Idee per il tuo futuro
Renato Cannarozzo Lanfranco Cucchiarini William Meschieri Vera Zavanella
Topografia e Costruzioni
Topografia per Geotecnico
Sistemi di riferimento, strumenti e misure, operazioni sulle superfici
Renato Cannarozzo Lanfranco Cucchiarini William Meschieri Vera Zavanella
Topografia e Costruzioni
Topografia per Geotecnico
Sistemi di riferimento, strumenti e misure, operazioni sulle superfici
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Realizzazione editoriale: – Redazione: Massimo Evangelisti – Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini – Progetto grafico, impaginazione, ricerca iconografica, disegni e collaborazione redazionale: Stilgraf, Bologna Copertina: – Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna – Realizzazione: Roberto Marchetti – Immagine di copertina: Rob Wilson/Shutterstock; Artwork Miguel Sal & C., Bologna Prima edizione: gennaio 2012
L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, ai sensi del DM 41 dell’8 aprile 2009, All. 1/B. File per diversamente abili L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine di questo libro. Il formato del file permette l’ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili Suggerimenti e segnalazione degli errori Realizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo:
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Indice
parti disponibili online
MODULO
A3
A Lo studio delle figure piane
A1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Angoli e funzioni goniometriche
Definizioni di angolo Misura degli angoli Funzioni goniometriche seno e coseno Funzioni goniometriche tangente e cotangente Valori delle funzioni goniometriche Grafici delle funzioni goniometriche Relazioni tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo Relazioni tra le funzioni goniometriche di angoli associati Funzioni inverse Risoluzione dei triangoli rettangoli Formule goniometriche Proiezione di un segmento e pendenza di una retta
1 2 3 4 5 6 7 8 9
AUTOVALUTAZIONE
A2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Risoluzione dei triangoli e dei poligoni
Relazioni tra lati e angoli di un triangolo qualunque (scaleno) Criteri per risolvere i triangoli qualunque Area dei triangoli Cerchi notevoli dei triangoli Altezze, mediane e bisettrici Proprietà geometriche dei poligoni Casi di risoluzione dei quadrilateri Risoluzione dei poligoni Area dei poligoni Problema della distanza inaccessibile
La definizione dei punti nel piano 3 Trasformazione di coordinate 4 Angolo di direzione di un lato 7 Coordinate cartesiane parziali e totali 8 Distanza tra due punti di coordinate cartesiane note 10 Risoluzione dei poligoni assegnati a mezzo delle coordinate cartesiane dei vertici 12 Risoluzione di una spezzata piana aperta 15 Area dei poligoni con le coordinate cartesiane dei suoi vertici 20 Spostamento di un sistema di coordinate cartesiane 22
RIASSUMENDO
26
LABORATORIO INFORMATICO • Excel
Punto di intersezione di due segmenti 29 AUTOVALUTAZIONE
32
MODULO
B
RIASSUMENDO LABORATORIO INFORMATICO • Excel Calcolo e rappresentazione grafica delle funzioni seno e coseno
Le coordinate cartesiane e polari
Ambito operativo
B1
Superfici di riferimento
Premessa 41 Sistemi di riferimento usati in topografia 44 Corrispondenza tra terreno e piano di rappresentazione (carta) 48 Ipotesi storiche sulla forma e sulle dimensioni della Terra 50 5 Il campo gravitazionale terrestre 51 6 Il geoide 53 7 L’ellissoide di rotazione (biassiale) 56 8 Il campo sferico 63 9 Il campo topografico 66 10 Conclusioni 70 1 2 3 4
RIASSUMENDO
RIASSUMENDO
LABORATORIO INFORMATICO • AutoCAD
LABORATORIO INFORMATICO • PowerPoint
Risoluzione di un triangolo assegnati i tre lati
TESINA Geoide, coordinate astronomiche e quote 75
AUTOVALUTAZIONE
AUTOVALUTAZIONE
71
79
III Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
INDICE
B2 1 2 3 4 5
Richiami di ottica geometrica
La riflessione La rifrazione Le lenti sferiche Sistemi di lenti Le aberrazioni
C1
LABORATORIO INFORMATICO • AutoCAD Costruzione dell’immagine di un oggetto da una lente convergente AUTOVALUTAZIONE
1 2 3 4 5
Segnali e mire
B4 1 2 3 4 5 6 7
C2
98
Strumenti e dispositivi semplici
Introduzione Il filo a piombo La diottra Gli squadri La livella sferica La livella torica I microscopi di lettura
1 2 3 4 5 6 7 8 9
142
Misure dirette e indirette 147 Distanza topografica 148 Tecniche di misura delle distanze 150 Misura diretta delle distanze 151 Errori nella misura diretta delle distanze 153 Longimetri a ultrasuoni e laser 156 Misura indiretta delle distanze 158 Metodi per la misura indiretta delle distanze 159 Controllo della misura e tolleranza 163
165
LABORATORIO INFORMATICO • PowerPoint
TESINA La misura indiretta delle distanze 169 AUTOVALUTAZIONE
C3
AUTOVALUTAZIONE
1 2 3 4 5 6
136
Misura diretta e indiretta delle distanze
RIASSUMENDO
RIASSUMENDO
B5
La misura degli angoli sulla carta 103 La misura degli angoli sul terreno 104 Evoluzione e classificazione dei teodoliti 105 Le parti e gli assi dei teodoliti ottici 109 Le condizioni di buon funzionamento del teodolite ottico 119 Messa in stazione (setup) del teodolite 123 Letture al cerchio orizzontale 125 Letture al cerchio verticale 130 Esempi di teodoliti ottici 135
AUTOVALUTAZIONE
95
AUTOVALUTAZIONE
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Misura degli angoli
RIASSUMENDO
Generalità 83 I segnali 84 Le mire 89 Visibilità delle paline 93 Monografie dei segnali 94
RIASSUMENDO
C Misure con strumenti tradizionali
RIASSUMENDO
B3
MODULO
Il cannocchiale collimatore
L’apparato collimatore L’occhio umano e la visione Il cannocchiale Effetto pratico del cannocchiale Obiettivi e oculari nei cannocchiali La collimazione assistita da camera digitale
1 2 3 4 5 6 7
174
Errori di misura
Premessa 181 Classificazione degli errori nelle misure dirette 181 La probabilità 182 La frequenza 182 Caratteristiche degli errori accidentali nelle misure dirette 183 Trattamentostatisticodiunaseriedimisurediretteeomogenee 187 Trattamento statistico di una serie di misure dirette di precisione diversa 191
RIASSUMENDO
194
LABORATORIO INFORMATICO • Excel
RIASSUMENDO
Calcolo dei parametri statistici di una serie di misure dirette della stessa precisione
AUTOVALUTAZIONE
AUTOVALUTAZIONE
196
IV Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
INDICE
C4
I particolari del territorio
Il rilievo dei particolari topografici Il sopralluogo, l’eidotipo e i registri Relazione tra scala e numero dei particolari da rilevare Rilievo dei particolari topografici per allineamenti Rilievo dei particolari topografici per irradiamento Riflessioni finali
1 2 3 4 5 6
RIASSUMENDO AUTOVALUTAZIONE MODULO
D Misure con strumenti elettronici
D1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Stazione totale
248
AUTOVALUTAZIONE
D2 1 2 3 4 5 6 7
255
Misure con la stazione totale
