Esercizi su decisioni in condizioni di rischio Es. 1) Gli azionisti della ACME devono decidere se mettere le maestranze di fronte alle seguenti alternative: i) un aumento del 10% dell’orario di lavoro a parità di stipendio, ii) delocalizzazione dell’impresa con conseguente perdita di posti di lavori. Gli azionisti stimano che vi sia un 50% di probabilità che le maestranze accettino l’aumento dell’orario di lavoro, con un aumento dei profitti aziendali di 100MEuro. Altrimenti si dovrà delocalizzare. In questa situazione c’è il 50% di probabilità che non si incontrino difficoltà e si abbia un incremento di profitti di 80MEuro, vi è però anche un 50% di probabilità di andare incontro a una perdita di 90MEuro a causa delle possibili instabilità socio-economiche del paese in cui si vuole delocalizzare. Nel caso in cui le maestranze non accettino la proposta aziendale si può decidere anche di non delocalizzare, ma il costo di immagine che si pagherebbe è stimato in 10MEuro. a) Disegnare l’albero decisionale che supporti la vostra azienda nella decisione nell’ipotesi che questa sia basata sull’ottimizzazione del valore atteso del profitto. Indicare le decisioni ottime. b) Indicare quale il valore minimo della probabilità che le maestranze accettino l’aumento dell’orario di lavoro a parità di stipendio affinché convenga proporre questo accordo. c) Indicare quale è l’informazione perfetta che gli azionisti dovrebbero avere per compiere la scelta ottima. Indicare quanto sarebbero disposti a pagare l’informazione perfetta. Es. 2) La vostra azienda multinazionale vi ha proposto una promozione in cambio di un trasferimento in un paese a rischio. Potete rifiutare, in questo caso la vostra carriera è bruciata e avete un’utilità di 40. Se accettate dovete valutare se trasferire la vostra famiglia. Ritenete infatti che a causa dei possibili conflitti nel paese avete un 30% di probabilità che succedano incidenti ai vostri familiari e che quindi voi percepiate un’utilità di 0, se invece non avvengono incidente la vostra utilità sale a 100. Alternativamente, potete decidere di non trasferire la vostra famiglia. Stimate un 80% di probabilità che il vostro partner accetti la vostra lontananza e quindi percepite un’utilità di 80. C’è però anche una probabilità del 20% che il vostro partner non si adatti alla situazione e vi abbandoni, in questo caso l’utilità che percepite è 20. a) Disegnare l’albero decisionale che vi supporti nella decisione nell’ipotesi che questa sia basata sull’ottimizzazione dell’utilità attesa. Indicare le decisioni ottime. b) Indicare quale è il valore minimo della probabilità che il vostro partner vi abbandoni affinché vi convenga decidere di trasferire la famiglia nel caso accettiate la promozione. c) Indicare quale è l’informazione perfetta che dovreste avere per compiere la scelta ottima. Indicare quanto sareste disposti a pagare l’informazione perfetta in termini di utilità. Supponete che le scelte del vostro partner e le probabilità di conflitto nel paese dove vi vogliono trasferire siano indipendenti. Es. 3) Siete il primo ministro di una nazione la cui industria tessile è minacciata dalle esportazioni cinesi. Dovete decidere se è conveniente introdurre delle misure restrittive alle importazioni. Nel caso in cui voi le introduciate vi è una probabilità del 30% che i cinesi rispondano con contromisure minori e quindi vi è un guadagno complessivo per il paese di 100 nelle opportune unità di misura. Viceversa c’è una probabilità del 70% che i cinesi reagiscano in maniera pesante e quindi vi troviate di fronte a dovere decidere se sostenere una guerra commerciale o meno. Nel caso vi imbarchiate in una guerra commerciale vi è una probabilità del 50% che alla fine vinciate e vi sia un guadagno di 50, se perdete vi è una perdita di 70. Se non adottate misure restrittive, le perdite saranno comunque di 20. Le perdite saranno di 30 se dopo avere adottato misure restrittive le ritirate per non imbarcarvi in una guerra commerciale. a) Disegnare l’albero decisionale che vi supporti nella decisione nell’ipotesi che questa sia basata sull’ottimizzazione del guadagno atteso. Indicare le decisioni ottime. b) Indicare quale è il valore minimo della probabilità che la Cina reagisca pesantemente affinché vi convenga decidere di non adottare misure restrittive. c) Indicare quale è l’informazione perfetta che dovreste avere per compiere la scelta ottima. Indicare quanto sareste disposti a pagare l’informazione perfetta.
