tillr¨ackliga konvergensvillkoret (4.8) uppfyllt med A = f (t). Huruvida en fourierserie konvergerar i en punkt beror enbart p˚ a funktionens uppf¨ orande i en godtyckligt liten omgivning av punkten. Detta ¨ar inneb¨ orden av f¨ oljande sats. Sats 4.8.4 (Riemanns lokaliseringsprincip). (a) L˚ at f ∈ L1 (T) och antag att f (t) = 0 f¨ or |t − t0 | < δ, d¨ ar δ ¨ ar ett godtyckligt litet positivt tal. D˚ a konvergerar fourierserien till f mot 0 i punkten t0 . (b) L˚ at f, g ∈ L1 (T) och antag att f (t) = g(t) f¨ or alla t i n˚ agon ¨ oppen omgivning av t0 . D˚ a¨ ar antingen fourierserierna till f och g b˚ ada konvergenta i punkten t0 med samma summa, eller ocks˚ a¨ ar b˚ ada serierna divergenta. Bevis. (a) ¨ ar en omedelbar konsekvens av sats 4.8.2, och (b) f¨oljer genom att till¨ ampa (a) p˚ a differensen f −g, eftersom Sn f (t) = Sn (f −g)(t)+Sn g(t). Lokaliseringsprincipen ¨ar onekligen ¨overraskande, ty genom att ¨andra en funktion utanf¨ or en godtyckligt liten omgivning av en punkt kan vi f¨or¨andra samtliga koefficienter i fourierserien, men detta p˚ averkar allts˚ a inte fourierseriens summa i punkten.
4.8 Punktvis konvergens
109
Vi avslutar det h¨ ar avsnittet med n˚ agra konvergensresultat, vars bevis a¨r alltf¨or komplicerade f¨ or att ges h¨ar. Den svenske matematikern Lennart Carleson visade 1966 f¨oljande sats. Sats (Carlesons sats). M¨ angden av punkter d¨ ar fourierserien till en L2 (T)funktion inte konvergerar ¨ ar en nollm¨ angd. Eftersom alla kontinuerliga funktioner p˚ a T ligger i L2 (T) f¨oljer speciellt: Korollarium. M¨ angden av punkter d¨ ar fourierserien till en kontinuerlig funktion p˚ a T inte konvergerar ¨ ar en nollm¨ angd. Korollariets resultat ¨ ar det b¨asta vi kan hoppas p˚ a p˚ a grund av n¨asta sats. Sats (Kahane–Katznelson). F¨ or varje nollm¨ angd E p˚ a T finns det en kontinuerlig funktion vars fourierserie divergerar f¨ or alla punkter i E. Och f¨ or allm¨ anna L1 -funktioner har vi f¨oljande negativa resultat. Sats (Kolmogorov). Det finns en L1 (T)-funktion vars fourierserie divergerar punktvis ¨ overallt. Varje L1 -funktions fourierserie ¨ar enligt sats 4.5.1 abelsummerbar i L1 mening med funktionen som summa. Detta betyder emellertid inte att fourierseriens partialsummor beh¨ over konvergera mot funktionen i L1 -mening, ty vi har f¨ oljande sats. Sats. Det finns en L1 (T)-funktion vars fourierserie inte konvergerar mot funktionen i L1 -mening. F¨or bevisen av samtliga satser ovan, f¨orutom Carlesons sats, h¨anvisas till Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, 3rd ed., Cambridge University Press, 2004.
¨ Ovningar 4.7 Visa f¨ oljande normresultat f¨or Dirichletk¨arnan: 4 a) kDN k∞ = 2N + 1 b) kDN k1 = 2 log N + O(1). π
Det f¨ oljer att kDN k1 → ∞ d˚ a N → ∞, och det a¨r detta faktum som g¨or att det exempelvis finns kontinuerliga funktioner med fourierserier som divergerar i vissa punkter.
110
4 Fourierseriens konvergens
4.9
Weierstrass approximationssats
Vi kan ber¨ akna ett polynoms v¨arden exakt med hj¨alp av enbart element¨ara aritmetiska r¨ akneoperationer. Ur ber¨akningssynpunkt ¨ar det d¨arf¨or betydelsefullt att alla kontinuerliga funktioner kan approximeras likformigt med polynom p˚ a slutna begr¨ansade interval [a, b] med godtycklig noggrannhet. M¨ angden av polynom ¨ ar med andra ord t¨at i rummet C([a, b]) av alla kontinuerliga funktioner p˚ a intervallet [a, b] med avseende p˚ a den naturliga supremumnormen k · k∞ . Sats 4.9.1 (Weierstrass approximationssats). L˚ at I = [a, b] vara ett slutet, begr¨ ansat intervall. F¨ or varje f ∈ C(I) och > 0 finns det ett polynom p(t) s˚ a att |f (t) − p(t)| < f¨ or a ≤ t ≤ b. Bevis. Det r¨ acker att visa satsen f¨or intervallet [0, π], ty det allm¨anna fallet kan ˚ aterf¨ oras p˚ a detta fall med hj¨alp av variabelbytet s = π(t − a)/(b − a). L˚ at d¨ arf¨ or f vara en godtycklig kontinuerlig funktion p˚ a intervallet [0, π]. Vi b¨ orjar med att visa att vi kan approximera f uniformt p˚ a intervallet med godtycklig noggrannhet med hj¨alp av trigonometriska polynom, dvs. att det givet > 0 finns ett trigonometriskt polynom P (t) s˚ adant att |f (t) − P (t)| < f¨or 0 ≤ t ≤ π. Utvidga f¨ or den skull f¨orst f till en j¨amn funktion f˜ p˚ a [−π, π]; den j¨amna utvidgningen ¨ ar f¨ orst˚ as kontinuerlig med f˜(−π) = f˜(π), s˚ a den 2π-periodiska utvidgningen ¨ ar ocks˚ a kontinuerlig, dvs. den tillh¨or C(T). Eftersom funktionen f˜ ¨ ar j¨ amn, inneh˚ aller fourierserien bara cosinustermer. Abelserien f˜ ∗ Pr (t) =
∞ X ˆ a0 X |n| int ˜ f (n)r e = + an rn cos nt 2 n=1
n∈Z
inneh˚ aller d¨ arf¨ or ocks˚ a bara cosinustermer och f¨or koefficienterna g¨aller uppskattningen ˆ ˆ |an | = |f˜(n) + f˜(−n)| ≤ 2kf˜k1 . Enligt sats 4.5.1 finns det ett tal r < 1 s˚ adant att |f (t) − f˜ ∗ Pr (t)| < /4
f¨or 0 ≤ t ≤ π.
F¨ or alla t a ¨r vidare ∞ ∞ ∞ X X X rN +1 an rn cos nt ≤ |an |rn ≤ 2kf˜k1 rn = 2kf˜k1 < /4 1−r n=N +1
n=N +1
n=N +1
bara N ¨ ar tillr¨ ackligt stort, eftersom rn → 0 d˚ a n → ∞. F¨or det trigonometriska polynomet N
a0 X P (t) = + an rn cos nt 2 n=1
4.9 Weierstrass approximationssats
111
g¨aller d¨ arf¨ or uppskattningen (4.9)
∞ X
|f (t) − P (t)| = |f (t) − f˜ ∗ Pr (t) +
an rn cos nt|
n=N +1 ∞ X
≤ |f (t) − f˜ ∗ Pr (t)| + |
an rn cos nt|
n=N +1
≤ /4 + /4 < /2 likformigt f¨ or 0 ≤ t ≤ π. Det ˚ aterst˚ ar nu endast att visa att det trigonometriska polynomet P (t) kan approximeras uniformt p˚ a intervallet [0, π] med ett vanligt polynom. Vi approximerar d¨ arf¨ or funktionen P (t) med dess Maclaurinpolynom p(t) =
m−1 X n=0
P (n) (0) n t n!
av grad m − 1. Maclaurinutvecklingens approximationsfel P (t) − p(t) kan uttryckas p˚ a formen P (m) (θt) m P (t) − p(t) = t m! d¨ar θ ¨ar ett tal mellan 0 och 1. F¨ or j¨amna tal m ≥ 2 ¨ar P (m) (t) = (−1)m/2
N X
nm an rn cos nt,
n=1
och f¨or udda m f˚ as ett motsvarande uttryck med sin nt ist¨allet f¨or cos nt. F¨oljaktligen ¨ ar |P
(m)
(t)| ≤
N X
m
n
n |an |r ≤
n=1
N X
m
N |an | = N
n=1
m
N X
|an |
n=1
f¨or alla t, och detta ger oss uppskattningen N |P (m) (θt)| m (N π)m X t ≤ |an |. m! m! 0≤t≤π
sup |P (t) − p(t)| = sup 0≤t≤π
Eftersom ovan att (4.10)
(N π)m /m!
n=1
→ 0 d˚ a m → ∞, f¨oljer det av olikheten n¨armast |P (t) − p(t)| < /2
f¨or alla t ∈ [0, π], f¨ orutsatt att Maclaurinpolynomets gradtal m valts tillr¨ackligt stort, och genom att addera de tv˚ a uppskattningarna (4.9) och (4.10) erh˚ aller vi den s¨ okta olikheten |f (t) − p(t)| < f¨or alla t ∈ [0, π].
112
4 Fourierseriens konvergens
Historiska notiser M˚ anga matematiker var under sjuttonhundratalet fascinerade av problemet att summera divergenta serier. Exempelvis diskuterar Guido Grandi (1671–1742) serien 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . i ett arbete ˚ ar 1703, och han tilldelar den med olika argument summan 1/2. Grandis serie kommenterades av flera samtida matematiker, bl. a. Gottfried Wilhelm Leibniz och Leonhart Euler, och en metod som anv¨ andes f¨ or att motivera just v¨ardet 1/2 a¨r den summationsmetod som numera kallas Abelsummation p˚ a grund av Niels Henrik Abels (1802–1829) sats 4.3.1. Det finns flera andra s¨att att summera divergenta serier, exempelvis Ces`arosum` ro (1859–1906). Denmation, en metod som f˚ att sitt namn efter Ernesto Cesa na summationsmetod definierar en given series summa som gr¨ansv¨ardet av medelv¨ ardena till seriens partialsummor d˚ a antalet partialsummor g˚ ar mot o¨andlighe´ t Feje ´r (1880–1959) visade att en periodisk ten. Den ungerske matematikern Lipo funktions fourierserie ¨ ar Ces`arosummerbar med funktionsv¨ardet som summa i varje kontinuitetspunkt till funktionen, dvs. den direkta motsvarigheten till sats 4.5.1 f¨ or abelsummation. Beviset ¨ar parallellt med beviset f¨or sats 4.5.1 och utnyttjar endast att den mot Poissonk¨arnan svarande Fej´erk¨arnan ocks˚ a ¨ar en positiv summationsk¨ arna, dvs. har egenskaper motsvarande dem i sats 4.4.1. ´on Poisson (1781–1840) som ett verkPoissonk¨ arnan introducerades av Sime tyg f¨ or att l¨ osa Dirichlets problem i enhetsskivan, dvs. Laplace ekvation med kontinuerliga randv¨ arden. Poissons arbeten om fourierserier beredde ocks˚ a v¨ag f¨or Dirichlets och Riemanns arbeten inom samma omr˚ ade. Fourier hade inga bevis f¨or att hans serier var punktvis konvergenta, s˚ a det ar naturligt att konvergensproblemet v¨ackte de samtida matematikernas intresse. ¨ Det f¨ orsta beviset i den riktingen gavs av Dirichlet som visade att fourierserien till en styckvis monoton, styckvis kontinuerlig, begr¨ansad funktion ¨ar konvergent med funktionsv¨ ardet som summa (utom i diskontinuitetspunkterna d¨ar summan ist¨allet ar lika med medelv¨ ardet av h¨oger- och v¨anstergr¨ansv¨ardena). I sitt bevis anv¨ande ¨ sig Dirichlet av Dirichletk¨arnan. Hans kriterium generaliserades sedan av exempelvis Camille Jordan(1838–1922) som visade att fourierserien ¨ar konvergent i varje ¨ oppet intervall d¨ ar funktionen ¨ar kontinuerlig och av begr¨ansad variation, och Ulisse Dini (1845–1918) som visade sats 4.8.1. Ett ¨annu svagare, men mer sv˚ arverifierbart, konvergensvillkor har givits av Henri Lebesgue. Att kontinuitet inte ¨ ar tillr¨ackligt f¨or att en funktions fourierserie ska konvergera punktvis ¨ overallt ¨ ar en konsekvens av att Dirichletk¨arnornas L1 -normer inte ar uniformt begr¨ ansade. M¨angden d¨ar en kontinuerlig funktions fourierserie inte ¨ konvergerar m˚ aste emellertid vara en nollm¨angd enligt korollariet till Lennart Carlesons (1928– ) djupa sats fr˚ an 1966.
Kapitel 5
Till¨ ampningar p˚ a fourierserien 5.1
Toner
I inledningskapitlet introducerade vi fourierserien genom att diskutera toner; en ton med tonh¨ ojden ν Hz modellerades som en periodisk funktion f med en fourierserieutveckling av typen f (t) =
∞ X
An sin(2πνnt + φn )
n=1
p˚ a amplitud-fasvinkelform, och de ing˚ aende sinusoiderna An sin(2πνnt + φn ) kallades deltoner. Som exempel ska vi nu analysera en ton f (t) med frekvens ν, amplitud A och s˚ agtandsform enligt figur 5.1. y A
θP 2
P
P 2
t
Figur 5.1. S˚ agtandsformad v˚ agfunktion f
Funktionen f ¨ ar udda och periodisk med period P = 1/ν och antar maximiv¨ ardet A f¨ or t = θP/2, d¨ ar 0 < θ < 1. P˚ a intevallet [0, P/2] a¨r d¨arf¨or θP 2Aν t f¨or 0 ≤ t ≤ θ 2 f (t) = P 2Aν θP P −t f¨or ≤t≤ . 1−θ 2 2 2 113
114
5 Till¨ ampningar p˚ a fourierserien P˚ a trigonometrisk form har funktionen f fourierserieutvecklingen f (t) =
∞ X
bn sin 2πνnt,
n=1
d¨ ar 4 bn = P
Z
P/2
f (t) sin 2πνnt dt. 0
Variabelbytet x = 2πνt resulterar i formeln Z 2 π bn = f (x/2πν) sin nx dx π 0 Z Z π 2A θπ x x θ = 1− sin nx dx , sin nx dx + θπ 0 π (1 − θ) θπ π och efter partiell integration f˚ as bn =
2A sin nθπ · . 2 θ(1 − θ)π n2
Absolutbeloppet av kvoten bn /b1 mellan amplituden bn hos ¨overtonen med frekvens nν och amplituden b1 hos grundtonen ger ett m˚ att p˚ a den relativa tonstyrkan hos ¨overtonen. I f¨oreliggande fall ¨ar bn sin nθπ 1 = · . b1 sin θπ n2 Om θ = 1/N , d¨ ar N ¨ ar ett heltal, s˚ a ¨ar bkN = 0 f¨or alla k, vilket inneb¨ar att det inte finns n˚ agra ¨overtoner med frekvenser som ¨ar heltalsmultipler av N ν. L˚ at oss nu speciellt analysera fallet θ = 1/2. D˚ a ¨ar allts˚ a bn = 0 f¨or alla j¨ amna tal n medan |bn /b1 | = 1/n2 f¨or udda n. Om grundfrekvensen ν hos s˚ agtandstonen ¨ ar lika med frekvensen hos tonen lilla c som ¨ar 130.8 Hz, f˚ ar de nio f¨ orsta deltonerna frekvenser och relativ styrka bn /b1 enligt tabell 5.1, d¨ ar vi f¨ or varje delton ocks˚ a angivet motsvarande ton i tolvtonsskalan.1 S˚ agtandstonens spektrum visas i figur 5.2. Observera att amplitudskalan ¨ar logaritmisk. 1
Intervallet mellan en ton och tonen med dubblad frekvens kallas en oktav. I v¨ asterl¨ andsk musik delas oktaven i 12 (logaritmiskt) lika stora halvtonsteg, vilket betyder att varje halvtonsteg multiplicerar frekvensen med 21/12 = 1.0595. Det g˚ ar exempelvis 5 halvtonsteg mellan tonerna C och F och 7 halvtonsteg mellan tonerna C och G inom en och samma oktav, vilket inneb¨ ar att tonerna F och G har frekvenser som ¨ ar 25/12 = 7/12 1.3348 resp. 2 = 1.4983 g˚ anger frekvensen hos C. Tonstegsintervall av samma storlek som intervallen C–F resp. C–G kallas kvart resp. kvint. Notera att de rationella talen 4/3 resp. 3/2 ¨ ar mycket bra approximationer till 25/12 resp. 27/12 vilket f¨ orklarar varf¨ or kvarter och kvinter klingar harmoniskt. Vid s. k. ren st¨ amning st¨ ammer man f¨ or ¨ ovrigt musikinstrumenten s˚ a att kvarts- och kvintintervallen blir exakt 4/3 och 3/2.
5.2 Sv¨ angande str¨ angen
115
Tabell 5.1. Deltoner till s˚ agtandstonen f¨or θ = 1/2.
Delton nr n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Amplitud (dB)
Frekvens, Hz 131 262 392 523 654 785 916 1047 1177 c c1 g1 c2 e2 g2 a] 2 c3 d3 Tonl¨ age 1 1 1 1 Relativ styrka 1 0 0 0 0 9 25 49 81
0 −20 −40 −60 −80 0
2000
4000
6000
8000
10000
Frekvens (Hz) Figur 5.2. S˚ agtandstonens spektrum d˚ a θ = 1/2.
5.2
Sv¨ angande str¨ angen
I det f¨orra avsnittet analyserade vi toner som fysikaliskt sett ¨ar periodiska mekaniska v˚ agor som i form av f¨ ort¨atningar och f¨ortunningar i luften n˚ ar astadkomma s˚ adana v˚ agor p˚ a olika s¨att, genom ¨orat. Man kan som bekant ˚ att kn¨appa, gnida eller sl˚ a p˚ a en str¨ang som i str¨anginstrument eller genom att s¨atta en luftpelare i r¨ orelse som i bl˚ asinstrument. Den alstrade tonens tonh¨ojd, tonstyrka och klangf¨ arg beror av geometriska och fysikaliska egenskaper hos instrumentet. Vi ska analysera detta f¨or det enkla fallet att v˚ art instrument best˚ ar av en enda str¨ang. Betrakta f¨ or den skull en str¨ang av l¨angd L som ¨ar fastsp¨and i sina orl¨ agger till punkterna 0 och L p˚ a x-axeln. Om vi s¨atter ¨andpunkter som vi f¨ str¨angen i r¨ orelse i xy-planet, t. ex. genom att lyfta den och sedan sl¨appa den (som p˚ a en gitarr) eller genom att sl˚ a p˚ a den (som hammaren i ett piano), Omf˚ anget av det h¨ orbara frekvensomr˚ adet motsvarar ca 10 oktaver, s˚ a det beh¨ ovs ca 120 namn f¨ or att notera de av tolvtonskalan genererade tonerna. Det g¨ or man genom att f¨ orst ge de olika oktaverna namn s˚ asom stora oktaven, lilla (eller ostrukna) oktaven, ettstrukna, tv˚ astrukna oktaven, osv. Sedan f˚ ar tonerna inom en oktav oktavens namn som till¨ agg. Exempelvis kallas tonen C i stora oktaven ”stora C” och betecknas C, tonen C i lilla oktaven kallas ”lilla C” och betecknas c, tonen C i ettstrukna oktaven kallas ”ettstrukna c” och betecknas c1 , osv. P˚ a ett piano svarar C-tangenten mitt p˚ a pianot mot ettstrukna c. Tonernas frekvenser fixeras av att a1 , ettstrukna a, har frekvensen 440 hertz.
116
5 Till¨ ampningar p˚ a fourierserien y
u(x, t) x
L Figur 5.3. Sv¨angande str¨ang
s˚ a kommer den att sv¨ anga periodiskt till dess att r¨orelsen s˚ a sm˚ aningom d¨ ampas av friktionen mot luften och av gravitationen. Om vi bortser fr˚ an d¨ampningen och l˚ ater u(x, t) beteckna avvikelsen fr˚ an vilol¨ aget i punkten x vid tidpunkten t, s˚ a f¨oljer det fr˚ an Newtons r¨orelselagar att r¨ orelsen f¨ or 0 < x < L och t > 0 beskrivs av den partiella differentialekvationen (pd)
ρ
∂2u ∂2u = T . ∂t2 ∂x2
H¨ ar ¨ ar ρ str¨ angens densitet (massa per l¨angdenhet) och T str¨angens tension som ¨ ar ett m˚ att p˚ a str¨ angens motst˚ andskraft mot f¨or¨andring och som ¨okar med ¨ okande sp¨ anning hos str¨angen. Eftersom str¨ angen a a tv˚ a rand¨r fastsp¨and i sina a¨ndpunkter har vi ocks˚ villkor i form av (rv)
u(0, t) = u(L, t) = 0
f¨or t ≥ 0.
Str¨ angens r¨ orelse best¨ ams slutligen ocks˚ a av begynnelsevillkoren u(x, 0) = u0 (x), 0 < x < L; (bv) ∂u (x, 0) = v0 (x), 0 < x < L, ∂t d¨ ar u0 (x) beskriver str¨ angens l¨age och v0 (x) ¨ar den hastighet vid punkten x som str¨ angen har i y-riktningen i start¨ogonblicket t = 0. Vi ska nu konstruera en l¨osning till differentialekvationen som satisfierar givna rand- och begynnelsevillkor och konstaterar d˚ a f¨orst att funktionerna un (x, t) = bn (t) sin
nπx L
satisfierar de homogena randvillkoren (rv) f¨or alla positiva heltal n och godtyckligt val av funktionerna bn (t). En godtycklig summa av s˚ adana funktioner satisfierar ocks˚ a randvillkoren, s˚ a d¨arf¨or ska vi unders¨oka om vi inte kan
5.2 Sv¨ angande str¨ angen
117
hitta en l¨ osning till v˚ art problem i form av en l¨amplig o¨andlig summa av funktioner un (x, t). F¨ or att f¨ orenkla beteckningarna s¨atter vi Ω = π/L och ans¨ atter f¨ oljaktligen u(x, t) =
∞ X
bn (t) sin nΩx.
n=1
L˚ at oss nu anta att summan ¨ ar konvergent f¨or 0 ≤ x ≤ L och t ≥ 0, att funktionerna bn ¨ ar minst tv˚ a g˚ anger deriverbara samt att vi kan best¨amma de partiella derivatorna till funktionen u genom att derivera innanf¨or summatecknet − att s˚ a verkligen a ¨r fallet kommer vi att verifiera i efterhand. D˚ a blir ∞ ∂ 2 u X 00 = bn (t) sin nΩx ∂t2 n=1
och ∞
∂2u X = −n2 Ω2 bn (t) sin nΩx. ∂x2 n=1
Genom att j¨ amf¨ ora koefficienterna f¨or sin nΩx ser vi att v˚ ar funktion u satisfierar differentialekvationen (pd) om ρb00n (t) = −n2 Ω2 T bn (t) f¨or alla n. Detta ¨ ar en ordin¨ ar differentialekvation av andra ordningen med konstanta koefficienter vars karakteristiska ekvation har r¨otterna ±ncΩi, d¨ar vi satt p c = T /ρ. Differentialekvationens allm¨ anna l¨osning har s˚ aledes formen bn (t) = An cos ncΩt + Bn sin ncΩt. F¨orutsatt att v˚ ara f¨ oruts¨ attningar ang˚ aende deriveringen ¨ar uppfyllda satisfierar d¨ arf¨ or funktionen (5.1)
u(x, t) =
∞ X
(An cos ncΩt + Bn sin ncΩt) sin nΩx
n=1
s˚ av¨al differentialekvation som randv¨ardesvillkor, men det ˚ aterst˚ ar f¨orst˚ as att uppfylla begynnelsevillkoren som kr¨aver att ∞ X u(x, 0) = An sin nΩx = u0 (x) n=1 (5.2) ∞ X ∂u ncΩBn sin nΩx = v0 (x). ∂t (x, 0) = n=1
118
5 Till¨ ampningar p˚ a fourierserien
F¨ or att best¨ amma koefficienterna An och Bn s˚ a att detta g¨aller utvidgar vi funktionerna u0 (x) och v0 (x) till udda funktioner p˚ a intervallet [−L, L] och sedan till periodiska funktioner med period 2L. De utvidgade funktionernas fourierserier kommer d˚ a p˚ a trigonometrisk form att vara rena sinusserier, och koefficienterna i dessa serier best¨ammer koefficienterna An och Bn , n¨ armare best¨ amt som Z 2 L u0 (x) sin nΩx dx An = L 0 (5.3) Z 2 L v0 (x) sin nΩx dx. ncΩBn = L 0 Om det finns en l¨ osning u(x, t) som uppfyller v˚ ara f¨oruts¨attningar om deriverbarhet, s˚ a har den s˚ aledes formen (5.1) med koefficienter som ges av ekvationerna (5.3). V˚ ar h¨ arledning bygger p˚ a antagandet att det finns en deriverbar l¨osning med en fourierserieutveckling som kan deriveras under summatecknet. I efterhand kan vi verifiera detta genom att visa att den erh˚ allna l¨osningen verkligen har dessa egenskaper f¨orutsatt att funktionerna u0 och v0 i begynnelsevillkoret ¨ ar tillr¨ ackligt regulj¨ara. Sats 5.2.1. Antag att den periodiska, udda utvidgningen av u0 ¨ ar fyra g˚ anger kontinuerligt deriverbar och att motsvarande utvidgning av v0 ¨ ar tre g˚ anger kontinuerligt deriverbar. D˚ a ¨ ar den av serien (5.1) definierade funktionen u(x, t) med konstanter An och Bn best¨ amda av formlerna (5.3) tv˚ a g˚ anger kontinuerligt deriverbar och en l¨ osning till differentialekvationen (pd) som uppfyller randvillkoret (rv) och begynnelsevillkoret (bv). Bevis. Det f¨ oljer av sats 3.5.3 att koefficienterna An och Bn uppfyller olikheterna |An | ≤ Kn−4 och |Bn | ≤ Kn−4 f¨or n˚ agon konstant K. Serien (5.1) liksom de serier som f˚ as genom att derivera partiellt under summatecknet en och tv˚ a g˚ anger ¨ ar d¨ arf¨or absolut och likformigt konvergenta. Det f¨oljer nu av sats 4.1.6 att funktionen u har partiella kontinuerliga partiella derivator av ordning tv˚ a samt att derivatorna erh˚ alls genom derivering under summatecknet. Vidare konvergerar enligt sats 3.7.1 fourierserierna i (5.2) med u0 (x) resp. v0 (x) som summa. Funktionen u(x, t) satisfierar d¨arf¨or s˚ av¨al differentialekvation som begynnelsevillkor. Anm¨ arkning. Man kan ocks˚ a visa att l¨osningen i satsen ovan ¨ar entydigt best¨ amd. Det f¨ oljer omedelbart av l¨osningsformeln att u(x, t + 2π/cΩ) = u(x, t) f¨or alla x och t. Den vibrerande str¨angen ˚ aterf˚ ar med andra ord sin ursprungliga form y = u0 (x) periodiskt med perioden p P = 2π/cΩ = 2L ρ/T ,
5.3 V¨ armeledning i en stav
119
vilket ¨ ar anledningen till att den alstrar ljudv˚ agor med frekvensen s T 1 1 = . P 2L ρ Frekvensen hos den alstrade tonen o¨kar s˚ aledes med minskande str¨angl¨angd, anning och minskande densitet (tjocklek), n˚ agot som man enkelt ¨okande sp¨ kan verifiera genom att kn¨ appa p˚ a en gitarrstr¨ang.
¨ Ovningar 5.1 Best¨ am en l¨ osning till v˚ agekvationen ∂2u ∂2u = , ∂t2 ∂x2 u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = x(π − x), ∂u (x, 0) = sin 2x, ∂t
0 < x < π, t > 0; t > 0; 0 < x < π; 0 < x < π.
5.2 Vibrationerna hos en pianostr¨ang beskrivs idealiserat av f¨oljande differentialekvation: ∂2u ∂2u = , 0 < x < π, t > 0; ∂t2 ∂x2 t > 0; u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = 0, 0 < x < π; ( 1/h, f¨or a < x < a + h, ∂u ∂t (x, 0) = 0 annars. H¨ ar beskriver a hammarens anslagspunkt p˚ a str¨angen, och h som ¨ar ett litet tal, a r hammarens bredd. Best¨ a m gr¨ ansv¨ardet till l¨osningen ¨ u(x, t) d˚ a h → 0.
5.3
V¨ armeledning i en stav
I inledningskapitlet h¨ arledde vi utifr˚ an fysikaliska principer en partiell differentialekvation f¨ or diffusion. V¨ armeledning fungerar p˚ a ett helt analogt s¨att. Om u(x, y, z, t) betecknar temperaturen i punkten (x, y, z) inuti en homogen kropp K vid tidpunkten t, s˚ a satisfierar s˚ aledes u differentialekvationen ∂u = κ∆u, ∂t
120
5 Till¨ ampningar p˚ a fourierserien
f¨ orutsatt att det inte finns n˚ agra v¨armek¨allor eller v¨armes¨ankor inuti kroppen. H¨ ar a r κ en materialkonstant som beror p˚ a kroppens v¨armeledningsf¨or¨ m˚ aga. Vi ska nu l¨ osa v¨ armeledningsekvationen i det fall d˚ a v˚ ar kropp K ¨ar en homogen stav av l¨ angd L som h˚ alls isolerad fr˚ an omgivningen utom i andarna, d¨ ar temperaturen h˚ alls konstant. Allt v¨armefl¨ode sker i detta fall i ¨ stavens l¨ angdriktning, s˚ a problemet att best¨amma v¨armef¨ordelningen inuti staven ¨ ar i princip endimensionellt. Med u(x, t) som temperaturen i punkten x vid tiden t, beskrivs temperaturen f¨or 0 < x < L och t > 0 f¨oljaktligen av differentialekvationen ∂u ∂2u = κ 2, ∂t ∂x
(pd) ett randvillkor av typen (rv)
u(0, t) = a, u(L, t) = b
f¨or t ≥ 0,
d¨ ar a och b ¨ ar givna tal, och ett begynnelsevillkor av typen (bv)
u(x, 0) = u0 (x)
f¨or 0 < x < L,
d¨ ar u0 ¨ ar en given funktion. Vi ska l¨ osa denna differentialekvation med fouriermetoder och b¨orjar med att behandla fallet homogena randvillkor, dvs. fallet a = b = 0. Om vi s¨ atter Ω = π/L s˚ a kan vi precis som f¨or v˚ agekvationen konstatera att funktionerna un (x, t) = bn (t) sin nΩx satisfierar dessa randvillkor f¨or varje n och varje val av deriverbar funktion bn (t). Det a arf¨ or naturligt att f¨ors¨oka ans¨atta en l¨osning till v˚ art problem ¨r d¨ p˚ a formen ∞ X u(x, t) = bn (t) sin nΩx. n=1
F¨ orutsatt att vi kan derivera partiellt under summatecknet blir nu ∞
∂u X 0 = bn (t) sin nΩx ∂t ∂2u = ∂x2
n=1 ∞ X
och
−n2 Ω2 bn (t) sin nΩx,
n=1
s˚ a u(x, t) l¨ oser den partiella differentialekvationen (pd) och randv¨ardesvillkoret (rv) med a = b = 0 om b0n (t) = −κn2 Ω2 bn (t).
5.3 V¨ armeledning i en stav
121
Vi har nu en f¨ orsta ordningens differentialekvation med l¨osningen 2 n2 t
bn (t) = Bn e−κΩ
,
vilket inneb¨ ar att v˚ ar l¨ osning till v¨armeledningsproblemet b¨or ha formen (5.4)
u(x, t) =
∞ X
2 n2 t
Bn e−κΩ
sin nΩx.
n=1
F¨or att ocks˚ a uppfylla begynnelsevillkoret ska koefficienterna Bn best¨ammas s˚ a att ∞ X u(x, 0) = Bn sin nΩx = u0 (x). n=1
Koefficienterna ska med andra ord vara koefficienter i sinusserien till funktionen u0 , och sinusserien f˚ as genom att utvidga u0 till en udda periodisk funktion med period 2L. Detta best¨ammer koefficienterna som Z 2 L (5.5) Bn = u0 (x) sin nΩx dx. L 0 N¨ar vi nu har funnit en formel f¨or l¨osningen, kan vi i efterhand verifiera att deriverbarhetsf¨ oruts¨ attningarna faktiskt ¨ar uppfyllda, och detta leder till f¨oljande sats. Sats 5.3.1. Antag att funktionen u0 ¨ ar kontinuerlig och begr¨ ansad och uppfyller n˚ agot villkor som g¨ or att den udda utvidgningen av u0 till intervallet [−L, L] har en konvergent fourierserie (t. ex. att funktionen u0 ¨ ar H¨ olderkontinuerlig i alla punkter). D˚ a l¨ oser den av serien (5.4) definierade funktionen u med koefficienter best¨ amda av ekvation (5.5) v¨ armeledningsekvationen (pd) med homogena randvillkor (rv) och begynnelsevillkoret (bv). Funktionen u har vidare partiella derivator av alla ordningar. Bevis. Det f¨ oljer av f¨ oruts¨ attningarna att begynnelsevillkoret ¨ar uppfyllt, s˚ a det r¨acker att verifiera att u har partiella derivator av godtycklig ordning samt att dessa f˚ as genom att derivera under summatecknet. Den n:te termen i den serie som f˚ as genom att derivera serien (5.4) partiellt under summatecknet p g˚ anger med avseende p˚ a x och q g˚ anger med avseende p˚ a t har formen 2 n2 t
Bn (nΩ)p (−κΩ2 n2 )q e−κΩ
(± sin nΩx)
med sinus bytt mot cosinus om p ¨ar udda. Eftersom fourierkoefficienterna Bn a¨r begr¨ ansade f¨ oljer det att ovanst˚ aende term f¨or t > δ > 0 och alla x till beloppet ¨ ar begr¨ ansad av 2
Cnp+2q e−an
f¨or a = κΩ2 δ > 0 och n˚ agon konstant C som inte beror av n.
122
5 Till¨ ampningar p˚ a fourierserien
P r −an2 F¨ or varje exponent r ¨ar serien konvergent, s˚ a det f¨oljer nn e att den partiellt deriverade serien a¨r absolut och likformigt konvergent. Enligt sats 4.1.6 ¨ ar det d¨arf¨or legitimt att derivera under summatecknet. F¨ oljaktligen ¨ ar funktionen u(x, t) o¨andligt deriverbar, och speciellt ¨ar deriveringarna som ledde till formlerna f¨or de partiella derivatorna ∂u ∂t och ∂2u till˚ atna. Detta visar aposteriori att h¨arledningen av formeln (5.4) f¨or ∂x2 l¨ osningen u(x, t) ¨ ar korrekt. Inhomogena randvillkor Det allm¨ anna fallet med inhomogena randvillkor ˚ aterf¨or vi p˚ a det homogena fallet genom att s¨ atta b−a φ(x) = a + x L samt konstatera att funktionen u(x, t) l¨oser v¨armeledningsekvationen (pd) med inhomogena randvillkor (rv) och begynnelsevillkor u(x, 0) = u0 (x) om och endast om funktionen v(x, t) = u(x, t) − φ(x) l¨ oser samma v¨ armeledningsekvation (pd) med de homogena randvillkoren v(0, t) = v(L, t) = 0 och begynnelsevillkoret v(x, 0) = u0 (x) − φ(x).
Varianter V¨ armespridningen i en stav som ¨ar isolerad ¨aven i sina ¨andpunkter, vilket inneb¨ ar att det inte f¨ orekommer n˚ agot utfl¨ode av v¨arme i stavens l¨angdriktning i¨ andpunkterna, beskrivs av samma partiella differentialekvation som ovan, dvs, (pd)
∂u ∂2u =κ 2 ∂t ∂x
men randvillkoren har nu formen (rv0 )
∂u ∂u (0, t) = (L, t) = 0, ∂x ∂x
t ≥ 0.
Givet ett begynnelsevillkor av samma typ som tidigare, dvs. (bv)
u(x, 0) = u0 (x),
0 ≤ t ≤ L,
s˚ a erh˚ aller vi nu den entydigt best¨amda l¨osningen genom ansatsen ∞
A0 X 2 2 u(x, t) = + An e−κΩ n t cos nΩx, 2 n=1
5.3 V¨ armeledning i en stav
123
d¨ar som tidigare Ω = π/L. Koefficienterna An f˚ as den h¨ar g˚ angen genom att utveckla funktionen u0 i en cosinusserie, vilket betyder att Z 2 L u0 (x) cos nΩx dx. An = L 0 Notera att den temperatur som uppn˚ as i staven n¨ar l˚ ang tid f¨orflutit, dvs. lim u(x, t), ¨ ar konstant och lika med t→∞
A0 1 = 2 L
Z
L
u0 (x) dx 0
vilket ¨ ar medelv¨ ardet av den inititala temperaturen i staven. Detta f¨orefaller rimligt eftersom ingen v¨ arme f¨ orsvinner ut fr˚ an staven.
¨ Ovningar 5.3 Best¨ am en l¨ osning till v¨ armeledningsekvationen ∂2u ∂u = , 0 < x < π, t > 0; ∂t ∂x2 u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0; u(x, 0) = 1 + sin x, 0 < x < π. 5.4 Best¨ am en l¨ osning till v¨ armeledningsekvationen ∂2u ∂u = , 0 < x < π, t > 0; ∂t ∂x2 ∂u ∂u (0, t) = (π, t) = 0, t > 0; ∂x ∂x u(x, 0) = 1 + 3 cos 4x, 0 < x < π. 5.5 Best¨ am en l¨ osning till v¨ armeledningsekvationen ∂2u ∂u = , 0 < x < π, t > 0; ∂t ∂x2 ∂u ∂u (0, t) = (π, t) = 0, t > 0; ∂x ∂x u(x, 0) = 1 + x, 0 < x < π. 5.6 L¨ os v¨ armeledningsekvationerna a) ∂u ∂2u = , ∂t ∂x2 u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = πx − x2 ,
0 < x < π, t > 0; t > 0; 0 < x < π.
124
5 Till¨ ampningar p˚ a fourierserien b) ∂2u ∂u = − 2u, ∂t ∂x2 u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = πx − x2 ,
0 < x < π, t > 0; t > 0; 0 < x < π.
5.7 Best¨ am en l¨ osning till v¨armeledningsekvationen ∂2u ∂u = + sin x, 0 < x < π, t > 0; ∂t ∂x2 u(0, t) = 0, u(π, t) = 1, t > 0; u(x, 0) = 0, 0 < x < π.
5.4
Dirichlets problem f¨ or en skiva
V¨ armeledningsekvationen ∂u ∂t = κ∆u beskriver temperaturen i en kropp K som funktion av tiden t, och givet att temperaturen inte varierar med tiden p˚ a kroppens yta ∂K s˚ a ¨ar temperaturen u inuti kroppen best¨amd f¨ or all framtid t av begynnelsev¨ardena f¨or n˚ agon tidpunkt, t. ex. t = 0. N¨ ar l˚ ang tid f¨ orflutit, i matematiska termer d˚ a t g˚ ar mot o¨andligheten, b¨ or temperaturen n˚ a ett station¨art tillst˚ and som karakteriseras av att den inte f¨ or¨ andras med tiden, dvs. av att ∂u ara tempera∂t = 0. Den station¨ turf¨ ordelningen u = u(x, y, z) inuti kroppen erh˚ alls d¨arf¨or som l¨osning till den partiella differentialekvationen ∆u = 0 med ett randv¨ ardesvillkor av typen u(x, y, z) = f (x, y, z)
f¨or (x, y, z) ∈ ∂K.
En l¨ osning u till den partiella differentialekvation ∆u = 0 kallas harmonisk i (det inre av) K, s˚ a med denna terminologi kan vi formulera problemet att best¨ amma den station¨ara v¨armef¨ordelningen p˚ a f¨oljande s¨att. Dirichlets problem: Best¨am en funktion u som a¨r harmonisk i det inre av K och lika med en given funktion f p˚ a randen ∂K av K. Dirichlets problem ¨ar trivialt i en dimension − om u00 (x) = 0 f¨or alla x i ett intervall ]0, L[, s˚ a¨ ar u(x) ett f¨orstagradspolynom. Med randvillkoren u(0) = a och u(L) = b blir d¨arf¨or u(x) = a + (b − a)x/L den unika l¨osningen. I tv˚ a dimenensioner kan man angripa problemet med hj¨alp av teorin f¨ or analytiska funktioner, och om omr˚ adet ¨ar en cirkelskiva kan vi anv¨anda fourierteknik. S˚ a l˚ at oss d¨arf¨or studera Dirichlets problem f¨or cirkelskivan D = {(x, y) | x2 + y 2 < 1}.
5.4 Dirichlets problem f¨ or en skiva
125
Vi antar allts˚ a att vi har en funktion f (x, y) som ¨ar definierad d˚ a x2 +y 2 = 1 och s¨oker en funktion u(x, y) som satisfierar differentialekvationen ∆u =
∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂y
i cirkelskivan och randvillkoret u(x, y) = f (x, y) f¨or alla punkter p˚ a periferin x2 + y 2 = 1 av cirkelskivan. Geometrin i problemet g¨ or det naturligt att ¨overg˚ a till pol¨ara koordinater och inf¨ora funktionerna u ˜(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ) och f˜(θ) = f (cos θ, sin θ). Kedjeregeln ger oss sambandet ∂ ∂u ˜ ∂2u ˜ ∆u = r r + 2 ∂r ∂r ∂θ s˚ a i pol¨ ara koordinater kan vi skriva Dirichlets problem p˚ a formen ∂ ∂u ˜ ∂2u ˜ (pd) r 0 ≤ r < 1, 0 ≤ θ ≤ 2π r + 2 = 0, ∂r ∂r ∂θ med randvillkoret (rv)
u ˜(1, θ) = f˜(θ),
0 ≤ θ ≤ 2π.
Det a¨r l¨ att att verifiera att funktionerna u ˜n (r, θ) = r|n| einθ l¨oser differentialekvationen (pd) f¨ or alla heltal n. Om koefficienterna cn ¨ar begr¨ansade s˚ a definierar d¨ arf¨ or X u ˜(r, θ) = cn r|n| einθ n∈Z
en funktion u ˜ som l¨ oser differentialekvationen (pd), ty den o¨andliga serien ¨ar likformigt konvergent i cirkelskivan 0 ≤ r ≤ r0 < 1 liksom alla de serier som f˚ as genom att derivera partiellt under summatecknet ett godtyckligt antal g˚ anger med avseende p˚ a r och θ. Funktionen u ˜ har d¨arf¨or partiella derivator av godtycklig ordning, och derivatorna f˚ as genom att derivera under summatecknet, och detta medf¨ or speciellt att u ˜ l¨oser differentialekvationen. Randvillkoret (bv) ¨ overg˚ ar nu i likheten X cn einθ = f˜(θ), n∈Z
som best¨ ammer koefficienterna cn entydigt som fourierkoefficienterna till ˆ funktionen f˜, dvs. cn = f˜(n). Vi erinrar nu om att X ˆ f˜(n)r|n| einθ = f˜ ∗ Pr (θ) n∈Z
d¨ar Pr (θ) ¨ ar Poissonk¨ arnan. I ljuset av sats 4.5.1 har vi d¨armed bevisat f¨oljande resultat:
126
5 Till¨ ampningar p˚ a fourierserien
Sats 5.4.1. Funktionen u ˜(r, θ) = f˜ ∗ Pr (θ) ¨ ar harmonisk i enhetsskivan D, och i alla randpunkter (cos θ, sin θ), d¨ ar randfunktionen f ¨ ar kontinuerlig, ar ¨ lim u ˜(r, θ) = f (cos θ, sin θ). r→1
Historiska notiser V˚ agekvationen studerades av 1700-talsmatematikerna Jean le Rond d’Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli and Joseph-Louis Lagrange som beskrivning av en sv¨ angande str¨ ang. V¨ armeledningsekvationen formulerades f¨orst av Fourier i ett manuskript 1807, men han hade till en b¨ orjan sv˚ art att ¨overtyga sina samtida matematiker, bl. a. p˚ a grund av att v¨ armets natur inte var klarlagt vid den tiden. L¨ osningen till det station¨ara v¨armeledningsproblemet f¨or en skiva gavs av Poisson.
Kapitel 6
Fouriertransformen 6.1
Introduktion
F¨or att en funktion ska kunna skrivas som en fourierserie m˚ aste funktionen vara periodisk. Denna inskr¨ ankning ¨ar dock inte s˚ a allvarlig som man kan tycka vid f¨ orsta anblicken; funktioner med begr¨ansade intervall som definitionsm¨ angd kan ju alltid utvidgas till periodiska funktioner, och de kan d¨arf¨or − om de ¨ ar tillr¨ ackligt regulj¨ara − representeras av fourierserier i sina ursprungliga definitionsm¨ angder. F¨or icke-periodiska funktioner med hela R som definitionsm¨ angd finns det emellertid inte n˚ agot hopp om att erh˚ alla fourierserier som representerar funktionerna o¨verallt. L¨osningen best˚ ar i att ist¨allet representera s˚ adana funktioner med integraler. F¨or att komma fram till hur denna integralrepresentation b¨or se ut resonerar vi i detta avsnitt helt heuristiskt och l¨ amnar detaljfr˚ agor om konvergens till f¨oljande avsnitt. L˚ at d¨ arf¨ or f (t) vara en hygglig funktion, definierad p˚ a R och med abR∞ solutkonvergent integral −∞ f (t) dt, och l˚ at T vara ett (stort) positivt tal. Genom att utvidga restriktionen av funktionen f till intervallet ]−T , T [ periodiskt med period 2T f˚ ar vi f¨ or |t| < T en fourierserieutveckling av f (t) av f¨oljande slag X f (t) = cn (T )einπt/T , n∈Z
d¨ar fourierkoefficienterna cn (T ) ges av formeln Z T 1 cn (T ) = f (t)e−inπt/T dt. 2T −T Tanken ¨ ar nu att l˚ ata T g˚ a mot o¨andligheten. Eftersom integralerna Z ∞ f (t)e−inπt/T dt −∞
ar de b˚ ada svansarna ¨ar absolutkonvergenta, g˚ Z −T Z ∞ f (t)e−inπt/T dt och f (t)e−inπt/T dt −∞
T
127
128
6 Fouriertransformen
mot 0 d˚ a T → ∞, s˚ a d¨ arf¨or b¨or vi f¨or stora T med god approximation kunna s¨ atta Z ∞ 1 cn (T ) ≈ f (t)e−inπt/T dt. 2T −∞ Om vi inf¨ or definitionen fˆ(ω) =
Z
∞
f (t)e−iωt dt
(ω ∈ R)
−∞
kan vi allts˚ a kortare skriva cn (T ) ≈ (2T )−1 fˆ(nπ/T ), och ins¨attning av detta i fourierserien f¨ or f (t) p˚ a intervallet [−T, T ] ger oss approximationen f (t) ≈
1 X π ˆ 1 X ˆ f (nπ/T )einπt/T = f (nπ/T )einπt/T . 2T 2π T n∈Z
n∈Z
R∞ Summan i h¨ ogerledet ovan ¨ar en rektangelapproximation till −∞ fˆ(ω)eiωt dω med stegl¨ angd π/T , och n¨ar T → ∞ konvergerar summan mot denna integral. Efter gr¨ ans¨ overg˚ ang b¨or vi s˚ aledes erh˚ alla formeln Z ∞ 1 (6.1) f (t) = fˆ(ω)eiωt dω. 2π −∞ Funktionen fˆ kallas fouriertransformen till funktionen f , och genom integralformeln (6.1), som g˚ ar under namnet inversionsformeln, representeras f av sin fouriertransform p˚ a ett s¨att som motsvarar hur en periodisk funktion representeras av sin fourierserie. Naturligtvis beh¨over funktionen f uppfylla vissa villkor f¨ or att formeln ovan ska g¨alla, och s˚ adana villkor kommer vi att studera n¨ armare i avsnitt 6.6 och kapitel 7. Vi kompletterar nu den informella h¨arledningen av inversionsformeln med en lika informell h¨arledning av en motsvarighet till Parsevals formel som f¨ or 2T -periodiska funktioner har f¨oljande form: Z T X 1 |f (t)|2 dt = |cn (T )|2 . 2T −T n∈Z
Ins¨ attning av approximationen cn (T ) ≈ (2T )−1 fˆ(nπ/T ) ger efter multiplikation med 2T Z T 1 Xπ ˆ 1 X ˆ |f (t)|2 dt ≈ |f (nπ/T )|2 = |f (nπ/T )|2 . 2T 2π T −T n∈Z
n∈Z
R∞ Summan i h¨ ogerledet konvergerar mot integralen −∞ |fˆ(ω)|2 dω d˚ a T → ∞. Vi kan f¨ oljakligen f¨ orv¨ anta oss att Z ∞ Z ∞ 1 |f (t)|2 dt = |fˆ(ω)|2 dω. 2 π −∞ −∞
6.2 Fouriertransformen
129
Denna formel, Plancherels formel, g¨aller (med l¨amplig tolkning av fouriertransformen fˆ) f¨ or alla funktioner f med a¨ndligt v¨ansterled, och vi kommer att behandla den i avsnitt 6.7 och i kapitel 7. Vi avslutar det h¨ ar avsnittet med en fysikalisk tolkning av inversionsformeln och Plancherels formel genom att l˚ ata funktionen f (t) vara en kontinuerlig signal som varierar med tiden t. Funktionerna eiωt representerar d˚ a rena periodiska sv¨ angningar med vinkelfrekvensen ω. Om t m¨ats i sekunder s˚ a ¨ar tiden f¨ or en period lika med 2π/ω sekunder, dvs. sv¨angningsfunktionen eiωt hinner med ω/2π perioder per sekund, vilket inneb¨ar att dess frekvens ¨ar ω/2π hertz. En godtycklig kontinuerlig signal som avtar tillr¨ackligt snabbt i o¨andligheten kan s¨ attas ihop av rena sv¨ angningar, ochRinversionsformeln (6.1) bet skriver hur detta g˚ ar till. En integral av typen t12 |f (t)|2 dt kan tolkas som signalens energiinneh˚ all under tiden mellan t1 och t2 , medan integralen R ω2 1 ˆ(ω)|2 dω ist¨ | f a llet ar energiinneh˚ allet i frekvensbandet mellan ω1 och ¨ 2π ω1 ω2 (om man m¨ ater i l¨ ampliga enheter). Plancherels formel uttrycker d˚ a bara att energin ¨ ar densamma om man summerar ¨over hela signalens livsl¨angd eller ¨over alla frekvenser.
