A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
1. Esercizi introduttivi. ES. 1.1 Esprimere la corrente i (t ) in termini di fasore nei seguenti tre casi: a) i (t ) = 4 sin(ωt − 1.14)
b) i (t ) = 10 sin(ωt − π)
Risultato: a) I = 4 exp( − j1.14) ; b) I = −10 ;
c) i (t ) = 8 sin(ωt + π / 2)
c) I = 8 j .
ES. 1.2 Valutare (in coordinate cartesiane e polari) le impedenze viste ai capi dei morsetti: 2C
R
Università degli Studi di Cassino
C
(a )
Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime sinusoidale
Antonio Maffucci
R
L
C
(c)
R = 10 Ω L = 1 mH
( b) R = 8 Ω, L = 15 mH
R = 200 Ω, L = 16 mH
ω = 10 4 rad / s
C = 0.4 mF , f = 50 Hz
C = 10 μF , ω = 2.5 ⋅ 10 3 rad / s
Risultato:
a) Z& = 10 + 10 j = 10 2 exp( jπ / 4) Ω ; b) Z& = 8 + 11.54 j = 14 exp( j 0.965) Ω ; c) Z& = 8 + 20 j = 21.5 exp( j1.19) Ω ;
ES. 1.3 Le seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato bipolo. Dire, nei tre casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un induttore e valutare il valore dei parametri corrispondenti R, C o L
a) v (t ) = 15 cos(400t + 1.2) , i (t ) = 3 sin(400t + 1.2) ; b) v(t ) = 8 cos(900t − π / 3) , i (t ) = 2 sin(900t + 2π / 3) ; c) v (t ) = 20 cos(250t + π / 3) , i (t ) = 5 sin(250t + 5π / 6) ;
a) V = 15e j1.2 , I = 3e j (1.2−π / 2) . Posto V = Z&I si ha che: arg(Z& ) = arg(V ) − arg( I ) =
π 2
⇒
Z& = jωL
⇒
L=
V Iω
= 12.5 mH .
b) V = 8e − jπ / 3 , I = 2e j ( 2π / 3 −π / 2 ) = 2e − jπ / 6 . Posto V = Z&I si ha che: arg(Z& ) = arg(V ) − arg( I ) = −
ver.2 – settembre 2004
π 2
⇒
j Z& = − ωC
⇒
C=
I Vω
= 0.28 mF .
c) V = 20e jπ / 3 , I = 5e j (5π / 6−π / 2) = 5e jπ / 3 . Posto V = Z&I si ha che:
arg(Z& ) = arg(V ) − arg( I ) = 0
⇒
Z& = R
⇒
R=
V I
= 4Ω. 2
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 1.4 - Si consideri il circuito in figura, determinando L tale che la parte immaginaria dell’impedenza vista ai capi dei morsetti risulti Im{Z& }= 100 Ω.
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
2. Equivalenza, sovrapposizione degli effetti, potenza.
R
L
ES. 2.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& eq vista ai capi del generatore e la potenza complessa S& erogata dal generatore.
C = 10 μF
C
f = 1 kHz
C
R
j (t )
L'impedenza totale vista ai capi dei morsetti è
R
j (t ) = 10 sin(2t ) A R=2Ω L =1H C = 0.25 F
L
( jωL) /( jωC ) ωL Z& = R + = R+ j , j ( ωL − 1 / ωC ) 1 − ω 2 LC quindi basta imporre
Im{Z& } =
ωL 1 − ω 2 LC
= 100 ⇒
L = 2.19 mH .
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: J = 10,
ES. 1.5 - A quale di queste impedenze corrisponde la fase ϕ = − π / 4 ?
Z& L = jωL = 2 j,
Z& R = R = 2.
L'impedenza di ingresso vista dal generatore è data da:
1: R-L serie R = 10 Ω
2: R-C serie R = 10 Ω
3: R-C parallelo R = 0.5 Ω
4: L-C serie C =1 F
L = 10 mH ω = 100 rad / s
C = 10 mF ω = 100 rad / s
C = 0.2 F ω = 10 rad / s
L =1 H ω = 1 rad / s
Caso 3:
Z& C = − j /(ωC ) = −2 j,
Z& eq = Z& R //[ Z& C // Z& R + Z& L ] = 0.8 + j 0.4 Ω.
