Esercizi di statistica e topografia

Corso di Topografia

Esercizi di statistica e topografia

Paolo Z ATELLI

Indice Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I Richiami di teoria e schemi operativi

VII

1

1 La compensazione a minimi quadrati delle reti 1.1 Prerequisiti e notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Il principio di stima ai minimi quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Primi esempi elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 La stima di σ02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Generalizzazione del principio di stima ai minimi quadrati . . . . . . 1.6 Le equazioni di osservazione delle reti topografiche planimetriche . . 1.7 Esempi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Determinazione delle coordinate di un punto da tre misure di distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Livellazione con quattro punti e cinque misure . . . . . . . .

2 2 3 6 8 9 10 11

2 Rototraslazione e variazione di scala

14

II Esercizi

20

3 Propagazione della varianza 3.1 Schemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Volume e superficie di un cilindro . . . . . . . . 3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Trasformazione di coordinate cartesiane in polari 3.3.2 Perimetro e area di un triangolo . . . . . . . . . 3.3.3 Volume e superficie di un cilindro . . . . . . . . 3.3.4 Superficie e volume di un parallelepipedo . . . . 3.3.5 Area e perimetro di un rettangolo . . . . . . . . 3.3.6 Distanza fra due punti . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane 3.3.8 Volume e superficie di un cilindro . . . . . . . . 3.3.9 Volume e superficie di un parallelepipedo . . . . 3.3.10 Area e perimetro di un rombo . . . . . . . . . . 3.3.11 Massa di una sfera . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.12 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane I

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11 12

21 21 23 23 24 24 24 25 25 25 26 26 26 27 27 27 28

INDICE

II

3.3.13 3.3.14 3.3.15 3.3.16 3.3.17 3.3.18 3.3.19 3.3.20 3.3.21 3.3.22 3.3.23 3.3.24 3.3.25 3.3.26 3.3.27 3.3.28 3.3.29 3.3.30 3.3.31 3.3.32 3.3.33 3.3.34 3.3.35 3.3.36 3.3.37 3.3.38 3.3.39 3.3.40 3.3.41 3.3.42 3.3.43 3.3.44 3.3.45 3.3.46 3.3.47 3.3.48 3.3.49 3.3.50 3.3.51 3.3.52 3.3.53 3.3.54 3.3.55 3.3.56 3.3.57 3.3.58 3.3.59 3.3.60 3.3.61 3.3.62

Perimetro e area di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . Trasformazione di coordinate polari in cartesiane . . . . . . Volume e superficie di un cilindro . . . . . . . . . . . . . . Massa di una sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trasformazione di coordinate polari in cartesiane . . . . . . Area e perimetro di una corona circolare . . . . . . . . . . . Trasformazione di coordinate polari in cartesiane e distanza Angoli come differenze di direzioni . . . . . . . . . . . . . Area e perimetro di un rombo . . . . . . . . . . . . . . . . Trasformazione di coordinate polari in cartesiane e distanza Angoli come differenze di direzioni . . . . . . . . . . . . . Volume e superficie di un parallelepipedo . . . . . . . . . . Quote da battute concatenate . . . . . . . . . . . . . . . . . Area e perimetro di un rombo . . . . . . . . . . . . . . . . Angoli come differenze di direzioni . . . . . . . . . . . . . Area e perimetro di una corona circolare . . . . . . . . . . . Area e perimetro di un rombo . . . . . . . . . . . . . . . . Area e perimetro di un rombo . . . . . . . . . . . . . . . . Area e perimetro di un rombo . . . . . . . . . . . . . . . . Area e perimetro di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . Area e perimetro di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . Area e perimetro di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . Quote da battute concatenate . . . . . . . . . . . . . . . . . Angoli come differenze di direzioni . . . . . . . . . . . . . Trasformazione di coordinate polari in cartesiane . . . . . . Due quote da un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volume di un solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trasformazione di coordinate polari in cartesiane e distanza Trasformazione di coordinate polari in cartesiane e distanza Due quote da un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Angoli come differenze di direzioni . . . . . . . . . . . . . Trasformazione di coordinate polari in cartesiane . . . . . . Perimetro e area di un rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . Volume di un solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aree di rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aree di rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aree di rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aree di rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distanze tra tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distanze tra tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distanze tra tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distanze tra tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perimetri di rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perimetri di rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perimetri di rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perimetri di rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumi di parallelopipedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distanze tra tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volume di un solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Due quote da un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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28 29 29 30 30 30 31 32 32 33 33 34 34 35 35 36 37 37 37 37 38 38 38 39 40 40 41 41 42 43 44 44 45 45 46 46 47 47 47 48 48 48 49 49 50 50 50 51 51 52

INDICE

III

3.3.63 3.3.64 3.3.65 3.3.66 3.3.67 3.3.68 3.3.69 3.3.70 3.3.71 3.3.72 3.3.73

Volumi di cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . Superficie di una figura . . . . . . . . . . . . . . Perimetro e area di un rettangolo . . . . . . . . . Perimetro e area di un rettangolo . . . . . . . . . Perimetro e area di un triangolo . . . . . . . . . Volumi di cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . Trasformazione di coordinate polari in cartesiane Due quote da un punto . . . . . . . . . . . . . . Angoli come differenze di direzioni . . . . . . . Distanze tra tre punti . . . . . . . . . . . . . . . Perimetro e area di un rettangolo . . . . . . . . .

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52 53 53 53 53 54 54 55 55 56 56

4 Test statistici 4.1 Schemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Test sulla media di campioni numerosi . . . . . . . . 4.1.2 Test di buon adattamento . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Test per campioni normali . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Test sulla media di un campione normale . . . . . . 4.2.3 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.2.4 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Test sulla media di un campione normale . . . . . . 4.3.6 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3.7 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3.8 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3.9 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.10 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3.11 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3.12 Test sulla media di un campione normale . . . . . . 4.3.13 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3.14 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.15 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3.16 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.17 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3.18 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.19 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.20 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali 4.3.21 Test di buon adattamento (χ 2 ) . . . . . . . . . . . . 4.3.22 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali

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58 58 58 59 60 61 61 62 63 64 65 65 65 66 66 67 67 68 68 68 69 69 70 70 70 71 71 72 72 73 73 74 74

INDICE

IV

5

6

Compensazione di reti di livellazione 5.1 Schemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.2 Rete di livellazione (con propagazione) 5.3.3 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.4 Rete di livellazione (con propagazione) 5.3.5 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.6 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.7 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.8 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.9 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.10 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.11 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.12 Rete di livellazione (con propagazione) 5.3.13 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.14 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.15 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.16 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.17 Rete di livellazione . . . . . . . . . . . 5.3.18 Rete di livellazione . . . . . . . . . . .

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76 76 78 78 81 81 82 82 83 84 84 86 86 87 88 89 89 91 92 93 94 94 95

Compensazione di reti planimetriche 6.1 Schemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Rete con misure di angoli e distanze . . . . . . 6.2.2 Rete con sole misure di distanze . . . . . . . . 6.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Rete con misure di angoli e distanze . . . . . . 6.3.2 Rete con sole misure di distanze . . . . . . . . 6.3.3 Rete con misure di angoli e distanze . . . . . . 6.3.4 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.5 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.6 Rete con sole misure di angoli . . . . . . . . . 6.3.7 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.8 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.9 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.10 Rete con misure di angoli e distanze . . . . . . 6.3.11 Rete con misure di angoli e distanze . . . . . . 6.3.12 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.13 Rete con misure di distanza e costante addittiva 6.3.14 Rete con misure di angoli e distanze . . . . . . 6.3.15 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.16 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.17 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.18 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . . 6.3.19 Rete con sole misure di distanza . . . . . . . .

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97 97 99 99 104 108 108 109 110 111 112 113 114 115 115 116 118 119 119 121 122 123 124 124 125

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INDICE

V

7 Simulazioni e confronti di reti 7.1 Schemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Confronto di reti di livellazione . . . . 7.2.2 Confronto di reti con misure di distanza 7.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Confronto di reti di livellazione . . . . 7.3.2 Confronto di reti di livellazione . . . . 7.3.3 Confronto di reti di livellazione . . . . 7.3.4 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.5 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.6 Confronto di reti di livellazione . . . . 7.3.7 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.8 Confronto di reti di livellazione . . . . 7.3.9 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.10 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.11 Confronto di reti di livellazione . . . . 7.3.12 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.13 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.14 Confronto di reti di livellazione . . . . 7.3.15 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.16 Confronto di reti di livellazione . . . . 7.3.17 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.18 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.19 Confronto di reti con misure di distanza 7.3.20 Confronto di reti con misure di distanza

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127 127 129 129 130 134 134 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 147 148 149 150 151 152 153

8 Rototraslazione e variazione di scala 8.1 Schemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Esercizi risolti . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Rototraslazione e variazione di scala 8.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.2 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.3 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.4 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.5 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.6 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.7 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.8 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.9 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.10 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.11 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.12 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.13 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.14 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.15 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.16 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.17 Rototraslazione e variazione di scala 8.3.18 Rototraslazione e variazione di scala

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155 155 158 158 161 161 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177

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INDICE

VI

8.3.19 8.3.20 8.3.21 8.3.22 Bibliografia

Rototraslazione e variazione di scala Rototraslazione e variazione di scala Rototraslazione e variazione di scala Rototraslazione e variazione di scala

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177 178 179 180 182

Elenco delle figure 1.1 1.2 1.3

rete di livellazione con tre misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rete di livellazione con due sole misure . . . . . . . . . . . . . . . . . spazio delle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII

6 7 8

Introduzione Questo volume raccoglie alcuni degli esercizi proposti per i corsi di Topografia, Topografia 1 e Topografia 2 per i Corsi di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio, Ingegneria del Controllo Ambientale e in Ingegneria Civile tenuti presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Trento. Gli esercizi riguardano la compensazione ai minimi quadrati di reti di interesse topografico, in particolare reti di livellazione e reti planimetriche, oltre a esercizi sulla propagazione della varianza e sui test statistici. Gli esercizi sono proposti per argomento per evidenziare meglio tutti gli aspetti del problema per ogni tipo di esercizio, guidando il lettore alla soluzione dapprima del problema di base per arricchirlo successivamente delle possibili varianti legate alle diverse configurazioni delle reti e delle misure. Il volume è organizzato in due parti: la prima parte è dedicata alla teoria della stima ai minimi quadrati e al calcolo dei parametri di una trasformazione di rototraslazione e variazione di scala, la seconda parte riguarda gli esercizi. Questa seconda parte è composta di sei capitoli, dal terzo all’ottavo, che raggruppano ciascuno una tipologia di esercizio con le sue possibili varianti. Il terzo capitolo è dedicato alla propagazione della varianza; il quarto affronta i test statistici. Il quinto capitolo riguarda gli esercizi sulle reti di livellazione geometrica, sia con misure ripetute sulle diverse battute sia con tratti composti da più battute. Il sesto capitolo tratta la compensazione di reti planimetriche con la misura di angoli e distanze, con misure singole e ripetute sia di angoli che distanze. Il settimo capitolo affronta gli esercizi di simulazione e confronto di reti. L’ottavo capitolo riguarda la rototraslazione e variazione di scala nel piano. Ogni capitolo inizia con alcuni schemi operativi per la soluzione della classe di esercizi del capitolo in questione. Gli esercizi che hanno costituito prova d’esame riportano in nota il corso e la data. Le soluzioni numeriche sono state ampiamente testate ma è comunque possibile la presenza di errori, anche dovuti alla fase di trascrizione. Si prega di segnalare eventuali correzioni, che verranno inserite nelle prossime stesure.

Si ringraziano Camilla Archetti, Giorgia Carolli, Pavlinka Damjanova e Dino Buffoni per la segnalazione di errori presenti nelle precedenti versioni.

Versione del 3 luglio 2011, 185 esercizi © 2001 - 2011 Paolo Zatelli [email protected] Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Facoltà di Ingegneria Università degli Studi di Trento via Mesiano, 77 38123 TRENTO Questo documento è disponibile con licenza: cc Creative Commons Attribuzione-Non commerciale-Condividi allo stesso modo 2.5 Italia

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VIII

Parte I

Richiami di teoria e schemi operativi

1

Capitolo 1

La compensazione a minimi quadrati delle reti Il presente capitolo è adattato, con il consenso dell’autore, da: Battista Benciolini Modelli di Compensazione, progettazione e ottimizzazione del rilievo topografico e fotogrammetrico di controllo, L. Mussio e F. Crosilla - Eds. – CISM - Udine p. 9-27 – 1989.

1.1

Prerequisiti e notazioni

Nel seguito si considerano noti i concetti fondamentali della statistica, dell’algebra lineare e dell’analisi. Si definisce qui il significato di alcuni simboli, mentre altri saranno defini nel testo: y è una variabile casuale (v.c.) a m dimensioni, che rappresenta di solito un insieme di misure; y è la media di y; x è un vettore di parametri a n dimensioni; M [·] è l’operatore di media; yˆ è una stima di y; xˆ e xˇ sono stime di x; I è la matrice identità generica; In è la matrice identità n × n; y0 è una estrazione della v.c. y. Il carattere grassetto indica grandezze vettoriali o matriciali. 2

1.2. IL PRINCIPIO DI STIMA AI MINIMI QUADRATI

3

1.2 Il principio di stima ai minimi quadrati É data l’estrazione y0 della v.c. y, si sa inoltre che la media y di y appartiene ad una variabilità lineare di dimensioni n (con n < m). Si vuole ottenere una stima di y, basata su queste due informazioni, e si vuole che tale stima abbia, sotto opportune condizioni, delle buone proprietà statistiche, che si lasciano per ora indeterminate. Si deve notare che la appartenenza di y ad una variabilità lineare in Rm si può scrivere: (1.1) By = l oppure y = Ax + l

(1.2)

dove B è una matrice di dimensioni (m − n) × m, A è una matrice di dimensioni m × n e l è un vettore di dimensioni opportune (diverse nei due casi); si suppone che A e B siano di rango pieno. Si trascurano qui altri casi piú complessi e si trattano, separatamente, solo questi due che sono talvolta chiamati problema della stima per osservazioni condizionate e problema della stima per osservazioni indirette. Il principio dei minimi quadrati definisce la stima yˆ di y nel seguente modo: Bˆy = l v = yˆ − y0

(1.3) (1.4)

vv = min.

(1.5)

Le espressioni 1.3-1.5 sono la traduzione analitica di un concetto geometrico: la stima yˆ rappresenta un punto in Rm che è il più vicino a y0 tra tutti i punti che appartengono alla stessa varietà della media. Si può utilizzare la 1.2 al posto della 1.1 e si ottiene: yˆ = Ax + l v = yˆ − y0

(1.6) (1.7)

vv = min.

(1.8)

con identico significato geometrico. È ora necessario ricavare, a partire dalle 1.31.5 e dalle 1.6-1.8, le espressioni esplicite delle stime cercate e successivamente le proprietà di tali stime. In molti casi uno stesso problema può essere risolto sia scrivendo un’equazione nella forma 1.1 sia nella forma 1.2 e le due soluzioni che si ottengono sono equivalenti. La espressione 1.2, e di conseguenza le 1.6-1.8, sono di solito preferibili per due motivi: 1. i parametri contenuti nel vettore x hanno un preciso significato geometrico o fisico e la loro stima xˆ è in realtá più utile della stima yˆ di y; 2. é piú facile esprimere il vincolo su y con un’equazione del tipo 1.2 piuttosto che del tipo 1.1 e, soprattutto, é piú facile automatizzare il procedimento che costruisce tale equazione a partire dalle misure e dai dati ausiliari raccolti assieme alle misure stesse. Le 1.3-1.5 esprimono un principio di minimo vincolato, che si trasforma in un principio di minimo libero con il metodo dei moltiplicatori di Langrange tramite i seguenti passaggi elementari: (1.9) Bv = Bˆy − By0 = l − By0

4

CAPITOLO 1. LA COMPENSAZIONE A MINIMI QUADRATI DELLE RETI

e quindi {

vv = min Bv = l − By0

(1.10)

v0 v + 2λ 0 (Bv − (l − By0 ))

(1.11)

da cui

dove λ é il vettore dei moltiplicatori di Lagrange. Eguagliando a zero il differenziale del primo membro della 1.11 si ottiene: dv0 v + v0 dv + 2λ 0 Bdv + 2d λ 0 (Bv − (l − By0 )) da cui:

{

(1.12)

Bv = l − By0 v0 = λ 0 B

(1.13)

Bv = l − By0 v = B0 λ

(1.14)

BB0 λ = l − By0

(1.15)

)−1 ( (l − By0 ) v = B0 BB0

(1.16)

e quindi {

ed infine:

che definisce v e di conseguenza yˆ : ( )−1 ( ( )−1 ) yˆ = y0 + v = B0 BB0 l + I − B0 BB0 B y0

(1.17)

L’espressione 1.17 fornisce in modo esplicito la stima richiesta yˆ , inoltre la stessa espressione si può utilizzare per calcolare la matrice di varianza e covarianza di yˆ 1 , data la matrice di varianza e covarianza di y, che si suppone della forma:

si ottiene:

Cyy = σ02 I

(1.18)

( ) ( ) ˆ yˆ yˆ = σ02 I − B0 BB0 −1 B C

(1.19)

É ora necessario studiare alcune proprietá della stima yˆ . La stima yˆ é corretta, cioé risulta: M [ˆy] = y (1.20) La stima yˆ é la stima lineare corretta di minima varianza di y se é valida l’ipotesi 1.18. Queste proprietá non vengono dimostrate; si dimostreranno, invece, piú agevolmente, le proprietá analoghe di xˆ stima di x nel modello basato sulla espressione 1.2 del vincolo. 1 il vettore y ˆ indica, con abuso di notazione, sia il vettore numerico funzione di y0 sia il vettore di v.c. funzione di y.

1.2. IL PRINCIPIO DI STIMA AI MINIMI QUADRATI

5

Riprendendo dunque le 1.6-1.8, in cui si può porre senza perdita di generalità l = 0, si ottiene: { 0 v v = min (1.21) v = Aˆx − y0 e infine: ( )−1 0 (1.22) xˆ = A0 A A y0 ( )−1 0 yˆ = A A0 A A y0

(1.23)

Le espressioni trovate forniscono xˆ e yˆ , in funzione dei dati, cioé di y0 . In generale, come già detto, l’attenzione si concentra su xˆ e non su yˆ . Dalla 1.22 si ottiene, sempre ipotizzando la 1.18: ( ) ˆ xˆ xˆ = σ02 A0 A −1 C

(1.24)

Si deve notare che sia l’espressione 1.17 sia le espressioni 1.22 e 1.23 rappresentano analiticamente l’operazione geometrica di proiezione ortogonale sulla varietà lineare a cui appartiene la media; ciò sarà illustrato anche graficamente nel prossimo paragrafo. La matrice che rappresenta analiticamente una proiezione si chiama proiettore ed ha la caratteristica di essere idempotente, cioè di rimanere uguale a se stessa quando la si moltiplica per se stessa. Le matrici: ( )−1 ( )−1 ( )−1 0 B0 BB0 B ; I − B0 BB0 B e A A0 A A sono proiettori. La correttezza di xˆ 2 è facilmente provata: [( )−1 0 ] ( 0 )−1 0 ( )−1 0 M [ˆx] = M A0 A A y0 = A A A M [y] = A0 A A Ax = x

(1.25)

La stima xˆ è la stima lineare corretta di minima varianza di x sempre sotto l’ipotesi 1.18. Ciò si può dimostrare considerando una stima lineare generica xˇ = Dy imponendo la correttezza e confrontando infine la varianza di xˇ e di xˆ 3 Imponendo la correttezza si ottiene: M [x] = xˇ → M [Dy] = x → DM [y] = x → DAx = x → DA = In Se si pone: D=

((

) )−1 0 A0 A A +K

(1.26) (1.27)

la condizione di correttezza è soddisfatta solo se KA = 0; perciò la matrice di varianza e covarianza di x risulta: (( ) ) ˆ xˇ xˇ = σ02 A0 A −1 + K0 K C (1.28) e le varianze delle componenti di xˇ sono maggiori delle varianze delle componenti di xˆ per qualsiasi scelta diversa da K = 0; tale scelta riconduce alla stima xˆ . Si deve notare che questo risultato è indipendente dal valore di σ02 , che infatti agisce come ˆ xˇ xˇ , ma non è indipendente, in generale, puro fattore di proporzionalità sulla matrice C dalla forma di Cyy ; è valido solo se Cyy è proporzionale all’identità. Ciò lascia aperto il problema di come si debba modificare il principio di stima a minimi quadrati per ottenere stime ottimali sotto condizioni più generali. 2 vale 3 ci

anche per xˆ ciò che è stato osservato in nota 1 su yˆ . si limiterà, in realtà, a confrontare le varianze delle componenti dei vettori xˇ e xˆ .

6

CAPITOLO 1. LA COMPENSAZIONE A MINIMI QUADRATI DELLE RETI

1.3 Primi esempi elementari Gli esempi di questo paragrafo sono esclusivamente simbolici e servono ad illustrare alcuni concetti esposti nel paragrafo 1.2 e per confrontare tra di loro i metodi di stima basati sulle espressione 1.1 e sulla 1.2. Si consideri una livellazione geometrica costituita da tre lati che congiungono tre punti, il primo dei quali ha quota nota e nulla (si può pensare, per dare senso fisico alla cosa, che sia collegato ad un mareografo), lo schema della rete è dunque il seguente: 3 \ \  \  \  \  \  \  \  1  \ 2 Figura 1.1: rete di livellazione con tre misure Il vettore delle misure è 

 q12 y0 =  q23  q31

(1.29)

Avendo indicato con qi j la differenza di quota misurata tra i due punti i e j. La relazione di chiusura dell’unico ciclo della rete si può scrivere: By = 0

(1.30)

B = [1, 1, 1]

(1.31)

dove

ed applicando le formule ricavate nel paragrafo 1.2 si ottiene:   1 ( ) ( ) 1 −1 yˆ = I − B0 BB0 B y0 = y0 −  1  · ∑ y0i 3 i 1

(1.32)

Da questa epressione si vede che in pratica si passa dalle misure y0 alle stime yˆ distribuendo in modo uniforme il residuo di chiusura. I dislivelli compensati yˆ soddisfano, ovviamente, le relazione di chiusura By = 0, che non è soddisfatta, in generale, dalle misure y0 (cioè By0 6= 0). Ciò significa anche che le quantità yˆ determinano le quote dei punti 2 e 3 in modo univoco, a differenza delle misure y0 . Volendo utilizzare l’espressione 1.2 si può porre: [ ] Q2 (1.33) x= Q3 dove Q2 e Q3 sono le quote dei punti 2 e 3. Risulta dunque: Ax = y

(1.34)

1.3. PRIMI ESEMPI ELEMENTARI

7

dove 

 1 0 1  A =  −1 0 −1

(1.35)

e poi,   1 0 q12 2 −1  −1 1   q23  = −1 2 q31 0 −1 ][ ] [ ] 1 2q12 − q23 − q31 q12 − q23 = q23 − q31 3 2q23 − q12 − q31

( )−1 0 x = A0 A A y0 = [ =

2 3 1 3

1 3 2 3

]−1

[



(1.36)

Risulta evidente che questa stima delle quote è identica a quella ottenibile a partire dalla stima yˆ espressa dalla 1.32. È possibile mettere in evidenza anche graficamente il legame tra le due forme della stima a minimi quadrati se si esamina il caso, ancora più semplice, della rete qui schematizzata:

1

q12 PP  PP  PP   PP   PP  P  PP  PP   PP  PP  PP   P

2

q21 Figura 1.2: rete di livellazione con due sole misure che contiene due soli punti (il primo di quota nota e nulla) collegati da due misure di dislivello. Lo spazio della y è lo spazio R2 ; la varietà a cui appartiene la media è la bisettrice del II o e IV o quadrante. Su tale retta si definisce una ascissa x = Q2 . La appartenenza del punto yˆ di coordinate [yˆ1 , yˆ2 ] alla retta si può esprimere con la equazione di vincolo: yˆ1 + yˆ2 = 0 oppure in funzione del parametro x: {

(1.37)

yˆ1 = x (1.38) yˆ2 = −x Ovviamente la 1.37 è una equazione della stessa forma delle 1.1 ed il sistema 1.38 ha la stessa forma della 1.2; la loro equivalenza è evidente. Si deve infine notare che nel caso di una rete complessa, con molti lati e molti punti, la scrittura corretta e completa dei vincoli nella forma di equazioni di condizione pure (cioè tipo 1.1) può essere molto laboriosa ed in ogni caso è una operazione difficile da automatizzare. Al contrario la scrittura delle equazioni di vincolo con parametri (cioè tipo 1.2) può essere svolta in modo semplice ed univoco con una procedura che può essere facilmente codificata in un programma automatico.

CAPITOLO 1. LA COMPENSAZIONE A MINIMI QUADRATI DELLE RETI

8

q21 6

y0 A A   A   A A  yˆ A A A A A A A Q2 AAU

q12

Figura 1.3: spazio delle misure

1.4

La stima di σ02

Si è sempre supposto, fino a questo punto, che la matrice Cyy sia proporzionale all’identità tramite un fattore σ02 . È utile ricavare una stima di σ02 a partire dai dati y0 ; tale stima serve sempre come fattore di proporzionalità per le matrici Cxx e Cyy ; inoltre il confronto tra la stima σˆ 02 ed il valore eventualmente noto a priori σ02 permette di formulare un giudizio sulla qualità dei dati e sulla correttezza del modello adottato. Le espressioni di σˆ 02 che si usano nei due casi di equazioni di condizione pure e con parametri aggiuntivi sono (ponendo r = m − n): v0 v r

(1.39)

v0 v m−n

(1.40)

σˆ 02 =

σˆ 02 =

Qui di seguito si ricava solo la prima delle due espressioni. Partendo dall’espressione di v in funzione di y0 : ( ( )−1 ) v = B0 BB0 B y0

(1.41)

[ ] [ ( )] [ ( )] [( )] M v0 v = M tr v0 v = M tr vv0 = tr M vv0 =

(1.42)

si ottiene:

= σ02 tr

[( ] )−1 BB0 · BB0 = σ02 trIr = r σ02

ne segue che l’espressione 1.39 è una stima corretta di σ02 .

1.5. GENERALIZZAZIONE DEL PRINCIPIO DI STIMA AI MINIMI QUADRATI9

1.5 Generalizzazione del principio di stima ai minimi quadrati Il principio di stima ai minimi quadrati che è stato definito nel paragrafo 1.2 perde le sue caratteristiche di ottimalità se la matrice Cyy non è proporzionale all’identità. Se si suppone che sia: Cyy = σ02 Q

(1.43)

dove Q è una qualsiasi matrice simmetrica e definita positiva. Conviene scrivere il principio dei minimi quadrati nel modo seguente: v0 Q−1 v = min

(1.44)

Seguendo gli stessi procedimenti del paragrafo 1.2 si ottengono allora le espressioni: {

0 0 −1 yˆ = y0 − QB ( (BQB ) (l − By0 ) ) Cyˆyˆ = σ02 Q − QB0 (BQB0 )−1 BQ

per il modello con equazioni di condizione pure, e { ( )−1 xˆ = A0 Q−1 A AQ−1 y0 ( )−1 2 0 −1 Cxˆxˆ = σ0 A Q A

(1.45)

(1.46)

per il modello con equazioni di condizione con parametri, mentre le espressioni di σˆ 02 si ottengono sostituendo v0 Q−1 v al posto di v0 v nelle 1.39 e 1.40. La scelta 1.44 si può giustificare dimostrando che le stime che si ottengono in questo modo sono le stime lineari corrette di minima varianza hanno cioè la stessa proprietà delle stime ai minimi quadrati semplici nel caso Cyy = σ02 I. Si può però seguire una via diversa. Si definisca una matrice W tale che: W0 W = Q−1

(1.47)

e si considera il vettore di v. c. β definito da:

β = Wy

(1.48)

Si ottiene poi facilmente la matrice di varianza e covarianza di β , che risulta: Cβ β = σ02 I

(1.49)

Le espressioni 1.45 e 1.46 si possono ora ottenere con la seguente sequenza di operazioni: 1. si trasforma lo spazio delle misure con la trasformazione 1.48; 2. si applica il principio dei minimi quadrati semplice, cosa che è giustificata dalla 1.49; 3. si ritorna, se necessario, alla rappresentazione originale delle misure invertendo la 1.48.

CAPITOLO 1. LA COMPENSAZIONE A MINIMI QUADRATI DELLE RETI

10

Qui di seguito si applica tale procedimento al solo caso delle equazioni con parametri. La trasformazione di variabili 1.48 fornisce i dati:

β0 = Wy0

(1.50)

Ax = β Cβ β = σ02 I

(1.51)

da trattare con il modello: {

dove A = WA. Applicando il principio dei minimi quadrati come nel paragrafo 1.2 si ottiene: ( )−1 0 ( )−1 0 0 ( )−1 xˆ = A0 A A β0 = A0 W0 WA A W Wy0 = A0 Q−1 A AQ−1 y0

(1.52)

cioè proprio la 1.46.

1.6

Le equazioni di osservazione delle reti topografiche planimetriche

Nel paragrafo 1.3 si sono discusse, sia pure solo tramite esempi, le equazioni delle reti di livellazione. In questo paragrafo si devono trattare le equazioni delle reti planimetriche. Le misure che si considerano sono direzioni azimutali e distanze orizzontali; i parametri sono le coordinate planimetriche dei punti. Si considerano, per semplicità, coordinate cartesiane ortogonali. Le equazioni che legano angoli e direzioni con i parametri di punto sono in ogni caso non lineari, ma possono essere scritte isolando il termine che rappresenta la misura. È necessario disporre di valori approssimati dei parametri x˜ per linearizzare le equazioni prima di applicare il metodo di stima a minimi quadrati; si passa così dal sistema: f1 (x) = l1 f2 (x) = l2 · · · fm (x) = lm

(1.53)

Aξ = l − f (˜x)

(1.54)

∂ fi ∂ x j x=x˜

(1.55)

al sistema matriciale: dove: Ai j =

ξ = x − x˜

(1.56)

L’equazione della distanza è: di j =

√ (xi − x j )2 + (yi − y j )2

(1.57)

1.7. ESEMPI NUMERICI

11

dove d è la distanza orizzontale, x e y sono le coordinate cartesiane e i e j indicano due punti della rete. L’equazione della direzione è:

θi j = arctan

x j − xi −δj y j − yi

(1.58)

dove θ è la direzione e δ è l’origine delle direzioni misurata rispetto alla direzione dell’asse y. Le equazioni 1.57 e 1.58 si linearizzano ponendo: x = x˜ + ξ y = y˜ + η

d˜i j =

√ (x˜i − x˜ j )2 + (y˜i − y˜ j )2 x˜ j − x˜i ˜ −δj θ˜i j = arctan y˜ j − y˜i

(1.59) (1.60) (1.61) (1.62) (1.63)

e diventano: x˜ j − x˜i y˜ j − y˜i di j − dˆi j = (ξi − ξ j ) + (ηi − η j ) d˜i j d˜i j

(1.64)

y˜ j − y˜i x˜ j − x˜i (ξi − ξ j ) + (ηi − η j ) d˜i j2 d˜i j2

(1.65)

θi j − θˆi j =

Il principio di stima a minimi quadrati si applica in modo elementare solo se la matrice A che lega i parametri (coordinate) con le misure è di rango pieno: ciò non avviene in una rete topografica in cui si misurano solo angoli oppure angoli e distanze. In entrambi i casi si può sopperire alla deficienza di rango di A in vari modi: il modo più semplice, anche se non esente da critiche, è di fissare a priori il valore di 3 o 4 coordinate di punti nella rete. Il problema è in realtà sia concettualmente sia numericamente delicato e non sarà trattato in dettaglio. Negli esempi sviluppati in seguito si supporrà sempre che le coordinate di un certo numero di punti, anche sovrabbondanti, siano esattamente note a priori, e ciò è comunque sufficiente perchè i problemi siano risolvibili.