6.2
Fouriertransformen
L˚ at oss p˚ aminna om att L1 (R) betecknar det normerade rummet av alla integrerbara komplexv¨ arda funktioner p˚ a R som uppfyller Z kf k1 =
|f (t)| dt < ∞. R
R Om f ∈ L1 (R) s˚ a¨ ar integralen R f (t)e−iωt dt v¨aldefinierad f¨or alla reella tal ω. Detta till˚ ater oss att g¨ ora f¨oljande definition. Definition. L˚ at f ∈ L1 (R) och definiera en funktion fˆ: R → C genom att f¨or ω ∈ R s¨ atta Z ˆ f (ω) = f (t) e−iωt dt. R
Funktionen fˆ kallas fouriertransformen till funktionen f och betecknas ocks˚ a F[f ]. Exempel 6.2.1. L˚ at oss best¨ amma fouriertransformen till den karakteristiska funktionen χ[−a,a] till det symmetriska intervallet [−a, a]. Eftersom ( 1 f¨or |t| ≤ a, χ[−a,a] (t) = 0 f¨or |t| > a,
130
6 Fouriertransformen
ar ¨ Z
−iωt
χ[−a,a] e
χ ˆ[−a,a] (ω) =
Z
a
e−iωt dt =
dt = −a
R
i h −iωt ia e ω −a
sin aω . =2 ω Exempel 6.2.2. Funktionen e−|t| har fouriertransformen Z ∞ Z 0 Z t(1−iω) −|t| −iωt −|t| e−t(1+iω) dt e dt + e e dt = F[e ](ω) = −∞
R
0
1 1 2 = . + = 1 − iω 1 + iω 1 + ω2 Exempel 6.2.3. Analogt f˚ ar man att funktionen −t om t > 0, e e−|t| sgn t = 0 om t = 0, t −e om t < 0 har fouriertransformen F[e−|t| sgn t](ω) = −
1 2iω 1 + =− . 1 − iω 1 + iω 1 + ω2
Eftersom e−iωt = cos ωt − i sin ωt, kan fouriertransformen till en funktion f f¨ orst˚ as ocks˚ a ber¨ aknas som Z Z f (t) cos ωt dt − i f (t) sin ωt dt. fˆ(ω) = R
R
F¨ or reellv¨ arda funktioner f ger detta en naturlig uppdelning av fouriertransformen fˆ(ω) i real- och imagin¨ardel. F¨or j¨ amna, reellv¨ arda funktioner f ¨ar speciellt fouriertransformen Z Z ∞ fˆ(ω) = f (t) cos ωt dt = 2 f (t) cos ωt dt R
0
reellv¨ ard f¨ or alla ω, och f¨or udda, reellv¨ arda funktioner f a¨r Z Z ∞ fˆ(ω) = −i f (t) sin ωt dt = −2i f (t) sin ωt dt R
0
rent imagin¨ ar f¨ or alla ω. Det ¨ ar allts˚ a ingen tillf¨allighet att fouriertransformerna i exemplen 6.2.1 och 6.2.2 ¨ ar reellv¨ arda och att fouriertransformen i exempel 6.2.3 ¨ar rent imagin¨ ar.
6.3 R¨ akneregler
131
¨ Ovningar 6.1 Best¨ am fouriertransformen till funktionen f om b) f (t) = t · χ[0,1] (t)
a) f (t) = χ[0,1] (t)
d) f (t) = sin t · χ[0,π] (t)
6.3
c) f (t) = te−|t|
e) f (t) = e−|t| cos t.
R¨ akneregler
Fouriertransformering kan uppfattas som en avbildning F som ¨ar definierad f¨or alla L1 (R)-funktioner och som f¨or varje s˚ adan funktion f ger en ny ˆ funktion F(f ) = f . V˚ ar f¨ orsta sats visar att v¨ardem¨angden till avbildningen F ¨ar en delm¨ angd av rummet av alla begr¨ansade kontinuerliga funktioner p˚ a R. Sats 6.3.1. Fouriertransformen fˆ till en funktion f ∈ L1 (R) ¨ ar en begr¨ ansad, kontinuerlig funktion p˚ a R. Mera precist g¨ aller att |fˆ(ω)| ≤ kf k1
f¨ or alla ω ∈ R.
Bevis. Begr¨ ansningen f¨ oljer med en g˚ ang av triangelolikheten f¨or integraler. F¨or att bevisa att fouriertransformen fˆ ¨ar kontinuerlig anv¨ander vi satsen om dominerad konvergens. Eftersom funktionerna t 7→ e−iωt ¨ar kontinuerliga och uniformt begr¨ ansade och f tillh¨or L1 (R), kan vi g¨ora gr¨ans¨overg˚ ang under integraltecknet och f˚ ar Z Z −iωt ˆ lim f (ω) = lim f (t) e dt = lim f (t) e−iωt dt ω→ω0 ω→ω0 R ω→ω0 R Z = f (t) e−iω0 t dt = fˆ(ω0 ), R
vilket visar att fouriertransformen fˆ a¨r kontinuerlig ¨overallt p˚ a R. Vi kommer senare att visa att fˆ(ω) → 0 d˚ a ω → ±∞ (se sats 7.2.6). M¨angden av alla kontinuerliga funktioner g p˚ a R som har egenskapen att g(ω) → 0 d˚ a ω → ±∞ a ¨r ett linj¨art delrum till C(R) och brukar betecknas C0 (R). Fouriertransformering F ¨ar med andra ord en avbildning fr˚ an L1 (R) till C0 (R), och f¨ or alla f ∈ L1 (R) ¨ar kFf k∞ ≤ kf k1 . Detta betyder emellertid inte att v¨ ardem¨ angden till F ¨ar lika med C0 (R), och n˚ agon god karakterisering av v¨ ardem¨ angden finns inte. L1 (R) ¨ ar ett linj¨ art, translations- och skalningsinvariant rum, och n¨asta sats visar att fouriertransformering ¨ar en linj¨ar operation och beskriver hur den fungera ihop med translation, skalning, konjugering och multiplikation med den komplexa exponentialfunktionen.
132
6 Fouriertransformen
Sats 6.3.2. L˚ at f , g ∈ L1 (R). F¨ or alla ω ∈ R ¨ ar d˚ a (a) (b)
\ (af + bg)(ω) = afˆ(ω) + bˆ g (ω) −it0 ω
\ f (t − t0 )(ω) = fˆ(ω) e −1
−1
(d)
f[ (λt)(ω) = |λ| fˆ(λ fb(ω) = fˆ(−ω)
(e)
iω0 t f )(ω) = fˆ(ω − ω ) (e\ 0
(c)
(a, b ∈ C) (t0 ∈ R)
ω)
(λ ∈ R, λ 6= 0)
(ω0 ∈ R)
Bevis. (a), (d) och (e) ¨ ar uppenbara, och (b) och (c) f¨oljer efter enkla variabelbyten. Exempel 6.3.1. Definiera en funktion f genom att s¨atta f (t) = cos bt f¨or |t| ≤ a och f (t) = 0 f¨ or |t| > a. Med hj¨alp av den karakteristiska funktionen χ[−a,a] f¨ or intervallet [−a, a] kan vi skriva funktionen som 1 f (t) = cos bt · χ[−a,a] = (eibt + e−ibt ) · χ[−a,a] , 2 och vi kan d¨ arf¨ or ber¨ akna dess fouriertransform genom att kombinera resultatet i exempel 6.2.1 med r¨akneregel (e) i sats 6.3.2: 1 sin a(ω − b) sin a(ω + b) fˆ(ω) = 2 +2 2 ω−b ω+b sin a(ω − b) sin a(ω + b) + . = ω−b ω+b I figur 6.1 visas fouriertransformen d˚ a a = 10 och b = 4.
10
8
6
4
2
−15
−10
−5
5
10
−2
Figur 6.1. Fouriertransformen till funktionen f (t) = cos 4t · χ[−10,10] .
15
t
6.4 Fouriertransformering och derivering
133
¨ Ovningar 6.2 Best¨ am med hj¨ alp av sats 6.3.2 och resultaten i exemplen 6.2.1 och 6.2.2 fouriertransformen till funktionen f om a) f (t) = χ[0,1] (t) b) f (t) = sin t · χ[−π,π] (t) c) f (t) = e−|t| cos t. 6.3 Definiera f¨ or f ∈ L1 (R) funktionen f˜ genom att s¨atta f˜(t) = f (−t). ˆ a) Best¨ am sambandet mellan fouriertransformerna fˆ och f˜. b) Visa att fouriertransformen fˆ ¨ar reell om f = f˜.
6.4
Fouriertransformering och derivering
En anledning till att fouriertransformen ¨ar s˚ a anv¨andbar ¨ar att derivering genom fouriertransformering ¨ overf¨ors i den mycket enklare operationen multiplikation. Vi har n¨ amligen f¨ oljande resultat. Sats 6.4.1. Antag att funktionen f ¨ ar kontinuerligt deriverbar och att b˚ ade f och f 0 tillh¨ or L1 (R). D˚ a¨ ar fc0 (ω) = iω fˆ(ω). R Bevis. Eftersom integralen R |f (t)| dt ¨ar ¨andlig, finns det en f¨oljd (tn )∞ 1 med egenskapen att tn → ∞ och f (tn ) → 0, d˚ a n → ∞. (Annars skulle det finnas ett tal > 0 och ett tal T s˚ a att |f (t)| ≥ f¨or alla t ≥ T , n˚ agot som 1 uppenbarligen ¨ ar orimligt n¨ ar f tillh¨or L (R).) Analogt finns det en f¨oljd s˚ adan att u → −∞ och f (un ) → 0. (un )∞ n 1 Partiell integration ger nu h Z tn Z tn it 0 −iωt −iωt n −iωt 0 c f (t) e dt + iω f (ω) = lim f (t) e dt = lim f (t) e n→∞ n→∞ u un un n Z = iω f (t) e−iωt dt = iω fˆ(ω). R
N¨asta sats ger ist¨ allet ett tillr¨ackligt villkor f¨or att fouriertransformen ska vara deriverbar. Sats 6.4.2. Om funktionerna f (t) och tf (t) b˚ ada tillh¨ or rummet L1 (R), s˚ a ˆ ar fouriertransformen f deriverbar och ¨ \ (tf (t))(ω) = ifˆ 0 (ω). Bevis. Formellt erh˚ aller man derivatan genom att derivera Z ˆ f (ω) = f (t) e−iωt dt R
134
6 Fouriertransformen
under integraltecknet. Detta resulterar n¨amligen i Z 0 \ ˆ tf (t) e−iωt dt = −i (tf (t))(ω). f (ω) = −i R
Naturligtvis kr¨ avs det n˚ agon form av motivering f¨or ovanst˚ aende operation. Betrakta d¨ arf¨ or differenskvoten Z fˆ(ω + h) − fˆ(ω) e−i(ω+h)t − e−iωt f (t) (6.2) = dt h h R Z e−iht − 1 tf (t) e−iωt = dt. ht R Eftersom Z 1 Z 1 e−iht − 1 Z 1 −ihtu −ihtu e du ≤ |e | du = du = 1, = −i ht 0 0 0 ar de kontinuerliga funktionerna ¨ gh (t) = e−iωt
e−iht − 1 ht
till beloppet uniformt begr¨ansade av talet 1. Vidare ¨ar lim gh (t) = −ie−iωt .
h→0
Satsen om dominerad konvergens till˚ ater oss d¨arf¨or att i formeln (6.2) l˚ ata h → 0 under integraltecknet, vilket leder till att differenskvoten g˚ ar mot Z \ tf (t) e−iωt dt = −i (tf (t))(ω). −i R
Detta bevisar satsen. Om vi k¨ anner en funktions fouriertransform fˆ s˚ a kan vi s˚ aledes genom att iterera f¨ oreg˚ aende sats best¨amma fouriertransformen till den funktion som f˚ as genom att multiplicera f med ett polynom, f¨orutsatt att funktionerna tn f (t) tillh¨ or L1 (R) f¨ or alla exponenter n som ¨ar mindre ¨an eller lika med polynomets gradtal. Exempel 6.4.1. Det ¨ ar naturligtvis ingen konst att best¨amma fouriertransformen till ”takfunktionen” f (t) = (1 − |t|)χ[−1,1] (t) direkt fr˚ an definitionen, men vi ska som ¨ovning ber¨akna den med hj¨alp av v˚ ara r¨ akneregler. Vi skriver d˚ a f¨orst om funktionen p˚ a f¨oljande vis: f (t) = χ[−1,1] (t) − tχ[0,1] (t) + tχ[−1,0] (t) = χ[−1,1] (t) + t χ[− 1 , 1 ] (t + 21 ) − χ[− 1 , 1 ] (t − 21 ) . 2 2
2 2
6.4 Fouriertransformering och derivering
135
Fouriertransformen till funktionen g(t) = χ[− 1 , 1 ] (t+ 12 )−χ[− 1 , 1 ] (t− 12 ) f˚ ar vi 2 2 2 2 genom att till¨ ampa translationsregeln (b) i sats 6.3.2 p˚ a fouriertransformen till den karakteristiska funktionen χ[− 1 , 1 ] som ber¨aknades i exempel 6.2.1 2 2 med f¨oljande resultat: sin(ω/2) sin2 (ω/2) gˆ(ω) = eiω/2 − e−iω/2 · 2 = 4i . ω ω Vi anv¨ander nu regeln f¨ or multiplikation med t p˚ a f (t) = χ[−1,1] (t) + tg(t) och f˚ ar d˚ a sin ω d sin2 (ω/2) fˆ(ω) = 2 +i 4i ω dω ω sin ω ω sin(ω/2) cos(ω/2) − sin2 (ω/2) =2 −4 ω ω2 2 sin (ω/2) =4 . ω2 Exempel 6.4.2. Genom att utnyttja de tv˚ a f¨oreg˚ aende satserna kan vi 2 ber¨akna fouriertransformen till funktionen f (t) = e−t /2 . Eftersom f 0 (t) = −tf (t), a ¨r \ iω fˆ(ω) = fc0 (ω) = (−tf (t))(ω) = −ifˆ 0 (ω), dvs. fˆ 0 (ω) + ω fˆ(ω) = 0. Den allm¨anna l¨osningen till denna differentialekva2 tion ¨ar fˆ(ω) = Ce−ω /2 . Konstanten C best¨ams av villkoret Z 2 ˆ C = f (0) = e−t /2 dt. R
F¨or att ber¨ akna C skriver vi C 2 som en dubbelintegral ¨over R2 och inf¨or pol¨ara koordinater: Z Z ZZ 2 2 2 −x2 /2 −y 2 /2 C = e dx e dy = e−(x +y )/2 dx dy R R R2 Z ∞ Z 2π h i∞ 2 2 = re−r /2 dr dθ = 2π −e−r /2 = 2π. 0
F¨oljaktligen ¨ ar C =
0
√
0
2π, och vi har allts˚ a √ 2 2 F[e−t /2 ](ω) = 2π e−ω /2 .
¨ Ovningar 6.4 Ber¨ akna med hj¨ alp av sats 6.4.2 och resultaten i exemplen 6.2.1 och 6.2.2 fouriertransformen till funktionen f om a) f (t) = tχ[−1,1] (t) b) f (t) = te−|t| .
136
6 Fouriertransformen
6.5 Antag att funktionen f ¨ar tv˚ a g˚ anger kontinuerligt deriverbar och att f , f 0 och f 00 ligger i L1 (R). Visa att fouriertransformen fˆ ocks˚ a ligger 1 i L (R).
6.5
Faltning
Medelv¨ arden j¨ amnar ut skillnader. Om f ¨ar en funktion med R som definitionsm¨ angd, b¨ or d¨ arf¨ or medelv¨arden bildade av dess translat fs uppf¨ora sig mer regelbundet a n funktionen sj¨alv. Ett ¨ R viktat medelv¨arde som tar h¨ansyn till o¨ andligt m˚ Ranga translat har formen R R g(s)fs ds, d¨ar g ¨ar en icke-negativ funktion och R g(s) ds = 1. Integralen R g(s)fs ds ska d˚ a tolkas som den funktion som i punkten t ∈ R har v¨ardet Z Z g(s)f (t − s) ds. g(s)fs (t) ds = R
R
Ovanst˚ aende s¨ att att bilda en ny funktion av tv˚ a givna funktioner f och g ¨ ar ett exempel p˚ a en operation som kallas faltning. Den allm¨anna definitionen av begreppet, som inte kr¨aver att den ena funktionen ska vara icke-negativ och ha integral lika med 1, ser ut s˚ a h¨ar. Definition. L˚ at f och g vara tv˚ a funktioner definierade p˚ a R. Integralen Z f (t − s)g(s) ds R
kallas om den ¨ ar v¨ aldefinierad f¨or faltningen av funktionerna f och g (i punkten t) och betecknas f ∗ g(t). Variabelbytet u = t − s ger att Z Z f ∗ g(t) = f (t − s)g(s) ds = f (u)g(t − u) du = g ∗ f (t), R
R
s˚ a faltning ¨ ar en kommutativ operation. F¨ or att faltningen f ∗ g(t) ska vara v¨aldefinierad m˚ aste funktionen s 7→ f (t − s)g(s) avta tillr¨ ackligt snabbt d˚ a s g˚ ar mot ±∞, men det ¨ar knepigt att ge utt¨ommande n¨ odv¨ andiga villkor p˚ a funktionerna f och g f¨or att s˚ a ska vara fallet. Om funktionen g a r stor i +∞ s˚ a kan ju detta kompenseras av att funktionen ¨ f ¨ ar liten i −∞, och vice versa. Exempelvis ¨ar faltningen v¨aldefinierad f¨or alla t ∈ R om b˚ ada funktionerna ¨ar kontinuerliga och identiskt lika med noll p˚ a negativa reella axeln ] − ∞, 0[, ty i s˚ a fall ¨ar produkten f (t − s)g(s) lika med noll f¨ or alla s om t < 0, och f¨or alla s utanf¨or intervallet [0, t] om t ≥ 0. Andra tillr¨ ackliga villkor f¨or att faltningen ska vara v¨aldefinierad ges av f¨ oljande tv˚ a satser.
6.5 Faltning
137
Sats 6.5.1. Antag att en av funktionerna f och g tillh¨ or L1 (R) och den andra ¨ ar kontinuerlig och begr¨ ansad. D˚ a¨ ar faltningen f ∗ g en kontinuerlig och begr¨ ansad funktion p˚ a R. Bevis. Antag utan inskr¨ ankning att funktionen f ¨ar kontinuerlig och till beloppet begr¨ ansad av konstanten C och att funktionen g tillh¨or L1 (R). F¨or varje t ¨ ar d˚ a |f (t − s)g(s)| ≤ C|g(s)| vilket medf¨or att funktionen s 7→ f (t − s)g(s) tillh¨or L1 (R). Faltningen f ∗ g(t) ¨ar s˚ aledes v¨aldefinierad f¨or alla t, och triangelolikheten f¨ or integraler ger att Z Z |f ∗ g(t)| ≤ |f (t − s)g(s)| ds ≤ C|g(s)| ds = Ckgk1 , R
R
vilket visar att faltningen f ∗ g ¨ar en begr¨ansad funktion. Att funktionen ocks˚ a a¨r kontinuerlig i alla punkter t0 f¨oljer av satsen om dominerad konvergens enligt vilken Z Z lim f ∗ g(t) = lim f (t − s)g(s) ds = lim f (t − s)g(s) ds t→t0 t→t0 R t→t0 R Z = f (t0 − s)g(s) ds = f ∗ g(t0 ). R
Sats 6.5.2. Antag att f och g ¨ ar tv˚ a funktioner i L1 (R). D˚ a¨ ar faltningen 1 f ∗ g v¨ aldefinierad som L (R)-funktion. Vidare g¨ aller att (a) kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 . (b) f[ ∗ g(ω) = fˆ(ω)ˆ g (ω) f¨ or alla ω ∈ R. Bevis. (a) Vi m˚ aste avst˚ a fr˚ an beviset f¨or att f ∗ g ¨ar en v¨aldefinierad funktion eftersom detta kr¨ aver kunskaper i integrationsteori. Normolikheten f¨oljer sedan genom att integrera olikheten Z |f ∗ g(t)| ≤ |f (t − s)||g(s)| ds, R
byta integrationsordning och g¨ ora ett variabelbyte, vilket ger att Z Z Z kf ∗ gk1 = |f ∗ g(t)| dt ≤ |f (t − s)||g(s)| ds dt R R ZR Z Z Z = |f (t − s)||g(s)| dt ds = |g(s)| |f (t − s)| dt ds R R ZR R Z = |g(s)| |f (u)| du ds = kf k1 kgk1 . R
R
138
6 Fouriertransformen
(b) Omkastning av integrationsordningen och ett variabelbyte ger vidare att Z Z Z f (t − s)g(s) e−iωt ds dt f ∗ g(t) e−iωt dt = f[ ∗ g(ω) = R R ZR Z f (t − s)g(s) e−iω(t−s) e−iωs dt ds = R R Z Z −iωs f (t − s) e−iω(t−s) dt ds = g(s) e ZR ZR f (u) e−iωu du ds = gˆ(ω)fˆ(ω). = g(s) e−iωs R
R
¨ Ovningar 6.6 S¨ att f (t) = e−t H(t) och g(t) = et (1 − H(t)), d¨ar H a¨r Heavisidefunktionen (dvs. H(t) = 0 om t < 0 och H(t) = 1 om t ≥ 0). Best¨am produkten fˆ · gˆ och faltningen f ∗ g. 6.7 Best¨ am en l¨ osning till integralekvationen Z 1 −t t u −|t| e f (u) du. f (t) = e + e 2 −∞ 6.8 a) Best¨ am faltningen f ∗ f om f (t) = e−|t| . b) Best¨ am en funktion y = y(t) i L1 (R) som l¨oser differentialekvationen y 00 (t) − y(t) = e−|t| .
6.6
Inversionsformler
Fouriertransformering ¨ ar en teknik som bl. a. anv¨ands f¨or att l¨osa vissa typer av differentialekvationer. Genom transformering omvandlas ekvationen inneh˚ allande den obekanta funktionen f till en ekvation i transformen fˆ som man kan l¨ osa. En f¨oruts¨attning f¨or att man utifr˚ an k¨annedom om fˆ ocks˚ a ska kunna best¨ amma den ursprungliga funktionen f a¨r d˚ a f¨orst˚ as att ˆ fouriertransformen f best¨ammer funktionen f entydigt, eller med andra ord att den linj¨ ara avbildningen F : L1 (R) → C0 (R) ¨ar injektiv. V˚ ar n¨asta sats inneb¨ ar att s˚ a verkligen ¨ar fallet. Sats 6.6.1 (Entydighetssatsen). Om f, g ∈ L1 (R) och fˆ = gˆ, s˚ a¨ ar f = g. Likheten f = g skall f¨orst˚ as tolkas som likhet f¨or L1 -funktioner, vilket betyder att f (t) = g(t) g¨aller f¨or alla t utanf¨or n˚ agon nollm¨angd. Om funktionerna f och g ¨ ar kontinuerliga, s˚ a g¨aller likheten f (t) = g(t) ¨overallt.
6.6 Inversionsformler
139
Eftersom beviset f¨ or entydighetssatsen inte ¨ar s˚ a enkelt, sparar vi det till kapitel 7 (se sats 7.2.5). N¨asta fr˚ aga som nu inst¨ aller sig ¨ar om och hur man kan ˚ atervinna f om man k¨ anner transformen? Genom att l˚ ata periodl¨angden g˚ a mot o¨andligheten gjorde vi i inledningen till det h¨ar kapitlet en informell h¨arledning av f¨ oljande inversionsformel: Z 1 f (t) = fˆ(ω) eiωt dω. 2π R Fouriertransformen fˆ tillh¨ or dock inte n¨odv¨andigtvis L1 (R) (se exempel 6.2.1), s˚ a integralen ovan m˚ aste ges en l¨amplig tolkning, liksom inneb¨orden av likhetstecknet. I det h¨ar avsnittet n¨ojer vi oss med att beskriva n˚ agra villkor som garanterar att inversionsformeln g¨aller och anv¨ander den p˚ a n˚ agra exempel. Bevisen ¨ ar ganska tekniska, s˚ a vi sparar ocks˚ a dem till n¨asta kapitel. Sats 6.6.2 (Inversionssatsen). Om b˚ ade f och fˆ tillh¨ or L1 (R), s˚ a¨ ar Z 1 f (t) = fˆ(ω) eiωt dω 2π R n¨ astan ¨ overallt och speciellt i alla punkter t d¨ ar funktionen f ¨ ar kontinuerlig. Om vi definierar funktionen fˇ genom att s¨atta fˇ(t) = f (−t), kan vi uttrycka likheten i sats 6.6.2 p˚ a f¨oljande eleganta vis: (6.3)
ˆ fˆ = 2πfˇ.
Exempel 6.6.1. I exempel 6.2.2 ber¨aknade vi fouriertransformen till funktionen e−|t| och fann att F[e−|t| ](ω) = 2(1 + ω 2 )−1 . Eftersom den transformerade funktionen ligger i L1 (R), f¨oljer det nu av formel (6.3) att F[2(1 + t2 )−1 ](ω) = 2πe−|−ω| = 2πe−|ω| , dvs. F[(1 + t2 )−1 ](ω) = πe−|ω| . Konvergenskriteriet i sats 4.8.2 f¨or fourierserier har ocks˚ a en direkt motsvarighet i fouriertransformfallet som ser ut s˚ a h¨ar: Sats 6.6.3. Antag att f ∈ L1 (R) och l˚ at t ∈ R vara en punkt d¨ ar de tv˚ a − + ensidiga gr¨ ansv¨ ardena f (t ) och f (t ) och de tv˚ a generaliserade ensidiga derivatorna f−0 (t) och f+0 (t) existerar. D˚ a¨ ar Z a f (t+ ) + f (t− ) 1 fˆ(ω) eiωt dω. = lim a→∞ 2π −a 2
140
6 Fouriertransformen Vi bevisar satsen i n¨asta kapitel (se sats 7.3.3).
Exempel 6.6.2. Fouriertransformen till funktionen f (t) = e−|t| sgn t ber¨aknades i exempel 6.2.3 och befanns vara fˆ(ω) = −2iω(1 + ω 2 )−1 . F¨oruts¨attningarna i satsen ovan ¨ar i detta fall uppfyllda i alla punkter t, varf¨or 1 a→∞ 2π
Z
a
−
lim
−a
2iω iωt e dω = e−|t| sgn t. 1 + ω2
Genom att f¨ orst ers¨ atta t med −t och sedan l˚ ata variablerna t och ω byta roller erh˚ aller vi efter f¨orenkling f¨oljande resultat: Z lim
a
a→∞ −a
t e−iωt dt = −πie−|ω| sgn ω. 1 + t2
¨ Ovningar 1 6.9 Best¨ am fouriertransformen till funktionen f (t) = 2 och ber¨akna b + t2 integralen Z ∞ cos at dt 2 2 −∞ b + t f¨ or alla positiva v¨arden p˚ a de reella konstanterna a och b. 6.10 Utnyttja resultatet i exempel 6.4.1 f¨or att ber¨akna integralen Z
∞
−∞
sin2 t dt. t2
6.11 Ber¨ akna, t. ex. genom att f¨orst best¨amma derivatans transform, fouriertransformen till funktionen f (t) = arctan(t + 1) − arctan(t − 1). 6.12 Funktionen f ¨ ar kontinuerlig och tillh¨or L1 (R). Vidare ¨ar Z
1
f (t − s) ds = f (t) −1
f¨ or alla t ∈ R. Visa att f (t) = 0 f¨or alla t. 6.13 Antag att f ∈ L1 (R) ¨ar kontinuerlig och att f (t−1)+f (t)+f (t+1) = 0 f¨ or alla t ∈ R. Visa, t. ex. genom att fouriertransformera, att f (t) = 0 f¨ or alla t ∈ R.
6.7 Plancherels formel
6.7
141
Plancherels formel
Rummet L2 (R) best˚ ar av alla funktioner f : R → C som uppfyller villkoret kf k2 =
Z
|f (t)|2 dt
1/2
<∞
R
R och a¨r ett inre produktrum med hf, gi = R f (t)g(t) dt som inre produkt. I avsnitt 6.1 gav vi en informell h¨arledning f¨or den f¨orsta av de tv˚ a formlerna i f¨ oljande sats, och den andra formeln f¨oljer enkelt fr˚ an den f¨orsta om man uttrycker inre produkten h·,·i med hj¨alp av normen k·k2 precis som i sats 2.5.2. Sats 6.7.1 (Plancherels formler). Om f , g ∈ L2 (R), s˚ a¨ ar Z Z 1 2 (i) |f (t)| dt = |fˆ(ω)|2 dω 2π R R Z Z 1 (ii) f (t)g(t) dt = fˆ(ω)ˆ g (ω) dω. 2π R R Beviset f¨ or satsen f˚ ar vi ˚ aterkomma till i n¨asta kapitel, men det finns ett problem som vi f¨ orst m˚ aste l¨ osa: Hur ska vi definiera fouriertransformen 2 f¨or godtyckliga L (R)-funktioner? F¨or periodiska funktioner hade vi inga sv˚ arigheter att definiera fourierserien till en L2 -funktion eftersom fourierserien ¨ ar v¨ aldefinierad f¨ or alla L1 (T)-funktioner och L2 (T) ¨ar ett delrum till L1 (T). Rummet L1 (R) ¨ ar emellertid ett ganska ”litet” rum som inte inneh˚ aller L2 (R) som delrum, eftersom exempelvis funktionen 1/(1 + |t|) tillh¨or det senare men inte det f¨ orra rummet. Vi kan d¨arf¨or inte ber¨akna fouriertransformen fˆ av en godtycklig L2 (R)-funktion f med h¨anvisning till definitionen i avsnitt 6.2, ty integralen som definierar transformen existerar inte f¨or L2 -funktioner som inte tillh¨or L1 . Situationen ¨ ar emellertid inte s˚ a allvarlig som det kan verka, ty snittet 1 2 L (R) ∩ L (R) ¨ ar en t¨ at delm¨ angd till L2 (R). Fouriertransformen, som ¨ar definierad f¨ or alla funktioner i snittet, kan d¨arf¨or p˚ a ett entydigt s¨att utvidgas till funktioner i hela L2 (R). J¨amf¨or med hur man p˚ a ett entydigt s¨att kan utvidga en kontinuerlig funktion som endast ¨ar definierad f¨or rationella tal till en kontinuerlig funktion som ¨ar definierad f¨or alla reella tal. Vi kommer att utveckla detta n¨ armare i avsnitt 7.4; tills vidare f˚ ar vi n¨oja oss med p˚ ast˚ aendet att det g˚ ar bra samt att Plancherels formler ¨ar giltiga f¨or godtyckliga L2 (R)-funktioner. Utvidgningen av fouriertransformen till L2 (R) ¨ar viktig f¨or till¨ampningR 2 arna, ty integraler av typen R |f (t)| dt kan ofta tolkas som energiuttryck; att s¨aga att f tillh¨ or L2 (R) betyder i s˚ a fall att energin ¨ar ¨andlig, vilket ¨ar ett i h¨ ogsta grad relevant fysikaliskt villkor.
142
6 Fouriertransformen
Exempel 6.7.1. Funktionen f (t) = χ[−1,1] (t) har fouriertransformen fˆ(ω) = sin ω 2 . Det f¨ oljer d¨ arf¨ or av Plancherels formel att ω Z Z 1 Z 1 sin2 ω 2= 1 dt = |χ[−1,1] (t)|2 dt = 4 dω, 2π R ω2 −1 R vilket efter f¨ orenkling ger att Z R
sin2 ω dω = π. ω2
Med ett litet trick kan vi anv¨anda detta resultat f¨or att ocks˚ a ber¨akna den generaliserade integralen Z ∞ sin t dt, t 0 som vi kommer att beh¨ova i avsnitt 7.3. Eftersom funktionen sin2 ω/ω 2 a¨r j¨ amn f˚ ar vi med hj¨ alp av partiell integration att π
2
Z
∞
= Z0 ∞ = 0
h 1 i∞ Z ∞ 2 sin ω cos ω sin2 ω 2 dω = − sin ω + dω ω2 ω ω 0 0 Z ∞ sin 2ω sin t dω = [S¨att 2ω = t] = dt. ω t 0
¨ Ovningar 6.14 Funktionen f definieras av att f (t) = (2 − |t|) · χ[−2,2] (t). a) Ber¨ akna fouriertransformen fˆ(ω). b) Ber¨ akna integralen Z
∞
−∞
sin t 4 dt. t
6.15 Anv¨ and fouriertransformen till funktionen f (t) = e−|t| cos t f¨or att ber¨ akna integralen Z ∞ 2 ω +2 dω. 4+4 ω −∞ 6.16 Definiera funktionen f genom att s¨atta f (t) = (1 − t2 ) · χ[−1,1] (t) a) Best¨ am fouriertransformen fˆ. b) Ber¨ akna integralen Z
∞
−∞
(sin t − t cos t)2 dt. t6
6.7 Plancherels formel
143
6.17 L˚ at f vara en funktion som ¨ar lika med noll ¨overallt utom p˚ a intervallen [n, n + 2n−3 ] f¨ or n = 1, 2, 3, . . . , d¨ar funktionens graf a¨r en likbent triangel med intervallet som bas och h¨ojden n. Visa att f tillh¨or L1 (R) men inte L2 (R). 6.18 Visa att varje begr¨ ansad funktion i L1 (R) tillh¨or L2 (R). 6.19 Antag att f ∈ L1 (R) och definiera en ny funktion g genom att s¨atta Z f (t)f (t − x) dt. g(x) = R
Best¨ am gˆ(ω). (Inom signalteorin kallas g autokorrelationsfunktionen till f .) 6.20 Definiera funktionen f genom att s¨atta f¨or |t| ≤ 1, 1 f (t) = 2 − |t| f¨or 1 < |t| ≤ 2, 0 f¨or |t| > 2. a) Best¨ am fouriertransformen fˆ(ω). b) Ber¨ akna integralen Z ∞ (cos t − cos 2t)2 dt. t4 −∞ c) Ber¨ akna integralen Z
∞
−∞
cos t − cos 2t −|t| e dt. t2
6.21 a) Ber¨ akna integralen Z
∞
−∞
dt . (1 + t2 )2
b) Best¨ am fouriertransformen till funktionen g om f¨or t ≤ −1, 0 −t g(t) = (t + 1)e f¨or −1 ≤ t ≤ 1, −t 2e f¨or t ≥ 1. c) Best¨ am fouriertransformen fˆ(ω) om funktionen f uppfyller likheten ef (t + 1) − e−1 f (t − 1) = g(t), d¨ ar g ¨ ar funktionen i b). d) Ber¨ akna L2 -normen kf k2 f¨or funktionen f i c).
144
6 Fouriertransformen
6.22 S¨ att f (t) =
∞ X n=1
1 . (n − 1)! (t2 + n2 )
a) Visa att serien ¨ar likformigt konvergent p˚ a R och att funktionen f ar kontinuerlig p˚ a R. ¨ b) Ber¨ akna fouriertransformen fˆ(ω). c) Ber¨ akna L1 (R)-normen kf k1 .
6.8
Poissons summationsformel
L˚ at f vara en kontinuerlig funktion med reella axeln som definitionsm¨angd och antag att f (t) = O(1/|t|1+δ ) f¨or n˚ agon positiv konstant δ d˚ a t → ±∞. 1 Antagandena medf¨ or att funktionen f ligger i L (R), s˚ a funktionen har en fouriertransform fˆ. Betrakta nu summan X F (t) = f (t + 2πn). n∈Z
Vi p˚ ast˚ ar att serien ¨ ar konvergent f¨or alla t ∈ R samt att summan ¨ar en kontinuerlig, 2π-periodisk funktion. Att summan ¨ar periodisk ¨ar uppenbart, s˚ a d¨ arf¨ or r¨ acker det att visa att serien ¨ar konvergent f¨or 0 ≤ t ≤ 2π samt att summafunktionen F ¨ ar kontinuerlig d¨ar. Men v˚ ara antaganden medf¨or att |f (t + 2πn)| ≤ C/|n|1+δ f¨or 0 ≤ t ≤ 2π, s˚ a d¨arf¨or ¨ar serien likformigt konvergent p˚ a intervallet [0, 2π] enligt Weierstrass majorantsats, och eftersom termerna f (t + 2πn) ¨ ar kontinuerliga, ¨ar summan F (t) kontinuerlig. Funktionen F har s˚ aledes en fourierserie, och f¨oljande r¨akning ger oss ˆ fourierkoefficienterna F (k) till L1 (T)-funktionen F uttryckta i termer av fouriertransformen fˆ till L1 (R)-funktionen f : 1 Fˆ (k) = 2π =
1 2π
Z
2π
X
0
n∈Z X Z 2π
f (t + 2πn)e
−ikt
Z 1 X 2π dt = f (t + 2πn)e−ikt dt 2π 0 n∈Z
f (t + 2πn)e−ik(t+2πn) dt
n∈Z 0
Z Z ∞ 1 X 2π(n+1) 1 1 −iku = f (u)e du = f (u)e−iku du = fˆ(k). 2π 2π −∞ 2π 2πn n∈Z
(Bytet av summations- och integrationsordning, som var n¨odv¨andigt f¨or att erh˚ alla den andra likheten i ovanst˚ aende kedja av likheter, ¨ar till˚ atet p˚ a grund av den likformiga konvergensen.)
6.8 Poissons summationsformel
145
Vi har med andra ord kommit fram till att X 1 X ˆ f (t + 2πn) ∼ f (n)eint , 2π n∈Z
n∈Z
och eftersom funktionen i v¨ ansterledet ¨ar kontinuerlig kan vi ers¨atta ∼ med ar fourierserien i h¨ogerledet ¨ar konvergent. ¨akta likhet = i varje punkt t d¨ F¨or t = 0 f˚ ar vi speciellt likheten X X f (2πn) = fˆ(n), (6.4) 2π n∈Z
n∈Z
som allts˚ a g¨ aller om serien i h¨ ogerledet a¨r konvergent. Observera att summan i h¨ogerledet ska tolkas som gr¨ ansv¨ardet av symmetriska partialsummor, dvs. X
N X
fˆ(n) = lim
N →∞
n∈Z
fˆ(n).
n=−N
Ett enkelt variabelbyte leder nu fram till f¨oljande resultat: Sats 6.8.1 (Poissons summationsformel). Antag att funktionen f ¨ ar kontinuerlig och att det finns tv˚ a konstanter C > 0 och δ > 0 s˚ adana att |f (t)| ≤ C/|t|1+δ f¨ or alla t. L˚ at vidare L vara ett positivt tal. D˚ a¨ ar 2π X n X ˆ = f 2π f (nL) L L n∈Z
n∈Z
f¨ orutsatt att summan i h¨ ogerledet, uppfattad som gr¨ ansv¨ ardet av de symmetriska partialsummorna, ¨ ar konvergent. Bevis. Likheten f¨ oljer genom att till¨ampa formel (6.4) p˚ a funktionen g(t) = L−1 f (L−1 t), som uppfyller de n¨ odv¨andiga f¨oruts¨attningarna f¨or formeln.
¨ Ovningar 6.23 Anv¨ and Poissons summationsformel och fouriertransformen till funktionen f (t) = e−|t| f¨ or att ber¨akna summan ∞ X n=1
1 , 1 + an2
d¨ ar a > 0. 6.24 Antag att funktionen f ¨ ar kontinuerlig p˚ a R, |f (t)| ≤ t−2 f¨or |t| ≥ 1 och fˆ(n) = 0 f¨ or alla heltal n. S¨att g(t) =
∞ X k=−∞
Visa att g(t) = 0 f¨ or alla t.
f (t + 2k π).
146
6 Fouriertransformen
Historiska notiser Fouriertransformen p˚ a R och inversionsformeln f¨orekomer f¨orsta g˚ angen i Fouriers arbeten. Fourier erh˚ aller sina resultat genom att betrakta periodiska funktioner med periodl¨ angder som g˚ ar mot o¨andligheten.
Kapitel 7
Mer om fouriertransformen I det h¨ ar kapitlet ska vi bevisa de resultat f¨or fouriertransformen som vi i det f¨orra kapitlet n¨ ojde oss med att enbart formulera, exempelvis inversionssatsen och Plancherels formler. Precis som f¨or fourierserier kommer vi att anv¨anda oss av en l¨ amplig summationsk¨arna f¨or att erh˚ alla de ¨onskv¨arda resultaten.
7.1
V¨ armeledningsk¨ arnan
F¨or att kunna summera godtyckliga fourierserier anv¨ande vi oss i kapitel 4 av Poissonk¨ arnan (Pr )0 0 funktionerna Hτ : R → R genom att s¨atta Hτ (t) = √
1 −t2 /2τ e . 2πτ
Familjen (Hτ )τ >0 kallas v¨ armeledningsk¨ arnan eller Gaussk¨ arnan. Notera att alla funktionerna i familjen (Hτ )τ >0 kan erh˚ allas ur funktionen 1 2 H1 (t) = √ e−t /2 2π genom en skalning eftersom √ 1 Hτ (t) = √ H1 (t/ τ ). τ Sats 7.1.1. V¨ armeledningk¨ arnan (Hτ )τ >0 har f¨ oljande egenskaper: (a)
Funktionerna Hτ ¨ ar kontinuerliga, positiva och j¨ amna f¨ or alla τ > 0. 147
148
7 Mer om fouriertransformen Z
(b) (c)
Hτ (t) dt = 1 f¨ or alla τ > 0. Z ∞ F¨ or alla δ > 0 ¨ ar lim Hτ (t) dt = 0.
(d)
F¨ or alla δ > 0 ¨ ar lim sup Hτ (t) = 0.
R
(e)
τ →0 δ
τ →0 t≥δ
ˆ τ (ω) = e H
−τ ω 2 /2
.
Bevis. a) Egenskaperna f¨oljer omedelbart fr˚ an definitionen av Hτ . ˆ 1 (ω) = e−ω2 /2 , (e) Funktionen H1 har enligt exempel 6.4.2 transformen H √ ˆ τ (ω) = H ˆ 1 ( τ ω) = e−τ ω2 /2 . s˚ a enligt skalningsregeln (c) i sats 6.3.2 ¨ar H R ˆ τ (0), f¨oljer (b) ur (e). (b) Eftersom R Hτ (t) dt = H (c) Genom att utnyttja sambandet mellan Hτ och H1 och g¨ora variabelbytet √ u = t/ τ erh˚ alls Z ∞ Z ∞ Z ∞ √ 1 H1 (t/ τ ) dt = Hτ (t) dt = √ H1 (u) du, √ τ δ δ δ/ τ och integralen i h¨ ogerledet g˚ ar mot 0 d˚ a τ → 0, eftersom den undre integrationsgr¨ ansen g˚ ar mot ∞. (d) Funktionerna Hτ ¨ ar avtagande f¨or t ≥ 0, s˚ a supt≥δ Hτ (t) = Hτ (δ) och 1 2 2 lim Hτ (δ) = lim √ xe−δ x = 0.
τ →0+
x→+∞
π
N¨ ar man faltar en L1 (R)-funktion f med v¨armeledningsk¨arnan Hτ f˚ ar man funktioner som approximerar den givna funktionen f godtyckligt bra i f¨ oljande mening. Sats 7.1.2. L˚ at f vara en funktion i L1 (R). D˚ a¨ ar (i) lim kf ∗ Hτ − f k1 = 0; τ →0
(ii) (iii)
lim f ∗ Hτ (t) = f (t) om f ¨ ar kontinuerlig i punkten t;
τ →0
lim kf ∗ Hτ − f k∞ = 0 om f ¨ ar likformigt kontinuerlig och begr¨ ansad p˚ a R. τ →0
Bevis. Satsen ¨ ar en direkt motsvarighet till sats 4.5.1 f¨or Poissonk¨arnan, och beviset f¨ or den satsen utnyttjar endast egenskaper hos Poissonk¨arnan som ¨ ar direkta motsvarigheter till egenskaperna (a), (b), (c) och (d) hos v¨ armeledningsk¨ arnan i sats 7.1.1. Beviset f¨or sats 4.5.1 fungerar d¨arf¨or n¨ armast ordagrant som bevis f¨or f¨oreliggande sats.
7.2
Inversionssatsen
Vi ska nu best¨ amma sambandet mellan fouriertransformen fˆ och faltningen f ∗ Hτ mellan funktionen f och v¨armeledningsk¨arnan. F¨or den skull beh¨over
7.2 Inversionssatsen
149
vi f¨oljande hj¨ alpsats. Lemma 7.2.1. L˚ at f och g vara tv˚ a funktioner i L1 (R). D˚ a¨ ar Z Z f (s)ˆ g (s) ds = fˆ(ω)g(ω) dω. R
R
Bevis. Omkastning av integrationsordningen ger Z Z Z f (s)ˆ g (s) ds = f (s) g(ω)e−iωs dω ds R ZR ZR Z −iωs = g(ω) f (s)e ds dω = g(ω)fˆ(ω) dω. R
Sats 7.2.2. Antag f ∈
R
R
L1 (R).
D˚ a¨ ar Z 1 2 f ∗ Hτ (t) = fˆ(ω)e−τ ω /2 eiωt dω. 2π R
Bevis. Vi anv¨ ander lemma 7.2.1 med g som funktionen g(ω) =
1 iωt 1 −τ ω2 /2 iωt e e =√ e H1/τ (ω) 2π 2πτ
som har fouriertransformen gˆ(s) = √
1 −(s−t)2 /2τ e = Hτ (t − s). 2πτ
Enligt lemmat ¨ ar d¨ arf¨ or Z Z 1 2 fˆ(ω)e−τ ω /2 eiωt dω = f (s)Hτ (t − s) ds = f ∗ Hτ (t). 2π R R Genom att kombinera satserna 7.1.2 och 7.2.2 f˚ ar vi s˚ aledes f¨oljande resultat som ¨ ar en kontinuerlig variant av abelsummerbarhet f¨or fourierserier. Sats 7.2.3 (Inversionssatsen). Antag att f ∈ L1 (R). D˚ a g¨ aller: (a) Integralen 1 2π
Z
2 fˆ(ω)e−τ ω /2 eiωt dω
R
L1 (R)-mening
konvergerar d˚ aτ →0i mot funktionen f . (b) I varje punkt t d¨ ar funktionen f ¨ ar kontinuerlig, ¨ ar Z 1 2 f (t) = lim fˆ(ω)e−τ ω /2 eiωt dω. τ →0 2π R Konvergensen ¨ ar vidare likformig p˚ a R om funktionen f ¨ ar likformigt kontinuerlig och begr¨ ansad p˚ a R.
150
7 Mer om fouriertransformen
F¨ or funktioner vars fouriertransformer ocks˚ a tillh¨or L1 f˚ ar vi f¨oljande f¨ oljdsats till inversionssatsen. Sats 7.2.4. Antag att b˚ ade f och fˆ ligger i L1 (R). D˚ a¨ ar Z 1 f (t) = fˆ(ω)eiωt dω 2π R n¨ astan ¨ overallt och speciellt i alla punkter t d¨ ar funktionen f ¨ ar kontinuerlig. 2
Bevis. Eftersom funktionerna e−τ ω /2 ¨ar uniformt begr¨ansade (av 1) och g˚ ar mot 1 d˚ a τ → 0, f¨ oljer det av satsen om dominerad konvergens att Z Z 1 1 −τ ω 2 /2 iωt ˆ lim f (ω)e e dω = fˆ(ω)eiωt dω τ →0 2π R 2π R f¨ or alla t. Men integralen i v¨ansterledet ovan konvergerar enligt sats 7.2.3 (a) i L1 -mening mot f (t), s˚ a det punktvisa gr¨ansv¨ardet m˚ aste vara lika med f (t) n¨ astan ¨ overallt, vilket inneb¨ar att likheten i satsen g¨aller n¨astan ¨overallt. Eftersom likhetens h¨ ogerled ¨ar en kontinuerlig funktion av t m˚ aste vidare likhet g¨ alla i alla punkter d¨ar funktionen f a¨r kontinuerlig. Vi avslutar det h¨ ar avsnittet med ytterligare tv˚ a f¨oljdsatser till inversionssatsen. F¨ orst har vi entydighetssatsen, som visar att en L1 -funktion a¨r entydigt best¨ amd av sin fouriertransform. Sats 7.2.5 (Entydighetssatsen). L˚ at f ∈ L1 (R), och antag att fˆ(ω) = 0 f¨ or 1 alla ω ∈ R. D˚ a ¨ ar funktionen f , betraktad som L (R)-funktion, lika med nollfunktionen, dvs. f (t) = 0 f¨ or alla t utanf¨ or en nollm¨ angd. Speciellt ¨ ar f (t) = 0 i alla kontinuitetspunkter t till funktionen. Bevis. Om fˆ(ω) = 0 f¨ or alla ω ∈ R, s˚ a ligger f¨orst˚ as fˆ i L1 (R). Det f¨oljer d¨ arf¨ or omedelbart av sats 7.2.4 att f (t) = 0 n¨astan ¨overallt. Sats 7.2.6 (Riemann–Lebesgues lemma). F¨ or alla funktioner f ∈ L1 (R) ¨ ar lim fˆ(ω) = 0.
ω→±∞
Bevis. P˚ a grund av kontinuitetsprincipen (korollarium 4.2.3), till¨ampad p˚ a de positiva, subadditiva och uniformt begr¨ansade avbildningarna Tω (f ) = |fˆ(ω)|, r¨ acker det att visa att gˆ(ω) → 0 d˚ a ω → ±∞ f¨or alla funktioner g i n˚ agon 1 t¨ at delm¨ angd D av L (R). Som t¨at delm¨angd kan vi p˚ a grund av sats 7.1.2 v¨ alja m¨ angden {f ∗ Hτ | f ∈ L1 (R), τ > 0}. ˆ τ (ω) = fˆ(ω)e−τ ω2 /2 , och eftersom F¨ or g = f ∗ Hτ ¨ ar gˆ(ω) = fˆ(ω)H 2 |fˆ(ω)| ≤ kf k1 och e−τ ω /2 → 0 d˚ a ω → ±∞, ¨ar saken klar.
7.3 Dirichletk¨ arnan och punktvis konvergens
151
¨ Ovningar 7.1 Funktionen f ¨ ar kontinuerligt deriverbar och f (t) = 0 f¨or |t| ≥ 5. Bevisa, utan att anv¨ anda Riemann-Lebesgues lemma, att Z
∞
f (t) cos ωt dt = 0.
lim
ω→∞ −∞
7.2 Visa, t. ex. med hj¨ alp av sats 7.2.2, att funktionerna f ∗Hτ ¨ar o¨andligt deriverbara. (De o¨ andligt deriverbara funktionerna i L1 (R) utg¨or med andra ord en t¨ at delm¨ angd av L1 (R).)
7.3
Dirichletk¨ arnan och punktvis konvergens
F¨oruts¨ i sats 7.2.4 att fˆ ligger i L1 (R) ¨ar n¨odv¨andig f¨or att integraR attningen len R fˆ(ω)eiωt dω ska existera. Men ¨aven om denna integral inte existerar s˚ a kan f¨ orst˚ as gr¨ ansv¨ ardet Z
a
fˆ(ω)eiωt dω,
lim
a→∞ −a
som f˚ as genom att integrera den kontinuerliga funktionen fˆ(ω)eiωt ¨over symmetriska intervall och l˚ ata intervallets l¨angd g˚ a mot o¨andligheten, existera. L˚ at oss d¨ arf¨ or unders¨ oka integralerna 1 Sa (f ; t) = 2π
Z
a
fˆ(ω) eiωt dω
−a
som ¨ar fourierintegralmotsvarigheten till fourierseriens symmetriska partialsummor. En fourierseries partialsumma kan uttryckas som en faltning mellan funktionen och Dirichletk¨ arnan. Motsvarande g¨aller f¨or integralerna Sa (f ; t). Sats 7.3.1. S¨ att f¨ or a > 0 och t ∈ R Da (t) =
1 2π
Z
a
−a
eiωt dω =
sin at . πt
F¨ or varje funktion f ∈ L1 (R) ¨ ar d˚ a Sa (f ; t) = (f ∗ Da )(t). Funktionsfamiljen (Da )a>0 kallas Dirichletk¨ arnan p˚ a R.