La potenza complessa erogata da j(t) si valuta facilmente una volta nota Z& eq : ( 1 1 ( 1 (0.8 + j 0.4)100 A& J ≡ V J J = Z& eq JJ = Z& eq J 2 = = 40 + j 20 . 2 2 2 2
1 1 1 π Z& = = = = 0.25(1 − j ) ⇒ ϕ = tg −1 (− 1) = − . 4 Y& 1 / R + jωC 2 + 2 j
ES. 2.2 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z& eq vista ai capi del generatore e le correnti i L (t ) e iC (t ) R
ES. 1.6 - Dati i seguenti fasori V1 = 10 exp( jπ / 6) , V2 = 10 exp( − jπ / 6) , V3 = 5 exp( − jπ / 3) : a) rappresentare nel piano complesso i fasori V1 , V2 , V3 ;
i L (t )
b) calcolare i fasori: V1 + V2 , V1 − V2 , V1 + V3 , V1 − V3 ;
iC (t )
L
c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b)
C
+
e(t )
e(t ) = 10 cos(1000t ) V R = 10 Ω L = 20 mH C = 0.1 mF
d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b),
Risultato: Z& eq = 5 − j15 Ω ; i L (t ) = 0.45 cos(1000t − 1.11) A, iC (t ) = − sin(1000t ) A .
definito la trasformazione fasoriale come segue:
v (t ) = V M sin(ωt + α) ↔ V = V M exp( jα)
3
4
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ES. 2.4 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i L (t ) .
ES. 2.3 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dall’induttore L2 . R a i L2 (t ) j (t ) = 10 2 sin(100t + 0.35) A
j (t )
L2
L1
R = 4 Ω, C = 3 mF, L1 = 2 mH, L2 = 5 mH
Z& L1 = 0.2 j ,
J1 = j10 A,
I L2 =
I L′ = J 1 Z& L1
Z& C
I
V
Z& L1 = 0.693 + j1.114 Ω. & Z L1 + Z& C + Z& R
J 2 = 10 A, Z& C = − j Ω,
Z& RC = 3.33 A , Z& RC + Z& RL
I L′′ = J 2 Z& L1
avendo posto
Z& R Z&C Z& RC = = 0.4-j 0.8 Ω Z& + Z& R
C
Il contributo del solo generatore J 2 si ottiene dalla rete in cui J 1 è stato sostituito con un circuito aperto:
Z& R J
Z& RL = R + jωL = 2 + j 2 Ω, Z& R = R = 2 Ω,.
Questa rete può essere risolta con la sovrapposizione degli effetti. Il contributo del solo generatore J 1 si ottiene dalla rete in cui J 2 è stato sostituito con un circuito aperto:
Z& R
Z& eq = Z& C //( Z& L1 + Z& R ) = 1.721 − j1.985 Ω.
Risolvendo la rete equivalente ottenuta, si ha che
L = 2 mH C = 1 mF
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
L'impedenza equivalente nel circuito di Thévenin si valuta risolvendo la rete seguente:
E 0 = Z& C I C = Z& C J
R=2Ω
j2 ( t )
L
i L (t )
Z& R = 4, Z& L 2 = 0.5 j
La tensione a vuoto, invece, si può calcolare a partire dalla corrente che circola in Z& c , a sua volta ottenuta con un partitore di corrente:
j 2 (t ) = 10 sin (1000t ) A
R
C
j1( t )
Trasformiamo preliminarmente la rete in una rete di impedenze: Z C = −3.33 j ,
j1 (t ) = 10 cos(1000t ) A
R
b
J = 10e j 0.35 ,
ver 2 - 2004
E0
Z& C
Z& RC = − j 3.33 A . & Z RC + Z& RL
Si ha, quindi
I L = I L′ + I L′′ = 3.33(1 − j ) = 4.71 exp( −0.78 j ) A
E0 = −0.089 + j 0.570 = 0.577e j1.726 A. Z& L2 + Z& eq
a cui corrisponde, nel tempo la corrente
L’andamento della corrente nel tempo è allora dato da:
i L (t ) = 4.71 sin(1000t − 0.78) A
i L2 (t ) = 0.577 2 sin(100t + 1.726) A La potenza complessa assorbita da L2 sarà puramente reattiva:
ES. 2.5 - Applicando il teorema di Norton, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dal parallelo R-C in figura.