1.7 Esempi numerici 1.7.1 Determinazione delle coordinate di un punto da tre misure di distanza Dal punto P (vicino all’origine del sistema di riferimento) si sono misurate le distanze di tre punti di coordinate note. Le coordinate dei punti e le distanze sono riportate (in metri) in tabella 1.1. Si devono stimare le coordinate di P e la loro matrice di varianza e covarianza. Le equazioni di osservazione linearizzata assumono la forma: Aξ = y dove:

(1.66)

12

CAPITOLO 1. LA COMPENSAZIONE A MINIMI QUADRATI DELLE RETI n. 1 2 3

x 400 400 -200

y 300 -300 0

dist. 499.859 500.195 199.958

Tabella 1.1: coordinate dei punti e distanze



 − 45 − 35 3  A =  − 45 5 1 0 [

ξ=

xP yP

(1.67)

] (1.68)

e si dispone della estrazione di y 

 −0.141 y0 =  0.195  −0.042

(1.69)

Applicando le espression ricavate al paragrafo 1.2 si ottiene facilmente: [

ξˆ =

0.250 −0.050

Cξˆ ξˆ = 114 · 10−6 ·

1.7.2

[

] (1.70)

25 18

0

0

]

25 57

(1.71)

Livellazione con quattro punti e cinque misure

Si consideri una rete di livellazione con quattro punti (denominati 1, 2, 3 e 4) di cui il primo di quota nota e nulla. Il risultato delle operazioni di misura è il seguente: q14 = 1.01 mm q12 = 0.99 mm 1.05 mm y0 = q23 = q13 = 2.04 mm q34 = −1.05 mm

(1.72)

qi j = Q j − Qi

(1.73)

Si devono stimare le quote dei punti 2, 3 e 4 supponendo che le misure siano incorrelate e di uguale precisione. Si deve anche stimare la matrice di varianza e covarianza del risultato: 

 Q2 x =  Q3  Q4

(1.74)

1.7. ESEMPI NUMERICI

13 

0 0 +1  +1 0 0  −1 +1 0 A=   0 +1 0 0 −1 +1   q14  q12     y0 =   q23   q13  q34

     

(1.75)

(1.76)

e si ottiene alla fine: 

0.9925 xˆ =  2.0450 1.0025  5 2 1 Cxˆxˆ = ·  2 4 8 1 2

   1 2  5

(1.77)

(1.78)

Capitolo 2

Rototraslazione e variazione di scala Gli esercizi di calcolo dei parametri di rototraslazione e variazione di scala possono essere svolti, avendo scritto le opportune equazioni di osservazione, come gli altri esercizi di stima ai minimi quadrati. E’ tuttavia utile introdurre una trattazione apposita per questa categoria di problemi in quanto esse porta a notevoli vantaggi computazionali. Si tratta di una specializzazione del metodo di stima ai minimi quadrati per questo tipo di problemi che trae beneficio dalla particolare struttura delle matrici e vettori coinvolti. Una trasformazione di rototraslazione e variazione di scala si può in generale esprimere come xi = λ Rx0i + x0

(2.1)

che porta dalle coordinate x0i alle coordinate x per ogni punto i. Nel piano la matrice di rotazione R è funzione di un solo angolo R = R(α ): [ R=

cos(α ) sin(α ) − sin(α ) cos(α )

] (2.2)

Utilizzare questa forma per la matrice R nella 2.1 porta alla scrittura di un sistema non lineare; si preferisce perciò riscrivere la matrice R nella forma [

λR =

a −b

b a

] (2.3)

avendo posto a = λ cos(α ) e b = λ sin(α ). E‘ ovviamente possibile calcolare λ e α a partire da a e b con le √ λ = a2 + b2 (2.4) b α = arctan (2.5) a Queste equazioni possono essere utilizzate in due diversi modi: 1. noti i parametri α , λ e x0 si trasformano le coordinate x0i in xi ; 14

15 2. note le coordinate di alcuni punti in entrambi i sistemi x0i e xi si calcolano i valori dei parametriα , λ e x0 . Mentre il primo tipo di utilizzo è banale e richiede l’applicazione di semplici passaggi algebrici e non sarà approfondito nel seguito, il secondo tipo di problemi richiede ulteriori considerazioni. Innanzitutto per il calcolo dei quattro parametri è necessario scrivere almeno quattro equazioni (due nella forma vettoriale 2.1): si devono conoscere le coordinate di almeno due punti in entrambi i sistemi 1 . E’ opportuno però avere un controllo sulla significatività dei parametri calcolati; per questo motivo si utilizzano sempre più di due punti di coordinate note, stimando i parametri con il criterio dei minimi quadrati. Si utilizza quindi il metodo di stima ai minimi quadrati con parametri aggiuntivi per stimare i parametri a, b e x0 , da cui è possibile ricavare α , λ e x0 . Il metodo permette inoltre il calcolo della matrice di varianza e covarianza di questi parametri. L’equazione 2.1 si scrive in forma scalare xi = axi0 + by0i + x0 yi = −bxi0 + ay0i + y0

(2.6)

per ogni punto i si scrive una coppia di equazioni di questa forma. La matrice disegno A della compensazione ha quattro colonne (per a, b, x0 e y0 ) e 2 × N righe, con N numero di punti con coordinate note nei due sistemi. Tale matrice si scrive:   0 y01 1 0 x1  y0 −x0 0 1  1   10  x y02 1 0    20  y −x20 0 1  2   A= (2.7)  ...     ...   0  xN y0N 1 0  y0N −xN0 0 1 Ipotizzando le coordinate x indipendenti e determinate con la stessa precisione, la matrice dei pesi Q−1 è uguale all’identità. La matrice normale N risulta quindi  N 02  2 ∑Ni=1 xi0 y0i − y0i xi0 ∑Ni=1 xi0 ∑Ni=1 y0i ∑i=1 xi + y0i  ∑N x0 y0 − y0 x0 ∑N x0 2 + y0 2 ∑N y0 − ∑N x0  i=1 i i i=1 i i=1 i i=1 i  i i i N = A0 A =  (2.8)   N 0 ∑Ni=1 xi0 ∑Ni=1 y0i − ∑Ni=1 xi0 0 N ∑Ni=1 y0i Dove ovviamente xi0 y0i = y0i xi0 ∀i e quindi  2 2 0 ∑Ni=1 xi0 ∑Ni=1 y0i ∑Ni=1 xi0 + y0i 2 2  0 ∑Ni=1 xi0 + y0i ∑Ni=1 y0i − ∑Ni=1 xi0   N= (2.9) N N   N 0 ∑i=1 xi0 ∑i=1 y0i − ∑Ni=1 xi0 0 N ∑Ni=1 y0i E’ possibile semplificare significativamente questa matrice fino a renderla diagonale sostituendo alle coordinate x0i le coordinate baricentriche x0i , determinate sottraendo alle coordinate le coordinate del loro baricentro (cioè le medie delle coordinate). Posto 

xB0 = 1 si

scrivono infatti due equazioni per ogni punto

1 N 0 ∑ xi N i=1

(2.10)

CAPITOLO 2. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

16

1 N 0 ∑ yi N i=1

(2.11)

x0i = xi0 − xB0

(2.12)

y0i = y0i − y0B

(2.13)

xi = λ Rx0i + x0

(2.14)

y0B = e quindi le coordinate baricentriche

l’equazione 2.1 si scrive quindi

Per le coordinate baricentriche, per come sono state costruite, si ha N

∑ x0i = 0

(2.15)

i=1 N

∑ y0i = 0

(2.16)

i=1

e quindi la matrice normale N si scrive  N 02 2 0 ∑i=1 xi + y0i 2 2 N  0 ∑i=1 x0i + y0i N=  0 0 0 0

0 0 N 0

 0 0   0  N

(2.17)

Il termine noto normale risulta 

 ∑Ni=1 xi0 xi + y0i yi  ∑N y0 xi − x0 yi  i=1 i i  TN = A0 y0 =    ∑Ni=1 xi N y ∑i=1 i

(2.18)

Passando alle coordinate baricentriche anche per il sistema x, con xB =

1 N ∑ xi N i=1

(2.19)

yB =

1 N ∑ yi N i=1

(2.20)

xi = xi − xB

(2.21)

yi = yi − yB

(2.22)

e quindi le coordinate baricentriche

poiché N

∑ xi = 0

i=1

(2.23)

17

N

∑ yi = 0

(2.24)

i=1

il termine noto normale si scrive  N 0 ∑i=1 xi xi + y0i yi  ∑N y0 xi − x0 yi i=1 i i TN = A0 y0 =   ∑Ni=1 xi ∑Ni=1 yi





 ∑Ni=1 x0i xi + y0i yi   ∑N y0 xi − x0 y  i i   =  i=1 i    0 0

(2.25)

La stima di x risulta quindi    ˆx = N−1 TN =    

0 0 ∑N i=1 xi xi +yi yi N x0 2 +y0 2 ∑i=1 i i 0 0 ∑N i=1 yi xi −xi yi 02 02 ∑N i=1 xi +yi

0 0

      

(2.26)

cioè

a= b=

∑Ni=1 x0i xi + y0i yi 2 2 ∑Ni=1 x0i + y0i ∑Ni=1 y0i xi − x0i yi 2 2 ∑Ni=1 x0i + y0i x0 = 0 y0 = 0

(2.27) (2.28) (2.29) (2.30)

I valori di α e λ si ricavano dalle 2.27-2.28 con le 2.4-2.5. La traslazione x0 tra i due sistemi si determina applicando la 2.1 ai baricentri, con i parametri a e b appena calcolati xB = λ Rx0B + x0

(2.31)

x0 = xB − λ Rx0B

(2.32)

da cui

cioè {

x0 = xB − axB0 − by0B y0 = yB + bxB0 − ay0B

(2.33)

La stima della varianza si calcola con la 2 v0 v (2.34) m−n dove m è il numero di equazioni e n il numero di parametri stimati. In questo caso, con N punti di coordinate note in entrambi i sistemi, m = 2N e n = 4, i parametri stimati sono infatti a, b, x0 e y0 . Si ha quindi

σˆ 02 =

2 si

ricordi che Q−1 = I

CAPITOLO 2. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

18

σˆ 02 =

v0 v 2N − 4

(2.35)

La stima degli scarti v si ricava ancora una volta dalla 2.1, usando i parametri a, b, x0 e y0 stimati. Per ogni punto i si scrive una equazione vettoriale: ( ) v = xi − λ Rx0i + x0

(2.36)

ed in forma scalare: {

vxi = xi − (axi0 + by0i + x0 ) vyi = yi − (−bxi0 + ay0i + y0 )

(2.37)

e quindi

σˆ 02 =

v0 v 2N − 4

=

( ) ∑Ni=1 v2xi + v2yi 2N − 4

(2.38)

con i = 1 . . . N. A partire dalla sima di σˆ 02 e dalla 2.17 è possibile stimare la matrice di varianza e covarianza di a, b, x0 e y0 : gli ultimi due termini non rappresentano le traslazioni fra i due sistemi. Se si richiede il calcolo della varianza e covarianza delle traslazioni è necessario procedere al calcolo della matrice normale inversa N−1 completa. La matrice calcolata di seguito è quindi utile per il solo calcolo delle varianze di a e b.   1 0 0 0 N x0 2 +y0 2  ∑i=1 i i  1  0 0 0  2 −1 2 N x0 2 +y0 2  Cabx0 y0 = σˆ 0 N = σˆ 0  (2.39) ∑ i i=1 i   1   0 0 0 N 0 0 0 N1 e quindi

σa2 = σb2 = σab = 0

σˆ 02 N x0 2 +y0 2 ∑i=1 i i

(2.40)

Tenendo presente il legame rappresentato dalle 2.4-2.5 si può determinare la matrice Cλ α a partire dalla 2.39 propagando opportunamente la varianza. Poiché λ e α non dipendono da x0 e y0 conviene estrarre dalla matrice Cabx0 y0 la sottomatrice Cab , 2 × 2, relativa ad a e b   1 [ 2 ] 0 2 2 N 0 0 σa 0 x +y  Cab = = σˆ 02  ∑i=1 i i (2.41) 1 0 σb2 0 N 02 02 ∑i=1 xi +yi

da cui Cλ α Cλ α = JCab J0

(2.42)

Lo Jacobiano J si scrive [ J=

∂λ ∂a ∂α ∂a

∂λ ∂b ∂α ∂b

] (2.43)

19

dove

∂λ 1 2a a = = √ ∂a 2 a2 + b2 λ

(2.44)

∂λ 1 2b b = = √ ∂b 2 a2 + b2 λ

(2.45)

−1 ∂α 1 a2 b −1 b b = = =− 2 ( ) 2 2 2 2 2 ∂a a a +b a λ 1 + ba

(2.46)

∂α 1 a2 1 a 1 = = 2 = 2 ( ) 2 2a b ∂b a a + b λ 1+ a

(2.47)

e quindi [ J=

a λ b − λ2

b λ a λ2

] (2.48)

e infine [

0

Cλ α = JCab J =  ( =

a2 λ2

) 2 + λb 2 σa2 0

b λ a λ2

a λ b −λ2

][

σa2 0

0 σb2 

(

0

a2 λ4

= ) 2 + λb 4 σb2

][

[

a λ b λ

σa2 0

−b λ2 a λ2

0 σb2 λ2

] = ] (2.49)

Si ricava quindi, tenendo conto che σa2 = σb2 ,

σλ2 = σa2 = σb2 σ2 σα2 = = b2 λ σλ α = 0 σa2 λ2

(2.50) (2.51) (2.52)

Parte II

Esercizi

20

Capitolo 3

Propagazione della varianza 3.1 Schemi La propagazione della varianza permette il calcolo della matrice di varianza e covarianza di una variabile vettoriale a partire dalla matrice di varianza e covarianza di un’altra variabile vettoriale una volta noto il loro legame y = f (x). Nel caso in cui la funzione f (x) sia una lineare, il legame si può esprimere con y = Ax + b

(3.1)

e la matrice di varianza e covarianza di y si scrive Cyy = ACxx A0

(3.2)

dove A è la matrice dei coefficienti di x nella 3.1 e Cxx la matrice di varianza e covarianza di x, come nella 3.4. Nel caso in cui la funzione f (x) non sia lineare, l’espressione generale per la propagazione della varianza dalla variabile vettoriale x, di dimensione n, alla variabile vettoriale y, di dimensione m, è Cyy = JCxx J0

(3.3)

dove Cxx è la matrice di varianza e covarianza di x, J è lo Jacobiano della funzione che lega y a x e Cyy è la matrice di varianza e covarianza di y. 

σx21 x1  σx x 2 1 Cxx =   σxn x1    J= 

∂ y1 ∂ x1 ∂ y2 ∂ x1

 σx1 x2 . . . σx1 xn σx22 x2 . . . σx2 xn    ... σxn x2 . . . σx2n xn ∂ y1 ∂ x2 ∂ y2 ∂ x2

... ...

∂ y1 ∂ xn ∂ y2 ∂ xn

... ∂ ym ∂ x1

∂ ym ∂ x2

21

...

∂ ym ∂ xn

(3.4)

    

(3.5)

22

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA



σy21 y1  σy y 2 1 Cyy =   σyn y1

 σy1 y2 . . . σy1 yn σy22 y2 . . . σy2 yn    ... 2 σyn y2 . . . σyn yn

(3.6)

3.2. ESERCIZI RISOLTI

23

3.2 Esercizi risolti 3.2.1 Volume e superficie di un cilindro1 Si determimino il volume V e la superficie S di un cilindro e la loro matrice di varianza e covarianza avendo misurato il raggio r della base e la altezza h. r = 1m con σr2 = 1mm2

h = 2m con σh2 = 2mm2

dove S = 2π r2 + 2π rh = 2π r (r + h)

V = π r2 h

Svolgimento La superficie ed il volume risultano rispettivamente V = π 12 2 = π 2 = 6.283185 m4 S = 2π 1 (1 + 2) = 6π = 18.849555 m2 CSV = JCrh J 0 dove lo Jacobiano J risulta [ ∂S ∂S ] [ ] [ 2π (2r + h) 2π r 8π = J = ∂∂Vr ∂∂Vh = 2 4 π 2 π rh π r ∂r ∂h

2π π

]

[ =π

8 4

2 1

]

e la matrice di varianza e covarianza di r e h, supposte le misure indipendenti e avendo espresso le varianza in metri al quadrato [ 2 ] [ −6 ] 10 0 σr 0 Crh = = 0 σh2 0 2 10−6 da cui [

0

CSV = JCrh J = π [ =

1 Diploma

72 36 36 18

]

8 4

2 1

10−6 π 2 =

Universitario, 5 marzo 1999

] [ −6 10 · 0 [

0 2 10−6

7.106115 10−4 3.553058 10−4

]

[ ·π

8 2

4 1

]

3.553058 10−4 1.776529 10−4

= ]

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

24

3.3 Esercizi 3.3.1

Trasformazione di coordinate cartesiane in polari2

Sono note le coordinate di un punto P(xP , yP ) in un sistema di coordinate cartesiane (x, y) e la loro varianza. Si vogliono esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema di coordinate polari (α , ρ ) con origine coincidente con quello del sistema cartesiano e origine della coordinata angolare sull’asse x (vedi figura).

y 6 P(x, y)

ρ α -

x Le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza risultano da una precedente compensazione: (xP , yP ) = (100, 100) m ( CxP ,yP =

σx2P σxP ,yP

σxP ,yP σy2P

)

( =

10 · 10−6 2 · 10−6

2 · 10−6 10 · 10−6

) m2

Si determinino le coordinate (αP , ρP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione L’angolo αP ed il raggio ρP risultano rispettivamente αP = matrice di varianza e covarianza [ ] 4 10−10 0 Cαρ = 0 1.2 10−5

π 4

√ ρP = 100 2 e la loro

3.3.2 Perimetro e area di un triangolo3 Si misurano i cateti l1 e l2 di un triangolo rettangolo. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. l1 = 300 m l2 = 400 m

σl = 1 cm Si determini la matrice di varianza e covarianza di perimetro ed area del triangolo. 2 Diploma 3 Diploma

Universitario, 10 novembre 1998 Universitario, 26 ottobre 1999

3.3. ESERCIZI

25

Soluzione Il perimetro P e l’area A risultano rispettivamente P = 1200 m A = 60000 m2 e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 6.25 5.9 10−2 CAP = 5.9 10−2 5.8 10−4

3.3.3 Volume e superficie di un cilindro4 Si vogliono determinare volume e superficie di un cilindro e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurati il raggio r della base con r = 100m e la altezza h = 0.5m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione, con σr = σh = 1mm. (Si lasci indicato π senza sostituire il suo valore)

Soluzione La superficie ed il volume risultano rispettivamente S = 20100π m2 e V = 5 103 π m3 . La matrice di varianza e covarianza di S e V risulta [ ] 2.00801 10−1 2.040 CSV = JCrh J 0 = π2 2.040 1.0001 102

3.3.4

Superficie e volume di un parallelepipedo5

E’ stata asfaltata una strada rettilinea, di cui sono state misurate la lunghezza Lu pari a 10km con σLu = 3m e la larghezza La di 10m con σLa = 3cm. Sapendo che lo spessore s pari a 10 cm è stato misurato con σs = 3mm, determinare il volume di asfalto necessario, la sua superficie (superiore) e la loro matrice di varianza e covarianza. Nota: i dati potrebbero non essere realistici perchè sono stati scelti per semplificare i calcoli necessari alla risoluzione del problema.

Soluzione Il volume e la superficie risultano rispettivamente: V = 104 m3 S = 105 m2 e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 90909 9090 CV S = 9090 90900

3.3.5 Area e perimetro di un rettangolo6 Sono stati misurati un lato e la diagonale di un appezzamento di terreno rettangolare, ottenendo 40.0 m per il lato e 50.0 m per la diagonale. Le misure sono indipendenti ed entrambe con sqm pari a 1 mm. Si determinino area, perimetro e loro matrice di varianza e covarianza. 4 Diploma

Universitario, recupero 1999-2000 Universitario, 7 novembre 2000 6 Topografia e Trattamento delle osservazioni, 24 giugno 2002 5 Diploma

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

26

Soluzione L’area ed il perimetro risultano rispettivamente A = 1200 m2 P = 140 m e la loro matrice di varianza e covarianza ] [ 4.98 10−3 2.37 10−4 CAP = 2.37 10−4 1.15 10−5

3.3.6

Distanza fra due punti7

Dati due punti 1 e 2 del piano, con (x, y)1 = (6, 8)m e (x, y)2 = (2, 5)m, le cui coordinate sono incorrelate e di uguale precisione σc = 1mm, determinare la distanza d e la sua varianza. Soluzione d12 = 5 m

σd212 = 2 10−6 m2

3.3.7 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane8 Sono note le coordinate di un punto in un sistema di coordinate polari (α , ρ ), coordinate ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ . Si vuole esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto a cui è stato misurato l’angolo α . Dati αP = −50g con σα = 10cc ρP = 100m con σρ = 1mm si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione √

√ 2 2 (xP , yP ) = (100 , −100 )m 2 2 [ CxP ,yP =

σx2P σxP ,yP

σxP ,yP σy2P

]

[ =

1.733700 · 10−6 7.337005 · 10−7

7.337005 · 10−7 1.733700 · 10−6

] m2

3.3.8 Volume e superficie di un cilindro9 Si vogliono determinare volume e superficie di un cilindro e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurati il raggio r della base con r = 10m e la altezza h = 1m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione, con σr = σh = 1mm. (Si lasci indicato π senza sostituire il suo valore) 7 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 14 aprile 2003 1, 6 febbraio 2002 9 Topografia 1, 25 febbraio 2002 8 Topografia

3.3. ESERCIZI

27

Soluzione Il volume e la superficie risultano rispettivamente V = 100π m3 e S = 220π m2 . La matrice di varianza e covarianza di V e S risulta [ ] 1.040 10−2 2.840 10−3 CV S = JCrh J 0 = π2 2.840 10−3 2.164 10−3

3.3.9

Volume e superficie di un parallelepipedo10

Si vogliono determinare volume e superficie di un parallelepipedo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurati i tre spigoli l1 = 100m, l2 = 200m e l3 = 300m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione con σl = 1mm. Soluzione Il volume e la superficie risultano rispettivamente: V = 6 106 m3 S = 2.2 105 m2 e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 4900 96 CV S = 96 2

3.3.10

Area e perimetro di un rombo11

Si vogliono determinare area e perimetro di un rombo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurate le diagonali d1 = 60m, d2 = 80m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione con σl = 1mm. Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 2400m2 P = 200m e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 2500 96 CAP = 10−6 96 4

3.3.11

Massa di una sfera12

Si determinino la massa e la sua varianza di una sfera di legno di abete avendone misurati il raggio, con R = 1m e σR = 1mm, e la densità, con ρ = 600 kg/m3 e σρ = 3 kg/m3 . Soluzione 2 = π 2 21.76kg2 . La massa risulta: M = π 800kg e la sua varianza σM 10 Topografia

1, 8 gennaio 2003 1, 21 gennaio 2003 12 Topografia 1, 14 aprile 2003 11 Topografia

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

28

3.3.12

Trasformazione di coordinate polari in cartesiane13

Sono note le coordinate di un punto in un sistema di coordinate polari (α , ρ ), coordinate ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ . Si vuole esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto a cui è stato misurato l’angolo α .

y 6 P(x, y)

ρ α -

x Dati αP = 50g con σα = 20cc ρP = 200m con σρ = 2mm si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione √ √ (xP , yP ) = (100 2, 100 2) m [ CxP ,yP = [ =

σx2P σyP ,xP

2.173921 · 10−5 −1.773921 · 10−5

σxP ,yP σy2P

] =

−1.773921 · 10−5 2.173921 · 10−5

] m2

3.3.13 Perimetro e area di un triangolo14 Si vogliono determinare area e perimetro di un triangolo rettangolo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurati i due cateti con l1 e l2 . Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. l1 = 5 m l2 = 12 m

σl = 2 mm 13 Topografia 14 Topografia

1, 2 luglio 2003 1, 10 settembre 2003

3.3. ESERCIZI

29

Soluzione Il perimetro P e l’area A risultano rispettivamente P = 30 m A = 30 m2 e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 1.69 10−4 5.246154 10−5 CAP = 5.246154 10−5 2.246153 10−5

3.3.14 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane15 Sono note le coordinate di un punto P in un sistema di coordinate polari (α , ρ ), coordinate ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ dall’origine. Si vuole esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema cartesiano con asse delle ascisse x coincidente con la direzione origine di α . Sono date le misure dell’angolo α , con α = 50g e σα = 20cc , e della distanza dall’origine ρ , con ρ = 1000 m e σρ = 1 mm + 1 ppm. Si determinino le coordinate cartesiane (xP , yP ) del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione √ (xP , yP ) = (1000 [ CxP ,yP = [ =

√ 2 2 , 1000 )m 2 2

σx2P σxP ,yP

4.954802 · 10−4 −4.914802 · 10−4

σxP ,yP σy2P

] =

−4.914802 · 10−4 4.954802 · 10−4

] m2

3.3.15 Volume e superficie di un cilindro16 Si vogliono determinare volume e superficie di un cilindro e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurati il raggio r della base con r = 10m e la altezza h = 2m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione, con σr = σh = 0.5mm. (Si lasci indicato π senza sostituire il suo valore)

Soluzione La superficie ed il volume risultano rispettivamente S = 440π m2 e V = 200π m3 . La matrice di varianza e covarianza di S e V risulta [ ] 5.84 10−4 9.40 10−4 CSV = JCrh J 0 = π2 9.40 10−4 2.90 10−3 15 Topografia 16 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 11 settembre 2003 e Trattamento delle osservazioni, 18 dicembre 2003

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

30

Massa di una sfera17

3.3.16

Si determinino la massa e la sua varianza di una sfera di acciaio avendone misurati il raggio, con R = 3mm e σR = 0.1mm, e la densità, con ρ = 8000 kg/m3 e σρ = 100 kg/m3 . Soluzione 2 = π 2 8.4240 10−10 kg2 . La massa risulta M = π 3.24 10−4 kg e la sua varianza σM

3.3.17 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane18 Sono note le coordinate di un punto in un sistema di coordinate polari (α , ρ ), coordinate ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ . Si vuole esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto a cui è stato misurato l’angolo α .

y 6 P(x, y)

ρ α -

x Dati αP = 30◦ con σα = 1◦ .8 10−3 ρP = 200m con σρ = 1mm si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione √ (xP , yP ) = (100 3, 100) m [ CxP ,yP =

3.3.18

σx2P σyP ,xP

σxP ,yP σy2P

]

[ =

1.062 10−5 −1.6 10−5

−1.6 10−5 2.985881 10−5

] m2

Area e perimetro di una corona circolare19

Si determinino superficie, perimetro e loro matrice di varianza e covarianza di una corona circolare avendone misurati raggio interno r1 = 10 m ed esterno r2 = 20 m, con σr1 = σr2 = 1 mm. 17 Topografia

1, 16 gennaio 2004 1, 9 febbraio 2004 19 Topografia 1, 15 aprile 2004 18 Topografia

3.3. ESERCIZI

31

'$  r2 r1 6 &% Soluzione A = 300π m2 [ CAP =

2000 40 40 8

]

π 10 2

−6

P = 60π m [

=

1.973921 10−2 3.947842 10−4

3.947842 10−4 7.895684 10−5

]

3.3.19 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane e distanza20 Sono note le coordinate di un punto in un sistema di coordinate polari (α , ρ ), coordinate ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ . Si vuole esprimere le coordinate del punto P, la sua distanza dal punto A di coordinate note, e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto a cui è stato misurato l’angolo α .

y 6 P(x, y)

ρ α

A A

A A A A A AA

-

A

x

Dati αP = 50g con σα = 20cc ρP = 20m con σρ = 1mm si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. Si determini inoltre la distanza dPA del punto P dal punto A di coordinate note (20, 0) e la sua varianza. Soluzione √ √ (xP , yP ) = (10 2, 10 2) m [ CxP ,yP = 20 Topografia

1, 21 giugno 2004

σx2P σyP ,xP

σxP ,yP σy2P

] =

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

32 [ =

6.974 10−7 3.026 10−7

3.026 10−7 6.974 10−7

] m2

σd2AP = 4.834160 10−7 m2

dAP = 15.307 m

3.3.20 Angoli come differenze di direzioni21 A partire dalla direzione y di un sistema di riferimento cartesiano sono state misurate in modo indipendente tre direzioni θ1 = 10g , θ2 = 50g , θ3 = 80g , con σθ1 = σθ2 = σθ3 = 20cc , da cui sono stati ricavati gli angoli α e β come in figura. Si determinino gli angoli α e β e la loro matrice di varianza e covarianza. y

θ1

α θ2 θ3

β

x

Soluzione

α = 40g [ Cα ,β = [ '

σα2 σβ α

σαβ σβ2

]

β = 30g [

=

1.973921 10−9 9.869604 10−10

2 −1

−1 2

]

π 2 10−10 rad 2 '

9.869604 10−10 1.973921 10−9

] rad 2

3.3.21 Area e perimetro di un rombo22 Si vogliono determinare area e perimetro di un rombo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono state misurate le diagonali d1 = 8m, d2 = 15m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione con σl = 1mm. Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 60m2 P = 34m e la loro matrice di varianza e covarianza ] [ 289 240 ] [ 7.225 10−5 1.411765 10−5 4 17 = CAP = 10−6 240 1.411765 10−5 4 10−6 4 17 21 Topografia 22 Topografia

1, 5 luglio 2004 1, 7 settembre 2004

3.3. ESERCIZI

33

3.3.22 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane e distanza23 Sono note le coordinate di un punto in un sistema di coordinate polari (α , ρ ), coordinate ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ . Si vuole esprimere le coordinate del punto P, la sua distanza dal punto A di coordinate note, e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto a cui è stato misurato l’angolo α .

y 6 P(x, y)

ρ α -

A

x

Dati αP = π /6 rad con σα = 10−5 rad ρP = 200m con σρ = 2mm si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. Si √ determini inoltre la distanza dPA del punto P dal punto A di coordinate (100 3, 0) e la sua varianza. Soluzione √ (xP , yP ) = (100 3, 100) m [ CxP ,yP =

σx2P σyP ,xP

σxP ,yP σy2P

dOP = 100 m

]

[ =

4 10−6 0 0 4 10−6

] m2

σd2AP = 4 10−6 m2

3.3.23 Angoli come differenze di direzioni24 A partire dalla direzione y di un sistema di riferimento cartesiano sono state misurate in modo indipendente tre direzioni θ1 = 20g , θ2 = 60g , θ3 = 80g , con σθ1 = σθ2 = σθ3 = 10cc , da cui sono stati ricavati gli angoli α e β come in figura. Si determinino gli angoli α e β e la loro matrice di varianza e covarianza. 23 Topografia 24 Topografia

1, 11 gennaio 2005 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 12 gennaio 2005 1, 1 febbraio 2005 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 2 febbraio 2005

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

34

y

θ1

α θ2 θ3

β

x

Soluzione

α = 40g [ Cα ,β = [ '

σα2 σβ α

σαβ σβ2

]

[ =

4.934480 10−10 −2.467401 10−10

β = 20g 2 −1

−1 2

]

2.5 π 2 10−11 rad 2 '

−2.467401 10−10 4.934480 10−10

] rad 2

3.3.24 Volume e superficie di un parallelepipedo25 Si vogliono determinare volume e superficie di un parallelepipedo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurati i tre spigoli l1 = 100m, l2 = 100m e l3 = 200m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione con σl = 2mm. Soluzione Il volume e la superficie risultano rispettivamente: V = 2 106 m3 S = 105 m2 e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 3.6 103 1.12 102 CV S = 1.12 102 3.52

3.3.25

Quote da battute concatenate26

È stato misurato il dislivello tra i punti 1 e 2 e 2 e 3 in due battute concatenate, come nello schema sotto. Il punto 1 ha quota nota e nulla Q1 = 0. I dislivelli, misurati in modo indipendente, sono q21 = −1 m tra il punto 1 e 2, e q32 = −1.5 m tra il punto 2 e 3, con sqm pari a 1 mm. 25 Topografia 26 Topografia

1, 9 febbraio 2005 1, 23 giugno 2005

3.3. ESERCIZI

35

Si determinino le quote Q2 e Q3 dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. NB la convenzione sui segni dei dislivelli è qi j = Q j − Qi .

1 j

3 j

2 j

Soluzione

Q2 = 1 m [ CQ2 Q3 =

3.3.26

σQ2 2 σQ2 Q3

Q3 = 2.5 m

σQ2 Q3 σQ2 3

]

[ =

1 1 1 2

]

10−6 m2

Area e perimetro di un rombo27

Si vogliono determinare area e perimetro di un rombo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurate le diagonali d1 = 3m, d2 = 4m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione con σd = 2mm.

Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 6m2 P = 10m e la loro matrice di varianza e covarianza [ CAP =

25 96 5

96 5

16

]

10−6 =

[

25 19.2 19.2 16

]

10−6

3.3.27 Angoli come differenze di direzioni28 A partire dalla direzione y di un sistema di riferimento cartesiano sono state misurate in modo indipendente tre direzioni θ1 = 15g , θ2 = 65g , θ3 = 85g , con σθ1 = σθ2 = σθ3 = 20cc , da cui sono stati ricavati gli angoli α e β come in figura. Si determinino gli angoli α e β e la loro matrice di varianza e covarianza. 27 Topografia 28 Topografia

1, 12 luglio 2005 e Trattamento delle osservazioni, 20 giugno 2005

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

36

y

θ1

α θ2 θ3

β

x

Soluzione

α = 50g [ Cαβ =

σα2 σβ α

σαβ σβ2 [ '

]

[ =

2 −1 −1 2

β = 20g

] 4 10

1.973921 10−9 −9.869604 10−10

−6

[ 2

gon =

2 −1 −1 2

−9.869604 10−10 1.973921 10−9

]

π 2 10−10 rad 2 '

] rad 2

Area e perimetro di una corona circolare29

3.3.28

Si determinino superficie, perimetro e loro matrice di varianza e covarianza di una corona circolare avendone misurati in modo indipendente raggio interno r1 = 1 m ed esterno r2 = 3 m, con σr1 = σr2 = 2 mm. '$  2 r1 6r &% Si lasci indicato π nello svolgere i calcoli.

Soluzione A = 8π m2 [ CAP = 29 Topografia

160 32 32 32

]

1, 6 settembre 2005

π 10 2

−6

P = 8π m [

=

1.579137 10−3 3.158273 10−4

3.158273 10−4 3.158273 10−4

]

3.3. ESERCIZI

37

3.3.29 Area e perimetro di un rombo30 Si vogliono determinare area e perimetro di un rombo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono state misurate le diagonali d1 = 6m, d2 = 8m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione con σd = 1mm. Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 24m2 P = 20m e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 25 9.6 CAP = 10−6 9.6 4

3.3.30

Area e perimetro di un rombo31

Si vogliono determinare area e perimetro di un rombo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono state misurate le diagonali d1 = 10m, d2 = 24m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione con σd = 1mm. Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 120m2 P = 52m e la loro matrice di varianza e covarianza ] [ ] [ 169 480 169 36.923076 13 10−6 = 10−6 CAP = 480 36.923076 16 16 13

3.3.31 Area e perimetro di un rombo32 Si vogliono determinare area e perimetro di un rombo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono state misurate le diagonali d1 = 18m, d2 = 24m. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione con σd = 1mm. Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 216m2 P = 60m e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] [ ] 225 144 225 28.8 5 CAP = 144 10−6 = 10−6 28.8 4 4 5

3.3.32 Area e perimetro di un triangolo33 Si vogliono determinare area e perimetro di un triangolo rettangolo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurati i due cateti con l1 = 6m e l2 = 8m. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione, con σl = 1mm. 30 Topografia

1, 7 novembre 2005 1, 7 novembre 2005 32 Topografia 1, 7 novembre 2005 33 Topografia 1, 7 novembre 2005 31 Topografia

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

38

Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 24m2 P = 24m e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] ] [ 25 11.8 25 59 5 10−6 10−6 = CAP = 59 29 11.8 5.8 5 5

3.3.33

Area e perimetro di un triangolo34

Si vogliono determinare area e perimetro di un triangolo rettangolo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurati i due cateti con l1 = 5m e l2 = 12m. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione, con σl = 1mm. Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 30m2 P = 30m e la loro matrice di varianza e covarianza [ 169 341 ] [ ] 42.25 13.115385 −6 4 26 CAP = 341 10 = 10−6 73 13.115385 5.615385 26 13

3.3.34

Area e perimetro di un triangolo35

Si vogliono determinare area e perimetro di un triangolo rettangolo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono stati misurati i due cateti con l1 = 9m e l2 = 12m. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione, con σl = 1mm. Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 54m2 P = 36m e la loro matrice di varianza e covarianza [ 225 177 ] [ ] 56.25 17.7 −6 4 10 CAP = 177 10 = 10−6 29 17.7 5.8 10 5

3.3.35

Quote da battute concatenate36

È stato misurato il dislivello tra i punti 1 e 2 e 2 e 3 in due battute concatenate, come nello schema sotto. Il punto 1 ha quota nota e nulla Q1 = 0. I dislivelli, misurati in modo indipendente, sono q21 = 1.2 m tra il punto 1 e 2, e q32 = 1.3 m tra il punto 2 e 3, con sqm pari a 2 mm. Si determinino le quote Q2 e Q3 dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. NB la convenzione sui segni dei dislivelli è qi j = Q j − Qi . 34 Topografia

1, 7 novembre 2005 1, 7 novembre 2005 36 Topografia 1, 12 gennaio 2006 35 Topografia

3.3. ESERCIZI

39

1 j

3 j

2 j

Soluzione Q2 = 8.8 m [ CQ2 Q3 =

σQ2 2 σQ2 Q3

Q3 = 7.5 m

σQ2 Q3 σQ2 3

]

[ =

1 1 1 2

]

4 10−6 m2

3.3.36 Angoli come differenze di direzioni37 A partire da una direzione generica sono state misurate in modo indipendente tre direzioni θ1 = 25g , θ2 = 60g , θ3 = 75g , con σθ1 = σθ2 = σθ3 = 20cc , da cui sono stati ricavati gli angoli α e β come in figura. Si determinino gli angoli α e β e la loro matrice di varianza e covarianza.