152
7 Mer om fouriertransformen
Bevis. Genom att byta integrationsordning f˚ as Z a Z a Z f (u) e−iωu du eiωt dω 2πSa (f ; t) = fˆ(ω) eiωt dω = −a R Z Z a Z−a a Z iω(t−u) f (u) eiω(t−u) dω du f (u) e du dω = = R −a Z Z−a R Z a iω(t−u) f (u)Da (t − u) du e dω du = 2π f (u) = R
−a
R
= 2π(f ∗ Da )(t). Dirichletk¨ arnan p˚ a R har f¨oljande egenskaper: Sats 7.3.2. ar kontinuerliga och j¨ amna, och Z ∞ Funktionerna Da ¨ Da (t) dt = 1 f¨ or alla a > 0, (i) −∞ Z ∞ (ii) lim Da (t) dt = 0 om δ > 0. a→∞ δ
Anm. Eftersom Da inte a¨r en L1 -funktion, ska integralerna i (i) och (ii) tolkas som generaliserade integraler. Bevis. Att funktionerna Da ¨ar j¨amna och kontinuerliga ¨ar uppenbart fr˚ an definitionen. F¨ or att ber¨akna integralerna g¨or vi variabelbytet u = at, vilket leder till att Z ∞ Z Z 1 ∞ sin at 1 ∞ sin u Da (t) dt = dt = du = 1, π −∞ t π −∞ u −∞ d¨ ar den sista likheten f¨oljer av exempel 6.7.1. Samma variabelbyte ger ocks˚ a Z ∞ Z ∞ Z 1 sin at 1 ∞ sin u Da (t) dt = dt = du, π δ t π aδ u δ och den sista integralen ar mot 0 d˚ a a → ∞ beroende p˚ a att den generaliZ ∞ g˚ sin u du ¨ar konvergent. serade integralen u 0 Vi har nu de hj¨ alpmedel som beh¨ovs f¨or att bevisa f¨oljande konvergenskriterium. Sats 7.3.3. Antag att f ∈ L1 (R), och l˚ at t ∈ R vara en punkt d¨ ar de tv˚ a ensidiga gr¨ ansv¨ ardena f (t− ) och f (t+ ) och de tv˚ a generaliserade ensidiga derivatorna f−0 (t) och f+0 (t) existerar. D˚ a¨ ar Z a f (t+ ) + f (t− ) 1 fˆ(ω) eiωt dω. = lim a→∞ 2π −a 2
7.4 L2 -teori
153
Bevis. Beviset ¨ ar analogt med beviset f¨or motsvarande konvergenskriterium f¨or fourierserier, s˚ a d¨ arf¨ or kan vi vara mycket kortfattade. + − S¨att A = f (t ) + f (t ) /2. Genom att utnyttja att Dirichletk¨arnan ¨ar j¨amn och har integral 1 ¨ over reella axeln erh˚ aller vi f¨orst identiteten Z ∞ (f (t − s) + f (t + s) − 2A)Da (s) ds. Sa (f ; t) − A = f ∗ Da (t) − A = 0
F¨or δ > 0 skriver vi sedan integralen i h¨ogerledet ovan som en summa av de tre integralerna δ
f (t − s) + f (t + s) − 2A sin as ds, πs 0 Z ∞ f (t − s) + f (t + s) I2 (a) = sin as ds och πs δ Z ∞ I3 (a) = −2A Da (s) ds. Z
I1 (a) =
δ
Antagandet att de generaliserad v¨anster- och h¨ogerderivatorna existerar medf¨or att funktionen g(s) =
f (t − s) + (t + s) − 2A πs
har ett gr¨ ansv¨ arde d˚ a s → 0. Funktionen ¨ar d¨arf¨or begr¨ansad n¨ara 0, vilket betyder att den ligger i L1 ([0, δ]) om vi v¨aljer δ tillr¨ackligt litet. Integralen I1 (a) g˚ ar d¨ arf¨ or mot 0 d˚ a a → ∞ p˚ a grund av Riemann-Lebesgues lemma. Funktionen f (t − s) + f (t + s) h(s) = πs ligger i L1 ([δ, ∞[) och integralen I2 (a) g˚ ar d¨arf¨or ocks˚ a mot 0 d˚ a a → ∞ p˚ a grund av samma lemma. Slutligen g˚ ar I3 (a) mot 0 p˚ a grund av sats 7.3.2.
7.4
L2 -teori
I det h¨ar avsnittet ska vi skissera hur utvidgningen av fouriertransformen till rummet L2 (R) g˚ ar till samt bevisa Plancherels formler. Det hela h¨anger p˚ a att snittet L1 (R)∩L2 (R) ¨ ar t¨ att i L2 (R), dvs. varje funktion f ∈ L2 (R) kan approximeras med funktioner fn , som ligger i snittet L1 (R) ∩ L2 (R) och s˚ a att kf −fn k2 → 0 d˚ a n → ∞. Funktionerna fn har fouriertransformer, varf¨or man kan definiera transformen av f som gr¨ansv¨ardet av transformerna fc n. Vi m˚ aste naturligtvis visa att gr¨ ansv¨ardet existerar i n˚ agon rimlig mening. En viktig ingrediens i beviset f¨ or detta ¨ar f¨oljande specialfall av Plancherels formel.
154
7 Mer om fouriertransformen
Lemma 7.4.1. Antag att f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). D˚ a tillh¨ or fouriertransformen fˆ rummet L2 (R) och kfˆk22 = 2πkf k22 . Bevis. S¨ att
¯ˇ g = f ∗ f,
ˇ(t) = f (−t). Funktionen g kan skrivas som en inre produkt, n¨amligen d¨ ar f¯ Z f (u)f (u − t) du = hf, Tt f i, g(t) = R
och speciellt a ¨r g(0) = hf, f i = kf k22 . Cauchy–Schwarz olikhet ger |g(t) − g(t0 )| = |hf, Tt f − Tt0 f i| ≤ kf k2 · kTt f − Tt0 f k2 , och eftersom kTt f − Tt0 f k2 = kTt−t0 f − f k2 → 0
d˚ a t → t0 ,
f¨ oljer det av olikheten ovan att g(t) → g(t0 ) d˚ a t → t0 . Funktionen g ¨ar med andra ord kontinuerlig i alla punkter. Eftersom g a a L1 -funktioner ligger g ocks˚ a i L1 , och ¨r en faltning av tv˚ r¨ aknereglerna f¨ or fouriertransformering ger att gˆ(ω) = fˆ(ω)fˆ(ω) = |fˆ(ω)|2 . Enligt inversionssatsen (sats 7.2.3 (b)), till¨ampad p˚ a funktionen g i punkten 0, ¨ ar d¨ arf¨ or Z 2 2 (7.1) 2πkf k2 = 2πg(0) = lim |fˆ(ω)|2 e−τ ω /2 dω. τ →0 R
Om funktionen anv¨ anda satsen om satsen att Z 2πkf k22 =
fˆ ligger i L2 (R), dvs. |fˆ|2 ligger i L1 (R), s˚ a kan vi dominerad konvergens p˚ a gr¨ansv¨ardet i (7.1) med slut-
lim |fˆ(ω)|2 e−τ ω
2 /2
R τ →0
Z dω =
|fˆ(ω)|2 dω = kfˆk22 .
R
F¨ or att slutf¨ ora beviset, dvs. visa att fˆ verkligen ligger i L2 (R), konstaterar vi f¨ orst att fˆ s¨akert ligger i L2 (I) f¨or varje begr¨ansat intervall I, beroende p˚ a att fouriertransformen ¨ar kontinuerlig. F¨or s˚ adana intervall kan vi s˚ aledes anv¨ anda satsen om dominerad konvergens med Z Z Z 2 −τ ω 2 /2 2 −τ ω 2 /2 ˆ ˆ lim |f (ω)| e dω = lim |f (ω)| e dω = |fˆ(ω)|2 dω τ →0 I
I τ →0
I
7.4 L2 -teori
155
som resultat. Eftersom integranden i (7.1) ¨ar icke-negativ ¨ar gr¨ansv¨ardet f¨or integralen o ansv¨ardet i (7.1). F¨or alla begr¨ansade intervall ¨ver I mindre a ¨n gr¨ I ¨ar s˚ aledes Z |fˆ(ω)|2 dω ≤ 2πkf k22 , I
och detta medf¨ or att
Z
|fˆ(ω)|2 dω ≤ 2πkf k22 .
R
Fouriertransformen fˆ ligger s˚ aledes i L2 (R), och d¨armed ¨ar beviset f¨or lemmat komplett. Antag nu att f ¨ ar en godtycklig L2 (R)-funktion, och definiera f¨or varje positivt heltal n funktionen fn genom att s¨atta ( f (t), om |t| ≤ n fn (t) = 0, om |t| ≥ n. Funktionerna fn tillh¨ or f¨ orst˚ as L2 (R) och eftersom Z Z n Z n 1/2 Z n 1/2 2 |f (t)|·1 dt ≤ |f (t)| dt 12 dt |fn (t)| dt = −n −n −n R √ ≤ 2nkf k2 < ∞ tillh¨or de ocks˚ a L1 (R). Vidare g¨ aller att Z 1/2 kfn − f k2 = |f (t)|2 dt →0
d˚ a n → ∞.
|t|≥n
Givet > 0 finns det d¨ arf¨ or ett N s˚ a att m, n ≥ N medf¨or att kfm −fn k2 < . Detta uttrycker man vanligen genom att s¨aga att funktionsf¨oljden (fn )∞ ar 1 ¨ 2 en Cauchyf¨ oljd i L (R). Eftersom funktionerna fn ligger i snittet L1 (R) ∩ L2 (R) ¨ar lemma 7.4.1 till¨ampbart p˚ a differensen fm − fn vilket ger att 2 c 2 \ 2 kfc m − fn k2 = kfm−fn k2 = 2πkfm − fn k2 .
√ c H¨arav drar vi slutsatsen att m, n ≥ N medf¨or att kfc 2π , dvs. m − fn k2 < ∞ 2 c funktionsf¨ oljden (fn )1 ¨ ar ocks˚ a en Cauchyf¨oljd i L (R). Nu har rummet L2 (R) en mycket trevlig egenskap, vars bevis ligger utanf¨or ramen f¨ or den h¨ ar framst¨ allningen, n¨amligen att varje Cauchyf¨oljd konvergerar mot en unik gr¨ ansfunktion i L2 (R). Det finns d¨arf¨or en funktion, ˆ som vi betecknar fˆ, med egenskapen att kfc a n → ∞. Det ¨ar n − f k2 → 0 d˚ denna funktion som kallas fouriertransformen till L2 (R)-funktionen f . Sammanfattningsvis har vi allts˚ a kommit fram till f¨oljande definition.
156
7 Mer om fouriertransformen
Definition. Fouriertransformen fˆ till en funktion f ∈ L2 (R) definieras som Z n ˆ c f (ω) = lim fn (ω) = lim f (t) e−iωt dt, n→∞
n→∞ −n
d¨ ar gr¨ ansv¨ ardet ska tolkas som ett gr¨ansv¨arde i L2 -mening. Anm¨ arkning. F¨ or funktioner f i snittet L1 (R) ∩ L2 (R) har vi nu tv˚ a defi1 ˆ nitioner av fouriertransformen f , L -definition i avsnitt 6.2 och definitionen ovan. Lyckligtvis ger de b˚ ada definitionerna samma resultat. Med beteckningarna ovan g¨ aller n¨ amligen att kfn −f k1 → 0, s˚ a det f¨oljer av sats 6.3.1 (a) att funktionerna fc konvergerar likformigt p˚ a R mot L1 -fouriertransformen n ∞ fˆ. Detta har till f¨ oljd att fˆ ocks˚ a ¨ar L2 -gr¨ansv¨ardet till f¨oljden (fc n )1 . Exempel 7.4.1. Enligt exempel 6.6.2 ¨ar Z a t e−iωt dω = −iπe−|ω| sgn ω. lim a→∞ −a 1 + t2 Detta medf¨ or att F
t (ω) = −iπe−|ω| sgn ω. 1 + t2
Observera att L2 (R)-funktionen t/(1 + t2 ) inte tillh¨or L1 (R). Identiteten i Lemma 7.4.1 kan nu utvidgas till att g¨alla f¨or hela L2 (R). Sats 7.4.2 (Plancherels formler). Om f , g ∈ L2 (R), s˚ a¨ ar Z Z 1 (i) |f (t)|2 dt = |fˆ(ω)|2 dω 2 π Z R ZR 1 (ii) f (t)g(t) dt = fˆ(ω)ˆ g (ω) dω. 2π R R Bevis. Med beteckningarna ovan g¨aller att lim kfn − f k2 = 0
n→∞
och
ˆ lim kfc n − f k2 = 0.
n→∞
H¨ arav f¨ oljer med hj¨ alp av triangelolikheten kf k2 − kf − fn k2 ≤ kfn k2 ≤ kfn − f k2 + kf k2 att limn→∞ kfn k2 = kf k2 , och p˚ a motsvarande s¨att att limn→∞ kfc n k2 = √ kfˆk2 . Men enligt lemma 7.4.1 a¨r kfc k = 2 π kf k , s˚ a det f¨ o ljer att n 2 n 2 √ kfˆk2 = 2π kf k2 , vilket ¨ ar ekvivalent med likheten (i). Den polariserade versionen (ii) f¨oljer av (i) om man uttrycker den inre produkten med hj¨ alp av normen som i sats 2.5.2.
7.4 L2 -teori
157
Som korollarium till Plancherels formler visar vi hur man kan fouriertransformera en produkt av tv˚ a L2 -funktioner; resultatet a¨r dualt till sats 6.5.2 (b). Sats 7.4.3. Antag att f , g ∈ L2 (R). D˚ a ligger produkten f g i L1 (R) och 1 ˆ fcg = f ∗ gˆ. 2π Bevis. P˚ a grund av Cauchy-Schwarz olikhet ¨ar kf gk1 = h|f |, |g|i ≤ kf k2 kgk2 < ∞, dvs. produkten f g ligger i L1 (R) och har d¨arf¨or en fouriertransform. F¨or att ber¨akna denna noterar vi f¨ orst att F[g(t) eiαt ](ω) = F[g](ω − α) = gˆ(α − ω). Plancherels formel (ii) ger d¨ arf¨ or Z Z −iαt c f g(α) = f (t)g(t) e dt = f (t)g(t)eiαt dt RZ R 1 F[f (t)](ω)F[g(t) eiαt ](ω) dω = 2π R Z 1 1 ˆ = fˆ(ω)ˆ g (α − ω) dω = (f ∗ gˆ)(α). 2π R 2π F¨or L2 (R)-funktioner g¨ aller f¨oljande inversionssats. Sats 7.4.4. Antag att f ∈ L2 (R). D˚ a¨ ar ˆ fˆ(t) = 2πfˇ(t) = 2πf (−t), d¨ ar likheten ska uppfattas som en likhet f¨ or L2 -funktioner, dvs. likhet r˚ ader utom eventuellt p˚ a en nollm¨ angd. Bevis. Vi konstaterar f¨ orst att inversionssatsen g¨aller f¨or kontinuerliga L1 funktioner f med fouriertransform i L1 p˚ a grund av sats 7.2.4. Ett tillr¨ ackligt villkor p˚ a f f¨ or att satsen ska g¨alla ¨ar d¨arf¨or att f ¨ar tv˚ a g˚ anger kontinuerligt deriverbar och = 0 utanf¨or n˚ agot begr¨ansat intervall. Detta medf¨ or n¨ amligen f¨ or det f¨orsta att s˚ av¨al f som f 00 tillh¨or L1 (R) (och L2 (R)). Eftersom fc00 (ω) = −ω 2 fˆ(ω) och fouriertransformen fc00 (ω) ¨ar begr¨ansad, ¨ ar vidare |fˆ(ω)| ≤ C|ω|−2 f¨or stora |ω|, s˚ a fouriertransformenen fˆ tillh¨ or ocks˚ a L1 (R). L˚ at nu f vara en godtycklig L2 (R)-funktion. D˚ a finns det en f¨oljd (fn )∞ 1 av funktioner som ¨ ar o¨ andligt deriverbara och lika med noll utanf¨or begr¨ansade intervall, och som approximerar f godtyckligt bra i L2 -mening, dvs. s˚ a att kfn − f k2 → 0 d˚ a n → ∞. (Jmf anm¨arkningen efter sats 4.5.1.) ˆ Av Plancherels formel f¨ oljer nu f¨orst att kfc n − f k2 → 0 och sedan att
158
7 Mer om fouriertransformen
c c ˆ ˆ ˇ kfc ar fc n − f k2 → 0. Men som vi konstaterat ovan ¨ n = 2πfn . Funktionerˆ na 2πfˇn konvergerar d¨ arf¨or b˚ ade mot 2πfˇ och mot fˆ, s˚ a de b˚ ada sistn¨amnda funktionerna m˚ aste vara identiska som L2 -funktioner.
Plancherels formel inneb¨ar att fouriertransformering F, dvs. avbildningen f → fˆ, ¨ ar en linj¨ ar avbildning fr˚ an rummet L2 (R) till sig sj¨alvt, och avbildningen ¨ ar injektiv eftersom fˆ = 0 uppenbarligen medf¨or att f = 0. Inversionssatsen visar att avbildningen ocks˚ a ¨ar surjektiv, dvs. varje funktion g ∈ L2 (R) ¨ ar fouriertransform till en (unik) L2 (R)-funktion f , n¨amligen funktionen f = 21π F[ˇ g ]. Sammanfattningsvis g¨aller allts˚ a Sats 7.4.5 (Plancherels sats). Fouriertransformering F : L2 (R) → L2 (R) ¨ ar en isomorfism (dvs. en bijektiv linj¨ ar avbildning). Vi avslutar med en sats om fouriertransformen till L2 -funktioners derivata som vi kommer att beh¨ova i avsnitt 8.4. Sats 7.4.6. Antag att funktionerna f och ω fˆ(ω) b˚ ada tillh¨ or L2 (R). D˚ a¨ ar funktionen f (efter att eventuellt ha modifierats p˚ a en nollm¨ angd) kontinuerlig. Vidare existerar derivatan f 0 n¨ astan ¨ overallt och tillh¨ or L2 (R), och fb0 (ω) = iω fˆ(ω). Bevis. Funktionerna (1 + ω 2 )1/2 fˆ och (1 + ω 2 )−1/2 ligger b˚ ada i L2 (R). Det 1 ˆ f¨ oljer d¨ arf¨ or av sats 7.4.3 att deras produkt f ligger i L (R). Vi kan d¨arf¨or definiera en kontinuerlig funktion F p˚ a R genom att s¨atta F (t) =
1 2π
Z
fˆ(ω)eitω dω.
R
Eftersom 2πF (t) = F(fˆ)(−t) f¨oljer det av inversionssatsen f¨or L2 -funktioner att F = f som L2 -funktioner, dvs. F (t) = f (t) n¨astan ¨overallt. Det ˚ aterst˚ ar att visa att funktionen F a¨r deriverbar n¨astan o¨verallt och att derivatan F 0 ligger i L2 (R) och har fouriertransform iω fˆ(ω). Men eftersom funktionen iω fˆ(ω) ligger i L2 (R) finns det enligt Plancherels sats en funktion g ∈ L2 (R) s˚ adan att gˆ(ω) = iω fˆ(ω), och vi ska visa F 0 (t) = g(t) n¨ astan ¨ overallt. Rx Betrakta f¨ or den skull integralen 0 g(t) dt. Genom att uttrycka denna integral med hj¨ alp av den karakteristiska funktionen χ[0,x] till intervallet [0, x], som har fouriertransformen χ ˆ[0,x] (ω) = −(e−ixω −1)/iω, samt anv¨anda
7.5 Fourieranalys i h¨ ogre dimensioner
159
Plancherels andra formel, f˚ ar vi Z Z x Z eixω − 1 1 g(t) χ[0,x](t) dt = g(t) dt = gˆ(ω) dω 2π R iω RZ 0 1 = fˆ(ω)(eixω − 1) dω 2π R Z Z 1 1 ixω ˆ f (ω)e dω − fˆ(ω) dω. = 2π R 2π R Detta inneb¨ ar att
Z
x
g(t) dt + C,
F (x) = 0
d¨ar C ¨ ar en konstant, och h¨ arav f¨ oljer att funktionen F ¨ar deriverbar n¨astan 0 ¨overallt med derivata F (x) = g(x). D¨armed ¨ar beviset klart.
7.5
Fourieranalys i h¨ ogre dimensioner
I m˚ anga till¨ ampningar ¨ ar de f¨ orekommande funktionerna flervariabelfunktioner, vilket ¨ ar en anledning till att utveckla fourieranalys ocks˚ a f¨or s˚ adana funktioner. Dessb¨ attre ¨ ar det mycket enkelt att generalisera definitionen av fouriertransformen till funktioner p˚ a Rn , och de flesta resultaten i det h¨ar och det f¨ orra kapitlet g¨ aller med l¨amplig tolkning i den nya situationen och med i stort sett of¨ or¨ andrade bevis. Vi n¨ojer oss d¨arf¨or h¨ar med att ge sj¨alva definitionen samt med att formulera n˚ agra av de viktigare resultaten. Vi skriver Z f (x) dx Rn Rn
f¨or integralen av en funktion f : → C o¨ver hela Rn , och rummet av alla integrerbara funktioner f som uppfyller villkoret Z kf k1 = |f (x)| dx < ∞ Rn
betecknas L1 (Rn ). F¨orP x = (x1 , x2 , . . . , xn ) och y = (y1 , y2 , . . . , yn ) i Rn s¨atter vi vidare √ x · y = nj=1 xj yj och |x| = x · x, dvs. x · y ¨ar den vanliga skal¨arprodukten p˚ a Rn och |x| ¨ ar l¨ angden av vektorn x. Definition. F¨ or f ∈ L1 (Rn ) och ω ∈ Rn s¨atter vi Z ˆ f (ω) = f (x)e−iω·x dx Rn
och kallar funktionen fˆ: Rn → C fouriertransformen av f . Ist¨allet f¨or fˆ anv¨ander vi ocks˚ a beteckningen F(f ).
160
7 Mer om fouriertransformen
Fouriertransformen till en L1 (Rn )-funktion ¨ar kontinuerlig; mer precist g¨ aller: Sats 7.5.1. F¨ or varje f ∈ L1 (Rn ) ¨ ar fouriertransformen fˆ en kontinuerlig funktion, |fˆ(ω)| ≤ kf k1 f¨ or alla ω och lim|ω|→∞ fˆ(ω) = 0. Fouriertransformen till linj¨arkombinationer, translat, produkter med en komplex exponentialfunktion och faltningar ber¨aknas med hj¨alp av f¨oljande sats. Sats 7.5.2. Antag att f, g ∈ L1 (Rn ). D˚ a¨ ar \ (a) (αf + βg)(ω) = αfˆ(ω) + βˆ g (ω)
f¨ or alla α, β ∈ C,
(b)
\ f (x − a)(ω) = fˆ(ω)e−ia·ω
f¨ or alla a ∈ Rn ,
(c)
ia·x f )(ω) = fˆ(ω − a) (e\
f¨ or alla a ∈ Rn ,
(d)
\ (f ∗ g)(ω) = fˆ(ω)ˆ g (ω).
N¨ asta sats, som generaliserar sats 6.6.1, inneb¨ar att fouriertransformen ˆ f best¨ ammer funktionen f entydigt. Sats 7.5.3. Fouriertransformen F : L1 (Rn ) → C0 (Rn ) ¨ ar en injektiv linj¨ ar avbildning. Det som g¨ or fouriertransformen till ett anv¨andbart hj¨alpmedel f¨or att studera och l¨ osa partiella differentialekvationer ¨ar att derivering (med avseende p˚ a xj ) omvandlas till n˚ agot mycket enklare, n¨amligen multiplikation (med iωj ). Sats 7.5.4. Om f ∈ L1 (Rn ) ¨ ar kontinuerligt differentierbar och den partiella ∂f derivatan ∂xj ocks˚ a tillh¨ or L1 (Rn ), s˚ a¨ ar d ∂f (ω) = iωj fˆ(ω). ∂xj F¨ or L1 (Rn )-funktioner f vars fouriertransform ocks˚ a tillh¨or L1 (Rn ) kan vi rekonstruera f fr˚ an dess fouriertransform med hj¨alp av f¨oljande inversionssats. Sats 7.5.5. Antag att f och fˆ b˚ ada ligger i L1 (Rn ). D˚ a¨ ar Z f (x) = (2π)−n fˆ(ω)eiω·x dω Rn
n¨ astan ¨ overallt och speciellt i alla punkter x d¨ ar funktionen f ¨ ar kontinuerlig. F¨ or L2 -funktioner konstruerar man fouriertransformen genom utvidgning:
7.6 Fouriertransformen f¨ or m˚ att
161
Sats 7.5.6. Det finns en unik kontinuerlig linj¨ ar avbildning F : L2 (Rn ) → L2 (Rn ) som sammanfaller med fouriertransformen p˚ a delrummet L2 (Rn ) ∩ L1 (Rn ). Den utvidgade avbildningen F ¨ ar vidare bijektiv och uppfyller Plancherels likhet kf k22 = (2π)−n kFf k22 f¨ or alla f ∈ L2 (Rn ).
7.6
Fouriertransformen f¨ or m˚ att
Det ¨ar ocks˚ a m¨ ojligt att definiera en fouriertransform f¨or andra objekt ¨an funktioner, och allra enklast ¨ ar det att utvidga definitionen till att ocks˚ a g¨alla f¨or ¨ andliga m˚ att s˚ asom Diracm˚ attet och allm¨anna sannolikhetsm˚ att. Vi erinrar om att ett ¨ andligt m˚ att µ ¨ar en kontinuerlig linj¨ar funktional som till att b¨ orja med a ¨r definierad f¨or alla funktioner φ ∈ C0 (R), dvs. kontinuerliga funktioner φ som g˚ ar mot noll i o¨andligheten, och att vi f¨or funktionalv¨ ardet µ(φ) anv¨ ander integralbeteckningen Z φ(t) dµ(t). R
Definitionsomr˚ adet f¨ or m˚ attet kan utvidgas till en klass av funktioner som inneh˚ aller alla begr¨ ansade kontinuerliga funktioner, och eftersom funktionerna e−iωt ¨ ar kontinuerliga och begr¨ansade kan vi nu helt sonika definiera fouriertransformen µ ˆ(ω) av m˚ attet µ som Z −iωt µ ˆ(ω) = µ(e )= e−iωt dµ(t). R
Fouriertransformen µ ˆ blir d¨ arigenom en kontinuerlig och begr¨ansad funktion p˚ a R. Definitionen generaliserar definitionen av fouriertransformen f¨or absolutintegrabla funktioner, ty en s˚ adan funktion f svarar som m˚ att mot m˚ attet f (t) dt, och detta m˚ att har enligt definitionen ovan fouriertransformen Z e−iωt f (t) dt R
som ¨ar den vanliga fouriertransformen fˆ(ω). Diracm˚ attet δa i punkten a f˚ ar fouriertransformen δˆa (ω) = δa (e−iωt ) = e−iaω , ˆ och speciellt ¨ ar allts˚ a δ(ω) = 1 f¨ or alla ω ∈ R.
162
7 Mer om fouriertransformen
Om µ och ν ¨ ar tv˚ a m˚ att, s˚ a definierar vi deras faltning µ ∗ ν som det m˚ att som uppfyller likheten Z Z φ(s + t) dµ(s) dν(t) µ ∗ ν(φ) = R
R
f¨ or alla kontinuerliga funktioner φ. F¨or m˚ att av typen f (t) dt ¨ar den nya definitionen konsistent med definitionen av faltning f¨or funktioner. Faltningen ¨ ar kommutativ, och det ¨ar l¨att att verifiera att µ∗δ =δ∗µ=µ f¨ or alla m˚ att µ. Diracm˚ attet δ fungerar allts˚ a som multiplikativ enhet f¨or faltning. Ins¨ attning av φ(t) = e−iωt i faltningsdefinitionen leder vidare till likheten µ[ ∗ ν(ω) = µ ˆ(ω)ˆ ν (ω).
Historiska notiser Teorin f¨ or fouriertransformen utvecklades parallellt med teorin f¨or fourierserier, men L2 -teorin fick en tillfredsst¨allande l¨osning f¨orst genom Lebesgueintegralen som m¨ ojliggjorde en utvidgning av fouriertransformen till hela L2 (R). Michel Plancherel (1885–1967) visade satsen med hans namn 1910. Tre ˚ ar tidigare hade Frigyes Riesz (1880–1956) och Ernst Fischer (1875–1954) oberoende av varandra visat att fouriertransformen avbildar L1 (T) isometriskt p˚ a rummet `2 .
Kapitel 8
Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen 8.1
V¨ armeledningsekvationen p˚ aR
I avsnitt 5.3 studerade vi v¨ armeledningsproblemet f¨or en ¨andlig stav. Nu ska vi studera motsvarande problem f¨or en o¨andlig stav som vi modellerar som reella axeln. Antag att begynnelsetemperaturen i punkten x vid tiden t = 0 ¨ ar f (x), och l˚ at u(x, t) beteckna temperaturen i samma punkt vid tiden t. Det f¨ oljer med samma resonemang som i avsnitt 5.3 att funktionen u satisfierar den partiella differentialekvation (pd)
∂u ∂2u =κ 2 ∂t ∂x
f¨or x ∈ R och t > 0 och uppfyller begynnelsevillkoret u(x, 0) = f (x) f¨or alla x ∈ R. Vi ska h¨ arleda en l¨ osning u till problemet och r¨aknar till en b¨orjan helt formellt. L˚ at f¨ or den skull u ˆ(ω, t) beteckna fouriertransformen till funktionen u(·, t) s˚ a att Z u(x, t)e−ixω dx.
u ˆ(ω, t) = R
Derivering under integraltecknet ger att Z ∂u ∂u ˆ ∂u (ω, t) = (x, t)e−ixω dx = Fx (ω), ∂t ∂t R ∂t d¨ar f¨orst˚ as Fx betecknar fouriertransformering med avseende p˚ a variabeln x. Formeln f¨ or andraderivatans fouriertransform ger oss ˚ a andra sidan att ∂2u (ω) = −ω 2 u ˆ(ω, t), Fx ∂x2 163
164
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
s˚ a genom att fouriertransformera den givna partiella differentialekvationen erh˚ aller vi f¨ oljande ordin¨ara differentialekvation i variabeln t: ∂u ˆ (ω, t) = −κω 2 u ˆ(ω, t) ∂t med l¨ osningen 2
u ˆ(ω, t) = C(ω)e−κω t . P˚ a grund av begynnelsevillkoret u(x, 0) = f (x) ¨ar vidare u ˆ(ω, 0) = fˆ(ω), vilket inneb¨ ar att integrationskonstanten C(ω) a¨r lika med fˆ(ω) och att f¨ oljaktligen 2 u ˆ(ω, t) = fˆ(ω)e−κω t . Vi erinrar nu om v¨ armeledningsk¨arnan Hτ (x) = √
1 −x2 /2τ e 2πτ
som vi introducerade avsnitt 7.1, och vars fouriertransform ¨ar ˆ τ (ω) = e−τ ω2 /2 . H I termer av den ¨ ar tydligen ˆ 2κt (ω), u ˆ(ω, t) = fˆ(ω)H och enligt faltningsformeln ¨ar d¨arf¨or u(x, t) = (f ∗ H2κt )(x). Genom att precisera f¨oruts¨attningarna i ovanst˚ aende informella h¨arledning erh˚ aller vi f¨ oljande sats. Sats 8.1.1. Antag att f ∈ L1 (R) och s¨ att u(x, t) = (f ∗ H2κt )(x) f¨ or t > 0 och x ∈ R, d¨ ar Hτ ¨ ar v¨ armeledningsk¨ arnan. D˚ a g¨ aller: (i) Funktionen u ¨ ar o¨ andligt deriverbar i ¨ ovre halvplanet x ∈ R, t > 0 och satisfierar v¨ armeledningsekvationen (pd). (ii) Om funktionen f ¨ ar likformigt kontinuerlig och begr¨ ansad p˚ a R, s˚ a konvergerar u(x, t) likformigt mot f (x) d˚ a t → 0. (iii) Om f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), s˚ a konvergerar funktionerna u(·, t) mot f i L2 -mening d˚ a t → 0.
8.2 Samplingssatsen
165
Bevis. (i) Enligt sats 7.2.2 ¨ ar 1 u(x, t) = 2π
Z
2 fˆ(ω)e−κω t eiωx dω.
R
F¨or t > 0 kan vi nu utan problem derivera partiellt under integraltecknet ett obegr¨ ansat antal g˚ anger med avseende p˚ a s˚ av¨al x som t beroende p˚ a 2 att e−κω t avtar s˚ a snabbt i o¨ andligheten. Funktionen u ¨ar d¨arf¨or o¨andligt 2 deriverbar i ¨ ovre halvplanet. Eftersom funktionerna e−κω t eiωx satisfierar v¨armeledningsekvationen f¨ or varje fixt ω f¨oljer det vidare genom derivering under integraltecknet att funktionen u(x, t) ocks˚ a satisfierar v¨armeledningsekvationen. Detta bevisar p˚ ast˚ aende (i). (ii) P˚ ast˚ aendet ¨ ar en omedelbar konsekvens av sats 7.1.2. (iii) Enligt Plancherels formel ¨ ar Z 1 1 2 2 2 ˆ ku(·, t) − f k2 = kˆ u(·, t) − f k2 = |fˆ(ω)|2 |e−κω t − 1|2 dω, 2π 2π R och integranden i h¨ ogerledet g˚ ar mot noll d˚ a t → 0 samt majoreras av 4|fˆ(ω)|2 . Det f¨ oljer d¨ arf¨ or av satsen om dominerad konvergens att integralen g˚ ar mot noll d˚ a t → 0, vilket bevisar v˚ art p˚ ast˚ aende. Anm¨ arkning. Villkoren i sats 8.1.1 garanterar att v¨armeledningsekvationen (pd) a¨r l¨ osbar, men de a ackliga f¨or att l¨osningen ska vara entydigt ¨r inte tillr¨ best¨amd. F¨ or entydighet beh¨ over man st¨alla krav p˚ a l¨osningens uppf¨orande d˚ a x g˚ ar mot o¨ andligheten.
8.2
Samplingssatsen
En analog signal som modelleras av funktionen f ∈ L1 (R), s¨ages vara bandbegr¨ ansad till intervallet [a, b] om signalens spektrum ligger i intervallet, dvs. om fouriertransformen fˆ(ω) ¨ ar lika med noll f¨or alla ω utanf¨or intervallet [a, b]. Intervallets l¨ angd b − a kallas signalens bandbredd. Den teoretiska grunden f¨ or digital teknik f¨or inspelning, lagring och avspelning av akustiska signaler finns i f¨oljande sats. Sats 8.2.1 (Samplingssatsen). En kontinuerlig signal med bandbredd 2L ¨ ar entydigt best¨ amd av signalens v¨ arden i de diskreta tidpunkterna nπ/L, n ∈ Z. Bevis. Vi noterar f¨ orst att vi utan inskr¨ankning kan anta att bandbegr¨ansningsintervallet ¨ ar symmetriskt kring origo, dvs. ¨ar intervallet [−L, L]. Om signalen f har sitt spektrum i ett godtyckligt intervall [a, b] av l¨angd 2L och m betecknar intervallets mittpunkt, s˚ a har n¨amligen den kontinuerliga signalen g(t) = e−imt f (t) sitt spektrum i intervallet [−L, L] eftersom gˆ(ω) = fˆ(ω +m), och vi kan uppenbarligen rekonstruera f fr˚ an v¨ardena i punkterna nπ/L, n ∈ Z, om vi kan rekonstruera signalen g fr˚ an samma v¨arden.
166
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
Anta allts˚ a att f ¨ ar bandbegr¨ansad till intervallet I = [−L, L]. Eftersom fouriertransformen till en L1 (R)-funktion a¨r kontinuerlig och fˆ(ω) = 0 utanf¨ or det begr¨ ansade intervallet I, ligger fˆ i L1 (R). Inversionssatsen ger oss d¨ arf¨ or likheten Z Z L 1 1 f (t) = fˆ(ω)eiωt dω = fˆ(ω)eiωt dω. 2π R 2π −L Att signalen f ¨ ar entydigt best¨amd av samplingsv¨ardena f (nπ/L) f¨oljer nu omedelbart av f¨ oljande sats, som ocks˚ a ger en explicit formel f¨or sj¨alva rekonstruktionen av signalen fr˚ an samplingsv¨ardena. Sats 8.2.2. Antag att 1 f (t) = 2π
Z
L
φ(ω)eiωt dω
−L
d¨ ar φ ¨ ar en funktion i L2 ([−L, L]). D˚ a¨ ar f (t) =
X n∈Z
f
nπ sin(Lt − nπ) L Lt − nπ
f¨ or alla t ∈ R, och serien i h¨ ogerledet konvergerar likformigt p˚ a R. Bevis. S¨ att g(ω) = Lφ(ω)/π, och l˚ at ht beteckna restriktion av funktionen ω 7→ e−iωt till intervallet [−L, L]. Funktionerna g och ht ligger i L2 ([−L, L], och med hj¨ alp av dem kan vi skriva f (t) p˚ a formen Z L 1 f (t) = g(ω) ht (ω) dω. 2L −L Enligt den polariserade versionen av Parsevals sats a¨r d¨arf¨or X f (t) = cn dn (t), n∈Z
d¨ ar cn och dn (t) betecknar fourierkoefficienterna till funktionerna g och ht . Dessa a ¨r Z L L 1 cn = φ(ω) e−i(nπ/L)ω dω = f (−nπ/L), 2L −L π Z L 1 sin(Lt + nπ) dn (t) = e−itω e−i(nπ/L)ω dω = . 2L −L Lt + nπ Eftersom fourierkoefficienterna dn (t) ¨ar reella f¨oljer det nu att f (t) =
X n∈Z
cn dn (t) =
X n∈Z
c−n d−n (t) =
X n∈Z
f (nπ/L)
sin(Lt − nπ) , Lt − nπ
8.2 Samplingssatsen
167
vilket bevisar rekonstruktionsformeln. F¨or att visa att konvergensen ¨ar likformig uppskattar vi svansarna i serien och f˚ ar d˚ a med hj¨ alp av Cauchy–Schwarz olikhet och Parsevals sats: X X X X 2 X |dn (t)|2 |cn |2 · |dn (t)|2 ≤ |cn |2 · cn dn (t) ≤ =
X
|n|>N
|n|>N
|n|>N
|n|>N
2
|cn | ·
kht k22
=
P
n∈Z
2
|cn | .
|n|>N
|n|>N
Uppskattningen visar att
X
|n|>N cn dn (t)
g˚ ar mot noll uniformt d˚ a N → ∞.
F¨or att vi ska kunna anv¨ anda rekonstruktionsformeln kr¨avs det att signalen har ¨ andlig bandbredd. Men vilka analoga signaler har ¨andlig bandbredd? Egentligen inga fysiska signaler, ty en s˚ adan signal varar ju bara under ett a egentligen modelleras med en funktion f som ¨andligt tidsintervall och ska d˚ or ett begr¨ ansat intervall. Och en s˚ adan funktion, som inte ¨ar ¨ar noll utanf¨ identiskt lika med noll, kan inte ha en fouriertransform fˆ som ¨ar noll utanf¨or ett ¨andligt intervall. Se ¨ ovning 8.1. I praktiken spelar dock detta inte n˚ agon roll. Det m¨anskliga ¨orat kan inte uppfatta ljud med h¨ ogre frekvens ¨an 20 kHz. Med tiden t angiven i sekunder har signalen eiωt frekvensen |ω|/2π Hz och den ¨ar s˚ aledes oh¨orbar om |ω| > 40 000 π. Alla h¨ orbara signaler kan d¨arf¨or anses ha sitt spektrum i intervallet ]−40 000π, 40 000π[ och d¨armed ha en bandbredd som inte or perfekt ljud˚ atergivning r¨acker det d¨arf¨or att sampla ¨overstiger 80 000 π. F¨ signalen i diskreta tidpunkter med tidsavst˚ andet ∆t = 1/40 000 sekund, dvs. med samplingsfrekvensen 40 kHz. Vanliga CD-spelare anv¨ander samplingsfrekvensen 44.1 kHz.
Undersampling L˚ at oss unders¨ oka vad som h¨ ander om man anv¨ander rekonstruktionsformeln i sats 8.2.2 p˚ a en signal f vars faktiska bandbredd ¨ar st¨orre ¨an 2L. Antag att fouriertransformen fˆ i sj¨alva verket bara ¨ar noll utanf¨or intervallet [−L − δ, L + δ], d¨ ar 0 < δ < L, och l˚ at fR beteckna den signal som f˚ as med hj¨ alp av rekonstruktionsformeln, dvs. fR (t) =
X n∈Z
f
nπ sin(Lt − nπ) . L Lt − nπ
Vi ska best¨ amma fouriertransformen fc an den R och se hur den skiljer sig fr˚ ursprungliga signalens fouriertransform fˆ. Vi uttrycker f¨or den skull samplingsv¨ardena f (nπ/L) med hj¨ alp av fouriertransformen till f . Inversionsformeln ger att
168
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
Z 1 −L ˆ i(nπ/L)ω ˆ f (ω) e dω = f (ω) ei(nπ/L)(ω+2L) dω 2 π −L−δ −L−δ Z L Z L+δ + fˆ(ω) ei(nπ/L)ω dω + fˆ(ω) ei(nπ/L)(ω−2L) dω
nπ 1 f = L 2π
L+δ
Z
1 = 2π
Z
−L L
fˆ(ω − 2L) ei(nπ/L)ω dω +
L−δ −L+δ
Z + 1 = 2π
L
Z
Z
L
fˆ(ω) ei(nπ/L)ω dω
−L
fˆ(ω + 2L) ei(nπ/L)ω dω
−L L
fˆ(ω − 2L) + fˆ(ω) + fˆ(ω + 2L) ei(nπ/L)ω dω.
−L
S¨ att h(ω) = fˆ(ω − 2L) + fˆ(ω) + fˆ(ω + 2L) χ[−L,L] (ω), d¨ ar χ[−L,L] som vanligt betecknar den karakteristiska funktionen till intervallet [−L, L]. Funktionen h ¨ar kontinuerlig p˚ a intervallet [−L, L] och lika med noll utanf¨ or detsamma och tillh¨or f¨oljaktligen speciellt L1 (R) ∩ L2 (R). Om vi definierar funktionen g som Z Z L 1 1 iωt g(t) = h(ω) e dω = fˆ(ω − 2L) + fˆ(ω) + fˆ(ω + 2L) eiωt dω, 2π R 2π −L s˚ a¨ ar g(t) =
1 ˆ 2π h(−t),
och inversionsformeln (f¨or L2 -funktioner) ger att gˆ(ω) = h(ω)
f¨ or alla ω i intervallet [−L, L]. P˚ a grund av formeln f¨or samplingsv¨ardena f (nπ/L) och definitionen av funktionen g ¨ ar slutligen g(nπ/L) = f (nπ/L), s˚ a det f¨oljer av rekonstruktionsformeln i sats 8.2.2 att X nπ sin(Lt − nπ) g(t) = f = fR (t). L Lt − nπ n∈Z
F¨ or |ω| ≤ L ¨ ar f¨ oljaktligen fc ˆ(ω) = h(ω) = fˆ(ω − 2L) + fˆ(ω) + fˆ(ω + 2L) χ[−L,L] (ω). R (ω) = g ˆ Notera att fR 6= f eftersom fc amf¨or de b˚ ada signalernas R 6= f . Om vi j¨ transformer s˚ a ser vi att ˆ ˆ f (ω) + f (ω + 2L) f¨or −L ≤ ω ≤ −L + δ, fc fˆ(ω) f¨or −L + δ ≤ ω ≤ L − δ, R (ω) = ˆ f (ω) + fˆ(ω − 2L) f¨or L − δ ≤ ω ≤ L. Genom undersamplingen skiftas s˚ aledes h¨ogfrekvent inneh˚ all i signalen f till l¨ agre frekensomr˚ aden. Se figur 8.1. Fenomet kalls vikning eller aliasing.
8.2 Samplingssatsen
169
δ −L
δ −L
L
L
Figur 8.1. Vikning: Till v¨ anster fouriertransformen till en signal med bandbredd 2L + 2δ, och till h¨oger transformen av den signal som f˚ as genom sampling med samplingsbredden 2L.
¨ Ovning 8.1 Antag att funktionen f ¨ ar kontinuerlig och lika med noll utanf¨or ett begr¨ ansat intervall samt att fouriertransformen fˆ ocks˚ a ¨ar noll utanf¨or n˚ agot begr¨ ansat intervall. Visa att f ¨ar lika med noll ¨overallt. [Ledning: Antag utan inskr¨ankning att f ¨ar noll utanf¨or intervallet [0, π], och l˚ at F vara restriktionen av f till intervallet [0, 2π]. Visa genom att ber¨ akna fourierkoefficienterna att F ¨ar ett trigonometriskt polynom, vilket a ¨r orimligt om inte F (t) = 0 f¨or alla t.] 8.2 L˚ at f vara som i sats 8.2.2. Visa att om λ > 1, s˚ a ¨ar f (t) =
λ X nπ f Kλ (Lλt − nπ), λ−1 Lλ n∈Z
d¨ ar Kλ (x) =
cos(x/λ) − cos x . x2
Rekonstruktionsformeln konvergerar s˚ aledes snabbare om man samplar f oftare, ty Kλ (x) = O(1/|x|2 ) d˚ a |x| → ∞. [Ledning: L˚ at k vara funktionen i figur 8.2 och definiera funktionerna g och ht p˚ a intervallet [−Lλ, Lλ] genom att s¨atta ( Lλφ(ω)/π f¨ or |ω| ≤ L g(ω) = 0 f¨ or |ω| > L
och
ht (ω) = e−iωt k(ω).
Notera att 1 f (t) = 2Lλ och anv¨ and Parsevals sats.]
Z
Lλ
g(ω)ht (ω) dω −Lλ
170
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
1
− Lλ −L
L Lλ
Figur 8.2. Funktionen k i ¨ovning 8.2.
8.3
Linj¨ ara tidsinvarianta system
I inledningskapitlet exemplifierade vi begreppet (diskret) faltning med diskreta svarta l˚ ador. Nu ska vi diskutera den analoga motsvarigheten, dvs. system eller apparater som tar emot kontinurliga signaler, processar dem p˚ a n˚ agot s¨ att och levererar kontinuerliga utsignaler. Vi a¨r fortfarande inte intresserade av vad som h¨ander inuti systemet/apparaten utan betraktar det som en funktion T med m¨angden av alla m¨ojliga insignaler som definitionsm¨ angd. Sambandet mellan insignal x och utsignal y har f¨oljaktligen formen y = T (x), och vi kan beskriva det hela schematiskt med figur 8.3.
Insignal x(t)
T
Utsignal y(t)
Figur 8.3. Analog svart l˚ ada
Ett s˚ adant system kallas linj¨ art om funktionen T ¨ar linj¨ar, dvs. om T (a1 x1 + a2 x2 ) = a1 T (x1 ) + a2 T (x2 ) f¨ or alla insignaler x1 och x2 och alla skal¨arer a1 och a2 . Inga verkliga apparater kan naturligtvis vara fullst¨andigt linj¨ara, men m˚ anga kan med god approximation anses vara linj¨ara inom sina begr¨ansade funktionsomr˚ aden. Om ett system fungerar p˚ a samma s¨att oavsett n¨ar det anv¨ands, kallas det tidsinvariant. F¨ or att formulera egenskapen matematisk l˚ ater vi xτ beteckna den med τ enheter translaterade signalen x, dvs. xτ (t) = x(t − τ ). Systemet T ¨ ar d˚ a tidsinvariant om T (xτ ) = T (x)τ f¨ or alla signaler x och alla τ ∈ R. Om insignalen x(t) ger upphov till utsignalen y(t), s˚ a ska allts˚ a den translaterade insignalen x(t − τ ) resultera i utsignalen y(t − τ ).
8.3 Linj¨ ara tidsinvarianta system
171
System som ¨ ar b˚ ade linj¨ ara och tidsinvarianta kallas LTI-system. Exempel p˚ a apparater som kan modelleras som LTI-system a¨r digitala f¨orst¨arkare och filter.1 Exempel 8.3.1. Ett system d¨ ar utsignalens v¨arde varje tidpunkt t a¨r medelv¨ardet av insignalen under tidsintervallet [t−1, t+1], dvs. d¨ar sambandet mellan insignal x och utsignal y ges av ekvationen Z 1 t+1 x(s) ds, y(t) = 2 t−1 ¨ar ett LTI-system. Sambandet mellan ut- och insignal kan uttryckas som en faltning. Variabelsubstitutionen s = t − u i integralen ger n¨amligen att Z Z 1 1 1 y(t) = x(t − u) du = x(t − u)χ[−1,1] (u) du, 2 −1 2 R s˚ a y = k ∗ x f¨ or funktionen k = 12 χ[−1,1] . Exempel 8.3.2. Ett system d¨ ar utsignalens v¨arde vid varje tidpunkt t a¨r lika med medelv¨ ardet av insignalens v¨arden vid tidpunkterna t − 1 och t + 1, dvs. d¨ar x(t − 1) + x(t + 1) , y(t) = 2 ¨ a ett LTI-system. Aven i detta fall kan vi skriva sambandet mellan ¨ar ocks˚ ut- och insignal som en faltning y = k ∗ x, men nu beh¨over vi anv¨anda oss av Diracm˚ attet f¨ or att definiera k. F¨or Diracm˚ attet δa i punkten a ¨ar δa ∗ x(t) = x(t − a), s˚ a faltningssambandet g¨aller f¨or k = 21 (δ−1 + δ1 ). L˚ at T vara ett LTI-system som kan processa sinusoider och deras komplexa motsvarigheter, dvs. de komplexa exponentialfunktionerna, och l˚ at y ω (t) beteckna utsignalen till insignalen eiωt . Vi ska titta p˚ a utsignalen till den translaterade insignalen eiω(t−τ ) . Eftersom eiω(t−τ ) = e−iωτ eiωt a grund av tidsinvarians, dels lika med ¨ar utsignalen dels lika med y ω (t − τ ) p˚ −iωτ ω e y (t) p˚ a grund av linearitet. Det f¨oljer att y ω (t − τ ) = e−iτ ω y ω (t) f¨or alla τ och alla t, och genom att speciellt v¨alja t = 0 och sedan byta τ mot −t ser vi att T (eiωt ) = y ω (t) = y ω (0)eiωt . 1
Ett filter ¨ ar en komponent som sl¨ apper igenom signaler vars frekvenser ligger inom ett givet intervall och kraftigt reducerar ¨ ovriga signaler.