A& L2 = jX L2 I 2L = 0.167 j VAr. 2
La potenza istantanea si può valutare, in generale, dalla conoscenza di corrente e tensione: p L2 (t ) = v L2 (t )i L2 (t ). Si ha quindi:
V L2
= Z& L2 I L2 = 0.289e − j 2.986 A
⇔
v L 2 (t ) = 0.289 2 sin(100t − 2.986) V
L
R
e(t )
+
R
C
e(t ) = 5 2 sin(1000t + π / 3) V R = 0.21 Ω, L = 1 .12 mH C = 1.23 mF.
p L2 (t ) = v L2 (t )i L2 (t ) = −0.167cos(200t − 1.260) W
Si osservi che in questo caso particolare (elemento dinamico) la potenza istantanea può anche essere calcolata come derivata dell’energia: p L2 (t ) = i L2 (t ) L2
di L2 (t ) dt
=
Risultato: A& = 29.72 W − j 7.68 VAr; p(t ) = [ 29.72 − 30.70 cos(2000t + 2.27)] W .
d ⎡ L2 2 ⎤ i L (t ) = 0.167 sin( 200t + 3.52) = −0.167 cos(200t − 1.260) W . dt ⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ 5
6
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ES. 2.6
ver 2 - 2004
R1
e(t ) = 100 sin(ωt ) V R
C
j1( t )
ω = 10 4 rad/s, R = 50 Ω C = 10 μF, L = 1.2 mH
L1
j1 (t ) = 4 cos(4t ) A
j 2 (t ) = 2 cos(4t − 2π / 3) A
R2 j2 ( t )
L2
R1 = R2 = 2 Ω L1 = L2 = 1 H
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: J 1 = 4, J 2 = 2e − j 2 π / 3 , Z& C = − j / 8 Ω, Z&1 = Z& 2 = 2 + 4 j Ω.
E = 100 V , Z& C = −10 j Ω, Z& L = 12 j Ω, Z& R = 50 Ω.
Applicando la sovrapposizione degli effetti, valutiamo il contributi dovuti a J 1 ed a J 2
L'impedenza equivalente vista dal generatore è
C
C
C=2F
Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze:
Z& C Z& R Z& eq = Z& L + Z& + Z&
ver 2 - 2004
ES. 2.7 - Con riferimento al seguente circuito, calcolare la potenza attiva P2 e la potenza reattiva Q2 assorbita dalla serie R2 − L2 .
- Con riferimento al seguente circuito valutare la reattanza da inserire in parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva vista dal generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia un fase ϕ tale che cos ϕ = 0.9 (rifasamento). L
e(t ) +
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
= 1.92 + j 2.38 Ω,
I 2′ = J 1
Z&1 = 2.03 + j 0.01 A, Z& C + Z& 2 + Z&1
I 2′′ = J 2
Z&1 + Z& C = −0.50 − j 0.85 A. Z& C + Z& 2 + Z&1
R
quindi la potenza complessa erogata dallo stesso sarà ( 1 ( 1 EE 1 E 2 A& = P + jQ = E I = ( = ( = 1.02 kW + j1.27 kVAr . 2 2 Z& 2 Z& eq eq
Pertanto si ha I 2 = I 2′ + I 2′′ = 1.53 − j 0.84 = 1.75 exp(− j 0.502) A,
Il fattore di potenza è pari a
quindi la potenza complessa assorbita da Z& 2 sarà
cos ϕ = cos[tg −1 (Q / P )] = 0.63
1 ( 1 2+4j A& = P2 + jQ 2 = V2 I 2 = Z& 2 I 22 = 1.75 2 = 3.06 W + j 7.12 VAr . 2 2 2 Nota: si svolga l’esercizio utilizzando l’equivalente di Thévenin ai capi della serie considerata.
quindi occorre inserire un'opportuna Z& x tra l'impedenza Z& eq ed il generatore in modo che l'impedenza complessiva Z& TOT verifichi tale richiesta. Affinché tale inserzione non alteri la tensione, Z& deve essere posta in parallelo al generatore. Per lasciare invariata anche la x
potenza media l’impedenza deve essere puramente reattiva: Z& x = jX .Per stabilire il valore di tale reattanza si può applicare il principio di conservazione delle potenze, che impone, dopo l'inserzione di Z& x :
E
+
Z& x
Z& eq
ES. 2.8 - Applicando il teorema di Thévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dal condensatore C .