θ1

α θ2 θ3

β

Nota bene: ()g indica angoli in gon (angolo retto = 100 gon); ()cc indica angoli in secondi centesimali (un secondo centesimale = 10−4 gon).

Soluzione

α = 50g [ Cαβ =

σα2 σβ α

σαβ σβ2 [ '

37 Topografia

]

[ =

2 −1 −1 2

]

β = 20g 4 10−6 gon2 =

1.973921 10−9 −9.869604 10−10

1, 14 febbraio 2006

[

2 −1 −1 2

−9.869604 10−10 1.973921 10−9

]

] rad 2

π 2 10−10 rad 2 '

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

40

3.3.37

Trasformazione di coordinate polari in cartesiane38

Sono note le coordinate di un punto in un sistema di coordinate polari (α , ρ ), coordinate ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ . Si vuole esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto a cui è stato misurato l’angolo α .

y 6 P(x, y)

ρ α -

A

x

Dati αP = 60◦ con σα = 3.6◦ 10−3 ρP = 400 m con σρ = 2 mm si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione √ (xP , yP ) = (200, 200 3) m [ CxP ,yP =

3.3.38

σx2P σyP ,xP

σxP ,yP σy2P

]

[ =

4.747410 10−4 −2.717824 10−4

−2.717824 10−4 1.609137 10−4

] m2

Due quote da un punto39

È stato misurato il dislivello tra i punti 1 e 2 e 1 e 3, come nello schema sotto. Il punto 1 ha quota nota Q1 = 10 mm con σQ1 = 1 mm. I dislivelli, misurati in modo indipendente, sono q12 = 5 mm tra il punto 1 e 2, e q13 = 6 mm tra il punto 1 e 3, entrambi con sqm pari a 2 mm. Si determinino le quote Q2 e Q3 dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. NB la convenzione sui segni dei dislivelli è qi j = Q j − Qi .

2 j

38 Topografia 39 Topografia

1 j e

1, 12 giugno 2006 1, 4 luglio 2006

3 j

3.3. ESERCIZI

41

Soluzione Q2 = 15 mm [ CQ2 Q3 =

σQ2 2 σQ2 Q3

Q3 = 16 mm

σQ2 Q3 σQ2 3

]

[ =

5 1 1 5

] mm2

3.3.39 Volume di un solido40 Per determinare il volume di un corpo solido irregolare lo si immerge in un liquido contenuto in un recipiente cilindrico trasparente e si osserva l’innalzamento del livello. Si misura con un calibro il diametro interno del recipiente che risulta 22.0 mm; lo s.q.m. di questa misura è di 0.1 mm. L’innalzamento del fluido si misura accostando un righello al recipiente e fissandolo rigidamente al recipiente stesso per tutta la durata dell’operazione (si ritiene che la scala graduata del righello sia parallela all’asse del cilindro). Le due letture, effettuate osservando il livello del liquido prima e dopo l’immersione del corpo, sono 123 mm e 137 mm; ciascuna lettura ha uno s.q.m. di 1 mm. Determinare il volume del solido e il suo s.q.m. Si può lasciare indicato π nelle espressioni dei risultati.

Soluzione V = 1694π mm3

σV2 = 29519.16π 2 mm6 = 291342.43 mm6

3.3.40 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane e distanza41 Sono ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ le coordinate del punto P in un sistema di coordinate polari (α , ρ ). Si vuole esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto al quale è stato misurato l’angolo α .

y 6 P(x, y)

Z  Z ρ  Z  Z  Z  Z  α Z  Z Z 

-

A Dati αP = 30◦ ρP = 100m 40 Topografia 41 Topografia

con con

σα = 1◦ .8 10−3 σρ = 1mm

1, 22 agosto 2006 1, 4 novembre 2006 (Prima prova di accertamento AA 2006-2007, tipo 1)

x

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

42

si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. Si determini inoltre la distanza dPA del punto P dal punto A di coordinate note (100, 0) e la sua varianza. Soluzione √ (xP , yP ) = (50, 50 3) m [ CxP ,yP =

σx2P σyP ,xP

σxP ,yP σy2P

] =

√ ( 2 ) ] [ 2 +1 106 3 π 3 −π + 1 √ ( 2 ) = m2 ' 3 −π + 1 π2 + 3 4 [ ] 7.652203 10−6 −3.840651 10−6 ' m2 −3.840651 10−6 3.217401 10−6 dAP = 51.763809 m

σd2AP = 9.275454 10−6 m2

σdAP = 3.045563 10−3 m

3.3.41 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane e distanza42 Sono ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ le coordinate del punto P in un sistema di coordinate polari (α , ρ ). Si vuole esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto al quale è stato misurato l’angolo α .

y 6 A S S



S S S S P(x, y)  ρ  α 

-

x Dati αP = 60◦ con σα = 1◦ .8 10−3 ρP = 100m con σρ = 1mm si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. Si determini inoltre la distanza dPA del punto P dal punto A di coordinate note (0, 100) e la sua varianza. 42 Topografia

1, 4 novembre 2006 (Prima prova di accertamento AA 2006-2007, tipo 2)

3.3. ESERCIZI

43

Soluzione √ (xP , yP ) = (50 3, 50) m [ CxP ,yP = 106 = 4 [ '

[

σx2P σyP ,xP

2 √ ( π2 + 3) 3 −π + 1

3.217401 10−6 −3.840651 10−6

σxP ,yP σy2P

] =

√ ( 2 ) ] 3 −π + 1 m2 ' 3π 2 + 1 −3.840651 10−6 7.652203 10−6

σd2AP = 9.275454 10−6 m2

dAP = 51.763809 m

] m2

σdAP = 3.045563 10−3 m

3.3.42 Due quote da un punto43 È stato misurato il dislivello tra i punti 1 e 2 e 1 e 3, come nello schema sotto. Il punto 1 ha quota nota Q1 = 20 m con σQ1 = 2 mm. I dislivelli, misurati in modo indipendente, sono q12 = 1 m tra il punto 1 e 2, e q13 = 2 m tra il punto 1 e 3, entrambi con sqm pari a 1 mm. Si determinino le quote Q2 e Q3 dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. NB la convenzione sui segni dei dislivelli è qi j = Q j − Qi .

2 j

3 j

1 j e

Consigli: 1. equazioni lineari non hanno bisogno di essere linearizzate; 2. somme e prodotti di numeri interi di una cifra si eseguono a mano meglio che con strumenti elettronici.

Soluzione Q2 = 21 m [ CQ2 Q3 = 43 Topografia

1, 8 gennaio 2007

σQ2 2 σQ2 Q3

Q3 = 22 m

σQ2 Q3 σQ2 3

]

[ =

5 4 4 5

] mm2

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

44

Angoli come differenze di direzioni44

3.3.43

A partire da una direzione generica sono state misurate in modo indipendente tre direzioni θ1 = 10g , θ2 = 40g , θ3 = 70g , con σθ1 = σθ2 = σθ3 = 5cc , da cui sono stati ricavati gli angoli α e β come in figura. Si determinino gli angoli α e β e la loro matrice di varianza e covarianza.

θ1

α θ2 θ3

β

Nota bene: ()g indica angoli in gon (angolo retto = 100 gon); ()cc indica angoli in secondi centesimali (un secondo centesimale = 10−4 gon).

Soluzione

α = 30g [ Cαβ =

σα2 σβ α

σαβ σβ2 [ '

3.3.44

]

[ =

2 −1

−1 2

]

β = 30g

2.5 10−7 gon2 =

1.233701 10−10 −6.168503 10−11

[

2 −1

−6.168503 10−11 1.233701 10−10

−1 2

]

25 2 −12 π 10 rad 2 ' 4

] rad 2

Trasformazione di coordinate polari in cartesiane45

Sono note le coordinate di un punto in un sistema di coordinate polari (α , ρ ), coordinate ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ . Si vuole esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto a cui è stato misurato l’angolo α . Dati αP = 30◦ con σα = 5.4◦ 10−3 ρP = 600 m con σρ = 3 mm si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. 44 Topografia 45 Topografia

1, 2 febbraio 2007 1, 22 giugno 2007

3.3. ESERCIZI

45

y 6 P(x, y)

ρ α -

A

x

Soluzione √ (xP , yP ) = (300 3, 300) m [

] σxP ,yP = σy2P √ √ ] [ 9π 2 + 3/4 −9 3π 2 + 3/4 −6 √ √ m2 ' = 9 10 −9 3π 2 + 3/4 27π 2 + 1/4 [ ] 8.061879 10−4 −1.380770 10−3 m2 ' −1.380770 10−3 2.400563 10−3 CxP ,yP =

σx2P σyP ,xP

3.3.45 Perimetro e area di un rettangolo46 Si vogliono determinare area e perimetro di un rettangolo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono state misurati i lati l1 = 100 m, l2 = 200 m. Le misure sono indipendenti con σl = 1 mm + 1 ppm. Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 2 104 m2 P = 6 102 m e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 6.28 10−2 7.72 10−4 CAP = 7.72 10−4 1.06 10−5

3.3.46

Volume di un solido47

Per determinare il volume di un corpo solido irregolare lo si immerge in un liquido contenuto in un recipiente cilindrico trasparente e si osserva l’innalzamento del livello. Si misura con un calibro il diametro interno del recipiente che risulta 10.0 mm; lo s.q.m. di questa misura è di 0.1 mm. L’innalzamento del fluido si misura accostando un righello al recipiente e fissandolo rigidamente al recipiente stesso per tutta la durata dell’operazione (si ritiene che la scala graduata del righello sia parallela all’asse del cilindro). 46 Topografia 47 Topografia

1, 9 luglio 2007 1, 27 agosto 2007

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

46

Le due letture, effettuate osservando il livello del liquido prima e dopo l’immersione del corpo, sono 37 mm e 53 mm; ciascuna lettura ha uno s.q.m. di 2 mm. Determinare il volume del solido e il suo s.q.m. Si può lasciare indicato π nelle espressioni dei risultati.

Soluzione V = 4 102 π mm3

3.3.47

σV2 = 5064π 2 mm6 = 49979.677 mm6

Aree di rettangoli48

Si determinino le aree dei due rettangoli A1 e A2 , che hanno un lato in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato i tre lati a, b e c, con a = 10 m, b = 20 m e c = 10 m in modo indipendente con σ = 2 mm.

A1

a

b

A2 c

Soluzione [ A1 = 200 m2 A2 = 100 m2

3.3.48

CA1 A2 =

σA21 σA1 A2

σA1 A2 σA22

]

= 4 10−4

[

5 2 2 2

] m4

Aree di rettangoli49

Si determinino le aree dei due rettangoli A1 e A2 , che hanno un lato in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato i tre lati a, b e c, con a = 10 m, b = 30 m e c = 10 m in modo indipendente con σ = 2 mm.

b

A1

a c

48 Topografia 49 Topografia

A2

1, 27 ottobre 2007 (Prima prova di accertamento AA 2007-2008, tipo 1) 1, 27 ottobre 2007 (Prima prova di accertamento AA 2007-2008, tipo 2)

3.3. ESERCIZI

47

Soluzione [ A1 = 300 m2 A2 = 100 m2

3.3.49

CA1 A2 =

σA21 σA1 A2

σA1 A2 σA22

]

= 4 10−4

[

10 3 3 2

] m4

Aree di rettangoli50

Si determinino le aree dei due rettangoli A1 e A2 , che hanno un lato in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato i tre lati a, b e c, con a = 20 m, b = 10 m e c = 10 m in modo indipendente con σ = 2 mm.

A1

A2 a

b

c

Soluzione [ 2

2

CA1 A2 =

A1 = 200 m A2 = 200 m

3.3.50

σA21 σA1 A2

σA1 A2 σA22

] = 4 10

−4

[

5 1 1 5

] m4

Aree di rettangoli51

Si determinino le aree dei due rettangoli A1 e A2 , che hanno un lato in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato i tre lati a, b e c, con a = 10 m, b = 10 m e c = 20 m in modo indipendente con σ = 2 mm.

A1

a

A2

b

c

Soluzione [ A1 = 100 m2 A2 = 200 m2

3.3.51

CA1 A2 =

σA21 σA1 A2

σA1 A2 σA22

]

= 4 10−4

[

2 2 2 5

] m4

Distanze tra tre punti52

Dati i tre punti 1, 2 e 3, con (x, y)1 = (2, 2), (x, y)2 = (6, 5) e (x, y)3 = (9, 1), le cui coordinate sono incorrelate e di uguale precisione σc = 1 mm, determinare le distanze tra i punti 1 e 2 e tra i punti 2 e 3, e la loro matrice di varianza e covarianza. 50 Topografia

1, 27 ottobre 2007 (Prima prova di accertamento AA 2007-2008, tipo 3) 1, 27 ottobre 2007 (Prima prova di accertamento AA 2007-2008, tipo 4) 52 Topografia 1, 10 gennaio 2008 (tipo 1) 51 Topografia

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

48

Soluzione d12 = d23 = 5 m [ Cd12 d23 =

σd212 σd12 d23

σd12 d23 σd223

]

[ =

2 0 0 2

]

10−6 m2 = 2 10−6 I2 m2

3.3.52 Distanze tra tre punti53 Dati i tre punti 1, 2 e 3, con (x, y)1 = (2, 8), (x, y)2 = (6, 5) e (x, y)3 = (9, 8), le cui coordinate sono incorrelate e di uguale precisione σc = 1 mm, determinare le distanze tra i punti 1 e 2 e tra i punti 2 e 3, e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione d12 = d23 = 5 m [ Cd12 d23 =

σd212 σd12 d23

σd12 d23 σd223

]

[ =

2 0 0 2

]

10−6 m2 = 2 10−6 I2 m2

3.3.53 Distanze tra tre punti54 Dati i tre punti 1, 2 e 3, con (x, y)1 = (4, 10), (x, y)2 = (8, 7) e (x, y)3 = (5, 3), le cui coordinate sono incorrelate e di uguale precisione σc = 1 mm, determinare le distanze tra i punti 1 e 2 e tra i punti 2 e 3, e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione d12 = d23 = 5 m [ Cd12 d23 =

σd212 σd12 d23

σd12 d23 σd223

]

[ =

2 0 0 2

]

10−6 m2 = 2 10−6 I2 m2

3.3.54 Distanze tra tre punti55 Dati i tre punti 1, 2 e 3, con (x, y)1 = (8, 8), (x, y)2 = (4, 5) e (x, y)3 = (7, 9), le cui coordinate sono incorrelate e di uguale precisione σc = 1 mm, determinare le distanze tra i punti 1 e 2 e tra i punti 2 e 3, e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione d12 = d23 = 5 m [ Cd12 d23 = 53 Topografia

σd212 σd12 d23

σd12 d23 σd223

1, 10 gennaio 2008 (tipo 2) 1, 10 gennaio 2008 (tipo 3) 55 Topografia 1, 10 gennaio 2008 (tipo 4) 54 Topografia

]

[ =

2 0 0 2

]

10−6 m2 = 2 10−6 I2 m2

3.3. ESERCIZI

49

3.3.55 Perimetri di rettangoli56 Si determinino i perimetri dei due rettangoli A1 e A2 , che hanno un lato in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato i tre lati a, b e c, con a = 10 m, b = 20 m e c = 10 m in modo indipendente con σ = 2 mm.

A1

a

b

A2 c

Soluzione [ P1 = 60 m P2 = 60 m

3.3.56

CP1 P2 =

σP21 σP1 P2

σP1 P2 σP22

]

= 16 10−6

[

2 1

1 2

] m2

Perimetri di rettangoli57

Si determinino i perimetri dei due rettangoli A1 e A2 , che hanno un lato in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato i tre lati a, b e c, con a = 10 m, b = 30 m e c = 10 m in modo indipendente con σ = 2 mm.

b

A1

a c

A2

Soluzione [ P1 = 80 m P2 = 80 m 56 Topografia 57 Topografia

CP1 P2 =

1, 4 febbraio 2008 (tipo 1) 1, 4 febbraio 2008 (tipo 2)

σP21 σP1 P2

σP1 P2 σP22

] = 16 10

−6

[

2 1

1 2

] m2

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

50

3.3.57

Perimetri di rettangoli58

Si determinino i perimetri dei due rettangoli A1 e A2 , che hanno un lato in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato i tre lati a, b e c, con a = 20 m, b = 10 m e c = 10 m in modo indipendente con σ = 2 mm.

A1

A2 a

b

c

Soluzione [ P1 = 60 m P2 = 40 m

3.3.58

CP1 P2 =

σP21 σP1 P2

σP1 P2 σP22

] = 16 10

−6

[

2 1

1 2

] m2

Perimetri di rettangoli59

Si determinino i perimetri dei due rettangoli A1 e A2 , che hanno un lato in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato i tre lati a, b e c, con a = 10 m, b = 10 m e c = 20 m in modo indipendente con σ = 2 mm.

A1

a

A2

b

c

Soluzione [ P1 = 40 m P2 = 60 m

3.3.59

CP1 P2 =

σP21 σP1 P2

σP1 P2 σP22

] = 16 10

−6

[

2 1

1 2

] m2

Volumi di parallelopipedi60

Si determinino i volumi dei due parallelepipedi A1 e A2 , che hanno una faccia in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato i quattro spigoli a, b, c e d, con a = 10 m, b = 10 m, c = 20 m e d = 10 m in modo indipendente con σ = 1 mm. 58 Topografia

1, 4 febbraio 2008 (tipo 3) 1, 4 febbraio 2008 (tipo 4) 60 Topografia 1, 23 giugno 2008 59 Topografia

3.3. ESERCIZI

51

A1 a

A2 d

b

c

Soluzione [ 3

3

3

3

V1 = 10 m V2 = 2 10 m

CA1 A2 =

σV21 σV1V2

σV1V2 σV22

]

[ = 10

3 4

4 9

] m6

Distanze tra tre punti61

3.3.60

Dati i tre punti 1, 2 e 3, con (x, y)1 = (1, 5), (x, y)2 = (4, 1) e (x, y)3 = (8, 4), le cui coordinate sono incorrelate e di uguale precisione σc = 2 mm, determinare le distanze tra i punti 1 e 2 e tra i punti 2 e 3, e la loro matrice di varianza e covarianza. Soluzione d12 = d23 = 5 m [ Cd12 d23 =

σd212 σd12 d23

σd12 d23 σd223

]

= 8 10−6 I2 m2

3.3.61 Volume di un solido62 Per determinare il volume di un corpo solido irregolare lo si immerge in un liquido contenuto in un recipiente cilindrico trasparente e si osserva l’innalzamento del livello. Si misura con un calibro il diametro interno del recipiente che risulta 20.0 mm; lo s.q.m. di questa misura è di 0.1 mm. L’innalzamento del fluido si misura accostando un righello al recipiente e fissandolo rigidamente al recipiente stesso per tutta la durata dell’operazione (si ritiene che la scala graduata del righello sia parallela all’asse del cilindro). Le due letture, effettuate osservando il livello del liquido prima e dopo l’immersione del corpo, sono 13 mm e 33 mm; ciascuna lettura ha uno s.q.m. di 1 mm. Determinare il volume del solido e il suo s.q.m. Si può lasciare indicato π nelle espressioni dei risultati.

Soluzione V = 2 103 π mm3 61 Topografia 62 Topografia

1, 7 luglio 2008 1, 25 agosto 2008

σV2 = 20400π 2 mm6 ' 201339.929782 mm6

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

52

3.3.62

Due quote da un punto63

È stato misurato il dislivello tra i punti 1 e 2 e 1 e 3, come nello schema sotto. Il punto 1 ha quota nota Q1 = 10 m con σQ1 = 1 mm. I dislivelli, misurati in modo indipendente, sono q12 = 2 m tra il punto 1 e 2, e q13 = 3 m tra il punto 1 e 3, entrambi con sqm pari a 2 mm. Si determinino le quote Q2 e Q3 dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. NB la convenzione sui segni dei dislivelli è qi j = Q j − Qi .

2 j

3 j

1 j e

Consigli: 1. equazioni lineari non hanno bisogno di essere linearizzate; 2. somme e prodotti di numeri interi di una cifra si eseguono a mano meglio che con strumenti elettronici.

Soluzione Q2 = 12 m [ CQ2 Q3 =

σQ2 2 σQ2 Q3

Q3 = 13 m

σQ2 Q3 σQ2 3

]

[ =

5 1 1 5

] mm2

3.3.63 Volumi di cilindri64 Si determinino i volumi dei due cilindri A1 e A2 , che hanno la base in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza. Sono stati misurati il raggio della base r e le due altezze a e b, con r = 1 m, a = 2 m e b = 4 m in modo indipendente con σr = 1 mm e σa = σb = 2 mm. r

a

b

Si lasci indicato π senza sostituire il suo valore.

Soluzione [ V1 = 2π m3 V2 = 4π m3 63 Topografia 64 Topografia

1, 8 gennaio 2009 1, 30 gennaio 2009

CA1 A2 =

σV21 σV1V2

σV1V2 σV22

]

= 4π 2 10−6

[

5 8

8 17

] m6

3.3. ESERCIZI

53

3.3.64 Superficie di una figura65 Si deve determinare l’area di una figura molto irregolare; per fare questo si disegna la figura su di un foglio di cartoncino e la si ritaglia. Si disegna a parte (sullo stesso tipo di cartoncino) un quadrato di un decimetro di lato e lo si ritaglia. Si suppone che il cartoncino abbia spessore e peso specifico costanti e si pesano separatamente le due figure ritagliate ottenendo i valori (le misure si considerano indipendenti): peso della figura irregolare peso del quadrato

= =

2.7 10−3 kg 3.0 10−3 kg

Si sa che lo scarto quadratico medio delle pesate è 9 10−6 kg. Determinare l’area della figura irregolare ed il suo sqm.

Soluzione A = 9 10−3 m2

σA2 = 1.629 10−9 m4

σA = 4.036 10−5 m2

3.3.65 Perimetro e area di un rettangolo66 Si vogliono determinare area e perimetro di un rettangolo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono state misurati i lati l1 = 50 m, l2 = 120 m. Le misure sono indipendenti con σl = 2 mm + 1 ppm.

Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 6 103 m2 P = 340 m e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 71752 1458.04 CAP = 10−6 1458.04 34.79

3.3.66

Perimetro e area di un rettangolo67

Si vogliono determinare area e perimetro di un rettangolo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono state misurati i cateti l1 = 80 m e l2 = 150 m. Le misure sono indipendenti con σl = 2 mm + 2 ppm.

Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 12 103 m2 P = 460 m e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 1.388320 10−1 2.246080 10−3 CAP = 2.246080 10−3 3.982240 10−5

3.3.67

Perimetro e area di un triangolo rettangolo68

Si vogliono determinare area e perimetro di un triangolo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono state misurati i cateti l1 = 80 m e l2 = 150 m. Le misure sono indipendenti con σl = 2 mm + 2 ppm. 65 Topografia

1, 23 giugno 2009 1, 13 luglio 2009 67 Topografia 1, 26 agosto 2009 68 Topografia 1, 12 gennaio 2010 66 Topografia

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

54

Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 6 103 m2 P = 400 m e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 3.470800 10−2 9.128941 10−4 CAP = 9.128941 10−4 2.883377 10−5

3.3.68 Volumi di cilindri69 Si determinino i volumi dei due cilindri V1 e V2 , che hanno la base in comune e sono rappresentati in figura, e la loro matrice di varianza e covarianza. Sono stati misurati il raggio della base r e le due altezze a e b, con r = 2 m, a = 1 m e b = 3 m in modo indipendente con σr = 1 mm e σa = σb = 2 mm. r

a

b

Si lasci indicato π senza sostituire il suo valore.

Soluzione [ V1 = 4π m3 V2 = 12π m3

CA1 A2 =

σV21 σV1V2

σV1V2 σV22

]

= 16π 2 10−6

[

5 3

3 13

] m6

3.3.69 Trasformazione di coordinate polari in cartesiane70 Sono note le coordinate di un punto in un sistema di coordinate polari (α , ρ ), coordinate ottenute dalla misura dell’angolo α e della distanza ρ . Si vuole esprimere le coordinate del punto P e la loro precisione in un sistema di coordinate cartesiane con asse delle ascisse x coincidente con l’asse rispetto a cui è stato misurato l’angolo α .

y 6 P(x, y)

ρ α -

A

x

Dati αP = 50g con σα = 20cc ρP = 300 m con σρ = 1 mm + 2 ppm si determinino le coordinate (xP , yP ) e la loro matrice di varianza e covarianza. 69 Topografia 70 Topografia

1, 26 gennaio 2010 1, 16 giugno 2010

3.3. ESERCIZI

55

Soluzione √ √ (xP , yP ) = (150 2, 150 2) m [ CxP ,yP =

σx2P σyP ,xP

σxP ,yP σy2P

] =

] 9π 2 + 2.56 −9π 2 + 2.56 m2 ' 9π 2 + 2.56 −9π 2 + 2.56 [ ] 4.569322 −4.313322 ' 10−5 m2 −4.313322 4.569322

= 5 10−5

[

3.3.70 Due quote da un punto71 È stato misurato il dislivello tra i punti 1 e 2 e 1 e 3, come nello schema sotto. Il punto 1 ha quota nota Q1 = 20 m con σQ1 = 2 mm. I dislivelli, misurati in modo indipendente, sono q12 = 4 m tra il punto 1 e 2, e q13 = 5 m tra il punto 1 e 3, entrambi con sqm pari a 3 mm. Si determinino le quote Q2 e Q3 dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. NB la convenzione sui segni dei dislivelli è qi j = Q j − Qi .

2 j

3 j

1 j e

Consigli: 1. equazioni lineari non hanno bisogno di essere linearizzate; 2. somme e prodotti di numeri interi di una cifra si eseguono a mano meglio che con strumenti elettronici.

Soluzione Q2 = 24 m [ CQ2 Q3 =

σQ2 2 σQ 2 Q 3

Q3 = 25 m

σQ 2 Q 3 σQ2 3

]

[ =

13 1

1 13

] mm2

3.3.71 Angoli come differenze di direzioni72 A partire da una direzione generica sono state misurate in modo indipendente tre direzioni θ1 = 20g , θ2 = 40g , θ3 = 70g , con σθ1 = σθ2 = σθ3 = 20cc , da cui sono stati ricavati gli angoli α e β come in figura. Si determinino gli angoli α e β e la loro matrice di varianza e covarianza. 71 Topografia 72 Topografia

1, 22 luglio 2010 1, 30 agosto 2010

CAPITOLO 3. PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA

56

θ1

α θ2 θ3

β

Nota bene: ()g indica angoli in gon (angolo retto = 100 gon); ()cc indica angoli in secondi centesimali (un secondo centesimale = 10−4 gon).

Soluzione α = 20g [ Cαβ =

σα2 σβ α

σαβ σβ2

] = [

'

[

2 −1

−1 2

β = 30g

]

−6

4 10

1.973921 10−9 −9.869604 10−10

[ 2

gon =

−1 2

2 −1

−9.869604 10−10 1.973921 10−9

]

4π 2 10−10 rad 2 '

] rad 2

3.3.72 Distanze tra tre punti73 Dati i tre punti 1, 2 e 3, con (x, y)1 = (0, 4), (x, y)2 = (3, 0) e (x, y)3 = (7, 3), le cui coordinate sono incorrelate e di uguale precisione σc = 2 mm, determinare le distanze tra i punti 1 e 2 e tra i punti 2 e 3, e la loro matrice di varianza e covarianza.

Soluzione d12 = d23 = 5 m [ Cd12 d23 =

σd212 σd12 d23

σd12 d23 σd223

] = 8 10−6 I2 m2

3.3.73 Perimetro e area di un rettangolo74 Si vogliono determinare area e perimetro di un rettangolo e la loro matrice di varianza e covarianza. A questo scopo sono state misurati i lati l1 = 1000 m, l2 = 2000 m. Le misure sono indipendenti con σl = 1 mm + 1 ppm. Nota: ppm significa “parti per milione” ed indica una componente di σ che è in proporzione alla grandezza misurata. 73 Topografia 74 Topografia

1, 10 gennaio 2011 1, 14 febbraio 2011

3.3. ESERCIZI

57

Soluzione L’area e il perimetro risultano rispettivamente: A = 2 106 m2 P = 6 103 m e la loro matrice di varianza e covarianza [ ] 25 34 10−3 CAP = 34 10−3 52 10−6

Capitolo 4

Test statistici 4.1 4.1.1

Schemi Test sulla media di campioni numerosi

Ipotesi semplice H0 : µ = µ0 (con σ 2 nota) M − µ0 √σ N

≤ Zα

(4.1)

∑ Xi

(4.2)

2

dove è N il numero di elementi del campione, M= la media campionaria, e

α 2

1 N

i

= P(Z ≥ Z α ). 2

Differenza di medie, ipotesi semplice H0 : µX = µY (con σX2 , σY2 note, X e Y indipendenti) |MX − MY | √ 2 ≤ Zα 2 σX σY2 + NX NY

(4.3)

dove è NX il numero di elementi del campione X, NY il numero di elementi del campione Y, MX = MY = le medie campionarie di X eY , e Ipotesi composta H0 : µ = µ0 (con

σ2

α 2

1 NX

∑ Xi

(4.4)

1 NY

∑ Yi

(4.5)

i

i

= P(Z ≥ Z α ). 2

incognita) M − µ0 S √ N

≤ Zα

(4.6)

∑ Xi

(4.7)

2

dove è N il numero di elementi del campione, M=

58

1 N

i

4.1. SCHEMI

59

S =

1 (Xi − M )2 N −1 ∑ i

rispettivamente la media campionaria e la varianza corretta, e

(4.8) α 2

= P(Z ≥ Z α ). 2

Differenza di medie, ipotesi composta H0 : µX = µY (con σX2 , σY2 incognite) |M − MY | √ X ≤ Zα 2 SX SY + NX NY

(4.9)

dove è NX il numero di elementi del campione X, NY il numero di elementi del campione Y, MX = MY =

1 NX

∑ Xi

(4.10)

1 NY

∑ Yi

(4.11)

i

i

SX =

1 (Xi − MX )2 NX − 1 ∑ i

(4.12)

SY =

1 (Yi − YX )2 NY − 1 ∑ i

(4.13)

rispettivamente le medie campionarie di X eY e le loro varianze corrette, e Z α ).

α 2

= P(Z ≥

2

Nel caso in cui σX2 = σY2 = σ 2 si può stimare σ 2 con 2

S =

NX − 1 NY − 1 2 2 SX + S NX + NY − 2 NX + NY − 2 Y

(4.14)

da cui |MX − MY | √ ≤ Zα 2 S N1X + N1Y

(4.15)

4.1.2 Test di buon adattamento Test del χ 2 Ipotesi semplice, non si stimano parametri della distribuzione teorica (Ni − νi )2 ≤ χα2 ,m−1 νi i=1 m

∑

(4.16)

dove m è il numero di intervalli in cui si è suddiviso il dominio di definizione, Ni le frequenze empiriche assolute per l’intervallo i-esimo e νi le frequenze teoriche assolute per lo stesso intervallo. Ipotesi composta, si stimano h parametri della distribuzione teorica; i gradi di libertà sono ora m − 1 − h e quindi (Ni − νi )2 ≤ χα2 ,m−1−h ν i i=1 m

∑

(4.17)

CAPITOLO 4. TEST STATISTICI

60

4.1.3

Test per campioni normali

Medie di campioni normali H0 : µ = µ0 . La variabile casuale X è normale con media µ e varianza σ 2 X ∼ N [µ , σ 2 ], σ 2 è incognita, l’ipotesi è quindi composta. |M − µ0 | S √ N

≤ tN−1, α 2

(4.18)

dove N è il numero di elementi del campione e M= S =

1 N

∑ Xi

(4.19)

i

1 (Xi − M )2 N −1 ∑ i

(4.20)

rappresentano rispettivamente la media campionaria e la varianza corretta. Uguaglianza di medie di campioni normali H0 : µX = µY . |MX − MY | √ ≤ tNX +NY −2, α 2 S N1X + N1Y

(4.21)

dove NX − 1 NY − 1 2 2 S + S (4.22) NX + NY − 2 X NX + NY − 2 Y dove è NX il numero di elementi del campione X, NY il numero di elementi del campione Y, 2

S =

MX = MY =

1 NX

∑ Xi

(4.23)

1 NY

∑ Yi

(4.24)

i

i

SX =

1 (Xi − MX )2 NX − 1 ∑ i

(4.25)

SY =

1 (Yi − YX )2 NY − 1 ∑ i

(4.26)

rispettivamente le medie campionarie di X eY e le loro varianze corrette. Varianza di campioni normali H0 : σ 2 = σ02 . 2

S 2 (N − 1) ≤ χN−1 σ2 dove N è il numero di elementi del campione e M= S =

1 N

∑ Xi

(4.27)

(4.28)

i

1 (Xi − M )2 N −1 ∑ i

(4.29)

rappresentano rispettivamente la media campionaria e la varianza corretta. Nota I test di verifica della presenza di errori grossolani nei dati utilizzati per una stima ai minimi quadrati si trovano come domanda aggiuntiva degli esercizi di compensazione in quanto utilizzano come dato in ingresso il risultato della compensazione stessa.