172
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
Funktionerna eiωt ¨ ar med andra ord egenfunktioner till avbildningen T med K(ω) = y ω (0) som motsvarande egenv¨arden. Sammanfattningsvis har vi d¨ armed visat f¨ oljande sats. Sats 8.3.1. F¨ or LTI-system T ¨ ar de komplexa exponentialfunktionerna eiωt egenfunktioner, dvs. det finns en funktion K(ω) med egenskapen att T (eiωt ) = K(ω)eiωt . Funktionen K(ω) kallas systemets frekvenssvar. Exempel 8.3.3. F¨ or LTI-systemet i exempel 8.3.1 resulterar insignalen eiωt i utsignalen Z 1 t+1 iωs e ds. y ω (t) = 2 t−1 Frekvenssvaret ¨ ar d¨ arf¨ or K(ω) = y ω (0) =
1 2
Z
1
−1
eiωs ds =
sin ω . ω
Den uppm¨ arksamme l¨asaren noterar nu att frekvenssvaret K(ω) ¨ar fouriertransform till funktionen 12 χ[−1,1] , dvs. till den funktion k som g¨or att sambandet mellan in- och utsignal kan skrivas som en faltning y = k ∗ x. Exempel 8.3.4. Frekvenssvaret i LTI-systemet i exempel 8.3.2 ¨ar p˚ a motsvarande vis 1 K(ω) = (e−iω + eiω ) = cos ω, 2 och ¨ aven i det h¨ ar exemplet ¨ar frekvenssvaret lika med fouriertransformen 1 till k = 2 (δ−1 + δ1 ) i faltningssambandet y = k ∗ x mellan in- och utsignal. Alla system i vilka sambandet mellan in- och utsignal ges av en faltning, ar LTI-system. ¨ Sats 8.3.2. L˚ at k vara en funktion eller mer allm¨ ant ett m˚ att. D˚ a definierar faltningen y = k ∗ x ett LTI-system med x som insignal och y som utsignal. Det ¨ ar underf¨ orst˚ att att de till˚ atna insignalerna ¨ar de funktioner som g¨ or faltningen v¨ aldefinierad. Bevis. B˚ ade linearitet och tidsinvarians f¨oljer omedelbart fr˚ an faltningsdeR finitionen y(t) = k ∗ x(t) = R k(t − u)x(u) du. I LTI-systemet y = k ∗ x kallas k systemets impulssvar, och anledningen a ¨r att insignalen δ (en inpuls) ger y = k ∗ δ = k som utsignal.
8.3 Linj¨ ara tidsinvarianta system
173
Att LTI-systemen i exemplen ovan kan skrivas som faltningar och att frekvenssvaret K(ω) ges av fouriertransformen till impulssvaret k a¨r ingen tillf¨allighet, utan motsvarande g¨ aller under t¨amligen allm¨anna f¨orh˚ allanden som f¨oljande heuristiska resonemang visar. L˚ at T vara ett LTI-system vars frekvenssvar K(ω) ¨ar fouriertransform till n˚ agon funktion k (eller mer generellt till n˚ agot m˚ att k), och betrakta en insignal x(t) med fouriertransform x ˆ(ω). Antag att signalen kan rekonstrueras fr˚ an fouriertransformen med hj¨alp av inversionssatsen, dvs. att Z 1 x(t) = x ˆ(ω)eiωt dω, 2π R att motsvarande g¨ aller f¨ or signalen k ∗ x(t), samt att LTI-systemet T ¨ar kontinuerligt i den bem¨ arkelsen att linearitetsegenskapen kan utstr¨ackas fr˚ an att g¨alla f¨ or ¨ andliga summor av insignaler till ”o¨andliga summor” i form av integraler. D˚ a¨ ar Z 1 Z 1 iωt T (x)(t) = T x ˆ(ω)e dω = T (ˆ x(ω)eiωt ) dω 2π R 2π R Z Z 1 1 iωt x ˆ(ω)T (e ) dω = x ˆ(ω)K(ω)eiωt dω = 2π R 2π R Z Z 1 1 iωt ˆ = k(ω)ˆ x(ω)e dω = k[ ∗ x(ω)eiωt dω 2π R 2π R = k ∗ x(t). En ¨ onskv¨ ard egenskap hos m˚ anga verkliga system ¨ar att de ska vara stabila. Det finns flera olika stabilitetsbegrepp i bruk, men det vanligaste ¨ar f¨oljande. Definition. Ett LTI-system kallas BIBO-stabilt om utsignalen ¨ar begr¨ansad f¨or varje begr¨ ansad insignal. BIBO st˚ ar f¨or ”bounded input-bounded output”. Sats 8.3.3. LTI-systemet y = k ∗ x, d¨ ar k ¨ ar en funktion, ¨ ar BIBO-stabilt om och endast om funktionen k ¨ ar absolutintegrabel. Bevis. Att systemet ¨ ar BIBO-stabilt om k ∈ L1 (R) f¨oljer av olikheten Z Z Z |y(t)| = k(s)x(t − s) ds ≤ |k(s)||x(t − s)| ds ≤ |k(s)| sup |x(s)| ds R
R
R
s∈R
= kkk1 sup |x(s)|, s∈R
som visar att utsignalen ¨ ar begr¨ ansad f¨or alla begr¨ansade insignaler. Antag omv¨ ant att systemet ¨ ar BIBO-stabilt och l˚ at x(t) vara den insignal som f˚ as genom att s¨ atta x(t) = k(−t)/|k(−t)| om k(−t) 6= 0 och x(t) = 0 om
174
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
k(−t) = 0. Insignalen x(t) ¨ar d˚ a till beloppet begr¨ansad av 1, s˚ a motsvarande utsignal y(t) a r begr¨ a nsad. Eftersom ¨ Z Z y(0) = k(s)x(−s) ds = |k(s)| ds = kkk1 , R
R
ar kkk1 < ∞. ¨ Exempel 8.3.5. Ett l˚ agpassfilter a¨r ett filter som sl¨apper igenom signaler med frekvenser som understiger ett givet v¨arde a och reducerar ¨ovriga signaler. Ett LTI-system med f¨oljande frekvenssvar ( 1 om |ω| ≤ a K(ω) = χ[−a,a] (ω) = 0 f¨or ¨ovrigt skulle d¨ arf¨ or vara ett perfekt l˚ agpassfilter eftersom systemet annihilerar signaler med frekvenser som ¨overstiger a fullst¨andigt. Motsvarande impulssvar k, dvs. den funktion som har K som fouriertransform, ¨ar funktionen sin at/πt och den ¨ ar inte absolutintegrabel. Ett idealt l˚ agpassfilter ¨ar d¨arf¨or inte BIBO-stabilt. Ideala l˚ agpassfilter g˚ ar heller inte att realisera i praktiken, bl. a. av det sk¨ alet att det inte fungerar i realtid. F¨or system som fungerar i realtid kan utsignalens v¨ arde i en punkt t bara bero av insignalens v¨arden i tidpunkter upp till och med t. S˚ adana system kallas kausala.. Ett system T ¨ar med andra ord kausalt om x(s) = z(s) f¨or s ≤ t ⇒ T (x)(t) = T (z)(t) f¨ or alla t. F¨ or linj¨ ara system T ¨ar detta ekvivalent med att x(s) = 0 f¨or s ≤ t ⇒ T (x)(t) = 0. Sats 8.3.4. Ett faltningssystem ¨ ar kausalt om och endast om det kan skrivas p˚ a formen Z ∞ y(t) = k(s)x(t − s) ds. 0
Bevis. Antag f¨ orst att systemet T har den formen, och l˚ at x vara en insignal s˚ adan att x(s) = 0 f¨ or s ≤ t. D˚ a ¨ar Z ∞ Z ∞ T (x)(t) = k(s)x(t − s) ds = k(s) · 0 ds = 0 0
0
vilket visar att systemet a¨r kausalt. Antag omv¨ ant att systemet y = T (x) = k ∗ x ¨ar kausalt. F¨or alla signaler x med x(s) = 0 f¨ or s ≤ 0 ¨ar d˚ a ¨ar Z Z 0 0 = T (x)(0) = k(s)x(0 − s) ds = k(s)x(−s) ds, R
−∞
8.4 Heisenbergs os¨ akerhetsprincip
175
och aljas godtyckligt f¨or s < 0 medf¨or detta att R 0 eftersom x(−s) kan v¨ k(s)f (s) ds = 0 f¨ o r alla funktioner f . Speciellt a¨r d¨arf¨or −∞ Z
Z
0
k(s)x(t − s) ds =
T (x)(t) =
Z k(s)x(t − s) ds +
−∞
ZR∞
∞
k(s)x(t − s) ds 0
k(s)x(t − s) ds
= 0
f¨or alla insignaler x. Exempel 8.3.6. Inga av systemen i exemplen 8.3.1, 8.3.2 och 8.3.5 ¨ar kausala.
8.4
Heisenbergs os¨ akerhetsprincip
Vi b¨orjar med en olikhet som brukar kallas Heisenbergs olikhet eftersom den finns implicit i ett av hans kvantmekaniska arbeten. Sats 8.4.1 (Heisenbergs olikhet). Antag att f ∈ L2 (R). D˚ a¨ ar Z Z Z 2 π 2 2 2 ˆ 2 (8.1) t |f (t)| dt · ω |f (ω)| dω ≥ |f (t)|2 dt . 2 R R R Mer generellt g¨ aller att Z Z Z 2 π 2 2 2 ˆ 2 |f (t)|2 dt . (8.2) (t − a) |f (t)| dt · (ω − b) |f (ω)| dω ≥ 2 R R R f¨ or alla reella tal a, b. Bevis. Genom att anv¨ anda olikheten (8.1) p˚ a funktionen g(t) = e−ib(t+a) f (t + a), som har fouriertransformen gˆ(ω) = eiaω fˆ(ω + b) ser man att olikheten (8.2) f¨ oljer av olikheten (8.1). F¨or att visa olikheten (8.1) kan vi naturligtvis utan inskr¨ankning anta R 2 R 2 2 2 att integralerna R t |f (t)| dt = ktf (t)k2 och R ω |fˆ(ω)|2 dω = kω fˆ(ω)k22 or detta att funktionen f ¨ar kontinuerlig ¨ar ¨andliga. Enlig sats 7.4.6 medf¨ (om man modifierar den p˚ a en nollm¨angd), att derivatan f 0 existerar n¨astan or L2 (R) samt att fb0 (ω) = iω fˆ(ω). Genom att utnyttja att ¨overallt och tillh¨ d d |f (t)|2 = (f (t)f (t)) = f 0 (t)f (t) + f (t)f 0 (t) = 2 Re(f (t)f 0 (t)) dt dt
176
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
f˚ ar vi nu med hj¨ alp av partiell integration: Z (8.3) a
b
h ib Z b d 2 t |f (t)|2 dt |f (t)| dt = t|f (t)| − a a dt Z b = b|f (b)|2 − a|f (a)|2 − 2 Re tf (t)f 0 (t) dt. 2
a
a grund av Cauchy–Schwarz olikhet, Funktionen tf (t)f 0 (t) tillh¨or L1 (R) p˚ ty Z (8.4) |tf (t)f 0 (t)| dt ≤ ktf (t)k2 kf 0 (t)k2 . R
Integralerna i v¨ anster- och h¨ogerleden av likheten (8.3) konvergerar d¨arf¨or d˚ a b → ∞ resp. a → ∞, vilket medf¨or att de b˚ ada gr¨ansv¨ardena limb→∞ b|f (b)|2 2 och lima→−∞ a|f (a)| m˚ aste existera. B˚ ada gr¨ansv¨ardena ¨ar vidare lika med noll, ty i motsatt fall vore |f (t)| av storleksordningen |t|−1/2 d˚ a t g˚ ar mot 2 plus eller minus o¨ andligheten, vilket strider mot antagandet f ∈ L (R). Gr¨ ans¨ overg˚ ang i likheten (8.3) i kombination med olikheten (8.4) och Plancherels formel kf 0 k2 = (2π)−1/2 kfb0 k2 = (2π)−1/2 kωf (ω)k2 leder s˚ aledes till olikheten Z Z kf k22 = −2 Re tf (t)f 0 (t) dt ≤ 2 |tf (t)f 0 (t)| dt ≤ 2ktf (t)k2 kf 0 (t)k2 R
R −1/2
= 2ktf (t)k2 · (2π)
kωf (ω)k2 ,
som efter kvadrering ¨ ar olikheten (8.1). Vi ska nu ge en sannolikhetsteoretisk tolkning av Heisenbergs olikhet och erinrar d˚ a om att en t¨ athetsfunktion ¨ar en icke-negativ funktion g s˚ adan att R 1 (R) med kgk = 1. g(t) dt = 1, dvs. en icke-negativ funktion g ∈ L 1 R athetsfunktioner g ger upphov till sannolikhetsm˚ att p˚ a R, och om R T¨ 2 a existerar v¨ antev¨ ardet R t g(t) dt < ∞, s˚ Z µ= tg(t) dt, R
eftersom µ ¨ ar den inre produkten av de tv˚ a L2 (R)-funktionerna tg(t)1/2 och 1/2 g(t) , och variansen Z Z 2 Var(g) = (t − µ) g(t) dt = t2 g(t) dt − µ2 . R
R
Liten varians betyder att huvudparten av sannolikhetsmassan ¨ar lokaliserad till en liten omgivning av v¨antev¨ardet, medan stor varians inneb¨ar att sannolikhetsmassan ¨ ar utsmetad ¨over ett st¨orre intervall.
8.5 Centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen
177
L˚ at nu f ∈ L2 (R) vara en funktion med norm kf k2 = 1. Enligt Plancherels sats a a ocks˚ a k(2π)−1/2 fˆk2 = 1, och detta inneb¨ar att b˚ ade |f |2 ¨r d˚ och (2π)−1 |fˆ|2 ¨ ar t¨ athetsfunktioner till sannolikhetsm˚ att. Om vi i sats 8.4.1 v¨aljer konstanterna a och b som v¨antev¨ardena till |f |2 resp. (2π)−1 |fˆ|2 , s˚ a f˚ ar vi d¨ arf¨ or f¨ oljande resultat f¨ or de b˚ ada sannolikhetsm˚ attens varians. Sats 8.4.2. Antag f ∈ L2 (R) och kf k2 = 1. D˚ a¨ ar 1 Var(|f |2 ) · Var((2π)−1 |fˆ|2 ) ≥ . 4 Resultatet inneb¨ ar att de b˚ ada varianserna inte kan vara sm˚ a samtidigt. Om t¨atheten |f |2 har en liten varians δ, s˚ a har den duala t¨atheten (2π)−1 |fˆ|2 en varians av minst storleksordningen 1/δ. Heisenbergs olikhet har som n¨amnts sina r¨otter i kvantmekaniken. Inom kvantmekaniken beskrivs l¨ age och r¨orelsem¨angd hos en elektron som r¨or sig 2 utefter en linje av L (R)-funktioner. Varken l¨age eller r¨orelsem¨angd kan anges exakt utan det ¨ ar enbart m¨ojligt att att ange sannolikheten f¨or att elektronen ska befinna sig inom ett givet intervall och ha en r¨orelsem¨angd inom ett givet intervall. Positionssannolikheten har en t¨athetsfunktion av typen |f |2 med f ∈ L2 (R), medan t¨athetsfunktionen f¨or r¨orelsem¨angd ges av (2π)−1 |fˆ|2 . Om man anv¨ ander positionsf¨ ordelningens v¨antev¨arde f¨or att ange elektronens l¨age, s˚ a blir f¨ ordelningens standardavvikelse, dvs. kvadratroten ur variansen, ett m˚ att p˚ a os¨ akerheten i positionsangivelsen. Ju mindre standardavvikelse desto mer sannolikt att elektronen befinner sig i ett intervall av given storlek kring v¨ antev¨ ardet. P˚ a motsvarande s¨att blir standardavvikelsen hos t¨ athetsfunktionen f¨ or r¨ orelsem¨angden att m˚ att p˚ a os¨akerheten d˚ a r¨orelsem¨ angden ges av motsvarande v¨antev¨arde. Om ∆x och ∆p st˚ ar f¨or standardavvikelserna i positionsangivelsen resp. r¨orelsem¨angdsangivelsen, s˚ a blir d¨arf¨ or den kvantmekaniska tolkningen av olikheten i sats 8.4.2 att ∆x · ∆p ≥ C, d¨ar C a¨r en konstant, och med r¨ att val av fysikaliska enheter a¨r C = h/4π, d¨ar h ¨ar Plancks konstant. Olikheten visar att det ¨ar principiellt om¨ojligt att med godtyckligt stor precision samtidigt best¨amma l¨age och r¨orelsem¨angd.
8.5
Centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen
L˚ at oss b¨ orja med att rekapitulera n˚ agra grundl¨aggande begrepp fr˚ an sannolikhetsteorin och samtidigt fixera den notation som vi kommer att anv¨anda oss av. En reell stokastisk variabel X ¨ar en funktion som ¨ar definierad p˚ a n˚ agot sannolikhetsrum. Vi kan d¨ arf¨ or meningsfullt tala om sannolikheten att X
178
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
ska ha ett v¨ arde som ligger i en viss delm¨angd B av R, och denna sannolikhet betecknas Pr(X ∈ B). Speciellt kan vi betrakta sannolikheten Pr(X ≤ x) att X ska vara mindre ¨an eller lika med x, och detta ger oss den stokastiska variabelns (kumulativa) f¨ ordelningsfunktion F , som definieras av att F (x) = Pr(X ≤ x) f¨ or alla x. F¨ ordelningsfunktionen ¨ar uppenbarligen v¨axande, och den g˚ ar mot 1 d˚ a x → ∞ och mot 0 d˚ a x → −∞. Man kan vidare visa att funktionen ar kontinuerlig utom i h¨ogst uppr¨akneligt m˚ anga punkter, och i diskontinui¨ tetspunkterna ¨ ar den h¨ ogerkontinuerlig. Den stokastiska variabeln X kallas absolutkontinuerlig om det finns en icke-negativ funktion f ∈ L1 (R) s˚ adan att Z x f (t) dt F (x) = −∞
f¨ or alla x, i vilket fall n¨ odv¨andigtvis kf k1 = 1. Funktionen f kallas variabelns t¨ athetsfunktion. Till varje stokastisk variabel X kan man associera en linj¨ar s. k. v¨ antev¨ ardesoperator EX som ¨ar definierad f¨or en klass av funktioner som inkluderar alla begr¨ ansade funktioner, och som f¨or den karakteristiska funktionen χ]−∞,x] till intervallet ]−∞, x] ges av att EX (χ]−∞,x] ) = F (x). En stokastisk variabel X ¨ ar s˚ aledes fullst¨andigt best¨amd av sin v¨antev¨ardesoperator EX . F¨ or absolutkontinuerliga stokastiska variabler med t¨athetsfunktion f ¨ar speciellt Z EX (g) =
g(t)f (t) dt, R
d¨ angden best˚ ar av alla (m¨atbara) funktioner g s˚ adana att R ar definitionsm¨ |g(t)|f (t) dt < ∞. R Om EX (id) existerar f¨or den identiska funktionen id, dvs. funktionen som definieras av att id(t) = t, s˚ a s¨atter man E(X) = EX (id) och kallar E(X) f¨ or v¨ antev¨ ardet eller medelv¨ ardet av den stokastiska variabeln X. F¨ or absolutkontinuerliga stokastiska variabler X med t¨athetsfunktion f ¨ ar allts˚ a speciellt Z E(X) = tf (t) dt R
f¨ orutsatt att integranden tf (t) ligger i L1 (R). Ett sl˚ aende faktum av stor betydelse ¨ar att om X ¨ar en stokastisk variabel och g ¨ ar en godtycklig funktion och vi definierar en ny stokastisk variabel Y genom att s¨ atta Y = g(X), s˚ a ¨ar E(g(X)) = EX (g),
8.5 Centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen
179
om n˚ agot av de tv˚ a v¨ antev¨ ardena existerar. I det absolutkontinuerliga fallet d˚ a X har t¨ athetsfunktion f , a aledes speciellt ¨r s˚ Z E(g(X)) = g(t)f (t) dt. R
V¨antev¨ ardena E(X n ) kallas i f¨orekommande fall f¨or den stokastiska variabeln X:s moment av ordning n. F¨orstamomentet ¨ar tydligen lika med v¨antev¨ ardet och betecknas ofta µ. Om andramomentet existerar, s˚ a existerar automatiskt f¨ orstamomentet µ, liksom variansen Var(X) = E((X − µ)2 ) = E(X 2 ) − E(X)2 . L˚ at nu X vara en godtycklig stokastisk variabel med v¨antev¨ardesoperator EX och l˚ at ω ∈ R. Eftersom funktionen t 7→ eiωt ¨ar begr¨ansad, har den stokastiska variabeln eiωX ett v¨ antev¨arde, n¨amligen E(eiωX ) = EX (eiωt ). Vi kan d¨arf¨ or definiera en funktion φ : R → C genom att s¨atta φ(ω) = E(eiωX ). Probabilisterna kallar funktionen φ f¨or den stokastiska variabelns karakteristiska funktion.2 Om den stokastiska variabeln X har en t¨athetsfunktion f , s˚ a ¨ar tydligen Z φ(ω) = eiωt f (t) dt = fˆ(−ω), R
vilket ¨ ar f¨ orklaringen till att fourieranalys ¨ar ett viktigt hj¨alpmedel inom sannolikhetsteorin.3 Det f¨ oljer av inversionssatsen att den karakteristiska funktionen φ best¨ ammer t¨ athetsfunktionen f och d¨armed ocks˚ a f¨ordelningsfunktionen F entydigt. Naturligtvis a a f¨oljer det ¨r φ(0) = 1, och om andramomentet existerar, s˚ av sats 6.4.2 att funktionen φ ¨ ar tv˚ a g˚ anger deriverbar med derivatorna Z Z φ0 (ω) = i eiωt tf (t) dt och φ00 (ω) = − eiωt t2 f (t) dt, R
R
φ0 (0)
φ00 (0)
och speciellt ¨ ar allts˚ a = i E(X) och = − E(X 2 ). F¨or stokastiska variabler med v¨ antev¨ arde 0 och varians σ 2 ¨ar med andra ord φ(0) = 1, 0 00 φ (0) = 0 och φ (0) = −σ 2 , vilket betyder att φ har en Taylorutveckling kring 0 p˚ a formen (8.5) 2
1 φ(ω) = 1 − σ 2 ω 2 + o(ω 2 ). 2
Ordet karakteristisk funktion f¨ orekommer s˚ aledes i tv˚ a betydelser, dels som karakteristisk funktion till en m¨ angd, dels som karakteristisk funktion till en stokastisk variabel. Karakteristiska funktioner till m¨ angder kallas ocks˚ a f¨ or indikatorfunktioner. 3 Den karakteristiska funktionen ¨ ar en fouriertransform ¨ aven f¨ or stokastiska variabler som inte ¨ ar absolutkontinuerliga, t. ex. diskreta stokastiska variabler, men d˚ a kr¨ avs det f¨ orst˚ as att vi generaliserar begreppet fouriertransform till att omfatta transformer av m˚ att.
180
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
Detta g¨ aller ocks˚ a i det allm¨anna fallet ¨aven om h¨arledningen ovan bara gjorts f¨ or absolutkontinuerliga stokastiska variabler. En stokastisk variabel X med t¨athetsfunktionen (t − µ)2 1 f (t) = √ exp − 2σ 2 σ 2π kallas normalf¨ ordelad med parametrarna µ och σ 2 , och det ¨ar l¨att att verifiera att µ a antev¨arde och att σ 2 a¨r dess varians. Om v¨antev¨ardet ¨r variabelns v¨ ar 0 och variansen ¨ ar 1, kallas variabeln standardnormalf¨ ordelad. F¨ordel¨ ningsfunktionen till standardnormalf¨ordelningen betecknas Φ, och dess karakteristiska funktion φ ¨ar (jmf exempel 6.4.2) 1
2
φ(ω) = e− 2 ω . Inom sannolikhetsteorin spelar normalf¨ordelningen en speciellt betydelsefull roll av f¨ oljande anledning: Sats 8.5.1 (Centrala gr¨ansv¨ardessatsen). Antag att X1 , X2 , X3 , . . . ¨ ar en f¨ oljd av oberoende, lika f¨ ordelade stokastiska variabler med v¨ antev¨ arde µ och varians σ 2 , och s¨ att Sn = X1 + X2 + · · · + Xn . F¨ or alla reella tal x ¨ ar d˚ a 1 Sn − nµ √ ≤ x = Φ(x) = √ lim Pr n→∞ σ n 2π
Z
x
1 2
e− 2 t dt.
−∞
Bevis. Slumpvariablerna Xk − µ har samma sannolikhetsf¨ordelning, s˚ a de har f¨ orst˚ as ocks˚ a samma karakteristiska funktion, som vi betecknar φ, och eftersom deras v¨ antev¨ arde och varians a¨r 0 resp. σ 2 , ges φ:s Taylorutveckling av ekvation (8.5). L˚ at nu φn beteckna den karakteristiska funktionen till den stokastiska √ variabeln (Sn − nµ)/σ n. Eftersom de stokastiska variablerna Xk ¨ar oberoende ¨ ar ocks˚ a variablerna eiω(Xk −µ) oberoende, s˚ a det f¨oljer att φn (ω) = E e
−nµ √ iω Sn σ n
iω
=E e
(X1 −µ)+(X2 −µ)+···+(Xn −µ) √ σ n
X −µ iω 2√ iω Xn√−µ · e σ n · ··· · e σ n X −µ X −µ iω 1√ iω 2√ iω Xn√−µ = E e σ n · E e σ n · ··· · E e σ n ω n ω2 ω 2 n = 1− . =φ √ +o 2n n σ n
=E e
iω
X1 −µ √ σ n
F¨ or fixt ω g˚ ar
1−
ω2 ω 2 n +o 2n n
8.5 Centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen
181
mot exp(− 21 ω 2 ) d˚ a n → ∞, och de karakteristiska funktionerna φn konvergerar s˚ aledes punktvis mot standardnormalf¨ordelningens karakteristiska funktion d˚ a n → ∞. Centrala gr¨ ansv¨ardessatsen ¨ar d¨arf¨or en konsekvens av f¨oljande sats. Sats 8.5.2 (L´evys sats). L˚ at (Yn )∞ oljd av stokastiska variabler med 1 vara en f¨ f¨ ordelningsfunktioner (Fn )∞ och karakteristiska funktioner (φn )∞ 1 1 , och antag att lim φn (ω) = φ(ω) n→∞
f¨ or alla ω ∈ R, d¨ ar φ ¨ ar den karakteristiska funktionen till n˚ agon stokastisk variabel Y med f¨ ordelningsfunktion F . D˚ a¨ ar lim Fn (x) = F (x)
n→∞
i alla punkter x d¨ ar f¨ ordelningsfunktionen F ¨ ar kontinuerlig. Anm¨ arkning. Omv¨ andningen g¨ aller ocks˚ a, dvs. om f¨ordelningsfunktionerna Fn konvergerar mot F punktvis i alla kontinuitetspunkter till F , s˚ a konvergerar de karakteristiska funktionerna φn punktvis mot φ ¨overallt. L´evys sats g¨ aller generellt, men vi ska inskr¨anka oss till att behandla fallet att alla inblandade stokastiska variabler ¨ar absolutkontinuerliga. D˚ a f¨oljer satsen av f¨ oljande tre lemman. oljd av reella, icke-negativa L1 (R)-funkLemma 8.5.3. L˚ at (fn )∞ 1 vara en f¨ tioner med norm 1, och antag att det finns en reell, icke-negativ funktion f ∈ L1 (R) s˚ adan att lim fˆn (ω) = fˆ(ω) n→∞
f¨ or alla ω ∈ R. F¨ or alla reella tal a och b ¨ ar i s˚ a fall Z b Z b lim fn (t) dt = f (t) dt. n→∞ a
a
Bevis. Antag utan inskr¨ ankning att a < b och v¨alj givet 0 < δ < (b − a)/2 tv˚ a funktioner k1 och k2 som ¨ ar tv˚ a g˚ anger kontinuerligt deriverbara och uppfyller f¨ oljande villkor (se figur 8.4): k1 (t) = 1 k1 (t) = 0 0 ≤ k1 (t) ≤ 1
f¨or f¨or f¨ or
a + δ ≤ t ≤ b − δ, t ≤ a och t ≥ b, o¨vrigt
k2 (t) = 1 k2 (t) = 0 0 ≤ k2 (t) ≤ 1
f¨or f¨or f¨ or
a ≤ t ≤ b, t ≤ a − δ och t ≥ b + δ, o¨vrigt.
och
182
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
k2
1
a−δ a
b b+δ
t
Figur 8.4. Funktionen k2 .
Eftersom funktionerna ¨ar tv˚ a g˚ anger deriverbara, ¨ar deras fouriertrans−2 former O(|ω| ) i o¨ andligheten, vilket betyder att de ligger i L1 (R). Det f¨ oljer d¨ arf¨ or av inversionssatsen (sats 7.2.4) att funktionerna ki sj¨alva ¨ar fouriertransformer till L1 (R)-funktioner, och vi s¨atter d¨arf¨or forts¨attningsvis k1 (t) = ψˆ1 (t) och k2 (t) = ψˆ2 (t), d¨ar ψ1 och ψ2 ¨ar funktioner i L1 (R). F¨ or icke-negativa funktioner g ∈ L1 (R) har vi uppenbarligen f¨oljande olikheter: Z b−δ Z Z b ˆ g(t) dt ≤ ψ1 (t)g(t) dt ≤ g(t) dt a+δ
R
a
och Z
b
Z
ψˆ2 (t)g(t) dt ≤
g(t) dt ≤ a
Z
R
b+δ
g(t) dt. a−δ
Vi anv¨ ander nu lemma 7.2.1 enligt vilket Z Z ˆ ψi (t)g(t) dt = ψi (ω)ˆ g (ω) dω R
R
f¨ or att formulera om olikheterna ovan s˚ a att de f˚ ar formen: Z b−δ Z Z b (8.6) g(t) dt ≤ ψ1 (ω)ˆ g (ω) dω ≤ g(t) dt a+δ
R
a
och Z
b
Z g(t) dt ≤
(8.7) a
Z
b+δ
ψ2 (ω)ˆ g (ω) dω ≤ R
g(t) dt. a−δ
L˚ at oss sedan anv¨ anda den h¨ogra halvan av olikheten (8.6) med fn ist¨allet f¨ or g och den v¨ anstra halvan av samma olikhet med f ist¨allet f¨or g och vi f˚ ar d˚ a de b˚ ada olikheterna Z Z b ψ1 (ω)fˆn (ω) dt ≤ fn (t) dt R
a
och Z
b−δ
Z f (t) dt ≤
a+δ
R
ψ1 (ω)fˆ(ω) dt.
8.5 Centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen
183
D˚ a n → ∞ g˚ ar fˆn (ω) punktvis mot fˆ(ω), och det f¨oljer av Lebesgues sats om dominerad konvergens att v¨ ansterledet i den f¨orsta av de b˚ ada olikheterna ovan g˚ ar mot h¨ ogerledet av den andra olikheten. Givet > 0 finns det d¨arf¨or ett tal N s˚ a att Z Z b
b−δ
f (t) dt − ≤
fn (t) dt a
a+δ
f¨or alla n ≥ N . Genom att p˚ a motsvarande s¨ att anv¨anda den v¨anstra halvan av olikheten (8.7) med fn ist¨ allet f¨ or g och den h¨ogra halvan av samma olikhet med f ist¨allet f¨ or g samt l˚ ata n → ∞, erh˚ aller vi olikheten Z b+δ Z b f (t) dt + fn (t) dt ≤ a−δ
a
f¨or n ≥ N . R Rb b±δ a δ → 0, kan vi fr˚ an b¨orjan v¨alja Eftersom a±δ f (t) dt → a f (t) dt d˚ talet δ s˚ a litet att de b˚ ada olikheterna ovan kombineras till olikheten Z b Z b Z b f (t) dt − 2 ≤ fn (t) dt ≤ f (t) dt + 2 a
a
a
som d˚ a g¨ aller f¨ or alla tillr¨ ackligt stora n, vilket bevisar v˚ art lemma. Lemma 8.5.4. Antag att funktionen f ∈ L1 (R) ¨ ar reell och icke-negativ och att kf k1 = 1. F¨ or varje a > 0 ¨ ar d˚ a Z Z a f (t) dt ≤ 1 − Re fˆ(ω) dω. 2 |ω|≤2a−1 |t|≥a Bevis. F¨ or T > 0 ¨ ar Z T Z T Z ∞ 1 1 ˆ f (ω) dω = f (t)e−itω dt dω 2T −T 2T −T −∞ Z ∞ Z T Z ∞ 1 sin T t −itω f (t) e dω dt = f (t) dt. = 2T −∞ Tt −T −∞ Integralen ¨ ar uppenbarligen reell, och genom att utnyttja de triviala olikheterna sin x sin x 1 och ≤1 ≤ x x |x| f¨oljer nu olikheten Z T Z Z 1 sin T t sin T t Re fˆ(ω) dω = f (t) dt + f (t) dt 2T −T T t Tt |t|≤a |t|≥a Z Z 1 ≤ f (t) dt + f (t) dt T a |t|≥a |t|≤a 1 Z f (t) dt, =1+ −1 Ta |t|≥a
184
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
som vi kan skriva om som Z Z T 1 1 1− f (t) dt ≤ (1 − Re fˆ(ω)) dω. T a |t|≥a 2T −T Olikheten i lemmat f¨ oljer nu genom att v¨alja T = 2/a. Lemma 8.5.5. Antag att (fn )∞ ar en f¨ oljd av reella, icke-negativa funktioner 1 ¨ i L1 (R), alla med norm 1, samt att funktionernas fouriertransformer fˆn konvergerar punktvis mot en funktion g som ¨ ar kontinuerlig i punkten 0. D˚ a finns det givet > 0 ett tal a > 0 s˚ adant att Z fn (t) dt < |t|≥a
f¨ or alla n. Bevis. Eftersom fˆn (0) = 1 f¨or alla punktvis mot g, ¨ ar speciellt g(0) = origo medf¨ or d¨ arf¨ or att Z a 1 − Re g(ω) dω ≤ 2 |ω|≤2a−1
n, och funktionerna fn konvergerar 1. Kontinuiteten hos funktionen g i a 4 · · sup |1 − Re g(ω)| 2 a |ω|≤2a−1
=2·
sup
|1 − Re g(ω)| < /2
|ω|≤2a−1
om talet a ¨ ar tillr¨ ackligt stort, a = a0 s¨ag. Enligt f¨ oreg˚ aende lemma ¨ar vidare Z Z a 1 − Re fˆn (ω) dω fn (t) dt ≤ 2 |ω|≤2a−1 |t|≥a f¨ or alla n, och d˚ a n g˚ ar mot o¨andligheten g˚ ar h¨ogerledet i denna olikhet mot v¨ ansterledet i f¨ oreg˚ aende olikhet p˚ a grund av Lebesgues sats om dominerad konvergens. Det finns d¨arf¨or ett N s˚ adant att Z fn (t) dt < + = 2 2 |t|≥a0 f¨ or alla n ≥ N . F¨ or var och en av de ˚ aterst˚ aende funktionerna f1 , f2 , . . . , fN −1 kan vi uppenbarligen v¨ alja ett tal ai s˚ adant att Z fi (t) dt < . |t|≥ai
Genom att v¨ alja a som det st¨orsta av talen a0 , a1 , . . . , aN −1 har vi d¨arf¨or f˚ att ett tal a som uppfyller villkoret i lemmat.
8.5 Centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen
185
Bevis f¨ or L´evys sats. Vi behandlar som sagt enbart fallet att de inblandade stokastiska variablerna a at d¨arf¨or fn och f beteckna ¨r absolutkontinuerliga. L˚ t¨athetsfunktionerna till de stokastiska variablerna Yn och Y . Eftersom φn (ω) = fˆn (−ω) och φ(ω) = fˆ(−ω), uppfyller funktionern fn f¨oruts¨attningarna i lemma 8.5.5. Vi kan d¨arf¨or v¨alja ett tal a s˚ adant att Z a Z a f (t) dt < fn (t) dt < och −∞
−∞
f¨or alla n. Sedan anv¨ ander vi lemma 8.5.3 f¨or att best¨amma ett tal N med egenskapen att Z x Z x f (t) dt < fn (t) dt − a
a
om n ≥ N . Det f¨ oljer nu att Z x Z x Z a Z a |Fn (x) − F (x)| = fn (t) dt + fn (t) dt − f (t) dt − f (t) dt a −∞ Z −∞ Za x Z x Z a a ≤ fn (t) dt + fn (t) dt − f (t) dt + f (t) dt −∞
a
a
−∞
< 3 f¨or alla n ≥ N , vilket bevisar satsen.
¨ Ovning 8.3 Ber¨ akna t¨ athetsfunktionen till summan av tv˚ a oberoende normalf¨ordelade stokastiska variabler X1 och X2 med medelv¨arde och varians µ1 och σ12 resp. µ2 och σ22 , dvs. ber¨akna faltningen φµ1 ,σ1 ∗ φµ2 ,σ2 , d¨ar (t−µ)2 1 φµ,σ (t) = √ e− 2σ2 . σ 2π
Formulera resultatet i sannolikhetsteoretiska termer.
Historiska notiser Samplingssatsen blev allm¨ ant k¨ and som teoretisk grund f¨or digital teknologi genom en artikel ˚ ar 1949 av Claude Shannon (1916–2001), ”informationsteorins fader”, men satsen och rekonstruktionsformeln hade publicerats l˚ angt tidigare, 1898 av ´ Emile Borel(1871–1956) och 1915 av Edmund Whittaker (1873–1956). Centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen g˚ ar tillbaka till ˚ ar 1733 d˚ a de Moivre approximerade antalet krona som erh˚ alls vid ett stort antal kast med ett symmetriskt mynt med normalf¨ ordelningen. Hans resultat generaliserades sedan av Pierre-Simon de Laplace (1749–1827) som ˚ ar 1812 h¨arledde normalapproximationen till binomialf¨ ordelningen. F¨ or generella summor av oberoende, likaf¨ordelade variabler visades centrala gr¨ ansv¨ ardessatsen 1901 av Aleksandr Lyapunov (1857–1918) med
186
8 Till¨ ampningar p˚ a fouriertransformen
f¨ oruts¨ attningar som ¨ ar n˚ agot starkare ¨an de i sats 8.5.1, som h¨arstammar fr˚ an Jarl ´vy (1886–1971). Centrala gr¨ansv¨ardessatsen Lindeberg (1876–1932) och Paul Le har sedan generaliserats i olika riktningar.
Kapitel 9
Laplacetransformen F¨or att en funktion ska kunna fouriertransformeras m˚ aste den tillh¨ora L1 (R) eller L2 (R), vilket inneb¨ ar att s˚ adana viktiga funktioner som polynom och exponentialfunktioner saknar fouriertransform.1 F¨or att r˚ ada bot p˚ a detta ska vi definiera en transform som fungerar f¨or funktioner som inte v¨axer snabbare ¨ an exponentiellt.
9.1
Laplacetransformens definition
L˚ at f vara en funktion som till att b¨orja med ¨ar definierad p˚ a halvaxeln [0, ∞[ och utvidga funktionen till hela R genom att s¨atta f (t) = 0 f¨or t < 0. L˚ at σ vara ett reellt tal och betrakta produkten f (t) e−σt ; f¨or σ > 0 g˚ ar faktorn e−σt mot 0 d˚ a t → +∞, s˚ a d¨arf¨or har produkten f (t) e−σt st¨orre ¨ f¨oruts¨attningar ¨ an funktionen f att tillh¨ora L1 (R). Aven om f (t) ¨ar stor f¨or −σt 1 stora t kan s˚ aledes funktionen f (t) e tillh¨ora L (R), och vi kan d˚ a bilda fouriertransformen som ¨ ar Z ∞ Z ∞ −σt −σt −iτ t F([f (t) e ](τ ) = f (t) e e dt = f (t) e−(σ+τ i)t dt. 0
0
Detta leder oss till att betrakta integraler av typen Z
∞
f (t) e−st dt,
0
d¨ar s ¨ar ett komplext tal. H¨ ar och i forts¨attningen kommer vi konsekvent att skriva komplexa tal p˚ a formen s = σ + τ i, d¨ar allts˚ a σ betecknar realdelen och τ imagin¨ ardelen. L˚ at oss f¨ orst precisera klassen av funktioner f¨or vilka ovanst˚ aende integral ¨ ar v¨ aldefinierad f¨or ˚ atminstone n˚ agot komplext tal s. 1
Man kan definiera fouriertransformen f¨ or polynom, men transformerna blir d˚ a inte funktioner utan distributioner.
187
188
9 Laplacetransformen
Definition. En funktion f med en definitionsm¨angd som inneh˚ aller intervallet [0, ∞[, tillh¨ or klassen E om det finns ett reellt tal a s˚ adant att Z ∞ |f (t)| e−at dt < ∞. 0
R∞ Exempel 9.1.1. Funktionen f (t) = t tillh¨or E eftersom 0 te−t dt < ∞. R∞ 2 2 D¨ aremot tillh¨ or funktionen g(t) = et inte klassen E, ty 0 et −at dt = ∞ f¨ or alla reella tal a. Observera att om f ∈ E, s˚ a tillh¨or f automatiskt L1 (I) f¨or varje beansat intervall I = [0, c]. Per definition finns det n¨amligen ett tal a s˚ a att Rgr¨ ∞ −at −at dt < ∞, och eftersom funktionen e at begr¨ansad p˚ a ¨ar ned˚ 0 |f (t)| e intervallet I av den positiva konstanten m = min(1, e−ac ), f˚ ar vi olikheten Z Z Z ∞ −at m |f (t)| dt ≤ |f (t)| e dt ≤ |f (t)| e−at dt < ∞, I
I
0
som visar att f tillh¨ or L1 (I). Lemma 9.1.1. L˚ at f ∈ E. M¨ angden Z E(f ) = {a ∈ R :
∞
|f (t)| e−at dt < ∞}
0
ar ett intervall p˚ a formen ]α, ∞[, [α, ∞[ eller ]−∞, ∞[. I de f¨ orsta tv˚ a fallen ¨ s¨ atter vi σa (f ) = α, och i det sistn¨ amnda fallet s¨ atter vi σa (f ) = −∞. Talet (eller o¨ andlighetssymbolen) σa (f ) kallas funktionens (absolut)konvergensabscissa. Bevis. En icke-tom delm¨angd I av R ¨ar ett intervall av den typ som beskrivs i lemmat om och endast om m¨angden har f¨oljande egenskap: a ∈ I & b > a =⇒ b ∈ I. M¨ angden E(f ) i lemmat har denna egenskap, ty om b > a, s˚ a ¨ar |f (t)| e−bt ≤ |f (t)| e−at f¨ or t > 0, och d¨arf¨or medf¨or a ∈ E(f ) att b ∈ E(f ). Exempel 9.1.2. L¨ asaren kan l¨att verifiera att E(t) =]0, ∞[, E((1 + t2 )−1 ) = 2 −t [0, ∞[ och E(e ) =] − ∞, ∞[. S˚ aledes ¨ar σa (t) = σa ((1 + t2 )−1 ) = 0 och 2 σa (e−t ) = −∞. L˚ at oss kalla en funktion f exponentiellt v¨ axande om det finns en reell konstant k och en positiv konstant M s˚ a att |f (t)| ≤ M ekt f¨or alla t > 0. Om en funktion f ¨ aRr exponentiellt v¨axande med exponent k, s˚ a ¨ar up∞ −at penbarligen integralen 0 |f (t)| e dt ¨andlig f¨or alla a > k, dvs. f tillh¨or klassen E och σa (f ) ≤ k. Exponentialfunktioner ect och polynom ¨ar sj¨alvklart exponentiellt v¨axande funktioner.
9.1 Laplacetransformens definition
189
Antag att och s¨ att s = σ + τ i. Eftersom |f (t) e−st | = |f (t)| e−σt , ¨ar R ∞f ∈ E −st integralen 0 f (t) e dt v¨ aldefinierad f¨or alla komplexa tal s med realdel σ > σa . Vi kan d¨ arf¨ or g¨ ora f¨ oljande definition. Definition. L˚ at f ∈ E. F¨ or komplexa tal s = σ + τ i med σ > σa (f ) s¨atter vi Z ∞ f˜(s) = f (t) e−st dt 0
och kallar funktionen f˜ laplacetransformen till f . Ibland kommer vi att skriva L[f ] ist¨ allet f¨ or f˜. Laplacetransformen f˜:s definitionsm¨angd ¨ar allts˚ a ett halvplan, halvplanet Re s > σa (f ), utom i fallet σa (f ) = −∞ d˚ a definitionsm¨angden a¨r hela komplexa planet C. F¨ordelen med att definiera laplacetransformen f¨or komplexa argument s = σ + τi i ¨ ar att det ger oss ett enkelt samband mellan laplacetransformen och fouriertransformen. Som vi noterade inledningsvis ¨ar Z L[f ](s) = f ∗ (t) e−σt e−iτ t dt = F[f ∗ (t) e−σt ](τ ), R
d¨ar f ∗ ¨ ar den funktionen som f˚ as fr˚ an f genom att s¨atta ( 0 om t < 0, f ∗ (t) = f (t) om t ≥ 0. Laplacetransformen till funktionen f i punkten s = σ + τ i ¨ar s˚ aledes lika med fouriertransformen till funktionen f ∗ (t) e−σt i punkten τ . Man kan utnyttja detta samband f¨ or att ¨ overs¨atta egenskaper hos fouriertransformen till egenskaper hos laplacetransformen. Exempel 9.1.3. L˚ at oss ber¨ akna laplacetransformen till exponentialfunktionen f (t) = ect , t ≥ 0. H¨ ar ¨ ar c = a + bi ett godtyckligt komplext tal. Z ∞ Z ∞ h e−(s−c)t i∞ ct −st ˜ f (s) = e e dt = e−(s−c)t dt = − s−c 0 0 0 1 1 = − · lim e−(s−c)t . s − c s − c t→∞ F¨or σ > a ¨ ar limt→∞ e−(s−c)t = limt→∞ e−(σ−a)t e−i(τ −b)t = 0. Det f¨oljer att L[ect ](s) =
1 s−c
om Re s > Re c.
Genom att speciellt v¨ alja c = 0 respektive c = 1 f˚ ar man L[1](s) =
1 s
f¨ or Re s > 0
och
L[et ](s) =
1 s−1
f¨or Re s > 1.
190
9 Laplacetransformen
V¨ ardena c = ±i ger ist¨ allet att L[eit ](s) = (s − i)−1 och L[e−it ](s) = (s + i)−1 f¨ or Re s > 0, och eftersom cos t = 21 (eit + e−it ) och sin t = 2i1 (eit − e−it ), f¨oljer det att 1 1 s 1 = 2 + , 2 s−i s+i s +1 1 1 1 1 − = 2 L[sin t](s) = 2i s − i s + i s +1
L[cos t](s) =
f¨ or Re s > 0. Exempel 9.1.4. Vi ber¨aknar laplacetransformen till funktionen f (t) = t. F¨ or Re s > 0 ¨ ar Z ∞ h e−st i∞ 1 Z ∞ 1 h −st i∞ 1 −st −st L[t](s) = te dt = −t e dt = 2 e + = 2. s s s s 0 0 0 0 H¨ ar har vi utnyttjat att lim te−st = lim e−st = 0. t→∞
t→∞
Exempel 9.1.5. Funktionen btc, heltalsdelen av t, definieras av att btc = n
om n ≤ t < n + 1,
d¨ ar n betecknar ett godtycklig heltal. Funktionen har spr˚ angdiskontinuiteter −kt i heltalspunkterna, och eftersom limt→∞ btce = 0 f¨or k > 0 ¨ar dess laplacetransform definierad i halvplanet Re s > 0. Genom att utnyttja identiteten P∞ n = z(1 − z)−2 som g¨ nz a ller f¨ o r |z| < 1, f˚ ar vi n=0 Z
∞
L[btc](s) =
−st
btce
dt =
∞ X n=0 −1
btce
−st
dt =
∞ Z X
−s
−s
(1 − e
n+1
n=0 n ∞ X −s
ns−1 e−ns − e−(n+1)s = s−1 (1 − e
(1 − e )e 1 = . s(es − 1) =s
n+1
n=0 n
0
=
∞ Z X
−s −2
)
=s
−1 −s
e
)
ne−st dt
ne−ns
n=0 −s −1
(1 − e
)
Sats 9.1.2. Klassen E ¨ ar ett vektorrum som ¨ ar slutet under multiplikation med polynom, dvs. (i)
f, g ∈ E ⇒ f + g ∈ E
(ii)
f ∈ E, c ∈ C ⇒ cf ∈ E
(iii)
f ∈ E, p polynom ⇒ pf ∈ E
Vidare ¨ ar
9.1 Laplacetransformens definition
191
σa (f + g) ≤ max(σa (f ), σa (g)), σa (cf ) = σa (f ), σa (pf ) = σa (f ) f¨ or alla nollskilda konstanter c och alla polynom p utom nollpolynomet. R∞ Bevis. Om a > m = max(σa (f ), σa (g)) s˚ a ¨ar 0 |f (t)| e−at dt < ∞ och R∞ −at dt < ∞. Det f¨ oljer att 0 |g(t)| e Z ∞ Z ∞ Z ∞ −at −at |g(t)| e−at dt < ∞. |f (t)| e dt + |f (t) + g(t)| e dt ≤ 0
0
0
Detta visar att f + g ∈ E och att σa (f + g) ≤ a. Eftersom den sistn¨amnda olikheten g¨ aller f¨ or alla a > m, f¨ oljer det att σa (f + g) ≤ m. (ii) ¨ ar trivialt. (iii) F¨ or konstanta polynom f¨oljer (iii) av (ii). Antag d¨arf¨or att f ∈ E och att p(t) ¨ ar ett godtyckligt icke-konstant polynom. L˚ at a > σa (f ) vara godtyckligt, och v¨ alj > 0 s˚ a att a − > σa (f ). Eftersom funktionen p(t)e−t ¨ar kontinuerlig och g˚ ar mot 0 d˚ a t → ∞, finns det en konstant M s˚ a att p(t)e−t ≤ M f¨or alla t ≥ 0. Detta inneb¨ar att p(t) ≤ M et , s˚ a det f¨ oljer att |p(t)f (t)| e−at ≤ M |f (t)| et e−at = M |f (t)| e−(a−)t f¨or t ≥ 0. Genom att integrera denna olikhet f˚ ar vi Z ∞ Z ∞ |p(t)f (t)| e−at dt ≤ M |f (t)| e−(a−)t dt < ∞ 0
0
d¨ar integralen i h¨ ogerledet ¨ ar ¨ andlig beroende p˚ a att a− > σa (f ). Detta visar att funktionen pf tillh¨ or E och att σa (pf ) ≤ a. Eftersom den sistn¨amnda olikheten g¨ aller f¨ or alla a > σa (f ) ¨ar σa (pf ) ≤ σa (f ). F¨or att bevisa den omv¨ anda olikheten f¨or konvergensabscissan startar vi med ett godtyckligt tal a > σa (pf ), och v¨aljer talet c > 0 s˚ a stort att olikheten |p(t)| ≥ 1 g¨ aller f¨ or t > c. D˚ a blir Z ∞ Z ∞ Z ∞ −at −at |f (t)| e dt ≤ |p(t)||f (t)| e dt ≤ |p(t)f (t)| e−at dt < ∞. c
c
Rc
0
|f (t)| e−at dt
Integralen 0 a a a¨ndlig, eftersom Rf tillh¨or L1 ([0, c] och ¨r ocks˚ ∞ faktorn e−at ¨ ar begr¨ ansad p˚ a intervallet. Det f¨oljer att 0 |f (t)| e−at dt < ∞, vilket inneb¨ ar att σa (f ) ≤ a. Eftersom a > σa (pf ) ¨ar godtyckligt, f¨oljer det att σa (f ) ≤ σa (pf ). Eftersom exponentialfunktionen ect tillh¨or klassen E, f¨oljer det av satsen ovan att klassen E inneh˚ aller alla funktioner som kan skrivas som summor och produkter av polynom, exponentialfunktioner och de trigonometriska funktionerna sin kt och cos kt.