Pdes = P, Q des = Q + Q x .
j (t )
La potenza reattiva Q x si può quindi valutare come segue: Q des = Pdes tgϕ des = Ptg[cos −1 (0.9)]
⇒
Q x = Ptg[cos −1 (0.9)] − Q = −0.77 kVAr
R1
Q x = − ωC
E2 2
⇒ C=−
Qx 2ωCE 2
R1 = 12 Ω R2 = 2 Ω
R2 C
Imponendo la condizione desiderata su ϕ si ottiene una Q x negativa, il che significa che Z& x è un'impedenza capacitiva. Ricordando l'espressione della potenza reattiva assorbita da un condensatore ai capi del quale sia nota la tensione si può valutare il valore di capacità necessario:
j (t ) = 2 2 cos(20t + 0.23) A L = 0.2 H
C = 0.1 F
L
Risultato: A& = − j 0.49 VAr; p(t ) = -0.49 cos(40t − 3.12)] W . = 3.87 μF . 7
8
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
+
e(t )
i (t )
j (t )
R
C
ES. 3.1 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, di valore efficace E, a) valutare l’indicazione dell’amperometro; b) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
j (t ) = 2 2 sin(2πft + 0.12) A,
L
ver 2 - 2004
3. Sistemi trifase.
ES. 2.9 - Valutare la corrente che circola nel condensatore e la potenza complessa da esso assorbita.
R
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
e(t ) = 10 2 cos(2πft ) V , f = 50 Hz R = 1 Ω, C = 1 mF , L = 3 mH
E1
Risultato: i (t ) = 3.15 sin(2πft + 0.23) A; A& = -j15.80 VAr .
1
E2
I1
A
+
2
P sinϕ
+
ES. 2.10 - Valutare la potenza istantanea e complessa assorbita da R.
E3
R
+
j1 (t ) = 2 sin(2πft ) A,
j1 (t ) C
L
3
R
j2 (t ) = 2 2 sin(2πft + π / 4) A, f = 50 Hz
j 2 (t )
a) il circuito equivalente di Thévenin ai capi di R2
PR = 3
b) la corrente circolante in R2 c) la potenza istantanea e complessa assorbita da R2 . a j(t)
C
R2
PTOT = P + PR = 14.90 kW,
e(t ) = 10 2 sin(ωt + π / 3) V , 3
j (t ) = 2 sin(ωt + π / 4) A, ω = 10 rad / s
QR = 0 .
QTOT = Q + Q R = 7.99 kVAr,
cioè:
R1 = 1.2 Ω, R2 = 3.3 Ω,
A& TOT = PTOT + j QTOT = (14.90 + j 7.99) ⋅ 10 3
b
Ricordando l’espressione della potenza apparente: 2 2 ATOT = PTOT + QTOT = 3EI ,
a) Z& eq = 0.05 + j 2.97Ω; E 0 = 2.09 − i 0.76 V Risultato:
E2 = 2.90 kW, R
Applicando la conservazione delle potenze, possiamo affermare che la potenza complessa totale assorbita alla sezione 1-2-3 è data da:
L i
Q = Ptgϕ = Ptg[sin −1 (0.554)] = 7.99 kVAr .
Per valutare la potenza complessa assorbita dalla stella di resistori, basta osservare che tale carico è posto in parallelo rispetto al precedente e che la tensione su ciascun resistore è proprio la tensione stellata dei generatori. Si ha, allora:
ES. 2.11 - Con riferimento alla seguente rete in regime sinusoidale, valutare:
+
R
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea I1 . Per valutare tale valore si può preliminarmente valutare la potenza complessa totale assorbita alla sezione 1-2-3. Il carico a valle dei resistori assorbe la potenza complessa P = 12 kW,
e(t)
P = 12 kW sinϕ = 0.554 f = 50 Hz
R = 1.3 Ω, C = 2.0 mF , L = 1.1 mH
Risultato: p(t ) = 4.74[1 − cos(4πft − 0.18) W; A& = 4.74 W .
