Esercizi di Matematica Finanziaria - Corso Part Time scheda 1- soluzioni - Leggi …nanziarie, rendite ed ammortamenti 1. Le soluzioni sono: (a) M3 = 100 (1 + 0:05 3) = 115, M8 = 115 (1 + 0:05 5) = 143:75. (b) Va risolta l’equazione 100 (1 + x 8) = 143:75 da cui si ottiene x = 0:054686. (c) M3 = 100 1:053 = 115:763, M8 = 115:763 1:055 = 147:746. Il tasso x = 0:05 è la soluzione dell’equazione 100 (1 + x)8 = 147:746. 2. Le risposte sono: (a) f (0) =
1 + 0:05 0 = 1; dato che la derivata prima di f (t), 1 + 0:02 0 f 0 (t) =
0:5 (1 + 0:2t) 0:2 (1 + 0:5t) 0:3 = , 2 (1 + 0:2t) (1 + 0:2t)2
è positiva per ogni t, la funzione f (t) è crescente. In…ne t 1 + 0:5t = lim lim t!+1 t t!+1 1 + 0:2t
1 t 1 t
1 + 0:5 + 0:5 = lim 1t = 2:5. t!+1 + 0:2 + 0:2 t
(b) Indicando la scadenza incognita con x, per sapere dopo quanto tempo il valore del capitale raddoppia va risolta l’equazione 1 + 0:5x = 2C 1 + 0:2x
C
la cui soluzione è x = 10. Per quanto riguarda la durata dell’investimento tale per cui il valore del capitale diventi il triplo, l’equazione 1 + 0:5y = 3C 1 + 0:2y
C
ha come soluzione y = 2 che, ovviamente, non può essere una durata accettabile. Il limite calcolato al punto a) indica come, applicando questa legge …nanziaria, il montante non possa mai diventare maggiore di 2:5. Non è quindi possibile che il capitale triplichi il suo valore. (c) Il montante dell’investimento dopo 6 anni sarà C f (6) = C
1 + 0:5 6 = 1:81812C 1 + 0:2 6
per cui i tassi cercati si ottengono risolvendo le equazioni C (1 + is 6) = 1:81812C
e
C (1 + is )6 = 1:81812C
ottenendo rispettivamente is = 0:13635 e ic = 0:10477. 1
(d) Si ha V0 =
40 1+0:5 1 1+0:2 1
+
70 1+0:5 2 1+0:2 2
+
20 1+0:5 3 1+0:2 3
= 93:8.
3. Per una qualsiasi legge …nanziaria in una variabile devono valere la condizione f (0) = 1 e la condizione di non decrescenza di f rispetto al tempo. Applicando la prima condizione si ricava che f (0) = a + b ln (0 + 1) = a = 1 mentre per la seconda va calcolata la derivata prima di f f 0 (t) =
b ; t+1
la f è crescente quando la sua derivata prima è positiva. Dato che t 0, la derivata prima è positiva per tutti i b > 0. La sua intensità istantanea di interesse è (t) =
b t+1
1 + b ln (t + 1)
=
b . (t + 1) [1 + b ln (t + 1)]
4. Il prezzo lordo è 1 000 = 869:565 1 + 0:15 1 e quindi l’interesse ammonta a I = 1 000 869:565 = 130:435. Le imposte da corrispondere sono allora 130:435 0:125 = 16:304. L’investitore deve allora sborsare, al tempo 0 sia il prezzo d’acquisto che le imposte. Il tasso di rendimento dopo le imposte x = 0:12884 lo s’ottiene risolvendo l’equazione A0 =