4.2. ESERCIZI RISOLTI

61

4.2 Esercizi risolti 4.2.1 Test di buon adattamento (χ 2 ) 1 Si sottoponga al test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato alla variabile casuale con densità di probabilità: • simmetrica rispetto all’origine; • lineare tra -1 e 0 e tra 0 e +1; • continua; • nulla al di fuori dell’intervallo [-1, +1]. (vedi grafico)

6 Z  Z  Z  Z  Z  Z -1

-

+1

Si esegua due volte il test, con α = 10% e con α = 1%. Si suddivida l’intervallo [-1, +1] in tre classi: [-1, -0.2), [-0.2, +0.2), [+0.2, +1]. Nota: il piccolo numero dei dati e la particolare scelta suggerita per le classi sono tali da rendere rapidi i calcoli; la esecuzione appropriata del test richiederebbe un campione più numeroso e l’uso di classi diverse.

campione

0.10 -0.70

0.08 0.80

-0.10 -0.61

0.18 -0.01

0.80 -0.19

0.01 -0.17

-0.15 -0.52

Svolgimento Intervallo 1 2 3

estremi -1, -0.2 -0.2, +0.2 +0.2, +1

Ni 3 9 2

Pi · N 0.32 · 14 0.36 · 14 0.32 · 14

= νi 4.48 5.04 4.48

dove Ni = frequenze assolute empiriche νi = frequenze assolute teoriche N = numerosita’ del campione pi = probabilita’ teorica di appartenenza all’ i-esimo intervallo. L’altezza nell’origine della funzione densità di probabilità risulta pari a 1 imponendo l’area sottesa unitaria. A = 0.8·h 2 dove h = 0.8 per similitudine. A= 1 Topografia

0.8 · 0.8 = 0.32 2

e Trattamento delle osservazioni, 1 giugno 1999

CAPITOLO 4. TEST STATISTICI

62

Z  Z  Z   A B A ZZ  Z -0.2

-1

+0.2

-

+1

B = 1 − (0.32 · 2) = 0.36 (Ni − νi )2 2 = χm−1 ν i i=1 m

∑

(Ni − νi )2 (3 − 4.48)2 (9 − 5.04)2 (2 − 4.48)2 = + + = 4.973 νi 4.48 5.04 4.48 i=1 m

∑

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1%

4.2.2

2 χ(3−1) 2 χ(3−1)

= 4.61 = 9.21

ipotesi H0 NON accettata perchè 4.9 > 4.6 ipotesi H0 accettata perchè 4.9 < 9.21

Test sulla media di un campione normale 2

Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µ = 0.00 del campione normale N[µ , σ 2 ] di elementi:

2

4

-4

2

1

4

-2

con livello di significatività α = 5% e si dica quali sono gli estremi dell’intervallo fiduciario.

Svolgimento La variabile statistica da sottoporre a test è m−µ √S N

= t(N−1)

La media empirica del campione risulta m=

7 =1 7

La stima corretta della varianza campionaria: 2

S =

1 54 (12 + 32 + 52 + 12 + 02 + 32 + 32 ) = =9 7−1 6

e quindi 2 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 1 giugno 1999

4.2. ESERCIZI RISOLTI

63

1−0 √3 7

√

7 ' 0.8819 3

=

Il test da effettuare è a due code, con i valori teorici per α = 5% pari a: t(7−1) 5% = ±2.447 2

da cui l’ipotesi H0 è accettata. L’intervallo fiduciario risulta da S |m − µ | ≤ t(7−1) 5% √ 2 N 3 |m − µ | ≤ 2.447 · √ = 2.7746 7 m − 2.77 < µ < m + 2.77 −1.77 < µ < 3.77 Questa diseguaglianza determina i valori di µ compatibili con il risultato empirico dato dal campione.

4.2.3 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali3 Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y:

0 4

-2 2

2 0

4 6

1 2

-1 3

0 5

-1 2

Svolgimento Essendo i due campioni estratti da variabili casuali normali con pari varianza, perchè H0 sia accettata deve risultare: mx − my √ ≤ t(Nx +Ny −2),α /2 S N1x + N1y dove medie e varianze campionarie dei due campioni x e y valgono: mx = 0.375 2 Sx = 3.70

my = 3 2 Sy = 3.72

La varianza campionaria congiunta risulta 2

S =

Ny − 1 7 Nx − 1 7 2 2 S + S = 3.70 + 3.72 = 3.71 Nx + Ny − 2 x Nx + Ny − 2 y 14 14

da cui 3 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 31 maggio 2002

CAPITOLO 4. TEST STATISTICI

64

mx − my toss = √ = 2.72 S N1x + N1y Per i due diversi livelli di significatività risulta { t14,0.005 t(Nx +Ny −2),α /2 = t14,α /2 = t14,0.025

= =

2.98 2.14

Per il livello di significatività α1 = 1% |toss | < tα1 /2 l’ipotesi H0 è accettata; per il livello di significatività α1 = 5% |toss | > tα2 /2 l’ipotesi H0 è rifiutata.

4.2.4

Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali4

Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y:

5 9

3 7

7 5

9 11

6 7

4 8

5 10

4 7

Svolgimento Essendo i due campioni estratti da variabili casuali normali con pari varianza, perchè H0 sia accettata deve risultare: mx − my √ ≤ t(Nx +Ny −2),α /2 S N1x + N1y dove medie e varianze campionarie dei due campioni x e y valgono: mx = 5.38 2 Sx = 3.70

my = 8.00 2 Sy = 3.72

La varianza campionaria congiunta risulta 2

S = da cui

Ny − 1 Nx − 1 7 7 2 2 S + S = 3.70 + 3.72 = 3.71 Nx + Ny − 2 x Nx + Ny − 2 y 14 14 mx − my = 2.72 toss = √ S N1x + N1y

Per i due diversi livelli di significatività risulta { t14,0.005 t(Nx +Ny −2),α /2 = t14,α /2 = t14,0.025

= =

2.98 2.14

Per il livello di significatività α1 = 1% |toss | < tα1 /2 l’ipotesi H0 è accettata; per il livello di significatività α1 = 5% |toss | > tα2 /2 l’ipotesi H0 è rifiutata.

4 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 19 maggio 2000

4.3. ESERCIZI

65

4.3 Esercizi 4.3.1 Test di buon adattamento (χ 2 )5 Si sottoponga al test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato alla variabile casuale con densità di probabilità uniforme sull’intervallo [0, 10]. Si esegua due volte il test, con α = 10% e con α = 1%. 3.9 3.1

2.2 7.4

9.3 0.7

2.1 3.3

4.4 5.5

1.1 2.6

5.9 4.1

8.1 4.8

3.9 9.9

2.4 5.2

Si suddivida l’intervallo [0, 10] in cinque classi.

Soluzione (Ni − νi )2 = 8.5 νi i=1 5

∑

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1%

2 χ(5−1) 2 χ(5−1)

= 7.78 = 13.28

ipotesi H0 NON accettata perchè 8.5 > 7.78 ipotesi H0 accettata perchè 8.5 < 13.28

4.3.2 Test di buon adattamento (χ 2 )6 Si sottoponga a test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato ad una distribuzione normale standardizzata. Si esegua due volte il test con livello di significatività α = 10% e 1%. Si utilizzino 5 classi di estremi: [−∞, −1.7], [−1.7, −0.4], [−0.4, +0.4], [+0.4, +1.7], [+1.7, +∞]. Il campione (già ordinato per valori argomentali crescenti) è il seguente: -3.5 -0.2 +1.2

-2.2 -0.1 +1.5

-2.1 +0.1 +2.5

-1.8 +0.2 +2.8

-1.6 +0.3 +4.5

-1.2 +0.3

-0.8 +0.7

-0.6 +0.7

-0.3 +1.0

-0.2 +1.1

Soluzione Risulta 2 χempirico = 12.59

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1% 5 Topografia 6 Topografia

2 χ(5−1) = 7.78 2 χ(5−1) = 13.28

ipotesi H0 NON accettata perchè 12.59 > 7.78 ipotesi H0 accettata perchè 12.59 < 13.28

e Trattamento delle osservazioni, 19 giugno 2001 e Trattamento delle osservazioni, 2 luglio 2001

CAPITOLO 4. TEST STATISTICI

66

4.3.3

Test di buon adattamento (χ 2 )7

Si sottoponga al test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato alla variabile casuale con densità di probabilità: • simmetrica rispetto all’origine; • lineare tra -2 e 0 e tra 0 e +2; • continua; • nulla al di fuori dell’intervallo [-2, +2]. (vedi grafico)

6 Z  Z  Z  Z  Z Z  -2

-

+2

Si esegua due volte il test, con α = 10% e con α = 1%. Si suddivida l’intervallo [-2, +2] in tre classi: [-2, -0.5), [-0.5, +0.5), [+0.5, +2].

-1.1 0.4

campione

-0.3 0.2

1.3 -1.4

-0.9 -0.7

-0.6 0.3

0.0 0.2

0.1 -0.1

-1.9 -0.8

-1.3 -0.4

-0.1 -0.1

Nota: il piccolo numero dei dati e la particolare scelta suggerita per le classi sono tali da rendere rapidi i calcoli; la esecuzione appropriata del test richiederebbe un campione più numeroso e l’uso di classi diverse.

Soluzione Risulta 2 = 5.38 χempirico

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono: 2 α = 10% χ(3−1) = 4.61 ipotesi H0 NON accettata perchè 4.61 < 5.38 2 = 9.21 ipotesi H0 accettata perchè 9.21 > 5.38 α = 1% χ(3−1)

4.3.4 Test di buon adattamento (χ 2 )8 Si sottoponga al test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato alla variabile casuale con densità di probabilità uniforme sull’intervallo [0, 100]. Si esegua due volte il test, con α = 10% e con α = 1%. 24.9 73.3

49.0 38.4

14.3 21.5

81.4 97.3

58.9 30.1

35.6 24.8

27.0 57.8

Si suddivida l’intervallo [0, 100] in cinque classi. 7 Topografia 8 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 28 gennaio 2002 e Trattamento delle osservazioni, 17 giugno 2003

65.1 56.7

50.5 32.6

7.2 41.2

4.3. ESERCIZI

67

Soluzione (Ni − νi )2 =8 νi i=1 5

∑

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1%

2 χ(5−1) 2 χ(5−1)

ipotesi H0 NON accettata perchè 8 > 7.78 ipotesi H0 accettata perchè 8 < 13.28

= 7.78 = 13.28

4.3.5 Test sulla media di un campione normale9 Il campione dato di seguito è tratto da una variabile gaussiana. Si sottoponga a test l’ipotesi che la variabile sia a media nulla con livello di significatività del 5 per cento. CAMPIONE: 0.2 , -0.3 , 0.6 , 0.6 , -0.2 , 0.5 , 0.0

Soluzione 2

m = 0.2

S = 0.1433

S = 0.3786

m−µ √ = 1.3976 < t6,0.975 = 2.45 S/ N l’ipotesi è quindi accetata.

4.3.6 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali10 Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y:

7 11

5 9

9 7

11 13

8 9

6 10

7 12

6 9

Soluzione m1 = 7.375

m2 = 10

2

S1 = 3.70

2

S2 = 3.71

2

S = 3.705

mx − my toss = √ = 2.727 S N1x + N1y toss = 2.727 < t14,0.995 = 2.977 toss = 2.727 > t14,0.975 = 2.145 l’ipotesi è quindi accetata con livello di significatività all’1% e rifiutata con livello di significatività al 5% . 9 Topografia 10 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 23 giugno 2000 e Trattamento delle osservazioni, 25 maggio 2001 - tipo 1

CAPITOLO 4. TEST STATISTICI

68

4.3.7

Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali11

Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y:

3 9

1 7

5 5

7 11

4 7

2 8

3 10

2 7

Soluzione m1 = 7.375

m2 = 8

2

2

S1 = 3.70

S2 = 3.71

2

S = 3.705

mx − my toss = √ = 4.805 S N1x + N1y toss = 4.805 > t14,0.995 = 2.977 toss = 4.805 > t14,0.975 = 2.145 l’ipotesi è quindi rifiutata per entrambi i livelli di significatività.

4.3.8

Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali12

Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y:

8 12

6 10

10 8

12 14

9 10

7 11

8 13

8 10

Soluzione m1 = 8.5

m2 = 11

2

S1 = 3.43

2

S2 = 3.71

2

S = 3.57

mx − my toss = √ = 2.65 S N1x + N1y toss = 2.65 < t14,0.005 = 2.98 toss = 2.65 > t14,0.025 = 2.14 l’ipotesi è quindi accetata con livello di significatività all’1% e rifiutata con livello di significatività al 5% .

4.3.9

Test di buon adattamento (χ 2 )13

Si sottoponga al test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato alla variabile casuale con densità di probabilità uniforme sull’intervallo [0, 10]. Si esegua due volte il test, con α = 10% e con α = 1%. 2.5 5.9

7.1 3.7

5.6 1.9

0.1 5.0

2.2 5.4

3.9 3.0

9.5 1.3

4.1 4.4

Si suddivida l’intervallo [0, 10] in cinque classi. 11 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 25 maggio 2001 - tipo 2 e Trattamento delle osservazioni, 30 maggio 2003 13 Topografia e Trattamento delle osservazioni, 21 giugno 2004 12 Topografia

2.6 2.7

6.3 3.8

4.3. ESERCIZI

69

Soluzione (Ni − νi )2 = 8.5 νi i=1 5

∑

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1%

2 χ(5−1) 2 χ(5−1)

ipotesi H0 NON accettata perchè 8.5 > 7.78 ipotesi H0 accettata perchè 8.5 < 13.28

= 7.78 = 13.28

4.3.10 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali14 Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y:

1 5

-1 3

3 1

5 7

2 3

0 4

1 6

0 4

Soluzione m1 = 1.375

2

2

2

S1 = 3.696 S2 = 3.554 mx − my toss = √ = 2.89 S N1x + N1y

m2 = 4.125

S = 3.63

toss = 2.89 < t14,0.005 = 2.98 toss = 2.89 > t14,0.025 = 2.14 l’ipotesi è quindi accettata con livello di significatività all’1% e rifiutata con livello di significatività al 5% .

4.3.11 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali15 Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y:

2 3

-1 2

4 -1

3 7

1 2

0 4

-1 4

0 3

Soluzione m1 = 1

m2 = 3

2

2

S1 = 3.429 S2 = 5.143 mx − my toss = √ = 1.93 S N1x + N1y

toss = 1.93 < t14,0.005 = 2.98 toss = 1.93 < t14,0.025 = 2.14 l’ipotesi è quindi accettata con entrambi i livelli di significatività. 14 Topografia 15 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 7 settembre 2004 e Trattamento delle osservazioni, 27 aprile 2005

2

S = 4.29

CAPITOLO 4. TEST STATISTICI

70

4.3.12

Test sulla media di un campione normale16

Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µ = 1.00 del campione normale N[µ , σ 2 ] di elementi:

3

5

-3

3

2

5

-1

con livello di significatività α = 5%.

Soluzione m=2

2

S =9

S=3

√ 7 m−µ √ = ' 0.8819 < t6,0.975 = 2.45 3 S/ N l’ipotesi è quindi accettata.

4.3.13

Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali17

Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y:

3 5

0 4

5 1

4 9

2 4

1 6

0 6

1 5

Soluzione m1 = 2

m2 = 5

2

S1 = 3.429

2

S2 = 5.143

2

S = 4.29

mx − my toss = √ = 2.9 S N1x + N1y

toss = 2.9 < t14,0.005 = 2.98 toss = 2.9 > t14,0.025 = 2.14 l’ipotesi è quindi accettata con livello di significatività all’1% e rifiutata con livello di significatività al’5%.

4.3.14

Test di buon adattamento (χ 2 )18

Si sottoponga a test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato ad una distribuzione normale standardizzata. Si esegua due volte il test con livello di significatività α = 10% e 1%. Si utilizzino 5 classi di estremi: (−∞, −1.5], (−1.5, −0.5], (−0.5, +0.5], (+0.5, +1.5], (+1.5, +∞). Il campione (già ordinato per valori argomentali crescenti) è il seguente: 16 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 12 luglio 2005 e Trattamento delle osservazioni, 15 febbraio 2006 18 Topografia e Trattamento delle osservazioni, 19 aprile 2006 17 Topografia

4.3. ESERCIZI -1.3 0.0

71 -1.1 0.2

-1.1 +0.3

-0.8 +0.4

-0.7 +0.9

-0.6 +1.0

-0.4 +1.3

-0.4 +1.7

-0.2 +2.4

-0.1 +3.0

Nota: il piccolo numero dei dati e la particolare scelta suggerita per le classi sono tali da rendere rapidi i calcoli; la esecuzione appropriata del test richiederebbe un campione più numeroso e l’uso di classi diverse.

Soluzione Risulta 2 = 9.39 χempirico

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1%

2 χ(5−1) = 7.78 2 χ(5−1) = 13.28

ipotesi H0 NON accettata perchè 9.39 > 7.78 ipotesi H0 accettata perchè 9.39 < 13.28

4.3.15 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali19 Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y:

1 3

-2 2

3 -1

2 7

0 2

-1 4

-2 4

-1 3

Soluzione m1 = 0

m2 = 3

2

S1 = 3.429

2

S2 = 5.143

2

S = 4.29

mx − my = 2.9 toss = √ S N1x + N1y toss = 2.9 < t14,0.005 = 2.98 toss = 2.9 > t14,0.025 = 2.14 l’ipotesi è quindi accettata con livello di significatività all’1% e rifiutata con livello di significatività al’5%.

4.3.16 Test di buon adattamento (χ 2 )20 Si sottoponga a test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato ad una distribuzione uniforme. Si esegua due volte il test con livello di significatività α = 10% e 1%. Si utilizzino 5 classi di estremi: [0.0, 0.2], (0.2, 0.4], (0.4, 0.6], (0.6, 0.8], (0.8, 1.0). Il campione (già ordinato per valori argomentali crescenti) è il seguente: 19 Topografia 20 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 10 gennaio 2007 e Trattamento delle osservazioni, 6 febbraio 2007

CAPITOLO 4. TEST STATISTICI

72 0.10 0.56

0.25 0.59

0.27 0.63

0.30 0.69

0.41 0.81

0.45 0.88

0.50 0.91

0.52 0.95

0.55 0.97

0.56 0.99

Nota: il piccolo numero dei dati e la particolare scelta suggerita per le classi sono tali da rendere rapidi i calcoli; la esecuzione appropriata del test richiederebbe un campione più numeroso e l’uso di classi diverse.

Soluzione Risulta 2 = 8.5 χempirico

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1%

4.3.17

2 χ(5−1) = 7.78 2 χ(5−1) = 13.28

ipotesi H0 NON accettata perchè 8.5 > 7.78 ipotesi H0 accettata perchè 8.5 < 13.28

Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali21

Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . L’incertezza con cui sono misurate le distanze, a meno di errori grossolani, è data da σ = 2mm. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%.

Soluzione m1 = 10

m2 = 40

2

S1 = 342.9

2

S2 = 514.3

2

S = 428.57

mx − my = 2.9 toss = √ S N1x + N1y toss = 2.9 < t14,0.005 = 2.98 toss = 2.9 > t14,0.025 = 2.14 l’ipotesi è quindi accettata con livello di significatività all’1% e rifiutata con livello di significatività al’5%.

4.3.18

Test di buon adattamento (χ 2 )22

Si sottoponga a test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato ad una distribuzione normale standardizzata. Si esegua due volte il test con livello di significatività α = 10% e 1%. Si utilizzino 5 classi di estremi: (−∞, −1.5], (−1.5, −0.5], (−0.5, +0.5], (+0.5, +1.5], (+1.5, +∞). Il campione (già ordinato per valori argomentali crescenti) è il seguente: 21 Topografia 22 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 23 giugno 2007 e Trattamento delle osservazioni, 27 agosto 2007

4.3. ESERCIZI -2.0 0.0

73

-1.4 +0.1

-1.0 +0.2

-0.9 +0.4

-0.7 +0.7

-0.6 +1.1

-0.3 +1.4

-0.2 +1.6

-0.2 +2.2

0.0 +3.1

Nota: il piccolo numero dei dati e la particolare scelta suggerita per le classi sono tali da rendere rapidi i calcoli; la esecuzione appropriata del test richiederebbe un campione più numeroso e l’uso di classi diverse.

Soluzione Risulta 2 = 6.39 χempirico

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1%

2 χ(5−1) = 7.78 2 χ(5−1) = 13.28

ipotesi H0 accettata perchè 6.39 < 7.78 ipotesi H0 accettata perchè 6.39 < 13.28

4.3.19 Test di buon adattamento (χ 2 )23 Si sottoponga a test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato ad una distribuzione uniforme. Si esegua due volte il test con livello di significatività α = 10% e 1%. Si utilizzino 5 classi di estremi: (1, 3], (3, 5], (5, 7], (7, 9], (9, 11). Il campione (già ordinato per valori argomentali crescenti) è il seguente: 2.0 6.8

3.5 6.9

3.7 7.3

4.0 7.9

5.1 9.1

5.5 9.8

6.0 10.1

6.2 10.5

6.5 10.7

6.6 10.9

Nota: il piccolo numero dei dati e la particolare scelta suggerita per le classi sono tali da rendere rapidi i calcoli; la esecuzione appropriata del test richiederebbe un campione più numeroso e l’uso di classi diverse.

Soluzione Risulta 2 = 8.5 χempirico

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1%

2 χ(5−1) = 7.78 2 χ(5−1) = 13.28

ipotesi H0 NON accettata perchè 8.5 > 7.78 ipotesi H0 accettata perchè 8.5 < 13.28

4.3.20 Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali24 Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y: 23 Topografia 24 Topografia

10 30

-20 20

30 -10

20 70

0 20

e Trattamento delle osservazioni, 10 gennaio 2008 e Trattamento delle osservazioni, 4 febbraio 2008

-10 40

-20 40

-10 30

CAPITOLO 4. TEST STATISTICI

74

Soluzione m1 = 0

2

S1 = 342.9

m2 = 30

2

2

S2 = 514.3

S = 428.57

mx − my toss = √ = 2.9 S N1x + N1y toss = 2.9 < t14,0.005 = 2.98 toss = 2.9 > t14,0.025 = 2.14 l’ipotesi è quindi accettata con livello di significatività all’1% e rifiutata con livello di significatività al 5%.

4.3.21

Test di buon adattamento (χ 2 )25

Si sottoponga a test del χ 2 (su una sola coda) il buon adattamento del campione sotto riportato ad una distribuzione normale standardizzata. Si esegua due volte il test con livello di significatività α = 10% e 1%. Si utilizzino 5 classi di estremi: (−∞, −1.5], (−1.5, −0.5], (−0.5, +0.5], (+0.5, +1.5], (+1.5, +∞). Il campione (già ordinato per valori argomentali crescenti) è il seguente: -3.0 0.0

-2.1 0.2

-1.7 0.3

-0.8 0.6

-0.7 0.9

-0.6 1.0

-0.4 1.3

-0.4 1.7

-0.2 2.4

-0.1 3.0

Nota: il piccolo numero dei dati e la particolare scelta suggerita per le classi sono tali da rendere rapidi i calcoli; la esecuzione appropriata del test richiederebbe un campione più numeroso e l’uso di classi diverse.

Soluzione Risulta 2 = 10.03 χempirico

Il test viene effettuato ad una coda ed i valori teorici di confronto nei due casi di significatività sono:

α = 10% α = 1%

4.3.22

2 χ(5−1) = 7.78 2 χ(5−1) = 13.28

ipotesi H0 NON accettata perchè 10.03 > 7.78 ipotesi H0 accettata perchè 10.03 < 13.28

Test sulla uguaglianza di medie di campioni normali26

Si sottoponga a test l’ipotesi H0 : µx = µy di uguaglianza delle medie µx e µy dei due campioni normali sotto riportati di pari varianza σx2 = σy2 a livello di significatività α1 = 1% e α2 = 5%. Campione x: Campione y: 25 Topografia 26 Topografia

5 8

-1 6

9 0

7 16

3 6

e Trattamento delle osservazioni, 23 giugno 2008 e Trattamento delle osservazioni, 7 luglio 2008

1 10

-1 10

1 8

4.3. ESERCIZI

75

Soluzione m1 = 3

m2 = 8

2

S1 = 13.714

2

S2 = 20.571

2

S = 17.140

mx − my toss = √ = 2.42 S N1x + N1y

toss = 2.42 < t14,0.005 = 2.98 toss = 2.42 > t14,0.025 = 2.14 l’ipotesi è quindi accettata con livello di significatività all’1% e rifiutata con livello di significatività al 5%.

Capitolo 5

Compensazione di reti di livellazione 5.1

Schemi

Gli esercizi vengono risolti usando la stima a minimi quadrati con parametri aggiuntivi (si veda il capitolo 1). Le equazioni di osservazione si scrivono qi j = Q j − Qi

(5.1)

La matrice disegno A è la matrice dei coefficienti delle Q, dalla 5.1 si ricava che ogni riga della matrice A ha al più due soli coefficienti diversi da 0 che valgono -1 e +1. La matrice normale N risulta da N = A0 Q−1 A

(5.2)

Q−1

Nel caso = I la matrice N ha sulla diagonale il numero di misure che coinvolgono il vertice corrispondente, mentre all’incrocio di ogni riga e colonna l’elemento della matrice vale -1 se i due vertici che corrispondono a riga e colonna sono collegati da una misura, 0 altrimenti. Se due vertici della rete sono collegati tra loro da piú di una misura il coefficiente all’incrocio tra righe e colonne corrispondenti è pari −N, dove N è il numero di misure tra i due vertici. Il termine noto normale si scrive T.N. = A0 Q−1 y0

(5.3)

 Qˆ 1  Qˆ 2  ( 0 −1 )−1 0 −1  xˆ =  A Q y0  ...  = A Q A ˆ Qn

(5.4)

e la stima dei parametri 

Il vettore degli scarti si puó determinare con vˆ = yˆ − y0 = Aˆx − y0

(5.5)

e quindi la stima della varianza vˆ 0 Q−1 vˆ (5.6) m−n con m numero di osservazioni (misure) e n numero di parametri (quote) incogniti. La stima della matrice di varianza e covarianza dei parametri (quote) si scrive

σˆ 02 =

76

5.1. SCHEMI

77

( )−1 ˆ xˆ xˆ = C ˆ ˆ ˆ = σ02 N−1 = σ02 A0 Q−1 A C QQ

(5.7)

Sulla diagonale di questa matrice si leggono le stime delle varianze dei parametri (quote) e al di fuori della diagonale le stime delle covarianze. La verifica dell’ortogonalità degli scarti si scrive A0 Q−1 v = 0

(5.8)

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

78

5.2 Esercizi risolti 5.2.1

Rete di livellazione1

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 3, si determinino le quote dei punti 2 e 4 ed il loro scarto quadratico medio. Le misure sono incorrelate e con uguale precisione, il dislivello q23 è misurato due volte.

1 .... .... ....







2
..... 3 .... ....
A A
A
A
A
A
A
4 Dati Q1 = 0mm Q3 = 10mm Misure q12 4.7mm q23 4.6mm q24 10.1mm q34 4.9mm

5.0mm

Svolgimento Le equazioni di osservazione si scrivono: q12 = Q2 − Q1 q23 = Q3 − Q2 q23 = Q3 − Q2 q24 = Q4 − Q2 q34 = Q4 − Q3 Le quote Q1 e Q3 sono note, le equazioni di osservazione si riscrivono come q12 + Q1 q23 − Q3 q23 − Q3 q24 q34 + Q3

= = = = =

Q2 −Q2 −Q2 −Q2

+Q4 Q4

Scrivendo il sistema come y = Ax la matrice disegno A risulta 1 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 7 maggio 1999

5.2. ESERCIZI RISOLTI

79

   A=   ed il termine noto





0 0 0 1 1

    





+0 −10 −10

4.7 4.6 5.0 10.1 4.9

  y=  

1 −1 −1 −1 0

    =    

+10



4.7 −5.4 −5.0 10.1 14.9

    

Dalla incorrelazione delle misure, la matrice Cyy di varianza e covarianza risulta diagonale, dalla loro uguale precisione segue che la matrice Cyy è proporzionale, per un fattore incognito che non influenza la soluzione, alla matrice identità 5 × 5. Ne consegue che la matrice Q puó essere scelta uguale alla matrice identità e quindi anche la matrice dei pesi Q−1 , sua inversa, risulta tale. La matrice normale N = A0 Q−1 A con Q−1 = I si scrive [ ] 4 −1 N= −1 2 Il determinante risulta det (N) = 7 e quindi l’inversa [ 2 1 ] −1 N = 71 74 7

Il termine noto normale 0 −1

AQ

A0 Q−1 y 0

è [

y=Ay=

7

4.7 + 5.4 + 5.0 − 10.1 10.1 + 14.9

]

[ =

5 25

]

La stima delle incognite Q2 e Q4 risulta xˆ = N −1 A0 Q−1 y = N −1 A0 y = [ = Gli scarti sono

1 7 1 7

(5 · 2 + 25) (5 + 4 · 25) 

  v = y − Ax =   

4.7 −5.4 −5.0 10.1 14.9

]

[ =





    −    

35 7 105 7

[

]

[ =

5 −5 −5 −5 + 15 15

Qˆ2 Qˆ4 5 15 

] = ]



    =    

mm mm −0.3 −0.4 0 0.1 −0.1

     

e quindi la stima della varianza della compensazione risulta

σˆ 02 =

v0 Q−1 v v0 v 0.09 + 0.16 + 0 + 0.01 + 0.01 0.27 = = = = 0.09 mm2 m−n 5−2 3 3

La matrice di varianza e covarianza delle incognite viene stimata con ] [ 2 1 ] [ 2.571429 10−2 1.285714 10−2 Cˆxˆxˆ = σˆ 02 N −1 = 0.09 71 74 = −2 −2 1.285714 10 5.142857 10 7 7

80

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

Gli scarti quadratici medi dei parametri risultano quindi √ σˆ Q2 = √2.571429 10−2 = 1.603567 10−1 mm σˆ Q4 = 5.142857 10−2 = 2.2677868 10−1 mm La verifica dell’ortogonalità degli scarti si scrive ] ] [ [ 0 −0.3 + 0.4 − 0.1 + 0 = A0 Q−1 v = A0 v = 0 0.1 − 0.1

5.3. ESERCIZI

81

5.3 Esercizi 5.3.1 Rete di livellazione2 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Nota la quota del punto 2, nulla, si determinino le quote dei punti 1, 3 e 4 ed il loro scarto quadratico medio. Le misure sono incorrelate e con uguale varianza.

2

b

3 b b b

b b b b

b b b b

b b b b

1

b b b 4

Dati Q2 = 0.0mm Misure q12 q14 q43 q23 q24

= = = = =

21.4mm 21.6mm −24.8mm −22.2mm 0.8mm

Domanda aggiuntiva Come risulterebbe la matrice dei pesi se la misura q24 avesse varianza doppia rispetto alle altre?

Soluzione    Qˆ 1 −20.95 xˆ =  Qˆ 3  =  −22.95  1.1 Qˆ 4 



5.0625 10−1 ˆ  Cxˆxˆ = 1.0125 10−1 2.0250 10−1

σˆ 02 = 8.1 10−1 mm2  2.0250 10−1 2.0250 10−1  4.0500 10−1

1.0125 10−1 5.0625 10−1 2.0250 10−1

Domanda aggiuntiva La matrice dei pesi Q−1 risulterebbe



  Q−1 =    2 Diploma

Universitario, 19 gennaio 1999

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 2

     

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

82

5.3.2

Rete di livellazione (con propagazione)3

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Nota la quota del punto 1, nulla, si determinino le quote dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e con uguale varianza, tranne la q12 che ha varianza doppia.

3

4        1

\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2

Dati Q1 = 0.0m Misure q12 = q23 = q31 =

3.10m 4.05m −7.05m

Dopo aver eseguito la compensazione si determini la quota del punto Q4 e la relativa varianza, avendo misurato il dislivello q34 = 5m con σq34 = 1cm.

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 2 Qˆ 3

]

[ =

[ Cˆxˆxˆ =

3.050 7.075

]

2.500 10−3 1.250 10−3

σˆ 02 = 2.5 10−3 m2 1.250 10−3 1.875 10−3

]

q34 = Q4 − Q3 = 5 m Q4 = q34 + Q3 = 12.075 m σQ2 4 = σq234 + σQ2 3 = 10−4 + 1.875 10−3 = 1.975 10−3 m2

5.3.3 Rete di livellazione4 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 3 e 4, si determinino le quote dei punti 1 e 2 ed il loro scarto quadratico medio. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. Dati Misure Q3 = 3 m q12 = 1.1 m Q4 = 0 m q13 = 2m q14 = −1.1 m q23 = 1m q24 = −1.9 m 3 Diploma

Universitario, recupero 1999-2000 e Trattamento delle osservazioni, 14 settembre 2000

4 Topografia

5.3. ESERCIZI

83 3

1

2

4

Soluzione [ xˆ =

5.3.4

Qˆ 1 Qˆ 2

]

[ =

1 2

]

[

σˆ 02 = 10−2 m2

Cˆxˆxˆ =

3.75 10−3 1.25 10−3

1.25 10−3 3.75 10−3

]

Rete di livellazione (con propagazione)5

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 3 e 4, si determinino le quote dei punti 1 e 2 ed il loro scarto quadratico medio. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione.

3

1 @ @ @ @

2

5

4

Dati Q3 = 10 m Q4 = 0 m Misure q12 = −1.8 m q13 = 4m q14 = −6.2 m q23 = 6m q24 = −3.8 m Si calcoli la quota del punto 5 e la sua varianza, avendo misurato il dislivello q51 = −4m con s.q.m. pari a 1 cm.

Soluzione [ xˆ = 5 Diploma

Qˆ 1 Qˆ 2

]

[ =

6 4

]

σˆ 02

= 4 10

Universitario, 5 febbraio 2001

−2

[ m

2

Cˆxˆxˆ =

1.5 10−2 0.5 10−2

0.5 10−2 1.5 10−2

]

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

84

q51 = Q1 − Q5 Q5 = −q51 + Q1 = 10m σQ2 5 = σq251 + σQ2 1 = 10−4 + 1.5 10−2 = 1.5110−2 m2

5.3.5 Rete di livellazione6 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Nota la quota del punto 1, si determinino le quote dei punti 2, 3 e 4 ed il loro scarto quadratico medio. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione.

1

@

2 @ @ @ @

@ @ @ @

4

@ @

3

Dati Q1 = 0 m

Misure q12 = 3m q13 = 9.8 m q14 = 7.2 m q23 = 7.4 m q24 = 3.6 m q34 = −2.8 m Si facciano osservazioni sul rapporto fra lo schema della rete dell’esercizio precedente e la relativa matrice normale.

Soluzione    Qˆ 2 3 xˆ =  Qˆ 3  =  10  7 Qˆ 4 



7.3 10−2 Cˆxˆxˆ =  3.6 10−2 3.6 10−2

5.3.6

σˆ 02 = 1.46 10−1 m2

3.6 10−2 7.3 10−2 3.6 10−2

 3.6 10−2 3.6 10−2  7.3 10−2

Rete di livellazione7

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 3, 4 e 5, si determinino le quote dei punti 1 e 2 ed il loro scarto quadratico medio. Le misure sono incorrelate e con uguale precisione, il dislivello q12 è misurato due volte. Dati Q3 = 10.0m Q4 = 12.0m Q5 = 15.0m q13 q Misure 14 q12 q15 6 Topografia 7 Topografia

−2.8m −1.0m 0.6m 2.4m

0.8m

q24 q23 q25

e Trattamento delle osservazioni, 19 febbraio 2001 e Trattamento delle osservazioni, 19 giugno 2001

−2.3m −4.5m 1.2m

5.3. ESERCIZI

85 3

1

@ @ @

@ @ @

4

@ @ @

@ @ @ @ @2

@ @ @ 5

Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . Le misure di dislivello hanno sqm, a meno di errori grossolani, di 1 cm. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%.