Esercizi su decisioni in condizioni di incertezza Es. 4) Risolvere gli esercizi 1, 2, 3 proposti per gli alberi decisionali supponendo di essere in condizioni di incertezza. In particolare scrivere la matrice dei payoff ed indicare le scelte che sarebbero compiute applicando i metodi Maxmax, Maxmin,
Altri esercizi su decisioni in condizioni di rischio e incertezza Es. 5) Avete acquistato un software di 100KEuro e la ditta produttrice vi propone di firmare immediatamente anche per un servizio di manutenzione e aggiornamento al costo di 10KEuro. In alternativa, potrete decidere se acquisire il servizio di manutenzione dopo un anno, al termine della garanzia, con un costo di 15KEuro. La vostra precedente esperienza vi suggerisce che circa l’80% del sw ha avuto bisogno di manutenzione (gratuita) durante il primo anno di garanzia. Di questo sw, il 60% ha avuto bisogno di manutenzione anche negli anni successivi. Del rimanente 20% di sw, che non ha avuto bisogno di manutenzione nel primo anno di garanzia, solo il 10% ha avuto bisogno di manutenzione negli anni successivi. Il costo della manutenzione al di fuori del periodo di garanzia si aggira sempre sul 30% del valore di acquisto. a) Disegnare l’albero decisionale che vi supporti nella decisione nell’ipotesi che questa sia basata sull’ottimizzazione del valore atteso del costo. Indicare le decisioni ottime. b) Indicare quale il costo massimo che deve avere il programma di manutenzione affinché vi convenga acquistarlo immediatamente. . Si supponga che al termine della garanzia questo costo aumenti di ½. c) Indicare quale è l’informazione perfetta che dovreste avere per compiere la scelta ottima. Indicare quanto sareste disposti a pagare l’informazione perfetta. d) Ripetere l’esercizio in condizioni di incertezza. Es. 6) La vostra azienda deve espandersi. Sta valutando se farlo in loco, zona A,con una spesa di 20MEuro oppure se scegliere la zona B meno fortunata e sperare di potere godere di incentivi forniti dall’Unione Europea. Per avere gli incentivi bisogna fare una richiesta di finanziamento solo dopo avere compiuto un investimento nella zona B di almeno 5MEuro. Il finanziamento è concesso nel 70% dei casi e copre il 50% delle spese, che nella zona B si stimano essere di circa 30MEuro (compresi i 5MEuro pagati inizialmente). Nel caso che l’Unione Europea non finanzi la vostra azienda essa potrà ovviamente decidere se continuare ad espandersi nella zona B sostenendo tutte le spese, oppure vendere quanto avete già sviluppato con una perdita di circa 2MEuro e poi ampliarsi nella zona A. a) Disegnare l’albero decisionale che supporti la vostra azienda nella decisione nell’ipotesi che questa sia basata sull’ottimizzazione del valore atteso del costo. Indicare le decisioni ottime. b) Indicare quale il finanziamento percentuale minimo che deve dare l’Unione Europea affinché convenga provare a chiedere tale contributo. c) Indicare quale è l’informazione perfetta che la vostra azienda dovrebbe avere per compiere la scelta ottima. Indicare quanto sareste disposti a pagare l’informazione perfetta. d) Ripetere l’esercizio in condizioni di incertezza. Es.7) Avete ricevuto del materiale da un vostro fornitore certificato. La certificazione vi garantisce che nel 95% dei casi il materiale soddisfa i requisiti contrattuali. Sapete che nel caso usiate materiale non conforme andrete in conto a spese di 50KEuro, se invece rifiutate il materiale che vi è arrivato comunque avrete dei costi per 10KEuro. Potete decidere di usare immediatamente il materiale che vi è giunto oppure sottoporlo a uno o a due collaudi. Il primo collaudo, costa un KEuro, ma non è perfetto e ha un 20% di probabilità di dare dei falsi positivi (il materiale non rispetta i requisiti ma il collaudo non lo segnala), in cambio non dà falsi negativi. Il secondo collaudo, che per motivi tecnici può essere effettuato solo a valle del primo, costa un altro KEuro e anche esso ha un 20% di falsi positivi e non ha falsi negativi. Le probabilità che entrambe i collaudi diano dei falsi positivi si possono ragionevolmente ritenere indipendenti. a) Disegnare l’albero decisionale che vi supporti nella decisione nell’ipotesi che questa sia basata sull’ottimizzazione del valore atteso del costo. Indicare le decisioni ottime. b) Indicare quale è l’informazione perfetta che dovreste avere per compiere la scelta ottima. Indicare quanto sareste disposti a pagare l’informazione perfetta. c) Ripetere l’esercizio in condizioni di incertezza.
