ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
Dott. Lotti Nevio
www.lvproject.com
1
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
Processi stazionari in covarianza •
Esistono finiti i momenti primi e secondi ed inoltre
E [Yt ] = µ , per ogni t
Var[Yt ] = σ 2 , per ogni t •
funzione di (auto-)covarianza
Cov[Yt , Yt + h ] = E[(Yt − µ )(Yt + h − µ )] = γ (h) •
funzione di (auto-)correlazione
Cor[Yt , Yt + h ] =
E[(Yt − µ )(Yt +h − µ )] Var[Yt ]Var[Yt + h ]
=
E[(Yt − µ )(Yt + h − µ )] γ (h) = = ρ(h) Var[Yt ] γ (0)
Le funzioni di covarianza e di correlazione sono simmetriche rispetto all’origine ρ( − h) = ρ(h) γ ( − h) = γ ( h) per cui è sufficiente considerare i soli valori positivi. Inoltre ρ(0) = 1 per un qualsiasi processo stocastico.
Esempio: Il processo white noise ε t ≈ wn(0, σ 2 ) ha funzione di auto-correlazione
ρ(0) = 1 ρ(h) = 0, h > 0 Qui sotto sono riportati i corrispondenti momenti campionari, che per un processo stazionario ed ergodico sono stimatori consistenti dei momenti spaziali (o teorici) del processo. Per una serie temporale Y1 ,..., YT di T osservazioni:
µˆ =
1 T ∑ Yt = Y T t =1
2
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
σˆ 2 =
Dott.Lotti Nevio
WWW.LVPROJECT.COM
1 T (Yt − Y ) 2 ∑ T t =1
γˆ (h) =
1 T −h ∑ (Yt − Y )((Yt + h − Y ) T − h t =1 T −h
ρˆ (h) =
∑ (Y
t
t =1
− Y )((Yt + h − Y )
T
∑ (Y
t
t =1
− Y )2
Il grafico della funzione di autocorrelazione è detto correlogramma.
Test sulla funzione di autocorrelazione: ρ(h) = 0 • Test sul singolo valore di ρ(h) Bartlett dimostra che se il processo è white noise le autocorrelazioni campionarie ρˆ (h) sono per h>0 approssimativamente delle Normali indipendenti di media nulla e deviazione standard 1 T , dove T indica il numero totale delle osservazioni. Quindi l’intervallo
]−2
T , +2
ρ(h) = 0 .
[
T rappresenta la regione di accettazione al 95% circa dell’ipotesi nulla
Ad esempio: H 0 : ρ (1) = 0 H A : ρ (1) ≠ 0
]
Se ρˆ (1) stimato sul campione appartiene all’intervallo −2
T , +2
[
T possiamo affermare
che il valore teorico della funzione di autocorrelazione ρ (1) è nullo con un livello di confidenza di circa il 95%. In termini equivalenti, in questo caso l’ipotesi nulla non puo’ essere rigettata per un livello di significativita’ del test statistico pari al 5% (il livello di significativita’ del test e’ di solito indicato con la lettera greca alfa: α = 5% ).
]
Ovviamente se ρˆ (1) stimato sul campione non appartiene all’intervallo −2
T , +2
T
[
rifiutiamo l’ipotesi nulla per un livello di significativita’ del test statistico pari al 5%.
3
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
•
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
Test sui primi H valori della funzione ρ(h)
Si tratta di un test per verificare se la serie è white noise, nel senso che l’ipotesi nulla è la seguente:
H 0 : ρ (1) = ρ (2) = ... = ρ ( H ) = 0 L’ipotesi alternativa è che almeno uno dei primi H valori della funzione sia diverso da zero.