192
9 Laplacetransformen
Faltning 1 Vi erinrar om att faltningen f ∗ g av tv˚ Ra godtyckliga L (R)-funktioner f och g definieras genom formeln f ∗ g(t) = R f (t − u)g(u) du. Om funktionerna f och g b˚ ada ¨ ar lika med noll p˚ a den negativa reella axeln, s˚ a ¨ar f (t−u)g(u) = 0 f¨ or u < 0 och f¨ or u > t, och d¨arf¨or ¨ar f ∗ g(t) = 0 om t < 0 och Z t f ∗ g(t) = f (t − u)g(u) du 0
om t ≥ 0. Den sistn¨ amnda formeln ¨ar meningsfull s˚ a snart som funktionerna f och g a r definierade p˚ a halvaxeln [0, ∞[ och tillh¨ or L1 (I) f¨or varje ¨ begr¨ ansat delintervall I till [0, ∞[. Denna observation motiverar f¨oljande faltningsdefinition som vi kommer att anv¨anda f¨or funktioner i klassen E. Definition. Faltningen f ∗ g av tv˚ a funktioner f och g med definitionsm¨angder som inneh˚ aller intervallet [0, ∞[ och som tillh¨or L1 (I) f¨or varje begr¨ansat delintervall I av [0, ∞[, definieras av formeln Z t f ∗ g(t) = f (t − u)g(u) du 0
f¨ or t ≥ 0. F¨ or funktioner som ocks˚ a tillh¨or L1 (R) har vi nu tv˚ a olika definitioner av faltningsbegreppet, men det ¨ar den nya definitionen som vi exklusivt kommer att anv¨ anda oss av i det h¨ar kapitlet. L¨asaren kan l¨att kontrollera att det uppfyller f¨ oljande f¨oljande kommutativa, associativa och distributiva r¨ akneregler: f ∗ g = g ∗ f, f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h, f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h. Exempel 9.1.6. L˚ at f (t) = et och g(t) = cos t. D˚ a ¨ar Z t Z t t−u t (f ∗ g)(t) = e cos u du = e e−u cos u du. 0
0
Integralen i h¨ ogerledet kan ber¨aknas med hj¨alp av tv˚ a partiella integrationer eller enklare genom att ers¨atta cos u med 21 (eiu + e−iu ). Slutresultatet blir (kontrollera g¨ arna!): Z t e−u cos u du = 12 1 + e−t (sin t − cos t) , 0
dvs. (f ∗ g)(t) = 21 (et + sin t − cos t).
9.1 Laplacetransformens definition
193
Sats 9.1.3. Faltningen f ∗ g av tv˚ a funktioner f och g i klassen E tillh¨ or sj¨ alv klassen E, och σa (f ∗ g) ≤ max(σa (f ), σa (g)). Bevis. Vi beh¨ over visa att funktionen (f ∗ g)(t) e−at tillh¨or L1 ([0, ∞[) f¨or varje tal a > max(σa (f ), σa (g)). Men f¨or t ≥ 0 a¨r Z t Z t f (t − u) e−a(t−u) g(u) e−au du, f (t − u)g(u) du = (f ∗ g)(t) e−at = e−at 0
0
s˚ a genom att anv¨ anda triangelolikheten f¨or integraler och sedan integrera den erh˚ allna olikheten ¨ over [0, ∞[, byta integrationsordning och g¨ora ett variabelbyte erh˚ aller vi olikheten Z ∞ −at k(f ∗ g)(t) e kL1 ([0,∞[) = |(f ∗ g)(t) e−at | dt 0 Z ∞Z t ≤ |f (t − u)| e−a(t−u) |g(u)| e−au du dt Z0 ∞ Z0 ∞ |f (t − u)| e−a(t−u) |g(u)| e−au dt du = Z0 ∞ u Z ∞ −au = |g(u)| e du |f (v)| e−av dv 0
0 −at
= kg(t) e
kL1 ([0,∞[) · kf (t) e−at kL1 ([0,∞[) < ∞.
¨ Ovningar 9.1 Best¨ am laplacetransformen till funktionen f om a) f (t) = t2 b) f (t) = te2t c) f (t) = et sin t d) f (t) = χ[0,1] (t) e) f (t) = tχ[0,1] (t) f) funktionen ¨ ar periodisk med period 1 och f (t) = t f¨or 0 ≤ t < 1. 9.2 Ber¨ akna faltningen f ∗ g f¨ or a) f (t) = 1, g(t) = t b) f (t) = g(t) = t c) f (t) = t, g(t) = e2t d) f (t) = 1, g(t) = χ[0,1] (t) e) f (t) = t, g(t) = χ[0,1] (t). 9.3 Visa kommutativa och associativa lagen f¨or faltning, dvs. f ∗ g = g ∗ f, f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h. 9.4 Antag att funktionen f :s laplacetransform f˜(s) existerar f¨or s ≥ 0, och l˚ at g beteckna laplacetransformen till funktionen f˜, dvs. g(s) = ˜ L[f ](s). Visa att Z ∞ f (t) dt. g(s) = t+s 0 (Man kallar g f¨ or Stieltjestransformen av f .)
194
9 Laplacetransformen
9.2
R¨ akneregler
F¨ or att laplacetransformen ska vara ett effektivt r¨aknehj¨alpmedel beh¨over vi, f¨ orutom att kunna ett antal element¨ara funktioners laplacetransformer, ocks˚ a r¨ akneregler f¨ or hur transformen beter sig d˚ a funktioner kombineras p˚ a olika s¨ att. Sats 9.2.1. L˚ at f , g ∈ E, c ∈ C och λ > 0. D˚ a¨ ar L[f + g](s) = L[f ](s) + L[g](s)
(a)
L[cf ](s) = c L[f ](s)
(b)
L[f (λt)](s) = λ−1 L[f ](s/λ)
(c)
L[ect f (t)](s) = L[f ](s − c)
(d)
L[f ∗ g](s) = L[f ](s) · L[g](s)
(e)
f¨ or alla s f¨ or vilka laplacetransformerna i h¨ ogerleden existerar. Bevis. Vi l¨ amnar reglerna (a) – (d) som enkla ¨ovningar. R¨akneregel (e) f¨oljer genom omkastning av integrationsordningen p˚ a f¨oljande vis: Z ∞ Z ∞Z t L[f ∗ g](s) = (f ∗ g)(t) e−st dt = f (t − u)g(u) e−st du dt 0 0 0 Z ∞Z t = f (t − u) e−s(t−u) g(u) e−su du dt Z0 ∞ Z0 ∞ = f (t − u) e−s(t−u) g(u) e−su dt du 0 u Z ∞ Z ∞ −su = g(u) e f (t − u) e−s(t−u) dt du u Z0 ∞ Z ∞ −su = g(u) e du f (v) e−sv dv = L[f ](s) · L[g](s). 0
0
1 Exempel 9.2.1. Vi vet redan att L[sin t](s) = 2 . Med hj¨alp av (c) och s +1 (d) i sats 9.2.1 f˚ ar man 1 a = 2 2 a((s/a) + 1) s + a2 a L[ebt sin at](s) = . (s − b)2 + a2 P˚ a motsvarande s¨ att f˚ as s−b L[ebt cos at](s) = . (s − b)2 + a2 L[sin at](s) =
och
F¨ or att sambandet mellan Laplace- och fouriertransformen ska g¨alla ska funktionen som transformeras s¨attas lika med noll f¨or negativa v¨arden p˚ a
9.3 Deriverbarhet och entydighet
195
argumentet. Detta har som konsekvens att definitionen av h¨ogertranslation ser ut s˚ a h¨ ar f¨ or funktioner som ska laplacetransformeras. Definition. F¨ or f ∈ E och λ > 0 definieras den h¨ogertranslaterade funktionen fλ av att ( 0 om t < λ, fλ (t) = f (t − λ)H(t − λ) = f (t − λ) om t ≥ λ. H¨ogertranslation motsvaras p˚ a transformsidan av multiplikation med funktionen e−λs . Sats 9.2.2. Antag att f ∈ E och λ > 0. D˚ a¨ ar L[fλ ](s) = e−λs L[f ](s) f¨ or s > σa (f ). Bevis. Z
∞
−st
Z
∞
fλ (t)e dt = f (t − λ)e−st dt 0 λ Z ∞ −sλ =e f (u) e−su du = e−λs L[f ](s).
L[fλ ](s) =
0
¨ Ovningar 9.5 Ber¨ akna laplacetransformen till funktionen f om a) f (t) = sin 3t
b) f (t) = cos 3t
d) f (t) = e2(t−1) H(t − 1)
9.3
c) f (t) = e−2t cos 3t
e) f (t) = e3t ∗ sin 2t
Deriverbarhet och entydighet
Laplacetransformerna a ¨r mycket sn¨alla funktioner − de ¨ar o¨andligt deriverbara och g˚ ar mot noll d˚ a Re s g˚ ar mot o¨andligheten. Sats 9.3.1. Laplacetransformen f˜ till en funktion f ∈ E ¨ ar deriverbar i hela sitt definitionsomr˚ ade Re s > σa (f ) med derivata d ˜ f (s) = −L[tf (t)](s). ds Anm¨ arkning. F¨ or l¨ asare som har studerat komplex analys kan vi formulera sats 9.3.1 p˚ a f¨ oljande s¨ att: Laplacetransformen f˜ ¨ ar analytisk i halvplanet Re s > σa (f ). Detta faktum har l˚ angtg˚ aende konsekvenser.
196
9 Laplacetransformen
Bevis. Formellt f˚ ar man derivatan f˜ 0 (s) genom att derivera laplacetransformen Z ∞ f (t) e−st dt f˜(s) = 0
under integraltecknet, vilket ger Z ∞ Z ∞ d ˜ d −st f (t) e dt = − tf (t) e−st dt = −L[tf (t)](s). f (s) = ds ds 0 0 F¨ or att rigor¨ ost motivera att detta ¨ar till˚ atet betraktar man differenskvoten Z ∞ Z ∞ f˜(s + h) − f˜(s) e−(s+h)t − e−st e−ht − 1 f (t) f (t) e−st = dt = dt h h h 0 0 Z ∞ =− tf (t)e−at gh (t) dt, 0
d¨ ar talet a ¨ ar valt s˚ a att σa < a < σ = Re s och gh (t) =
e−ht − 1 (a−s)t e . −ht
Avsikten ¨ ar f¨ orst˚ as att l˚ ata h → 0. Vi konstaterar d˚ a f¨ orst att funktionen tf (t)e−at ligger i L1 ([0, ∞[) och att ar kontinuerliga. P˚ a grund av olikheten |e−ht − 1| ≤ t|h|e|h|t funktionerna gh ¨ ar funktionerna gh vidare uniformt begr¨ansade f¨or |h| ≤ σ − a, eftersom ¨ |gh (t)| ≤ e(|h|+a−σ)t ≤ e0·t = 1 om |h| ≤ σ − a. Slutligen ¨ar limh→0 gh (t) = e(a−s)t . Lebesgues sats om dominerad konvergens (sats 4.1.1) ger d¨arf¨or det ¨onskade resultatet Z Z ∞ f˜(s + h) − f˜(s) −at lim =− lim tf (t)e gh (t) dt = − tf (t)e−st dt. h→0 h T h→0 0 Genom iteration f˚ ar vi f¨oljande f¨oljande korollarium till sats 9.3.1. Korollarium 9.3.2. Antag f ∈ E. D˚ a har laplacetransformen f˜ derivator av alla ordningar i definitionsomr˚ adet Re s > σa (f ) och dn ˜ f (s) = (−1)n L[tn f (t)](s). dsn Exempel 9.3.1. Vi vet att L[ect ](s) = (s − c)−1 . Genom att derivera n g˚ anger f˚ ar vi L[tn ect ](s) =
n! , (s − c)n+1
och som specialfall L[tn ](s) =
n! sn+1
.
9.3 Deriverbarhet och entydighet
197
Med hj¨ alp av resultatet i f¨ oreg˚ aende exempel och partialbr˚ aksuppdelning kan vi nu laplaceinvertera rationella funktioner. Vi visar f¨orst ett exempel. Exempel 9.3.2. Best¨ am en funktion f med laplacetransformen F (s) =
s3 + s2 − s + 7 . (s − 1)2 (s2 + 2s + 5)
L¨ osning. Vi b¨ orjar med att partialbr˚ aksuppdela funktionen och f˚ ar F (s) =
1 s+2 + . (s − 1)2 s2 + 2s + 5
Vi kvadratkompletterar n¨ amnaren s2 + 2s + 5 = (s + 1)2 + 22 och g¨or sedan omskrivningen F (s) =
1 s+1 1 2 + + . 2 2 2 (s − 1) (s + 1) + 2 2 (s + 1)2 + 22
Nu ser vi att F ¨ ar laplacetransform till funktionen 1 f (t) = tet + e−t cos 2t + e−t sin 2t. 2 Alternativt kunde vi ha b¨ orjat med att faktorisera n¨amnaren i den rationella funktionen F fullst¨ andigt med hj¨alp av de komplexa r¨otterna −1±2i till andragradspolynomet s2 + 2s + 5. Detta leder till partialbr˚ aksuppdelningen F (s) =
1 1 1 1 1 2 − 4i 2 + 4i + + . (s − 1)2 s + 1 − 2i s + 1 + 2i
Nu k¨anner vi igen F som laplacetransform till funktionen f (t) = tet + ( 21 − 14 i)e−(1−2i)t + ( 21 + 14 i)e−(1+2i)t 1 2it t −t 1 2it −2it −2it +e − 4i e − e = te + e 2 e = tet + e−t (cos 2t + 12 sin 2t), dvs. samma funktion som ovan. Det ˚ aterst˚ ar f¨ orst˚ as att visa att funktionen f ¨ar unik i den bem¨arkelsen att det inte finns n˚ agra andra kontinuerliga funktioner med samma laplacetransformen. Den fr˚ agan ska vi strax ˚ aterkomma till. Resultatet i exemplet ovan l˚ ater sig omedelbart generaliseras och vi har f¨oljande sats. Sats 9.3.3. Varje rationell funktion d¨ ar t¨ aljaren har l¨ agre grad ¨ an n¨ amnaren, ar laplacetransform till en funktion i E. ¨
198
9 Laplacetransformen
Bevis. S˚ adana rationella funktioner ¨ar linj¨arkombinationer av partialbr˚ ak av typen (s − c)−(n+1) med n ≥ 0, och de a¨r d¨arf¨or laplacetransformer till 1 motsvarande linj¨ arkombinationer av funktionerna tn ect . n! Att t¨ aljaren i den rationella funktionen ska ha l¨agre grad ¨an n¨amnaren f¨ or att vara laplacetransformen till en funktion a¨r ett n¨odv¨andigt villkor p˚ a grund av f¨ oljande sats. Sats 9.3.4. Om f ∈ E, s˚ a g¨ aller att f˜(s) → 0 d˚ a Re s → ∞. Bevis. V¨ alj a > σa (f ), s¨att s = σ + τ i och betrakta laplacetransformen f˜(s) f¨ or σ > a. Eftersom funktionen |f (t)|e−at a¨r absolutintegrabel p˚ a positiva (a−σ)t (a−σ)t reella axeln, |e | ≤ 1 och limσ→∞ e = 0 om t > 0, f¨oljer det av satsen om dominerad konvergens att Z ∞ Z ∞ |f˜(s)| ≤ |f (t)|e−σt dt = |f (t)|e−at e(a−σ)t dt → 0 d˚ a σ → ∞. 0
0
Eftersom laplacetransformen L[f ] a¨r definierad som en integral o¨ver intervallet [0, ∞[ kan den naturligtvis inte ge n˚ agon information om funktionsv¨ ardena f (t) f¨ or t < 0, s˚ avida vi inte har ytterligare information om funktionen. F¨ or restriktionen av f till intervallet [0, ∞[ har vi emellertid f¨ oljande entydighetsresultat. Sats 9.3.5 (Entydighetssatsen). Antag att f ∈ E och att f˜(s) = 0 f¨ or alla s i n˚ agot intervall p˚ a R. D˚ a ¨ ar f (t) = 0 n¨ astan ¨ overallt och speciellt i alla punkter t ∈ [0, ∞[ d¨ ar funktionen f ¨ ar kontinuerlig. Beviset utnyttjar egenskaper hos analytiska funktioner och b¨or d¨arf¨or hoppas o ¨ver av den som inte har studerat komplex analys. Bevis. P˚ a grund av entydighetssatsen f¨or analytiska funktioner ¨ar f˜(s) = 0 f¨ or alla s i transformens definitionsomr˚ ade. Om σ0 > σa (f ), s˚ a ¨ar d¨arf¨or speciellt f˜(σ0 + τ i) = 0 f¨or alla τ ∈ R. Men f˜(σ0 + τ i) = F[e−σ0 t f (t)](τ ), d¨ ar vi definierat om f genom att s¨atta f (t) = 0 f¨or t < 0. Fouriertransformen till L1 (R)-funktionen e−σ0 t f (t) ¨ar s˚ aledes identiskt noll. Entydighetssatsen f¨ or fouriertransformen leder d¨arf¨or till slutsatsen att e−σ0 t f (t) = 0 n¨ astan ¨ overallt och speciellt i alla punkter t d¨ar funktionen ¨ar kontinuerlig. F¨ oljaktligen ¨ ar f (t) = 0 n¨astan ¨overallt och i alla kontinuitetspunkter. Korollarium 9.3.6. Om f , g ∈ E och f˜(s) = g˜(s) f¨ or alla tillr¨ ackligt stora reella tal s, s˚ a ¨ ar f (t) = g(t) n¨ astan ¨ overallt och speciellt i alla punkter t ∈ [0, ∞[ d¨ ar b˚ ada funktionerna ¨ ar kontinuerliga. Bevis. Till¨ ampa entydighetssatsen p˚ a funktionen f − g.
9.3 Deriverbarhet och entydighet
199
Genom att utnyttja sambandet mellan laplace- och fouriertransformerna kan vi o atta inversionsformeln f¨or fouriertransformen i sats 7.3.3 till en ¨vers¨ inversionsformel f¨ or laplacetransformen. Sats 9.3.7 (Inversionsformeln f¨ or laplacetransformen). Antag att funktionen f ∈E ¨ ar kontinuerligt deriverbar i punkten t ≥ 0. D˚ a¨ ar Z b 1 f (t) = lim f˜(σ + τ i)e(σ+τ i)t dτ, b→∞ 2π −b d¨ ar σ ¨ ar ett godtyckligt tal som uppfyller σ > σa (f ). Bevis. Inversionsformeln f¨ or fouriertransformen ger att Z b 1 −σt e f (t) = lim f˜(σ + τ i)eiτ t dτ, b→∞ 2π −b s˚ a formeln i satsen f¨ oljer efter multiplikation med eσt . Integralen i inversionsformeln som kallas Bromwichintegralen, ¨ar en integral ¨ over en vertikal linje i det komplexa talplanet, och f¨or att formeln ska vara riktigt anv¨ andbar b¨ or man utnyttja residyteknik. Detta kr¨aver emellertid kunskaper i komplex analys, och eftersom vi inte f¨oruts¨atter n˚ agra s˚ adana, f¨ ordjupar vi oss inte i detta h¨ar. Exempel 9.3.3. L¨ os integralekvationen Z t f (t) = 1 + f (t − u) eu du,
t ≥ 0.
0
L¨ osning: Antag f ∈ E. Genom att laplacetransformera integralekvationen f˚ ar vi f¨oljande algebraiska ekvation 1 1 f˜(s) = L[1 + f ∗ et ](s) = + f˜(s) s s−1 som vi l¨ oser med avseende p˚ a f˜(s): f˜(s) =
1 1 s−1 = 2 + 2 . s(s − 2) s s−2
Vi drar nu slutsatsen att f (t) =
1 1 2t + e . 2 2
Det f¨ oljer av anm¨ arkningen efter sats 9.3.1 och ett resultat inom komplex analys att en funktions laplacetransform fˆ(s) ¨ar fullst¨andigt best¨amd av dess v¨arden d˚ a variabeln s ¨ ar reell. Vi utnyttjar detta faktum i f¨oljande exempel.
200
9 Laplacetransformen
Exempel 9.3.4. Laplacetransformen Z α L[t ](s) =
∞
tα e−st dt
0
till funktionen f (t) = tα , d¨ar α > −1, ¨ar definierad i omr˚ adet Re s > 0. L˚ at oss f¨ orst ber¨ akna integralen under antagandet att s ¨ar ett reellt positivt tal. Variabelbytet t = u/s ger d˚ a att Z ∞ α −(α+1) uα e−u du = Γ(α + 1)s−(α+1) , (9.1) L[t ](s) = s 0
d¨ ar Γ ¨ ar den s. k. gammafunktionen som f¨or x > 0 definieras av att Z ∞ ux−1 e−u du. Γ(x) = 0
Med hj¨ alp av partiell integration visar man enkelt att Γ(x + 1) = xΓ(x) f¨ or alla x > 0, och eftersom Γ(1) = 1 f¨oljer det genom induktion att Γ(n + 1) = n! f¨ or alla icke-negativa heltal n. F¨or positiva heltal α ger d¨arf¨or formel (9.1) samma resultat som exempel 9.3.1. H¨ arledningen av laplacetransformeln (9.1) ¨ar gjord f¨or reella s, men tv˚ a analytiska funktioner som ¨ar lika p˚ a positiva reella axeln ¨ar lika i hela sina definitionsomr˚ aden. Det f¨oljer d¨arf¨or att formeln faktiskt g¨aller f¨or alla komplexa tal s med positiv realdel.
¨ Ovningar 9.6 Best¨ am funktionen f om dess laplacetransform a¨r 1 1 6s2 + 4s − 2 a) b) 2 c) s(s + 1) s + 4s + 29 (s − 2)2 (s2 + 2s + 2) −s −s se e d) 2 e) . 2 (s + 1) (s − 1)(s − 2) sin t 9.7 Best¨ am laplacetransformen till funktionen f (t) = . t s+3 9.8 Best¨ am funktionen f om f˜(s) = log . s+2 9.9 Best¨ am en funktion f som ¨ar definierad p˚ a intervallet [0, ∞[ och som l¨ oser integralekvationen Z t uf (t − u) du = t sin t. 0
9.4 Derivatans transform och linj¨ ara differentialekvationer
201
9.10 Best¨ am funktioner x(t) och y(t), definierade f¨or t ≥ 0, s˚ a att Z t y(t − u) du x(t) = 0 Z t y(t) = 1 + 2 x(t − u) cos u du 0
9.11 Best¨ am en l¨ osning till integralekvationen Z
t
f (t − u) cos 2u du = sin t,
t ≥ 0.
0
9.12 L¨ os integralekvationen Z
t
cos(t − u) y(u) du.
y(t) = t + 2 0
9.13 Visa rekursionsformeln Γ(x + 1) = xΓ(x) f¨or Γ-funktionen. √ 9.14 Visa√ att Γ( 12 ) = π och best¨am sedan laplacetransformen till funktionen t. [Ledning: G¨ or substitutionen u = t2 /2 i definitionen av Γ( 21 ) och ut2 nyttja sedan fouriertransformen till funktionen e−t /2 .]
9.4
Derivatans transform och linj¨ ara differentialekvationer
Laplacetransformering ¨ ar en teknik som kan anv¨andas f¨or att l¨osa linj¨ara differentialekvationer. L¨ osningsmetoden bygger p˚ a att man laplacetransformerar den givna differentialekvationen och p˚ a s˚ a s¨att ist¨allet erh˚ aller en ekvation f¨ or den obekanta funktionens laplacetransform som man l¨oser explicit. L¨osningen till differentialekvationen f˚ ar man sedan genom inverstransformering. Metoden f¨ oruts¨ atter att vi kan uttrycka laplacetransformen till derivatan 0 f i termer av laplacetransformen till funktionen f . N¨asta sats ger receptet f¨or detta. Sats 9.4.1. Antag att funktionen f ¨ ar kontinuerligt deriverbar och att b˚ ade f och derivatan f 0 tillh¨ or klassen E. D˚ a¨ ar L[f 0 ](s) = sL[f ](s) − f (0) f¨ or alla komplexa tal s som har en realdel som ¨ ar st¨ orre ¨ an de b˚ ada funktionernas konvergensabskissor.
202
9 Laplacetransformen
Bevis. Antag att Re s > max(σa (f ), σa (f 0 )). D˚ a tillh¨or f (t) e−st rummet 1 L (R+ ), och det f¨ oljer att det finns en v¨axande f¨oljd (tn )∞ adan att tn → ∞ 1 s˚ −st n och f (tn ) e → 0 d˚ a n → ∞. En partiell integration ger nu Z tn Z ∞ 0 −st 0 f 0 (t) e−st dt f (t) e dt = lim L[f ](s) = n→∞ 0 0 Z tn t n = lim f (t) e−st 0 + s f (t) e−st dt n→∞ 0 Z ∞ −stn f (t) e−st dt = sf˜(s) − f (0). = lim f (tn ) e − f (0) + s n→∞
0
Korollarium 9.4.2. Antag att f ∈ E ¨ ar n g˚ anger kontinuerligt deriverbar och att alla derivatorna tillh¨ or E. F¨ or alla komplexa tal s med tillr¨ ackligt stor realdel ¨ ar d˚ a L[f (n) ](s) = sn L[f ](s) −
n−1 X
f (k) (0)sn−1−k .
k=0
Anm¨ arkning. Derivatorna f (k) (0) ska naturligtvis tolkas som h¨ogerderivator. Bevis. Genom upprepad anv¨andning av sats 9.4.1 f˚ ar vi L[f 00 ](s) = sL[f 0 ](s) − f 0 (0) = s sL[f ](s) − f (0) − f 0 (0) = s2 L[f ](s) − f (0)s − f 0 (0), osv. F¨ oljande exempel illustrerar hur man anv¨ander laplacetransformering f¨or att l¨ osa en linj¨ ar differentialekvation med konstanta koefficienter. Exempel 9.4.1. L¨ os begynnelsev¨ardesproblemet y 00 + 2y 0 − 3y = −8e−t sin 2t,
y(0) = 1,
y 0 (0) = 3.
L¨ osning: Vi antar att l¨osningen y = y(t), liksom y 0 och y 00 , har en laplacetransform. P˚ a grund av korollariet ovan ¨ar i s˚ a fall L[y 0 ](s) = s˜ y (s) − y(0) = s˜ y (s) − 1 L[y 00 ](s) = s2 y˜(s) − sy(0) − y 0 (0) = s2 y˜(s) − s − 3. Linearitet ger d¨ arefter L[y 00 + 2y 0 − 3y](s) = s2 y˜(s) − s − 3 + 2(s˜ y (s) − 1) − 3˜ y (s) = (s2 + 2s − 3)˜ y (s) − s − 5. ˚ A andra sidan visar exempel 9.2.1 att L[−8e−t sin 2t](s) = −8 ·
2 16 =− 2 . (s + 1)2 + 22 s + 2s + 5
9.4 Derivatans transform och linj¨ ara differentialekvationer
203
Genom att j¨ amf¨ ora laplacetransformerna till differentialekvationens v¨ansteroch h¨ogerled erh˚ aller vi d¨ arf¨ or ekvationen (s2 + 2s − 3)˜ y (s) − s − 5 = −
s2
16 . + 2s + 5
Resultatet blev en algebraisk ekvation som vi kan l¨osa med avseende p˚ a y˜: y˜(s) =
s3 + 7s2 + 15s + 9 . (s − 1)(s + 3)(s2 + 2s + 5)
H¨ar ser vi inte omedelbart att h¨ogerledet ¨ar laplacetransformen till n˚ agon k¨and funktion, men om vi f¨ orst delar upp h¨ogerledet i partialbr˚ ak, f˚ ar vi y˜(s) =
1 2 1 2 . + 2 = + s − 1 s + 2s + 5 s − 1 (s + 1)2 + 22
Nu har vi tur, ty vi k¨ anner igen h¨ ogerledet som laplacetransformen till funktionen et +e−t sin 2t. Eftersom funktionen y ¨ar entydigt best¨amd av sin laplacetransform i intervallet [0, ∞[, drar vi slutsatsen att differentialekvationens l¨osning f¨ or t ≥ 0 ¨ ar y(t) = et + e−t sin 2t. Naturligtvis l¨ oser i detta fall y(t) differentialekvationen p˚ a hela R.
¨ Ovningar 9.15 L¨ os med hj¨ alp av laplacetransformering systemet (
x + y 0 = 2et x0 − x − 2y 0 − y = sin t
med begynnelsev¨ ardena x(0) = 2 och y(0) = 1. 9.16 L¨ os systemet (
z 00 + y = 5e2t y 00 − z = 3e2t ,
d¨ ar y(0) = z(0) = 1, y 0 (0) = z 0 (0) = 2. Z 9.17 Best¨ am laplacetransformen till f (t) = 0
t
1 − e−u du. u
204
9 Laplacetransformen
9.5
Begynnelsev¨ ardes- och slutv¨ ardesregeln
N¨ ar man studerar dynamiska system ¨ar man ofta intresserad av att veta hur systemet uppf¨ or sig efter l˚ ang tid, till exempel om det n¨armar sig ett stabilt tillst˚ and. Om tillst˚ andet kan beskrivas av en funktion f s˚ a ¨ar med andra ord funktionens eventuella gr¨ansv¨arde d˚ a tiden t g˚ ar mot o¨andligheten en intressant storhet, och detta gr¨ansv¨arde avspeglas i beteendet hos laplacetransformen f˜(s) d˚ a s → 0+ . Vi har n¨amligen f¨oljande resultat som ger de b˚ ada gr¨ ansv¨ ardena lims→∞ f (t) och lims→0+ f (t) i termer av laplacetrans˜ formen f . Sats 9.5.1 (Begynnelsev¨ardes- och slutv¨ardesregeln). Antag f ∈ E. (a) Om gr¨ ansv¨ ardet f (0+ ) = lim f (t) existerar s˚ a¨ ar t→0+
f (0+ ) = lim sf˜(s). s→∞
(b) Om gr¨ ansv¨ ardet f (∞) = lim f (t) existerar, s˚ a¨ ar t→∞
f (∞) = lim sf˜(s). s→0+
Det ¨ ar d˚ a underf¨ orst˚ att att gr¨ ansv¨ ardena d˚ a s → ∞ och d˚ a s → 0+ bara tas f¨ or reella s. R∞ Bevis. Vi noterar f¨ orst att 0 se−st dt = 1 f¨or alla reella positiva tal s och att d¨ arf¨ or Z ∞ Z ∞ −st ˜ sf (s) − A = sf (t)e dt − A = f (t) − A se−st dt 0
0
om A ¨ ar en godtycklig konstant. Vi delar nu upp integrationsintervalet [0, ∞[ i tv˚ a delintervall I och J, antingen med I = [0, δ] och J = [δ, ∞[ eller med I = [T, ∞[ och J = [0, T ], och skriver i b˚ ada fallen f¨or s > 0 differensen sf˜(s) − A som en summa av tre integraler p˚ a f¨ oljande vis: Z Z Z −st −st ˜ (9.2) sf (s) − A = f (t) − A se dt + f (t)se dt − A se−st dt I
J
J
= I1 + I2 + I3 . (a) F¨ or att bevisa begynnelsev¨ardesregeln s¨atter vi A = f (0+ ) och v¨aljer givet > 0 ett positivt tal δ s˚ adant att |f (t) − A| < f¨or 0 < t ≤ δ. Med I = [0, δ] och J = [δ, ∞[ blir nu Z |I1 | ≤
δ +
|f (t) − f (0 )|se 0
−st
Z dt ≤
δ
se 0
−st
Z dt < 0
∞
se−st dt = ,
9.5 Begynnelsev¨ ardes- och slutv¨ ardesregeln medan
Z
∞
I3 = −A
205
se−st dt = −Ae−δs → 0
d˚ a s → ∞.
δ
F¨or att uppskatta den tredje integralen I2 v¨aljer vi f¨orst a > σa (f ), vilket medf¨or att funktionen g(t) = e−at f (t) a¨r absolutintegrabel o¨ver intervallet [0, ∞[. Vi g¨ or sedan omskrivningen Z ∞ Z ∞ −st I2 = f (t)se dt = g(t)se−(s−a)t dt. δ
δ
Funktionerna t 7→ se−(s−a)t ¨ ar f¨or s ≥ max(a, 0) uniformt begr¨ansade i intervallet [δ, ∞[ eftersom se−(s−a)t ≤ se−(s−a)δ = se−sδ eaδ ≤ δ −1 eaδ−1
om s ≥ max(a, 0),
och lim se−(s−a)t = 0.
s→∞
Det f¨oljer d¨ arf¨ or av satsen om dominierad konvergens att Z ∞ Z ∞ −(s−a)t lim I2 = lim g(t)se dt = 0 dt = 0. s→∞
δ
s→∞
δ
F¨or alla tillr¨ ackligt stora s ¨ ar d¨ arf¨or |sf˜(s) − A| ≤ |I1 | + |I2 | + |I3 | < 3, vilket bevisar p˚ ast˚ aende (a). (b) F¨ or att bevisa slutv¨ ardesregeln s¨atter vi ist¨alllet A = f (∞) och v¨aljer givet > 0 talet T s˚ a stort att |f (t) − f (∞)| < f¨or alla t ≥ T . Med I = [T, ∞[ och J = [0, T ] blir d˚ a Z ∞ Z ∞ Z ∞ |I1 | ≤ |f (t) − f (∞)|se−st dt ≤ se−st dt < se−st dt = . T
T
0
Eftersom restriktionen av f till intervallet J tillh¨or L1 (J) a¨r Z |I2 | ≤
T
−st
|f (t)|se 0
Z dt ≤ s
T
|f (t)| dt = skf kL1 (J) , 0
och vi drar slutsatsen att I2 → 0 d˚ a s → 0+ . Slutligen ¨ ar Z T I3 = −A se−st = A(e−sT − 1), 0
s˚ a I3 g˚ ar ocks˚ a mot noll d˚ a s → 0+ . Det f¨ oljer d¨ arf¨ or av uppdelningen (9.2) att det finns ett tal s0 > 0 s˚ adant att |sf˜(s) − A| < 3 f¨ or 0 < s < s0 , och detta bevisar slutv¨ardesregeln.
206
9 Laplacetransformen
¨ Ovningar 9.18 Verifiera begynnelse- och slutv¨ardesregeln f¨or funktionerna sin t . a) f (t) = e−t b) f (t) = te−t c) f (t) = t
9.6
Kausala LTI-system
I linj¨ ara tidsinvarianta system kan sambandet mellan insignal x och utsignal y under t¨ amligen generella villkor beskrivas av en faltning y = k ∗ x, och i kausala system ¨ ar vidare k(t) = 0 f¨or t < 0, vilket inneb¨ar att sambandet har formen Z ∞ k(u)x(t − u) du. y(t) = 0
Om systemet befinner sig i vila fram till och med en viss tidpunkt som vi kan v¨ alja som t = 0, ¨ar insignalen x(t) lika med noll f¨or t < 0. Likheten ovan reduceras d¨ arf¨ or f¨ or t ≥ 0 till Z t k(u)x(t − u) du, y(t) = 0
dvs. till den typ av faltning y = k ∗ x som vi inf¨ort i samband med laplacetransformen, och genom laplacetransformering erh˚ alls sambandet ˜ x(s) y˜(s) = k(s)˜ f¨ or de ing˚ aende funktionernas laplacetransformer. Som tidigare kallas k systemets impulssvar medan k˜ brukar kallas systemets ¨ overf¨ oringsfunktion. Vi p˚ aminner om att ett dynamiskt system kallas BIBO-stabilt om begr¨ ansade insignaler resulterar i begr¨ansade utsignaler. Det f¨oljer f¨orst˚ as av sats 8.3.3 att det kausala systemet y = k ∗ x ¨ar BIBO-stabilt om Z ∞ |k(t)| dt < ∞. 0
I m˚ anga situationer beskrivar man ett dynamiskt systems tillst˚ and med hj¨ alp av en tillst˚ andsfunktion z. Denna funktion ¨ar i allm¨anhet vektorv¨ard, men vi antar f¨ or enkelhets skull att z a¨r en vanlig reellv¨ard funktion. L˚ at oss nu anta att tillst˚ andets p˚ averkan av insignalen x(t) f¨or t > 0 regleras av en linj¨ ar differentialekvation med konstanta koefficienter av typen an z (n) (t) + an−1 z (n−1) (t) + · · · + a2 z 00 (t) + a1 z 0 (t) + a0 z(t) = x(t) d¨ ar an 6= 0. Att systemet ¨ar i vila fram till tidpunkten t = 0, dvs. att z(t) = 0 f¨ or t < 0, medf¨ or speciellt att z (n−1) (0) = · · · = z 00 (0) = z 0 (0) = z(0) = 0
9.6 Kausala LTI-system
207
Insignal x(t)
Tillst˚ and Utsignal z(t) y(t)
Figur 9.1. Dynamiskt system
om tillst˚ andsfunktionen f¨ oruts¨ atts vara tillr¨ackligt m˚ anga g˚ anger kontinuerligt deriverbar i origo. Differentialekvationen och begynnelsev¨ardena best¨ammer sedan f¨ orst˚ as systemets tillst˚ and entydigt. Utsignalen y(t) antas vara beroende av systemets tillst˚ and p˚ a s˚ a s¨att att den ¨ar en linj¨ arkombination av derivator till z(t) av h¨ogst ordning n − 1, dvs. y(t) = bn−1 z (n−1) (t) + · · · + b2 z 00 (t) + b1 z 0 (t) + b0 z(t). L˚ at nu P (s) och Q(s) vara polynomen P (s) = an sn + an−1 sn−1 + · · · + a2 s2 + a1 s + a0 n−1
Q(s) = bn−1 s
och
2
+ · · · + b2 s + b1 s + b0 .
(k) (s) = sk z P˚ a grund av begynnelsevillkoren a ˜(s) s˚ a genom att laplace¨r zg transformera de b˚ ada differentialekvationerna som inneh˚ aller x(t) resp. y(t) erh˚ aller vi ekvationerna
P (s)˜ z (s) = x ˜(s)
och y˜(s) = Q(s)˜ z (s),
och genom att eliminera z˜(s) erh˚ alls sambandet y˜(s) =
Q(s) x ˜(s) P (s)
mellan in- och utsignalernas laplacetransformer. Eftersom t¨ aljaren hos den rationella funktionen K(s) = Q(s)/P (s) har l¨agre grad ¨ an n¨ amnaren, ¨ ar K(s) laplacetransform till en kontinuerlig funk˜ x(s) = K(s)˜ tion k(t), och enligt sats 9.2.1 ¨ ar L[k ∗ x](s) = k(s)˜ x(s) = y˜(s). Sambandet mellan utsignal och insignal ges d¨arf¨or av en faltning, n¨amligen Z t y(t) = k ∗ x(t) = k(t − u)x(u) du., 0
och K ¨ar det kausala systemets ¨ overf¨oringsfunktion. Exempel 9.6.1. Som konkret exempel betraktar vi en partikel med massa m som r¨ or sig l¨ angs x-axeln under p˚ averkan av en yttre kraft f (t). L˚ at
208
9 Laplacetransformen
x(t) beteckna partikelns l¨age vid tidpunkten t, och antag att den ¨ar i vila d˚ a t ≤ 0. L˚ at oss slutligen anv¨anda l¨aget som den observerade variabeln (utsignalen) y. Enligt Newtons r¨ orelselag beskrivs systemets tillst˚ and av differential00 ekvationen mx (t) = f (t), medan y(t) = x(t). I f¨oreliggande situation ¨ar s˚ aledes P (s) = ms2 , Q(s) = 1, K(s) = Q(s)/P (s) = 1/ms2 och k(t) = t/m. Sambandet mellan kraft (insignal) f och l¨age (utsignal) x ges s˚ aledes av faltningen Z t
x(t) = k ∗ f (t) = m−1
(t − u)f (u) du. 0
Nollst¨ allena till n¨ amnaren Q(z) i en rationell funktion P (z)/Q(z) som f¨ orkortats s˚ a att P (z) och Q(z) saknar gemensamma nollst¨allen, kallas den rationella funktionens poler. Om z0 ¨ar en pol till den rationella funktionen R(z) s˚ a¨ ar uppenbarligen lim |R(z)| = +∞. z→z0
F¨ or kausala LTI-system med rationella ¨overf¨oringsfunktioner kan vi enkelt avg¨ ora om systemen ¨ar BIBO-stabila eller ej genom att studera ¨overf¨oringsfunktionernas poler. Vi har n¨amligen f¨oljande sats. Sats 9.6.1. Ett kausalt linj¨ art tidsinvariant system med rationell ¨ overf¨ oringsfunktion ¨ ar BIBO-stabilt om och endast om ¨ overf¨ oringsfunktionen inte har n˚ agra poler i halvplanet Re s ≥ 0. Bevis. Betrakta ett kausalt linj¨art system med rationell ¨overf¨oringsfunktion. Genom partialbr˚ aksutveckling kan ¨overf¨oringsfunktionen K(s) skrivas som en linj¨ arkombination av br˚ ak av typen (s − c)−n , d¨ar c a¨r en pol till K(s) och n ≥ 1 ¨ ar polens ordning, och impulssvaret k(t) ¨ar en linj¨arkombination av motsvarande funktioner tn−1 ect . F¨or alla poler c med negativ realdel ¨ar Z ∞ |tn−1 ect | dt < ∞, 0
och om alla poler har R ∞negativ realdel uppfyller f¨oljaktligen linj¨arkombinationen k(t) villkoret 0 |k(t)| dt < ∞, vilket visar att systemet y = k ∗ x ¨ar BIBO-stabilt i detta fall. F¨ or att bevisa omv¨ andningen, dvs. att systemet inte ¨ar BIBO-stabilt om overf¨ oringsfunktionen har en pol i det slutna halvplanet Re s ≥ 0 noterar vi ¨ f¨ orst att laplacetransformen f˜(s) till en begr¨ansad funktion f ¨ar definierad och analytisk i det ¨ oppna halvplanet Re s > 0 eftersom konvergensabskissan σa (f ) a r ≤ 0. Vidare a ¨ ¨r funktionen (Re s)f˜(s) begr¨ansad i samma halvplan av konstanten kf k∞ = supt≥0 |f (t)| p˚ a grund av olikheten Z ∞ Z ∞ −st ˜ |f (s)| ≤ |f (t)||e | dt ≤ kf k∞ e−σt dt = σ −1 kf k∞ . 0
0
9.6 Kausala LTI-system
209
Om laplacetransformen y˜(s) till en signal y har en pol i halvplanet Re s > 0 eller om lim σ|˜ y (σ + bi)| = +∞ σ→0+
f¨or n˚ agot reellt tal b, s˚ a kan f¨ oljaktligen signalen y inte vara begr¨ansad. Antag nu att systemets ¨ overf¨ oringsfunktion K har en pol c i det ¨oppna halvplanet Re s > 0. D˚ a resulterar den begr¨ansade insignalen H, d¨ar H ¨ar Heavisidefunktionen, i en obegr¨ ansad utsignal y, eftersom laplacetransfor−1 men y˜(s) = K(s)s d˚ a ocks˚ a har en pol i c och f¨oljaktligen inte ¨ar definierad i hela det ¨ oppna halvplanet. Om K ist¨ allet har en pol bi p˚ a den imagin¨ara axeln, s˚ a a¨r utsignalen ibt y till den begr¨ ansade insignalen e obegr¨ansad, ty f¨or laplacetransformen y˜(s) = K(s)(s − bi)−1 g¨ aller i detta fall att lim σ|˜ y (σ + bi)| = lim √
σ→0+
σ→0+
σ |K(σ + bi)| = lim |K(σ + bi)| = +∞. σ→0+ + b2
σ2
D¨armed ¨ ar beviset klart.
¨ Ovningar 9.19 Best¨ am ¨ overf¨ oringsfunktion och impulssvar f¨or det kausala systemet y = k ∗ x om sambandet mellan insignal och utsignal beskrivs av differentialekvationen 000 00 0 z (t) + 4z (t) + 5z (t) + 2z(t) = x(t) 2z 0 (t) + z(t) = y(t) z 00 (0) = z 0 (0) = z(0) = 0. ¨ systemet BIBO-stabilt? Ar 9.20 Best¨ am ¨ overf¨ oringsfunktion och impulssvar f¨or det kausala systemet y = k ∗ x om sambandet mellan insignal och utsignal beskrivs av differentialekvationen ( y 00 (t) + 4y(t) = x(t) y 0 (0) = y(0) = 0. ¨ systemet BIBO-stabilt? Ar 9.21 Avg¨ or om det kausala LTI-systemet y = k ∗ x ¨ar BIBO-stabilt f¨or f¨ oljande impulssvar: a) k(t) = cos t b) k(t) = t2 e−2t sin t 1 d) k(t) = 2 . t +1
c) k(t) = χ[0,1] (t)
210
9 Laplacetransformen
9.22 Visa, t. ex. genomP att betrakta utsignalens v¨arden i punkterna 2nπ f¨or n insignalen x(t) = ∞ n=0 (−1) χ[nπ,(n+1)π[ (t), att LTI-systemet y = k ∗x ar BIBO-instabilt om ¨ ∞ X sin t a) k(t) = (−1)n χ[nπ,(n+1)π[ (t) b) k(t) = . t n=0
9.7
Laplacetransformen f¨ or m˚ att
R Vi har tidigare f¨ orklarat vad som menas med integralen R f (t) dµ(t) ¨over hela R av en funktion f med avseende p˚ a ett (¨andligt) m˚ att µ. Integralen R over ett delm¨angd E av den reella axeln ˚ aterf¨or vi nu p˚ a defiE f (t) dµ(t) ¨ nitionen av en integral ¨ over hela R genom att s¨atta funktionen f lika med noll utanf¨ or m¨ angden E, dvs. Z Z f (t) dµ(t) = f (t)χE (t) dµ(t). E
R
Speciellt ¨ ar allts˚ a Z
Z f (t) dµ(t) =
[0,∞[
f (t)H(t) dµ(t) R
d¨ ar H(t) ¨ ar Heavisidefunktionen, men vi skriver forts¨attningsvis Z ∞ f (t) dµ(t) 0
R ist¨ allet f¨ or [0,∞[ f (t) dµ(t). Utvidgningen av definitionsomr˚ adet f¨or laplacetransformen till m˚ att sker nu p˚ a ett uppenbart s¨ att: Om µ ¨ar ett m˚ att p˚ a R s˚ a definieras dess laplacetransform µ ˜(s) som Z ∞
µ ˜(s) =
e−st dµ(t).
0
F¨ or a att µ, som a¨r den typ av m˚ att som vi har behandlat, ¨ndliga m˚ existerar s¨ akert laplacetransformen µ(s) f¨or alla komplexa tal s med realdel Re s ≥ 0, och man kan visa att funktionen µ ˜ ¨ar begr¨ansad och o¨andligt deriverbar i det ¨ oppna halvplanet Re s > 0. Exempel 9.7.1. Diracm˚ attet δa , d¨ar a ≥ 0, har laplacetransformen Z ∞ e δa (s) = e−st δa (t) dt = e−as . 0
Speciellt har s˚ aledes δ, Diracm˚ attet i origo, den konstanta funktionen 1 som laplacetransform.
9.7 Laplacetransformen f¨ or m˚ att
211
En funktions laplacetransform ger bara information om funktionens restriktion till icke-negativa reella axeln R+ = [0, ∞[. P˚ a motsvarande s¨att ger laplacetransformen till ett m˚ att bara information om den del av m˚ attet som ”lever” p˚ a R+ . L˚ at oss s¨ aga att ett m˚ att µ ¨ar koncentrerat i m¨angden E om Z f (t) dµ(t) = 0 R
f¨or alla begr¨ ansade kontinuerliga funktioner f som ¨ar lika med noll p˚ a E. Exempelvis ¨ ar Diracm˚ attet δa koncentrerat i punkten a. Man kan nu visa f¨ oljande entydighetssats. Sats 9.7.1. Tv˚ a¨ andliga m˚ att som ¨ ar koncentrerade i (delm¨ angder till) ickenegativa reella axeln [0, ∞[, ¨ ar lika om de har samma laplacetransform.
¨ Ovningar 9.23 Best¨ am laplacetransformen till m˚ attet µ =
P∞
n=0 2
−n δ . n
9.24 Verifiera transformeringsregeln µ] ∗ ν(s) = µ ˜(s)˜ ν (s) f¨or m˚ att. 9.25 Best¨ am impulssvar och o ¨verf¨oringsfunktion f¨or LTI-systemet y(t) = x(t) + 2x(t − 1), d¨ ar x(t) = 0 f¨ or t ≤ 0.
Historiska notiser Laplacetransformen har f˚ att sitt namn efter Laplace som h¨arledde n˚ agra av dess egenskaper och anv¨ ande transformen i sina sannolikhetsteoretiska arbeten och f¨or att best¨ amma l¨ osningar till v¨ armeledningsekvationen d˚ a omr˚ adet ¨ar obegr¨ansat.
Kapitel 10
Z-transformen 10.1
Definition och egenskaper
Z-transformen anv¨ ands f¨ or att studera f¨oljder (an )∞ or 0 som inte blir alltf¨ stora d˚ a n g˚ ar mot o¨ andligheten. L˚ at oss b¨orja med att definiera detta villkor ordentligt. Definition. En f¨ oljd a = (an )∞ ages ha en tillv¨axt som 0 av komplexa tal s¨ ogst exponentiell, eller tillh¨ ora klassen E, om det finns tv˚ a positiva kon¨ar h¨ stanter K och r s˚ adana att |an | ≤ Krn
f¨or alla n.
∞ ar tv˚ a f¨ oljder i E och λ ¨ar ett godtyckligt komplext Om (an )∞ 0 och (bn )0 ¨ tal, s˚ a ligger summaf¨ oljden (an + bn )∞ oljden (λan )∞ ai 0 och produktf¨ 0 ocks˚ klassen E. Detta betyder att E ¨ ar ett vektorrum.