Es. 8) Analizzando la relazione dell’amministratore delegato della ACME avete osservato che ha rinunciato ai seguenti investimenti: A) 1MEuro quando c’era la probabilità del 70% di avere un ricavo di 2MEuro, B) 1,2 MEuro quando c’era la probabilità del 90% di avere un ricavo di 1,5MEuro. Viceversa ha accettato l’investimento C) 1,5 MEuro con probabilità all’80% di guadagnare 2,1MEuro. Valutate se il comportamento dell’amministratore delegato è coerente.
Es. 9) La vostra azienda deve decidere se lanciare o meno il prodotto A sul mercato. Per realizzare il prodotto deve affrontare delle spese per 5MEuro in attrezzature. Vi è un 50% di probabilità che il prodotto A abbia successo e che vi siano profitti marginali per 8MEuro (a cui si devono sottrarre i 5MEuro di attrezzature per ottenere il guadagno netto). Se il prodotto A non riscontra i favori del mercato, potete decidere se abbandonare l’operazione oppure riconvertire le attrezzature nella produzione del prodotto B con un ulteriore spesa complessiva di 1MEuro. In questo ultimo caso
avrete di nuovo un 50% di probabilità che il prodotto B abbia successo e che vi siano profitti marginali per 4MEuro (a cui si devono sottrarre i 6MEuro di attrezzature per ottenere il guadagno netto). Complementarmente avete il 50% di probabilità di perdere anche i soldi spesi per la riconversione. a) Disegnare l’albero decisionale che supporti la vostra azienda nella decisione nell’ipotesi che questa sia basata sull’ottimizzazione del valore atteso del profitto. Evidenziare le scelte ottime. b) Indicare quale è la probabilità minima di successo che deve il prodotto A, a parità di altre condizioni, affinché vi convenga lanciarlo sul mercato. c) Indicare quale è l’informazione perfetta che desiderereste avere per compiere la scelta ottima. Indicare quanto sareste disposti a pagare l’informazione perfetta.