Messa in stazione dello strumento (setting up) 263 Misura degli angoli orizzontali 264 Misura degli angoli zenitali 268 Misura delle distanze 270 Registrazione e trasferimento delle misure 272 Elaborazione delle misure (software applicativo) 274 Stazione e segnale fuori centro 277
RIASSUMENDO
280
LABORATORIO INFORMATICO • Excel Calcolo dell’angolo compreso tra due direzioni assegnate con stazione fuori centro 283 AUTOVALUTAZIONE
286
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Misura dei dislivelli
Le grandezze altimetriche 293 Influenza della rifrazione atmosferica e della sfericità terrestre 296 Classificazione delle livellazioni 297 Livellazioni a visuale inclinata 299 Livellazioni geometriche (a visuale orizzontale) 304 Problemi altimetrici 311 I livelli 315 Livelli tradizionali con vite di elevazione 316 Autolivelli 318 Livelli digitali 321 Livelli laser 321 Precisione dei livelli 323 Caratteristiche costruttive dei livelli moderni 324
RIASSUMENDO
326
AUTOVALUTAZIONE
329
MODULO
L’evoluzione recente dei teodoliti 201 Le parti di una stazione totale 203 La stazione totale motorizzata 212 Assi e condizioni della stazione totale 217 Compensatore monoassiale o biassiale 222 La misura elettronica degli angoli 224 La misura elettronica delle distanze: premesse 229 La misura elettronica delle distanze: i princìpi 232 Tecnologie dedicate alla misura senza prisma 238 La valutazione dei distanziometri EODM 239 I prismi riflettori 240 Correzione atmosferica 243 Sistemi integrati 244 Caratteristiche costruttive di alcune stazioni totali 245
RIASSUMENDO
D3
E Il rilievo tradizionale
E1
Inquadramento generale
INTRODUZIONE 1 Impostazione generale del rilievo topografico 2 Precisione delle reti di inquadramento LE TRIANGOLAZIONI 3 Principi generali 4 La triangolazione geodetica dell’IGM LE INTERSEZIONI 5 Classificazione delle intersezioni 6 Intersezioni dirette 7 Il problema di Snellius-Pothenot (intersezione inversa) 8 Problema di Hansen (doppia intersezione inversa) 9 La stazione libera (intersezione inversa con distanze) 10 Livellazione fondamentale dell’IGM RIASSUMENDO LABORATORIO INFORMATICO • AutoCAD Sviluppo del problema di Snellius-Pothenot AUTOVALUTAZIONE
E2 1 2 3
Inquadramento con le poligonali
La struttura delle poligonali 335 La classificazione delle poligonali 336 Lo schema geometrico delle poligonali 337
V Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
INDICE
La misura diretta degli azimut 343 Propagazione degli errori nelle poligonali 344 Poligonali chiuse 348 Caso particolare di poligonale chiusa 353 Poligonali aperte con estremi vincolati 355 Caso particolare di poligonale aperta 362 Il rilievo altimetrico delle poligonali 364
4 5 6 7 8 9 10
RIASSUMENDO
367
AUTOVALUTAZIONE
E3
371
Rilievo dei particolari topografici
Criteri organizzativi del rilievo dei particolari 385 Il rilievo completo dei particolari: la celerimensura 389 La teoria della celerimensura 391 Organizzazione del rilievo dei particolari 392 Rilievo dei particolari altimetrici 393 Rilievo altimetrico lungo una linea 394 Rilievo altimetrico di una fascia di terreno 399
1 2 3 4 5 6 7
RIASSUMENDO
402
LABORATORIO INFORMATICO • Excel Calcolo della posizione dei particolari topografici con un rilievo celerimetrico 406 AUTOVALUTAZIONE
410
F Il rilievo con le nuove tecnologie
1 2 3 4. 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Posizionamento satellitare GPS
Sistemi di posizionamento satellitare GNSS 419 La struttura del sistema GPS 420 Principio di funzionamento in sintesi 423 Il segnale dei satelliti nel sistema GPS 424 Classificazione dei metodi di impiego del sistema GPS 427 Errori di posizionamento nel sistema GPS 430 Configurazione geometrica dei satelliti 434 Il posizionamento assoluto: misure di codice 435 La misura di fase 438 Il posizionamento differenziale di fase 441 Il sistema di riferimento geocentrico WGS84 443 Utilizzo topografico del sistema GPS Tecniche di rilievo statiche Tecniche di rilievo cinematiche Pianificazione della campagna di misura I ricevitori GPS 445
Rilievo 3D con i laser scanner
Descrizione del sistema laser scanner 455 I componenti del sistema e il principio di funzionamento 457 La misura della distanza e il posizionamento dei punti 459 Laser scanner aereo (piattaforma mobile) 461 Laser scanner terrestre 465 Elaborazione delle misure 466 Strumenti laser scanner 468
1 2 3 4 5 6 7
RIASSUMENDO
G Cartografia
G1
4 5
Regole convenzionali di rappresentazione del territorio
La teoria delle proiezioni quotate Rappresentazione completa del terreno con piani quotati Rappresentazione completa del terreno con curve di livello Ricerca della retta di massima pendenza di un piano Problemi sui piani quotati e a curve di livello
RIASSUMENDO LABORATORIO INFORMATICO • AutoCAD Profilo del terreno secondo una direzione assegnata su un piano a curve di livello AUTOVALUTAZIONE
G2
La cartografia nazionale
La scala della carta 479 La classificazione e la struttura delle carte 481 Moduli di deformazione 483 Le proiezioni cartografiche 484 Proiezioni per sviluppo cilindriche 488 Proiezioni della cartografia nazionale 491 Sistema internazionale UTM 495 I reticolati cartografici 500 La cartografia nazionale dell’IGM 504 La cartografia regionale CTR 508
LABORATORIO INFORMATICO • PowerPoint
TESINA Il sistema di posizionamento GPS
RIASSUMENDO
448
AUTOVALUTAZIONE
452
474
MODULO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RIASSUMENDO
470
AUTOVALUTAZIONE
1 2 3
MODULO
F1
F2
512
AUTOVALUTAZIONE
519
VI Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
MODULO
A
Lo studio delle figure piane A1 Angoli e funzioni goniometriche UNITÀ A2 Risoluzione dei triangoli e dei poligoni UNITÀ A3 Le coordinate cartesiane e polari UNITÀ
Il contenuto di questo primo segmento del corso ha un carattere essenzialmente preliminare e propedeutico per tutto il percorso formativo previsto per la nostra disciplina. Si tratta in effetti di introdurre, talvolta di riaffermare e rafforzare, i principi matematici legati alle tecniche di sviluppo e risoluzione delle figure piane a contorno poligonale, con particolare riguardo ai triangoli e ai quadrilateri. Naturalmente questo studio richiede la conoscenza e la comprensione delle funzioni goniometriche e delle loro proprietà che, pertanto, verranno proposte nelle prime unità del modulo. Un ulteriore argomento essenziale di questa parte introduttiva riguarda le tecniche di impiego delle coordinate cartesiane e polari per definire i punti sul piano. Queste dovranno diventare familiari allo studente ed essere usate con sicurezza. Il modulo è strutturato in tre unità didattiche dedicate alla goniometria, alla trigonometria e all’uso delle coordinate. L’impostazione adotta un taglio di carattere tipicamente tecnico-applicativo, senza entrare nel merito delle implicazioni formative degli argomenti trattati, che risultano invece connesse al programma di Matematica.
Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
UNITÀ
A3
Le coordinate cartesiane e polari
TEORIA
1 La definizione
dei punti nel piano
2 Trasformazione di coordinate
3 Angolo di direzione di un lato
4 Coordinate cartesiane parziali e totali
5 Distanza tra
due punti di coordinate cartesiane note
6 Risoluzione dei
poligoni assegnati a mezzo delle coordinate cartesiane dei vertici
7 Risoluzione di una
spezzata piana aperta
8 Area dei poligoni
con le coordinate cartesiane dei suoi vertici
9 Spostamento
di un sistema di coordinate cartesiane RIASSUMENDO
LABORATORIO INFORMATICO Excel Punto di intersezione di due segmenti
AUTOVALUTAZIONE
Uno degli scopi fondamentali del rilievo topografico è la determinazione, chiara e inequivocabile, di punti appartenenti alla superficie terrestre. Ovviamente la definizione di questi punti non può essere descrittiva, ma solo rigorosamente quantitativa, ossia numerica, nell’ambito di un sistema di riferimento cartesiano o polare adeguatamente definito.
Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI
1. La definizione dei punti nel piano Nella nostra disciplina è necessario fare riferimento sistematicamente a punti che appartengono alla superficie fisica terrestre. In effetti, come vedremo, la finalità essenziale del rilievo topografico è proprio la determinazione della posizione di punti appartenenti alla superficie terrestre e la loro successiva rappresentazione numerica e grafica. È dunque molto importante adottare una metodologia utilizzabile per definire in modo sicuro e inequivocabile questi punti (che per il momento pensiamo appartenenti a un piano) e le loro posizioni.
FAQ 씰 I punti nel piano sono riferiti a un sistema di assi detto «cartesiano». Perché? Perché questa tecnica fu introdotta dal matematico francese R. Descartes, detto Cartesio.
䊏 Il sistema di riferimento cartesiano La tecnica più utilizzata per definire la posizione dei punti deriva dall’adozione di un sistema di riferimento cartesiano che, in maniera semplice, efficace e inequivocabile, consente di determinare la posizione di diversi punti nel piano (sistema bidimensionale) o nello spazio (sistema tridimensionale). Questa tecnica è dovuta al filosofo e matematico francese René Descartes (1596-1650), noto come Cartesio. I sistemi di riferimento cartesiani sono caratterizzati da un’origine O e da due assi, convenzionalmente indicati in matematica con le lettere X e Y (rispettivamente asse delle ascisse e asse delle ordinate) che si intersecano in O. Quando questi due assi formano un angolo retto (decisamente il caso più frequente) si parla di sistema cartesiano ortogonale; quando, invece, i due assi formano un angolo acuto, si parla di sistema cartesiano obliquo. Adottando un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, la posizione di un generico punto P, appartenente al piano, viene definita dalle due distanze XP e YP che lo separano dagli assi cartesiani. Queste due distanze sono parametri omogenei legati biunivocamente al punto P e vengono denominati coordinate cartesiane di P (씰FIGURA 1). I sistemi di riferimento cartesiani sono utilizzati sia in ambito teorico, sia nelle discipline di carattere tecnico-operativo come la topografia, e sono già stati introdotti nello studio di materie quali la matematica e la fisica; pertanto non ci soffermeremo ad analizzarne le caratteristiche.
䊏 Il sistema di riferimento polare In topografia viene impiegato, con grande frequenza, anche un altro tipo di sistema di riferimento, denominato sistema di riferimento polare. Con esso si raggiun-
Y
XP
(+,+)
(–,+)
O
P
YP
X
1 La definizione della posizione del punto P per mezzo di un sistema cartesiano ortogonale.
FIGURA (–,–)
(+,–)
3 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
MODULO A • LO STUDIO DELLE FIGURE PIANE
2 La definizione della posizione del punto P per mezzo di un sistema polare.
FIGURA
N
+
P
(OP ) ϑOP OP
O
ge la medesima finalità, cioè quella di definire la posizione di un punto nel piano (o nello spazio). In questo caso, però, i parametri che definiscono la posizione del punto sono una distanza e un angolo: elementi, dunque, non omogenei. Un sistema di riferimento polare (piano) è caratterizzato da:
• un punto O, che ne costituisce l’origine ed è denominato polo; • una semiretta orientata ON, detta asse polare; • un senso positivo di rotazione, che convenzionalmente è destrogiro o orario (씰FIGURA 2).
Le coordinate polari di un generico punto P sono costituite, come già anticipato, da una distanza e da un angolo. La distanza è quella OP compresa tra il punto P e il polo del sistema; essa è sempre positiva e viene denominata modulo. YP che si ottiene facendo ruotare in senso orario l’asL’angolo è quello NO se polare fino a sovrapporlo al segmento che unisce il punto P con il polo. Esso si chiama azimut, o angolo di direzione, e si indica con i simboli jOP oppure (OP). La distanza è sempre compresa tra zero e infinito, l’azimut tra 0c e 400c. Per OP 0 si definisce il polo O; per (OP) 0c si hanno tutti i punti appartenenti all’asse polare. I punti che hanno la stessa distanza giacciono su una circonferenza di centro O; i punti che hanno lo stesso azimut stanno su una semiretta uscente da O.
FAQ 씰 Che cosa serve per definire un sistema di riferimento polare? Una semiretta, detta asse polare, un punto adottato come origine, detto polo, e un senso convenzionale positivo per gli angoli orientati.
2. Trasformazione di coordinate In topografia è ricorrente la necessità di passare dalle coordinate di un dato punto, espresse rispetto a un sistema polare, alle coordinate dello stesso punto riferite a un sistema cartesiano, e viceversa.
䊏 Trasformazione di coordinate da polari a cartesiane
FAQ 씰 Quali sono le coordinate polari di un punto? La distanza, o modulo, tra il punto e l’origine del sistema polare, e l’angolo orientato compreso tra l’asse polare e la semiretta che esce dall’origine e passa per il punto considerato.
Il passaggio dalle coordinate polari di un punto a quelle cartesiane corrispondenti è sempre possibile in qualunque situazione, perché in entrambi i sistemi la corrispondenza tra punti e rispettive coordinate è biunivoca. Tuttavia nella nostra trattazione, per semplicità e per opportunità, imporremo le seguenti semplificazioni:
• le origini dei due sistemi devono coincidere; • l’asse polare deve coincidere con l’asse delle ordinate del sistema cartesiano (씰FIGURA 3 a).
4 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI
a)
Y=N
b)
Y=N
XD (–)
D
XA (+)
XP
H
A
P YD (+)
(OA) Y A(+)
(OP )
YP
(OD )
O
P
YP
O O
XP
X
FIGURA
YB (–)
YC (–)
C
X
(OB )
(OC ) XB (+)
B
XC (–)
3 Trasformazione di coordinate da polari a cartesiane di un punto nel primo quadrante (a) e nei restanti (b).
Così semplificato, il problema può essere sintetizzato nel modo seguente: Dati
Incognite
azimut (OP ); distanza OP
(XP; YP)
Basta ora osservare che, nel triangolo rettangolo OPH di 씰FIGURA 3 a, i cateti PH e OH rappresentano le coordinate cartesiane XP e YP del punto P, quindi, risolvendo lo stesso triangolo, si ha immediatamente: XP
OP $ sen (OP)
YP
OP $ cos (OP)
(1)
È facile constatare che queste formule valgono perfettamente anche quando il punto P si trova negli altri quadranti. Evidentemente le coordinate cartesiane di un generico punto saranno positive o negative, in funzione del segno che assumeranno le funzioni seno e coseno dell’azimut del punto, dato che la distanza è sempre positiva (씰FIGURA 3 b).