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 1 Qˆ 2

utilizzando la media delle misure q12

σˆ 02 = 1.52 10−1 m2 senza mediare le misure q12

σˆ 02 = 1.3 10−1 m2

[

Cˆxˆxˆ =

[ Cˆxˆxˆ =

]

[ =

13 14

]

3.619048 10−2 1.447619 10−2

1.447619 10−2 3.619048 10−2

3.095238 10−2 1.238095 10−2

1.238095 10−2 3.095238 10−2

Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 1 · 10−2 = 10−4 m2 utilizzando la media delle misure q12

σˆ 02 (m − n) = 7.60 103 > χ5,0.95 = 11.1 σ02 l’ipotesi è quindi rifiutata. senza mediare le misure q12

σˆ 02 (m − n) = 7.80 103 > χ5,0.95 = 11.1 σ02 l’ipotesi è quindi rifiutata.

]

]

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

86

5.3.7

Rete di livellazione8

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 4, si determinino le quote dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. La linea doppia tra i punti 2 e 3 rappresenta una misura ripetuta due volte.

1

2

3 Misure q12 q13 q23 q23 q24 q34

= = = = = =

0.8 m 1.9 m 0.4 m 1.2 m 2.2 m 0.5 m

4 Dati Q1 = 1 m Q4 = 4 m

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 2 Qˆ 3

]

[ =

2 3

]

senza mediare le misure di q23 :

σˆ 02 = 1.85 10−1 m2

[ Cˆxˆxˆ =

6.16 10−2 3.083 10−2

3.083 10−2 6.16 10−2

]

utilizzando la media delle misure di q23 :

σˆ 02 = 1.4 10−1 m2

5.3.8

[ Cˆxˆxˆ =

4.6 10−2 2.3 10−2

2.3 10−2 4.6 10−2

]

Rete di livellazione9

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 4, si determinino le quote dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. La linea doppia tra i punti 2 e 3 rappresenta una misura ripetuta due volte. 8 Topografia 9 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 25 marzo 2002 e Trattamento delle osservazioni, 16 settembre 2002

5.3. ESERCIZI

Misure q12 q13 q13 q24 q24 q34

= = = = = =

87 1

2

3

4

2.1 m 4.3 m 3.8 m 4.3 m 3.8 m 2.1 m

Dati Q1 = 2 m Q4 = 8 m

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 2 Qˆ 3

]

[ =

4 6

]

senza mediare le misure di q13 e q24 :

σˆ 02 = 7 10−2 m2

[ Cˆxˆxˆ =

2.3 10−2 0

0

]

2.3 10−2

utilizzando le medie delle misure di q13 e q24 :

σˆ 02 = 1.25 10−2 m2

[ Cˆxˆxˆ =

4.16 10−3 0

0

]

4.16 10−3

5.3.9 Rete di livellazione10 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 2 e 3, si determinino le quote dei punti 1 e 4 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. La linea doppia tra i punti 1 e 4 rappresenta una misura ripetuta due volte. Misure Dati q12 = 0.7 m Q2 = 2 m q13 = 2.2 m Q3 = 3 m q14 = 2.7 m q14 = 3.4 m q43 = −1.2 m q42 = −1.7 m 10 Topografia

2, 15 gennaio 2004

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

88

1

3

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

2

4

Soluzione [ xˆ =

]

Qˆ 1 Qˆ 4

[ =

1 4

]

senza mediare le misure di q14 : [

σˆ 02 = 1.275 10−1 m2

4.25 10−2 2.125 10−2

2.125 10−2 4.25 10−2

2.94 10−2 1.472 10−2

1.472 10−2 2.94 10−2

Cˆxˆxˆ =

]

utilizzando la media delle misure di q14 :

σˆ 02 = 8.83 10−2 m2

5.3.10

[ Cˆxˆxˆ =

]

Rete di livellazione11

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete di livellazione schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1, 2 e 4, si determinino le quote dei punti 3 e 5 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e con uguale precisione.

4

5

@ @ @ @ @ @

@ @ @ @

1 Q1 = 20.0m

Dati Misure

q13 = 10.1m q34 = 20.1m

11 Topografia

2, 15 aprile 2004

Q2 = 10.0m q15 = 20.3m q35 = 9.9m

@ 3

@ @ @ 2 Q4 = 50.0m

q23 = 19.9m q45 = −9.9m

q25 = 29.7m

5.3. ESERCIZI

89

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 3 Qˆ 5

]

[ =

[ Cˆxˆxˆ =

30 40

]

1.226 10−2 3.06 10−3

σˆ 02 = 4.6 10−2 m2 3.06 10−3 1.226 10−2

]

5.3.11 Rete di livellazione12 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete di livellazione schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 4, si determinino le quote dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione. Le linee doppie tra i punti 1 e 2 e 3 e 4 rappresentano misure ripetute due volte.

1

2

3 Misure q12 q12 q13 q23 q24 q34 q34

= = = = = = =

4 Dati Q1 = 1 m Q4 = 10 m

3.0 m 3.1 m 5.2 m 1.9 m 6.2 m 4.0 m 4.1 m

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 2 Qˆ 3

]

[ Cˆxˆxˆ =

[ =

4 6

]

5.86 10−3 1.46 10−3

σˆ 02 = 2.2 10−2 m2 1.46 10−3 5.86 10−3

]

5.3.12 Rete di livellazione (con propagazione)13 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 4, si determinino le quote dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. Le linee doppie tra i punti 2 e 3 e tra i punti 2 e 4 rappresentano misure ripetute due volte. 12 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 12 luglio 2005

13 Topografia 2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 13 giugno 2006, la domanda aggiuntiva solo

per Topografia e Trattamento delle osservazioni

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

90

Misure q12 q13 q23 q23 q24 q24 q34

= = = = = = =

1

2

3

4 Dati Q1 = 0 m Q4 = 6 m

1.998 m 4.004 m 1.996 m 2.004 m 3.996 m 4.002 m 2.004 m

Domanda aggiuntiva Si calcoli il dislivello tre i punti 2 e 3 a partire dalle quote stimate nell’esercizio precedente. Quale è la varianza di tale livello?

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 2 Qˆ 3

]

[ =

2 4

]

senza mediare le misure q23 e q24

σˆ 02 = 1.760 10−5 m2 [ Cˆxˆxˆ =

4.4 10−6 2.2 10−6

2, 2 10−6 5.5 10−6

]

utilizzando la media delle misure q23 e q24

σˆ 02 = 1.26 10−5 m2 [ Cˆxˆxˆ =

3.16 10−6 1.583 10−6

1.583 10−6 3.39583 10−6

Domanda aggiuntiva qˆ23 = Qˆ 3 − Qˆ 2 = 2 m Senza mediare le misure q23 e q24

σˆ q2ˆ23 = 5.5 10−6 m2 utilizzando la media delle misure q23 e q24

σˆ q2ˆ23 = 3.39583 10−6 m2

]

5.3. ESERCIZI

91

5.3.13 Rete di livellazione14 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 4, si determinino le quote dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. La linea doppia tra i punti 2 e 3 rappresenta una misura ripetuta due volte.

1

2

3 Misure q12 q13 q23 q23 q24

= = = = =

4 Dati Q1 = 10 cm Q4 = 10 cm

−1.8 cm −0.9 cm 1.0 cm 0.9 cm 2.3 cm

Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . L’incertezza con cui sono misurati dislivelli, a meno di errori grossolani, è data da σ = 2mm. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%.

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 2 Qˆ 3

]

[ =

]

8 9

senza mediare le misure q23

σˆ 02 = 5 10−6 m2 [ Cˆxˆxˆ =

1.875 1.250

1.250 2.500

]

10−6

utilizzando la media delle misure q23

σˆ 02 = 7.25 10−6 m2 [ Cˆxˆxˆ =

2.7187 1.8125

1.8125 3.625

]

10−6 m2

14 Topografia 2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 26 aprile 2007, la domanda aggiuntiva solo per Topografia e Trattamento delle osservazioni

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

92

Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 2 10−2 = 4 10−6 m2 Senza mediare le misure q23

σˆ 02 (m − n) = 3.75 < χ3,0.95 = 7.81 σ02 l’ipotesi è quindi accettata. Utilizzando la media delle misure q23

σˆ 02 (m − n) = 5.4375 < χ3,0.95 = 7.81 σ02 l’ipotesi è quindi accettata.

5.3.14 Rete di livellazione15 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 4, si determinino le quote dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. La linea doppia tra i punti 2 e 3 rappresenta una misura ripetuta due volte.

1

2

3 Misure q12 q13 q23 q23 q24 q34

= = = = = =

4 Dati Q1 = 0 mm Q4 = 2 mm

3.6 mm 0.8 mm −1.2 mm −2.6 mm −0.6 mm 1.0 mm

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 2 Qˆ 3

]

[ =

3 1

]

senza mediare le misure q23

σˆ 02 = 3.9 10−1 mm2 [ Cˆxˆxˆ = 15 Topografia

1.3 6.5 10−1

6.5 10−1 1.3

]

10−1 mm2

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 23 giugno 2008

5.3. ESERCIZI

93

5.3.15 Rete di livellazione16 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 2, si determinino le quote dei punti 3 e 4 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. La linea doppia tra i punti 3 e 4 rappresenta una misura ripetuta due volte.

3

4

@

@ @ @ @

@ @ @ @

@ @ @ @

1 Misure q13 q14 q23 q24 q34 q34

= = = = = =

2 Dati Q1 = 5 m Q2 = 10 m

3.001 m 7.002 m −2.003 m 2.000 m 4.003 m 3.995 m

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 3 Qˆ 4

]

[ =

8 12

] m

senza mediare le misure q34

σˆ 02 = 1.2 10−5 m2 [ Cˆxˆxˆ =

4 2

2 4

]

10−6 m2

mediando le misure q34

σˆ 02 = 5.3 10−6 m2 [ Cˆxˆxˆ =

1.7 0.08

0.08 1.7

]

10−6 m2

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

94

5.3.16

3

1

4

2

Rete di livellazione17

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete di livellazione schematizzata in figura. Note le quote dei punti 2 e 3, si determinino le quote dei punti 1 e 4 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono indipendenti e di uguale precisione. Le linee doppie tra i punti 1 e 3 e 2 e 4 rappresentano misure ripetute due volte. Misure Dati q12 = 0.993 m Q2 = 2 m q13 = 2.004 m Q3 = 3 m q13 = 2.003 m q24 = 1.999 m q24 = 1.998 m q34 = 1.003 m

Soluzione [ xˆ =

]

Qˆ 1 Qˆ 4

[ =

1 4

] m

senza mediare le misure q13 e q24

σˆ 02 = 2.2 10−5 m2 [ Cˆxˆxˆ =

1 0

0 1

]

7.3 10−6 m2

mediando le misure q13 e q24

σˆ 02 = 4.35 10−5 m2 [ Cˆxˆxˆ =

1 0

0 1

]

1.45 10−5 m2

5.3.17 Rete di livellazione18 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete di livellazione schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 4, si determinino le quote dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. La linea doppia tra i punti 2 e 3 rappresenta una misura ripetuta due volte. 16 Topografia

2, 8 aprile 2009 2, 12 gennaio 2010 18 Topografia 2, 22 luglio 2010 17 Topografia

5.3. ESERCIZI

95 3

2 @

@ @ @ @

@ @ @ @

@ @ @ @

1 Misure q21 q23 q23 q24 q31 q34

= = = = = =

4 Dati Q1 = 1 m Q4 = 4 m

−2.000 m −0.995 m −1.003 m 0.998 m −1.001 m 2.003 m

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 2 Qˆ 3

]

[ =

3 2

] m

senza mediare le misure q23

σˆ 02 = 1.2 10−5 m2 [ ] 4 2 Cˆxˆxˆ = 10−6 m2 2 4 mediando le misure q34

σˆ 02 = 7.6 10−6 m2 [ Cˆxˆxˆ =

2.5 1.27

1.27 2.5

]

10−6 m2

5.3.18 Rete di livellazione19 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete di livellazione schematizzata in figura. Note le quote dei punti 1 e 4, si determinino le quote dei punti 2 e 3 e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono incorrelate e di uguale precisione. La linea doppia tra i punti 2 e 3 rappresenta una misura ripetuta due volte. Misure Dati q12 = 3.004 m Q1 = 1 m q13 = 0.996 m Q4 = 3 m q23 = −1.996 m q23 = −1.995 m q24 = −1.005 m q34 = 1.005 m 19 Topografia

2, 10 gennaio 2011

CAPITOLO 5. COMPENSAZIONE DI RETI DI LIVELLAZIONE

96

1

2

3

4

Soluzione [ xˆ =

Qˆ 2 Qˆ 3

]

[ =

4 2

] m

senza mediare le misure q23

σˆ 02 = 3.075 10−5 m2 [ Cˆxˆxˆ =

1.025 5.125 10−1

5.125 10−1 1.025

]

10−5 m2

mediando le misure q34

σˆ 02 = 3.403 10−5 m2 [ Cˆxˆxˆ =

1.1361 5.680556 10−1

5.680556 10−1 1.1361

]

10−5 m2

Capitolo 6

Compensazione di reti planimetriche 6.1 Schemi Gli esercizi vengono risolti usando la stima a minimi quadrati con parametri aggiuntivi (si veda il capitolo 1). Per la scrittura e la linearizzazione delle equazioni di osservazione di distanze e angoli si veda il paragrafo 1.6. La matrice disegno A è la matrice dei coefficienti delle correzioni rispetto ai valori approssimati dei parametri, cioè le derivate nelle 1.64 e 1.65 valutate nei valori approssimati dei parametri. Nel caso in cui le misure di distanza siano affette da un fattore di scala incognito le equazioni di osservazione per la distanza diventano: √ ( )2 ( )2 di j = λ xi − x j + yi − y j (6.1) e quindi la loro linearizzazione ) ) x˜ j − x˜i ( y˜ j − y˜i ( di j − dˆi j = λ˜ ξi − ξ j + λ˜ ηi − η j + d˜i j δ λ ˜ ˜ di j di j

(6.2)

La matrice normale N risulta da N = A0 Q−1 A

(6.3)

T.N. = A0 Q−1 y0

(6.4)

e il termine noto normale si scrive

La stima della variazione dei parametri rispetto ai valori approssimati si stima con  ˆ ξ1  ξˆ2 ξˆ =   ... ξˆn

  ( 0 −1 )−1 0 −1 = AQ A A Q y0 

(6.5)

e quindi la stima dei parametri 

  ˆ ξ1 xˆ1  xˆ2   ξˆ2    xˆ =  = ...   ... xˆn ξˆn

97





 x˜1   x˜2  +    ...  x˜n

(6.6)

98

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

Per la stima degli scarti nel caso non lineare è necessario ristimare le osservazioni a partire dai parametri stimati: √ ( )2 ( )2 (6.7) dˆi j = xˆi − xˆ j + yˆi − yˆ j dove d è la distanza orizzontale, xˆ e yˆ sono le stime delle coordinate cartesiane (oppure i valori dati delle coordinate se queste sono considerate note) e i e j indicano due punti della rete. L’equazione della direzione è: xˆ j − xˆi ˆ −δj θˆi j = arctan yˆ j − yˆi

(6.8)

dove θˆ è la stima della direzione e δˆ è la stima dell’origine delle direzioni misurata rispetto alla direzione dell’asse y. Queste espressioni consentono la stima yˆ di y e quindi del vettore degli scarti v: vˆ = yˆ − y0

(6.9)

e quindi la stima della varianza vˆ 0 Q−1 vˆ (6.10) m−n con m numero di osservazioni (misure) e n numero di parametri incogniti. La stima della matrice di varianza e covarianza dei parametri si scrive

σˆ 02 =

( )−1 ˆ xˆ xˆ = σ02 N−1 = σ02 A0 Q−1 A C

(6.11)

Sulla diagonale di questa matrice si leggono le varianze dei parametri e al di fuori della diagonale le covarianze, gli scarti quadratici medi dei parametri si ricavano quindi estraendo la radice degli elementi sulla diagonale. La verifica dell’ortogonalità degli scarti si scrive A0 Q−1 v = 0

(6.12)

Si tenga presente che nel caso di equazioni di osservazione non lineari tale verifica può essere influenzata in modo significativo dalle approssimazioni introdotte dalla linearizzazione delle equazioni.

6.2. ESERCIZI RISOLTI

99

6.2 Esercizi risolti 6.2.1 Rete con misure di angoli e distanze1 Nella rete riportata in figura si sono effettuate le seguenti osservazioni: angoli

α β γ

= = =

50g .0020 49g .9980 99g .9990

d1 d2

distanze

= =

212.130 m 212.140 m

con vertici A e B di coordinate note. Si determini la stima ai minimi quadrati delle coordinate del punto P e la stima della matrice di varianza e covarianza, supposte le osservazioni tra loro indipendenti e con σα = 15cc per gli angoli e σd = 2mm + 2ppm per le distanze (le espressioni definitive di σα2 e σd2 devono essere espresse con una sola cifra significativa. Esempio: 0.95 ∼ = 1 , 99 · 10−5 ∼ = 10−3 ).

y

6

P

γ@

@ @ @ @

α A (x, ˜ y) ˜P (x, y)A (x, y)B

Valori approssimati Punti noti

= = =

@ @ @ β@ @ B x

(150.0, 150.0)m (0.0, 0.0)m (300.0, 0.0)m

Svolgimento Le equazioni di osservazione si scrivono:

1 Topografia

(

α

=

β

=

γ

=

d1

=

d2

=

)

yP −yA ( xP −xA ) B arctan yxPB −y ( −xP ) ( ) xB −xP P − arctan arctan xyAA −x −yP yB −yP √

arctan

√

(xP − xA )2 + (yP − yA )2 (xP − xB )2 + (yP − yB )2

e Trattamento delle osservazioni, 4 marzo 1996

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

100

Tali equazioni, valutate nei valori approssimati (x˜P , y˜P ), portano a: ( ) 150.0−0.0 α˜ = arctan 150.0−0.0 = arctan(1) = π4 rad ( ) 150.0−0.0 β˜ = arctan 300.0−150.0 = arctan(1) = π4 rad ( ) ( ) 0.0−150.0 γ˜ = arctan 0.0−150.0 − arctan 300.0−150.0 = 0.0−150.0

arctan(1) − arctan(−1) = π2 rad √ √ (150.0 − 0.0)2 + (150.0 − 0.0)2 = 150.0 2 m √ √ (150.0 − 300.0)2 + (150.0 − 0.0)2 = 150.0 2 m

= d˜1

=

d˜2

=

La scrittura della matrice disegno A risulta dalle derivate delle equazioni di osservazione rispetto ai parametri (xP , yP ) incogniti, valutate nei valori approssimati (x˜P , y˜P ): y −y y −y 1 ( )2 P A 2 (−1) = − P 2 A y −y d1 (xP −xA ) 1+ xP −xA P A ∂α 150−0 1 ∂ xP |x˜P ,y˜P = − (150√2)2 = − 300 x −x ∂α 1 1 ( )2 x −x = P 2 A ∂ yP = y −y d1 P A 1+ xP −xA P A ∂α | 1 150−0 ∂ yP x˜P ,y˜P = (150√2)2 = 300 ∂β y −y y −y 1 ( )2 P B 2 (−1) (−1) = P 2 B ∂ xP = d2 y −y (xB −xP ) 1+ xP −xB B P ∂β 150−0 1 ∂ xP |x˜P ,y˜P = (150√2)2 = 300 ∂β x −x 1 1 )2 x −x = B 2 P ( ∂ yP = d2 y −y B P 1+ xP −xB B P ∂β 1 300−150 ∂ yP |x˜P ,y˜P = (150√2)2 = 300

∂α ∂ xP

∂γ ∂ xP

∂γ ∂ yP |x˜P ,y˜P

=

∂ d1 ∂ yP

=

∂ d2 ∂ xP

=

∂ d2 ∂ yP

=

−1 1 ( )2 − ( x 1−x )2 (y −1 (yA −yP ) x −x B −yP ) 1+ yA −yP 1+ yB −yP B P A P yA −yP yB −yP = − d2 + d2 1 2 0−150 = − 0−150 √ 2 + √ 2 =0 (150 2) (150 2) xA −xP 1 = ( x −x )2 (−1) (−1) − (yA −yP )2 1+ A p

=

∂γ ∂ xP |x˜P ,y˜P ∂γ ∂ yP

∂ d1 ∂ xP

=

yA −yP

+

x −x 1 ( )2 B P 2 x −x (yB −yP ) 1+ yB −y p

=

0−150 √ 2 (150 2)

B

xA −xP d12

P − xBd−x 2 2

P

+

2(xP −xA ) √ 2 (xP −xA )2 +(yP −yA )2 2(yP −yA ) √ 2 (xP −xA )2 +(yP −yA )2 1(xP −xB ) √ 1 (xP −xB )1 +(yP −yB )1 1(yP −yB ) √ 1 (xP −xB )1 +(yP −yB )1

300−150 √ 2 (150 2)

1 = − 150

=

xP −xA d1

∂ d1 ∂ xP |x˜P ,y˜P

=

150−0 √ 150 2

=

√1 2

=

yP −yA d1

∂ d1 ∂ yP |x˜P ,y˜P

=

150−0 √ 150 2

=

√1 2

=

xP −xB d1

∂ d2 ∂ xP |x˜P ,y˜P

=

150−300 √ 150 2

=

yP −yB d1

∂ d2 ∂ yP |x˜P ,y˜P

=

150−0 √ 150 2

La matrice disegno A si scrive quindi  ∂α | ∂α x˜P ,y˜P ∂ yP |x˜P ,y˜P  ∂∂xβP ∂β   ∂ xP |x˜P ,y˜P ∂ yP |x˜P ,y˜P  A =  ∂∂xγ |x˜P ,y˜P ∂∂yγ |x˜P ,y˜P P  ∂ dP ∂ d1  1  ∂ xP |x˜P ,y˜P ∂ yP |x˜P ,y˜P ∂ d2 ∂ d2 ∂ x |x˜P ,y˜P ∂ y |x˜P ,y˜P P

(−1) (−1) =

P



 1 − 300  1     300   0 =   1 √   2  − √1 2

1 300 1 300 1 − 150 √1 2 √1 2

= − √1

2

=

√1 2

      

6.2. ESERCIZI RISOLTI

101

Dalla incorrelazione delle misure, la matrice Cyy di varianza e covarianza delle misure risulta diagonale, con numero di righe uguale al numero di colonne pari a 5. Le varianze delle misure risultano per gli angoli σα = σβ = σγ = 15cc e quindi ( )2 ( ) π 2 −6 σα2 = σβ2 = σγ2 = 15 · 10−4 · 200 = 15 = 2 · 10 π ( ) 2 = 2.35610−5 = 5.5510−10 ∼ = 6 10−10 rad 2 in radianti al quadrato, avendo utilizzato una sola cifra significativa come indicato dal testo. Per le distanze le varianze si scrivono ( )2 σd21 = 2 10−3 + 2 10−6 212.130 = 5.877 10−6 ∼ = 6 10−6 m2 e

( )2 σd22 = 2 10−3 + 2 10−6 212.140 = 5.877 10−6 ∼ = 6 10−6 m2

avendo espresso le varianze in metri al quadrato e utilizzando matrice di varianza e covarianza delle misure si scrive quindi  2 σα 0 0 0 0  0 σ2 0 0 0  β  0 σγ2 0 0 Cyy =  0   0 0 0 0 σd21 0 0 0 0 σd22    =  

6 10−10 0 0 0 0

0 6 10−10 0 0 0

0 0 6 10−10 0 0

una sola cifra significativa. La

0 0 0 6 10−6 0

    =  

0 0 0 0 6 10−6

     

Ponendo σ02 = 6 10−10 si ricava 

1  0  Cyy = 6 10−10   0  0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 104 0

0 0 0 0 104



 1  0     = σ2  0 0    0 0

0 1 0 0 0

e quindi    Q=   ed infine la matrice dei pesi Q−1    Q−1 =   

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 104 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 10−4 0

La matrice normale N = A0 Q−1 A si scrive quindi

0 0 0 0 104

     

0 0 0 0 10−4

     

0 0 1 0 0

0 0 0 104 0

0 0 0 0 104

     

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

102

[ N=

1.2 10−4 0

]

0 1.6 10−4

e quindi l’inversa N −1 =

[

8.18 103 0

]

0 6 103

Il termine noto del sistema linearizzato y = y0 − y˜ risulta    y=  

α − α˜ β − β˜ γ − γ˜ d1 − d˜1 d2 − d˜2





    =    

π 50.0020 200 − π4 π 49.9980 200 − π4 π 99.9990 200 −√π2 212.130 − 150√2 212.140 − 150 2





    =    

3.141593 10−5 −3.141593 10−5 −1.570796 10−5 −2.034300 10−3 7.965700 10−3

     

Il termine noto normale A0 Q−1 y è A0 Q−1 y =

[

−9.165463 10−7 5.241331 10−7

]

La stima delle incognite ξP e ηP risulta ] [ ] [ −7.499015 10−3 ξˆP = ξˆ = N −1 A0 Q−1 y = 3.144798 10−3 ηˆ P E quindi la stima delle coordinate di P [ ] [ ] [ ] [ ] xˆP x˜P 149.992501 m ξˆP = + = yˆP y˜P 150.003145 m ηˆ P La stima delle osservazioni, ricavata dalle equazioni di osservazione con i valori stimati delle coordinate di P, risulta: ( ) α˜ = arctan 150.003145−0.0 = 0.785424 rad ( 149.992501−0.0 ) 150.003145−0.0 ˜ β = arctan 300.0−149.992501 = 0.785384 rad ) ( ) ( 300.0−149.992501 − arctan = 1.570775 rad γ˜ = arctan 0.0−149.992501 0.0−150.003145 0.0−150.003145 √ 2 2 d˜1 = (149.992501 − 0.0) + (150.003145 − 0.0) = 212.129 m √ d˜2 = (149.992501 − 300.0)2 + (150.003145 − 0.0)2 = 212.1396 m e quindi    yˆ =   

0.785424 0.785384 1.570775 212.129 212.1396

     

e quindi gli scarti    v = yˆ − y0   

−4.063448 10−6 −1.690187 10−5 5.257362 10−6 1.044596 10−3 4.393872 10−4

     

6.2. ESERCIZI RISOLTI

103

La stima della varianza della compensazione si scrive:

σˆ 02 =

v0 Q−1 v v0 Q−1 v = = 1.527497 10−10 m2 m−n 5−2

mentre lo scarto quadratico medio risulta

σˆ 0 =

√ σˆ 02 = 1.235119 10−5 m

e quindi

σˆ 02 = 0.254583 σ02 La matrice di varianza e covarianza delle incognite viene stimata con Cˆxˆxˆ = σˆ 02 N −1 =

[

1.249770 10−6 0

]

0 9.164981 10−7

=

Gli scarti quadratici medi dei parametri risultano quindi √ σˆ xP = √1.249770 10−6 = 1.117931 10−3 m σˆ yP = 9.164981 10−7 = 9.573391 10−4 m La verifica dell’ortogonalità degli scarti si scrive A0 Q−1 v = A0 v =

[

4.279047 10−4 1.049230 10−3

]

Se σα2 e σd2 non sono espresse con una sola cifra significativa la matrice Cyy risulta:    Cyy =   

1.1103 10−9 0 0 0 0

0 1.1103 10−9 0 0 0

0 0 1.1103 10−9 0 0

0 0 0 5.8770 10−6 0

0 0 0 0 5.8771 10−6

La soluzione cambia e la stima delle incognite ξP e ηP risulta

ξˆ = N −1 A0 Q−1 y =

[

ξˆP ηˆ P

]

[ =

−7.3188 10−3 3.5098 10−3

]

E quindi la stima delle coordinate di P [

xˆP yˆP

]

[ =

ξˆP ηˆ P

]

[ +

Le ristime delle osservazioni risultano    yˆ =   

e quindi gli scarti

x˜P y˜P

]

[ =

0.78543 0.78539 1.57077 212.12934 212.13969

149.992681 m 150.003510 m      

]

     

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

104

   v = yˆ − y0   

4.06799 10−6 1.8720 10−5 −7.6918 10−5 −6.5884 10−4 −3.0865 10−4

     

La stima della varianza della compensazione si scrive:

σˆ 02 =

v0 Q−1 v v0 Q−1 v = = 1.5956 10−1 m2 m−n 5−2

mentre lo scarto quadratico medio risulta √ σˆ 0 = σˆ 02 = 3.994496 10−1 m Gli scarti quadratici medi dei parametri risultano quindi

σˆ xP = 9.1601 10−4 m σˆ yP = 8.3257 10−4 m

6.2.2 Rete con sole misure di distanze 2 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti O, A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

y 6

C

O

Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z P

    

  

B

A x

D

(x, y)O Noti (x, y)B (x, y)D ˜ y) ˜P con (x, 2 Topografia

= = = =

(0, 0)m (x, y)A = (700, 0)m (700, 400)m (x, y)C = (0, 300)m (0, −400)m (400, 0)m coordinate approssimate del punto P.

e Trattamento delle osservazioni, 19 maggio 2000

6.2. ESERCIZI RISOLTI

Osservazioni: dOP distanze dBP dDP

= = =

105

400.005 m 499.986 m 565.721 m

dAP dCP

= =

299.995 m 500.002 m

Svolgimento Le equazioni di osservazione si scrivono: √ dOP = (xP − xO )2 + (yP − yO )2 √ dAP = (xP − xA )2 + (yP − yA )2 √ dBP = (xP − xB )2 + (yP − yB )2 √ dCP = (xP − xC )2 + (yP − yC )2 √ dDP = (xP − xD )2 + (yP − yD )2 Tali equazioni, valutate nei valori approssimati (x˜P , y˜P ), portano a: d˜OP = √ xP = 400 m d˜AP = √3002 = 300 m d˜BP = √3002 + 4002 = 500 m d˜CP = √4002 + 3002 = 500 √ m d˜DP = 4002 + 4002 = 400 2 m La scrittura della matrice disegno A risulta dalle derivate delle equazioni di osservazione rispetto ai parametri (xP , yP ) incogniti, valutate nei valori approssimati (x˜P , y˜P ): ∂ dOP ∂ xP ∂ dAP ∂ xP ∂ dBP ∂ xP ∂ dCP ∂ xP ∂ dDP ∂ xP

=1 = = = =

xP −xA dAP xP −xB dBP xP −xC dCP xP −xD dDP

= −1 = − 35 = =

4 5 √1 2

∂ dOP ∂ yP ∂ dAP ∂ yP ∂ dBP ∂ yP ∂ dCP ∂ yP ∂ dDP ∂ yP

=0 = = = =

yP dAP = 0 yP −yB 4 dBP = − 5 yP −yC 3 dCP = − 5 yP −yD 1 √ dDP = 2

La matrice disegno A si scrive quindi 

1  −1  3 − A=  45  5 √1 2

 0 0   − 45   − 35  √1 2

Dalla incorrelazione delle misure, la matrice Cyy di varianza e covarianza delle misure risulta diagonale, dalla loro uguale precisione segue che la matrice Cyy è proporzionale, per un fattore incognito che non influenza la soluzione, alla matrice identità 5 × 5, essendo 5 il numero di misure. Ne consegue che la matrice Q puó essere scelta uguale alla matrice identità e quindi anche la matrice dei pesi Q−1 , sua inversa, risulta tale. La matrice normale N = A0 Q−1 A con Q−1 = I si scrive ] [ 7 1 ] [ 1 1 9 + 16 1 + 1 + 25 25 + 2 2 = 21 23 N= 1 16 9 1 2 2 2 25 + 25 + 2 1 20 Il determinante risulta det (N) = 21 4 − 4 = 4 = 5 e quindi l’inversa ] [ ] [ 3 3 1 1 − 12 − 10 2 10 = N −1 = 7 7 1 1 − 10 5 −2 2 10

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

106

Il termine noto risulta

   y0 =   

400.005 299.995 499.986 500.002 565.721

     

mentre il termine noto del sistema linearizzato y = y0 − y˜ è      5 10−3 400 400.005  299.995   300   −5 10−3           y =  499.986  −  500  =  −1.4 10−2  500.002   500   2 10−3 √ 565.721 400 2 3.555300 10−2

     

Il termine noto normale A0 Q−1 y è A0 Q−1 y = A0 y = [ =

5 10−3 + 5 10−3 − 35 · (−1.4 10−2 ) + 45 · 2 10−3 + √1 · 3.555300 10−3 2

0 + 0 − 54 · (−1.4 10−2 ) − 35 · 2 10−3 + √1 · 3.555300 10−3 2 [ ] 0.045 = 0.035

] =

La stima delle incognite ξP e ηP risulta

ξˆ = N −1 A0 Q−1 y = N −1 A0 y =

[

ξˆP ηˆ P

]

[ =

0.01 m 0.02 m

]

E quindi la stima delle coordinate di P [ ] [ ] [ ] [ ] xˆP x˜P 400.010 m ξˆP = + = yˆP y˜P 0.020 m ηˆ P La stima delle osservazioni, ricavata dalle equazioni di osservazione con i valori stimati delle coordinate di P, risulta:   400.010000  299.990001     yˆ =   499.978000   499.996000  565.706638 e quindi gli scarti    v = yˆ − y0   

5 10−3 −4.999333 10−3 −7.999984 10−3 −5.999516 10−3 −1.436180 10−2

     

La stima della varianza della compensazione si scrive:

σˆ 02 =

v0 Q−1 v v0 v = = 1.187496 10−4 m2 m−n 5−2

La matrice di varianza e covarianza delle incognite viene stimata con

6.2. ESERCIZI RISOLTI

107

Cˆxˆxˆ = σˆ 02 N −1 = 1.187496 10−4 [ =

3.562487 10−5 −1.187496 10−5

[

3 10 1 − 10

1 − 10

] =

7 10

−1.187496 10−5 8.312469 10−5

]

Gli scarti quadratici medi dei parametri risultano quindi √ σˆ x p = √3.562487 10−5 = 5.968657 10−3 m σˆ y p = 8.312469 10−5 = 9.117274 10−3 m La verifica dell’ortogonalità degli scarti si scrive [ ] −1.556175 10−4 A0 Q−1 v = A0 v = −1.556316 10−4

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

108

6.3 Esercizi Rete con misure di angoli e distanze3

6.3.1

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti A, B e C, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato direzioni e distanze rispetto ai punti di coordinate note. Tutte le misure sono incorrelate e con s.q.m. pari a σd = 1 mm per le distanze e σθ = 20cc per le direzioni.

6y

A

θPA

S S S S S

    θPC

δ θPB

 S  S

B

x

P

C

Noti

(x, y)A = (−30.00, 40.00)m (x, y)C = (0.00, −31.25)m

con

(x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m coordinate approssimate del punto P.

Osservazioni: dPA = 49.002 m distanze dPB = 47.800 m dPC = 33.252 m

(x, y)B = (30.00, 40.00)m

direzioni

θPA = 355g .488 θPB = 40g .477 θPC = 201g .035

Nota: porre π 2 ' 10 nella determinazione dei pesi.