Es. 11) Due pizzerie dello stesso paese, entrambe dotate di pay-tv, devono decidere se far vedere ai propri clienti la partita di calcio del Palermo, quella del Milan o entrambe le partite, un tempo per una. Si stima che i tifosi del Milan disposti a vedere la partita in pizzeria sono 40; quelli del Palermo 60. I tifosi del Milan (notoriamente dei buongustai!) spenderebbero in pizzeria mediamente 13 euro ciascuno; i tifosi del Palermo (più attenti alla linea!) spenderebbero mediamente 10 euro ciascuno. Se entrambe le pizzerie trasmettono la partita della stessa squadra tutti i tifosi di quella squadra vanno a vedere la partita, distribuendosi equamente nelle due pizzerie; tutti i tifosi dell'altra squadra, invece, restano a casa. Se le due pizzerie trasmettono ciascuna una partita diversa, le due tifoserie al completo scelgono ciascuna la pizzeria che trasmette la partita della propria squadra. Solo l?80% dei tifosi del Milan è invece disposto ad andare in pizzeria se deve accontentarsi di vedere solo un tempo per partita. Analogamente solo il 70% dei tifosi del Palermo è disposto ad andare in pizzeria se deve accontentarsi di vedere solo un tempo per partita. Se soltanto una pizzeria trasmette una partita intera allora tutti i tifosi della squadra che gioca la partita interamente trasmessa scelgono la pizzeria che trasmette una sola partita, mentre i tifosi dell'altra squadra scelgono la pizzeria che trasmette entrambe le partite. Se entrambe le pizzerie trasmettono entrambe le partite, ciascuna tifoseria si distribuisce equamente nelle due pizzerie. (a) Rappresentare la matrice dei ricavi attesi delle due pizzerie considerando le loro tre possibili strategie. (b) Esistono strategie dominanti nel gioco descritto? (c) Nel gioco descritto quanti ed eventualmente quali sono gli equilibri di Nash? (d) Gli eventuali equilibri trovati sono Pareto ottimi? (e) Nel gioco descritto, quali sono gli equilibri di Stackelberg con P1 leader e P2 follower, e con P2 leader e P1 follower?
Soluzioni Es 1) a) 0,5 Maestranze accettano 100 100
100 0,5 Nessuna difficoltà
Proporre alternative
80 0
47,5
Delocalizzazione
80
0
-5
0,5 Difficoltà
0,5 Maestranze non accettano 1 0 -5
1
80
-90 -90
-90
47,5 No delocalizzazione -10 -10
-10
Non proporre alternative 0 0
0
Notare che per prendere la decisione ottima devono essere calcolate le probabilità a priori che il vostro sw abbia bisogno di manutenzione senza aspettare che sia trascorso l’anno di garanzia. Queste probabilità sono uguali a p=0.80*0.60 +0.20*0.10 = 0.50. Infatti, avete l’80% di probabilità che il vostro sw abbia bisogno di manutenzione nel primo anno di vita, ed in questo caso le probabilità che abbia bisogno di un tale servizio anche in seguito sono del 60%. Avete in vece il 20% di probabilità che il vostro sw non abbia bisogno di manutenzione nel primo anno di vita, ed in questo caso le probabilità che abbia bisogno di un tale servizio nel seguito sono del 20%. b) Il valore α di soglia minima è definita della seguente relazione 100 α − 5(1− α) > 0. Da cui si ottiene che conviene fare la proposta alle maestranze se la probabilità che queste l’accettino è α> 1/21. c)
Per compiere la scelta ottima gli azionisti dovrebbero sapere se le maestranze accetterebbero la proposta e se, in caso contrario sorgerebbero difficoltà nel paese dove si vuole delocalizzare. Le probabilità degli eventi e le scelte ottime corrispondenti sono riassunte nella seguente tabella: Evento Probabilità Scelta ottima Payoff Maestranze accettano 50% Fare proposta 100 Maestranze non accettano e 25% Fare proposta 80 nessuna difficoltà Maestranze non accettano, 25% Non fare proposta 0 ma sorgono difficoltà L’EVPi = 0,50*100+0,25*80+0,25*0 = 70. Da cui il valore dell’informazione perfetta è 22,5 = 70 – 47,5. Es 2) a) 0,3 Incidente 0 Trasferire fam iglia 0