䊏 Trasformazione di coordinate da cartesiane a polari Costituisce il problema inverso del precedente: determinare le coordinate polari di un punto quando sono note le corrispondenti coordinate cartesiane dello stesso punto. Il problema può essere così sintetizzato: Dati
Incognite
(XP; YP)
azimut (OP); distanza OP
Considerando il triangolo rettangolo OPH di 씰FIGURA 4 a, si può constatare che i due cateti HP e OH rappresentano, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata di P. YP , cioè l’azimut (OP), Conoscendo i due cateti possiamo calcolare l’angolo HO e l’ipotenusa, cioè la distanza OP , che costituiscono le coordinate polari cercate.
FAQ 씰 L’azimut di un punto può avere valori illimitati? No, l’azimut di un punto è sempre compreso tra 0c e 360c.
FAQ 씰 Il modulo di un punto può essere negativo? No, il modulo di un punto è la distanza tra lo stesso punto e l’origine, cioè il polo, del sistema polare; esso, pertanto, può avere valori illimitati, ma solo positivi.
5 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
MODULO A • LO STUDIO DELLE FIGURE PIANE
4 Trasformazione di coordinate da cartesiane a polari. Il punto P appartiene: a) al I quadrante; b) al II quadrante.
FIGURA
Y=N
a)
Y=N
b)
XP (+)
H
P (OP ) O
P
(OP )
O
YP (+)
X λ
YP (–)
O
OP
X H
P
XP (+)
Risolvendo il triangolo retto OPH si ha: tg (OP )
HP
e
HP
OH
sen (OP )
cos (OP )
OP
OH
Ricordando che HP XP e OH YP le formule che permettono il passaggio dalle coordinate cartesiane a quelle polari, sono in definitiva le seguenti: (OP )
arctg
XP
e
XP
YP
sen (OP )
cos (OP )
OP
YP
(2)
Tali formule sono valide in qualunque situazione; tuttavia, qualora il punto P non appartenga al primo quadrante, occorrerà riflettere sul fatto che nella prima di esse compare la funzione inversa arctg. Come già osservato nell’unità A1, non vi è corrispondenza biunivoca tra angoli e funzioni goniometriche. Pertanto il calcolo delle funzioni inverse con la calcolatrice fornirà sempre e comunque valori compresi in determinati intervalli (per la funzione inversa arcotangente: 100c, 100c). Occorrerà allora procedere a ulteriori valutazioni che consentano di individuare il vero valore dell’azimut cercato. Allo scopo, la ricerca dell’azimut (OP) viene sviluppata in due fasi. Nella prima fase si applica la prima delle (2) considerando i valori assoluti delle coordinate cartesiane di P, individuando in tal modo l’angolo acuto (0c-100c) provvisorio m: m
arctg
FAQ 씰 Il calcolo dell’azimut (OP) di un punto P, partendo dalle sue coordinate cartesiane, richiede qualche attenzione? Sì, in effetti questo calcolo ricorre alla funzione inversa arcotangente, la quale fornisce uno solo dei quattro possibili valori. Pertanto il valore definitivo sarà ottenuto valutando i segni della coppia di coordinate di P.
XP
(3)
YP
Tale valore corrisponderà all’azimut (OP) definitivo solo nel caso che il punto P si trovi nel I quadrante. In seguito si definirà il vero valore dell’azimut (OP) valutando il quadrante di appartenenza di P attraverso i segni delle sue coordinate cartesiane XP e YP. Se il punto P si trova nel II quadrante, quindi con XP positiva e YP negativa, la formula (3) fa determinare l’angolo acuto del triangolo POH indicato con m in c 씰FIGURA 4 b. In questo caso l’azimut (OP) cercato si trova sottraendo m da 200 : (OP)
200c m
6 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI
5 Trasformazione di coordinate da cartesiane a polari. Il punto P appartiene: a) al III quadrante; b) al IV quadrante.
FIGURA a)
b)
Y=N
Y=N
XP (–)
P
H
YP (+)
(OP ) O
O
P
X
OP
λ
λ YP (–)
P
O
X (OP )
H
XP (–)
Se il punto P si trova nel III quadrante, quindi con XP e YP entrambe negative, la formula (3) fa determinare l’angolo acuto del triangolo HOP indicato con m in 씰FIGURA 5 a. In questo caso l’azimut (OP) cercato si trova sommando m a 200c: 200c m
(OP)
Infine, se il punto P si trova nel IV quadrante, quindi con XP negativa e YP positiva, la formula (3) fornisce il valore dell’angolo acuto del triangolo POH indicato con m in 씰FIGURA 5 b. In questo caso l’azimut (OP) cercato si trova sottraendo m da 400c: 400c m
(OP)
Possiamo sintetizzare le precedenti valutazioni necessarie a una corretta individuazione dell’azimut (OP) con la seguente tabella orientativa: Quadrante
XP
YP
Valore dell’azimut (OP)
I
(OP)
m
II
(OP)
200c m
III
(OP)
200c m
IV
(OP)
400c m
3. Angolo di direzione di un lato Consideriamo i due punti A e B definiti a mezzo delle rispettive coordinate cartesiane: rimane così definito il segmento AB che li unisce. Si definisce angolo di direzione (o azimut) del lato AB l’azimut del punto B rispetto a un sistema polare con polo in A e asse polare parallelo all’asse coordinato Y; per indicarlo useremo la notazione (AB) o jAB (씰FIGURA 6 a). Analogamente, l’angolo di direzione (o azimut) del lato BA sarà l’azimut del punto A rispetto a un sistema polare con polo in B e asse polare parallelo all’asse coordinato Y; per indicarlo useremo la notazione (BA) o jBA (씰FIGURA 6 b).
FAQ 씰 Che cosa si intende per azimut di un lato? È l’azimut del secondo estremo del lato rispetto a un sistema polare che ha origine sul primo estremo dello stesso lato.
7 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
MODULO A • LO STUDIO DELLE FIGURE PIANE
6 Angolo di direzione (o azimut) di un lato.
FIGURA
N b)
a)
Y
N
Y
B
N
B
(BA) (AB )
(AB )
A
A O
FAQ
(AB )
O
X
X
Gli azimut (AB) e (BA), riferiti allo stesso lato AB, ma con estremi invertiti, si chiamano azimut reciproci; essi, come vedremo, sono calcolabili utilizzando le coordinate cartesiane degli estremi A e B.
씰 Quale proprietà posseggono gli azimut reciproci di uno stesso lato? La loro differenza è uguale a un angolo piatto.
Tuttavia, fin da ora, e osservando la 씰FIGURA 6 b, possiamo affermare che due azimut reciproci differiscono tra loro sempre di 200c; quindi valgono le seguenti relazioni: (BA)
(AB) 200c
oppure
(BA)
(AB) 200c
Se l’azimut dato è minore di 200c, si trova il suo reciproco aggiungendo 200c; se invece quello dato è maggiore di 200c, allora si trova il reciproco togliendo 200c.
4. Coordinate cartesiane parziali e totali Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano di assi X, Y e origine O, che chiameremo sistema principale. Sia A un punto definito dalle sue coordinate cartesiane XA e YA (씰FIGURA 7).
Y y
(xB)A
M
B
(yB)A YB XA x
A YA
FIGURA
7 Coordinate cartesiane
O
X XB
totali XB , YB e coordinate parziali (xB)A, (yB)A del punto B.