Statistica Q di Box-Pierce H
Q( H ) = T ∑ ρˆ 2 (h) ≈ χ H2 h =1
Statistica Q di Liung-Box (usata in E-views) che e` da preferirsi alla prima su piccoli campioni: H
Q( H ) = T (T + 2)∑ h =1
ρˆ 2 (h) T −h
≈ χ H2
Il test e’ un test ad una coda e rifiutiamo l’ipotesi nulla per valori elevati (positivi) della statistica Q. Andando a calcolare il p-value detto anche livello di significativita’ osservato del test, rigettiamo l’ipotesi nulla quando tale valore e’ inferiore o uguale al livello α di significativita’ (nominale). Formalmente il p-value coincide con la probabilita’ condizionata rispetto all’ipotesi nulla dell’evento χ H2 > Q( H ) , ossia p - value = prob( χ H2 > Q ( H ) / H 0 )
Jarque-Bera test
Si tratta di un test di Normalita’, ossia l’ipotesi nulla e’ che la serie storica osservata provenga da un processo Normale. La statistica JB sotto l’ipotesi nulla ha distribuzione asintotica χ 22 , ossia chi quadro con 2 gradi di liberta’. Rifiutiamo la Normalita’ quando il p-value e’ inferiore o uguale al livello α di significativita’ (nominale). Formalmente il p-value coincide
4
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
con la probabilita’ sotto l’ipotesi nulla dell’evento χ 22 > JB , ossia p - value = prob( χ 22 > JB / H 0 ) .
Uso del correlogramma • come test informale della stazionarietà di una serie temporale: per una serie non stazionaria il correlogramma tende a zero molto lentamente e linearmente. Viceversa, se la serie è stazionaria la convergenza verso lo zero è molto più rapida (la convergenza e’ esponenziale). Esistono comunque in letteratura test formali per verificare la stazionarietà della serie detti test di radice unitaria. La procedura che si segue di solito è di differenziare e/o trasformare la serie per raggiungere la stazionarietà. In questo contesto il correlogramma applicato alla serie ai livelli e alle differenze prime (seconde,...) permette di verificare se la serie trasformata può essere considerata approssimativamente stazionaria. • Assieme alla funzione di correlazione parziale viene usato nell’approccio Box-Jenkins per selezionare i parametri p e q del processo ARMA(p,q). • per individuare l’eventuale stagionalità della serie temporale (ossia una ciclicità dovuta a fattori, appunto stagionali, vedi ad esempio il picco delle vendite di giocattoli nel periodo natalizio). Quando abbiamo a che fare con dati infrannuali la stagionalità annuale è messa in evidenza da picchi ciclici piu’ o meno regolari nel correlogramma ai ritardi multipli della frequenza intrannuale della serie. Ossia 12, 24, 36,... per serie mensili e 4, 8, 12, 16,... per serie trimestrali. Questo perchè, ad es. per una serie trimestrale stagionale Yt e Yt +4 saranno piu’ fortemente correlati e così pure Yt +4 e Yt +8 . Quindi Yt e Yt +8 risulteranno
essere anch’essi correlati. •
come test di bianchezza dei residui di un modello econometrico, ossia per verificare se il processo degli errori di un processo econometrico puo’ essere considerato essere effettivamente un processo white noise. Si parla di bianchezza dei residui perche’ white noise significa rumore bianco.
5
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
Uso di E-views per generare processi ARMA Gaussiani
Processo i.i.d. Gaussiano o Normale
Si tratta di un processo stocastico costituito da n.a. stocasticamente indipendenti ed ugualmente distribuiti come Normali di valore atteso µ e varianza σ 2 . In simboli X t ≈ NIID( µ , σ 2 )
Processo i.i.d. Gaussiano o Normale Standard Si tratta del processo Z t ≈ NIID(0,1) , ossia costituito da n.a. che hanno distribuzione Normale standard.
Relazione tra il processo Z t ≈ NIID(0,1) ed il processo X t ≈ NIID( µ , σ 2 ) X t = µ + σ ⋅ Zt
(trasformazione lineare di Z t )
Il passaggio inverso, da X t a Z t , viene detta operazione di standardizzazione
Zt =
( X t − µ)
σ
Si noti che un processo white noise costituito da n.a. aventi distribuzione Normale coincide con un processo i.i.d. Gaussiano.