0 70
0
0,7 Nessun incidente 100
Accettare prom ozione
100
100
1 0
70
0,8 Partner si adatta 80 Non trasferire fam iglia
1
0
70
68
80
80
0,2 Partner non si adatta 20 20
20
Rifiutare prom ozione 40 40
40
b) Il valore α di soglia minima è definita della seguente relazione 20α + 80(1− α) < 70. Da cui si ottiene che se α> 1/6, vi conviene trasferire la famiglia. c) Per compiere la scelta ottima dovreste sapere se avverrebbero incidenti alla vostra famiglia e se il vostro partner vi abbandonerebbe. Le probabilità degli eventi e le scelte ottime corrispondenti sono riassunte nella seguente tabella: Evento Probabilità Scelta ottima Payoff Accettare promozione, non Incidente, partner non 80 24% trasferire famiglia abbandona Incidente, partner abbandona 6% Rifiutare promozione 40 Accettare promozione, Nessun incidente, partner 100 56% trasferire famiglia non abbandona Nessun incidente, partner Accettare promozione, 14% 100 abbandona trasferire famiglia L’EVPi = 0,24*80+0,06*40+0,56*100+0,14*100 = 91,6. Da cui il valore dell’informazione perfetta è 21,6 = 91,6 – 70. Es 3) a) 0,3 Contromisure minori 100 100
100 0,5
Introdurre misure restrittive
Vittoria 50
0
23
Guerra commerciale 0
-10
0,7 Reazione pesante 0
50
0,5 Sconfitta -70
1 1
50
-70
-70
-10
23 No guerra commerciale -30 -30
-30
Non introdurre misure restrittive -20 -20
-20
b) Il valore α di soglia minima è definita della seguente relazione -10α + 100(1− α) < −20. Da cui si ottiene che se α= 1, vi conviene comunque adottare le misure restrittive. Infatti nel caso di reazione pesante comunque vi aspettate di perdere 10 rispetto ad una perdita certa di 20. c) Per compiere la scelta ottima dovreste sapere come la Cina reagirebbe e se vincereste una guerra commerciale. Le probabilità degli eventi e le scelte ottime corrispondenti sono riassunte nella seguente tabella: Evento Probabilità Scelta ottima Payoff Contromisure minori 30% Introdurre misure restrittive 100 Introdurre misure restrittive Reazione pesante, guerra 50 35% e fare guerra commerciale commerciale vinta Reazione pesante, guerra Non introdurre misure 35% -20 commerciale persa restrittive L’EVPi = 0,30*100 +0,35*50-0,35*20 = 40,5. Da cui il valore dell’informazione perfetta è 17,5 = 40,5 – 23. Es. 4.1) Le alternative che si pongono sono le seguenti: • A: Proporre l’aumento dell’orario di lavoro alle maestranze e, se queste non accettano, delocalizzazre • B: Proporre l’aumento dell’orario di lavoro alle maestranze e, se queste non accettano, non delocalizzazre • C: Non proporre niente alle maestranze Si osservi che dal testo del problema si deduce che gli azionisti intendono comunque cercare prima un accordo tra le maestranze. Non si pone quindi l’alternativa di delocalizzazione pura senza avere prima tentato un accordo con le maestranze. Gli stati di natura sono i seguenti: • S: Le maestranze accettano l’aumento dell’orario di lavoro
• T: La delocalizzazione ha esito positivo • U: La delocalizzazione ha esito negativo. La matrice day payoff risulta essere S A 100 B 100 C 0 MaxMax Alternative A e B sono equivalenti MaxMin Alternativa C Laplace Alternativa A Hurwicz Alternativa B per α <= 10/11. Alternativa C per α >10/11.