8 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI
Assumiamo poi un altro sistema di riferimento con origine in A e assi coordinati paralleli a quelli del sistema principale; chiameremo tale sistema di riferimento sistema secondario e indicheremo i suoi assi con le lettere minuscole x, y. Un generico punto B potrà essere riferito tanto al sistema principale, quanto a quello secondario.
• Le coordinate di B rispetto al sistema principale si indicano con le lettere maiuscole XB, YB e si chiamano coordinate totali.
FAQ 씰 Nella pratica ci si riferisce a un solo sistema principale e a un solo sistema secondario? No, in generale il sistema principale è unico, mentre i sistemi secondari possono essere anche numerosi.
• Le coordinate di B rispetto al sistema secondario con origine in A si rappresentano con i simboli (xB)A e (yB)A, che si leggono rispettivamente «ascissa di B rispetto ad A» e «ordinata di B rispetto ad A»; esse vengono denominate coordinate parziali. Tra le coordinate totali dei punti A e B e quelle parziali di B rispetto ad A si possono scrivere le seguenti relazioni: XB XA
(xB)A
XB
XA (xB)A
YB
YA (yB)A
e anche YB YA
(yB)A
(4)
Tali relazioni sono del tutto ovvie osservando la 씰FIGURA 7. Va tuttavia rilevato che tutti gli elementi che in esse compaiono sono numeri relativi, quindi occorrerà tenere ben conto dei rispettivi segni; in effetti le somme in esse contenute sono da intendere in senso algebrico. Se poi immaginiamo di assumere anche un sistema di riferimento polare con polo in A e asse polare coincidente con y, e quindi parallelo a Y, allora l’azimut (AB) e la distanza AB sono le coordinate polari di B rispetto a questo sistema. Osservando la 씰FIGURA 8, è chiaro che vi è relazione tra le coordinate parziali di B rispetto ad A e le coordinate polari dello stesso B rispetto al sistema polare con polo in A prima descritto. In effetti, considerando il triangolo rettangolo AMB, ci si rende immediatamente conto che le coordinate cartesiane parziali di B rispetto ad A ne costituiscono i cateti, mentre le due coordinate polari (AB) e AB rappresentano rispettivamente un angolo e l’ipotenusa; quindi si ha:
Y
y=N
(xB)A
M
(AB ) AB
(yB)A
B
YB XA x
A YA
X
O XB
8 Coordinate cartesiane parziali di B rispetto ad A e coordinate polari di B rispetto al polo A.
FIGURA
9 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
MODULO A • LO STUDIO DELLE FIGURE PIANE
FAQ 씰 Come si possono ottenere le coordinate cartesiane XB e YB di un generico punto B? Si possono ottenere partendo dalle coordinate di un punto noto A (XA; YA) a cui occorre sommare il prodotto della distanza tra i due punti rispettivamente con il seno e con il coseno dell’azimut (AB) del lato congiungente gli stessi punti A e B.
(xB)A
AB $ sen (AB)
(yB)A
AB $ cos (AB)
Combinando queste espressioni con le (4), risulta: XB
XA AB $ sen (AB)
YB
YA AB $ cos (AB)
(5) Queste espressioni sono valide in qualsiasi situazione, anche se per semplicità sono state ricavate con A e B entrambi appartenenti al I quadrante. Occorrerà, tuttavia, tenere sempre conto dei segni che caratterizzano le coordinate di A e di quelli che presentano le funzioni trigonometriche seno e coseno.
5. Distanza tra due punti di coordinate cartesiane note Consideriamo due punti A e B di coordinate cartesiane XA; YA e XB; YB note, rispetto a un sistema di riferimento principale con origine in O (씰FIGURA 9). La matematica ci fornisce immediatamente lo strumento per calcolare la distanza tra A e B, a mezzo della seguente nota espressione (teorema di Pitagora): AB =
( X B - X A ) 2 + ( YB - Y A ) 2
Noi, tuttavia, non utilizzeremo questa espressione e daremo al problema un’impostazione trigonometrica, importantissima in topografia. Si noti che quando sono calcolate le coordinate polari di uno dei due punti rispetto a un sistema polare con polo coincidente con l’altro punto, rimane determinata anche la distanza AB cercata (il modulo), che rappresenta, appunto, una delle due coordinate polari. Osservando la 씰FIGURA 9, oppure utilizzando direttamente le (4), possiamo scrivere: (xB)A
XB XA
Y
y=N
y=N
(XB – XA)
M
YB YA
(yB)A
B x
YB
(AB ) AB
(YB –YA)
(BA)
XA K
A
x
YA
FIGURA
O
9 Coordinate polari
di uno dei due punti A e B rispetto a un sistema polare con polo nell’altro punto.
X XB
10 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI
Esse ci dicono che la differenza delle coordinate totali di B e di A rappresentano le coordinate parziali di B rispetto ad A; geometricamente, inoltre, rappresentano i due cateti del triangolo rettangolo AMB, risolvendo il quale si ha: (AB) = arctg
XB - XA
(6)
YB - YA
Noto l’azimut (AB) si calcola, dal medesimo triangolo rettangolo AMB, la distanza AB cercata con una delle due seguenti espressioni: AB =
XB - XA sen (AB)
=
YB - YA
(7)
FAQ 씰 In topografia è usuale il calcolo della distanza tra due punti di coordinate cartesiane note? Sì, molto, e nel nostro ambito è conveniente considerare tale distanza come il modulo (coordinata polare) del secondo punto rispetto al sistema polare con origine nel primo punto.
cos (AB)
Occorre tuttavia sottolineare che la (6) non definisce univocamente l’azimut (AB). Se si calcola tale espressione, la calcolatrice fornirà un valore che può essere positivo o negativo, ma sempre minore dell’angolo retto; tuttavia sappiamo che l’azimut (AB) può assumere tutti i valori da zero a 400c. Analogamente a quanto già visto nel paragrafo 2 di questa unità, occorrerà allora procedere a ulteriori valutazioni che consentano di individuare il valore definitivo dell’azimut cercato. Allo scopo, la ricerca dell’azimut (AB) viene sviluppata in due fasi; nella prima si applica la (6) considerando i valori assoluti delle differenze (XB XA) e (YB YA), individuando in tal modo l’angolo acuto provvisorio m: m = arctg
;XB - XA;
(8)
;YB - YA;
Tale valore corrisponderà all’azimut (AB) solo nel caso in cui le coordinate di B siano entrambe maggiori di quelle di A, che equivale ad affermare che B si trova nel I quadrante degli assi secondari con origine in A. Successivamente si definirà il vero valore dell’azimut (AB) valutando i segni delle due differenze (XB XA) e (YB YA). Se, per esempio, il punto B si trova nel II quadrante rispetto al sistema secondario con origine in A (씰FIGURA 10), la differenza (XB XA) è positiva, mentre (YB YA) è negativa; l’angolo fornito dalla (6) sarà allora l’angolo acuto del
Y
y=N
(AB ) XA
A
(–) YA
(YB – YA)
x λ
M
AB
(XB – XA) (+)
O
B YB X
XB
FIGURA 10 Il punto B si trova nel II quadrante del sistema secondario xy con origine in A. L’azimut (AB) è supplementare dell’angolo m del triangolo MAB.