(869:565 + 16:304) (1 + x 1) = 1 000 Il prezzo a cui il sig. A venderà il titolo dopo 8 mesi dall’acquisto, e quindi a quattro mesi dalla scadenza, è 1 000 A8 = 4 = 952:381 12 1 + 0:15 12 Il tasso di rendimento annuo semplice per il sig. A è xA = 0:14286 e lo si ricava risolvendo l’equazione 8 869:565 1 + xA = 952:381 12 mentre il tasso di rendimento annuo semplice per il sig. B è xB = 0:15. Il prezzo di vendita del titolo nell’istante t è A (t) =
1 000 1 + 0:15 t
per cui il tasso di rendimento anno semplice x viene calcolato risolvendo l’equazione 869:565 (1 + x t) =
1 000 1 + 0:15 (1
t)
=
1 000 1:15 0:15t
da cui x=
1 000 869:565(1:15 0:15t)
t
1
=
130:435t 130:435 = . (1 000 130:435t) t 1 000 130:435t 2
Questo tasso è uguale a 0:15 quando 130:435 = 0:15 1 000 130:435t ovvero quando, risolvendo l’equazione, t = 1. Questo risultato indica che l’investimento in un BOT garantisce il rendimento di mercato solo se il titolo viene detenuto …no alla sua scadenza. 5. Il valore attuale dei ‡ussi futuri, uguagliato al ‡usso iniziale, determina l’equazione 500 =
R R R + + 1:1 1:2 1:3
che ha soluzione R = 199:072. In caso di rate semestrali l’equazione è 500 =
R R R + + 1 + 0:1 0:5 1 + 0:1 1 1 + 0:1 1:5
ed ha soluzione R = 183:081. Nel caso del regime ad interessi composti si ha 1
500 = Ra3j0:1 = R
1:1 0:1
3
da cui R = 201:057. Nel caso di rata semestrale va calcolato dapprima il tasso semestrale equivalente a quello annuo: i2 = 1:10:5 1 = 0:04881 e da questo la rata R = 183:195 mediante l’equazione 1
500 = Ra3j0:0:04881 = R
1:04881 0:4881
3
6. Va risolta l’equazione che eguaglia il fattore di capitalizzazione ad interessi semplici e quello dello sconto commerciale 1 + 0:14t =
1 1 0:1t
0
t<
1 = 10. 0:1
Questa equazione può essere riscritta come (1 + 0:14t) (1
0:1t) =
0:014t2 + 0:04t + 1 = 1
ed e quindi l’equazione di secondo grado 0:014t2 + 0:04t = 0 che ha due soluzioni t = 0 e 0:04 t = 0:014 = 2:8571; di conseguenza i due montanti sono uguali nell’istante iniziale e dopo 2:8571 anni. Nel secondo caso i montanti sono uguali quando 2C (1 + 0:14t) =
C 1 0:1t
0
t < 10.
Questa equazione può essere simpli…cata nel seguente modo 2 (1 + 0:14t) (1 l’equazione 0:08
p
0:1t) =
0:028t2 + 0:08t + 2 = 1;
0:028t2 + 0:08t + 1 = 0 ha come radici t = 0:082 +4 0:028 1 0:056
et= in quanto negativa.
p 0:08+ 0:082 +4 0:028 1 0:056
=
4:716 =
= 7:5731; ovviamente la prima non è …nanziariamente sensata
3
7. Dato che V0 = 300 (1 0:1 3) = 210, va risolta l’equazione 210 (1 + i 3) = 300 nel caso di regime …nanziario dell’interesse semplice e 210 (1 + i)3 = 300 in quello composto. Nel primo caso il tasso annuo i = 17 = 0:14286 mentre nel secondo il tasso è i = 0:12625. Nel caso generale si ha V0 = 300 (1 0:1t) e quindi il tasso d’interesse annuo semplice si calcola risolvendo l’equazione 300 (1 che ha come soluzione i = risolvendo l’equazione da cui risulta i =
1 1 0:1t
1 t
8.