Soluzione 

   ξˆx 9.998022 10−1    2.000165 ξˆ =  ξˆy  =  1.570796 10−2 ξˆδ

   xˆ p 9.998022 10−1  2.000165 xˆ =  yˆ p  =  1.570796 10−2 δˆ 



σˆ 02

= 2.024931 10

3 Topografia

−3

2

m

1.419665 10−6 Cˆxˆxˆ =  0 0

e Trattamento delle osservazioni, 23 giugno 2000

0

1.25

10−6

0

 0 0 

1.07 10−9

6.3. ESERCIZI

109

6.3.2 Rete con sole misure di distanze4 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti O, A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

y 6 B

SS

A  S   S S P  S

C

D

O

-x

(x, y)O Noti (x, y)B (x, y)D ˜ y) ˜P con (x,

= = = =

(0, 0)m (x, y)A = (0, 700)m (−300, 700)m (x, y)C = (−300, 0)m (400, 600)m (0, 300)m coordinate approssimate del punto P.

Osservazioni: dOP dAP distanze dBP dCP dDP

= = = = =

300.025 m 399.975 m 499.981 m 424.306 m 499.967 m

Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . Le misure di distanza hanno sqm, a meno di errori grossolani, di 1 cm. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%.

Soluzione [

ξˆ =

ξˆx ξˆy

]

[ =

0.02 0.03

]

[ Cˆxˆxˆ = 4 Topografia

[ xˆ =

xˆ p yˆ p

]

[ =

3.500390 10−5 −5.000558 10−6

0.02 300.03

]

σˆ 02 = 5.000556 10−5 m2

−5.000558 10−6 1.500167 10−5

e Trattamento delle osservazioni, 29 gennaio 2001

]

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

110

Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 1 · 10−2 = 10−4 m2

σˆ 02 (m − n) = 1.500167 < χ3,0.95 = 7.81 σ02 l’ipotesi è quindi accetata.

6.3.3

Rete con misure di angoli e distanze5

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti A, B e C, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato direzioni e distanze rispetto ai punti di coordinate note. Tutte le misure sono incorrelate e con s.q.m. pari a σd = 1 mm per le distanze e σθ = 20cc per le direzioni. y 6

δ

 Z Z

θPA

   

A

-

P  C

θPC

Noti con golo δ .

x

θPB Z Z Z Z B

(x, y)A = (40.00, 30.00)m (x, y)B = (40.00, −30.00)m (x, y)C = (−31.25, 0.00)m (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m coordinate approssimate di P e δ˜ = 0 valore approssimato dell’an-

Osservazioni: dPA = 50.059 m distanze dPB = 49.991 m dPC = 31.371 m

direzioni

θPA = 57g .882 θPB = 139g .655 θPC = 298g .643

Nota: porre π 2 ' 10 nella determinazione dei pesi.

Domanda aggiuntiva Si determini la distanza di P dall’origine dOP e la sua varianza σd2OP . 5 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 9 aprile 2001

6.3. ESERCIZI

111

Soluzione 

   ξˆx 2 10−2  ˆ   −2 ˆ  ξ =  ξy  = 1 10 2 10−2 δˆ



   xˆ p 2 10−2 −2  xˆ =  yˆ p  =  1 10 2 10−2 δˆ



2.970478 10−3 Cˆxˆxˆ =  0 0

σˆ 02 = 7.628304 10−3  0 0 

0

3.381000

10−3

0

2.540000 10−6

Domanda aggiuntiva dˆOP = 2.236068 10−2 m

σˆ d2OP = 3.052581 10−3

6.3.4 Rete con sole misure di distanza6 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Dal punto P di coordinate incognite si misurano le distanze dai punti A, B, C e D usando uno strumento con fattore di scala incognito. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e il fattore di scala incognito, con la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

y 6 B

S S S S S

P   S   SS   S  S C

(x, y)A (x, y)C ˜ y) ˜P con (x, ˜λ = e Noti

A

-x

S SD

= (40, 30)m (x, y)B = (−30, 40)m = (−40, −30)m (x, y)D = (30, −40)m = (0, 0)m coordinate approssimate del punto P 1 valore approssimato del fattore di scala del distanzionmetro.

Osservazioni: distanze dAP = dBP = 6 Topografia

  

50.015 m 50.051 m

dCP dDP

= =

e Trattamento delle osservazioni, 25 maggio 2001 - tipo 1

50.087 m 50.047 m

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

112

Soluzione 

   ξˆx 3 10−2   −2  ξˆ =  ξˆy  =  2 10 10−3 δˆλ

σˆ 02 = 4.054668 10−6 m2



2.027334 10−6 Cˆxˆxˆ =  0 0

6.3.5

   xˆ p 3 10−2 xˆ =  yˆ p  =  2 10−2  1.001 λˆ 

 0 0 

0

2.027334

10−6

0

4.054668 10−10

Rete con sole misure di distanza7

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Dal punto P di coordinate incognite si misurano le distanze dai punti A, B, C e D usando uno strumento con fattore di scala incognito. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e il fattore di scala incognito, con la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

y 6

B

(x, y)A (x, y)C ˜ y) ˜P con (x, e λ˜ = Noti

A   Z Z  Z  Z P Z Z -x ZZ  Z  Z Z  Z   D C

= (30, 40)m (x, y)B = (−40, 30)m = (−30, −40)m (x, y)D = (40, −30)m = (0, 0)m coordinate approssimate del punto P 1 valore approssimato del fattore di scala del distanzionmetro.

Osservazioni: distanze dAP = dBP =

50.089 m 50.065 m

dCP dDP

= =

50.113 m 50.133 m

Soluzione 

   ξˆx −2 10−2  ˆ   −2 ˆ  ξ =  ξy  = 3 10 2 10−3 δˆλ



   xˆ p −2 10−2 −2  xˆ =  yˆ p  =  3 10 1.002 λˆ

σˆ 02 = 3.970111 10−6 m2 7 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 25 maggio 2001 - tipo 2

6.3. ESERCIZI

113 

1.985056 10−6 ˆ  Cxˆxˆ = 0 0

 0 0 

0

1.985056 10−6 0

3.970111 10−10

6.3.6 Rete con sole misure di angoli8 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Le misure sono le direzioni da P ai punti di coordinate note, con direzione del cerchio incognita. Tutte le misure sono incorrelate e di uguale precisione. y

6

δ  θPA D

θPD

C

Noti





A

 Z   Z  Z  Z P    Z Z Z x Z  θ Z  PB Z  Z  Z  θPC

B

(x, y)B = (90.00, −30.00)m (x, y)D = (−70.00, 50.00)m

(x, y)A = (50.00, 30.00)m (x, y)C = (−30.00, −10.00)m

˜ y) ˜ P = (10, 10)m coordinate approssimate di P e δ˜ = 0 valore approssimato delcon (x, l’angolo δ . Osservazioni: θPA = 67g .338 θPB = 126g .270

θPC = 267g .389

θPD = 326g .270

Domanda aggiuntiva Si determini la distanza di P dall’origine dOP e la sua varianza σd2OP .

Soluzione 

   ξˆx 2 10−2   ξˆ =  ξˆy  =  −1 10−2  5 10−2 ξˆδ 

σˆ 02 = 4.000480 10−6 m2

2.500300 10−2 Cˆxˆxˆ =  7.500900 10−3 0 8 Topografia

   xˆ p 1.002000 10+1  9.990000 xˆ =  yˆ p  =  5 10−2 δˆ 

7.500900 10−3 6.250750 10−3 0

e Trattamento delle osservazioni, 12 settembre 2001

 0  0 1.0000120 10−6

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

114

Domanda aggiuntiva dOP = 14.149223

6.3.7

σd2OP = 2.315586 10−2 m2

Rete con sole misure di distanza9

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti O, A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

6 D

A

  B

O -

P

ZZ  Z Z  Z  Z  Z Z C

(x, y)O = (0, 0)m (x, y)A = (−700, 0)m (x, y)C = (0, −300)m Noti (x, y)B = (−700, −400)m (x, y)D = (0, 400)m ˜ y) ˜ P = (−400, 0)m coordinate approssimate del punto P. con (x, Osservazioni: dOP dAP distanze dBP dCP dDP

= = = = =

399.975 m 300.025 m 500.028 m 499.996 m 565.678 m

Soluzione [

ξˆ =

ξˆx ξˆy

]

[ =

2.005005 10−2 1.015014 10−2 [

Cˆxˆxˆ = 9 Topografia

]

[ xˆ =

xˆ p yˆ p

]

[ =

−3.999799 102 1.015014 10−2

σˆ 02 = 1.133526 10−4 m2 3.400578E 10−5 −1.133526 10−5

−1.133526 10−5 7.934683 10−5

]

e Trattamento delle osservazioni, 30 maggio 2003 - la misura di dCP è diversa

]

6.3. ESERCIZI

115

6.3.8 Rete con sole misure di distanza10 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti O, A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

y6 A

D

S

O

Noti con

P S S S S

C

S S S B

x

(x, y)O = (0, 0)m (x, y)A = (80, 130)m (x, y)B = (140, 0)m (x, y)C = (80, 0)m (x, y)D = (0, 80)m (x, ˜ y) ˜ P = (80, 80)m coordinate approssimate del punto P.

Osservazioni: dOP dAP distanze dBP dCP dDP

= = = = =

113.492 m 49.701 m 100.165 m 80.296 m 80.202 m

Soluzione [

ξˆ =

ξˆx ξˆy

]

[ =

1.869863 10−1 3.102740 10−1 [

Cˆxˆxˆ =

6.3.9

]

[ xˆ =

xˆ p yˆ p

]

[ =

8.018699 101 8.031027 101

σˆ 02 = 4.517231 10−4 m2 2.428785 10−4 −1.546997 10−6

−1.546997 10−6 1.438707 10−4

]

]

Rete con sole misure di distanza11

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Dal punto P di coordinate incognite si misurano le distanze dai punti A, B, C e D usando uno strumento con fattore di scala incognito. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P, il fattore di scala incognito e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione. 10 Topografia 11 Topografia

2, 10 febbraio 2004 e Trattamento delle osservazioni, 16 aprile 2004

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

116

y 6 D

A @ @ @ @ O@ P @ x @ @ @ C @ B

(x, y)A (x, y)C ˜ y) ˜P con (x, ˜ e λ = Noti

Osservazioni: dAP distanze dBP dCP dDP

= (110, 110)m (x, y)B = (110, −90)m = (−90, −90)m (x, y)D = (−90, 110)m = (10, 10)m coordinate approssimate del punto P 1 valore approssimato del fattore di scala del distanzionmetro. = = = =

141.691 m 141.703 m 141.719 m 141.703 m

Domanda aggiuntiva Si determini la distanza dOP del punto P dall’origine (0, 0) e la sua varianza.

Soluzione 

   ξˆx 1.000000 10−2   ξˆ =  ξˆy  =  1.000000 10−2  ˆ 2.000000 10−3 ξλ 



   xˆ p 10.010 xˆ =  yˆ p  =  10.010  1.002 λˆ

σˆ 02 = 4.004435 10−6 m2

2.002218 10−6 ˆ  Cxˆxˆ = 0 0

0 2.002218 10−6 0

 0  0 −11 5.005544 10

Domanda aggiuntiva dOP = 1.418459 101 m

6.3.10

σd2OP = 2.002218 10−6 m2 (= σx2P = σy2P )

Rete con misure di angoli e distanze12

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti A, B e C, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di 12 Topografia 2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 5 luglio 2004, la domanda aggiuntiva solo per Topografia e Trattamento delle osservazioni

6.3. ESERCIZI

117

varianza e covarianza, avendo misurato direzioni e distanze rispetto ai punti di coordinate note. Tutte le misure sono incorrelate e con s.q.m. pari a σd = 1 mm per le distanze e σθ = 20cc per le direzioni. y 6

C

δ  θPA 

A  Z  Z   Z  Z P   Z  Z 

θPC

-

x

θPB B

Noti con e

(x, y)A = (30.00, 40.00)m (x, y)B = (0.00, −31.25)m (x, y)C = (−30.00, 40.00)m (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m coordinate approssimate di P δ˜ = 0 valore approssimato dell’angolo δ .

Osservazioni: dPA = 50.012. m distanze dPB = 31.319 m dPC = 49.944 m

direzioni

θPA = 39g .579 θPB = 198g .811 θPC = 357g .791

Nota: porre π 2 ' 10 nella determinazione dei pesi.

Domanda aggiuntiva Si determini la distanza di P dall’origine dOP e la sua varianza σd2OP .

Soluzione      ξˆx xˆ p 1 10−2   xˆ =  yˆ p  = ξˆ =  ξˆy  =  3 10−2  2 10−2 δˆ ξˆδ 

σˆ 02 = 4.144798 10−3 m2 

1.837233 10−3 ˆ  Cxˆxˆ = 0 0

0

1.614018 10−3 0

1.381599 10−6

Domanda aggiuntiva dOP = 3.162278 10−2 m

 0 0 

σd2OP = 1.636339 10−3 m2

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

118

6.3.11

Rete con misure di angoli e distanze13

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato direzioni e distanze rispetto ai punti di coordinate note. Tutte le misure sono incorrelate e con s.q.m. pari a σd = 1 mm per le distanze e σθ = 20cc per le direzioni. y

δ

A

D

θPD

P θPC θPA

θPB

x

C

B

(x, y)A = (0.00, 200.00)m (x, y)B = (0.00, 0.00)m (x, y)C = (200.00, 0.00)m (x, y)D = (200.00, 200.00)m ˜ y) ˜ P = (100, 100)m coordinate approssimate di P e δ˜ = 0 valore approssimato con (x, dell’angolo δ . Noti

Osservazioni: dPA = 141.455. m distanze dPB = 141.483 m dPC = 141.412 m dPD = 141.384 m

direzioni

θPA = 348g .700 θPB = 250g .010 θPC = 148g .750 θPD = 49g .990

Nota: porre π 2 ' 10 nella determinazione dei pesi.

Soluzione     ξˆx xˆ p   xˆ =  yˆ p  = ξˆ + x˜ =  ξˆy  +  ˆ δ ξˆδ 

       x˜ p 5 · 10−2 100.05 100 −2  +  100  =  100.02  y˜ p  =  2 · 10 0 1 · 10−2 δ˜ 1 · 10−2

σˆ 02 = 9.962774 10−2 m2 

4.744178 10−2 ˆ  Cxˆxˆ = 0 0 13 Topografia

0

4.744178 10−2 0

 0 0 

2.490693 10−5

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 27 aprile 2005

6.3. ESERCIZI

119

6.3.12 Rete con sole misure di distanza14 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Dal punto P di coordinate incognite si misurano le distanze dai punti A, B, C e D. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

y 6 B

@ @

@ @ @

A

@P @ @ @

C

@ @ @ @ D

x

(x, y)A (x, y)C (x, ˜ y) ˜P

= = =

( 0, 100)m (x, y)B = ( 0, 200)m (200, 100)m (x, y)D = (200, 0)m (100, 100)m coordinate approssimate del punto P.

Osservazioni: dAP distanze dBP dCP dDP

= = = =

100.013 m 141.415 m 99.993 m 141.249 m

Noti con

Soluzione [

ξˆ =

ξˆx ξˆy

]

[ =

1.000000 10−2 2.000000 10−2 [

Cˆxˆxˆ =

6.3.13

]

[ xˆ =

xˆ p yˆ p

]

[ =

σˆ 02 = 9.996821 10−6 m2 4.998410 10−6 4.998410 10−6

4.998410 10−6 1.499523 10−5

100.010 100.020

]

]

Rete con misure di distanza e costante addittiva15

Sono state misurate quattro distanze dal punto P ai punti 1, 2, 3 e 4, in modo indipendente e con uguale precisione. A causa della mancata taratura dell’insieme distanziometro+prisma le distanze sono affette da una costante addittiva incognita. Si chiede di eseguire la stima ai minimi quadrati delle coordiante di P e della costante addittiva. Si deve produrre anche la matrice di varianza e covarianza dei risultati. 14 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 15 febbraio 2006 2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 22 agosto 2006, la domanda aggiuntiva solo per Topografia e Trattamento delle osservazioni 15 Topografia

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

120

y 6 3

2

P

1

-

x

4

1 2 3 4

Le coordinate approssimate del punto P sono (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m. Le coordinate dei punti noti e le misure di distanza sono: ( 100.000, 0.000) 99.851 (−100.000, 0.000) 100.251 ( 0.000, 100.000) 99.749 ( 0.000, −100.000) 100.349 (coordinate e misure in metri).

Domanda aggiuntiva Le misure dell’esercizio precedente hanno un s.q.m. noto a priori pari a 1.5 mm. Si deve sospettare la presenza di un errore grossolano? Si risponda due volte eseguendo un test statistico con livello di significatività pari a 0.01 e pari a 0.05.

Soluzione      ξˆx 2 10−1 xˆ p   ξˆ =  ξˆy  = xˆ =  yˆ p  =  3 10−1  m cˆ 5 10−2 δˆc 



σˆ 02 = 4 10−6 m2

2 Cˆxˆxˆ =  0 0

0 2 0

 0 0  10−6 4

Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 1.5 10−3 = 2.25 10−6 m2

σˆ 02 (m − n) = 1.7 < χ1,0.99 = 3.84 σ02 σˆ 02 (m − n) = 1.7 < χ1,0.95 = 6.63 σ02 l’ipotesi è quindi accettata per entrambi i livelli di significatività.

6.3. ESERCIZI

121

6.3.14 Rete con misure di angoli e distanze16 Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza, avendo misurato direzioni e distanze rispetto ai punti di coordinate note. Tutte le misure sono incorrelate e con s.q.m. pari a σd = 1 mm per le distanze e σθ = 20cc per le direzioni. y δ A ϑPB

ϑPA x

D P

B

ϑPD ϑPC

C

Noti con

(x, y)A = (0.00, 100.00)m (x, y)B = (100.00, 0.00)m (x, y)C = (0.00, −100.00)m (x, y)D = (−100.00, 0.00)m (x, ˜ y) ˜ P = (0.00, 0.00)m coordinate approssimate di P δ˜ = 0 valore approssimato dell’angolo δ

Osservazioni: dPA = 99.980 m distanze dPB = 99.970 m dPC = 100.020 m dPD = 100.030 m

direzioni

θPA = 399g .344 θPB = 99g .377 θPC = 199g .382 θPD = 299g .351

Nota: porre π 2 ' 10 nella determinazione dei pesi.

Soluzione 

    ξˆx 2.998592 10−2   ξˆ =  ξˆy  =  2.003821 10−2  =  ˆ 9.998119 10−3 ξδ 

4.244516 10−5 ˆ  Cxˆxˆ = 0 0

 xˆ p yˆ p  = xˆ δˆ

0 4.244516 10−5 0

σˆ 02 = 9.337934 10−5 m2  0  0 −8 2.334484 10

16 Topografia 2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 23 giugno 2007, la domanda aggiuntiva solo per Topografia e Trattamento delle osservazioni

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

122

6.3.15

Rete con sole misure di distanza17

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Dal punto P di coordinate incognite si misurano le distanze dai punti A, B, C, D ed E. Note le coordinate dei punti A, B, C, D ed E, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

y6 E

D

P @ @ @ @ A

B

@ @ @ C

x

(x, y)A Noti (x, y)C (x, y)E ˜ y) ˜P con (x,

= = = =

( 0, 0)m (x, y)B = (100, 0)m (200, 0)m (x, y)D = (200, 200)m (100, 200)m (100, 100)m coordinate approssimate del punto P.

Osservazioni: dAP dBP distanze dCP dDP dEP

= = = = =

141.458 m 100.023 m 141.414 m 141.387 m 99.983 m

Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . L’incertezza con cui sono misurate le distanze, a meno di errori grossolani, è data da σ = 2mm. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%.

Soluzione [

ξˆ =

ξˆx ξˆy

]

[ =

3.028407 10−2 1.996026 10−2 [

Cˆxˆxˆ =

]

[ xˆ =

xˆ p yˆ p

]

[ =

σˆ 02 = 6.685838 10−6 m2 4.680087 10−6 −6.685838 10−7

−6.685838 10−7 2.005752 10−6

100.030284 100.019960

]

]

17 Topografia 2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 9 luglio 2007, la domanda aggiuntiva solo per Topografia e Trattamento delle osservazioni

6.3. ESERCIZI

123

Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 2 10−3 = 4 10−6 m2

σˆ 02 (m − n) = 5.014379 < χ3,0.95 = 7.81 σ02 l’ipotesi è quindi accettata.

Rete con sole misure di distanza18

6.3.16

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Dal punto P di coordinate incognite si misurano le distanze dai punti A, B, C e D. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

D

C

6 y

P

x ZZ  Z  Z Z  Z  Z Z A   B  (x, y)A (x, y)C (x, ˜ y) ˜P

= = =

( 40, −30)m (x, y)B = (−30, −40)m (−30, 0)m (x, y)D = ( 0, 40)m (0, 0)m coordinate approssimate del punto P.

Osservazioni: dAP distanze dBP dCP dDP

= = = =

49.996 m 50.033 m 30.017 m 40.004 m

Noti con

Soluzione [

ξˆ =

[ Cˆxˆxˆ = 18 Topografia

ξˆx ξˆy

]

[ =

2 10−2 1 10−2

]

[ = xˆ =

xˆ p yˆ p

]

σˆ 02 = 2.048980 10−4 m2 1.0244490 10−4 0

0 1.0244490 10−4

]

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 10 gennaio 2008

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE

124

Rete con sole misure di distanza19

6.3.17

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Dal punto P di coordinate incognite si misurano le distanze dai punti A, B, C e D. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione.

y C

Z Z Z Z Z

   D 

6

Z P Z Z    

B

x

A

(x, y)A (x, y)C (x, ˜ y) ˜P

= = =

( 0, −400)m (x, y)B = ( 300, 0)m (−400, 300)m (x, y)D = (−300, −400)m (0, 0)m coordinate approssimate del punto P.

Osservazioni: dAP distanze dBP dCP dDP

= = = =

400.031 m 299.993 m 499.993 m 500.031 m

Noti con

Soluzione [

ξˆ =

[ Cˆxˆxˆ =

6.3.18

ξˆx ξˆy

]

[ =

1 10−2 3 10−2

]

[ = xˆ =

xˆ p yˆ p

σˆ 02 = 9.992576 10−6 m2 4.996288 10−6 0

0 4.996288 10−6

]

]

Rete con sole misure di distanza20

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Dal punto P di coordinate incognite si misurano le distanze dai punti A, B, C, D ed E. Note le coordinate dei punti A, B, C, D ed E, si determinino le coordinate del punto P e la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione. (x, y)A = (−300, 0)m (x, y)B = (−300, 400)m (x, y)D = ( 400, 0)m Noti (x, y)C = ( 400, 300)m (x, y)E = ( 400, −400)m 19 Topografia 20 Topografia

2, 13 luglio 2009 2, 19 aprile 2010

6.3. ESERCIZI

125 B S S S S S

A

con

(x, ˜ y) ˜P

Osservazioni: dAP dBP distanze dCP dDP dEP

y 6    

S S P S @ @ @ @

 

C

-x D @ @ @ @

E

=

(0, 0)m coordinate approssimate del punto P.

= = = = =

300.022 m 500.001 m 499.982 m 399.977 m 565.678 m

Soluzione [

ξˆ =

ξˆx ξˆy

]

[ =

2 1

]

10−2 = xˆ =

[

xˆ p yˆ p

]

σˆ 02 = 1.266762 10−5 m2 [ ] 3.800286 1.266762 Cˆxˆxˆ = 10−6 1.266762 8.867334

6.3.19

Rete con sole misure di distanza21

Si esegua la compensazione a minimi quadrati della rete planimetrica schematizzata in figura. Dal punto P di coordinate incognite si misurano le distanze dai punti A, B, C e D usando uno strumento con fattore di scala incognito. Note le coordinate dei punti A, B, C e D, si determinino le coordinate del punto P e il fattore di scala incognito, con la loro matrice di varianza e covarianza. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione. (x, y)A = (50, 40)m (x, y)B = (−20, 50)m Noti (x, y)C = (−30, −20)m (x, y)D = (40, −30)m ˜ y) ˜ P = (10, 10)m coordinate approssimate del punto P con (x, e λ˜ = 1 valore approssimato del fattore di scala del distanzionmetro. Osservazioni: distanze dAP = dBP = 21 Topografia

50.015 m 50.051 m

2, 4 luglio 2011

dCP dDP

= =

50.087 m 50.047 m

126

CAPITOLO 6. COMPENSAZIONE DI RETI PLANIMETRICHE y 6 B

S A S  S   S S P  S S -x  S   S  S C S SD

Soluzione 

   ξˆx 3 10−2   ξˆ =  ξˆy  =  2 10−2  ˆ 10−3 δλ 



   xˆ p 1.003 101 xˆ =  yˆ p  =  1.002 101  1.001 λˆ

σˆ 02 = 4.054668 10−6 m2

2.027334 10−6 Cˆxˆxˆ =  0 0

0

2.027334

10−6

0

 0 0 

4.054668 10−10

Capitolo 7

Simulazioni e confronti di reti 7.1 Schemi Il confronto di reti ha lo scopo di determinare la migliore configurazione tra quelle proposte rispetto alle precisioni ottenibili per le coordinate dei punti coinvolti. La scelta della precisione da massimizzare, ad esempio le coordinate di un determinato punto piuttosto che una sola coordinata di tutti i punti, dipende ovviamente dallo scopo per cui la rete è istituita. In questo ambito tutti punti e le coordinate saranno trattate come ugualmente importanti, i criteri di confronto illustrati hanno valore generale. Le precisioni delle misure si suppongono note e quindi si suppone nota la loro varianza a priori σ02 ; negli esercizi di questo capitolo i valori della varianza a priori σ02 sono uguali per tutte le reti da confrontare. Il confronto fra le reti viene fatto in base alle varianze e covarianze delle coordinate ricavate ˆ xˆxˆ . dalla compensazione, e quindi in base alla matrice di varianza e covarianza dei parametri C Nella procedura di stima ai minimi quadrati con parametri aggiuntivi la stima della matrice di ˆ xˆxˆ si ricava dalla varianza e covarianza dei parametri C ( )−1 ˆ xˆxˆ = σˆ 02 A0 Q−1 A C = σˆ 02 N−1

(7.1)

Il fattore di proporzionalità σˆ 02 (varianza a posteriori) è calcolabile a partire dagli scarti (par.1.4), sarebbe quindi necessario conoscere le misure. Si può tuttavia supporre il valore della varianza a posteriori uguale per tutte le reti, assumendo le medesime condizioni (strumenti, operatori, ecc.) per le operazioni di misura. Il confronto può essere quindi fatto direttamente sulle matrici normali inverse N−1 . Fatti salvi i casi di confronto di reti per scopi specifici di cui si è parlato sopra, i confronti che vengono effettuati sono: differenza di normali inverse definita positiva : se la matrice differenza delle due normali inverse è definita positiva significa che la prima matrice della differenza è “maggiore” della seconda, non esiste cioè nessun cambiamento di coordinate per cui l’iperellissoide relativo alla seconda matrice è al di fuori dall’iperellissoide associato alla prima matrice. In questo casi si preferisce quindi la seconda rete. determinante della matrice N−1 : il determinante della matrice di varianza e covarianza dei ˆ xˆxˆ è proporzionale all’ipervolume dell’iperellissoide d’errore. Il determinanparametri C ( )2 ˆ te della Cxˆxˆ è proporzionale per il fattore σˆ 02 al determinante della matrice normale inversa. Si sceglie quindi la configurazione a cui corrisponde la matrice normale inversa con determinante minore. MIN-MAX sulla diagonale della N−1 : si ritiene migliore la rete che ha valore massimo delle varianze dei parametri (coordinate) minore. Tali varianze sono proporzionali per il

127

128

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI fattore σˆ 02 agli elementi sulla diagonale della matrice normale inversa: si sceglie quindi la configurazione (rete) che ha elemento massimo sulla diagonale della normale inversa minore.

MIN-MAX sugli autovalori : si applica il criterio MIN-MAX a quantità invarianti rispetto al sistema di riferimento, in questo modo si ha un confronto indipendente dal particolare sistema di riferimento in uso. Rispetto al criterio precedente questo confronto è più significativo perchè si confrontano i valori massimi per qualunque cambiamento di sistemi di riferimento. Si sceglie quindi la rete che ha matrice normale inversa con massimo degli autovalori minore. rapporto degli autovalori più prossimo a 1 : si controlla in questo modo, indipendentemente dal sistema di riferimento, l’omogeneità delle precisioni delle coordinate e non la precisione come per i criteri precedenti: lo scopo di questo criterio è quindi differente da quello dei precenti. Si preferisce la configurazione che ha precisioni più omogenee, cioè la rete per cui i rapporti fra autovalori sono più prossimi all’unità. I criteri appena esposti possono essere applicati ai soli parametri significativi della rete (ad esempio alcune coordinate), escludendo dal confronto parametri meno importanti (come ad esempio l’angolo che individua la direzione rispetto a cui sono misurati gli angoli in una rete planimetrica). Questo può essere fatto estraendo dalla matrice normale inversa la sottomatrice relativa ai parametri significativi e applicando i criteri descritti.

7.2. ESERCIZI RISOLTI

129

7.2 Esercizi risolti 7.2.1 Confronto di reti di livellazione1 Si individui la migliore configurazione fra le reti di livellazione 1 (compensata nell’esercizio 5.2.1 a pagina 78) e 2, riportate in figura, giustificando analiticamente la scelta. Il dislivello tra i punti 2 e 3 è misurato due volte per la rete 1 ed una sola volta per la rete 2; i punti Q1 e Q3 hanno quota nota per entrambe le reti.



2
AA A

1

1

.. ..... .....

.. ..... .....






... ..... .....




A A
A

4





2

... 3 ..... .....
AA
A
A A
A

4

3

Rete 1

Rete 2

Svolgimento Le matrici normali N per le due reti risultano Rete1 [

4 −1

Rete2

−1 2

]

[

3 −1

]

−1 3

det (N) = 7

det (N) = 8

Rete1

Rete2

e le loro inverse N −1 [

2 7 1 7

1 7 4 7

]

( ) det N −1 =

[

1 7

3 8 1 8

1 8 3 8

]

( ) det N −1 =

1 8

Non è possibile scrivere una diseguaglianza tra le matrici N −1 delle due reti, perchè la loro differenza non nè definita positiva ne’ definita negativa. Allora conviene usare il criterio min max: si preferisce la seconda rete, che ha la minima varianza massima ( 83 contro 74 ). Si preferisce la seconda rete anche considerando che ha il minore determinante di N −1 ( 18 contro 1 −1 . Per semplicità cerchiamo prima gli autovalori di N, e li 7 ). Cerchiamo gli autovalori di N invertiamo Polinomio caratteristico di N 1 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 7 maggio 1999

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

130

Rete1

Rete2

det (N − λ I) =

det (N − λ I) =

(2 − λ ) (4 − λ ) − 1 =

(3 − λ ) (3 − λ ) − 1 =

λ 2 − 6λ + 7

λ 2 − 6λ + 8

da cui autovalori di N Rete1

Rete2

√ λ = 3± 2

λ = 3±1

√ λ1 = 3 − 2 ' 1.585786

λ1 = 2

√

λ2 = 3 + 2 ' 4.414214 λ1 λ2

λ1 = 4 λ1 λ2

= 0.359245

= 0.5

Per N −1 gli autovalori sono quindi autovalori di N −1 Rete1

Rete2

λ1 =

1√ 3+ 2

' 0.23

λ1 =

λ2 =

1√ 3− 2

' 0.63

λ2 =

λ1 λ2

' 0.36

λ1 λ2

1 4

= 0.25

1 2

= 0.5

= 0.5

Anche il criterio min max applicato agli autovalori fa preferire la rete 2 (0.5 < 0.63). La seconda rete ha inoltre precisioni più omogenee perchè presenta il rapporto λλ1 più prossimo a 1. 2

7.2.2

Simulazione di rete con misure di distanza2

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (100, 100)m Punti noti: (x, y)A = (0, 0)m (x, y)B = (100, 0)m (x, y)C = (200, 200)m (x, y)D = (0, 100)m 2 Topografia

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (100, 100)m Punti noti: (x, y)A = (0, 0)m (x, y)B = (200, 0)m (x, y)C = (200, 200)m (x, y)D = (0, 200)m

e Trattamento delle osservazioni, 31 maggio 2002

7.2. ESERCIZI RISOLTI

131

6

6 C

D

D@

C @ @ @ @

P

@ P @ @ @

A

B

A

@ @ B

-

Svolgimento Prima rete Le equazioni di osservazione si scrivono: √ dAP = (xP − xA )2 + (yP − yA )2 √ dBP = (xP − xB )2 + (yP − yB )2 √ dCP = (xP − xC )2 + (yP − yC )2 √ dDP = (xP − xD )2 + (yP − yD )2 Tali equazioni, valutate nei valori approssimati (x˜P , y˜P ), portano a: √ √ d˜AP = √1002 + 1002 = 100 2 m d˜BP = √1002 = 100 m √ d˜CP = √1002 + 1002 = 100 2 m d˜DP = 1002 = 100 m La scrittura della matrice disegno A risulta dalle derivate delle equazioni di osservazione rispetto ai parametri (xP , yP ) incogniti, valutate nei valori approssimati (x˜P , y˜P ): ∂ dAP ∂ xP ∂ dBP ∂ xP ∂ dCP ∂ xP ∂ dDP ∂ xP

= = = =

xP −xA dAP xP −xB dBP xP −xC dCP xP −xD dDP

=

√1 2

=0 = − √1 2 =1

La matrice disegno A si scrive quindi 

√1 2

 0  A=  − √12 1

∂ dAP ∂ yP ∂ dBP ∂ yP ∂ dCP ∂ yP ∂ dDP ∂ yP

= = = =

√1 2

yP √1 dAP = 2 yP −yB dBP = 1 yP −yC √1 dCP = − 2 yP −yD dDP = 0



 1    0

− √1 2

Dalla incorrelazione delle misure, la matrice Cyy di varianza e covarianza delle misure risulta diagonale, dalla loro uguale precisione segue che la matrice Cyy è proporzionale, per un fattore incognito che non influenza la soluzione, alla matrice identità 4 × 4, essendo 4 il numero di misure. Ne consegue che la matrice Q puó essere scelta uguale alla matrice identità e quindi anche la matrice dei pesi Q−1 , sua inversa, risulta tale. La matrice normale N = A0 Q−1 A con Q−1 = I si scrive

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

132

 ( ) ( ) 2 2 1 −1 2  √2 + √2 + 1 N= ( )2 ( )2 −1 √1 + √ 2

( (

2

√1 )22

√1 2

)2

(

)2 −1 √ 2 )2 −1 √ + 12 2

+ (

+

  =

[

2 1

1 2

]

Il determinante risulta det (N) = 4 − 1 = 3 e quindi l’inversa [ ] [ 2 ] 1 2 −1 − 13 3 N −1 = = 2 2 − 31 3 −1 3 Seconda rete Le equazioni di osservazione si scrivono: √ dAP = (xP − xA )2 + (yP − yA )2 √ dBP = (xP − xB )2 + (yP − yB )2 √ dCP = (xP − xC )2 + (yP − yC )2 √ dDP = (xP − xD )2 + (yP − yD )2 Tali equazioni, valutate nei valori approssimati (x˜P , y˜P ), portano a: √ √ d˜AP = √1002 + 1002 = 100√2 m d˜BP = √1002 + 1002 = 100√2 m d˜CP = √1002 + 1002 = 100 √2 m d˜DP = 1002 + 1002 = 100 2 m La scrittura della matrice disegno A risulta dalle derivate delle equazioni di osservazione rispetto ai parametri (xP , yP ) incogniti, valutate nei valori approssimati (x˜P , y˜P ): ∂ dAP ∂ xP ∂ dBP ∂ xP ∂ dCP ∂ xP ∂ dDP ∂ xP

= = = =

xP −xA dAP xP −xB dBP xP −xC dCP xP −xD dDP

√1 2 = − √1 2 = − √1 2 = √1 2

=

La matrice disegno A si scrive quindi 

√1 2 − √1 2 − √1 2 √1 2

  A=  

∂ dAP ∂ yP ∂ dBP ∂ yP ∂ dCP ∂ yP ∂ dDP ∂ yP

= = = =

√1 2 √1 2 − √1 2 − √1 2

yP √1 dAP = 2 yP −yB √1 dBP = 2 yP −yC √1 dCP = − 2 yP −yD √1 dDP = − 2

     

Dalla incorrelazione delle misure, la matrice Cyy di varianza e covarianza delle misure risulta diagonale, dalla loro uguale precisione segue che la matrice Cyy è proporzionale, per un fattore incognito che non influenza la soluzione, alla matrice identità 4 × 4, essendo 4 il numero di misure. Ne consegue che la matrice Q puó essere scelta uguale alla matrice identità e quindi anche la matrice dei pesi Q−1 , sua inversa, risulta tale. La matrice normale N = A0 Q−1 A con Q−1 = I si scrive N=  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( )2 ( )2 ( )2  2 2 2 2 −1 −1 √1 √1 √1 √1 √1 + + + − √ + √1 − √    ( 2 )2 ( 2 )2 ( 2 )2 ( 2 )2 ( 2 )2 ( 2 )2 ( 2 )2 ( 2 )2  −1 1 −1 1 −1 1 −1 √1 √ √ √ √ √ √ √ − + − + + + 2

2

2

2

2

2

2

2

7.2. ESERCIZI RISOLTI

133 [

] 2 0 0 2 Il determinante risulta det (N) = 4 e quindi l’inversa [ ] [ 1 1 2 0 N −1 = = 2 0 4 0 2 =

]

0 1 2

Confrontando le due reti quindi, le matrici normali N risultano Rete1 [

2 1

Rete2 ]

1 2

det (N) = 3 e le loro inverse

[

2 0

0 2

]

det (N) = 4

N −1 Rete1 [

Rete2 ]

− 13

2 3 1 −3

[

1 2

2 3

0 1 2

0

( ) det N −1 =

1 3

]

( ) det N −1 =

1 4

Non è possibile scrivere una diseguaglianza tra le matrici N −1 delle due reti, perchè la loro differenza non nè definita positiva ne’ definita negativa (gli autovalori − 61 e 12 hanno segni diversi). Allora conviene usare il criterio min max: si preferisce la seconda rete, che ha la minima varianza massima ( 12 contro 23 ). Si preferisce la seconda rete anche considerando che ha il minore determinante di N −1 ( 14 contro 13 ). Cerchiamo gli autovalori di N −1 . Per semplicità cerchiamo prima gli autovalori di N, e li invertiamo Polinomio caratteristico di N −1

(2 3

Rete1

Rete2

det (N − λ I) =

det (N − λ I) =

−λ

)(2 3

) − λ − 19 =

(1 2

−λ

)(1 2

(1

λ 2 − 34 λ + 13

2

) −λ =

−λ

)2

da cui autovalori di N −1 Rete1

λ=

Rete2

λ=

1 2

1 3

λ1 =

1 2

λ2 = 1

λ2 =

1 2

λ1 λ2

λ1 λ2

2 3

± 13

λ1 =

=

1 3

=1

Anche il criterio min max applicato agli autovalori fa preferire la rete 2 ( 21 < 1). La seconda rete ha inoltre precisioni più omogenee perchè presenta il rapporto λλ1 pari a 1 rispetto al valore 1 3

2

della prima rete.