Per generare col computer in E-views una serie temporale di 200 osservazioni da un processo gaussiano standard usiamo i comandi
smpl 1 200 genr z = nrnd Ottenuta tale serie temporale possiamo passare ad una serie temporale generata da un processo i.i.d. Gaussiano qualunque, ad es. di valore atteso 3 e varianza 16 con il comando
genr x=3+4*z
6
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
Dott.Lotti Nevio
WWW.LVPROJECT.COM
MODELLI DI REGRESSIONE LINEARI DINAMICI Consideriamo il processo bivariato generatore dei dati ( y t , xt )t e assumiamo che la variabile xt sia debolmente esogena per i parametri di interesse. Quindi possiamo limitarci a specificare la sola distribuzione di y / x e omettere la specificazione della distribuzione marginale di x . In termini approssimativi ciò significa che la variabile y t è determinata all’interno del modello e la variabile xt può essere assunta come determinata al di fuori del modello. Una classe di modelli di regressione lineari dinamici molto ampia che riveste un ruolo fondamentale nell’econometria delle serie temporali è la classe dei modelli auto-regressivi a ritardi differiti, in inglese Auto-Regressive Distributed Lag model, di ordine (p,q), abbreviati in ARDL(p,q). Tale modello può essere scritto come segue:
p
q
j =1
i =0
E [ y t / I t −1 ] = c + ∑ a j y t − j + ∑ bi xt −i oppure in termini equivalenti come p
q
j =1
i =0
y t = c + ∑ a j y t − j + ∑ bi xt −i + ε t dove l’errore è definito come ε t = y t − E [ y t / I t −1 ] ed I t −1 = {y t −1 , y t − 2 ,..., y t − p ,..., xt ,..., xt − q ,...},
ossia il set informativo I t −1 contiene i valori passati di y t , il valore corrente ed i valori p
passati di xt . Nel modello,
∑ a j yt − j è la parte auto-regressiva mentre j =1
q
∑b x i =0
i
t −i
è la parte a
ritardi differiti in cui compare anche il valore corrente di xt . Si noti che b0 rappresenta l’impatto sul valor medio condizionato di y t di una variazione unitaria di xt nello stesso periodo, tenute costanti le altre variabili. Per tale specificazione del modello risulta che E [ε t / I t −1 ] = 0 ∀ t Questo a sua volta implica che: 1) E [ε t ] = 0 ∀ t 2) cov(ε t , ε τ ) = 0 t ≠ τ 3) cov(ε t , y t −k ) = 0 k > 0 4) cov(ε t , xt −k ) = 0 k ≥ 0 Si noti che se aggiungiamo alla condizione E [ε t / I t −1 ] = 0 ∀ t , la condizione di regolarità
7
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
E [ε t ] <∝ ∀ t , il processo degli errori è noto in letteratura col nome di processo differenza di martingala. Possiamo inoltre assumere per semplicità che gli errori siano omoschedastici ossia che 5) Var (ε t / I t −1 ) = Var (ε t ) = σ ε2 ∀ t Si noti inoltre che Var ( y t / I t −1 ) = Var (ε t / I t −1 ) . Sotto queste ipotesi il processo degli errori è anche un processo di innovazioni oltre che un processo di rumore bianco. Supponiamo infine che il processo bivariato generatore dei dati ( y t , xt )t sia stazionario in covarianza ed ergodico. Se ci condizioniamo alle prime m = max(p,q) osservazioni, sotto tali ipotesi lo stimatore OLS risulta essere consistente, anche se distorto su piccoli campioni (poiché il modello è dinamico). Riportiamo qui sotto l’espressione vettoriale dello stimatore OLS e della sua matrice di covarianza per il modello ARDL, y = Xγ + ε , scritto in forma vettoriale: −1 γˆ OLS = (X' X ) X' y
Cov( γˆ OLS / X) = σ ε2 (X' X )
−1