R1
R
E = 220 V R = 50 Ω
si ha immediatamente che
b) i (t ) = 0.71sin(1000t − 1.08) A c) A& = 0.82 W ; p(t ) = 0.82[1 − cos(2000t − 2.15)] W
I= 9
2 2 PTOT + QTOT
3E
= 25.62 A. 10
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
b) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a cos ϕ = cos[tg
−1
(QTOT
/ PTOT )] = 0.88
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Il rifasamento porterà ad avere una potenza reattiva totale desiderata pari a
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ES. 3.3 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni (con valore efficace della tensione concatenata pari a V): a) valutare l’indicazione dell’amperometro; b) valutare le indicazioni dei wattmetri; c) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3.
Q des = PTOT tgϕ des = PTOT tg[cos −1 (0.9)] = 7.22 kVAr
+
1
quindi il banco di condensatori dovrà assorbire una potenza reattiva totale pari a
ver 2 - 2004
+
Wa
V = 380 V P = 10 kW
Q c = Q des − QTOT = −0.77 kVAr . Inserendo i condensatori a stella, come in figura, la tensione che agisce su ciascuno di essi è quella stellata dei generatori, quindi: E1 1 E2 2 + Q c = −3 = −6πfCY E XC E2 Qc 2 P CY = − = 16.82 μF. 2 + 6πfE sinϕ Se, invece, i condensatori vengono inseriti a triangolo, la tensione è la concatenata, quindi: CΔ = −
2
P, Q
A
+ 3
Q = 7 kVAr R = 1 kΩ f = 50 Hz
Wb +
R
R
R
a) L’indicazione dell’amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea alla sezione 1-2-3. Per calcolarla si può valutare la potenza complessa totale assorbita a tale sezione, sommando i contributi di tutti i carichi. I resistori assorbono la potenza complessa
3
+
R
Qc 6πfV
E3
2
R
R
PR = 3
= 5.61 μF.
V2 = 0.43 kW, R
QR = 0 ,
quindi alla sezione 1-2-3 si ha:
Osserviamo che CY = 3C Δ .
A& TOT = PTOT + j QTOT = ( P + PR ) + j (Q + Q R ) = 10.43 kW + j 7 KVAr .
La lettura dell’amperometro sarà, quindi: ES. 3.2 - Con riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni: a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3; b) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3. 1
XL
2
R
R
V12 = 380 V
XL
Q = −5kVAr
R = X L = 10 Ω
3V
= 19.09 A.
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha: ⇒
⎧⎪Wa = 3.20 ⋅10 3 ⎨ ⎪⎩ Wb = 7.23 ⋅ 10 3
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a
cosϕ = 0
cos ϕ = cos[tg −1 (QTOT / PTOT )] = 0.83 ,
XL
3
2 2 PTOT + QTOT
⎧W a + Wb = PTOT = 10.43 ⋅ 10 3 ⎪ Q TOT ⎨ = 4.03 ⋅ 10 3 ⎪ Wb − Wa = 3 ⎩
R V12
I=
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà Q, cosϕ
Q des = PTOT tgϕ des = PTOT tg[cos −1 (0.9)] = 5.05 kVAr
Risultato: a ) A& = 21.66 kW + j16.66 kVAr, b) C Δ = 45.33 μF.
quindi, montando tre condensatori a triangolo: Q c = Q des − QTOT = −1.95 kVAr
11
⇒
CΔ = −
Qc 6πfV 2
= 14.30 μF.
12
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 3.4 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 0.7A. a) valutare l’indicazione del voltmetro; b) valutare le indicazioni dei wattmetri; c) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3. +
1
S
+
Wa
jX
jX
V 3
+
Wb
V=
R
= 2.72 kV.