Definition. F¨ or komplexa f¨ oljder a = (an )∞ 0 i klassen E definieras z-transformen Z[a](z) som den o¨ andliga serien ∞ X
an z −n ,
n=0
d¨ar z ¨ar en komplex variabel. Villkoret att a tillh¨ or E garanterar att det finns ett icke-negativt tal ρa s˚ adant att z-transformen Z[a](z) a¨r absolutkonvergent f¨or |z| > ρa och divergent f¨ or |z| < ρa . Genom variabelbytet t = 1/z ¨overf¨ors n¨amligen P n , och villkoret att koefficiz-transformen Z[a](z) i potensserien ∞ a t n=0 n entf¨oljden ¨ ar h¨ ogst exponentiellt v¨axande garanterar att potensserien har ¨ en konvergensradie R som ¨ ar positiv eller +∞. Oversatt till z-transformen betyder detta att z-transformen ¨ar absolutkonvergent om |z| > 1/R och divergent om |z| < 1/R. 213
214
10 Z-transformen
Av resultaten f¨ or potensserier f¨oljer vidare att z-transformen definierar en funktion som a r andligt m˚ anga g˚ anger deriverbar i omr˚ adet |z| > ρa och ¨ o¨ att derivatorna f˚ as genom att derivera serien termvis. Den genom variabelbytet t = 1/z erh˚ allna potensserien inneh˚ aller naturligtvis samma information som z-transformen. Man skulle d¨arf¨or lika g¨arna kunna arbeta med potensserier som med z-transformer, men analogin med laplacetransformen blir b¨attre om man definierar z-transformen som vi gjort ovan. Exempel 10.1.1. L˚ at λ vara ett godtyckligt komplext tal. F¨oljden (λn )∞ 0 tillh¨ or f¨ orst˚ as klassen E, och dess z-transform a¨r n
Z[(λ )](z) =
∞ X
λn z −n =
n=0
1 z = 1 − λ/z z−λ
f¨ or |z| > |λ|. Ett f¨ or alla till¨ ampningar v¨asentligt faktum ¨ar att z-transformen best¨ammer talf¨ oljden entydigt. Detta ¨ar kontentan av f¨oljande sats. Sats 10.1.1 (Entydighetssatsen). Z-transformen ¨ ar en injektiv avbildning, ∞ ar tv˚ dvs. om a = (an )∞ och b = (b ) a f¨ o ljder i E och Z[a](z) = Z[b](z) ¨ n 0 0 f¨ or alla z utanf¨ or n˚ agon cirkel i komplexa talplanet, s˚ a¨ ar a = b. Anm¨ arkning. Det r¨ acker att veta att Z[a](z) = Z[b](z) f¨or alla reella tal z som ¨ ar st¨ orre ¨ an n˚ agot tal, eller till och med bara att Z[a](zn ) = Z[b](zn ) f¨or n˚ agon f¨ oljd (zn )∞ ar mot o¨andligheten d˚ a n → ∞, f¨or att dra 0 av tal som g˚ slutsatsen att a = b. Detta f¨oljer av att z-transformen a¨r en s. k. analytisk funktion. Bevis. Om Z[a](z) = Z[b](z) f¨or alla z utanf¨or n˚ agon cirkel s˚ a ¨ar motsvarande potensserier Z[a](1/t) och Z[b](1/t) lika f¨or alla t i n˚ agon (punkterad) omgivning av t = 0, och h¨arav f¨oljer p˚ a grund av entydighetssatsen f¨or potensserier att an = bn f¨ or alla n. En annan enkel observation ¨ar att Z-transformen ¨ar en linj¨ar avbildning. Sats 10.1.2. Z-transformen ¨ ar linj¨ ar, dvs. om a, b ∈ E och λ, µ ¨ ar komplexa tal s˚ a¨ ar Z[λa + µb](z) = λZ[a](z) + µZ[b](z) f¨ or alla z f¨ or vilka h¨ ogerledet existerar. Bevis. Z[λa + µb](z) =
∞ X
(λan + µbn )z
−n
=λ
n=0
= λZ[a](z) + µZ[b](z).
∞ X n=0
an z
−n
+µ
∞ X n=0
bn z −n
10.1 Definition och egenskaper
215
Om (an )∞ ar en f¨ oljd som v¨ axer h¨ogst exponentiellt, s˚ a har f¨orst˚ as ocks˚ a 0 ¨ f¨oljden (λn an )∞ samma egenskap f¨ o r varje komplext tal λ, och sambandet 0 mellan dessa b˚ ada f¨ oljders z-transformer ges av n¨asta sats. Sats 10.1.3. Om a = (an )∞ ar en f¨ oljd i E och λ ¨ ar ett nollskilt komplext 0 ¨ tal, s˚ a¨ ar Z[(λn an )](z) = Z[a](z/λ). n
Bevis. Z[(λ an )](z) =
∞ X
n
λ an z
n=0
−n
=
∞ X
an (z/λ)−n = Z[a](z/λ).
n=0
Exempel 10.1.2. Best¨ am f¨ oljden (an )∞ ar 0 om dess z-transform ¨ A(z) =
z 3 − 4z 2 + 7z . (z − 1)(z − 2)(z − 3)
L¨ osning. Enligt entydighetssatsen finns det h¨ogst en s˚ adan f¨oljd, och f¨or att best¨amma den b¨ orjar vi med att bryta ut faktorn z och partialbr˚ aksuppdelar sedan det resterande br˚ aket: A(z) = z ·
A B C z 2 − 4z + 7 =z· + + . (z − 1)(z − 2)(z − 3) z−1 z−2 z−3
Man finner l¨ att att koefficienterna ¨ar A = 2, B = −3 och C = 2, varf¨or A(z) = 2 ·
z z z −3· +2· . z−1 z−2 z−3
Enligt exempel 10.1.1 ¨ ar z/(z − λ) z-transform till f¨oljden (λn ), och om vi kombinerar detta faktum med linearitet, drar vi slutsatsen att den s¨okta f¨oljden ¨ ar an = 2 − 3 · 2n + 2 · 3n . En naturlig generalisering av exempel 10.1.2 ¨ar att f¨or alla rationella funktioner P (z)/Q(z) som ¨ ar z-transformer, best¨amma motsvarande f¨oljd. Ett n¨odv¨ andigt villkor f¨ or att en rationell funktion ska vara z-transform ¨ar att t¨aljarens gradtal inte ¨ ar st¨ orre ¨an n¨amnarens; detta f¨oljer med en g˚ ang av f¨oljande sats. Sats 10.1.4. F¨ or alla f¨ oljder a = (an )∞ ar lim Z[a](z) = a0 . 0 i E ¨ z→∞
Bevis. Variabelbytet z = 1/t och det faktum att potensserier ¨ar kontinuerliga funktioner medf¨ or att lim
z→∞
∞ X n=0
an z −n = lim
t→0
∞ X n=0
an tn = a0 .
216
10 Z-transformen
Exempel 10.1.1 ger oss den inversa f¨oljden till transformen z/(z − λ), men f¨ or att komma vidare beh¨over vi ocks˚ a identifiera den inversa f¨oljden k till z-transformen z/(z − λ) f¨or heltal k som ¨ar st¨orre ¨an 1. F¨oljandesats hj¨ alper oss med detta. Vi p˚ aminner om att binomialkoefficienterna nk ges av formeln n n(n − 1) · · · (n − k + 1) = . k k! Observera att denna formel ¨ar meningsfull ¨aven f¨or naturliga tal n som ¨ar mindre ¨ an k och att nk = 0 om 0 ≤ n < k. Sats 10.1.5. Antag att a = (an )∞ ar en f¨ oljd i E med z-transform A(z) och 0 ¨ s¨ att n bn = an , k d¨ ar k ¨ ar ett positivt heltal. D˚ a ligger f¨ oljden b = (bn )∞ 0 i E och dess ztransform ¨ ar (−1)k z dk k−1 Z[b](z) = · k z A(z) . k! dz Speciellt ¨ ar allts˚ a Z[(nan )](z) = −zA0 (z). Bevis. Det f¨ oljer av binomialsatsen att nk ≤ (1 + 1)n = 2n , och denna olikhet medf¨ or f¨ orst˚ as att f¨oljden (bn )∞ or E. F¨or att best¨amma f¨oljdens 0 tillh¨ z-transform b¨ orjar vi med att derivera sambandet z k−1 A(z) =
∞ X
an z −(n−k+1)
n=0
k g˚ anger; detta resulterar i formeln ∞
X dk k−1 k z A(z) = (−1) (n − k + 1)(n − k + 2) · · · n an z −(n+1) dz k n=0
Genom att multiplicera b˚ ada sidorna i formeln ovan med (−1)k z och dividera med k! erh˚ alls den s¨ okta formeln ∞ X n (−1)k z dk k−1 an z −n = z A(z) . k k k! dz n=0
Korollarium 10.1.6. F¨ oljden
n k
λn−k
∞ n=0
har z-transform
z . (z − λ)k+1
Bevis. Vi anv¨ ander f¨ oreg˚ aende sats p˚ a f¨oljden (1, 1, 1, . . . ) best˚ aende av idel ettor och som har z-transform z/(z − 1)−1 . Detta ger att (−1)k z dk z k (−1)k z dk z k − 1 1 Z[( nk )](z) = · k = · k + . k! k! z−1 z−1 dz z − 1 dz
10.1 Definition och egenskaper
217
Nu ¨ar
zk − 1 = z k−1 + z k−2 + · · · + z + 1 z−1 ett polynom i z av grad k − 1, s˚ a d¨arf¨or ¨ar k:te derivatan av denna del lika med noll. Det f¨ oljer att (−1)k z dk 1 (−1)k z (−1)k k! Z[( nk )](z) = · k = · k! k! dz z − 1 (z − 1)k+1 z = . (z − 1)k+1 Detta visar korollariet i fallet λ = 1. Det allm¨anna fallet f˚ as ur detta specialfall med hj¨ alp av sats 10.1.3, som ger Z[(
n k
λn )](z) =
λk z z/λ = , (z/λ − 1)k+1 (z − λ)k+1
varur formeln i korollariet f¨ oljer efter division med λk . Vi kan nu avg¨ ora vilka rationella funktioner som ¨ar z-transformer och i princip ocks˚ a best¨ amma motsvarande f¨oljder. Sats 10.1.7. En rationell funktion R(z) = P (z)/Q(z) ¨ ar z-transform till en f¨ oljd i E om och endast om polynomet P (z) har ett gradtal som inte overstiger gradtalet hos polynomet Q(z). ¨ Bevis. Vi vet redan att villkoret p˚ a gradtalen a¨r n¨odv¨andigt − f¨or att bevisa att det ocks˚ a¨ ar tillr¨ ackligt antar vi att P (z) har ett gradtal som h¨ogst ¨ar lika med gradtalet hos Q(z). Vi skriver den rationella funktionen R(z) p˚ a formen P (z) R(z) = z · zQ(z) och faktoriserar polynomet zQ(z): zQ(z) = z m0 (z − λ1 )m1 · · · (z − λk )mk . H¨ar ¨ar 0, λ1 , . . . , λk de komplexa nollst¨allena till polynomet zQ(z), och m0 , m1 , . . . , mk ¨ ar nollst¨ allenas multiplicitet. Eftersom gradtalet hos n¨ amnaren zQ(z) a¨r strikt st¨orre a¨n gradtalet hos t¨aljaren P (z), kan den rationella funktionen P (z)/zQ(z) skrivas som en summa av partialbr˚ ak av typen A1 A2 Am + 2 + · · · + m00 z z z och
B1 B2 Bmi + + ··· + , 2 z − λi (z − λi ) (z − λi )mi d¨ar varje nollst¨ alle λi ger en summa av det sistn¨amnda slaget.
218
10 Z-transformen
Genom att multiplicera tillbaka z ser vi att den rationella funktionen R(z) a ¨r en summa av uttryck av f¨oljande slag: A2 Am 0 + · · · + m0 −1 z z
A1 + och
B2 z Bmi z B1 z + + ··· + . z − λi (z − λi )2 (z − λi )mi
Den f¨ orstn¨ amnda summan ¨ar z-transform till f¨oljden (A1 , A2 , . . . , Am0 , 0, 0, . . . )
(10.1)
medan den andra summan a¨r z-transform till en f¨oljd vars n-te term a¨r n n−1 n n−(mi −1) λi + . . . Bmi (10.2) B1 λni + B2 λ . 1 mi − 1 i P˚ a grund av linearitet a as genom ¨r d¨arf¨or R(z) z-transform till den f¨oljd som f˚ att l¨ agga ihop f¨ oljden (10.1) med alla f¨oljderna (10.2). Exempel 10.1.3. Best¨ am f¨oljden (an )∞ ar 0 om dess z-transform ¨ A(z) =
z 2 + 4z . (z − 3)4
L¨ osning. Vi b¨ orjar med att bryta ut z ur t¨aljaren och partialbr˚ aksuppdelar sedan det resterande br˚ aket: z+4 7 1 z z A(z) = z · = z · + =7· + . 4 4 3 4 (z − 3) (z − 3) (z − 3) (z − 3) (z − 3)3 Det f¨ oljer nu av korollarium 10.1.6 att n n−3 n n−2 an = 7 3 + 3 , 3 2 vilket kan f¨ orenklas till an =
1 (7n3 − 12n2 + 5n) 3n−4 . 2
Exempel 10.1.4. Best¨ am f¨oljden (an )∞ ar 0 om dess z-transform ¨ A(z) =
z2 + 1 . (z − 2)(z 2 − 2z + 5)
L¨ osning. Eftersom det inte finns n˚ agon faktor z att bryta ut ur t¨aljaren b¨ orjar vi med att f¨ orl¨ anga br˚ aket A(z) med z och skriver det p˚ a formen A(z) = z ·
z2 + 1 z(z − 2)(z 2 − 2z + 5)
10.1 Definition och egenskaper
219
med avsikten att f¨ orst partialbr˚ aksuppdela den andra faktorn i ovanst˚ aende uttryck. Polynomet z 2 − 2z + 5 har komplexa nollst¨allena z = 1 ± 2i, s˚ a dess faktorisering ¨ ar (z − 1 − 2i)(z − 1 + 2i). Detta betyder att att vi har en partialbr˚ aksuppdelning av f¨ oljande slag z2 + 1 A B C D = + + + , z(z − 2)(z 2 − 2z + 5) z z − 2 z − 1 − 2i z − 1 + 2i och koefficientbest¨ amning ger 1 A = − 10 ,
B = 12 ,
1 C = − 10 (2 + i),
1 D = − 10 (2 − i) = C.
F¨oljaktligen ¨ ar A(z) = A + B
z z z +C +D , z−2 z − 1 − 2i z − 1 + 2i
och an = A δn + B 2n + C (1 + 2i)n + D (1 − 2i)n , d¨ar δ = (δn )∞ oljden 0 betecknar f¨ ( 1 δn = 0
f¨or n = 0, f¨or o¨vriga n.
F¨oljden (an )∞ a att D(1 − 2i)n = C(1 − 2i)n = ¨r reell beroende p˚ 0 a C(1 + 2i)n , vilket medf¨ or att C(1 + 2i)n + D(1 − 2i)n = 2 Re C(1 + 2i)n , och att s˚ aledes 1 an = − 10 δn + 2n−1 − 15 Re (2 + i)(1 + 2i)n . Vi kommer fram till en alternativ form f¨or an genom att f¨orst skriva de komplexa talen 1 + 2i och 2 + i p˚ a pol¨ar form: √ iα 1 + 2i = 5 e , α = arg(1 + 2i) = arctan 2, √ 1 2 + i = 5 eiβ , β = arg(2 + i) = arctan . 2 Det f¨oljer att √ n √ n+1 i(nα+β) √ e , (2 + i)(1 + 2i)n = 5 eiβ · 5 einα = 5 och att f¨ oljaktligen √ n+1 cos(nα + β) Re (2 + i)(1 + 2i)n = 5 √ n+1 = 5 (cos nα cos β − sin nα sin β) √ n+1 2 1 = 5 ( √ cos nα − √ sin nα) 5 5 √ n = 5 (2 cos nα − sin nα). Detta betyder att 1 δn + 2n−1 − an = − 10
√
5
n−2
(2 cos nα − sin nα).
220
10 Z-transformen
¨ Ovningar 10.1 Best¨ am z-transformen till f¨oljande f¨oljder (an )∞ 0 : a) an = 2−n
b) an = n · 3n
c) an = n2 · 2n
10.2 Best¨ am z-transformen till f¨oljden (an )∞ 0 om a) a2k = (−1)k−1 f¨or k ≥ 1 och an = 0 f¨or ¨ovriga n; b) a2k = (k − 1)(−1)k f¨or k ≥ 1 och an = 0 f¨or ¨ovriga n. ∞ 10.3 Best¨ am z-transformen till f¨oljden 1/(n + 1) 0 . 10.4 Best¨ am f¨ oljden (an )∞ ar 0 om dess z-transform ¨ a)
10.2
z 3z − 2
b)
1 z
c)
3z 3 − 8z 2 + 16z . (z − 2)2 (z + 1)
Translation och differensekvationer
Tv˚ a viktiga operationer p˚ a rummet av alla f¨oljder (an )∞ ar v¨ anstertransla0 ¨ tion L och h¨ ogertranslation R, som definieras p˚ a f¨oljande vis: L(a0 , a1 , a2 , a3 , . . . ) = (a1 , a2 , a3 , a4 , . . . ) R(a0 , a1 , a2 , a3 , . . . ) = (0, a0 , a1 , a2 , . . . ). V¨ anstertranslationen f¨ orskjuter f¨oljden ett steg ˚ at v¨anster varvid f¨orsta elementet a0 faller bort, medan h¨ogertranslationen f¨orskjuter f¨oljden ett steg ˚ at h¨ oger och introducerar en nolla p˚ a den f¨orsta platsen (dvs. platsen med index 0). Om vi s¨ atter a−1 = 0, s˚ a ¨ar tydligen ∞ R(an )∞ 0 = (an−1 )0 ,
och f¨ or att slippa liknande p˚ apekanden i forts¨attningen inf¨or vi nu f¨oljande konvention: F¨ oljder (an )∞ an b¨ orjan bara ¨ ar definierade f¨ or icke-negativa index 0 som fr˚ n, utvidgas till att vara definierade f¨ or alla heltalsindex genom definitionen an = 0 f¨ or alla negativa index n. V¨ anster- och h¨ ogertranslation a¨r uppenbarligen linj¨ara avbildningar p˚ a rummet av alla f¨ oljder. Om a ¨ar en f¨oljd som v¨axer h¨ogst exponentiellt, s˚ a har givetvis ocks˚ a de b˚ ada translaterade f¨oljderna La och Ra samma ∞ egenskap. (Om (an )0 uppfyller tillv¨axtvillkoret |an | ≤ Krn , s˚ a uppfyller de ∞ villkoret med samma r men med K b˚ ada f¨ oljderna (an+1 )∞ och (a ) n−1 0 0 ersatt av Kr resp. K/r.) Detta inneb¨ar att vi kan uppfatta translationerna L och R som operatorer p˚ a vektorrummet E.
10.2 Translation och differensekvationer
221
Genom att upprepa avbildningarna L resp. R flera g˚ anger kan vi translatera flera steg ˚ at v¨ anster resp. h¨ oger: ∞ Lk (an )∞ 0 = (an+k )0
∞ Rk (an )∞ 0 = (an−k )0 .
och
V˚ ar n¨ asta sats beskriver hur z-transformen f¨orh˚ aller sig till translation. Sats 10.2.1. F¨ or alla f¨ oljder a ∈ E ¨ ar Z[Rk a](z) = z −k Z[a](z)
och
Z[Lk a](z) = z k Z[a](z) − a0 z k − a1 z k−1 − a2 z k−2 − · · · − ak−1 z. Bevis. k
Z[R a](z) =
∞ X
an−k z
−n
=
n=0
= z −k
∞ X
an−k z
−n
=z
∞ X
an−k z −(n−k)
n=k
n=k ∞ X
−k
am z −m = z −k Z[a](z).
m=0
Z[Lk a](z) =
∞ X
an+k z −n = z k
n=0
∞ X
an+k z −(n+k) = z k
n=0
= z k Z[a](z) −
k−1 X
∞ X
am z −m
m=k
am z −m .
m=0
Som till¨ ampning p˚ a f¨ oreg˚ aende sats visar vi hur man kan anv¨anda ztransformen f¨ or att l¨ osa linj¨ ara differensekvationer. Exempel 10.2.1. L¨ os differensekvationen an+2 − 5an+1 + 6an = 4, med begynnelsevillkoren a0 = 1 och a1 = 2. L¨ osning. Med hj¨ alp av de givna begynnelsevillkoren kan vi best¨amma talen a2 , a3 , a4 , . . . rekursivt p˚ a ett entydigt s¨att, s˚ a differensekvationen har en entydig l¨ osning a = (an )∞ . L˚ at A(z) beteckna l¨ osningsf¨oljdens z-transform. 0 ∞ De b˚ ada v¨ anstertranslaterade f¨ oljderna (an+1 )∞ a z-trans0 och (an+2 )0 har d˚ 2 2 formerna zA(z) − z resp. z A(z) − z − 2z. Z-transformen till f¨oljden i differensekvationens v¨ ansterled ¨ ar d¨arf¨or p˚ a grund av linearitet lika med z 2 A(z) − z 2 − 2z − 5(zA(z) − z) + 6A(z) = (z 2 − 5z + 6)A(z) − z 2 + 3z medan z-transformen till den konstanta f¨oljden 4 i h¨ogerledet ges av exempel 10.1.1 (med λ = 1) och ¨ ar 4z/(z − 1). F¨oljaktligen ¨ar (z 2 − 5z + 6)A(z) − z 2 + 3z =
4z , z−1
222
10 Z-transformen
vilket leder till att 4z z 3 − 4z 2 + 7z = ; z−1 z−1 z 3 − 4z 2 + 7z z 3 − 4z 2 + 7z A(z) = = . (z − 1)(z 2 − 5z + 6) (z − 1)(z − 2)(z − 3)
(z 2 − 5z + 6)A(z) = z 2 − 3z +
I exempel 10.1.2 fann vi att A(z) a¨r z-transform till f¨oljden an = 2 − 3 · 2n + 2 · 3n , som d¨ arf¨ or ocks˚ a¨ ar differensekvationens l¨osning.
¨ Ovningar 10.5 Best¨ am f¨ oljden (an )∞ 0 om a0 = 2, a1 = 0 och an+2 − 3an+1 + 2an = −1 f¨ or n = 0, 1, 2, . . . . 10.6 Best¨ am f¨ oljden (an )∞ or 0 om a0 = 1, a1 = 3 och an+2 + an = 2n + 4 f¨ n = 0, 1, 2, . . . . 10.7 L¨ os f¨ oljande system av linj¨ara differensekvationer med begynnelsev¨ardena a0 = b0 = 1: an+1 = 2an − bn bn+1 = −6an + bn .
10.3
Faltning
N¨ ar tv˚ a potensserier A(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + . . . och B(t) = b0 + b1 t + b2 t2 + b3 t3 + . . . multipliceras med varandra blir resultatet en ny potensserie C(t) = A(t)B(t) = c0 + c1 t + c2 t2 + c3 t3 + . . . , och koefficienterna i den nya serien ges av att c0 = a0 b0 ,
c1 = a0 b1 + a1 b0 ,
c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ,
och allm¨ ant cn = a0 bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + · · · + an b0 =
n X k=0
ak bn−k .
10.3 Faltning
223
∞ Detta s¨ att att av tv˚ a f¨ oljder a = (an )∞ oljd 0 och b = (bn )0 bilda en ny f¨ ∞ c = (cn )0 kallas faltning och man skriver
c = a ∗ b. Man kan visa att om tv˚ a potensserier A(t) och B(t) ¨ar konvergenta i en cirkelskiva |t| < R, s˚ a ¨ ar s¨ akert ocks˚ a potensserien f¨or deras produkt C(t) = A(t)B(t) konvergent i samma cirkelskiva. Detta inneb¨ar att f¨oljden c = a ∗ b v¨ axer h¨ ogst exponentiellt om de b˚ ada f¨oljderna a och b v¨axer h¨ogst exponentiellt. Eftersom vidare C(1/z) = A(1/z) · B(1/z) och A(1/z), B(1/z) och C(1/z) ¨ ar z-transformerna till de tre f¨oljderna a, b och a ∗ b, har vi kommit fram till f¨ oljande sats: ∞ ar tv˚ Sats 10.3.1. Om a = (an )∞ a f¨ oljder i E, s˚ a ligger 0 och b = (bn )0 ¨ faltningen a ∗ b ocks˚ a i E, och f¨ or de tre f¨ oljdernas z-transformer g¨ aller sambandet Z[a ∗ b](z) = Z[a](z) · Z[b](z).
En faltning a ∗ b kan ocks˚ a skrivas som en linj¨arkombination av h¨ogertranslat till f¨ oljden b. L˚ at som tidigare R beteckna h¨ogertranslationsoperatorn; d˚ aa oljaktligen ¨r bn−k = (Rk b)n och f¨ (a ∗ b)n =
n X
ak (Rk b)n
k=0
f¨or alla index n. Med v˚ ar konvention att (Rk b)n = bn−k = 0 f¨or k > n kan vi skriva denna summa som en o¨ andlig summa (a ∗ b)n =
∞ X
ak (Rk b)n ,
k=0
vilket betyder att a∗b=
∞ X
ak Rk b.
k=0
Observera att det inte finns n˚ agra problem med konvergensen eftersom summan ovan i realiteten ¨ ar ¨ andlig f¨ or varje fixt koordinatindex n.
¨ Ovningar 10.8 Best¨ am f¨ oljden (xn )∞ 0 om n X a) 3−k xn−k = 2n , n = 0, 1, 2, . . . . k=0
b)
xn + 2
n X k=0
(n − k)xk = 2n ,
n = 0, 1, 2, . . . .
224
10 Z-transformen
10.4
Diskreta kausala LTI-system
Diskreta svarta l˚ ador diskuterades redan i inledningskapitlet, men nu kan vi s¨ aga lite mer om dem. Vi b¨orjar med att repetera n˚ agra definitioner. Ett diskret dynamiskt system ¨ar en funktion T som till varje f¨oljd x = (xn )∞ oljd T (x) = y = (yn )∞ 0 associerar en f¨ 0 . Systemet kallas • linj¨ art om T (αx + α0 x0 ) = αT (x) + α0 T (x0 ). f¨ or alla f¨ oljder x och x0 och alla komplexa tal α och α0 ; • tidsinvariant om T (Rk x) = Rk T (x). f¨ or alla f¨ oljder x och alla naturliga tal k; • kausalt om det f¨or alla f¨oljder x och x0 och alla index n g¨aller att xx = x0k f¨ or 0 ≤ k ≤ n medf¨or att T (x)n = T (x0 )n . Ett tidsinvariant system fungerar med andra ord likadant oavsett n¨ar det startas, och i ett kausalt system ¨ar utsignalens v¨arde vid varje tidpunkt oberoende av insignalens framtida v¨arden. Diskreta kausala LTI-system karakteriseras fullst¨andigt av f¨oljande sats. Sats 10.4.1. L˚ at T vara ett diskret kausalt LTI-system och s¨ att a = T (δ), d¨ ar δ ¨ ar f¨ oljden (1, 0, 0, . . . ). D˚ a¨ ar T (x) = a ∗ x f¨ or alla x. Omv¨ ant ¨ ar varje system som ges av en faltning av ovanst˚ aende slag ett kausalt LTI-system. I signalteorisammanhang kallas δ en impuls och a ¨ar impulssvaret. Bevis. Vi ska visa att T (x)n = (a ∗ x)n f¨or alla index n och ber¨aknar d˚ a 0 f¨ orst T (x ) f¨ or f¨ oljden x0 = (x0 , x1 , . . . , xn , 0, 0, 0, . . . ). P˚ a grund av kausaliteten ¨ar n¨amligen T (x)n = T (x0 )n . Eftersom Rδ = (0, 1, 0, 0, . . . ), R2 (δ) = (0, 0, 1, 0, . . . ), osv., kan vi uttrycka f¨ oljden x0 som en summa p˚ a f¨oljande vis: x0 = x0 δ + x1 Rδ + x2 R2 δ + · · · + xn Rn δ. Linearitet och tidsinvarians medf¨or nu att T (x0 ) = x0 T (δ) + x1 T (Rδ) + x2 T (R2 δ) + · · · + xn T (Rn δ) = x0 T (δ) + x1 RT (δ) + x2 R2 T (δ) + · · · + xn Rn (T δ) =
n X k=0
xk Rk a,
10.4 Diskreta kausala LTI-system
225
och f¨or den n:te koordinaten g¨ aller d¨arf¨or att 0
T (x)n = T (x )n =
n X
k
xk (R a)n =
k=0
n X
xk an−k = (x ∗ a)n = (a ∗ x)n .
k=0
D¨armed ¨ ar beviset f¨ or att T (x) = a ∗ x klart. Omv¨ andningen, dvs. att faltning ¨ar en linj¨ar, tidsinvariant och kausal operation l¨ amnas som ¨ ovning ˚ at l¨ asaren. F¨or diskreta kausala LTI-system har vi f¨oljande karakterisering av BIBOstabilitet. P Sats 10.4.2. Systemet T x = a ∗ x ¨ ar stabilt om och endast om n |an | < ∞. Bevis. F¨ or godtyckliga f¨ oljder z = (zn )∞ or vi beteckningarna n=0 inf¨ kzk∞ = sup |zn | och
kzk1 =
n≥0
∞ X
|zn |.
n=0
F¨or y = T x = a ∗ x g¨ aller d˚ a speciellt olikheten n n n X X X |ak | kxk∞ ≤ kak1 kxk∞ |ak ||xn−k | ≤ ak xn−k ≤ |yn | = k=0
k=0
k=0
som inneb¨ ar att ka ∗ xk∞ ≤ kak1 kxk∞ . Om kak1 < ∞ och insignalen x ¨ar en begr¨ansad f¨oljd (med kxk∞ = C) s˚ a a en begr¨ansad f¨oljd (med kyk∞ ≤ Ckak1 ). ¨ar f¨oljaktligen utsignalen y ocks˚ Detta visar att kak1 < ∞ medf¨ or BIBO-stabilitet. Antag omv¨ ant att kak1 = ∞. Vi ska visa att detta medf¨or BIBOinstabilitet genom att konstruera en begr¨ansad insignal x med obegr¨ansad utsignal y. Om kak∞ = ∞, dvs. om f¨ oljden a = (an )∞ ar obegr¨ansad, s˚ a ger n=0 ¨ insignalen δ en obegr¨ ansad utsignal, eftersom P T δ = a ∗ δ = a. S˚ a antag forts¨ attningsvis att kak1 = ∞ k=0 |ak | = ∞ och kak∞ < ∞. Eftersom serien ¨ ar divergent kan vi induktivt v¨alja en v¨axande f¨oljd (np )∞ p=0 av naturliga tal med n0 = 0 och som uppfyller olikheten np −np−1 −1
X
|ak | ≥ p + np−1 kak∞
k=0
f¨or p ≥ 1. Vi definierar nu v˚ ar insignal x = (xk )∞ atta x0 = 0 och k=0 genom att s¨ sedan v¨ alja ¨ ovriga tal xk s˚ a att deras absolutbelopp ¨ar lika med 1 och xk anp −k = |anp −k | f¨or np−1 < k ≤ np .
226
10 Z-transformen
F¨ oljden x ¨ ar givetvis begr¨ansad, men f¨or utsignalen y = a ∗ x g¨aller att np X |ynp | = anp −k xk = k=0
=
X
anp −k xk
k=0
X X |anp −k | + anp −k xk k=1 np−1
np
X
|anp −k | −
k=np−1 +1
=
np−1
anp −k xk +
k=np−1 +1 np−1
np
k=np−1 +1
≥
np X
X
|anp −k xk |
k=1
np −np−1 −1
np−1
np −np−1 −1
np−1
X
X
X
X
k=0
|ak | −
|anp −k | ≥
k=1
k=0
|ak | −
kak∞
k=1
≥ p + np−1 kak∞ − np−1 kak∞ = p. Eftersom detta g¨ aller f¨or alla naturliga tal p ≥ 1 ¨ar f¨oljden y obegr¨ansad, och d¨ armed ¨ ar beviset klart. ∞ Exempel 10.4.1. Ett system med impulssvaret (n + 1)−2 n=0 ¨ar stabilt, ∞ och ett system med impulssvaret (n + 1)−1 n=0 ¨ar instabilt. Vi f¨ oruts¨ atter forts¨ attningsvis att impulssvar och insignaler i v˚ ara diskreta kausala LTI-system a¨r h¨ogst exponentiellt v¨axande. Z-transformen ∞ X A(z) = an z −n n=0
till ett systems impulssvar a kallas systemets ¨ overf¨ oringsfunktion. Det f¨oljer av satserna 10.3.1 och 10.4.1 att sambandet mellan insignalens z-transform X(z) och utsignalens z-transform Y (z) ges av ekvationen Y (z) = A(z)X(z). L˚ at nu ρa beteckna det entydigt best¨amda tal f¨or vilket z-transformen A(z) ¨ ar konvergent i omr˚ adet |z| > ρa och divergent i omr˚ adet |z| < ρa . N¨ asta sats beskriver ett systems stabilitetsegenskaper i termer av konvergensradien ρa . Sats 10.4.3. Ett diskret kausalt LTI-system med ¨ overf¨ oringsfunktion A(z) ar ¨ (a) BIBO-stabilt om ρa < 1; (b) BIBO-instabilt om ρa > 1, eller om ρa = 1 och ¨ overf¨ oringsfunktionen ¨ ar diskontinuerlig i n˚ agon punkt p˚ a randen |z| = 1 av konvergensomr˚ adet. P∞ Bevis. (a) Antag att systemet ¨ar instabilt. D˚ a ¨ar n=0 |an | = +∞ vilket medf¨ or att att serien A(z) ¨ar divergent f¨or alla komplexa tal z med |z| < 1
10.4 Diskreta kausala LTI-system
227
och att f¨ oljaktligen ρa ≥ 1. Villkoret ρa < 1 medf¨or s˚ aledes att systemet ¨ar stabilt. P∞ a ¨ar serien A(z) (b) Om systemet ¨ ar stabilt, dvs. om n=0 |an | < ∞, s˚ absolutkonvergent f¨ or |z| ≥ 1, vilket betyder att ρa ≤ 1. Dessutom ¨ar ztransformen A(z) s¨ akert kontinuerlig f¨or |z| ≥ 1. Om ρa > 1 eller om ρa = 1 och funktionen A(z) ¨ ar diskontinuerlig i n˚ agon punkt p˚ a cirkeln |z| = 1, m˚ aste f¨ oljaktligen systemet vara instabilt. F¨or diskreta kausala LTI-system med rationella ¨overf¨oringsfunktioner har vi f¨ oljande korollarium till sats 10.4.3. Korollarium 10.4.4. Ett diskret kausalt LTI-system med rationell ¨ overf¨ oringsfunktion A(z) ¨ ar BIBO-stabilt om och endast om alla polerna till ¨ overf¨ oringsfunktionen ligger strikt innanf¨ or cirkeln |z| = 1. Bevis. L˚ at ρ vara beloppet hos den av ¨overf¨oringsfunktionens poler som har st¨orst belopp. D˚ a existerar ¨ overf¨ oringsfunktionen A(z) f¨or alla z med |z| > ρ men inte f¨ or alla z med |z| = ρ, vilket betyder att konvergensradien ρa = ρ. I en pol z0 till A(z) ¨ ar vidare limz→z0 |A(z)| = +∞, vilket speciellt inneb¨ar att funktionen A(z) har en diskontinuitetspunkt p˚ a cirkeln |z| = ρa . Om alla polerna ligger innanf¨or enhetscirkeln ¨ar f¨oljaktligen ρa < 1. Om det d¨ aremot finns en pol p˚ a eller utanf¨or enhetscirkeln s˚ a ¨ar ρa ≥ 1, och i fallet ρa = 1 har ¨ overf¨ oringsfunktionen en diskontinuitetspunkt p˚ a enhetscirkeln. P˚ ast˚ aendet i korollariet f¨oljer d¨arf¨or av sats 10.4.3. Exempel 10.4.2. Ett system med A(z) = (z 2 +1)−1 som ¨overf¨oringsfunktion a enhetscirkeln. Systemets impuls¨ar instabilt eftersom polerna ±i ligger p˚ ∞ svar a = (an )0 f˚ as genom inverstransformering och ges av att a2k = (−1)k−1 f¨or k ≥ 1 och an = 0 f¨ or alla ¨ ovriga n. Observera att f¨oljden a ¨ar begr¨ansad. Med x = a som begr¨ ansad insignal f˚ as en utsignal y som har z-transformen 1 Y (z) = A(z)X(z) = 2 . (z + 1)2 Denna utsignalen ¨ ar obegr¨ ansad, ty genom inverstransformering erh˚ alls y2k = (k − 1)(−1)k
f¨or k ≥ 1
medan yn = 0 f¨ or alla ¨ ovriga n. (J¨amf¨or ¨ovning 10.2.)
¨ Ovningar 10.9 Visa att faltning ¨ ar en tidsinvariant operation genom att visa att Rk (a ∗ x) = a ∗ Rk x f¨ or alla naturliga tal k.
228
10 Z-transformen
10.10 I ett diskret kausalt LTI-system ges impulssvaret av f¨oljden (sin 2π n)∞ 0 . ¨ Best¨ am utsignalen y till insignalen x = (cos 2π n)∞ . Ar systemet sta0 bilt? ∞ 1 ¨ ett diskret LTI-system med impulssvar stabilt? 10.11 Ar (n + 1)(n + 2) 0 Best¨ am ocks˚ a¨ overf¨oringsfunktionen.
Historiska notiser En talf¨ oljds z-transform inneh˚ aller samma information som f¨oljdens genererande funktion, dvs. som potensserien med den betraktade talf¨oljden som koefficienter, och genererande funktioner introducerades 1730 av Abraham de Moivre (1667– 1754) som en metod f¨ or att l¨osa linj¨ara rekursionsproblem. Pierre-Simon de Laplace anv¨ ande z-transformen i sannolikhetsteoretiska arbeten. Sitt namn fick z-transformen 1952 d˚ a den blivit popul¨ar som transformationsmetod inom diskret signalbehandling och diskret kontrollteori.
Kapitel 11
Diskreta fouriertransformen Den diskreta fouriertransformen anv¨ands i praktiska till¨ampningar f¨or att analysera funktioner som genom sampling bara ¨ar k¨anda i ¨andligt m˚ anga punkter. Transformen omvandlar listan av funktionsv¨arden till en lista av koefficienter till komplexa sinusoider som ¨ar ordnade efter sina frekvenser. I till¨ampningar s˚ asom signal- och bildbehandling transformeras d¨arigenom den samplade funktionen fr˚ an tids- resp. rumsdom¨anen till frekvensdom¨anen. Eftersom det handlar om ¨ andliga datam¨angder kan den diskreta fouriertransformen implementeras i datorer med numeriska algoritmer eller direkt i h˚ ardvaran. Dessa implementeringar anv¨ander algoritmer som g˚ ar under namnet den snabba fouriertransformen.
11.1
Cykliska gruppen ZN
Vektorrummet Cn av alla n-tipler (z1 , z2 , . . . , zn ) kan identifieras med vektorrummet av alla funktioner z : {1, 2, . . . , n} → C. Vilken indexm¨angd som anv¨ands a orst˚ as ov¨ asentligt s˚ a l¨ange som den inneh˚ aller n stycken ele¨r f¨ ment; vi kan ers¨ atta {1, 2, . . . , n} med vilken annan m¨angd som helst med n stycken element. Genom att f¨ orse indexm¨ angden med en gruppstruktur kan man konstruera baser f¨ or vektorrummet Cn med speciella egenskaper. I det h¨ar kapitlet skall vi studera fourierbasen och den d¨armed associerade diskreta fouriertransformen. Andra exempel p˚ a baser ¨ar de s. k. waveletbaserna, som numera utg¨or oumb¨ arliga verktyg inom signal- och bildbehandling. F¨or att f¨ orenkla framtida beteckningar kommer vi fr˚ an och med nu att byta index n mot N samt ¨ overg˚ a till att anv¨anda {0, 1, 2, . . . , N − 1} som indexm¨ angd f¨ or CN . Vi indicerar med andra ord elementen i CN s˚ a h¨ar: z = (z0 , z1 , . . . , zN −1 ). Som gruppoperation p˚ a v˚ ar indexm¨angd anv¨ander vi addition modulo N , och den resulterande gruppen betecknas ZN . 229
230
11 Diskreta fouriertransformen
Definition. Med ZN menas m¨angden {0, 1, 2, . . . , N − 1} f¨orsedd med f¨oljande addition m + n f¨ or m, n ∈ ZN : ( m+n om m + n ≤ N − 1 m+n= m + n − N om m + n ≥ N . Plustecknet + f¨ orekommer h¨ar i tv˚ a betydelser; i v¨ansterledet st˚ ar det f¨or den definierade additionen, och p˚ a alla st¨allen i h¨ogerledet efter klammern har det sin vanliga betydelse av addition av naturliga tal. I Z3 ¨ ar exempelvis 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 2 + 1 = 0 och 2 + 2 = 1. Varje element n i ZN har en additiv invers −n; den definieras av att ( 0 om n = 0 −n = N − n om 0 < n ≤ N − 1. (Ocks˚ a minustecknet anv¨ands f¨orst˚ as h¨ar i tv˚ a betydelser!) ar ar en kommutativ grupp, dvs. f¨ or alla k, m, n ∈ ZN ¨ Sats 11.1.1. ZN ¨ m+n=n+m k + (m + n) = (k + m) + n n+0=n n + (−n) = 0 Bevis. Enkel verifikation.
Rummet `2 (ZN ) Vektorrummet CN identifieras i forts¨attningen med vektorrummet av alla funktioner f : ZN → C. Genom att f¨orse CN med den vanliga inre produkten hf, gi =
N −1 X
f (n)g(n)
n=0
f˚ ar vi ett inre produktrum, som betecknas `2 (ZN ). Motsvarande norm betecknas k · k2 , dvs. N −1 X 2 kf k2 = hf, f i = |f (n)|2 . n=0
`2 (Z
Rummet ar N -dimensionellt. Funktionerna e0 , e1 , . . . , eN −1 , N) ¨ som definieras av att ( 1 om n = k ek (n) = 0 f¨or ¨ovrigt,
11.1 Cykliska gruppen ZN
231
bildar en ON-bas, som vi kallar standardbasen i `2 (ZN ). Det ¨ ar l¨ ampligt att uppfatta index k i ek som ett element i ZN . F¨or N =5¨ ar exempelvis e2+3 = e0 och e3+3 = e1 . Rummet `2 (ZN ) kan ocks˚ a uppfattas som rummet av alla N -periodiska funktioner definierade p˚ a hela Z. Varje funktion f ∈ `2 (ZN ) kan n¨amligen p˚ a ett unikt s¨ att utvidgas till en N -periodisk funktion F : Z → C, s˚ a att F (n) = f (n) f¨ or n = 0, 1, . . . , N − 1. Det ¨ar bara att definiera F (n + kN ) = f (n)
f¨or 0 ≤ n ≤ N − 1 och k ∈ Z.
Translationsoperatorerna Rk Definition. F¨ or f ∈ `2 (ZN ) och k ∈ ZN definierar vi funktionen Rk f genom att s¨atta Rk f (n) = f (n − k). Vi kallar Rk f f¨ or ett translat av f och avbildningarna Rk : `2 (ZN ) → `2 (ZN ) f¨or translationer eller translationsoperatorer. Translationsoperatorerna ¨ ar uppenbarligen linj¨ ara operatorer. Observera att R0 = I, den identiska avbildningen, och att Rk Rm = Rk+m f¨or alla k, m ∈ ZN . Vidare g¨ aller f¨ or potenser av R1 att R1k = Rk f¨or k = 0, 1, . . . , N N − 1, medan R1 = R0 = I. Operatorerna Rk kallas translationer d¨arf¨or att de translaterar eller skjuter funktionsv¨ ardena k steg ˚ at h¨ oger cykliskt. Exempelvis ¨ar R1 f (0), R1 f (1), R1 f (2), . . . , R1 f (N − 1) = f (N − 1), f (0), f (1), . . . , f (N − 2) . Exempel 11.1.1. F¨ or standardbasvektorerna i `2 (ZN ) g¨aller att Rk e0 = ek , och mer generellt att Rk en = en+k .
Summor F¨or funktioner f ∈ `2 (ZN ) kommer vi ofta att ha anledning att betrakta summor av typen X f (n), n∈ZN
d¨ar vi summerar o ¨ver alla funktionsv¨ardena f (n), n = 0, 1, . . . , N − 1. P Vi kan f¨ orst˚ as uppfatta summationen ZN som en avbildning, som till varje funktion f ∈ `2 (ZN ) tillordnar ett komplext tal. Det som ¨ar v¨asentligt
232
11 Diskreta fouriertransformen
f¨ or denna avbildning, och som vi kommer att utnytta om och om igen, ¨ar att den a ar, dvs. ¨r linj¨ X X X αf (n) + βg(n) = α f (n) + β g(n), n∈ZN
n∈ZN
n∈ZN
och translationsinvariant, dvs. X X Rk f (n) = f (n) n∈ZN
n∈ZN
f¨ or alla k ∈ ZN . Den sista likheten a¨r f¨orst˚ as bara ett s¨att att uttrycka att N −1 X
f (n − k) =
n=0
N −1 X
f (n),
n=0
n˚ agot som ¨ ar fullst¨ andigt sj¨alvklart eftersom vi i b˚ ada fallen summerar samtliga N funktionsv¨ arden f (0), f (1), . . . , f (N − 1).
11.2
Karakt¨ arerna till gruppen ZN
Definition. En funktion χ : ZN → {z ∈ C | |z| = 1} kallas en karakt¨ ar till gruppen ZN om χ(m + n) = χ(m) · χ(n)
(11.1) f¨ or alla m, n ∈ ZN .
Egenskapen (11.1) kallas multiplikativitet. Sats 11.2.1. Karakt¨ arerna ¨ ar funktioner i `2 (ZN ) med f¨ oljande egenskaper: (i) (ii) (iii) (iv)
χ(0) = 1 χ(−n) = χ(n) χ(n) = χ(1)n χ(1)N = 1
Bevis. (i) Av likheten χ(0) = χ(0 + 0) = χ(0)2 f¨oljer att χ(0) = 1, eftersom χ(0) 6= 0. (ii) P˚ a grund av (i) och multiplikativiteten ¨ar 1 = χ(0) = χ(n − n) = χ(n) · χ(−n). Eftersom |χ(n)| = 1 f¨ oljer det nu att χ(−n) = 1/χ(n) = χ(n)/|χ(n)|2 = χ(n).
11.2 Karakt¨ arerna till gruppen ZN
233
(iii) bevisas med induktion, d¨ ar induktionssteget a¨r χ(m) = χ(m − 1) · χ(1). (iv) P˚ a grund av (i), multiplikativitet och (iii) ¨ar 1 = χ(0) = χ(N − 1)χ(1) = χ(1)N −1 · χ(1) = χ(1)N . Vi kan nu best¨ amma samtliga karakt¨arer till ZN . Sats 11.2.2. Det finns N karakt¨ arer χ0 , χ1 , . . . , χN −1 till ZN och de har formen χk (n) = e2πikn/N . Det g¨ aller vidare att f¨ or alla n ∈ ZN ,
(i)
χ0 (n) = 1
(ii)
χk (n) · χm (n) = χk+m (n)
(iii)
χ−k (n) = χk (n)
f¨ or alla k, m, n ∈ ZN
f¨ or alla k, n ∈ ZN .
Bevis. L˚ at χ vara en karakt¨ ar och s¨att c = χ(1). Enligt (iv) i sats 11.2.1 a¨r N c = 1, dvs. c ¨ ar en rot till ekvationen z n = 1. Det f¨oljer att c = e2πik/N f¨or n˚ agot tal k = 0, 1, . . . , N − 1. Enligt sats 11.2.1 (iii) ¨ar vidare χ(n) = cn = e2πikn/N . Omv¨ ant, f¨ or varje k ∈ ZN f˚ ar vi en karakt¨ar χk genom att definiera χk (n) = e2πikn/N . Det f¨oljer att karakt¨ arerna ¨ ar N till antalet, att de har den form som anges i satsen, och att (i), (ii) och (iii) g¨aller. Anm¨ arkning. Antag att χ och η ¨ar tv˚ a karakt¨arer. Att produkten χη och funktionen χ (= 1/χ) a r karakt¨ a rer f¨ o ljer direkt ur karakt¨arsdefinitionen. ¨ Likas˚ a ¨ ar f¨ orst˚ as den konstanta funktionen 1 : n 7→ 1 en karakt¨ar. Detta inneb¨ar att m¨ angden av karakt¨ arer bildar en kommutativ grupp under multiplikation. Sats 11.2.2 visar att vi kan uppfatta denna grupp av karakt¨arer som identisk (isomorf) med ZN via avbildningen k 7→ χk . Egenskap (ii) i sats 11.2.2 inneb¨ar vidare att f¨or varje fixt n a¨r avbildningen ZN → C, k 7→ χk (n) en karakt¨ ar p˚ a ZN , och det explicita uttryck f¨or karakt¨aren som vi h¨arlett visar att χk (n) = χn (k). Lemma 11.2.3. F¨ or karakt¨ arerna χk till ZN g¨ aller att ( X N om k = 0, χk (n) = 0 om 1 ≤ k ≤ N − 1. n∈Z N
234
11 Diskreta fouriertransformen
Ett elegant s¨ att att uttrycka denna relation a¨r att skriva X χk (n) = N e0 (k). n∈ZN
Bevis. F¨ or fixt k bildar talen χk (n) = e2πikn/N en geometrisk f¨oljd, varf¨or det ¨ ar l¨ att att verfiera resultatet genom att anv¨anda formeln f¨or summan av en geometrisk f¨ oljd. L˚ at oss emellertid visa att resultatet ¨ar en konsekvens av karakt¨ arsdefinitionen och av att operationen summation ¨ar translationsinvariant. F¨ or k = 0 ¨ ar χ0 (n) = 1 f¨or alla n, och det f¨oljer f¨orst˚ as att X
χ0 (n) =
N −1 X
1 = N.
n=0
n∈ZN
Antag d¨ arf¨ or att k 6= 0. Vi har R1 χk (n) = χk (n − 1) = χk (n)χk (−1) = χk (1)χk (n), eller kortare uttryck: R1 χk = χk (1)χk . Genom att utnyttja translationsinvarians f˚ ar vi d¨ arf¨ or X X X X χk (n) = R1 χk (n) = χk (1)χk (n) = χk (1) χk (n). n∈ZN
n∈ZN
n∈ZN
n∈ZN
Av likheten mellan ytterleden f¨oljer det nu, eftersom χk (1) = e−2πik/N 6= 1, P att summan n∈ZN χk (n) = 0. Sats 11.2.4. Karakt¨ arerna χ0 , χ1 , . . . , χN −1 bildar en ortogonal bas f¨ or 2 rummet ` (ZN ). Mera precist ¨ ar ( N hχk , χm i = 0
om k = m, om k = 6 m.
Bevis. Definitionen av inre produkt ger hχk , χm i =
X n∈ZN
χk (n)χm (n) =
X
χk (n)χ−m (n) =
n∈ZN
X
χk−m (n).
n∈ZN
Satsen f¨ oljer d¨ arf¨ or av f¨ oreg˚ aende lemma. √ Av sats 11.2.4 f¨ oljer speciellt √ att kχk k2 = N f¨or alla k. Genom att ar vi s˚ aledes en ON-bas som vi kallar dividera alla karakt¨ arerna med N f˚ 2 fourierbasen i ` (ZN ).