0:1 1 0:1t
0:1t) (1 + it) = 300
mentre il tasso d’interesse annuo composto si ottiene
300 (1 0:1t) (1 + i)t = 300 q 1 1 = t 1 10:1t 1. 1
V0 = 300 a5j0:1 = 300 Dalla relazione V0 = R anji = R
1 (1+i) i
n
1:1 0:1
5
= 1 137:236
è possibile ricavare
R=
V0 anji
ln 1 iVR0 ln (1 + i) ma non è possibile determinare il tasso i in quanto non è possibile esplicitarlo da V0 = n R 1 (1+i) . i n=
7
1:05 = 578:637. 9. La prima rendita è immediata e posticipata: V0 = 100 a7j0:05 = 100 1 0:05 La seconda rendita è di¤erita; l’uso della formula anji calcola il valore attuale delle rate un periodo prima il momento in cui la prima rata viene pagata quindi il di¤erimento è di due anni: W0 = 100 a7j0:05 1:05 2 = 524:841. La rendita rendita è immediata e a rate semestrali; per poter usare la formula anji il tasso deve essere semestrale quindi i2 = 7
1:024695 1:050:5 1 = 0:024695; di conseguenza Z0 = 100 a7j0:024695 = 100 1 0:024695 = 635:677. 4 La quarta rendita è semestrale e di¤erita: Y0 = 100 a7j0:024695 1:05 = 522:973. La 4
1:05 quinta rendita è immediata ed anticipata: P0 = 200 a4j0:05 1:05 = 200 1 0:05 1:05 = 7 744:65. La sesta rendita, se valutata mediante anji ha valore in 12 ; tale valore deve 7
essere corretto mediante una capitalizzazione: Q0 = 200 a4j0:05 1:05 12 = 729:665. La settima rendita ha rate semestrali e viene valutata similmente alla rendita precedente: 1 1 1:024695 4 R0 = 200 a4j0:024695 1:05 12 = 200 1 0:024695 1:05 12 = 756:016. L’ottava rendita non ha tutte le rate costanti; per poter utilizzare anji la terza rata va scomposta in una parte d’ammontare 200 ed in una parte pari a 100. In questo modo si può scrivere S0 = 200 a4j0:05 +
100 = 824:953. 1:05 3
La nona rendita è composta da una rendita composta da due rate d’ammontare 200 e da una rendita di¤erita composta da due rate d’ammontare 300: F0 = 200
1
1:05 0:05
2
+ 300 4
1
1:05 0:05
2
1:05
2
= 877:844
La decima ed ultima rendita è composta da due rendite, entrambe con rate a cadenza biennale. Il tasso biennale da utilizzare per poter usare anji è ibien = 1:052 1 = 0:1025. Il valore in 0 è G0 = 200
1
1:1025 0:1025
2
1:05 + 300
1
1:1025 0:1025
2
= 882:163
10. La condizione di chiusura elementare permette di scrivere C1 + C2 + C3 = C1 + 3C1 + 4C1 = 800 da cui C1 = 100. Il debito residuo alle varie scadenze è D1 = 800 C1 = 800 100 = 700, D2 = 700 C2 = 700 300 = 400 e D3 = 400 C3 = 400 400 = 0. Dalla relazione Ik = i Dk 1 si ricava il tasso d’interesse dell’ammortamento: 35 = i 700, da cui i = 0:05. Il piano di ammortamento allora è scadenza Debito Residuo Quota capitale Quota interessi Rata 0 800 1 700 100 800 0:05 = 40 140 2 400 300 35 335 3 0 400 400 0:05 = 20 420 La condizione di chiusura iniziale è veri…cata in quanto 335 420 140 + + = 800. 1:05 1:052 1:053 Il debito residuo nel momento in cui cambia il tasso d’interesse è 700. L’ammortamento diventa a rate costanti, d’ammontare R=
700 = a2j0:07
700 1 1:07 0:07
2
= 387:164
Il piano d’ammortamento diventa, di conseguenza scadenza Debito Residuo Quota capitale Quota interessi Rata 0 800 1 700 100 40 140 2 361:836 338:164 700 0:07 = 49 387:164 3 0 361:836 361:836 0:07 = 25:328 387:164 48 11. Dalle informazioni date si ricava dapprima il tasso d’interesse i = 600 = 0:08 e, da questo, 40 24 i debiti residui D1 = 0:08 = 500 e D2 = 0:08 = 300. A questo punto le quote capitale sono C1 = 600 500 = 100, C2 = 500 300 = 200 e C3 = 200 0 = 200. Il piano d’ammortamento allora è
scadenza Debito Residuo Quota capitale Quota interessi Rata 0 600 1 500 100 48 148 2 300 200 40 240 3 0 300 24 324
5