⎧⎪Wa = 1.70 ⋅ 10 3 ⎨ ⎪⎩ Wb = 8.32 ⋅ 10 3
⇒
c) Alla sezione 1-2-3 si ha un fattore di potenza pari a cos ϕ = cos[tg −1 (QTOT / PTOT )] = 0.66 ,
R
quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare. Dopo il rifasamento si avrà Q des = PTOT tgϕ des = PTOT tg[cos −1 (0.9)] = 4.85 kVAr
+
sinϕp
quindi, montando tre condensatori a triangolo Q c = Q des − QTOT = −6.60 kVAr
Dati: Z& 1 = 2 + 1 j Ω, R = 1 kΩ, X = 2 kΩ, A p = 12 kVA, sin ϕ p = 0.707, f = 50 Hz.
Detto I ′ = 0.7 A il valore efficace della corrente letta dall’amperometro, la potenza a) complessa totale assorbita dalle impedenze R-L sarà A& RL = 3( R + jX ) I ′ = 1.47 kW + j 2.94 kVAr . 2
La tensione stellata che insiste su questa stella di impedenze e sul carico posto in parallelo sarà E′ =
3I
⎧W a + Wb = PTOT = 10.02 ⋅ 10 3 ⎪ Q TOT ⎨ = 6.61 ⋅ 10 3 ⎪ Wb − Wa = 3 ⎩
Z&1
Ap
2 2 PTOT + QTOT
b) Per il teorema di ARON, essendo il sistema equilibrato, si ha:
R
A jX
ver 2 - 2004
per cui la lettura del voltmetro sarà:
Z&1
Z&1
2
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ARL = 1.57 kV. 3I ′
CΔ = −
Qc 6πfV 2
= 0.94 μF.
ES. 3.5 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 5A. a) valutare la tensione stellata dei generatori b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3;
1
jX L
RL
R
2
jX L
RL
R
jX L
RL
R
La potenza complessa assorbita dal carico parallelo sarà A& p = A cos ϕ p + jA sin ϕ p = 8.49 kW + j8.49 kVAr ,
⇒
quindi la potenza complessa totale assorbita alla sezione S indicata in figura sarà 3
R = 0.12 kΩ RL = 3 Ω XL = 3Ω
A
X C = 90 Ω
A& s = A& p + A& RL = 9.95 kW + j11.42 kVAr .
− jX C
La corrente I che attraversa tale sezione sarà data da: A I = s = 3.23 A. 3E ′
− jX C
− jX C
quindi la potenza assorbita dal carico in serie Z& 1 sarà
Risultato: a ) E = 560 V; b) A& = 12.83 kW − j 32.18 kVAr.
A&1 = 3Z& 1 I 2 = 0.06 kW + j 0.03 kVAr . Alla sezione 1-2-3 di ingresso, quindi, si ha: A& TOT = A& 1 + A& s = PTOT + j QTOT = 10.02 kW + j11.46 KVAr 13
14
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
4. Doppi-bipoli, generatori pilotati, regime periodico. ES. 3.6 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni. a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3; b) rifasare a cos ϕ = 0.9 alla sezione 1-2-3. jX L
R
1
R
P, cosϕP
jX L
V
2
R
jX L Z&
Z&
a) la matrice delle ammettenze Y& del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori; b) la potenza complessa A& erogata dai generatori;
P = 1 kW, cosϕ P = 0.707,
i1 (t )
R = 10 Ω, X L = 5 Ω, Z& = 100 + 100 j Ω, V = 380V , f = 50 Hz
3
ES. 4.1 - Con riferimento al seguente circuito, valutare:
i 2 (t )
e1 (t ) = 10 cos(1000t ) V
L
R +
e1 (t )
+
C
R
e2 (t ) = 20 sin(1000t ) V
e2 (t )
R = 1 Ω L = 1 mH
C = 1 mF
a) Y&11 = 0.5 Ω −1 , Y&m = 0.5 j Ω −1 , Y&22 = 0.5 − j Ω −1 ; b) A& er = 75 W , A& er = 50 W + j 200 VAr .