11.3 Den diskreta fouriertransformen
11.3
235
Den diskreta fouriertransformen
Eftersom karakt¨ arerna χ0 , χ1 , . . . , χN −1 bildar en ortogonal bas f¨or `2 (ZN ) har varje funktion f ∈ `2 (ZN ) en utveckling av typen (11.2)
N −1 X
f=
an χn .
n=0
Koordinaterna an i denna utveckling kan uttryckas med hj¨alp av inre produkter; n¨ armare best¨ amt ¨ ar hf, χn i = an kχn k22 . Eftersom kχn k22 = N , blir an =
1 hf, χn i. N
Detta ¨ ar motivet till f¨ oljande definition. Definition. F¨ or f ∈ `2 (ZN ) och n ∈ ZN s¨atter vi X
fˆ(n) = hf, χn i =
f (k) χn (k) =
k∈ZN
N −1 X
f (k) e−2πink/N .
k=0
D¨arigenom definieras en funktion fˆ p˚ a ZN som kallas (den diskreta) fouriertransformen av f . Vi anv¨ ander ocks˚ a ordet fouriertransform som namn p˚ a den avbildning F : `2 (ZN ) → `2 (ZN ) som definieras av att Ff = fˆ. Definitionen av fˆ(n) inneb¨ ar att ekvation (11.2) nu kan skrivas (11.3)
f=
1 X ˆ f (n)χn . N n∈ZN
Eftersom χn (k) = χk (n), kan vi vidare skriva definitionen av fˆ(n) p˚ a formen X X fˆ(n) = f (k)χk (n) = f (k)χ−k (n), k∈ZN
k∈ZN
vilket inneb¨ ar att (11.4)
Ff = fˆ =
X
f (k)χ−k .
k∈ZN
Detta uttrycker Ff som en linj¨ arkombination av karakt¨arerna, och f¨oljande sats ¨ar nu en omedelbar konsekvens av detta.
236
11 Diskreta fouriertransformen
Sats 11.3.1. Fouriertransformen F : `2 (ZN ) → `2 (ZN ) ¨ ar en linj¨ ar inverterbar operator. Bevis. Lineariteten, dvs. F(αf + βg) = αFf + βFg f¨ oljer f¨ orst˚ as av att summation a¨r en linj¨ar operation. Av formel (11.4) f¨oljer vidare att F(ek ) = χ−k , s˚ a fouriertransformering avbildar funktionerna i en bas, n¨ amligen standardbasen, bijektivt p˚ a funktionerna i en annan bas, n¨ amligen karakt¨ arerna (i omv¨and ordning), och en linj¨ar operator med denna egenskap ¨ ar inverterbar. F¨ or att beskriva inversen till fouriertransformering inf¨or vi nu f¨oljande f¨ oljeslagare till F. Definition. Den linj¨ ara operatorn Fˇ : `2 (ZN ) → `2 (ZN ) definieras av att X ˇ = 1 Ff f (k)χk . N k∈ZN
Sats 11.3.2 (Inversionssatsen). Operatorn Fˇ ¨ ar invers till F, dvs. ˇ F −1 = F. Vi kallar d¨ arf¨ or Fˇ f¨ or den inversa fouriertransformen p˚ a `2 (ZN ). Bevis. Med hj¨ alp av definitionen av Fˇ och formel (11.3) f˚ as X ˇ ˇ fˆ) = 1 fˆ(n)χn = f, F(Ff ) = F( N n∈ZN
ˇ = I, identitetsoperatorn. Operatorn Fˇ a¨r s˚ vilket inneb¨ ar att FF aledes invers till fouriertransformen F. H¨ ar f¨ oljer ytterligare notation som f¨orenklar skrivandet av en del formler. Definition. F¨ or f ∈ `2 (ZN ) definierar vi funktionerna fˇ och f˜ genom att s¨ atta fˇ(n) = f (−n) och f˜(n) = f (−n) f¨ or alla n ∈ ZN . ˇ ) = 1 F(fˇ) och F(f˜) = F(f ). Sats 11.3.3. F(f N
11.3 Den diskreta fouriertransformen
237
Bevis. Genom att kombinera definitionen av Fˇ med formel (11.4) erh˚ alls X 1 X 1 X ˇ 1 ˇ = 1 Ff f (k)χk = f (−k)χ−k = f (k)χ−k = F(fˇ), N N N N k∈ZN k∈ZN k∈ZN X X X F(f˜) = f (−k)χ−k = f (−k)χk = f (k)χ−k = F(f ). k∈ZN
k∈ZN
k∈ZN
Exempel 11.3.1. Som redan noterats i beviset f¨or sats 11.3.1 a¨r F(ek ) = χ−k = χ ˇk . Med hj¨ alp av sats 11.3.3 f˚ as d¨ arf¨ or 1 1 ˇ k = F( ˇ χ ek = FFe ˇk ) = F(χ ˇk ) = F(χk ). N N S˚ aledes ¨ ar F(χk ) = N ek . Till varje linj¨ ar operator p˚ a ett ¨andligtdimensionellt rum med given bas h¨or en unik matris − fouriertransformens matris med avseende p˚ a standardbasen ges av f¨ oljande sats. Sats 11.3.4. Med avseende p˚ a standardbasen f¨ or `2 (ZN ) har fouriertransformen F matrisen 1 1 1 1 ... 1 N −1 2 3 1 ωN ωN ωN ... ωN 2(N −1) 2 4 6 1 ω ω ω . . . ω N N N N nk 3(N −1) 9 6 WN = ωN 0≤n,k≤N −1 = 1 ω 3 ... ωN ωN ωN N .. .. .. .. .. . . . . . 2(N −1) 3(N −1) (N −1)(N −1) N −1 ωN ωN . . . ωN 1 ωN d¨ ar ωN = e−2πi/N . Observera att matrisen WN ¨ ar symmetrisk. nk , kan definitionen av fˆ(n) skrivas Bevis. Eftersom χn (k) = e−2πink/N = ωN p˚ a formen N −1 X nk fˆ(n) = ωN f (k). k=0
Om vi nu uppfattar
f (0) f (1) .. .
f = f (N − 1)
och
fˆ =
fˆ(0) fˆ(1) .. .
fˆ(N − 1)
238
11 Diskreta fouriertransformen
som kolonnmatriser, ¨ ar med andra ord fˆ(n) lika med produkten av den n:te raden i matrisen WN och kolonnmatrisen f . Detta inneb¨ar att kolonnmatrisen fˆ ¨ ar lika med produkten av matriserna WN och f . Fouriertransformen kan s˚ aledes ber¨aknas som matrisprodukten fˆ = WN f, a stanoch detta betyder WN ¨ar matrisen till operatorn F med avseende p˚ dardbasen i `2 (ZN ). a att operatorn F ¨ar inverterbar, Matrisen WN a ¨r inverterbar, beroende p˚ ˇ Nu ¨ar och inversen WN−1 ¨ ar matris till den inversa operatorn F −1 (= F). N −1 N −1 1 X 1 X nk ˇ Ff (n) = f (k)χk (n) = ωN f (k), N N k=0
k=0
och h¨ arav f¨ oljer att operatorn Fˇ har matrisen 1 nk 1 WN = ωN 0≤n,k≤N −1 . N N F¨ oljaktligen a ¨r 1 WN−1 = WN . N Exempel 11.3.2. Matriserna WN har f¨or N = 2, 3 och 4 f¨oljande utseenden: 1 1 1 1 1 1√ 1√ 1 −i −1 1 1 i −1+i 3 3 . W2 = , W3 = 1 −1−i , W4 = 2 2 √ √ 1 −1 1 −1 1 −1 −1+i 3 −1−i 3 1 2 2 1 i −1 −i
Exempel 11.3.3. Fouriertransformen till funktionen f = (1, 2, 3, 4) ∈ `2 (Z4 ) ges av matrisprodukten 1 1 1 1 1 10 1 −i −1 i 2 = −2 + 2i W4 f = 1 −1 1 −1 3 −2 1 i −1 −i 4 −2 − 2i med slutsatsen att fˆ = (10, −2 + 2i, −2, −2 − 2i). Den inversa fouriertransformen Fˇ fˆ till fˆ erh˚ alls som resultat av matrismultiplikationen 1 1 1 1 10 1 1 1 1 i −1 −i −2 + 2i 2 W4 fˆ = = , 1 −1 −2 3 4 4 1 −1 1 −i −1 i −2 − 2i 4 vilket verifierar inversionssatsen enligt vilken Fˇ fˆ = f .
11.3 Den diskreta fouriertransformen
239
Vi forts¨ atter nu med tv˚ a r¨ akneregler som visar hur fouriertransformen a¨ndras d˚ a en funktion translateras och multipliceras med karakt¨arer. Sats 11.3.5. Antag att f ∈ `2 (ZN ) och m ∈ ZN . D˚ a¨ ar (i)
F(Rm f ) = χm Ff
(ii)
F(χm f ) = Rm (Ff ).
Bevis. (i) f¨ oljer av f¨ oljande r¨ akning: F(Rm f )(n) =
X
Rm f (k)χn (k) =
k∈ZN
X
f (k − m)χn (k − m) χn (m)
k∈ZN
X
= χn (m)
f (k − m)χn (k − m)
k∈ZN
= χm (n)
X
f (k)χn (k) = χm (n) fˆ(n) = χm Ff (n).
k∈ZN
Beviset bygger som synes p˚ a att karakt¨arer ¨ar multiplikativa och att summan P ar translationsinvariant. ZN ¨ (ii) f¨oljer av f¨ oljande kalkyl: χd m f (n) =
X
f (k)χm (k)χn (k) =
X
f (k)χn−m (k)
k∈ZN
k∈ZN
= fˆ(n − m) = Rm fˆ(n). Vi avslutar det h¨ ar avsnittet med tv˚ a mycket viktiga identiteter som f¨oljer ur ekvation (11.3) och det faktum att fourierbasen ¨ar ortogonal. Sats 11.3.6. F¨ or f och g ∈ `2 (ZN ) g¨ aller f¨ oljande Parsevalrelationer: 1 ˆ 1 X ˆ hf , gˆi = f (n) gˆ(n) N N n∈ZN 1 1 X ˆ kf k22 = kfˆk22 = |f (n)|2 . N N
hf, gi =
(i) (ii)
n∈ZN
Bevis. Av (11.3) och motsvarande formel f¨or g f˚ ar vi hf, gi =
1 X ˆ 1 X ˆ 2 g ˆ (n) kχ k = f (n) gˆ(n), f (n) n 2 N2 N n∈ZN
n∈ZN
eftersom kχn k22 = N . Detta bevisar (i), och (ii) ¨ar f¨orst˚ as ett specialfall av (i).
240
11 Diskreta fouriertransformen
Exempel 11.3.4. I exempel 11.3.3 ber¨aknade vi fouriertransformen till f¨oljden f = (1, 2, 3, 4) ∈ `2 (Z4 ) och fann att fˆ = (10, −2 + 2i, −2, −2 − 2i). F¨or dessa tv˚ a f¨ oljder ¨ ar kf k22 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30 och kfˆk22 = 102 + | − 2 + 2i|2 + | − 2|2 + | − 2 − 2i|2 = 120, s˚ a kf k22 = 41 kfˆk22 , vilket verifierar Parsevals relation.
¨ Ovningar 11.1 Ber¨ akna fˆ n¨ ar a) f = (1, 2, 3, 4) ∈ `2 (Z4 ) b) f = (1, i, 2 + i, −3) ∈ `2 (Z4 ) c) f = (1, 2, 3, 4, 5, 6) ∈ `2 (Z6 ) 11.2 Visa att fouriertransformen fˆ ¨ar reell om och endast om f (k) = f (−k) f¨ or alla k.
11.4
Faltning och translationsinvarianta operatorer
Definition. F¨ or f , g ∈ `2 (ZN ) definieras faltningen f ∗ g ∈ `2 (ZN ) av att X X (f ∗ g)(n) = f (k)g(n − k) = f (k)Rk g(n), k∈ZN
k∈ZN
dvs. f ∗g =
X
f (k)Rk g.
k∈ZN
Faltningen f ∗ g ¨ ar med andra ord en viktad summa av translat Rk g, d¨ar vikterna ¨ ar f (k). Exempel 11.4.1. Vi ber¨aknar faltningen f ∗ χm mellan en godtycklig funktion och en karakt¨ ar: X X (f ∗ χm )(n) = f (k)χm (n − k) = f (k)χm (n)χm (−k) k∈ZN
= χm (n)
k∈ZN
X
f (k)χm (k) = χm (n)fˆ(m).
k∈ZN
Allts˚ a¨ ar f ∗ χm = fˆ(m)χm .
11.4 Faltning och translationsinvarianta operatorer
241
Faltning ¨ ar en ganska komplicerad operation. En av finesserna med fouriertransformen a or faltning till multiplikation av funktioner. ¨r att den o ¨verf¨ Vi har n¨ amligen f¨ oljande resultat. Sats 11.4.1. F¨ or f , g ∈ `2 (ZN ) ¨ ar F(f ∗ g) = Ff · Fg. Bevis. Genom att utnyttja linearitet och att F(Rk g) = χk Fg erh˚ alls: X X X F(f ∗ g) = F f (k)Rk g = f (k) F(Rk g) = f (k) χk Fg k∈ZN
= Fg ·
k∈ZN
X
k∈ZN
f (k)χk = Ff · Fg.
k∈ZN
Exempel 11.4.2. F¨ or att l¨ osa faltningsekvationen a ∗ f = b, f¨or f¨oljderna a = (2, 3, 4, 1) och b = (0, 6, 8, 6) i `2 (Z4 ) fouriertransformerar vi ekvationen och f˚ ar d˚ a det ekvivalenta sambandet a ˆ(n)fˆ(n) = ˆb(n),
n = 0, 1, 2, 3.
Nu ¨ar a ˆ = W4 a = (10, −2 − 2i, 2, −2 + 2i) och ˆb = W4 b = (20, −8, −4, −8), s˚ a 20 −8 −4 −8 fˆ = , , , = (2, 2 − 2i, −2, 2 + 2i). 10 −2 − 2i 2 −2 + 2i Inverstransformering ger slutligen att f=
1 W4 fˆ = (1, 2, −1, 0). 4
Sats 11.4.2. F¨ or f , g, h ∈ `2 (ZN ), α, β ∈ C och k ∈ ZN ¨ ar (i)
f ∗ (αg + βh) = α(f ∗ g) + β(f ∗ h)
(ii)
f ∗g =g∗f
(iii)
f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h
(iv) (v)
f ∗ e0 = f Rk (f ∗ g) = (Rk f ) ∗ g = f ∗ (Rk g)
Bevis. Eftersom fouriertransformen ¨ar inverterbar r¨acker det att visa att b˚ ada sidor i respektive likhet har samma fouriertransform. Vi g¨or detta f¨or (iii) och l¨ amnar ¨ ovriga identiteter som enkla ¨ovningar. P˚ a grund av n¨ armast f¨ oreg˚ aende sats ¨ar F(f ∗ (g ∗ h)) = Ff · F(g ∗ h) = Ff · Fg · Fh = Ff · Fg · Fh = F(f ∗ g) · Fh = F((f ∗ g) ∗ h).
242
11 Diskreta fouriertransformen
Naturligtvis kan man ocks˚ a visa identiteterna i sats 11.4.2 direkt genom att enbart utnyttja faltningsdefinitionen, och l¨asaren b¨or g¨ora detta som ovning. ¨ Definition. En operator T : `2 (ZN ) → `2 (ZN ) kallas translationsinvariant om Rk T = T Rk f¨ or alla k ∈ ZN . Eftersom Rk = R1k ¨ ar operatorn T translationsinvariant om och endast om R1 T = T R1 . Sats 11.4.3. F¨ oljande fem villkor ¨ ar ekvivalenta f¨ or en godtycklig operator 2 2 T : ` (ZN ) → ` (ZN ). (i) (ii) (iii) (iv) (v)
T ¨ ar linj¨ ar och translationsinvariant. T (f ∗ g) = f ∗ (T g) f¨ or alla funktioner f , g ∈ `2 (ZN ). Det finns en funktion b ∈ `2 (ZN ) s˚ adan att T f = b ∗ f . T ¨ ar linj¨ ar och karakt¨ arerna χ0 , χ1 , . . . , χN −1 ¨ ar egenvektorer till T . 2 ˇ fˆ). Det finns en funktion µ ∈ ` (ZN ) s˚ adan att T f = F(µ
Bevis. (i) ⇒ (ii):P Antag f¨orst att T ¨ar linj¨ar och translationsinvariant. Eftersom f ∗ g = k∈ZN f (k)Rk g, ¨ar T (f ∗ g) =
X
f (k)T (Rk g) =
k∈ZN
X
f (k) Rk (T g) = f ∗ (T g),
k∈ZN
dvs. (ii) g¨ aller. (ii) ⇒ (iii): Antag att T (f ∗ g) = f ∗ (T g) f¨or alla funktioner f och g. D˚ a ar speciellt ¨ T f = T (f ∗ e0 ) = f ∗ (T e0 ) = (T e0 ) ∗ f, dvs. (iii) g¨ aller med b = T e0 . (iii) ⇒ (i): Antag att T f = b ∗ f ; d˚ a a¨r T linj¨ar p˚ a grund av egenskap (i) i sats 11.4.2. P˚ a grund av (v) i samma sats ¨ar vidare Rk T f = Rk (b ∗ f ) = b ∗ (Rk f ) = T (Rk f ), vilket visar att T ¨ ar translationsinvariant. (iii) ⇒ (iv): Om (iii) g¨aller s˚ a ¨ar T linj¨ar, och av resultatet i exempel 11.4.1 f¨ oljer att T (χn ) = b ∗ χn = ˆb(n)χn vilket inneb¨ar att χn ¨ar en egenvektor med ˆb(n) som motsvarande egenv¨arde.
11.4 Faltning och translationsinvarianta operatorer
243
(iv) ⇒ (v): Antag att T χn = λ(n)χn f¨or alla n ∈ ZN . P˚ a grund av inversionssatsen blir d˚ a 1 X ˆ 1 X ˆ f (n)χn = f (n)T χn N N n∈ZN n∈ZN 1 X ˇ fˆ), λ(n)fˆ(n)χn = F(λ = N
Tf = T
n∈ZN
vilket visar att (v) g¨ aller med µ(n) = λ(n). ˇ d˚ ˇ = µ och (v) ⇒ (iii): Antag att (v) g¨ aller och s¨att b = Fµ; a ¨ar ˆb = (F F)µ ˇ fˆ) = F( ˇ ˆbfˆ) = F(F(b ˇ F(µ ∗ f )) = b ∗ f, vilket visar att (iii) g¨ aller. Exempel 11.4.3. Definiera operatorn T : `2 (Z4 ) → `2 (Z4 ) genom att s¨atta T f (n) = f (n) + 3f (n − 2) − 2f (n − 3). I termer av translationsoperatorerna Rk a¨r tydligen T = R0 + 3R2 − 2R3 . Det f¨oljer att R1 T = R1 + 3R3 − 2R4 = T R1 , s˚ a operatorn T ¨ar translationsinvariant. F¨ or b = T e0 = T (1, 0, 0, 0) = (1, 0, 3, −2) ¨ar T f = b ∗ f . En translationsinvariant operator k¨anns, som vi strax ska se, omedelbart igen p˚ a utseendet av operatorns matris med avseende p˚ a standardbasen. Definition. En N ×N -matris A = [aij ]i,j∈ZN kallas cyklisk om ai+1,j+1 = aij f¨or alla index i, j ∈ ZN . Exempel 11.4.4. Matrisen
1 2 3 3 1 2 2 3 1
¨ar cyklisk. Om vi uppfattar den k + 1:ta kolonnen A∗k i N × N -matrisen A som en vektor i `2 (ZN ), s˚ a ¨ ar tydligen matrisen A cyklisk om och endast om A∗k = Rk A∗0 f¨ or alla k. Kolonnerna i en cyklisk matris ¨ar med andra ord translat av den f¨ orsta kolonnen (kolonnen svarande mot k = 0). Sats 11.4.4. En operator T p˚ a `2 (ZN ) ¨ ar translationsinvariant om och endast om operatorns matris med avseende p˚ a standardbasen ¨ ar cyklisk.
244
11 Diskreta fouriertransformen
Bevis. L˚ at T vara en operator p˚ a `2 (ZN ), och l˚ at A vara operatorns matris med avseende p˚ a standardbasen {e0 , e1 , . . . , eN −1 }. Kolonnen A∗k i A best˚ ar av vektorn T ek , eller n¨armare best¨amt av vektorns koordinater med avseende p˚ a standardbasen. Om T ¨ ar translationsinvariant med T = b ∗ f , s˚ a ¨ar A∗k = T ek = T (Rk e0 ) = Rk (T e0 ) = Rk (b ∗ e0 ) = Rk b. Detta inneb¨ ar att den f¨orsta kolonnen i matrisen a¨r lika med vektorn b och att ¨ ovriga kolonner f˚ as som successiva translat av denna kolonn, dvs. operatorns matris ¨ ar cyklisk. Omv¨ ant, om matrisen ¨ar cyklisk a ¨ar T ek = A∗k = Rk b. P med A∗0 = b, s˚ F¨ or en godtycklig funktion f = k∈ZN f (k)ek ¨ar d¨arf¨or Tf =
X
f (k)T ek =
k∈ZN
X
f (k)Rk b = f ∗ b,
k∈ZN
vilket visar att T a ¨r translationsinvariant. Exempel 11.4.5. Operatorn i exempel 11.4.3 har matrisen 1 −2 3 0 0 1 −2 3 3 0 1 −2 −2 3 0 1
som ¨ ar cyklisk.
¨ Ovningar 11.3 Funktionen f ∈ `2 (Z4 ) har fouriertransformen fˆ = (1, i, 1, −i). a) Ber¨ akna f . b) Ber¨akna f ∗ f . 11.4 f och g ¨ ar tv˚ a funktioner i `2 (Z3 ). F¨or funktionen f g¨a√ller att fˆ = (1, 2, 0) medan g = (1, ω, ω 2 ), d¨ar ω = e−2πi/3 = − 12 − 2i 3. Ber¨akna f , gˆ och f ∗ g. 11.5 L¨ os faltningsekvationen f ∗a=b f¨ or a = (2, 3, 4, 1) och b = (0, 6, 8, 6) i `2 (Z4 ). 11.6 F¨ or a ∈ `2 (ZN ) g¨aller att a ˆ(0) = 0 medan a ˆ(k) 6= 0 f¨or k = 1,. . . , N − 1. a) Best¨ am alla l¨ osningar f till ekvationen a ∗ f = 0. ¨ l¨osningen b) F¨ or vilka b ∈ `2 (ZN ) ¨ar ekvationen a ∗ f = b l¨osbar? Ar i s˚ a fall entydig?
11.5 Sambandet mellan ZN och ZN/2 11.7 Ber¨ akna egenv¨ ardena till den cykliska 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1
245 matrisen 1 3 2 2
11.8 Definiera en translationsinvariant avbildning T : `2 (Z4 ) → `2 (Z4 ) genom att s¨ atta (T f )(n) = 3f (n − 2) + if (n) − (2 + i)f (n + 1). a) Best¨ am T :s matris med avseende p˚ a standardbasen. b) Best¨ am egenv¨ arden och egenvektorer till avbildningen T . 11.9 L˚ at S och T vara tv˚ a translationsinvarianta operatorer p˚ a `2 (ZN ). Visa att operatorerna kommuterar, dvs. att ST = T S. 11.10 Antag att a ∈ `2 (ZN ) och l˚ at A vara den cykliska matris som har a som sin f¨ orsta kolumn. Visa att f¨oljande tre villkor ¨ar ekvivalenta: (i) Translaten R0 a, R1 a, . . . , RN −1 a utg¨or en bas f¨or `2 (ZN ). (ii) Matrisen A ¨ ar inverterbar. (iii) a ˆ(n) 6= 0 f¨ or alla n ∈ ZN . 11.11 L˚ at a och b vara element i `2 (ZN ). a) Visa att hRk a, Rm bi = (a ∗ ˜b)(m − k). b) Utnyttja a) f¨ or att visa att f¨oljande tre villkor ¨ar ekvivalenta: (i) Translaten R0 a, R1 a, . . . , RN −1 a utg¨or en ON-bas f¨or `2 (ZN ). (ii) a ∗ a ˜ = e0 . (iii) |ˆ a(n)| = 1 f¨ or alla n. √ √ √ 2 11.12 L˚ at u = (1, 1 − 2, 1, 1 + 2). 4 a) Visa att {u, R2 u} ¨ ar en ON-m¨angd i `2 (Z4 ). b) Best¨ am en funktion v s˚ a att B = {u, R2 u, v, R2 v} blir en ON-bas i `2 (Z4 ). (ON-basen B ¨ ar en s. k. f¨ orsta etappens waveletbas f¨or `2 (Z4 ).)
11.5
Sambandet mellan ZN och ZN/2
I det h¨ ar avsnittet antar vi genomg˚ aende att talet N ¨ ar delbart med 2. Vi s¨atter vidare M = N/2 s˚ a att N = 2M. Gruppen ZM kan uppfattas som en delgrupp av gruppen ZN via den injektiva avbildningen φ : ZM → ZN , φ(m) = 2m,
246
11 Diskreta fouriertransformen
en avbildning som uppenbarligen respekterar gruppstrukturerna i den bem¨ arkelsen att φ(m + n) = φ(m) + φ(n). S˚ adana avbildningar mellan grupper kallas homomorfier, och bildm¨angden φ(ZM ) = {0, 2, 4, . . . , N −2} ¨ar en delgrupp av ZN som i alla gruppteoretiska avseenden ¨ar likv¨ardig med gruppen ZM . F¨ or att f¨ orst˚ a varf¨ or det kan vara fruktbart att studera gruppen ZM n¨ar man prim¨ art ¨ ar intresserad av `2 (ZN ), betraktar vi en funktion f ∈ `2 (ZN ). Funktionen ¨ ar uppenbarligen helt best¨amd av de b˚ ada restriktionerna f |A och f |B av f till m¨ angden A av alla j¨amna tal i ZN resp. m¨angden B av alla udda tal i ZN . Med vektornotation ¨ar f |A = f (0), f (2), f (4), . . . , f (N − 2) och f |B = f (1), f (3), f (5), . . . , f (N − 1) = R−1 f (0), R−1 f (2), R−1 f (4), . . . , R−1 f (N − 2) = (R−1 f )|A . Att studera funktionen f ¨ar s˚ aledes ekvivalent med att studera de b˚ ada restriktionerna f |A och (R−1 f )|A , som via den ovan n¨amnda homomorfismen φ kan uppfattas som tv˚ a funktioner u och v p˚ a den mindre gruppen ZM . Vi ska se att det finns ett enkelt samband mellan fouriertransformen fˆ till f och fouriertransformerna i ZM till de b˚ ada funktionerna u och v. Vi ska ocks˚ a visa att det snabbaste s¨attet att ber¨akna fouriertransformen fˆ bygger p˚ a att man f¨ orst ber¨ aknar fouriertransformerna u ˆ och vˆ, en metod som kallas snabba fouriertransformen. Vi b¨ orjar d¨ arf¨ or med att notera sambandet mellan karakt¨arerna till grupperna ZM och ZN . Sats 11.5.1. L˚ at χ0 , χ1 , . . . , χN −1 beteckna karakt¨ arerna till gruppen ZN och η0 , η1 , . . . , ηM −1 beteckna karakt¨ arerna till gruppen ZM s˚ a att χk (n) = e2πikn/N ,
n, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1,
och ηk (m) = e2πikm/M ,
m, k = 0, 1, 2, . . . , M − 1.
D˚ a¨ ar ηk (m) = χk (2m) = χk+M (2m)
f¨ or k, m = 0, 1, . . . , M − 1.
Bevis. Sambandet mellan karakt¨arerna f¨oljer med en g˚ ang ur de explicita formlerna f¨ or χk och ηk . Exempelvis ¨ar χk+M (2m) = e2πi(k+M )2m/N = e2πi(k+M )2m/2M = e2πikm/M · e2πmi = e2πikm/M = ηk (m).
11.5 Sambandet mellan ZN och ZN/2
247
Det ¨ ar naturligtvis ingen tillf¨ allighet att sambandet mellan karakt¨arerna till ZN och ZM ser ut som det g¨ or. Om φ som tidigare betecknar homomorfin φ(m) = 2m mellan ZM och delgruppen av alla multipler av 2 i ZN , och χ ¨ar en karakt¨ ar till ZN , dvs. en multiplikativ avbildning ZN → {z ∈ C | |z| = 1}, s˚ a ¨ar sammans¨ attningen χ◦φ, dvs. avbildningen m 7→ χ(2m), uppenbarligen en karakt¨ ar till ZM . Funktionerna m 7→ χk (2m) ¨ar s˚ aledes karakt¨arer till ZM f¨or k = 0, 1, . . . , N − 1. Att vi inte f˚ ar N stycken karakt¨arer till ZM p˚ a detta vis beror naturligtvis p˚ a att χk+M (2m) = χk (2m), vilket reducerar antalet olika karakt¨ arer till gruppen ZM med en faktor 21 till M stycken. F¨oljande tv˚ a operatorer spelar en viktig roll i konstruktionen av waveletbaser och bidrar ocks˚ a till att f¨orklara sambandet mellan fouriertransformerna till funktioner i `2 (ZN ) och `2 (ZM ). Definition. Nedsamplingsoperatorn D : `2 (ZN ) → `2 (ZM ) definieras av att Df (m) = f (2m)
f¨or alla m ∈ ZM ,
och uppsamplingsoperatorn U : `2 (ZM ) → `2 (ZN ) av att ( g(n/2) om n ∈ Zn ¨ar j¨amnt, U g(n) = 0 om n ∈ Zn ¨ar udda. H¨ar a orst˚ as f en godtycklig funktion i `2 (ZN ) och g en godtycklig ¨r f¨ funktion i `2 (ZM ). Med funktionerna f och g skrivna p˚ a vektorform som f = f (0), f (1), f (2), . . . , f (N − 1) resp. g = g(0), g(1), g(2), . . . , g(M − 1) aledes ¨ar s˚ Df = f (0), f (2), f (4), . . . , f (N − 2) och U g = g(0), 0, g(1), 0, g(2), 0, . . . , g(M − 1), 0 . Observera att DU = I, den identiska avbildningen, men att U D inte ¨ar lika med den identiska avbildningen, eftersom ( f (n) om n a¨r j¨amnt, U Df (n) = 0 om n a¨r udda. Fouriertransformen av en funktion i `2 (ZN ) ¨ar en funktion i `2 (ZN ), medan fouriertransformen av en funktion i `2 (ZM ) f¨orst˚ as ¨ar en funktion i `2 (ZM ). Detta kommer emellertid inte att hindra oss fr˚ an att anv¨anda samma beteckning, fˆ ellerFf , f¨ or fouriertransformen av funktioner i `2 (ZN ) och `2 (ZM ), eftersom det knappast kan uppst˚ a n˚ agot missf¨orst˚ and.
248
11 Diskreta fouriertransformen
Sats 11.5.2. F¨ or g ∈ `2 (ZM ) och k = 0, 1, . . . , M − 1 ¨ ar cg(k) = U cg(k + M ) = gˆ(k). U Bevis. F¨ or = 0 och = 1 a¨r χk+M (2m) = ηk (m) enligt sats 11.5.1. Detta i kombination med att U g(n) = 0 f¨or udda n och U g(n) = g(n/2) f¨or j¨amna n ger att cg(k + M ) = U =
N −1 X n=0 M −1 X
U g(n)χk+M (n) =
M −1 X
U g(2m)χk+M (2m)
m=0
g(m)ηk (m) = gˆ(k).
m=0
Eftersom vi inte kommer att beh¨ova resultatet i f¨oljande sats, l¨amnar vi beviset f¨ or den som ¨ ovning. Sats 11.5.3. Antag att f ∈ `2 (ZN ) och k = 0, 1, 2, . . . , M − 1. D˚ a¨ ar d(k) = 1 fˆ(k) + fˆ(k + M ) . Df 2
11.6
Snabba fouriertransformen
I det h¨ ar avsnittet ska vi unders¨oka hur komplicerat det ¨ar att ber¨akna fouriertransformen till en funktion i `2 (ZN ). Eftersom additioner kr¨aver v¨ asentligt mindre ber¨ akningstid ¨an multiplikationer, kommer vi att m¨ata ber¨ akningsarbetets omfattning genom att r¨akna antalet komplexa multiplikationer som kr¨ avs f¨ or att ber¨akna transformen. Ber¨ akningsarbetet beror naturligtvis av N och v¨axer d˚ a N v¨axer. L˚ at d¨ arf¨ or µ(N ) beteckna antalet komplexa multiplikationer som maximalt beh¨ ovs f¨ or att ber¨ akna fouriertransformen fˆ av en godtycklig funktion f i 2 ` (ZN ). Om fourierkoefficienten fˆ(k) ber¨aknas med hj¨alp av definitionen fˆ(k) =
N −1 X
f (n)e−2πink/N
n=0
˚ atg˚ ar det tydligen N komplexa multiplikationer f¨or varje komponent fˆ(k), och eftersom det finns N komponenter beh¨ovs det N 2 komplexa multiplikationer f¨ or att ber¨ akna hela transformen. Detta visar att µ(N ) ≤ N 2 , och att det i allm¨ anhet kr¨ avs N 2 komplexa multiplikationer om man anv¨ander ˆ definitionen av f f¨ or ber¨akningen. Vi ska nu diskutera ett effektivare s¨att att ber¨akna fouriertransformen, den s. k. snabba fouriertransformen (FFT). Algoritmen f¨oruts¨atter att talet
11.6 Snabba fouriertransformen
249
N a¨r sammansatt. Vi n¨ ojer oss med att beskriva det enklaste fallet att N a¨r delbart med en potens av 2. Antag d¨ arf¨ or till att b¨ orja med att talet N ¨ar j¨amnt. Den snabba fouriertransformen bygger p˚ a f¨ oljande sats. Sats 11.6.1. Definiera, givet funktionen f ∈ `2 (ZN ), funktionerna u och v i `2 (ZN/2 ) genom att s¨ atta u = Df
och
v = DR−1 f,
dvs. u = f (0), f (2), . . . , f (N − 2)
och
v = f (1), f (3), . . . , f (N − 1) .
D˚ a¨ ar fˆ(k) = u ˆ(k) + e−2πik/N vˆ(k) fˆ(N/2 + k) = u ˆ(k) − e−2πik/N vˆ(k) f¨ or k = 0, 1, . . . , N/2 − 1. Bevis. Eftersom U u = f (0), 0, f (2), 0, f (4), 0, . . . , f (N − 2), 0 R1 U v = 0, f (1), 0, f (3), 0, f (5), . . . , 0, f (N − 1)
och
¨ar f = U u + R1 U v. Det f¨oljer d¨ arf¨ or av linearitet, sats 11.3.5 (i) och sats 11.5.2 att fˆ(k + N/2) = u ˆ(k) + χ1 (k + N/2) vˆ(k), d¨ar ¨ar lika med 0 eller 1. Vidare ¨ar χ1 (k + N/2) = e−2πi(k+N/2)/N = e−2πik/N · e−πi
( e−2πik/N = −e−2πik/N
om = 0, om = 1.
D¨armed ¨ ar beviset klart. Om vi har ber¨ aknat fouriertransformerna u ˆ och vˆ, beh¨over vi s˚ aledes bara utf¨ora de N/2 komplexa multiplikationerna e−2πik/N · vˆ(k) (samt f¨orst˚ as N ˆ additioner) f¨ or att ber¨ akna fouriertransformen f . Detta visar att (11.5)
µ(N ) ≤ 2µ(N/2) + N/2.
Transformen u ˆ kan vi ber¨ akna med hj¨alp av definitionen med (N/2)2 komplexa multiplikationer, och detsamma g¨aller f¨or vˆ. Med hj¨alp av sats 11.6.1 kan vi s˚ aledes ber¨ akna fˆ med 1 2(N/2)2 + N/2 = (N 2 + N ) 2
250
11 Diskreta fouriertransformen
komplexa multiplikationer, vilket ¨ar mindre ¨an de N 2 komplexa multiplikationer som beh¨ ovs f¨ or att ber¨akna fˆ direkt. Om N ¨ ar delbart med fyra kan vi g˚ a ett steg vidare genom att ber¨akna u ˆ och vˆ med hj¨ alp av sats 11.6.1, osv. Det gynnsammaste fallet ¨ar att N ¨ar en potens av 2. I detta fall leder en rekursiv anv¨anding av sats 11.6.1 till f¨ oljande resultat. Sats 11.6.2. Antag att N ¨ ar en potens av 2. D˚ a kan fouriertransformen av en funktion i `2 (ZN ) ber¨ aknas med h¨ ogst 1 N log2 N 2 komplexa multiplikationer. Bevis. S¨ att N = 2n ; p˚ ast˚ aendet i satsen ¨ar d˚ a ekvivalent med p˚ ast˚ aendet (11.6)
µ(2n ) ≤ n2n−1 .
F¨ or att visa olikheten (11.6) anv¨ander vi induktion. F¨or att ber¨akna transformen av en funktion f ∈ `2 (Z2 ) beh¨ovs det inte n˚ agon multiplikation alls eftersom fˆ(0) = f (0) + f (1) och fˆ(1) = f (0) − f (1). S˚ aledes ¨ar µ(2) = 0, s˚ a olikheten (11.6) g¨ aller f¨or n = 1. Antag nu att olikheten (11.6) g¨aller d˚ a n = m. Induktionsantagandet tillsammans med olikheten (11.5) f¨or N = 2m+1 ger d˚ a µ(2m+1 ) ≤ 2µ(2m ) + 2m ≤ 2(m2m−1 ) + 2m = (m + 1)2m . Detta visar att olikheten (11.6) g¨aller d˚ a n = m + 1, och d¨armed ¨ar induktionsbeviset klart. Exempel 11.6.1. L˚ at oss ber¨akna fouriertransformen till funktionen f = (1, 0, 2, 6, 3, 8, 4, 6) ∈ `2 (Z8 ) givet att vi redan ber¨ aknat transformerna till u = Df = (1, 2, 3, 4) och v = DR−1 f = (0, 6, 8, 6). I exemplen 11.3.3 och 11.4.2 fann vi att u ˆ = (10, −2 + 2i, −2, −2 − 2i)
och
vˆ = (20, −8, −4, −8).
1 Eftersom e−2πik/8 f¨ or k = 0, 1, 2 och 3 ¨ar lika med 1, √ (1 − i), −i och 2
11.6 Snabba fouriertransformen
251
1 − √ (1 + i), f¨ oljder de nu av sats 11.6.1 att 2 fˆ(0) = 10 + 20 = 30 fˆ(4) = 10 − 20 = −10 √ √ 1 fˆ(1) = −2 + 2i + √ (1 − i)(−8) = −2 − 4 2 + (2 + 4 2)i 2 √ √ 1 fˆ(5) = −2 + 2i − √ (1 − i)(−8) = −2 + 4 2 + (2 − 4 2)i 2 ˆ f (2) = −2 − i(−4) = −2 + 4i fˆ(6) = −2 + i(−4) = −2 − 4i √ √ 1 fˆ(3) = −2 − 2i − √ (1 + i)(−8) = −2 + 4 2 − (2 − 4 2)i 2 √ √ 1 fˆ(7) = −2 − 2i + √ (1 + i)(−8) = −2 − 4 2 − (2 + 4 2)i. 2 Den snabba fouriertransformen kan ocks˚ a anv¨andas f¨or att ber¨akna faltningar effektivt. Om faltningen f ∗ g av tv˚ a `2 (ZN )-funktioner ber¨aknas direkt ur definitionen (f ∗ g)(n) =
N −1 X
f (k)g(n − k)
k=0
beh¨ovs det N multiplikationer f¨ or varje komponent (f ∗ g)(n) och s˚ aledes 2 totalt N multiplikationer f¨ or att ber¨akna f ∗ g. Om vi ist¨allet utnyttjar att ˇ (f ∗ g)(n) = FF(f ∗ g)(n) =
1 \ (fˆ · gˆ)(−n), N
kan vi ber¨ akna f ∗ g genom att f¨ orst ber¨akna fouriertransformerna fˆ och gˆ, vilket totalt kr¨ aver h¨ ogst 2µ(N ) multiplikationer, sedan multiplicera ihop transformerna fˆ och gˆ, vilket kr¨ aver ytterligare N multiplikationer, sedan \ ber¨akna fouriertransformen (fˆ · gˆ), vilket kr¨aver ytterligare µ(N ) multiplikationer, och slutligen dividera med N . Den avslutande divisionen med heltalet N g˚ ar snabbt, i synnerhet om N a¨r en potens av 2, s˚ a den bortser vi ifr˚ an i v˚ ar komplexitetsber¨ akning. Totalt ˚ atg˚ ar s˚ aledes h¨ogst 3µ(N ) + N komplexa multiplikationer. F¨ or heltalspotenser av N f˚ ar vi d¨arf¨or f¨oljande korollarium till f¨oreg˚ aende sats. Sats 11.6.3. Om N ¨ ar en potens av 2, kan faltningen av tv˚ a funktioner i 3N log2 N komplexa multiplikationer. `2 (ZN ) ber¨ aknas med h¨ ogst N + 2
252
11 Diskreta fouriertransformen
¨ Ovningar 11.13 a) Best¨ am fouriertransformerna till a = (1, 4, 1, 2) och b = (1, 2, 3, 4) 2 i ` (Z4 ). b) Utnyttja resultaten i a) och den snabba Fouriertransformen f¨or att ber¨ akna fouriertransformen till funktionen f = (1, 1, 4, 2, 1, 3, 2, 4) i 2 ` (Z8 ).
Historiska notiser Den diskreta fouriertransformen f¨orekommer f¨orsta g˚ angen i ett arbete av Carl Friedrich Gauss (1777–1855), publicerat posthumt 1866 i tredje volymen av hans samlade verk men skrivet 1805, tv˚ a˚ ar f¨ore Fouriers f¨orsta arbete om v¨armeledningsproblemet och fourierserier. Med utg˚ angspunkt fr˚ an problemet att best¨amma en asteroids bana utifr˚ an ett ¨andligt antal observationer leds Gauss till problemet att best¨ amma koefficienterna ak och bk i serien bN/2c
f (x) =
X k=0
bN/2c
ak cos 2πkx +
X
bk sin 2πkx
k=1
n¨ ar funktionsv¨ ardena f (n/N ) ¨ar k¨anda f¨or n = 0, 1, . . . , N − 1, och han visar att koefficienterna ges av de nu v¨alk¨anda formlerna f¨or den diskreta fouriertransformen. Gauss utvecklar ¨ aven en effektiv algoritm, identisk med den snabba fouriertransformen, f¨ or att best¨ amma koefficienterna d˚ a talet N ¨ar sammansatt. Gauss arbete r¨ onte f¨ oga uppm¨arksamhet, och den snabba fouriertransformen blev k¨ and som en mycket effektiv algoritm f¨or att best¨amma den diskreta fouriertransformen f¨ orst genom en uppsats 1965 av James Cooley (1926–) och John Tukey (1915–2000). Eftersom den diskreta fouriertransformen anv¨ands inom m˚ anga omr˚ aden av digital signal- och bildbehandling, kom publiceringen av algoritmen att revolutionera utvecklingen inom dessa omr˚ aden. Den snabba fouriertransformen ¨ar en av de mest anv¨ anda numeriska algoritmerna.
Kapitel 12
Utblickar mot abstrakt harmonisk analys L¨asaren kan knappast ha undg˚ att att m¨arka de stora likheterna i resultaten f¨ or fourierserier och fouriertransformer. Detta ¨ar naturligtvis ingen tillf¨allighet utan det finns en bakomliggande generell teori. En grundlig genomg˚ ang av denna f¨ oruts¨ atter kunskaper i funktionalanalys, m˚ att- och integrationsteori och topologi, s˚ a diskussionen i detta kapitel blir d¨arf¨or n¨odv¨andigtvis skissartad.
12.1
Lokalt kompakta abelska grupper
Abelska grupper Gemensamt f¨ or T, Z, R och ZN , som varit v˚ ara spelplaner f¨or fourieranalysen, ¨ ar att de ¨ ar abelska grupper. En abelsk eller kommutativ grupp G ¨ar en m¨angd som ¨ar f¨orsedd med en bin¨ar operation +, dvs. en operation som till varje par a, b av element i G tillordnar ett element a + b i G, som uppfyller f¨oljande fyra gruppaxiom: (i) a + (b + c) = (a + b) + c f¨ or alla element a, b, c ∈ G. (Associativitet) (ii) a + b = b + a f¨ or alla element a, b ∈ G. (Kommutativitet) (iii) Det finns ett unikt neutralt element 0 i G s˚ adant att a + 0 = a f¨or alla a ∈ G. (iv) F¨or varje element a ∈ G finns det ett unikt inverst element −a s˚ adant att a + (−a) = 0. T, Z, R och ZN ¨ ar som redan n¨amnts abelska grupper; gruppoperationen ¨ar f¨or dessa grupper addition modulo 2π, addition av heltal, addition av reella tal resp. addition av heltal modulo N . Gruppen T kan ocks˚ a som m¨angd identifieras med enhetscirkeln i komplexa talplanet via avbildningen t 7→ eit , och gruppoperationen i T svarar d˚ a mot multiplikation. 253
254
12 Utblickar mot abstrakt harmonisk analys
Andra exempel p˚ a naturliga abelska grupper ¨ar Rn och Tn , d¨ar gruppoperationen a ¨r komponentvis addition i R resp. i T. Begreppet translation har en naturlig definition i abelska grupper G. Om X a angd till gruppen och a ¨ar ett gruppelement, s˚ a kallas ¨r en delm¨ m¨ angden a + X = {a + x | x ∈ X} ett translat till X. Och om f ¨ar en funktion som ¨ ar definierad p˚ a hela gruppen, kallas funktionen fa , definierad av att fa (x) = f (x − a) f¨or alla x ∈ G, ett translat till f .
Topologiska grupper V˚ ara grundl¨ aggande objekt T, Z, R och ZN b¨ar inte bara p˚ a en algebraisk struktur, utan de har ocks˚ a en topologisk struktur som g¨or det m¨ojligt att tala om kontinuitet f¨or funktioner som ¨ar definierade p˚ a grupperna och f¨ or sj¨ alva gruppoperationerna addition (+) och inversbildning (−). Topologin definieras av att man specificerar vad som skall menas med (¨ oppna) omgivningar till gruppelementen. En grupp med ett omgivningsbegrepp som uppfyller vissa naturliga villkor som vi inte specificerar h¨ar och som g¨or att gruppoperationerna blir kontinuerliga, kallas en topologisk grupp. Det r¨acker h¨arvidlag att precisera omgivningarna till gruppens neutrala element, ty omgivningarna till ¨ovriga gruppelement f˚ as som translat. I grupperna R och T ¨ar de ¨oppna omgivningarna av 0 ¨oppna intervall ¨ ]a, b[ med a < 0 < b. Aven i grupperna Z och ZN har vi ett omgivningsbegrepp, fast av det mer triviala slaget; varje delm¨angd av Z resp. av ZN inneh˚ allande 0 ¨ ar en ¨ oppen omgivning till 0, och speciellt ¨ar s˚ aledes enpunktsm¨ angden {0} en ¨ oppen omgivning. Grupperna T och R ¨ar tydligen kontinuerliga topologiska grupper i den meningen att det i varje ¨oppen omgivning av ett godtyckligt element finns andra gruppelement. Grupperna Z och ZN a¨r d¨aremot diskreta grupper, vilket inneb¨ ar att alla enpunktsm¨angder {a} ¨ar ¨oppna omgivningar.
Haarm˚ attet F¨ or att man skall kunna utveckla n˚ agon slags motsvarighet till fourieranalysen p˚ a en grupp beh¨ over man f¨orst˚ as ett anv¨andbart integralbegrepp, och f¨ or att kunna definiera ett s˚ adant beh¨over man kunna m¨ata ”storleken” hos delm¨ angder till gruppen. F¨or grupperna Z och ZN ¨ar detta enkelt; en delm¨ angds m˚ att ¨ ar helt enkelt lika med antalet element i delm¨angden. En ¨ andlig delm¨ angds m˚ att blir d¨arigenom ett icke-negativt heltal, medan o¨ andliga delm¨ angder av Z f˚ ar m˚ att +∞. M˚ attet f¨ or ett intervall i T eller R ¨ar lika med intervall¨angden, och m˚ attet f¨ or en m¨ angd som ¨ ar en disjunkt union av intervall ¨ar lika med summan av intervall¨ angderna. Man kan sedan utvidga definitionen s˚ a att varje ”vettig” m¨ angd blir m¨ atbar, och det m˚ att man f˚ ar p˚ a detta vis kallas Lebesguem˚ attet.
12.1 Lokalt kompakta abelska grupper
255
En viktig egenskap hos Lebesguem˚ attet och hos de diskreta m˚ atten p˚ a grupperna Z och ZN a r att de a r translationsinvarianta, dvs. alla translat ¨ ¨ a + X av en m¨ angd X har samma m˚ att. Det finns en viktig klass av topologiska grupper f¨or vilka man kan konstruera en motsvarighet till det translationsinvarianta Lebesguem˚ attet p˚ a R, och det ¨ ar grupper i vilka nollelementet har en ¨oppen omgivning vars slutna h¨ olje a adana grupper kallas lokalt kompakta. Grupperna ¨r kompakt. S˚ ar uppenbarligen lokalt kompakta. T, R, Z och ZN ¨ Varje lokalt kompakt abelsk grupp G har s˚ aledes ett translationsinvariant m˚ att m, och detta m˚ att ¨ ar unikt i den bem¨arkelsen att om m1 och m2 ¨ar tv˚ a translationsinvarianta m˚ att, s˚ a finns det en positiv konstant c s˚ a att m1 (X) = cm2 (X) f¨ or alla (m¨ atbara) delm¨angder X. Translationsinvarianta m˚ att kallas Haarm˚ att.1 I grupperna R och T ¨ ar Haarm˚ attet det vanliga Lebesguem˚ attet. Det kan vara praktiskt att normalisera Haarm˚ attet i gruppen T s˚ a att hela gruppen f˚ ar m˚ att 1, vilket f¨ orklarar f¨ orekomsten av faktorn 1/2π i v˚ ar definition av L1 (T)-normen och fourierkoefficienterna fˆ(n). I diskreta grupper, som Z och ZN , f˚ ar man ett Haarm˚ att m genom att l˚ ata m(X) vara lika med antalet element i m¨angden X. F¨or varje givet m˚ att, och d˚ a speciellt f¨or Haarm˚ attet m, kan man p˚ a att definiera ett integralbegrepp. Definitionen av integralen Rett naturligt s¨ f dm f¨ o r komplexv¨ arda funktioner f som ¨ar definierade p˚ a hela gruppen G g˚ ar i stora drag till s˚ a h¨ ar: (i) L˚ at oss kalla en funktion f p˚ a G f¨or enkel om den bara antar uppr¨akneligt m˚ anga arden, dvs. om man kan skriva G som en disjunkt S funktionsv¨ X av uppr¨ akneligt m˚ anga (m¨atbara) delm¨angder och det union ∞ n n=1 finns tal cn s˚ a att f (x) = cn f¨or alla x ∈ Xn . F¨or reella, icke-negativa s˚ adana enkla funktioner s¨ atter man Z ∞ X f dm = cn m(Xn ). G
n=1
(ii) Om f : G → R+ ¨ ar en godtycklig (m¨atbar) funktion s¨atter man Z Z f dm = sup g dm, G
G
d¨ ar supremum tas ¨ over alla enkla reellv¨arda funktioner g som uppfyller 0 ≤ g(x) ≤ f (x) f¨ or alla x ∈ G. (iii) En godtycklig reell funktion f kan skrivas som en differens f = f1 − f2 av tv˚ a icke-negativa funktioner, och man s¨atter Z Z Z f dm = f1 dm − f2 dm, G 1
G
G
Efter den ungerske matematikern Alfr´ed Haar, 1885–1933, som introducerade m˚ attet.