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

134

7.3 Esercizi Confronto di reti di livellazione3

7.3.1

Si individui la migliore configurazione fra le reti di livellazione 1 (compensata nell’esercizio 5.3.3 a pagina 82) e 2, riportate in figura, giustificando analiticamente la scelta. Le linee semplici dei due grafici indicano misure tutte della stessa precisione. La linea doppia tra i punti 1 e 4 della seconda rete rappresenta una misura ripetuta due volte. Tutte le misure sono incorrelate. I punti 3 e 4 hanno quota nota per entrambe le reti.

Rete 1

3

2 Soluzione

[

N1 =

3 [−1

4 2

3 = 18 8 detN1−1 =

N1−1

] −1 3]

1 24 1 8

1 8 − 81

N2−1

3 0 [ 01 2

=

1

4

[ N2 =

1 8 3 8 1 8

autovalori di N1−1 λ1 = 12 [λ2 = 14

N1−1 − N2−1 =

Rete 2

1 3

3

] 0

]

0 12 = 16 autovalori di N2−1 λ1 = 12 λ2 = 13 detN2−1

]

17 autovalori λ1 = − 12 λ2 =

19 12

Quindi: 1. Non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 < detN2−1 , si preferisce la prima; 3. Max di N2−1 =

1 2

> max di N1−1 = 38 , si preferisce la prima;

4. Max autovalore di N2−1 = 5.

7.3.2

λ1 λ2

= 2 per la prima rete e

1 2

λ1 λ2

= max autovalore di N1−1 = 21 ; =

3 2

per la seconda rete, si preferisce la seconda.

Confronto di reti di livellazione4

Si individui la migliore configurazione fra le reti di livellazione 1 (compensata nell’esercizio 5.3.5 a pagina 84) e 2, riportate in figura, giustificando analiticamente la scelta. Le linee semplici dei due grafici indicano misure tutte della stessa precisione. La linea doppia tra i punti 1 e 3 della seconda rete rappresenta una misura ripetuta due volte. Tutte le misure sono incorrelate. Il punto 1 ha quota nota per entrambe le reti. Nota: l’uso di criteri che richiedono il calcolo di autovalori è facoltativo. 3 Topografia 4 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 14 settembre 2000 e Trattamento delle osservazioni, 19 febbraio 2001

7.3. ESERCIZI 1

135 Rete 1

@ @ @

4

Rete 2 2 1 2 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 3 4 3

Soluzione 

3 −1 3 N1 =  −1 −1 −1  1 1 2 1 4 1 4 −1 detN1

N1−1 = 

4 1 2 1 4

 −1 −1  3 1  4 1 4 1 2

1 = 16 autovalori di N1−1 λ1 = 1 λ2 = 41 λ3 =  1 0 N1−1 − N2−1 =  0 −1 −1 0



2 −1 4 N2 =  −1 0 −1  7 1 12 1 6 1 12 detN2−1



1 4

N2−1 = 

6 1 3 1 6

 0 −1  2 1  12 1 6 7 12

1 = 12 autovalori di N2−1 1 λ1 = 2 λ2 = 1√ λ3 =



3− 3

−1 0  1



1√ 3+ 3

autovalori λ1 = −1 λ2 = 2 λ3 = 0

Quindi: 1. Non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 < detN2−1 , si preferisce la prima; 3. Sulla diagonale max di N2−1 = 4. Max autovalore di N1−1 =

7 12

1√ 3− 3

> max di N1−1 = 12 , si preferisce la prima;

< max autovalore di N2−1 = 1;

5. i massimi rapporti fra autovalori: λλ1 = 14 = 0.25 per la prima rete e 2 per la seconda rete, si preferisce la seconda.

λ2 λ3

=

√ 3−√3 3+ 3

' 0.27

7.3.3 Confronto di reti di livellazione5 Si individui la migliore configurazione fra le reti di livellazione 1 (compensata nell’esercizio 5.3.7 di pagina 86) e 2, riportate in figura, giustificando analiticamente la scelta. Le linee semplici dei due grafici indicano misure tutte della stessa precisione. Le linee doppie tra i punti 2 e 3 della prima rete e i punti 1 e 3 e 2 e 4 della seconda rete rappresentano misure ripetute due volte. Tutte le misure sono incorrelate. I punti 1 e 4 hanno quota nota per entrambe le reti.

5 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 25 marzo 2002

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

136 1

2 1

3

4 3

Soluzione

[

N1 = N1−1

4 [−2

=

detN1−1

1 3 1 6

] −2 4]

Rete 2

4

[

3 0 [ 01 3

N2 =

1 6 1 3 1 12

N2−1

=

2

3

] 0

]

0 31 = 91 autovalori di N2−1 λ1 = 13 λ2 = 13 detN2−1

= autovalori di N1−1 λ1 = 21 λ[2 = 16 ] 0 1 N1−1 − N2−1 = 1 6 0 6 e autovalori λ1 = − 16 λ2 = 16

1 ha determinante negativo (− 36 )

Quindi: 1. Non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 < detN2−1 , si preferisce la prima; 3. Sulla diagonale max di N2−1 = 4. Max autovalore di N1−1 =

1 2

1 3

> max autovalore di N2−1 = 31 , si preferisce la seconda;

5. i massimi rapporti fra autovalori: preferisce la seconda.

7.3.4

= max di N1−1 = 13 , non si può dire nulla; λ1 λ2

=

1 3

per la prima rete e

λ2 λ3

= 1 per la seconda rete, si

Confronto di reti con misure di distanza6

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (50, 50)m Punti noti: (x, y)A = (0, −100)m (x, y)B = (0, −50)m (x, y)C = (50, 0)m (x, y)D = (100, 0)m 6 Topografia

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (50, 50)m Punti noti: (x, y)A = (0, 0)m (x, y)B = (100, 0)m (x, y)C = (0, 100)m (x, y)D = (100, 100)m

e Trattamento delle osservazioni, 14 aprile 2003

7.3. ESERCIZI

137 C

6

D

6

-

D@ @ B P

A A

Soluzione N1 = [ N1−1 =

[

2 1

] 1 2 ] − 31

2 3 2 − 13 3 −1 1 detN1 = 3 autovalori di N1−1 λ1 = 13[λ2 = 1 ] 1 − 13 6 N1−1 − N2−1 = 1 − 13 6 1 e autovalori λ1 = − 6 λ2 = 12

[ N2 = N2−1 =

2 0 [ 01 2 2

C @ @ @ @ P @ @ @ @ @ B

-

] 0

]

1 2 1 4

0 detN2−1 = autovalori di N2−1 λ1 = 21 λ2 = 12

1 ha determinante negativo (− 12 )

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 > detN2−1 , si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 =

2 3

> max di N2−1 = 12 , si preferisce la seconda;

4. max autovalore di N1−1 = 1 > max autovalore di N2−1 = 12 , si preferisce la seconda; 5. i rapporti fra autovalori sono preferisce la seconda.

7.3.5

λ1 λ2

= 3 per la prima rete e

λ2 λ3

= 1 per la seconda rete, si

Confronto di reti con misure di distanza7

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (40, 30)m Punti noti: (x, y)A = (0, 0)m (x, y)B = (40, 0)m (x, y)C = (70, 0)m (x, y)D = (10, 60)m 7 Topografia

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (40, 30)m Punti noti: (x, y)A = (0, 30)m (x, y)B = (40, 0)m (x, y)C = (70, 0)m (x, y)D = (10, 60)m

e Trattamento delle osservazioni, 17 giugno 2003

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

138 6

6 D

D

@ @ @

@ @ @ @ P @ @ @ @ @ @ C B

@ P @   @  @  @  @  @  C A B

A

Soluzione [

41 25 13 − [ 2559 −1 N1 = 90 13 90 detN1−1 =

N1 =

− 13 25 59 25 13 90 41 90 5 18

[

] N2 =

]

N2−1 =

3 1 3 detN2−1 =

autovalori di N1−1 λ1 ' 0.731 λ2 ' 0.380 N1−1 − N2−1 =

[

1 − 90 − 17 90

] 2 −1 −1 2 [ 2 1 ]

− 17 90 − 19 90

3 2 3 1 3

autovalori di N2−1 λ1 = 1 λ2 = 13 ] autovalori λ1 ' 0.103 λ2 ' −0.325

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 < detN2−1 , si preferisce la prima; 3. sulla diagonale max di N1−1 =

59 90

< max di N2−1 = 23 , si preferisce la prima;

4. max autovalore di N1−1 ' 0.731 < max autovalore di N2−1 = 1, si preferisce la prima; 5. i rapporti fra autovalori sono rete, si preferisce la prima.

7.3.6

λ1 λ2

' 0.532 '

1 2

per la prima rete e

λ1 λ2

=

1 3

per la seconda

Confronto di reti di livellazione8

Si individui la migliore configurazione fra le reti di livellazione 1 e 2, riportate in figura, giustificando analiticamente la scelta. Le linee semplici dei due grafici indicano misure tutte della stessa precisione. Le linee doppie tra i punti 2 e 3 della prima rete rappresentano misure ripetute due volte. Tutte le misure sono incorrelate. I punti 1 e 4 hanno quota nota per entrambe le reti, nella seconda rete anche il punto 5 ha quota nota.

8 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 11 settembre 2003

7.3. ESERCIZI

139 Rete 1

1

3 Soluzione

[

N1 = N1−1 =

detN1−1 =

λ1 =

1 6

[

4

3 [ N2 =

1 6 1 3 1 12

2 33 5 66

5 66 1 − 33

Rete 2

2

5

4

4 −1 [

3 11 1 11 detN2−1 =

N2−1 =

autovalori di N1−1 ' 1.6 10−1 λ2 = 12 = 5 10−1

N1−1 − N2−1 =

1

] −2 4]

4 −2 [

1 3 1 6

2

] −1 3 ] 1 11 4 11 1 11

autovalori di N2−1 λ1 ' 2.165 10−1 λ2 ' 4.198 10−1

]

autovalori λ1 ' −7.319 10−2

λ2 ' 1.035 10−1

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 < detN2−1 , si preferisce la prima; 3. sulla diagonale max di N1−1 =

1 3

' 0.3 < max di N2−1 =

4. max autovalore di N1−1 = 5 10−1 > max autovalore di seconda; 5. i rapporti fra autovalori sono rete, si preferisce la seconda.

7.3.7

λ1 λ2

=

1 3

4 11 ' 0.36, si preferisce la prima; N2−1 ' 4.198 10−1 , si preferisce la

' 0.3 per la prima rete e

λ1 λ2

' 0.516 per la seconda

Confronto di reti con misure di distanza9

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (120, −50)m Punti noti: (x, y)A = (0, 0)m (x, y)B = (0, −50)m (x, y)C = (170, 0)m (x, y)D = (70, −100)m 9 Topografia

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (120, −50)m Punti noti: (x, y)A = (0, −50)m (x, y)B = (120, 0)m (x, y)C = (170, 0)m (x, y)D = (70, −100)m

e Trattamento delle osservazioni, 18 dicembre 2003

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

140 A

B

6 H HH HH H

C

HH

-

B

6

A

P

C

-

P

D

D

Soluzione [ N1 = [ N1−1 =

482 169 109 169 194 483 − 109 483 detN1−1 =

]

109 169 194 169 ] − 109 483 482 483 169 483 autovalori di N1−1 λ1 ' 0.33[ λ2 ' 1.07 52 − 128 −1 483 483 N1 − N2−1 = 52 160 483 483

[ N2 = [ N2−1 =

2 1

] 1 2 ] − 13

2 3 2 − 31 3 −1 1 detN2 = 3 autovalori di N2−1 λ1 = 1 λ2 = 13

]

autovalori λ1 ' 0.35 λ2 ' −0.28

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 > detN2−1 , si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 =

482 483

' 1 > max di N2−1 = 23 , si preferisce la seconda;

4. max autovalore di N1−1 ' 1.07 > max autovalore di N2−1 = 1, si preferisce la seconda; 5. i rapporti fra autovalori sono si preferisce la seconda.

7.3.8

λ1 λ2

' 3.2 '

1 2

per la prima rete e

λ1 λ2

= 3 per la seconda rete,

Confronto di reti di livellazione10

Si individui la migliore configurazione fra le reti di livellazione 1 e 2, riportate in figura, giustificando analiticamente la scelta. Le linee semplici dei due grafici indicano misure tutte della stessa precisione. Le linee doppie tra i punti 1 e 3 e 2 e 4 della prima rete e i punti 1 e 3 della seconda rete rappresentano misure ripetute due volte. Tutte le misure sono incorrelate. I punti 1 e 4 hanno quota nota per entrambe le reti.

10 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 21 giugno 2004

7.3. ESERCIZI

141 Rete 1

1

Rete 2

2 1

3

4 3

Soluzione

[

N1 = N1−1 =

3 0 [ 01 3 3

4

] 0

[ N2 =

]

3 −1 [

4 11 1 11 detN2−1 =

N2−1 =

] −1 4 ] 1

11 3 11 1 11 autovalori di N2−1 λ1 ' 2.16 10−1 λ2 ' 4.20

0 13 detN1−1 = 19 autovalori di N1−1 λ1 =[λ2 = 13 ] 1 − 21 − 11 33 N1−1 − N2−1 = 35 1 − 11 33

2

10−1

autovalori λ1 ' 1.02 λ2 ' −9.90 10−1

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 > detN2−1 , si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 = 4. max autovalore di N1−1 =

1 3

1 3

' 0.33 < max di N2−1 =

4 11

' 0.36, si preferisce la prima;

' 0.33 < max autovalore di N2−1 ' 0.4, si preferisce la prima;

5. i rapporti fra autovalori sono preferisce la prima.

λ1 λ2

= 1 per la prima rete e

λ1 λ2

' 0.5 per la seconda rete, si

7.3.9 Confronto di reti con misure di distanza11 Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (−100, 100)m Punti noti: (x, y)A = (−200, 0)m (x, y)B = ( 0, 200)m (x, y)C = ( 0, 100)m (x, y)D = ( 0, 0)m 11 Topografia

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (−100, 100)m Punti noti: (x, y)A = (−200, 100)m (x, y)B = (−100, 200)m (x, y)C = ( 0, 100)m (x, y)D = (−100, 0)m

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 2 febbraio 2005

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

142

B

B 6

P C @ @ @ @ @ D-

P

A

C

-

A

D

Soluzione

[ N1 = [ N1−1 =

6

5 2 1 2 3 7 −1 7 detN1−1 =

]

1 2 3 2 ] −1 7 5 7 2 7 autovalori di N1−1 λ1 ' 0.37[λ2 ' 0.77 1 − 17 − 14 N1−1 − N2−1 = 1 3 −7 4

[ N2 = N2−1 =

[

2 0 1 2

]

0 2 0

]

0 21 detN2−1 = 14 autovalori di N2−1 λ1 = λ2 = 12

]

autovalori λ1 ' 0.27 λ2 ' −0.13

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 > detN2−1 , si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 =

5 7

> max di N2−1 = 12 , si preferisce la seconda;

4. max autovalore di N1−1 ' 0.77 > max autovalore di N2−1 = seconda; 5. i rapporti fra autovalori sono preferisce la seconda.

7.3.10

λ1 λ2

' 0.5 per la prima rete e

λ1 λ2

1 2

= 0.5, si preferisce la

= 1 per la seconda rete, si

Confronto di reti con misure di distanza12

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (−100, 100)m Punti noti: (x, y)A = (−200, 100)m (x, y)B = ( 0, 100)m (x, y)C = ( 0, 0)m (x, y)D = (−200, 0)m 12 Topografia

2, 9 febbraio 2005

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (−100, 100)m Punti noti: (x, y)A = (−200, 100)m (x, y)B = (−100, 200)m (x, y)C = ( 0, 100)m (x, y)D = (−100, 0)m

7.3. ESERCIZI

143 B

6

P @ @ @

A

B

P

A

6

C

@ @ C-

-

D

D

Soluzione [

] 0 1 ] 1 0 −1 3 N1 = 0 1 detN1−1 = 31 autovalori di N1−1 λ1 = 13 λ ] [2 =11 −6 0 N1−1 − N2−1 = 0 12 N1 =

[

3 [0

N2 = N2−1 =

2 0 [ 01 2 2

] 0

]

0 12 detN2−1 = 14 autovalori di N2−1 λ1 = λ2 = 12

autovalori λ1 = − 61 λ2 =

1 2

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 > detN2−1 , si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 = 1 > max di N2−1 = 12 , si preferisce la seconda; 4. max autovalore di N1−1 = 1 > max autovalore di N2−1 = 12 , si preferisce la seconda; 5. i rapporti fra autovalori sono preferisce la seconda.

7.3.11

λ1 λ2

=

1 3

per la prima rete e

λ1 λ2

= 1 per la seconda rete, si

Confronto di reti di livellazione13

Si individui la migliore configurazione fra le reti di livellazione 1 e 2, riportate in figura, giustificando analiticamente la scelta. Le linee semplici dei due grafici indicano misure tutte della stessa precisione. Le linee doppie tra i punti 1 e 2 e 3 e 4 della prima rete rappresentano misure ripetute due volte. Tutte le misure sono incorrelate. I punti 2 e 3 hanno quota nota per entrambe le reti.

13 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 20 giugno 2005

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

144

Rete 1

1

Rete 2

2 1 @ @

3

@ @ @ @

2

@ @ @ @

4 3

Soluzione

[

] 3 0 N1 = [ 01 3 ] 0 −1 N1 = 3 1 0 3 detN1−1 = 19 autovalori di N1−1 λ1 =[λ2 = 13 ] 1 − 18 − 24 −1 −1 N1 − N2 = 1 − 18 − 24

[ N2 =

3 −1 [

3 8 1 8 detN2−1 =

N2−1 =

@ @ 4

] −1 3] 1 8 3 8 1 8

autovalori di N2−1 λ1 = 14 λ2 = 21 1 determinante = − 72

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 , essendo il determinante negativo gli autovalori hanno segno discorde; 2. detN1−1 < detN2−1 , si preferisce la prima; 3. sulla diagonale max di N1−1 = prima; 4. max autovalore di N1−1 = prima;

1 3

' 0.33 < max di N2−1 =

3 8

= 0.375, si preferisce la

' 0.33 < max autovalore di N2−1 =

5. i rapporti fra autovalori sono preferisce la prima.

7.3.12

1 3

λ1 λ2

= 1 per la prima rete e

λ1 λ2

=

1 2

1 2

= 0.5, si preferisce la per la seconda rete, si

Confronto di reti con misure di distanza14

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP e CP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B e C sono note. Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m Punti noti: (x, y)A = ( 0, −50)m (x, y)B = (−30, 40)m (x, y)C = ( 30, 40)m 14 Topografia

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m Punti noti: (x, y)A = ( 0, −50)m (x, y)B = (−40, 30)m (x, y)C = ( 40, 30)m

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 19 aprile 2006

7.3. ESERCIZI

145 6

B S S S

6

C

  

SS P

C B Z  Z  Z  Z P

-

A

Soluzione

A

[

18 25

N1 = N1−1

0 [

25 18

=

0

detN1−1 =

625 1026

[ =

350 576

[ N2 =

57 25

0

]

N2−1

25 57

32 25

0

[

25 32

=

]

43 25

0

detN2−1 =

' 0.61

0 25 43

0 625 1376

]

' 0.45

autovalori di N2−1 25 λ1 = 32 λ2 = 25 43

autovalori di N1−1 25 λ1 = 25 18 λ2 = 57 N1−1 − N2−1

]

0

0

350 0 − 2451

]

λ1 =

350 576

350 λ2 = − 2451

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 , essendo gli autovalori di segno discorde; 2. detN1−1 ' 0.61 > detN2−1 ' 0.45, si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 =

25 18

> max di N2−1 =

25 32 ,

si preferisce la seconda;

4. gli autovalori coincidono con gli elementi in diagonale: max autovalore di N1−1 = −1 25 25 18 > max autovalore di N2 = 32 , si preferisce la seconda; 5. i rapporti fra autovalori sono λλ1 = 57 18 ' 3.18 per la prima rete e 2 per la seconda rete, si preferisce la seconda.

λ1 λ2

=

43 32

' 1.34

7.3.13 Confronto di reti con misure di distanza15 Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. 15 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 10 gennaio 2007

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

146 6

6 D

P @ @ @ @ @ B C

A

D

A

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (100, 100)m Punti noti: (x, y)A = ( 0, 0)m (x, y)B = (100, 0)m (x, y)C = (200, 0)m (x, y)D = (100, 200)m Soluzione

[

N1 = N1−1

[ =

1 0 0 3 1 0

0

]

[

N2−1

1 3

detN1−1 =

[

=

1 2

0

detN2−1 =

1 3

1 2

0 2 0

] ]

1 2 1 4

autovalori di N2−1 λ1 = 12 = λ2 = 12

autovalori di N1−1 λ1 = 1 λ2 = 13 N1−1 − N2−1 =

[

-

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (100, 100)m Punti noti: (x, y)A = ( 0, 0)m (x, y)B = (100, 0)m (x, y)C = (200, 0)m (x, y)D = ( 0, 100)m

2 0

N2 = ]

P @ @ @ @ @ B C

0

0 − 16

]

λ1 =

1 2

λ2 = − 16

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 , essendo gli autovalori di segno discorde; 2. detN1−1 =

1 3

>

1 4

= detN2−1 , si preferisce la seconda;

3. sulla diagonale max di N1−1 = 1 > max di N2−1 = 21 , si preferisce la seconda; 4. gli autovalori coincidono con gli elementi in diagonale: max autovalore di N1−1 = 1 > max autovalore di N2−1 = 21 , si preferisce la seconda; 5. i rapporti fra autovalori sono rete, si preferisce la seconda.

λ1 λ2

= 3 per la prima rete e

λ1 λ2

= 1 per la seconda

7.3. ESERCIZI

147

7.3.14 Confronto di reti di livellazione16 Si individui la migliore configurazione fra le reti di livellazione 1 e 2, riportate in figura, giustificando analiticamente la scelta. Le linee semplici dei due grafici indicano misure tutte della stessa precisione. Le linee doppie tra i punti 1 e 2 e 2 e 4 della prima rete, 1 e 2 e 3 e 4 della seconda rete, rappresentano misure ripetute due volte. Tutte le misure sono incorrelate. I punti 1 e 4 hanno quota nota per entrambe le reti. Rete 1 Rete 2 2 1 2 1

3

4 3

Soluzione

[

N1 = N1−1 =

] 5 −1 −1 3 [ 3 ] 1

14 5 14 1 14 autovalori di N1−1 √ √ λ1 = 4−14 2 λ2 = 4+14 2

[ N2 = N2−1 =

14 1 14 detN1−1 =

N1−1 − N2−1

[

=

1 210

−11 1 1 19

4

] 4 −1 −1 4 [ 4 ] 1

15 1 15 detN2−1 =

15 4 15 1 15 autovalori di N2−1 λ1 = 15 λ2 = 31

]

1 determinante = − 210

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 , essendo il determinante negativo gli autovalori hanno segno discorde; 2. detN1−1 > detN2−1 , si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 = 4. max autovalore di N1−1 = preferisce la seconda;

5 14

√ 4+ 2 14

> max di N2−1 =

4 15 ,

si preferisce la seconda;

' 0.387 > max autovalore di N2−1 =

5. i rapporti fra autovalori sono λλ1 ' 2.17 per la prima rete e 2 seconda rete, si preferisce la seconda. 16 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 27 agosto 2007

λ1 λ2

=

3 5

1 3

= 0.3, si

' 1.65 per la

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

148

Confronto di reti con misure di distanza17

7.3.15

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. 6

D

6

SS

 S   S  S  S   SS   S S C  SS B

A

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m Punti noti: (x, y)A = ( 40, 30)m (x, y)B = ( 30, −40)m (x, y)C = (−40, −30)m (x, y)D = (−30, 40)m Soluzione

[

N2 = N2−1

[ =

2 0

0 2

1 2

0 1 2

0

detN1−1 =

1 4

[ N1 = N1−1

autovalori di N1−1 λ1 = λ2 = 21 = 0.25 N1−1 − N2−1 =

[

49 2598 200 433

200 433 − 817 866

[ =

3 24 25

625 1299 − 200 433

detN2−1 =

' 0.25

    C 

A

B

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m Punti noti: (x, y)A = ( 30, 40)m (x, y)B = ( 40, 0)m (x, y)C = (−40, −30)m (x, y)D = (−30, 0)m

] ]

D

-

    

625 1299

24 25

]

1 200 − 433

]

625 433

' 0.48

autovalori di N2−1 λ1 ' 0.3 λ2 ' 1.6 ]

λ1 ' −1.1 λ2 =' 0.2

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 , essendo gli autovalori di segno discorde; 17 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 4 febbraio 2008

-

7.3. ESERCIZI 2. detN1−1 =

149 1 4

= 0.25 <

625 1299

' 0.48 = detN2−1 , si preferisce la prima;

3. sulla diagonale max di N1−1 = prima; 4. max autovalore di N1−1 = prima;

1 2

5. i rapporti fra autovalori sono rete, si preferisce la prima.

1 2

< max di N2−1 =

' 1.44, si preferisce la

625 433

< max autovalore di N2−1 ' 1.6, si preferisce la λ1 λ2

= 1 per la prima rete e

λ1 λ2

' 0.18 per la seconda

7.3.16 Confronto di reti di livellazione18 Si individui la migliore configurazione fra le reti di livellazione 1 e 2, riportate in figura, giustificando analiticamente la scelta. Le linee semplici dei due grafici indicano misure tutte della stessa precisione. Le linee doppie tra i punti 2 e 3 della prima rete rappresentano misure ripetute due volte; le linee triple tra i punti 1 e 3 e 2 e 4 della seconda rete indicano misure ripetute tre volte. Tutte le misure sono incorrelate. I punti 1 e 4 hanno quota nota per entrambe le reti. Rete 2 1 2 1 2

3 Soluzione

4 3 [

N1 = N1−1

4 −2 −2 4 [

=

1 6 1 3

1 3 1 6

detN1−1 =

]

[ N2 =

]

N2−1

18 Topografia

[ 1 6

1 2

1

=

4 0 0 4 1 4

0

detN2−1 =

1 12

autovalori di N1−1 λ1 = 12 λ2 = 16 N1−1 − N2−1 =

[

4

0

] ]

1 4 1 16

autovalori di N2−1 λ1 = λ2 = 14 1 1 2

]

1 detN1−1 − N2−1 = − 48

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 7 luglio 2008

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

150

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 , essendo il determinante negativo gli autovalori di segno discorde; 2. detN1−1 =

1 12

>

1 16

= detN2−1 , si preferisce la seconda;

3. sulla diagonale max di N1−1 =

1 3

4. max autovalore di N1−1 = seconda;

> max autovalore di N2−1 = 14 , si preferisce la

1 2

5. i rapporti fra autovalori sono rete, si preferisce la seconda.

λ1 λ2

> max di N2−1 = 41 , si preferisce la seconda;

λ1 λ2

= 3 per la prima rete e

= 1 per la seconda

Confronto di reti con misure di distanza19

7.3.17

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. 6 D

6 A

P B

C

-

C

B

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m Punti noti: (x, y)A = (10, 10)m (x, y)B = (10, 0)m (x, y)C = (−10, −10)m (x, y)D = (0, 10)m 19 Topografia

D @ @ @ @ @ P

2, 8 gennaio 2009

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m Punti noti: (x, y)A = (10, 0)m (x, y)B = (−10, −10)m (x, y)C = (−10, 10)m (x, y)D = (0, 10)m

A

-

7.3. ESERCIZI

Soluzione

151

[

] 2 1 1 2 ] 2 − 13 3 2 − 13 3 −1 1 detN1 = 3 autovalori di N1−1 λ1 = 13 [λ2 = 1 ] 1 − 13 6 N1−1 − N2−1 = 1 − 13 6 1 e autovalori λ1 = − 6 λ2 = 12

[

N1 = [ −1 N1 =

N2 = N2−1 =

2 [0

1 2

] 0 2 ] 0

0 12 = 14 autovalori di N2−1 λ1 = 21 λ2 = 21 detN2−1

1 ha determinante negativo (− 12 )

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 > detN2−1 , si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 =

2 3

> max di N2−1 = 12 , si preferisce la seconda;

4. max autovalore di N1−1 = 1 > max autovalore di N2−1 = 12 , si preferisce la seconda; 5. i rapporti fra autovalori sono rete, si preferisce la seconda.

λ1 λ2

λ1 λ2

= 3 per la prima rete e

= 1 per la seconda

Confronto di reti con misure di distanza20

7.3.18

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, C e D sono note. 6

6

C

C @ @

D

20 Topografia

@ @ @P @

B

@ @ @ @A

2, 23 giugno 2009

P

-

B

D

A

-

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

152

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m Punti noti: (x, y)A = (100, −100)m (x, y)B = (100, 0)m (x, y)C = (−100, 100)m (x, y)D = (−100, 0)m

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (0, 0)m Punti noti: (x, y)A = (0, −100)m (x, y)B = (100, 0)m (x, y)C = (100, 100)m (x, y)D = (−100, −100)m

[

[

Soluzione N1 =

3 −1 [

1 2 1 2 detN1−1 =

N1−1 =

] −1 1]

N2 = [ N2−1 =

1 2 3 2 1 2

−1 autovalori √ di N1 √ λ1 = 1 − 2 λ2[= 1 + 2] −1 5 N1−1 − N2−1 = 16 5 5

2 1

] 1 2 ] − 31

2 3 1 2 −3 3 −1 1 detN2 = 3 autovalori di N2−1 λ1 = 13 λ2 = 1

ha determinante negativo (− 56 )

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 > detN2−1 , si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 =

3 2

> max di N2−1 = 32 , si preferisce la seconda;

√ 4. max autovalore di N1−1 = 1 + 2 ' 2.4 > max autovalore di N2−1 = 1, si preferisce la seconda; 5. i rapporti fra autovalori sono λλ1 = 0.16 per la prima rete e 2 rete, si preferisce la seconda.