T 80 -10 0
Es. 4.2) Le alternative che si pongono sono le seguenti: • A: Rifiutare promozione • B: Accettare promozione e trasferire famiglia • C: Accettare promozione e non trasferire famiglia Gli stati di natura sono i seguenti: • S: Succedono incidenti e il vostro partner vi abbandona • T: Non succedono incidenti e il vostro partner vi abbandona • U: Succedono incidenti e il vostro partner non vi abbandona • V: Non succedono incidenti e il vostro partner non vi abbandona La matrice day payoff risulta essere S T U A 40 40 40 B 0 100 0 C 20 20 80 MaxMax: Alternativa B MaxMin: Alternativa A Laplace: Alternative B e C sono indifferenti Hurwicz: Alternativa B per α <= 1/2. Alternativa C per 1/2 < α <=2/3. Alternativa A per α >2/3 Es. 4.3) Le alternative che si pongono sono le seguenti: • A: Introdurre misure restrittive e disponibilità a guerra commerciale • B: Introdurre misure restrittive e indisponibilità a guerra commerciale • C: Non introdurre misure restrittive Gli stati di natura sono i seguenti: • S: I cinesi rispondono con contromisure minori • T: I cinesi reagiscono in maniera forte e voi vincete la guerra commerciale • U: I cinesi reagiscono in maniera forte e voi perdete la guerra commerciale. La matrice day payoff risulta essere S T U A 100 50 -70 B 100 -30 -30 C -20 -20 -20 MaxMax: Alternative A e B equivalenti MaxMin: Alternativa C Laplace: Alternativa A Hurwicz: Alternativa B per α <= 12/13. Alternativa C per α >12/13. Es 5) a)
U -90 -10 0
V 40 100 80
Acquisto manutenzione -10 -10
-10
Acquisto manutenzione -15 0,8 Manutenzione in garanzia 1 0 -15
1 -10
-15
-15 0,6 Necessità manutenzione -30
No acquisto manutenzione 0
-18
No acquisto manutenzione
-30
-30
0,4 No necessità manuitenzione 0
0
-12,6
0
0
Acquisto manutenzione -15 0,2 No manutenzione in garanzia 2 0 -3
-15
-15 0,1 Necessità manutenzione -30
No acquisto manutenzione 0
-3
-30
-30
0,9 No necessità manuitenzione 0 0
0
Notare che si può considerare come alternativa anche l’immediata decisione di non acquistare il servizio di manutenzione senza aspettare il termine della garanzia. In questo caso per prendere la decisione ottima devono essere calcolate le probabilità a priori che il vostro sw abbia bisogno di manutenzione senza aspettare che sia trascorso l’anno di garanzia. Queste probabilità sono uguali a p=0.80*0.60 +0.20*0.10 = 0.50. Infatti, avete l’80% di probabilità che il vostro sw abbia bisogno di manutenzione nel primo anno di vita, ed in questo caso le probabilità che abbia bisogno di un tale servizio anche in seguito sono del 60%. Avete invece il 20% di probabilità che il vostro sw non abbia bisogno di manutenzione nel primo anno di vita, ed in questo caso le probabilità che abbia bisogno di un tale servizio nel seguito sono del 10%. Questa terza alternativa non è stata presa in considerazione nell’albero decisionale in quanto dominata dall’alternativa di posporre la decisione se acquisire il servizio di manutenzione di un anno. Infatti, in questo caso, la posposizione non induce costi, viceversa ci permette di guadagnare informazione e quindi di compiere scelte migliori. b) Sia K il costo massimo che deve avere il programma di manutenzione affinché convenga acquistarlo immediatamente. Tale costo deve soddisfare la seguente relazione K < 0.80*max{3K/2,18}+0.2*max{3K/2,3} Per risolvere la disequazione precedente si devono fare 3 tentativi. i) 3K/2 <3 cioè K < 2, la disequazione diviene K <0.80*18+0.3*3 che ha soluzione K <15 ii) 3≤ 3K/2 <18 cioè 2 ≤K < 12, la disequazione diviene K < 144/10+3/10 K che ha soluzione K > 144/7, incompatibile con le condizioni 2 ≤K < 12 iii) 3K/2 ≥18 cioè K ≥ 12, la disequazione diviene K <1.2K +0.3K che ha soluzione K >0 Si ottiene che per 0≤K<15 vi conviene acquistare subito il servizio piuttosto che posticipare e vedere dopo un anno cosa fare. Il risultato è scontato, infatti si osservino i seguenti due fatti. Se non si compra la manutenzione si va incontro ad un costo atteso di 15. Se si decide di comprare la manutenzione conviene farlo subito piuttosto che dopo. Quindi conviene acquistare la manutenzione subito se costa meno di 15.