11 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
MODULO A • LO STUDIO DELLE FIGURE PIANE
triangolo rettangolo AMB indicato con m. Il vero valore dell’azimut (AB) verrà quindi fornito dalla seguente relazione: (AB)
200c m
Lasciando al lettore l’esame degli altri casi, sintetizziamo le varie situazioni con la seguente tabella orientativa per il calcolo dell’azimut (AB): Valore dell’azimut (AB)
XB X A
YB YA
(AB)
m
(AB)
200c m
(AB)
200c m
(AB)
400c m
Il problema potrebbe anche venire risolto in modo del tutto analogo considerando le coordinate parziali di A rispetto a B, cioè rispetto a un sistema di riferimento secondario con origine in B e assi paralleli a quelli principali (씰FIGURA 9). In tal caso si avrebbe: (xA)B
XA XB
(yA)B
YA YB
Quindi, risolvendo il triangolo rettangolo ABK e facendo le opportune valutazioni sull’azimut (BA), risulta: (BA) = arctg
BA =
XA - XB sen (BA)
XA - XB YA - YB =
YA - YB cos (BA)
6. Risoluzione dei poligoni assegnati a mezzo delle coordinate cartesiane dei vertici La risoluzione delle figure piane, quando siano assegnate le coordinate cartesiane dei vertici che ne definiscono i contorni, è un problema assai frequente in topografia e di semplicissima soluzione. Basta considerare via via, ciascuna coppia di vertici consecutivi; i segmenti che li uniscono rappresentano i lati della figura piana. Di questi si calcoleranno i rispettivi azimut e le rispettive distanze sulla base di quanto esposto nel paragrafo precedente. In seguito si otterranno gli angoli interni della figura piana, facendo la differenza tra gli azimut di due lati consecutivi. Consideriamo, per esempio, il triangolo ABC rappresentato in 씰FIGURA 11; il problema viene così sintetizzato: Dati
Incognite
(XA; YA) (XB; YB) (XC; YC)
AB , AC , BC , a, b, c
12 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI
Cominciamo con l’assumere un sistema di riferimento cartesiano secondario con origine nel primo vertice A; assumiamo, inoltre, un sistema polare con polo sempre in A e asse polare AN coincidente con l’asse y. Sulla falsariga di quanto detto in precedenza, potremo calcolare le distanze AB e AC , gli azimut (AB) e (AC), oltre agli azimut reciproci (BA) e (CA). Applicando le espressioni (6) e (7), e le successive valutazioni, si ha: (AB) = arctg (AC) = arctg
XB - XA
(BA) = (AB ) - 200 c
YB - YA XC - XA XB - XA
AB =
sen (AB) XC - XA
AC =
sen (AC)
= =
씰 Qual è il modo più conveniente per calcolare gli angoli interni di un triangolo di cui sono note le coordinate cartesiane dei vertici? Facendo, in ciascun vertice, la differenza tra gli azimut dei due lati che vi concorrono.
(CA) = (AC) + 200 c
YC - YA
FAQ
YB - YA cos (AB) YC - YA cos (AC)
Spostando il sistema di riferimento secondario in B, si avrà in modo analogo: (BC) = arctg
XC - XB
(CB ) = (BC ) + 200 c
YC - YB XC - XB
BC =
sen (BC)
=
YC - YB cos (BC)
Osservando la 씰FIGURA 11, si vede che gli angoli interni del triangolo possono essere ricavati facilmente per differenza di azimut nel seguente modo: a
b
(AB) (AC)
c
(BC) (BA)
(CA) (CB)
Per controllo si avrà: 200c
abc
y=N
Y
A
x (AC)
(AB ) α
y=N
c b O X
B
(BA) (BC )
y=N
β x
a
γ C
x
(CA) (CB )
FIGURA 11 Risoluzione di un triangolo qualunque ABC utilizzando le coordinate cartesiane dei suoi vertici.
13 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
MODULO A • LO STUDIO DELLE FIGURE PIANE
12 Risoluzione di un quadrilatero ABCD utilizzando le coordinate cartesiane dei suoi vertici.
FIGURA
Y
y=N
A
y=N
x (AD)
a
(BA)
(AB ) α x
B
d
β
(BC)
y=N O X δ
y=N
b
D
γ
x
(DA )
(CD )
(DC )
c x
(CB )
C
L’esempio preso in esame è riferito alla figura piana più semplice: il triangolo; tuttavia, la traccia seguita è estendibile a qualsiasi figura piana con un generico numero di vertici. Se si considera il quadrilatero ABCD di 씰FIGURA 12, il modo di procedere è del tutto analogo a quanto già visto nell’esempio precedente. Si applicheranno per prime le (6), con le quali si ricaveranno gli azimut (AB), (BC), (CD), (DA), dai quali si avranno immediatamente i reciproci (BA), (CB), (DC), (AD). In seguito si potranno calcolare, applicando le (7), le lunghezze di tutti i lati del quadrilatero, AB , BC , CD , DA . Infine si otterranno gli angoli interni attraverso la differenza di azimut; osservando la 씰FIGURA 12 si ha: a (AB) (AD) b
(BC) (BA)
c
(CD) (CB) 400c
d
(DA) (DC)
Osserviamo che l’angolo c richiede l’aggiunta di un intero angolo giro per tenere conto del fatto che l’asse polare con origine in C viene a trovarsi all’interno dello stesso angolo c. APPLICAZIONE Problema Determinare i lati e gli angoli del triangolo ABC del quale si conoscono le seguenti coordinate cartesiane dei suoi vertici: XA
168,50 m
XB
135,60 m
XC
64,70 m
YA
65,40 m
YB
51,30 m
YC
21,80 m
Soluzione Lasciamo allo studente il compito di costruire la figura del triangolo. Se essa viene realizzata manualmente su carta, basterà disegnare gli assi del sistema di riferimento carte-
14 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI
siano, quindi, con una opportuna scala (per esempio 1:2000), si riportano le coordinate dei tre punti che andranno poi collegati. Collochiamo un sistema di riferimento secondario con origine in A e calcoliamo i seguenti elementi: ;- 135 ,60 + 168 ,50;
17c,4935 ⇒ (AB) 200c 17c,4935 182c,5064 ;- 51 ,30 - 65 ,40; - 135 ,60 + 168 ,5 121,249 m e (BA) 200c 182c,5064 382c,5064 AB c sen 182 c,5064 ;64 ,70 + 168 ,50; 88c,2333 ⇒ (AC) 200c 88c,2333 111c,7666 m (AC)* arctg ;21 ,80 - 65 ,40; 64 ,70 168 ,5 AC b 237,241 m e (CA) 200c 111c,7666 311c,7666 sen 111 c,7666 m
(AB)*
arctg
Spostiamo ora il sistema di riferimento secondario portando la sua origine in C e calcoliamo i seguenti ulteriori elementi: m
(CB)*
BC
a
; 135 ,60 64 ,70;
77c,7225 ⇒ (CB) 200c 77c,7225 277c,7225 ; 51 ,30 21 ,80; 135 ,60 64 ,70 213c,222 m e BC 277c,7225 200c 77c,7225 sen 277 c,7225 arctg
Calcoliamo gli angoli interni per differenza di azimut: a
(AB) (AC)
182c,5064 111c,7666 c
c
(CA) (BC)
b
(BC) (BA) 400c
c
311 ,7666 277 ,7225
70c,7398 34c,0441
77c,7225 382c,5064 400c
95c,2161
Per verifica: abc
70c,7398 34c,0441 95c, 2161
200c
7. Risoluzione di una spezzata piana aperta Fissiamo nel piano un generico numero di punti, per esempio A, B, C, D, E (씰FIGURA 13); pensiamo poi di collegarli formando i segmenti AB, BC, CD, DE; si ottiene in tal modo la spezzata piana ABCDE. I punti A, B, C, D, E costituiscono i vertici della spezzata e ne definiscono il senso di percorrenza; i segmenti AB , BC , CD , DE sono chiamati lati della spezzata. Si definiscono poi angoli al vertice quegli angoli di cui si dovrà far ruotare in senso orario ciascun lato, finché questo vada a sovrapporsi al lato successivo. Con riferimento alla 씰FIGURA 13, gli angoli al vertice sono indicati con b, c, d. Conoscendo la lunghezza di tutti i lati della spezzata e l’ampiezza degli angoli al vertice, nonché le coordinate di un vertice, per esempio A, rispetto a un sistema principale OXY, e l’azimut (AB) del lato uscente da A, si potranno calcolare le coordinate cartesiane di ciascun vertice della spezzata. Questo importante problema geometrico è alla base della teoria delle poligonali, che verrà sviluppata compiutamente nel secondo volume del corso; sintetizzando il problema con riferimento alla 씰FIGURA 14, si ha: Elementi noti Lati:
AB , BC , CD , DE
Angoli:
b, c, d
Vertice A:
(XA; YA), (AB)
Elementi incogniti (XB; YB)
(XC; YC)
(XD; YD)
(XE; YE)
FAQ 씰 In una spezzata è necessario fissare un senso di percorrenza dei suoi vertici? Sì, perché solo in questo modo gli angoli al vertice sono definiti in modo univoco.