7.3.19

λ1 λ2

= 0.3 per la seconda

Confronto di reti con misure di distanza21

Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP e OP per la prima rete, AP e BP per la seconda, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione; i tratti singoli indicano una misura, quelli doppi due misure e quelli tripli tre misure. Le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B e O sono note. Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P =(100, 100)m Punti noti: (x, y)A =(0, 100)m (x, y)B =(100, 0)m (x, y)O =(0, 0)m 21 Topografia

2, 26 gennaio 2010

7.3. ESERCIZI

153

6

6

P

A

O

-

B

Soluzione

] 3 1 1 2 ] 2 − 15 5 3 − 15 5 −1 1 detN1 = 5 autovalori di N1−1 λ1 = 5−2√5 λ2 = 5+2√5 [ 1 ] − 15 −1 −1 15 N1 − N2 = 1 − 15 10

P

A

[

O

-

B

[

] 3 0 [ 01 2 ] 0 −1 N2 = 3 1 0 2 detN2−1 = 16 autovalori di N2−1 λ1 = 12 λ2 = 13

N1 = [ N1−1 =

N2 =

1 ha determinante negativo (− 30 )

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 > detN2−1 , si preferisce la seconda; 3. sulla diagonale max di N1−1 = 4. max autovalore di N1−1 = risce la seconda;

3 5

2√ 5− 5

> max di N2−1 = 12 , si preferisce la seconda; ' 0.723 > max autovalore di N2−1 = 21 , si prefe-

5. i rapporti fra autovalori sono λλ1 ' 2.6 per la prima rete e 2 seconda rete, si preferisce la seconda.

λ1 λ2

=

2 3

= 1.5 per la

7.3.20 Confronto di reti con misure di distanza22 Si individui la migliore configurazione fra le due reti planimetriche schematizzate in figura, dove sono state misurate le distanze AP, BP, CP e DP, giustificando analiticamente la scelta. Tutte le misure sono incorrelate e con pari precisione. Le coordinate del punto P sono incognite, mentre quelle dei punti A, B, D e D sono note. 22 Topografia

2, 30 agosto 2010

CAPITOLO 7. SIMULAZIONI E CONFRONTI DI RETI

154 D6 @

6

C @ @ @ @

@ P@ @ @

A

P

@ @ B

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (10, 10)m Punti noti: (x, y)A = (0, 0)m (x, y)B = (20, 0)m (x, y)C = (20, 20)m (x, y)D = (0, 20)m Soluzione

D

] 2 0 N1 = [ 01 2 ] 0 N1−1 = 2 1 0 2 detN1−1 = 14 autovalori di N1−1 λ1 = 12 [λ2 = 21 ] 1 − 16 3 N1−1 − N2−1 = 1 − 16 3 1 e autovalori λ1 = − 2 λ2 = 16

A

C

-

B

Valori approssimati: (x, ˜ y) ˜ P = (10, 10)m Punti noti: (x, y)A = (0, 0)m (x, y)B = (10, 0)m (x, y)C = (20, 10)m (x, y)D = (20, 20)m

[

[ N2 = [ −1 N2 =

2 1

] 1 2 ] − 13

2 3 1 2 −3 3 −1 1 detN2 = 3 autovalori di N2−1 λ1 = 13 λ2 = 1

1 ha determinante negativo (− 12 )

Quindi: 1. non si può dire nulla su N1−1 ≤≥ N2−1 ; 2. detN1−1 < detN2−1 , si preferisce la prima; 3. sulla diagonale max di N1−1 = 4. max autovalore di N1−1 = prima;

1 2

1 2

< max di N2−1 = 32 , si preferisce la prima;

= 0.5 < max autovalore di N2−1 = 1, si preferisce la

5. i rapporti fra autovalori sono rete, si preferisce la prima.

λ1 λ2

= 1 per la prima rete e

λ1 λ2

= 3 per la seconda

Capitolo 8

Rototraslazione e variazione di scala 8.1 Schemi Per una trattazione completa della procedura utilizzata per la stima dei parametri di una trasformazione si veda il capitolo 2, in questo ambito si riportano le formule utilizzate per la risoluzione degli esercizi di questo capitolo. Una trasformazione di rototraslazione e variazione di scala si può scrivere xi = λ Rx0i + x0

(8.1)

che porta dalle coordinate x0i alle coordinate x per ogni punto i. La matrice di rotazione R si esprime come [ ] a b λR = (8.2) −b a avendo posto a = λ cos(α ) e b = λ sin(α ). E‘ ovviamente possibile calcolare λ e α a partire da a e b con le √ λ = a2 + b2 (8.3) b α = arctan (8.4) a Si calcolano le coordinate xB0 , y0B , xB e yB dei baricentri per i due sistemi con le xB0 =

1 N 0 ∑ xi N i=1

(8.5)

y0B =

1 N 0 ∑ yi N i=1

(8.6)

xB =

1 N ∑ xi N i=1

(8.7)

yB =

1 N ∑ yi N i=1

(8.8)

155

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

156

e quindi le coordinate baricentriche per i = 1, . . . , N, con N numero di punti x0i = xi0 − xB0

(8.9)

y0i = y0i − y0B

(8.10)

xi = xi − xB

(8.11)

yi = yi − yB

(8.12)

La stima dei parametri a e b risulta:

a=

∑Ni=1 x0i xi + y0i yi 2 2 ∑Ni=1 x0i + y0i

(8.13)

b=

∑Ni=1 y0i xi − x0i yi 2 2 ∑Ni=1 x0i + y0i

(8.14)

I valori di α e λ si ricavano dalle 8.13-8.14 con le 8.3-8.4. I parametri di traslazione si stimano dalle { x0 = xB − axB0 − by0B y0 = yB + bxB0 − ay0B

(8.15)

La stima della varianza si calcola con la 1

σˆ 02 =

v0 v

( ) ∑Ni=1 v2xi + v2yi

= 2N − 4 2N − 4 La stima degli scarti v si ricava dalle { vxi = xi − (axi0 + by0i + x0 ) vyi = yi − (−bxi0 + ay0i + y0 )

(8.16)

(8.17)

con i = 1 . . . N. È possibile ora stimare la matrice di varianza e covarianza di a, b, x0 e y0 : gli ultimi due termini non rappresentano le traslazioni fra i due sistemi. Se si richiede il calcolo della varianza e covarianza delle traslazioni è necessario procedere al calcolo della matrice normale inversa N−1 completa.   1 0 0 0 N x0 2 +y0 2  ∑i=1 i i  1  0 0  0 2 −1 2 N x0 2 +y0 2  Cabx0 y0 = σˆ 0 N = σˆ 0  (8.18) ∑ i i=1 i   1   0 0 0 N 0 0 0 N1 e quindi

σa2 = σb2 = σab = 0 1 si

ricordi che Q−1 = I

σˆ 02

02 02 ∑N i=1 xi +yi

(8.19)

8.1. SCHEMI

157

La matrice di varianza di λ e α , Cλ α si ricava a partire dalla Cabx0 y0 propagando opportunamente la varianza, ottenendo:  ( 2 )  [ ] a b2 2 + σ 0 σa2 0 2 2 a λ λ )  (  = (8.20) = σ2 2 a2 0 λb2 0 + λb 4 σb2 λ4 Dato che σa2 = σb2 , si ha

σλ2 = σa2 = σb2

(8.21)

σb2 λ2

(8.22)

σα2 =

σa2 λ2

=

σλ α = 0

(8.23)

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

158

8.2 Esercizi risolti 8.2.1

Rototraslazione e variazione di scala2

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x0 , y0 )1 = (5.00, 0.00) (x0 , y0 )2 = (5.00, 5.00) (x0 , y0 )3 = (0.00, 5.00) (x0 , y0 )4 = (0.00, 0.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x, y)1 = (199.96, 300.00) (x, y)2 = (100.00, 400.04) (x, y)3 = ( 0.04, 300.00) (x, y)4 = (100.00, 199.96)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x0 x = λ R (α ) + y y0 y0 Si stimino: 1. angolo di rotazione, scala e traslazione che portano dal sistema (x0 , y0 ) a quello (x, y); 2. la varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala.

Svolgimento Le coordinate dei baricentri dei punti nei due sistemi sono: xB0 = 2.5

y0B = 2.5

xB = 100

yB = 300

e quindi le coordinate baricentriche Punto 1 2 3 4

x0 2.5 2.5 -2.5 -2.5

y0 -2.5 2.5 2.5 -2.5

x 99.960 0 -99.960 0

y 0 100.040 0 -100.040

A partire da questi valori si valutano le espressioni 4

∑ x0i xi + y0i yi = 2.5(99.960 + 100.040 + 99.960 + 100.040) = 2.5 · 400 = 1000

i=1

4

∑ y0i xi − x0i yi = −25(99.960 + 100.040 + 99.960 + 100.040) = −2.5 · 400 = −1000

i=1

2 Diploma

Universitario, 9 gennaio 1996

8.2. ESERCIZI RISOLTI

4

∑

159

2 2 x0i + y0i

i=1

( )2 5 25 = 8 (2.5) = 8 = 8 = 50 2 4 2

da cui a= b=

∑4i=1 x0i xi +y0i yi 2 2 ∑4i=1 x0i +y0i ∑4i=1 y0i xi −x0i yi 2 2 ∑4i=1 x0i +y0i

=

1000 50

=

−1000 50

= 20 = −20

e quindi √ √ √ 2 = 20 2 ' 28.284271 λ = a2 + b2 = 202( + (−20) ) π α = arctan ba = arctan − 20 20 = arctan (−1) = − 4 Il calcolo delle componenti della traslazione si effettua con le x0 = xB − axB0 − by0B = 100 − 20 · 2.5 + 20 · 2.5 = 100 m y0 = yB + bxB0 − ay0B = 300 − 20 · 2.5 − 20 · 2.5 = 200 m Gli scarti di ogni equazione si ricavano da vx1 = x1 − (ax10 + by01 + x0 ) = 199.960 − (20 · 5 − 20 · 0 + 100) = −0.040 vy1 = y1 − (−bx10 + ay01 + y0 ) = 300 − (20 · 5 + 20 · 0 + 200) = 0 vx2 = x2 − (ax20 + by02 + x0 ) = 100 − (20 · 5 − 20 · 5 + 100) = 0 vy2 = y2 − (−bx20 + ay02 + y0 ) = 400.040 − (20 · 5 + 20 · 5 + 200) = 0.040 vx3 = x3 − (ax30 + by03 + x0 ) = 0.040 − (20 · 0 − 20 · 5 + 100) = 0.040 vy3 = y3 − (−bx30 + ay03 + y0 ) = 300 − (20 · 0 + 20 · 5 + 200) = 0 vx4 = x4 − (ax40 + by04 + x0 ) = 100 − (20 · 0 − 20 · 0 + 100) = 0 vy4 = y4 − (−bx40 + ay04 + y0 ) = 199.960 − (20 · 0 + 20 · 0 + 200) = −0.040 e quindi la stima della varianza ( ) N 2 + v2 0 v ∑ i=1 xi yi vv (0.040)2 · 4 1.6 10−3 · 4 σˆ 02 = = = = = 1.6 10−3 2N − 4 2N − 4 8−4 4 La matrice di varianza e covarianza di a, b, x0 e y0 risulta   1 0 0 0 N x0 2 +y0 2 ∑  i=1 i i  1  0 0  0 2 −1 2 2 2 N 0 0  = Cabx0 y0 = σˆ 0 N = σˆ 0  ∑i=1 xi +yi  1  0 0 0  N 0 0 0 N1  1   0 0 0 3.2 10−5 0 0 0 50 1 −5    0 0 0 0 3.2 10 0 0 50   = 1.6 10−3 ·  −4  0 0 1 0 = 0 0 4 10 0 4 −4 1 0 0 0 4 10 0 0 0 4 Dalla Cabx0 y0 si estrae la sottomatrice Cab [ ] 3.2 10−5 0 Cab = 0 3.2 10−5

   

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

160

da cui

σa2 = σb2 = 3.2 10−5 σab = 0 la matrice Cλ α di varianza e covarianza di λ e α è quindi ] [ [ ] [ σa2 0 3.2 10−5 0 3.2 10−5 2 = = Cλ α = σb 3.2 10−5 0 0 0 λ2 800 Gli scarti quadratici medi di λ e α risultano √ σλ = √3.2 10−5 = 5.65685 10−3 σα = 4 10−8 = 2 10−4 rad

0 4 10−8

]

8.3. ESERCIZI

161

8.3 Esercizi 8.3.1 Rototraslazione e variazione di scala3 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (10, 0) (x, y)2 = (10, 10) (x, y)3 = (0, 10) (x, y)4 = (0, 0)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (199.96, 300.00) (x0 , y0 )2 = (100.00, 400.04) (x0 , y0 )3 = (0.04, 300.00) (x0 , y0 )4 = (100.00, 199.96)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R (α ) + y0 y y0 Si stimino: 1. angolo di rotazione, scala e traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 10, b = −10 e quindi λ = 10 2, α = − π4 rad, x0 = 100 m e y0 = 200 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.6 10−3 [ Cˆaˆbˆ =

8 10−6 0

0 8 10−6

]

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 8 10−6 0 Cˆλˆ αˆ = 0 4 10−8

8.3.2 Rototraslazione e variazione di scala4 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. 3 Diploma

Universitario, 29 novembre 1999 e Trattamento delle osservazioni, 19 dicembre 2000

4 Topografia

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

162

(x, y)1 = (500, 900) (x, y)2 = (700, −500) (x, y)3 = (−700, −700) (x, y)4 = (−900, 700)

(x0 , y0 )1 = (582, 380) (x0 , y0 )2 = (19, −378) (x0 , y0 )3 = (−821, 179) (x0 , y0 )4 = (−180, 1019)

↔ ↔ ↔ ↔

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R ( α ) + y0 y y0 Si stimino: 1. angolo di rotazione, scala e traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 0.5, b = 0.5 e quindi λ = 2, α = x0 = −100 m e y0 = 200 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

π 4

rad,

σˆ 02 = 803 [ Cˆaˆbˆ =

2.0075 10−4 0

0

]

2.0075 10−4

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 2.0075 10−4 0 Cˆλˆ αˆ = 0 4.0150 10−4

8.3.3

Rototraslazione e variazione di scala5

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (3.00, 3.00) (x, y)2 = (5.00, 4.00) (x, y)3 = (4.00, 2.00) (x, y)4 = (4.00, 3.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (14.00, 25.00) (x0 , y0 )2 = (14.00, 28.00) (x0 , y0 )3 = (15.00, 25.00) (x0 , y0 )4 = (14.00, 26.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x0 x = λ R ( α ) + y0 y y0 Si stimino: 5 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 2 luglio 2001

8.3. ESERCIZI

163

1. angolo di rotazione, fattore di scala e traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione I parametri della rototralazione risultano a = 0.75, b = −1 e quindi λ = 1.250000, α = −0.927295 rad, x0 = 14.25 m e y0 = 19.75 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.25 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

3.125000 10−2 0 0 3.125000 10−2

]

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 3.125000 10−2 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 2.000000 10−2

8.3.4 Rototraslazione e variazione di scala6 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (3.00, 3.00) (x, y)2 = (5.00, 4.00) (x, y)3 = (4.00, 2.00) (x, y)4 = (4.00, 3.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (12.50, 24.00) (x0 , y0 )2 = (12.50, 26.50) (x0 , y0 )3 = (14.00, 25.50) (x0 , y0 )4 = (13.00, 25.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x0 x λ R ( α ) + = y0 y y0 Si stimino: 1. angolo di rotazione, fattore di scala e traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. 6 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 28 gennaio 2002

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

164

Soluzione I parametri della rototralazione risultano a = 0.25, b = −1 e quindi λ = 1.030776, α = −1.325818 rad, x0 = 15.000000 m e y0 = 20.500000 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.25 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

3.125000 10−2 0 0 3.125000 10−2

]

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 3.125000 10−2 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 2.941200 10−2

8.3.5 Rototraslazione e variazione di scala7 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (3.00, 3.00) (x, y)2 = (5.00, 4.00) (x, y)3 = (4.00, 2.00) (x, y)4 = (4.00, 3.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (10.50, 22.50) (x0 , y0 )2 = (11.00, 24.00) (x0 , y0 )3 = (11.50, 22.50) (x0 , y0 )4 = (11.00, 24.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R (α ) + y0 y y0 Si stimino: 1. angolo di rotazione, fattore di scala e traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 0.5, b = −0.5 e quindi λ = 2, α = − π4 rad, x0 = 10.5 m e y0 = 19.75 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.875000 10−1 7 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 24 giugno 2002

8.3. ESERCIZI

165

[ Cˆaˆbˆ =

4.6875 10−2 0 0 4.6875 10−2

]

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 4.6875 10−2 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 9.3750 10−2

8.3.6

Rototraslazione e variazione di scala8

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (3.00, 3.00) (x, y)2 = (5.00, 4.00) (x, y)3 = (4.00, 2.00) (x, y)4 = (4.00, 3.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (10.00, 26.00) (x0 , y0 )2 = (12.00, 30.00) (x0 , y0 )3 = (12.00, 28.00) (x0 , y0 )4 = (10.00, 28.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R ( α ) + y0 y y0 Si stimino: 1. angolo di rotazione, fattore di scala e traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . L’incertezza con cui sono note le coordinate (x0 , y0 ), a meno di errori grossolani, è data da σ = 0.7m. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = −1 e quindi λ = 2, α = − π4 rad, x0 = 10 m e y0 = 21 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1 8 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 30 gennaio 2003

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

166

[ Cˆaˆbˆ =

2.5 10−1 0

0

]

2.5 10−1

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 2.5 10−1 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 1.25 10−1 Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 7 10−1 = 4.9 10−1 m2

σˆ 02 (m − n) = 8.16 < χ4,0.95 = 9.49 σ02 l’ipotesi è quindi accettata.

8.3.7

Rototraslazione e variazione di scala9

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (28, 28) (x, y)2 = (30, 29) (x, y)3 = (29, 27) (x, y)4 = (29, 28)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (24.1, 62.0) (x0 , y0 )2 = (25.6, 64.0) (x0 , y0 )3 = (25.6, 61.5) (x0 , y0 )4 = (24.7, 62.5)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R ( α ) + y0 y y0 Si stimino: 1. angolo di rotazione, fattore di scala e traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . L’incertezza con cui sono note le coordinate (x0 , y0 ), a meno di errori grossolani, è data da σ = 1m. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%. 9 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 1 luglio 2003

8.3. ESERCIZI

167

Soluzione I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = −0.5 e quindi λ = 1.118034, α = −4 .636476 10−1 rad, x0 = 10 m e y0 = 20 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 3 10−2 [ Cˆaˆbˆ =

7.5 10−3 0

0

]

7.5 10−3

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 7.5 10−3 0 Cˆλˆ αˆ = 0 6 10−3 Domanda aggiuntiva

σ02 = 12 = 1 m2 σˆ 02 (m − n) = 1.2 10−1 < χ4,0.95 = 9.49 σ02 l’ipotesi è quindi accettata.

8.3.8

Rototraslazione e variazione di scala10

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (13.00, 5.00) (x, y)2 = (15.00, 6.00) (x, y)3 = (14.00, 4.00) (x, y)4 = (14.00, 5.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (35.60, 8.50) (x0 , y0 )2 = (38.10, 8.50) (x0 , y0 )3 = (36.10, 7.00) (x0 , y0 )4 = (36.20, 8.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x0 x = λ R ( α ) + y0 y y0 Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. 10 Topografia

2, 4 febbraio 2004

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

168

Soluzione I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = 0.5 e quindi λ = 1.118034, α = 4.636476 10−1 rad, x0 = 20 m e y0 = 10 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 3 10−2 [ Cˆaˆbˆ =

7.5 10−3 0

0

]

7.5 10−3

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 7.5 10−3 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 6 10−3

8.3.9 Rototraslazione e variazione di scala11 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (23.00, 5.00) (x, y)2 = (25.00, 6.00) (x, y)3 = (24.00, 4.00) (x, y)4 = (24.00, 5.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (38.20, 43.00) (x0 , y0 )2 = (39.20, 46.00) (x0 , y0 )3 = (40.20, 43.00) (x0 , y0 )4 = (38.40, 44.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R ( α ) + y0 y y0 Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . L’incertezza con cui sono note le coordinate (x0 , y0 ), a meno di errori grossolani, è data da σ = 0.3m. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%. 11 Topografia

e Trattamento delle osservazioni, 20 febbraio 2004

8.3. ESERCIZI

169

Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = −1 e quindi λ = 2, α = − π4 rad, x0 = 20 m e y0 = 15 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.2 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

3 10−2 0

0

]

3 10−2

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 3 10−2 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 1.5 10−2 Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 3 10−1 = 9 10−2 m2

σˆ 02 (m − n) = 5.3 < χ4,0.95 = 9.49 σ02 l’ipotesi è quindi accettata.

8.3.10 Rototraslazione e variazione di scala12 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (23.00, 5.00) (x, y)2 = (25.00, 6.00) (x, y)3 = (24.00, 4.00) (x, y)4 = (24.00, 5.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (43.10, −8.00) (x0 , y0 )2 = (46.10, −9.00) (x0 , y0 )3 = (43.10, −10.00) (x0 , y0 )4 = (43.70, −9.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R (α ) + y0 y y0 Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. 12 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 7 settembre 2004

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

170

Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = 1 e quindi λ = 2 ' 1.414213, α = 7.853982 10−1 rad = 50g = 45◦ , x0 = 15 m e y0 = 10 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 3 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

7.5 10−3 0

0

]

7.5 10−3

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 7.5 10−3 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 3.75 10−3

8.3.11 Rototraslazione e variazione di scala13 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (11.00, 26.00) (x, y)2 = (13.00, 27.00) (x, y)3 = (12.00, 25.00) (x, y)4 = (12.00, 26.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (41.70, 2.00) (x0 , y0 )2 = (43.70, 0.50) (x0 , y0 )3 = (41.20, 0.50) (x0 , y0 )4 = (41.40, 1.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R (α ) + y0 y y0 Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 0.5, b = 1 e quindi λ = 5/2 ' 1.118034, α = 1.107149, x0 = 10 m e y0 = 0 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.2 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

3 10−2 0

0

]

3 10−2

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 3 10−2 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 2.4 10−2 13 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 12 gennaio 2005

8.3. ESERCIZI

171

8.3.12 Rototraslazione e variazione di scala14 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (103.00, 55.00) (x, y)2 = (105.00, 56.00) (x, y)3 = (104.00, 54.00) (x, y)4 = (104.00, 55.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (148.20, 158.00) (x0 , y0 )2 = (149.20, 161.00) (x0 , y0 )3 = (150.20, 158.00) (x0 , y0 )4 = (148.40, 159.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R ( α ) + y0 y y0 Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . L’incertezza con cui sono note le coordinate (x0 , y0 ), a meno di errori grossolani, è data da σ = 0.3m. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = −1 e quindi λ = 2, α = − π4 rad, x0 = 100 m e y0 = 0 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.2 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

3 10−2 0

0

]

3 10−2

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 3 10−2 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 1.5 10−2 14 Topografia 2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 6 settembre 2005, la domanda aggiuntiva solo per Topografia e Trattamento delle osservazioni

172

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 3 10−1 = 9 10−2 m2

σˆ 02 (m − n) = 5.3 < χ4,0.95 = 9.49 σ02 l’ipotesi è quindi accettata.

8.3.13 Rototraslazione e variazione di scala15 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (33.00, 4.00) (x, y)2 = (35.00, 5.00) (x, y)3 = (34.00, 3.00) (x, y)4 = (34.00, 4.00)

(x0 , y0 )1 = (62.30, 51.00) (x0 , y0 )2 = (65.30, 55.00) (x0 , y0 )3 = (65.30, 50.00) (x0 , y0 )4 = (63.10, 52.00)

↔ ↔ ↔ ↔

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [

x0 y0

[

] = λ R (α )

x y

]

[ +

x0 y0

]

Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . L’incertezza con cui sono note le coordinate (x0 , y0 ), a meno di errori grossolani, è data da σ = 0.4m. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%. 15 Topografia 2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 13 gennaio 2006, la domanda aggiuntiva solo per Topografia e Trattamento delle osservazioni

8.3. ESERCIZI

173

Soluzione I parametri della rototralazione risultano a = 2, b = −1 e quindi λ = 2.236068, α = −4.636476 10−1 rad, x0 = 0 m e y0 = 10 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 2.7 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

6.75 10−2 0

0

]

6.75 10−2

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 6.75 10−2 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 1.35 10−2 Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 4 10−1 = 1.6 10−1 m2

σˆ 02 (m − n) = 6.75 < χ4,0.95 = 9.49 σ02 l’ipotesi è quindi accettata.

8.3.14

Rototraslazione e variazione di scala16

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (−33.00, −4.00) (x, y)2 = (−35.00, −5.00) (x, y)3 = (−34.00, −3.00) (x, y)4 = (−34.00, −4.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (−18.80, −17.00) (x0 , y0 )2 = (−19.80, −20.00) (x0 , y0 )3 = (−20.80, −17.00) (x0 , y0 )4 = (−20.60, −18.00)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x0 x = λ R ( α ) + y0 y y0 Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. 16 Topografia 2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 5 luglio 2006, la domanda aggiuntiva solo per Topografia e Trattamento delle osservazioni

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

174

Domanda aggiuntiva Si sospetta la presenza di un errore grossolano nei dati dell’esercizio precedente e si suppone che questo, se presente, si manifesti in un valore grande di σˆ02 . L’incertezza con cui sono note le coordinate (x0 , y0 ), a meno di errori grossolani, è data da σ = 0.3m. Si sottoponga a test l’ipotesi fondamentale che non siano presenti errori grossolani, con livello di significatività del 5%. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = −1 e quindi λ = 2, α = − π4 rad, x0 = 10 m e y0 = 20 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.2 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

3 10−2 0

0

]

3 10−2

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 3 10−2 0 Cˆλˆ αˆ = 0 1.5 10−2 Domanda aggiuntiva ( )2 σ02 = 3 10−1 = 9 10−2 m2

σˆ 02 (m − n) = 5.3 < χ4,0.95 = 9.49 σ02 l’ipotesi è quindi accettata.

8.3.15 Rototraslazione e variazione di scala17 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (9.00, 4.00) (x, y)2 = (11.00, 5.00) (x, y)3 = (10.00, 3.00) (x, y)4 = (10.00, 4.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (12.20, 9.20) (x0 , y0 )2 = (17.20, 9.20) (x0 , y0 )3 = (13.20, 6.20) (x0 , y0 )4 = (13.40, 7.40)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R (α ) + y0 y y0 Si determinino: 17 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 6 febbraio 2007

8.3. ESERCIZI

175

1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 2, b = 1 e quindi λ = 5 ' 2.236068, α = 0.463648 rad, x0 = −10 m e y0 = 10 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 2.4 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

6 10−2 0

]

0

6 10−2

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ Cˆλˆ αˆ =

6 10−2 0

0

]

1.2 10−2

8.3.16 Rototraslazione e variazione di scala18 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (−1.00, −1.00) (x, y)2 = ( 1.00, 0.00) (x, y)3 = ( 0.00, −2.00) (x, y)4 = ( 0.00, −1.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (26.10, −7.90) (x0 , y0 )2 = (31.10, −12.90) (x0 , y0 )3 = (24.10, −11.90) (x0 , y0 )4 = (26.70, −11.30)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ ] [ ] [ 0 ] x x0 x λ R ( α ) + = y y0 y0 Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. 18 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 21 aprile 2008

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

176

Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = 3 e quindi λ = 10 ' 3.162278, α = 1.249046 rad, x0 = 30 m e y0 = −10 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 6 10−2 [ Cˆaˆbˆ =

1.5 10−2 0

0

]

1.5 10−2

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 1.5 10−2 0 Cˆλˆ αˆ = 0 1.5 10−3

8.3.17 Rototraslazione e variazione di scala19 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (12.00, 6.00) (x, y)2 = (14.00, 7.00) (x, y)3 = (13.00, 5.00) (x, y)4 = (13.00, 6.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (130.20, 90.20) (x0 , y0 )2 = (135.20, 90.20) (x0 , y0 )3 = (131.20, 87.20) (x0 , y0 )4 = (131.40, 88.40)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R ( α ) + y0 y y0 Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 2, b = 1 e quindi λ = 5 ' 2.23606798, α = 0.46364761 rad, x0 = 100 m e y0 = 90 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 2.4 10−1 [ ] 6 10−2 0 ˆ Caˆbˆ = 0 6 10−2 e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 6 0 Cˆλˆ αˆ = 10−2 0 1.2 19 Topografia

2 e Topografia e Trattamento delle osservazioni, 25 agosto 2008

8.3. ESERCIZI

177

8.3.18 Rototraslazione e variazione di scala20 Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (−41.00, −36.00) (x, y)2 = (−39.00, −35.00) (x, y)3 = (−40.00, −37.00) (x, y)4 = (−40.00, −36.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (95.30, 13.30) (x0 , y0 )2 = (96.30, 16.30) (x0 , y0 )3 = (97.30, 13.30) (x0 , y0 )4 = (95.10, 13.10)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R ( α ) + y0 y y0 Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = −1 e quindi λ = 2 ' 1.41421356, α = − π4 ' −0.78539816 rad, x0 = 100 m e y0 = 90 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 5.4 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

1.35 10−1 0

0

]

1.35 10−1

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 1.35 10−1 0 Cˆλˆ αˆ = 0 6.75 10−2

8.3.19

Rototraslazione e variazione di scala21

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (19.00, 9.00) (x, y)2 = (21.00, 10.00) (x, y)3 = (20.00, 8.00) (x, y)4 = (20.00, 9.00) 20 Topografia 21 Topografia

2, 30 gennaio 2009 2, 26 agosto 2009

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (18.10, 0.20) (x0 , y0 )2 = (21.20, −0.90) (x0 , y0 )3 = (18.30, −1.80) (x0 , y0 )4 = (18.40, −1.50)

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

178

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento è rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R (α ) + y y0 y0 dove λ é lo scalare che rappresenta il fattore di scala e R(α ) é la matrice di rotazione (2x2) funzione di un angolo. Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 1, b = 1 e quindi λ = 2 ' 1.41421356, α = π4 ' 0.78539816 rad, x0 = −10 m e y0 = 10 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 2.1 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

5.25 10−2 0

0

]

5.25 10−2

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 5.25 10−2 0 Cˆλˆ αˆ = 0 2.6250 10−2

8.3.20

Rototraslazione e variazione di scala22

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (8.00, 1.00) (x, y)2 = (10.00, 2.00) (x, y)3 = (9.00, 0.00) (x, y)4 = (9.00, 1.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (8.10, 6.30) (x0 , y0 )2 = (14.30, 4.10) (x0 , y0 )3 = (8.50, 2.30) (x0 , y0 )4 = (9.10, 3.30)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento é rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x0 x = λ R (α ) + y0 y y0 dove λ é lo scalare che rappresenta il fattore di scala e R(α ) é la matrice di rotazione (2x2) funzione di un angolo. Si determinino: 22 Topografia

2, 16 giugno 2010

8.3. ESERCIZI

179

1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 2, b = 2 e quindi λ = 2 2 ' 2.828427, α = π4 ' 0.78539816 rad, x0 = −10 m e y0 = 20 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 4.6 10−1 [ Cˆaˆbˆ =

1.15 10−1 0

0

]

1.15 10−1

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 1.15 10−1 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 1.4375 10−2

8.3.21

Rototraslazione e variazione di scala23

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (14.00, 14.00) (x, y)2 = (16.00, 15.00) (x, y)3 = (15.00, 13.00) (x, y)4 = (15.00, 14.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (−9.70, −17.50) (x0 , y0 )2 = (−10.50, −20.70) (x0 , y0 )3 = (−11.30, −17.50) (x0 , y0 )4 = (−12.50, −20.30)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento é rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R (α ) + y0 y y0 dove λ è lo scalare che rappresenta il fattore di scala e R(α ) é la matrice di rotazione (2x2) funzione di un angolo. Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. 23 Topografia

2, 14 febbraio 2011

CAPITOLO 8. ROTOTRASLAZIONE E VARIAZIONE DI SCALA

180

Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = 2, b = 2 e quindi λ = 2 2 ' 2.828427, α = π4 ' 0.78539816 rad, x0 = 0 m e y0 = 20 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.34 [ Cˆaˆbˆ =

3.35 10−1 0

0

]

3.35 10−1

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 3.35 10−1 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 4.187500 10−2

8.3.22

Rototraslazione e variazione di scala24

Sono note senza errore le coordinate (x, y) di alcuni punti; sono state determinate le coordinate (x0 , y0 ) degli stessi punti in un altro riferimento. Le coordinate (x0 , y0 ) hanno tutte la stessa varianza e sono incorrelate. (x, y)1 = (9.00, 5.00) (x, y)2 = (11.00, 6.00) (x, y)3 = (10.00, 4.00) (x, y)4 = (10.00, 5.00)

↔ ↔ ↔ ↔

(x0 , y0 )1 = (28.30, 12.50) (x0 , y0 )2 = (34.50, 10.30) (x0 , y0 )3 = (28.70, 8.50) (x0 , y0 )4 = (28.50, 8.70)

La trasformazione tra i due sistemi di riferimento é rappresentata da una trasformazione lineare conforme (rotrotraslazione e variazione di scala) nella forma: [ 0 ] [ ] [ ] x x x0 = λ R (α ) + y0 y y0 dove λ è lo scalare che rappresenta il fattore di scala e R(α ) é la matrice di rotazione (2x2) funzione di un angolo. Si determinino: 1. la stima di angolo di rotazione, fattore di scala e vettore traslazione che portano dal sistema (x, y) a quello (x0 , y0 ); 2. la stima della varianza σˆ 02 della compensazione; 3. la matrice di varianza e covarianza di angolo e fattore di scala. Soluzione

√ I parametri della rototralazione risultano a = −1, b = 1 e quindi λ = 2 ' 1.414214, α = − π4 ' −0.78539816 rad, x0 = −10 m e y0 = 10 m. La matrice di varianza e covarianza di a e b risulta

σˆ 02 = 1.34 24 Topografia

2, 20 giugno 2011

8.3. ESERCIZI

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[ Cˆaˆbˆ =

3.35 10−1 0 0 3.35 10−1

]

e quindi la matrice di varianza e covarianza di λ e α [ ] 3.35 10−1 0 ˆ Cλˆ αˆ = 0 1.6750 10−1

Bibliografia [1] Migliaccio F. Albertella A., Brovelli M.A. and Sona G. Probabilità, variabili casuali ad una dimensione, variabilie casuali bi-dimensionali, covarianza, volume 1 of Esercizi di trattamento statistico dei dati. Città Studi Edizioni/UTET Libreria srl, Milano, 1998. [2] Migliaccio F. Albertella A., Brovelli M.A. and Sona G. Teoria della stima, inferenza statistica, catene di Markov, processi stocastici, volume 2 of Esercizi di trattamento statistico dei dati. Città Studi Edizioni/UTET Libreria srl, Milano, 1998. [3] Benciolini B. Modelli di Compensazione, progettazione e ottimizzazione del rilievo topografico e fotogrammetrico di controllo, pages 9–27. CSM, Udine, 1989. [4] Sansò F. Quaderni di trattamento statistico dei dati. Città Studi Edizioni/UTET Libreria srl, Milano, 1998. Quaderni 1, 2 e 3.

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