c)
Per compiere la scelta ottima dovreste sapere se avrete bisogno della manutenzione in futuro dopo la garanzia. Le probabilità degli eventi e le scelte ottime corrispondenti sono riassunte nella seguente tabella: Evento Probabilità Scelta ottima Payoff Manutenzione necessaria 50% Acquisto servizio -10 Manutenzione non necesaria 50% No acquisto servizio 0 L’EVPi = -5. Da cui il valore dell’informazione perfetta è 5 = 10 – 5. d) Le alternative che si pongono sono le seguenti:
• A: Acquisto immediato servizio manutenzione • B: Acquisto servizio manutenzione dopo il periodo di garanzia • C: Acquisto servizio manutenzione solo se si è dovuta fare manutenzione in garanzia • D: Acquisto servizio manutenzione solo se non si è dovuta fare manutenzione in garanzia • E: No acquisto E’ evidente che alcune alternative, la B e la D, sono irragionevoli, infatti risulteranno dominate. Gli stati di natura sono i seguenti: • S: Si avrà necessità di manutenzione sia in garanzia che dopo • T: Si avrà necessità di manutenzione in garanzia ma non dopo • U: Si avrà necessità di manutenzione solo dopo il periodo di garanzia • W: Non si avrà mai necessità di manutenzione La matrice day payoff risulta essere S T U W A -10 -10 -10 -10 B -15 -15 -15 -15 C -15 -15 -30 0 D -30 -30 -15 -15 E -30 0 -30 0 MaxMax: Alternative C e E equivalenti MaxMin: Alternativa A Laplace: Alternativa A Hurwicz: Alternative C e E equivalenti per α <= 1/3. Alternativa A per α >1/3. Es 6) a) Zona A -20 -20
-20 0,7 Finanziamento concesso
2 -17,1
-15 -10
-15
Zona B -5
-17,1
Rimanere in zona B 0,3 Finanizamento non concesso 2 0 -22
-30 -25
-30
Spostarsi in zona A -22 -17
-22
b) Sia α il finanziamento percentuale minimo che deve dare l’Unione Europea affinché convenga provare a chiedere tale contributo. Tale percentuale deve soddisfare la seguente relazione 20 < 0.70*30(1- α)+0.30*22 da cui si ottiene α = 76/210. Conviene provare a richiedere il finanziamento dell’Unione Europea solo se copre almeno i 76/210 delle spese. c) Per compiere la scelta ottima dovreste sapere se finanzieranno la vostra richiesta o meno. Le probabilità degli eventi e le scelte ottime corrispondenti sono riassunte nella seguente tabella: Evento Probabilità Scelta ottima Payoff Richiesta finanziata 70% Espansione in zona B -15 Manutenzione non necesaria 30% Espansione in zona A -20 L’EVPi = -70*15-30*20 = -16,50. Da cui il valore dell’informazione perfetta è 0,6 = 17,1 – 16,5. d) Le alternative che si pongono sono le seguenti: • A: Espansione in Zona A • B: Espansione in Zona A se non avviene il finanziamento • C: Espansione in Zona B Gli stati di natura sono i seguenti: • S: Richiesta verrebbe finanziata • T: Richiesta non verrebbe finanziata La matrice day payoff risulta essere
S T A -20 -20 B -15 -22 C -15 -30 L’alternativa C è dominata da B e quindi non verrà considerata MaxMax: Alternativa B MaxMin: Alternativa A Laplace: Alternativa B Hurwicz: Alternativa B α <= 5/7. Alternativa A per α > 5/7.