La classe dei modelli ARDL(p,q) comprende come casi particolari molti modelli econometrici dinamici usati in Econometria. Modello a ritardi distribuiti finiti: ARDL(0,q), ossia a1 = ... = a p = 0 Modello di aggiustamento parziale: ARDL(p,0), ossia b0 ≠ 0, b1 = ... = bq = 0 Modello dead-start: ARDL(p,q) con b0 = 0 Modello ECM o EqCM (con meccanismo di correzione dell’errore oppure modello a correzione dell’equilibrio): si tratta di una riparametrizzazione del modello ARDL(p,q) per separare la dinamica di breve periodo dalla dinamica di aggiustamento verso l’equilibrio statico di lungo periodo implicato dal modello. Qui sotto scriviamo tale riparametrizzazione senza indicare il modo in cui si è giunti a tale risultato. Questi aspetti verranno trattati in un paragrafo a parte più avanti. p −1
q −1
j =1
i =0
∆y t = c + α ( y t −1 − βxt −1 ) + ∑ φ j ∆y t − j + ∑ δ i ∆xt −i + ε t
Nel modello, lasciando da parte la costante, la variazione di y t è scomposta in due componenti:
8
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
-
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
una parte è legata alla dinamica di breve periodo p −1
q −1
j =1
i =0
∑ φ j ∆yt − j +∑ δ i ∆xt −i - l’altra costituisce il meccanismo di correzione dell’equilibrio, α ( y t −1 − βxt −1 ) . Ci si avvicina al valore di equilibrio in modo proporzionale, pari ad α , all’entità dello scostamento all’inizio del periodo da tale valore di equilibrio di lungo periodo, z t −1 = yt −1 − βxt −1 . Modello alle differenze prime: p −1
q −1
j =1
i =0
∆y t = c + ∑ φ j ∆y t − j + ∑ δ i ∆xt −i + ε t Si ottiene dal modello ECM nel caso in cui il parametro di aggiustamento verso l’equilibrio sia nullo ( α = 0 ).
Modello EqCM Il modello EqCM viene utilizzato sia nel caso di processi vettoriali stazionari in covarianza, sia nel caso di processi cointegrati, ossia processi integrati e quindi non stazionari, che però ammettono delle combinazioni lineari che risultano essere stazionarie. Se, come nel caso in esame, consideriamo un processo bivariato ( y t , xt )t , dove entrambe le componenti sono processi I(1), ossia processi le cui differenze prime sono stazionarie, si dice che il processo bivariato ( y t , xt )t è cointegrato se esiste una combinazione lineare con coefficienti non nulli
ϖ t = ω1 y t + ω 2 xt che risulta essere stazionaria in covarianza. Per il momento limitiamo l’analisi al modello EqCM con variabili stazionarie ai livelli.
Modello EqCM con variabili stazionarie
Per prima cosa vogliamo vedere sotto quali condizioni il modello ARDL risulta essere stabile ossia ammette una relazione lineare statica di lungo periodo (asintotica) tra le variabili. Si dimostra che se le radici dell’equazione caratteristica
λ p − a1λ p −1 − .. − a p = 0 associata all’equazione alle differenze finite omogenea di grado p p
yt − ∑ a j y t − j = 0 j =1
9
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
del modello ARDL(p,q) ammette p radici, anche in campo complesso, tutte di modulo minore di uno, ossia λi < 1 i = 1,..., p , allora il sistema è detto stabile ed esiste una relazione statica implicata dal modello che può essere interpretata come la relazione asintotica o di lungo periodo tra le variabili. Tale relazione quindi è la relazione d’equilibrio, verso la quale il sistema converge. La relazione lineare tra le variabili è l’attrattore del sistema dinamico lineare. Poiché sotto tale condizione l’equilibrio è stabile, possiamo calcolare la relazione di lungo periodo in modo molto semplice. Poniamo innanzitutto gli shock a zero e poi per la stabilità dell’equilibrio possiamo imporre la costanza delle variabili in equilibrio. Quindi ∆y t = 0 ∀t ⇔ y t = y *
∀t
∆xt = 0 ∀t ⇔ x t = x
∀t
*
Pertanto
p q 1 − ∑ a j y * = c + ∑ bi x * j =1 i =0
da cui q
y =
c
*
p 1 − ∑ a j j =1
+
∑b i =0
i
p 1 − ∑ a j j =1
x*
y * = a * + βx * La stessa cosa deve valere nel modello EqCM in quanto è una semplice riparametrizzazione del modello ARDL. Abbiamo che 0 = c + α ( yt −1 − βxt −1 ) + 0 Quindi
10
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
y t −1 = −
c
α