Risultato:
1
2
Z&
ES. 4.2 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore R e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie. R i
Risultato: a ) A& = 3.63 kW + j 4.25 kVAr; b) C Δ = 12.94 μF.
j1 (t ) = cos(100t ) A j1 (t )
ES. 3.7 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell’amperometro sia 10A. a) valutare il fattore di potenza del carico M; b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione 1-2-3; c) valutare il fattore di potenza alla sezione 1-2-3; R
+
1
+
Wa
M
A
2
R
− jX c
Risultato: a ) cos ϕ M
− jX c − jX c
L
Wb = 10 kW
R = 1 Ω L = 1 mH C = 0.1 mF
Poiché i generatori non sono isofrequenziali, cioè ω1 ≠ ω 2 , il circuito non ammette un regime sinusoidale ma un regime periodico e quindi non è possibile trasformare la rete in una rete di impedenze. Tuttavia, essendo la rete lineare, si può applicare la sovrapposizione degli effetti e ricavare la corrente che circola in R come i = i ′ + i ′′ , dove i′ si ricava dal circuito ausiliario I e i ′′ dal circuito ausiliario II. R R i′
Wa = 4 kW +
3
R = 20 Ω X C = 100 kΩ
j 2 (t ) = sin(200t ) A
j 2 (t )
C
L
C
L
j 2 (t )
C
I
Wb +
Ciascuna di queste due reti può essere rappresentata da una rete di impedenze: rete I:
J 1 = 1,
rete II:
J 2 = 1,
Z& C′ = −100 j , Z& ′′ = −50 j , C
Z& L′ = 0.1 j , Z& L′′ = 0.2 j ,
Z& R′ = 1. Z& R′′ = 1.
Applicando i partitori di corrente:
= 0.80; b) A& = 20.00 kW + j10.38 kVAr; c) cos ϕ = 0.89;
15
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A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
I ′ = J1
ver 2 - 2004
Z& L′ = 10 −3 e j 3.13 & Z L′ + Z& C′ + Z& R′
⇒
i ′(t ) = cos(100t + 3.13) mA.
Z& C′′ = e j 3.12 Z& C′′ + Z& L′′ + Z& R′′
⇒
i ′′(t ) = sin(200t + 3.12) A.
I ′′ = − J 2
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
ver 2 - 2004
ES. 4.4 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore R2 e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie.
j (t )
j (t ) = 14 A e(t ) = 110 cos(20t ) V R1 = 12 Ω R2 = 2 Ω
Quindi la corrente che circola in R sarà i (t ) = i ′(t ) + i ′′(t ) = 10 −3 cos(100t + 3.13) + sin(200t + 3.12) A.
R1
e(t )
Nota la corrente si può calcolare la potenza istantanea assorbita da R e quindi la potenza media: T
P=
T
T
T
T
R R 1 1 2R p(t )dt = ∫ Ri 2 (t )dt = ∫ i ′ 2 (t )dt + ∫ i ′′ 2 (t )dt + i ′(t )i ′′(t )dt T ∫0 T0 T 0 T 0 T ∫0
⎛ 2π 2π ⎞ ⎟⎟ T = max⎜⎜ , ⎝ ω1 ω 2 ⎠
I primi due contributi rappresentano le potenze medie dissipate nei circuiti I e II, quindi sono: T
+
R2 C
L = 0.2 H
L
Risultato: P = 0.41 kW .
T
R 2 R i ′ (t )dt = I ′ = 0.5 ⋅ 10 −6 W , T ∫0 2
R R i ′′ 2 (t )dt = I ′′ = 0.5 W T ∫0 2
ES. 4.5 -Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'.
.
i (t )
1
L'ultimo contributo è nullo perché per ω1 ≠ ω 2 si ha:
∫ cos(ω1t + α)sin(ω2t + β)dt = 0 ∀α, β 0
e(t )
+
R = 2Ω r =3Ω
+
R
ri(t )
.
XL = 4Ω
Passando alla rete di impedenze si avrà:
ES. 4.3 -Con riferimento al seguente circuito, valutare la corrente i(t).
E = 2e jπ / 6 ,
i (t )
E
j (t ) = J m cos ωt
L
C
R
j (t )
XC =1Ω
1′
In definitiva se ω1 ≠ ω 2 è possibile sovrapporre le potenze medie: P ≈ 0.5 W .
R
e(t ) = 2 sin(ωt + π / 6) V
C
T
+
C = 10 mF
Z& C = − j ,
Z& L = 4 j ,
Z& R = 2.