256
12 Utblickar mot abstrakt harmonisk analys
f¨ orutsatt att minst en av integralerna i h¨ogerledet ¨ar ¨andlig. I ¨ovriga fall l¨ amnas integralen odefinierad. (iv) Komplexv¨ arda funktioner delas upp i real- och imagin¨ardel, varp˚ a integralen definieras p˚ a ett uppenbart s¨att. I forts¨ attningen anv¨ander vi den R R traditionella beteckningen f¨or integraler och skriver G f (x) dx ist¨allet f¨or G f dm, d˚ a m a¨r Haarm˚ attet. Translationsinvariansen hos Haarm˚ attet ¨overs¨atts omedelbart i f¨oljande translationsinvariansegenskap hos integralen: F¨or alla a ∈ G och alla integrerbara funktioner f ¨ ar Z Z f (x − a) dx = f (x) dx. G
G
I de b˚ ada diskreta grupperna Z och ZN , d¨ar Haarm˚ attet f¨or en enpunktsm¨ angd ¨ ar 1, blir integralen en summa. F¨or en funktion (dvs. f¨oljd) f = (f (n))∞ a Z ¨ar med andra ord −∞ definierad p˚ Z f (x) dx = Z
∞ X
f (n).
n=−∞
L1 (G) och L2 (G) Med L1 (G) menas m¨ angden av alla (m¨atbara) komplexv¨arda funktioner f p˚ a gruppen G som uppfyller Z kf k1 = |f (x)| dx < ∞. G
Med den vanliga definitionen av addition av funktioner och multiplikation med skal¨ arer blir L1 (G) ett normerat vektorrum. Rummet ¨ar vidare fullst¨andigt i den meningen att varje Cauchyf¨oljd av funktioner i rummet har ett gr¨ ansv¨ arde som ocks˚ a tillh¨or rummet. Fullst¨andiga normerade vektorrum kallas Banachrum, s˚ a L1 (G) ¨ar ett Banachrum. F¨ or L1 (G)-funktioner f och g kan man vidare definiera faltning f ∗ g genom formeln Z f ∗ g(x) =
f (x − y)g(y) dy, G
och den s˚ a erh˚ allna funktionen f ∗ g ligger ocks˚ a i L1 (G), och uppfyller normolikheten kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 . P˚ a rummet L1 (G) av funktioner har vi nu tre intressanta operationer − multiplikation med skal¨ar, addition av funktioner och faltning − med ett antal egenskaper, exempelvis (f + g) ∗ h = f ∗ h + g ∗ h, f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h och f ∗g = g ∗f . Rummet L1 (G) ¨ar kort sagt en kommutativ Banachalgebra.
12.2 Fouriertransformen
257
Ett annat mycket viktigt rum ¨ar inre produktrummet L2 (G), som best˚ ar av alla (m¨ atbara) funktioner f p˚ a gruppen som uppfyller kf k2 =
Z
|f (x)|2 dx
1/2
<∞
G
och med Z hf, gi =
f (x)g(x) dx G
¨ som inre produkt. Aven rummet L2 (G) ¨ar fullst¨andigt, dvs. varje Cauchf¨oljd av funktioner i rummet har ett gr¨ ansv¨arde som tillh¨or rummet, s˚ a rummet ¨ar ett s. k. Hilbertrum.
12.2
Fouriertransformen
I forts¨ attningen antas G vara en godtycklig lokalt kompakt abelsk grupp. Generaliseringen av fourieranalysen till s˚ adana grupper kallas harmonisk analys. Det f¨ orsta steget i en s˚ adan abstrakt analys ¨ar att finna motsvarigheterna till de harmoniska sv¨ angningarna, som i fallet G = T a¨r funktionerna eint . De tv˚ a egenskaper hos dessa funktioner som l˚ ater sig generaliseras till allm¨anna grupper ¨ ar att |eint | = 1 och eimt · eint = ei(m+n)t .
Karakt¨ arer och den duala gruppen Med en karakt¨ ar χ p˚ a G menas en kontinuerlig funktion χ : G → C med f¨oljande tv˚ a egenskaper: (i) |χ(a)| = 1 f¨ or alla a ∈ G; (ii) χ(a + b) = χ(a) · χ(b) f¨ or alla a, b ∈ G. Direkt ur karakt¨ arsdefinitionen f¨oljer att karakt¨arerna p˚ a en grupp G har f¨oljande egenskaper: (a) Om χ1 och χ2 ¨ ar karakt¨ arer, s˚ a ¨ar ocks˚ a deras produkt χ1 ·χ2 en karakt¨ar. (b) Den konstanta funktionen 1 ¨ ar en karakt¨ar. (c) Om χ a ar, s˚ a¨ ar funktionen χ (= 1/χ) ocks˚ a en karakt¨ar. ¨r en karakt¨ Vidare ¨ ar uppenbarligen χ1 · χ2 = χ2 · χ1 och χ1 · (χ2 · χ3 ) = (χ1 · χ2 ) · χ3 , eftersom detta ¨ ar egenskaper som alla funktioner har. Karakt¨ arerna till en lokalt kompakt abelsk grupp G bildar med andra ord en abelsk grupp med 1 som neutralt element, om vi anv¨ander oss av multiplikation av funktioner som gruppoperation. Denna grupp kallas den b duala gruppen till G och brukar betecknas G.
258
12 Utblickar mot abstrakt harmonisk analys
Fouriertransformen b s¨atter man F¨ or f ∈ L1 (G) och χ ∈ G Z ˆ f (χ) = f (x)χ(−x) dx G
vilket ¨ ar v¨ aldefinierat eftersom |χ(−x)| = 1, och d¨arigenom definieras en b som definitionsm¨angd. komplexv¨ ard funktion fˆ med den duala gruppen G ˆ b Funktionen f : G → C kallas fouriertransformen till f . Triangelolikheten f¨ or integraler ger med en g˚ ang att (12.1)
|fˆ(χ)| ≤ kf k1
b Fouriertransformen till en L1 -funktion ¨ar med andra ord en f¨ or alla χ ∈ G. b begr¨ ansad funktion p˚ a G. Kan man s¨ aga mer − ¨ar fouriertransformen fˆ en kontinuerlig funktion? F¨ or att besvara den fr˚ agan m˚ aste man f¨orst precisera topologin p˚ a den dub ala gruppen − ¨ an s˚ a l¨ ange har vi bara sagt att G ¨ar en grupp och inte n¨ amnt n˚ agonting om dess topologi. Vi inf¨or nu en s˚ adan genom att som b omgivningar i G ta med precis s˚ a m˚ anga m¨angder som beh¨ovs f¨or att fouriertransformerna till samtliga L1 (G)-funktioner skall bli kontinuerliga. Man kan visa att detta definierar en topologi p˚ a den duala gruppen som g¨or den till en lokalt kompakt abelsk grupp, och i denna topologi blir fouriertransformen per definition kontinuerlig. Fouriertransformen fˆ tillh¨or med andra b av alla kontinuerliga funktioner p˚ b ord rummet C(G) a G. ˆ Man kan visa mer, n¨amligen att f (χ) g˚ ar mot 0 i o¨andligheten, vilket svarar mot Riemann–Lebesgues lemma i fallet G = R. I det allm¨anna abb g˚ strakta fallet s¨ ager man att en funktion φ ∈ C(G) ar mot 0 i o¨andligheten b s˚ om det f¨ or varje > 0 finns en kompakt delm¨angd K av G a att |φ(χ)| < f¨ or alla χ som inte tillh¨or K, och rummet av alla kontinuerliga funktioner b (F¨or kompakta grupper G b som g˚ ar mot 0 i o¨ andligheten betecknas C0 (G). b b blir per definition C0 (G) = C(G).) b ¨ Rummet C0 (G) ar en algebra med addition av funktioner, multiplikation med skal¨ ar och multiplikation av funktioner som algebraoperationer, och med normen kφk = max |φ(χ)| b χ∈G
blir rummet en fullst¨ andig normerad algebra, dvs. en Banachalgebra. b f˚ Eftersom fouriertransformen fˆ till en L1 (G)-funktion ligger i C0 (G), ar 1 b genom att s¨atta man en operator F : L (G) → C0 (G) F(f ) = fˆ. De viktigaste egenskaperna hos operatorn F ¨ar sammanfattade i f¨oljande sats.
12.2 Fouriertransformen
259
b har f¨ Sats 12.2.1. Fouriertransformeringsoperatorn F : L1 (G) → C0 (G) oljande egenskaper: (i) Den ¨ ar linj¨ ar, dvs. F(αf + βg) = αF(f ) + βF(g). (ii) Den ¨ ar multiplikativ, dvs. F(f ∗ g) = Ff · Fg. (iii) Den ¨ ar begr¨ ansad, dvs. kF(f )k ≤ kf k1 . (iv) Den ¨ ar injektiv, dvs. F(f ) = F(g) ⇒ f = g. (v) Givet att Haarm˚ attet dx p˚ aG¨ ar fixerat finns det en normalisering av b s˚ Haarm˚ attet dχ p˚ aG a att f¨ oljande inversionsformel g¨ aller: 1 ˆ b ¨ F¨ or alla L (G)-funktioner f med fouriertransform f i L1 (G) ar Z f (x) = fˆ(χ)χ(x) dχ, b G
d¨ ar likheten skall tolkas som likhet f¨ or L1 (G)-funktioner, dvs. n¨ astan o verallt. Speciellt r˚ ader likhet o verallt om funktionen f a r kontinuerlig. ¨ ¨ ¨ Anm¨ arkning. D¨ aremot ¨ ar operatorn F i allm¨anhet inte surjektiv, dvs. det b finns C0 (G)-funktioner som inte a ¨r fouriertransformer. Bevis. Linearitetsegenskapen, dvs. att (αf + βg)ˆ = αfˆ + βˆ g , f¨oljer av att [ integralen ¨ ar linj¨ ar, och multiplikativiteten, dvs. att f ∗ g = fˆ · gˆ, f¨oljer genom omkastning av integrationsordningen precis som i fallet G = R. Begr¨ansningen ¨ ar en omedelbar konsekvens olikheten (12.1). Beviset f¨ or injektivitet och f¨ or inversionsformeln m˚ aste vi utel¨amna h¨ar.
¨ Ovningar 12.1 L˚ at G = {0, a, b, c} vara en grupp med fyra element och f¨oljande additionsregler (ut¨ over regeln x + 0 = 0 + x = x): a + a = b + b = c + c = 0, a + b = b + a = c, a + c = c + a = b, b + c = c + b = a. Best¨ am gruppens karakt¨ arer och karakterisera den duala gruppen. (G och Z4 a ¨r de enda grupperna med fyra element, och en konkret realisering av gruppen G f˚ ar man genom att betrakta en kvadrat med h¨ orn A, B, C, D, l˚ ata a beteckna spegling i diagonalen AC, b spegling i diagonalen BD och c rotation 180 grader kring kvadratens mittpunkt, samt l˚ ata + betyda att operationerna utf¨ors efter varandra.) 12.2 Visa att alla karakt¨ arer χ p˚ a gruppen R (resp. T) har formen χ(t) = eitω med ω ∈ R (resp. ω ∈ Z).
260
12 Utblickar mot abstrakt harmonisk analys
12.3
De klassiska grupperna
L˚ at oss nu g˚ a igenom v˚ ara fyra klassiska grupper f¨or att se vad de abstrakta begreppen blir i dessa fall.
Gruppen T Karakt¨ arerna p˚ a gruppen T utg¨ors av funktionerna χn (t) = eint , d¨ar n ¨ar ett godtyckligt heltal. Eftersom χn (t)·χm (t) = χn+m (t) ¨ar vidare den avbildning b som f˚ φ : Z → T, as genom att s¨atta φ(n) = χn , en 1-1-avbildning som respekterar gruppoperationerna i respektive grupper. S˚ adana avbildningar kallas (grupp)isomorfier. b som man r¨aknar med Z Isomorfin φ inneb¨ ar att man ”r¨aknar med” T och g¨ or att man kan identifiera den duala gruppen till T med just gruppen b = Z. Z och skriva T Om man normaliserar Haarm˚ attet p˚ a T s˚ a att ett intervall av l¨angd ` f˚ ar m˚ att `/2π, s˚ a blir fouriertransformen 1 fˆ(χn ) = 2π
Z
2π
f (t)e−int dt,
0
d¨ ar dt ¨ ar det vanliga (Lebesgue-)m˚ attet p˚ a T. Genom att skriva fˆ(n) ist¨allet f¨ or fˆ(χn ) har vi s˚ aledes ˚ aterf˚ att v˚ ar ursprungliga definition av fouriertrans1 formen till en L (T)-funktion. Inversionsformeln X f (t) = fˆ(n)eint n∈Z
L1 (T)-funktioner
f¨ or med absolutkonvergent fourierserie (sats 4.5.5) visar att den korrekta normaliseringen av Haarm˚ attet p˚ a den duala gruppen Z best˚ ar i att ge varje punkt m˚ attet 1.
Gruppen Z F¨ or varje reellt tal t ¨ ar funktionen χt (n) = eitn en karakt¨ar p˚ a Z, och alla karakt¨ arer p˚ a Z har den formen. Eftersom χt1 = χt2 om t1 − t2 ¨ar en multipel av 2π, m˚ aste vi emellertid begr¨ansa t-v¨ardena till T =]−π, π] f¨or b definierad av att φ(t) = χt , skall vara bijektiv. att avbildningen φ : T → Z, Avbildningen bevarar vidare gruppoperationerna och ¨ar d¨arf¨or en gruppisob med T. morfi, vilket inneb¨ ar att vi kan identifiera karakt¨arsgruppen Z 1 ∞ En L -funktion f p˚ a Z ¨ar detsamma som en f¨oljd (f (n))n=−∞ med absolutkonvergent summa, och med Haarm˚ attet p˚ a Z normaliserat p˚ a det naturliga s¨ attet, dvs. s˚ a att varje enpunktsm¨angd f˚ ar m˚ att 1, blir X fˆ(t) = fˆ(χt ) = f (n)e−itn . n∈Z
12.3 De klassiska grupperna
261
Eftersom serien ¨ ar likformigt konvergent, ¨ar fouriertransformen fˆ en kontinuerlig funktion, och genom att kasta om ordningen mellan summation och integration f˚ ar vi som resultat Z 2π 1 f (n) = fˆ(t)eitn dt, 2π 0 vilket ¨ ar den konkreta versionen av inversionsformeln f¨or gruppen Z.
Gruppen R F¨or varje reellt tal ω ¨ ar funktionen χω (t) = eiωt en karakt¨ar p˚ a R, och alla karakt¨ arer har den formen. Genom att s¨atta φ(ω) = χω erh˚ aller man en b som g¨ b isomorfi φ : R → R, or att man kan identifiera den duala gruppen R med gruppen R sj¨ alv. Fouriertransformen Z ∞ ˆ f (ω) = f (t)e−iωt dt −∞
och inversionsformeln 1 f (t) = 2π
Z
∞
fˆ(ω)eiωt dω
−∞
f¨or funktioner med fouriertransform tillh¨orande L1 (R) visar att om man v¨aljer det vanliga Lebesguem˚ attet dt som Haarm˚ att p˚ a R, s˚ a m˚ aste man v¨alja normaliseringsfaktorn 1/2π f¨or att f˚ a ”r¨att” Haarm˚ att p˚ a den duala gruppen. (Om man ¨ andrade definitionen av Fouriertransformen genom att √ multiplicera integralen med 1/ 2π, s˚ a skulle man f˚ a samma normaliseringsfaktor i inversionsformeln.)
Gruppen ZN Karakt¨ arerna p˚ a den ¨ andliga gruppen ZN best˚ ar av de N funktionerna χk (n) = e2πikn/N , k = 0, 1, . . . , N − 1, och eftersom χk (n) · χm (n) = χk+m (n), d¨ ar additionen k + m sker i ZN , definierar avbildningen k 7→ χk en isomorfi mellan ZN och den duala gruppen Zc ar att Zc N . Detta inneb¨ N = ZN . N −1 Fouriertransformen till en funktion f = (f (n))n=0 p˚ a ZN ¨ar fˆ(k) =
N −1 X
f (n)e−2πikn/N ,
n=0
vilket ¨ ar den diskreta fouriertransformen som vi studerade i kapitel 11. Inversionsformeln f¨ or den diskreta fouriertransformen har formen N −1 1 X ˆ f (n) = f (k)e2πikn/N . N k=0
262
12 Utblickar mot abstrakt harmonisk analys
Faktorn 1/N visar att om man normaliserar Haarm˚ attet p˚ a ZN s˚ a att varje enpunktsm¨ angd f˚ ar m˚ att 1, s˚ a skall man normalisera Haarm˚ attet p˚ a den c duala gruppen ZN = ZN s˚ a att hela gruppen f˚ ar m˚ att 1 f¨or att inversionsformeln skall bli korrekt.
Dualitet b till en lokalt kompakt abelsk grupp G ¨ar sj¨alv en Den duala gruppen G lokalt kompakt abelsk grupp och har som s˚ adan i sin tur ocks˚ a en dual grupp. Karakteriseringen ovan av de duala grupperna till v˚ ara fyra klassiska grupper T, R, Z och ZN visar att i samtliga dessa fall ¨ar den duala gruppen till den duala gruppen av en grupp G gruppen G sj¨alv. Detta ¨ar en egenskap som g¨ aller generellt − f¨ or alla lokalt kompakta abelska grupper G g¨aller att b b G = G. Vidare ¨ ar den duala gruppen till en kompakt grupp (som exempelvis grupperna T och ZN ) alltid diskret, och den duala gruppen till en diskret grupp (som Z och ZN ) alltid kompakt.
12.4
L2 -teorin
Rummet L2 (G) ¨ ar (f¨ or icke-kompakta grupper G) inte en delm¨angd till L1 (G), s˚ a d¨ arf¨ or ¨ ar fouriertransformen fˆ inte apriori definierad f¨or L2 -funktioner. D¨ aremot a ¨r naturligtvis fouriertransformen definierad f¨or alla funktioner f som ligger i snittet L1 (G)∩L2 (G), eftersom detta ¨ar en delm¨angd av L1 (G), och man kan visa att det finns en entydig linj¨ ar utvidgning av fouri2 ertransformen till hela L (G). Den precisa formuleringen ges av Plancherels sats, som kan formuleras p˚ a f¨oljande vis. Sats 12.4.1. Det finns en unik bijektiv linj¨ ar operator b F : L2 (G) → L2 (G) med egenskapen att F(f ) = fˆ f¨ or alla f ∈ L1 (G) ∩ L2 (G). Om Haarm˚ atten b normaliseras s˚ p˚ a G och den duala gruppen G a att inversionsformeln i sats 12.2.1 g¨ aller, s˚ a¨ ar operatorn F en isometri, dvs. (12.2)
kF(f )k2 = kf k2
f¨ or alla f ∈ L2 (G). Parsevals formel f¨ or grupperna T och ZN och Plancherels formel f¨or gruppen R a orst˚ as specialfall av den generella formeln (12.2). ¨r f¨
Formler Fourierserier Funktioner med period 2π: 1 fˆ(n) = 2π
f (t)
Z
π
f (t)e−int dt
−π
Allm¨ anna regler αfˆ(n) + βˆ g (n) fˆ(n − m)
αf (t) + βg(t) eimt f (t)
e−it0 n fˆ(n) fˆ(−n)
f (t − t0 ) f (−t)
fˆ(−n) infˆ(n)
f (t) f 0 (t) 1 f ∗ g(t) = 2π
Z
π
fˆ(n)ˆ g (n)
f (u)g(t − u) du −π
Trigonometrisk form ∞ a0 X f (t) ∼ + (an cos nt + bn sin nt), 2 n=1 d¨ar Z 1 π f (t) cos nt dt = fˆ(n) + fˆ(−n) an = π −π Z 1 π bn = f (t) sin nt dt = i fˆ(n) − fˆ(−n) . π −π
Parsevals formel: Z π ∞ ∞ X 1 |a0 |2 1 X |f (t)|2 dt = |fˆ(n)|2 = + (|an |2 + |bn |2 ). 2π −π 4 2 n=−∞ n=1
263
264
Formler
Funktioner med period P : f (t) ∼
∞ X n=−∞
∞
cn einΩt =
a0 X + (an cos nΩt + bn sin nΩt), 2 n=1
d¨ ar Ω = 2π/P, Z 1 P/2 cn = f (t)e−inΩt dt, P −P/2 Z 2 P/2 an = f (t) cos nΩt dt, P −P/2 Z 2 P/2 f (t) sin nΩt dt. bn = P −P/2 Parsevals formel: Z ∞ ∞ X 1 P/2 |a0 |2 1 X |f (t)|2 dt = + (|an |2 + |bn |2 ). |cn |2 = P −P/2 4 2 n=−∞ n=1
Formler
265
Fouriertransformen fˆ(ω) =
f (t)
Z
∞
f (t)e−iωt dt
−∞
Allm¨ anna regler αfˆ(ω) + βˆ g (ω) fˆ(ω − α)
αf (t) + βg(t) eiαt f (t)
e−it0 ω fˆ(ω) fˆ(−ω)
f (t − t0 ) f (−t) f (at)
|a|−1 fˆ(ω/a)
(a 6= 0)
f (t)
fˆ(−ω)
tf (t)
i fˆ0 (ω) iω fˆ(ω)
f 0 (t) Z
∞
f ∗ g(t) =
f (u)g(t − u) du
fˆ(ω)ˆ g (ω)
−∞
fˆ(t)
2πf (−ω) 1 ˆ f ∗ gˆ(ω) 2π
f (t)g(t)
Speciella funktioner χ[−a,a] (t)
(a > 0)
(a − |t|)χ[−a,a] (t) e−|t| e−t H(t) et (1 − H(t)) e−|t| sgn(t) 1 1 + t2
πe−|ω|
√
2 /2
e−t
sin at t
(a > 0)
2 sin aω ω 4 sin2 12 aω ω2 2 1 + ω2 1 1 + iω 1 1 − iω −2iω 1 + ω2
(a > 0)
2πe−ω
2 /2
π χ[−a,a] (ω)
266
Formler
Plancherels formler: Z
∞
1 |f (t)| dt = 2π −∞
Z
∞
2
1 f (t) g(t) dt = 2π −∞
Z
∞
|fˆ(ω)|2 dω,
−∞
Z
∞
−∞
fˆ(ω) gˆ(ω) dω.
Formler
267
Laplacetransformen
Z f (t)
F (s) = L[f ](s) =
∞
f (t)e−st dt
0
Allm¨ anna regler αf (t) + βg(t)
αF (s) + βG(s)
eat f (t)
F (s − a)
f (at), a > 0
a−1 F (s/a)
f (t − a)H(t − a), a > 0
e−as F (s)
tn f (t)
(−1)n F (n) (s)
f 0 (t)
sF (s) − f (0) n−1 X n s F (s) − f (k) (0)sn−1−k
f (n) (t) Z t f (u) du 0 Z t f ∗ g(t) = f (u)g(t − u) du
k=0
s−1 F (s) F (s)G(s)
0
Speciella funktioner 1 tn , n = 0, 1, 2, . . . tα , α > −1 eat tn eat , n = 0, 1, 2, . . . tα eat , α > −1 cos at sin at t cos at t sin at
1 s n! sn+1 Γ(α + 1) sα+1 1 s−a n! (s − a)n+1 Γ(α + 1) (s − a)α+1 s 2 s + a2 a s 2 + a2 s2 − a2 (s2 + a2 )2 2as 2 (s + a2 )2
268
Formler sin t t
1 s log s + γ − s s − a log s−b arctan
log t ebt − eat t
Z Γ(x) =
∞
tx−1 e−t dt, x > 0.
0
γ = Eulers konstant = lim
n→∞
n X k=1
Γ(x + 1) = xΓ(x). 1 − log n ≈ 0.5772156. k
Formler
269
Z-transformen an
A(z) = Z[a](z) =
∞ X n=0
Allm¨ anna regler αan + βbn
αA(z) + βB(z)
λn a
A(z/λ)
n
an−k , d¨ ar k ≥ 1 och a−1 = · · · = a−k = 0
z −k A(z)
an+k , d¨ ar k ≥ 1
z k A(z) −
nan
−zA0 (z)
k−1 X
aj z k−j
j=0
(a ∗ b)n =
n X
ak bn−k
A(z)B(z)
k=0
Speciella f¨ oljder ( 1 om n = 0, δn = 0 om n ≥ 1 1 n n2 n k λn nλn n n−k λ k cos αn sin αn
1 z z−1 z (z − 1)2 z2 + z (z − 1)3 z (z − 1)k+1 z z−λ λz (z − λ)2 z (z − λ)k+1 z 2 − z cos α z 2 − 2z cos α + 1 z sin α 2 z − 2z cos α + 1
an z −n
270
Formler
Diskreta fouriertransformen Grupp: ZN Karakt¨ arer: χk (n) = e2πink/N , (k ∈ ZN ) Karakt¨ arsrelationer: χk (n) = χn (k), χk (n) = χk (−n) = 1/χk (n)
fˆ(n) =
f (k)
X
f (k)χn (k)
k∈ZN
Allm¨ anna regler αfˆ(n) + βˆ g (n) fˆ(n − m)
αf (k) + βg(k) χm (k)f (k)
χm (n)fˆ(n)
f (k − m) fˆ(k) f ∗ g(k) =
X
f (m)g(k − m)
N f (−n) fˆ(n)ˆ g (n)
m∈ZN
Parsevals formel:
X
|f (k)|2 =
1 X ˆ |f (n)|2 N n∈ZN
k∈ZN
Snabba fouriertransformen N −1 L˚ at N vara j¨ amnt och s¨att f¨or f = f (k) k=0 : N/2−1 N/2−1 u = f (2k) k=0 och v = f (2k + 1) k=0 . D˚ a¨ ar fˆ(k) = u ˆ(k) + e−2πik/N vˆ(k) fˆ(N/2 + k) = u ˆ(k) − e−2πik/N vˆ(k) f¨ or k = 0, 1, . . . , N/2 − 1.
Svar till ¨ ovningsuppgifter 2.3 a) f ∈ L1 ([0, 1]), kf k1 = 2 c) f ∈ L1 ([0, 1]), kf k1 = 1
b) f ∈ / L1 ([0, 1])
2.5 F¨ oljden i b) ligger i `2 och har norm 3−1/2 . 2.8 a) f ∈ / L2 (I)
b) f ∈ L2 (I), kf k2 = 1
c) f ∈ L2 (I), kf k2 = 1
2.9 T. ex. f (t) = |t|−1/2 (1 + |t|)−1 och g(t) = (1 + |t|)−1 . 3.1 1/3 3.2 Varje rationellt tal ¨ ar en period. 3.3 L˚ at P vara en godtycklig period och skriv den p˚ a formen P = nP0 + r d¨ ar n ¨ ar ett heltal och 0 ≤ r < P0 . D˚ a ¨ar ocks˚ a r en period, s˚ a det f¨ oljer att r = 0 eftersom P0 ¨ar den minsta positiva perioden 3.4 Om P0 a a a¨r P0 inte en ¨r lika med infimum o¨ver alla positiva perioder, s˚ period eftersom det inte finns n˚ agon minsta positiv period. Definitionen av infimum inneb¨ ar att det finns perioder P > P0 godtyckligt n¨ara P0 . Eftersom P − P0 ocks˚ a ¨ar en period, finns det d¨armed godtyckligt sm˚ a positiva perioder. 3.5 Om den kontinuerliga periodiska funktionen f inte ¨ar konstant, s˚ a finns det tv˚ a tal a och b d¨ar f (a) < f (b). Kontinuiteten medf¨or att f (a) < f (t) f¨ or alla t i en liten omgivning av b. Eftersom funktionen har godtyckligt sm˚ a perioder finns det ett tal c i denna omgivning d¨ar f (c) = f (a). Detta ¨ ar en mots¨agelse. 3.6 8/3 √ √ 3 2 3 2 2it 3.7 (1 − i)e + (1 + i)e−2it 4 4 3.10
π 3 π 1 sin(3t + ) + sin(t + ) 4 2 4 2
3.11
1 4it 1 2it 3 1 −2it 1 1 1 3 e − e + − e + e−4it resp. cos 4t − cos 2t + 16 4 8 4 16 8 2 8 271
272
Svar till o ¨vningsuppgifter
3.12 1 + 2
N X
cos nt
n=1
3.13 2N stycken 3.14 2i resp. 1. 3.15 −2 3.16 a) 2 sin t + 3 cos 2t + 4 sin 3t b) 12 + 12 cos 6t X 2 · (−1)n π2 eπ − e−π X (−1)n int int c) + e d) e 3 n2 2π 1 − in n∈Z
n6=0
∞ 1 1 2 X cos 2nt e) sin t + − 2 π π 4n2 − 1 n=1
∞
3.17
8 X n sin 2nt π 4n2 − 1 n=1
∞
4 X cos 2nt 3.18 − π π 4n2 − 1 2
n=1
3.19 a) gˆ(n) = e−inc fˆ(n) b) gˆ(n) = fˆ(n − m) n−1 2 ˆ c) gˆ(n) = (−1) n f (n) 3.20 gˆ(n) = e−3(n−2)i fˆ(n − 2) 3.22 f (t) = Ce2it 3.26 a) och b) Fourierserien konvergerar med summa f (t) f¨or alla t. 3.27 a) −π2 /12 (V¨ alj t = 0 i serien i 3.26 a) b) π2 /6 (V¨ alj t = π i serien i 3.26 a) c) 1/2 (V¨ alj t = 0 i serien i 3.26 b) 1 1 sin t − cos t 2 π sin απ X (−1)n int 3.30 f (t) ∼ e π α−n
3.28
n∈Z
3.31
π2
sin2 απ
3.32 a) 4.1 π
π4
90
b)
π2
16
−
1 2
Svar till o ¨vningsuppgifter
273
4.3 F¨ or |α| ≤ 1 utom α = 1 med abelsumma (1 − α)−1 . 4.4 F¨ or |α| ≤ 1 utom α = 1 med abelsumma α(1 − α)−2 . Z π Z π | sin(N + 12 )t| | sin(N + 12 )t| 4.7 b) Visa f¨ orst att dt = 2 dt+O(1) = t sin 12 t 0 0 Z Nπ | sin u| 2 du + O(1). Utnyttja sedan att f¨or k ≥ 3 ¨ar u Z0 k+1 Z Z kπ du 2 | sin u| 2 2 k−1 du 2 ≤ ≤ du ≤ ≤ . π k u kπ u (k − 1)π π k−2 u (k−1)π ∞ 1 1 8X 5.1 u(x, t) = sin 2t sin 2x + cos(2n + 1)t sin(2n + 1)x 3 2 π (2n + 1) n=0
∞
5.2
2 X sin na sin nt sin nx π n n=1
∞
−t
5.3 u(x, t) = e
sin x +
4X π
n=0
1 2 e−(2n+1) t sin(2n + 1)x 2n + 1
5.4 u(x, t) = 1 + 3 e−16t cos 4x 5.5 u(x, t) =
π
2
+1−
∞ 4 X
π
n=0
1 2 e−(2n+1) t cos(2n + 1)x 2 (2n + 1)
∞
8X
1 2 e−(2n+1) t sin(2n + 1)x 3 π (2n + 1) n=0 ∞ 1 8 e−2t X 2 e−(2n+1) t sin(2n + 1)x b) u(x, t) = π (2n + 1)3
5.6 a) u(x, t) =
n=0
5.7 u(x, t) =
x
∞
+ sin x − e−t sin x +
π
(e−iω − 1)i ω ω2 + 2 e) 2 4 ω +4
6.1 a)
6.2 a)
(e−iω − 1)i ω
2 X (−1)n −n2 t e sin nx π n n=1
b)
b)
(1 + iω)e−iω − 1 ω2
2i sin πω ω2 − 1
c) 2
c)
ω2 + 2 ω4 + 4
ˆ 6.3 a) f˜(ω) = fˆ(ω) 6.4 a) 2i
ω cos ω − sin ω ω2
b) −
−4iω (1 + ω 2 )2
4iω (1 + ω 2 )2
d)
1 + e−iπω 1 − ω2
274
Svar till o ¨vningsuppgifter 1 ; f ∗ g(t) = 21 e−|t| . 1 + ω2 ( 4 t e t −t/2 (1 − H(t))e + H(t)e = 34 −t/2 3e
6.6 fˆ(ω)ˆ g (ω) =
6.7 f (t) =
4 3
om t < 0, om t > 0.
[Ledning: Integralekvationen kan skrivas f (t) = e−|t| + 21 k ∗ f (t), d¨ar k(t) = H(t)e−t . Fouriertransformera!] 6.8 a) f ∗ f (t) = (1 + |t|)e−|t|
b) y(t) = − 21 (1 + |t|)e−|t|
π π 6.9 fˆ(ω) = e−b|ω| . Integralens v¨arde a¨r e−ab (= fˆ(a)). b b
6.10 π sin ω −|ω| 6.11 fˆ(ω) = 2π e ω 2
sin ω 6.14 a) fˆ(ω) = 4 ω2
b)
2π 3
6.15 π sin ω − ω cos ω 6.16 a) fˆ(ω) = 4 ω3
b)
2π 15
6.19 gˆ(ω) = |fˆ(ω)|2 cos ω − cos 2ω sin2 ω − sin2 (ω/2) 6.20 a) fˆ(ω) = 2 = 4 ω2 ω2 4π b) 3 5 π (Anv¨and Plancherels formel p˚ a pol¨ar form.) c) 4 arctan 2 − − log 2 2 6.21 a)
π
2
b) gˆ(ω) =
−|ω| 6.22 b) fˆ(ω) = π ee
√
e1+iω − e−(1+iω) 1 c) fˆ(ω) = 2 (1 + iω) (1 + iω)2 −1 c) π(e − 1)
d)
1 2
√
eπ/ a + e−π/ a 1 √ − 6.23 √ · π/√a 2 a e − e−π/ a 2 π
6.1 a)
(e−iω − 1)i ω
6.2 a) 2i
b)
ω cos ω − sin ω ω2
sin ω −|ω| 6.3 fˆ(ω) = 2π e ω
(1 + iω)e−iω − 1 ω2 b) i
c)
e−ibω − e−iaω ω
−4iω (1 + ω 2 )2 c) 2
d)
ω2 + 2 ω4 + 4
1 + e−iπω 1 − ω2
Svar till o ¨vningsuppgifter
275
2 2 6.4 a) φˆµ,σ (ω) = e−iµω−σ ω /2 p b) φµ1 ,σ1 ∗ φµ2 ,σ2 = φµ1 +µ2 ,σ , d¨ar σ = σ12 + σ22 . I sannolikhetsteoretiska termer betyder detta att summan av oberoende normalf¨ordelade stokastiska variabler ¨ ar normalf¨ordelad och att summans medelv¨arde resp. varians ¨ ar lika med summan av medelv¨ardena resp. varianserna hos de i summan ing˚ aende stokastiska variablerna.
ˆ 6.5 a) f˜(ω) = fˆ(ω) 6.6 gˆ(ω) = |fˆ(ω)|2 π π 6.8 fˆ(ω) = e−b|ω| . Integralens v¨arde a¨r e−ab (= fˆ(a)). b b
6.9 π 6.10 f ∗ g(t) = 12 e−|t| 6.13 a) f ∗ f (t) = (1 + |t|)e−|t| b) y(t) = − 12 (1 + |t|)e−|t| ( 4 x e om x < 0, 6.14 f (x) = 43 −x/2 om x > 0. 3e 2
sin ω 6.15 a) fˆ(ω) = 4 ω2
b)
2π 3
6.16 π sin ω − ω cos ω 6.17 a) fˆ(ω) = 4 ω3
b)
2 π 15
sin2 ω − sin2 (ω/2) cos ω − cos 2ω 6.18 a) fˆ(ω) = 2 = 4 ω2 ω2 4π b) 3 π 5 c) 4 arctan 2 − − log (Anv¨and Plancherels formel p˚ a pol¨ar form.) 2 2 6.19 a)
π
2
b) gˆ(ω) = √
e1+iω − e−(1+iω) (1 + iω)2
c) fˆ(ω) =
1 (1 + iω)2
d)
1 2
√
eπ/ a + e−π/ a 1 √ + 6.20 √ · π/√a 2 a e − e−π/ a 2 π
p 8.3 φµ1 ,σ1 ∗ φµ2 ,σ2 = φµ1 +µ2 ,σ , d¨ar σ = σ12 + σ22 . I sannolikhetsteoretiska termer betyder detta att summan av oberoende normalf¨ordelade stokastiska variabler ¨ ar normalf¨ordelad och att summans medelv¨arde resp. varians ¨ ar lika med summan av medelv¨ardena resp. varianserna hos de i summan ing˚ aende stokastiska variablerna.
276
Svar till o ¨vningsuppgifter 1 1 2 b) c) 2 s3 (s − 2)2 s − 2s + 2 es − 1 − s 1 − (s + 1)e−s f) e) s2 s2 (es − 1)
9.1 a)
9.2 a) 21 t2 e) 9.5 a) e)
b) 16 t3
c) 41 e2t − 12 t −
1 2 2 t χ[0,1[ (t)
+ (t −
3 2 s +9
b)
1 2 )H(t
s 2 s +9
1 4
d)
1 − e−s s
d) tχ[0,1[ (t) + H(t − 1)
− 1) s+2 (s + 2)2 + 9
c)
d)
e−s s−2
2 (s − 3)(s2 + 4)
9.6 a) 1 − e−t
b) 15 e−2t sin 5t
c) (3t + 1)e2t − e−t cos t
d) 12 (t − 1) sin(t − 1) · H(t − 1)
e) (e2(t−1) − et−1 )H(t − 1)
1 9.7 f˜(s) = arctan s 9.8 f (t) =
e−2t − e−3t t
9.9 f (t) = 2 cos t − t sin t 9.10 x(t) = −t + et − e−t , y(t) = −1 + et + e−t 9.11 f (t) = 4 − 3 cos t 9.12 y(t) = t + 2 + (2t − 2)et R∞ log s + C 9.14 f˜(s) = − , d¨ar C = − 0 e−t log t dt. s Man kan visa att konstanten C a¨r lika med Eulers konstant γ. 9.15 x(t) = 2et + sin t, y(t) = cos t 9.16 y(t) = z(t) = e2t 1 1 9.17 f˜(s) = log 1 + s s 9.19 K(s) = 9.20 K(s) =
2s + 1 , k(t) = (3 − t)e−t − 3e−2t . Stabilt. (s + 1)2 (s + 2) s2
9.21 a) Instabil
1 , k(t) = +4 b) Stabil
1 2
sin 2t. Instabilt.
c) Stabil
d) Stabil Z
9.22 a) y(2nπ) = −2nπ → −∞
b) y(2nπ) = − 0
2nπ
| sin t| dt → −∞ t
Svar till o ¨vningsuppgifter
9.23
277
2es 2es − 1
9.25 δ + 2δ1 resp. 1 + 2e−s 10.1 a) 10.2 a)
z z+2 z2
1 +1
10.3 −z log 1 − 10.4 a) 13 ·
b) b)
3z (z − 3)2 (z 2
c)
2z 2 + 4z (z − 2)3
1 + 1)2
1 z ( 0 b) an = 1
2 n 3
om n 6= 1, om n = 1
c) an = n·2n+1 +3·(−1)n .
10.5 an = n + 5 − 3 · 2n 10.6 an = n + 1 + 10.7 an =
2 5
· 4n +
in − (−i)n = n + 1 + sin 2π n 2i 3 5
· (−1)n , bn = − 45 · 4n +
9 5
· (−1)n
10.8 a) x0 = 1, xn = 65 · 2n f¨ or n ≥ 1 π 1 n b) xn = 5 2 + 4 cos 2 n − 2 sin 2π n 10.10 Systemet ¨ ar instabilt. y2k = 0 och y2k+1 = (−1)k (k + 1). 1 ¨ 10.11 Systemet ¨ ar stabilt. Overf¨ oringsfunktion: (z 2 − z) log 1 − + z. z 11.1 a) fˆ = (10, −2 + 2i, 2i) b) fˆ = √ (2i, −4i, 6, −2 √−2, −2 −√ √ + 2i) ˆ c) f = (21, −3 + 3 3 i, −3 + 3 i, −3, −3 − 3 i, −3 − 3 3 i) 11.3 a) ( 12 , − 12 , 12 , 21 ) b) (0, 0, 1, 0) √ √ i 3 i 3 11.4 f = 1, ,− , gˆ = (0, 0, 3) och f ∗ g = (0, 0, 0). 3 3 11.5 f = (1, 2, −1, 0) 11.6 a) f = (c, c, . . .P , c) b) Alla b med N osningen ¨ar ej entydig. k=0 bk = 0. L¨ 11.7 Egenv¨ ardena ¨ ar 8, −1 + i, 2 och −1 − i. 11.8 a)
i −2 − i 3 0 0 i −2 − i 3 3 0 i −2 − i −2 − i 3 0 i
278
Svar till o ¨vningsuppgifter
b) Egenv¨ arden: 1, −2−i, 5+2i och −4+3i. Motsvarande egenvektorer: (1, 1, 1, 1), (1, i, −1, −i), (1, −1, 1, −1) och (1, −i, −1, i). √ √ √ 2 11.12 b) v = (−1 + 2, 1, −1 − 2, 1) 4 ˆ (10, −2 + 2i, −2, −2 − 2i) 11.13 a) a ˆ = (8, √ −2i, −4, 2i), b = √ √ √ b) 18, ( 8 − 2)i, −4 + 2i, ( 8 + 2)i, −2, −( 8 + 2)i, −4 − 2i, (2 − 8)i b best˚ 12.1 Den duala gruppen G ar av fyra element χ1 , χA , χB och χC som definieras av tabellen x χ1 (x) χA (x) χB (x) χC (x)
0 1 1 1 1
a 1 1 −1 −1
b 1 −1 1 −1
c 1 −1 −1 1
Avbildningen 0 7→ χ1 , a 7→ χA , b 7→ χB , c 7→ χC ¨ar en isomorfi mellan b s˚ b ¨ar isomorfa. G och G, a de b˚ ada grupperna G och G 12.2 Visa f¨ orst att om f : R → C a¨r en kontinuerlig icke-trivial multiplikativ funktion, dvs. om f uppfyller (1)
f (s + t) = f (s)f (t)
och
f (0) = 1,
s˚ a¨ ar f automatiskt deriverbar med f 0 (t) = f 0 (0)f (t). DeriverbarheRδ ten f¨ oljer genom att v¨alja δ > 0 s˚ a litet att a(δ) = 0 f (s) ds 6= 0 (h¨ ar anv¨ ands att f ¨ar kontinuerlig och f (0) = 1) och sedan integrera identiteten i (1) med avseende p˚ a s ¨over intervallet [0, δ], vilket efter ett variabelbyte leder till Z t+δ f (t) = a(δ)−1 f (u) du. t
Litteratur F¨or dem som ¨ onskar f¨ ordjupa sig ytterligare inom omr˚ adet fourieranalys f¨oljer h¨ ar n˚ agra f¨ orslag p˚ a b¨ ocker. Thomas W. K¨ orner, Fourier Analysis. Cambridge University Press, 1989. F¨orfattaren presenterar ett skyltf¨onster med id´eer, tekniker och resultat inom fourieranalysen. Boken a ¨r tillg¨anglig f¨or alla med grundl¨aggande kunskaper i analys. Elias M. Stein & Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press, 2003. Boken riktar sig till studenter med begynnande kunskaper inom matematisk analys och presenterar teorin utan att fastna i teknikaliteter. Med utg˚ angspunkt fr˚ an v˚ agekvationen behandlas f¨orst fourierserien, olika konvergens- och summabilitetsbegrepp samt ett flertal till¨ampningar. Den andra delen av boken handlar om fouriertransformen med till¨ampningar p˚ a de klassiska partielladifferentialekvationerna och Radontransformen. Avslutningsvis diskuteras fourierteorin f¨ or ¨ andligaabelska grupper med till¨ampning p˚ a primtal i aritmetiska f¨ oljder. Anders Vretblad, Fourier Analysis and Its Applications, Springer, 2003. Boken inneh˚ aller f¨ orutom klassisk fourieranalys ocks˚ a en l¨attillg¨anglig introduktion till fourieranalys med distributioner. Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, 3rd ed., Cambridge University Press, 2004. Denna klassiker a ¨r en avancerad bok som f¨oruts¨atter kunskaper i funktionalanalys och m˚ atteori. Boken startar med cirkelgruppen T och handlar i de f¨orsta fem kapitlen om klassiska fourierserier f¨or att sedan ¨overg˚ a till fourieranalys p˚ a R i kapitel 6 och p˚ a allm¨anna lokalt kompakta grupper i kapitel 7. Ett avslutande kapitel ¨ agnas ˚ at kommutativa banachalgebror. Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987. En klassiker f¨ or den som l¨ ast en grundl¨aggande kurs i analys och vill l¨ara sig mer om reell och komplex analys p˚ a masterniv˚ a. Tio av bokens tjugo kapitel ¨agnas ˚ at reell analys: m˚ att och integrationsteori, Lp -rum, fourieranalys, element¨ ar hilbertrumsteori och exempel p˚ a banachrumsteknik.
279
Sakregister Abel, 112 Abels summationssats, 93 abelsk grupp, 253 abelsummation, 93 absolutkonvergent, 21 additiv avbildning, 89 d’Alembert, 80 aliasing, 168 amplitud, 50 analog signal, 4 autokorrelationsfunktion, 143 avbildning additiv, 89 begr¨ ansad, 89 positiv, 89 subadditiv, 89 avst˚ and, 25 bandbegr¨ ansad, 5, 165 bandbredd, 5, 165 begr¨ansad avbildning, 89 begynnelsev¨ ardesregeln, 204 Bernoulli, 80 Bessel, 81 Bessels olikhet, 34, 103 betingat konvergent, 21 BIBO-stabilitet, 173, 225 Borel, 185 Bromwichintegralen, 199 C(I), 24 CK (I), 24 Cb (I), 24 C(T), 54 C0 (R), 131 Carleson, 112
Cauchy–Schwarz olikhet, 30 Cauchys konvergensprincip, 20 centrala gr¨ansv¨ardessatsen, 180 ` ro, 112 Cesa Clairaut, 80 Cooley, 252 cyklisk matris, 243 delsumma, 20 delton, 2 diffusion, 8 Dini, 112 Dinis konvergenskriterium, 106 Diracm˚ attet, 40 Dirichlet, 80 Dirichletk¨arna, 151 Dirichlets polynom, 52 problem, 124 diskret fouriertransform 235 grupp, 254 signal, 4 divergent serie, 20 dominerad konvergens, 85 dual grupp, 257 E, 188, 213 entydighetssatsen, 100, 138, 150, 198, 214 Euler, 80 exponentiellt v¨axande, 188 faltning, 7, 68, 136, 162, 192, 223, 240, 256 fasvinkel, 50 281
282 ´r, 112 Feje Fick, 11 Ficks lag, 9, 10 Fischer, 162 Fourier, 80 fourierbasen, 234 fourierkoefficient, 3, 57 fourierserie, 3, 45, 57 fouriertransform, 5, 58, 128, 129, 156, 159, 161, 235, 258 frekvenssvar, 172 fullst¨ andigt ON-system, 35 Gauss, 252 Gaussk¨ arnan, 147 generaliserad derivata, 107 Gibbs, 81 Gibbs fenomen, 73 Grandi, 112 grundton, 2 grundvinkelfrekvens, 79 Haarm˚ att, 255 harmonisk analys, 1 funktion, 124 Heavisidefunktionen, 42 Heisenbergs olikhet, 175 h¨ ogergr¨ ansv¨ arde, 69 H¨ olderkontinuitet, 107 impuls, 6, 224 impulssvar, 6, 172, 206, 224 inre produkt, 30 inreproduktrum, 30 invers fouriertransform, 236 inversionsformeln, 128, 199 inversionssatsen, 139, 149, 236 Jordan, 112 karakt¨ ar, 232, 257 kausal, 6, 174, 224 komplext vektorrum, 24 kontinuerlig, 14
Sakregister kontinuitetsprincipen, 89 konvergens betingad, 21 dominerad, 85 i L1 , 29 i normerat rum, 25 likformig, 26, 86 punktvis, 85 konvergensabskissa, 188 konvergent serie, 20 L1 , 24, 27, 54, 256 L1 -normen, 27 L2 , 37, 75, 257 `2 , 31 Lagrange, 80 Laplace, 185 laplacetransform, 189, 210 Lebesgue, 43 Lebesgues sats om dominerad konvergens, 85 Leibniz, 43 ´vy, 186 Le L´evys sats, 181 likformig konvergens, 26, 86 kontinuitet, 15 Lindeberg, 186 linj¨ar funktional, 39 linj¨art system, 170 lokalt kompakt grupp, 255 LTI-system, 171 Lyapunov, 185 de Moivre, 228 multiplikativitet, 232 m˚ att, 39 nedsamplingsoperator, 247 Newton, 43 nollm¨angd, 28 norm, 25 normerat rum, 25 n¨astan ¨overallt, 28
Sakregister oktav, 114 ON-system, 32 ortogonal, 32 projektion, 33 Parseval, 81 Parsevals formel, 76, 77 sats, 102, 239 partialsumma, 20 period, 16, 45 periodisk funktion, 16, 45 Plancherel, 162 Plancherels formel, 129, 141, 156, 161 sats, 158, 262 Poisson, 112 poissonk¨ arnan, 95 Poissons summationsformel, 145 pol, 208 positiv avbildning, 89 punktvis konvergens, 85
283 topologisk grupp, 254 translat, 16, 231 translation, 16, 220, 231, 254 translationsinvariant, 242 triangelolikheten, 18, 25 trigonometrisk form, 50, 60 trigonometriskt polynom, 51 Tukey, 252 t¨at m¨angd, 29, 89 uppsamplingsoperator, 247 vikning, 168 vinkelfrekvens, 50 v¨anstergr¨ansv¨arde, 69 v¨armeledningsk¨arnan, 147 Weierstrass approximationssats, 110 majorantsats, 87 Whittaker, 185 Wilbraham, 81
z-transform, 213 Riemann, 43 Riemann–Lebesgues lemma, 101, 150 o¨verf¨oringsfunktion, 8, 206, 226 Riemanns lokaliseringsprincip, 108 ¨overton, 2 Riesz, 162 SN , 57 sampling, 4 samplingssatsen, 165 serie, 20 Shannon, 185 signal i kontinuerlig tid, 4 sinusoid, 49 skalning, 47 slutv¨ardesregeln, 204 snabba fouriertransformen, 248 spektrum, 2 subadditiv avbildning, 89 supnormen, 25 svart l˚ ada, 6 tidsinvariant, 6, 170, 224 tillst˚ andsfunktion, 206