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
+ βxt −1
e allora
a* = −
c
α
,
p
α = −1 − ∑ a j j =1
q
e − αβ = ∑ bi . i=0
La relazione statica di lungo periodo implicata dal modello ARDL stabile è quindi la retta y * = a * + βx * . Supponiamo di trovarci nel punto ( y * , x * ) appartenente a tale retta e che per una qualche ragione si verifichi una variazione permanente nella variabile x, cosicché la variabile passa da x * a x ** . Allora il sistema si muoverà verso il nuovo punto di equilibrio dato dalla coppia ( y ** , x ** ) dove adesso y ** = a * + βx ** . Quindi in (t-1), per un dato valore di x, lo scostamento o errore rispetto al valore di equilibrio y t*−1 = a * + βxt −1 è pari a yt −1 − y t*−1 = y t −1 − a * − βxt −1 . Indichiamo con z t −1 tale scostamento. Nel modello EqCM l’avvicinamento al valore di equilibrio è graduale e più specificatamente è proporzionale all’entità dello scostamento. Si noti che mentre qui abbiamo definito z t = y t − a * − βxt nel modello EqCM specificato in precedenza abbiamo z t = y t − βxt . Le due formulazioni non sono in contraddizione. Posso infatti riscrivere il modello EqCM anche come segue: *
p −1
q −1
j =1
i=0
∆y t = c0 + α ( y t −1 − a * − βxt −1 ) + ∑ φ j ∆y t − j + ∑ δ i ∆xt −i + ε t
ponendo c0 = c + αa * . Resta ancora da chiarire il modo in cui si passa dal modello ARDL ai livelli al modello EqCM. Qui di seguito facciamo vedere i passaggi per il caso più semplice: il modello ARDL(1,1), yt = c + a1 y t −1 + b0 xt + b1 xt −1 + ε t
In questo caso la condizione di stabilità si riduce a richiedere che a1 < 1 . Sottraendo y t −1 a sinistra e destra dell’uguale ottengo: ∆y t = c − (1 − a1 ) y t −1 + b0 xt + b1 xt −1 + ε t
Adesso sommo e sottraggo a destra dell’uguale b0 xt −1 e quindi ottengo: ∆y t = c − (1 − a1 ) y t −1 + b0 ∆xt + (b0 + b1 ) xt −1 + ε t
11
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
Definisco α = −(1 − a1 ) e β =
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
(b0 + b1 ) per cui (b0 + b1 ) = −αβ (1 − a1 )
Quindi ottengo: ∆y t = c + α ( y t −1 − βxt −1 ) + δ 0 ∆xt + ε t dove δ 0 = b0 . Si noti che nei due modelli ovviamente il moltiplicatore d’impatto coincide:
∂E [∆y t / I t −1 ] ∂E[ y t / I t −1 ] = = b0 ∂∆xt ∂xt e lo stesso vale per il moltiplicatore asintotico ∂E[ y t / I t −1 ] ∂E[ y t +1 / I t −1 ] ∂E [ y t + s / I t −1 ] ∂y * = β = * lim + + ... + s →∝ ∂xt ∂xt ∂xt ∂x
Modello EqCM con variabili integrate
Supponiamo adesso che yt ≈ I (1) e xt ≈ I (1) . Si noti che ogni combinazione lineare di processi I(0), ossia stazionari in covarianza, è un processo I(0) e in generale: - una combinazione lineare di processi I(1) è un processo I(1); - la somma di un processo I(0) ed un processo I(1) è un processo I(1). Questo significa che se regredisco y t su xt in generale il processo degli errori sarà un processo I(1): y t = α + βx t + ε t E’ stato dimostrato da diversi autori che anche nel caso in cui i due processi sono tra loro stocasticamente indipendenti, i risultati delle stime OLS della regressione statica qui sopra indicata mostrano che il fit del modello è eccellente (R quadrato prossimo ad uno) ed i parametri risultano significativamente diversi da zero ai consueti livelli di significatività (5%, 1%). Passando invece alle differenze prime, il modello ∆y t = a + β∆xt + u t mostra correttamente che non c’è correlazione tra i due processi, ossia R quadrato è prossimo a zero ed i parametri risultano non essere significativamente diversi da zero. Quindi la regressione statica ai livelli di processi I(1) è una regressione spuria perchè induce il ricercatore a credere nell’esistenza di una relazione tra le variabili anche quando queste sono stocasticamente indipendenti.