15 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
MODULO A • LO STUDIO DELLE FIGURE PIANE
13 Elementi di una spezzata piana: vertici A, B, C, D, E; lati AB , BC, CD, DE; angoli al vertice b, c, d. FIGURA
E
Y β
DE
N B (AB )
δ
AB BC
XA
γ
A YA
D
CD
C
O
14 Risoluzione di una spezzata piana. Adozione di sistemi di riferimento secondari con poli sui vertici della spezzata.
X
FIGURA
y=N
Y
E y=N β
y=N
x B y=N
(AB )
δ
x D
XA
x A YA
γ x C
O
X
Pensiamo di assumere per ciascun vertice della spezzata, con l’esclusione dell’ultimo, un sistema di riferimento cartesiano secondario xy con origine nel vertice stesso; assumiamo inoltre, sempre in ciascun vertice, un sistema polare con asse polare coincidente con l’asse y del sistema secondario (y / N). Lo scenario che ne risulta è quello mostrato in 씰FIGURA 14; talvolta, tuttavia, allo scopo di semplificare la figura, viene omessa l’indicazione dell’asse secondario x, che perciò risulterà implicito. Ciò premesso, il problema delle spezzate piane viene sviluppato percorrendo le seguenti tre fasi:
• calcolo degli azimut dei lati; • calcolo delle coordinate parziali dei vertici rispetto ai sistemi secondari xy; • calcolo delle coordinate totali dei vertici. 䊏 Calcolo degli azimut Il calcolo degli azimut dei lati della spezzata viene effettuato applicando una regola che è nota col nome di legge di propagazione degli azimut e che può essere enunciata come segue:
16 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI FIGURA 15 Gli azimut dei lati della spezzata. Essi vanno calcolati con una legge detta di propagazione degli azimut.
y=N
Y
E y=N y=N
β
(BC) = B
(AB) =
XA A
y=N δ
(yB)A γ
(xB)A
D
(CD ) (DE ) C
YA
O
X
l’azimut di un lato è uguale all’azimut del lato precedente, più l’angolo al vertice formato tra i due lati e misurato in senso orario, più o meno 200c, secondo che la somma dei primi due angoli sia minore o maggiore di 200c. Talvolta può capitare che, applicando questa regola, si ottenga un azimut maggiore di 400c; in questo caso occorre togliere ulteriormente all’azimut ottenuto un intero angolo giro, cioè 400c. Applicando la legge di propagazione degli azimut all’esempio illustrato in 씰FIGURA 15, e considerando che l’azimut (AB) è un dato noto del problema, si ha: (AB)
elemento noto
(BC)
(AB) b 200c
(CD)
(BC) c 200c
(DE)
(CD) d 200c
䊏 Calcolo delle coordinate parziali La seconda fase si attua con il calcolo delle coordinate parziali dei vertici della spezzata piana rispetto ai sistemi di riferimento secondari xy con origine nei vertici precedenti quello considerato. Così si calcoleranno le coordinate di B rispetto ad A, quelle di C rispetto a B e così via, fino al calcolo delle coordinate parziali di E rispetto a D. A tal proposito basta osservare che di ciascun lato sono note le lunghezze, perché elementi noti del problema, e gli azimut, perché calcolati nella fase precedente. Questi elementi sono le coordinate polari di ciascun vertice rispetto a un sistema polare con polo nel vertice che precede (per esempio (BC) e BC sono le coordinate polari di C rispetto al sistema polare con polo in B). Possiamo allora applicare le espressioni di trasformazione da coordinate polari a cartesiane già illustrate nel paragrafo 4, ottenendo le seguenti coordinate parziali dei vertici in funzione di quelle polari: (xB)A
AB $ sen (AB)
(yB)A
AB $ cos (AB)
(xC)B
BC $ sen (BC)
(yC)B
BC $ cos (BC)
(xD)C
CD $ sen (CD)
(yD)C
CD $ cos (CD)
(xE)D
DE $ sen (DE)
(yE)D
DE $ cos (DE)
FAQ 씰 Le coordinate parziali dei vertici di una spezzata posseggono un significato geometrico? Sì, il loro valore assoluto rappresenta la proiezione del lato che precede il vertice in oggetto, rispettivamente sull’asse delle ascisse e su quello delle ordinate.
17 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
MODULO A • LO STUDIO DELLE FIGURE PIANE
䊏 Calcolo delle coordinate totali
FAQ 씰 Se di una spezzata non sono note le coordinate di un punto, non è possibile il suo sviluppo numerico? No, il calcolo è possibile fissando un sistema di riferimento locale con origine in un vertice della spezzata e asse delle ascisse coincidente con un lato uscente da questo vertice.
Il problema delle spezzate piane viene concluso con il calcolo delle coordinate totali, cioè rispetto al sistema principale OXY, dei suoi vertici. Ricordando che le coordinate XA e YA del punto A sono elementi noti del problema, e applicando per ciascun vertice le espressioni (4) viste nel paragrafo 4, si ottiene: XB
XA (xB)A
YB
YA (yB)A
XC
XB (xC)B
YC
YB (yC)B
XD
XC (xD)C
YD
YC (yD)C
XE
XD (xE)D
YE
YD (yE)D
䊏 Osservazioni 1. Con lo sviluppo di una spezzata piana è possibile determinare agevolmente, ove occorra, la distanza tra i vertici estremi della spezzata. In realtà, questa possibilità viene spesso utilizzata quando è necessario determinare in modo indiretto la distanza tra due punti non visibili tra loro. In tal caso questi due punti vengono collegati a mezzo di una spezzata, scelta in modo tale da eludere quegli ostacoli che impediscono la misura diretta della distanza. Con riferimento alla 씰FIGURA 16, dopo aver sviluppato la spezzata ABCDE e, in particolare, dopo aver calcolato le coordinate dell’estremo E (quelle di A sono note), si potrà calcolare prima l’azimut (AE), quindi la distanza AE cercata; si avrà: (AE) = arctg AE =
XE - XA
(EA) = (AE) + 200 c
YE - YA
XE - XA sen (AE)
=
YE - YA cos (AE)
2. Qualora di una spezzata non siano note le coordinate cartesiane di un suo vertice e l’azimut di un suo lato, sarà sufficiente assumere un sistema di riferimento arbitrario, che chiameremo locale, tale che gli elementi precedenti risultino implicitamente noti.