Per calcolare V0 basta applicare la LKT alla maglia di sinistra della rete
J m = 1 A, ω = 10 6 rad / s
E = Z& L I + rI
E = 1V R = 1Ω, L = 1mH , C = 1mF
⇒
I =
E = 0.368 − j 0.157 Z& L + r .
Applicando un partitore di tensione si ha, quindi:
La corrente i (t ) si può calcolare con la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo:
V 0 = rI
i (t ) = i1 + i 2 (t ) .
Z& R = 1.070 + j 0.064 = 1.07e j 0.06 V . & Z R + Z& C
Per calcolare Z& eq occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E . Applicando
Il contributo i1 è dovuto al solo generatore di tensione e si ottiene tenendo conto che, in regime stazionario, l'induttore si riduce ad un corto-circuito ed il condensatore ad un circuito aperto: i1 = E / 2 R = 1 / 2 A .
ancora la la LKT alla maglia di sinistra della rete:
Il contributo i 2 (t ) è dovuto al solo generatore j(t) e si ottiene risolvendo la rete in regime sinusoidale:
quindi nella rete per il calcolo di Z& eq risulta spento anche il generatore controllato, visto che la
J = 1 , Z& R = 1 , Z& C = − j10 −3 , Z& L = j10 3 .
Z& R ≈ −10 −6 + j10 −3 ≈ j10 −3 = 10 −3 e jπ / 2 & Z R + Z& a
⇒
I =0
sua variabile di controllo è nulla, per cui in definitiva: Z& R Z& C Z& eq = = 0.4(1 − 2 j ) Ω & Z R + Z& C
Posto Z& a = Z& R // Z& C + Z& L , la corrente I 2 si ottiene con un semplice partitore di corrente: I 2 = −J
0 = Z& L I + rI
⇒ i 2 (t ) = −10 −3 sin(ωt ) A. 17
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A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
C
ver 2 - 2004
A. Maffucci: Circuiti in regime sinusoidale
transistor per alta frequenza. Determinare la tensione ai capi del resistore RU.
e(t )
v S (t )
Ro
C
vin
+
Ri
−
+
R1
a 2 R2
v S (t ) = 10 cos(ωt ) V
L
RU
gvin (t )
L1′
i1 (t )
ES. 4.6 - Il circuito seguente riproduce lo schema equivalente di un amplificatore a
RS +
ver 2 - 2004
+
ω = 10 8 rad / s
vU
RS = Ro = 1 Ω, Ri = 5 Ω
−
L = 1 pH C = 1 nF
Trasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore E = 10 V , l'impedenza equivalente vista dal generatore è: a 2 R jω L1′′ Z& eq = R1 + jω L1′ + 2 2 = 2+2j Ω a R2 + jω L ′′
g = 100 Ω −1
da cui Risultato: vU (t ) = 95.9 cos(ωt + 3.06) kV .
I1 =
5 − jπ / 4 5 E = (1 − j ) = e A Z& eq 2 2
⇒
i1 (t ) = 5sin(1000t − π / 4) A .
ES. 4.7 - Con riferimento al seguente circuito valutare la corrente i1 (t ) nel circuito ES. 4.8 - Con riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita dal
primario. i1 (t )
condensatore. e(t ) = 10 2 sin(1000t ) V R1 = 1 Ω R2 = 200 Ω
R1
+
e(t )
L2
L1
R2
L1 = 3 mH
L2 = 200 mH
j (t )
M = 20 mH
j (t ) = 10 2 cos(100t ) A
R2 R1
L1
L2
C
R1 = R2 = 5 Ω L1 = 1 mH ,
L2 = 4 mH
M = 2 mH , C = 12.5 mF
Poiché L1 L2 ≠ M 2 l'accoppiamento non è perfetto. Posto L1 = L1′ + L1′′ , possiamo scegliere L1′′ in modo che l'aliquota L1′′ verifichi le condizioni di
Risultato: A& = − j 5 VAr .
accoppiamento perfetto L1′′L2 = M 2 : L1′′L2 = M 2
⇒
L1′′ = M 2 / L2 = 2 mH .
A questo punto il circuito equivalente sarà il seguente L′1
i1 (t )
e(t )
+
R1
a L1′′
R2
a=
L1′′ = 0 .1 M
Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche equivalente al seguente:
19
20