12
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
Engle e Granger nel 1987 dimostrano che non sempre le regressioni statiche ai livelli sono regressioni spurie. Esiste infatti la possibilità che una combinazione lineare di processi I(1) risulti essere un processo stazionario, I(0). Essi definiscono tale proprietà col termine cointegrazione. Se ci limitiamo al caso di un processo bivariato cointegrato, si dimostra che esiste al massimo una combinazione lineare (normalizzata) di tale processo che risulta essere stazionaria in covarianza. Per normalizzazione intendiamo che poniamo pari ad uno ad esempio il coefficiente della variabile y t . Quindi se ϖ t = ω1 y t + ω 2 xt è stazionario in covarianza, la combinazione lineare normalizzata si può scrivere come yt − βxt , ponendo β = −
ω2 . Stock e Watson dimostrano ω1
che lo stimatore OLS del modello statico y t = α + βx t + ε t è (super) consistente: converge in probabilità al coefficiente di cointegrazione β più rapidamente del caso in cui le variabili, anziché essere cointegrate, sono I(0) (Esiste però il problema non trascurabile della distorsione dello stimatore su piccoli campioni). La relazione di cointegrazione è interpretata come la relazione statica di lungo periodo di equilibrio (in quanto l’errore o scostamento è un processo stazionario) tra variabili non stazionarie. In questo caso quindi la regressione statica OLS non è spuria. In particolare, in questo caso il processo degli errori sarà per definizione stazionario in covarianza. Nella regressione spuria invece esso sarà necessariamente I(1). Passando al modello EqCM abbiamo due possibilità: - le variabili sono integrate ma non cointegrate - le variabili sono cointegrate Nel primo caso l’equazione p −1
q −1
j =1
i =0
∆y t = c + α ( y t −1 − βxt −1 ) + ∑ φ j ∆y t − j + ∑ δ i ∆xt −i + ε t non è bilanciata perché a destra dell’uguale compare una combinazione lineare di variabili integrate, ma non cointegrate. Quindi, per evitare di stimare relazioni spurie ai livelli tra le variabili conviene porre α = 0 e stimare il modello alle differenze prime, perché quest’ultimo non presenta tali problemi. Nel secondo caso invece l’equazione è bilanciata se il termine EqCM è proprio il processo degli errori della relazione di cointegrazione, essendo per definizione stazionario in covarianza. Effettivamente Engle e Granger (1987) dimostrano proprio questo: se il processo è cointegrato allora vale la rappresentazione EqCM di sopra dove z t −1 è l’errore della relazione di cointegrazione. Quindi il modello alle differenze prime in questo caso è un modello mispecificato, a meno che il parametro α , che misura la velocità di convergenza verso la relazione di lungo periodo, non sia nullo. Solo se α risulta non significativamente diverso da zero, è lecito
13
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
stimare il modello alle differenze prime. In caso contrario, infatti, perderemmo l’informazione sul comportamento delle variabili ai livelli nel lungo periodo.