y=N
Y
E (EA)
AE
y=N
γ
(AE )
C
D
XA A
β YA
16 Determinazione indiretta della distanza tra due punti collegati da una spezzata.
FIGURA
δ
B
O
18 Cannarozzo, Cucchiarini, Meschieri, Zavanella TOPOGRAFIA © Zanichelli 2012 per Geotecnico
X
UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI
Y
y=
N
E
(EA )
AE y=
γ
N
(CD )
(AE )
y=
C XA = 0 YA = 0
100c
O =A
N
δ y=
D
N
(DE )
β (BC ) B XB = AB YB = 0 X
FIGURA
17 Sistema di riferimento locale con origine nel vertice A della spezzata.
Se, per esempio, consideriamo la spezzata ABCDE di 씰FIGURA 17, possiamo assumere un sistema di riferimento locale con origine in A e asse delle ascisse coincidente con il lato AB. In tal modo sono automaticamente definite le coordinate del punto A (XA 0 e YA 0), nonché l’azimut del lato AB: (AB) 100c.A questo punto la spezzata potrà essere sviluppata normalmente, come già visto in precedenza. Qualora sia necessario calcolare la distanza tra gli estremi della spezzata, si potrà procedere nello stesso modo esaminato nella prima osservazione, con la semplificazione dovuta all’annullamento delle coordinate XA e YA dell’estremo A; in effetti si ha: (AE) = arctg
XE YE
(EA) = (AE ) + 200 c
XE
YE
sen (AE)
cos (AE)
AE
APPLICAZIONE Problema Per determinare in modo indiretto la distanza tra i punti A e D, si sono collegati questi punti con la spezzata piana ABCD e si sono misurati i seguenti elementi: AB
72,454 m WC a AB
BC 84c42l
110,908 m c
WD BC
CD
47,000 m
333c33l
Soluzione Il problema non assegna nessun punto di coordinate note, pertanto è necessario assumere un sistema di riferimento locale che renda di conseguenza note sia le coordinate di almeno un punto, sia l’azimut di un lato che esca da tale punto. La soluzione più
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MODULO A • LO STUDIO DELLE FIGURE PIANE
conveniente è quella di assumere un sistema di riferimento locale con origine in A e asse delle ascisse coincidente con il lato AB; in questo modo sono note le coordinare di A (0,0) e l’azimut (AB) 90c. Lasciamo allo studente il compito di costruire la figura della spezzata in scala opportuna, e proponiamo direttamente i calcoli richiesti dal problema partendo dalla determinazione degli azimut dei lati della spezzata applicando la legge di propagazione degli azimut: (AB)
90c
(BC)
90c 84c42l 180c
(CD)
354c42l 333c33l 180c 360c
354c42l 148c15l (v. osservazione precedente)
Calcolo delle coordinate parziali: (xB)A
72,454 m
(xC)B
110,908 $ sen 354c42l
(xD)C
47,000 $ sen 148c15l
10,245 m 24,732 m
(yB)A
0m
(yC)B
110,908 $ cos 354c42l
110,433 m
(yD)C
47,000 $ cos 148c15l
39,966 m
Calcolo delle coordinate totali: XA
0m
YA
0m
XB
72,454 m
YB
0m
XC
72,454 10,245
62,209 m
YC
0 110,433
XD
62,209 24,732
86,94 m
YD
110,433 39,966
110,433 m 70,467 m
Calcolo della distanza AD: m
AD
(AD)*
c
arctg
;86 ,941 0; ;70 ,467 0;
86 ,941 0 sen 50c58l29 m
50c58l29m; (AD)
(AD)*
111,912 m
8. Area dei poligoni con le coordinate cartesiane dei suoi vertici Se si conoscono le coordinate cartesiane dei vertici di un poligono di n lati (dunque anche di n vertici), è possibile calcolare la sua area utilizzando una procedura, alternativa alla formula di camminamento illustrata nella precedente unità A2, che sfrutta queste coordinate. Si tratta di una procedura di calcolo nota da tempo, che si adatta benissimo ad essere automatizzata in un foglio elettronico o in un programma di calcolo da utilizzare in un computer. Tale procedimento richiede la modifica della convenzione utilizzata per l’indicazione, letterale o numerica, dei vertici del poligono che, in generale, segue il verso antiorario. In effetti in questo caso è necessario indicare i vertici secondo il senso orario e utilizzando le cifre numeriche piuttosto che le lettere dell’alfabeto, come indicato in 씰FIGURA 18. Ciò premesso, possiamo subito dire che si tratta di una procedura che prevede la semisomma di un numero n di termini coincidente con quello dei vertici del poligono. In effetti, indicato con i il vertice generico del poligono (dunque i variabile da 1 a n), l’area dei poligoni può essere ricavata da una qualunque delle seguenti formule:
FAQ 씰 Quali elementi è necessario conoscere per calcolare l’area di un poligono con una delle formule di Gauss?
S=
Le coordinate cartesiane di tutti i vertici del contorno del poligono, i quali devono essere numerati in senso orario.
1
n
/ Yi $ (Xi + 1 - Xi - 1)
2
i=1
1
n
(9) S=
2
/ Xi $ (Yi - 1 - Yi + 1)
i=1
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UNITÀ A3 • LE COORDINATE CARTESIANE E POLARI FIGURA 18 Per utilizzare le formule di Gauss occorre conoscere le coordinate dei vertici del poligono, i quali andranno numerati in senso orario.
2 (X2;Y2) Y
1 (X1;Y1) 3 (X3;Y3)
4 (X4;Y4)
5 (X5;Y5)
X
Le (9) sono note come formule di Gauss e possono essere enunciate nella seguente forma. L’area di un poligono è fornita dalla semisomma dei prodotti dell’ordinata (o dell’ascissa) di ciascun vertice i per la differenza tra l’ascissa (o l’ordinata) del vertice i 1 seguente (o precedente) e l’ascissa (o l’ordinata) del vertice i 1 precedente (o seguente). Quando le (9) vengono applicate manualmente (cioè non in una procedura automatizzata) occorre fare particolare attenzione ai segni delle coordinate, e dei conseguenti prodotti, al fine di evitare banali errori nel calcolo.
APPLICAZIONE Problema Determinare l’area di un appezzamento di terreno di forma quadrilatera di vertici 1, 2, 3 e 4, del quale sono note le seguenti coordinale cartesiane: Vertici 1
2
3
4
X (m)
42,55
65,74
56,04
35,00
Y (m)
61,24
38,62
28,84
37,96
Soluzione Utilizzando la prima delle (9), possiamo subito calcolare i 4 (essendo 4 i vertici del poligono) elementi della sommatoria prevista nella stessa formula. Facendo variare i da 1 a 4 si ottiene: per i
1 : 61,24 $ [65,74 (35,00)]
6169,32
per i
2 : 38,62 $ [56,04 (42,55)]
3807,54
per i
3 : 28,84 $ [(35,00) 65,74]
2905,34
per i
4 : 37,96 $ [(42,55) 56,04]
3742,49
2S quindi S
16 624,68 m2
8312,34 m2.
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