Es 7) a) 0,95 Materiale conforme 0 Uso immediato 0
0 -2,5
0
0,05 Materiale non conforme -50 -50
-50
0,04 Negativo
2 -1,9
-11 -10
-11 0,989583 Materiale conforme
Primo collaudo
-1 Uso materiale
-1
0
-1
-1,9 0 -1,520833 0,96 Positivo
0,010417 Materiale non conforme -51 -50
-51
1 0 -1,520833
0,008333 Negativo -12 -10
-12
Secondo collaudo -1
0,997899 Materiale conforme
-2,1875 0,991667 Positivo
-2 Uso Materiale
0
-2
1 0 -2,105042
0 -2,105042
0,002101 Materiale non conforme -52 -50
-52
La difficoltà nel disegno di questo albero decisionale risiede nel calcolo delle probabilità degli eventi dato che i collaudi ammettono dei falsi positivi. Il primo collaudo dà un risultato negativo nel 4% dei casi in quanto avete una probabilità del 5% che il materiale non sia conforme, ma nel 20% dei casi questa non conformità non è rilevata dal collaudo. Il risultato del primo collaudo è positivo nel 96% dei casi. In particolare, in 95 casi su cento il materiale è effettivamente conforme, nel rimanente caso su cento il materiale non è conforme. Se usate quindi il materiale dopo il primo collaudo, avete una probabilità su 96 di usare materiale non conforme. Il secondo collaudo dà un risultato negativo nell’80% di 1/96 in quanto non coglie il 20% dei casi non conformi passati indenni al primo collaudo. Il risultato del secondo collaudo è positivo nei rimanenti casi. Quando usate il materiale dopo il secondo collaudo dovete tenere presente che il 20% di 1/96 casi non conformi supera anche il secondo collaudo e dovete calcolare come questo valore incide sul numero di tutti i casi che hanno passato il secondo collaudo. Non è stata considerata l’alternativa di restituire il materiale senza collaudarlo in quanto se prevedeste questa opzione non avreste firmato il contratto di fornitura in atto. a) Per compiere la scelta ottima dovreste sapere se il materiale a vostra disposizione è conforme o meno. Le probabilità degli eventi e le scelte ottime corrispondenti sono riassunte nella seguente tabella: Evento Probabilità Scelta ottima Payoff Materiale conforme 95% Usare il materiale 0 Materiale non conforme 5% Restituire materiale -10 L’EVPi = -0,5. Da cui il valore dell’informazione perfetta è 1,4 = 1,9 – 0,5. c) Le alternative (ragionevoli –vedi soluzioni Es.5) che si pongono sono le seguenti: • A: Usare immediatamente il materiale • B: Usare il materiale se passa il primo collaudo • C: Usare il materiale solo se passa sia il primo che il secondo collaudo Gli stati di natura sono i seguenti: • S: Il materiale non passerebbe il primo collaudo
• T: Il materiale passerebbe il primo collaudo ma non il secondo • U: Il materiale passerebbe il primo collaudo e il secondo ma non è conforme • V: Il materiale è conforme La matrice day payoff risulta essere S T U A -50 -50 -50 B -11 -51 -51 C -11 -12 -52 L’alternativa C è dominata da B e quindi non verrà considerata MaxMax: Alternativa A MaxMin: Alternativa A (notare che se non sapete quanto sono affidabili i collaudi è inutile svolgerli) Laplace: Alternativa C Hurwicz: Alternativa A.
V 0 -1 -2
Es. 8) Il comportamento dell’amministratore delegato non appare coerente.
Es 9) a) no prodotto 0 0
0 0,5 successo
1
3
0
8
3 0,5 successo
prodotto A
-2 -5
-0,5
prodotto B -1
4 -4
0,5 insuccesso
0,5 insuccesso -6
1 0
-2
0
-6
-4 abbandono -5 0
-5
b) Il valore α di probabilità minima di successo che deve il prodotto A, a parità di altre condizioni, affinché vi convenga lanciarlo sul mercato è definito della seguente relazione 3 α − 4(1− α) > 0. Da cui si ottiene che conviene lanciare il prodotto sul mercato se α> 4/7. c) Per compiere la scelta ottima gli azionisti dovrebbero sapere se le maestranze accetterebbero la proposta e se, in caso contrario sorgerebbero difficoltà nel paese dove si vuole delocalizzare. Le probabilità degli eventi e le scelte ottime corrispondenti sono riassunte nella seguente tabella: Evento Probabilità Scelta ottima Payoff Prodotto A ha successo 50% Lanciare prodotto A 3 Prodotto A non ha successo, 25% Non lanciare prodotto A 0 ma prodotto B ha successo Né prodotto A ha successo, 25% Non lanciare prodotto A 0 né prodotto B ha successo L’EVPi = 0,50*3+0,25*0+0,25*0 = 70. Da cui il valore dell’informazione perfetta è 1,5 = 1,5 – 0.