Negli ultimi dieci anni una grandissima attenzione è stata rivolta nell’economia empirica alla verifica dell’esistenza di relazioni tra le variabili ai livelli. Per lo più, tali analisi si basano sull’uso di tecniche di cointegrazione. Due approcci principali sono stati adottati: la procedura a due passi basata sui residui per testare l’ipotesi nulla di nessuna cointegrazione (vedi Engle and Granger, 1987, Phillips e Ouliaris, 1990) e l’approccio sulle regressioni di rango ridotto basato su stime del sistema multivariato dovuto a Johansen (1991, 1995). In più altre procedure sono state prese in considerazione, come l’approccio delle variabili aggiunte di Park (1990), la procedura basata sui residui per testare l’ipotesi di cointegrazione proposta da Shin (1994) e l’approccio (di sistema) basato sui trend stocastici comuni di Stock e Watson (1988). Tutti questi metodi si concentrano su casi in cui le variabili sottostanti sono integrate di ordine uno. Questo inevitabilmente introduce un certo grado di “pre-testing”, introducendo perciò nell’analisi un ulteriore grado di incertezza nell’analisi di relazioni ai livelli. Nel 2001 il gruppo di ricerca facente capo al prof. H. Pesaran ha proposto un nuovo approccio per testare l’esistenza di una relazione tra variabili ai livelli che è applicabile indipendentemente dal fatto che i regressori sottostanti siano puramente I(0), puramente I(1) o mutuamente cointegrati. Il test parte dalla stima di un modello EqCM condizionale non ristretto. L’approccio è basato sul calcolo di limiti (bounds) per il valore della statistica test che qualora superati consentono di concludere positivamente per l’esistenza di una relazione ai livelli tra le variabili, indipendentemente dal fatto che i regressori sottostanti siano puramente I(0), puramente I(1) o mutuamente cointegrati. In caso contrario il test è inconclusivo, ossia non possiamo affermare che la relazione non esiste. Se il test è conclusivo è possibile applicare l’approccio basato sul modello ARDL di Pesaran and Shin (1999) per stimare la relazione ai livelli e fare inferenza su di essa. Supponiamo che tale relazione esista. Partiamo dal seguente modello ARDL(p,q): p
q
j =1
i=0
yt = α 0 + α 1t + ∑ a j y t − j + ∑ bi xt −i + ε t Come prima ci limitiamo al caso di un processo bivariato, ma generalizziamo il modello nel senso che aggiungiamo anche un trend deterministico lineare. Pesaran and Shin (1999) usano la seguente riparametrizzazione del modello: q −1
p
yt = α 0 + α 1t + ∑ a j y t − j + (b0 + b1 + ... + bq ) xt + ∑ δ i ∆xt −i + ε t j =1
i =0
p
q −1
j =1
i =0
= α 0 + α 1t + ∑ a j y t − j + γxt + ∑ δ i ∆xt −i + ε t q
Si noti che δ i = − ∑ bk , i = 0,1,..., q − 1 k = i +1
14
ESERCITAZIONI DI ECONOMETRIA
WWW.LVPROJECT.COM
Dott.Lotti Nevio
La variabile xt è I(1), debolmente esogena e ipotizziamo che segua il processo ARIMA(s,1,0): s
∆xt = ∑ p j ∆xt − j + u t j =1
Dove ∆xt è un processo stabile ed inoltre assumiamo che il processo u t ed ε t non siano correlati tra loro [si veda l’articolo per il caso in cui i due processi d’errore sono correlati]. Sotto l’ipotesi che il modello ARDL è stabile e che esiste un’unica relazione stabile di lungo periodo tra y t ed xt , Pesaran and Shin (1999) dimostrano che è possibile stimare in modo consistente i parametri α 0 , α 1 , a1 ,.., a p , γ , δ 0 , δ 1 ,..., δ q −1 con il metodo OLS e ottenute le stime OLS stimare in modo (super) consistente i parametri della relazione di lungo periodo p p κ = α 1 / 1 − ∑ a j e β = γ / 1 − ∑ a j . Inoltre è possibile fare inferenza sia sui parametri di j =1 j =1 breve periodo che su quelli di lungo periodo, usando la teoria asintotica standard normale, come nel caso di regressori I(0). La regressione di cointegrazione di lungo periodo sarà in questo caso uguale a: y t = µ + κt + βx t + v t con ν t processo I(0). Si noti che poiché i parametri di lungo periodo sono funzioni non lineari dei parametri di breve periodo il calcolo degli s.e. per i parametri di lungo periodo richiede l’uso del cosiddetto “metodo delta” a partire dalle stime OLS. Quindi i metodi di stima e d’inferenza usati per stimare le relazioni tra variabili stazionarie attorno ad un trend deterministico (trend stationary) possono in questo caso essere usate anche per variabili stazionarie alle differenze prime (difference stationary). La scelta del numero dei ritardi da inserire nel modello ARDL può essere fatta utilizzando i criteri informativi Akaike Information Criterion (AIC) o Schwarz Bayesian Criterion (SC). E’ preferibile l’uso del criterio SC perché è un metodo di selezione tra modelli consistente, mentre AIC non lo è.
15
